Mavzu: To’lqin tenglamasi uchun qo’yilgan umumiy masalani chekli ayirmali usuli bilan yechish va algoritmini tuzish . Reja: 1.Kirish 2.Asosiy qismi:  Tor tebranish tenglamasi uchun umumiy boshlang`ich-chegaraviy masalaning qo` yilishi.  Bir parametrli ayirmali approksimatsiya. O(τ2+h2) approksimatsiyali masala;  To’lqin tenglamasini oshkor sxemada aproksematsiya qilish  Natijalar 3.Xulosa 4.Foydalanilgan adabiyotlar. Ilova

Kirish Chekli ayirmalar usulining asosiy g ‘ oyasiga ko ‘ ra biror muhitda berilgan funksiya to ‘ r vektor bilan ifodalanadi , differensial operatorlar esa hech bo ‘ lmaganda fazoviy o ‘ zgaruvchilar va vaqt bo ‘ yicha to ‘ rlarda ularning ayirmali analoglarini approksimatsiyalaydi . Vaqt bo‘yicha masalalarda EHMning real vaqtiga to‘g‘ri keluvchi yechimni olishga majburmiz va vaqt bo‘yicha hosilalarni hisoblash oson kechmaydi, chunki yangi vaqt momentiga to‘g‘ri keluvchi yechim noma’lum. Shuning uchun vaqtdan bog‘liq hadlarni o‘z ichiga olgan masalalarda vaqt to‘tlarida integrallash operatsiyasini bajarish maxsus ta’riflarni talab qiladi. Biz bu yerda vaqt bo‘yicha masalani qaraganimizda bitta nuqtada berilgan chegaraviy shartli masalalarni tushunamiz. Shuning uchun real vaqt momentida yechiladigan masalalarning o‘ziga xos jihatlari va muhim ahamiyati mavjud. Chekli ayirmalar usulining asosiy g‘oyasiga ko‘ra biror muhitda berilgan funksiya to‘r vektor bilan ifodalanadi, differensial operatorlar esa hech bo‘lmaganda fazoviy o‘zgaruvchilar va vaqt bo‘yicha to‘rlarda ularning ayirmali analoglarini approksimatsiyalaydi. Vaqt bo‘yicha masalalarda EHMning real vaqtiga to‘g‘ri keluvchi yechimni olishga majburmiz va vaqt bo‘yicha hosilalarni hisoblash oson kechmaydi, chunki yangi vaqt momentiga to‘g‘ri keluvchi yechim noma’lum. Shuning uchun vaqtdan bog‘liq hadlarni o‘z ichiga olgan masalalarda vaqt to‘tlarida integrallash operatsiyasini bajarish maxsus ta’riflarni talab qiladi. Biz bu yerda vaqt bo‘yicha masalani qaraganimizda bitta nuqtada berilgan chegaraviy shartli masalalarni tushunamiz. Shuning uchun real vaqt momentida yechiladigan masalalarning o‘ziga xos jihatlari va muhim ahamiyati mavjud.

 Tor tebranish tenglamasi uchun umumiy boshlang`ich- chegaraviy masalaning qo` yilishi. Birjinsli tor tebranish tenglamasini qaraymiz∂2u ∂t1 2= a2∂2u ∂ x1 2+ f(x1,t1), 0< x1<l, t1> 0 . x= x1/l, t= at 1/l o`lchovsiz kattaliklarni kiritib bu tenglamani quyidagicha yozamiz ∂2u ∂t2= ∂2u ∂ x2+ f(x,t), 0< x<1 , 0 <t≤ T . (1) Boshlang`ich momentda u(x,0)= u0(x), ∂u(x,0) ∂t = ¯u0(x) (2) shartlar berilgan, bu erda u 0 ( x ) – boshlang`ich chetlashish va ¯u0(x) - boshlang`ich tezlik. Tor oxirlari quyidagi berilgan qonun bo`yicha harakatlansin u(0,t)= μ1(t), u(1,t)= μ2(t) . (3) ¯D = (0≤ x≤ 1 , 0≤ t≤ T ) sohada isssiqlik o`tkazuvchanlik tenglamasini approksimatsiyalashda qo`llangan to`rga o`xshash ¯ωhτ to`g`ri to`rtburchakli to`r kiritamiz y= y j, y ^¿= yj+1, y¿= yj− 1, yt= y^¿−y τ , y¯t= y− y¿ 2τ ,¿ ¿ Λy = y¯xx, y¯tt= yt− y¯t τ = ^y ^¿−2y+y¿ τ2 , y t0= yt+ y¯t 2 = ^y ^¿− y ¿ 2 τ ¿¿ . (1) da hosilalarni quyidagi formulalarga almashtiramiz ∂2u ∂t2 ~ u¯tt, ∂2u ∂ x2~ u¯xx= Λu , f ~ ϕ . Quyidagi vaznli sxemalar oilasini qaraymiz

y¯tt=Λ(σ ^y ^¿+(1−2σ)y+σy ¿ )+ϕ, ϕ=f(x,tj), ¿y0=μ1(t), yI=μ2(t), y(x,0)=u0(x), yt(x,0)=~u0(x),(4) bu yerda ~u(x) ni keyinroq aniqlaymiz. Chegaraviy shartlar va birinchi u ( x,0 ) =u 0 ( x ) boshlang`ich shart ¯ωhτ to`rda aniq bajariladi. ~u(x) ni shunday tanlaymizki. ~u0(x)− ∂u(x,0) ∂t = ~u0(x)− ¯u0(x) approksimatsiya xatoligi O (τ2) kattalik bo`lsin. Quyidagi ut(x ,0)= ˙u (x ,0 )+ 0,5 τ ¨u(x ,0 )+ O (τ2)= = ¯u0(x )+ 0,5 τ(u''(x ,0)+ f(x ,0))+ O (τ2)= = ¯u0(x)+ 0,5 τ(u0 ''(x ,0)+ f(x ,0))+ O (τ2) formuladan ko`rinadiki ~u(x)− ut(x,0)= O (τ2) belgilashni qo`ysak quyidagini hosil qilamiz ~u(x)= ¯u0(x)+0,5 τ(¯u0 ''(x)+ f(x,0) . (5)  Bir parametrli ayirmali approksimatsiya. Shunday qilib, (4), (5) masala qo`yildi. (4) dan y ^¿=yj+1 ¿ ni aniqlash uchun progonka usuli bilan yechiladigan chegaraviy masalani hosil qilamiz σγ 2(yi+1 j+1+ yi−1 j+1)− (1+2 σγ 2)yi j+1= − F i, 0< i< I, y0= μ1, yI= μ2 , γ= τ/h , F i= (2 yi j− yi j−1)+τ2(1− 2σ )Λy j+στ 2Λy j−1+ τ2ϕ . Bunda σ> 0 bo`lganda progonka usuli turg`un bo`ladi.  O(τ2+h2) approksimatsiyali masala ϕ= f(x,tj) da (4) sxema approksimatsiya xatoligini hisoblaymiz. y – (4), (5) masalaning, u= u(x,t) - esa (1)-(3) masalaning yechimlari bo`lsin. (4) ga y= z+ u qo`yib quyidagini hosil qilamiz

z¯tt= Λ ( σ z ^¿+(1−2σ)z+σz¿)+ψ ¿, z0= zI= 0, z(x,0)= 0, zt(x,0)= ν(x) , (6) bu erda ψ = Λ ( σ ^u ^¿+(1− 2σ)u+σu¿)+ϕ− u¯tt ¿ - (4) sxemaning u=u ( x , t ) yechimdagi approksimatsiya xatoligi , ν= ~u0(x)− ut(x,0) - esa yt= ~u0(x) ikkinchi boshlang`ich shart uchun approksimatsiya xatoligi. Yuqoridagilardan ayonki, ν= O (τ2) . u ^¿= u+τut ¿ , u ¿ = u− τ u¯t lardan foydalanib quyidagiga ega bo`lamiz σ u ^¿+(1+2σ)u+σu¿= u+στ 2u¯tt ¿ , (7) ya`ni har qanday  (  ,  va h dan bog`liq emas) ψ = Λu +στ 2Λu ¯tt+ϕ− u¯tt = Lu + στ 2L ¨u+ f− ¨u+ O (τ2+ h2) , ψ = O (τ2+h2) . 3-tur chegaraviy shartlar ∂u(0,t) ∂x = β1u(0,t)− μ1(t), − ∂u(1,t) ∂x = β2u(1,t)− μ2(t) quyidagi yoyilmalarni qo`llab approksimatsiya qilinadi ∂u ∂ x = ux− h 2 u''− h2 6 u'''− h3 24 u(IV )+O (h4) va ∂u ∂ x = u x+ h 2 u''− h2 6 u'''+ h3 24 u(IV )+O (h4) . O (τ2+ h2) approksimatsiya tartibini hosil qilish uchun i =0 da ux− h 2 u''= β1u− μ1(t)+O (h2) yoki ux− β1u 0,5 h + μ1(t) 0,5 h = u''+O (h2) ifodalarni qo`llaymiz. Tenglamaning o`zi dan quyidagiga ega bo`lamiz uxx ''= utt ''− f .