FUNKSIYALARNING O’SISH VA KAMAYISHI VA YAGONALIK TEOREMALARI

Yuklangan vaqt:

20.11.2024

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

316.09765625 KB

Ko'chirib olish

FUNKSIYALARNING O’SISH VA
KAMAYISHI VA YAGONALIK
TEOREMALARI

KIRISH
1. FUNKSIYALARNING O'SISH VA KAMAYISH VA YAGONALIK TEOREMALARINING NAZARIY ASOSLARI .
2. FUNKSIYALARNING O'SISH VA KAMAYISH VA YAGONALIK TEOREMALARINING HOZIRGI AMALIY
HOLATI VA TAHLILI .
3. FUNKSIYALARNING O'SISH VA KAMAYISH VA YAGONALIK TEOREMALARINING ASOSIY YO'NALISHLARI .

Funksiyalarning o'sish va kamayish va yagonalik
teoremalarining ahamiyati va mohiyati

O‘suvchi va kamayuvchi funksiyalar bilan tanishsiz. Endi funksiyaning o‘sish va kamayish oraliqlarini aniqlash
uchun hosila tushunchasidan foydalanamiz.

1-teorema. ?????? = ?????? ( ?????? ) funksiya ( ?????? ; ?????? ) oraliqda aniqlangan va hosilasi mavjud bo‘lsin. Agar ?????? (∈ ?????? ; ?????? ) uchun ?????? ′( ?????? )
> 0 bo‘lsa, ?????? = ?????? ( ?????? ) funksiya ( ?????? ; ?????? ) oraliqda o‘suvchi funksiya bo‘ladi (1-rasm).

2-teorema. ?????? = ?????? ( ?????? ) funksiya ( ?????? ; ?????? ) oraliqda aniqlangan va hosilasi mavjud bo‘lsin. Agar ?????? (
∈ ?????? ; ?????? ) uchun ?????? ′( ?????? )
< 0 bo‘lsa, ?????? = ?????? ( ?????? ) funksiya ( ?????? ; ?????? ) oraliqda kamayuvchi funksiya bo‘ladi (2-rasm).

Yuqoridagi 1; 2 teorimalardan foydalangan holda funksiyalarni hosila
yordamida o‘sish va kamayish oraliqlarini tekshirib chiqamiz.

1-misol. Funksiyaning o‘sish va kamayish oraliqlarini toping:


Bu funksiya aniqlanish sohasiga etibor beradigan bo‘lsak oraliqda aniqlangan. Funksiyaning o‘sish
va kamayish oralig‘ini aniqlashda funksiyadan hosila olamiz va hosilasini noldan katta yoki noldan kichik ekanligini
teksiramiz .

?????? ′
( ?????? ) = 2( ?????? 3
) ′
− 3( ?????? 2
) ′
− 12( ?????? ) ′
+ (6) ′
.

Funksiyadan hosila olsak quydagi funksiyaga ega bo‘lamiz
?????? ′( ?????? ) = 6 ?????? 2
− 6 ?????? − 12 . Bu funksiyani
ko‘paytuvchilarga ajratadigan bo‘lsak quydagi funksiyaga ega bo‘lamiz

?????? ′
( ?????? ) = 6( ?????? − 2) ( ?????? + 1)
?????? ′( ?????? ) > 0 , ?????? ′( ?????? ) < 0 tengsizliklarni oraliqlar usuli bilan yechib funksiyaning
oraliqlarda ishoralarini aniqlaymiz

oraliqlarda funksiyaning o‘sishi hamda (– 1; 2) oraliqda
Javob : (–∞; –1) va (2; +∞) oraliqlarida funksiya o‘sadi; (–1; 2) oraliqda esa funksiya kamayadi.

Funksiyalarning o'sish va kamayish va yagonalik teoremalarining
holati va tahlili

Funksiya so`zi lotincha “function”so`zidan olingan bo`lib,u sodir bo`lish bajarish degan ma`nolarni
bildiradi. Funksiyaning dastlabki ta`riflari G.Leybnits, I.Bernulli, N.I.Lobachevskiy asarlarida berilgan.
Funksiyaning hozirgi ta`rifini bilish masada, qadimgi olimlar o`zgaruvchi miqdorlar orasida funksional
bog`lanish bo`lishi lozimligini tushunishgan.To`rt ming yil avvalroq Bobil olimlari radiusi r bo`lgan doira
yuzi uchun-xatoligi sezilarli bo`lsada formulasini chiqarishgan. Sonning darajasi haqidagi ilk ma`lumotlar
qadimgi bobilliklardan bizgacha yetib kelgan bitiklarda mavjud.Xususan,ularda natural sonlarning
kvadratlari,kublari jadvallari berilgan.

Buyuk qomusiy daho Abu Rayhon Beruniy ham o`z asarlarida funksiya tushunchasidan,uning xossalaridan
foydalangan.Abu Rayhon Beruniy o`zining mashhur “QONUNI MA`SUDIY”asarining 6-maqolasida
argument va funksiyaning o`zgarish oraliqlari,funksiyaning ishoralari va eng katta,eng kichik qiymatlarini
ta`riflaydi. Ratsional ko`rsatkichli daraja S.Stevin,J.Vallis,I.Nyuton tomonidan kiritilgan.

Ixtiyoriy haqiqiy son uchun daraja tushunchasi L.Eyler ning “ANALIZGA KIRISH”asarida berilgan.Abu
Rayx о n Beruniy sinuslar va tangenslar jadvalini tuzadi. Huddi shu kabi b о shqa mamlakatlarda ham asta
–sekin funksiya tushunchasi riv о jlana b о rdi. Turli davrlarda funksiyaga turlicha ta’riflar berila b о shlandi. Quyida
ayrimlarini keltiramiz. 1673 yilda G о lfrit Vilgelm Leybnis (1649-1716) “funksiya” degan atamani kiritadi va
bir о r vazifani bajaruvchi miqd о r deb atadi. Dastlabki belgilashlar
f
1 (x), f
2 (x), ... , f
n (x) lar Leybnis t о m о nidan kiritildi.
Dastlabki о shk о r ta’rifi esa yuqorida aytganimizdek 1718 –yilda Chagan Bernulli t о m о nidan berildi.
Biz funksiya tushunchasini kiritishdan oldin akslantirishlar haqida qisqacha tushunchaga ega bo’laylik. A va B
to’plam bo’sh bo’lmasin.
Ta’rif. Agar A to’plamning har bir elementiga B to’plamning biror elementi mos qo’yilsa, A to’plam B to’plamga
akslantirilgan deyiladi.Odatda akslantirishlar f, g, h kabi harflar bilan belgilanadi.f : A B kabi yoziladi.Bizga X
va Y bo’sh bo’lamagn to’plam berilgan
bo’lsin.
TA’RIF:O’zgaruvchi miqd о rning funksiyasi deb o’zgarmaslar va o’zgaruvchilar yordamida bir о r usul bilan h о sil
qilingan qiymatga aytiladi.
1834 –yilda Labachevskiy funksiya tushunchasini yanada о ydinlashtiradi va h о zirgi ta’rifga yaqinr о q ta’rifni
beradi.
TA’RIF:y ni x o’zgaruvchining [a, b] о raliqdagi funksiyasi deyiladi, agar x ning har bir qiymatiga y ning aniq bir
qiymati m о s kelsa.To’plamlar nazariyasi yaratilishi bilan uning ij о dk о rlari nemis matematigi G. K о nt о r, R. Yulitse,
Dedikind funksiya tushunchasining umumlashmasi-akslantirishga ta’rif berdilar.

Funksiya—matematikaning eng muhim va umumiy tushunchalaridan biri.
Funksiyaning turlari ko p bo lib, eng ko p qo llaniladigani bu chiziqli funksiyadir ya ni. O zgaruvchi ʻ ʻ ʻ ʻ ʼ ʻ
miqdorlar orasidagi bog lanishni ifodalaydi va muhim.Funksiya umumiy holda analitik, jadval, grafik va so‘z
ʻ
usullari bilan berilishi mumkin:
Analitik usul.Ko‘pincha x va y o'zgaruvchilar orasidagi bog'lanish formulalar yordamida ifodalanadi.Bunda
argument x ning har bir qiymatiga mos keladigan funksiyaning у qiymati x ustida analitik amallar —qo‘shish,
ayirish, ko‘paytirish, bo‘lish, darajaga ko'tarish, ildizdan chiqarish, logarifmlash va h.k.

1 . amalla rni bajarish natijasida topiladi. Odatda, bunday usul funksiyaning analitik usulda
berilishi deyiladi. Funksiya analitik usulda quyidagi ko‘rinishlarda berilishi mumkin. v=g(x) yoki
x=g(y) ko‘rinishdagi formulalar bilan berilgan funksiyalar oshkor ko‘rinishda berilgan
funksiyalar deyiladi. Masalan, y=6x—2, y=x
2 +lnx funksiyalar oshkor ko‘rinishda berilgan. Analitik
usulda berilgan funksiya bir nechta formulalar vositasida yozilishi ham mumkin, masalan, Bu
funksiyaning aniqlanish sohasi bo‘lib, u uchta formula yordamida berilgan.

Agar x va у o‘zgaruvchilar qandaydir F(x,y)=0tenglama bilan bog‘langan, ya‘ni tenglama у ga
nisbatan yechilmagan bo'lsa, u holda funksiya oshkormas k о ‘rinishda berilgan deyiladi. Masalan,
x2+y2-R2=0 tenglama oshkormas shaklda berilgan funksiyani ifodalaydi, uni у ga nisbatan
yechish natijasida ikkita funksiyani hosil qilamiz:

Ba’zi bir oshkormas ko‘rinishdagi funksiyalarni y = f(x ) (oshkor) ko‘rinishda


Funksiyani tekshirayotganda uning grafigi koordinatalar boshidan cheksiz
uzoqlashganda, yoki boshqacha aytganda, uning o`zgaruvchi nuqtasi
cheksizlikka intilganda grafikning ko`rinishini bilib olish muhim. –

ta’rif . Agar o`zgaruvchi M( ?????? ; ?????? ) nuqta funksiya grafigi bo`yicha koordinatalar
boshidan cheksiz uzoqlashganda ?????? = ?????? ( ?????? ) funksiya grafigidagi o`zgaruvchi ?????? ( ?????? ;
?????? ) nuqtadan to`g`ri chiziqdagi ?????? ( ??????
1; ??????
1 ) nuqtagacha bo`lgan ?????? = ???????????? masofa
nolga intilsa, bu to`g`ri chiziq ?????? = ?????? ( ?????? ) funksiya grafigining asimtotasi deyiladi

???????????? va ???????????? o`qlarga parallel hamda koordinata o`qlariga parallel bo`lmagan asimptotalarni qaraymiz.
1.Vertikal asimptotalar . ?????? = ?????? ( ?????? ) fuksiyada ?????? nuqtning biror ?????? > 0 atrofida aniqlangan,
ya’ni ?????? ∈ ??????
?????? ( ?????? ) bo`lsin.

biri yoki ularning ikkalasi ham cheksiz bo`lsa, =
?????? ??????
to`g`ri chiziq ( )
?????? ?????? funksiya grafigining vertikal yoki ???????????? o`qqa parallel
asimptotasi deyiladi(2a,b,d,erasmlar).


Demak, ?????? = ?????? ( ?????? ) fuksiya grafining vertikal asimptotalarini izlash uchun funksiyaning qiymatini
cheksizlikka aylantiradigan (cheksiz uzilishga ega bo`lgan) ?????? = ?????? nuqtani topish kerak ekan.
Bunda ?????? = ?????? to`g`ri chiziq vertikal asimptota bo`ladi . Eslatma . Umuman aytganda, ?????? = ?????? ( ?????? )
funksiyaning grafigi bir nechta vertikal asimtotalarga ega bo`lishi ham mumkin

FUNKSIYALARNING O’SISH VA KAMAYISHI VA YAGONALIK TEOREMALARI

KIRISH 1. FUNKSIYALARNING O'SISH VA KAMAYISH VA YAGONALIK TEOREMALARINING NAZARIY ASOSLARI . 2. FUNKSIYALARNING O'SISH VA KAMAYISH VA YAGONALIK TEOREMALARINING HOZIRGI AMALIY HOLATI VA TAHLILI . 3. FUNKSIYALARNING O'SISH VA KAMAYISH VA YAGONALIK TEOREMALARINING ASOSIY YO'NALISHLARI .

Funksiyalarning o'sish va kamayish va yagonalik teoremalarining ahamiyati va mohiyati  O‘suvchi va kamayuvchi funksiyalar bilan tanishsiz. Endi funksiyaning o‘sish va kamayish oraliqlarini aniqlash uchun hosila tushunchasidan foydalanamiz.  1-teorema. ?????? = ?????? ( ?????? ) funksiya ( ?????? ; ?????? ) oraliqda aniqlangan va hosilasi mavjud bo‘lsin. Agar ?????? (∈ ?????? ; ?????? ) uchun ?????? ′( ?????? ) > 0 bo‘lsa, ?????? = ?????? ( ?????? ) funksiya ( ?????? ; ?????? ) oraliqda o‘suvchi funksiya bo‘ladi (1-rasm).  2-teorema. ?????? = ?????? ( ?????? ) funksiya ( ?????? ; ?????? ) oraliqda aniqlangan va hosilasi mavjud bo‘lsin. Agar ?????? ( ∈ ?????? ; ?????? ) uchun ?????? ′( ?????? ) < 0 bo‘lsa, ?????? = ?????? ( ?????? ) funksiya ( ?????? ; ?????? ) oraliqda kamayuvchi funksiya bo‘ladi (2-rasm).

Yuqoridagi 1; 2 teorimalardan foydalangan holda funksiyalarni hosila yordamida o‘sish va kamayish oraliqlarini tekshirib chiqamiz.  1-misol. Funksiyaning o‘sish va kamayish oraliqlarini toping:  Bu funksiya aniqlanish sohasiga etibor beradigan bo‘lsak oraliqda aniqlangan. Funksiyaning o‘sish va kamayish oralig‘ini aniqlashda funksiyadan hosila olamiz va hosilasini noldan katta yoki noldan kichik ekanligini teksiramiz .  ?????? ′ ( ?????? ) = 2( ?????? 3 ) ′ − 3( ?????? 2 ) ′ − 12( ?????? ) ′ + (6) ′ .  Funksiyadan hosila olsak quydagi funksiyaga ega bo‘lamiz ?????? ′( ?????? ) = 6 ?????? 2 − 6 ?????? − 12 . Bu funksiyani ko‘paytuvchilarga ajratadigan bo‘lsak quydagi funksiyaga ega bo‘lamiz  ?????? ′ ( ?????? ) = 6( ?????? − 2) ( ?????? + 1) ?????? ′( ?????? ) > 0 , ?????? ′( ?????? ) < 0 tengsizliklarni oraliqlar usuli bilan yechib funksiyaning oraliqlarda ishoralarini aniqlaymiz

oraliqlarda funksiyaning o‘sishi hamda (– 1; 2) oraliqda Javob : (–∞; –1) va (2; +∞) oraliqlarida funksiya o‘sadi; (–1; 2) oraliqda esa funksiya kamayadi.

O'xshashlar

Sinus va kosinuslar teoremalari

O’SISH VA RIVOJLANISHNING UMUMIY QONUNIYATLARI

Mikroelementlar va organic chiqindilar bilan boyitilgan ozuqa muhitining bir hujayrali suvo’tlarning o’sish dinamikasiga ta’siri

Turli yosh davrlarida jinsiy bezlar faoliyati

yevropa mamlakatlari 19410-1991 yillarda