TESKARI INTERPOLYATSIYALASHDA ITARATSIYA USULI. F(X) FUNKSIYANI SONLI DIFFERENSIALLASH VA SPLAYNLAR YORDAMIDA FUNKSIYALARNI YAQINLASHTIRISH Mundarija. Kirish. I bob. Nazariy qisim. 1.1 Teskari interpolyatsiyalashda itaratsiya usuli 1.2 Funksiyalarni yaqinlashtirish masalasining quyilishi II bob. Asosiy qisim. 2.1 Splayinlar yordamida funksiyalarni yaqinlashtirish 2.2 F(x) funksiyani sonli diffrensiallash III bob. Xulosa.

Funksiyalarni yaqinlashtirish masalasining qo‘yilishi Funksiyalami yaqinlashtirisli masalasi qo‘yilgan talabga (shartga) qarab turlicha bo'ladi. Hisoblash matematikasida keng qo'llaniladigan usullardan ba’zilarini eslatib o‘tamiz. Xususan, interpolyatsiyalash, o‘rtacha kvadratik ma’noda yaqinlashtirish, tekis yaqinlashish va splayn yaqinlashish. Lterpolyatsiyalash funksiyalami yaqinlashtirish nazariyasida olingan natijalami fimksiya jadvalini zichlashtirish, sonli differensiallash va integrallash, matematik fizika masalalarining to‘rdagi analogini qurishda keng qo‘llaniladi. Algebraik interpoiyatsiyalash masalasining qo‘yilishi [a,b] oraliqda turli n + 1 ta x k , k = 0,1,2 , … , n nuqtalarda f(x) funksiyaning qiymatlari f(xk ), k = 0,1,..., n berilgan bo‘lsin. Darajasi n ga teng shunday Ln(x)=a0+a1x+… +anxn (1) algebraik ko‘phad qurilsinki, u a 0 + a1xk ...+ a n x k n =f(x k ), k = 0,l,...,n (2) shartlami qanoatlantirsin. (1) chiciqli algebraic tenglamalar si stemasining getenninanti Vandermond eatermineatieir, u goldeg farqli, chunki xk k = 0,1,...,n lar turli. Demak, (1) ko‘phadgiag koaffiteiyentleri (2) dan bir qiymatli ko^ishda topiladi. L n ( x n )=f(x) i=0,1,…n (3) shartni qanoatlantiradigan L n (x) ko‘phad f(x) funksiyaning j x. }" tugun nuqtalar yordamida qurilgan interpolyatsion ko ‘phad deyiladi. Bu interpolyatsion ko‘phadning ko‘proq ishlatiladigan ko'rinishi - Lagranj formulasini keltiramiz. Uni quyidagi ko‘rinishda yozamiz: L n( X )= ∑ k = 0n b (x)f( xk¿ (4) (3) ga asosan

k=0 bo‘ladi. Bu munosabatlar o‘rinli bo‘lishi uchun b k (x) funksiyalar quyidagi shartlami bajarishi kerak: . Bulardan ko‘rinib turibdiki, har bir b k (x) [ a,b\ da n tadan kam emas nolga ega bo‘ladi. Biroq L n (x) darajasi n ga teng bo‘lgan algebraik ko‘phad bo‘lganligi uchun b k (x) ning darajasini n ga teng ko‘phad ko‘rinis hida izlash . Splayn funksiya haqida tushuncha. Interpolyatsion kubik splaynlar interpolyatsiyalanayotgan ob’ektga yaxshi yaqinlashadi va qurilish sodda ko’rinishda bo’ladi. Qurilayotgan splayn darajasi tugun nuqtalarga bog’liq emas. Qurilayotgan splayn funksiya [a,b] oraliqda emas, balki [x i ,x i+1 ] (i=0, n-1) oraliqlarda quriladi va bu splayn funksiya har bir oraliqlarda bir xil strukturali ko’phadlardan iborat bo’ladi. Ulanish tugun nuqtalarida funksiya va uning hisoblarining ham uzluksizligi talab qilinadi. Shuning uchun [x i ,x i+1 ] (i=0, n-1) barcha oraliqlarda qurilgan splayn funksiyalar ulanib butun [a,b] oraliqda silliq bir splayn funksiyani beradi. Klassik interpolyatsiyalashda esa butun bir [a,b] oraliqda 1 ta funksiya qurilar edi. Shuning uchun ham klassik interpolyatsiyalashga nisbatan splayn funksiyalar yordamida qaralgan interpolyatsiyalash masalasining silliqlik darajasi yuqori va qurilishi jihatidan ham sodda bo’ladi. (i=0, n-1) [x i ,x i+1 ] oraliqlarda qurilgan silliq bo’lakli kophadli funksiyalarga splayn funksiyalar deyiladi. Hisoblash matematikasining yaqinlashish nazariyasida splayn funksiyalar qo’llanilishi 1946 – yil Shonberg tomonidan “Splayn” so’zi fanga kritilgandan boshlangan bo’lib, 50-yillardan keyin juda tez rivojlangan. Funksiyalarni interpolyatsiyalash masalasida klassik polinomlar orqali interpolyatsiyalash masalsiga yaxshi ekanligini ko’rsatadi. Ushbu ishda Ermit interpolyatsion kubik splayn yordamida kvadratur formula quriladi. Ermit interpolyatsion kubik splayni qurilishida funksiyaning hamda bu funksiyaning hosilasining tugun nuqtalardagi qiymatlari berilgal holda qurildi.

Polinomial interpolyatsion splayn funksiya 1. Interpolyatsiya ob’ektiga yaxshi yaqinlashuvchanligi; 2. Qurilishi sodda va EHM algaritmini tuzish juda soddaligi bilan ajralib turadi. Shuning uchun interpolyatsiyalash masalasida splayn funksiyalarni qo’llanilishi hisoblash matematikas fanida dolzarb basalalar hisoblanadi. Splayn funksiyalar kvadratur yordamida qurilgan kvadratur formulalaning xatoligininng bahosi ham klassik interpolyatsion kvadratur formulalarning xatoligining baholaridan ancha kichik bo’ladi. Ushbu ishda qaralgan kvadratur furmula Ermit interpolyatsion kubik splayni yordamida qurilganligi uchun bu kvadratur formulning xatoligini C[a,b]-uzluksiz funksiyalar sinfida baholab bo’lmaydi. Chunki Ermit interpolyatsion kubik splayni asosida qurilganligi sababli bu kvadratur formula ham f(x) funksiyaning hosilasini qiymatlari qatnashganligi uchun uzluksiz funksiyalar sinfida bu kvadratur formulaning xatoligini baholab bo’lmaydi. Shuning uchun ushbu kvadratur formulaning xatoligini C k [a,b] sinfda baholashni ko’rib chiqamiz. Xisoblash metodikasining yaqinlashish nazariyasi yo’nalishida qilinadigan ilmiy natijalar fan texnika rivojlanishining juda ko’p sohalarda qilinadi Aerodinamika , Gidrodinamika , Geologiya , Gedrotexnika va boshqa bir qancha texnika yo’nalishlarida funksiyalarni tiklash va qo’yilgan masalalarni joylashishini yaratishda funksiyalarni tiklash funksiyaga yaqinlashtrish borasida ko’plab metodlar yaratgan. Hozirgi fan texnikaning rivojlangan davrida Splayn funksiyalarning qurilishi va uning tadbiqi xisoblash matematikasi faning dolzarb masalalaridan xisoblanadi. Splayn funksiyalarning qurilishida quyilgan shartlarni xolatiga qarab splayn funksiyalar defektini 1, defekti 2ga teng v x k splayn funksiyalarning nuqtalari ko’rsatiladi. Defekti 1 da teng splayn funksiya yaxshi yaqinlashuvchi splayn funksiya hisoblanadi va bu splaynlarning qo’llanilishi eng yaxshi natijalarni beradi.

Splayn funksiyaning ta’rifi va defektining ta’rifini kiritamiz ) , ( x f Sn splayn n-chi tartibli interpolyatsion splayn diyiladi. Agarda quydagi shartlar bajarilsa; 1) ] , [ ) , ( b a H x f S n n  2) ] , [ ) ( b a C x S m i n  3) nS ) ( ) ( ii x f x  n-chi tartibli interpolyatsion splaynni defekti m n   orqali aniqlanadi. N-chi tartibli interpolyatsion splaynni defekti 1ga teng diyiladi. Agarda m=n-1 bo’lsa ya’ni  n  (n-1)=1 interpolyatsion kubik splaynni ta’rifi va defekti haqida )( 3 xS defekti 1ga teng bo’lgan interpolyatsion kubik splayn diyiladi. Agarda quydagi shartlar bajarilsa 1) ] , [ ) ( 3 3 b a H x S  2) ] , [ ) ( 2 3 b a C x S i 3) 3S ) ( ) ( ii x f x  Bu yerda defekti  =3-2=1 Defekti 1ga teng bo’lgan unterpolyatsion splaynlar yaqinlashuvchi obektga eng yaxshi yaqinlashuvchi bo’lib taqbiqi juda yaxshi natijalar beradi.Shu nuqtai nazardan ushbu ishni Defekti 1ga teng bo’lgan interpolyatsion kubik splayn qurish masalasi qo’yilgan. [a,b] oraliqda teng uzoqlikda tugun nuqtalar berilgan. NabhNøihax i )(,0,:  Bu erda 1 1 ' , :    N i x x tugun nuqtalar bilan to’ldirigan to’r bo’ladi },1}1' { {    Ni x U x U quydagi to’rda f(x) funksiyaning qiymatlari berilgan bo’lsin 1 , 1 , ,.........1 0 1 , , ,    N N N f f f f f f Ushbu qiymatlarga asoslangan holda local kubik splayn qurishni qaraymiz )( 3 xS splayn funksiya  tipga f(x) funksiyani interpolyatsiyalovchi funksiya hisoblanadi. Quydagi mos 3ta nuqtalardan o’tuvchi ),,(),,(),,( 1111  iiiiii fxfxfx ), , ( i i f x ), , ( 11  ii f x ), , ( 2 2   i i f x 2ta parabolani quramiz, splayn funksiyalarni qurish uchun :