Variatsion hisob asosiy masalasining ba’zi umumlashmalari Reja: 1. Bir necha funksiyalarga bog’liq bo’lgan funksionalning ekstremumi. a) Masalaning qo’yilishi. Kuchli va kuchsiz ekstremallar. b) Eyler tenglamalari sistemasi. Stasionar funksiyalar. v) Lejandr va Yakobi shartlari. Yetarli shartlar. Misol. 1. Yuqori tartibli hosilalarga bog’liq funksionalning ekstremumi. a) Kuchli va kuchsiz ekstremumlar. Eyler-Puasson tenglamasi. b) Ikkinchi tartibli zaruriy shartlar. v) Ekstremumning yetarli shartlari. Misol. 3. Bir necha o’zgaruvchili funksiyalarga bog’liq funksionalning ekstremumi. a) Masalaning qo’yilishi. Kuchli va kuchsiz ekstremumlar. b) Eyler-Ostrogradskiy tenglamasi.

1. Bir necha funksiyalarga bog’liq bo’lgan funksionalning ekstremumi. Variatsion hisob asosiy masalasining umumlashmasi sifatida, dastlab, bir necha, y1= y1(x),...,yn= yn(x) funksiyalarga bog’liq funksionalning ekstremumi haqidagi masalani qaraymiz. Faraz qilaylik, Q∈R2n+1 – biror ochiq to’plam (soha), F(x,y1,...,yn,z1,...,zn)−Q da aniqlangan uzluksiz funksiya, P(x0,y01,...,y0n) va P(x1,y11,...,y1n) lar, S={(x,y1,...,yn):(x,y1,...,yn,z1,...,zn)∈Q} to’plamning belgilangan nuqtalari, x0<x1 bo’lsin. Qabul qilingan belgilashlar asosida, quyidagi J[y1,...,yn]=∫ x0 x1 F(x,y1...,yn,y1'...,yn')dx →min (max ) (1) y1(x0)= y01,y2(x0)= y02,...,yn(x0)=y0n, y1(x1)=y11,y2(x1)=y12,...,yn(x1)=y2n, (x,y1(x),...,yn(x),y1'(x),...,yn'(x))∈Q,x∈[x0,x1] yi(x)∈C1[x0,x1],i=1,2 ,...,n. } (2) ekstremal masalani qaraymiz. Qaralayotgan masalani ixchamroq shaklda yozish uchun quyidagi belgilashlarni kiritamiz: y=(y1,...,yn), y'=(y1',...,yn'),y0=(y01,...,y0n), Cn(1)[x0,x1]− [x0,x1] kesmada uzluksiz differensiallanuvchi y(x)=(y1(x),...,yn(x))− n− vektor funksiyalar fazosi. U holda (1), (2) masalani J[y]=∫ x0 x1 F(x,y,y')dx → min (max ), (1 / ) y(x0)= x0,y(x1)= x1,y(x)∈ Cn(1)[x0,x1] (2 / ) ko’rinishda yozish mumkin. (2 / ) munosabatlarni qanoatlantiruvchi y(x)=(y1(x),...,yn(x)) funksiyalarga (1)-(2) masalaning joyiz funksiyalari (chiziqlari) deyiladi. Qaralayotgan masalada joyiz chiziqlarning uchlari Rn+1 fazoning P0(x0,y0) va P1(x1,y1) nuqtalarida mahkamlangan.

Biz Cn(1)[x0,x1] bilan bir qatorda, [x0,x1] kesmada uzluksiz y(x)− n− vektor funksiyalar fazosi Cn[x0,x1] dan ham foydalanamiz. Ma’lumki, Cn[x0,x1] va Cn1[x0,x1] fazolar chiziqli normalangan fazolar bo’lib, ularda normalar, mos ravishda, ‖y‖Cn[x0,x1]=max1≤i≤n' maxx∈[x0,x1]|yi(x)|, ‖y‖Cn[x0,x1]=max1≤i≤n[maxx∈[x0,x1]|yi(x)|+ maxx∈[x0,x1]|yi'(x)|] kabi aniqlan adi . Shuning uchun , y0(x)=(y10(x),...,yn0(x)) joiz chiziqning nolinchi va birinchi tartibli ε – atroflarini , mos ravishda , quyidagicha aniqlaymiz : V0(y0,ε)={y(x)∈Cn[x0,x1]:‖y− y0‖Cn[x0,x1]<ε}={(y1(x),...,yn(x)):‖yi−yi0‖Cn[x0,x1]¿ε,i=1,2 ,...,n}; V1(y0,ε)={y(x)∈Cn1[x0,x1]:‖y−y0‖Cn1[x0,x1]<ε}={(y1(x),...,yn(x)):‖yi−yi0‖Cn1[x0,x1]¿ε,i=1,2 ,...,n}; 1-t a’ r i f . Agar y0(x) joiz funksiyaning shunday V0(y0,ε) nolinchi tartibli ε– atrofiga tegishli barcha y= y(x) joiz funksiyalar uchun J[y0]≤ J[y] (J[y0]≥ J[y]) (3) munosabat bajarilsa, y0(x) funksiya (1) funksionalning kuchli lokal minimum (maksimum) nuqtasi deyiladi. 2- t a’ r i f. Agar (3) munosabat y0(x) joiz funksiyaning biror V1(y0,ε) birinchi tartibli ε - atrofiga tegishli y= y(x) joiz funksiyalar uchun bajarilsa, y0(x) – (1) funksionalning kuchsiz lokal minimum (maksimum) nuqtasi deyiladi. Demak, (1),(2) masala uchun kuchli va kuchsiz ekstremumlar variatsion hisobning asosiy masalasidagiga o’xshash aniqlanadi. Keltirilgan ta’riflardan ravshanki , kuchli ekstremum nuqtasi kuchsiz ekstremum nuqtasi ham bo’ladi. Buning teskarisi esa to’g’ri emas. Shuning uchun avvalo kuchsiz ekstremumning zaruriy shartlarini keltiramiz.

1-t e o r e m a. F(x,y,y')∈C1(Q) bo’lsin. Agar (1) funksional y0(x)=(y10(x),...,yn0(x))∈Cn(1)[x0,x1] joyiz funksiyada kuchsiz lokal ekstremumga erishsa, [x0,x1] kesmada Fyi(x,y0(x),y0¿ (x))− d dx Fyi'(x,y0(x),y0¿ (x))=,i=1,n (4) tengliklar bajariladi. I s b o t i. (1 / ) funksionalning y0= y0(x) nuqtadagi birinchi variatsiyasini hisoblaymiz: δJ [y0,h]=∂ ∂α J[y0+αh ]α=0=∂ ∂α∫x0 x1 F(x,y0¿+αh ,y0¿+αh ')dx |α=0= =∫x0 x1∂ ∂α F(x,y10(х)+αh 1(x),...,yn0(x)+αh n(x),y10'(x)+αh 1'(x),...,yn0'(x)+αh n'(x))dx |α=0= =∫x0 x1 ∑i=1 n [Fyi(x,y0(x),y0'(x))h(x)+Fyi'(x,y0(x),y0'(x))hi'(x))]dx , bu yerda hi(x)∈C1[x0,x1],hi(x0)=h1(x1)=0,i=1,n. Funksional ekstremumining zaruriy shartiga ko’ra, δJ [y0,h]=0 , ∀ h∈Cn1[x0,x1],h(x0)=h(x1)=0, ya’ni ∫x0 x1 ∑i=1 n [Fyi(x,y0(x),y0'(x))h(x)+Fyi'(x,y0(x),y0'(x))hi'(x))]dx =0,i=1,n, (5) h1(x)∈C1[x0,x1],i=1,m , funksiyalar sistemasining o’zaro bog’lanmaganligini hisobga olib, (5) dan ∫x0 x1 [Fyi(x,y0(x),y0'(x))h(x)+Fyi'(x,y0(x),y0'(x))hi'(x))]dx =0,i=1,n, (6) tengliklarga ega bo’lamiz. Endi Dyubua-Reymon lemmasini qo’llab, (6) tengliklardan, talab qilingan, (4) tengliklar sistemasini olamiz. Teorema isbotlandi. Isbotlangan teorema ko’rsatadiki, (1), (2) masalada y0(x)=(y10(x),...,yn0(x)) kuchsiz ekstremallar, Fyi(x,y,y')− d dx Fyi'(x,y,y')=0,i=1,n , (7)

Eyler tenglamalari sistemasini qanoatlantirar yekan.. Bu yerda, hususiy holda, n=1 bo’lganda variatsion hisobning asosiy masalasi uchun olingan natija, ya’ni Eyler tenglamasiga ega bo’lamiz. Agar F(x,y,y')∈C(2)(Q) bo’lsa, (7) dan ∑j=1 n Fyi′yj′(x,y,y')yj''+∑j=1 n Fyiyj(x,y,y')yj'+ Fxyi′(x,y,y')− Fyi(x,y,y')=0,i=1,n (8) sistemaga ega bo’lamiz. Bu esa, n noma’lumli ikkinchi tartibli n ta differensial tenglamalar sistemasidir. Bundan buyon quyidagi belgilashlardan foydalanamiz: Fyiyj 0 =Fyiyj(x,y10(x),...,yn0(x),y10′ (x),...,yn0′ (x)), Fyiyj 0 =Fyiyj′(x,y10(x),...,yn0(x),y10′ (x),...,yn0′ (x)), Fyiyj 0 =Fyi′yj′(x,y10(x),...,yn0(x),y10′ (x),...,yn0′ (x)),i,j=1,n. Elementlari Fyi'yj' 0 (x) lardan tuzilgan n×n matrisani Fy'y' 0 (x) deb belgilaymiz. Faraz qilaylik, F(x,y,y')∈C(2)(Q) bo’lsin. Agar y0(x)=(y10(x),...,yn0(x)) kuchsiz lokal ekstremal uchun det Fy'y' 0 (x)¿0,∀ x∈[x0,x1] bo’lsa, y 0 (x) funksiya [x 0 ,x 1 ] kesmada (8) tenglamalar sistemasini qanoatlantiradi. 3-t a’ r i f. Eyler tenglamalar sistemasini qanoatlantiruvchi y(x)=(y1(x),...,yn(x)) joyiz funksiyalarga (1) funksionalning stasionar funksiyalari deyiladi. Stasionar funksiyalar ekstremumga shubhali funksiyalardir. Endi (1), (2) masala uchun ekstremumning ikkinchi tartibli zaruriy shartlari va yetarli shartlarini keltiramiz. Bu natijalarni isbosiz keltirish bilan kifoyalanamiz (isbotlarni adabiyotlardan, masalan, [ ] dan qarash mumkin). Agar F(x,y,y')∈C(2)(Q) bo’lsa, (1) funksional har bir y0(x)=(y10(x),...,yn0(x))  Cn1[x0,x1] nuqtada ikkinchi variatsiyaga ega va quyidagi formula bo’yicha hisoblanadi: