GIDROSTATIKANING DIFFERENTSIAL VA ASOSIY TENGLAMASI MA‘RUZA REJASI : 1. Gidrostatika. Tinch turgan suyuqlikka ta’sir etuvchi kuchlar. 2. Tinch holatdagi suyuqlikning differensial tenglamasi . 3. Gidrostatikaning asosiy tenglamasi.

Tinch holatdagi suyuqlikning differentsial tenglamasini olish uchun suyuqlikka ta‘sir etuvchi kuchlarni qarab chiqamiz. Suyuqlik qanday holatda bo’lmasin (tinch yoki harakat xolatida) unga moddiy zarrachalardan tarkib topgan uzluksiz muhit deb qaraladi. Shu zarrachalarga ta‘sir etuvchi barcha kuchlarni ikki guruhga: ichki kuchlarga va tashqi kuchlarga ajratish mumkin. Ichki kuchlar. Suyuqlik moddiy zarrachalarining bir-biriga ta‘sir kuchlari ichki kuchlar deyiladi. Tashqi kuchlar. Biror suyuqlik hajmining moddiy zarrachasiga boshqa biror jism hajmidagi moddalarning ta‘sir qilayotgan kuchlari, chunonchi, shu qaralayotgan suyuqlik hajmining moddiy zarrachalariga, shu hajmni har tomondan o’rab olgan suyuqlikning ta‘sir kuchlari tashqi kuchlar deyiladi. Berilgan suyuqlik hajmiga ta‘sir qiluvchi tashqi kuchlar ikki guruhga bo’linadi. 1. Massali kuchlar. Bu kuchlar qaralayotgan suyuqlik hajmining barcha moddiy zarrachalariga ta‘sir qiladi. Massali kuchlarning qiymati suyuqlikning massasiga to’g’ri proportsional. Bir jinsli suyuqliklar uchun, ya‘ni suyuqliklarning zichligi uning hajmi boyicha o’zgarmas bo’lsa p=const, bu holda massali kuchlarning qiymati suyuqlikning hajmiga ham to’g’ri proportsional bo’ladi. Shuning uchun (suyuqlikning zichligi r = const bo’lgan holda) massali kuchlar hajmiy kuchlar deb ataladi. Suyuqlikning o’z og’irligi hajmiy kuchlar qatoriga kiradi; suyuqlikning inertsiya kuchlarini ham tashqi hajmiy kuchlar deb qarash mumkin. Suyuqlikning berilgan V hajmiga ta‘sir etayotgan hajmiy kuchni quyidagicha ifodalash mumkin.F= Mφ yoki F=Vф 0 (2.1) bu yerda М — suyukliqning massasi; Ф va Ф 0 — suyuqlikning moddiy zarrachasiga ta‘sir qilayotgan hajmiy kuchlarning intensivligi, ya‘ni taqsimlanish zichligi, bu taqsimlanish suyuqlikning hajmi boyicha har xil bo’lishi mumkin. f 0 — suyuqlikning hajm birligiga ta‘sir qilayotgan solishtirma hajmiy kuch, f — suyuqlikni massa birligiga ta‘sir qilayotgan solishtirma hajmiy kuch.

2. Suyuqlik sathiga ta‘sir qilayotgan kuchlar. Bu kuchlar ko’rilayotgan biron suyuqlik hajmining sathiga ta‘sir qilayotgan kuchlar. Bunday kuchlar qatoriga atmosfera bosim kuchi (u ochiq o’zanlarda suyuqlikning erkin suv sathiga ta‘sir etadi), ishqalanish kuchi va boshqa kuchlar kiradi. Tinch holatdagi suyuqlikning differentsial tenglamasi. Tinch holatdagi suyuqlikni qarab chiqamiz (1-rasm). Unga ixtiyoriy tashqi hajmiy kuchlardan birortasi ta‘sir qilsin, deylik. Yuqorida biz qaralayotgan suyuqlikning birlik massasiga ta‘sir qilayotgan hajmiy kuchni f bilan belgilagan edik. Endi bu f kuchning Ox, Oy, Oz koordinata o’qlariga proektsiyasini f x , f u , f z bilan ifodalaymiz. Umuman tinch holatdagi suyuqlikda gidrostatik bosim har xil nuqtalarda turlicha bo’ladiρ= f(x,y,z) ( 2. 2) 2.1-rasm Gidrostatik bosim r bilan nuqtalarning koordinatalari va hajmiy kuchlar orasidagi bog’lanishni aniqlash kerak. Buning uchun quyidagicha ish yuritamiz. Tinch holatdagi suyuqlik ichida (2.1-rasm) Ox, Oz koordinata o’qlarini belgilaymiz va to’g’ri burchakli 1-2-3-4 parallelepiped shaklidagi elementar hajmni ajratamiz; parallelepiped tomonlarini d x , d z va d y , (d y chizma tekisligiga tik

bo’lgani uchun rasmda ko’rsatilmagan) bilan belgilaymiz va ularni cheksiz kichik deb hisoblaymiz. Parallelepiped o’rtasida A nuqtani tayinlaymiz, uning koordinatalari x, u, z bo’lsin. Bu A nuqtadagi bosimni ρ bilan belgilaymiz. A nuqta orqali O x o’qiga parallel MN chiziqni o’tkazamiz, umuman gidrostatik bosim shu MN chiziq boylab to’xtovsiz ravishda doimiy o’zgaradi. MN chiziqning birlik uzunligiga to’g’ri keladigan gidrostatik bosim qiymatining o’zgarishini xususiy hosila ∂ρ ∂x orqali ifodalash mumkin. Bu holda ∂ρ ∂x ni qo’llab, М va N nuqtalardagi bosimlarni quyidagicha yozamiz ΡM=p− 1 2 dx ∂p ∂x ;¿} ¿¿¿ (2.3) bunda (2.3) tenglamaning o’ng tomondagi ikkinchi hadlari r bosimning 1 2dx uzunlikda o’zgarishini bildiradi. Tinch holatdagi suyuqlikning differentsial tenglamasini keltirib chiqarish uchun quyidagicha mulohaza yuritish lozim; a) elementar parallelepipedga ta‘sir etayotgan barcha kuchlarni aniqlaymiz; b) barcha kuchlarni Ox o’qiga proektsiyalarini olamiz va ularning yig’indisini nolga tenglashtiramiz (chunki parallelepiped tinch holatda turibdi), natijada birinchi differentsial tenglamasini olamiz; v) ikkinchi va uchinchi differentsial tenglamasini olish uchun barcha kuchlarni O y va O z o’qlariga proektsiyalaymiz. Bu yerda faqat birinchi differentsial tenglamasini keltirib chiqaramiz. 1.Parallelepiped 1—2—3—4 ga ta‘sir qilayotgan kuchlar: a) hajmiy kuch F (dx dy dz) ρ ( 2. 4) bu yerda (dx dy dz) p — parallelepiped 1-2-3-4 ni tashkil etuvchi suyuqlik massasi. Hajmiy kuchning Ox o’qiga proektsiyasi F x (dx dy dz) ρ (2.5)

b) yuzaga ta‘sir etuvchi kuchlar: parallelepipedning 1-4 va 2-3 qirralariga ta‘sir etuvchi bosim kuchlarining Ox o’qiga proekiiyalarining farqi nolga teng; 1-2 va 3- 4 qirralariga ta‘sir etuvchi bosim kuchlarining Ox o’qiga proektsiyalarining farqi quyidagicha:ΡM− ΡN= ρM(dz dy )− pN(dz dy )=(p− 1 2dx ∂p ∂x)dy dz − - (p+1 2dx ∂p ∂x)dy dz =− ∂p ∂xdx dy dz . (2.6) 2. Barcha kuchlarning Ox o’qiga proektsiyalarining yig’indisi фx(dx dy dz )ρ− ∂ρ ∂z(dx dy dz )=0 (2.7) Bu (2.7) tenglama tinch holatdagi suyuqlikning 1-differentsial tenglamasi deyiladi. Xuddi shunday yo’l bilan 2-va 3-differentsial tenglamalarni yozamiz. Aniqlangan uchchala differentsial tenglamalar (suyuqlikning massa birligiga nisbatan) oxirgi ko’rinishi quyidagicha yoziladi: ф x − 1 ρ ∂p ∂x =0¿ } ф y − 1 ρ ∂p ∂y =0¿ } ¿¿¿ (2.8) Bu tenglama 1755 yilda L. Eyler tomonidan ishlab chiqilgan va uning nomi bilan ataladi. Bu tenglamalar sistemasidan ko’rinib turibdiki, gidrostatik bosimning biror koordinata o’qidagi o’zgarishi zichlik bilan birlik og’irlik kuchining shu o’q yo’nalishidagi proektsiyasi ko’paytmasiga teng ekan. Ya‘ni muvozanatdagi suyuqliklarda bosimning o’zgarishi massa kuchlariga bog’liq. Endi suyuqlik muvozanatining asosiy differentsial tenglamasini chiqaramiz.