Ayirmali sxemalar, ularni qurish va differensial masalani approksimasiyalash. Dirixle masalasi. Chekli — ayirmali tenglamalar sistemasini iterasiya usuli bilan yechish (Libman o’rtalash jarayoni)

Загружено в:

08.08.2023

Скачано:

0

Размер:

76.44140625 KB

Скачать

Mavzu: Ay irmali sxemalar, ularni qurish v a
diff erensial masalani approk simasiy alash. Dirixle
masalasi. Chek li — ay irmali t englamalar
sist emasini it erasiy a usuli bilan y echish (Libman
o’rt alash jaray oni)

Reja:
1. Ay irmali sxemalar, ularni qurish v a diff erensial masalani
approk simasiy alash
2. Tur met odi (chek li-ay irmali met od) xususiy xosilali
diff erensial t englamalarni y echishning k eng t ark algan
met odlaridandir
3. Ay irmali sxemalar
4. A pprok simasiy a v a y asinlashish
5. Chek li — ay irmali t englamalar sist emasini it erasiy a usuli
bilan y echish (Libman o’rt alash jaray oni)

$X USUSIY X OSILA LI DIFFEREN SIA L TEN GLA MA LA RN I TA KRIBI Y Y eChISh Xususiy xosilali differensial tenglamalar fan va texnikaning turli soxalarida uchraydi, ammo ularning yechimini oshkor kurinishda chekli formula shaklida topish kamdan-kam lollarda mumkin buladi. Shu munosabat bilan matematik fizika masalalari deb ataluvchi xar xil xususiy xosilali differensial tenglamalarni, xususiy xosilali differensial tenglamalar sistemasi va integral tenglamalarni takribiy yechish metodlari muxim axamiyatga egadir. Bu va keyingi boblarda biz matematik fizika masalalarini tak,ribiy yechishning ayrim keng tarkalgan metodlarini kurib chikamiz. Matematik fizika kurslarida uzgaruvchilarning soni i(>2) va xosilalarning tartibi t (> 2) bulgan tenglamalar karaladi. Biz asosiy dikkatni ikki erkli uzgaruvchili ikkinchi tartibli xususiy xosilali chizikdi differensial tenglamalarga karatamiz. Bunday tenglamalar misolida karaladigan metodlarning asosiy goyasi yaxshi tushunarli bulib, xisoblash sxemasi xam soddarok buladi. Shuni \am ta’kidlash kerakki, bitta tenglama uchun karaladigan metodlarni bir necha noma’lum funksiyalarni uz ichiga olgan tenglamalar sistemasi uchun xam tatbik silish mumkin. Xususiy hosilali differensnal tenglamalar uchun chegaraviy masalalar ko’pincha sonli usullar (chunonchi, to’rlar usuli) va analitik usullar (chunonchi, akad. V.G. Galerkin usuli) ko’llanilib yechiladi. Biz ushb.u bobda asosan to’rlar usullari (ayirmali usullar) ustida to’xtalamiz. Ay irmali sxemalar Ularni qurish va differensial masalani approksimasiyalash. To’rlar usuln yoki chekli ayirmalar usulining mohiyati xrsilalarni chekli—ayirmali ifodalar orqali$

almashtirish yo’li bilan differensial tenglamani chekli — ayirmali
(algebraik) tenglamaga keltirishdan iborat . Masalan, biror
ko’rsatilgan G kontur bilan
chegaralangan D sohantng ichida ushbu

δ2u
δx 2+ δ2u
δx 2= 0

Laplas tenglamasini, G chegarada esa ma’lum shartlarni
qanoatlantiruvchi i(x, u) funksiyani toppsh talab etilsin (2- chizma).
Shu maqsadda XOU tekisligida o’zaro perpendikulyar

x= x0+ih va y= y0+kl ( i,k = 0 , ± 1, ± 2, . . .)

to’g’ri chiziklar oilalarini D sohani qoplaydigan qilib chizaylik.
Hosil bo’lgan to’rdan G egri chiziqli konturni_yaxshi
approksimasiyalovchi G to’rli kontur ajratiladi. G kontur
D to’rli sohani chegaralaydi. D sohaning har qaysi (x
i , u
k ),
i , k = 0, ± 1, ± 2 , . . . nuqtasi uchun ayirmali tenglama
yechimining u
ik qiymati. topilishi kerak. Bu qiymatlar (1) differensial
teng lamaning takribiyechim qiymatlaridan iboratdir. G kontur
shunday yasaladiki, berslgan egri chiziqli G kontur G bilan
chegaralangan to’rning ikki qo’shni ichki tuguni oralig’idan emas,
balki bitta chegara va bitta ichki tugun orasidan o’tadigan bo’lsin.
(1) tenglamaga ushbu

uxx+uyy= 0
ayirmali tenglama muvofiq keladi, bunda

uxx=
u(x+h,y)−u(x,y)
h − u(x,y )-u (x-h,y )
h
h = 1
h2|u(x+h,y)−2u(x,y )-u (x-h,y )|,
uxx= 1
h2|ui+1,k -2u ik+ui-1,k |

uyy= 1
h2|ui+1,k -2u ik+ui-1,k |
TUR METODI, TURRUNLIK, APPROKSIMASIYa VA YaKINLAShISh
Tur metodi (chekli-ayirmali metod) xususiy xosilali differensial
tenglamalarni yechishning keng tarkalgan metodlaridandir.

L(u)=a ∂2u
∂x12
+2b ∂2u
∂x1x2
+c ∂2u
∂x22
|+d ∂u
∂x1
+e ∂u
∂x2
gu = f
Tup met odining goy asi . Tur metodining goyasi bilan
tenglama uchun Dirixle masalasini yechish misolida tanishamiz.
Bunda a, b , s, d, ye, g koeffisiyentlar va ozod x, ad chegarasi G dan
iborat bulgan chekli D soxada anikutangan ikki x, va
x2 uzgaruvchilarning funksiyalaridir. Bu funksiyalar G = GUG yopik
soxada
aniklangan xamda G da a > 0, s > 0 va g< 0 shartlarni
kanoatlantiradi, deb faraz kilamiz. Faraz silaylik, (2.1) tenglamaning
G da uzluksiz va G da berilgan kiymatlarni sabul siladigan, ya’ni
i |
g = φ Є G ( 2 . 2 )
yechimini topish talab silinsin, bunda φ = φ (x
1 x
2 ) uzluksiz
funksiyadir. Takribiy yechimning sonli siymatlarini topish uchun
O x
1 x
2 tekisligida

x1i= x 10+ ih 1,x2k=x 20+ kh 2, ( i,k=0, ±1, , ± 2, , ±3… .)
parallel tugri chizislarning ikkita oilasini utkazamiz. Bunda h
1
va h
2 mos ravishda abssissa va ordinata yunalishlaridagi k,adamshr
deyiladi. Bu tufi chizisl arning kesishgan nusgalari tugushar deyiladi,
tugunlar tuplami esa turni tashkil etadi. Odatda h
1 va h
2
sadamlar bir-biriga boglis ravishda tanlanadi, masalan h
1 = h
2

h
2 = Ah" (A va a sandaydir sonlar), xususiy xolda h
1 = h
2 = h .
Shuning uchun xam saralayotgan tur bitta h parametrga boglis
bulib,
sadam kichrayganda h —> 0. Agar ikkita tugun 0x
1 usi yoki 0x
2 uki
buylab tyrning shu yunalishi buyicha bir-biridan bir sadam
uzoslikda joylashgan bulsa, ularni k ushni t ugunlar deymiz.
Fasat G da yotgan tugunlar tuplamini saraymiz. Agar biror
tugunning turtala sushni tugunlari tuplamda yotsa, u xrlda bu
tugunni ichki tugunayenmyu. Ichki tugunlar tuplamini tur
sox,a deymiz va
G
h orsali belgilaymiz. Agar tugunning xyech bulmaganda birorta
sushnisi G
h da yotmasa, u xolda bu tugun chegaraviy tugun , ularning
tuplamini esa tur soxaning chegarasi deymiz va G
h orsali
belgilaymiz

A pprok simasiy a v a y asinlashish. Faraz kilaylik, chegarasi Г= ¿j=1
m
Гj
bulgan soxada ushbu

L(u) = f,

R(u)j=Rj(u)=ϕj,j=1,2 ,.....m
chegaraviy masala berilgan bulsin. Bu yerda L — ixtiyoriy ikkinchi
tartibli chizikdi differensial operator, R
j — birinchi tartibli
differensial operator yoki chekli algebraik ifoda, xususiy xolda
R
j u = u v a f , φ
1, φ
2,…. φ
m berilgan funksiyalar.
Endi G da yotuvchi sandaydir G
h tur so x ani suramiz, keyin U
h
orsali G
h ning nustalarida (tugunlarda) anislangan U
h
funksiyalarning fazosini belgilaymiz, U
h operator U
h dagi
funksiyalarni biror G
h ∩ G
h TUR soxada anislangan funksiyalarga
utkazsin; G
h da anislangan funksiyalar tuplamini F
h orsali
belgilaymiz. Chegaraviy shartlarni approksimasiyalash uchun G
soxaning G chegarasiga mos keladigan G
hi tur chegarasini

tanlab, F
hi orsali G
hi da anislangan funksiyalar tuplamini
belgilaymiz. 1-ta’rif. Agar X ∩ U bulib, ʋ funksiya Y da anislangan
bulsa, u xolda ʋ ning X tuplamdagi izi deb shunday funksiyaga
aytiladiki, u X tuplamda anislangan va bu yerda ʋ bilan ustma-ust
tushadi. Agar ʋ funksiya G
h ni uz ichiga olgan tuplamda anislangan
bulsa, u xolda ʋ ning G
h dagi izini [ ʋ ]
h orsali belgilaymiz. Faraz
silaylik, U (2.8) va (2.9) chegaraviy masala yechimlarining fazosi, G
(2.8) tenglamaning ung tomonidagi/funksiyalarning fazosi, F
j esa G
j
da anislangan funksiyalarning fazosi bulsin. 2-ta’rif. Faraz silaylik,
U , U
h , F , F
h , F
j , F
jh , fazolarda

||∗||c,||∗||ch,||∗||F,||∗||Fnh ,||∗|| Ф j,||∗|| Ф jh
normalar anislangan bulsin. Bu normalar moslangan
deyiladi, agar h → 0 da xar sanday yetarlicha sillis i
∈ U , f∈ F ,
ϕj
j ∈ Фj
funksiyalar uchun suyidagi

||[u]||h||uh→||u||U,

||[f]||h||Fh→||f||F,

||[ϕij]||h||ϕij→||ϕij||ϕj,
munosabatlar zfinli bulsa.
4 -t a ‘ r i f . Agar ixtiyoriy sillisi
u,f,ϕ funksiyalar uchun h -> 0 da
W(h) -> 0 bulsa, u xolda (2.8), (2.9) chegaraviy masalani (2.10), (2.11)
tur ustidagi masala approksimasiya kiladi deyiladi.
Agar (2.10) tenglamaning ung tomonini

Fh(i,k)= f (x1i, x 2k)
deb olsak, u xolda W ( h ) ning ta’rifiga kirgan || f
h – [ f ] h ||
Fh mik,-
dor nolga teng buladi. Ammo ayrim xollarda anisgsikni oshirish
uchun (2.8) tenglamaning ung tomoni (i, k ) nustada
f (x1i, x 2k+0,5h 2)
deb olinadi.

$5-t a’rif . Tur ustidagi (2. 10), (2. 11) masala turgun ( korrekt) deyiladi, agar h ≤ 0 uchun h ga boglik, bulmagan M 0 va M j ; uzgarmas - lar topilib, ular uchun ushbu tengsizlik bajarilsa: || uh||Uh≤ M 0|| L h( uh)||Fn+ ∑j=1 m M j|| R jh( u jh)||Φjh Bu ta’rifdan kuramizki, chizikugi masala uchun turgunlik f h va F jh funksiyalarga boglik, emas. Bu ta’rifning ma’nosini tushuntirishga \arakat silamiz. Chizikdi masala uchun (2.10), (2.11) ayirmali sxema chizikuti algebraik tenglamalar sistemasidan iborat. Shuning uchun xam (2.13) tengsizlikdan f h =0 , F j h =0 bulganda (2.10) — (2.11) tenglamalar sistemasi fakat trivial yechimga ega. Bundan esa Kroneker Kapelli teoremasiga kura (2.10), (2.11) masala ung tomonidagi ixtiyoriy f h , F j h uchun yagona yechimga ega. Demak, chizikush masalada turgunlik shartidan ayirmali tenglamalar sistemasining ung tomoni ixtiyoriy funksiyalar bulganda \am yagona yechimga egaligi kelib chikadi. Agar i h , i h funksiyalar kuyidagi L hu1h = f 1h, R jh u1h= ϕ1jh , j= 1, 2, ....., m; L hu2h = f 2h, R jh u2h= ϕ2jh , j= 1, 2, ....., m; ayirmali masalalarning yechimi bulsa, u xщda L h va R jh operatorlar izikdi bulganda (2.13) tengsizlikka kura kuyidagiga ega bulamiz: Shunday silib, agar tenglama va chegaraviy shartlarning ung tomoni bir-biridan kam fars silsa, u x,olda turgunlik sharti bajarilganda turdagi masalaning yechimi bir-biridan kam fars siladi. Yusorida keltirilgan yasinlashish, approksimasiya vaturgunlikning ta’rifidagi U h ,F h , F h fazolarda anislangan normalar mu\im axamiyatga ega. Shunday dollar bulishi mumkinki, (2.13) tengsizlik ayrim normalar uchun bajarilib, boshsalari uchun bajarilmaydi. Xar gal (2.13) tengsizlik nima sababdan bajarilmasligini$ $tekshirish kerak. Agar normalar nosulay olinganligi sababli (2.13) tengsizlik bajarilmagan bulsa, u xolda Uh,Fh, FuU, fazolarda normalarni boshsacha tanlab, (2.13) tengsizlikning bajarilishini ta’ minlash kerak. Agar (2.13) tengsizlik normaning xech biri uchun \am bajarilmasa, u xolda bu ayirmali sxemaning noturrunligini bildiradi$

ADABIYoT
1. B a x v a l o v N. S. Chislennme metodm, t. I ,—M.: Nauka, 1973.
2. B ye r ye z i n I. S., J i d k o v N. P. Metodm vichisleniy, t. I.
3-nashri. M.: Nauka, 1966.
3. V o r o b ye v a G. N., D a n i l o v a A. N. Praktikum pochislennmm
metodam, 2-nashri, M,: Vmsshaya shkola, 1990.
4. G o n ch a r o v V. L. Teoriya interpolirovaniya i priblijeniya funksiy,
2-qayta ishlangan nashri. M.: Gostexizdat, 1954.
5. D ye m i d o v i ch B. P., M a r o n I. A. O snovm v!ChIslitel1Noy
matematiki. — M.: Nauka, 1970.
6. D ye m i d o v i ch B. P. M a r o n I. A., Sh u v a l o v a E. 3.
Chislennme metodm analiza — M.: 1967.
7. I s r o i l o v M. I. Hisoblash metodlari, 1-qism,— Toshkent:
O’qituvchy, 1988.
8. Q o b u l o v V. Q. Funksional analiz v a hisoblash katematikasi.—
Toshkent: O’qituvchi, 1976.
9. Q o p ch ye n o v a N. V., M a r o n I. A. V chislitelnaya katevatkka
v primerax i zadachax. — M.: Nauka, 1972.
10. M a r ch ;u k G. I. Metodn vnchislitelnoy matematiki — M.: Nauka,
1977.
11. M n s o v s k i x I . P., Leksii po metodam vnchisleniy. — M.:
Fiematgie, 1962.
12. N i k o l s k i y S, M. Kvadraturnne formuln, 2.ye izd. — M«>
Nauka,-.1972.
13. S a m a r s k i y A. A., G u l i n A. V. Chislennne metodn — M.:
Nauka, 1989.
14. S o b o l ye v S. L. Vvedekiye v teoriyu kubaturnnx fsrkul. — M.:
Nauka, 1974.
15. X ye m m i n g R. V. Chislenn ne ketodn—M: Nauka, 1972.

1. Azlarov T., Mansurov Matematik analiz. 2-k,. -T.: Usituvchi, 1989.
2. Babushka I., Vitasek E., Prater M. Chislenn ы ye prosess ы resheniya
dif
ferensialn ы x uravneniy. -M.: Mir, 1969.
3. Badalov F. B., Sh odmonov G. Xususiy xosilali differensial
tenglamalar orsali modellashtiriladigan muxandislik masalalarini EXM
da yechish
usullari. -T.: Fan, 1991.
4. Baxvalov N.S. Chislenn ы ye metod ы , 1. -M.: Nauka, 1973.
5. Baxvalov H .C ., Jidkov N .P ., Kobelkov G.M. Chislenn ы ye metod ы . -
M.:
Nauka, 1987.
6. Bendat Dj ., Pirsol A. Prikladnoy analiz sluchayn ы x velichin. -M.: Mir,
1989.
7. Berezin I .S ., Jidkov N.P. Metod ы v ы chisleniy. T. 2. -M.: FM , 1959.
8. Vazov V.R., Forsayt Dj. Raznostn ы ye metod ы resheniya
differensialn ы x
uravneniy v chastn ы x proizvodn ы x. -M.: IL, 1963.
9. Verlan A.F ., Sizikov V. S. Integralnыye uravneniya: metodы,
algoritmы, programmы. -Kiyev: Naukova dumka, 1986.
10. Vladimirov B.C. Uravneniya matematicheskoy fiziki. -M.: Nauka,
1971.
11. Godunov S.K ., Ryabenkiy B.C. Vvedeniye v teoriyu raznostnыx
sxem. -M.:
FM , 1962.
12. Godunov S .K ., Ryabenkiy B.C. Raznostnыye sxemы. -M.: Nauka,
1973.
13. Dekker K., Verver Ya. Ustoychivost metodov Runge-Kutta dlya
jestkix nelineynыx differensialnыx uravneniy. -M.: Nauka, 1988.

14. Demidovich B.P., Maron I.A., Shuvalova E.Z. Chislennыye metodы
analiza.
-M.: FM, 1963.
15. Ivanov V.V. Metodы vыchislitelnoy matematiki na EVM.
Spravochnoye
posobiye. -Kiyev: Naukova dumka, 1986.
16. Ilin V.P. Raznostnыye metodы resheniya ellipticheskix uravneniy. -N
o
vosibirsk, 1970.
17. Isroilov M.I. Xisoblash metodlari. 1-s. -T.: Usituvchi, 1988.
18. Kalitkin N.N. Chislennыye metodы. -M.: Nauka, 1978.
19. Kantorovich L .V., Akilov G.P. Funksionalnыy analiz v
normirovannыx prostranstvax. -M.: FM, 1959.
20. Kantorovich L .V ., Krыlov V.I. Priblijennыye metodы vыsshego
analiza.
5-ye izd. -M ., L.: F M , 1962.
21.Kollats L. Chislennыye metodы resheniya differensialnыx uravneniy.
M.: IL, 1953.
22. Krbulov V.K,. Funksional analiz va xisoblash matematikasi. -T.:
Usituvchi, 1976.
23. Krыlov V.I., Bobkov V. V., Monastirnыy P. I. Vыchislitelnыye metodы
vыsshey matematiki. T. 2. -Minsk: Vыsheyshaya shkola, 1975.
24. Krыlov V. I., Bobkov V. V., Monastirnыy P. I. Vыchislitelnыye
metodы
vыsshey matematiki. T. 2. -M.: Nauka, 1977.
25.Lovitt U. V. Lineynыye integralnыye uravneniya. -M.: Gostexizdat,
1957.
26. Makklellan Dj. X., Reyder Ch.M. Primeneniye teorii chisel v sifrovoy
obrabotke signalov. -M.: Radio i svyaz, 1983.
27. Marpl-ml. S.L. Sifrovoy spektralnыy analiz i yego prilojeniya. -M.:
Mir, 1990.
28. Marchuk G.I. Metodы vыchislitelnoy matematiki. -M.: Nauka, 1977.
29. Marchuk G.I., Agoshkov V. I. Vvedeniye v proyeksionno-setochnыye
metodы.
-M.: Nauka, 1981.
30. Miln V.E. Chislennoye resheniye differensialnыx uravneniy. -M .: IL,
31. Mitchell E., Ueyt R. Metod konechnыx elementov dlya uravneniy s
chastnыmi proizvodnыmi. -M .: Mir, 1981.

32. Mixlin S.G. Variasionnыye metodы v matematicheskoy fizike. -M .:
Nauka, 1971.
33. Mixlin S.G., Smoliskiy X.A. Priblijennыye metodы resheniya dif f
yerensialnыx i integralnыx uravneniy. -M.: Nauka, 1965.
34. Mыsovskix I. P. Leksii po metodam vыchisleniy. -M.: FM, 1962.
35. Ortega Dj., Pul U. Vvedeniye v chislennыye metodы resheniya dif
f yerensialnыx uravneniy. -M.: Nauka, 1986.
36. P yetrovskiy I.G. L yeksii ob uravneniyax s chastnыmi proizvodnы
m i.
-M .: Nauka, 1961.
37. Polojiy G.N. i dr. Matematicheskiy praktikum. -M.: FM, 1960.
38. Rakitskiy Yu.V., Ustinov S.M ., Chernoruskiy I.G. Chislennыye
metodы
resheniya jestkix sistem. -M.: Nauka, 1979.
39. Rixtmayer R., Norton K. Raznostnыye metodы resheniya
krayevыx zadach. -M.: i Mir, 1972.
40. Ryabenkiy B.C., Filippov A. F. Ob ustoychivosti raznostnыx
uravneniy. -M.: Gostexizdat, 1956.
41. Saloxitdinov M. S., Nasriddinov G.N. Oddiy differensial
tenglamalar. -T.: Usituvchi, 1982.
42. Samarskiy A.A. Vvedeniye v teoriyu raznostnыx sxem. -M.: Nauka,
1971.
43. Samarskiy A.A. Teoriya raznostnыx sxem. -M.: Nauka, 1977.
44. Samarskiy A.A., Andreyeva V. B. Raznostnыye metodы resheniya
ellipticheskix uravneniy. -M.: Nauka, 1976.
45. Samarskiy A.A., Gulin A. V. Ustoychivost raznostnыx sxem. -M.:
Nauka,
1973.
46. Samarskiy A.A., Nikolayev Ye.S. Metodы resheniya setochnыx
uravneniy.
-M .: Nauka, 1978.
47. Samarskiy A. A., Gulin A. V. Chislennыye metodы. -M.: Nauka,
1989.

48. Sarimsosov T. A. Funksional analiz kursi. -T.: Usituvchi, 1980.
49. Sovremennыye chislennыye metodы resheniya obыknovennыx
differensialnыx uravneniy. -M.: Mir, 1979.
50. Statisticheskiye metodы dlya EVM. Per. s angl. Pod red. K.
Ensleyna, E. Relstona, G.S. Uilfa. -M.: Nauka, 1986.
51. Streng G., Fiks Dj. Teoriya metoda konechnыx elementov. -M .:
Mir,
1977.
52. Syarle F. Metod konechnыx elementov dlya ellipticheskix zadach.
-M .: Mir,
1980.
53. Tixonov A.N., Samarskiy A.A. Uravneniya matematicheskoy fiziki. -
M.:
Nauka, 1972.
54. Tixonov A.N., Arsenin V.Ya. Metodы resheniya nekorrektnыx
zadach. -M.:
Nauka, 1986.
55. Xayrer E., Nyorsett S., Vanner G. Resheniye obыknovennыx
differensialnыx uravneniy. Nejestkiye zadachi. -M.: Mir, 1990.
56. Yanenko N.N. Metod drobnыx shagov resheniya mnogomernыx
zadach matematicheskoy fiziki. -N ovosibirsk, 1967.
57. Bieberbach L. Theorie der DifTerentiol-gleichunden, 3 Aufl.
Berlin, 1930, b.54.
58. Cooley I.W., Tukey I.W. An algorithun for machine calculation o f
complexes
Fouris series / / Math. Comput. 1965, v. 19, № 90.
59. Liebman H. Die angenanerte Ermitlung harmonischer Functionen
und konformer
Abildungen, Sitzungsber. Bauer. Akad. Wiss. Math-Phys. k. 1, 1918, s.
385-416.

Mavzu: Ay irmali sxemalar, ularni qurish v a diff erensial masalani approk simasiy alash. Dirixle masalasi. Chek li — ay irmali t englamalar sist emasini it erasiy a usuli bilan y echish (Libman o’rt alash jaray oni)

Reja: 1. Ay irmali sxemalar, ularni qurish v a diff erensial masalani approk simasiy alash 2. Tur met odi (chek li-ay irmali met od) xususiy xosilali diff erensial t englamalarni y echishning k eng t ark algan met odlaridandir 3. Ay irmali sxemalar 4. A pprok simasiy a v a y asinlashish 5. Chek li — ay irmali t englamalar sist emasini it erasiy a usuli bilan y echish (Libman o’rt alash jaray oni)

X USUSIY X OSILA LI DIFFEREN SIA L TEN GLA MA LA RN I TA KRIBI Y Y eChISh Xususiy xosilali differensial tenglamalar fan va texnikaning turli soxalarida uchraydi, ammo ularning yechimini oshkor kurinishda chekli formula shaklida topish kamdan-kam lollarda mumkin buladi. Shu munosabat bilan matematik fizika masalalari deb ataluvchi xar xil xususiy xosilali differensial tenglamalarni, xususiy xosilali differensial tenglamalar sistemasi va integral tenglamalarni takribiy yechish metodlari muxim axamiyatga egadir. Bu va keyingi boblarda biz matematik fizika masalalarini tak,ribiy yechishning ayrim keng tarkalgan metodlarini kurib chikamiz. Matematik fizika kurslarida uzgaruvchilarning soni i(>2) va xosilalarning tartibi t (> 2) bulgan tenglamalar karaladi. Biz asosiy dikkatni ikki erkli uzgaruvchili ikkinchi tartibli xususiy xosilali chizikdi differensial tenglamalarga karatamiz. Bunday tenglamalar misolida karaladigan metodlarning asosiy goyasi yaxshi tushunarli bulib, xisoblash sxemasi xam soddarok buladi. Shuni \am ta’kidlash kerakki, bitta tenglama uchun karaladigan metodlarni bir necha noma’lum funksiyalarni uz ichiga olgan tenglamalar sistemasi uchun xam tatbik silish mumkin. Xususiy hosilali differensnal tenglamalar uchun chegaraviy masalalar ko’pincha sonli usullar (chunonchi, to’rlar usuli) va analitik usullar (chunonchi, akad. V.G. Galerkin usuli) ko’llanilib yechiladi. Biz ushb.u bobda asosan to’rlar usullari (ayirmali usullar) ustida to’xtalamiz. Ay irmali sxemalar Ularni qurish va differensial masalani approksimasiyalash. To’rlar usuln yoki chekli ayirmalar usulining mohiyati xrsilalarni chekli—ayirmali ifodalar orqali

almashtirish yo’li bilan differensial tenglamani chekli — ayirmali (algebraik) tenglamaga keltirishdan iborat . Masalan, biror ko’rsatilgan G kontur bilan chegaralangan D sohantng ichida ushbu δ2u δx 2+ δ2u δx 2= 0 Laplas tenglamasini, G chegarada esa ma’lum shartlarni qanoatlantiruvchi i(x, u) funksiyani toppsh talab etilsin (2- chizma). Shu maqsadda XOU tekisligida o’zaro perpendikulyar x= x0+ih va y= y0+kl ( i,k = 0 , ± 1, ± 2, . . .) to’g’ri chiziklar oilalarini D sohani qoplaydigan qilib chizaylik. Hosil bo’lgan to’rdan G egri chiziqli konturni_yaxshi approksimasiyalovchi G to’rli kontur ajratiladi. G kontur D to’rli sohani chegaralaydi. D sohaning har qaysi (x i , u k ), i , k = 0, ± 1, ± 2 , . . . nuqtasi uchun ayirmali tenglama yechimining u ik qiymati. topilishi kerak. Bu qiymatlar (1) differensial teng lamaning takribiyechim qiymatlaridan iboratdir. G kontur shunday yasaladiki, berslgan egri chiziqli G kontur G bilan chegaralangan to’rning ikki qo’shni ichki tuguni oralig’idan emas, balki bitta chegara va bitta ichki tugun orasidan o’tadigan bo’lsin. (1) tenglamaga ushbu uxx+uyy= 0 ayirmali tenglama muvofiq keladi, bunda

uxx= u(x+h,y)−u(x,y) h − u(x,y )-u (x-h,y ) h h = 1 h2|u(x+h,y)−2u(x,y )-u (x-h,y )|, uxx= 1 h2|ui+1,k -2u ik+ui-1,k | uyy= 1 h2|ui+1,k -2u ik+ui-1,k | TUR METODI, TURRUNLIK, APPROKSIMASIYa VA YaKINLAShISh Tur metodi (chekli-ayirmali metod) xususiy xosilali differensial tenglamalarni yechishning keng tarkalgan metodlaridandir. L(u)=a ∂2u ∂x12 +2b ∂2u ∂x1x2 +c ∂2u ∂x22 |+d ∂u ∂x1 +e ∂u ∂x2 gu = f Tup met odining goy asi . Tur metodining goyasi bilan tenglama uchun Dirixle masalasini yechish misolida tanishamiz. Bunda a, b , s, d, ye, g koeffisiyentlar va ozod x, ad chegarasi G dan iborat bulgan chekli D soxada anikutangan ikki x, va x2 uzgaruvchilarning funksiyalaridir. Bu funksiyalar G = GUG yopik soxada aniklangan xamda G da a > 0, s > 0 va g< 0 shartlarni kanoatlantiradi, deb faraz kilamiz. Faraz silaylik, (2.1) tenglamaning G da uzluksiz va G da berilgan kiymatlarni sabul siladigan, ya’ni i | g = φ Є G ( 2 . 2 ) yechimini topish talab silinsin, bunda φ = φ (x 1 x 2 ) uzluksiz funksiyadir. Takribiy yechimning sonli siymatlarini topish uchun O x 1 x 2 tekisligida x1i= x 10+ ih 1,x2k=x 20+ kh 2, ( i,k=0, ±1, , ± 2, , ±3… .) parallel tugri chizislarning ikkita oilasini utkazamiz. Bunda h 1 va h 2 mos ravishda abssissa va ordinata yunalishlaridagi k,adamshr deyiladi. Bu tufi chizisl arning kesishgan nusgalari tugushar deyiladi, tugunlar tuplami esa turni tashkil etadi. Odatda h 1 va h 2 sadamlar bir-biriga boglis ravishda tanlanadi, masalan h 1 = h 2

Ayirmali sxemalar, ularni qurish va differensial masalani approksimasiyalash. Dirixle masalasi. Chekli — ayirmali tenglamalar sistemasini iterasiya usuli bilan yechish (Libman o’rtalash jarayoni)

08.08.2023

0

76.44140625 KB

Похожие