EHTIMOLLARNI QO‘SHISH FORMULASI VA UNING UMUMLASHMALARI

Yuklangan vaqt:

12.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

183.94921875 KB

Ko'chirib olish

EHTIMOLLARNI QO‘SHISH FORMULASI VA UNING
UMUMLASHMALARI
MUNDARIJA
1.2-§. Kombinatorika elementlari. ............................................................................................................... 7
Biror qoida bo‘yicha chekli sondagi elementlardan tuzilgan to‘plamning mumkin bo‘lgan barcha turli xil
kombinatsiyalarini hisoblashga doir masalalar kombinatorika masalalari deyiladi. Matematikaning
bunday masalarini yechish bilan shug‘ullanadigan bo‘limi kombinatorika deyiladi. .................................... 7
Ko‘paytirish qoidasi. Agar ob’ekt ta usul bilan tanlansa va shunday tanlashdan so‘ng ob’ekt ta usul bilan
tanlanishi mumkin bo‘lsa, u holda va tanlov ta usul bilan tanlanishi mumkin. ............................................ 7
Demak olti xil buterbrod tayyorlash mumkin. ............................................................................................. 8
O‘rinlashtirishlar. ta elementdan tuzilgan chekli to‘plam berilgan bo‘lsin. ta turli elementdan tadan
o‘rinlashtirishlar deb, berilgan ta elementdan olingan ta elementni o‘z ichiga olgan barcha mumkin
bo‘lgan shunday gruppalarga aytiladiki, ular bir-birlaridan yo elementlarining tarkibi, yo tartibi bilan
farq qiladi. ta elementdan tadan tuzilgan o‘rinlashtirishlar soni orqali belgilanadi. ................................... 8
ta turli elementdan tadan takrorsiz o‘rinlashtirishlar soni .......................................................................... 8
(1.2.1) ......................................................................................................................................................... 8
ta turli elementdan tadan takrorlanadigan o‘rinlashtirishlar soni .............................................................. 8
(1.2.2) ......................................................................................................................................................... 8
formula bo‘yicha topiladi. ............................................................................................................................ 8
O‘rin almashtirishlar. ta turli elementdan tuzilgan o‘rin almashtirishlar deb, ta elementdan tuzilgan va
bir-biridan faqat elementlarining tartibi bilan farq qiladigan mumkin bo‘lgan barcha gruppalarga
aytiladi. ........................................................................................................................................................ 9
O‘rin almashtirishlar soni orqali belgilanadi. ............................................................................................... 9
ta turli elementdan takrorlamasdan o‘rin almashtirishlar soni ................................................................... 9
(1.2.4) ......................................................................................................................................................... 9
formula bo‘yicha aniqlanadi. ....................................................................................................................... 9
Demak 4 xil fanni dars jadvaliga 24 xil usulda joylashtirish mumkin. ........................................................... 9
II BOB. EHTIMOLLARNI QO‘SHISH FORMULALARINING ASOSIY VARIANTLARI .......................................... 21
2.1-§. Ehtimollarni qo‘shish formulasi ....................................................................................................... 21
III BOB. MOS TUSHISHLAR SONLARINING KO‘P O‘LCHOVLI TAQSIMOTI .................................................... 29
3.1-§. Ehtimollarni qo‘shish teoremasining umumlashmasi ...................................................................... 29
3.2-§. Mos tushishlar sonlarining ko‘p o‘lchovli taqsimoti haqida ............................................................. 32
XULOSA. ..................................................................................................................................................... 37
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR ................................................................................................................ 39
1

KIRISH.
1.Masalaning dolzarbligi. Ehtimollar nazariyasining qator masalalarini
yechishda ko‘pincha qaralayotgan hosisani boshqasiga nisbatan sodda hodisalar
ustida birlashma, kesishma, ayrim hodisalar ustida amallarini bajarish orqali hosil
bo‘ladigan hodisa sifatida qarashga to‘gri keladi. Maslan, nishonga qarata n ta o‘q
uzilsin A
k ( k = 1 , n )
orqali k- inchi o‘qning nishonga tegish hodisasini, A orqali
kamida bitta o‘qning nishonga tegishini belgilaylik. U holda hodisalar yig‘indisi
tarifiga ko‘ra
A=A1+A2+… +An
bo‘ladi va P(A) ehtimolni topish uchun P( A
1 + … + A
n ) ehtimolni hisoblashga to‘gri
keladi.
A1,… ,An
hodisalardan bir nechtasi bir paytda ro‘y berishi mumkinligi e’tiborga
olinsa, A ning ehtimolini faqat A
1 , … , A
n larning ehtimolini orqali umumiy holda
hisoblab bo‘lmaydi. Agar, masalan,
A1,… ,An hodisalardan kamida m tasining yoki
aniq m tasining ro‘y berish ehtimolini topish talab etilsa, masala yanada
murakkablashadi. Ushbu holda
A1,… ,An hodisaning ehtimolini topish talab etiladi.
Masalan, yuqoridagi misolda kamida ikkita o‘qning nishonga tegishi (B hodisa)
ehtimolini topish talab qilinsa, u holda
B= A
1 A
2 + A
1 A
3 + … + A
1 A
n + A
2 A
3 + … + A
n − 1 A
n
2

Yigindining ehtimolini hisoblashga to‘gri keladi. Demak, ko‘pchilik hollardaA1,… ,An
hodisalar har xil kombinatsiyalar yig‘indisining ehtimollarini hisoblash
formulalarini o‘rganishga to‘gri keladi.
Masalaning nisbatan sodda variantlari [1], [2],[3],[4] ishlarda tahlil qilingan va
qator tadbiqlari ham o‘rganilgan.
Ushbu ishda masalaning nisbattan murakkab variantlarini, jumladan
binomial va polinomial taqsimotlar umumlashmalarini topish masalalari qaraladi.
2. Masalaning qo‘yilishi. Har bir tajribada
A1,… ,Ak hodisalardan bittasi
ro‘y berishi mumkin bo‘lsa, n ta tajribada A
1 hodisaning m
1 marta, A
2 hodisaning
m
2 marta va hokozo A
k hodisaning
mk marta
(
m1+m2+… +mn =n) ro‘y berish ehtimolining formulasini keltirib chiqarish va ushbu
formula tatbiqlarini o‘rganish. Ushbu masalaning xususiy hollari [5] va[6] ishlarda
hamda [3] monografiyada keltirilgan.
3. Tadqiqot ob’ekti va predmeti. Tadqiqot ob’ekti ehtimollarini qo‘shish
formulalari va tadqiqot predmeti
A1,… ,An hodisalardan aniq m tasi, kamida m tasi,
Ai
hodisaning mi marta ro‘y berishehtimollari hisoblanadi.
4. Tadqiqotning maqsad va vazifalari. Tadqiqotning maqsadi ehtimollarni
qo‘shish formulalarining nisbatan murakkab vazifalarini tahlil qilish va vazifasi
esa shu maqsadda A
1 hodisaning m
1 marta va hokozo A
k hodisaning m
k marta (
m1+m2+… +mk
) ro‘y berish ehtimoli formulasini keltirib chiqarish va uni mos
tushishlar sonining ko‘p o‘lchovli taqsimotini topsihga tatbiq etish hisoblanadi.
5. Ishning ilimy yangiligi:
1) n ta tajribada
A1 hodisaning m1 marta va hokozo Ak hodisaning mk marta
ro‘y berish ehtimolini hisolash formulasini keltirib chiqariladi.
2) Formulaning tatbiqi sifatida mos tushishlar sonining ko‘p o‘lchovli
taqsimoti topildi.
3

6. Tadqiqot natijalarining ilmiy va amaliy ahamiyati. Olingan natijalar
ma’lum ma’lum natijalarning ko‘p o‘lchovli hollar uchun umumlashmalari bo‘lib,
masalaning yanada murakkab variantlarini o‘rganish uchun yo‘llanma bo‘lib
xizmat qiladi. Shuningdek, yechilgan masalaning tatbiqlari amaliy ahamiyatga ega
bo‘lib ushbu tatbiqlardan biri ishda keltirilgan.
7. Ishning tadqiqot metodlari. Ushbu ishda ehtimollar nazariyasining
standart tadqiqot metodlari bilan bir qatorda matematik induksiya, kombinatorika
analiz metodlaridan keng foydalanilgan.
8. Ishning tuzilishi . Ish kirish qismi va ikkita bobga birlashtirilgan 5 ta
paragraf qismidan iborat. Adabiyotlar ro‘yxatiga 5 ta darslik, 2 ta monografiya va
2 ta ilmiy maqolalar, jami 9 ta adabiyot kiritilgan. Ish 43 betdan iborat.
9. Ishning qisqacha mazmuni . Kirish qismida masalaning dolzarbligi,
nazariy va amaliy ahamiyati, tadqiqot metodlari ilmiy yangiliklari hamda ishning
tuzilishi haqida so‘z yuritiladi.
I - bobda ehtimollarni qo‘shish formulasi va uning ayrim umumlashmalari
tahlil qilingan. II-bobda ehtimollarni qo‘shish formulasining ko‘p o‘lchovli holi
topilgan va uning tatbiqi sifatida mos tushish hodisalari sonining ko‘p o‘lchovli
taqsimoti topilgan.
4

I BOB. KOMBINATORIKA ELEMENTLARI VA ULARNING
TATBIQLARI
1.1-§. Kombinatorika tarixi.
Kombinatorika so‘zi lotincha “combinare” so‘zidan olingan bo‘lib,
“birlashtirish” degan ma’noni bildiradi. Kombinatorika , kombinator analiz,
kombinator matematika-matematikaning chekli to‘plamlar ustida bajariladigan
amallarni o‘rganadigan bo‘limi.
Kombinatorikaning kombinator geometriya deb ataladigan bo‘limida
elementlari soni cheksiz ko‘p bo‘lgan ba’zi to‘plamlar (geometrik figuralar) ham
o‘rganiladi. Masalan, tekislikda yotuvchi chegaralangan qavariq figuralar berilgan
bo‘lib, ulardan har uchtasi umumiy nuqtaga ega bo‘lsa, shu figuralarning
barchasiga tegishli nuqta ham mavjud bo‘ladi (J. Xelli teoremasi).
Kombinatorikaga oid dastlabki ma’lumotlar qadimdan ma’lum. 17—18-
asrlarda kombinatorikaning asosiy masalalari ko‘phadlar nazariyasi va ehtimollar
nazariyasi talabi bilan o‘rganilgan. 20-asrda elektron-hisoblash mashinalari,
kompyuterlar yaratilishi bilan kombinatorika kengayib, texnika va iqtisodiyotda
tatbiq qilina boshlandi.
Paskal uchburchagining Paskal nomi bilan atalishiga qaramasdan, bunday
sonlar jadvali juda qadimdan dunyoning turli mintaqalarida, jumladan, sharq
mamlakatlarida ham ma’lum bo‘lgan. Masalan, Erondagi Tus shahrida (hozirgi
Mashhadda) yashab ijod qilgan Nosir at-Tusiy XIII asrda bu jadvaldan
foydalanib, berilgan ikkita son yig‘indisining natural darajasini hisoblash usulini
o‘zining ilmiy ishlarida keltirgan bo‘lsa, g‘arbda Al-Kashi nomi bilan mashhur
Samarqandlik olim Ali Qushchi butun sonning istalgan natural ko‘rsatkichli
5

arifmetik ildiz qiymatini taqribiy hisoblashda bu jadvaldan foydalanganligi
haqida ma’lumotlar bor. Keyinchalik G‘arbiy Yevropada bu sonlar uchburchagi
haqida M.Shtifel arifmetika bo‘yicha qo‘llanmalarida yozgan va u ham butun
sondan istalgan natural ko‘rsatkichli arifmetik ildizning taqribiy qiymatini
hisoblashda bu uchburchakdan foydalana bilgan.1556 yilda bu sonlar jadvali
bilan N.Tartalya, keyinroq logarifmik lineyka ijodkori U.Otred (1631 yil) ham
shug‘ullanganlar. 1654 yilga kelib B.Paskal o‘zining “Arifmetik uchburchak
haqidagi traktat” nomli asarida bu sonlar jadvali haqidagi ma’lumotlarni e’lon
qildi.
6

1.2-§. Kombinatorika elementlari.
Biror qoida bo‘yicha chekli sondagi elementlardan tuzilgan to‘plamning
mumkin bo‘lgan barcha turli xil kombinatsiyalar i ni hisoblashga doir masalalar
kombinatorika masalalari deyiladi. Matematikaning bunday masalarini yechish
bilan shug‘ullanadigan bo‘limi kombinatorika deyiladi.
Qo‘shish qoidasi. Agar A ob’ekt m
ta usul bilan, B ob’ekt esa boshqa n ta
usul bilan tanlanishi mumkin bo‘lsa, u holda
A yoki B tanlov n m  ta usul bilan
tanlanishi mumkin.
1.2.1-misol. Savatda 5 ta olma va 3 ta nok bor. Savatdan bitta meva tanlashni
necha usulda amalga oshirish mumkin?
Yechish: Bu yerda
A savatdagi olmalar, B esa noklar to‘plami. Demak
5  m
va .3  n Qo‘shish qoidasiga ko‘ra savatdan bitta mevani 8 3 5     n m
xil usulda tanlash mumkin.
Ko‘paytirish qoidasi. Agar
A ob’ekt m
ta usul bilan tanlansa va shunday
tanlashdan so‘ng
B ob’ekt n ta usul bilan tanlanishi mumkin bo‘lsa, u holda A
va
B tanlov mn ta usul bilan tanlanishi mumkin.
1.2.2-misol. Maktab oshxonasida oq non, qora non va uch xil kolbasa bor.
Ulardan necha xil buterbrod tayyorlash mumkin?
Yechish: Bunda
A oshxonadagi nonlar to‘plami, B esa oshxonadagi
kolbasalar to‘plami. Ya’ni
2  m va .3  n Ko‘paytirish qoidasiga ko‘ra buterbrod
tayyorlash uchun bir bo‘lak non va bir bo‘lak kolbasani
6 3 2    mn usulda
tanlash mumkin.
7

Demak olti xil buterbrod tayyorlash mumkin.
O‘rinlashtirishlar.
n ta elementdan tuzilgan chekli to‘plam berilgan bo‘lsin.
n
ta turli elementdan k tad a n o‘rinlashtirishlar deb, berilgan n ta elementdan
olingan
k ta elementni o‘z ichiga olgan barcha mumkin bo‘lgan shunday
gruppalarga aytiladiki, ular bir-birlaridan yo elementlarining tarkibi, yo tartibi
bilan farq qiladi.
n ta elementdan k tadan tuzilgan o‘rinlashtirishlar soni knA
orqali belgilanadi.
n
ta turli elementdan k tadan takror siz o‘rinlashtirishlar soni
( 1) ( 1)k
nA n n n k     
( 1.2. 1)
formula bo‘yicha aniqlanadi. ( 1. 1) formulani quyidagicha ham yozish mumkin:
.)! (
!
k n
n Akn  
n
ta turli elementdan k tadan takrorlanadigan o‘rinlashtirishlar soni
k kn n A 
( 1.2.2 )
f ormula bo‘yicha topiladi.
Agar
n k bo‘lsa, quyidagi
!
n
n n A P n  
(1.2.3)
formula hosil bo‘ladi.
Endi o‘rinlashtirishga doir ba’zi misollarni qaraymiz.
1.2.3-misol . 1) 10 ta elementdan 8 tadan tuzilgan;
2)
6  n ta elementdan 4 n tadan tuzilgan o‘rinlashtirishlar sonini toping.
Yechish. (1.1) formulaga ko‘ra topamiz:
1)
; 90 9 10 210    A
2)
. 2
)5 )(6 ( 46
   
n n Ann
8

1.2.4-misol. Agar natural sonning yozuvida faqat toq sonlar qatnashsa, bunday
sonni “yoqimtoy” son deymiz. Nechta to‘rt xonali „yoqimtoy” son mavjud?
Yechish. Toq sonlar 5 ta, ya’ni 1,3,5,7,9. Bu misolni yechishda (1.2.3)
formuladan foydalanamiz. Demak jami to‘rt xonali „yoqimtoy” sonlar
6255 44
5 A
ta bo‘ladi.
O‘ rin almashtirish lar . n ta turli elementdan tuzilgan o‘rin almashtirishlar
deb,
n ta elementdan tuzilgan va bir-biridan faqat elementlarining tartibi bilan
farq qiladigan mumkin bo‘lgan barcha gruppalarga aytiladi.
O‘rin almashtirishlar soni nP
orqali belgilanadi.
n
ta turli elementdan takrorlamasdan o‘rin almashtirishlar soni
!nP
n 
(1. 2. 4)
formula bo‘yicha aniqlanadi.
1. 2. 5 -m isol . 4 xil fanni dars jadvaliga necha xil usulda joylashtirish
mumkin?
Yechish. Bu misolni yechishda (1.4) formuladan foydalanamiz:
. 24 4 3 2 1 !4 4       P
Demak 4 xil fanni dars jadvaliga 24 xil usulda joylashtirish mumkin.
m
ta turli elementdan takrorlash bilan, chunonchi birinchi tipdagi 1k ta
elementdan, ikkinchi tipdagi
2k ta elementdan va hokazo n –tipdagi nk ta
elementdan tuzilishi mumkin bo‘lgan o‘rin almashtirishlar soni
!!! )!(
),,,(
21 21
21
n n
nm
kkk kkk
kkkP
 
 

(1. 2. 5)
formula bilan aniqlanadi, bu yerda
. 21m k k k n     
1.2.6-misol. Bir egatga 5 ta atirgul va 4 ta lolani necha xil usulda ekish
mumkin.
9

Yechish. Ushbu misolda 5 1 k ta (atirgul) birinchi tip elementdan, 4
2 k
ta
(lola) ikkinchi tip elementdan takrorlanadigan o‘rin almashtirishlar sonini topish
talab qilingan. (1.5) formulaga ko‘ra
126 4 3 2 1
6 7 8 9
!4!5
!9
!4!5
)!4 5( )4,5(9    
      
  P
ni hosil qilamiz .
Shunday qilib , bir egatga 5 ta atirgul va 4 ta lolani 126 xil usulda ekish
mumkin .
Gruppalashlar.
n ta turli elementdan k tadan tuzilgan gruppalash deb,
berilgan
n ta elementdan olingan k ta elementni o‘z ichiga olgan va bir–biridan
kamida bitta elementi bilan farq qiladigan barcha mumkin bo‘lgan birlashmalarga
aytiladi.
n
ta elementdan k tadan tuzilgan gruppalashlar soni knC orqali belgilanadi.
Bu son quyidagi formula bo‘yicha topiladi:
.
k k
nk
n
PA
C 
n
ta turli elementdan k tadan takrorlashsiz g ruppalashlar soni
!
!( )!k
n n
C
k n k

( 1.2.6 )
yoki
!
)1 ( )1 (
k
k n n n Ckn
    
( 1.2.7 )
formula bilan aniqlanadi.
1.2.7-misol. Guruhda 25 nafar talaba bor. Fan olimpiadasida qatnashish uchun
3 nafar talabadan iborat jamoani necha xil usulda tanlab olish mumkin?
Yechish. Bu masalani yechishda (1.7) formuladan foydalanamiz.
2300
321 232425
!22!3 !25
)!325(!3 !25
3
25 
 


C
10

Demak, guruhdagi 25 nafar talaba orasidan fan olimpiadasida qatnashishi uchun 3
nafar talabadan iborat jamoani 2300 xil usulda tanlab olish mumkin.n
ta turli elementdan k tadan takrorsiz gruppalashlar soni shu n ta
elementdan
k n tadan tuzilgan gruppalashlar soniga teng:
)0( nkCC kn
nk
n  
.
n
ta turli elementdan k tadan takrorlanadigan g ruppalashlar soni
!)1(! )!1(
1
 


nk kn
CC k
knk
n
( 1.2.8 )
formula bilan aniqlanadi.
1.2.8-m isol . Sotuvchi uch xil mobil telefon sotmoqda. Anvar 4 dona mobil
telefon ni necha xil usul bilan sotib olishi mumkin?
Yechish. Masalada uchta turli elementdan tuzish mumkin bo‘lgan barcha 4
elementli gruppalar sonini topish talab qilinadi, bunda ko‘rsatilgan elementlar har
bir gruppada takrorlanishi mumkin, gruppalarning o‘zlari esa bir-biridan kamida
bitta elementi bilan farq qiladi.
Bu masala yechimi uchta elementdan to‘rttadan takrorlanish bilan tuzilgan
g ruppalashlar sonini topishdan iborat. Demak, (1.8) formulaga ko‘ra,
15 2
6 5
!2!4
!6 46
43      C C
ni hosil qilamiz, ya’ni Anvar 4 dona mobil telefon ni 15 xil usul bilan sotib olishi
mumkin.
Endi kombinarorika elementlarini qo‘llab, ba’zi namunaviy misollarni yechamiz:
1.2.9-misol .
n ta elementdan 3 tadan tuzilgan gruppalashlar soni 2n ta
elementdan 4 tadan tuzilgan gruppalashlar sonidan 5 marta kichik bo‘lsa, u holda
n
ni toping.
Yechish. Masalaning shartiga ko‘ra
3n va
4
2
3 5   n n C C
11

tenglik o‘rinli. Bundan (1.6) formulani e’tiborga olib,
!4 )2)(1()1(
!3 )2)(1(5 
 nnnnnnn
ifodani hosil qilamiz. Bu tenglikdan)2 )(1 ( )2 ( 20     n n n
yoki
0 42 17 2    n n
kvadrat tenglamaga ega bo‘lamiz. Bu tenglamani yechib,
14n yoki 3n
ekanligini topamiz.
1.2.10-m isol . 1, 2, 3, 4 raqamlarini takrorlamasdan ularni har birini bir
martadan ortiq ishlatmasdan nechta uch xonali yoki to‘rt xonali son tuzish
mumkin?
Yechish. To‘rt xonali sonning biribchi raqamini 4 usul bilan (chunki bizda
to‘rtta 1,2,3,4 raqamlar bor), ikkinchi raqamini 3 xil usul bilan tanlash (chunki bitta
raqam tanlangandi, uchta raqamni istalgan birin iolish) mumkin. Uchinchi raqamni
tanlashga faqat 2 raqam qoldi, ya’ni 2 usul bilan, to‘rtinchi raqamni tanlashga faqat
birgina imkoniyat qoldi. Ko‘paytirish qoidasiga ko‘ra har xil to‘rt xonali sonni
24 1 2 3 4    
xil usul bilan, xuddi shunday 1,2,3,4 lardan ularni takrorlamasdan 3
xonali sonni
24 2 3 4    xil usul bilan tuzish mumkin.
Demak uch xonali, yoki to‘rt xonali sonni tanlash qo‘shish qoidasiga ko‘ra
24+24=48 ta usul bilan amalga oshirish mumkin.
Shunday qilib, sonni hosil qilishda har bir raqamdan ko‘pi bilan bir marta
foydalanib, 1, 2, 3, 4 raqamlaridan tuzish mumkin bo‘lgan uch xonali va to‘rt
xonali sonlarning umumiy miqdori 48 ga teng bo‘ladi.
12

1.3-§. Ehtimolning klassik va statistik ta’riflari.
1.3.1-ta’rif. A
- hodisalar algebrasi, P= P(A);A∈A esa A
da aniqlangan va
[0;1] to‘plamdan qiymatlar qabul qiladigan to‘plam funksiyasi bo‘lsin. Agar
A
dan olingan va birgalikda bo’lmagan ixtiyoriy A
va В
hodisalar uchun
P(A+B)= P(A)+P(B)
tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda A
da chekli additiv o‘lchov kiritilgan deyiladi.
P
( Ω ) = 1
shartni qanoatlantiruvchi chekli additiv o‘lchovga esa A da aniqlangan
chekli additiv ehtimollik o‘lchovi deyiladi.
Bu ta’rif hodisa ehtimolining umumiy ta’rifidir.
Faraz qilaylik, elementar hodisalar fazosi 
cheklita 1 2 , , ,
n
  
elementar
hodisalardan tashkil topgan bo‘lib, ular teng imkoniyatli bo‘lsin.
1.3.2 -ta’rif. A
hodisaning ro‘y berishiga qulaylik tug‘diruvchi elementar
hodisalar sonining ro‘y berishi mumkin bo‘lgan barcha elementar hodisalar
son i ga nisbati A
hodisaning ehtimoli deyiladi va
n
m A P ) ( ko‘rinishda
belgilanadi.
B u y erda Am 
hodisaning ro‘y berishiga qulaylik tug’dir uvchi elementar
hodisalar soni, n
mumkin bo‘lgan barch a elementar hodisalar soni.
1. 3.2-ta’rif hodisaning klassik ta’rifidir.
3.2. Ehtimolning geometrik ta’rifi. Bizga n
R
fazoda biror G soha berilgan
bo‘lib, bu soha g sohani o‘z ichiga olsin. G sohaga tashlangan n uqtaning g sohaga
ham tushish ehtimolini topish talab qilinadi. Tashlangan nuqta G sohaga albatta
13

tushsin va uning biror g qismiga tushish ehtimoli shu qismning o‘lchoviga
(uzunligiga, yuziga, hajmiga) proporsional bo‘lib, g ning formasiga va g ni G ning
qay yerida joylashganligiga bog‘liq bo‘lmasin. G sohaga tashlangan nuqtaning g
sohaga tushish hodisasini A orqali belgilaylik. Bu shartlarda A hodisaning ehtimoli
)( )(
)(
Gmess gmess
AP 
(1.3.1)
formulalar yordamida aniqlanadi, bu yerda )( gmess
orqali g sohaning o‘lchovi
belgilangan.
1.3.3-ta’rif. A
hodisa ustida n
ta bog‘liqsiz tajriba o‘tkazilgan bo‘lsin. A
hodisaning nisbiy chastotasi deb, hodisa ro‘y berishlar sonining o‘tkazilgan
barcha tajribalar soniga nisbatiga aytiladi, ya’ni
nAW )(
.
Bu yerda n
o‘tkazilgan barcha tajribalar soni, o‘tkazilgan n
ta tajribaning

tasida A
hodisa ro‘y bergan. A hodisaning nisbiy chastotasi uning ehtimolligining
taqribiy qiymati sifatida qabul qilinadi, boshqacha aytganda A hodisasining nisbiy
chastotasi uning ehtimoli sifatida qabul qilinadi.
Bu hodisa ehtimolining statistik ta’rifidir.
Ehtimolning klassik tarifida n quyidagi xossalar kelib chiqadi.
1. Muqarrar hodisaning ehtimoli 1 ga teng .
Haqiqatan, agar hodisa muqarrar bo‘lsa, u holda sinashning har bir natijasi
bu hodisaning ro‘y berishiga qulaylik tug‘diradi. Bu holda m n 
, va demak,
( ) 1 m n
P A
n n  
.
2. Mumkin bo‘lmagan hodisaning ehtimoli 0 ga teng .
Agar hodisa ro‘y bermaydigan bo‘lsa, u holda sinashlarning hech bir natijasi
bu hodisaning ro‘y berishiga qulaylik tug‘dirmaydi. Bu holda 0m 
, va demak,
14

00
)( 
nnm
AP
.
3. Tasodifiy hodisaning ehtimoli nol va bir orasida bo‘ladi.
Tasodifiy hodisaning ro‘y berishiga barcha elementar hodisalarning bir
qismigina qulaylik tug‘diradi. Bu yerdan 0 m n 
ni olamiz. Demak, 0 m n
n n n  
bu
esa   (0, 1)m
P A
n 
ni keltirib chiqaradi.
Shunday qilib, istalgan hodisaning ehtimoli nol va bir orasida bo‘ladi.
1.3.1-misol. Qutida 7 ta oq, 3 ta qora shar bor. Undan tavakkaliga olingan
sharning oq bo‘lish hodisasi ehtimolini toping.
Yechish. A
olingan shar oq chiqish hodisasi bo‘lsin. Bu holda elementar
hodisalar fazosi 10 ta teng imkoniyatli elementar hodisalardan iborat bo‘lib,
ularning 7 tasi A hodisaning ro’y berishiga qulaylik tug‘diradi. Demak,
7,0
10 7
)( AP
.
1.3.2-misol. Telefonda nomer terayotgan abonent oxirgi ikki raqamni esdan
chiqarib qo‘yadi va faqat bu raqamlar har xil ekanligini eslab qolgan holda ularni
tavakkaliga teradi. Abonentning kerakli raqamlarni terilganligi ehtimolini toping.
Yechish. B
–kerakli ikkita raqam terilganlik hodisasi bo‘lsin . Elementar
hodisalar soni o‘nta raqamdan ikkitadan nechta o‘rinlashtirishlar tuzish mumkin
bo‘lsa, shuncha, ya’ni 909102
10 A
ta turli raqamlarni terish mumkin.
Demak, .
90 11
)(
2
10 
ABP
1. 3. 3-misol. Qurilma 5 ta elementdan iborat bo‘lib, ularning 2 tasi eskirgan.
Qurilma ishga tushirilganda tasodifiy ravishda 2 ta element ulanadi. Ishga
tushirishda eskirmagan elementlar ulangan bo‘lish ehtimolini toping.
15

Yechish. A
bilan qurilma ishga tushirilganda eskirmagan elementlar
ulangan bo‘lish hodisasini belgilaylik. Mumkin bo‘lgan barcha elementar hodisalar
soni 2
5C
ga teng. Bularning ichidan 2
3C
tasi eskirmagan elementlar ulangan bo‘lish
hodisasi A
uchun qulaylik tug‘diradi. Shuning uchun 2
3
2
5 3
( ) 0.3
10C
P A
C  
.
1.3. 4-misol. Texnik nazorat bo‘limi tasodifan ajratib olingan 100 ta kitobdan
iborat partiyada 5 ta nuqsonli kitob topdi. Nuqsonli kitoblar chiqish hodisasining
nisbiy chastotasini toping.
Yechish. A
bilan olingan kitob nuqsonli chiqish hodisasini belgilaylik. 100
kitob tekshirildi. Bundan o‘tkazilgan tajribalar soni 100n 
ekanligini olamiz .
Tekshirish natijasida 5 ta kitob nuqsonli chiqdi, ya’ni 5 ( 5
) marta A
hodisa
ro‘y berdi. Demak, nuqsonli kitob chiqish hodisasining nisbiy chastotasi
5
( ) 0, 05.
100W A  
1. 3. 5-misol. Nishonga 20 marta o‘q uzilgan shundan 18 ta o‘q nishonga
tekkani qayd qilingan. Nishonga tegishlar nisbiy chastotasini toping.
Yechish. Demak, jami o‘tkazilgan tajribalar soni 20n 
, nishonga tegishlar
soni 18 (ya’ni shundan 18 tasida A
hodisa ro‘y berdi) . Shunday qilib,
18
( ) 0, 9
20W A  
.
1.3.6-misol. Yashikda 4 ta oq, 10 ta qora va 6 ta ko‘k shar bor. Yashikdan
tasodifan bitta shar olinadi. Shu sharning oq rangda bo‘lish ehtimolini toping.
Yechish. Bu yerda tajriba yashikdan ixtiyoriy shar olinishidan iborat. Barcha
bunday tajribalar soni yashikdagi sharlar soniga teng, ya’ni 20n
. Oq shar chiqishi
hodisasini A
bilan belgilasak, unga qulaylik tug‘diruvchi elementar hodisalar soni
yashikdagi oq sharlar soniga tengligi ravshan, ya’ni 4m
. Demak, ehtimolning
klassik ta’rifiga asosan
16

.
51
20 4
)( 
nk
AP
1. 3.7-misol. O‘yin kubi tashlanganda juft raqam yozilgan tomoni bilan
tushish hodisasi ehtimoli topilsin.
Yechish. O‘yin kubining 6 ta tomoni bo‘lib, har bir tomoniga 1, 2, 3, 4, 5, 6
raqamlardan biri yozilgan. Demak, barcha ro‘y berishi mumkin bo‘lgan elementar
hodisalar soni 6n
. Juft raqam yozilgan tomoni tushishiga qulaylik tug‘diruvchi
elementar hodisalar esa 2, 4, 6 ya’ni ularning soni 3k
. Agar o‘yin kubi
tashlanganda juft tomoni tushish hodisasini A
bilan belgilasak, u holda uning
ehtimoli klassik ta’rifga asosan quyidagicha bo‘ladi:
21
63
)( 
nk
AP
.
1. 3.8-misol. Ikkita o‘yin kubi tashlangan. Kublarning tushgan tomonlaridagi
ochkolar yig‘indisi juft son, shu bilan birga kublardan hech bo‘lmaganda bitta
tomonida olti ochko chiqish ehtimolini toping.
Yechish. «Birinchi» o‘yin kubida tushgan tomonida bir ochko, ikki ochko
va hokazo olti ochko tushishi mumkin. «Ikkinchi» kubni tashlaganda ham shunday
oltita elementar hodisadan biri bo‘lishi mumkin. «Birinchi» kubni tashlashdagi
hodisalarning har biri «ikkinchi» kubni tashlash natijasidagi har bir hodisa bilan
birga ro‘y berishi mumkin. Shunday qilib, barcha mumkin bo‘lgan elementar
hodisalar soni 3666 
ga teng.
Bizni qiziqtirayotgan hodisaga (hech bo‘lmaganda bitta tomonida olti ochko
chiqadi, tushgan ochkolar yig‘indisi juft son) qulaylik tug‘diruvchi elementar
hodisalar quyidagi beshtadan biri bo‘ladi:
,1266;6,6)3 .1064;6,4)5,1046;4,6)2 ,862;6,2)4,826;2,6)1
  

17

Demak, 5 , 36   k n , izlanayotgan hodisaning ehtimoli:
.
36 5

nk
P
1.3.9- misol . Uchta o ‘ yin kubini tashlashda ikkita kubning ( qaysilari
bo ‘ lishining ahamiyati yo ‘ q ) yoqlarida oltidan farqli turli ( oltiga teng bo ‘ lmagan )
ochkolar chiqish , qolgan bitta kubda olti ochko chiqish ehtimolini toping .
Yechish. Jami elementar hodisalar ( , , ) i j k
ko‘rinishda bo‘lib, , ,i j k
lar 1dan 6
gacha bo‘lgan natural qiymatlarni qabul qiladi, demak, ular soni 3
6 216 
ga teng.
Bitta yoqda olti ochko va qolgan ikkita kubning yoqlarida turli (oltiga teng
bo‘lmagan) ochkolar chiqishiga qulaylik tug‘diruvchi hodisalar (6, , ) j k
ko‘rinishda
bo‘lib, ,j k
lar 1 dan 5 gacha bo‘lgan har xil natural qiymatlarni qabul qiladi,
demak, ular soni 2
5 5 20  
ga teng. Xuddi shunday birida 6 ochko ( , 6, ) ,
( , , 6) i k i k
qolgan ikkita kubning yoqlarida turli oltiga teng bo‘lmagan ochkolar chiqishiga
qulaylik tug‘diruvchi hodisalar soni 20 20 40  
bo‘ladi. Izlanayotgan ehtimol bizni
qiziqtirayotgan hodisalar soni 20 20 20 60   
ni mumkin bo‘lgan barcha elementar
hodisalar soni 3
6
ga nisbatiga teng:
360 10 5
( ) .
6 36 18Р A   
1.3.10-misol . N
ta detaldan iborat partiyada n
ta yaroqli detal bor.
Tavakkaliga m
ta detal olingan. Olingan detallar orasida rosa k
ta yaroqli detal
bo‘lish ehtimolini toping.
Yechish. Jami elementar hodisalar soni N
ta detaldan m
tadan detalni
ajratib olish usullari soniga, ya’ni N
ta elementdan m
tadan tuzilgan gruppalashlar
soni m
NС
ga teng.
Bizni qiziqtirayotgan hodisaga ( m
ta detal orasida rosa k
ta yaroqli detal
bor) qulaylik tug‘diruvchi hodisalar sonini hisoblaymiz: n
ta yaroqli detal orasidan
18

k
ta yaroqli detalni к
nС
ta usul bilan tanlab olish mumkin; bunda qolgan km 
ta
detal yaroqsiz bo‘lishi lozim: km 
ta yaroqsiz detalni esa nN 
ta yaroqsiz detal
orasidan km
nNC 

usul bilan olish mumkin. Demak, qulaylik tug‘diruvchi hodisalar
soni km
nNk
n CС 

ga teng.
Izlanayotgan ehtimol, hodisaga qulaylik tug‘diruvchi hodisalar sonining
barcha elementar hodisalar soniga nisbatiga teng:
m
N km
nNk
n
C CC
P 


.
1.3.11-misol. Uzunligi 30 sm bo‘lgan L kesmaga uzunligi 20 sm bo’lgan l
kesma joylashtirilgan. L kesmaga tavakkaliga tashlangan nuqtaning l
kesmaga
tushish ehtimolini toping.
Yechish . Bu ehtimolni hodisa ehtimolining geometrik ta’rifidan foydalanib
hisoblaymiz. L kesmaning uzunligi 30 sm, l
kesmaning uzunligi 20 sm. (3.1)
formulaga ko‘ra izlanayotgan ehtimol quyidagicha topiladi:
.
32
30 20

uzunliginingL uzunliginingl
P
1. 3. 12-misol . Radiusi r
ga teng doiraga kvadrat ichki chizilgan. Doiraga
tavakkaliga tashlangan nuqtani kvadratga tushish ehtimolini toping.
Yechish . Doiraning yuzi 2
rS
doira 
, kvadratning yuzi
2
2
kvS r 
(3.1-chizma). (3.2) formulaga asosan doiraga
tavakkaliga tashlangan nuqtaning kvadrat ichiga tushish
ehtimoli
.22
22
 

rr
SS
P
kvdoira

1. 3.1-chizma
19

1. 3.13-misol. Tomoni R2
ga teng kvadratga doira ichki chizilgan.
Kvadratga tavakkaliga tashlangan nuqtani doiraga tushish
ehtimolini toping.
Yechish . Doiraning yuzi 2
RS
doir a 
, kvadratning yuzi
2
4
kvS R 
(3.2-chizma). ( 3. 2) formulaga asosan doiraga tavakkaliga
tashlangan nuqtaning kvadrat ichiga tushish ehtimoli
1. 3. 2 -chizma
.
44 22
 

RR
SS
P
kvd o ira

1. 3.14 -misol. T
vaqt oralig‘ining ixtiyoriy momentida priyomnikka ikkita
signal kelishi teng imkoniyatli. Agar signallar orasidagi vaqt
 dan kichik ( T 
)
bo‘lsa, priyomnik band deb hisoblanadi. Priyomnikning band bo‘lish ehtimoli
qancha?
Yechish. To‘g‘ri burchakli xOy
dekart
koordinatalar sistemasini qaraymiz. x
va y
mos
ravishda birinchi va ikkinchi signallarning
priyomnikka keladigan momentlari bo‘lsin. Unda
signallar kelishining barcha mumkin bo‘lgan
kombinatsiyalari TyTx  0,0
kvadrat nuqtalari 1.3.3-chizma.
bilan tasvirlanadi. T
vaqt oralig‘i ichida signallar kelishi teng imkonli bo‘lgani
uchun
  yx ;
nuqtalarning qaralayotgan kvadrat sohadagi vaziyatlari ham teng
imkoniyatli.
Kvadradning qaysi nuqtalari bizni qiziqtirayotgan A
(priyomnik band)
hodisaga qulaylik tug‘dirishini aniqlaymiz. A
hodisa signallar orasidagi vaqt
bo‘yicha farq
 dan kichik, ya’ni
20

 yx
(1.3.2)
bo‘lsagina ro‘y beradi.
Shunday qilib, kvadratning A
hodisaga qaraylik tug‘diradigan sohasi (3.3-
chizmada u shrtixlangan)
  yx ,
koordinatalari (3.2) tengsizlikni qanoatlantiradigan
nuqtalardan iborat ekan. Kvadratning yuzi ;2
TS 
shtrixlangan sohaning yuzi
   
2
22
2
0
21
2   TTTTS
.
Bundan quyidagini olamiz:
   
.11 2
2 2
2
0






T
T TT
SS
AP  
II BOB. EHTIMOLLARNI QO‘SHISH FORMULALARI NING
ASOSIY VARIANTLARI
2.1-§. Ehtimollarni qo‘shish formulasi
Agar ixtiyoriy ikkita A
1 va A
2 hodisalar berilgan bo‘lsa,ehtimollarning
xossalaridan bilamizki, ularning yig‘indisining ehtimoli ushbu formula bilan
aniqlanadi.
P(
A1 + A2 ) = P( A1 )+P( A2 ) – P( A1∙A2 ) (2.1.1)
Endi bu N ta A
1 , A
2 , … , A
N hodisalar uchun umumlashtiramiz. Buning
uchun alohida olingan hodisalarninggina emas, balki ularning mumkin
bo‘lgan barcha kesmalarining ham ehtimollarini ham bilishimi kerak bo‘ladi.
Qulaylik uchun quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
P
i =P(
Ai ), P
ij =P( A
i ∙ A
j ), P
ijk =P( Ai∙Aj∙Ak ), ..., (2.1.2)
21

bu yerda indekslarni o‘sish tartibida joylashtiramiz va har bir ehtimollikdagi
indekslar mos tushmaydi.
Mumkin bo‘lgan barcha ehtimolliklar yig‘indisini quyidagicha
belgilaymiz:S1=∑i
Pi,S2=∑i<j
Pij,S3= ∑i<j<k
Pijk,… ,(2.1 .3)
bu yerda 1
≤i<j<k… ≤N , ya’ni yig‘indilardagi ehtimolliklar faqat bir marta
qatnashadi va S
r yig‘indi
CrN ta qo‘shuluvchiga ega. N = 2 da (2.1.1) ga ko‘ra
P(
A1+A2¿= S1− S2 (2.1.4)
tenglik hosil bo‘ladi. Ushbu formula N ta (N ≤ 2
) hodisa uchun
umumlashtirib, quyidagi tenglikni hosil qila olamiz:
Teorema:
A1,A2,… ,AN hodisalardan kamida bittasining ro‘y berish
ehtimoli ushbu formula bilan hisoblanadi;
P1= P(A1+A2+… +AN)= S1− S2+S3− S4+… +(− 1)N−1SN.
(2.1.5)
Teoremani ikki xil usulda isbotlash mumkin.
1-isbot. “Qo‘shish va ajratib yozish metodi”. Ma’lumki, har qanday
hodisaning ehtimoli uni tashkil etuvchi elementlar hodisalar ehtimollarining
yig‘indisiga teng, ya’ni (5) formuladagi
S1,S2,… larni elementar hodisalar
ehtimollari bo‘yicha yoysak, B = A
1 + A
2 + … + A
N hodisani tashkil etuvchi
ixtiyoriy
ω∈B .
Elementlar hodisaning ehtimoli (2.1.5) ning o‘ng tomonida birga teng
koeffitsienti bilan qatnashadi. Faraz qilaylik, biror
ω∈B elementar hodisa
A1,… ,AN
hodisalardan n tasining tarkibiga kirishi. U holda ω elementar
hodisa ehtimoli
S1 yig‘indidan n ga teng koeffitsient bilan, S2 yig‘indida C
n2
22

ga teng koeffitsient bilan va h.k S
n ning tarkibi Cnn ga teng koeffitsient bilan
qatnashadi. i > n da P(
ω ) ehtimollik Si ning tarkibida mavjud bo‘lmaydi.
Demak, agar
ω∈B elementar hodisa A
1 , … , A
N hodisalardan n tasining
tarkibida mavjud bo‘lsa, P(
ω ) ehtimollik (1.1.5) ning o‘ng tomonida
n−Cn2+Cn3−… +(−1)n−1Cnn.
(2.1.6)
koe f fitsient bilan qatnashadi. endi teoremani isbotlash uchun yig‘indining
birga tengligini ko‘rsatish yetarli. Haqiqatdan ham
n − C
n2
+ C
n3
− … +
( − 1 ) n − 1
C
nn
= 1 − ¿
¿ 1 − ( C
n0
− C
n1
+ C
n2
… ± C
nn
) = 1 − ¿
2-isbot. “Matematik induksiya metodi”. (2.1.1) tenglikka ko‘ra (2.1.5)
formla N=2 uchun o‘rinli. Faraz qilaylik, (2.1.5) formula N-1 ta A
1 , … , A
N − 1
hodisalar uchun o‘rinli bo‘lsin. quyidagi belgilashni kiritaylik:
B=
A1+… +AN.
U holda (1.1.1) ga ko‘ra ushbu tenglikka ega bo‘lamiz
P
1 = P
( A
1 + A
2 + A
N ) = S
1 = P ( B + A
N ) = P ( B ) + P ( A
N ) − P ( B A
N ) . ( 2.1 .6 )
Shartga ko‘ra (1.1.5) formula
A1,… ,AN−1 hodisalar uchun o‘rinli, ya’ni
P(B)=
S1'− S2'+S3'−… ±SN−1 ' , (2.1.7)
bu yerda S
i'
lar S
i'
lardan faqat
AN hodisa qatnashmasligi bilan farq qiladi
P(BA)=P( A
1 A
N + … + A
N − 1 A
N ),
yani B
AN ham N – 1 ta hodisa yig‘indisiga teng va farazga ko‘ra (2.1.5)
formula
A1AN,… ,AN−1AN hodisalar uchun o‘rinli :
P ( BA ¿ ¿ N ) = S
1' '
− S
2' '
+ S
3' '
− … ± S
N − 1' '
¿
, (2.1.9)
23

bu yerda Si'' yig‘indisi S
i + 1 ning A
N hodisa qatnashadigan qo‘shiluvchilardan
iborat.
(1.1.8) va (1.1.9) ifodalarni (2.1.7) ga qo‘ysak,
S1'' P ( A ¿ ¿ N ) ¿
larning
yig‘indisi
S1 ni S
2' '
va S
1' '
larning yig‘indisi S2 ni S
3'
va S
2' '
larni yig‘indisi S3
beradi va h.k. shunday qilib, (2.1.5) formula N ta hodisa uchun o‘rinli
ekanligi kelib chiqadi.
Misol . Mos tushushlar (Monmort (1708) masalasi)
N ta qartalardan ikkita qartalar dastasining har biri yaxshilab
aralashtiriladi va ikkala dastadagi qartalarning joylashish tartibi solishtiriladi.
Biror o‘rinda bir xil qarta joylashgan bo‘lsa, shu joyda mos tushish hodisasi
ro‘y beradi deyiladi. Kamida bitta mos tushish hodisasining ro‘y berish
ehtimolini topish talab qilinsin.
Yechish. i – inchida (1 ≤ i ≤ N) o‘rinda mos tushish hodisalarining ro‘y
berishini
Ai orqali ifodalaylik. U holda (1.1.5) formulaga ko‘ra
P(A1+… +AN)=∑i
P(A¿¿i)−∑i
P(AiAj)+… +(−1)P(A1,A2,… ,AN)(2.1 .10 )¿
Masalaning qo‘yilishiga ko‘ra hamma A
1 , … , A
N hodisalar teng
imkoniyatli shu sababli
P( A
1 ¿ = … = P
( A
N ) , P ( A
1 A
2 ) = … = P ( A
N − 1 A
N ) , … .
Demak, (1.1.10) formuladagi yig‘indilarda bittta qo‘shuluvchini,
aytaylik, P( A
1 ), P(
A1A2 ), ... larni olib, qo‘shuluvchilar soniga ko‘paytirish
yetarli. (1.1.10) ga asosan hosil qilamiz:
P1= P(A1+… +AN)= NP (A1)−CN2P(A1A2)+… ¿
P(
A1 ) ni hisoblaylik. Ehtimolning klassik ta’rifiga ko‘ra
P ( A ¿ ¿ 1 ) = m ( A
1 )
n . ¿
24

Birinchi dastadagi qartalar biror tarkibida joylashgan bo‘lsin. Unda
ikkinchi dastadagi qartalarni birinchi dastaga solishtirish uchun n=N! Usulda
tartiblash mumkin. Endi A
1 hodisa ro‘y beradigan hollarni hisoblaymiz.
Birinchi o‘rinda mos tushish hodisasi ro‘y bergan bo‘lsin. U holda ikkinchi
dastadan N – 1 ta qartani (N – 1)! usulda tartiblash mumkinligini e’tiborga
olsak, m(A1 )=(N-1)! bo‘ladi. Demak,
P(
A1¿= (N −1)!
N = 1
N
Endi, faraz qilaylik ,
A1∙A2 hodisa ro‘y bergan bo‘lsin . U holda ikkinchi
dastadagi N – 2 ta qartani (N – 2) usulda tartiblash mumkin va
P( A
1 A
2 ¿ = m
( A
1 A
2 )
n = ( N − 2 ) !
N = 1
N ( N − 1 ) = 1
P
N2 .
bo‘ladi huddi shuningdek,
P( A
1 A
2 A
3 ¿ = m
( A
1 A
2 A
3 )
n = ( N − 3 ) !
N = 1
N ( N − 1 ) ( N − 2 ) = 1
P
N3 .
va h.k ehtimolliklarni hisoblaymiz. Bularga asosan (2.1.11) dan
P
1 = N 1
N − C
N2 1
P
N2 + C
N3 1
P
N3 − … ¿
(2.1.12)
tenglikka ega bo‘lamiz. Agar C
Nm
= P
N2
m ! tenglikni e’tiborga olsak,
P
1 = 1 − 1
2 ! − … + ¿
munosabatni hosil qilamiz.
Bundan ko‘rinadiki, 1 –
P1 ehtimol
e − 1
= 1 − 1 + 1
2 ! − 1
3 ! + …
25

Yoyilmaning birinchi N+1 ta hadi yig‘indisiga teng. Demak,
lim
N → ∞ ( 1 − P
1 = e − 1
)
Shunday qilib quyidagi munosabat o‘rinli bo‘ladi:P1≈1−e−1=0.63212 …
Bundan quyidagi xulosani chiqarish mumkin: N yetarlicha
katta qiymatlarida kamida bitta mos tushish hodisasining ro‘y berish
ehtimoli amaliy jihatdan N ga bog‘liq emas va
1− e−1 ga teng.
2.2-§. N ta hodisadan m tasining ro‘y berish ehtimoli.
1-teorema.
A1 ,A2 ... A3 hodisalardan rosa m tasining (1 ≤m≤N )
ro‘y berish ehtimoli P
[ m ] ushbu formula bilan aniqlanadi:
P
[ m ] =
∑
r = 0N − m
¿ ¿
Izoh. Oldingi paragrafdagi natijaga ko‘ra birorta ham hodisaning ro‘y
berish ehtimoli quydagiga teng
P
[ 0 ] = 1 - S
1 + ¿

S2−S3+… ±SN .
Demak, agar biz
S0=1 deb qabul qilsak, (2.2.1) formula m = 0 uchun
ham o‘rinli bo‘ladi.
Teoremaning isboti. Faraz qilaylik
P[0]= P(B) bo‘lsin va biror ω ∋B
elementar hodisa
A1,A2,… AN hodisalardan n tasining tarkibiga kirsin. U
holda
ω ∋B hodisa (2.2.1) tenglikning o‘ng tomoniga faqat n = m
bo‘lgandagina kiradi. Shuni qayd etib o‘tamizki, agar ω A
1 , A
2 , … A
N
26

hodisalardan N tasining tarkibiga kirsa, u holda P( ω
) ehtimol (2.2.1)
tenglikdagi Sm,Sm+1,… Sn yig‘indilar tarkibiga kiradi va Sn+1,… SN yigindilar
tarkibiga kirmaydi. Demak, n < m da P( ω
) ehtimol (2.2.1) tenglikning
o‘ng tomonida qatnashmaydi, ya’ni agar tenglikning o‘ng tomonini elementar
hodisalar ehtimoli bo‘yicha yoysak, P( ω
) lar o‘zaro qisqarib ketadi.
Haqiqatdan ham P(
ω ) ehtimoli n > m da Sk (m ¿k≤n ) yigindiga C
nk
koefitsiyent bilan kiradi. Shunday qilib P( ω
) ehtimol (2.2.1) tenglikning o‘ng
tomoniga
Cnk−Cm+1 m Cnm+1+Cm+2 m Cnm+2−… ±Cn−mm Cnn−m
(2.2.3)
koefitsiyent bilan kiradi.
C
m + km
∙ C
nm + k
=
( m + k ) !
m ! k ! ∙ n !
(
m + k ) !( n − k − m ) ! = n !
m ! ( n − m ) ! ∙
( n − m ) !
k !
( n − m − k ) ! = C
nm
C
n − mk
tenglikka ko‘ra (1.2.2) ifoda ushbu ko‘rinishga keladi:
C
nm
( C
n − m0
− C
n − m1
+ C
n − m2
− … ± C
n − mn − m
)
(2.2.3)
Bu yerda qavs ichidagi ifoda ¿
ning binomal yoyilmasi ekanligi
e’tiborga olinsa, (1.2.3) ifoda nolga tengligi kelib chiqadi.
Misol. Misol sifatida mos tushishlar haqidagi masalalarni qaraymiz.
Oldingi paragrfda biz S = 1
k ! Tenglikni topgan edik. Ushbu ifodani (2.2.1)
formulaga qo‘yib, rosa m ta mos tushish hodisalari ro‘y berish ehtimolini
hisoblaymiz . m=0, m=1, ... , m = N da quyidagi tengliklarga ega bo‘lamiz:
P
[ 0 ] = 1 − 1 + 1
2 ! − 1
3 ! + … ± 1
(
N − 1 ) ! ± 1
N ! ,
P[1]=1− 1+ 1
2!− 1
3!+… ± 1
(N− 2)!± 1
(N−1)!
,
P
[ 2 ] = 1
2 ! ¿
),
27

P
[ 3 ] = 1
3 ! ¿
),
− − − − − − − − − − − − − … ,P[N−2]= 1
(N −2)!¿
),
P[N−1]= 1
(N−1)!¿

P
[ N − 2 ] = 1
( N ) ! ,
Bu yerda
P[N−2]=0 tenglk shuni ko‘rsatadiki, rosa N – 1 ta mos tushish
hodisasi ro‘y berishi mumkin emas. Haqiqatdan ham, agar N – 1 ta mos
tushish hodisasi ro‘y bergan bo‘lsa, N – orinda ham o‘z-o‘zidan mos tushish
ro‘y beradi.
(2.2.4) tengliklardan ko‘rinadiki,
Pm ehtimollikdagi qavs ichidagi ifoda
e−1
ning qatorga yoyilmasidagi birinchi N – m ta hadining yig‘indisini beradi.
Shu sababli ushbu munosabat bajariladi:
lim
N → ∞ P
[ m ] = 1
m ! e − 1
,
ya’ni cheksiz sondagi qartalardan iborat ikkita qartalar dastasi dastasi
solishtirilsa, mos tushishlar soni parametri biriga teng bo‘lgan Puasson
taqsimottiga ega bo‘ladi.
2-teorema. A
1 , A
2 , … , A
N hodisalardan kamida m tasining ro‘y berish
ehtimoli ushbu formula bilan hisoblanadi:

Pm=Sm−Cmm−1Sm+1+Cm+1 m−1Sm+2−… ±CN−1 m−1SN. (2.2.5)
Teoremani isbotlash uchun (1.2.1) tenglkdan foydalanladi Ehtimolnng
xossasiga ko‘ra
P
m = P
[ m ] + P
[
m + 1 ] + … + P
N . (2.2.6)
28

Bu tenglikka P[k] larning (m ≤ k ≤ N
) qiymatlarin qo‘yib, qator
soddalashtirishlardan keyin (2.2.6) tenglikni hosil qilish mumkin.
III BOB. MOS TUSHISHLAR SONLARINING KO‘P
O‘LCHOVLI TAQS I MOT I
3.1-§. Ehtimollarni qo‘shish teoremasining umumlashmasi
Quyidag hodisalar sistemasini qaraymiz.
¿
(3.1.1)
Faraz qilaylik, biror tajrbada ushbu hodsalardan ko‘pi bilan N tasi ro‘y
berishi mumkin bo‘lsin, agar ξ
i
( i = 1 , k − 1 )
ro‘y bergan ( 1(i) ) tpdagi hodisalar soni
bo‘lsa, ushbu shartlar bajarilsin:
{
0≤ξi≤N ,i=1,k−1
0≤ξ1+ξ2+… +ξk−1≤N
Teorema. Tajrbada
m1 ta ( 1 '
) tipdagi m2 ta ( 1 ' '
) tipdag va h.k mk−1 ta ( 1(k−1)
) tipdagi hodisalarning ro‘y berish ehtimoliquyidagi formula bilan aniqlanadi:
Pn(m1,… ,mk−1)=∑r=0
mk
¿¿
∙∏j−1
k−r
Cmj+ij
mj Cmk−1+r−i1−…−ik−2
mk−1
(3.1.2)
bu yerda
mk= N −m1−… −mk−1,
Sr(m1,… ,mk−1,i1,… ,ik−2)=¿
=
∑ j
( − 1)
, j( k − 1)
, P A
j
1 ( 1) ∙ … ∙ A
j
m
1 + i (1) ∙ … ∙ A
j
1 (k − 1)(k − 1)
∙ … ∙ A
j
m ( k − 1)(k − 1)(
k − 1 ) + r − i
1 − … − i
k − 2
29

(2.1) munosabatda k=2 da [1] ishning 4-bo‘limida isbotlangan (3.1.1)
formula, k=3 da esa [3] ishda isbotlangan formula kelib chiqadi.
Agar (3.1.1) hodisalar o‘zaro bog‘liq bo‘lmasa va
Ar(i)∙Ar(j)=∅,i≠ j,i,j=1,k−1 hamda
P ( A ¿
¿ 1 ( i )
) = P
( A
2 ( i))
= … = P ( A
N ( i))
= P
i , 1 , k − 1 ¿ shartlar bajarlsa (3.1.2)
formuladan quydagi taqsimot kelib chiqadi:
P
N
( m
1 , m
2 , … , m
k − 1 ) = N !
m
1 ! m
2 ! … m
k ! P
1m
1
P
2m
2
… P
km
k
bu yerda
P
k = 1 − P
1 − … − P
k − 1 .

Teoremaning isboti. Teoremani qo‘shib va chiqarib tashlash metodi
yordamida isbot qilamiz. Ω=(
ω¿ elementlar hodisalar fazosi va
G=( ξ
1 = m
1 , ξ
2 = m
2 ,...,
ξk−1=mk−1 )
bo‘lsn. U holda ehtimolning xossasiga ko‘ra
PN(m1,m2,… ,mk−1)= P(G)= ∑ω∋G
P(ω)
bo‘ladi. Ushbu tenglikdan ko‘rinadiki, agar (2.1.1) formulaning o‘ng tomni
G-ga tegishli elementar hodisalar ehtimollari bo‘yicha yoyilsa, bu
ehtimollarning koefsientlari birga teng bo‘lishi kerak. Demak, teoremani
isbotlash uchun ixtyoriy ω ∋ G
elementar hodisaning ehtimoli (3.1.2)
tenglikning o‘ng tomoniga birga teng koefitsient bilan kirishni ko‘rsatish
yetarli.
Faraz qilaylik,
ω0∋G elementar hodisa (3.1.1) tenglamadagi ∙tasining
tarkibiga kirsin. a(n,m) orqali P( ω
0 ) ehtimolning koefsientini belgilaylik, bu
yerda.
30

n = n
1 + n
2 + … + n
k − 1 ,
m=m1+m2+… +mk−1.
(2.1.2) tenglikdan quyidagiga ega bo‘lamiz:
a
( n , m ) =
∑
r = 0n − m
¿ ¿
Agar C
nm
= n !
m !
( n − m ) ! ekanligi e’tiborga olinsa, quyidagi tenglik to‘g‘rilgiga
ishonch hosil qilish mumkin:
C
m
j + n
jm
j
∙ C
n
jm
j + n
j
= C
n
jm
j
∙ С
n
j − m
ji
j
Bunga ko‘ra (3.1.2) dan ushbu tenglikka ega bo‘lamiz:
a ( n , m ) =
∏
j = 1k − 1
C
n
jm
j
∙ C
n
j − m
ji
j
∑
r = 0n − m
¿ ¿
Ma’lumki,
(
∏
j = 1k − 2
C
n
ji
j
∙ C
n
k − 1 − m
k − 1r − i
j − … − i
k − 2 )
∙ ¿
gipergeometrik taqsimotning umumlashmasidir. Demak, (3.1.2) nig i
1 , i
2 , … , i
k − 1
o‘zgaruvchilarning mumkin bo‘lgan qiymatlari bo‘yicha yig‘indisi birga teng,
ya’ni
∑i1=0
r
… ∑ik−2=0
r−i1−…−ik−3
∏j=1
k−2
Cnj+mj
ij ∙Cnk−1−mk−1
r−i1−…−ik−2=Cn−mr .
Bu tenglikka ko‘ra

a(n,m)=∏j=1
k−2
Cnj
mj∙Cnk−1
mk−1∑r=0
n−m
¿¿
31

Agar C
n0
= 1
(n≥0 ) deb qabul qilinishi e’tiborga olinsa, yuqoridagi tenglikdan
ko‘rinadiki,
n
1 = m
1 , … , n
k − 1 = m
k − 1 da n=m va
a(n,m)=∏j=1
k−2
Cnj
mj∙Cnk−1
mk−1∑r=0
n−m
¿¿
Boshqa hollarda, ya’ni n<m da
∑r=0
n−m
¿¿
va a(n,m)=0. Teorema isbot bo‘ldi.
3.2-§. Mos tushishlar sonlar in ing ko‘p o‘lchovli taqsimoti haqida
Har biri bir biridan N ta soqqadan iborat k(k ≥ 1) guruh soqqalar
berilgan bo‘lsin. Avval birinchi guruh, keyin ikkinchi guruh va h.k k – guruh
soqqalarini raqamlangan N ta qutiga bittadan joylaymiz. Agar biror qutida
quti raqami bilan shu qutiga tushgan i ta soqqa raqami bir xil bo‘lsa, shu
o‘rinda i (1 ≤ i ≤ k
) karrali mos tushish hodisalarining ro‘y berish ehtimoli
quyidagi formula bilan aniqlanadi:
Teorema.
m1 o‘rinda bir karrali, m
2 o‘rinda ikki karrali va h.k mk o‘rinda
k karrali mos tushish hodisalarining ro‘y berish ehtimoli quyidagi formula
bilan aniqlanadi:
P
N
( m
1 , m
2 , … , m
k ) = 1
m
1 ! , … , m
k ! ¿ ¿
32

∙ A
r( m
1 , … , k
k − 1 , i
1 , … , i
k − 1 )
i
1 ! , … , i
k − 1 !
( r − i
1 − … − i
k − 1 ) !( m
0 − r ) ! , ( 3.2 .1 )
Bu yerda m
0 = N − m
1 − … − m
k ,
Ar(m1,… ,kk−1,i1,… ,ik−1)=¿
¿
∑
j
1 = 0m
1 + i
1
∙ … ∙
∑
j
k − 1m
k − 1 + i
k − 1
∏
n = 1k − 1
⌊ m
k − r +
∑
ϑ = 1n
(
m
ϑ − j
ϑ − i
ϑ ) ⌋( m
0 − r + j
1 + … + j
k − 1 ) ! C
m
n + i
nj
n
Isbot. Teoremani isbotlash uchun ehtimollarni qo‘shish formulasining ushbu
umumlashmasidan foydalanamiz. Agar
A1(1),A2(1),… ,AN(1)
− − − − − − − − ¿
A
1( k )
, A
2( k )
, … , A
N( k )
hodisalar guruhlari berilgan bo‘lsa, tajribbada birinchi guruh hodisalardan
m1
tasining va h.k k-guruh hodisalardan
mk tasining ro‘y berish ehtimoli ushbu
formula yordamida hisoblanadi:
PN(m1,m2,… ,mk)= ∑i1=0
r
¿¿
∙
S
r
( m
1 , … , m
k , i
1 , … , i
k − 1 ) ∏
j = 1k − 2
C
m
j + i
jm
j
C
m
k + r − i
1 − … − i
k − 1m
k − 1
,
bu yerda
0 ≤ m
i ≤ N , i = 1 , k , 0 ≤ m
1 + … + m
k ≤ N , m
0 = N − m
1 − … − m
k
Sr(m1,… ,mk,i1,… ,ik−1)= ¿
33

¿
∑
j ( 1 )
, … , j ( k ) P( A
j
1 ( 1)(1)
∙ … ∙ A
j
m
1 + i
1 (1)(1)
∙ … ∙ A
j
1 ( k)(k)
∙ … ∙ A
j
m
k + r − i
1 − … − i
k − 1 (k)(k) )
.
Ushbu formuladagi
Sr(m1,… ,mk,i1,… ,ik−1) ni topamiz. Agar
{ A
j
1( 1 )
∙ … ∙ A
m
k + r − i
1 − ¿ … − i
k − 1 ¿
} hodisalar teng imkoniyatligi e’tiborga olinsa, quyidagi
tenglikka ega bo‘lamiz:
Sr(m1,… ,mk,i1,… ,ik−1)=CNm1+i1∙CN−m1−ik−1
m2+i2 ∙… ∙CN−m1−…−mk−1−i1−…−ik−1
mk+r−i1−…−ik−1 ∙
∙
P(A1(1)∙Am1+i1
(1) ∙… ∙A1(k)∙… ∙Amk+r−i1−…−ik−1
(k) )(3.2 .2 .)
(2) tenglikdagi P
( A
1 ( 1)
∙ A
m
1 + i
1 (1)
∙ … ∙ A
1 ( k)
∙ … ∙ A
m
k + r − i
1 − … − i
k − 1 (k) )
ehtimolni hsoblash uchun
ehtimolnng klassik ta’rifidan foydalanamiz:,
P
( A
1 ( 1)
∙ A
m
1 + i
1 (1)
∙ … ∙ A
1 ( k)
∙ … ∙ A
m
k + r − i
1 − … − i
k − 1 (k) )
= m
n
Har bir guruh soqqalarini N ta qutiga bittadan N! usulida joylash mumkin.
Agar guruhlar k taligi e’tiborga olinsa ,
n = (N!
¿k
bo‘ladi. Endi m ning qiymatini hisoblaymiz. Faraz qilaylik,
m1+i1 o‘einda bir
karrali m
2 + i
2 o‘rinda ikki karrali va h.k m
k + r − i
1 − … − i
k − 1 o‘rinda k karrali mos
tushish hodisalari ro‘y bergan bo‘lsin. Agar bir karrali mos tushishlar faqat
birinchi guruh elementlari hisobidan va h.k. k karrali mos tushishlar 1,2,..., k
– guruh elementlari hisobidan ro‘y bergan bo‘lsa, u holda bunday holatlar
soni
Cm1+j1
0 … Cmk−1+ik−1
0 (m0−r)!(m0+r+i1)!… (m0+mk−1− r+i1+… +ik−1)!
bo‘ladi. Agar bir karrali va h.k k karrali mos tushishlar har xil guruhlar elementlari
hisobidan ro‘y berishi mumkinligi e’tiborga olinsa, umumiy holda ushbu ifodaga ega
bo‘lamiz:
C
m
1 + j
1j
1
∙ … ∙ C
m
k − 1 + i
k − 1j
k − 1
∙
( m
0 − r + j
1 + … + j
k − 1 ) !( m
0 + m
1 − r − j
1 + i
1 ) ! ∙
34

∙( m
0 + m
1 + m
2 − r − j
1 − j
2 + i
1 + i
2 ) ! … ( m
0 + … + m
k − 1 − r − j
1 − … − j
k − 1 + i
1 + … + i
k − 1 ) ! ( 3.2 .3 )
bu yerda
j1 i-guruhdagi birorta ham elelmenti mos tushishlarda
qatnashmaydigan elementlar soni .
(3.2.3) ifodaning
ji lar (1 ≤i≤k−1 ) bo‘yicha yig‘idisini olib, quyidagi
munosabatni hosil qilamiz:
A
r
( m
1 , .. , m
k − 1 , i
1 , … , i
k − 1 ) = ¿
¿∑j1=0
m1+i1
∙∙∙∑jk−1
mk−1
Cm1+j1
j1 ∙… ∙Cmk−1+ik−1
jk−1 ∙(m0− r+ j1+… + jk−1)!(m0+m1− r− j1+i1)!∙
∙(m0+m1+m2−r− j1− j2+i1+i2)!… (m0+… +mk−1−r− j1−… − jk−1+i1+… +ik−1)!= m(3.2 .4)
(2.2.4) ga asosan
P
( A
1 ( 1)
∙ … ∙ A
m
1 + i
1 (1)
∙ … ∙ A
1 ( k)
… ∙ A
m
k + r − i
1 − … − i
k − 1 (k) )
= A
r ( m
1 , … , m
k − 1 , i
1 , … , i
k − 1 )
¿ ¿
bo‘ladi. Ushbu ifodani (2.2.2) ga qo‘yib, quyidagi tenglikni hosil qilamiz:
Sr(m1,… ,mk,… ,i1,… ,ik−1)=¿
∙CNm1+i1CN−m1−i1
i2 … CN−m1−…−mk−1−i1−…ik−1
mk+r−i1−…−ik−1 ∙Ar(m1,… ,mk−1,i1,… ,ik−1)
¿¿
Bunga asosan ehtimollarni qo‘shish formulasining umumlashmasidan ushbu
ifodani hosil qilamiz:
PN(m1,… ,mk)=∑r=0
m0
(−1)r∑i1=0
r
∑i2=0
r−i1
… ∑ik−1=0
r−i1−…−ik−2
∏j=1
k−2
Cmj+ij
mj Cmk+r−i1−…−ik−1
mk−1 ∙
∙ C
Nm
1 + i
1
C
N − m
1 − i
1m
2 + i
2
… C
N − m
1 − … − m
k − 1 − i
1 − … i
k − 1m
k + r − i
1 − … − i
k − 1
∙ A
r
( m
1 , … , m
k − 1 , i
1 , … , i
k − 1 )
¿ ¿
Ayrim soddalashtirishlardan keyin ([1], [2]) hosil qilamiz:
35

∏
j = 1k − 2
C
m
j + i
jm
j
C
m
k + r − i
1 − … − i
k − 1m
k − 1
∙ C
Nm
1 + i
1
C
N − m
1 − i
1i
2
… C
N − m
1 − … − m
k − 1 − i
1 − … i
k − 1m
k + r − i
1 − … − i
k − 1
= ¿¿¿¿
Ushbu tenglikka ko‘ra (2.2.5) dan teoremaning isboti kellib chiqadi.
(3.2.1) formula k=1 va k=2 da ushbu nisbatan sodda ko‘rinishga ega bo‘ladi.
P
N
( m
1 ) = 1
m
1 ! ∑
r = 0N − m
1
( − 1 ) r 1
r !
P
N
( m
1 , m
2 ) = ¿
¿ 1
m
1 ! m
2 ! N ! ∑
r = 0m
0
( − 1 ) r
∑
i = 0r ∑
k = 0m
i − i
C
m
i + ik
(
m
0 − r + k ) !( m
0 + m
1 − r − k − i ) !
i !
( r − i ) !( m
0 − r ) ! .
bu yerda
m0= N− m1−m2 .

36

XULOSA.
Hodisalar yig‘indisining ehtimolini yoki shu masalaga olib kelinadigan
murakkab hodisalar ehtimolini ehtimollar nazariyasining muhim vazifalaridan biri
hisoblanadi. Umumiy holda hodisalar yi’gindisining ehtimolini hisoblash formulasi
tegishli darslik va o‘quv qo‘llanmalarda berilgan va uning qator tatbiqlari ham
qaralgan. Lekin qator masalalarni hal qilishda ushbu formulalarni to‘gridan-to‘gri
qo‘llab bo‘lmaydi. Ularning turli umumlashmalari alohida variantlarni qarashga
to‘g‘ri keladi. Masalan, n ta tajribada A hodisaning ro‘y berish ehtimollarini
hisoblashda, har bir tajribada faqat bittasi ro‘y berishi mumkin bo‘lgan A
1 , … , A
n
hodisalar berilgan bo‘lsa, n ta tajribada A1 ning m1 marta va hokazo Ak ning
mk
marta
(
m1+m2+… +mn =n) ro‘y berish ehtimollarini hisoblashda ehtimollarni qo‘shish
formulalarining umumlashmalarini topishga to‘g‘ri keladi.
Qaralayotgan ishda ushbu ehtimollarni hisoblash formulalari keltirib
chiqariladi. Ushbu formulalar binomial va polinmial taqsimotlarning
umumlashmalari bo‘lib, ulardan ma’lum binomial va polinmial taqsimotlar
kelib chiqadi. Shuningdek, ushbu bitiruv ishida topilgan formulalarning
tegishli masalalarini yechishga tatbiqi ham qaraladi. Masalan, mos tushishlar
sonining tegishli masalalarni yechishga tatbiqi ham qaraladi. Masalan, mos
tushishlar sonining ko‘p o‘lchovli taqsimoti topiladi.
Bitiruv malakaviy ishda ko‘rilgan masalalar tahlilini keyinchalik yana
quyidagi yo‘nalishlarda davom ettirish mumkin.
37

1. Hodisalar ro‘y berishlar sonining sonli xarakteristikalarining
(matematik kutilma, despersiya) xusiusiyatlarini o‘rganish.
2. Topilgan taqsimot qonunlarining asimptotik ko‘rinishlarini topish
3. Asimptotik holatlarda yaqinlashish tezliklarini baholash.
4. Topilgan formulalar tatbiqiga doir masalalarni davom ettirish va
hokzao.
38

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. А.А. Боровков. Теория вероятносдтей, “Наука” – Москва, 1976, 352 ст.
2. Б.В. Г нденко . Курс теории вероятивстей, “Наука”- М осква, 1988, 447 ст.
3. В. Феллер. Введени е в теорию вероятностей и ее приложения, 1-том,
“Мир”-Москва, 1984, 527 ст
4.Н. Я. В и линкин. Комбинаторика. – М, “Наука”, 1969 328 ст.
5. Х. Курбонов. Задача о cложном кратном совподении, св.тr. СамДУ
“ Во просы математического анализа и его приложения”, С амарканд,
1983, 48-50 ст.
6. X. К.Курбонов. Одно об о бшение формулы cложения вероятности
св.тr. СамДУ “Вачислител ь ны е алгоритм ы прикланой матем а тики”,
Самарқанд, 1987, 52-55.
7. Т.Л. Соати. Элем е нты теории массового обслуживания и ее приложения,
-М,: Советекое радио, 1971, 510 ст
8. Л. Клейнрок, Теория массового обс л уживания,
М осква:”Машиностро е ния”,
1970, 432 ст.
9. Л. Така ч . Комбинаторн ые методы в теории cлучайных проессов,
-М. “Мир”, 1971, 264 ст
39

EHTIMOLLARNI QO‘SHISH FORMULASI VA UNING UMUMLASHMALARI MUNDARIJA 1.2-§. Kombinatorika elementlari. ............................................................................................................... 7 Biror qoida bo‘yicha chekli sondagi elementlardan tuzilgan to‘plamning mumkin bo‘lgan barcha turli xil kombinatsiyalarini hisoblashga doir masalalar kombinatorika masalalari deyiladi. Matematikaning bunday masalarini yechish bilan shug‘ullanadigan bo‘limi kombinatorika deyiladi. .................................... 7 Ko‘paytirish qoidasi. Agar ob’ekt ta usul bilan tanlansa va shunday tanlashdan so‘ng ob’ekt ta usul bilan tanlanishi mumkin bo‘lsa, u holda va tanlov ta usul bilan tanlanishi mumkin. ............................................ 7 Demak olti xil buterbrod tayyorlash mumkin. ............................................................................................. 8 O‘rinlashtirishlar. ta elementdan tuzilgan chekli to‘plam berilgan bo‘lsin. ta turli elementdan tadan o‘rinlashtirishlar deb, berilgan ta elementdan olingan ta elementni o‘z ichiga olgan barcha mumkin bo‘lgan shunday gruppalarga aytiladiki, ular bir-birlaridan yo elementlarining tarkibi, yo tartibi bilan farq qiladi. ta elementdan tadan tuzilgan o‘rinlashtirishlar soni orqali belgilanadi. ................................... 8 ta turli elementdan tadan takrorsiz o‘rinlashtirishlar soni .......................................................................... 8 (1.2.1) ......................................................................................................................................................... 8 ta turli elementdan tadan takrorlanadigan o‘rinlashtirishlar soni .............................................................. 8 (1.2.2) ......................................................................................................................................................... 8 formula bo‘yicha topiladi. ............................................................................................................................ 8 O‘rin almashtirishlar. ta turli elementdan tuzilgan o‘rin almashtirishlar deb, ta elementdan tuzilgan va bir-biridan faqat elementlarining tartibi bilan farq qiladigan mumkin bo‘lgan barcha gruppalarga aytiladi. ........................................................................................................................................................ 9 O‘rin almashtirishlar soni orqali belgilanadi. ............................................................................................... 9 ta turli elementdan takrorlamasdan o‘rin almashtirishlar soni ................................................................... 9 (1.2.4) ......................................................................................................................................................... 9 formula bo‘yicha aniqlanadi. ....................................................................................................................... 9 Demak 4 xil fanni dars jadvaliga 24 xil usulda joylashtirish mumkin. ........................................................... 9 II BOB. EHTIMOLLARNI QO‘SHISH FORMULALARINING ASOSIY VARIANTLARI .......................................... 21 2.1-§. Ehtimollarni qo‘shish formulasi ....................................................................................................... 21 III BOB. MOS TUSHISHLAR SONLARINING KO‘P O‘LCHOVLI TAQSIMOTI .................................................... 29 3.1-§. Ehtimollarni qo‘shish teoremasining umumlashmasi ...................................................................... 29 3.2-§. Mos tushishlar sonlarining ko‘p o‘lchovli taqsimoti haqida ............................................................. 32 XULOSA. ..................................................................................................................................................... 37 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR ................................................................................................................ 39 1

KIRISH. 1.Masalaning dolzarbligi. Ehtimollar nazariyasining qator masalalarini yechishda ko‘pincha qaralayotgan hosisani boshqasiga nisbatan sodda hodisalar ustida birlashma, kesishma, ayrim hodisalar ustida amallarini bajarish orqali hosil bo‘ladigan hodisa sifatida qarashga to‘gri keladi. Maslan, nishonga qarata n ta o‘q uzilsin A k ( k = 1 , n ) orqali k- inchi o‘qning nishonga tegish hodisasini, A orqali kamida bitta o‘qning nishonga tegishini belgilaylik. U holda hodisalar yig‘indisi tarifiga ko‘ra A=A1+A2+… +An bo‘ladi va P(A) ehtimolni topish uchun P( A 1 + … + A n ) ehtimolni hisoblashga to‘gri keladi. A1,… ,An hodisalardan bir nechtasi bir paytda ro‘y berishi mumkinligi e’tiborga olinsa, A ning ehtimolini faqat A 1 , … , A n larning ehtimolini orqali umumiy holda hisoblab bo‘lmaydi. Agar, masalan, A1,… ,An hodisalardan kamida m tasining yoki aniq m tasining ro‘y berish ehtimolini topish talab etilsa, masala yanada murakkablashadi. Ushbu holda A1,… ,An hodisaning ehtimolini topish talab etiladi. Masalan, yuqoridagi misolda kamida ikkita o‘qning nishonga tegishi (B hodisa) ehtimolini topish talab qilinsa, u holda B= A 1 A 2 + A 1 A 3 + … + A 1 A n + A 2 A 3 + … + A n − 1 A n 2

Yigindining ehtimolini hisoblashga to‘gri keladi. Demak, ko‘pchilik hollardaA1,… ,An hodisalar har xil kombinatsiyalar yig‘indisining ehtimollarini hisoblash formulalarini o‘rganishga to‘gri keladi. Masalaning nisbatan sodda variantlari [1], [2],[3],[4] ishlarda tahlil qilingan va qator tadbiqlari ham o‘rganilgan. Ushbu ishda masalaning nisbattan murakkab variantlarini, jumladan binomial va polinomial taqsimotlar umumlashmalarini topish masalalari qaraladi. 2. Masalaning qo‘yilishi. Har bir tajribada A1,… ,Ak hodisalardan bittasi ro‘y berishi mumkin bo‘lsa, n ta tajribada A 1 hodisaning m 1 marta, A 2 hodisaning m 2 marta va hokozo A k hodisaning mk marta ( m1+m2+… +mn =n) ro‘y berish ehtimolining formulasini keltirib chiqarish va ushbu formula tatbiqlarini o‘rganish. Ushbu masalaning xususiy hollari [5] va[6] ishlarda hamda [3] monografiyada keltirilgan. 3. Tadqiqot ob’ekti va predmeti. Tadqiqot ob’ekti ehtimollarini qo‘shish formulalari va tadqiqot predmeti A1,… ,An hodisalardan aniq m tasi, kamida m tasi, Ai hodisaning mi marta ro‘y berishehtimollari hisoblanadi. 4. Tadqiqotning maqsad va vazifalari. Tadqiqotning maqsadi ehtimollarni qo‘shish formulalarining nisbatan murakkab vazifalarini tahlil qilish va vazifasi esa shu maqsadda A 1 hodisaning m 1 marta va hokozo A k hodisaning m k marta ( m1+m2+… +mk ) ro‘y berish ehtimoli formulasini keltirib chiqarish va uni mos tushishlar sonining ko‘p o‘lchovli taqsimotini topsihga tatbiq etish hisoblanadi. 5. Ishning ilimy yangiligi: 1) n ta tajribada A1 hodisaning m1 marta va hokozo Ak hodisaning mk marta ro‘y berish ehtimolini hisolash formulasini keltirib chiqariladi. 2) Formulaning tatbiqi sifatida mos tushishlar sonining ko‘p o‘lchovli taqsimoti topildi. 3

6. Tadqiqot natijalarining ilmiy va amaliy ahamiyati. Olingan natijalar ma’lum ma’lum natijalarning ko‘p o‘lchovli hollar uchun umumlashmalari bo‘lib, masalaning yanada murakkab variantlarini o‘rganish uchun yo‘llanma bo‘lib xizmat qiladi. Shuningdek, yechilgan masalaning tatbiqlari amaliy ahamiyatga ega bo‘lib ushbu tatbiqlardan biri ishda keltirilgan. 7. Ishning tadqiqot metodlari. Ushbu ishda ehtimollar nazariyasining standart tadqiqot metodlari bilan bir qatorda matematik induksiya, kombinatorika analiz metodlaridan keng foydalanilgan. 8. Ishning tuzilishi . Ish kirish qismi va ikkita bobga birlashtirilgan 5 ta paragraf qismidan iborat. Adabiyotlar ro‘yxatiga 5 ta darslik, 2 ta monografiya va 2 ta ilmiy maqolalar, jami 9 ta adabiyot kiritilgan. Ish 43 betdan iborat. 9. Ishning qisqacha mazmuni . Kirish qismida masalaning dolzarbligi, nazariy va amaliy ahamiyati, tadqiqot metodlari ilmiy yangiliklari hamda ishning tuzilishi haqida so‘z yuritiladi. I - bobda ehtimollarni qo‘shish formulasi va uning ayrim umumlashmalari tahlil qilingan. II-bobda ehtimollarni qo‘shish formulasining ko‘p o‘lchovli holi topilgan va uning tatbiqi sifatida mos tushish hodisalari sonining ko‘p o‘lchovli taqsimoti topilgan. 4

I BOB. KOMBINATORIKA ELEMENTLARI VA ULARNING TATBIQLARI 1.1-§. Kombinatorika tarixi. Kombinatorika so‘zi lotincha “combinare” so‘zidan olingan bo‘lib, “birlashtirish” degan ma’noni bildiradi. Kombinatorika , kombinator analiz, kombinator matematika-matematikaning chekli to‘plamlar ustida bajariladigan amallarni o‘rganadigan bo‘limi. Kombinatorikaning kombinator geometriya deb ataladigan bo‘limida elementlari soni cheksiz ko‘p bo‘lgan ba’zi to‘plamlar (geometrik figuralar) ham o‘rganiladi. Masalan, tekislikda yotuvchi chegaralangan qavariq figuralar berilgan bo‘lib, ulardan har uchtasi umumiy nuqtaga ega bo‘lsa, shu figuralarning barchasiga tegishli nuqta ham mavjud bo‘ladi (J. Xelli teoremasi). Kombinatorikaga oid dastlabki ma’lumotlar qadimdan ma’lum. 17—18- asrlarda kombinatorikaning asosiy masalalari ko‘phadlar nazariyasi va ehtimollar nazariyasi talabi bilan o‘rganilgan. 20-asrda elektron-hisoblash mashinalari, kompyuterlar yaratilishi bilan kombinatorika kengayib, texnika va iqtisodiyotda tatbiq qilina boshlandi. Paskal uchburchagining Paskal nomi bilan atalishiga qaramasdan, bunday sonlar jadvali juda qadimdan dunyoning turli mintaqalarida, jumladan, sharq mamlakatlarida ham ma’lum bo‘lgan. Masalan, Erondagi Tus shahrida (hozirgi Mashhadda) yashab ijod qilgan Nosir at-Tusiy XIII asrda bu jadvaldan foydalanib, berilgan ikkita son yig‘indisining natural darajasini hisoblash usulini o‘zining ilmiy ishlarida keltirgan bo‘lsa, g‘arbda Al-Kashi nomi bilan mashhur Samarqandlik olim Ali Qushchi butun sonning istalgan natural ko‘rsatkichli 5

O'xshashlar

MOS TUSHISH MASALASI VA UNING UMUMLASHMALARI

KOMBINATORIKA MASALALARINING EHTIMOLLAR NAZARIYASI MASALALARINI YECHISHGA TADBIG‘I

Beys formulasi. Beys usulini ma’lumotlar tahlilida qo‘llanilishi

ORFOGRAFIYA VA UNING ASOSIY TAMOYILLARI

EVOLYUTSION ALGEBRA VA UNING TADBIQLARI