Bosh kuchlanishlar. Bosh yo’nalishlar. Eng katta ( Maximum ) va eng kichik ( Minimum ) kuchlanishlar. Kuchlanishlar uchun Mor doirasi. Tekis kuchlanish. Sharsimon va deviator kuchlanganlik holatlari. Oktaedrik kuchlanishlar Reja: 1.Kuchlanishlar sirti. 2.Kuchlanishlar ellipsoidi. 3.Mor doiraviy diagrammasi. 4.Bosh urinma kuchlanishlar. Bosh kuchlanishlarni hisoblash formulalari. 5.Ikki o’qli kuchlanganlik holati. Tayanch iboralar: Kuchlanish, kuchlanishlar sirti, kuchlanishlar ellipsoidi, mor doiraviy diagrammasi, ikki o’qli kuchlanganlik holati . Kuchlanishlar sirti. Geometriya kursidan ma’lumki ikkinchi tartibli sirt tenglamasi. βijxixj= k2 ko’rinishga ega edi. Shunga mos ravishda jismning biror M nuqtasidagi (σij) kuchlanish tenzoriga maskazi M nuqtada bo’lgan xarakteristik sirt mos keladi va uning tenglamasi quyidagicha bo’ladi. 2f(ξk)=σijξiξj=±c2 (3.1) Bu sirt koshining kuchlanishlar sirti deyiladi. Bu yerda ξi -maskazi M nuqtada bo’lgan mahalliy (lokal) koordinat sistemasidagi ⃗r -radius-vektorning komponentalari. Ushbu ⃗r radius-vektorning yo’naltiruvchi kosinuslari αri= ξi |⃗r|, αrj= ξ j |⃗r|. Demak, (2.40) tenglamani quyidagicha yo’zish mumkin |⃗r|2σijαriαrj=±c2 (3.2) Ma’lumki indeks gung bo’lsa u bo’yicha yigindi olindi, masalan σij= σ11+σ22+σ33. Lekin normal kuchlanishlardan birini ymumiy holda belgilash uchun ham σii belgilash ishlatiladi, masalan σ11 , yoki σ22 . Bu holda yig’indi hisoblanmasligi kerak. Ana shunday holatlarda har safar yig’indi hisoblanmasin deb ta’kidlash o’ringa indekslar ustida egri chiziqcha tortib belgilaymiz. Masalan σii,σrr,αkk va hokazo. Endi (3.2) va (2.14) tengliklaridan, hamda yuqorida keltirilgan belgilash asosida

|⃗r|2σrr=±c2 (3.3) tenglamaga ega bo’lamiz. Buyerda –jisimning ⃗r radius-vektorga perpendikulyar maydonchasidagi M nuqtadagi normal kuchlanish (3.3) dan |⃗r|= с √σr^r , chunki |⃗r|=(√σrr) 2. (3.4) Demak, uchi kuchlanishlar sirtida joylashgan ⃗r radius-vektorning moduli, ⃗r ga perpendikulyar maydonchaning M nuqtasidagi normal kuchlanish absolyut qiymatining kvadratik ildiziga teskari proporsionaldir. Koshi kuchlanishlar tenzorining bosh o’qlari (σij) tenzorning bosh o’qlari bilan ustma-ust tushadi. Bosh o’qlarga nisbatan (3.1) tenglama kanonik ko’rinishga ega bo’ladi: σiξi2=±c2, (3.5) buyerda σi -bosh kuchlanishlar. Faraz qilaylik, σi bosh kuchlanishlarning qiymatlari har xil bo‘lib, ishlari bir xil bo‘lsin. U holda (3.5) kuchlanishlar sirti σ1ξ12+σ2ξ22+σ3ξ32=±с2 (3.6) ellipsoiddan iborat bo‘ladi. Agar bosh kuchlanishlarning ishoralari har xil bo‘lsa masalan σ1>0,σ2>0,σ3<0, kuchlanishlar sirti σ1ξ1 2+σ2ξ2 2−|σ3|ξ3 2=+ с2 (3.7) σ1ξ1 2+σ2ξ2 2−|σ3|ξ3 2=−с2 (3.8) tenglamalar bilan aniqlanadi. Bu holda kuchlanishlar sirti bir pallali (3.7) va ikki pallali giperboloidlar majmuasidan iborat va bu giperboloidlar σ1ξ1 2+σ2ξ2 2−|σ3|ξ3 2=0 (3.9) asimptotik konus bilan bir-biridan ajratilgan bo‘ladi. Qattiq jismning biror nuqtasi uchun kuchlanishlar sirti ma’lum bo‘lsa, to‘liq va normal kuchlanishlarni va demak, urinma kuchlanishlarni ham, shu nuqtadan o‘tuvchi maydonchalarda aniqlash mumkin. Yo‘nalishi qaralayotgan maydonchaga perpendikular bo‘lgan ⃗r=⃗МС (3.1- rasm) radius-vektorning uchi bir pallali giperboloid-(2.46) sirtida joylashsa, (3.3) formulaga asosan berilgan maydonchadagi normal kuchlanish σ⃗rr= c2 |⃗r|2 gradf K c gradf r M r P r P r S 3.1-rasm..

ga teng va cho‘zuvchi kuchlanishdan iborat bo‘ladi. Radius-vektor ⃗r=⃗МК ning uchi ikki pallali giperboloid-(3.8) sirtida joylashsa, M nuqtadan o‘tuvchi mos maydonchada siquvchi kuchlanish drinli bo‘ladi σr^r=− c2 |⃗r|2. Normali asimptotik konus yasovchisi bilan bir xil bo‘lgan maydonchada, konus yasovchisi uchun r→ ∞ va demak σr^r=0 bo‘lganligi uchun, faqat urinma kuchlanishlargina ta’sir qiladi. Endi (3.1) ni ξi bo‘yicha differensiallaymiz. U holda ∂ f ∂ξi =σijξ j ikkinchi tomondan grad f=σijξ j⃗эi hamda bo‘lganliklaridan grad f=σijξ j⃗эi=σij⋅αrj⋅|⃗r|⋅⃗эi bundan 1 |⃗r| grad f=σijαrj⃗эi (3.10) Oldingi tenglikka ko‘ra σij⃗эi=⃗q va (2.4) ga asosan u holda (3.10) quyidagicha ko’rinishni oladi: 1 |⃗r| grad f=qq (3.11) ya’ni, ⃗r radius-vektorga perpendikular maydonchadagi ⃗qr kuchlanish vektori, ⃗r radius-vektorning uchiga mos keluvchi kuchlanish sirt normaliga paralleldir (ya’ni grad f vektoriga parallel) (3.1-rasm). Kuchlanishlar ellipsoidi. Nuqtadagi kuchlanganlik holatining koshining kuchlanishlar sirtidan boshqa geometrik tasvirini ham berish mumkin. Bu usul fransuz Olime Lame tomonidan taklif etilgan. Jismning biror M nuqtasida koordinat o‘qlarini (σij) tenzorning bosh o‘qlari bilan ustma-ust qo‘yamiz. Koordinat o‘qlari bunday joylashganda kuchlanish tenzorining urinma komponentalari σij(i≠ j) lar nolga teng, normal komponentalari σi^i lar esa bosh σi kuchlanishlardan iborat bo’ladi, ya’ni

σi^i=σi.Vaziyati o‘zining birlik ⃗n normalining αrj=nj yo‘naltiruvchi kosinuslari bilan aniqlanuvchi hamda jismning berilgan nuqtasidan o’tuvchi ixtiyoriy maydonchani qaraymiz. Bunda -birlik vektori bo’lgani uchun nj lar uning komponentalaridan iborat bo’ladilar. U holda ushbu maydonchadagi ⃗qn kuchlanish vektorining koordinat o’qlaridagi proyeksiyalari, ⃗qn vektorining uchi bilan mos tushuvchi nuqtaning xi koordinatalaridan iborat bo’ladilar. U holda (2.8) ga asosan х1=qn1=σ1n1;x2=qn2=σ2n2;x3=qn3=σ3n3, (3.12) buyerda σi⋅(i=1,2,3) - bosh kuchlanishlar. Ma’lumki vektorning yo’naltiruvchi kosinuslari n12+n22+n32= 1 (3.13) tenglamani qanoatlantirishlari kerak. Yo’naltiruvchi nj kosinuslarning qiymatlarini (3.12) dan topib (3.13) ga qo’ysak x12 σ12+ x22 σ 22+ x32 σ 32= 1 (3.14) Tenglamaga ega bo’lamiz. Ushbu tenglama yerim o’qlari σ1,σ2,σ3 bosh kuchlanishlarga teng bo’lgan ellipsoid tenglamasidan iboratdir. Bu ellipsoid Lamening kuchlanishlar ellipsoid yoki Lame ellipsoidi deyiladi (3.2-rasm). Bu yerdan ko‘rinadiki kuchlanish ellipsoidining sirti berilgan M nuqtadan o‘tuvchi hamma maydonchalardagi ⃗qn kuchlanish vektorlari uchlarining geometrik o‘rnidan iboratdir. Lame ellipsoidi jism nuqtasidagi kuchlanganlik holati to‘g‘risida quyidagi xulosalarni chiqarishga imkon beradi: jismning qaralayotgan nuqtasidagi eng katta kuchlanish shu nuqtadagi bosh kuchlanishlarning eng kattasiga teng . Bu xulosa Lame ellipsoidining yarim o‘qlari bosh kuchlanishlardan iboratligi hamda ellipsoidning yarim o‘qlaridan biri uning markaridan sirtigacha bo‘lgan eng katta masofa ekanligidan kelib chiqadi. agar bosh kuchlanishlardan hech biri nolga teng bo‘lmasa, berilgan nuqtadan o‘tuvchi hamma maydonchalardagi to‘liq kuchlanish vektorlari Lame ellipsoidi hajmida joylashadi. x 2 M P n x 1 x 3 3.2-rasm. n

Jism nuqtadagi bunday kuchlanganlik holati hajmiy yoki uch o ‘ qli kuchlanganlik holati deyiladi. Demak, bosh kuchlanishlarning ishoralariga bog‘liq ravishda bu holat (σij) tenzorining uchta bosh o‘qlari yo‘nalishlari bo‘ylab cho‘zilish yoki siqilishdan iboratdir. Agar bosh kuchlanishlardan ikkitasi nolga teng bo‘lsa, kuchlanishlar ellipsoidi kuchlanish tenzori bosh o‘qlaridan birida yotuvchi to‘g‘ri chiziq kesmasiga aylanadi. Bunday holat bir o ‘ qli kuchlanganlik holati deyiladi. Yana (2.29) formulaga murojaat qilib, bu holda (σij) tenzorining ikkinchi va uchinchi invariantlari nolga tengligini ko‘rish qiyin emas. Umuman bir o‘qli kuchlanganlik holati yuzaga kelishining, yoki mavjud bo‘lishining zaruriy sharti uchbu invariantlarning nolga teng bo‘lishidir. Bir va ikki o‘qli kuchlanganlik holatlarining batafsil tahlili hamda bosh kuchlanishlarni amalda hisoblanishga quyida alohida paragraf bag‘ishlanadi. Shuning uchun bu masalalarga bu yerda boshqa to‘xtalmaymiz. Mor doiraviy diagrammasi. Bosh urinma kuchlanishlar. Bundan oldin ko‘rilgan Koshining kuchlanishlar sirti kuchlanishlar tenzorining to‘liq geometrik tasvirini va Lame ellipsoidi-qaralayotgan nuqtadan o‘tuvchi hamma maydonchalardagi kuchlanish vektorlarining geometrik tasvirini beradi. Ushbu geometrik tasvirlardan tashqari yana bir shunday tasvirlash usuli ham mavjudki, bu usul O.Mor tomonidan taklif etilgan bo‘lib, qator foydali xulosalar chiqarishga va bosh urinma kuchlanishlarni topishga imkon beradi. Quyida shu usul bilan, to‘g‘rirog‘i, Morning doiraviy diagrammasi bilan tanishamiz. Koordinat o‘qlarini (σij) kuchlanish tenzorining bosh o‘qlari bilan ustma-ust qo‘yamiz (jismning biror nuqtasida). U holda normali (birlik) ⃗n bo‘lgan ixtiyoriy maydonchadagi ⃗qn kuchlanish vektorining koordinat o‘qlariga proyeksiyalari (3.12) formulalar bilan aniqlanadi. Kuchlanish vektori ⃗qn ni maydonchaning normali ⃗n yo‘nalishiga proyeksiyalab, σn=qnn normal kuchlanishni (2.9-rasm), maydoncha tekisligiga proyeksiyalab, qnτ urinma kuchlanishni olamiz va uni τn orqali belgilaymiz, ya‘ni τn orqali belgilaymiz, ya‘ni τn= qnτ . Faraz qilaylik, jismning berilgan nuqtasidan o‘tuvchi biror maydonchada σn va τn lar ma’lum, ya‘ni ularning qiymatlari berilgan bo‘lsin. Oldinda turgan vazifa σn va τn larning berilgan qiymatlari bo‘yicha ular ta’sir qilayotgan maydonchaning vaziyatini aniqlashdan iborat. Yuqoridagi (3.12) formulaga ko‘ra σn= x1n1+x2n2+x3n3= σ1n12+σ2n22+σ3n32 (3.15) bundan tashqari ⃗qn=qnn⃗n+qnτ⃗τ= σn⃗n+τn⃗τ