Mantiqiy va xos (maxsus) aksiomalar. Keltirib chiqarish qoidasi

Загружено в:

12.08.2023

Скачано:

0

Размер:

1848.2568359375 KB

Скачать

Mundarija
KIRISH 3
1. Aksiomatik nazariya 4
2. Mulohazalar hisobi formulasi 5
3. Keltirib chiqarish qoidalari 8
4. Keltirib chiqarish qoidasining hosilalari 12
5 Amaliy qism 16
Xulosa....………………………………………………………………….………………………… 19
Foydalanilgan adabiyotlar…….………………………………….…………………………
19
2

Mavzu: Mantiqiy va xos (maxsus) aksiomalar. Keltirib chiqarish qoidasi.
Reja:
1. Aksiomatik nazariya.
2. Mulohazalar hisobi formulasi.
3. Keltirib chiqarish qoidalari
4. Keltirib chiqarish qoidasining hosilalari .
Kirish
Mantiqiy aksiomalar. Maxsus aksiomalar. Keltirib chiqarish qoidasi. Xulosa
qoidasi. Umumlashtirish qoidasi .
Mantiqiy va xos (maxsus) aksiomalar . Birinchi tartibli nazariya aksiomalari
ikki sinfga; mantiqiy va xos aksiomalarga bo‘linadi.
Mantiqiy aksiomalar: A , В va С lar T nazariyaning qanday formulalari
bo'lishidan qat’i nazar quyidagi formulalar T ning mantiqiy aksiomalari bo‘ladi:

4) , bu yerda - berilgan T nazariyaning formulasi, t esa
formulada erkin bo‘lgan T nazariyaning termi. Ta’kidlash kerakki, t term x t
bilan mos kelishi ham mumkin, u holda aksioinaga ega bo‘lamiz;
5) agar Xj predmet o‘zgaruvchi A formulada erkin bo‘lmasa, u holda
. Oldingi bobda XI aksiomali klassik mulohazalar hisobi
o‘rganilgan edi.
Ammo kam aksiomali mulohazalar hisobini ham yaratish mumkin
(masalan, 1-3- mantiqiy aksiomalar asosida).
Xos aksiomalar . Xos aksiomalami umumiy holda tavsiflash mumkin emas ,
chunki ular bir nazariyadan ikkinchi nazariyaga o ‘ tishda o ‘ zgaradi , ya ’ ni har bir
nazariyaning o ‘ zigagina xos aksiomalari bo ‘ ladi . Birinchi tartibli nazariya xos
3

aksiomalarga ega emas. Bu nazariya sof mantiqiy nazariyadir. Bu nazariya birinchi
tartibli predikatlar hisobi deb yuritiladi. Ko'pchilik aksiomatik nazariyalarda
tenglik tushunchasidan foydalaniladi. U ikki joyli predikat « x = у » sifatida
kiritiladi. Shu sababli aksiomalar qatoriga ikkita xos aksioma kiritiladi:
2) agar x, y, z har xil predmet o'zgaruvchilar va F(z) formula bo'lsa, u holda
.
Keltirib chiqarish qoidasi . Xuddi mulohazalar hisobidagidek, H formulalar
majmuasida keltirib chiqarish tushunchasidan foydalanamiz. H formulalar
majmuasiga kiruvchi mulohazalami (formulalarni) shartlar deb ataymiz. Agar H
majmuadan keltirib chiqarilgan ifodaning oxirida A mulohaza (formula) joylashgan
bo‘lsa, u holda A mulohaza H dan keltirib chiqarilgan deb aytamiz va H | — A
ko‘rinishdayozamiz. Xususan, H = O bo‘ 1 sa, u holda |— A ko‘rinishda yoziladi.
Birinchi tartibli nazariyaning keltirib chiqarish qoidasi tarkibiga ushbu ikkita qoida
kiradi.
1. Xulosa qoidasi (yoki modus ponens):
2. Umumiylik kvantori bilan bog‘lash qoidasi (yoki umumlashtirish
qoidasi):
1. Aksiomatik nazariya
Mulohazalar hisobi aksiomatik mantiqiy sistema bo‘lib, mulohazalar
algebrasi esa uning interpretasiyasidir (talqinidir).
Berilgan aksiomalar sistemasi negizida qurilgan aksiomatik nazariya deb, shu
aksiomalar sistemasiga tayanib isbotlanuvchi hamma teoremalar majmuasiga
aytiladi.
4

Aksiomatik nazariya formal va formalmas nazariyalarga bo‘linadi.
Formalmas aksiomatik nazariya nazariy-to‘plamiy mazmun bilan
to‘ldirilgan bo‘lib, keltirib chiqarish tushunchasi aniq berilmagan va bu nazariya
asosan fikr mazmuniga suyanadi.
Qaralayotgan aksiomatik nazariya uchun quyidagi shartlar bajarilgan bo‘lsa, ya’ni:
1) nazariyaning tili berilgan;
2) formula tushunchasi aniqlangan;
3) aksiomalar deb ataluvchi formulalar to‘plami berilgan;
4) bu nazariyada keltirib chiqarish qoidasi aniqlangan bo‘lsa, formal aksiomatik
nazariya aniqlangan deb hisoblanadi.
2. Mulohazalar hisobi formulasi
Mulohazalar hisobi. Mantiqiy bog‘lovchilar. Simvollar. Formula. Qismiy formula.
Isbotlanuvchi formula. Aksioma.
2.1. Mulohazalar hisobining simvollari. Har qanday hisobning tafsifi bu
hisobning simvollari tafsifidan, formulalar va keltirib chiqarish formulalari
ta’rifidan iborat.
Mulohazalar hisobida uch kategoriyali simvollardan iborat alifbo qabul qilinadi.
Birinchi kategoriya simvollari: . Bu simvollarni
o‘zgaruvchilar deb ataymiz.
Ikkinchi kategoriya simvollari: , , , . Bular mantiqiy
bog‘lovchilardir . Birinchisi – diz’yunksiya yoki mantiqiy qo‘shish belgisi,
ikkinchisi – kon’yunksiya yoki mantiqiy ko‘paytma belgisi, uchinchisi –
implikasiya belgisi va to‘rtinchisi – inkor belgisi deb ataladi.
Uchinchi kategoriyaga qavslar deb ataladigan ( , ) simvollar kiritiladi.
Mulohazalar hisobida boshqa simvollar yo‘q.
5

2.2.Mulohazalar hisobi formulasi tushunchasi. Mulohazalar hisobining
formulasi deb mulohazalar hisobi alifbosi simvollarining muayyan ketma-
ketligiga aytiladi.
Formulalarni belgilash uchun lotin alifbosining bosh harflaridan foydalanamiz. Bu
harflar mulohazalar hisobining simvollari qatoriga kirmaydi. Ular faqatgina
formulalarning shartli belgilari bo‘lib xizmat qiladi.
Endi mulohazalar hisobi formulasi tushunchasi ta’rifini keltiramiz.
1-ta’rif. Mulohazalar hisobi formulasi tushunchasi quyidagicha aniqlanadi:
1) har qanday o‘zgaruvchilarning istalgan biri formuladir;
2) agar va ning har biri formula bo‘lsa, u holda , , va
ham formuladir.
3) boshqa hech qanday simvollar satri formula bo‘la olmaydi.
O‘zgaruvchilarni elementar formulalar deb ataymiz.
1-misol. Formula ta’rifining 1) bandiga ko‘ra o‘zgaruvchilarning har biri
formula bo‘ladi. U vaqtda ta’rifning 2) bandiga muvofiq , , ,
ham formulalardir. Xuddi shu kabi ,
, ham formulalar bo‘ladi.
Quyidagilar formula bo‘la olmaydi:
, , , , . ■
2-ta’rif. Mulohazalar hisobi qismiy formulasi tushunchasi quyidagicha
aniqlanadi:
1) elementar formula uchun faqat uning o‘zi qismiy formuladir;
2) agar formula bo‘lsa, u holda shu formulaning o‘zi, formula va
formulaning hamma qismiy formulalari uning qismiy formulalari bo‘ladi;
3) agar formula ko‘rinishda bo‘lsa (bu yerda va bundan keyin o‘rnida ,
yoki simvollardan birortasi bor deb tushunamiz), u holda shu formulaning
6

o‘zi, va formulalar hamda va formulalarning barcha qismiy
formulalari formulaning qismiy formulalari bo‘ladi.
2-misol. formula uchun:
– nolinchi chuqurlikdagi qismiy formula,
, – birinchi chuqurlikdagi qismiy formulalar,
, , – ikkinchi chuqurlikdagi qismiy formulalar,
, – uchinchi chuqurlikdagi qismiy formulalar,
– to‘rtinchi chuqurlikdagi qismiy formula bo‘ladi. ■
Formulalarni yozishda ayrim soddalashtirishlarni qabul qilamiz. Xuddi
mulohazalar algebrasidagi kabi qavslar haqidagi kelishuv va mantiqiy amallarni
bajarish imtiyozlari bu yerda ham o‘rinli deb hisoblaymiz. Bu kelishuv va
imtiyozlarga binoan, masalan, , va formulalarni
mos ravishda , va ko‘rinishda yozish mumkin.
2.3. Isbotlanuvchi formula tushunchasi. Endi mulohazalar hisobida
isbotlanuvchi formulalar sinfini o‘rganamiz. Isbotlanuvchi formula tushunchaqsiga
ham formula tushunchasi ta’rifiga o‘xshash ta’rif beriladi.
Avval dastlabki isbotlanuvchi formulalar (aksiomalar), undan keyin esa
keltirib chiqarish qoidasi aniqlanadi. Keltirib chiqarish qoidasi orqali mavjud
isbotlanuvchi formulalardan yangi isbotlanuvchi formulalar hosil qilinadi.
Dastlabki isbotlanuvchi formulalardan keltirib chiqarish qoidasini qo‘llash yo‘li
bilan yangi isbotlanuvchi formulalarni hosil qilish shu formulalarni
aksiomalardan keltirib chiqarish deb ataladi.
2.4. Mulohazalar hisobining aksiomalar sistemasi. Mulohazalar hisobining
aksiomalar sistemasi XI aksiomadan iborat bo‘lib, ular to‘rt guruhga bo‘linadi.
Birinchi guruh aksiomalari:
I
1 .
7

I
2 .
Ikkinchi guruh aksiomalari:
II
1 .
II
2 .
II
3 .
Uchinchi guruh aksiomalari:
III
1 .
III
2 .
III
3 .
To‘rtinchi guruh aksiomalari:
IV
1 .
IV
2 .
IV
3 .
3. Keltirib chiqarish qoidalari
3.1. O‘rniga qo‘yish qoidasi. Agar mulohazalar hisobining isbotlanuvchi
formulasi, o‘zgaruvchi, mulohazalar hisobining ixtiyoriy formulasi bo‘lsa, u
holda formula ifodasidagi hamma lar o‘rniga formulani qo‘yish natijasida
hosil qilingan formula ham isbotlanuvchi formula bo‘ladi.
formuladagi hamma o‘zgaruvchilar o‘rniga formulani qo‘yish operasiyasini
(jarayonini) o‘rniga qo‘yish qoidasi deb aytamiz va uni quyidagicha belgilaymiz:.
O‘rniga qo‘yish qoidasiga quyidagi aniqliklarni kiritamiz:
a) agar faqat o‘zgaruvchidan iborat bo‘lsa, u holda o‘rniga qo‘yish
formulani beradi;
8

b) agar formula dan farqli o‘zgaruvchidan iborat bo‘lsa, u vaqtda
o‘rniga qo‘yish ni beradi;
d) agar o‘rniga qo‘yish aniqlangan formula bo‘lsa, u holda formuladagi
o‘rniga formulani qo‘yish natijasida o‘rniga qo‘yishning inkori kelib chiqadi,
ya’ni o‘rniga qo‘yish ni beradi.
e) agar va formulalarda o‘rniga qo‘yish aniqlangan bo‘lsa, u holda
o‘rniga qo‘yish ni beradi.
Agar isbotlanuvchi formula bo‘lsa, u holda uni shaklda yozishga
kelishamiz. U holda o‘rniga qo‘yish qoidasini quyidagicha sxematik ravishda
ifodalash mumkin:
va uni “agar isbotlanuvchi formula bo‘lsa, u holda ham isbotlanuvchi
formula bo‘ladi” deb o‘qiladi.
3.2. Xulosa qoidasi. Agar va mulohazalar hisobining isbotlanuvchi
formulalari bo‘lsa, u holda ham isbotlanuvchi formula bo‘ladi. Bu qoida xulosa
qoidasi deb yuritiladi va sxematik ravishda quyidagicha yoziladi:
.
1-ta’rif ( isbotlanuvchi formula ta’rifi).
a) har qanday aksioma isbotlanuvchi formuladir;
9

b) isbotlanuvchi formuladagi o‘zgaruvchi o‘rniga ixtiyoriy formulani qo‘yish
natijasida hosil bo‘lgan formula isbotlanuvchi formula bo‘ladi;
d) va isbotlanuvchi formulalardan xulosa qoidasini qo‘llash natijasida
olingan formula isbotlanuvchi formuladir;
e) Mulohazalar hisobining boshqa hech qanday formulasi isbotlanuvchi formula
emas.
2-ta’rif. Isbotlanuvchi formulalarni hosil qilish protsessi (jarayoni) isbot qilish
( isbotlash ) deb ataladi.
1-misol . bo‘lishini (implikasiyaning refleksivligini) isbotlaymiz. Buning
uchun I
2 aksiomadan foydalanamiz. Bu yerda o‘rniga qo‘yishni bajarish
natijasida
(1)
kelib chiqadi. I
2 aksioma va (1) formulaga xulosa qoidasini qo‘llab
(2)
formulani hosil qilamiz. (2) formulaga nisbatan
o‘rniga qo‘yishni bajarish natijasida
(3)
isbotlanuvchi formulaga ega bo‘lamiz.
IV
2 aksioma va (3) formulaga nisbatan xulosa qoidasini qo‘llash natijasida
(4)

10

isbotlanuvchi formulaga kelamiz. Nihoyat, (4) formuladagi o‘zgaruvchi o‘rniga
formulani qo‘ysak
isbotlanishi kerak bo‘lgan formula hosil bo‘ladi. ■
2-misol . ekanligini isbotlaymiz. Haqiqatdan ham, II
3 aksiomaga
nisbatan ketma-ket ikki marta o‘rniga qo‘yish usulini qo‘llaymiz: avval ni ga
va keyin ni ga almashtiramiz. Natijada quyidagi isbotlanuvchi formulaga ega
bo‘lamiz
. (5)
(5) formulaga nisbatan o‘rniga qo‘yishni bajarib, quyidagini hosil qilamiz:
.
Endi
, (6)
(7)
formulalarning isbotlanuvchi ekanligini ko‘rsatamiz. Buning uchun IV
1 aksiomaga
nisbatan
o‘rniga qo‘yishni bajaramiz. Natijada
(8)
formulaga ega bo‘lamiz. (8) formula va III
1 aksiomaga nisbatan xulosa qoidasini
ishlatib, (6) formulaning isbotlanuvchi formula ekanligiga ishonch hosil qilamiz.
Xuddi shu kabi (7) formulaning ham isbotlanuvchi formula ekanligini ko‘rsatish
mumkin.
(6) va (5) formulalarga xulosa qoidasini qo‘llasak,
11

(9)
isbotlanuvchi formula kelib chiqadi.
(7) va (9) formulalarga xulosa qoidasini qo‘llab, berilgan
formulaning isbotlanuvchi ekanligini hosil qilamiz. ■
4. Keltirib chiqarish qoidasining
hosilalari
O ‘ rniga qo ‘ yish va xulosa qoidalari singari keltirib chiqarish qoidasining
hosilalari ham yangi isbotlanuvchi formulalar hosil qilishga imkon yaratadi .
4.1. Bir vaqtda o‘rniga qo‘yish qoidasi.
Ta’rif. Agar – isbotlanuvchi formula va mulohazalar
hisobining ixtiyoriy formulalari bo‘lsa, u holda formulaning
o‘zgaruvchilari o‘rniga bir vaqtda mos ravishda formulalarni qo‘yish
natijasida isbotlanuvchi formulani hosil qilish bir vaqtda o‘rniga qo‘yish
qoidasi deb ataladi.
o‘zgaruvchilar formulalardagi boshqa o‘zgaruvchilardan
farq qiluvchi o‘zgaruvchilar va ( ) bo‘lsin. U holda formulaga ta
o‘rniga qo‘yishni ketma-ket bajaramiz: avval o‘rniga ni, keyin o‘rniga ni
va hokazo o‘rniga ni qo‘yamiz. Natijada quyidagi isbotlanuvchi formulalarga
ega bo‘lamiz: o‘rniga qo‘yish ni, o‘rniga qo‘yish ni, va
hokazo o‘rniga qo‘yish ni beradi.
Bundan keyin formulaga nisbatan yana ta o‘rniga qo‘yishni ketma-ket
bajaramiz: avval o‘rniga ni, keyin o‘rniga ni va hokazo o‘rniga ni
12

qo‘yib chiqamiz. Buning natijasida o‘rniga qo‘yishdan ni,
o‘rniga qo‘yishdan ni va hokazo o‘rniga qo‘yishdan ni hosil
qilamiz. Demak, isbotlanuvchi formula formuladagi
o‘zgaruvchilar o‘rniga bir vaqtda mos ravishda formulalarni qo‘yish
natijasida hosil bo‘ladi.
Bir vaqtda o‘rniga qo‘yish operasiyasini (qoidasini) quyidagicha ifodalaymiz
.(1)
4.2. Murakkab xulosa qoidasi. Bu qoidada
ko‘rinishdagi formulalarga nisbatan ikkinchi hosilaviy qoida ishlatiladi va uni
quyidagi tasdiq orqali izohlash mumkin.
1-teorema. Agar va
(2)
isbotlanuvchi formulalar bo‘lsa, u holda ham isbotlanuvchi formula bo‘ladi.
Isboti. Xulosa qoidasini ketma-ket qo‘llaymiz. Agar va (2) isbotlanuvchi
formulalar bo‘lsa, u holda xulosa qoidasiga asosan
(3)
ham isbotlanuvchi formula bo‘ladi. va (3) isbotlanuvchi formula bo‘lganligi
uchun
(4)
formula ham isbotlanuvchi bo‘ladi. Muhokamani xuddi shunday davom ettirib,
natijada isbotlanuvchi formula ekanligiga ishonch hosil qilamiz. ■
13

Murakkab xulosa qoidasini sxematik ravishda quyidagicha yozish mumkin:
(5)
4.3. Sillogizm qoidasi.
2-teorema. Agar va isbotlanuvchi formulalar bo‘lsa, u holda
ham isbotlanuvchi formula bo‘ladi.
Isboti. Teoremani sxematik ravishda quyidagicha yozamiz
(6)
I
1 va I
2 aksiomalarga nisbatan
va
bir vaqtda o‘rniga qo‘yish qoidalarini qo‘llash natijasida quyidagi isbotlanuvchi
formulalarni hosil qilamiz:
,(7)
(8)
Teoremaning shartiga asosan
,(9)
(10)
formulalar isbotlanuvchidir.
(10) va (8) formulalardan xulosa qoidasiga asosan
(11)
formulani hosil qilamiz. U vaqtda (11), (9) va (7) formulalardan murakkab xulosa
qoidasiga asosan ekanligi kelib chiqadi. ■
14

Agar va isbotlanuvchi formulalar bo‘lsa, u holda ham
isbotlanuvchi formula bo‘lishini sillogizm qoidasi deb ataymiz.
4.4. Kontrpozisiya qoidasi.
3-teorema. Agar isbotlanuvchi formula bo‘lsa, u holda ham
isbotlanuvchi formula, ya’ni
(12)
bo‘ladi.
Isboti. IV
1 aksiomaga nisbatan
bir vaqtda o‘rniga qo‘yish qoidasini qo‘llab,
(13)
isbotlanuvchi formulani hosil qilamiz.
Teoremaning shartiga asosan
(14)
isbotlanuvchi formuladir. Shuning uchun (14) va (13) formulalardan xulosa
qoidasiga asosan isbotlanuvchi formula ekanligi kelib chiqadi. ■
Agar isbotlanuvchi formula bo‘lsa, u holda ham isbotlanuvchi
formula bo‘lishini kontrpozisiya qoidasi deb ataymiz.
4.5. Ikki karralik inkorni tushirish qoidasi.
4-teorema. 1) Agar isbotlanuvchi formula bo‘lsa, u holda ham
isbotlanuvchi formula bo‘ladi;
2) Agar isbotlanuvchi formula bo‘lsa, u holda formula ham
isbotlanuvchi formula, ya’ni
15

va (15)
bo‘ladi.
Isboti. IV
2 va IV
3 aksiomalarga nisbatan
va
o‘rniga qo‘yish qoidalarini qo‘llab,
,(16)
(17)
16

isbotlanuvchi formulalarni hosil qilamiz.
Teoremaning 1) va 2) shartlariga asosan
,(18)
(19)
formulalar isbotlanuvchidir. Agar teoremaning 1) sharti bajarilsa, u holda (17) va
(18) formulalardan sillogizm qoidasiga asosan kelib chiqadi. Agar 2)
sharti bajarilsa, u holda (16) va (19) formulalardan kelib chiqadi.
Agar ( ) isbotlanuvchi formula bo‘lsa, u holda ham isbotlanuvchi
formula bo‘lishini ikki karralik inkorni tushirish qoidasi deb ataymiz.
Amaliy qism
Berilgan misollarning yechimlari.
1. Quyidagi ifodalarning qaysilari mulohazalar hisobining formulalari bo‘lishini
aniqlang:
a) ; b) ;
d) ; e) ;
f) ;
g) ;
h) ;
i) .
Javoblar . Ta’rif. a) har qanday aksioma isbotlanuvchi formuladir;
b) isbotlanuvchi formuladagi o‘zgaruvchi o‘rniga ixtiyoriy formulani qo‘yish
natijasida hosil bo‘lgan formula isbotlanuvchi formula bo‘ladi;
d) va isbotlanuvchi formulalardan xulosa qoidasini qo‘llash natijasida
olingan formula isbotlanuvchi formuladir;
17

e) Mulohazalar hisobining boshqa hech qanday formulasi isbotlanuvchi formula
emas.
Ushbu keltirib o’tilgan ta’rifning bandlariga ko’ra berilgan ifodalarning a, b, d, e, f,
g, h lari formula bo’la oladi, I ifoda esa formula bo’la olmaydi. Chunki ushbu
ifodada ↔ (ekvivalensiya) amali qatnashgan.
2. , va formulalar uchun quyidagi
o‘rniga qo‘yishlarning natijalarini aniqlang:
a) ; b) ; d) ;
Javoblar.
a)
∫A,B
B,C
(L1)=(A→ B)→ (¿¬A→ ¬B)=(B→ C)→ (¿¬B→ ¬C)¿¬(¿¬B∨C)∨(C ∨¬B)=1¿¿¿
b)
∫A
A→B
(L2)=(A∨B)=(A→ B∨B)= (¬ A∨B∨B)=(¬ A∨1)=1
c)
∫A,C
B→C∧B,B
(L¿¿3)=(A→ B∨C)=(B→ C ∨B∧B)=(¬ B¿∧B∨C)=(1∨C)=1¿¿
3. O‘rniga qo‘yish qoidasini qo‘llab, quyidagi formulalarning isbotlanuvchi
ekanligini ko‘rsating:
a) ; b) ;
d) ; e) ;
Javoblar.
a)
∫
AB
( A → B ¿ ) ∧ B → B =
( B → B ) ∧ ( B → B ) = ( ¬ B ⋁ B ) ∧ ( ¬ B ⋁ B ) = 1 ∧ 1 = 1 ¿
b)
∫A,C
B,B
(A∧B→ A∧B∨C )=(B∧B→ B∧B∨B)= B∧1∧1=1
d)
∫A,C
B,B
(¬ A→ B)→ ((C → B)→ (¬ A∨C → B))=(¬ B→ B)→ ((B→ B)→ (¬ B∨B→ B))=(B∨B)→ (1→ (¬ B∨1))=1→ 1=1
18

e)
∫
( C ∨ D )x
¬( ¬ ( C ∨ D )) → ( C ∨ D ) = ( C ∨ D ) → ( C ∨ D ) = x → x = 1
4. O‘rniga qo‘yish va xulosa qodalarini qo‘llab, quyidagi formulalarning
isbotlanuvchi ekanligini aniqlang:
a) ; b) ; d) ;
e) ; f) .
Javoblar .
a) Agar ¿ − A ∨ A
¿ − A b o '
lsa , A = 1 va A ∨ A = 1 b o '
ladi .
b)
Agar ¿− A∧A
¿− A bo'lsa ,A=1va A∧A=1bo'ladi .
e)
Agar ¿− A∧B
¿− B∧Abo'lsa ,A∧B= B∧Aga teng B∧A=1bo'lsa ,A∧B=1bo'ladi .
f) Agar ¿ − A ∨ B
¿ − B ∨ A b o '
lsa , A ∨ B = B ∨ A ga teng B ∨ A = 1 b o '
lsa , A ∨ B = 1 b o '
ladi .
f)
Agar ¿−(¬(¬(¬ A)))
¿−(¬ A) bo'lsa ,¬ A=1va (¬(¬(¬ A)))=1bo'ladi .
5. Keltirib chiqarishning quyidagi hosilaviy qoidalarini isbotlang:
a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) .
Javoblar .
a) ¿ − ( A )
¿ − A ∨ B b o '
lsa , A = 1 b o '
lsa , A ∨ B = 1 ∨ B = 1 b o '
ladi .
b) ¿ − ( ¬ A )
¿ − A → B b o '
lsa ,
( ¬ A ) = 1 bo '
lsa , ( ¬ A ∨ B ) = ( 1 ∨ B ) = 1 b o '
ladi .
c) ¿ − B
¿ − A → B b o '
lsa , B = 1 b o '
lsa ,
( A → B ) = ( A → 1 ) = 1 boladi .
d) ¿ − A ∧ B
¿ − A b o '
lsa , A = 1 bo '
lsa ,
( A ∧ B ) = ( 1 ∧ B ) = 1 b o '
ladi .
e) ¿ − ( ¬ B )
¿ − ¿ ¿
19

f) ¿ − A → B , ∨ − ( ¬ B )
¿ − ( ¬ A ) b o '
lsa , ¬ B = 1 b o '
lsa , B = 1 ga teng b o '
ladi .( A → B ) = 1 va
B = 0 b o '
lsa ,
( A → B ) = ( A → 0 ) = 1 y a '
∋ A = 1 b o '
ladi .
20

Xulosa
Ushbu mustaqil ishdan shuni xulosa qilishimiz mumkinki , yuqorida keltirib
o ’ tilgan mantiqiy va xos ( maxsus ) aksiomalar haqida to ’ liq ma ’ lumot berib
o ’ tildi . Bundan tashqari mustaqil ish matnida keltirib chiqarish qoidasi , xulosa
qoidasi , umumiylikni kvantor bilan bog ’ lasg qoidasi ( umumlashtirish qiodasi ) kabi
aksiomalarga izohlar berib o ’ tildi . Berilgan mustaqil ish matnida Mulohazalar
hisobining aksiomalar sistemasi 11 aksiomadan iboratligi va ular to ’ rtta guruhga
bo ’ lib o ’ rganilishi haqida batafsil ma ’ lumotlar berilgan va misollar yordamida
ko ’ rsatib o ’ tilgan . Va albatta yuqoridagi mustaqil ish matnida mavzuga doir
atamalga izoh va ta ’ riflar berib o ’ tilgan .
Foydalanilgan adabiyotlar
1. S arim sak o v G .A . Haqiqiy o'zgaruvchining funktsiyalar nazariyasi. Toshkent,
« 0 ‘qituvchi», 1968.
2. Sobirov M. A. M atem etik fanlardan ruscha-o‘zbekchcha lug‘at. Toshkent , « O
' qituvchi », 1983.
3. С тен л и P . П еречислительная комбинаторика. М., «Мир», 1990
4. Трахтенброт Б .А . Алгоритмы и маш инное решение задач. М ., «Ф
изматдиз», 1960. 5. To‘rayev H .T.
а) M atem atik m antik va diskret m atematika, Toshkent, « 0 ‘qituvchi», 2003.
б) M atem atik m antik va diskret matematika, I-qism. Samarkand, SamDU
nashriyoti, 2000.
в) M atem atik m antik va diskret m atematika, II-qism. Samarkand, SamDU
nashriyoti, 2001.
6.Успенский В. А. Треугольник Паскаля. М., «Наука», 1966.
7. https // WWW . fayllar . org . uz
8. https// WWW.arxiv.uz
21

Mundarija KIRISH 3 1. Aksiomatik nazariya 4 2. Mulohazalar hisobi formulasi 5 3. Keltirib chiqarish qoidalari 8 4. Keltirib chiqarish qoidasining hosilalari 12 5 Amaliy qism 16 Xulosa....………………………………………………………………….………………………… 19 Foydalanilgan adabiyotlar…….………………………………….………………………… 19 2

Mavzu: Mantiqiy va xos (maxsus) aksiomalar. Keltirib chiqarish qoidasi. Reja: 1. Aksiomatik nazariya. 2. Mulohazalar hisobi formulasi. 3. Keltirib chiqarish qoidalari 4. Keltirib chiqarish qoidasining hosilalari . Kirish Mantiqiy aksiomalar. Maxsus aksiomalar. Keltirib chiqarish qoidasi. Xulosa qoidasi. Umumlashtirish qoidasi . Mantiqiy va xos (maxsus) aksiomalar . Birinchi tartibli nazariya aksiomalari ikki sinfga; mantiqiy va xos aksiomalarga bo‘linadi. Mantiqiy aksiomalar: A , В va С lar T nazariyaning qanday formulalari bo'lishidan qat’i nazar quyidagi formulalar T ning mantiqiy aksiomalari bo‘ladi: 4) , bu yerda - berilgan T nazariyaning formulasi, t esa formulada erkin bo‘lgan T nazariyaning termi. Ta’kidlash kerakki, t term x t bilan mos kelishi ham mumkin, u holda aksioinaga ega bo‘lamiz; 5) agar Xj predmet o‘zgaruvchi A formulada erkin bo‘lmasa, u holda . Oldingi bobda XI aksiomali klassik mulohazalar hisobi o‘rganilgan edi. Ammo kam aksiomali mulohazalar hisobini ham yaratish mumkin (masalan, 1-3- mantiqiy aksiomalar asosida). Xos aksiomalar . Xos aksiomalami umumiy holda tavsiflash mumkin emas , chunki ular bir nazariyadan ikkinchi nazariyaga o ‘ tishda o ‘ zgaradi , ya ’ ni har bir nazariyaning o ‘ zigagina xos aksiomalari bo ‘ ladi . Birinchi tartibli nazariya xos 3

aksiomalarga ega emas. Bu nazariya sof mantiqiy nazariyadir. Bu nazariya birinchi tartibli predikatlar hisobi deb yuritiladi. Ko'pchilik aksiomatik nazariyalarda tenglik tushunchasidan foydalaniladi. U ikki joyli predikat « x = у » sifatida kiritiladi. Shu sababli aksiomalar qatoriga ikkita xos aksioma kiritiladi: 2) agar x, y, z har xil predmet o'zgaruvchilar va F(z) formula bo'lsa, u holda . Keltirib chiqarish qoidasi . Xuddi mulohazalar hisobidagidek, H formulalar majmuasida keltirib chiqarish tushunchasidan foydalanamiz. H formulalar majmuasiga kiruvchi mulohazalami (formulalarni) shartlar deb ataymiz. Agar H majmuadan keltirib chiqarilgan ifodaning oxirida A mulohaza (formula) joylashgan bo‘lsa, u holda A mulohaza H dan keltirib chiqarilgan deb aytamiz va H | — A ko‘rinishdayozamiz. Xususan, H = O bo‘ 1 sa, u holda |— A ko‘rinishda yoziladi. Birinchi tartibli nazariyaning keltirib chiqarish qoidasi tarkibiga ushbu ikkita qoida kiradi. 1. Xulosa qoidasi (yoki modus ponens): 2. Umumiylik kvantori bilan bog‘lash qoidasi (yoki umumlashtirish qoidasi): 1. Aksiomatik nazariya Mulohazalar hisobi aksiomatik mantiqiy sistema bo‘lib, mulohazalar algebrasi esa uning interpretasiyasidir (talqinidir). Berilgan aksiomalar sistemasi negizida qurilgan aksiomatik nazariya deb, shu aksiomalar sistemasiga tayanib isbotlanuvchi hamma teoremalar majmuasiga aytiladi. 4

Aksiomatik nazariya formal va formalmas nazariyalarga bo‘linadi. Formalmas aksiomatik nazariya nazariy-to‘plamiy mazmun bilan to‘ldirilgan bo‘lib, keltirib chiqarish tushunchasi aniq berilmagan va bu nazariya asosan fikr mazmuniga suyanadi. Qaralayotgan aksiomatik nazariya uchun quyidagi shartlar bajarilgan bo‘lsa, ya’ni: 1) nazariyaning tili berilgan; 2) formula tushunchasi aniqlangan; 3) aksiomalar deb ataluvchi formulalar to‘plami berilgan; 4) bu nazariyada keltirib chiqarish qoidasi aniqlangan bo‘lsa, formal aksiomatik nazariya aniqlangan deb hisoblanadi. 2. Mulohazalar hisobi formulasi Mulohazalar hisobi. Mantiqiy bog‘lovchilar. Simvollar. Formula. Qismiy formula. Isbotlanuvchi formula. Aksioma. 2.1. Mulohazalar hisobining simvollari. Har qanday hisobning tafsifi bu hisobning simvollari tafsifidan, formulalar va keltirib chiqarish formulalari ta’rifidan iborat. Mulohazalar hisobida uch kategoriyali simvollardan iborat alifbo qabul qilinadi. Birinchi kategoriya simvollari: . Bu simvollarni o‘zgaruvchilar deb ataymiz. Ikkinchi kategoriya simvollari: , , , . Bular mantiqiy bog‘lovchilardir . Birinchisi – diz’yunksiya yoki mantiqiy qo‘shish belgisi, ikkinchisi – kon’yunksiya yoki mantiqiy ko‘paytma belgisi, uchinchisi – implikasiya belgisi va to‘rtinchisi – inkor belgisi deb ataladi. Uchinchi kategoriyaga qavslar deb ataladigan ( , ) simvollar kiritiladi. Mulohazalar hisobida boshqa simvollar yo‘q. 5

Mantiqiy va xos (maxsus) aksiomalar. Keltirib chiqarish qoidasi

12.08.2023

0

1848.2568359375 KB

Похожие