KONVEKTIV KO`CHISHNING MODEL TENGLAMASI Reja: 1. Konvektiv ko`chishning model tenglamasi 2. Koshi masalasi. 3. Chegaralangan soha uchun chegaraviy masala. 4. Musbatlik xossasi. 5. Monotonlik xossasi. 6. Xossalarni hosil qilish va qo`llash. 7. Xarakteristikalarning sonl i usuli.

KIRISH Issiqlik- va massaalmashinuvi jarayonlarini o’rganish texnika va tabiatshunoslik rivojlanishida muhim rol o’ynaydi. 20 asr boshlarida bu sohadagi tadqiqotlar asosan issiqlik energetikasi bo’yicha masalalar ustida olib borilgan. Ikkinchi jahon urushidan so’ng aviatsiya, atom energetikasi, raketa-kosmik texnikasining rivojlanishi issiqlik- va massaalmashinuvining yangi masalalarining va bu soha oldiga yanada yuqori darajadagi talablarning qo’yilishiga olib keldi. Oxirgi yillarda issiqlik- va massaalmashinuvi jarayonlari ustida tadqiqotlar olib borish jadal rivojlanmoqda va texnikaning ustuvor yo’nalishlarini o’zida qamrab olmoqda, xususan ximik texnologiya, metallurgiya, qurilish ishi, mashina qurilishi, agrotexnika va boshq. Ushbu tanlov fani matematik fizika tenglamalari, matematik modellashtirish, sonli usullar kabi fanlar bilan uzviy bog’liq. Fanni o’rganishda asosan konvektiv ko’chishning model tenglamasi, model tenglamasi uchun approksimasiyalar va ularning xossalarini o’rganish, dissipasiya, konveksiya va kinetikaning model tenglamalari va bu tenglamalar uchun chekli ayirmali approksimasiyalar tuzish, issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi uchun chekli ayirmali sxemalarning xossalarini o’rganish, konvektiv issiqlik- va massaalmashinuvining matematik va sonli modellarini tadqiq etishga e’tibor qaratiladi. Issiqlik- va massaalmashinuvi modellari uchun qo’yilgan masalalarni EHMda realizasiya qilish asosan to’rlar usuli yordamida amalga oshiriladi. Issiqlik- va massaalmashinuvi tenglamalari uchun qo`yilgan masalalarni

diskretizasiya qilishda sxemalarning xossalarni o’rganish muhim ahamiyatga ega. 1. Konvektiv ko`chishning model tenglamasi Quyidagi tenglamani qaraymiz ∂u ∂t +a(t,x)∂u ∂x = f(t,x) (1) Bu tenglamaning chap qismi u(t,x) funksiyadan t bo`yicha ∂x ∂t =a(t,x) burchak koeffisiyentli yo`nalishdagi to`liq hosiladan iborat: du dt ≡ ∂u ∂t +∂u ∂t dx dt = ∂u ∂t +a(t,x)∂u ∂x . Shuning uchun (1) tenglama quyidagicha xarakteristik shaklda yozilishi mumkin du dt = f(t,x) (2) dx dt =a(t,x) (3) (1) tenglama a(1,x) tezlik bilan harakatlanayotgan muhitda bir o`lchamli issiqlik (yoki modda) ko`chirish tenglamasi. Bu yerda konduktiv issiqlik o`tkazuvchanlik (yoki diffuziya) hisobga olinmayapti, lekin mumkin bo`lgan manba yoki oqimlar hisobga olinib, ularning intensivligi f(x,t) funksiya bilan berilayapti. (1) tenglamani tadqiq qilishda (3) oddiy differinsial tenglama integral chiziqlarining xarakteristikalari muhim rol o`ynaydi.

Xarakteristikalar oqim chiziqlari bo`ladi: x= x(t,t0,x0) xarakteristika (t,x) tekislikda t=t0 momentda x= x0 koordinataga ega bo`lgan muhit zarrachalarining harakatini tasvirlaydi (1-rasm). Qandaydir fiksirlangan xarakteristikada qaralayotgan (2) tenglama t erkli o`zgaruvchi va izlanayotgan u funksiyaga nisbatan oddiy differinsial tenglamadan iborat (bu tenglamaning chap qismida izlanayotgan funksiya qatnashmayotganligi sababli, u to`g`ridan-to`g`ri yechiladi). Bu tenglama yechimi t=t0 da u= u0 boshlang`ich shart bilan aniqlanadi. Xususan, f≡ 0 bo`lgan “toza ko`chish” holida u= const xarakteristikaga ega bo`lamiz. a= const bo`lganda (3) tenglama x− at = c= const ko`rinishda integrallanadi. Bu holda xarakteristikalar parallel to`g`ri chiziqlar oilasidan iborat bo`ladi. 2. Koshi masalasi. (1) tenglama quyidagi qo`shimcha shartlar bilan qaralganda − ∞ <x<+ ∞ ,0≤ t≤ T , u(0,x)= ϕ(x) bu yerda ϕ(x) – berilgan funksiya, cheksiz muhitda boshlang`ich temperatura (konsentratsiya) taqsimoti berilgan konvektiv ko`chishni tavsiflaydi. Izlanayotgan funksiyaning ixtiyoriy (t¿,x¿) nuqtadagi qiymati (2) tenglamani (t¿,x¿) nuqtadan o`tuvchi C¿ xarakteristikasi bo`yicha integrallash yordamida topiladi. Boshlang`ich shart (4) ga mos ravishda beriladi: t= 0 da1-rasm

u=ϕ(x0 ¿), bu yerda (x0 ¿) – C¿ xarekteristika va t= 0 to`g`ri chiziq kesishadigan nuqta (2-rasm). Oddiy xususuy holda a= const , f≡ 0 bo`lganda, Koshi masalasining yechimi oshkor ko`rinishda yoziladi: u(t,x)= ϕ(x−at ) (3-rasm). Shuni ta`kidlab o`tamizki, bu holda yechim quyidagicha maxsus ko`rinishda bo`ladi: u= exp iω (x− at ) , bu yerda ω -ixtiyoriy haqiqiy son. Bu yechim x o`q bo`ylab doimiy a tezlik bilan harakatlanuvchi monoxramatik to`lqinni ifodalaydi. u(t,x) yechimning fazoviy profili yoki fazoviy taqsimlanishi t=t1 uchun u(t1,x) funksiyaning (u,x) tekislikdagi grafigi deyiladi. Xususan, a= const , f≡ 0 bo`lganda fazoviy profil x o`q bo`ylab doimiy a tezlik bilan shaklini o`zgartirmagan holda harakatlanadi. 3. Chegaralangan soha uchun chegaraviy masala. Faraz qilaylik G to`g`ri to`rtburchakli soha bo`lsin {0≤ t≤ T ,0≤ x≤ X }. t=0 da u(0,x)=ϕ(x) boshlang`ich shart beriladi, bu yerda ϕ(x) - ma`lum funksiya. Koshi masalasidan farqli ravishda endi [0;X] kesmaning tashqi nuqtalarida ham issiqlik (modda) ko`chishini tavsiflash lozim, ya`ni [0;X] kesmaga kiruvchi issiqlik tashuvchi zarrachalarning ham temperaturasini berish kerak. Bu yerda funksiyaning x= 0 va x= X chegaraviy chiziqlarning xarakteristikalar G sohaga kiruvchi nuqtalardagi qiymatlarini ham berish lozim. 2-rasm 3-rasm