Maktab matematikasida Planimetriya asosiy tushunchalari yuritish metodikasi.

Загружено в:

23.11.2024

Скачано:

0

Размер:

1532.7646484375 KB

$O ‘ ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA`LIM,FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI SHAROF RASHIDOV NOMIDAGI SAMARQAND DAVLAT UNIVERSITETI MATEMATIKA FAKULTETI MATEMATIKA VA INFORMATIKA YO’NALISHI KURS ISHI MAVZU: Maktab matematikasida Planimetriya asosiy tushunchalari yuritish metodikasi. \ Samarqand – 202 __ PLANIMETRIYA$

§1.1. Uchburchaklar

Ushbu mavzuga doir misol va masalalarni yechishda quyidagilarni yodda tutish zarur.
1.Uchburchaklarning tenglik alomatlari:
Ikki uchburchak teng bo‘lishi uchun quyidagi shartlardan biri bajarilishi kerak:
a) birinchi uchburchakning ikki tomoni va ular orasidagi burchagi ikkinchi uchburchakning ikki
tomoni va ular orasidagi burchagiga mos ravishda teng bo‘lsa;
b) birinchi uchburchakning bir tomoni va unga yopishgan burchaklari boshqa uchburchakning mos
tomoni va unga yopishgan burchaklariga teng bo‘lsa;
s) birinchi uchburchakning uchta tomoni ikkinchi uchburchakning uchta tomoniga mos ravishda
teng bo‘lsa.
To‘g‘ri burchakli uchburchaklarning tenglik alomatlari: ikki to‘g‘ri burchakli uchburchak bir-biriga
teng bo‘lishi uchun quyidagi shartlardan biri bajarilishi kerak:
a) gipotenuzasi va bir o‘tkir burchagi ikkinchisining gipotenuzasi va bir o‘tkir burchagiga teng
bo‘lsa;
b) kateti va qarshisidagi burchagi ikkinchisining mos kateti va qarshisidagi burchagiga teng bo‘lsa;
s) gipotenuzasi va bir kateti mos ravishda ikkinchisining gipotenuzasi va bir katetiga teng bo‘lsa.
2.Uchburchak yuzasini hisoblash formulalari:
1 1
S
  ah
a 
bh
b  ch
c ;
2 2
S

  ab sin   bc sin   ac sin 
S
  p ( p a )( p в )( р с ) (Geron formulasi); abc
S
  ,
4 R
S
  pr .
Bu yerda va bundan keyin a , b , c – uchburchakning tomonlari h
a , h
b , h
c uchburchakni mos tomoni
balandliklari; , ,  - uchburchakni mos ravishda a, в , c tomonlari qarshisidagi ichki burchaklari; r  ( a 
b  c ) - yarim perimetr; R – uchburchakka tashqi chizilgan aylana radiusi; ruchburchakka ichki chizilgan
aylana radiusi, S
Δ – uchburchak yuzi.
3.Uchburchaklarni o‘xshashlik alomatlari:
Ikki uchburchak uchun quyidagi shartlardan biri o‘rinli bo‘lsa, ular o‘zaro o‘xshash deyiladi:
a) bir uchburchaknihg ikki burchagi mos ravishda ikkinchi uchburchakning ikki burchagiga teng
bo‘lsa;
b) bir uchburchakning ikki tomoni ikkinchi uchburchakning ikki tomoniga proporsional bo‘lib, ular
orasidagi burchaklari teng bo‘lsa;
s) bir uchburchakning uch tomoni ikkinchi uchburchakning uch tomoniga proporsional bo‘lsa.
To‘g‘ri burchakli uchburchaklarning o‘xshashlik alomatlari:
Ikki to‘g‘ri burchakli uchburchak uchun quyidagi shartlardan biri o‘rinli bo‘lsa, ular o‘zaro
o‘xshash deyiladi:
a) uchburchaklar teng o‘tkir burchaklarga ega bo‘lsa;
b) birinchisining katetlari ikkinchisining katetlariga proporsional bo‘lsa;
s) birinchisining kateti va gipotenuzasi ikkinchisining kateti va gipotenuzasiga proporsional bo‘lsa.

21Uchburchaklarni o‘xshashlik (  ABC A
1 B
1 C
1 ) koeffitsiyenti k ularni mos tomonlari nisbatiga teng:
a b c
   k a 1 b 1
c 1
O‘xshash uchburchaklar uchun quyidagi tengliklar o‘rinli:
a) mos balandliklar nisbati o‘xshashlik koeffitsiyentiga teng: h а  h b  h c
 k ; h а 1 h b 1 h c 1
b) perimetrlar nisbati o‘xshashlik koeffitsiyentiga teng:
P
 k ;
P
1
s) tashqi chizilgan (ichki chizilgan) aylana radiuslari nisbati o‘xshashlik koeffitsiyentiga teng:
r R
  k ;
r 1 R 1
d) yuzlari nisbati o‘xshashlik koeffitsiyenti kvadratiga teng:
S 2
 k ;
S
1
4. Sinuslar teoremasi: a b c
 
 2 R . sin  sin  sin 
5. Kosinuslar teoremasi:
a 2
 b 2

 c 2
 2 bc cos  b 2
 a 2
c 2
 2 ac cos  c 2
 a 2
b 2

2 ab cos 
6. Uchburchak medianasi ta’rifi va xossalari:
Uchburchakni medianasi deb, uchburchakni uchi bilan qarshisidagi tomon o‘rtasini tutashtiruvchi
kesmaga aytiladi.
Mediananing asosiy xossalari:
a) uchburchakni o‘rta chizig‘i deb ataluvchi tomonlari o‘rtasini tutashtiruvchi kesmalar, tomonlarga
parallel va mos tomon yarmiga teng;
b) uchburchakning medianalari bir nuqtada kesishadi va uchidan boshlab hisoblaganda 2:1 nisbatda
bo‘linadi;
s) mediana uchburchakni ikkita tengdosh uchburchakka ajratadi;
d) O nuqta  ABC ni medianalari kesishgan nuqtasi bo‘lsin,  ABO ,  BCO ,  ACO
uchburchaklarni yuzlari teng va ularning yig‘indisi  ABC yuzasiga teng bo‘ladi. Mediana va tomon
uzunliklarini bog‘lovchi formulalarni esda tutish lozim: m
a  2( b 2

c 2
)  a 2
;
2
a 2
m
a   c  ac cos ;

4
a  2( m
b 2
 m
c 2
)  m
a 2
.
Bu yerda m
a , m
b , m
c -  ABC uchburchakning mos ravishda a , b , c tomonlariga o‘tkazilgan medianalar
uzunliklari (xuddi shu kabi formulalarni qolgan tomon va medianalar uchun ham hosil qilish mumkin).
7. Uchburchak balandligi ta’rifi va hisoblash formulalari:
Uchburchakning berilgan uchidan tushirilgan balandligi deb, shu uchidan uning qarshisidagi tomoni
yotgan to‘g‘ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyarga aytiladi.
Ixtiyoriy uchburchak balandliklari, tomonlari, burchaklari va ichki chizilgan aylana radiusini
bog‘lovchi formulalar:
h
a  b sin  c sin , h
b  c sin  a sin , h
c  a sin  b sin ,
2 S 
2
h
a   p ( p a )( p в )( р с ) , a a
1 1 1 1
+ + = ; h a h b h c r
8. Uchburchak bissektrisasi ta’rifi va xossalari:
Uchburchakni berilgan uchidan o‘tkazilgan bissektirsasi deb, uchburchak burchagi bissektirsasining
shu uchni uning qarshi tomondagi nuqta bilan tutashtiruvchi kesmasiga aytiladi.
Uchburchak bissektrisasi asosiy xossalari:
a) uchburchak uchta bissektrisasi bir nuqtada kesishadi, bu nuqta uchburchakni ichki nuqtasi bo‘lish
bilan birga ichki chizilgan aylana markazi bo‘ladi;
b) uchburchak bissektrisasi tomonlaridan teng uzoqlikdagi nuqtalarning geometrik o‘rnidir;
s) uchburchak bissektrisasi qarshisidagi tomonni shu burchakka yopishgan tomonlariga
proporsional qismlarga ajratadi.
Uchburchakning tomonlari va bissektrisalarini bog‘lovchi formulalarni esda tutish foydali:

l
c  ab a
1 b
1 ; ab ( a  b  c )( a  b  c ) l
c  ;
a
 b
sin
 ac 2 ab cos 2 l c
  
sin
 b  a a  c
2

l
c -  ABC uchburchakni C uchidan chiqqan bissektrisasi uzunligi;
9. Uchburchakning maxsus hollardagi medianasi, bissektrisasi, balandligi va tomonining ba’zi bir
xossalari:
a) teng yonli uchburchakning balandligi, bissektrisasi medianasi ustma-ust tushadi;
b) teng tomonli uchburchakning har bir uchidan tushirilgan medianasi, bissektrisasi,
balandligi ustma-ust tushadi;
s) to‘g‘ri tomonli uchburchakda a,в - katetlari va c-
gipotenuzasi quyidagi tenglik bilan bog‘langan (Pifagor
teoremasi)
a 2 b 2  c 2 ;

d) to‘g‘ri burchakli uchburchakning kateti gipotenuzasi va shu katetining gipotenuzadagi
proyeksiyasiga o‘rta proporsional;
b c
b a c
a ;
 ;  b c a c
d) to‘g‘ri burchakli uchburchakning to‘g‘ri burchagidan tushirilgan balandligi, katetlarning
gipotenuzadagi proyeksiyalariga o‘rta proporsional:
b c
 h c ; h c
a c
e) to‘g‘ri burchakli uchburchakda tomonlar va burchaklarni bog‘lovchi tengliklar:

a  c sin , b  c cos .

1-masala. To‘g‘ri burchakli uchburchakning perimetrlari 132 ga teng, tomonlari kvadratlari
yig‘indisi 6050. Katta va kichik katetlari orasidagi farqini toping. Yechish: a , b - katetlar; c - gipotenuza
va a  b bo‘lsin. Masala shartidan quyidagi tengliklar sistemasiga ega
bo‘lamiz:

 a b c  132
 2 2 2
a b c  6050
 a 2 b 2  c 2

Ikkinchi tenglamaga uchinchi tenglamani qo‘ysak, c 2
=3025 yoki c=55 . U holda a va b larni quyidagi
sistemadan topamiz:
 a  b  77  b  77  a  b  77  a
 2 2  2 2  2
a  b  3025
a  (77  a )  3025
a  77 a 1452  0

bu yerdan a ni ikkita qiymatini hosil qilamiz: a
1  44, a
2  33 , xuddi shuningdek b ni ham mos ikkita
qiymatini hosil qilamiz: b
1  33, b
2  44 в
1 =33, в
2
=44.
a  b shartga ko‘ra a
 44, b  33 . Bundan a b  11 .
Javob: 11.

2-masala . Agar teng yonli uchburchakning asosiga va yon
tomoniga o‘tkazilgan balandliklari mos ravishda 5 va 6 sm bo‘lsa,
uchburchakning tomonlarini toping.
Yechish:
Shartga ko‘ra AB  BC , BM  5 sm , AK  6 sm .

Bizga ma’lumki,
S
 ABC  AC  BM  BC  AK ,
bu yerdan AC  BC
 BCM to‘g‘ri burchakli uchburchakda Pifagor teoremasiga ko‘ra
BC 2
 BM 2
 AC 2

tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikka AC va BC larni topilgan ifodasini keltirib qo‘ysak,
AB=BC=6,25 sm , AC=7,5 sm ni hosil qilamiz.
Javob: 7,5; 6,25

3-masala. To‘g‘ri burchakli uchburchakni gipotenuzaga tushirilgan balandligi 10sm va u
gipotenuzani 2 qismga ajratadi. Qismlardan biri ikkinchisini 30% ni tashkil qiladi. Uchburchakni yuzini
toping.
Yechish:
Ma’lumki, S
  AC  BC  5 AC , AC  AD  DC . To‘g‘ri burchakli uchburchakni to‘g‘ri
burchagidan o‘tkazilgan balandligi haqidagi teoremaga ko‘ra BD 2
 AD CD ga ega bo‘lamiz. Masala
shartiga ko‘ra А D
= 3
. Oxirgi ikki tenglama noma’lum AD va CD larni topishga imkon beradi:
СD 10
3 10 10 10 10
AD = , CD = bundan AC = 13.
3 3 3
∆ 10 2
.
Izlanayotgan yuza S = 65 sm
3
10 2
.
Javob: 65 sm
3

4-masala. Uchburchakni asosi 60. Asosga o‘tgakizgan balandligi va medianasi mos ravishda 12 va
13. Asosi va katta yon tomoni orasidagi farqni toping.
Yechish:  BDE uchburchakda BD =12 , BE =13, DE  В E 2
В D 2
 5 , xuddi shuningdek, AD=
AC – DE =25, DC=EC+DE =35.
Uchburchakni yon tomonlarini  ADB va  DCB to‘g‘ri burchakli uchburchaklardan foydalanib
topamiz: AB = 769 , BC =37. U holda izlanayotgan farq: AC – BC =23.
Javob: 23.

5-masala. To‘g‘ri burchakli uchburchakni to‘g‘ri burchagidan o‘tkazilgan bissektrisasi
gipotenuzani m:n nisbatda bo‘ladi. Bu uchburchakni burchaklarini aniqlang.
А D m

Yechish: Shartga ko‘ra  . Ichki burchakni bissektrisasi xossasiga ko‘ra
DВ n
AD:AC=BD:BC =m:n.
ABC uchburchak to‘g‘ri burchakli ekanligidan: AC:BC=tg . U holda =arcctg m , = 
– arctg m
.
n 2 n
Javob: arctg m
, 
 arctg m
;
n 2 n

6- masala. Uchburchakni balandligi asosini 36 sm va 14 sm bo‘lgan qismlarga bo‘ladi. Uchburchak
yuzasini teng ikkiga bo‘luvchi, asosiga perpendikulyar to‘g‘ri chiziq asosni qanday qismlarga ajratadi?
Yechish: Shartga ko‘ra AD =36 sm, DC = 14 sm. ADB va  CBD uchburchaklarni yuzalarini S
1 va
S
2 desak, ular umumiy balandlikka ega. U holda S
1 + S
2  ABC uchburchakni yuzi shartga ko‘ra
 EKC yuzani teng ikkiga bo‘ladi. Demak, bu to‘g‘ri chiziq AC asosni A va D nuqtalari orasidan o‘tadi.
Bundan  AKE uchburchakni S
3 yuzasi S ga teng ekanligini aniqlaymiz.  AKE va  ADB
uchburchaklarni o‘xshashligidan ularni yuzalari nisbati AK va AD tomonlari kvadratlari nisbatiga teng. U
holda, S
1 : S
3
 S : S  36 2
: AK 2
, bu yerdan AK =30 sm
ekanligi kelib chiqadi, demak,
KC=AC – AK =36+14 – 30 = 20.
Javob: 30 sm; 20 sm;

7-masala. Teng tomonli uchburchakning ixtiyoriy ichki
nuqtasidan tomonlarigacha bo‘lgan masofalar yig‘indisi balandlikka
tengligini isbotlang.
Yechish. O nuqta uchburchakni ixtiyoriy ichki nuqtasi bo‘lsin. O nuqtani uchburchak uchlari
bilan tutashtiramiz.  AOB ,  BOC va  COA uchburchak yuzalari yig‘indisi ABC uchburchak
yuzasini beradi. Uchburchak tomonini a , balandligini h bilan belgilasak.
a ah
( OK
 OL  OM )  ni hosil qilamiz. Bu yerdan h=OK+OL+OM kelib chiqadi.
2 2

Mustaqil yechish uchun misollar

1. Uchburchakni asosi 12 sm, asosidagi burchaklaridan biri 120 0
. Bu burchak qarshisidagi tomon 28 sm.
Uchinchi tomonini toping.
Javob: 20 sm.
2. Uchburchak asosi 20 sm, yon tomonlariga o‘tkazilgan medianalari 18 sm. Uchburchak yuzini toping.
Javob: 288 sm 2

3. Teng yonli uchburchakni asosidagi burchagi  bo‘lib, 45 0
dan katta. Yuzasi S. Asosidagi burchagidan
chiqqan balandlik va asos katnashgan uchburchak yuzini toping.
Javob: - 2Scos 2
·cos2 .

4.  ABC uchburchakni A burchagi o‘zgarmasdan AB tomoni 25% ga, AC tomoni 80% ga uzaytirildi.
Hosil bo‘lgan uchburchak yuzi berilgan uchburchak yuzidan necha marta ortiq?
Javob: 2,25 marta 5. To‘g‘ri burchakli  ABC uchburchak
katetlari 1dm va lg 10 3 o‘tkir burchaklarining gradus o‘lchovini toping.
Javob: 30 0
; 60 0
6. To‘g‘ri burchakli uchburchak katetlari a va b . to‘g‘ri burchagi bissektirisasi uzunligini toping.
ab 2

Javob:
a b
7. To‘g‘ri burchakli teng yonli uchburchakni katetlariga o‘tkazilgan medianalari orasidagi burchakni
toping.
Javob: arccos
8.  ABC teng yonli uchburchakning AD medianasi AC asosi bilan hosil qilgan burchagi tangensi 0,5 ga
teng. ABC ning kosinusini toping.
Javob: 0,28. 9.  ABC uchburchakning C burchagi 60 0
, AB
tomoni uzunligi 31. AC tomonida 3 ga teng AD kesma qo‘yilgan. Agar BD uzunligi 2 7 bo‘lsa, BC tomon
uzunligini toping.
Javob: 6.

§1.2. To‘rtburchaklar

To‘rtburchaklarning quyidagi asosiy ta’rif va xossalarini esda tutish lozim:
1. ixtiyoriy qavariq to‘rtburchakni yuzasi quyidagi formula bilan hisoblanadi:
1 S 
d
1 d
2 sin ,
2
bu yerda d
1 , d
2 – to‘rtburchakni diagonallari; φ- ular orasidagi
burchak; 2. to‘rtburchak ichki burchaklari yig‘indisi 360 0
;
3. agar to‘rtburchakning qarama – qarshi tomonlari juft-jufti bilan parallel bo‘lsa, bunday to‘rtburchak
parallelogram deyiladi;

Parallelogramning asosiy xossalari:

1. parallelogramning qarama-qarshi tomonlari teng;
2. parallelogramning qarama-qarshi burchaklari teng;
3. parallelogramning diagonallari kesishadi va kesishishi nuqtasida teng ikkiga bo‘linadi;
4. parallelogramning diagonallari kvadratlarining yig‘indisi, tomonlari kvadratlari yig‘indisiga teng;
5. parallelogramning ikki qo‘shni burchagi yig‘indisi 180 0
ga teng.

Parallelogramning yuzasi quyidagi formulalar yordamida hisoblanadi:
1
S  ah
a  bh
b ; S  ab sin ; S  d
1 d
2 sin ,
2
bu yerda a , b - parallelogram tomonlari; h
a , h
b mos ravishda tomonlariga o‘tkazilgan balandliklar; -
parallelogramm burchagi; d
1 , d
2 – parallelogram diagonallari  - ular orasidagi burchak.
4. Romb hamma tomoni teng parallelogramdir. Romb uchun parallelogramning barcha xossalari o‘rinli.

Rombning qo‘shimcha xossalari:

1. rombni diagonallari perdendikulyar;
2. rombni diagonallari uning burchaklari bissektrisalaridir;
3. rombni yuzi xuddi parallelogram yuzi kabi hisoblanadi.
4. romb uchun =90 0
bo‘lganligidan uning yuzi:
1
1 2 ,
S
 dd
2
formula bilan hisoblanishi mumkin. Bu yerda d
1 , d
2 rombni diagonallari uzunligi.
5. Hamma burchaklari to‘g‘ri burchak bo‘lgan parallelogram to‘g‘ri to‘rtburchak deyiladi . To‘g‘ri
to‘rtburchak yuzasi quyidagi formula bilan hisoblanadi:
S
 ab ;
1 2
,
S  d sin

2
bu yerda a va b – to‘g‘ri to‘rtburchakni qo‘shni tomonlari; d – diagonali uzunligi;  -diagonallari orasidagi
burchak.
Kvadrat hamma tomoni teng to‘g‘ri to‘rtburchak . Kvadrat uchun parallelogram, romb va to‘g‘ri
to‘rtburchakning barcha xossalari o‘rinli. Kvadrat yuzasi quyidagi formulalar yordamida hisoblanadi:
S = d 2

S = a 2
bu yerda a - kvadrat tomoni; d – dioganali.
6. Ikki tomoni parallel qolgan ikki tomoni palallel bo‘lmagan to‘rtburchak trapetsiya deyiladi . Trapetsiya
yuzasi asoslari a va в , balandligi h yordamida hisoblanadi:
S
 a 
b
h .
2
Shuni esda tutish kerakki, agar teng yonli trapetsiyani diagonallari o‘zaro perpendikulyar bo‘lsa, uning
yuzi balandligi kvadratiga teng bo‘ladi:
S = h 2
.
Trapetsiyaning o‘rta chizig‘i deb, yon tomonlari o‘rtalarini tutashtiruvchi kesmaga aytiladi.

Trapetsiya o‘rta chizig‘ining xossalari:

1) Trapetsiyaning o‘rta chizig‘i asoslariga parallel va ular yig‘indisining yarmiga teng: l

a 
b
.
2
2) o‘rta chiziq trapetsiya balandligini teng ikkiga bo‘ladi.

1- misol. Diagonallari perpendikulyar, asoslari 12 va 20 bo‘lgan teng yonli trapetsiyaning
yuzini toping.
Yechish. a = 20, b = 12 bo‘lsin. U holda trapetsiyaning yuzi S
 a 
b
h=16h . Ikkinchi 2
tomondan trapetsiya teng yonli va diagonallari perpendikulyar bo‘lganligi uchun S = h 2
. Tenglamalarni
chap tomonlari tengligi uchun uning tomonlarini tenglashtirib, h = 16 bundan S = 16 2
= 256 ekanligini
aniqlash mumkin.
Javob: 256

2- misol. Rombni perimetri 2, diagonallari yig‘indisi 1,3. Rombni yuzini toping.
Yechish. a - rombni tomoni; d
1 , d
2 - romb diagonallari. Masala shartidan a = 0,5, d
1 + d
2 = 1,3 .
Rombni diagonallari perpendikulyarligidan ∆ AOB da Pifagor teoremasiga ko‘ra
 d 1 2 +  d 2 2 = a 2
 2   2 
Bu holda quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:
d
1 2
d
2 2
 1 d
1 2
 2 d
1 d
2  1,69
 
2 2
d
1 d
2  1,3
 d
1 d
2  1
u holda
1
d
1 d
2  0,345; S  d
1 d
2  0,1725
2
Javob: 0,1725.

3- misol. To‘g‘ri to‘rtburchak va kvadrat teng yuzaga ega, lekin to‘g‘ri to‘rtburchak diagonali
kvadrat diagonalidan 2 marta katta. To‘g‘ri to‘rtburchakni diogonallari kesishishida hosil qilingan o‘tkir
burchakni aniqlang. Yechish. d va d /
, S va S
́ - mos ravishda to‘g‘ri to‘rtburchak va kvadratni
diagonallari va yuzalari bo‘lsin.
Shartga ko‘ra d = 2 d´; S = S´. Lekin S = 1 d 2
sinφ, : S´ = 1
d´ 2
. Bundan d 2
sin φ = d´ 2
,
2 2
sin φ = ( d
' 2
= 1
. Demak  = 30 0
.

)
d 2
Javob: 30 0
.
4-misol. Trapetsiyaning kichik asosi a va diagonallari o‘rtalari orasidagi masofa v ekanligini bilgan
holda trapetsiyani katta asosini toping.
Yechish: M va N – trapetsiya diagonallari o‘rtalari
bo‘lsin, u holda MN= v . MK kesmani o‘tkazamiz. Bilamizki
MK ACD uchburchakni o‘rta chizig‘i. Ma’lumki AD=2MK.
NK –
a
– BCD uchburchakni o‘rta chizigi, NK= . U holda
2
AD = 2MK=2(MN+NK)= a + 2v .

Javob: a + 2 v .
5-misol. Asoslari 16 va 44 sm, parallel bo‘lmagan tomonlari 17 va 25 sm bo‘lgan trapetsiyani
yuzini hisoblang.
Yechish:
Shartga ko‘ra AD= 44 sm va BC =16 sm. Ma’lumki,
AE+FD =28 sm. AE=x sm bo‘lsin. U holda FD =28-x. Shart bo‘yicha
AB =17 sm va CD =25 sm Demak, BE 2
= 17 2
- X 2
va CF 2
= 25 2
– (28
– X) 2
, 17 2
– X 2
= 25 2
– (28 – X) 2
tenglamadan X = 8 sm. Bulardan
balandlikni topamiz:
h =BE = 17 2
 x 2
= 15cm.
S = а

в
h = 450 cm 2
.
2
Javob: 450 sm 2
6- misol. Parallelogramning perimetri 90 sm, o‘tkir burchagi 60 0
.
Uning diagonali o‘tmas burchagini 1:3 nisbatda bo‘ladi.
Parallelogram tomonlarini toping.
Yechish. Shartga ko‘ra  = 60 0
; a+b = 45 sm.
(
< ABD): (
< DBS) =1:3 .
< ABD ni x desak, x+3x+  = 180 0
, x=30 0
ekanligini ko‘rish mumkin.
Bundan
< ABD =90 0
ga teng. U holda ∆ AB
D dan
v = a sin x = a sin 30 0
= а
. a + b = 45 2
ekanligini e’tiborga olsak , a =30 sm, b = 15 sm.
Javob: 30 sm, 15 sm

7- misol. Rombni o‘tmas burchagidan uning tomonlariga perpendikulyarlar o‘tkazilgan. Har bir
perpendikulyar uzunligi a ga teng. Perpendikulyarlarning tomonlar bilan kesishgan nuqtalari orasidagi
masofa v ga teng. Rombni yuzini toping.
Yechish.
Shartga ko‘ra BE = BF = a , EF = B . Demak
EG  b /2 , BG
 а 2
 ( b /2) 2
.
Proporsional kesmalar haqidagi teoremaga ko‘ra

BDE uchburchakdan
BE a 2
BD   .
BG a 2
b /2 2

ekanligini topamiz. Endi rombni AD tomonini topamiz. Teng yonli  ABC va  BEF uchburchaklar
o‘xshash, bundan ularning mos tomonlari nisbatlari teng bo‘ladi: 2 a
AB : BD  BE : EF , AB :  a : b ,
a 2
b /2 2
bu yerdan AB ni topamiz, so‘ngra esa rombni yuzi
S = AB · a ekanligi kelib chiqadi . 4
2 а

Javob: 2
2 b 4 а b

Mustaqil yechish uchun misollar

1. ABCD to‘rtburchakni tomonlari har xil, lekin AC va BD diagonallari o‘zaro perpendikulyar bo‘lib,
mos ravishda 7 va 11 sm ga teng. To‘rtburchakni yuzini toping.
Javob: 38,5
sm 2
. 2. Trapetsiya burchaklaridan biri 30 0
, yon tomonlarini davom ettirganda to‘g‘ri burchak ostida
kesishadi. Agar o‘rta chiziq 10 sm va kichik asosi 8 sm bo‘lsa, kichik yon tomonini toping.
Javob: 2 sm.
3. Rombni o‘tmas burchagi  va tomoni a ga teng. O‘tmas burchagi uchidan chiquvchi to‘g‘ri chiziqlar
rombni teng uch qismga ajratadi. Bu to‘g‘ri chiziqlar kesmalari uzunliklarini aniqlang.
Javob: а
13 12cos .
3
3. Trapetsiyaning parallel tomonlari 25 va 4 sm, parallel bo‘lmagan tomonlari uzunliklari 20 va 13 sm.
Trapetsiyaning balandligini toping.
Javob : 12
sm. 5. Parallelogramning perimetri 44 sm. Diagonallari 4 ta uchburchakka ajratadi. Ikki uchburchak
perimetrlari farqi 6 sm. Parallelogram tomonlari uzunliklarini toping.
Javob: 14 sm, 8 sm. 6. ABCD trapetsiyaning BD diagonali
m , AD yon tomoni n. Agar asosi, diagonali va yon tomoni C uchidan o‘tishi ma’lum bo‘lib, ular bir-
biriga teng bo‘lsa, CD asosi uzunligini toping.
Javob: m 2
 n 2

7. ABCD kvadratni uchlari bo‘lib, O nuqta kvadrat tashqarisidagi nuqta bo‘lsin. Agar OA = OB =5 va
DO = 13 bo‘lsa, kvadrat yuzasini toping.
Javob: 2.
8. ABCD parallelogramda BAD burchagi 
bo‘lib, AB asosi 3 sm. A uchidan o‘tkazilgan bissektrisasi
3

BC tomonini E nuqtada kesib o‘tadi. ABE uchburchak yuzini toping.
9 3
Javob: .
4
9. Trapetsiyani o‘rtachizig‘i 10 sm bo‘lib, trapetsiya yuzini 3:5 nisbatda bo‘ladi. Uning asoslarini toping.
Javob: 15 sm, 5 sm.
10. Kvadratga kvadrat ichki chizilgan, uni uchlari birinchisini tomonlarida yotadi. Ikkala kvadrat
tomonlari orasidagi burchak 60 0
ga teng. Ichchki chizilgan kvadrat berilgan kvadratni qanday qismini
tashkil etadi?
Javob: .
§ 1.3. Aylana va doira

Aylana va doira hamda ularni qismlarining asosiy ta’rifi va xossalarini esda tutish lozim.
1. Aylana va doirani ta’rifi:
Aylana deb, aylana markazi deb ataluvchi nuqtadan bir xil masofadagi nuqtalar to‘plamiga
aytiladi .
Doira deb, doira markazi deb ataluvchi nuqtadan berilgan masofagacha bo‘lgan barcha nuqtalar
to‘plamiga aytiladi. Doira aylana va uning ichki nuqtalaridan tashkil
topgan.
2. Vatarning ta’rifi va xossalari:
Vatar deb aylananing ikki nuqtasini tutashtiruvchi kesmaga aytiladi.
Vatarning asosiy xossalari:
a) diametr vatarni teng ikki bo‘lib, unga perpendikulyardir.
b) teng vatarlar aylana markazidan teng uzoqlikda joylashadi
va aksincha aylana markazidan teng uzoqlikdagi vatarlar o‘zaro teng.
v) agar ikki vatar M nuqtada kesishsa
quyidagi munosabat o‘rinli:

AM  MB = CM  MD

3.Aylanaga o‘tkazilgan o‘rinmani ta’rifi va xossalari:
Aylanaga o‘tkazlgan o‘rinma deb, aylana bilan bitta umumiy nuqtaga ega bo‘lgan to‘g‘ri chiziqqa
aytiladi.
Aylanaga o‘tkazilgan o‘rinmaning asosiy xossalari:
a) urinma aylanaga urinish nuqtasidan o‘tuvchi radius bilan o‘zaro perpendikulyar; agar to‘g‘ri
chiziq radiusini oxiridan o‘tib unga perpendikulyar bo‘lsa, aylanaga o‘rinadi.
b) agar o‘rinma vatarga parallel bo‘lsa, u holda u vatarga tiralgan yoyni teng ikkiga bo‘ladi.

 
MN AB AC  BC

s) Aylanaga o‘tkazilgan ikki o‘rinma aylana tashqarisida
kesishadi. Bunda ular hosil qilgan kesmalar teng, kesishish nuqtasi
va aylana markazidan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq o‘rinmalar bilan teng
burchaklar hosil qiladi:
AB = AC,
< OAB =
< OAC.

4. Kesuvchi va urinma haqidagi teorema:
Teorema. Agar M nuqtadan MC o‘rinma va MA kesuvchi o‘tkazilgan
bo‘lsa, u holda kesuvchini aylanani kesib o‘tuvchi nuqtalaridan M
nuqtagacha masofalar ko‘paytmasi o‘rinmani kvadratiga teng bo‘ladi:

MB  MA = MC 2

5. Uzunliklar va yuzalarni hisoblash formulalari.
R radiusli aylana uzunligi: L = 2 R;
R radiusli doira yuzi: S = R 2
;
R radiusli aylananing  markaziy burchagiga mos keluvchi yoy uzunligi: ℓ = R   (  - markaziy burchakni
radian o‘lchovi);
Rn 0
– markaziy burchakni radius o‘lchovi);
ℓ = 180
0 (n
R radiusli doirani  markaziy burchagiga mos keluvchi doira sektori yuzi:
Rl R 2
 R 2
n 0
S sek = 2 = 2 ; S sek = 360 0 .
R radiusli doirani  yoyiga mos keluvchi segment yuzi:
R 2
S
cegm = (   sin ) (  - yoyning radian o‘lchovi) 2
S segm = R
2 2
(180 
n
0
0
 sin n ) (n 0
– yoyning gradus o‘lchovi)
6. Aylanaga o‘tkazilgan burchaklar:
a) Markaziy burchak o‘zi aniqlagan yoy bilan o‘lchanadi:


< AOB = АВ

b) Kesishuvchi vatarlar orasidagi
burchak, ularga tiralgan yoylar yig‘indisini
yarmiga teng (1);

v) Uchi aylanada yotuvchi burchak o‘zi aniqlagan
yoyni yarmiga teng (2),
 
1 
< AMD = ( АД + СВ ). (1) < ABC= АС (2)
2

g) Urinma va vatar orasidagi burchak tomonlari
hosil qilgan yoy yarmi bilan o‘lchanadi.


<ABC = ВМС .

d) Kesishish nuqtasi aylana tashqarisida bo‘lgan ikkita kesuvchi orasidagi
burchak o‘zlari hosil qilgan yoylar ayirmasini yar- miga teng:
1    
BAD  2 CE BD 
7. Aylanalarni o‘rinishi va kesishish xossalari:
a) Ikki o‘rinuvchi aylanalarni markaz- laridan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq
o‘rinish nuq- tasidan o‘tadi.
b) Tashqi o‘rinuvchi ikki aylana umumiy nuqtasidan o‘tuvchi umumiy
o‘rinma, mar- kazlaridan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqqa perpen- dikulyar:
MN  O
1 O
2 ;

v) Ichki o‘rinuvchi ikki aylana o‘rinish nuqtasidan o‘tuvchi umumiy o‘rinma
mar- kazlaridan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqqa perpen- dikulyar:
MN  O
1 O
2 ;

g) Kesishuvchi ikki aylana kesishish nuq- talaridan o‘tuvchi
umumiy vatar markazla- ridan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqqa
perpendikuyar bo‘lib, bu to‘g‘ri chiziq bilan kesishish nuq- tasida
teng ikkiga bo‘linadi:
AB  O
1 O
2 , AC=CB ;
1-misol. ABCD kvadratni AB tomoni 1
va u qandaydir aylanani vatari shuningdek
kvadratni qolgan tomon- lari bu aylanadan
tashqarida yotadi. C uchidan chiquvchi
o‘rinma CM= 2 bo‘lsa, d: 10 ni hisoblang, bu
yerda d – diametr.
Yechish:
O‘rinma va kesuvchi haqida- gi teoremaga ko‘ra CE ·
CB=CM 2
, bundan CE=4 . Ma’lumki BE=CE-CB=3. ABE=90 0
bo‘lganligidan u diametri- ga tiralganligini aytish mumkin.
Demak, ABE- diametr u holda ABE 2
=d 2
=BE 2
+AB 2
=10. Bundan
d: 10 =1
Javob: 1.
2-misol. Markaziy burchagi 120 0
ga teng doiraviy sektorga doira ichki chizilgan. Doira radiusi R
bo‘lsa ichki chizilgan doira radiusini toping. Yechish:
Shartga ko‘ra OA=R, BOA=60 0
Ichki chizilgan doira radiusini r de- sak, O
1 A=r, O
1 B=r , O
1 O=R-r. OO
1 B
to‘g‘ri burchakli uchburchakdan
0
yoki r  3 ( R  r )
O
1 B=OO
1 ·sin60
2
bu yerdan
R 3

r  .
2  3
R 3
Javob: . 2  3
3-misol. Doiradan tashqaridagi nuqtadan ikki kesishuvchi o‘tkazilgan. Birinchi kesuvchini ikki
kesmasi. 47 m tashqi kesmasi 9 m, ikkinchi kesuvchisini ichki kesmasi tashqi kesmasidan 72 m ortiq.
Ikkinchi kesuvchi uzunligini toping.
Yechish:
SHartga ko‘ra BS=47 m, AB=9 m; demak AC=56 m. Ma’lumki
AB·AC=9·56=504. Agar AD=x desak, u holda DE=x+72,
ABE=2x+72. O‘rinma va kesuvchi haqidagi teoremaga ko‘ra,
AC·AB=AE·AD, unda x(2x+72)=504 tenglamani hosil qilamiz.
Bu yerdan x=6, shuningdek  ABE =84 m.

Javob: 84m. 4-misol.
Radiuslari r ga teng bo‘lgan uchta aylana juft-jufti bilan tashqi o‘ringan. Bu
aylanalar hosil qilgan egri chiziqli uchburchak yuzasini toping.
Yechish:
O
1 , O
2 , O
3 – uch kongurent aylanalar mar- kazlari bo‘lsin. O
1 ,
O
2 , O
3 uchburchakni yuzini S
∆ deb belgilaylik, S
sek – OAB sek-
tor yuzini belgilaylik u holda izlanayot- gan yuza S = S
∆ 3 S
sek
bo‘ladi. O
1 , O
2 , O
3 uchburchak tomoni 2r bo‘lgan teng tomonli
uchburchak, shuning uchun S
∆ = r 2
3 O1AB sektorni markaziy
burchagi 60 0
teng. Bundan,
r 2
r 2
r 2 2
S
sek = , shuningdek, S  r 3   (2 3 )
6
2 2
r 2
Javob: (2 3 )
2
5 – misol. O markazli har xil radiusli ikkita doira berilgan. Kichik doiraga o‘tkazilgan urinmani
katta doira bilan hosil qilgan kesmasi 32 sm. Agar halqani eni 8 sm bo‘lsa katta doira radiusini toping.
Yechish:
Shartga ko‘ra AB = 32 sm, CD=8sm, Shuningdek OC  AB.
Katta doira radiusi- ni R desak, u holda OCB to‘g‘ri burchakli
uchburchakdan:

OB 2
= OC 2
+ CB 2
yoki R 2
= (R – 8) 2
+ 16 2
, R = 20 sm.

Javob: 20 sm

6 – misol. Umumiy vatarga tiralgan ikki doirani mos yoylari 60 0
va 120 0
. Doiralar yuzalari nisbatini
toping.
Yechish:
O
1 B = r, O
2 B = R deb belgilaymiz.
Shartga ko‘ra < A O
1 B = 120 0
, <AO
2 B = 60 0
. Ikki aylana
markazlari orasidagi O
1 O
2 kesma AB ga perpendikulyar, u
holda
BC 2 BC BC
O
1 B  , r  , O
2 B  , sin CO
1 B sin CO
2 B
bundan R = 2BC , demak
S
О 2
= R 2
: r 2
= 3 : 1 Javob: 3:1
S
О 1
7- misol. Yoyi 120 0
, perimetri R bo‘lgan segment yuzasini toping. Yechish:
R doira radiusi. Bundan ACB yoyni aniqlaymiz:
АСВ  = R О · 120 0 = 2 π R .
180 3
AOB uchburchakdan AB = 2 R sin 60 0
= R 3

Shartga ko‘ra AB+ АСВ =R , demak
2 3 P
R 3 + R =R , bundan R= .
3 2   3 3

S segmentni yuzi sektorni yuzidan
OAB uchburchak yuzini ayirishdan hosil bo‘lgan son bo‘ladi.
Shuning uchun
S = 1 πR 2 – R 2 3 .
3 4
3 P 2
(4 3 3)
Javob: 4(2 
 3 3)
2

8 – misol. Radiuslari R va r bo‘lgan ikki aylana tashqi
o‘rinadi. Nuqtalari orasidagi kesmasini toping.
Yechish:
M nuqtadan ikki MD va MA o‘rinmalar o‘tadi.
O‘rinmaning xossalaridan MD=MA uz-uzidan MD=MB demak,
MN = 2MD= AM+MB ni topish uchun AB ga parallel O
2 C ni
o‘tkazamiz.
O
1 O
2 C uchburchakdan O
2 C = AB ,
O
1 O
2 = R + r , O
1 C = R – r ekanligidan
AB  ( R r ) 2
( R r ) 2
yoki AB = 2 Rr .
Javob: 2 Rr
3

Mustaqil yechish uchun misollar

1. Radiusi 13 sm ga teng doirani ichidan M nuqta berilgan. M nuqta markazdan 5 sm uzoqlikda
joylashgan. M nuqtadan AB = 25 sm li vatar o‘tkazilgan. M nuqta vatarni qanday bo‘lakka bo‘ladi.
Javob: 16 sm va 9 sm
2. Doiradan tashqaridagi nuqtadan unga ikkita kesuvchi o‘tkazilgan. Kesuvchilarni ichki kesmalari 2
sm. Kesuvchilarni doira bilan kesuvchi nuqtalaridan tashkil topgan to‘rtburchak yuzini toping. Uning
qaramaqarshi tomonlari 6 m va 2,4 m ekani ma’lum.
Javob: 10,08 m 2
3. Bir nuqtadan aylanaga ikkita uzunligi
12 sm bo‘lgan o‘rinmalar o‘tkazilgan. O‘rinish nuqtalari orasidagi masofa 14,4 sm. Aylana radiusini
aniqlang.
Javob: 9 sm. 4. R radiusli doira ikkita konsentrik aylana
bilan bo‘lingan. Natijada uchta teng yuzli figuralar hosil bo‘ldi. Aylanalar radiuslarini toping.
R R 2
Javob: ; ; 3 3
5. Radiuslari r bo‘lgan uchta aylana juft-jufti bilan o‘ringan. Umumiy tashqi ko‘ringan o‘rinmalar tashkil
qilgan uchburchakni yuzini toping.
Javob: 2r 2
2 3 3). 6. Aylanaga AB = a, AC = в ikki vatar o‘tkazilgan
AC yoy uzunligi AB yoy uzunligidan ikki barobar uzun. Aylana radiusini toping.
Javob: a 2
/ 4 a в . r
7. Radiusi r bo‘lgan aylanaga uzunligi bo‘lgan vatar o‘tkazilgan. Vatarni bir uchidan o‘rinma va 2
ikkinchi uchidan o‘rinmaga parallel kesuvchi o‘tkazilgan. O‘rinma va kesuvchi orasidagi masofani
toping.
r
Javob: .
8
8. R radiusli doiraning 2a ga teng vatarli sektoriga doira ichki chizilgan. SHu doiraning yuzini toping.
Ra 2
.
Javob: ( )
R  a
9. Radiuslari 5 sm va 2 sm bo‘lgan aylanalarga umumiy o‘rinmalar o‘tkazilgan. Tashqi o‘rinma ichki
o‘rinmadan 1,5 marta ortiq. Bu aylanalar markazlari orasidagi masofani toping.
Javob: 9 sm
10. Aylananing 120 0
yoyi oxirlaridan unga o‘rinmalar o‘tkazilgan. O‘rinmalar va yoy tashkil qilgan
figuraga aylana ichki chizilgan.
Agar berilgan aylana radiusi R bo‘lsa keyingi aylana uzunligini toping.
Javob:  R

§ 1.4. Uchburchaklar va aylana

Quyidagilarni esda tutish kerak:
1. Aylanaga ichki va tashqi chizilgan uchburchaklar .
Hamma uchlari aylanada yotuvchi uchburchak aylanaga ichki chizilgan uchburchak deyilib,
aylana esa uchburchakka tashqi chizilgan aylana deyiladi.
Uchburchakka tashqi chizilgan aylana markazi uchburchak tomonlari o‘rta perpendikulyarlari
kesishgan nuqtasidan iborat. Bundan ko‘rinadiki, to‘g‘ri burchakli uchburchakka tashqi chizilgan aylana
markazi gipotenuzada yotadi.

Tomonlari aylanaga o‘rinuvchi uchburchak aylanaga tashqi chizilgan uchburchak deb atalib,
aylana esa uchburchakka ichki chizilgan aylana deyiladi.
Uchburchakka ichki chizilgan aylana markazi uchburchak bissektrisalari kesishish nuqtasidan
iborat. Teng tomonli uchburchakka tashqi va ichki chizilgan aylanalar markazi ustma-ust tushadi.
2. Uchburchakka tashqi chizilgan aylana radiusi R quyidagi formulalar bilan hisoblanadi:
R  авс , R  a  в  c ; 4 S 2sin  2sin 
2sin 
bu yerda a, в , c – uchburchakning tomonlari; , , γ – uchburchakning mos ravishda a, в , c tomonlari
qarshisidagi burchaklari, S
Δ – uchburchak yuzi.
Eslatma. To‘g‘ri burchakli uchburchakka tashqi chizilgan aylana radiusi gipotenuzani yarmiga teng :
c
R = .
2
3. Uchburchakka ichki chizilgan aylana radiusi r quyidagi formulalar bilan hisoblanadi:

S 
1
r  , r  ,
P 1 1 1
 
h а h в h с
bu yerda p = (a+в +c) uchburchakni yarim perimetri h
a , h
в , h
c uchburchakni a, в , c tomonlariga
tushirilgan balandliklari.
1–misol. Uchburchakni yuzi 10 sm 2
, unga tashqi chizilgan aylana diametri 16 sm. Uchburchak
tomonlari uzunliklari ko‘paytmasini toping.
Yechish: a , в , c – uchburchak tomonlari; R – tashqi chizilgan aylana radiusi. Shartga ko‘ra 2R =
16 sm, S
Δ = 10 sm 2
.
R

 авс
formuladan aв c = 4S
Δ R = 320 cm 3

4 S

Javob: 320 cm 3

2 – misol. 120 0
li teng yonli uchburchak yuzini toping. Bu
yerda ichki chizilgan aylana radiusi 12 Yechish: Shartga
ko‘ra < ACB = 120 0
, OD = r = 12
AC=BC= x deb olsak, ma’lumki
<ACD = <BCD =60 0
, AD=AC sin60 0
= x 3
2
demak AC = x 3 . Avval x ni topamiz.
ABC uchburchakni yuzini topishni quyi- dagi ikki yuza
formulasidan:
S Δ = 1
CA · CB sin120 0
= x
2 3
; S
Δ =p · r = 1
(2AC +AB) · r = 1 (2 x+ +x 3
) 4
12
.

2 4 2 2
Javob: 2 (7 + 4 3 ) sm 2
.

3 – misol. Asosi 12 sm va balandligi 8 sm bo‘lgan teng yonli uchburchakka aylana ichki
chizilgan. Unga asosga parallel o‘rinma o‘tkazilgan. Tomonlar bilan chegaralangan o‘rinmaning
kesmasini uzunligi necha sm.
Yechish: Shartga ko‘ra AB =12 sm, CD = 8sm. Ko‘rinib
turibdiki,
AC = BC = АD 2
 СD 2
= 36  64 = 10 sm.
Ichki chizilgan aylana radiusi r ni aniq- laymiz. Ma’lumki,
1
S
Δ = (2AC +AB) · r = AB · CD, 2
bu yerdan r = 3 sm ekanligi kelib chiqadi.
U holda CK =CD – 2r = 2sm. MNC va ABC uchburchaklarning o‘xshashligidan: MK:AB=CK:CD,
C К
bundan MK = · AB = 3 sm.
СD
Javob: 3 sm.

4 – misol. Radiusi R bo‘lgan aylanaga, ikki burchagi α va β
bo‘lgan uchburchak ichki chizilgan. Uchburchak yuzini toping.
Yechish: Sinuslar teoremasidan a

 в
 c
= 2 R.
sin
 sin  sin 

Bu yerdan a = 2Rsin α , v = 2Rsin β .ABC uchburchakning yuzini quyidagi formuladan topamiz:
S = a в sin γ = a в
sin ( 180 2
Δ 1 0
– α – β ) = 2R 2
sin α sin β sin ( α + β ).
Javob : 2R 2
sin α sin β sin ( α + β ).

5 –misol. Teng yonli uchburchakning asosidagi burchagi α . Ichki va tashqi chizilgan aylana
radiuslari nisbatini toping.
Yechish: r, R - ichki va tashqi chizilgan aylana markazi. U holda AOD uchburchakdan
OD = r = AD tg 
= c
tg 
.
2 2 2
Tashqi chizilgan aylana radiusi R quyidagi formula bilan
topiladi:
c c c
R  
0  .
2sin  2sin(180  2 ) 2sin2 Ushbu tenglamadan
4 32
x
=
2 x
(2+ 3
) · 4
12
noma’lum x ni topamiz:
x= 2(2+ 3
· ) 4
3/4 .
U holda S
Δ =
4 32
x
2 (7+4 = 3 ) c m 2
.

Izlanayotgan nisbat
r 

= tg · sin α
R 2
Javob: tg 
· sin α
2

6 – misol. Uchburchakka ichki chizilgan aylana radiusi 4 sm. Tomonlaridan biri aylanaga o‘rinish
nuqtasida 6 sm, 8 sm, bo‘laklarga bo‘lingan. Uchburchakni qolgan ikki tomonini toping.
Yechish. AD = 6 sm, CD = 8 sm bo‘lsin. ABC uchburchakni AC va BC tomonlarini aniqlash uchun
EB=BF =x, shuningdek ABE=AD = 6sm, CF=CD=8 sm ekanidan foydalanish mumkin. Buning uchun
uchburchakni yuzini topishishining quyidagi ikki formulasidan foydalanamiz: S
Δ = p · r
va S
Δ = P ( P  а )( P в )( Р с ) ,

R – uchburchakni yarim perimetri, shunga ko‘ra
P = (AE + AD + DC + CF + FB + BE) =
= (28 + 2x) = 14 + x.
Navbatdagi tenglamani hosil qilamiz:
4 (14 +x) = (14  x )  x 6 8 bu yerdan x = 7 sm, u
holda AB=ABE +x =13sm, BC=CF +x = 15 sm.
Javob : 13sm, 15 sm.

7 – misol. Tomoni a ga teng, teng tomonli uchburchakka doira ichki chizilgan. Bu doiraga va
berilgan uchburchak
tomonlariga o‘rinuvchi yana uchta doira ichki chchizilgan va bu
jarayon cheksiz davom ettirilgan. Barcha ichki chizilgan doiralar
yuzasi yig‘indisini toping.
Yechish. Birinchi ichki chizilgan doira markazi BN = h
balandlikni BO : ON = 2 : 1 nisbatda
2 bo‘ladi. Aniqki, MN – diametr
h va
3
demak BM = h . Ikkinchi doira balandligidan uch barobar kichik, DBE uchburchakka ichki chizilgan r
1
a 3 a 2
= O
1 M desak, r = ON = . Agar S, O markazli doiraning yuzi bo‘lsa S = , u holda O
1 markazli
6 12
doira yuzasi S
1 = S . Bunday doiralar uchta, shuning uchun umumiy yuza
Q
1 = S . Xuddi shunday davom etuvchi keyingi uchta doira umumiy yuzasi Q
2 = Q
1 = S va xokazo
cheksiz sonlar yig‘indisini hosil qilamiz:
S + Q
1 + Q
2 + Q
3 + … = S + S + S + S + …

Bu ketma-ketlik ikkinchi hadidan boshlab cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyani beradi (birinchi
hadi в
1 = S va maxraji q = ) . Bu progressiyani yig‘indisi
1
S
в
1
= 3
= 3
S , u holda izlanayotgan yuza S + 3
S = 11
S = 11
πa 2
.
1  q 8 8 8 96
11 2
.
Javob: π a
96

Mustaqil yechish uchun misollar

1. Teng tomonli uchburchakka yuzasi 27 π sm 2
bo‘lgan doira ichki chizilgan. Bu uchburchak tomoni
uzunligini toping.
Javob: 18 sm. 2. To‘g‘ri burchakli uchburchak yarim
aylanaga shunday tashqi chizilganki, diametr gipotenuzada yotib, markazi gipotenuzani 15 va 20 sm li
kesmalarga bo‘ladi. Yarim aylana yoyi uzunligini toping.
Javob: 12 π . 3. To‘g‘ri uchburchakning katetlaridan
biri 15 sm, unga ichki chizilgan aylana radiusi 3 sm. Bu uchburchak yuzini toping.
Javob: 60
sm 2
. 4. Teng yonli uchburchakning asosi 16 sm, yon tomoni 10 sm. Ichki va tashqi chizilgan aylana
markazlari orasidagi masofani toping.
Javob: 5 sm. 5. Doiraga teng yonli uchburchak ichki
chizilgan. Doira yuzi Q. Asosidagi burchagi α bo‘lsa, bu uchburchak yuzini toping.
Javob: 2R 2
sin 2
α sin 2α.
6. Teng tomonli uchburchak tomoni a ga teng. Unga uchta doira shunday ichki chizilganki, doiralar
juftjufti bilan va uchburchakni ikki tomoniga o‘ringan. Bu doiralar radiuslarini toping.
Javob: a ( 3 1) /4.
7. To‘g‘ri burchakli ABC uchburchakda katetlari AB= 3 va BC =4. AB va AC tomonlari o‘rtalaridan
o‘tuvchi va BC tomonga o‘rinuvchi aylana o‘tkazilgan. AC gipotenuzani aylana ichidagi kesmasi
uzunligini toping.
Javob: 1,1
8. Aylana ABC uchburchakni BC tomoniga va qolgan ikki tomonni davomiga o‘rinadi. Agar
AB = s, < BAC = α , <ABC = β bo‘lsa, aylana radiusini toping.
c sin 
cos
Javob: 2 2
.
cos(   )
2 2
9. To‘g‘ri burchakli uchburchakning to‘g‘ri burchagidan tushirilgan balandligi gipotenuzani 25,6 sm va
14,4 sm kesmalarga bo‘lsa, unga ichki chizilgan doira yuzini toping.

Javob: 64 π sm 2
.

§ 1.5. Ko‘pburchaklar va aylana

Esda tutish lozim bo‘lgan asosiy ta’rif va xossalar:
1. Ichki va tashqi chizilgan ko‘pburchaklar ta’rifi:
Uchlari aylanada yotuvchi ko‘pburchak aylanaga ichki chizilgan ko‘pburchak , aylana esa
ko‘pburchakka tashqi chizilgan aylana deyiladi.
Tomonlari aylanaga o‘rinuvchi ko‘pburchak aylanaga tashqi chizilgan ko‘pburchak , aylana esa
ko‘pburchakka ichki chizilgan aylana deyiladi.
2. Muntazam ko‘pburchaklar ta’rifi va xossalari:
Hamma tomonlari va hamma burchaklari teng qavariq ko‘pburchak muntazam ko‘pburchak
deyiladi.
Teorema. Har qanday muntazam ko‘pburchakka bitta va faqat bitta tashqi va ichki aylana chizish
mumkin.
Tomoni n ga teng muntazam ko‘pburchakni S
n yuzi, R
n perimetri, tashqi va ichki chizilgan aylanalar
radiuslari R va r larni bog‘lovchi formulalar:
1
2
· tg 180 0
; S
n = 1
nR 2
sin 360
0
;
S
n = P
n · r; S
n =n · r
2 n 2 n
180 0
180 0
180 0
a
n = 2R · sin ; a
n = 2r · tg ; r
= R cos . n n n

3. To‘rtburchaklar va aylanalar haqida teoremalar:
Teorema. Qavariq to‘rtburchakka ichki aylana chizish uchun uning qarama-qarshi tomonlari
yig‘indisi teng bo‘lishi zarur va yetarlidir. Natijalar:
1) parallelogramlar ichida faqat rombga ichki aylana chizish mumkin: uning markazi diagonallari
kesishgan nuqtasi bo‘ladi.
2) trapetsiyaga ichki aylana chizish mumkin bo‘ladi, qachonki uning yon tomonlari yig‘indisi asoslari
yig‘indisiga teng bo‘lsa.
Teorema. Qavariq to‘rtburchakka tashqi aylana chizish uchun uning qarama-qarshi burchaklari
yig‘indisi 180 0
ga teng bo‘lishi zarur va yetarlidir. Natijalar:
1) barcha parallelogramlar ichida faqat to‘g‘ri to‘rtburchakka tashqi aylana chizish mumkin.
2) trapetsiyalar ichida faqat teng yonli trapetsiyaga tashqi aylana chizish mumkin. Esda
tutish foydali:
1. Ptolomey teoremasi: Ichki chizilgan to‘rtburchakda diagonallar ko‘paytmasi uning qarama-qarshi
tomonlari ko‘paytmalari yig‘indisiga teng.
2. Ichki aylana chizish mumkin bo‘lgan teng yonli trapetsiya balandligi, uning asoslarini o‘rta geometrigi
bo‘ladi : h 2
=a ·в
1- misol. Agar teng yonli trapetsiyani katta asosi a, kichik asosi bilan yon tomoni 120 0
burchak
hosil qilsa, unga ichki chizilgan doira yuzini toping.
Yechish: DK = h desak, h= 2 r bo‘ladi, bu yerda r – ichki chizilgan doira radiusi. ADK
uchburchakdan AK = h · tg30 0
= h

3
ni topamiz.
2 h
DC= AB – 2AK = a –
3 h 2 h

AD = BC = cos30
0 = 3
Trapetsiyaga aylana ichki chizilganligidan
AB+DC = AD+BC, h ni aniqlash tenglamasini hosil qilamiz:
2 h 4 h
2 a – =
3 a a
Demak, h = , u holda r = . Izlanayotgan yuza .
3 3 12
a
Javob: .
12
2 – misol. Asoslari 2 va 14, yon tomoni 10 bo‘lgan teng yonli trapetsiyaga tashqi chizilgan aylana
radiusini toping.
Yechish: Shartga ko‘ra AB = 14, DC = 2, BD = AD = 10. Ko‘rinib turibdiki,
AM =NB = (AB – DC) = 6,
AN = AB – NB = 8.
u holda Pifagor teoremasiga ko‘ra
CN = ВС 2
 N В 2
= 8, AC = А N 2
 NC 2
= 8 2 .
ABCD trapetsiyaga tashqi chizilgan aylana
o‘z navbatida ABC uchburchakka ham tashqi
chizilganligini e’tiborga olamiz. R – aylana radiusi
bo‘lsin.
S
∆A BC ekanligidan,
R ni osongina topish mumkin.
R= АВ  ВС  АС = 5 2
4 S  АВС
Javob: 5 2
3 – misol. Tomoni a ga teng kvadratga aylana tashqi chizilgan. Kvadrat tomoni va aylana hosil
qilgan segment yuzini toping. Yechish:
Rasmdan ko‘rinadiki, <ACD = 
,
2
AC = 2R = АВ 2
 ВС 2
= a 2 bundan R= а

U holda segment yuzi quyidagi formula bilan topiladi:
R 2
  а 2
(  2)
S
cegm = (  sin ) =
2 2 2 8
Javob:
а 2
(  2)3 3
3 a
2

8

4 – misol. Rombni yuzi Q Va ichki chizilgan doira yuzi S bo‘lsa, romb burchaklarini toping.
Natijani Q =8, S = π da toping.
Yechish: Rasmdan quyidagiga ega bo‘lamiz
Sin < BAD = ВЕ  MN  2 r
АВ АВ a
Shartga ko‘ra MN · AD =Q, bundan
2ra =Q va S= π r 2
. Bu tenglamalardan r r va a ni topish
mumkin. Biz a
nisbatni topishimiz kerak. 
r

 S
dan r
 2 S

2 a Q a Q
4 S demak,< BAD = arcsin , Q = 8,
S = π bo‘lganda < BAD = arcsin = 30
Q
Javob:
30 0
5 – misol. Tomoni a ga teng muntazam oltiburchakka
aylana ichki chizilgan va aylana tashqi chizilgan. Bu
aylanalar hosil qilgan halqa yuzasini toping.
Yechish: Tashqi chizilgan aylana radiusi R ni a
n =
2Rsin formuladan topamiz n = 6 da R = a . U holda ichki
chizilgan aylana
180 0
a 3 radiusi r = Rcos = n 2
Bundan halqa yuzi π (R 2
– r 2
) = 
a
2
ekanligini ko‘rish
mumkin.
4 
a 2
Javob:
4

6 – misol. Teng yonli trapetsiyaning balandligi h, yon tomoni tashqi chizilgan aylana markazidan α
burchak ostida ko‘rinadi. Trapetsiyani yuzini toping.
Yechish: Chizmadan ko‘rinadiki, BAC burchak ichki chizilgan
burchak ekanligidan BC yoyni yarmi bilan o‘lchanadi, demak, BAC = 
2
AB = AK+KB, DC =AK – AE = AK – KB,

AK = h · ctg , Bularga ko‘ra izlanayotgan yuza:
2
1 2
· ctg 
. 21
0

n 0
180

Javob: h 2

· ctg 

S = (AB +DC)· h = AK · h = h
2 2
.
2

7 – misol. Doiraga muntazam 2n – burchak ichki, muntazam n – burchak tashqi chizilgan. Bu
ko‘pburchaklar yuzalari farqi Q ga teng. Doira radiusini toping.
Yechish: Ichki chizilgan muntazam 2n – burchakni yuzi n · R 2
sin 180
. Tashqi chizilgan muntazam n –
n
burchakni yuzi n · R 2
· tg 180
ga teng. Shartga ko‘ra n · R 2
· (tg 180
0
– sin 180
0
) = Q, bu yerdan
n n n
izlanayotgan R ni qiymatini topamiz.
Javob: R = .

8 – misol. Tomoni a ga teng kvadratga to‘rtta doira shunday joylashtirilganki, ularni har biri qolgan
ikkitasiga va kvadrat tomonlariga o‘rinadi. Uchlari o‘rinish nuqtalaridan iborat, doiralarni yoylari tashkil
qilgan egri chiziqli to‘rtburchak yuzini toping.
Yechish: Izlanayotgan KLMN figura shtrixlangan figuraga
tengdosh. Agar EFMK kvadrat yuzidan ikki- ta yarim doira yuzini
olsak izlan- gan yuza hosil qilinadi. U holda
( a ) 2 – π ( a ) 2 = a 2 (4 ) Javob: a 2 (4 )
2 2 16 16

Mustaqil yechish uchun misollar
1. Doiraga tashqi chizilgan teng yonli trapetsiya yuzi S ga teng. Agar o‘tkir burchagi 
bo‘lsa,
6
trapetsiya yon tomoninii toping.
Javob: 2 S
3 r
2. Radiusi r bo‘lgan doiraga to‘g‘ri burchakli trapetsiya tashqi chizilgan. Agar kichik tomoni
bo‘lsa, 2
trapetsiya yuzini toping.
Javob: 4,5 r 2
. 3. Radiusi R bo‘lgan doiraga yuzasi doira
yuzining yarmiga teng bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak ichki chizilgan. To‘g‘ri to‘rtburchak tomonini toping.
Javob: R ( 4   4   ).
4. Aylanaga to‘g‘ri burchakli uchburchak tashqi, muntazam oltiburchak ichki chizilgan. Uchburchak
yuzini oltiburchak yuziga nisbatini toping. )180
sin180
( 00
nntgn Q


Javob: 2
5. O‘tkir burchagi 30 0
bo‘lgan rombga yuzi Q bo‘lgan doira ichki chizilgan. Rombni yuzini toping.
8 Q

Jav
ob:

6. Doira tashqi chizilgan teng yonli trapetsiyaning yuzi 32 3 sm. Agar asosidagi o‘tkir burchagi 
3 ekani
ma’lum bo‘lsa, trapetsiya yon tomonini toping.
Javob: 8 sm
7. ABCD rombni tomoni 1+ 3 , o‘tkir burchagi 60 0
. ABD uchburchakka aylana ichki chizilgan. C
nuqtadan aylanaga o‘rinma o‘tkazilgan. Bu o‘rinma AB tomon bilan E nuqtada kesishadi. AE kesma
uzunligini toping.
Javob: 2
8. Teng yonli qarama-qarshi tomonlari yig‘indisi teng, trapetsiya o‘rtachizig‘i 10. Ma’lumki unga ichki
aylana chizish mumkin. O‘rta chiziq uning yuzini nisbatda bo‘lishi ma’lum bo‘lsa, trapetsiya
balandligini toping.
Javob: 8
9. Yarim doiraga ABCD to‘g‘ri to‘rtburchak shunday joylashtirilganki, AB tomoni diametr ustida; C va
D uchlari doirani chegaralovchi yoyi ustida; yarim doira radiusi 5 sm. Agar ABCD to‘g‘ri to‘rtburchak
yuzi 24 sm 2
, diagonali 8 sm dan katta ekani ma’lum bo‘lsa, tomonlari uzunligini toping.
Javob: 3 sm, 8 sm. 10. To‘g‘ri burchakli trapetsiyaga ichki chizilgan
aylana markazi yon tomonlardan 2 sm va 4 sm uzoqlikda joylashgan. Trapetsiya yuzini toping.

Javob: 14,4 sm

§ 1.6. «Axborotnoma» larda berilgan test
masalalaridan namunalar

1 – masala. (1-son. 34-masala, 1997 yil). Teng yonli
uchburchakning uchidagi burchagi β ga, yon tomoniga tushirilgan
balandligi h ga teng. Uchburchakning asosini toping.
h h 2 h h h
A) B) S) D) E) cos  2sin  cos  tg  cos 
2 2 2
Yechilishi:
Masala shartiga ko‘ra < ACB = β, AD = h uchburchak ichki burchaklari
yig‘indisi 180 0
ekan-
ligidan ABC uchburchakdan, <ABC = 90 0
– 
. To‘g‘ri burchakli ABC uchburchakda < ABD o‘tkir 2
burchak sinusi ta’rifidan,

h h
AB = = .
sin(90 0
 
) cos 
2 2
Javob: (E)

2 – masala. (3-son. 46-misol, 1997 yil). Perimetrlari 24 va 36 bo‘lgan ikki o‘xshash
uchburchaklardan birining yuzi ikkinchisidan 10 ga ortiq. Kichik uchburchakning yuzini toping.

A) 20 B) 16 S) 8 D) 12 E) 18.
Yechilishi:
Uchburchaklarda o‘xshashlik koeffitsentini k desak, u holda ularni yuzalari ma’lumki k 2
marta farq qiladi.
Uchburchaklar perimetrlari mos ravishda

a + в +c = 24, k ( a + в +c) = 36 bo‘ladi. Bu yerdan k = 3
2 ekanligini topish mumkin. Ularni yuzalarini S
1 ,
S
2 desak, u holda S
1 = S
2 – 10.
Yuqoridagi fikrdan S
1 = S
2 /k 2
ekanligini e’tiborga olsak,
S
1 = k 2
S
1 – 10, S
1 = S
1 – 10  S
1 = 8
Javob: (C)
3 – masala. (1-son. 45-masala, 1998 yil). To‘g‘ri burchakli uchburchakning burchaklaridan biri 60 0
ga teng. Bu uchburchakka romb shunday ichki chizilganki, 60 0
li burchak umumiy, rombning qolgan
uchlari uchburchakning tomonlarida yotadi. Agar rombning tomoni 12 /5 ga teng bo‘lsa, berilgan
uchburchakning katta katetini toping.
3 3 6 3
A) 1,8 B) 2,4 S) D) E) 2,2
5 5
Yechilishi:
Shartga ko‘ra romb tomoni CN = 12 /5, < BEN = 30 0
ekanligidan o‘tkir burchak sinusi ta’rifiga ko‘ra, BNE
uchburchakda
3 12
NB = NE/2. Bundan BC =CN +NB =.
10 ABC – to‘g‘ri
burchakli uchburchakda
< BCA=60 0
, burchak qarshisidagi katet
3 12
BA =BC tg <BCA = · 3 = 1,8.
10
Javob: (A)
4 – masala. (3-son.40-masala.1998 yil). Aylanaga tashqi chizilgan teng yonli
trapetsiyaning asoslari 54 va 24 sm. Trapetsiyaning balandligi necha sm?
A) 42 B) 40 S) 32 D) 36 E) 38

Yechilishi:
Masala shartiga ko‘ra DC =24, AB =54. Bizga ma’lumki,
to‘rtburchakka ichki aylana chizish mumkin bo‘ladi, qachonki

qarama-qarshi tomonlari yig‘indisi teng bo‘lsa. Demak, DC+AB= AD+CB yoki
D С
 АВ
= AD = BC.
2
Bundan BC = 39. Shuningdek, MB = АВ

DС
= 15. To‘g‘ri burchakli BMC uchburchakdan MC
ni
2
topamiz:

MC = 39 2
15 2
= 36
Javob: (D)
5 – masala. (5-son. 40-masala, 1998 yil). Perimetri 2 r ga, diagonallarining yig‘indisi m ga teng
bo‘lgan rombning yuzini toping.
A) m 2  p 2 B) m 2  p 2 S) m 2  p 2 D) m 2  p 2 E) m 2  p 2
2 2 4 4 4
Yechilishi:
Rombni tomonini a, diagonallarini mos ravishda d
1 2
+ d
2 2
deb belgilaylik. Shartga ko‘ra
d
1 + d
2 =m (1)
a =r/2. Bizga ma’lumki rombning diagonallari kvadratlari yig‘indisi, tomonlar kvadratlari yig‘indisiga
teng bo‘ladi. Ya’ni,
p 2
= d
1 2
+ d
2 2
(2)
4( )
2
(1) tenglikni ikkila tomonini kvadratga oshiramiz:

m 2
= d
1 2
+ 2d
1 d
2 + d
2 2

(2) ni e’tiborga olsak,
m 2
= 4 · p 2 + 2d
1 ·d 2 (3)
4
Rombni yuzi S = d 1 d 2 formuladan topilar edi. (3) tenglikdan S = m
2

p
2
ekanligi kelib
chiqadi. 2 4
Javob: (D)
6 – masala. (12-son. 10-masala, 1998 yil). Uchburchakning asosiga parallel to‘g‘ri chiziq uning
yuzini teng ikkiga bo‘lsa, asosidan boshlab hisoblaganda uning yon tomonlarini qanday nisbatda bo‘ladi.
A) ( 2 1) :1 B) 1:1 S) :1 D) ( 3 1):1 E) (2 2 1): 1
Yechilishi:
ABC, MNC uchburchaklarni
Yuzalarini mos ravishda S
1 va S
2 deb belgilaylik.
U holda,
S
1 = AC · AB · sin α , S
2 = MC · MNsin α .
Bo‘ladi. AM : MC nisbatni topish talab qilingan.

ABC va MNC uchburchaklar o‘xshash bo‘lib, o‘xshashlik
koeffitsiyentini k desak,
k 2
= S
= 2  k = AC
= 2 ,
S МС
AC – MC = AM ekanligidan АМ
 АС

МС

 2 
1
.
МС МС 1
Javob: (A).

7 – masala. (12-son. 87-masala, 1998 yil). O‘tkir burchakli uchburchak tomonlarining uzunliklari
natural sonlardan iborat va ular ayirmasi 4 ga teng bo‘lgan ariffmetik progressiyani tashkil qiladi. Shu
uchburchak kichik tomonining eng kichik qiymati nechaga teng bo‘lishi mumkin.

A) 8 B) 15 S) 14 D) 12 E) 13.
Yechilishi:
Aniqlik uchun kichik tomoni AC =x desak, u holda BC =x+4, AB =x+8 bo‘ladi. Uchburchak
tengsizligidan x ni qiymatini 4 dan katta bo‘lishini ko‘rish mumkin. Bu ma’lumot yetarli emas, chunki
shartga ko‘ra uchburchak o‘tkir burchakli. Quyida Al-Xorazmiy teoremasi ni keltiramiz:
Teorema: O‘tkir burchakli uchburchakda ikki kichik tomon kvadratlari yig‘indisi uchinchi tomoni
kvadratidan katta;
To‘g‘ri burchakli uchburchakda ikki kichik tomon kvadratlari yig‘indisi uchinchi tomoni kvadratiga
teng;
O‘tmas burchakli uchburchakda ikki kichik
tomon kvadratlari yig‘indisi uchinchi
tomonidan kichik;
Demak, AC 2
+ BC 2
>AB 2
shart urinli. U holda,
x 2
+ (x+4) 2
> (x+8) 2
 x 2
– 8x – 48 >0.
x (– ; – 4)  (12; + ).

Yuqori dagi natijaga ko‘ra ABC uchburchakning kichik tomonining eng kichik qiymati 13 bo‘lar ekan.
Javob: (E)
8 – masala. (1-son. 49-masala, 1999 yil). Shaklda berilganlarga ko‘ra ADEC to‘rtburchakning
yuzini toping.

A) 10 B) 6 S) 12 D) 8 E) 7

Yechilishi:
Talab qilingan to‘rtburchakning yuzi ABC uchburchak
yuzidan BDE uchburchak yuzini ayirishdan topiladi. BDE uchbur-
chak misr uchburchagi bo‘lib, uning yuzi
DЕ
 ВЕ S BDE = = 6.
2
ABC – uchburchak yuzini
S
ABC = AB · BS · sin < β
formulalardan foydalanib topamiz. B burchakning sinusi BDE uchburchakdan topiladi. sin < B = 4/5,
S
ABC = · 9 · 5 · = 18
Izlangan yuza

S
ADEC = S
AVC –S
BDE = 18 – 6 = 12.
Javob: (S)

9 – masala. (2-son. 45- masala, 1999 yil). Parallelogramning
o‘tkir burchagi uchidan uning shu uchidan o‘tmaydigan yon
tomonlariga tushirilgan perpendikulyar orasidagi burchak 130 0
ga
teng. Parallelogramning burchagini toping.
A) 40 0
B) 45 0
S) 50 0
D) 55 0
E) 35 0

Yechilishi:
Masala shartiga ko‘ra < MAN =130 0

ABN va ADM to‘g‘ri burchakli uchburchaklar o‘xshash,
chunki<ABN=<ADM ekanligi kelib chiqadi. Shu burchakni kattaligini α desak va <BAD =β
deb olsak, α + β = 90 0
, 2α + β = 130 0
. Bu tenglamalardan tuzilgan tenglamalar sistemasidan
izlangan burchakni topish mumkin: β =50 0
.
Javob: (C)

10–masala. (2-son. 50-masala, 1999 yil). Teng yonli uchburchakning uchidagi burchagi 2 α ga,
unga tashqi chizilgan aylananing raadiusi R ga teng. Uchburchakning yuzi nimaga teng?

A) R 2
sin 2 α cos α B) R 2
cos α sin 2
2 α C) R 2
sin 2
2 α D) 4R 2
cos 3
α sin α
E) 2R 2
cos 2
α Yechilishi:
Masala shartiga ko‘ra ACB = 2 α , OA =OB = OC =R. BDC to‘g‘ri
burchakli uchburchakdan <DBC = 90 0
– α ekanligi- dan mos AOC
markaziy burchak 180 0
– 2 α ga teng.
AOC uchburchakdan, AC tomonni kosinuslar teoremasi bo‘yicha
topamiz:
AC = R 2
R 2
2 R 2
cos(180 0
2 ) =
= R 2(1  cos2 ) = R 4
1 
cos2 
=2 R cos α
2
ABC uchburchakning yuzini S
ABC = AC 2
sin <ACB formula bo‘yicha hisoblaymiz:
S
ABC = (2R cos α ) 2
sin 2 α = 4 R 2
cos 3
α sin α .
Javob: (D)

11 – masala. (3-son. 46-masala, 1999 yil). ABC
uchburchakning AB va AC tomonlarida shunday K va M nuqtalar
olindiki, AK = AB ga va AN = AC ga teng bo‘ladi. ABC
uchburchakning yuzi 18ga teng. AKN uchburchakning yuzini
toping.

A) 4 B) 6 S) 9 D) 2 E) 3.
Yechilishi:
Masala shartiga ko‘ra
S
ABC = · AB · AC · sin < A = 18.

ANK uchburchakning yuzi
S
ANK = · AC · AB · sin < A yoki
S
ANK = · AB · AC · sin < A = = S
ABC = · 18 = 4

Javob: (A)

12 – masala. (4-son. 43-masala, 1999 yil). Uchburchak
burchaklari 45 0
va 60 0
ga, unga tashqi chizilgan aylananing radiusi R ga teng. Uchburchakning yuzini
toping.
2
2 2
2
A) 3 R
2 3
B) R 3
1) S) R 2
( 2
 3) D) R 4 6
E) R
2 (3  3).
4 2
Yechilishi:
Masala shartiga ko‘ra ABC uchburchakda <A = 60 0
, <C = 45 0
, < B =75 0
, OA =OB=OC=R. Aniqlik
uchun AC = a , BC = в , AB =c deb belgilab olaylik. Izlanayotgan uchburchak yuzini ikkita qulay usulda
topish mumkin:
S ∆ABC = a в с yoki S ∆ABC = 1 arsin <A.
4 R 2

Ma’lumki, aylanada markaziy burchakka mos ichki burchak uning yarmiga teng edi. Shunga ko‘ra
quyidagilarga egamiz:
<AOC = 90 0
, < BOC =120 0
, <AOC = 150 0

∆AOC, ∆BOC, ∆AOB uchburchaklarda kosinuslar teoremasini qo‘llab a, в , c larni topish
mumkin.

S ABC = 1
0
= R
2
(3  3) ;
R 2  3 · R 3 ; sin60
2 4
Javob: (E)

13 – masala. (5-son. 43 –masala, 1999 yil). To‘rtta nuqta aylanani yoylarga ajratadi. Yoylar
uzunliklari maxraji 2 ga teng geometrik progressiyani tashkil etadi. Shu to‘rtta nuqtani ketma-ket
tutashtirish natijasida hosil bo‘lgan to‘rtburchakning diagonallari orasidagi eng katta burchakni toping.
A) 100 0
B) 120 0
S) 150 0
D)130 0
E) 140 0
Yechilishi: (3

23<AOB, <BOC, < COD, <DOA burchaklarni mos ravishda x,
2x, 4x, 8x deb olsak, u hol- da <AOB =24 0
,<BOC = 48 0
,
<COD =96 0
, <DOA=192 0
.
Markaziy burchak va unga mos ichki burchak- lar xossasiga
ko‘ra <DCA =96 0
chunki
<DOA=192 0
.<CDB =24 0
chunki <COB = 48 0
,
demak, <DMC =60 0
bo‘lib, izlangan <SMB =
<DMA =120 0
ekanligini ko‘rish mumkin.
Javob: (B).

14 – masala. (5-son. 44 – masala, 1999 yil). BC va AD – trapetsiyaning asoslari, O – AC va BD
diagonallarining kesishish nuqtasi BOC va AOD uchburchaklarning yuzlari mos ravishda 4 va 9 ga teng.
Trapetsiyaning yuzini toping.
A) 16 B)25 S) 26 D) 30 E) 36.

Yechilishi:
Shartga ko‘ra ∆ BOC va ∆AOD uchburchaklar o‘xshash bo‘lib, o‘xshashlik koeffitsenti k =
ekanligini aytish mumkin. Bu yerda MO = h
1 desak, NO =
h
1 bo‘ladi.
MN = MO + NO  h
1 .
BC = a
1 desak, AD = a
1 bo‘ladi.
2
Trapetsiyani yuzi
а  а 5
ВС  АD
S= . MN = . h
1 = 25.
2 2 2
Javob: (B)

15 – masala. (5-son.45-masala,1999 yil). Burchagi 60 0
ga, katta asosi 10 ga teng bo‘lgan teng yonli
trapetsiyaga aylana ichki chizilgan.

Trapetsiyaning kichik asosi uchi va aylana markazi orasidagi masofani toping.

4 2 3 3
A) B) S) 3 D) 3 E) 4
2 2

Yechilishi:
Aniqlik uchun AD
=BC =a deb
belgilaylik. To‘g‘ri
a
burchakli ∆AND uchburchakdan AN = ekanligi kelib 2

chikadi. To‘rtburchakka ichki aylana chizilganligi uchun
DС  АВ
=a deyish mumkin. Bundan
2
10 
a 
10
= a  a = 20
.
2 3
a 0
Bu yerda  = va DLO  60 ekanligidan ∆LOD teng tomonli bo‘lib, izlangan masofa OD 2 a 1
= yoki 3 ekanligini aytish mumkin.
2 3
Javob: (D)

16 – masala. (5-son. 45-masala, 1999 yil). Tomoni 1 ga teng bo‘lgan kvadrat ustma-ust quyiladi.
Shundan so‘ng kvadratlardan biri ularning umumiy simmetriya markaziga nisbati 45 0
ga burildi. Hosil
bo‘lgan figuraning yuzini hisoblang.
A) 4 – 2 2 B) 1,2 S) 1,25 D) 3 – 2
E) .
Yechilishi:
Chizmadan ko‘rish mumkinki hosil
qilingan figurani yuzii S =S
kv + 4S
ABC tenglikdan topiladi.
< BAC =45 0
ekanligidan
2
AN = NC = BN = – 0,5 = . Bu ma’lumotlarga ko‘ra,
S
∆ABC = bo‘lib,
2
S = 1+4 = 4 – 2 2 ekanligini topamiz.
Javob: (A).
17 – masala. (8-son. 43-masala, 1999 yil). Uchburchakning tomonlari 6; 9 va 12 ga teng. Eng katta
burchak bissektrisasi uchburchakning tomonidan ajratgan kesmalarning kattasini toping.

A) 7,2 V) 4,8 S) 6,8 D) 8,4 E) 5,6
Yechilishi:
Bizga ma’lumki uchburchakning uchidan chiqqan
bissektrisasi qarshisidagi tomonni yon tomonlari nisbati kabi
nisbatda bo‘ladi. Ya’ni
АВ
 ВD .
АС DС
Bunga ko‘ra,
9 ВD

 BD = 7,2
6 12  В D 2 12

2 2

Javob: (A)

18 – masala. Uchburakning ikki tomoni uzunliklari 6 va 3 ga teng. Agar bu tomonlarga o‘tkazilgan
balandliklar uzunliklari yig‘indisining yarmi uchinchi tomonga o‘tkazilgan balandlikka teng bo‘lsa,
uchinchi tomon uzunligini toping.
A) 6 B) 5 S) 3 D) 4 E) 7
Yechilishi:
Aniqlik uchun BD=x, CF=u, BC = a
deb belgilaylik. Shartga ko‘ra AC =6, AB=3
ВD  CF
=AE. ABC uchburchakning yuzini
2
3 tomoni va mos balandliklaar bo‘yicha ifodalarini
tenglashtiraylik:
a ( x 
y
)
2  6 x  3  y ,
2 2 2
y bu yerdan y=2x  =2
ekanligini aytish mumkin. x
a  x 
y
 6 x tenglikni ikkala tarafini x ga bo‘lamiz: a  a y
 12  3 a = 12  a = 4
2 x
Javob: (D)

19 – masala. (8-son. 47-masala, 1999 yil). Teng yonli tarpetsiyaning yon tomoni 7 ga diagonali
8 ga, o‘rta chizig‘i 4 ga teng. Trapetsiyaning kichik asosini toping.

A) 3 B) 4 S) 5 D) 2 E) 4,2

Yechilishi:
Shartga ko‘ra AC= 8, AD =BC =7,
DС
 АВ

 4
2
Aniqlik uchun DC = a , AB= в deb olaylik. AB ni davomida a
ga teng kesma qo‘yamiz. Bu yerda ADC va BCE uchbur-
chaklar o‘xshash. Demak AC=CE=8 bo‘lib, ACE teng tomonli uchburchak. AEC =60 0
, BC =7, CE=8
ma’lumotlardan BCE uchburchakda
BC 2
= CE 2
+BE 2
– 2 CE · BE cos60 0
, ya’ni 7 2
= a 2
+8 2
– 2 a · 8 ·  a
1 =5 a
2 =3 Masala shartini a =3
qanoatlantiradi.
Javob: (A)
20 – masala . (10-son.47-masala, 1999 yil). ABC uchburchakning AD medianasi 6 ga AC tomoni 8
ga va ular orasidagi burchak 30 0
ga teng ABC uchburchakning yuzini toping.

A) 28 B) 26 S) 22 D) 30 E) 24
Yechilishi:
Bizga ma’lumki mediana uchburchak Yuzini teng
ikkiga bo‘ladi. Demak,
S
∆ ABC = 2 · S
∆ ACD = 2 · · 6 · 8 · sin30 0
=24.

Javob: (E)
21 – masala. (10-son. 48-masala,1999 yil). Radiusi 4 ga teng bo‘lgan doiraga tashqi chizilgan teng
yonli trapetsiyaning perimetri 40 ga teng. Trapetsiyaning kichik asosini toping.
A) 3 B) 4 S) 5 D) 2 E) 6

Yechilishi:
Masala shartidan ko‘rinadiki, R =4 ekanligidan DE=8
bo‘ladi. Aylana trapesiyaga ichki chizilganligidan
AD+BC= DC+AB
tenglik o‘rinli. Trapetsiyaning perimetri 40 ekanligini e’tiborga
olsak, u holda AD=BC=10 kelib chiqadi. ADE to‘g‘ri burchakli
uchburchak topilgan ma’lumotlarga ko‘ra misr uchburchagi.
Bundan AE=6 hamda DC+AB=20, (AB=DC+2AE) ekanligidan, izlangan kichik asos topiladi:
DC=20 – AB =20 – DC – 12  DC = 4

Javob: (B)

O ‘ ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA`LIM,FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI SHAROF RASHIDOV NOMIDAGI SAMARQAND DAVLAT UNIVERSITETI MATEMATIKA FAKULTETI MATEMATIKA VA INFORMATIKA YO’NALISHI KURS ISHI MAVZU: Maktab matematikasida Planimetriya asosiy tushunchalari yuritish metodikasi. \ Samarqand – 202 __ PLANIMETRIYA

§1.1. Uchburchaklar Ushbu mavzuga doir misol va masalalarni yechishda quyidagilarni yodda tutish zarur. 1.Uchburchaklarning tenglik alomatlari: Ikki uchburchak teng bo‘lishi uchun quyidagi shartlardan biri bajarilishi kerak: a) birinchi uchburchakning ikki tomoni va ular orasidagi burchagi ikkinchi uchburchakning ikki tomoni va ular orasidagi burchagiga mos ravishda teng bo‘lsa; b) birinchi uchburchakning bir tomoni va unga yopishgan burchaklari boshqa uchburchakning mos tomoni va unga yopishgan burchaklariga teng bo‘lsa; s) birinchi uchburchakning uchta tomoni ikkinchi uchburchakning uchta tomoniga mos ravishda teng bo‘lsa. To‘g‘ri burchakli uchburchaklarning tenglik alomatlari: ikki to‘g‘ri burchakli uchburchak bir-biriga teng bo‘lishi uchun quyidagi shartlardan biri bajarilishi kerak: a) gipotenuzasi va bir o‘tkir burchagi ikkinchisining gipotenuzasi va bir o‘tkir burchagiga teng bo‘lsa; b) kateti va qarshisidagi burchagi ikkinchisining mos kateti va qarshisidagi burchagiga teng bo‘lsa; s) gipotenuzasi va bir kateti mos ravishda ikkinchisining gipotenuzasi va bir katetiga teng bo‘lsa. 2.Uchburchak yuzasini hisoblash formulalari: 1 1 S   ah a  bh b  ch c ; 2 2 S   ab sin   bc sin   ac sin  S   p ( p a )( p в )( р с ) (Geron formulasi); abc S   , 4 R S   pr . Bu yerda va bundan keyin a , b , c – uchburchakning tomonlari h a , h b , h c uchburchakni mos tomoni balandliklari; , ,  - uchburchakni mos ravishda a, в , c tomonlari qarshisidagi ichki burchaklari; r  ( a  b  c ) - yarim perimetr; R – uchburchakka tashqi chizilgan aylana radiusi; ruchburchakka ichki chizilgan aylana radiusi, S Δ – uchburchak yuzi. 3.Uchburchaklarni o‘xshashlik alomatlari: Ikki uchburchak uchun quyidagi shartlardan biri o‘rinli bo‘lsa, ular o‘zaro o‘xshash deyiladi: a) bir uchburchaknihg ikki burchagi mos ravishda ikkinchi uchburchakning ikki burchagiga teng bo‘lsa; b) bir uchburchakning ikki tomoni ikkinchi uchburchakning ikki tomoniga proporsional bo‘lib, ular orasidagi burchaklari teng bo‘lsa; s) bir uchburchakning uch tomoni ikkinchi uchburchakning uch tomoniga proporsional bo‘lsa. To‘g‘ri burchakli uchburchaklarning o‘xshashlik alomatlari: Ikki to‘g‘ri burchakli uchburchak uchun quyidagi shartlardan biri o‘rinli bo‘lsa, ular o‘zaro o‘xshash deyiladi: a) uchburchaklar teng o‘tkir burchaklarga ega bo‘lsa; b) birinchisining katetlari ikkinchisining katetlariga proporsional bo‘lsa; s) birinchisining kateti va gipotenuzasi ikkinchisining kateti va gipotenuzasiga proporsional bo‘lsa.

21Uchburchaklarni o‘xshashlik (  ABC A 1 B 1 C 1 ) koeffitsiyenti k ularni mos tomonlari nisbatiga teng: a b c    k a 1 b 1 c 1 O‘xshash uchburchaklar uchun quyidagi tengliklar o‘rinli: a) mos balandliklar nisbati o‘xshashlik koeffitsiyentiga teng: h а  h b  h c  k ; h а 1 h b 1 h c 1 b) perimetrlar nisbati o‘xshashlik koeffitsiyentiga teng: P  k ; P 1 s) tashqi chizilgan (ichki chizilgan) aylana radiuslari nisbati o‘xshashlik koeffitsiyentiga teng: r R   k ; r 1 R 1 d) yuzlari nisbati o‘xshashlik koeffitsiyenti kvadratiga teng: S 2  k ; S 1 4. Sinuslar teoremasi: a b c    2 R . sin  sin  sin  5. Kosinuslar teoremasi: a 2  b 2  c 2  2 bc cos  b 2  a 2 c 2  2 ac cos  c 2  a 2 b 2  2 ab cos  6. Uchburchak medianasi ta’rifi va xossalari: Uchburchakni medianasi deb, uchburchakni uchi bilan qarshisidagi tomon o‘rtasini tutashtiruvchi kesmaga aytiladi. Mediananing asosiy xossalari: a) uchburchakni o‘rta chizig‘i deb ataluvchi tomonlari o‘rtasini tutashtiruvchi kesmalar, tomonlarga parallel va mos tomon yarmiga teng; b) uchburchakning medianalari bir nuqtada kesishadi va uchidan boshlab hisoblaganda 2:1 nisbatda bo‘linadi; s) mediana uchburchakni ikkita tengdosh uchburchakka ajratadi; d) O nuqta  ABC ni medianalari kesishgan nuqtasi bo‘lsin,  ABO ,  BCO ,  ACO uchburchaklarni yuzlari teng va ularning yig‘indisi  ABC yuzasiga teng bo‘ladi. Mediana va tomon uzunliklarini bog‘lovchi formulalarni esda tutish lozim: m a  2( b 2  c 2 )  a 2 ; 2 a 2 m a   c  ac cos ;

4 a  2( m b 2  m c 2 )  m a 2 . Bu yerda m a , m b , m c -  ABC uchburchakning mos ravishda a , b , c tomonlariga o‘tkazilgan medianalar uzunliklari (xuddi shu kabi formulalarni qolgan tomon va medianalar uchun ham hosil qilish mumkin). 7. Uchburchak balandligi ta’rifi va hisoblash formulalari: Uchburchakning berilgan uchidan tushirilgan balandligi deb, shu uchidan uning qarshisidagi tomoni yotgan to‘g‘ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyarga aytiladi. Ixtiyoriy uchburchak balandliklari, tomonlari, burchaklari va ichki chizilgan aylana radiusini bog‘lovchi formulalar: h a  b sin  c sin , h b  c sin  a sin , h c  a sin  b sin , 2 S  2 h a   p ( p a )( p в )( р с ) , a a 1 1 1 1 + + = ; h a h b h c r 8. Uchburchak bissektrisasi ta’rifi va xossalari: Uchburchakni berilgan uchidan o‘tkazilgan bissektirsasi deb, uchburchak burchagi bissektirsasining shu uchni uning qarshi tomondagi nuqta bilan tutashtiruvchi kesmasiga aytiladi. Uchburchak bissektrisasi asosiy xossalari: a) uchburchak uchta bissektrisasi bir nuqtada kesishadi, bu nuqta uchburchakni ichki nuqtasi bo‘lish bilan birga ichki chizilgan aylana markazi bo‘ladi; b) uchburchak bissektrisasi tomonlaridan teng uzoqlikdagi nuqtalarning geometrik o‘rnidir; s) uchburchak bissektrisasi qarshisidagi tomonni shu burchakka yopishgan tomonlariga proporsional qismlarga ajratadi. Uchburchakning tomonlari va bissektrisalarini bog‘lovchi formulalarni esda tutish foydali: l c  ab a 1 b 1 ; ab ( a  b  c )( a  b  c ) l c  ; a  b sin  ac 2 ab cos 2 l c    sin  b  a a  c 2 l c -  ABC uchburchakni C uchidan chiqqan bissektrisasi uzunligi; 9. Uchburchakning maxsus hollardagi medianasi, bissektrisasi, balandligi va tomonining ba’zi bir xossalari: a) teng yonli uchburchakning balandligi, bissektrisasi medianasi ustma-ust tushadi; b) teng tomonli uchburchakning har bir uchidan tushirilgan medianasi, bissektrisasi, balandligi ustma-ust tushadi; s) to‘g‘ri tomonli uchburchakda a,в - katetlari va c- gipotenuzasi quyidagi tenglik bilan bog‘langan (Pifagor teoremasi) a 2 b 2  c 2 ;

d) to‘g‘ri burchakli uchburchakning kateti gipotenuzasi va shu katetining gipotenuzadagi proyeksiyasiga o‘rta proporsional; b c b a c a ;  ;  b c a c d) to‘g‘ri burchakli uchburchakning to‘g‘ri burchagidan tushirilgan balandligi, katetlarning gipotenuzadagi proyeksiyalariga o‘rta proporsional: b c  h c ; h c a c e) to‘g‘ri burchakli uchburchakda tomonlar va burchaklarni bog‘lovchi tengliklar: a  c sin , b  c cos . 1-masala. To‘g‘ri burchakli uchburchakning perimetrlari 132 ga teng, tomonlari kvadratlari yig‘indisi 6050. Katta va kichik katetlari orasidagi farqini toping. Yechish: a , b - katetlar; c - gipotenuza va a  b bo‘lsin. Masala shartidan quyidagi tengliklar sistemasiga ega bo‘lamiz:  a b c  132  2 2 2 a b c  6050  a 2 b 2  c 2 Ikkinchi tenglamaga uchinchi tenglamani qo‘ysak, c 2 =3025 yoki c=55 . U holda a va b larni quyidagi sistemadan topamiz:  a  b  77  b  77  a  b  77  a  2 2  2 2  2 a  b  3025 a  (77  a )  3025 a  77 a 1452  0 bu yerdan a ni ikkita qiymatini hosil qilamiz: a 1  44, a 2  33 , xuddi shuningdek b ni ham mos ikkita qiymatini hosil qilamiz: b 1  33, b 2  44 в 1 =33, в 2 =44. a  b shartga ko‘ra a  44, b  33 . Bundan a b  11 . Javob: 11. 2-masala . Agar teng yonli uchburchakning asosiga va yon tomoniga o‘tkazilgan balandliklari mos ravishda 5 va 6 sm bo‘lsa, uchburchakning tomonlarini toping. Yechish: Shartga ko‘ra AB  BC , BM  5 sm , AK  6 sm .

Maktab matematikasida Planimetriya asosiy tushunchalari yuritish metodikasi.

23.11.2024

0

1532.7646484375 KB

Похожие