Доира кесимли бўлмаган стерженнинг буралиши жараёнини
![КИРИШ
Чекл и элемент лар усули физика ва техникада учрайдиган
дифферен ц иал тенгламалар ни сон л и ечиш усули ҳисобланади . Бу усулнинг
пайдо бўлиши космик тадқиқотлар ни ҳал қилиш муаммо лари билан боғлиқ
(1950). Бу иш биринчи марта Тёрнер, Клуж, Мартин ва Топп томонидан нашр
э тилган [4]. Бу иш лар бошқа ишлар нинг пайдо бўлиши га туртки
бўлди ; чекл и э лемент лар усули ни қурилиш механикаси ва туташ муҳитлар
механикасига татбиқ қилинган бир қатор мақолалар чоп э тил ди. Усулни
назарий асослаш учун 1963 йил Мелош [2] муҳим ҳисса қўшди. У чекли
элементлар усулини Рэлей-Ритц усулининг вариантларидан бири эканлигини
кўрсатди. Қурилиш механикасида чекли элементлар усули потенциал
энергияни минималлаштириш орқали масалани мувозанатнинг чизиқли
тенламалар системасига келтириш имконини беради.
Чекли элементлар усулининг минималлаштиришга боғлиқлиги унинг
техниканинг бошқа соҳаларидаги муаммоларини ҳал қилишда фойдаланишга
олиб келди. Усул Лаплас ёки Пуассон тенгламалари билан тавсифланган
муаммоларга нисбатан ҳам қўлланилди. Бу тенгламаларни ечиш ҳам бирор
функционални минималлаштириш билан боғлиқ. Дастлабки нашрларда
[12, 13] чекли элементлар усули ёрдамида иссиқлик тарқалиш масалалари
ечилди. Сўнгра усул гидромеканика муаммоларига, хусусан, ғовакли
муҳитда суюқлик оқими муаммосига нисбатан қўлланилди.
Қурилиш механикаси, иссиқлик тарқалиши, гидромеханика
масалаларида элементларни аниқловчи тенгламалар вазнли тафовутлар
усулининг вариантларидан бири бўлган Галёркин ёки энг кичик квадратлар
усули ёрдамида осонгина ҳосил қилиш мумкинлиги исботлангандан [11, 14]
сўнг чекли элементлар усулининг қўлланиш соҳаси сезиларли даражада
кенгайди. Бу фактнинг ўрнатилиши чекли элементлар усулини назарий
3](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_3.png)
![ёрдамида шу типдаги исталган хусусий масалани ечиш мумкин. Чекли
элементлар усулининг асосий камчилиги ҳисоблаш дастурларини тузиш ва
ҳисоблаш техникаларидан фойдаланишнинг зарурлигидир. Мураккаб
масалаларни ечиш учун катта хотирага эга бўлган тезкор ЭҲМ лардан
фойдаланиш зарур.
Ҳозирги вақтда етарли қувватли ЭҲМ ларни яратиш имкониятлари
мавжуд. Баъзи тижорат ва бошқарув ташкилотлари кенг кўламли ҳисоблаш
дастурларига эга. Ҳисоблаш дастурларини мукаммаллаштириш ва юқори
қувватли ЭҲМ ларни яратиш орқали чекли элементлар усулининг асосий
камчилигини юмшатиш мумкин.
1.3. Чизиқли интерполяцион кўпҳадлар
Чекли элементлар усули узлуксиз функцияни (температура, босим,
кўчиш ва ҳ.к) элементлар деб аталувчи чекли сондаги қисм соҳаларда
аниқланган, бўлакли-узлуксиз функциялар тўпламида қурилган дискрет
модель билан аппроксимациялаш ғоясига асосланган.
Элемент функцияси сифатида кўп ҳолларда кўпҳад қўлланилади.
Кўпҳаднинг тартиби элементларнинг ҳар бир тугун нуқтасида
фойдаланиладиган узлуксиз функция ҳақидаги маълумотларга боғлиқ. Бунда
3 гуруҳдаги элементлар қаралади: симплекс –, комплекс – ва мультиплекс
элементлар [16]. Симплекс-элементларга ўз ичига ўзгармас ва чизиқли
ҳадларни сақловчи кўпҳад мос келади. Бундай кўпҳадда коэффициентлар
сони координаталар фазосининг ўлчамидан биттага кўп бўлади.ϕ= α1+ α2x+ α3y
(1.1)
Мана шу кўпҳад икки ўлчамли учбурчакли элемент учун симплекс
функцияни ифодалайди. Бу кўпҳад x ва y ларга нисбатан чизиқли
бўлиб, учта коэффициентни ўзида сақлайди, чунки учбурчакда учта тугун
мавжуд.
12](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_12.png)
![ϕ= N iΦ i+ N jΦ j= [N ]{Φ } ( 1. 6)
матрицавий шаклда ёзилиши мумкин. Бу ерда
[N ]= [N iN j] –
матри цавий сатр ва
{Φ }=¿{Φ
i¿}¿{} – вектор -устун. ( 1. 5) формуладан
кўриниб турибдики ,
N i= (X j− x )/L функция i - номерли тугунда
бир г а т е нг ва j – тугунда нолга тенг . Худди шундай,
Nj функция i - тугунда
нол тенг бўлади ва j – тугун да бир г а тенг бўлади . Ушбу қийматлар шакл
функциялари учун характерлидир. Улар аниқ битта тугун да бирга тенг ва
бошқа барча тугунлар да нолга тенг бўлади .
1. 3.2. Икки ўлчовли симплекс– элемент
Икки ўлчовли симплекс– элемент 1. 9-шакл да кўрсатилган. Бу
томонлари тўғри чизиқ ва ҳар бир учида биттадан бўлган уч тугун л и
учбурчак дан иборат. Элемент тугунларини мантиқ ан номерлан иши талаб
қилинади. Ихтиёрий танланган i– тугундан бошлаб соат стрелкасига тескари
юналишда кетма-кет номерлашдан фойдаланамиз.
ϕ скал я р миқдор нинг
тугун қ ийматлар и
Φi,Φ j ва Φk билан ва учта тугуннинг жуфт
координаталарини
(X i,Y i),(X j,Y j),(X k,Y k) орқали белгилаймиз.
16](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_16.png)
![1.9-Шакл. Икки ўлчовли симплекс–элемент.
Интерполяция кўпҳади ϕ= α1+ α2x+ α3y.
(1.7)
кўринишда бўлади. Тугунларда қуйидаги шартлар бажарилади:
x= X i
, y= Y i бўлган да ϕ= Φ i
x= X i
, y= Y i бўлган да ϕ= Φ j ,
x= X k , y= Y k бўлган да ϕ= Φ k ,
Бу шартларни ( 1. 7) формулага қўйиб
Φ i= α1+ α2X i+ α3Y i
Φ j= α1+ α2X j+ α3Y j
Φ k= α1+ α2X k+ α3Y k
( 1. 8)
тенгламалар системасини ҳосил қиламиз ва бу системани ечиб
α1=1
2A [(X jYk− XkYj)Φi+(XkYt− XtYk)Φ j+(XiYj− X jYi)Φk]
α2=1
2A [(Y j−Yk)Φi+(Yk−Yi)Φ j+(Yi−Y j)Φk]
α3=1
2A [(Xk− X j)Φi+(Xi− Xk)Φ j+(X j− Xi)Φk]
ларни топамиз. Системанинг детерминанти учбурчакнинг А юзаси билан
17](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_17.png)
![|
1 X i Yi
1 X j Y j
1 X k Yk
|= 2A (1.9)
муносабат орқали боғланган.
α1,α2 ва α3 ларнинг қийматларини (1.7)
формулага қўйиб
ϕ нинг ифодасини (1.6)га ўхшаш кўринишга келтириш
мумкин. Элементни аниқловчи бу муносабат ҳар бир тугун учун биттадан
учта шакл функциясини ўзида сақлайди:
ϕ= N iΦ i+ N jΦ j+ N kΦ k
( 1. 10)
бу ерда
N t= 1
2 A
[ai+bix+ciy]
ва {
a
i
=X
j
Y
k
−X
k
Y
j
¿{
b
i
=Y
j
−Y
k
¿¿¿¿
N j= 1
2 A
[a j+ bjx+ cjy]
ва {
a
j
=X
k
Y
i
−X
i
Y
k
¿{
b
j
=Y
k
−Y
i
¿¿¿¿
N k= 1
2 A
[ak+ bkx+ cky]
ва {
a
k
=X
i
Y
j
−X
j
Y
i
¿{
b
k
=Y
i
−Y
j
¿¿¿¿
Ni
нинг i – тугундаги қийматини ҳисоблаймиз:
18](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_18.png)
![N i= 1
2 A
[ai+ bix+ ciy]= 1
2 A
(X jY k− X kY j+Y jX i− Y kX i+ X kY i− X jY i)Қавс ичидаги ифода (1.9) формуладаги детерминантнинг қийматига
тенг, шунинг учун i номердаги тугунда
N i= 1
2 A
(2 A )= 1.
Кўрсатиш мумкинки
Ni иккинчи ва учинчи тугунларда ва бу
тугунларни бирлаштирувчи туғри чизиқнинг барча нуқталарида нолга тенг
бўлади.
Элементнинг ичида
ϕ скаляр миқдор х ва у лар буйича чизиқли шакл
функциялари орқали аниқланади. х йўналиш буйича градиент
∂ϕ
∂ x
=
∂ N i
∂ x
Φ i+
∂ N j
∂ x
Φ j+
∂ N k
∂ x
Φ k,
( 1. 11)
муносабат билан аниқланади. Лекин
∂N β
∂x
= bβ,
β= i,j,k.
булганлиги учун
∂ ϕ
∂ x
= biΦ i+ b jΦ j+ bkΦ k
( 1. 12)
ни ҳосил қиламиз .
bi,bj,bk лар ўзгармас (улар тугун координаталари
берилиши билан фиксирланади) бўлганлиги учун ва
Φ i,Φ j ва Φ k
фазонинг координаталарига боғлиқ бўлмаганлиги учун (1.12) формуладаги
хусусий ҳосила ўзгармас қийматга эга. Ҳар бир элементнинг ичида
градиентнинг ўзгармас бўлиши тез ўзгарувчи
ϕ функцияни
аппроксимациялаш учун миқдори жуда кичик элементлардан фойдаланиш
зарурлигини англатади.
19](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_19.png)
![шаклга эга .
Тугунлардаги тўртта шартдан фойдаланиб коэффициентларни аниқлаш
мумкин :Φ i= α1+ α2X i+ α3Y i+ α4X i,
Φ j= α1+ α2X j+ α3Y j+ α4X j,
Φ k= α1+ α2X k+ α3Y k+ α4X k,
Φ l= α1+ α2X l+ α3Y l+ α4X l,
( 1. 14)
Ушбу тенгламалар системаси ни Крамер қоидасидан фойдаланиб ечиш
мумкин. Аммо бу жараён беш та детеиминант ни ҳисоб лаш ни талаб
қилади. Бу ҳисоблашларни машинада бажариш қулайроқ, бунинг учун ( 1. 14)
тенгламалар системасини матрица шаклида ёзамиз
{Φ }= |C |{α}
( 1. 15)
бу ерда
{Φ }T= [Φ iΦ jΦ kΦ l]
{α}T= [α1α2α3α4]
( 1. 16)
ва
[C ]=
[
1 X i Y i Z i
1 X j Y j Z j
1 X k Y k Z k
1 X l Y l Z l
]
(1.17)
{α}
коэффициентлар сатри [C ] матрицанинг тескарисини топиб сўнгра
(1.15) ни бу
[C ]−1 т ескари матрица га кўпайтириб топилади:
21](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_21.png)
![{α}= [C ]−1{Ф }(1.18)
Энди
ϕ= α
1
+α
2
x+α
3
y+α
4
z=[1 х y z]¿
{
α
1
¿}{
α
2
¿}{
α
3
¿}
¿{}¿
эканлигини эътиборга олсак, (1.18) формуладан фойдаланиб
ϕ= [1 x y z][C ]−1{Ф }
( 1. 19)
ни ҳосил қиламиз.
[C]
матрицанинг детерминанти тетраэдр ҳажмининг 6 бараварига тенг.
Крамер қоидасидан фойдаланиш учун зарур бўлган матрицалар алгебраси
элементлари масалан, Зенкевичнинг [ 14 ] ишларида келтирилган.
1. 3.4. Локал координаталар системаси
Номаълум миқдорнинг тугун қийматлари учун тенгламалар
системасини ҳосил қилиш шакл функциясини ёки унинг хусусий
ҳосилаларини элементнинг юзаси бўйича интеграллашни ўз ичига олади.
Агарда, интерполяцион муносабатларни элементнинг ўзи билан боғлиқ
бўлган координаталар системасида ифодаланса, интеграллаш сезиларли
соддалашиши мумкин. Бундай координаталар системаси локал (ёки
маҳаллий) координаталар системаси дейилади.
Интерполяцион муносабатлар глобал координаталар системасида
олинган тенгламаларни локал координаталар системасига алмаштириш
натижасида ёзилиши мумкин.
Учбурчакли элементни кўриб чиқайлик, бунда скаляр миқдор
22 ,
kkjjii NNN
](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_22.png)
![ни ҳосил қиламиз. Бу ерданN i= 1
2 A
[(ai+bi¯X +ci¯Y )+bis+ cit],
( 1. 22 )
Алмаштириш натижасида ,
bi ва ci лар ўзгармасдан қолади ва
аввалгидек эркли ўзгарувчига кўпайтирилади.
ai константа эса ўзгаради. ai ,
bi
ва ci ларнинг (1.10) формулада берилган таьрифини эсга олсак ва (1.21)
ифодани ҳисобга олсак,
ai+bi¯X + ci¯Y миқдор 2А/3 тенг бўлишини
аниқлаймиз. Шундай қилиб шакл функцияси Локал координаталар
системасида
N i= 1
2 A [
2 A
3
+(Y j− Y k)s+(X k− X j)t].
(1.23)
кўринишни олади.
Худди шундай, бошқа шакл функциялари учун ҳам
N j= 1
2 A [
2 A
3
+(Y i− Y k)s+(X k− X i)t].
N k=
1
2 A [
2 A
3
+(Y i− Y j)s+(X j− X i)t].
(1.24)
ифодаларни оламиз:
Глобал координаталар системасида берилган функциянинг интеграли
Локал координата системасида
∫
R
f(x,y)dxdy = ∫
R¿
f(x(s,t),y(s,t))|J|dsdt
(1.25)
24](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_24.png)
![формула ёрдамида ҳисобланади [17]. Бу ерда, R ва R¿ мос равишда эски ва
янги интеграллаш соҳалари,
|J| – координата алмаштиришлари
детерминантининг абсолют қиймати бўлиб, у иккала координаталар
системасидаги юзаларнинг
Аxy/Ast нисбатига тенг. Иккала координаталар
системаси ҳам тўғри бурчакли ва улардаги ўлчов бирликлари бир хил
бўлганлиги учун
|J|=1 бўлади. Бундан ташқари R= R¿ , чунки элементнинг
шакли ўзгармасдан қолади. Шундай қилиб, (1.3) формула
∫
R
f(x ,y)dxdy = ∫
R∗¿f[x(s,t),y(s,t)]dsdt
¿
(1.26)
кўринишга келтирилади. (1.26) тенгликнинг чап томонидаги f(x,y) функция
элементнинг глобал координаталар системасида ифодаланган шакл
функциясини билдиради,
f[x(s,t),y(s,t)] эса элементнинг локаль
координаталар системасидаги ифодасини билдиради.
Бир ўлчовли элемент . Бир ўлчовли элемент қаралганда локал
координаталар системасидан фойдаланишга катта зарурат йўқ, чунки бу
ҳолда интерполяцион тенглама осон интегралланади. Локал координаталар
системаси бошини элементнинг i -тугунига қўйиб (1.12-шакл),
интеграллашни маълум даражада соддалаштириш мумкин.
1.12-Шакл. Бир ўлчовли элемент учун локал координаталар системаси.
x= X i+ s
Ифодани шакл функцияни аниқловчи (1.5) тенгламага қўйиб
25](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_25.png)
![L2 ва L3 координата ўзгарувчилари учбурчакли симплекс-элемент учун
шакл функцияларидан иборатдир:
N 1= L1,
N j= L2, N k= L3, (1.35)
1.13.а-шаклдан кўриниб турибдики
L1= {
1 i номерли тугунда
0 j ва k тугунларда
Шунга ўхшаш муносабатлар
L2 в а L3
учун ҳам амал қилади. Бундан
ташқари, (1.34) формуладан элементнинг ихтиёрий нуқтасида шакл
функциялари йиғиндиси бирга тенг ва шундай қилиб яқинлашиш критерияси
(мезони) бажарилиши келиб чиқади (яқинлашиш масаласини кейинги
бўлимларда муҳокама қиламиз). Ниҳоят, қуйидаги муносабатларни ёзсак:
x= L1Xi+L2X j+L3X k,
y= L1Yi+L2Y j+L3Yk,
1= L1+L2+L3
(1.36)
ва уларни
L1 , L2 в а L3 га нисбатан ечсак натижа (1.10) муносабатлар билан
бир хил бўлади. (1.36) нинг биринчи иккита тенгламаси x ва y
координаталарни тугун қийматларининг функцияси сифатида тасвирлайди.
Бу тенгликлар ўринлидир, чунки, x ва y лар масофанинг компоненталаридир.
Биз юқорида кўрдикки, векторнинг компоненталари мос тугун
қийматларнинг функциялари сифатида ифодаланиши мумкин.
L
-координаталардан фойдаланишнинг афзаллиги элементнинг томони
ва юзаси бўйича олинган интегралларни ҳисоблашни соддалаштирадиган
интеграллаш формулаларининг мавжудлигидир [1]:
29](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_29.png)
![ни ҳосил қиламиз. Бу шакл функциялар йиғиндиси бирни бераяти. Икки
ўлчовли ва уч ўлчовли симплекс-элементларни таҳлил қилиб, кўрсатиш
мумкинки бу элементлар учун ҳам шакл функциялари (1.42) шартни
қаноатлантиради.
Элемент ичида ϕ миқдор (ёки кўчиш ва ҳ.к) нинг ўзгармас
қийматларининг мавжудлиги
ϕ нинг ихтиёрий йўналиш бўйича градиентга
эга эмаслигини назарда тутади. х ўқи йўналиши буйлаб градиентни
қараймиз.
∂ϕ
∂ x
=
∂ N i
∂ x
Φ i+
∂ N j
∂ x
Φ j+...+
∂ N r
∂ x
Φ r
Агар
Φ β лар С ўзгармасга тенг бўлса, у ҳолда
∂ϕ
∂x
= [∑
β=1
r ∂N β
∂x ]C = 0
(1.43)
бўлади. Шундай қилиб С ўзгармас нолга тенг бўлиши шарт бўлмаганлиги
учун (1.43) тенглик
∑
β=1
r ∂N β
∂x
= 0
(1.44)
бўлгандагина бажарилади. (1.44) ни алмаштириб
∑
β=1
r ∂ N β
∂ x =
∂ N i
∂ x +
∂ N j
∂ x +...+
∂ N r
∂ x = ∂
∂ x (N i+ N j+...+ N r)= ∂
∂ x [∑
β=i
r
N β]
ни ҳосил қиламиз. Бироқ
∑
β=i
r
N β=1 бўлганлиги учун бу йиғиндидан х бўйича
ҳосила нолга тенг бўлади. Шундай қилиб, агар (1.42) бажарилса градиентга
нисбатан критерия ўз-ўзидан бажарилади.
Узлуксизлик. Узлуксиз функциянинг дискрет модели ҳар бири
алоҳида элементда аниқланган бўлакли-узлуксиз функциялар тўпламида
қурилади. Булакли узлуксиз функцияни кейинчалик интеграллаш учун унинг
33](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_33.png)
![элементлар орасидаги соҳада узлуксизлик шартини шакллантириш зарур.f(x)
поғонали функциянинг интеграли мавжуд, чунки у чегараланган [18].
∫
∂nϕ
∂xndx
Интеграл мавжуд бўлиши учун
ϕ функция ўзининг ( n -1)- тартибгача
барча ҳосилалари билан биргаликда узлуксиз бўлиши керак. Бу шарт
n- тартибли ҳосиладан фақат чекли сондаги поғонали типдаги узилиш
нуқталарига эга бўлишни таъминлайди. Бу шартнинг бажарилиши, агарда
дифференциал тенглама иккинчи тартибли хусусий ҳосилаларни сақласа,
яъни n =2 бўлса, аппроксимацияловчи функциянинг биринчи тартибли
хусусий ҳосилалари элементлар орасидаги чегарада узлуксиз бўлишлиги
кераклигини билдиради. Ушбу курсда қараладиган барча дифференциал
тенгламалар кўпи билан биринчи тартибли хусусий ҳосилаларни
сақлайдиган муносабатлар шаклида бўлиши мумкин. Интерполяцион
элементлар орасидаги соҳада узлуксизлиги талаб қилинади, лекин унинг
хусусий ҳосилалари бу шартга бўйсинмайди.
Бир ўлчовли элемент учун узлуксизлик кафолатланган, чунки,
ихтиёрий иккита қўшни элементлар умумий тугунга эга. Бироқ, учбурчакли
элемент мураккаброқдир. Иккита қўшни элементни қарайлик (1.16-шакл).
Координата боши i – тугунда бўлсин.
34](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_34.png)
![Бутун соҳа учун тенгламалар системасини келтириб чиқариш учун
алоҳида элементга эътибор қаратамиз. Аниқроғи, биз ҳар бир элементни
қаралаётган соҳага киритиб ҳар бир элемент учун фойдаланилган
интерполяцион тенгламаларни глобал координаталар ва глобал тугун
қийматлар орқали ифодалашни мақсад қилиб қўямиз. Ишни скаляр
миқдорларни қарашдан бошлаймиз ва сўнгра натижаларни вектор миқдорлар
учун умумлаштирамиз.
1.4.1.Скаляр миқдорлар учун интерполяцион кўпҳадлар
1.3-бўлимда кўриб чиқан эдикки, интерполяцион кўпҳад умумий ҳолдаϕ
(e)
=[N]{Ф}=[N
i
(e)
,N
j
(e)
,N
k
(e)
,...,N
r
(e)
]¿
{
Ф
i
¿}{
Ф
j
¿}{
Ф
k
¿}
{.¿}{.¿}{.¿}¿{}¿
(1.48)
кўринишда бўлар эди. Бу ерда r – элемент тугунларининг сони, ( е)
юқоридаги индекс ихтиёрий элементни англатади.
Элементни соҳага киритиш техникасини 1.18-шаклда кўрсатилган
содда беш элементли конфигурация мисолида кўриш мумкин. Тугунлар
бирдан олтигача рақамланган. Ф
1, Ф
2 ,Ф
3 ,Ф
4 , Ф
5 ва Ф
6 миқдорлар глобал
эркинлик даражасини билдиради. (
X β,Yβ ), β =1,2,...,6, тугунларнинг
координаталари маълум деб фараз қилинади. Элементларнинг номерлари
қавслар ичида ёзилган.
Элементнинг тугунлари номерлари учун ҳар бир элементнинг биринчи
тугуни аниқлангандан сўнг юқорида қабул қилинган i, j ва k индекслардан
фойдаланишимиз мумкин. 1.18-шаклда ҳар бир элементда i- тугун юлдузча
билан ажратилган .
37](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_37.png)
![ϕ(1)= N 2
(1)Ф 2+ N 3
(1)Ф 3+ N 1
(1)Ф 1
ϕ(2)= N 3
(2)Ф 3+ N 2
(2)Ф 2+ N 4
(2)Ф 4
ϕ(3)= N 5
(3)Ф 5+ N 3
(3)Ф 3+ N 4
(3)Ф 4
ϕ(4)= N 6
(4)Ф 6+ N 3
(4)Ф 3+ N 5
(4)Ф 5
ϕ(5)= N 1
(5)Ф 1+ N 3
(5)Ф 3+ N 6
(5)Ф 6 (1.50)
(1.50) формуладаги тугун қийматлар олдидаги кўпайтувчилар шакл
функциялари - i,j ва k индексларнинг сонли қийматларини шакл
функциялари тенгламаларига қўйишдан ҳосил бўлади. i,j, k белгилашларда
N k
(e)
шакл функцияси
N k
(e)= 1
2 A(e)[ak
(e)+ bk
(e)x+ ck
(e)y ]
(1.51)
кўринишда ёзилади, бу ерда
a k
(e)= X iY j− X jY i,
b k
(e)= Y i− Y j,
c k
(e)= X j− X i
Масалан, бешинчи элемент учун
i= 1 , j= 3 , ва k= 6 . Ушбу
қийматларни (1.51) ифодага қўйиб
N 6
(5)= 1
2 A(5)[a6
(5)+ b6
(5)x+ c6
(5)y]
(1.52)
ни ҳосил қиламиз, бу ерда
a6
(5)= X 1Y 3− X 1Y3,
b6
(5)= Y1− Y3,
c6
(5)= X 3− X 1
39](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_39.png)
![{ϕ
1
¿}{ϕ
2
¿}{ϕ
3
¿}{ϕ
4
¿}¿{}=¿[N
1
(1)
N
2
(1)
N
3
(1)
000¿][0N
2
(2)
N
3
(2)
N
4
(2)
0 0¿][0 0N
3
(3)
N
4
(3)
N
5
(3)
0¿][0 0N
3
(4)
0N
5
(4)
N
6
(4)
¿]¿
¿
¿¿ (1.55)
Интерполяция тенгламаларининг бу қисқартирилган шаклидан чекли
элементлар усулини машинада бажарилганда фойданилинади. Бу
тенгламаларнинг кенгайтирилган шакли матрица элементларини
дифференциаллаш билан боғлиқ минималлаштириш жараёни қаралганда
баъзи бир афзалликларга эга. Тенгламаларни кенгайтирилган шаклидан
кейинги иккита мавзуда фойдаланамиз. Тенгламаларнинг қисқартирилган
шаклидан чекли элементлар усулини махсус соҳаларга қўллаганда
фойдаланамиз.
(1.55) формулаларга муқобил(альтернатив) тенглама ҳар бир элемент
учун ёзилган тенгламаларни бирлаштиришдан ҳосил бўлади; бу тенглама
соҳани бутунлигича аниқлайди. Алоҳида элементлар учун тенгламаларни
йиғиб
ϕ= ∑
e=1
E
ϕ(e) (1.56)
ни ҳосил қиламиз, бу ерда Е - элементларнинг сони. (1.55) ни ҳисобга олиб,
(1.56) ни
ϕ = [N 1
(1)+ N 1
(5)]Ф 1+ [N 2
(1)+ N 2
(2)]Ф 2+ [N 3
(1)+ N 3
(2)+
+ N 3
(3)+ N 3
(4)+ N 3
(5)]Ф 3+ [N 4
(2)+ N 4
(3)]Ф 4+ [N 5
(3)+
+ N 5
(4)]Ф 5+ [N 6
(4)+ N 6
(5)]Ф 6
(1.57)
шаклда ёзиш мумкин.
41](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_41.png)
![I=∫
a
b
F (x,ϕ,ϕx)dx(1.59)
бу ерда
х –эркли ўзгарувчи, ϕ – х га боғлиқ ўзгарувчи, ϕх – ϕ нинг х
бўйича биринчи тартибли ҳосиласи.
I нинг вариацияси F (x) нинг
ўзгаришидан ҳосил бўлади:
δI = ∫
a
b
δF (x)dx = ∫
a
b
(
∂ F
∂ ϕ
δϕ + ∂ F
∂ ϕ x
δϕx)
(1.60)
бу ерда
δϕx= d
dx
(δϕ )
(1.61)
эканлигини эътиборга олиб, интеграл остидаги иккинчи қўшилувчини
бўлаклаб интегралласак,
δI = ∫
a
b
[
∂ F
∂ ϕ
− d
dx (
∂ F
∂ϕx)]
δϕ dx + ∂ F
∂ϕx
δϕ|a
b
(1.62)
ни ҳосил қиламиз.
I
функционал δI = 0 бўлганда, стационар қийматга эга бўлади. δI
миқдор (1.62) даги интеграл нолга тенг бўлганда, нолга айланади. Бундан
ташқари,
ϕ (а)= const , ϕ (b )= const
ва натижада,
δϕ (а )= δϕ (b)= 0
(1.63)
ёки,
∂ F
∂ϕx
(a)= ∂ F
∂ ϕx
(b)= 0.
(1.64)
a ва b нуқталар орасидаги кесмада
δϕ ихтиёрий бўлганлиги учун, бу кесмада
44](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_44.png)
![∂ F
∂ ϕ
−
d
dx (
∂ F
∂ ϕx)= 0(1.65)
дифференциал тенглама қаноатлантирилиши керак, у интегрални нолга тенг
бўлишини таъминлайди.
Функционал бир неча ўзгарувчили ҳам бўлиши мумкин. 3 ўзгарувчили
функционални қараймиз:
I= ∫
V
F (x,y,z,ϕ ,ϕx,ϕy,ϕz)dV
(1.66)
F (x,y,z)
нинг ихтиёрий чексиз кичик ўзгаришига функционалнинг
δI = ∫
V (
∂ F
∂ ϕ
δϕ+
∂ F
∂ ϕ x
δϕx+
∂ F
∂ ϕ y
δϕ y+
∂ F
∂ ϕ z
δϕz)
dV
(1.67)
вариацияси мос келади. (1.61) муносабатдан фойдалансак,
δI = ∫
V [
∂ F
∂ ϕ
δϕ+
∂ F
∂ ϕx
∂
∂ x
(δϕ )+
∂ F
∂ ϕy
∂
∂ y
(δϕ)+
∂ F
∂ ϕz
∂
∂ z
(δϕ)
]
dV
(1.68)
ни ҳосил қиламиз. (1.68) нинг иккинчи қўшилувчисини бўлаклаб
интеграллаб, Гаусс формуласини қўлласак,
∫
V
∂ F
∂ ϕx
∂
∂ x
(δϕ)dV = ∫
V
∂
∂ x (
∂ F
∂ ϕx
δϕ)dV − ∫
V
∂
∂ x(
∂ F
∂ ϕx)δϕdV
ёки
∫
V
∂ F
∂ϕx
∂
∂ x
(δϕ)dV = ∫
V
lx
∂F
∂ϕx
δϕ dS − ∫
V
∂
∂ x(
∂F
∂ϕx)δϕdV
(1.69)
ни ҳосил қиламиз, бу ерда
lx – x ўқни сақловчи сирт нормалининг
йўналтирувчи косинуси. Худди шу усулда, (1.68) нинг қолган ҳадларини ҳам
алмаштирсак ва интеграллаш натижаларини бирлаштирсак, функционал
вариацияси учун
45](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_45.png)
![δI = ∫
V [
∂ F
∂ ϕ
− ∂
∂ x (
∂ F
∂ ϕ x)
− ∂
∂ y (
∂ F
∂ ϕ y)
− ∂
∂ z (
∂ F
∂ ϕz)]
δϕ dV +
+∫
S [
lx
∂ F
∂ ϕx
+ ly
∂ F
∂ ϕ y
+ lz
∂ F
∂ ϕz]
δϕ dS .(1.70)
ни ҳосил қиламиз
I нинг стационар қийматини ҳосил қилиш учун иккала
интегралдаги қавс ичида турган ифодаларни нолга тенглаштириш зарур. Бу
талабни бажариш изланаётган функция қаноатлантирадиган дифференциал
тенглама ва чегаравий шартларни ёзиш имконини беради.
(1.70) муносабат кейинги бўлимларда муҳокама қилинадиган майдон
назарияси масалаларининг вариацион шакллантирилишига мос келади.
Қуйидаги функционални қараймиз
∫
V
1
2 [
K xx (
∂ ϕ
∂ x)
2
+ K yy (
∂ ϕ
∂ y)
2
+ K zz(
∂ ϕ
∂ z)
2
− 2Q ϕ
]
dV .
(1.71)
Бу муносабатдан келиб чиқадики, функционалга стационар (минимал)
қиймат берувчи функция қуйидаги дифференциал тенгламани
қаноатлантириши керак:
∂ F
∂ ϕ
− ∂
∂ x(
∂ F
∂ ϕx)
− ∂
∂ y(
∂ F
∂ ϕy)
− ∂
∂ z(
∂ F
∂ϕz)
= 0
Ҳар бир қўшилувчини алоҳида-алоҳида қараб
∂ F
∂ ϕ
= − 2Q ,
∂
∂ x (
∂ F
∂ ϕx)
= ∂
∂ x (
2 K xx
∂ ϕ
∂ ϕx)
= 2K xx
∂2ϕ
∂ x2 ,
∂
∂ y (
∂ F
∂ϕ y)
= ∂
∂ y (
2 K yy
∂ϕ
∂ϕ y)
= 2 K yy
∂2ϕ
∂ y2 ,
∂
∂ z (
∂ F
∂ ϕz)
= 2 K zz
∂2ϕ
∂ z2 .
46](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_46.png)
![га эга бўламиз. Бу алмаштиришларнинг натижаларини бирлаштириб, Q + K xx
∂2ϕ
∂ x2+ K yy
∂2ϕ
∂ y2+ K zz
∂2ϕ
∂ z2= 0
ни ҳосил қиламиз. Шундай қилиб, (1.71) формула билан аниқланувчи
функционалга стационар қиймат берувчи функция майдон назарияси
масаласининг дифференциал тенгламасини қаноатлантириши зарур.
1.5.2. Матрицавий муносабатларни дифференциаллаш
Кейинги бўлимларда муҳокама қилинадиган минималлаштириш
жараёнида
[N ]{Ф } ва {Ф }Т[А ]{Ф } матрицалар кўпайтмаларини {Ф } бўйича
дифференциаллашга тўғри келади, бу ерда
[N ] – сатр-вектор ва [А] квадрат
матрица.
Аввал
ϕ= [N ]{Ф }
(1.72)
муносабатни қарайлик, бу ерда
[N ]= [N 1,N 2,..., N r], {Ф }Тҳ[Ф 1Ф 2,...,Ф r].
ϕ
нинг {Ф } бўйича ∂ϕ/∂{Ф } ҳосиласини ҳисоблаймиз. Бу ҳосила қуйидаги
устун-вектор билан аниқланади:
∂ϕ
∂{Ф}
ҳ=¿
{
∂ϕ
∂Ф
1
¿
}{
∂ϕ
∂Ф
2
¿
}
{.¿}{.¿}{.¿}¿{}
(1.73)
47](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_47.png)
![(1.73) даги устун векторнинг компоненталари (1.72) кўпайтма орқали
ҳисобланади. Бунинг учун (1.72) ни ёйиб ёзиб оламиз:ϕ= N 1Ф 1+ N 2Ф 2+ N rФ r
(1.74)
бу муносабатни дифференциаллаб,
∂ ϕ
∂Ф 1
= N 1, ∂ ϕ
∂Ф 2
= N 2, ... ∂ ϕ
∂ Ф r
= N r,
(1.75)
ни ҳосил қиламиз. Ҳосил бўлган ифодаларни (1.73) формулага қўйилса,
∂ϕ
∂{Ф}
ҳ=¿
{
N
1
¿}{
N
2
¿}
{.¿}{.¿}{.¿}¿{}=[N]
T
(1.76)
формула ҳосил бўлади
[N ]Т{Ф }Т
ни {Ф } бўйича дифференциаллаш, ҳам юқоридаги
формулага олиб келади, чунки, бу кўпайтма (1.74) билан бир хил.
Энди,
{Ф }Т[А ]{Ф } кўринишдаги кўпайтмани қарайллик. Бу
кўпайтмани дифференциаллашни кичик ўлчамли матрицаларда осон
тасаввур қилиш мумкин.
2× 2 ўлчамли симметрик [А] матрицани қараймиз.
[А ]=
[
а11 а12
а21 а22 ]
(1.77)
ва
{Ф }Т= [Ф 1Ф 2] бўлсин. а12 = а21 симметрия шартидан фойдаланиб
кўпайтмани
ϕ= {Ф }Т[А ]{Ф }= а11 Φ 1
2+ 2 а12 Φ 1Φ 2+ а22 Φ 2
2
(1.78)
кўринишга келтирамиз. (1.78) ни дифференциаллаб (1.79)
48](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_48.png)
![∂ ϕ
∂Φ 1
= 2а11 Φ 1+ 2а12 Φ 2, ∂ ϕ
∂Φ 2
= 2а12 Φ 1+2а22 Φ 2. (1.79)
ни ҳосил қиламиз. Буларни (1.73) га қўйсак,
∂ ϕ
∂ {Φ }
=
[
2 а11 Φ 1+ 2а12 Φ 2
2а12 Φ 1+ 2 а22 Φ 2]
= 2
[
а11 а12
а21 а22 ]{
Φ 1
Φ 2}
ни ҳосил қиламиз, ёки
∂
∂ {Φ }
({Ф }Т[А ]{Ф })= 2[А ]{Φ }
(1.80)
1.5.3. Эластиклик назарияси масалаларида чекли элемен т лар
усулининг тенгламалари.
Эластиклик назарияси нинг м асалала рини еч иш икки усулдан бири
ёрдамида амалга оширилиши мумкин. Биринчи усул билан дифференциал
тенгламала берилган чегара вий шартлар да ечилади . Иккинчи усул
кучланишнинг ва ташқи қўйилган юкнинг бажарган иши билан боғлиқ
бўлган интеграл миқдорни минималлаштиришдан иборат. Эластиклик
назарияси масалаларини чекли элементлар усули билан ечишда иккинчи
усулдан фойдаланилади. Агар кўчиш масалалари қаралаётган бўлса ва
чегарада унинг қийматлари берилган бўлса, у ҳолда системанинг потенциал
энергиясини минималлаштириш керак. Агарда чегарада кучайтирилган
кучланишлар масалалари қаралса, у ҳолда системанинг бажарган қўшимча
ишини минималлаштириш зарур. Чекли элементлар усулининг умум қабул
қилинган қўйилиши кўчишлар майдонини қидиришни назарда тутади, ва шу
билан бирга кўчиш векторининг тугун нуқталаридаги қийматларини излашда
системанинг потенциал энергиясини минималлаштириш билан боғлиқ.
Кўчишлар аниқлангандан сўнг деформация ва кучланишлар тензорининг
компонентларини ҳисоблаш мумкин.
49](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_49.png)
![Бундан буён биз чекли элементлар усулининг потенциал энергияни
минималлаштириш билан боғлиқ формулировкасидан фойдаланганлигимиз
учун, потенциал энергия ҳақидаги теоремани келтирамиз [1]:
Кинематик чегаравий шартларни қаноатлантирувчи барча кўчишлар
ичида потенциал энергияга стационар (экстремал) қийматларни мувозанат
тенгламасини қаноатлантирувчи кўчишлар беради.
Бу теореманинг муҳим талаби шундан иборатки, изланаётган
кўчишлар чегарада берилган қийматларни қабул қилиши шарт.
Эластик системанинг тўла потенциал энергияси икки қисмдан иборат
бўлади, биринчиси жисмдаги деформациянинг энергиясига мос келади,
иккинчиси эса, масса кучларининг ва сиртга қўйилган кучларнинг потенциал
энергияси орқали аниқланади. Айтилганларга мувофиқ тўла потенциал
энергияни
П = Λ + W
p (1.81)
кўринишда ёзиб оламиз, бу ерда Λ – деформациялар энергияси, W
p –
қўйилган кучларнинг потенциал энергияси. Ташқи кучларнинг бажарган
иши ишораси бўйича уларнинг потенциал энергиясига қарама-қарши:
W= -W
p (1.82)
(1.81) ва (1.82) формулалардан
П= Λ – W . (1.83)
ни ҳосил қиламиз. Соҳани элементларга бўлгандан кейин (1.83) қуйидаги
йиғинди кўринишида тасвирланади:Π = ∑
e=1
E
(Λ(e)−W (e))= ∑
e=1
E
π(e)
(1.84)
Умумий ҳолда Р ни минималлаштиришни муҳокама қилишдан аввал
битта содда мисолни қараймиз.
а) Қурилмани элементига ўқ бўйлаб юкланиши. Потенциал
энергиянинг минимуми ҳақидаги теореманинг тадбиқини қурилманинг
элементига ўқ бўйлаб юкланиш мисолида 1.19-шаклда кўрсатилганидек
50](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_50.png)
![тенгламага олиб келади
(1.90) тенгламани ечиб, U 2= PL
AE
( 1.91)
ечимни ҳосил қиламиз, бу ечим ечимнинг назарий қиймати билан бир хил.
Қаралаётган ҳолдаги назарий қиймат кўчишнинг моделини мос физик масала
билан бир хил қилиб танлаш ҳисобига эришилди.
б) Умумий ҳол . Ч ек сиз кичик
dV ҳажм нинг деформация энергияси
dΛ = 1
2 {ε}T{σ}− 1
2{ε}T{σ}
(1.92)
формул а билан аниқланади, бу ерда {ε} - тўла деформация, {ε
0 } эса
бошланғич деформация.
dΛ миқдор деформация энергиясининг зичлиги
дейилади, тўла деформация энергияси эса, бу миқдорни жисмнинг ҳажми
бўйича олинган интеграллаш ёрдамида ҳосил қилинади:
Λ= ∫
V
1
2({ε}T{σ}− {ε0}T{σ})dV
(1.93)
{ε}
ва {σ} устун векторларининг кўриниши қандай масала ечилишига
боғлиқ бўлади. Масалан, текислик деформацияси бўлган икки ўлчовли ҳолда
бу устун векторлари қуйидаги кўринишларга эга:
{ε}= [εxx εyy γxy ]
ва
{σ}= [σxx σ yy τxy ]
Эластиклик назарияси асосида иккита муҳим [5] муносабат ётади:
кучланиш ва деформация тензорлари компонентларини боғлайдиган Гук
53](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_53.png)
![қ онуни ва деформация ва кўчишларни боғлайдиган муносабатлар. Гук
қонуни умумий шакл д а{σ}= [D ]{ε}− [D ]{ε0}
( 1. 94)
кўринишда бўлади, бу ерда
[D] – материалнинг э ластик лик константалари.
Деформациялар ва кўчишлар орасидаги муносабатлар қуйидагича ёзилади:
εxx= ∂u
∂ x
εyy= ∂v
∂ y
εzz= ∂w
∂ z
γxy= ∂u
∂ y
+∂v
∂ x
γyz= ∂v
∂z
+∂w
∂ y
γxz= ∂u
∂ z
+∂w
∂x
(1.95)
бу ерда и
v ва w – кўчишнинг х у ва z координата ўқлари йўналиши бўйича
мос компонентлари. Бу кўчиш комноненталари тугун қийматлар орқали
қўйидагича ифодаланар эди (3 бўлим):
{u }= [N ]{U }
(1.96)
бу ерда
[N ] -(1.19) шакл функцияларининг матрицаси. (1.95) формулалар
ёрдамида
{ε} деформация векторини {U } тугун кўчишлари орқали
ифодалаш мумкин. Бу муносабатларнинг умумий шакли қуйидагича:
{ ε } = [ B ]
{U} . (1.97)
бу ерда, [ B ] -
[N] матрицани дифференциаллаш орқали ҳосил қилинади. [ B ]
матрица коэффициентларининг ҳақиқий қийматлари ишлатиладиган
элемент кўринишига ва қаралаётган масаланинг турига боғлиқ. Шунинг
учун [ В ] матрицанинг аниқ кўриниши конкрет мисолларни кўрганда
маълум бўлади.
Алоҳида элементнинг Λ (е)
деформация энергияси (1.94) ва (1.97)
формулалар ёрдамида қуйидаги шаклда ёзилиши мумкин:
Λ(e)= ∫
V(e)
1
2 ({U }T[B(e)]T[D(e)][B(e)]{U }−
− 2{U }T[B(e)]T[D(e)]{ε0
(e)}+{ε0
(e)}T[D(e)]{ε0
(e)})dV
(1.98)
54](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_54.png)
![W b
(e)
=∫
V(e)
{U }
T
[N
(e)
]
T
¿{X
(e)
¿}{Y
(e)
¿}¿{}dV ¿ (1.101)
шаклда ёзиш мумкин.
Сирт кучларининг иши қуйидагича аниқланади:
W p
(e)= ∫
S(e)
(up
x(e)+vp y
(e)+ wp z(e))dS
(1.102)
бу ерда u , v ва w – кўчиш векторнингкомпоненталари,
px,py ва pz лар эса
кучланиш векторининг х, у ва z координата ўқларига параллел бўлган
компоненталари.
(1.102) ва (1.100) формулаларни тақослаш кўрсатадики улар шакл
жиҳатдан бир хил кўринишга эга. Шунинг учун
Wb
(e)
=∫
S(e)
{U}
T
[N
(e)
]
T
¿{px
(e)
¿}{py
(e)
¿}¿{}dS ¿
( 1. 103)
Энди (1.84) ( 1.98 ) ( 1.99 ) ( 1.101 ) ва ( 1.103 ) формула лар ёрдамида тўла
потенциал энергия учун:
56](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_56.png)
![Π=∑
e=1
E
[∫
V(e)
1
2
{U}
T
[B
(e)
]
T
[D
(e)
][B
(e)
]{U}dV−
−∫
V(e)
{U}
T
[B
(e)
]
T
[D
(e)
]{ε0
(e)
}dV−∫
V(e)
{U}
T
[N
(e)
]
T
¿{X
(e)
¿}{Y
(e)
¿}¿{}dV−
¿−∫
S
(e)
{U}
T
[N
(e)
]
T
¿{px
(e)
¿}{py
(e)
¿}¿{}dS]−¿ ( 1. 104)
Π
миқдорни минималлаш тириш учун, (1.104) ифодани { U } бўйича
дифференциаллаймиз ва натижа ни нолга тенглаштир амиз . Бу амалларни
юқорида кўрган матрицавий муносабатларни дифференциаллаш
қоидаларидан фойдаланиб бажариш мумкин [ 1.5. 2 бўлим ] . Натижада,
∂Π
∂{U}
=∑
e=1
E
[∫
V(e)
[B(e)]Т[D(e)][B(e)]dV {U}−∫
V(e)
[B(e)]T[D(e)]{ε0}dV −
−∫
V(e)
[N(e)]T¿{X(e)¿}{Y(e)¿}¿{}dV −∫
S(e)
[N(e)]T¿{px
(e)¿}{py
(e)¿}¿{}dS ]−{P}=0
¿¿
(1.105)
га эга бўламиз.
(1.105) формуладаги интеграллар ҳар бир элемент учун
{f(e)}
кучланиш вектори ва
[k(e)] қатиқлик матрицасини аниқлайди. Уларни
қўйидагича умумлаштириб ёзиш мумкин:
∂Π (e)
∂{U }= [k(e)]{U }+{f(e)}
(1.106)
(1.106) тенглама майдон назариясидаги функционалнинг ҳосиласига
доир тенгламага жуда ўхшаш. Қаралаётган ҳолда
[k(e)]
57](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_57.png)
![[k(e)]= ∫
V(e)[B(e)]T[D(e)][B(e)]dV (1.107)
кўринишдаги ҳажм интегралидан иборат,
{f(e)} эса қўйидаги бир нечта
интегралларнинг йиғиндисидан иборат:
{f
(e)
}=−∫
V(e)
[B
(e)
]T[D
{e}
]{ΔT
(e)
}dV −∫
V(e)
[N
(e)
]¿{X
(e)¿}{Y
(e)¿}¿{}dV −∫
S(e)
[N
(e)
]T¿{px
(e)
¿}{py
(e)
¿}¿{}dS−{P}¿¿
(1.108)
Элементнинг (1.107) қаттиқлик матрицаси сирт интегралини ўзида
сақламайди (майдон назарияси масалаларида бу учратилар эди). (1.107)
даги ҳажм интеграли шаклан майдон назариясидаги функционалнинг
ҳосиласидаги ҳажм интеграли билан бир хил бўлса-да, аммо,
[B(e)] ва
[D(e)]
ларнинг сонли қийматлари бу икки ҳолда мутлоқо хар хилдир.
[ К ] глобал қаттиқлик матрицаси ва { F } глобал вектор–устун
[ K ]{ U }={ F } ( 1. 109)
матрицавий тенгламада
[K ]=∑e=1
E
[k(e)]
( 1. 110)
[F]=−∑e=1
E
[f(e)]
( 1. 111)
муносабатлар билан аниқланади.
58](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_58.png)
![II БОБ. ДОИРА КЕСИМЛИ БЎЛМАГАН СТЕРЖЕННИ МАТЕМАТИК
МОДЕЛЛАШТИРИШ.
Биринчи бобда жисмни дискретлаштириш масалалари, алохида
олинган битта элемент учун интерполяция кўпҳадини қуриш ва
дискретланган соҳа учун интерполяция кўпҳадларини қўллаш, шунингдек,
асосий тенгламаларни чиқариш масалалари кўрилган эди. Биринчи боб
чекли элементлар усули билан боғлиқ асосий маълумотларни ўз ичига олади.
Ушбу бобда чекли элементлар усулини амалий масалаларга тадбик килишни
караймиз. Бу мақсад доира кесимли бўлмаган стерженнинг буралиши
масаласининг сонли ечимларини олиш орқали эришилади.
Чекли элементлар усулини амалга оширишни тасвирлаш учун ушбу
муаммони танлаш иккита сабаб билан изоҳланади. Биринчидан, бу ҳолда
чекли элементлар усулининг тенгламаларини олиш нисбатан осон. [ К ]
матрицасини ҳисоблаш осон ва соха чегараси буйлаб олинадиган
интеграллар изланаётган функциянинг чегара қийматлари нолга тенг
булганлиги учун нолга айланади. Иккинчидан, доира кесимли бўлмаган
стерженнинг буралишини кўриб чиқишда ишлатиладиган тушунчалар
механик ва майдон назарияси масалалари учун бир хил даражада муҳимдир.
Стерженнинг буралиш назарияси деформацияланувчи жисм механикасининг
мустақил бўлими бўлсада, унда қўлланиладиган дифференциал тенгламалар
иссиқлик узатиш ва ер ости сувлари оқимини тавсифловчи тенгламаларга
хам ўхшайди.
2.1. Стержен буралишининг умумий назарияси
Ихтиёрий кесимли шаклга эга бўлган цилиндрик стерженларнинг
буралиш назариясига кўра, Z ўққа нисбатан айлантирувчи Т моментнинг
ҳаракати натижасида жисмда вужудга келадиган жисмнинг исталган
нуқтасида ги силжитувчи кучланишлар ни (2.1-шакл) қуйидаги формулалар
ёрдамида ҳисоблаш мумкин
59](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_59.png)
![τzx= ∂ϕ
∂y, τzy= ∂ϕ
∂x, (2.1)
бу ерда
ϕ —кучланиш функция си . Бу функция учун дифференциал тенглама
1
G
∂2ϕ
∂x2+ 1
G
∂2ϕ
∂y2+2θ= 0,
(2.2)
кўринишга эга бўлади
2.1-Шакл. Айлантирувчи момент таъсирига учраган доира а кесимли бўлмаган стержен да
силжиш кучланишлари.
чегара шарти эса қуйидагича ёзилади
ϕ= 0.
(2.3)
(2.2) тенгламада материалнинг G [Н/см 2
] силжиш модулини ва буралиш
(узунлик бирлигидаги буралиш бурчаги)
θ [рад/см] параметр сифатида
қатнашади . М асала нинг бу ндай қўйилишида дифференциал тенглама Т
[Н·см] айлантирувчи моментга боғлиқ бўлмайди. Т нинг қиймати (2.2)
тенглама ечилгандан кейин
T=2∫
Σ
ϕdA .
(2.4)
формула билан ҳисобланади
Кучланиш функциясини стерженнинг кўндаланг кесимини
қоплайдиган маълум бир сирт сифатида тасаввур қилиш мумкин (2.2- шакл ).
Айлантирувчи момент бу сирт билан қоплаган ҳажмга пропорционал бўлади ,
силжиш кучланишлари эса бу сиртга ўтказилган уринмаларнинг xz ва yz
60](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_60.png)
![текисликларига оғиш бурчаклари билан боғлангандир. (2.2) тенглама одатда
қуйидаги кўринишда ёзиб оламиз∂2ϕ
∂x2+∂2ϕ
∂y2+2Gθ = 0.
(2.5)
У ҳолда стерженнинг буралиши ҳақидаги м асала вариацион нуқтаи
назаридан
χ=∫
V[
1
2(
∂ϕ
∂x)
2
+1
2(
∂ϕ
∂y)
2
− 2G θϕ]dV ,
(2.6)
функционални кўриб чиқиш билан боғлиқ ва 1 бобда келтирилган
мулоҳазаларга кўра
2.2- Шакл .
ϕ кучланиш функцияси нинг сирти ва мос силжиш кучланиши.
χ=∫
V[
1
2{g}T[D]{g}−(2Gθ )ϕ]dV ,
(2.7)
кўринишда ёзилади. Бу ерда
{g}=
{
∂ϕ
∂x
∂ϕ
∂y
}
,
[D]=[
Kxx o
0 K yy].
Устун вектори
{g} силжиш кучланишларига мос келади, [ D ] матрица бирлик
матрицаг а айланади, чунки
Kxx= K yy=1. χ функционални {Ф} га нисбатан
минималлаштириш қуйидаги чизиқли тенгламалар системаси га олиб келади.
61](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_61.png)
![∑e=1
E
∫
V(e)
[B(e)]T[D(e)][B(e)]dV {Ф }=∑e=1
E
∫
V(e)
[N(e)]T(2Gθ )dV , (2.8)
бу ерда
[N(e)] формулада аниқланади ва [B(e)] эса формулада аниқланган
градиент лар матрица си дир. Стержен кес имининг шакли аниқ лангандан
кейин ва бу кес и м элементларга бўлингандан кейин (2.8) системани ечишга
киришилади.
2.2. Элементларнинг матрицаларини қуриш
Элементларнинг матрицалари қандай аниқланиши ва улар ёрдамида
чизиқли тенгламалар системаси қандай тузилганлигини кўрсатиш учун
кесими квадрат шаклида бўлган стержен ни қараймиз (2.3.а-ш акл ). Тўртта
симметрия ўқи мавжудлиги сабабли, квадратни нг фақат
1
8 қисмини қараш
етарли . Кесимнинг мана шу қисмини 2.3б- шакл да кўрсатилганидек, тўртта
элементга ажратамиз.
Симметрия ўқлари
G=0,8 ×10 7H /см 2
θ=1∗¿¿
на 100 см
62 кесим юзаси](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_62.png)
![2.3- Шакл . Кесими квадрат бўлган стержен нинг буралиш масаласида соҳани элементларга
бўлиш
Тўртта элемент мақбул аниқликдаги ечимни ҳосил қилиш учун
элементлар етарли эмас лекин бизнинг зарур бўлган тенгламалар
системасини ҳосил қилиш техникасини тасвирлаш учун етарли.
[1]да келтирилган усулларга кўра, шаклдаги элементлар учун
интерполяция кўпҳадлариниϕ(1)= N 1(1)Φ 1+N 2(1)Φ 2+0Φ 3+N 4(1)Φ 4+0Φ 5+0Φ 6,
ϕ(2)= 0Φ1+N 2(2)Φ 2+N 3(2)Φ 3+0Φ 4+N 5(2)Φ 5+0Φ 6,
(2.9)
ϕ(3)= 0Φ 1+N 2(3)Φ 2+0Φ3+N 4(3)Φ 4+N 5(3)Φ 5+0Φ 6,
ϕ(4)= 0Φ1+0Φ 2+0Φ 3+N 4(4)Φ 4+N 5(4)Φ 5+N 6(4)Φ 6.
кўринишда тасвирлаб оламиз.
Элементнинг қаттиқлиги матрицаси учун умумий формула қуйидагича
ёзилади
[k(e)]=∫
V
[B(e)]T[B(e)]dV .
Бу ерда қаралаётган ҳол учун
[D]=[I] эканлиги ҳисобга олинган. [B(1)] ни
ҳосил қилиш учун
ϕ(1) ни х ва у га нисбатан дифференциаллаш керак.
Биринчи элементни батафсил кўриб чиқайлик:
∂ϕ(1)
∂x =[
∂N1(1)
∂x
∂N2(1)
∂x 0 ∂N4(1)
∂x 0 0]= 1
2A(1)[b1(1) b2(1) 0 b4(1) 0 0],
(2.10 а)
∂ϕ(1)
∂y =[
∂N1(1)
∂y
∂N2(1)
∂y 0
∂N4(1)
∂y 0 0]= 1
2A(1)[c1(1) c2(1) 0 c4(1) 0 0],
(2.10 б)
[B(1)]
градиент лар матрицаси:
[B(1)]= 1
2A(1)[
b1(1) b2(1) 0 b4(1) 0 0
c1(1) c2(1) 0 c4(1) 0 0]
(2.11)
шаклга эга бўлади.
63](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_63.png)
![Бу элементнинг юзасиA(1)=(
1
4) (
1
4) (
1
2)= 1
32
ва
1
2A(1)=16 .
b ва c коеффициентлар қуйидагича ҳисобланади:
b1(1)=Y2−Y4=−0,25 , c1(1)= X 6− X 2= 0
b2(1)=Y4−Y1=0,25 , c2(1)= X1− X4=−0,25 ,
b4(1)=Y1−Y2=0, c4(1)= X2− X1=0,25 .
Бу қийматларни ( 2 .11) формулага қўйиб
[B(1)]=[
−4 4 0 0 0 0
0 −4 0 4 0 0]
(2.12)
ни ҳосил қиламиз.
[B(1)]T[B(1)] кўпайтмани ҳисоблаймиз :
[B(1)]
T
[B(1)]=
[
−4
4
0
0
0
0
0
−4
0
4
0
0
]
[
−4 4 0 0 0 0
0 −4 0 4 0 0].
ёки
[B(1)]
T
[B(1)]=
[
16 −16 0 0 0 0
−16 32 0 −16 0 0
0 0 0 0 0 0
0
0
0
−16
0
0
0
0
0
16
0
0
0
0
0
0
0
0
]
.
(2.13)
Элементнинг қаттиқлик матрицаси (2.13) нинг интегралидир.
[B(1)]T[B(1)]
матрица лар кўпайтмаси ўзгармас миқдор бўлганлиги учун уни интеграл
остидан чиқариш мумкин, натижада
[k(1)]=[B(1)]T[B(1)]∫
V(1)
dV =[B(1)]T[B(1)]A(1).
ҳосил қиламиз.
64](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_64.png)
![Бу ҳолда элементнинг қалинлиги ни бирга тенг деб ҳисобланган. (2.13)
формуладан ва A(1)=1/32 эканлигидан фойдаланиб
[k(1)]= 1
2
[
1
−1
0
−1
2
0
0
0
0
0 0 0
−1 0 0
0 0 0
0 −1 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
]
(2.14)
ни ҳосил қиламиз.
Агар [1] да муҳокама қилинган L -координаталар системас идан
фойдалансак
{f(1)}= ∫
V(1)2G(1)θ
[
N1(1)
N2(1)
0
N4(1)
0
0
]
dV
ҳажм интеграли ни осонгина ҳисоблаш мумкин :
L1=N1(1),
L2= N2(1), L3=N4(1), (2.15)
Ҳажм интеграли эса
{f(1)}= ∫
V(1)
2G(1)θ
[
L1
L2
0
L3
0
0
]
dV
(2.16)
кўринишда ёзилади.
Элементнинг қалинлигини бирга тенг деб фараз қилиб, [1] даги
L-координаталардаги интеграллаш формуласини қўлласак
65](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_65.png)
![{f(1)}= 2G(1)θA (1)
3
{
1
1
0
1
0
0
}(2.17)
ҳосил қиламиз
Бунга
G(1) , θ ва A(1) ларнинг қийматларини қўйсак
{f(1)}=
{
29 ,07
29 ,07
0
29 ,07
0
0
}
(2.18)
ҳосил бўлади.
Шундай қилиб, биринчи элемент учун тенгламалар системас и
[k(1)]{Φ }={f(1)}
ёки
1
2
[
1 −1 0 0 0 0
−1 2 0 −1 0 0
0 0 0 0 0 0
0
0
0
−1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
]{
Φ1
Φ2
Φ3
Φ4
Φ5
Φ6
}
=
{
29 ,07
29 ,07
0
29 ,07
0
0
}
.
(2.19а)
шаклга эга бўлади.
Бошқа элементлар учун ҳам худди шундай тенгламалар системасини
ҳосил қилиш мумкин. Қолган элементларнинг матрицалари учун якуний
ифодалар қуйида келтирилган:
[k(2)]{Φ }={f(2)},
66](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_66.png)
![1
2
[
0 0 0 0 0 0
0 1 −1 0 0 0
0 −1 2 0 −1 0
0
0
0
0
0
0
0
−1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
]{
Φ1
Φ2
Φ3
Φ4
Φ5
Φ6
}
=
{
0
29 ,07
29 ,07
0
29 ,07
0
}
. (2.19б)
[k(3)]{Φ }={f(3)},
1
2
[
0 0 0 0 0 0
0 1 0 −1 0 0
0 0 0 0 0 0
0
0
0
−1
0
0
0
0
0
2
−1
0
−1
1
0
0
0
0
]{
Φ1
Φ2
Φ3
Φ4
Φ5
Φ6
}
=
{
0
29 ,07
0
29 ,07
29 ,07
0
}
.
(2.19в)
[k(4)]{Φ }= {f(4)},
1
2
[
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
−1
0
−1
2
−1
0
−1
1
]{
Φ1
Φ2
Φ3
Φ4
Φ5
Φ6
}
=
{
0
0
0
29 ,07
29 ,07
29 ,07
}
.
(2.19г)
Якуний тўлиқ тенгламалар системас и алоҳида элементлар учун
тенгламаларни алгебраик йиғиш йўли билан ҳосил қилина ди. У қуйидагига
тенг бўлади :
1
2
[
1 −1 0 0 0 0
−1 4 −1 −2 0 0
0 −1 2 0 −1 0
0
0
0
−2
0
0
0
−1
0
4
−2
0
−2
4
−1
0
−1
1
]{
Φ1
Φ2
Φ3
Φ4
Φ5
Φ6
}
=
{
29 ,07
87 ,22
29 ,07
87 ,22
87 ,22
29 ,07
}
.
(2.20)
Ф
3 , Ф
5 ва Ф
6 қийматлари нолга тенг, чунки уларга мос келадиган тугунлар
ташқи чегарада жойлашган. (2.20) тенгламалар системас ини нг шаклини
ўзгартириб ва уни ечиб
Ф
1 =218,16, Ф
3 =0,
67](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_67.png)
![τzx= ∂ϕ
∂y ва τzy= ∂ϕ
∂x
Ҳар бир элемент учун градиентлар матрицаси аллақачон
аниқланганлиги учун силжиш кучланишларининг қийматларини ҳисоблаш
осон. Градиентлар матрицаси биринчи элемент учун (2.11) формула билан
аниқланган:
{g(1)}=
{
∂ϕ
∂x
∂ϕ
∂y}
=[B(1)]{Φ },
{g(1)}= 1
2A(1)[
b1(1) b2(1) 0 b4(1) 0 0
c1(1) c2(1) 0 c4(1) 0 0]
{
Φ1
Φ2
Φ3
Φ4
Φ5
Φ6
}
(2.12) ва (2.21) формулаларни ҳисобга олсак
{g(1)}=[
−4 4 0 0 0 0
0 −4 0 4 0 0]
{
218 ,16
160 ,0
0
123 ,63
0
0
}
={
−232 ,6
−145 ,4}.
келиб чиқади.
Шунинг учун
τzx
(1)= ∂ϕ
∂y=−145 ,4H /cм 2,
τzy(1)= ∂ϕ
∂x=232 ,6H /cм 2.
б ошқа элементлар учун ҳам кучланиш тензор ининг компонентлари худди
шундай ҳисобланади:
2 -элемент учун :
τzx=0H /см 2, τzy=639 ,4H /см 2,
3-элемент учун :
τzx=−145 ,4H /см 2,τzy=494 ,0H /см 2,
4-элемент учун :
τzx=0H /см 2,τzy=494 ,0H /см 2.
69](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_69.png)
![квадрат ик ва куб ик ҳад ларни ўзида сақлайди . У ҳолда дифференциаллаш
натижасида координаталарнинг функциялари дан иборат бўлган градиентлар
ҳосил қили нади. Учинчи хил ёндашув қўшма аппроксимациялаш
назариясини қўллаш. Бу назария тугун нуқталаридаги кучланишларни, худди
шунингдек элемент ичидаги кучланишларни х , у координаталарининг
функцияси сифатида аниқлаш имконини беради. Ушбу назарияни қўллаш
кейинги бўлимда муҳокама қилинади.
Яна бир эътиборга молик резул ь тан т (2.4) формула билан
ифодаланадиган Т моментдир:Τ=∫
Σ
ϕdA ,
бу ерда
Σ — стерженнинг кўндаланг кесими юзаси дир.
Бу интеграл қуйидагига эквивалентдир:
Τ=∑e=1
E
∫
Σ
2ϕ(e)dA ,
(2.22)
бу ерда
ϕ(e) (2.9) формула билан аниқланади. Биринчи элементдан
бошлайлик:
2∫
A(1)ϕ(1)dA =2∫
A(1)[N1(1) N2(1) 0 N4(1) 0 0]
{
Φ1
Φ2
Φ3
Φ4
Φ5
Φ6
}
dA
, (2.23)
ёки
2∫
A(1)
ϕ(1)dA =2[Φ]T∫
A(1)
[N(1)]TdA
. (2.24)
Охирги ифода (2.16)даги интеграл билан бир хил. Бундан дарҳол
2∫
A(1)
ϕ(1)dA = 2A(1)
3 [Φ ]T
{
1
1
0
1
0
0
}
= 2A(1)
3 (Φ1+Φ2+Φ4)
. (2.25)
71](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_71.png)
![2.4. Элементнинг мослаштир илган результант лари
Чизиқли интерполяция кўпҳад ларидан фойдаланишнинг камчилиги
градиентни x ва y нинг функциялари сифатида олиш мумкин эмаслигидир.
Градиент ва у билан боғлиқ ҳар қандай қиймат элемент ичида ўзгармас
миқдор сифатида топилпди . Тугун миқдор ларни аниқроқ қийматларига эга
бўлиш учун турли хил ўртача усуллар қўлланилади. Масалан, берилган
тугундаги градиентни қиймати сифатида бу тугунни ўраб турган барча
элементлар бўйича ҳисобланган ўртача қийматни олиш мумкин. Элемент
результант ларининг тугун қийматларини қўшма аппроксимациялар
назарияси ёрдамида ҳам олиш мумкин [15]. Бу назария элемент
результантлари қийматларини бирор вектор ёки скаляр миқдорнинг
аппроксимацияловчи қиймат ларига мос келадиган қийматларини беради.
Қўшма аппроксимациялаш назариясининг [15] да берилган. Бироқ,
ушбу назарияни қўллаш қийин эмас ва юқорида муҳокама қилинган буралиш
масаласининг тўрт элементли моделида тасвирланган. Элемент
результант ининг тугун қийматлари [С]{σ}= {R}
, (2.26)
тенгламалар ситемасини ечиш орқали ҳосил қилинади. Б у ерда [С] ва { R } лар
[c(e)]=∫
V
[N(e)]
T
[N(e)]dV
(2.27)
ва
[r(e)]=∫
V
σ[N(e)]
T
dV ,
(2.28)
кўринишдаги элемент матрицаларининг йиғиндисидан иборат бўлади.
σ — эса элементнинг стандарт результанти . {r(e)} аниқлаш қийин эмас, чунки
қиймат
σ элемент ичида ўзгармасдир. L-координаталар ёрдамида [ с ( e )
] ни
ҳисоблаш осон. Биринчи элементни батафсилроқ кўриб чиқамиз. Бу ҳолда
[N(1)]=[L1 L2 0 L3 0 0].
73](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_73.png)
![[N(1)]T[N(1)] кўпайтмани қуйидагича ёзиб оламиз:
[N(1)]T[N(1)]
[
L12
L1L2
0
L1L2
L22
0
0
0
0
L1L3 0 0
L2L3 0 0
0 0 0
L1L3 L2L3 0 L32 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
]
.
(1.38) формула дан фойдаланиб сирт интеграл ини ҳисобласак
[c(1)]= A(1)
12
[
2
1
0
1
2
0
0
0
0
1 0 0
1 0 0
0 0 0
1 1 0 2 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
]
(2.29)
га эга бўламиз. (элементнинг қалинлиги бирга тенг деб фараз қилинади).
У ҳолда биринчи элемент учун устун-вектор
{r(1)}= A(1)σ
3
{
1
1
0
1
0
0
}
= A(1)(233 )
3
{
1
1
0
1
0
0
}
= A(1)
{
77 ,67
77 ,67
0
77 ,67
0
0
}
.
(2.30)
Олдинги ҳисоб-китобларда
τzx силжиш кучланиши ҳар бир
элемент нинг ичида энг катта қиймат қабул қилганлиги учун фойдалан илган
эди . Силжиш кучланиши
τzx ҳам худди шундай қаралади . { R } устун-вектор
τzx
ни сон ли қийматлар идан фойдаланиб қайтадан ҳисобланиши керак.
Таъкидлаб ўтамизки , { R } устун-вектор фақат бир элементдан иккинчи
элементга ўтганда ўзгарадиган қиймат учун ҳисоблана ди. Демак,
элементларнинг сонли матрицалари биринчисидан тўртинчисигача (2.29)—
(2.33) формулалар билан аниқланади :
74](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_74.png)
![[c(2)]= A(2)
12
[
0
0
0
0
2
1
0
1
2
0 0 0
0 1 0
0 1 0
0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 2 0
0 0 0 0 0 0
] ,
{r(2)}= A(2)
{
0
213
213
0
213
0
} (2.31)
[c(3)]= A(3)
12
[
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0 0 0
1 1 0
0 0 0
0 1 0 2 1 0
0 1 0 1 2 0
0 0 0 0 0 0
]
,
{r(3)}= A(3)
{
0
164 ,67
0
164 ,67
164 ,67
0
} , (2.32)
[c(4)]= A(4)
12
[
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 2 1 1
0 0 0 1 2 1
0 0 0 1 1 2
]
,
{r(4)}= A(4)
{
0
0
0
164 ,67
164 ,67
164 ,67
} . (2.33)
Якуний тенгламалар системаси ҳар бир элемент б дан ҳосил бўлади.
Натижада
1
12
[
2
1
0
1
6
1
0
1
2
1 0 0
2 2 0
0 1 0
1 2 0 6 2 1
0 2 1 2 6 1
0 0 0 1 1 2
]{
σ1
σ2
σ3
σ4
σ5
σ6
}
=
{
77 ,67
455 ,35
213
407 ,01
542 ,34
164 ,67
}
. (2.34)
тенгламалар системаси ҳосил бўлади.
Барча элементлар бир хил юзага эга бўлганлиги учун, бу охирги
формулаларда улар чиқариб ташланди. Бу системани ечиб результантнинг
тугун қийматларини ҳосил қиламиз:
{σ}T
=[70,9, 436,5, 724,1, 353,6, 671,4, 475,5].
Ушбу ҳисоблашнинг дастури ва блок-схемаси иловада берилган.
Бундан ташқари элемент результанти учун бу миқдорларни элемент юзаси
бўйлаб ўзгаришини ифодаловчи муносабатларни ҳам олиш мумкин. Биз бу
75](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_75.png)
![3. Бутун система учун ягона бўлган глобал координата ўқларини танлаш.
4. Система нинг барча тугунларининг координаталарини киритиш.
5. Ҳар бир элемент учун локал координата ўқларининг ўрнини автоматик
равишда аниқлаш учун элементнинг асосий инерция текисликларидан
бирида, кўпинча кесманинг симметрия текислигида ётувчи фазодаги
исталган нуқтанинг координаталарини киритиш. Ишда учинчи нуқта глобал
x y ўқлар текислигида ётади.
6. С тержен системас и элементларининг уланиш нуқталарини кўрсатувчи
элементларнинг [MIE] индекслар матрицасини киритиш ,
7. Тугун номер ини, силжиш йўналишини ва унинг катталигини кўрсатиб,
силжиш даги чегара вий шартларини киритиш. Шу тарзда кўндаланг кесимли
стерженнинг материалини, шаклини ва ўлчамларини танлаш учун
му носабат лари стержен системалар и га киритилади.
8. Юкламаларни ўрнатиб, уларнинг ҳар бири учун тугун номери ва
юкнинг силжиш йўналишини белгилаш.
9. Агар ташқи кучлар орасида тақсимланган юк бўлса, уни тугунларга
қўйилган эквивалент юклар билан алмаштириш.
Статик ҳисоблаш алгоритми .
1. Ҳ ар бир тугунда олтита силжишни киритиш билан, элементларнинг
индекслари матрицасидан фойдаланиб, тугунлардаги силжишларнинг [ MIA ]
индекслар матрицасини тузиш.
Бир қатор тугунлар маҳкамланганлиги учун силжишларда ги чегара
шартларин и киритиш жараёнида ҳисобга олинади.
2. [MIЕ] элементларнинг индекслари матрицалари ва [MIA] тугун
силжишларининг индекслари матрицасини бирлаштириб, [MI] элементлар
силжишларининг индекслар матрицаси ҳосил бўлади.
3. {F} куч векторининг таркибий қисмлари яратилган [MIA]
силжишларнинг индекслар матрицасини ҳисобга олган ҳолда номерланади.
77](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_77.png)
![4. Чизма вазифасини бажарувчи тугунларнинг координаталари ва
тугунларнинг индекслар матрицаси орқали дастур элементларнинг
узунлигини аниқлайди, сўнгра локал координата ўқларининг йўналишини
аниқлайди. х ўқи элементнинг ўқи бўйлаб биринчи тугундан (тугунлар
индекслари матрицасидаги) иккинчи тугунга йўналтирилади. y ўқи
стерженнинг x ўқи ва ҳисобчи киритган учинчи тугун жойлашган
текисликда ётади. z ва y ўқларининг йўналиши ⃗z= ⃗x× ⃗y ва ⃗y= ⃗x× ⃗z
. вектор
кўпайтмалар ёрдамида аниқланади.
Сўнгра ўқлар ортларининг (бирлик векторлари) проекциялари орқали
⃗z,⃗x,⃗y
лар ва [ L ] йўналтирувчи косинуслар матрицаси аниқланади.
5. Танланган материал учун Е Юнга модули, ρ зичлиги ва [ σ ] рухсат
этилган кучланиш киритилади .
6. Элементлар кўндаланг кесимларининг шакли ва ўлчамларига асосан
уларнинг геометрик хусусиятлари (юзаси, инерция моментлари, қаршилик
моментлари) ҳисобланади.
7. Системанинг
[⃗K] қаттиқлик матрицаси қурилади.
Система нинг материали ва геометриясини билган ҳолда , стандарт
формулалар ёрдамида элементларнинг
[Ke] қаттиқлик матрицалари локал
координаталарда топилади. Сўнгра [ L ] йўналтирувчи косинуслар матрицаси
ёрдамида элементларнинг
[Ke] = [L]T [Ke] [ L ] қаттиқлик матрицаси глобал
координата ларда аниқланади. [ MI ] элементларнинг силжиш индекслар
матрицаси орқали система нинг
[⃗K ] қаттиқлик матрицаси глобал координата
ўқларида ҳисобланади.
8.
{¯F }= [⃗K ]{¯Λ} асосий тенгламани ечиш орқали глобал координата
ўқларида системанинг тугун силжишлари аниқланади.
Элементларнинг
{¯Λe} тугун силжишлари , элемент ларнинг [ MI ]
78](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_78.png)
![силжишларнинг индекслар матрицаси билан таққосланиб глобал
координата ларда аниқланади.
9.{Λe}= [L] {¯Λe} элементларнинг тугун силжишлари глокал
координаталарда аниқланади.
10. МКЭ асосий тенгламасидан яна фойдалани лади. Ҳар бир элементда
{Fe}=[Ke]{Λe}
тугун ҳаракатлари л ок ал координаталарда аниқланади .
11. Материаллар қаршилиги м асала си ечилади . Ҳар бир элемент учун
мустаҳкамлик шартларига асосан уларнинг кесимларининг ўлчамлари
аниқ ланади. Лойиҳа нинг умумий массаси аниқланади.
Динамик ҳисоблаш алгоритми .
1. Бе рилган тугунда ги концентрланган массани қўлда киритиш.
Сўнгра, компьютер да ҳисоблаш.
2. Концентрланган массани ҳисобга олган ҳолда системанинг масса
матрицаси шакллантирилади.
3. Генвалс ва генвеcс функцияларидан ёрдамида
[ M ]¿ ¿ эркин
сўнмайдиган тебранишлар тенглама си ечилади ва хос частоталар вектори ва
систем хос векторларининг спектри ҳисобланади.
4.
[ M ] ¿ ¿ мажбурий сўнувчи матрицавий
тенгламани чекли айирмалар усули (Нюмарк бўйича) билан тўғридан-тўғри
интеграллаб система тугунларидан бирининг динамик силжиши биринчи хос
частотадаги резонанс моментида ҳисобланади ва динамиклик коэффициенти
топилади.
Ҳисобчининг кейинги иши
3.1. Мустаҳкамлик ва қаттиқлик шартларини ҳисобга олган ҳолда ва
лойиҳанинг минимал оғирлигига еришиш учун кесимларнинг шакли ва
ўлчамларини аниқлаштириш.
79](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_79.png)
![5. Мураккаб кесим чегарасидан ташқарида ётувчи планшет тугунларини
чиқариб ташлаш йўли билан мураккаб кесимнинг ва планшетнинг индекслар
матрицаси ни шакллантирилади .
6. Чегаравий шартлар ни ёзиш - мураккаб кесим контурида ётувчи тугунлар
рўйхати ни тузилади .
7. [ K ]{Φ = } { F } кўринишдаги асосий тенглама келти рилган∂2ϕ
∂z2+ ∂2ϕ
∂ y2+2Gθ = 0
Пуассон тенгламасидан фойдаланиб, элементларнинг
[Ke]
қаттиқлик матрицаси ни шакллантирилади .
8. [MI] тугунларнинг индекслар матрицаси бўйича элементларнинг қаттиқлик
коэффициентларини йиғиш йўли билан системанинг [ К ] қаттиқлик
матрицаси ни ҳисобланади .
9. Тенгламаларнинг
{F
e
}=
2
3
GθA
e
¿{1¿}{1¿}¿{}¿ ўнг томон векторини шакллантириш,
бунинг учун θ нисбий бураш бурчагига ихтиёрий қиймат, масалан, θ =1 град
м қиймат берилади.
10. Чегаравий шартларни ҳисобга олинади (кесим контуридаги тугунлар
рўйхати).
11. [ K ]{ Φ = } { F } асосий тенгламани ечиш ва кучланиш функциясининг { Φ }
тугун қийматлари векторини топилади.
12. Тугунлардаги уринма кучланишлар ва кесимнинг буралувчи моментини
ҳисобланади.
13.
JK=
M k
Gθ инерция моменти ва буралиш пайтидаги
W K=
M k
τmax қаршилик
моментини аниқланади.
14. Топилган инер ц ия моментлари ни стержен ли системанинг ҳисоблаш
дастурига киритилади.
81](/data/documents/8cf4c7a7-9090-4595-adc4-e25aff5df215/page_81.png)
Доира кесимли бўлмаган стерженнинг буралиши жараёнини математик моделлаштириш МУНДАРИЖА КИРИШ ……………………………………………………………………......3 I БОБ. ЧЕКЛИ ЭЛЕМЕНТЛАР УСУЛИНИНГ АСОСИЙ ЖИҲАТЛАРИ ВА БАЪЗИ БИР ЧЕГАРАВИЙ МАСАЛАЛАРГА ТАДБИҚИ ………… .. 6 1.1. Чекл и э лемент лар усулининг асосий концепцияси… …………………6 1.2. Чекли элементлар усулининг афзалликлари ва камчиликлари ……….11 1.3. Чизиқли интерполяцион кўпҳадлар …………………………………….12 1. 3.1. Бир ўлчовли симплекс- элемент………………………………………...14 1. 3.2. Икки ўлчовли симплекс– элемент……………………………………....16 1. 3.3. Уч ўлчовли симплекс- элемент…………………………………………..20 1. 3.4. Локал координаталар системаси ………………………………………...22 1.3.5. Интерполацион кўпҳаднинг хоссалари …………………………………30 1.4. Дискретланган соҳа учун интерполяцион кўпҳадлар …………………35 1.4.1. Скаляр миқдорлар учун интерполяцион кўпҳадлар …………………...35 1.5. Баъзи бир чегаравий масалаларни чекли элементлар усули ёрдамида ечиш… …………………………………………………………………………..40 1.5.1. Вариацион ҳисобнинг баъзи аспектлари ……………………………….42 1.5.2. Матрицавий муносабатларни дифференциаллаш ……………………..45 1.5.3. Эластиклик назарияси масалаларида чекли элемен т лар усулининг тенгламалари… ………………………………………………………………....47 II БОБ. ДОИРА КЕСИМЛИ БЎЛМАГАН СТЕРЖЕННИ МАТЕМАТИК МОДЕЛЛАШТИРИШ ........................................................................... ...........57 2.1. Стержен буралишининг умумий назарияси……………………………57 2.2. Элементларнинг матрицаларини қуриш………………………………60 2.3. Элементнинг стандарт результантлари ………………………………..66 2.4. Элементнинг мослаштир илган результант лари………………………70 1
III БОБ . ФАЗОВИЙ СТЕРЖЕНЛИ СИСТЕМАНИ MAPLE ДАН ФОЙДАЛАНИБ СТАТИК ВА ДИНАМИК ҲИСОБЛАШ ……..............74 3.1. Стержен ли системани чекли элемент лар усули билан сонли ҳисоблаш нинг тартиби………………………………………………………...74 3.2. Мураккаб бўлакнинг инерция моментларини ҳисоблаш тартиби…..78 ХУЛОСА …………………………………………………………………….....80 ФОЙДАЛАНИЛГАН АДАБИЁТЛАР ……………………………………...81 ИЛОВА ………………………………………………………………………....83 2
КИРИШ Чекл и элемент лар усули физика ва техникада учрайдиган дифферен ц иал тенгламалар ни сон л и ечиш усули ҳисобланади . Бу усулнинг пайдо бўлиши космик тадқиқотлар ни ҳал қилиш муаммо лари билан боғлиқ (1950). Бу иш биринчи марта Тёрнер, Клуж, Мартин ва Топп томонидан нашр э тилган [4]. Бу иш лар бошқа ишлар нинг пайдо бўлиши га туртки бўлди ; чекл и э лемент лар усули ни қурилиш механикаси ва туташ муҳитлар механикасига татбиқ қилинган бир қатор мақолалар чоп э тил ди. Усулни назарий асослаш учун 1963 йил Мелош [2] муҳим ҳисса қўшди. У чекли элементлар усулини Рэлей-Ритц усулининг вариантларидан бири эканлигини кўрсатди. Қурилиш механикасида чекли элементлар усули потенциал энергияни минималлаштириш орқали масалани мувозанатнинг чизиқли тенламалар системасига келтириш имконини беради. Чекли элементлар усулининг минималлаштиришга боғлиқлиги унинг техниканинг бошқа соҳаларидаги муаммоларини ҳал қилишда фойдаланишга олиб келди. Усул Лаплас ёки Пуассон тенгламалари билан тавсифланган муаммоларга нисбатан ҳам қўлланилди. Бу тенгламаларни ечиш ҳам бирор функционални минималлаштириш билан боғлиқ. Дастлабки нашрларда [12, 13] чекли элементлар усули ёрдамида иссиқлик тарқалиш масалалари ечилди. Сўнгра усул гидромеканика муаммоларига, хусусан, ғовакли муҳитда суюқлик оқими муаммосига нисбатан қўлланилди. Қурилиш механикаси, иссиқлик тарқалиши, гидромеханика масалаларида элементларни аниқловчи тенгламалар вазнли тафовутлар усулининг вариантларидан бири бўлган Галёркин ёки энг кичик квадратлар усули ёрдамида осонгина ҳосил қилиш мумкинлиги исботлангандан [11, 14] сўнг чекли элементлар усулининг қўлланиш соҳаси сезиларли даражада кенгайди. Бу фактнинг ўрнатилиши чекли элементлар усулини назарий 3
асослаш учун муҳим рол ўйнади натижада бу усулни ихтиёрий дифференциал тенгламани ечишга қўллаш имконини берди. Шуни таъкидлаш керакки, умумийроқ назарий асослар физик муаммоларни вариацион шакллантириш заруриятини истисно қилади. Шундай қилиб чекли элементлар усули қурилиш механикаси муаммоларини сонли ечиш усулидан дифференциал тенгламаларни ёки дифференциал тенгламалар системасини сонли ечишнинг умумий усулига айланди. Чекли элементлар усули самолётларни, ракеталарни, турли фазовий қобиқларни ва бошқаларни лойиҳалашда қўлланилади. Тадқиқот мақсади. Ушбу диссертациянинг мақсади чекли элементлар усулининг эластиклик назариясининг икки ўлчовли ва уч ўлчовли масалаларини ҳал қилиш билан боғлиқ бўлган томонларини муҳокама қилишдир. Назария асослари билан бир қаторда усулни ЭҲМда амалга ошириш ҳам кўриб чиқилади . Тадқиқот вазифалари. 1.Доира кесимли бўлмаган стерженнинг буралиши масаласида чекли элементлар усулининг тенгламасини келтириб чиқариш ва уни ечиш. 2.Стандарт ва мослаштирилган элемент результантларини ҳисоблаш. 3. Maple математик тизими ёрдамида фазовий стерженли қурилманинг статик ва динамик ҳисоблашларини бажариш. Тадқиқот объекти ва предмети. Доира кесимли бўлмаган б ир ёки бир нечта юкланган турли шаклдаги стержен лар системаси. Тадқиқот усуллари . Эластиклик назарияси масалаларини чекли элементлар усули билан ечилади. Бу усул кучланишнинг ва ташқи қўйилган юкларнинг бажарган иши билан боғлиқ бўлган интеграл қийматни минималлаштиришдан иборат. Мураккаб шаклдаги кесимли стержен учун буралиш пайтидаги инерция моменти Пуассон тенгламасини ечиш орқали чекли элементлар усули билан аниқланади. Тадқиқот натижаларининг илмий ва амалий аҳамияти. 4
Иш назарий характерга эга. Шу билан бирга, олинган натижалар уч ўлчовли стерженли системани статик ва динамик ҳисоблаш лар да қўлланилиши мумкин. Диссертациянинг тузилиши ва ҳажми. Иш кириш, уч та боб, илова ва фойдаланилган адабиётлар рўйхатидан иборат. Ишнинг умумий ҳажми 84 бет. Адабиётлар рўйхатида 1 8 номдаги адабиётлар мавжуд. Биринчи бобда чекли элементлар усулининг асосий жиҳатлари ва унинг айрим чегаравий масалаларга қўлланилиши кўриб чиқилади. Иккинчи бобда доира кесимли бўлмаган стерженни математик моделлаштириш ва чекли элементлар усули билан ечиш м асала си кўриб чиқилади. Учинчи бобда диссертацияда кўриб чиқилган масалаларни ҳал қилиш учун ишлатилиши мумкин бўлган ҳисоблаш дастурлари мавжуд. Ҳисоблаш дастурлари ўқув мақсадлари учун махсус ишлаб чиқилган. Улар умумий дастурларга тегишли эмас, улар ёрдамида мураккаб масалалар ни ҳал қилиб бўлмайди . 5