Birjinsli muhitlarda issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi uchun qo’yilgan turli tipdagi chegaraviy masalalarni sonli yechish va algoritmini tuzish
![Ilova
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
a,b = map ( float , input ( "Koordinatalar oralig'ini kiriting: " ).split())
c,d = map ( float , input ( "Vaqt oralig'ini kiriting: " ).split())
h = float ( input ( "Nuqtalar oralig'i masofasini kiriting: " ))
tau = float ( input ( "Vaqt oralig'i masofasini kiriting: " ))
m = float ( input ( "O'tkazuvchanlikni kiriting: " ))
# n nuqtalar soni
n = int ((b-a)/h)
# k vaqtlar soni
k = int ((d-c)/tau)
l = np.empty((k+ 1 ,n+ 1 ))
# i ustun
i = 0
# j satr
j = 0
for i in range (n+ 1 ):
l[ 0 ][i] = 0
for j in range (k+ 1 ):
l[j][ 0 ] = 20
l[j][n] = 10
for j in range (k):
for i in range ( 1 ,n):
l[j+ 1 ][i] = (tau*m*(l[j][i+ 1 ]- 2 *l[j][i]+l[j][i- 1 ]))/(h*h)+l[j][i]
for j in range (k+ 1 ):
for i in range (n):
print (l[j][i], end = ' ' )
print ()
for j in range (k+ 1 ):
if j % 100 == 0 :
plt.plot(l[j][ 0 :n+ 1 ])
plt.show()](/data/documents/fbedf95d-a8c4-4d7e-8926-4d9f8d8edc69/page_14.png)
Birjinsli muhitlarda issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi uchun qo’yilgan turli tipdagi chegaraviy masalalarni sonli yechish va algoritmini tuzish REJA: I. Kirish. II. Asosiy qism: 1. Masalaning qo’yilishi 2. Olti nuqtali sxem alar oilasi 3. Approksimatsiya aniqligi 4. Issiqlik o`tkazuvchanlik tenglamasi uchun uch qatlamli sxemalar 5. Sinov eksperiment natijalari III. Xulosa IV. Foydalanilgan adabiyotlar Ilova
Kirish Issiqlik o’tkazuvchanlik deb issiqlikni muhitda molekulyar uzatishga aytiladi. Bu jarayon temperaturaning tekis taqsimlanmagan holatida ro’y beradi. Bu holda issiqlik har xil temperaturali zarrachalarning bevosita tutashtirish hisobiga uzatiladi va molekulalar, atomlar va ozod elektronlar orasida energiya almashinuviga olib keladi. Issiqlik o’tkazuvchanlik moddaning agregat holatiga, uning tarkibiga, temperaturasiga, bosimiga va boshqa xarakteristikalariga bog’liq. Ko’p hollarda suyuq holdagi moddaning issiqlik o’tkazuvchanligi gaz holatdagi moddaning issiqlik o’tkazuvchanligidan taxminan o’n marta ko’p bo’ladi. Qattiq jism uchun issiqlik o’tkazuvchanlik erish nuqtasi atrofida suyuqlikka qaraganda (suyuq vismut, olova va tellurdan tashqari) ancha yuqori bo’ladi. Amaliyotda jism ichidagi va uning chegarasi yaqinidagi issiqlik o’tkazuvchanlik har xil bo’lishi tez-tez uchrab turadi. Bu farqlanish issiqlik uzatish jarayoning borish shartlarining o’zgarishi bilan, hamda modda strukturasining o’zgarishi bilan (termik qayta ishlash tekshirish, ko’p ishlatish va hakazo natijasida sodir bo’ladi. Ushbu ishda chiziqli bo’lmagan issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi uchun chekli ayirmali sxemalar tuzish masalasi qaraladi. Issiqlik o’tkazuvchanlikka tashqi shart- sharoitlar, masalan, nurlanish, bosimning o’zgarishi, magnit maydoni sezilarli ta’sir qilishi mumkin.
1. Masalaning berilishi Bir o`lchamli nostatsionar issiqlik o`tkazuvchanlik tenglamasi quyidagicha bo`ladi (1) bunda - temperatura, s – birlik massa issiqlik si g` imi , ρ - zichlik , k – issiqlik o`tkazuvchanlik koeffitsient i , - issiqlik manbalari zichligi , ya`ni birlik vaqtda birlik uzunlikdan ajralib chiquvchi issiqlik . Agar , bo`lsa tenglama kvazi chiziqli deb ataladi . Agar s= const , k= const bo`lsa tenglama quyidagicha bo`ladi , (2) bu erda - temperatura o`tkazuvchanlik koeffitsient i . Umumiylikdan ajralmagan holda deb h isoblash mumkin, u holda (2) dan quyidagini hosil qilamiz (3) Birinchi chegaraviy masala (I): da uzluksiz bo`lgan quyidagi masalaning y echimini topamiz 2. Olti nuqtali sxem alar oilasi Quyidagi to`rni kiritamiz va to`rni ko`rinishda qadamlar bilan kiritamiz, bunda da aniqlangan bo`lib, y funktsi yaning tugundagi qiymati . Bir parametrli ayirmali sxemalar oilasini qaraymiz , (4)
bunda , – haqiqiy parametr. (4) sxema ba`zan vaznli sxem a deb ataladi . CHegaraviy va boshlang`ich shartlar quyidagicha aniq approksimatsiyalanadi : (5) (6) Bunda – (3) tenglama o`ng tarafi f ni approksim atsiyalovchi funktsiya , masalan (4)-(6) ni (II) ayirmali masala deb ataymiz . (4) AS quyidagi olti nuqtali shablon da yozilgan (4) tenglama ichki tugunlar deb ataluvchi tugunlarda echiladi . dagi barcha ichki tugunlar to`plamini ko`rinishida belgilaymiz . (5), (6) boshlang`ich va chegaraviy shartlar ning chegaraviy nuqtalarida yoziladi . t=t j to`g`ri chiziqda yotuvchi to`r tugunlari odatda qatlamlar deb ataladi . (4) da qiymatlar ikkita qatlamda yotadi va shuning uchun bunday sxemalar ikki qatlamli sxemalar deb ataladi . =0 da (x i ,t j+1 ), (x i ,t j ), (x i±1 ,t j ) shablon da aniqlanuvchi to`rt nuqtali sxem ani hosil qilamiz yoki uni quyidagicha yoza olamiz (7) t=t j+1 qatlamning har bir nuqtasidagi qiymat (7) formula yordamida t=t j qatlamdagi qiymatlar orqali oshkor ko`rinishda ifodalanadi . SHunday qilib t=0 da berilsa, u holda (7) formula bo`yicha ketma-ket ixtiyoriy qatlamdagi y ning qiymatlarini aniqlay olamiz. (7) sxema oshkor sxema deb ataladi . Agar bo`lsa, u holda (7) sxema oshkormas ikki qatlamli sxema deb ataladi. da larni aniqlash uchun quyidagi chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi , algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz: (8)
i=1,…,I-1 . (8) ayirmali tenglama echimi progonk a usuli bilan topiladi . da sof oshkormas sxemaga ega bo`lamiz (9) da olti nuqtali simmetrik sxemani hosil qilamiz (10) ba`zan bu sxema Krank-Nikol’son sxemasi deb ataladi . (7) oshkor sxema shabloni (9) sof oshkormas sxema shabloni (8) ikki qatlamli oshkormas va (10) Krank-Nikol’son sxemalari shabloni 3. Approksimatsiya aniqligi (4)-(6) sxemalar aniqligi haqidagi savolga javob berish uchun (4)-(6) masala echimi ni (I) masala echimi u=u(x,t) bilan taqqoslash kerak. Shunday qilib u(x,t) (I) masalaning uzluksiz y echimi bo`lsin, u holda qo`yamiz va ayirmani qaraymiz . ni baholash uchun quyidagi normalardan birini tanlaymiz . indekssiz belgilashlar yordamida (4)-(6) masalani quyidagi ko`rinishda yozamiz ,(i, j+1) (i+1,j) (i-1,j) (i, j) (i, j+1) (i+1,j+1) (i-1, j+1) (i, j)(i, j+1) (i+1,j+1) (i-1, j+1) (i, j) (i, j+1) (i+1, j+1) (i-1, j+1) (i,j) (i+1, j) (i-1, j)