logo
  1. Bosh sahifa
  2. Diplom ishlar
  3. Umumiy
  4. MOS TUSHISH MASALASI VA UNING UMUMLASHMALARI

MOS TUSHISH MASALASI VA UNING UMUMLASHMALARI

Yuklangan vaqt:

12.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

207.7841796875 KB
Ko'chirib olish
MOS TUSHISH MASALASI VA UNING UMUMLASHMALARI MUNDARIJA KIRISH. .................................................................................................................... 1 I BOB. KARRALI, MURAKKAB VA TANLANMA MOS TUSHISHLAR . . . . 4 1.2-§. Mos tushishlar. Monmort masalasi ........................................................... 13 1.3-§. Hodisalar yig’indisining ehtimoli. .............................................................. 15 1.4-§. N ta hodisadan m tasining ro‘y berish ehtimoli ....................................... 18 II BOB. KARRALI, MURAKKAB VA TANLANMA MOS TUSHISHLAR . 21 2.1-§. Karrali mos tushishlar ................................................................................ 21 2.2-§. Murakkab mos tushishlar .......................................................................... 26 2.3-§. Karrali murakkab mos tushishlar ............................................................. 29 2.4-§. Karrali tanlanma mos tushishlar ............................................................... 31 Xulosa ..................................................................................................................... 35 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR .............................................................. 37 KIRISH. 1 1.Mavzuning dolzarbligi. Juda ko‘plab variantlarga va kutilmagan yechimlarga ega bo‘lgan mos tushishlar masalasi birinchi marta Shvetsariyalik matematik Monmort tomonidan 1703-yilda qo‘yilgan. Keyinchalik LaplasBernshteyn, Chebishev, Borovkov, Fellerlar tomonidan umumlashtirilgan va ayrim fizik, kimyoviy, biologik jarayonlarning matematik tahlillarida qo‘llanilgan. Kvant elektronikasi, atom va yadro fizikasi, mayda zarralar fizikasining paydo bo‘lishi va rivojlanishi bilan mos tushishlar masalasining tatbiqlar sohasi ham kengaydi. Masala Monmort tomonidan nisbatan sodda ko‘rinishda qo‘yilgan: har qaysisi N ta har xil kartadan iborat bo‘lgan ikkita bir xil kartalar dastasi berilgan. Har qaysi dastadagi kartalar ixtiyoriy tartibda aralashtirilib, keyin kartalarning joylashish tartibi solishtiriladi. Agar birorta karta ikkala dastada ham bir xil vaziyatni egallasa, shu o‘rinda mos tushish hodisasi ro‘y berdi deyiladi. Mos tushish hodisasi bir yoki bir necha o‘rinda roy berishi yoki birortta o‘rinda ham ro‘y bermasligi mumkin. Kamida bitta o‘rinda mos tushish hodisasining ro‘y berish ehtimolini topish talab qilinadi. Monmort ushbu masalani yechib, kutilmagan xulosaga keldi: hech bo‘lmaganda bitta mos tushish hodisasining ro‘y berish ehtimoli N ning yetarli katta qiymatlarida N ga deyarli bog’liq emas va taqriban 2 3 ga teng. V.Feller [3] ushbu masalani dastalar soni K(K≤2 ) bo‘lgan holga umumlashtirdi va uning ommaviy xizmat jarayonlariga tatbiqlarini qaratdi. I.Kleynrok [8] mos tushishlar soninining ko‘p o‘lchovli taqsimotini tahlil qilib, uning elementar zarrachalar fizikasiga ayrim tatbiqlarni ko‘rsatib beradi. V.Bozorov va H.Qurbonovlar [6] karrali murakkab mos tushishlar soni va uning asimptotik taqsimotlarini o‘rganishdi. Ushbu ishda e’tibor asosan karrali murakkab mos tushishlarning ayrim umumlashmalari, asimptotik taqsimotlar va tanlanma mos tushish hodisalarini o‘rganishga qaratiladi. 2 2. Masalaning qo‘yilishi. Karrali, murakkab va tanlanma mos tushishlar sonning ko‘p o‘lchovli taqsimotlarini o‘rganish, ularning asimptotik holatlarini tahlil qilish va olingan natijalarni ommaviy xizmat ko‘rsatish ayrim masalalarning yechishga tatbiq etish. 3. Tadqiqot obyekti va predmeti . Tadqiqot obyekti karrali, murakkab va tanlanmaga mos tushishlar haqidagi masalalar va tadqiqot predmeti mos tushishlar sonining taqsimoti va uning sonli xarakteristikalari hisoblanadi. 4. Tadqiqotning maqsadi va vazifalari. Monmort tomonidan qo‘yilgan masalaning nisbatan murakkab variantlarini tahlil qilishni maqsad qilib qo‘yildi. Shu maqsadda n karrali murakkab mos tushishlar sonlarining taqsimotlarini topish va sonli xarakteristikalarini (boshlang’ich momentlar dispersiya) hisoblash asosiy vazifalar qilib belgilandi. 5. Ilmiy kengligi. 1) Ko‘p karrali murakkab mos tushishlar sonining taqsimoti topildi. 2) Ko‘p karrali tanlanma mos tushishlar sonining taqsimoti tahlil qilindi va uning aniq ko‘rinishi tahlil topildi. 6. Tadqiqot natijalarining ilmiy ahamiyati. Ishda olingan natijalar ma’lum natijalarning ko‘p o‘lchovli hol uchun umumlashmalari bo‘lib, taqsimotlarning asimptotik holatlari birinchi marta tahlil qilinmoqda. Ushbu natijalar keyinchalik mos tushishlar haqidagi masalaning nisbatan murakkab variantlarini o‘rganish uchun mo‘ljal bo‘lib xizmat qiladi. 7. Ishning amaliy ahamiyati. Ushbu ishda qaralgan masala(kartalar dastasida kartalarning joylashish tartibini solishtirish) sxematik xarakterga ega bo‘lib, ko‘plab real masalalarni (ommaviy xizmat ko‘rsatish mayda zarrachalar fizikasi, sof ko‘payish jaryonlari va boshqalar) shu sxemaga keltirish yoki yaqinlashtirish mumkin. 3 8. Ilmiy tadqiqot metodlar. Ushbu ishda ehtimollar nazariyasining umumiy tadqiqot metodlari bilan bir qatorda matematik induksiya, elementar hodisa kiritish va ajratib olish hamda kambinatorik analiz metodlaridan keng foydalanilgan. 9. Ishning tuzulishi. Ish kirish qismi va ikkita bobga birlashtirilgan 7 ta paragraf, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar qisimlaridan iborat. Bibliografiyada 5 ta darslik, 2 ta monografiya, 2 ta ilmiy maqolalar, jami 5 ta adabiyot ro‘yxati keltirilgan. 10. Ishning qisqacha mazmuni. I-bobda 3 ta paragrafdan iborat bo‘lib, kombinatorikaga oid va ishda bevosita qo‘llanilgan ma’lumotlar, hodisalar yig’indisi ehtimoli, uning natijalari, tatbiqlari va umumlashmalari berilgan. II- bobda karrali murakkab, va murakkab karrali mos tushishlar haqidagi masala bo‘yicha olingan natijalar mos tushishlar sonining sonli harakteristikalarini hisoblash, murakkab karrali mos tushishlar soni taqsimot qonuni qaralgan. Xulosa qismida dessartatsiya ishida qaralgan masalalarning ahamiyati, tatbiq sohalari, olingan asosiy natijalar va qo‘llanilgan tadqiqot metodlari, shuningdek, ishni davom ettirish yo‘nalishlari haqida malumotlar berilgan. I BOB. KARRALI, MURAKKAB VA TANLANMA MOS TUSHISHLAR 1.1-§. Ehtimolning klassik va statistik ta’riflari. 1.1.1-ta’rif. A - hodisalar algebrasi, P= P(A);A∈A esa A da aniqlangan va [0;1] to‘plamdan qiymatlar qabul qiladigan to‘plam funksiyasi bo‘lsin. Agar A dan olingan va birgalikda bo’lmagan ixtiyoriy A va В hodisalar uchun P(A+B)= P(A)+P(B) 4 tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda A da chekli additiv o‘lchov kiritilgan deyiladi. P ( Ω ) = 1 shartni qanoatlantiruvchi chekli additiv o‘lchovga esa A da aniqlangan chekli additiv ehtimollik o‘lchovi deyiladi. Bu ta’rif hodisa ehtimolining umumiy ta’rifidir. Faraz qilaylik, elementar hodisalar fazosi cheklita elementar hodisalardan tashkil topgan bo‘lib, ular teng imkoniyatli bo‘lsin. 1.1.2 -ta’rif. A hodisaning ro‘y berishiga qulaylik tug‘diruvchi elementar hodisalar sonining ro‘y berishi mumkin bo‘lgan barcha elementar hodisalar son i ga nisbati A hodisaning ehtimoli deyiladi va P (A )= m n ko‘rinishda belgilanadi. B u y erda m− A hodisaning ro‘y berishiga qulaylik tug’dir uvchi elementar hodisalar soni, n− mumkin bo‘lgan barch a elementar hodisalar soni. 3.2-ta’rif hodisaning klassik ta’rifidir. 1.2. 1 Ehtimolning geometrik ta’rifi. Bizga Rn fazoda biror G soha berilgan bo‘lib, bu soha g sohani o‘z ichiga olsin. G sohaga tashlangan n uqtaning g sohaga ham tushish ehtimolini topish talab qilinadi. Tashlangan nuqta G sohaga albatta tushsin va uning biror g qismiga tushish ehtimoli shu qismning o‘lchoviga (uzunligiga, yuziga, hajmiga) proporsional bo‘lib, g ning formasiga va g ni G ning qay yerida joylashganligiga bog‘liq bo‘lmasin. G sohaga tashlangan nuqtaning g sohaga tushish hodisasini A orqali belgilaylik. Bu shartlarda A hodisaning ehtimoli P(A)= mess (g) mess (G) (1.2.1) formulalar yordamida aniqlanadi, bu yerda mess (g) orqali g sohaning o‘lchovi belgilangan. 1.2.2-ta’rif. A hodisa ustida n ta bog‘liqsiz tajriba o‘tkazilgan bo‘lsin. A hodisaning nisbiy chastotasi deb, hodisa ro‘y berishlar sonining o‘tkazilgan barcha tajribalar soniga nisbatiga aytiladi, ya’ni 5 W (A)= μ n. Bu yerda n o‘tkazilgan barcha tajribalar soni, o‘tkazilgan n ta tajribaning μ tasida A hodisa ro‘y bergan. A hodisaning nisbiy chastotasi uning ehtimolligining taqribiy qiymati sifatida qabul qilinadi, boshqacha aytganda A hodisasining nisbiy chastotasi uning ehtimoli sifatida qabul qilinadi. Bu hodisa ehtimolining statistik ta’rifidir. Ehtimolning klassik tarifida n quyidagi xossalar kelib chiqadi. 1. Muqarrar hodisaning ehtimoli 1 ga teng . Haqiqatan, agar hodisa muqarrar bo‘lsa, u holda sinashning har bir natijasi bu hodisaning ro‘y berishiga qulaylik tug‘diradi. Bu holda , va demak, . 2. Mumkin bo‘lmagan hodisaning ehtimoli 0 ga teng . Agar hodisa ro‘y bermaydigan bo‘lsa, u holda sinashlarning hech bir natijasi bu hodisaning ro‘y berishiga qulaylik tug‘dirmaydi. Bu holda , va demak, P(A)= m n= 0 n=0 . 3. Tasodifiy hodisaning ehtimoli nol va bir orasida bo‘ladi. Tasodifiy hodisaning ro‘y berishiga barcha elementar hodisalarning bir qismigina qulaylik tug‘diradi. Bu yerdan ni olamiz. Demak, bu esa ni keltirib chiqaradi. Shunday qilib, istalgan hodisaning ehtimoli nol va bir orasida bo‘ladi. 1.1.1-misol. Qutida 7 ta oq, 3 ta qora shar bor. Undan tavakkaliga olingan sharning oq bo‘lish hodisasi ehtimolini toping. 6 Yechish. A olingan shar oq chiqish hodisasi bo‘lsin. Bu holda elementar hodisalar fazosi 10 ta teng imkoniyatli elementar hodisalardan iborat bo‘lib, ularning 7 tasi A hodisaning ro’y berishiga qulaylik tug‘diradi. Demak, P(A)= 7 10 = 0,7 . 1.1.2-misol. Telefonda nomer terayotgan abonent oxirgi ikki raqamni esdan chiqarib qo‘yadi va faqat bu raqamlar har xil ekanligini eslab qolgan holda ularni tavakkaliga teradi. Abonentning kerakli raqamlarni terilganligi ehtimolini toping. Yechish. –kerakli ikkita raqam terilganlik hodisasi bo‘lsin . Elementar hodisalar soni o‘nta raqamdan ikkitadan nechta o‘rinlashtirishlar tuzish mumkin bo‘lsa, shuncha, ya’ni A102=10 ⋅9= 90 ta turli raqamlarni terish mumkin. Demak, P(B)= 1 A102= 1 90 . 1.1. 3-misol. Qurilma 5 ta elementdan iborat bo‘lib, ularning 2 tasi eskirgan. Qurilma ishga tushirilganda tasodifiy ravishda 2 ta element ulanadi. Ishga tushirishda eskirmagan elementlar ulangan bo‘lish ehtimolini toping. Yechish. bilan qurilma ishga tushirilganda eskirmagan elementlar ulangan bo‘lish hodisasini belgilaylik. Mumkin bo‘lgan barcha elementar hodisalar soni ga teng. Bularning ichidan C32 tasi eskirmagan elementlar ulangan bo‘lish hodisasi uchun qulaylik tug‘diradi. Shuning uchun . 1.1. 4-misol. Texnik nazorat bo‘limi tasodifan ajratib olingan 100 ta kitobdan iborat partiyada 5 ta nuqsonli kitob topdi. Nuqsonli kitoblar chiqish hodisasining nisbiy chastotasini toping. Yechish. bilan olingan kitob nuqsonli chiqish hodisasini belgilaylik. 100 kitob tekshirildi. Bundan o‘tkazilgan tajribalar soni ekanligini olamiz . Tekshirish natijasida 5 ta kitob nuqsonli chiqdi, ya’ni 5 ( ) marta hodisa 7 ro‘y berdi. Demak, nuqsonli kitob chiqish hodisasining nisbiy chastotasi 1.1. 5-misol. Nishonga 20 marta o‘q uzilgan shundan 18 ta o‘q nishonga tekkani qayd qilingan. Nishonga tegishlar nisbiy chastotasini toping. Yechish. Demak, jami o‘tkazilgan tajribalar soni , nishonga tegishlar soni 18 (ya’ni shundan 18 tasida hodisa ro‘y berdi) . Shunday qilib, . 1.1.6-misol. Yashikda 4 ta oq, 10 ta qora va 6 ta ko‘k shar bor. Yashikdan tasodifan bitta shar olinadi. Shu sharning oq rangda bo‘lish ehtimolini toping. Yechish. Bu yerda tajriba yashikdan ixtiyoriy shar olinishidan iborat. Barcha bunday tajribalar soni yashikdagi sharlar soniga teng, ya’ni n=20 . Oq shar chiqishi hodisasini A bilan belgilasak, unga qulaylik tug‘diruvchi elementar hodisalar soni yashikdagi oq sharlar soniga tengligi ravshan, ya’ni m= 4 . Demak, ehtimolning klassik ta’rifiga asosan P(A)= k n= 4 20 = 1 5. 1.1 .7-misol. O‘yin kubi tashlanganda juft raqam yozilgan tomoni bilan tushish hodisasi ehtimoli topilsin. Yechish. O‘yin kubining 6 ta tomoni bo‘lib, har bir tomoniga 1, 2, 3, 4, 5, 6 raqamlardan biri yozilgan. Demak, barcha ro‘y berishi mumkin bo‘lgan elementar hodisalar soni n= 6 . Juft raqam yozilgan tomoni tushishiga qulaylik tug‘diruvchi elementar hodisalar esa 2, 4, 6 ya’ni ularning soni k= 3 . Agar o‘yin kubi tashlanganda juft tomoni tushish hodisasini A bilan belgilasak, u holda uning ehtimoli klassik ta’rifga asosan quyidagicha bo‘ladi: P(A)= k n = 3 6 = 1 2 . 8 1.1.8-misol. Ikkita o‘yin kubi tashlangan. Kublarning tushgan tomonlaridagi ochkolar yig‘indisi juft son, shu bilan birga kublardan hech bo‘lmaganda bitta tomonida olti ochko chiqish ehtimolini toping. Yechish. «Birinchi» o‘yin kubida tushgan tomonida bir ochko, ikki ochko va hokazo olti ochko tushishi mumkin. «Ikkinchi» kubni tashlaganda ham shunday oltita elementar hodisadan biri bo‘lishi mumkin. «Birinchi» kubni tashlashdagi hodisalarning har biri «ikkinchi» kubni tashlash natijasidagi har bir hodisa bilan birga ro‘y berishi mumkin. Shunday qilib, barcha mumkin bo‘lgan elementar hodisalar soni 6⋅6= 36 ga teng. Bizni qiziqtirayotgan hodisaga (hech bo‘lmaganda bitta tomonida olti ochko chiqadi, tushgan ochkolar yig‘indisi juft son) qulaylik tug‘diruvchi elementar hodisalar quyidagi beshtadan biri bo‘ladi: 1) 6, 2; 6+2= 8, 4) 2, 6; 2+6= 8, 2)6, 4; 6+4= 10 , 5) 4, 6; 4+6= 10 . 3)6, 6; 6+6= 12 , Demak, n= 36 ,k= 5 , izlanayotgan hodisaning ehtimoli: P= k n = 5 36 . 1.1 .9- misol . Uchta o ‘ yin kubini tashlashda ikkita kubning ( qaysilari bo ‘ lishining ahamiyati yo ‘ q ) yoqlarida oltidan farqli turli ( oltiga teng bo ‘ lmagan ) ochkolar chiqish , qolgan bitta kubda olti ochko chiqish ehtimolini toping . Yechish. Jami elementar hodisalar ko‘rinishda bo‘lib, lar 1dan 6 gacha bo‘lgan natural qiymatlarni qabul qiladi, demak, ular soni ga teng. Bitta yoqda olti ochko va qolgan ikkita kubning yoqlarida turli (oltiga teng bo‘lmagan) ochkolar chiqishiga qulaylik tug‘diruvchi hodisalar ko‘rinishda bo‘lib, lar 1 dan 5 gacha bo‘lgan har xil natural qiymatlarni qabul qiladi, demak, ular soni ga teng. Xuddi shunday birida 6 ochko 9 qolgan ikkita kubning yoqlarida turli oltiga teng bo‘lmagan ochkolar chiqishiga qulaylik tug‘diruvchi hodisalar soni bo‘ladi. Izlanayotgan ehtimol bizni qiziqtirayotgan hodisalar soni ni mumkin bo‘lgan barcha elementar hodisalar soni 63 ga nisbatiga teng: 1.1.10-misol . N ta detaldan iborat partiyada n ta yaroqli detal bor. Tavakkaliga m ta detal olingan. Olingan detallar orasida rosa k ta yaroqli detal bo‘lish ehtimolini toping. Yechish. Jami elementar hodisalar soni N ta detaldan m tadan detalni ajratib olish usullari soniga, ya’ni N ta elementdan m tadan tuzilgan gruppalashlar soni СN m ga teng. Bizni qiziqtirayotgan hodisaga ( m ta detal orasida rosa k ta yaroqli detal bor) qulaylik tug‘diruvchi hodisalar sonini hisoblaymiz: n ta yaroqli detal orasidan k ta yaroqli detalni Сn к ta usul bilan tanlab olish mumkin; bunda qolgan m− k ta detal yaroqsiz bo‘lishi lozim: m− k ta yaroqsiz detalni esa N − n ta yaroqsiz detal orasidan CN−n m−k usul bilan olish mumkin. Demak, qulaylik tug‘diruvchi hodisalar soni Сn kCN−n m−k ga teng. Izlanayotgan ehtimol, hodisaga qulaylik tug‘diruvchi hodisalar sonining barcha elementar hodisalar soniga nisbatiga teng: P= C n k⋅C N−n m−k C N m . 1.1.11-misol. Uzunligi 30 sm bo‘lgan L kesmaga uzunligi 20 sm bo’lgan l kesma joylashtirilgan. L kesmaga tavakkaliga tashlangan nuqtaning l kesmaga tushish ehtimolini toping. 10 Yechish . Bu ehtimolni hodisa ehtimolining geometrik ta’rifidan foydalanib hisoblaymiz. L kesmaning uzunligi 30 sm, l kesmaning uzunligi 20 sm. (3.1) formulaga ko‘ra izlanayotgan ehtimol quyidagicha topiladi: P= lning uzunligi L ning uzunligi =20 30 = 2 3. 1.1 .12-misol. Radiusi r ga teng doiraga kvadrat ichki chizilgan. Doiraga tavakkaliga tashlangan nuqtani kvadratga tushish ehtimolini toping. Yechish . Doiraning yuzi Sdoira =π r2 , kvadratning yuzi (3.1-chizma). (3.2) formulaga asosan doiraga tavakkaliga tashlangan nuqtaning kvadrat ichiga tushish ehtimoli P= Sdoira Skv = 2r2 π r2= 2 π. 3.1-chizma 1. 1 .13-misol. Tomoni 2R ga teng kvadratga doira ichki chizilgan. Kvadratga tavakkaliga tashlangan nuqtani doiraga tushish ehtimolini toping. Yechish . Doiraning yuzi Sdoira =πR 2 , kvadratning yuzi (3.2-chizma). ( 3. 2) formulaga asosan doiraga tavakkaliga tashlangan nuqtaning kvadrat ichiga tushish ehtimoli 3. 2 -chizma P= Sdoira Skv = πR 2 4R2= π 4 . 1.1.14 -misol. T vaqt oralig‘ining ixtiyoriy momentida priyomnikka ikkita signal kelishi teng imkoniyatli. Agar signallar orasidagi vaqt τ dan 11 kichik (τ<T ) bo‘lsa, priyomnik band deb hisoblanadi. Priyomnikning band bo‘lish ehtimoli qancha? Yechish. To‘g‘ri burchakli xOy dekart koordinatalar sistemasini qaraymiz. x va y− mos ravishda birinchi va ikkinchi signallarning priyomnikka keladigan momentlari bo‘lsin. Unda signallar kelishining barcha mumkin bo‘lgan kombinatsiyalari 0≤ x≤T ,0≤ y≤T kvadrat nuqtalari 3.3-chizma. bilan tasvirlanadi. T vaqt oralig‘i ichida signallar kelishi teng imkonli bo‘lgani uchun (x;y) nuqtalarning qaralayotgan kvadrat sohadagi vaziyatlari ham teng imkoniyatli. Kvadradning qaysi nuqtalari bizni qiziqtirayotgan A (priyomnik band) hodisaga qulaylik tug‘dirishini aniqlaymiz. A hodisa signallar orasidagi vaqt bo‘yicha farq τ dan kichik, ya’ni |x− y|<τ (3.2) bo‘lsagina ro‘y beradi. Shunday qilib, kvadratning A hodisaga qaraylik tug‘diradigan sohasi (3.3- chizmada u shrtixlangan) (x,y) koordinatalari (3.2) tengsizlikni qanoatlantiradigan nuqtalardan iborat ekan. Kvadratning yuzi S=T2; shtrixlangan sohaning yuzi S0= T2− 2⋅1 2(T− τ)2= T2− (T− τ)2 . Bundan quyidagini olamiz: P(A)= S0 S = T2− (T− τ)2 T2 = 1− (1− τ T ) 2 . 12 1.2-§. Mos tushishlar. Monmort masalasi N ta qartalardan ikkita qartalar dastasining har biri yaxshilab aralashtiriladi va ikkala dastadagi qartalarning joylashish tartibi solishtiriladi. Biror o‘rinda bir xil qarta joylashgan bo‘lsa, shu joyda mos tushish hodisasi ro‘y beradi deyiladi. Kamida bitta mos tushish hodisasining ro‘y berish ehtimolini topish talab qilinsin. Yechish. i – inchida (1 ≤ i ≤ N) o‘rinda mos tushish hodisalarining ro‘y berishini Ai orqali ifodalaylik. U holda (1.1.5) formulaga ko‘ra P(A1+… +AN)=∑i P(A¿¿i)−∑i P(AiAj)+… +(−1)P(A1,A2,… ,AN)(1.2 .1)¿ Masalaning qo‘yilishiga ko‘ra hamma A1,… ,AN hodisalar teng imkoniyatli shu sababli P( A 1 ¿ = … = P ( A N ) , P ( A 1 A 2 ) = … = P ( A N − 1 A N ) , … . Demak, (1.1.10) formuladagi yig’indilarda bittta qo‘shuluvchini, aytaylik, P( A1 ), P( A1A2 ), ... larni olib, qo‘shuluvchilar soniga ko‘paytirish yetarli. (1.1.10) ga asosan hosil qilamiz: P1= P(A1+… +AN)= NP (A1)−CN2P(A1A2)+… ¿ P( A 1 ) ni hisoblaylik. Ehtimolning klassik ta’rifiga ko‘ra P ( A ¿ ¿ 1 ) = m ( A 1 ) n . ¿ Birinchi dastadagi qartalar biror tarkibida joylashgan bo‘lsin. Unda ikkinchi dastadagi qartalarni birinchi dastaga solishtirish uchun n=N! Usulda tartiblash mumkin. Endi A 1 hodisa ro‘y beradigan hollarni hisoblaymiz. Birinchi o‘rinda mos tushish hodisasi ro‘y bergan bo‘lsin. U holda ikkinchi dastadan N – 1 ta qartani (N – 1)! usulda tartiblash mumkinligini e’tiborga olsak, m( A 1 )=(N-1)! bo‘ladi. Demak, P( A1¿= (N −1)! N = 1 N . 13 Endi, faraz qilaylik , A1∙A2 hodisa ro‘y bergan bo‘lsin. U holda ikkinchi dastadagi N – 2 ta qartani (N – 2) usulda tartiblash mumkin va P( A 1 A 2 ¿ = m ( A 1 A 2 ) n = ( N − 2 ) ! N = 1 N ( N − 1 ) = 1 P N2 . bo‘ladi huddi shuningdek, P( A 1 A 2 A 3 ¿ = m ( A 1 A 2 A 3 ) n = ( N − 3 ) ! N = 1 N ( N − 1 ) ( N − 2 ) = 1 P N3 . va h.k ehtimolliklarni hisoblaymiz. Bularga asosan (1.1.11) dan P1= N 1 N −CN2 1 PN2+CN3 1 PN3− … ¿ (1.2.3) tenglikka ega bo‘lamiz. Agar C Nm = P N2 m ! tenglikni e’tiborga olsak, P 1 = 1 − 1 2 ! − … + ¿ munosabatni hosil qilamiz. Bundan ko‘rinadiki, 1 – P1 ehtimol e − 1 = 1 − 1 + 1 2 ! − 1 3 ! + … Yoyilmaning birinchi N+1 ta hadi yig’indisiga teng. Demak, lim N → ∞ ( 1 − P 1 = e − 1 ) Shunday qilib quyidagi munosabat o‘rinli bo‘ladi: P1≈1−e−1=0.63212 … Bundan quyidagi xulosani chiqarish mumkin: N yetarlicha katta qiymatlarida kamida bitta mos tushish hodisasining ro‘y berish ehtimoli amaliy jihatdan N ga bog’liq emas va 1− e−1 ga teng 14 1.3-§. Hodisalar yig’indisining ehtimoli. Quyidag hodisalar sistemasini qaraymiz. ¿ (1.3.1) Faraz qilaylik, biror tajrbada ushbu hodsalardan ko‘pi bilan N tasi ro‘y berishi mumkin bo‘lsin, agar ξ i ( i = 1 , k − 1 ) ro‘y bergan ( 1(i) ) tpdagi hodisalar soni bo‘lsa, ushbu shartlar bajarilsin: { 0≤ξi≤N ,i=1,k−1 0≤ξ1+ξ2+… +ξk−1≤N Teorema. Tajrbada m 1 ta ( 1' ) tipdagi m 2 ta ( 1'' ) tipdag va h.k m k − 1 ta ( 1 ( k − 1 ) ) tipdagi hodisalarning ro‘y berish ehtimoliquyidagi formula bilan aniqlanadi: Pn(m1,… ,mk−1)=∑r=0 mk ¿¿ ∙∏j−1 k−r Cmj+ij mj Cmk−1+r−i1−…−ik−2 mk−1 (1.3.2) bu yerda mk= N −m1−… −mk−1, Sr(m1,… ,mk−1,i1,… ,ik−2)=¿ = ∑ j(−1),j(k−1),PAj1(1)∙…∙Ajm1+i(1)∙…∙Aj1(k−1)(k−1)∙…∙Ajm(k−1)(k−1)(k−1)+r−i1−…−ik−2 (1.1) munosabatda k=2 da [1] ishning 4-bo‘limida isbotlangan (1.2.1) formula, k=3 da esa [3] ishda isbotlangan formula kelib chiqadi. Agar (2.1.1) hodisalar o‘zaro bog’liq bo‘lmasa va A r( i ) ∙ A r ( j) = ∅ , i ≠ j , i , j = 1 , k − 1 hamda P ( A ¿ ¿ 1 ( i ) ) = P ( A 2 ( i)) = … = P ( A N ( i)) = P i , 1 , k − 1 ¿ shartlar bajarlsa (1.3.2) formuladan quydagi taqsimot kelib chiqadi: 15 P N( m 1 , m 2 , … , m k − 1 ) = N ! m 1 ! m 2 ! … m k ! P 1m 1 P 2m 2 … P km k bu yerda P k = 1 − P 1 − … − P k − 1 . Teoremaning isboti. Teoremani qo‘shib va chiqarib tashlash metodi yordamida isbot qilamiz. Ω =( ω ¿ elementlar hodisalar fazosi va G=( ξ1= m1,ξ2= m2 ,..., ξk−1=mk−1 ) bo‘lsn. U holda ehtimolning xossasiga ko‘ra P N ( m 1 , m 2 , … , m k − 1 ) = P ( G ) = ∑ ω ∋ G P ( ω ) . bo‘ladi. Ushbu tenglikdan ko‘rinadiki, agar (2.1.1) formulaning o‘ng tomni G-ga tegishli elementar hodisalar ehtimollari bo‘yicha yoyilsa, bu ehtimollarning koefsientlari birga teng bo‘lishi kerak. Demak, teoremani isbotlash uchun ixtyoriy ω ∋ G elementar hodisaning ehtimoli (2.1.2) tenglikning o‘ng tomoniga birga teng koefitsient bilan kirishni ko‘rsatish yetarli. Faraz qilaylik, ω 0 ∋ G elementar hodisa (3.1.1) tenglamadagi ∙tasining tarkibiga kirsin. a(n,m) orqali P( ω0 ) ehtimolning koefsientini belgilaylik, bu yerda. n = n1+n2+… +nk−1, m= m1+m2+… +mk−1. (1.1.2) tenglikdan quyidagiga ega bo‘lamiz: a ( n , m ) = ∑ r = 0n − m ¿ ¿ ∙ C m i − 1 + r − i 1 − … − i k − 2m k − 1 ∙ C n k − 1m i − 1 + r − i 1 − … − i k − 2 . ( 1.3 .3 ) 16 Agar Cnm= n! m!(n−m)! ekanligi e’tiborga olinsa, quyidagi tenglik to‘g’rilgiga ishonch hosil qilish mumkin: C m j + n jm j ∙ C n jm j + n j = C n jm j ∙ С n j − m ji j . Bunga ko‘ra (2.1.2) dan ushbu tenglikka ega bo‘lamiz: a ( n , m ) = ∏ j = 1k − 1 C n jm j ∙ C n j − m ji j ∑ r = 0n − m ¿ ¿ Ma’lumki, (∏j=1 k−2 Cnj ij∙Cnk−1−mk−1 r−ij−…−ik−2 )∙¿ gipergeometrik taqsimotning umumlashmasidir. Demak, (2.1.2) nig i1,i2,… ,ik−1 o‘zgaruvchilarning mumkin bo‘lgan qiymatlari bo‘yicha yig’indisi birga teng, ya’ni ∑i1=0 r … ∑ik−2=0 r−i1−…−ik−3 ∏j=1 k−2 Cnj+mj ij ∙Cnk−1−mk−1 r−i1−…−ik−2=Cn−mr . Bu tenglikka ko‘ra a(n,m)=∏j=1 k−2 Cnj mj∙Cnk−1 mk−1∑r=0 n−m ¿¿ Agar C n0 = 1 (n ≥0 ) deb qabul qilinishi e’tiborga olinsa, yuqoridagi tenglikdan ko‘rinadiki, n 1 = m 1 , … , n k − 1 = m k − 1 da n=m va a(n,m)=∏j=1 k−2 Cnj mj∙Cnk−1 mk−1∑r=0 n−m ¿¿ boshqa hollarda, ya’ni n<m da 17 ∑r=0 n−m ¿¿va a(n,m)=0. Teorema isbot bo‘ldi. 1.4-§. N ta hodisadan m tasining ro‘y berish ehtimoli 1-teorema. A 1 , A 2 ... A3 hodisalardan rosa m tasining (1 ≤ m ≤ N ) ro‘y berish ehtimoli P[m] ushbu formula bilan aniqlanadi: P [ m ] = ∑ r = 0N − m ¿ ¿ Izoh. Oldingi paragrafdagi natijaga ko‘ra birorta ham hodisaning ro‘y berish ehtimoli quydagiga teng P [ 0 ] = 1 - S1+¿ S2−S3+… ±SN . Demak, agar biz S0=1 deb qabul qilsak, (1.2.1) formula m = 0 uchun ham o‘rinli bo‘ladi. 18 Teoremaning isboti. Faraz qilaylik P[0]= P(B) bo‘lsin va biror ω ∋B elementar hodisa A1,A2,… AN hodisalardan n tasining tarkibiga kirsin. U holda ω ∋B hodisa (1.2.1) tenglikning o‘ng tomoniga faqat n = m bo‘lgandagina kiradi. Shuni qayd etib o‘tamizki, agar ω A 1 , A 2 , … A N hodisalardan N tasining tarkibiga kirsa, u holda P( ω ) ehtimol (1.2.1) tenglikdagi Sm,Sm+1,… Sn yig’indilar tarkibiga kiradi va S n + 1 , … S N yigindilar tarkibiga kirmaydi. Demak, n < m da P( ω ) ehtimol (1.2.1) tenglikning o‘ng tomonida qatnashmaydi, ya’ni agar tenglikning o‘ng tomonini elementar hodisalar ehtimoli bo‘yicha yoysak, P( ω ) lar o‘zaro qisqarib ketadi. Haqiqatdan ham P( ω ) ehtimoli n > m da Sk (m ¿k≤n ) yigindiga C nk koefitsiyent bilan kiradi. Shunday qilib P( ω ) ehtimol (1.2.1) tenglikning o‘ng tomoniga C nk − C m + 1m C nm + 1 + C m + 2m C nm + 2 − … ± C n − mm C nn − m . (1.4.2) koefitsiyent bilan kiradi. C m + km ∙ C nm + k = ( m + k ) ! m ! k ! ∙ n ! ( m + k ) !( n − k − m ) ! = n ! m ! ( n − m ) ! ∙ ( n − m ) ! k ! ( n − m − k ) ! = C nm C n − mk . tenglikka ko‘ra (1.2.2) ifoda ushbu ko‘rinishga keladi: C nm ( C n − m0 − C n − m1 + C n − m2 − … ± C n − mn − m ) (1.4.3) Bu yerda qavs ichidagi ifoda ¿ ning binomal yoyilmasi ekanligi e’tiborga olinsa, (1.2.3) ifoda nolga tengligi kelib chiqadi. Misol. Misol sifatida mos tushishlar haqidagi masalalarni qaraymiz. Oldingi paragrfda biz S = 1 k ! Tenglikni topgan edik. Ushbu ifodani (1.2.1) formulaga qo‘yib, rosa m ta mos tushish hodisalari ro‘y berish ehtimolini hisoblaymiz . m=0, m=1, ... , m = N da quyidagi tengliklarga ega bo‘lamiz: P[0]=1−1+ 1 2!− 1 3!+… ± 1 (N −1)!± 1 N ! , P[1]=1− 1+ 1 2!− 1 3!+… ± 1 (N− 2)!± 1 (N−1)! , 19 P [ 2 ] = 1 2 ! ¿ ), P [ 3 ] = 1 3 ! ¿ ), − − − − − − − − − − − − − … ,P[N−2]= 1 (N −2)!¿ ), P[N−1]= 1 (N−1)!¿ P [ N − 2 ] = 1 ( N ) ! , Bu yerda P[N−2]=0 tenglk shuni ko‘rsatadiki, rosa N – 1 ta mos tushish hodisasi ro‘y berishi mumkin emas. Haqiqatdan ham, agar N – 1 ta mos tushish hodisasi ro‘y bergan bo‘lsa, N – orinda ham o‘z-o‘zidan mos tushish ro‘y beradi. (1.2.4) tengliklardan ko‘rinadiki, P m ehtimollikdagi qavs ichidagi ifoda e−1 ning qatorga yoyilmasidagi birinchi N – m ta hadining yig’indisini beradi. Shu sababli ushbu munosabat bajariladi: lim N → ∞ P [ m ] = 1 m ! e − 1 , ya’ni cheksiz sondagi qartalardan iborat ikkita qartalar dastasi dastasi solishtirilsa, mos tushishlar soni parametri biriga teng bo‘lgan Puasson taqsimottiga ega bo‘ladi. 2-teorema. A 1 , A 2 , … , A N hodisalardan kamida m tasining ro‘y berish ehtimoli ushbu formula bilan hisoblanadi: Pm=Sm−Cmm−1Sm+1+Cm+1 m−1Sm+2−… ±CN−1 m−1SN. (1.4.5) Teoremani isbotlash uchun (1.2.1) tenglkdan foydalanladi Ehtimolnng xossasiga ko‘ra P m = P [ m ] + P [ m + 1 ] + … + P N . (1.4.6) 20 Bu tenglikka P[k] larning (m ≤k≤N ) qiymatlarin qo‘yib, qator soddalashtirishlardan keyin (1.2.6) tenglikni hosil qilish mumkin. II BOB. KARRALI, MURAKKAB VA TANLANMA MOS TUSHISHLAR 2.1-§. Karrali mos tushishlar N ta raqamlangan va har bir raqamlangan N ta soqqalardan iborat k ta bir xil soqqalar To‘plami berilgan bo‘lsin. Avval birinchi to‘plam, keyin ikkinchi to‘plam berilgan bo‘lsin. Avval birinchi to‘plam, keyin ikkinchi to‘plam va hokozo k- to‘plam soqqqalarni qutiga bittadan joylaymiz. Har bir qutida k tadan soqqa bo‘ladi. Agar biror qutida va hamisha soqqalarning raqami bir xil bo‘lsa, shu o‘rinda k karrali mos tushishlar hodisasi ro‘y beradi deyiladi. Teorema. m o‘rinda (0 ≤ m ≥N) k karrali mos tushish hodisasining ro‘y berish ehtimoli U mk quyidagi formula bilan hisoblanadi: U mk= 1 m!¿¿ 21 Hech bo‘lmaganda m o‘rnida k karrali mos tushish hodisasining ro‘y berish ehtimoli U mk¿ quyidagicha aniqlanadi. U mk¿= 1 m!¿¿ Isbot. i – o‘rinda k karrali mos tushish hodisasining ro‘y berishini Aik orqaliq belgilaylik. Quyidagi belgilashni kiritamiz: A i , j … … . , tk = A i k Ⴖ Ajk Ⴖ .... Ⴖ Atk (i ≠ j ≠......≠ t). (2.1.3) (.) formulaga asosan U mk = ∑ r = 0N − M ( − 1 ) r C m + rr S m + r . ( 2.1 .4 ) bu yerda S m + r = ∑ i < j < … < t P ( ¿ A i , j … … . , tk ) . ( 2.1 .5 ) ¿ Teoremani isbotlash uchun Sm+r yig’indini aniqlash yetarli. Ai,j...,t k hodisalar teng imkoniyatli bo‘lganligi sababli, yig’indida C Nm + r ta qo‘shiluvchi borligi e’tiborga olinsa, (2.1.5) tenglik ushbu ko‘rinishga keladi: S m + r = CNm+r P( A1,...,m+r k ¿. (2.1.6) P( A1,…,….,m+r k ¿ ehtimolning klassik tarifiga ko‘ra hisoblaymiz: P( A1,…,….,m+r k ¿= n' n (2.1.7) 22 Kombinatorika elementlariga asosan har bir to‘plamdagi soqqalarni qutilarga bittadan N! Usulda joylash mumkin. U holda k ta to‘plam soqqalarni qutilarga joylashtirishlarning umumiy soni n = N ! ∙ N ! ∙ … ∙ N !⏟ k ta = (N !)k bo‘ladi . Endi n' ni hisoblaylik m+r o‘rnida k karrali mos tushsh hodisasi ro‘y bergan bo‘lsin. Qolgan N - m – r o‘rnida har bir to‘plamda qolgan soqqalarni (N – m – r)! Usulda joylash mumkin. Demak n' = [(N – m - r)! ¿k va (2.1.7) ushbu ko‘rinishga keladi: P( A 1 , … , … . , m + rk ¿ = [( N − m − r ) !] k ( N ) k . Bu ehrimolni (2.1.5) ga qo‘yib, quyidagi tenglikni hosil qilamiz. S m + r = CNm+r[(N− m−r)!]k (N )k . Bunga ko‘ra U mk ushbu ko‘rinishga keladi: U mk= ∑r=0 N−m ¿¿ Agar C m + rr C Nm + r = N ! r ! m ! ( N − m − r ) ! . tenglikni e’tiborga olsak, (2.1.8) dan (2.1.1) formula kelib chiqadi. Teoremaning ikkinchi qismini isbot qilamiz. Ma’lumki, 23 U mk=∑i=m N U ik.Bunga ko‘ra (2.1.1) formulaga asosan U mk = ∑ i = mN 1 i ! ¿ ¿ ¿ tenglikka ega bo‘lamiz. (2.1.9) da yig’indilar tartibini almashtiramiz, yani m ≤ i ≤ N, i ≤ r ≤ N o‘rniga m ≤ N, m ≤ i≤ r ni qo‘yamiz, u holda (2.1.9) ushbu ko‘rinishga keladi. U mk¿ = ∑ i = mN 1 i ! ¿ ¿ ¿ . Agar ¿ = ¿ ∙ ¿ tenglikni e’tiborga olsak, U m 1 k¿ = ∑ r = mN ¿ ¿ munosabatga ega bo‘lamiz. Ikkinchi yig’indini hisoblaylik: ∑ i = mr ¿ ¿ ¿ 1 r!∑i=m r ¿¿ Kombinatorika ayniyatlariga ko‘ra [3] quyidagi tengliklar o‘rinli: C−1k= ¿ Ushbu ayniyatga muvofiq (2.1.11) ushbu ko‘rinishga keladi. 24 ∑ i = mr ¿ ¿ Bunga asosan (2.1.10) tenglikdan (2.1.2) formula kelib chiqadi. 25 2.2-§. Murakkab mos tushishla r N ta raqamlangan qutilar va har biri N ta raqamlangan soqqalardan iborat n ta har xil soqqalar gurihi berilgan bo‘lsin. Jami nN ta soqqalarni aralashtirib, quti soqqa raqami bir xil bo‘lsa, shu joyda murakkab mos tushish xodisasi ro‘y bergan bo‘lsa, shu joyda murakkab mos tushish hodisasi ro‘y beradi deymiz. Malumki nN ta soqqalardan iborat guruhda bir xil raqamga ega bo‘lgan n ta soqqa mavjud bo‘ladi. Agar i –nchi qutida mos tushish xodisasi ro‘y bergan bo‘lsa, bu qutiga raqami i bo‘lgan soqqalardan biri tushgan bo‘ladi. Teorema. Rosa m qutida murakkab mos tushish xodisasining ro‘y berish ehtimoli ushbu formula bilan aniqlanadi.Pn,mN = 1 m!(nM )!∑r=m N ¿¿ , bu yerda A Nr = N(N-1) ...(N-r+1). Isbot. Ai orqali i – nchi qutida mos tushish hodisasi ro‘y berishni belgilaylik, U holda P n , mN = P ( ∪ ) Agar Sr = ∑ i 1 ¿ … < i r = 1N P ( A i 1 ∙ A i 2 ∙ … ∙ A i r ) . (2.2.3) Belgilashni kiritsak , u holda (.) formulaga asosan P n , mN = ∑ r = mN ¿ ¿ 26 bo‘ladi. Teoremani isbotlash uchun Sr ni topish yetarli. Agar barcha A i 1 ∙ A i 2 ∙ … ∙ A i r hodisalar teng imkoniyatli ekanligi e’tiborga olinsa (2.2.3) tenglik ushbu ko‘rinishga keladi. S r = CNT P( A i 1 ∙ A i 2 ∙ … ∙ A i r ) . (2.2.5) Ehtimolning klassik ta’rifiga ko‘ra P( A i 1 ∙ A i 2 ∙ … ∙ A i r )= n'' n' , (2.2.6) bu yerda n' barcha mumkin bo‘lgan va n'' hodisani ro‘yobga chiqaruvchi holatlar soni. nN soqqadan iborat guruhdan N ta soqqani CnNN usulda olish va ularni qutilarga N! usulda joylash mumkin. Demak, mumkin bo‘lgan natijalar soni n!= CnNN∙N != nN (nN −1)… (nN − N+1)= AnNN (2.2.7) bo‘ladi. Endi n'' ni topamiz. Aytaylik A1∙A2∙… .Ar hodisa ro‘y bergan bo‘lsin, ya’ni birinchi r ta qutiga ularning raqamlariga mos soqqalar tushsin. U holda qolgan N-r ta qutiga guruhning qolgan nN-r ta soqqalaridan tasodifan tanlangan N – r tasi joylashadi. Agar har bir raqamli soqqa n nusxada mavjudligi e’tiborga olinsa, n''=nrCnN−r N−r∙(N− r)!=nrAnN−r N−r (2.2.8) (2.2.7) va (2.2.8) munosabatlarga ko‘ra (2.2.6) dan P( A1∙A2∙… .Ar )= n r A nN − rN − r A nNN tenglikka va bu tenglikka asosan (2.2.5) dan Sr=CNr∙nrAnN−r N−r AnNN tenglikka ega bo‘lamiz. Ushbu munosabatga ko‘ra (2.2.4) dan 27 P n , mN = ∑ r = mN ¿ ¿ . tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikdan ayrim soddalashtirishlardan keyin (2.2.1) formula kelib chiqadi. 28 2.3-§. Karrali murakkab mos tushishlar Faraz qilaylik, bir xil k ta to‘plam berilgan bo‘lib, har bir to‘plam bir xil n ta to‘plamostilaridan va har bir to‘lamosti bir xil 1, ... , N gacha raqamlangan soqqalardan tashkil topgan bo‘lsin, ya’niAi=(Bi,… Bn) , i= 1,k B j = ( a 1 , … , a n ), j = 1 , n Shunday qilib har bir to‘plamda nN ta soqqa mavjud bo‘lib, har bir ai (i= 1,n ) soqqa n ta nusxada bo‘ladi. Aytaylik N ta 1 dan N gacha raqamlangan qutilar berilgan, Ai to‘plamlarning har biridan tasodifan N ta, jamiki kN ta soqqa olib qutilarga k tadan tavakkalga joylaymiz. Agar i-qutiga joylangan barcha soqqalar i raqamli bo‘lsa shu joyda k karrali murakkab mos tushish hodisasi ro;y bergan deyiladi. ξN (k,n)-k karrali murakkab mos tushish hodisalari soni bo‘lsin. Ma’lumki, 0 ≤ξN(k,n)≤N . Quyidagi belgilashni kiritaylik. PN(k,n,m)= P[ξN(k,n)= m] m=0,1...,N . Teorema. Hamma m= 0,N lar uchun quyidagi formula o‘rinli: PN(k,n,m)= 1 m!¿¿ (2.3.1) bu yerda P N j = N ( N − 1 ) … ( N − j + 1 ) , 1 ≤ n < ∞ , 1 ≤ k > ∞ Izoh: 1.[2] ishda (k=1, n=1) da oddiy) k = 2, n=1 bo‘lganida Karrali va k=1, n=2 da murakkab mos tushish hodisalari o‘rganilgan (2.3.1) formuladan k va n ning tegishlicha qiymatlarida [2] ishdagi natijalar kelib chiqadi. 29 P N( 1,1 , m ) = 1 m ! N ! ∑ j = mN ¿ ¿ PN(2,1 ,m)= 1 m!¿¿ P N ( 2,1 , m ) = 1 m ! N ! ∑ j = mN ¿ ¿ Isbot: Ai i= 1 , N i – qutida k – karrali murakkab mos tushish hodisasining ro‘y berishi bo‘lsin. U holda P N ( k , n , m ) = P ( ¿ i 1 < m < i m ¿ N ( A i 1 ∩ A i 2 ∩ … ∩ A i m )) . ( 2.3 .4 ) [3] (124-bet) ishdagi (3.1) formulaga va ehtimollarni qo‘shish formulasiga asosan (4) munosabat ushbu ko‘rinishga keladi. PN(k,n,m)= ∑j=m N ¿¿ Agar A i 1 ∙ A i j ( ij=1,N ) hodisalar teng imkoniyatli ekanligini e’tiborga olsak, (2.3.5) munosabat quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi. PN(k,n,m)= ∑j=m N ¿¿ Ehtimolning klassik ta’rifiga ko‘ra P(A1… Aj)= n'' n' . (2.3.7) Bu yerda n' mumkin bo‘lgan barcha joylashtirishlar va n'' ( A 1 … A j ¿ hodisa ro‘y beradigan joylashtirishlar soni. k ta to‘plamning har biridan N ta soqqani CnNN usulida olish va uni N ta qutiga N! Usulda joylash mumkin. Demak , 30 n' =¿ = ( ( nN ) ! ( nN − N ) ! ¿ k = [nN (Nn-1)...(N+1) ¿k . (2.3.8) ( A 1 … A j ¿ hodisa ro‘y berishini hisoblaylik, 1, ... ,j – qutilarga tegishli raqamli soqqalar tushgan bo‘lsin. U holda qolgan N – j ta qutiga nN – j soqqadan iborat bo‘lgan to‘plamlardan N- j tadan olingan elementlar joylashtiriladi. Agar har bir element n nusxadan iboratligi va to‘plamlar k – taligi e’tiborga olinsa n ' ' = [ n j ( nN − j ) … ( N − j + 1 ) ¿ k . (2.3.9) hosil bo‘ladi (2.3.8) va (2.3.9) tengliklarga asosan (2.3.7) dan P(A1… Aj)= njk¿¿ . tenglik kelib chiqadi. Bunga ko‘ra (2.3.6) dan (2.3.1) hosil bo‘ladi. 2.4-§. Karrali tanlanma mos tushishlar Quyidagi masala qaralayotgan bo‘lsin. Har bir o‘zidan N tadan elementini saqlagan k + 1 ta bir xil to‘plamlar berilgan bo‘lsin. Avval birinchi to‘plamdan r ta elementni olib, elementlarning olinish tartibini qayd etamiz. Keyin qolgan k ta to‘plamning har biridan r tadan element olib, ularning olinish tartibini birinchi to‘plamdan olingan tanlanma elementlarning tartibi bilan solishtiramiz. Agar biror element bilan k karrali tanlanma mos tushish hodisasi ro‘y beradi deymiz. 31 1-teorema: m o‘rinda ka karrali tanlanma mos tushishhodisasining ro‘y berish ehtimoli ushbu formula bilan aniqlanadi: P mkr = r ! m ! ¿ ¿ bu yerda ANr = N∙(N-1)∙ ... ∙(N-r+1). Isbot: i o‘rinda k karrali mos tushish hodisasi ro‘y berishini Aik deb belgilaylik, bu yerda 0 ≤ i ≤ r. Quyidagi belgilashni kiritamiz: Ai1,….,im k = Ai1 k∩… ∩ Aim k ( i1<¿ i 2 < … < i m ). U holda [2] ishdan (2.4.1) formulaga asosan Pmkr=∑i=0 r−m (−1)iCm+1 i Sm+1,(2.4 .2) bu yerda Sm+1= ∑i1<…<im N P(Ai1,….,im+1 k ). ∆ i 1 , … . , i m + 1 hodisalar teng imkoniyatli bo‘lishini e’tiborga olsak, Sm+1=Crm+1P(A1,2,..,m+1 k ). tenglikka ega bo‘lamiz. Bunga asosan (2.4.2) Pmkr=∑i=0 r−m (−1)iCm+1 i Crm+1P(A1,2 ,..,m+1 k ).(2.4 .3) ko‘rinishiga keladi. Ehtimolning klassik ta’rifiga ko‘ra P¿ ) = n ' n ́ , 32 bu yerda n – mumkin bo‘lgan barcha imkoniyatlar soni va n' -(A1,2 ,..,m+1 k ) hodisani tashkil etuvchi imkoniyatlar soni. N ta elementdan r tasini CNr usulida tanlash va birinchi to‘plamdan olingan r ta element bilan r! usulda solishtirish mumkin. To‘plamlar k taligini e’tiborga olsak, n'=¿¿ bo‘ladi. Endi n ' ni topamiz. m+1 o‘rnida mos tushish hodisasi ro‘y bergan bo‘lsin. U holda (r – m – 1) ta elementni (N – m – 1) ta elementdan AN–m–1 r–m–1 usulda tanlash mumkin. To‘plamlar k taligini etiborga olsak, n ' = ¿ ¿ bo‘ladi. Demak (2.4.4) ga ko‘ra (2.4.3) ushbu ko‘rinishga keladi: Sm+1=Crm+1AN–m–1 r–m–1¿k¿ Bu ifodani (2.4.2) ga qo‘yib, yig’indi ostidagi ifodani soddalashtirdik, (2.4.1) formula hosil bo‘ladi. Xususiy holda, r = N da [4] ishda olingan natijaga ega bo‘lamiz. 2-teorema: r = N da kamida m ta o‘rinda k karrali mos tushish hodisasining ro‘y berish ehtimoli quyidagiga teng: Pmk(N)= 1 (m− 1)!¿¿ Isbot: (2.4.1) dan r=N da quyidagi tenglikni hosil qilamiz Pmk(N)= 1 (m)!¿¿ 33 Ehtimolning xossalariga ko‘ra P mk( N ) = ∑ i = mN P ik N , yoki (2.4.6) ga asosan P mk( N ) = ∑ i = mN 1( i) ! ¿ ¿ ¿ tenglikka ega bo‘lamiz. Bu yerda yig’indilar tartibini quyidagicha o‘zgartiramiz: m ≤i≤N va i ≤ j ≤ N o‘rniga m ≤ j ≤ N va m ≤ i ≤ j ni qo‘yamiz. Bunga asosan (2.4.7) dan P mk( N ) = ∑ j = mN ¿ ¿ ¿ Agar ¿ tenglikni e’tiborga olsak, P mk( N ) = ∑ j = 1N ¿ ¿ munosabatga ega bo‘lamiz. Endi ikkinchi yig’indini hisoblaymiz: ∑ i = mj ¿ ¿ Kombinatorikaning [3] C−1m= ¿ ayniyatlariga asosan (2.4.9) dan 34 ∑ i = mj ¿ ¿ tenglikka ega bo‘lamiz. Bunga asosan (2.4.8) munosabatdan (2.4.5) formula kelib chiqadi. (2.4.5) ga o‘xshash formulani ixtiyoriy 1≤r≤N uchun ham hosil qilish mumkin. Bunda nisbatan murakkabroq hisoblashlar talab qilinadi. Xulosa 35 Mos tushishlar haqidagi masala juda ko‘plab variantlarga ega bo‘lgan va ko‘pincha kutilmagan natijalarga olib keladigan hamda ehtimollar nazariyasining nazariy ahamiyatga ega bo‘lagan masalalaridan biri hisoblanadi. Ushbu bitiruv malakaviy ishida mos tushishlar haqidagi masalaning bir qator variantlari jumladan, karrali mos tushish, murakkab mos tushish, tanlanma mos tushish masalalari hamda ularning ayrim umumlashmalari qarab o‘tildi. Mos tushishlar haqidagi masala ehtimollar nazariyasining ko‘plab amaliy masalalarini hal qilish, shuningdek, oldindan ma’lum bo‘lgan (boshqa usullardan olingan) natijalarni nisbatan oson usullarda olish imkonini beradi. Ushbu ishda asosan mos tushishlar sonining bir o‘lchovli taqsimoti tahlil qilingan. Ushbu masalaning ko‘p o‘lchovli taqsimoti ham muhim ahamiyatga ega lekin uni hal qilish ma’lum qiyinchiliklar bilan bog’liq. Jumladan, nolinomial taqsimotning qator umumlashmalarini ko‘rib chiqishga to‘gri keladi. Shuningdek, ko‘p o‘lchash taqsimotning asimtotik holatlarini o‘rganish ham nisbatan murakkab bo‘lib, bundan alohida o‘ziga xos usullardan foydalanish talab etiladi. Bir o‘lchovli taqsimot uchun olingan asimptotik ko‘rinishlar ko‘p o‘lchovli taqsimotlar asimptotikasini o‘rganishda yo‘nlanma bo‘lib xizmat qilishi mumkin. Mos tushishlar haqidagi masalaning ko‘plab modullari ommaviy xizmat ko‘rsatish nazariyasi, operatsiyalarni tekshirish, o‘yinlar nazariyasi mayda zarrachalar fizikasi kabi fanlarga tegishli qator masalalar modullari bilan deyarli mos tushadi va olingan natijalarni ushbu sonlarning tegishli masalalarini hal etishda bevosita qo‘llash mumkin. Mos tushishlar haqida masalani hal etishda kombinatorikaning asosiy elementlari, shuningdek, ehtimollarni qo‘shish formulasi va uning umumlashmasi keng qo‘llaniladi. Shu sababli ishda ushbu tushunchalar haqida malumotlarga ham yetarlicha o‘rin ajratilgan. 36 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 1. А.А. Боровков. Теория вероятносдтей, “Наука” – Москва, 1976, 352 ст. 2. Б.В. Г нденко . Курс теории вероятивстей, “Наука”- М осква, 1988, 447 ст. 3. В. Фlлер. Введени е в теорию вероятностей и е приложения, 1-том, “Мир”-Москва, 1984, 527 ст 4.Н. Я. В и линкин. Комбинаторика. – М, “Наука”, 1969 328 ст. 5. Х. Курбонов. Задача о cложном кратном совподении, св.тr. СамДУ “ Во просы матrатического анализа и его приложения”, С амарканд, 1983, 48-50 ст. 6. X. К.Курбонов. Одно об о бшение формулы cложения вероятности св.тr. СамДУ “Вачислитl ь ны е алгоритм ы прикланой матr а тики”, Самарқанд, 1987, 52-55. 7. Т.Л. Соати. Элr е нты теории массового обслуживания и е приложения, -М,: Советекое радио, 1971, 510 ст 8. Л. Клейнрок, Теория массового обс л уживания, М осква:”Машиностро е ния”, 1970, 432 ст. 9. Л. Така ч . Комбинаторн ые методы в теории cлучайных проессов, -М. “Мир”, 1971, 264 ст 37 38

MOS TUSHISH MASALASI VA UNING UMUMLASHMALARI MUNDARIJA KIRISH. .................................................................................................................... 1 I BOB. KARRALI, MURAKKAB VA TANLANMA MOS TUSHISHLAR . . . . 4 1.2-§. Mos tushishlar. Monmort masalasi ........................................................... 13 1.3-§. Hodisalar yig’indisining ehtimoli. .............................................................. 15 1.4-§. N ta hodisadan m tasining ro‘y berish ehtimoli ....................................... 18 II BOB. KARRALI, MURAKKAB VA TANLANMA MOS TUSHISHLAR . 21 2.1-§. Karrali mos tushishlar ................................................................................ 21 2.2-§. Murakkab mos tushishlar .......................................................................... 26 2.3-§. Karrali murakkab mos tushishlar ............................................................. 29 2.4-§. Karrali tanlanma mos tushishlar ............................................................... 31 Xulosa ..................................................................................................................... 35 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR .............................................................. 37 KIRISH. 1

1.Mavzuning dolzarbligi. Juda ko‘plab variantlarga va kutilmagan yechimlarga ega bo‘lgan mos tushishlar masalasi birinchi marta Shvetsariyalik matematik Monmort tomonidan 1703-yilda qo‘yilgan. Keyinchalik LaplasBernshteyn, Chebishev, Borovkov, Fellerlar tomonidan umumlashtirilgan va ayrim fizik, kimyoviy, biologik jarayonlarning matematik tahlillarida qo‘llanilgan. Kvant elektronikasi, atom va yadro fizikasi, mayda zarralar fizikasining paydo bo‘lishi va rivojlanishi bilan mos tushishlar masalasining tatbiqlar sohasi ham kengaydi. Masala Monmort tomonidan nisbatan sodda ko‘rinishda qo‘yilgan: har qaysisi N ta har xil kartadan iborat bo‘lgan ikkita bir xil kartalar dastasi berilgan. Har qaysi dastadagi kartalar ixtiyoriy tartibda aralashtirilib, keyin kartalarning joylashish tartibi solishtiriladi. Agar birorta karta ikkala dastada ham bir xil vaziyatni egallasa, shu o‘rinda mos tushish hodisasi ro‘y berdi deyiladi. Mos tushish hodisasi bir yoki bir necha o‘rinda roy berishi yoki birortta o‘rinda ham ro‘y bermasligi mumkin. Kamida bitta o‘rinda mos tushish hodisasining ro‘y berish ehtimolini topish talab qilinadi. Monmort ushbu masalani yechib, kutilmagan xulosaga keldi: hech bo‘lmaganda bitta mos tushish hodisasining ro‘y berish ehtimoli N ning yetarli katta qiymatlarida N ga deyarli bog’liq emas va taqriban 2 3 ga teng. V.Feller [3] ushbu masalani dastalar soni K(K≤2 ) bo‘lgan holga umumlashtirdi va uning ommaviy xizmat jarayonlariga tatbiqlarini qaratdi. I.Kleynrok [8] mos tushishlar soninining ko‘p o‘lchovli taqsimotini tahlil qilib, uning elementar zarrachalar fizikasiga ayrim tatbiqlarni ko‘rsatib beradi. V.Bozorov va H.Qurbonovlar [6] karrali murakkab mos tushishlar soni va uning asimptotik taqsimotlarini o‘rganishdi. Ushbu ishda e’tibor asosan karrali murakkab mos tushishlarning ayrim umumlashmalari, asimptotik taqsimotlar va tanlanma mos tushish hodisalarini o‘rganishga qaratiladi. 2

2. Masalaning qo‘yilishi. Karrali, murakkab va tanlanma mos tushishlar sonning ko‘p o‘lchovli taqsimotlarini o‘rganish, ularning asimptotik holatlarini tahlil qilish va olingan natijalarni ommaviy xizmat ko‘rsatish ayrim masalalarning yechishga tatbiq etish. 3. Tadqiqot obyekti va predmeti . Tadqiqot obyekti karrali, murakkab va tanlanmaga mos tushishlar haqidagi masalalar va tadqiqot predmeti mos tushishlar sonining taqsimoti va uning sonli xarakteristikalari hisoblanadi. 4. Tadqiqotning maqsadi va vazifalari. Monmort tomonidan qo‘yilgan masalaning nisbatan murakkab variantlarini tahlil qilishni maqsad qilib qo‘yildi. Shu maqsadda n karrali murakkab mos tushishlar sonlarining taqsimotlarini topish va sonli xarakteristikalarini (boshlang’ich momentlar dispersiya) hisoblash asosiy vazifalar qilib belgilandi. 5. Ilmiy kengligi. 1) Ko‘p karrali murakkab mos tushishlar sonining taqsimoti topildi. 2) Ko‘p karrali tanlanma mos tushishlar sonining taqsimoti tahlil qilindi va uning aniq ko‘rinishi tahlil topildi. 6. Tadqiqot natijalarining ilmiy ahamiyati. Ishda olingan natijalar ma’lum natijalarning ko‘p o‘lchovli hol uchun umumlashmalari bo‘lib, taqsimotlarning asimptotik holatlari birinchi marta tahlil qilinmoqda. Ushbu natijalar keyinchalik mos tushishlar haqidagi masalaning nisbatan murakkab variantlarini o‘rganish uchun mo‘ljal bo‘lib xizmat qiladi. 7. Ishning amaliy ahamiyati. Ushbu ishda qaralgan masala(kartalar dastasida kartalarning joylashish tartibini solishtirish) sxematik xarakterga ega bo‘lib, ko‘plab real masalalarni (ommaviy xizmat ko‘rsatish mayda zarrachalar fizikasi, sof ko‘payish jaryonlari va boshqalar) shu sxemaga keltirish yoki yaqinlashtirish mumkin. 3

8. Ilmiy tadqiqot metodlar. Ushbu ishda ehtimollar nazariyasining umumiy tadqiqot metodlari bilan bir qatorda matematik induksiya, elementar hodisa kiritish va ajratib olish hamda kambinatorik analiz metodlaridan keng foydalanilgan. 9. Ishning tuzulishi. Ish kirish qismi va ikkita bobga birlashtirilgan 7 ta paragraf, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar qisimlaridan iborat. Bibliografiyada 5 ta darslik, 2 ta monografiya, 2 ta ilmiy maqolalar, jami 5 ta adabiyot ro‘yxati keltirilgan. 10. Ishning qisqacha mazmuni. I-bobda 3 ta paragrafdan iborat bo‘lib, kombinatorikaga oid va ishda bevosita qo‘llanilgan ma’lumotlar, hodisalar yig’indisi ehtimoli, uning natijalari, tatbiqlari va umumlashmalari berilgan. II- bobda karrali murakkab, va murakkab karrali mos tushishlar haqidagi masala bo‘yicha olingan natijalar mos tushishlar sonining sonli harakteristikalarini hisoblash, murakkab karrali mos tushishlar soni taqsimot qonuni qaralgan. Xulosa qismida dessartatsiya ishida qaralgan masalalarning ahamiyati, tatbiq sohalari, olingan asosiy natijalar va qo‘llanilgan tadqiqot metodlari, shuningdek, ishni davom ettirish yo‘nalishlari haqida malumotlar berilgan. I BOB. KARRALI, MURAKKAB VA TANLANMA MOS TUSHISHLAR 1.1-§. Ehtimolning klassik va statistik ta’riflari. 1.1.1-ta’rif. A - hodisalar algebrasi, P= P(A);A∈A esa A da aniqlangan va [0;1] to‘plamdan qiymatlar qabul qiladigan to‘plam funksiyasi bo‘lsin. Agar A dan olingan va birgalikda bo’lmagan ixtiyoriy A va В hodisalar uchun P(A+B)= P(A)+P(B) 4

tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda A da chekli additiv o‘lchov kiritilgan deyiladi. P ( Ω ) = 1 shartni qanoatlantiruvchi chekli additiv o‘lchovga esa A da aniqlangan chekli additiv ehtimollik o‘lchovi deyiladi. Bu ta’rif hodisa ehtimolining umumiy ta’rifidir. Faraz qilaylik, elementar hodisalar fazosi cheklita elementar hodisalardan tashkil topgan bo‘lib, ular teng imkoniyatli bo‘lsin. 1.1.2 -ta’rif. A hodisaning ro‘y berishiga qulaylik tug‘diruvchi elementar hodisalar sonining ro‘y berishi mumkin bo‘lgan barcha elementar hodisalar son i ga nisbati A hodisaning ehtimoli deyiladi va P (A )= m n ko‘rinishda belgilanadi. B u y erda m− A hodisaning ro‘y berishiga qulaylik tug’dir uvchi elementar hodisalar soni, n− mumkin bo‘lgan barch a elementar hodisalar soni. 3.2-ta’rif hodisaning klassik ta’rifidir. 1.2. 1 Ehtimolning geometrik ta’rifi. Bizga Rn fazoda biror G soha berilgan bo‘lib, bu soha g sohani o‘z ichiga olsin. G sohaga tashlangan n uqtaning g sohaga ham tushish ehtimolini topish talab qilinadi. Tashlangan nuqta G sohaga albatta tushsin va uning biror g qismiga tushish ehtimoli shu qismning o‘lchoviga (uzunligiga, yuziga, hajmiga) proporsional bo‘lib, g ning formasiga va g ni G ning qay yerida joylashganligiga bog‘liq bo‘lmasin. G sohaga tashlangan nuqtaning g sohaga tushish hodisasini A orqali belgilaylik. Bu shartlarda A hodisaning ehtimoli P(A)= mess (g) mess (G) (1.2.1) formulalar yordamida aniqlanadi, bu yerda mess (g) orqali g sohaning o‘lchovi belgilangan. 1.2.2-ta’rif. A hodisa ustida n ta bog‘liqsiz tajriba o‘tkazilgan bo‘lsin. A hodisaning nisbiy chastotasi deb, hodisa ro‘y berishlar sonining o‘tkazilgan barcha tajribalar soniga nisbatiga aytiladi, ya’ni 5

O'xshashlar

EHTIMOLLARNI QO‘SHISH FORMULASI VA UNING UMUMLASHMALARI
Ryukzak masalasi
Shturm-Liuvill MASALASI
Imlo qoidalari va tinish belgilari masalasi
KOMBINATORIKA MASALALARINING EHTIMOLLAR NAZARIYASI MASALALARINI YECHISHGA TADBIG‘I