Model tenglamani yechishda oshkor va oshkormas chekli ayirmali sxemalar tuzish Reja : 1. O shkor sxemalar. 1.1. " Yo’naltirilgan burchak " sxemasi 1.2. Laks sxemasi 1.3. "Xo ch " sxemasi 1.4. " Chexarda " sxemasi 1.5. Qo’shimcha to’r Chegaraviy shartlar 2. Oshkormas sxemasi 2.1. " To’g’ri to’rt burchak " sxemasi 2.2. " Oshkormas chap burchak " sxemasi 2.3. " Oshkormas o’ng burchak " sxemasi 2.4. Kombinatsiyalangan ar pr ok sim a tsiyalar 2.5. Markaziy ayirmali sxemalar 2.6. Oshkor va oshkormas sxemalarni solishtirish

1. Oshkor sxemalar 1.1. "Yo’naltirilgan burchak" sxemasi Modelli ko’chirish tenglamasi uchun "oshkor chap burchak" va "oshkor o’ngburchak" sxemalari bo’yicha approksimasiyalashdagi turg’unlik shartlaridan foydalanib ushbu 1-mavzudagi (1) tenglama uchun∂u ∂t +a(t,x)∂u ∂x = f(t,x), (1) a(t,x) koeffisiyentning ishorasi o’zgarishiga yo’l qo’yuvchi quyidagi sxemalarni qaraymiz: um n+1− um n τ +am n um n− um−1 n h = fm n, agar am n≥ 0 bo’lsa, ( 2+ ) um n+1− um n τ +am n um+1 n − um n h = fm n, agar am n≤ 0 bo’lsa. ( 2− ) ( 2± ) sxemalar uchun approksimasiya xatoligi bosh qismi quyidagicha bo’ladi: E= υ 2 ∂2u ∂t2−|a|h 2 ∂2u ∂x2. "Oshkor chap burchak" sxemasi uchun turg’unlik shartlaridan quyidagi Kurant sharti bajarilsa ( 2± ) sxemaning bevosita turg’unligi kelib chiqadi k=|a|τ/h≤ 1. (3) Kelgusida k har doim |a|τ/h kattalikni – Kurant sonini anglatadi. Aniqlik uchun am n≥ 0 bo’lsin. ( 2± ) sxemaga ko’ra ushbuga ega bo’lamiz umn+1= (1− kmn)umn+kmnum−1 n +τf mn. (4) (4) formula xarakteristik usul sonli algoritmi bilan ( 2± ) sxema bog’lanishni ochuvchi yaqqol talqinini beradi (1-rasm). (tn+1,xm) tugun orqali dx /dt = am n xarakteristik burchak koeffisiyent bilan C to’g’ri chiziq o’tkazamiz, C to’g’ri chiziq va t= tn ning kesishish nuqtasini (tn,ξ) bilan belgilaymiz. (3) Kurant sharti

sababli bu nuqta (tn,xm−1) va (tn,xm) tugunlar orasida yotadi. uξ n= (1− km n)um n+km num−1 n deb belgilaymiz. Bundan ko’rinadiki uξ n funksiya (tn,ξ) nuqta uchun um−1 n va um n orasidagi chiziqli interpolyasiya natijasidir.

1-rasm. (4) ni (um n+1− uξ n)/τ= fm n ko’rinishda tasvirlaymiz. Oxirgi tenglikning chap tarafi t bo’yicha C xarakteristika bo’ylab to’la hosilani approksimasiyalaydi. Shunday qilib ( 2± ) sxemani avvaldan berilgan to’rda xarakteristik tenglamaning approksimasiyasidek qarash mumkin. Bu – to’r-xarakteristikali sxemaga misol bo’ladi. 1.2. Laks sxemasi Laks sxemasi (1) tenglamani quyidagicha approksimasiyalaydi um n+1− 0,5 (um−1 n +um+1 n ) τ +am num+1 n − um−1 n 2h = fm n. (5) Turg’unlikni tadqiq etib yana (3) Kurant shartiga kelamiz. Approksimasiya xatoligi bosh qismi quyidagicha bo’ladi t t n+ 1 t n 0 x m- 1 x m xξ

E= τ 2 ∂2u ∂t2− h2 2τ ∂2u ∂x2+ah 2 6 ∂3u ∂x3.(6) (6) dan Laks sxemasi faqat h2/τ→ 0 shartda vaqt qadamini quyidan chegaralovchi approksimasiya xossasiga ega bo’ladi. U shartli approksimasiyalanuvchi yoki egilmas sxemaga misol bo’ladi. Agar yuqoridan τ≤ h/max |a| turg’unlik sharti bilan chegaralangan kichik vaqt qadami berilgan bo’lsa, u holda (6) da a o’zgaruvchili ikkinchi qo’shiluvchi ancha katta bo’lishi mumkin. 1.3. "Xoch" sxemasi "Xoch" sxemasi bo’yicha τ va h qadamlarga nisbatan ikkinchi tartibli approksimasiyaga ega bo’lgan uch qatlamli sxemani yozamiz: um n+1− um n−1 2τ +am num+1 n − um−1 n 2h = fm n. (7) Odatdagidek turg’unlikni tadqiq etib λ ni aniqlash uchun ushbu kvadrat tenglamani hosil qilamiz λ2+2ik λsin ωh − 1= 0, λ1,2= − ik sin ωh ± √1− k2sin 2ωh . k>1,k= const da (7) sxema turg’unmas, chunki ωh ning bir qancha qiymatlari uchun λ1,2 ildizlardan biri moduli bo’yicha birdan katta bo’ladi (masalan, ωh = π/2 da |λ2|= k+√ k2− 1> k>1 bo’ladi). k≤1 da ikkala ildiz ham moduli bo’yicha birga teng. Haqiqatdan, λ1= − λ2, λ1λ2= − |λ2|2= 1 . Uch qatlamli sxemalar uchun turg’unlik sharti nafaqat xarakteristik tenglamaning ildizi bilan bog’liq, balki izlanayotgan funksiyaning birinchi vaqt qatlamidagi u(τ,xm) qiymati berilish yo’lidan ham bog’liq. Bu qiymatlarni ko’plab oddiy (turg’un) ikki qatlamli sxemalar yordami bilan aniqlashda turg’unlik uchun kuchaytirilgan Kurant sharti yetarli: k<1 .