YUQORI DARAJALI ALGEBRAIK TENGLAMALAR SISTEMALARINI GRYOBNER BAZISLARI YORDAMIDA YECHISH.
![Ikkita ko’phadning o’zgaruvchining bir xil darajalari oldidagi
koeffisiyentlari teng bo’lsa, ular teng ko’phadlar deyiladi.
. ) (
, ) (
0 1 1 1 0
0 1 1 1 0
m
k
km k m m m m
n
i
in i n n n n
x b b x a x b x b x g
x a a x a x a x a x f
ko’phadlar berilgan bo’lsin.
) (x f va ) (x g ko’phadlarning ko’paytmasi deb
, ) ( ) (
0 1 1 1 0
mn
j
j mn j mn mn mn mn x c c x c x c x c x g x f
ko’phadga aytiladi,
bu yerda
jki ki j ba с
. , ,1,0 , 1122110 m n j b a b a b a b a b a ojjjjj
Agar
m n bo’lsa, ) (x f va ) (x g ko’phadlarning yig’indisi deb
. ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 1 1 1 1 n m mn m m mn m n m n x a x a x b a x b a b a x g x f
ko’phadga aytiladi.
P maydon ustida х o’zgaruvchili barcha ko’phadlar to’plami
yuqorida keltirilgan ko’phadlarni qo’shish va ko’paytirish amallariga nisbatan
birlik elementli kommutativ xalqa tashkil qiladi. Bu xalqa
] [x P bilan belgilanadi
va
P maydon ustida bir o’zgaruvchili ko’phadlar xalqasi deb yuritiladi . Bu
xalqaning nol elementi vazifasini
,0 Ox nol ko’phad bajaradi, birlik element esa 0 ex
ko’phaddan iborat bo’lib, bu yerda
e element P maydonning birlik elementidan
iborat.
n nx a x a x a x f 1 1 0 0 ) ( ko’phadga qarama-qarshi ko’phad deb
. ) ( ) ( ) ( )) ( ( 1 1 0 0 n n x a x a x a x f
ko’phadga aytiladi.
Agari
], [ ) ( x P x f ],[)(0 xPxg
bo’lsa, ) (x f ni ) (x g ga qoldiqli
bo’lish deb quyidagi munosabatga aytiladi:
), ( ) ( ) ( ) ( x r x q x g x f
bu yerda
) (x q va ) (x r ,P maydon ustidagi ko’phadlar bo’lib, )( xr
ning
darajasi
) (x g ning darajasidan kichik bo’ladi yoki 0 ) ( x r bo’ladi . Bu tasvirlash
yagonadir.
) (x q ko’phad bo’linma deb, ) (x r esa ) (x f ni ) (x g bo’lgandagi
qoldiq deb yuritiladi.
0 ) ( x r bo’lsa, ) (x f ko’phad ) (x g ko’phadga bo’linadi deyiladi va ) (x g | ) (x f
(yoki
) ( ) ( x g x f ) ko’rinishda yoziladi, bu holda ) (x g ko’phad ) (x f
ko’phadning bo’luvchisi,
) (x f esa ) (x g ko’phadning karralisi deb yuritiladi.](/data/documents/9f1582c6-5a59-4d71-aea9-22ea0bafc84d/page_13.png)
![Agar ,1],[ kxP
dan olingan ) ( , ), ( ), ( 2 1 x f x f x f k ko’phadlardan har biri
),( x
ko’phadga bo’linsa, u holda ) (x ko’phad ). ( , ), ( ), ( 2 1 x f x f x f k
ko’phadlarning umumiy bo’luvchisi deyiladi.
,1],[ kxP
dan olingan
) ( , ), ( ), ( 2 1 x f x f x f k ko’phadlarning eng katta
umumiy bo’luvchisi (EKUB) berilgan ko’phadlarning barcha umumiy
bo’luvchilariga qoldiqsiz bo’linadigan umumiy bo’luvchiga aytiladi. Bir vaqtda
nolga teng bo’lmagan ixtiyoriy ko’phadlar uchun EKUB mavjud bo’lib, u noldan
farqli o’zgarmas son ko’paytmasi aniqligida yagona ravishda aniqlangan. Barcha
eng katta umumiy bo’luvchilar orasidan bosh koeffisiyenti 1 ga teng bo’lgan
ko’phad tanlab olinadi.
) ( , ), ( ), ( 2 1 x f x f x f k ko’phadlarning EKUBi
)). ( , ), ( ), ( ( 2 1 x f x f x f k
bilan belgilanadi
Agar
) (x g ko’phad ) (x f ning bo’luvchisi bo’lsa, u holda
), ( )) ( ), ( ( 10 x g b x g x f
bo’ladi, bu yerda 0b ) (x g ko’phadning bosh
koeffisiyenti. Agar
) (x f ko’phad ) (x g ko’phadga bo’linmasa, u holda ) (x f va
) (x g
ko’phadlarnig EKUBi ) (x f va ) (x g ko’phadlar uchun Yevklid algoritmi dagi
oxirgi noldan farqli ko’phadga teng bo’lib, uni bosh koeffisiyentiga bo’lib olinadi.
Yevklid algoritmi
) (x f va ) (x g ko’phadlar uchun quyidagicha ketma-ket bo’lish
jarayonidan iborat: dastlab
) (x f ko’phad ) (x g ga qoldiqli bo’linadi va ) (1 x r
qoldiq hosil qilinadi; so’ngra
) (x g ko’phad ) (1 x r ga qoldiqli bo’linadi va ) (2 x r
qoldiq hosil qilinadi; agar
,0 ) (2 x r bo’lsa, ) (1 x r ko’phad ) (2 x r ga bo’linadi va
hokazo bu jarayon qoldiqda nol hosil bo’lguncha davom ettiriladi. Oxirgi noldan
farqli
) (x rk qoldiq ) (x f va ) (x g ko’phadlarning EKUBidan iborat bo’ladi .
Uchta va uchtadan ko’p ko’phadlarning EKUBini topish quyidagi tenglikka
asosan ikkita ko’phadning EKUBini topishga keltiriladi:
.3 )), ( )), ( , ), ( ), ( (( )) ( , ), ( ), ( ( 1 2 1 2 1 k x f x f x f x f x f x f x f k k k
Agar
), ( )) ( , ), ( ), ( ( 2 1 x d x f x f x f k bo’lsa, u holda ] [x P xalqada shunday
,,1),( kixg
i
ko’phadlar mavjudki, ular uchun
). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1
x g x f x g x f x g x f x d k k
k
i i i
(2)
tenglik o’rinli bo’ladi. (2) tenglik ko’phadlar EKUBining chiziqli tasviri deyiladi.](/data/documents/9f1582c6-5a59-4d71-aea9-22ea0bafc84d/page_14.png)
![Agar bir necha ko’phadlarning EKUBi birga teng bo’lsa, ular o’zaro tub
deyiladi. ] [x P xalqadan olingan ) ( , ), ( ), ( 21 x f x f x f k
ko’phadlar uchun ] [x P
xalqada shunday ,,1),( kixg
i
ko’phadlar mavjud bo’lib,
.1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 1 1 x g x f x g x f x g x f k k
tenglik o’rinli bo’lgandagina o’zaro tub bo’ladi.
Agar ][)( xPxh
ko’phad
] [x P dan olingan nol bo’lmagan
) ( , ), ( ), ( 2 1 x f x f x f k
ko’phadlarning har biriga qoldiqsiz bo’linsa, ) (x h ko’phad
) ( , ), ( ), ( 2 1 x f x f x f k
ko’phadlarning umumiy karralisi deyiladi. ] [x P dan olingan
nol bo’lmagan
,1 ), ( , ), ( ), ( 2 1 k x f x f x f k ko’phadlarning eng kichik karralisi
(EKUK) deb, ularning shunday ummiy karralisiga aytiladiki, u boshqa ixtiyoriy
umumiy karrali ko’phadning bo’luvchisi bo’ladi. Odatda barcha EKUKlar orasidan
bosh koeffisiyenti 1ga teng bo’lgan ko’phad EKUK sifatida olinadi.
) ( , ), ( ), ( 2 1 x f x f x f k
ko’phadlarning EKUKi )]. ( , ), ( ), ( [ 2 1 x f x f x f k bilan
belgilanadi. Ikkita ko’phadning EKUKi quyidagi formula bilan topiladi:
,
))(),(( )()(
)](),([
00 xgxfba xgxf
xgxf
bu yerda
0 0, ba
mos ravishda ) (x f va ) (x g ko’phadlarning bosh koeffisiyentlari.
Uchta va undan ortiq ko’phadlarning EKUKini topish quyidagi tenglik ka
asos an ikkita ko’phadning EKUKini topishga keltiriladi:
.3 )], ( )], ( , ), ( ), ( [[ )] ( , ), ( ), ( [ 1 2 1 2 1 k x f x f x f x f x f x f x f k k k
1 -m i s o l .
) (x Q xalqada 3 2 ) ( 2 3 4 x x x x x f ko’phadni
.1 2 ) ( 2 3 x x x g
ko’phadga bo’lgandagi ) (x q bo’linma va ) (x r qoldiqni
toping.
Yechish. Qoldiqli bo’lish algoritmiga asosan :
6 7
3 6 3
3 3
3 2
1 2
2 4 2
3 2 2 23 23 23
34 234
x x
x x
x x x
x
x x
x x x
x x x x](/data/documents/9f1582c6-5a59-4d71-aea9-22ea0bafc84d/page_15.png)
![bu yerdan ) ( ) ( ) ( ) ( x r x q x g x f ga asosan .6 7 ) ( ;3 2 ) ( 2 x x x r x x q
ni
hosil qilamiz.
. 2.2Bir necha o’zgaruvchili ko’phadlar
P
maydon ustida nx x x ,..., , 2 1 o’zgaruvchilardan bog’liq bo’lgan
),...,,(
2 1 n xxxf
ko’phad deb nk
n
k k x x x a ...2 1 2 1 , (*) ko’rinishdagi hadlarning chekli
sondagi yig’indisiga aytiladi, bu yerda 0
ik
a n i ), ,1 ( P maydonning
elementidan iborat bo’lib, (*) hadning koeffisiyenti deb yuritiladi . ),...,,(
2 1 n xxxf
ko’phadda o’xshash hadlar keltirilgan hisoblanadi va koeffisiyenti nolga teng
hadlar yozilmaydi.
Ikkita
) ,..., ( 1 nx x f va ) ,..., ( 1 nx x g ko’phadlar teng deyiladi, agar ularning bir
xil hadlari oldidagi koeffisiyentlar teng bo’lsa.
n kkk ... 2 1
yi g’ indi
. ...2 1 2 1 nk
n
k k x x x a
hadning darajasi hisoblanadi.
),...,,(
2 1 n xxxf
ko’phadning barcha o’zgaruvchilari bo’yicha darajasi deb
uning hadlarining eng bqori darajasiga aytiladi. Nolinchi darajali ko’phadlar – bu
eto
P sonlar maydoning noldan farqli elementlaridan iborat . Barcha
koeffisiyentlari nolga teng bo’lgan ko’phad nol ko’phad deb yuritiladi. Nol
ko’p hadning darajasi aniqlanmagan hisoblanadi . Agar
) ,..., ( 1 nx x f ko’phadning
hadlari barcha o’zgaruvchilar bo’yicha bir xil
, m darajali bo’lsa, bunday ko’phad
bir jinsli ko’phad yoki
m darjali п o’zgaruvchili forma deb yuritiladi.
) ,..., ( 1 nx x f ko’phadning bita o’zgaruvchi ) ,1 ( n i x i
ga nisbatan darajasi
deb, bu ko’phadning hadlariga kirgan
ix ning eng yuqori darajasiga aytiladi (bu
daraja nolga teng bo’lishi ham mumkin).
)(
,...,
n x xf
1
va ) ,..., ( 1 nx x g ko’phadlarning yig’indisi deb, koeffisiyentlari f
va
;g ko’phadlarning mos darajali hadlari koeffisiyentlarining yig’indisidan iborat
bo’lgan ko’phadga aytiladi..
)(
,...,
n x xf
1
va ) ( ,..., nx x g 1 ko’phadalarning ko’paytmasi deb , f ni g ga
hadma-had kshpaytirib, so’ngra o’xshash hadlari ixchamlangan ko’phadga
aytiladi. Yuqorida kiritilgan ko’phadlarni qo’shish va ko’paytirish amallariga
nisbatan
P maydon ustidagi nx x x ,..., , 2 1 o’zgaruvchilardan bog’liq barcha
ko’phadlar to’plami kommutativ xalqa tashkil etadi va bu xalqa
]. ,..., , [ nx x x P 2 1
orqali belgilanadi.
nk
n
k k x x x a ...2 1 2 1 va nl
n
l l x x x b ...2 1 2 1 la r
.0 ,0 ], [ ) ( ,..., , ,...,
211 b a P f nn x x x x x
ko’phadning ikkita har xil hadlari bo’lsin.](/data/documents/9f1582c6-5a59-4d71-aea9-22ea0bafc84d/page_16.png)
![
had haddan yuqori ( had esa haddan quyi) deyiladi, agar shunday
, 1 , n i i
mavjud bo’lib, , ,..., , 1 1 2 2 1 1 i i l k l k l k va .i i l k bo’lsa.
Agar
) ,..., ( 1 nx x f ko’phadning hamma hadlari shunday tuzilgan bo’lsaki, har
bir keyingi had o’zidan oldingi haddan quyi bo’lsa, u holda bu ko’phadning hadlari
leksikografik yoki lug’at bo’yicha yozilgan deyiladi (yoki
nx x f ,..., ( 1 ) ko’phad
leksikografik (lug’atiy) ko’phad deyiladi).
Ko’phadning leksikografik yozuvida birinchi o’rinda turgan hadi ko’phadning
yuqori hadi deyiladi. Ko’phadlar ko’paytmasining yuqori hadi ular yuqori
hadlarining ko’paytmasiga teng.
1 - M i s o l.
a)
53 22 61 3 x x x hadning darajasi 13 ga teng;
b)
8
3
7
2
6
1
8
3
3
2
3
3
5
2 1 4 3 x x x x x x x x f ko’phadning darajasi 21 ga teng ;
s)
63 32 82 1 43 22 31 11 7 2 x x x x x x x f - bir jinsli to’qqizinchi darajali ko’phaddan
iborat. ■
),...,,(
2 1 n xxxf
ko’phad nx x x ,..., , 2 1 o’zgaruvchilarning o’rinlarini
almashtirganda ham o’zgarmasa u nga simmetrik ko’phad deyiladi. Aniqroq qilib
aytadigan bo’lsak,
;nS dan olingan o’rniga qo’yish bo’lsin , ) ( ,..., nx x f f 1
ko’phad uchun
) , ( ) , ( )()1(1 nn x x f x x f
deb olamiz. f ko’phad simmetrik
ko’phad deyildai, agar barcha .
nS
lar uchun ff
tenglik o’rinli bo’lsa.
] , , , [
4321 x x x x R
xalqaning quyidagi ko’phadlari simmetrik ko’phadlar bo’ladi:
a) ;
4321 xxxxf
b)
;34 33 32 31 x x x x g
c)
.24 23 24 22 23 22 24 21 23 21 22 21 x x x x x x x x x x x x h ■
Quyidagi
n o’zgaruvchili simmetrichek ko’phadlar
;
2 1 1 nxxx
; 1 3 2 1 3 1 2 1 2 n n n x x x x x x x x x x
;
....... .......... .......... .......... .......... .......... ..........
;
3 2 2 2 1 1 2 1 1
1 2 2 1 4 2 1 3 2 1 3
n n n n n
n n n n
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
nn
x x x 21
elementar (yoki asosiy ) simmetrichek ko’phadlar deyiladi.](/data/documents/9f1582c6-5a59-4d71-aea9-22ea0bafc84d/page_17.png)
![Sodda va maksimal ideallarning ahamiyati quyidagi teoremada ifodalangan:
agar K birli kommutativ halqa bo’lsa u holda 1) agar P sodda ideal bo’lsa
P K /
faktor halqa butunlik sohasi bo’ladi;
2)
M maksimal ideal bo’lganda va faqat shu holdagina M K / faktor-halqa
maydon bo’ladi.
Ushbu
2 1,K K halqalar berilgan bo’lsin. Ixtiyoriy 1 , K b a lar uchun
) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( b f a f ab f b f a f b a f
shartlarni qanoatlantiruvchi
2 1 : K K f
akslantirish 1K halqaning 2 K halqada gomomorfizmi deyiladi.
Inyektiv gomomorfizm monomorfizm , syuryektiv gomomorfizm epimorfizm va
biyektiv gomomorfizm izomorfizm deyiladi.
1K halqaning 2 K halqada f
gomomorfizmining yadrosi deb
}0 ) ( | { 1 a f K a to’plamga aytiladi. f
gomomorfizmning yadrosi
f Кеr bilan belgilanadi. U 1K halqaning ikki
tomonlama ideali bo’ladi.
Agar
2 1 : K K f -- akslantirish halqalar gomomorfizmi bo’lsa u holda
f Кеr K K f / ) ( 1 1
bo’ladi (halqalar gomomorfizmi haqidagi teorema).
1-m i s o l.
K halqaning har qanday ideali K halqaning (umuman olganda e
birlik elementni o’z ichiga olmaydigan) qismhalqasi bo’lishi qismhalqaning
ta’rifidan kelib chiqadi.
2-m i s o l. Har qanday qismhalqa ham ideal bo’lavermaydi. Haqiqatan,
butun koeffisiyentli ko’phadlar halqasi
] [x Z haqiqiy koeffisiyentli ko’phadlar
halqasi
] [x R ning qismhalqasi. Ammo ] [x Z halqa ] [x R ning ideali emas, chunki
masalan
х3 2 ko’phad ] [x Z ga tegishli, unga karrali bo’lgan
2
23
32
231
)32( xx
x
ko’phad kasr koeffisiyentlarga ega va shuning uchun
] [x Z ga tegishli emas. ■
3-m i s o l. Ozod hadi nol bo’lgan ko’phadlarning
I to’plami x va y
o’zgaruvchilarning haqiqiy koeffisiyentli ko’phadlari halqasi
] , [ y x R ning ideali
bo’lishini ko’rsating.
Yechish. Haqiqatan, agar ),( yx
va y x, ko’phadlarning ozod hadlari
nolga teng bo’lsa
ko’phadning ozod hadi va shuningdek ) , ( y x f ),( yx
(bu
yerda
) , ( y x f ] , [ y x R ) ko’rinishdagi har qanday ko’phadning ham ozod hadi
nolga teng bo’ladi. Boshqacha qilib aytganda agar
I va I
bo’lsa,](/data/documents/9f1582c6-5a59-4d71-aea9-22ea0bafc84d/page_23.png)
![I
bo’ladi; I va ],[ yxf R
bo’lganda esa, I f bo’ladi. Demak,
I
to’plam ] , [ y x R halqada ideal. Bu ideal bosh ideal emas. Haqiqatan x va y
ko’phadlar
I ga tegishli bo’lgani holda I da x ham, y
ham karrali bo’ladigan
birorta ham ko’had mavjud emas. ■
4-m i s o l.
K halqaning ikkita 2 1 ва I I chap ideallarining 2 1 I I
kesishmasi
K halqaning chap ideali bo’lishini isbotlang.
Yechish.
2 1 I I a va 2 1 I I b bo’lsin. U holda 2 1 ва I b I a . 1 I K
da ideal bo’lgani uchun
1I b a bo’ladi. Xuddi shu tarzda 2I b a ko’rsatiladi
va shuning uchun
.2 1 I I b a Va yana, agar 2 1 I I a va K k bo’lsa,
1I a
bo’ladi va 1 I
to’plam K da chap ideal bo’lgani uchun 1I ka bo’ladi.
Xuddi shu tarzda
2I ka hosil qilinadi. Shuning uchun .2 1 I I ka Bundan
2 1 I I
ning K da chap ideal ekanligi kelib chiqadi. ■
5-m i s o l. Kommutativ
K halqaning )( а
bosh ideali har qanday K a
uchun mavjud va:
a) agar
K 1 bo’lsa, };,|{)( Z nKknakaa
b) agar
K 1 bo’lsa, }.|{)( Kkkaa
Yechish. a) naka
ko’rinishdagi ikki ifodaning ayirmasi ham, shubhasiz, shunday
ko’rinishga ega. Karralisi esa:
, ) ( ) ( a ns sk na ka s ya’ni a k' yoki a a k 0 '
ko’rinishda bo’ladi.
Shubhasizki, )( a
ideal
а elementni o’z ichiga oladigan ideallar orasida eng
kichigi, chunki har bir ideal har holda o’z ichiga hamma
ka karralilarni va hamma
na a
ko’rinishdagi yig’indilarni va shuning uchun hamma ko’rinishdagi
yig’indilarni olishi kerak. Shunday qilib )( a
ideal
a elementni o’z ichiga oladigan
hamma ideallar kesishmasi kabi aniqlanadi.
b) agar
K halqa 1 birlik elementga ega bo’lsa naka
uchun
akankanka ')1(1
yozuvdan foydalanish mumkin. Demak, bu holda
)( a
ideal hamma
ka karralilardan iborat bo’ladi. ■
2.2 - misol. Butun sonlar halqasi
Z da nZ to‘plam idealdan iborat. n=2
da juft sonlar to‘plamini, n = 1
da Z
halqani, n = 0
da bi tta element { 0 }
dan
iborat ideallarni hosil qilamiz.](/data/documents/9f1582c6-5a59-4d71-aea9-22ea0bafc84d/page_24.png)
![2.3 - tasdiq. Z
halqada har qanday ideal n Z
ko‘rinishda bo‘ladi, bu erdan=0,1,2,…
.
Isbot. I − Z
halqaning nol bo‘lmagan ideali bo‘lsin. a ∈ I
idealdagi eng
kichik natural son bo‘lsin. (S h unday son mavjudiligni ko‘rsating).
Idealning ta’rifidan kelib chiqadiki, a Z ⊆ I
bo‘ladi (tekshiring!). b ∈ I
bo‘lib, lekin
b∉aZ bo‘lsin. U holda qoldiqli bo‘lish haqidagi teoremaga
asosan shunday q , r
sonlar mavjudki,
b=aq +r,0<r<a bo‘ladi. Lekin b−aq ∈I
, bu esa
a ning eng kichik natural sonligiga ziddir. Demak, I=aZ bo‘ladi
2.7 - ta’rif.
R halqaning I
ideali bosh ideal deyiladi, agar shunday a∈I
element mavjud bo‘lib, I = ( a )
bo‘lsa.
a element I idealning tashkil
etuvchisi (yasovchisi) deyiladi.
Masalan,
nZ⊲Z ideal bosh idealdan iborat n Z = ( n ) = ( − n )
.
2.8-misol. Ikkita o‘zgaruvchili ko‘phadlar halqasi
K [x,y] da ozod hadi
nolga teng bo‘lgan ko‘phadlarning
I0 to‘plamini qaraymiz. I0 ning ideal
tashkil qilishini ko‘rsating. Bu idealning bosh ideal bo‘lmasligini
ko‘rsatamiz. Haqiqatdan ham, biror
f∈K [x,y] uchun I0=(f) bo‘lsa, u
holda x ∈ I
0 bo‘lganligi uchun yo
f nol bo‘lmagan konstantadan iborat
(bu holda
I0= K [x,y] bo‘lib, bu ziddiyatdan iborat), yoki f= αx ,α∈K ,α≠0
bo‘ladi. Lekin, y ∈ I
0 bo‘lganligi uchun
y ham f ga bo‘linishi kerak. Bu
ham ziddiyatdan iborat. Demak,
I0 bosh idealdan iborat emas.
2.9- ta’rif . Agar R
halqada har bir ideal bosh idealdan iborat bo‘lsa, u
holda
R ga bosh ideallar halqasi deyiladi.
Z
bosh ideallar halqasidan iborat, K [x,y] esa bosh ideallar halqasi emas.
Bosh ideal tushunchasini quyidagicha umumlashtirish mumkin.
a1,a2,… ,ak
lar R halqaning ixtiyoriy edementlari bo‘lsin.
2.10 - masala.
(a1,a2,… ,ak)={a1r1+a2r2+⋯+akrk|r1,r2,… ,rk∈R}⊆ R to‘plam R
halqaning ideali ekanligini ko‘rsating.
2.11 - ta’rif.
I=(a1,a2,… ,ak) idealning a1,a2,… ,ak elementlari uning bazisi
deyiladi. I ⊲ R
ideal chekli bazisga ega deyiladi, agar unda shunday
a1,a2,… ,ak
topilib, I = ( a
1 , a
2 , … , a
k )
bo‘lsa.](/data/documents/9f1582c6-5a59-4d71-aea9-22ea0bafc84d/page_25.png)
![2 - misol. y > x
bo‘lsin. I=⟨f1,f2⟩ bo‘lib, f1= y3− yf (x) va
f2= y2x− xf (x)+y
bo‘lsin.
grl
– tartiblashdan foydalanamiz. Bu tartiblashning ta’rifini keltiramiz.
2- Ta’rif .
W nda ≻grl munosabatni barcha α , β ∈ W n
lar uchun agar
|α|>|β|,yoki |α|=|β|va α≻lβ
bo‘lganda α≻grl β shaklda kiritamiz. K [x1,⋯,xn]
halqada ham
α≻grl β bo‘lganda xα¿grl xβ munosabatni kiritamiz. Bu ≻
grl
va
¿grl munosabatlarga graduirlangan leksikografik tartiblash deyiladi.
Bu yerdan y
( y 2
x − xf ( x ) + y ) − x ( y ¿ ¿ 3 − yf ( x ) ) = y 2
¿
va y2∈I b o‘ ladi. Lekin,
¿ ( f
1 ) ∤ y 2
va ¿ ( f
2 ) ∤ y 2
. Bu erdan
¿ ( y ¿ ¿ 2 ) = y 2
∉ ¿ ¿
.
Ko‘rinib turibdiki ,
xLT (f¿¿1)− y<(f2)=0¿ , ya’ni, xf 1− yf2 ayirmaning bosh
hadi yo‘qolib, faqat kichik hadlar qoladi.
{f1,f2} Gryobner bazisi emas,
chunki
¿(I)≠¿
.
Lekin, ¿ ( y ¿ ¿ 2 ) ∈ < ( I ) ¿
va ¿ ( y ¿ ¿ 2 ) ∉ ¿ ¿
.
3 -ta’rif.
f,g∈K[x1,⋯,xn] nol bo‘lmagan polinomlar bo‘lsin.
1) multideg
( f ) = α , multideg ( g ) = β
va γi=max {αi,βi},i=1,2,⋯,n , γ=(γ1,⋯,γn)
bo‘lsin. U holda x γ
monom LM ( f )
va
LM (g) larning eng kichik
umumiy karralisi deyiladi va
L= xγ= LCM (LM (f),LM (g))
shaklda yoziladi.
2) S
( f , g ) = x γ
¿ ( f ) · f − x γ
¿ ( g ) · g
polinom f va g
polinomlarning S - polinomi
deb ataladi.](/data/documents/9f1582c6-5a59-4d71-aea9-22ea0bafc84d/page_27.png)
![3-misol. y>x bo‘lsin . 2 -misolda f ( x ) = x
deb olamiz. U holda R[x,y] da
grl
- tartiblash bilan
f1= y3− yx va f2= y2x− x2+y
multideg (f1)=(3,0 ),multideg (f2)=(2,1 )
bo‘ladi. Shunday qilib, L = y 3
x
va
S(f1,f2)= y3x
y3 ·f1− y3x
y2x·f2= x·f1− y·f2=− yx2+yx2− y2=− y2
.
S
- polinom S(f,g) ni kiritishdan maqsad polinomlarning bosh hadini
nolga aylantirishdan iborat. Quyidagi lemma ana s hunday jarayonning
barchasida S -polinomning borligini ko‘rsatadi.
4-lemma. ∑
i = 1t
c
i x α
( i)
g
i yig‘indini qaraymiz , c
1 , ⋯ , c
t ( c
i ≠ 0
) lar
konstantalar va
α
( i) + multideg ( g
i ) = δ ∈ W n
.
Agar
multideg (∑i=1
t
cixα(i)gi)<δ b o‘ lsa, u holda s hunday cjk konstantalar
mavjudki,
∑
i = 1t
c
i x α
( i)
g
i =
∑
j , k c
jk x δ − γ
jk
S ( g
j , g
k ) , (8)
bo‘ladi, bu erda
xγjk= LCM (LM (gj),LM (gk)) . Bundan tashqari har bir
xδ−γjkS(gj,gk)
ning umumiy darajasi multidegree <δ bo‘ladi.
(8) tenglikning chap tomonidagi yig‘indining har bir qo‘shiluvchisi
c
i x α
( i)
g
i ning umumiy darajasi multidegree δ
bo‘ladi. SHuning uchun bu
qo‘shiluvchilar ixchamlashtirilgandan so‘ng bosh hadlar yo‘qoladi. (8)
ning o‘ng tomonidagi yig‘indining har bir qo‘shiluvchisi c
jk x δ − γ
jk
S ( g
j , g
k )
ning umumiy darajasi esa
multidegree <δ bo‘ladi . Demak, bu yig‘indida](/data/documents/9f1582c6-5a59-4d71-aea9-22ea0bafc84d/page_28.png)
![ixchamlashtirishlar amalga oshirilgan bo‘ladi. Bu erdan ko‘rinib
turibdiki, S
-polinomlar ixchamlashtirishlarni amalga oshirishda yordam
berar ekan.
5 - teorema. I K[ x
1 , ⋯ , x
n ] halqaning nol bo‘lmagan ideali bo‘lsin. U holda
I
idealning biror
G={g1,...,gt} bazisi S ( g
i , g
j )
G
ga (biror tartiblash
bo‘yicha) bo‘linganda hosil bo‘lgan qoldiq S
( g
i , g
j ) G
barcha i , j ( i ≠ j )
lar
uchun nol bo‘lganda va faqat shu holdagina I
idealning Gryobner
bazisidan iborat bo‘ladi.
4 -misol. Quyidagi idealni qaraymiz.
I= <y− x2,z− x3> .
Biz
5-teorema yordamida G =
{ y − x 2
, z − x 3 }
sistemaning y > z > x
lex
-
tartiblash bilan Gryobner bazisidan iborat ekanligini ko‘rsatamiz.
Buning uchun
S(y− x2,z− x3) ni q araymiz.
S(y− x2,z− x3)= yz
y (y− x2)− yz
z (z− x3)=− zx2+yx3
.
Shunday qilib, − z x 2
+ y x 3
= x 3
(
y − x 2 )
+ ( − x 2 )(
z − x 2 )
+ 0
.
Bu erdan S
( y − x 2
, z − x 3 ) G
= 0
kelib chiqadi. Demak, G sistema I idealning
Gryobner bazisidan iborat ekan. Endi
G sistemani x>y>z lex – tartiblashga](/data/documents/9f1582c6-5a59-4d71-aea9-22ea0bafc84d/page_29.png)
![nisbatan qarab chiqamiz. Bu holda g1(x,y,z)=− x2+y va g2(x,y,z)=− x3+z
deb olamiz. U holda multideg
( g
1 ) = ( 2,0,0 )
va multideg ( g
2 ) = ( 3,0,0 )
. S h uning
uchun,
multideg (γ)=(3,0,0 ) . Shunday qilib,
S(− x2+y,− x3+z)= x3
− x2(− x2+y)− x3
− x3(− x3+z)= x3− xy − x3+z=− xy +z
.
− xy + z = 0
( − x 3
+ z ) + 0 ( − x 2
+ y ) + ( − xy + z ) ≠ 0
.
Demak,
{− x2+y,− x3+z} sistema x > y > z
lex
– tartiblashga nisbatan I
idealning Gryobner bazisi bo‘lmas ekan.
K
[ x
1 , ⋯ , x
n ] halqaning nol bo‘lmagan har qanday ideali Gryobner
bazisiga ega. Bu tasdiqning isboti faqat bazisning mavjudligini
ko‘rsatadi, ammo bazisni qurish algoritmini bermaydi.
Idealning Gryobner bazisini qurish algoritmini quyidagi misolda
ko‘rsatib beramiz.
5-misol. y > x
bo‘lsin.
K [x,y] halqada grl
tartiblash o‘rnatilgan va
I= < f1,f2>
ideal berilgan bo‘lsin, bu erda f1= y3− yx va f
2 = y 2
x − x 2
+ y
. 2 -
misolga asosan { f
1 , f
2 }
sistema Gryobner bazisi emas, chunki
¿
( S ( f
1 , f
2 )) = − y 2
∉ < < ( f
1 ) , < ( f
2 ) >
. 3 - misolga asosan esa
S(f1,f2)=− y2
b o‘ladi. Endi S
( f
1 , f
2 ) = − y 2
ni f
1 , f
2 larga qoldiqli bo‘lamiz.](/data/documents/9f1582c6-5a59-4d71-aea9-22ea0bafc84d/page_30.png)
![qilib, 5- teoremaga asosan { f
1 , f
2 , f
3 , f
4 , f
5 }
sistema I
idealning Gryobner
bazisidan iborat bo‘ladi.
6- lemma. I K[ x
1 , ⋯ , x
n ] halqaning ideali bo‘lsin. G
esa shu
idealninng Gryobner bazisi bo‘lsin.
g∈G polinom uchun ¿(g)∈<<(G ¿g\})>
bo‘lsin. U holda G ¿ g \}
ham I
idealning Gryobner bazisidan iborat
bo‘ladi.
Isbot. Ma’lumki,
<<(G )>= <<(I)> bo‘ladi. Faraz qilaylik,
¿(g)∈<<(G ¿g\})>
bo‘lsin. U holda < < ( G ¿ g \} ) > = < < ( G ) >
bo‘ladi. Natijada
<<(G ¿g\})>=<<(I)>
va G ¿g\} I idealning Gryobner bazisidan iborat
bo‘ladi.
7- ta’rif. . I K
[ x
1 , ⋯ , x
n ] halqaning ideali G esa shu idealninng Gryobner
bazisi bo‘lsin. Agar quyidagi
1) barcha
g∈G lar uchun LC ( g ) = 1
,
2) barcha
g∈G lar uchun ¿ ( g ) ∉ < < ( G ¿ g } ) >
shartlar o‘rinli bo‘lsa,
G ga I idealning minimal Gryobner bazisi
deyiladi.
6-misol.
y>x bo‘lsin. yuqoridagi jarayondan foydalanib, so‘ngra 6-
lemmaga asosan ortiqcha tashkil etuvchilarni chiqarib tashlab, har
qanday nol bo‘lmagan idealning minimal Gryobner bazisini tuzish
mumkin. 5 misolda biz
grl -tartiblashdan foydalanib quyidagi Gryobner
bazisini tuzgan edik.
f1= y3− yx
f2= y2x− x2+y
f3=− y2](/data/documents/9f1582c6-5a59-4d71-aea9-22ea0bafc84d/page_32.png)
![f4=− yx
f
5 = − x 2
+ y
.
Tashkil etuvchilarning bosh koeffitsientlarini 1 ga keltirish uchun
f
3 , f
4 va f
5 polinomlarni
−1 ga ko‘paytiramiz. Endi ¿(f1)= y3=− yLT (f3)
bo‘lganligi uchun
f1 ni bazis polinomlari safidan chiqarishimiz
mumkin. Xuddi s hunday,
¿(f2)= y2x=− yLT (f4) bo‘lganligi uchun f2 ni ham
bazisdan chiqaramiz. Boshqa yasovchilardan birortasining ham bosh
koeffitsienti boshqa yasovchilarning bosh koeffitsientlariga bo‘linmaydi:
y 2
∤ yx , y 2
∤ x 2
, yx ∤ y 2
, yx ∤ x 2
, x 2
∤ y 2
, x 2
∤ yx
.
Demak,
g3= y2,g4= yx ,g5= x2− y polinomlar I
idealning minimal Gryobner
bazisini tashkil qiladi. S h u bilan bir qatorda ixtiyoriy noldan farqli a ∈ K
konstanta uchun
y2+axy ,yx ,x2− y polinomlar ham I
idealning minimal
Gryobner bazisini tashkil qiladi. Shunday qilib, agar K
cheksiz bo‘lsa, u
holda Gryobner bazislari ham cheksiz ko‘p bo‘ladi. Demak, idealning
Gryobner bazisi bir qiymatli aniqlanmagan ekan.
8 -ta’rif. I K
[ x
1 , ⋯ , x
n ] halqaning ideali, G
esa shu idealninng Gryobner
bazisi bo‘lsin. Agar
1) barcha g ∈ G
lar uchun LC
( g ) = 1
bo‘lsa,
2) barcha g ∈ G
lar uchun
g ning birorta ham monomiali < < ( G ¿ g } ) >
ga
tegishli bo‘lmasa,
G
ga I
idealning keltirilgan Gryobner bazisi deyiladi.
6- misolda
y2,yx ,x2− y polinomlar ham I
idealning keltirilgan Gryobner
bazisini tashkil qiladi, chunki
y2∉<yx ,x2>,yx ∉<y2,x2>,x2∉<y2,yx >,y∉<y2,yx >¿
shartlar o‘rinli.](/data/documents/9f1582c6-5a59-4d71-aea9-22ea0bafc84d/page_33.png)
![y2+axy ,yx ,x2− y
minimal Gryobner bazisi esa keltirilgan bazis bo‘lmaydi,
chunki
a≠0 bo‘lganda ayx ∈<yx ,x2>¿ bo‘ladi.
9- teorema.
IK [x1,⋯,xn] halqaning ideali bo‘lsin. U holda berilgan
monomial tartiblash bo‘yicha
I ideal yagona keltirilgan Gryobner
bazisiga ega bo‘ladi.
Endi polinomial tenglamalar sistemasini echishni qarab chiqamiz.
10- teorema.
IK [x1,⋯,xn] halqaning ideali bo‘lsin. f1,f2,,… ,fm∈I
bo‘lib,
I=¿f1,f2,,… ,fm>¿ bo‘lsin. U holda V (I)=V({f1,f2,,… ,fm}) b o‘ ladi.
7-misol. Quyidagi polinomial tenglamalar sistemasini qaraymiz.
x 3
+ y + z 2
¿ 0
x 2
+ z 2
¿ y
x ¿ z (9)
Buning uchun quyidagi idealni qaraymiz.
I=⟨x3+y+z2,x2+z2− y,x− z⟩⊆C[x,y,z]
10- teoremaga asosan I
ning ixtiyoriy bazisidan foydalanib,
V(I) ni
hisoblashimiz mumkin. x > y > z
lex
tartiblashdan foydalanib, quyidagi
Gryobner bazisini hosil qilamiz:
g
1 ¿ x − z
g
2 ¿ y − 2 x 2
g
3 ¿ z 3
+ 3 z 2 .
g3
polinom faqat z noma’lumdan bog‘liq. z3+3z2=0 tenglamani echib,
uning z = 0 , − 3
ildizlarini hosil qilamiz. z
ning hosil qilingan
qiymatlaridan foydalanib, g
1 = 0 , g
2 = 0
tenglamalarning echimlarini mos
ravishda x
va
y larga nisbatan yagona ravishda topamiz. Shunday qilib,
g1= g2= g3=0
sistemaning echimlari ( 0,0,0 ) va ( − 3,18 , − 3 )
lardan iborat.](/data/documents/9f1582c6-5a59-4d71-aea9-22ea0bafc84d/page_34.png)
![Shunday q ilib, V (I)=V(g1,g2,g3) bo‘lib, biz (9) sistemaning barcha
echimlarini topdik.
Yuqoridagi misolda noma’lumlarni yo‘qotish qulay shaklda amalga
oshirildi. SHuni ta’kidlaymizki, noma’lumlarni yo‘qotish tartibi ularning
tartiblanishiga mos keladi. lex − ¿
tartiblash noma’lumlarni ancha qulay
yo‘qotishga olib keladigan Gryobner bazisini beradi.
1 - Mashq . I = ¿ f
1 , f
2 > ¿
bo‘lsin, bu erda
f1= xz − y2,f2= x3− z2∈C[x,y,z]
. x > y > z
grl − ¿
tartiblashdan foydalanami .
f=− 4x2y2z2+y6+3z5 polinom berilgan bo‘lsin.
1) { f
1 , f
2 }
sistema I
idealning Gryobner bazisini tashkil q ilmasligini
ko‘rsating.
2) I
idealning Gryobner bazisini tuzing.
3) f ∈ I
ekanligini yoki
f∉I ekanligini ko‘rsating.
4)
g= xy −5z2+x∉I ekanligini k o‘ rsating.
Echish. 1) multideg
( f
1 ) = ( 1,0,1 )
va multideg ( f
2 ) = ( 3,0,0 )
b o‘lganligi uchun
γ = ( 3,0,1 )
bo‘ladi,
S(f1,f2)= x3z
xz (xz − y2)− x3z
x3(x3− z2)=− x2y2+z3 .
¿
( S ( f
1 , f
2 )) = − x 2
y 2
∈ < ( I)
, chunki − x2y2+z3= x2f1− zf2∈I . Lekin,
− x2y2∉<¿(f1),<(f2)≥¿xz ,x3>¿
.
2)
f1= xz − y2,f2= x3− z2,f3= x2y2− z3,f4= xy4− z3,f5= y6− z5 bo‘lsin. U
holda G = { f
1 , f
2 , f
3 , f
4 , f
5 }
sistema I
idealning Gryobner bazisidan
iborat. G
keltirilgan Gryobner bazisidan iborat.](/data/documents/9f1582c6-5a59-4d71-aea9-22ea0bafc84d/page_35.png)
YUQORI DARAJALI ALGEBRAIK TENGLAMALAR SISTEMALARINI GRYOBNER BAZISLARI YORDAMIDA YECHISH. MUNDARIJA : KIRISH 1. CHIZIQLI TENGLAMALAR SISTEMALARI 1.1. Chiziqli tenglamalar sistemasi va ularni yechish usullari 1.2. Bir jinsli tenglamalar sistemasi 2. KO’PHADLAR XALQASI 2.1. Ko’phadlar haqida tushuncha 2.2. Ko’p o’zgaruvchili ko’phadlar 2.3. Simmetrik ko’phadlar 3. YUQORI DARAJALI ALGEBRAIK TENGLAMALASISTEMALARINI GRYOBNER BAZISLARI YORDAMIDA YECHISH. 3.1. Ideal tushunchasi. Sistemaning ideali 3.2. Gryoner bazisning ta’rifi 3.3. Gryobner bazisning tadbiqlari XULOSA FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO’YHATI
KIRISH
1. CHIZIQLI TENGLAMALAR SISTEMALARI 1.1. Chiziqli tenglamalar sistemasi va ularni yechish usullari Bizga m ta tenglamadan iborat n ta noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin { a11x1+a12x2+...+a1nxn= b1 a21x1+a22x2+...+a2n=b2 … … … … … … … … … … … … … … am1x1+am2x2+...+amn xn= bm (1) bu yerda, x 1 , x 2 , … .. , x n noma’lumlar. Tenglamalar birinchi Ikkinchi va hokazo m -tenglama deb nomerlab chiqilgan deb hisoblaymiz. Noma’lumlar oldidagi koeffitsientlarni m ta satr va n ta ustundan iborat matritsa ko‘rinishida yozish mumkin: A= ( a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n … … … … a m 1 a m 2 … a mn ) (2) Ushbu matritsa chiziqli tenglamalar sistemasining asosiy matritsasi deyiladi. Quyidagi ~A matritsa esa chiziqli tenglamalar sistemasining kengaytirilgan matritsasi deyiladi: ~A= ( a11 a12 … a1n b1 a21 a22 … a2n b2 … … … . … … am1 am2 … amn bm ) (3) Agar (1) sistemada m = n bo‘lsa, u holda ushbu sistema n - tartibli sistema deyiladi. Ta’rif. Yechimga ega bo‘lgan chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda deyiladi. Yagona yechimga ega bo‘lgan sistema aniq sistema, bittadan ortiq yechimga ega bo‘lgan sistema aniqmas sistema deyiladi. (1) sistemani qulaylik uchun qisqacha ∑ k = 1n a ik x k = b i , ( 1 , m ) yig‘indilar ko‘rinishida yozish mumkin. Kvadrat matritsaning bosh diagonaldan pastda turgan barcha elementlari nollardan iborat bo‘lsa, bunday matritsaga uchburchak ko‘rinishidagi matritsa deyiladi, ya’ni ( a11 a12 … a1n 0 a22 … a2n … … … … 0 0 … amn ) Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Kramer usuli.
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Kramer usuli sistemadagi tenglamalar soni noma’lumlar soniga teng bo‘lgan hol uchun o‘rinli bo‘ladi. { a11x1+a12x2+...+a1nxn= b1 a21x1+a22x2+...+a2n=b2 … … … … … … … … … … … … … … an1x1+an2x2+...+annxn= bn (4) ko‘rinishdagi tenglamalar sistemalarini qaraymiz. Tenglamalar sistemasi koeffitsientlaridan tuzilgan matritsa determinantini d harfi bilan belgilaylik: d= | a 11 … a 1 j a 21 … a 2 j … … … … a 1 n … a 2 n … … a n 1 … a nj … a nn | determinantni satr yoki ustun bo‘yicha yoyish xossalaridan quyidagilarga ega bo‘lamiz: d= a1jA1j +a2jA2j +…….+ a1jAnj (5) Bundan tashqari a1iA1j + a2iA2j… … … + a1jAnj i ≠ j . (6) Ya’ni, determinantning birorta ustunidagi hamma elementlarini boshqa ustunning algebraik to‘ldiruvchilariga ko‘paytmalari yig‘indisi nolga teng. Agar (5)da yoyilmada j- ustunning elementlarini ixtiyoriy n ta sonlar sistemasi b1,b2,… ..,bn bilan almashtirsak, hosil bo‘ladigan b 1 A 1 j + b 2 A 2 j +…….+ b n A nj (7) ifoda d determinantning j -ustunini shu sonlar bilan almashtirish natijasida hosil bo‘ladigan ushbu dj = | a 11 … a 1 j a 21 … a 2 j … … … … a 1 n … a 2 n … … a n 1 … a nj … a nn | determinantning j -ustun bo‘yicha yoyilmasi bo‘ladi. 1.1.-teorema. Agar (4) sistemaning determinanti d noldan farqli bo‘lsa, u holda bu sistema yagona yechimga ega bo‘lib, uning ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi: x1 = d1 d , x1 = d 2 d ,…….., x1 = d n d (7) Isbot. Aytalylik, d ≠ 0 bo‘lsin. { a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2 … … … … … … … … … … … … … … a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + ... + a nn x n = b n sistemadagi birinchi tenglamaning ikkala tomonini A 1 j ga, ya’ni a 1 j elementning algebraik to‘ldiruvchisiga ko‘paytiramiz. Ikkinchi tenglamaning ikkala tomonini
A 2 j ga va hokazo, oxirgi tenglamani A nj ga ko‘paytiramiz. Bu tengliklarning chap va o‘ng tomonlarini alohida-alohida qo‘shib, quyidagi tenglikka kelamiz: ¿¿ + a 21 A 2 j +…….+ a n 1 A nj ¿ x 1 + … … .. + ¿ ¿ + a 2 j A 2 j +…….+ a nj A nj ¿ x j + …………+ ¿ ¿ + a 2 n A 2 j +…….+ a nn A nj ¿ x n = ¿¿ + b 2 A 2 j +…….+ b n A nj Yuqorida qayd qilingan (5), (6) va (7) munosabatlardan, ushbu tenglikda xj oldidagi koeffitsient d ga, qolgan koeffitsientlarning barchasi nolga teng ekanligini, ozod had esa d j determinantga teng bo‘lishini hosil qilamiz. Demak, yuqoridagi tenglik quyidagi ko‘rinishga keladi: dxj= dj , 1 ≤ j ≤ n . d ≠ 0 bo‘lganligi uchun, x j = d j d , 1 ≤ j ≤ n .kelib chiqadi. Endi α1 = d j d , α 2 = d 2 d , … , α n = d n d sonlar haqiqatdan ham (4) tenglamalar sistemasini qanoatlantirishini ko‘rsatamiz. Buning uchun sistemaning i -tenglamasiga α 1 , α 2 , … , α n noma’lumlarning qiymatlarini qo‘yamiz. i -tenglamaning chap tomonini ∑ j = 1n a ij x j ko‘rinishda yozish mumkinligi va d j = ∑ j = 1n b k A ij b o‘lganligi uchun: ∑ j = 1n a ij d j d = 1 d ∑ j = 1n a ij ( ∑ k = 1n b k A kj ) = 1 d ∑ j = 1n b k ( ∑ j = 1n a ij A kj ) Bu almashtirishlarga 1 d soni barcha qo‘shiluvchilarda umumiy ko‘paytuvchi bo‘lib kelganligi uchun uni yig‘indi tashqarisiga chiqarishimiz mumkin. Bundan tashqari, qo‘shish tartibi o‘zgartirilgandan so‘ng, bk ko‘paytuvchi ichki yig‘indi belgisi tashqarisiga chiqarildi, chunki u ichki yig‘indi indeksi j ga bog‘liq emas. Ma`lumki, ∑ j = 1n a ij A kj = ai1Ak1 + ai1Akj +…….+ a¿Akn bo‘lganda d ga, qolgan barcha k larda esa 0 ga teng. Shunday qilib, k bo‘yicha tashqi yig‘indida faqat bitta qo‘shiluvchi qoladi va u bi d ga teng bo‘ladi, ya’ni ∑ j = 1n a ij d j d = 1 d b i d = b i Bundan α,α2, α n , sonlar haqiqatdan ham (4) tenglamalar sistemasi uchun yechim bo‘lishi kelib chiqadi. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning ushbu usuliga Kramer usuli deyiladi. Demak, Kramer usuli determinanti noldan farqli bo‘lgan n ta noma’lumli n ta tenglamadan iborat chiziqli tenglamalar sistemasini yechimini topish imkonini beradi. Sistema determinanti nolga teng bo‘lgan hollarda Kramer usulini qo‘llash maqsadga muvofiq emas. Chunki bu holatda tenglamalar sistemasi yoki yechimga ega emas yoki cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘ladi. 1.1 Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli. Bizga bir hil tartibli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin .