Oddiy differentsial tenglamalarni sonli yechish va ularning approksimasiyasi Mundarija Kirish. I.Nazariy qism. 1.1 Umumiy mulohazalar. II.Asosiy qism. 2.1 Oddiy differensial tenglamalarni sonli yechish; 2.2 Oddiy differensial tenglamalarni sonli va taqribiy yechish; 2.3 Approksimasiya ; 2.4 ODTni sonli yechish va uning approksimasiyasi; Xulosa. Foydalanilgan adabiyotlar. 1

KIRISH Xalq xo’jaligining etakchi tarmoqlarida ishlash va ularni rivojlantirish o’z oldiga maqsad qilib olgan harbir yosh mutaxassis o’z faoliyatida fan va texnika yutuqlari bilan yetarli darajada qurollangan bo’lishi zarur. Hayotga joriy qilinayotgan "Ta’lim to’g’risidagi" qonun va "Kadrlar tayyorlash milliy dasturi" Respublikamizda ta’lim tizimini isloh qilish va buning natijasi sifatida ertangi kunimizni bugungidan yaxshi bo’lishini ta’minlay oladigan kadrlar etishtirib chiqarishga qaratilgan. Amaliy masalalarni yechishda ko’p matematik masalalarni aniq yechimini topish etarlicha murakkab masaladir, chunki izlanayotgan yechim elementar funksiyalar orqali yangi davr shaxsiy kompyuterlarining paydo bo’lishi bilan qo’yilgan masalalarni sonli usullar bilan yechish alohida o’rin oladi. Sonli usullar bu qo’yilgan masalalarni shunday usullariki uni EHM boshqaradigan arifmetik va mantiqiy amallarni sonlar ustida bajarishdan iborat. Suyuqlik uzluksiz va ajralmas fizik jism deb qaralib, tutash muhit mexanikasining bir bo’limi sifatida ham qaraladi. Suyuqlik va gaz mexanikasiga xos bo’lgan taqribiy hisoblash usullarini o’rgatish, olgan nazariy bilimlarini masalalar yechishga tadbiq eta bilish, ularda mantiqiy mushohada qilish kabi, inson faolliyatining barcha sohalari uchun zarur bo’lgan qobiliyatni shakllantirishdan iboratdir. 2

Quyidagi Koshi masalasining sonli va taqribiy yechimini 2-tartibli darajali qator ko’rinishida topaylik: , , . Buning uchun avvalo Koshi masalasining sonli yechimini topamiz, keyin esa topilgan yechimning grafigini quramiz: > restart; ordev=6: > eq:=diff(y(x),x$2)+x*sin(y(x))= - sin(x): > cond:=y(0)=-1, D(y)(0)=1: > de:=dsolve({eq,cond},y(x),numeric); > de :=proc( rkf45_x )...end proc Natijani chiqarish qatorida rkf45 usuldan foydalanilganlik haqida ma’lumot chiqadi. Agar satr kerakli ma’lumot bermasa, bu oraliq komandani ikki nuqta qo’yish bilan ajratib qo’yish lozim. Agar x ning biror fiksirlangan qiymati uchun natija olish (masalan, yechimning shu nuqtadagi hosilasi qiymatini chiqarish) zarur bo’lsa, masalan,   х =0.5 nuqtada, u holda quyidagilar teriladi (1-rasm): > de(0.5); > with(plots): > odeplot(de,[x,y(x)],-10..10,thickness=2); 3

1-rasm. Koshi masalasi sonli yechimining grafigi. Koshi masalasi yoki chegaraviy masalaning yechilishi. Dsolve komanda Koshi masalasi yoki chegaraviy masalaning yechimini topishi mumkin, agarda berilgan differensial tenglama uchun noaniq funksiyaning boshlang’ich hamda chegaraviy shartlari berilsa. Boshlang’ich yoki chegaraviy shartlarda hosilalarni belgilash uchun differensial operator ishlatiladi masalan, y''(0)=2 shartni kabi berishga to’g’ri keladi yoki y '(1)=0 shartni: . Eslatib o’tamiz, n -chi tartibli hosila kabi yoziladi. 1). Muammoni oydinlashtirishni mashqlarda bajarib ko’raylik va quyidagi tadbiqlarni bajaraylik, ya’ni Koshi masalasining yechimini topaylik : y (4) + y ''=2cos x , y (0)=  2, y '(0)=1, y ''(0)=0, y '''(0)=0. Yechish: > de:=diff(y(x),x$4)+diff(y(x),x$2)=2*cos(x); >  cond:=y(0)=-2,  D(y)(0)=1,  (D@@2)(y)(0)=0, (D@@3)(y)(0)=0; cond:=y(0)=  2, D(y)(0)=1, (D (2) )(y)(0)=0, (D (3) )(y)(0)=0 >   dsolve({de,cond},y(x)); y( x ) =  2cos( x )  x sin( x )+ x. 4

2). Boshqa turdagi oddiy differensial tenglamaning yechimini turli analitik usullar yordamida Maple dasturidan foydalanib yeching: . Yechish: > ode_L:=sin(x)*diff(y(x),x)-cos(x)*y(x)=0; > dsolve(ode_L,[linear],useInt); > value(%); > dsolve(ode_L,[separable],useInt); > value(%); Ko’pchilik differensial tenglamalar turlarining aniq analitik yechimi topilmaydi. Bu holda differensial tenglamalarning yechimini yaqinlashuvchi metodlar yordamida topish mumkin, ya’ni noaniq funksiyani darajali qatorga yoyish orqali topish. Differensial tenglamaning yechimini darajali qator ko’rinishida topish uchun dsolve komandada o’zgaruvchilardan keyin type=series (yoki shunchaki series) parametrini ko’rsatish kerak. n -chi yoyilma tartibini ko’rsatish uchun, ya’ni daraja tartibini yoyilma tugaguncha, dsolve komandadan oldin tartibni aniqlaydigan Order:=n komandani qo’yish kerak. 5