logo
  1. Главная страница
  2. Рефераты
  3. Общий
  4. Issiqlik o’tkazuvchanlik masalalarini chekli ayirmali sxemalar yordamida yechish.

Issiqlik o’tkazuvchanlik masalalarini chekli ayirmali sxemalar yordamida yechish.

Загружено в:

08.08.2023

Скачано:

0

Размер:

467.5390625 KB
Скачать
Mavzu: Issiqlik o’tkazuvchanlik masalalarini chekli ayirmali sxemalar yordamida yechish. Reja: I. Kirish. II. Asosiy qism. 1. Chekli ayirmali sxemalar to`g`risida tushunchalar. Differentsial operatorning chekli ayirmali ( CHA ) approksimatsiyasi . Chekli ayirmali masalaning q o` yilishi . 1.1. To’r va to’r funksiyalar. 2. Issiqlik o’tkazuvchanlik masalalari uchun algoritmlar. 2.1. Oddiy differensial operatorlarning ayirmali approksimatsiyasi 2.2. Ikkinchi tartibli ODT uchun chegaraviy masalalarni o`q otish va chekli ayirmalar usuli bilan yechish. 2.3. Chekli ayirmalar usuli. Progonka usulining turg`unligi. 3. Chiziqli bo`lmagan issiqlik o`tkazuvchanlik tenglamasi uchun chekli ayirmali sxemalar tuzish 3.1. Kvazichiziqli issiqlik o`tkazuvchanlik tenglamasi. 3.2. Ayirmali sxema. N’yuton usuli . III. Xulosa. IV. Foydalanilgan adabiyotlar. 1 Kirish Issiqlik o’tkazuvchanlik deb issiqlikni muhitda molekulyar uzatishga aytiladi. Bu jarayon temperaturaning tekis taqsimlanmagan holatida ro’y beradi. Bu holda issiqlik har xil temperaturali zarrachalarning bevosita tutashtirish hisobiga uzatiladi va molekulalar, atomlar va ozod elektronlar orasida energiya almashinuviga olib keladi. Issiqlik o’tkazuvchanlik moddaning agregat holatiga, uning tarkibiga, temperaturasiga, bosimiga va boshqa xarakteristikalariga bog’liq. Ko’p hollarda suyuq holdagi moddaning issiqlik o’tkazuvchanligi gaz holatdagi moddaning issiqlik o’tkazuvchanligidan taxminan o’n marta ko’p bo’ladi. Qattiq jism uchun issiqlik o’tkazuvchanlik erish nuqtasi atrofida suyuqlikka qaraganda (suyuq vismut, olova va tellurdan tashqari) ancha yuqori bo’ladi. Amaliyotda jism ichidagi va uning chegarasi yaqinidagi issiqlik o’tkazuvchanlik har xil bo’lishi tez-tez uchrab turadi. Bu farqlanish issiqlik uzatish jarayoning borish shartlarining o’zgarishi bilan, hamda modda strukturasining o’zgarishi bilan (termik qayta ishlash tekshirish, ko’p ishlatish va hakazo natijasida sodir bo’ladi. Ushbu ishda chiziqli bo’lmagan issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi uchun chekli ayirmali sxemalar tuzish masalasi qaraladi. Issiqlik o’tkazuvchanlikka tashqi shart- sharoitlar, masalan, nurlanish, bosimning o’zgarishi, magnit maydoni sezilarli ta’sir qilishi mumkin. 2 1. Chekli ayirmali sxemalar to`g`risida tushunchalar. Differentsial operatorning chekli ayirmali ( CHA ) approksimatsiyasi . Chekli ayirmali masalaning q o` yilishi . Nostatsionar issiqlik o’tkazish tenglamasi dekart koordinata sistemasida quyidagi tenglama yordamida yoziladi: ρc ∂ T ∂ t = ∂ ∂ x( λ ∂ T ∂ x ) + ∂ ∂ y ( λ ∂ T ∂ y ) + ∂ ∂ z ( λ ∂ T ∂ z ) + Q w ( x , y , z , t , T ) (1) Bu tenglama (Furye - Kirxgorf) tenglamasi jismning ixtiyoriy nuqtasidagi temperaturaning fazoviy va vaqtga bog’liq o’zgarishlarini bog’lab turadi. Bu yerda ρ−¿ zichlik, c − ¿ nisbiy issiqlik sig’imi, λ−¿ issiqlik o’tkazuvchanlik koeffisiyenti, Qw(x,y,z,t,T) -issiqlik manbayining ichki quvvati. tenglama konduktiv issiqlik uzatish jarayoni rivojlanishining ko’plab variantlarini ifodalaydi. Son-sonoqsiz variantlardan bittasini tanlash va unga to’liq matematik bayon qilish uchun (1) tenglamaga bir qiymatlilik shartini qo’yish kerak. Bu shart geometrik , fizik, boshlang’ich va chegaraviy shartlarni o’z ichiga oladi. Issiqlik o’tkazuvchanlik koeffisiyenti ko’p xollarda temperaturaga bog’liq bo’ladi. Masalan UO 2 urandioksidining Issiqlik o’tkazuvchanlik koeffisiyentini xisoblash uchun quyidagi bog’liqlikdan foydalaniladi: λ(T )= 5500 560 +T +0.942 ⋅10 −10 T 3 (2) Bu xolda bir o’lchovli chiziqli bo’lmagan issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi quyidagi ko’rinishda bo’ladi: ρс ∂ T ∂t = ∂ ∂ x (λ(T )∂ T ∂ x ),0< x< L . (3) (3) tenglama uchun 3 t= 0: T = T0,0≤ x≤ L, x= 0: T= T h,t>0; x= L:T = Tc,t>0.(4) chegaraviy masalani qaraymiz. 1.1. To’r va to’r funksiyalar. Berilgan differentsial tenglamani taqribiy ifodalovchi ayirmali sxemalarni yozish uchun quyidagi ikkita amal bajarilishi kerak . 1. Argumentning uzluksiz o`zgarish sohasini uning diskret o`zgarish sohasiga almashtirish kerak ; 2. Differentsial operatorni qandaydir chekli ayirmali operatorga almashtirish, bundan tashqari chegaraviy shartlar va boshlang`ich ma`lumotlar uchun ayirmali almashtirishlar tuzish kerak . Bu jarayon amalga oshirilgandan keyin algebraik tenglamalar sistemasiga o`tamiz. Uzluksiz argumentning barcha qiymatlari uchun ayirmali masalani y echib bo`lmaydi. SHuning uchun bu sohada qandaydir chekli sondagi nuqtalar to`plami olinadi va faqat shu nuqtalarda taqribiy yechim izlanadi. Bunday nuqtalar to`plamiga to`r deyiladi. Nuqtalarning o`zi esa to`r tugunlari deb ataladi. To`r tugunlarida aniqlangan funktsiyaga to`rli funktsiya deyiladi. SHunday qilib differentsial tenglama yechimlari fazosini to`r funktsiyalar fazosi bilan almashtirdik. 1 - misol . Kesmada tekis to`r. [0,1 ] kesmani N ta teng bo`lakga bo`lamiz. h= xi− xi−1=1/N to`r qadami deb ataladi. Bo`linish nuqtalari xi=ih - to`r tugunlari deyiladi. Barcha tugunlar to`plami ωh={xi=ih ,i=1,N−1} to`rni tashkil qiladi. Bu to`plamga x0=0,xn=1 chegaraviy nuqtalarni qo`shish mumkin, ya`ni ωh={xi=ih,i=0,N} deb belgilaymiz. 2 - misol. Tekislikda tekis to`r . D = {0≤ x≤ 1,0≤ t≤ T } sohada aniqlangan ikki o`zgaruvchili u(x,t) funktsiyalar to`plamini qaraymiz. 4 x o`qining [0,1 ] va t o`qining [0,T] kesmalarini mos ravishda N1 va N2 ta bo`laklarga bo`lamiz. h=1/N1,τ=T/N2 bo`lsin. Bo`linish nuqtlaridan o`qlarga parallel to`g`ri chiziqlar o`tkazamiz. Natijada bu to`g`ri chiziqlar kesishishidan (xi,tj) tugunlarni hosil qilamiz, ular ωhτ={(xi,tj)∈D} to`rni tashkil qiladi. Bu to`r x va yo`nalishlar bo`yicha h va τ qadamlarga ega . S h unga o`xshash kesmada yoki tekislikda notekis to`rni qurish mumkin . x=(x1,x2) tekislikda G chegarali murakkab ko`rinishli G soha berilgan bo`lsin. x1i= ih 1,x2j= jh 2, i,j=0,±1,±2,...,h1,h2>0 to`g`ri chiziqlar o`tkazamiz. U holda (ih1,jh2) to`rni hosil qilamiz. « ∘ » bilan ichki, « ¿ » bilan esa tashqi nuqtalar belgilangan. Ichki nuqtalar to`plamini ωh bilan, chegaraviy nuqtalar to`plamini γh bilan belgilaymiz. Shunday qilib ωh to`r ox1,ox2 yo`nalishlar bo`yicha tekis, ammo G soha uchun ωh= ωh+γh to`r esa chegara yaqinida notekis. 5 Uzluksiz x∈G argumentli u(x) funktsiyalar o`rniga y(xi) to`r funktsiya olinadi. y(xi) to`r funkiyani vektor ko`rinishda berish mumkin. Odatda {ωh} to`r to`plami h qadamga bog`liq bo`ladi. Mos ravishda yh(x) to`r funktsiyalar ham h parametrdan bog`liq bo`ladi. Agar to`r notekis bo`lsa h sifatida h=(h1,h2,...,hn) vektor qaraladi. Uzluksiz argumentli u(x),x∈G funktsiyalar qandaydir H0 funktsional fazo elementlaridan iborat. yh(x) to`r funktsiyalar esa Hh fazoning elementlari. SHunday qili chekli ayirmalar usuli H0 fazoni yh(x) to`r funktsiyalarning Hh fazosiga o`tkazadi. H0 fazodagi ‖¿‖0 norma kabi Hh chiziqli fazoda ‖¿‖h norma kiritiladi. Bir qator normalarni keltiramiz 1) C da normaning to`r ko`rinishi : ‖y‖c=maxx∈¯ωh |y(x)| yoki ‖y‖c= max 0≤i≤N |yi| . 2) L2 da normaning to`r ko`rinishi : ‖y‖=(∑i=1 N−1 yi2h) 1 2 yoki ‖y‖=(∑i=1 N yi2h) 1 2 . Taqribiy usullar nazariyasining asosiy e`tibori yh ning u(x) ga yaqinligini baholashga qaratiladi. Biroq yh va u(x) lar turli fazolarning vektorlaridir. Baholashning ikkita imkoniyati mavjud: 1) ωh(G) da berilgan yh funktsiya G sohaning barcha nuqtalarida aniqlanadi (masalan, chiziqli interpolyatsiya yordamida). Natijada x∈G uzluksiz argumentli ~y(x,h) funktsiyani olamiz. ~y(x,h)−u(x) ayirma H0 ga tegishli bo`ladi. yh ning u ga yaqinligi ‖~y(x,h)−u(x)‖0 bilan xarakterlanadi, bunda ‖¿‖0 - H0 dagi norma. 2) H0 fazo Hh ga akslantiriladi. Har bir u(x)∈H0 funktsiyaga mos uh(x),x∈ωh to`r funktsiyaga o`tkaziladi, ya`ni uh=ℜhu∈H h . Bunda ℜh - H0 dan Hh ga o`tkazuvchi 6 chiziqli operator. Bu moslikni turli yo`llar bilan amalga oshirish mumkin (ℜh turli operatorlarni tanlash bilan). Agar u(x) uzluksiz funktsiya bo`lsa, uh(x)=u(x) deyish mumkin, bu erda x∈ωh . Ba`zan xi∈ωh tugunda uh(xi) berilgan xi∈ωh tugunning qandaydir atrofi bo`yicha u(x) ning o`rta integral qiymati bilan aniqlanadi. Bundan keyin u(x) - uzluksiz funktsiya va barcha xi∈ωh lar uchun uh(xi)=u(xi) bo`ladi deb faraz qilamiz. uh to`r funktsiyaga ega bo`lib, Hh fazoning vektori bo`lgan yh−uh ayirmani hosil qilamiz. yh ning u ga yaqinligi ‖yh−uh‖h bilan xarakterlanadi, bunda ‖¿‖h - Hh dagi norma. Bunda Hh fazodagi norma ‖¿‖0 normani barcha u∈H0 vektor uchun approksimatsiyalaydi lim h→0 ‖uh‖h=‖u‖0 deb faraz qilish tabiiydir. Bu shartni Hh va H0 fazodagi normalarning o`zaro kelishganlik sharti deb ataymiz. Biz bundan keyin ikkinchi yo`ldan foydalanamiz. 7 2. Issiqlik o’tkazuvchanlik masalalari uchun algoritmlar. 2.1. Oddiy differensial operatorlarning ayirmali approksimatsiyasi.Lv chiziqli differentsial operator bo`lsin. Lv ga kiruvchi hosilalarni ayirmali munosabatlar bilan almashtiramiz, Lv o`rniga shablon deb ataluvchi biror to`r tugunlari to`plamida vh to`r funktsiya qiymatlarining chiziqli kombinatsiyasidan iborat Lhvh ni hosil qilamiz: Lhvh(x)= ∑ ξ∈Ш (x) Ah(x,ξ)vh(ξ) yoki (Lhvh)i= ∑ xj∈Ш (xi) Ah(xi,xj)vh(xj) , bu erda Ah(x,ξ) - koeffitsient lar , h - to`r qadami , Ш (x) - x nuqtadagi shablon . Lv ni Lhvh ga bunday taqribiy almashtirish differentsial operatorni ayirmali operator bilan approksimatsiyalash deyiladi ( yoki L operatorning ayirmali approksimatsiyasi deyiladi ). L operatorni ayirmali approksimatsiyaga keltirishda shablon tanlash zarur, ya`ni L operatorni approksimatsiyalash uchun qo`llash mumkin bo`lgan v(x) to`r funktsiyaning qiymatlaridan bog`liq bo`lgan x tugun bilan qo`shni tugunlar to`plamini ko`rsatish kerak. Lemma . Agar v∈C(2)[x− h,x+h] bo`lsa vxx= v(x+h)−2v(x)+v(x− h) h2 =v''(ξ), ξ= x+θ h,|θ|≤ 1 , va agar v∈C(4)[x− h,x+h] bo`lsa vxx=v''(x)+h2 12 v(4)(ξ), ξ= x+θ1h,|θ1|≤1 , formulalar o`rinli bo`ladi . Isbot . Integral shakldagi qoldiq hadi bilan olingan Teylor formulasidan foydalanamiz v(x)= v(a)+(x− a)v'(a)+...+ (x− a)r r! v(r)(a)+ R r+1(x) , (5) bunda 8 Rr+1(x)= 1 r!∫ a x (x− ξ)rvr+1(ξ)dξ = (x− a)r+1 r! ∫ 0 1 (1− s)rvr+1(a+s(x− a))ds. Integral uchun o`rta qiymat haqidagi teoremani qo`llaymiz Rr+1(x)= (x− a)r+1 (r+1)! v(r+1)(ξ) , bunda ξ - [a,x] kesmada x ning o`rta qiymati , ξ= a+θ (x− a), 0≤ θ≤ 1, ∫ 0 1 (1− s)rds = 1 r+ 1 . ( 5 ) da x n i x+h va a n i x bilan almashtirib , r=1 va r=3 uchun mos ravishda quyidagilarni olamiz v(x+h)= v(x)+hv'(x)+h2∫ 0 1 (1− s)v''(x+sh )ds , (6) v(x+h)= v(x)+hv'(x)+ h2 2 v''(x)+ h3 6 v'''(x)+ h4 6 ∫ 0 1 (1− s)3v(4)(x+sh )ds . (7) Bu erda h n i −h ga, s n i −s almashtirib v(x− h)= v(x)− hv'(x)+h2∫ −1 0 (1+s)v''(x+sh )ds , (8) v(x− h)= v(x)− hv'(x)+ h2 2 v''(x)− h3 6 v'''(x)+ h4 6 ∫ −1 0 (1+s)3v(4)(x+sh )ds (9) formulalarni olamiz. (6), (8) dan quyidagini olamiz vxx= v(x+h)− 2v(x)+v(x− h) h2 = ∫ −1 1 g2(s)v''(x+sh )ds , bunda g2(s)={ ¿1+sagar −1≤s≤0да , ¿1− sagar 0≤s≤1да . 9 g2(s)≥ 0 bo`lganligidan o`rta qiymat haqidagi teoremadan foydalanish mumkin, natijada vxx= v''(x+θh )∫ −1 1 g2(s)ds = v''(x+θx )= v''(ξ), − 1≤ θ≤ 1 , bu y erda ξ - [x− h,x+h] kesmada o`rta nuqta . (7) va (9) dan vxx= v''(x)+ h2 6 ∫ −1 1 g4(s)v(4)(x+sh )ds hosil qilamiz, bu erda g 4 ( s) = { ¿ ( 1 + s ) 3 agar − 1 ≤ s ≤ 0 да , ¿ ( 1 − s ) 3 agar 0 ≤ s ≤ 1 да , ∫ −1 1 g4(s)ds = 1 2 . g4(s)≥0 v a v(4)(x) uzluksizligidan , o`rta qiymat haqidagi teoremani qo`llab vxx= v''(x)+ h(4) 12 (x+θh ) , |θ|≤1 ni olamiz va shu bilan lemma isbotlanadi. 4 misol . Lv = ∂v ∂x− ∂2v ∂x2 , v= v(x,t) . (x,t) - tekislikda nuqta bo`lsin . Shablon ni aniqlaymiz . U to`rtta nuqtadan tashkil topgan bo`lsin (a rasm ). 10 Lhτ ni quyidagicha aniqlaymiz Lhτ (0)v= v(x,t+τ)− v(x,t) τ − v(x+h,t)− 2v(x,t)+v(x− h,t) h2 . Quyidagi belgilashlarni kiritamiz v= v(x,t), v= v(x,t+τ), ˘v= v(x,t− τ) . Unda vt= v(x,t+τ)− v(x,t) τ = v− v τ va Lhτ (0)= vt− vxx . (10) b rasmdagi shablondan foydalanilganda, t+τ momentda vxx olinsa, u holda Lhτ (1)= vt− vxx . (11) 11 (1 0 ) va (1 1 ) larning chiziqli kombinatsiyasini olib, σ≠ 0 va σ≠1 bo`lganda oltinuqtali shablonda (v rasm) aniqlangan chekli operatorlarning bir parametrli oilasini hosil qilamiz Lhτ (σ)v= vt− (σvxx+(1− σ)vxx) . (12) Lhτ(0) operatorlar Lhτ(1) ning approksimatsiya tartibiga ega, (12) esa σ<0,5 bo`lganda O (h2+τ) , σ=0,5 bo`lganda O (h2+τ2) approksimatsiya tartibiga ega. 5 misol . Lv = ∂2v ∂t2− ∂2v ∂x2 . Quyidagi shablonlardan foydalanilamiz Approksimatsiyalardan biri (v rasm) L hτ = vtt− vxx , (13) bunda 12 vtt= (v(x,t+τ)− 2v(x,t)+v(x,t− τ))/τ2. a) shablonda: Lhτ v= vtt− vxx . (14) To`qqiznuqtali shablonda (g rasm) ayirmali operatorlarning ikkiparametrli oilasini yozish mumkin Lhτ (σ1,σ2)v= vtt− (σ1vxx+(1− σ1− σ2)vxx+σ2˘vxx) . (15) (15) dan σ1= σ2=0 bo`lganda (13), σ2=0,σ1=1 bo`lganda esa (14) kelib chiqadi. (13), (14), (15) ayirmali operatorlar O (h2+τ2) approksimatsiya tartibiga ega. 2.2. Ikkinchi tartibli ODT uchun chegaraviy masalalarni o`q otish va chekli ayirmalar usuli bilan yechish. Progonka usulining turg`unligi. Chegaraviy masalalarni yechishning sonli usullarini qaraymiz. Ularni ikkita guruhga ajratish mumkin: 1) Chegaraviy masala y echimini ketma-ket Koshi masalalarini y echishga keltirish; 2) Chekli ayirmalar usullarini qo`llash. Birinchi guruh usullariga, xususan, o`q otish usuli kiradi. O`q otish usuli [0,1] kesmada ikkinchi hosilaga nisbatan yechilgan ikkinchi tartibli tenglama uchun chegaraviy masalani qaraymiz: y''= f(x,y,y'). (1 6) H ar qanday kesmani t= x− a b− a almashtirish yordamida [0,1] kesmaga keltirish mumkin. Chegaraviy shartni quyidagi oddiy ko`rinishda olamiz y(0)= y0, y(1)= y1 . (17) 13 O`q otish usulining mo і iyati (1), (2) chegaraviy masalani yechishni (1) tenglama uchun y(0)= y0, y'(0)= k= tg α , (18) boshlang`ich shartli masala yechimiga keltirishdan iborat, bunda  - parametr x= 0 nuqtada integral chiziqga o`tkazilgan urinmaning 0x o`qi bilan hosil qilgan burchagidir . (16), (17) Koshi masalasini  dan boғliq deb hisoblaylik , ya`ni y=y(x,  ) , shunday y=y(x,  * ) integral chi ziqni izlaymizki, u (0,y 0 ) nuqtadan chiqib (1, y 1 ) nuqtaga tushsin . SHunday qilib, agar  =  * bo`lsa, u holda y(x,  ) Koshi masalasi yechimi y(x) chegaraviy masala yechimi bilan ustma-ust tushadi. x=1 da (16) (17)(18)ni hisobga olib y(1,α)= y1 ni hosil qilamiz y(1,  )-y 1 =0. (19) Demak F(  )=0 ko`rinishdagi tenglamani hosil qildik, bunda F(  )=y(1,  )-y 1 . (19) tenglamani y echish uchun chiziqlimas tenglamlarni yechishning birorta usulini qo`llash mumkin. 2.3. Chekli ayirmalar usuli . Quyidagi Lu = u''+ p(x)u'+ q(x)u= f(x), (20) tenglamaning l0y= c1y(a)+c2y'(a)= c, l1y= d1y(b)+d2y'(b)= d. (21) shartlarni qanoatlantiruvchi y echimini topish talab etilgan bo`lsin. 141 y(x, )y(x, 1 ) xy 0y y 1 Masalani sonli yechish izlanayotgan u(x) haqiqiy yechimning x 0 , x 1 , x 2 ,..., x n nuqtalardagi y 0 , y 1 ,...y n taqribiy qiymatlarini topishdan iborat. x i , nuqtalar to`r tugunlari deb ataladi. Bir-biridan bir xil uzoqlikda joylashgan tugunlar sistemasidan hosil bo`lgan quyidagi tekis to`rni qo`llaymiz x i =x 0 +ih, i=0,1,2,...,n. Bundan x 0 =a, x n =b, h=(b-a)/n. h – kattalik to`r qadami . Quyidagi belgilashlarni kiritamiz p(x i )=p i , q(x i )=q i , f(x i )=f i ,y(xi)= yi, y'(xi)= yi ', y''(xi)= yi ''. y'(xi) va y''(xi) larni har bir ichki tugunda ayirmali markaziy hosilalar yordamida a pproksim atsiyalaymiz y'(xi)= yi+1− yi−1 2h +O (h2) , y''(xi)= yi+1− 2 yi+ yi−1 h2 +O (h2). Kesma oxirilarida bir tomonlama ayirmali іosilalarni qo`llaymiz y0 '= y1− y0 h +O (h), yn '= yn− yn−1 h +O (h). Bu formulalarni qo`llab (20), (21) berilgan masala ayirmali approksimatsi yasini hosil qilamiz : { y i+1 −2y i +y i−1 h 2 +p i y i+1 −y i−1 2h +q i y i =f i , i=1,n−1,¿ { c 1 y 0 +c 2 y 1 −y 0 h =c, ¿¿¿¿ (22) Izlanayotgan y echimning y 0 , y 1 ,…, y n taqribiy qiymatlarini topish uchun (22) n+1 noma`lumli n+1 ta chiziqli tenglamalar sistemasini y echish zarur . Bu sistemani CHATS ni y echishning biron bir standart usullari yordamida y echish mumkin. Ammo (22) 15 tenglamalar koeffitsient laridan tuzilgan matritsa uch dioganallidir , shuning uchun uni y echishda progonk a usuli deb ataluvchi maxsus usulni qo`llaymiz . (22) sistem ani quyidagi tarzda yozamiz {β 0 y 0 +γ 0 y 1 =ϕ 0¿{α i y i−1 +β i y i +γ i y i+1 =ϕ i , i=1,2,...,n−1¿¿¿¿ (23) bunda  0 = c 1 h-c 2 ,  0 =c 2 ,  0 =s 2 ,  0 =hs ,  I =f i h 2 , αi= 1− 1 2 pih , βi= − 2+ qih2 , γi= 1+ pih 2 , i= 1,2 ,...,n− 1 ,  n = – d 2 ,  n =hd 1 + d 2 ,  n =hd. (23) sistem a y echimini quyidagi ko`rinishda izlaymiz y i =u i +v i y i+1 , i=0, 1, . . . , n-1, (24) bu y e r da u i , v i , i=0,1,…,(n-1) lar progon ka koeffisient lari deb ataladi . (24) ni (23) ga qo`yib u i , v i lar uchun quyidagi rekkurent formul ani hosil qilamiz : vi= − γi βi+αivi−1 , ui= ϕi− αiui−1 βi+ αivi−1 , i= 1 ,n. (25) Hisoblash sxemasini bir jinsli qilish uchun  0 =0,  n =0 , deb olamiz. Progonka usuli ikki bosqichdan iborat . 1) Progonkaning to` g` ri yo`li . (25) bo`yicha i indes o`zgarishining o`sib borish tartibida ketma-ket u i , v i koeffitsient lar v0= − γ0 β0 , u0= ϕ0 β0 , qiymatlar yordamida hisoblanadi. 2) Progonkaning teskari yo`li. (24) formula bo`yicha i indeksning kamayish tartibida ketma-ket y n , y n-1 ,…,y 0 kattaliklar aniqlanadi. 16 S h unday qilib  n =0, u holda v n =0 va y n =u n , ya`ni progonkaning to`ғri yo`lida v i , u i kattaliklar yordami bilan y n y echim hisoblanadi. Shunday qilib, progonka usuli bilan (24) sistemaning aniq yechimini topa olamiz, bu esa (20), (21) chegaraviy masala yechimi xatoligi faqat berilgan masala ayirmali approksimatsiya xatoligi bilan aniqlanishini va xatolik O(h) ga teng ekanligini ko`rsatadi . (24) sistemani αiyi−1− βiyi+γiyi+1= ϕi, i= 1,n− 1 , y0= χ1y1+μ1, yn= χ2yn−1+μ2, (26) ko`rinishda yozamiz, bu erda χ1= − γ0 β0 , μ1= ϕ0 β0 , χ2= − αn βn , μ1= ϕn βn , βi= 2− qih2, αi≠ 0 , βi≠ 0 . U holda (25) formul a quyidagi ko`rinishga ega bo`ladi : vi= γi βi− αivi−1 , ui= αiui−1− ϕi βi− αivi−1 . (27) x= b nuqtada ( ya`ni i= n da ) yn {y n = χ 2 y n−1 +μ 2¿¿¿¿ sistem adan yn yn= χ2(un−1+vn−1yn)+ μ2, (1− χ2vn−1)yn= χ2un−1+ μ2 yn= χ2un−1+ μ2 1− χ2vn−1 (28) kabi aniqlanadi. ( 27 ), ( 28 ) formulalar ma`noga ega bo`ladigan etarlilik shartlarini isbotlaymiz: |βi|≥ |αi|+|γi|, i= 1 ,n− 1 , |χi|≤ 1 , i= 1,2 , |χ1|+|χ2|< 2. (29) Bu shartlarda i= 0,n− 1 uchun |vi|≤ 1 bo`lishini ko`rsatamiz. 17 |vi−1|≤1 bo`lsin. Bundan |vi|≤ 1 bo`lishini ko`rsatamiz. SHunday qilib |v0|=|χ1|≤ 1 , u holda bundan barcha i= 1,2 ,...,n− 1 lar uchun |vi|≤ 1 bo`lishligi kelib chiqadi. (29) qo`llab quyidagi ayirmani baholaymiz |βi− αivi−1|−|γi|≥|βi|−|αi|⋅|vi−1|−|γi|≥ ¿|αi|+|γi|− |αi|⋅|vi−1|− |γi|= |αi|− |αi|⋅|vi−1|= |αi|⋅(1− |vi−1|)≥ 0 . Bundan |βi− αivi−1|≥|γi| . S h unday qilib γi≠ 0 , u holda |βi− αivi−1|>0 , ya`ni |vi|= |γi| |βi− αivi−1| ≤ 1 . Bundan ko`rinadiki agar |vi−1|<1 bo`lsa , u holda |vi|<1 bo`ladi . |v0|=|χ1|<1 da barcha |vi|<1 bo`ladi. (25) ning maxrajini baholaymiz: |1− χ2vn−1|≥ 1−|χ2|⋅|vn−1|≥ 1−|χ2|>0 , bundan |χ2|<1 yoki |vn−1|<1 ( |χ1|<1 da), ya`ni |1− χ2vn−1|>0 . Agar |βi0|>|αi0|+|γi0| hech bo`lmaganda bitta i= i0 nuqtada bajarilsa , u holda barcha i>i0 uchun |vi|<1 bajariladi va jumladan i= n− 1 da |vn−1|<1 ga ega bo`lamiz . Bu holda |χ1|+|χ1|<2 shart ortiqcha hisoblanadi , chunki |χ1|=1 va |χ2|=1 da |1− χ2vn−1|≥ 1−|χ2|⋅|vn−1|>0 bo`ladi . 18 3. Chiziqli bo`lmagan issiqlik o`tkazuvchanlik tenglamasi uchun chekli ayirmali sxemalar tuzish . 3.1. Kvazichiziqli issiqlik o`tkazuvchanlik tenglamasi. Yuqori temperaturada o`tuvchi jarayonlar uchun, masalan plazmada, issiqlik o`tkazuvchanlik koeffitsienti temperaturaning chiziqlimas funktsiyasi bo`ladi (zichligi ham), bir qator masalalarda esa temperatura gradienti funktsiyasi ham chiziqlimas funktsiya bo`ladi. Bundan tashqari yana issiqlik manbalari (issiqlik o`tkazuvchanlik tenglamasining o`ng tarafi) temperaturadan bog`liq bo`lishi mumkin, masalan issiqlik ximyaviy reaktsiya natijasida ajralsa. Muhitning issiqlik sig`imi ham temperaturadan bog`liq bo`lishi mumkin.Shu tarzda biz chiziqlimas issiqlik o`tkazuvchanlik tenglamasiga kelamiz:∂ε(x,t,u) ∂t =− ∂w ∂x+ f(x,t,u), bunda issiqlik oqimi (  - ichki e nergiya) quyidagicha bo`ladi w= w(x,t,u,∂u ∂x) va u ham i temperatur a va uning hosilasining chiziqlimas funktsiyasi bo`ladi . Agar issiqlik oqimi di/dx hosiladan chiziqli bog`liq bo`lsa va Fur’e qonuni bajarilsa w=− k(x,t,u)∂u ∂x , u holda biz kvazichiziqli issiqlik o`tkazuvchanlik tenglamasini hosil qilamiz c(x,t,u)∂u ∂t = ∂ ∂x(k(x,t,u)∂u ∂x)+ f(x,t,u), c(x,t,u)>0, k(x,t,u)>0. Bu holda issiqlik sig`imi s , issiqlik o`tkazuvchanlik koeffitsient i k va o`ng taraf f (issiqlik manbalari zichligi) u ( x , t ) temperatur adan bog`liq . Birjinslimas muhitda k, s, f lar x va t ning uzulishli funktsiyalari bo`lishi mumkin ( har xil moddalar uchun k, s, f lar u temperaturadan har xil bog`liq bo`lishi mumkin ). k=k(u), c=c(u) , f=f(u) funktsiyalar faqat u temperatur adan bog`liq hol tipik hol sanaladi : 19 c(u)∂u ∂t = ∂ ∂x(k(u)∂u ∂ x)+ f(u). ( 30 ) Y a ngi o`zgaruvchi kiritsak v=∫ 0 u k(ξ)dξ , (30) tenglama ushbu ko`rinishga keladi ∂ϕ (v) ∂ t = ∂2v ∂ x2+ ^f(v), ϕ(v)= ∫ 0 u c(ξ)dξ . Agar o`zgaruvchini   ∫  u d c v 0 ,  deb kiritsak, u holda (30) o`rniga quyidagi tenglamani hosil qilamiz ∂v ∂t = ∂ ∂x(χ(v)∂v ∂x)+~f(v), shunday qilib ∫ 0 v χ(v)dv =∫ 0 u k(u)du tenglik bajariladi ( bu x bo`yicha differentsi allab tekshiriladi ). Ko`pincha s(i) va k(i) temperatur aning darajali funktsiya si ko`rinishida bo`ladi c(u)= c0uα, k (u)= k0uβ. Bu holda v= ∫ 0 u c(ξ)dξ = c0 uα+1 α+1 o`zgaruvchini kiritamiz va k ∂u ∂ x = k c0uα ∂v ∂ x = k0 c0 uβ−α∂v ∂ x = k0 c0( α+1 c0 ) β−α α+1v β−α α+1 ∂v ∂x , 20 ekanligini hisobga olib (1) tenlamani quyidagi ko`rinishga keltiramiz∂v ∂t = ∂ ∂ x(χ0vσ∂v ∂ x)+~f(v), σ= β− α α+1 , χ0= k0 c0( α+1 c0 ) β− α α+1 . 3.2. Ayirmali sxema. N’yuton usuli . Agar k(u), s(u), f(u) lar temperaturaning tez o`zgaruvchi funktsiyalari bo`lsa kvazichiziqli issiqlik o`tkazuvchanlik tenglamasi uchun oshkor sxemalarni qo`llash ma q sadga muvofiq emas. Oshkor sxemaning turg`unlik sharti τ h2≤ 1 2 min c(u) max k(u) bo`lib, vaqt bo`yicha kichik qadamni talab etadi, k , s funktsiyalar qiymatlari ko`pincha katta bo`lmagan tugunlar sonida aniqlanadi . S h uning uchun shartsiz turg`un oshkormas sxemalar qo`llaniladi. Avval ushbu tenglamani ∂ϕ(u) ∂t = ∂2u ∂x2, 0<x<1, (31) quyidagi boshlang`ich va chegaraviy shartlar bilan qaraymiz u(x,0)= u0(x), u(0,t)= μ1(x), u(1,t)= μ2(t). y j+1 ga nisbatan chiziqsiz ayirmali sxemani qo`llaymiz ϕ(y j+1)− ϕ(y j) τ = yxx j+1, x= xi= ih , 0< i< N , hN = 1. (32) y j+1 y echimni yangi qatlamda topish uchun biz chiziqlimas tenglamaga ega bo`lamiz     .11 jj xxj yyy      Uni y echish uchun N’yuton iteratsion usulini qo`llaymiz ϕ(y) k +ϕ'(y) k ( y k+1 − y k )− τ y k+1 xx= ϕ(yj). ( 33 ) 21 F = ϕ (x )+ x− f= 0 , ϕ(x)= ϕ (y j+1) , x= − τy xx j+1 , f= ϕ (y j) , xk+1= xk− F (xk) F '(xk) , xk+1− xk= − ϕ+ xk− f ϕ'+1 , (xk+1− xk)(ϕ'+1)= − ϕ− xk+ f , ϕ+(xk+1− xk)ϕ'+xk+1= f - ( 33 ) bilan solishtiring . Bu erda y k+1 ni aniqlash uchun y0 k+1 = μ1(tj+1), yN k+1 = μ2(tj+1) , chegaraviy shartlarda progonkani qo`llash mumkin va progonka ϕ'(y) k ≥ 0 shart bajarilsa turg`un bo`ladi. Agar tenglamalarni quyidagi ko`rinishda yozsak τ h2 y k+1 i−1− (ϕ'(y) k +2τ h2 ) y k+1 i+τ h2 y k+1 i+1= F k i, i= 1,2 ,...,N − 1, F k i= ϕ(y) k − ϕ(y)− ϕ'(y) k y k , y= yj. Turg`unlik sharti haqiqatdan ham yuqoridagi kabi bo`lishini ko`rishimiz mumkin. 22 Xulosa Ushbu kurs ishi loyihasida to’r va to’r funksiyalar, chekli ayirmali masalalar va ularning qo’yilishi, xususan, oddiy differentsial operatorlarning ayirmali approksimatsiyasi o’rganib chiqildi. Shuningdek, ikkinchi tartibli ODT uchun chegaraviy masalalarni o’q otish va chekli ayirmalar usuli bilan yechish, progonka usulining turg’nligi masalalari ko’rib chiqildi. Chiziqli bo`lmagan issiqlik o`tkazuvchanlik tenglamasi uchun chekli ayirmali sxemalar tuz ildi. Birinchi hol uchun hosil bo’gan chiziqli tenglamalar sistemasi progonka usuli bilan yechildi,ikkinchi hol uchun hosil bo’gan chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasi oddiy iteratsiya usuli bilan yechildi.Natijalar taqqoslandi. 23 Foydalanilgan adabiyotlar 1. Baxvalov N. S., Jidkov N. P., Kobelkov G. M. Численние методи. – M.: Izd- vo Binom. Laboratoriya znaniy, 2011. – 640 s. 2. Belyayev N . M ., Ryadno A . A . Метод нестационарной теплопроводности - М. Висшая школа. 1978. 3. Israilov M.I. Hisoblash usullari.– Toshkent: O‘qituvchi, - 1-qism, 2003. - 450 b., 2- qism, 2008. – 340 b. 4. Samarskiy A.A. Теория разностних схем. – M.: Nauka, 1989. – 656 s, 5. Samarskiy A.A., Gulin A.V. Численние методи. – M.:Nauka, 1989.–432 s. 6. www.edu.ru – ta’lim sayti. 7. www.edu.uz – ta’lim sayti. 8. www.exponenta.ru – ta’lim sayti. 9. www.vikipedia.ru – ensiklopediya sayti. 10. www.ziyonet.uz – ilmiy-ma’rifiy tarmoq. 24

Mavzu: Issiqlik o’tkazuvchanlik masalalarini chekli ayirmali sxemalar yordamida yechish. Reja: I. Kirish. II. Asosiy qism. 1. Chekli ayirmali sxemalar to`g`risida tushunchalar. Differentsial operatorning chekli ayirmali ( CHA ) approksimatsiyasi . Chekli ayirmali masalaning q o` yilishi . 1.1. To’r va to’r funksiyalar. 2. Issiqlik o’tkazuvchanlik masalalari uchun algoritmlar. 2.1. Oddiy differensial operatorlarning ayirmali approksimatsiyasi 2.2. Ikkinchi tartibli ODT uchun chegaraviy masalalarni o`q otish va chekli ayirmalar usuli bilan yechish. 2.3. Chekli ayirmalar usuli. Progonka usulining turg`unligi. 3. Chiziqli bo`lmagan issiqlik o`tkazuvchanlik tenglamasi uchun chekli ayirmali sxemalar tuzish 3.1. Kvazichiziqli issiqlik o`tkazuvchanlik tenglamasi. 3.2. Ayirmali sxema. N’yuton usuli . III. Xulosa. IV. Foydalanilgan adabiyotlar. 1

Kirish Issiqlik o’tkazuvchanlik deb issiqlikni muhitda molekulyar uzatishga aytiladi. Bu jarayon temperaturaning tekis taqsimlanmagan holatida ro’y beradi. Bu holda issiqlik har xil temperaturali zarrachalarning bevosita tutashtirish hisobiga uzatiladi va molekulalar, atomlar va ozod elektronlar orasida energiya almashinuviga olib keladi. Issiqlik o’tkazuvchanlik moddaning agregat holatiga, uning tarkibiga, temperaturasiga, bosimiga va boshqa xarakteristikalariga bog’liq. Ko’p hollarda suyuq holdagi moddaning issiqlik o’tkazuvchanligi gaz holatdagi moddaning issiqlik o’tkazuvchanligidan taxminan o’n marta ko’p bo’ladi. Qattiq jism uchun issiqlik o’tkazuvchanlik erish nuqtasi atrofida suyuqlikka qaraganda (suyuq vismut, olova va tellurdan tashqari) ancha yuqori bo’ladi. Amaliyotda jism ichidagi va uning chegarasi yaqinidagi issiqlik o’tkazuvchanlik har xil bo’lishi tez-tez uchrab turadi. Bu farqlanish issiqlik uzatish jarayoning borish shartlarining o’zgarishi bilan, hamda modda strukturasining o’zgarishi bilan (termik qayta ishlash tekshirish, ko’p ishlatish va hakazo natijasida sodir bo’ladi. Ushbu ishda chiziqli bo’lmagan issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi uchun chekli ayirmali sxemalar tuzish masalasi qaraladi. Issiqlik o’tkazuvchanlikka tashqi shart- sharoitlar, masalan, nurlanish, bosimning o’zgarishi, magnit maydoni sezilarli ta’sir qilishi mumkin. 2

1. Chekli ayirmali sxemalar to`g`risida tushunchalar. Differentsial operatorning chekli ayirmali ( CHA ) approksimatsiyasi . Chekli ayirmali masalaning q o` yilishi . Nostatsionar issiqlik o’tkazish tenglamasi dekart koordinata sistemasida quyidagi tenglama yordamida yoziladi: ρc ∂ T ∂ t = ∂ ∂ x( λ ∂ T ∂ x ) + ∂ ∂ y ( λ ∂ T ∂ y ) + ∂ ∂ z ( λ ∂ T ∂ z ) + Q w ( x , y , z , t , T ) (1) Bu tenglama (Furye - Kirxgorf) tenglamasi jismning ixtiyoriy nuqtasidagi temperaturaning fazoviy va vaqtga bog’liq o’zgarishlarini bog’lab turadi. Bu yerda ρ−¿ zichlik, c − ¿ nisbiy issiqlik sig’imi, λ−¿ issiqlik o’tkazuvchanlik koeffisiyenti, Qw(x,y,z,t,T) -issiqlik manbayining ichki quvvati. tenglama konduktiv issiqlik uzatish jarayoni rivojlanishining ko’plab variantlarini ifodalaydi. Son-sonoqsiz variantlardan bittasini tanlash va unga to’liq matematik bayon qilish uchun (1) tenglamaga bir qiymatlilik shartini qo’yish kerak. Bu shart geometrik , fizik, boshlang’ich va chegaraviy shartlarni o’z ichiga oladi. Issiqlik o’tkazuvchanlik koeffisiyenti ko’p xollarda temperaturaga bog’liq bo’ladi. Masalan UO 2 urandioksidining Issiqlik o’tkazuvchanlik koeffisiyentini xisoblash uchun quyidagi bog’liqlikdan foydalaniladi: λ(T )= 5500 560 +T +0.942 ⋅10 −10 T 3 (2) Bu xolda bir o’lchovli chiziqli bo’lmagan issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi quyidagi ko’rinishda bo’ladi: ρс ∂ T ∂t = ∂ ∂ x (λ(T )∂ T ∂ x ),0< x< L . (3) (3) tenglama uchun 3

t= 0: T = T0,0≤ x≤ L, x= 0: T= T h,t>0; x= L:T = Tc,t>0.(4) chegaraviy masalani qaraymiz. 1.1. To’r va to’r funksiyalar. Berilgan differentsial tenglamani taqribiy ifodalovchi ayirmali sxemalarni yozish uchun quyidagi ikkita amal bajarilishi kerak . 1. Argumentning uzluksiz o`zgarish sohasini uning diskret o`zgarish sohasiga almashtirish kerak ; 2. Differentsial operatorni qandaydir chekli ayirmali operatorga almashtirish, bundan tashqari chegaraviy shartlar va boshlang`ich ma`lumotlar uchun ayirmali almashtirishlar tuzish kerak . Bu jarayon amalga oshirilgandan keyin algebraik tenglamalar sistemasiga o`tamiz. Uzluksiz argumentning barcha qiymatlari uchun ayirmali masalani y echib bo`lmaydi. SHuning uchun bu sohada qandaydir chekli sondagi nuqtalar to`plami olinadi va faqat shu nuqtalarda taqribiy yechim izlanadi. Bunday nuqtalar to`plamiga to`r deyiladi. Nuqtalarning o`zi esa to`r tugunlari deb ataladi. To`r tugunlarida aniqlangan funktsiyaga to`rli funktsiya deyiladi. SHunday qilib differentsial tenglama yechimlari fazosini to`r funktsiyalar fazosi bilan almashtirdik. 1 - misol . Kesmada tekis to`r. [0,1 ] kesmani N ta teng bo`lakga bo`lamiz. h= xi− xi−1=1/N to`r qadami deb ataladi. Bo`linish nuqtalari xi=ih - to`r tugunlari deyiladi. Barcha tugunlar to`plami ωh={xi=ih ,i=1,N−1} to`rni tashkil qiladi. Bu to`plamga x0=0,xn=1 chegaraviy nuqtalarni qo`shish mumkin, ya`ni ωh={xi=ih,i=0,N} deb belgilaymiz. 2 - misol. Tekislikda tekis to`r . D = {0≤ x≤ 1,0≤ t≤ T } sohada aniqlangan ikki o`zgaruvchili u(x,t) funktsiyalar to`plamini qaraymiz. 4

x o`qining [0,1 ] va t o`qining [0,T] kesmalarini mos ravishda N1 va N2 ta bo`laklarga bo`lamiz. h=1/N1,τ=T/N2 bo`lsin. Bo`linish nuqtlaridan o`qlarga parallel to`g`ri chiziqlar o`tkazamiz. Natijada bu to`g`ri chiziqlar kesishishidan (xi,tj) tugunlarni hosil qilamiz, ular ωhτ={(xi,tj)∈D} to`rni tashkil qiladi. Bu to`r x va yo`nalishlar bo`yicha h va τ qadamlarga ega . S h unga o`xshash kesmada yoki tekislikda notekis to`rni qurish mumkin . x=(x1,x2) tekislikda G chegarali murakkab ko`rinishli G soha berilgan bo`lsin. x1i= ih 1,x2j= jh 2, i,j=0,±1,±2,...,h1,h2>0 to`g`ri chiziqlar o`tkazamiz. U holda (ih1,jh2) to`rni hosil qilamiz. « ∘ » bilan ichki, « ¿ » bilan esa tashqi nuqtalar belgilangan. Ichki nuqtalar to`plamini ωh bilan, chegaraviy nuqtalar to`plamini γh bilan belgilaymiz. Shunday qilib ωh to`r ox1,ox2 yo`nalishlar bo`yicha tekis, ammo G soha uchun ωh= ωh+γh to`r esa chegara yaqinida notekis. 5

Похожие

Bir o’lchamli nostatsionar issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasini chekli ayirmalar usuli bilan yechish.
Issiqlik o’tkazuvchanlik.
Model tenglamani yechishda oshkor va oshkormas chekli ayirmali sxemalar tuzish
Ayirmali sxemalar, ularni qurish va differensial masalani approksimasiyalash. Dirixle masalasi. Chekli — ayirmali tenglamalar sistemasini iterasiya usuli bilan yechish (Libman o’rtalash jarayoni)
ISSIQLIK TEXNIKASI. ISSIQLIK TEXNIKASINING QO’LLANILISH SOHALARI, ASOSIY TUSHUNCHALARI. ISSIQLIK O’TKAZUVCHANLIK.