IDEAL SUYUQLIK VA GAZ

Загружено в:

23.11.2024

Скачано:

0

Размер:

75.0 KB
 
MAVZU: IDEAL SUYUQLIK VA GAZ
Reja:
1. Ideal suyuqlik va gazning ta'riflari.  
2. Ideal suyuqlikda kuchlanish tenzori.
3. Ideal suyuqlik ning  harakat tenglamalari.  
4. Ideal suyuqlikning Lemb- Gromeki shaklidagi harakat tenglamalari. .
5. Ideal suyuqlikning Lemb- Gromeki shaklidagi harakat tenglamalari.
6. Barotrop   jarayonlarda   ideal   siqiluvchan   suyuqlik   (gaz)   harakat
tenglamalarining  yopiq sistemasi. Tayanch   iboralar :   suyuqlik,   gaz,   kuchlanish   tenzori,   normal,   yuzacha,   kovariant
va   kontravariant   komponentalar,   vektor,   skalyar,   baratrop
hodisalar, massa
Harakat   miqdori ,   harakat   miqdori   momenti   va   uzviylik   differensial
tenglamalari barcha tutash muhitlarning ixtiyoriy uzluksiz harakatlarida bajariladi.
Ammo har xil real muhitlar bir xil tashqi shartlarda o'zlarini har xil tutishadi.
Demak,   bu   tenglamalarning   o'zi,   hatto   mos   chegaraviy   shartlar   qo'shilganda
ham,   konkret   tutash   muhit   harakatini   ifodalash   uchun   yetarli   emas.   Sababi
tenglamalar   soni   ularga  kiruvchi   noma'lumlar   soniga   nisbatan   kam,   sistema   to'liq
emas (yopiq emas).
To’liq   tenglamalar   sistemasini   tuzish   -   bu   demak   o'rganilayotgan
muhitning matematik modelini tuzish demakdir.
Quyida   biz   tutash   muhitning   ba'zi   bir   sodda   klassik   modellarini   qarab
chiqamiz.
1. Ideal suyuqlik va gaz ta’riflari
Ideal   suyuqlik   va   gaz   modellarini   o'rganishdan   boshlaymiz.   Ideal   suyuqlik
yoki   ideal   gaz   deb   shunday   muhitga   aytiladiki,   unda  ⃗n   normalli   ixtiyoriy
yuzachada 	
⃗pn  kuchlanish vektori yuzachaga ortogonal, ya'ni 	⃗pn// {	⃗n¿ .
Eksperement natijalari va umumiy fizik xulosalar ko'rsatadiki,  ixtiyoriy muhit
juda katta bosim va temperaturalarda bunday xossaga ega.
2. Ideal suyuqlikda kuchlanish tenzori
Ideal   suyuqlikda   kuchlanish   tenzorining   tenzor   sirti   bu   holda   sferadan
iborat  va demak, 	
p1=	p2=	p3  ya'ni  kuchlanish tenzorining bosh komponentalari
bir  xil .  Ularni   -p   orqali   belgilaymiz   va   p  ni   bosim   deb  olamiz .  Ishorani   tanlash
bosimni   musbat   miqdor   sifatida   olish   uchun   qilindi,   chunki   tajribalar
ko'rsatayapdiki   ideal   suyuqlik   modeli   o'rinli   bo’lgan   muhitlar   asosan   p   >   0
bo’lganda siqilgan holatda bo'ladilar .
Bunday   muhit   uchun   ixtiyoriy   uchta   o'zaro   ortogonal   yo'nalishlar   bosh
yo'nalishlar   hisoblanadi   va   shuning   uchun   ixtiyoriy   dekart   koordinatalar
sistemasida kuchlanish tenzori komponentalari matrisasi	
‖−p00	¿‖‖0−p0¿‖¿	
¿	
¿¿
ko'rinishga ega.
Xususan, 	
pki  aralash komponentalari uchun	
pki=−	pδ	ki
        (15.1) bo'ladi.  δk
i¯эk¯эi   tenzorning  	δk
i   komponentalar   koordinatalarni   almashtirganda
o'zgarmaydilar,  	
(δk'i=	δki)   va   shuning   uchun   (15.1)   formula   ideal   suyuqlikda
kuchlanish   tenzorining   aralash   komponentalari   uchun   nafaqat   dekart   balkim
ixtiyoriy egri chiziqli koordinatalar sistemasida o'rinli.
Bu tenzorning kontravariant komponentalari	
pki=	gks	ps
i=−	pg	ksδs
i=−	pg	ki
                 (15.2)
ko'rinishga ega, kovariant komponentalari esa	
pki=	gks	pi
s=−	pg	ksδi
s=−	pg	ki
.
Demak,   ideal   suyuqlikda   kuchlanish   tenzori   bitta   p   son   bilan   beriladi   (umumiy
holda 9 ta 	
pki  larga bog'liq).
Ideal suyuqlik uchun	
P=−	p⋅G	,
bu yyerda  G -  metrik tenzor.
Tenzor sirti sferadan  iborat  bo'lgan  ixtiyoriy  T   tenzor sharsimon   deyiladi .
Barcha  sharsimon tenzorlar quyidagi ko'rinishga ega	
T=	k⋅G	,
k  - skalyar miqdor.
3. Ideal suyuqlikning  harakat tenglamalari
Ixtiyoriy   egri   chiziqli   koordinatalar   sistemasida   tutash   muhitning
tenglamalari	
ρa	k=	ρF	k+∇	ipki
(15.2) ga ko'ra  ideal suyuqlik uchun  quyidagicha yoziladi	
ρa	k=	ρF	k−	gki∇	ip
.             (15.3)
(15.3) formulani yozishda  	
gki   tenzor komponentalari   kovariant differensiallashda
o’zlarini o'zgarmas miqdor sifatida tutishadi.
Bu   tenglamalarni   vektor   ko’rinishda   yozamiz.  	
∇ip   miqdorlar   p   -   gradient-
vektorning kovariant komponentalari,  	
gki∇ip   - uning kontravariant komponentasi.
Shuning uchun  (15.3) tenglama vektor ko'rinishda  quyidagicha bo'ladi	
ρ⃗a=	ρ⃗F−	grad	p.
                  (15.4)
Bu   tenglamalar   dekart   koordinatalar   o'qlariga   proeksiyalarda   quyidagicha
yoziladi:
                                                       	
du
dt	=	Fx−	1
ρ⋅дp
дx	,
                                                       	
dυ
dt	=	Fy−	1
ρ⋅дp
дy	,
( 15 .5) dw
dt	=	Fz−	1
ρ⋅дp
дz	.yoki
              	
дu
дt	+uдu
дx	+υдu
дy	+w	дu
дz	=	F	x−	1
ρ⋅дp
дx	,	
дυ
дt	+uдυ
дx	+υдυ
дy	+w	дυ
дz	=	F	y−	1
ρ⋅дp
дy	,
                                   ( 15 .6)
             	
дw
дt	+uдw
дx	+υдw
дy	+w	дw
дz	=	Fz−	1
ρ⋅дp
дz	.
Bu tenglamalar  Eyler tenglamalari   deyiladi.
4. Ideal  suyuqlikning  Lemb-Gromeki  shaklidagi harakat tenglamalari
Yuqoridagi  (15.6)  tenglamalarni  boshqacha ko'rinishda yozamiz. Tezlanishni
quyidagicha yozish mumkin:	
d⃗υ
dt	=	д⃗υ
dt	+grad	⃗υ2
2	+2ω×	⃗υ,
               (15.7)
bu   yerda  	
⃗ω   -   uyurma   vektori.   Haqiqatan,   dekart   koordinatalar   sistemasida
tezlanishning  x  o'qiga proeksiyasi uchun	
du
dt	=	дu
дt	+дu
дx	u+дu
дy	υ+	дu
дz	w=	дu
дt	+1
2	
д
дx	(u2+υ2+w2)−	
−(
дυ
дx	−	дu
дy	)υ+(
дu
дz	−	дw
дx	)w=дu
дt	+1
2
д⃗υ2	
дx	+2(ωyw−	ωzυ)=	
¿дu
дt	+1
2
д⃗υ2	
дx	+2(⃗w×⃗υ)x.
Xuddi  shunday  formulalar   tezlanishning   y   va   z   o'qlariga  proeksiyalari  uchun
ham hosil bo'ladi, shuning uchun 	
d⃗υ
dt  hosila vektor korinishda (15.7) kabi yoziladi.
Ideal suyuqlik harakat tenglamalari esa vektor ko'rinishda quyidagicha yoziladi:	
д⃗υ
дt	+1
2	grad	υ2+2¯ω×	⃗υ=	⃗F−	1
ρ⋅gradp	.
               (15.8)
Bu   tenglamalar   Gromeki   -   Lemb   shaklidagi   Eyler   harakat   tenglamalari
deyiladi.   Tezlanishning   bunday   almashtirishini   ixtiyoriy   tutash   muhitlar   uchun
qo'llash   mumkin   va   u,   xususan,   gidromexanikaning   ko'pgina   masalalarini
o'rganishda juda qulay bo'ladi.
Ideal suyuqlik harakatining uchta tenglamalariga	
дρ
дt	+div	ρ⃗υ=0
uzviylik tenglamalarini qo'shish kerak. Biz ma'lum  F
x , F
y , F
z  massaviy kuchlar berilganda 5 ta noma'lum   u, υ , w, p,	

    funksiyalarga   ega   to’rta   tenglamalar   sistemasini   hosil   qildik.   Bu   sistema   hali
ham to'liq emas.
5.   Ideal siqilmaydigan suyuqlik harakat tenglamalarining to'liq sistemasi
Ko'p   hollarda   qo'shimcha   qilib,   qaralayotgan   ideal   suyuqlik   siqilmaydigan
deb qarash mumkin, ya'ni uning ixtiyoriy    zarrachasining  hajm miqdori o'zgarmas
deb   qarash   mumkin.   U   holda   to’rtta   tenglamalar   sistemasiga   quyidagi   shart
qo'shiladi:	
dρ
dt	=	дρ
дt	+⃗υ⋅grad	ρ=	0
yoki dekart koordinatalar sistemasida	
дρ
дt	+uдρ
дx	+υдρ
дy	+w	дρ
дz	=	0
bo'ladi.   Bu   shart   ideal   siqilmaydigan   suyuqlik   harakatini   ifodalovchi
tenglamalar sistemasini to'ldiradi. Bu sistemani to'lalig’icha keltitamiz:
                                         	
d⃗υ
dt	=	⃗F−	1
ρgradp	,	
div	⃗υ=0,	
dρ
dt	=0.
                   (15.9)
Agarda zarracha massasi o'zgarsa oxirgi tenglama o'zgarishi mumkin.
Aytish   lozimki,   o'zgarmas   massali   bir   jinsli   siqilmaydigan   suyuqlik   holida
uning   har   bir   zarrachasi   zichligi  	
ρ   zarrachada   o'zgarmas   bo'ladi   va   barcha
zarrachalarda   bir   xil   bo'ladi,   shuning   uchun   u   ahamiyatli   izlanuvchi   funksiya
bo'lmay   qoladi.   Mexanik   tenglamalarning   to'liq   sistemasi   bu   holda   Eyler
tenglamalari va uzviylik tenglamalaridan iborat bo'ladi.	
дυ	i	
дt	+υj∇	jυi=	Fi−	1
ρ	gij∇	jp,	
∇	αυα=	0.
             (15.10)
6. Barotrop jarayonlarda ideal siqiluvchan suyuqlik (gaz) harakat
tenglamalarining  yopiq sistemasi.  
Siqiladigan suyuqlik harakatida ko'p hollarda	
p=	f(ρ),
ya'ni   bosim   faqat   zichlikka   bog'liq   deb   qarash   mumkin.  	
p=	f(ρ)   bo'lgan
jarayonlarga  baratrop jarayonlarr   deyiladi.  Barotrop jarayonlarga misol sifatida	
p=	RρT
(bu yerda  R -  gaz doimiysi) Klaypeyron   tenglamasiga   bo'ysinuvchi   gazning   izotermik   harakatini   qarash
mumkin.Ayonki barotropiya sharti (agarda   f ( ) - ma'lum bo'lsa) ideal siqiluvchan
suyuqlik harakatini ifodalovchi tenglamalar sistemasini to'ldirishga imkon beradi.
Bu holda to'g'ri burchakli dekart koordinatalari sistemasida to'liq tenglamalar
sistemasi quyidagi ko'rinishga ega
                            	
дρ
дt	+дρu
дx	+д	ρυ	
дy	+дρw
дz	=	0,	
дu
дt	+uдu
дx	+υдu
дy	+w	дu
дz	=	F	x−	1
ρ⋅дp
дx	,	
дυ
дt	+uдυ
дx	+υдυ
дy	+w	дυ
дz	=	F	y−	1
ρ⋅дp
дy	,	
дw
дt	+uдw
дx	+υдw
дy	+w	дw
дz	=	F	z−	1
ρ⋅дp
дz	,	
p=	f(ρ).                    (15.11)
Umumiy holda suyuqlik va gaz harakatida barotropiya sharti bajarilmaydi va
bunday   harakatni   ifodalash   uchun   qo'shimcha   termodinamik   tenglamalar   kiritish
kerak.
Mustaqil ishlash uchun savollar:
1. Ideal suyuqlik va gaz ta’riflarini bering.
2. Ideal suyuqlikda kuchlanish tenzorining tenzor sirti nimadan iborat.
3. Dekart   koordinatalar   sistemasida   kuchlanish   tenzori   komponentalari
yozing.
4. Sharavoy tenzor deb nimaga aytiladi?
5. Ideal suyuqlik harakat tenglamalarini yozing.
6. Eyler   tenglamalarini   vektor   ko’rinishda   va   dekart   koordinatalar
o’qlariga proeksiyalarda yozing.
7. Gromeki   –   Lemb   shaklidagi   ideal   suyuqlik   harakat   tenglamalarini
yozing.
8. Ideal suyuqlik harakatining to’liq tenglamalar sistemasini keltiring.
9. Baratrop prosess deb nimaga aytiladi.
10. Baratrop   prosessda   ideal   siqiluvchan   suyuqlik   harakatining   yopiq
sistemasini yozing.
Adabiyotlar :
1. Седов. Механика спл o шной среды. Москва. 1971 г. часть 1 стр – 157
– 162.

MAVZU: IDEAL SUYUQLIK VA GAZ Reja: 1. Ideal suyuqlik va gazning ta'riflari. 2. Ideal suyuqlikda kuchlanish tenzori. 3. Ideal suyuqlik ning harakat tenglamalari. 4. Ideal suyuqlikning Lemb- Gromeki shaklidagi harakat tenglamalari. . 5. Ideal suyuqlikning Lemb- Gromeki shaklidagi harakat tenglamalari. 6. Barotrop jarayonlarda ideal siqiluvchan suyuqlik (gaz) harakat tenglamalarining yopiq sistemasi.

Tayanch iboralar : suyuqlik, gaz, kuchlanish tenzori, normal, yuzacha, kovariant va kontravariant komponentalar, vektor, skalyar, baratrop hodisalar, massa Harakat miqdori , harakat miqdori momenti va uzviylik differensial tenglamalari barcha tutash muhitlarning ixtiyoriy uzluksiz harakatlarida bajariladi. Ammo har xil real muhitlar bir xil tashqi shartlarda o'zlarini har xil tutishadi. Demak, bu tenglamalarning o'zi, hatto mos chegaraviy shartlar qo'shilganda ham, konkret tutash muhit harakatini ifodalash uchun yetarli emas. Sababi tenglamalar soni ularga kiruvchi noma'lumlar soniga nisbatan kam, sistema to'liq emas (yopiq emas). To’liq tenglamalar sistemasini tuzish - bu demak o'rganilayotgan muhitning matematik modelini tuzish demakdir. Quyida biz tutash muhitning ba'zi bir sodda klassik modellarini qarab chiqamiz. 1. Ideal suyuqlik va gaz ta’riflari Ideal suyuqlik va gaz modellarini o'rganishdan boshlaymiz. Ideal suyuqlik yoki ideal gaz deb shunday muhitga aytiladiki, unda ⃗n normalli ixtiyoriy yuzachada ⃗pn kuchlanish vektori yuzachaga ortogonal, ya'ni ⃗pn// { ⃗n¿ . Eksperement natijalari va umumiy fizik xulosalar ko'rsatadiki, ixtiyoriy muhit juda katta bosim va temperaturalarda bunday xossaga ega. 2. Ideal suyuqlikda kuchlanish tenzori Ideal suyuqlikda kuchlanish tenzorining tenzor sirti bu holda sferadan iborat va demak, p1= p2= p3 ya'ni kuchlanish tenzorining bosh komponentalari bir xil . Ularni -p orqali belgilaymiz va p ni bosim deb olamiz . Ishorani tanlash bosimni musbat miqdor sifatida olish uchun qilindi, chunki tajribalar ko'rsatayapdiki ideal suyuqlik modeli o'rinli bo’lgan muhitlar asosan p > 0 bo’lganda siqilgan holatda bo'ladilar . Bunday muhit uchun ixtiyoriy uchta o'zaro ortogonal yo'nalishlar bosh yo'nalishlar hisoblanadi va shuning uchun ixtiyoriy dekart koordinatalar sistemasida kuchlanish tenzori komponentalari matrisasi ‖−p00 ¿‖‖0−p0¿‖¿ ¿ ¿¿ ko'rinishga ega. Xususan, pki aralash komponentalari uchun pki=− pδ ki (15.1)

bo'ladi. δk i¯эk¯эi tenzorning δk i komponentalar koordinatalarni almashtirganda o'zgarmaydilar, (δk'i= δki) va shuning uchun (15.1) formula ideal suyuqlikda kuchlanish tenzorining aralash komponentalari uchun nafaqat dekart balkim ixtiyoriy egri chiziqli koordinatalar sistemasida o'rinli. Bu tenzorning kontravariant komponentalari pki= gks ps i=− pg ksδs i=− pg ki (15.2) ko'rinishga ega, kovariant komponentalari esa pki= gks pi s=− pg ksδi s=− pg ki . Demak, ideal suyuqlikda kuchlanish tenzori bitta p son bilan beriladi (umumiy holda 9 ta pki larga bog'liq). Ideal suyuqlik uchun P=− p⋅G , bu yyerda G - metrik tenzor. Tenzor sirti sferadan iborat bo'lgan ixtiyoriy T tenzor sharsimon deyiladi . Barcha sharsimon tenzorlar quyidagi ko'rinishga ega T= k⋅G , k - skalyar miqdor. 3. Ideal suyuqlikning harakat tenglamalari Ixtiyoriy egri chiziqli koordinatalar sistemasida tutash muhitning tenglamalari ρa k= ρF k+∇ ipki (15.2) ga ko'ra ideal suyuqlik uchun quyidagicha yoziladi ρa k= ρF k− gki∇ ip . (15.3) (15.3) formulani yozishda gki tenzor komponentalari kovariant differensiallashda o’zlarini o'zgarmas miqdor sifatida tutishadi. Bu tenglamalarni vektor ko’rinishda yozamiz. ∇ip miqdorlar p - gradient- vektorning kovariant komponentalari, gki∇ip - uning kontravariant komponentasi. Shuning uchun (15.3) tenglama vektor ko'rinishda quyidagicha bo'ladi ρ⃗a= ρ⃗F− grad p. (15.4) Bu tenglamalar dekart koordinatalar o'qlariga proeksiyalarda quyidagicha yoziladi: du dt = Fx− 1 ρ⋅дp дx , dυ dt = Fy− 1 ρ⋅дp дy , ( 15 .5)

dw dt = Fz− 1 ρ⋅дp дz .yoki дu дt +uдu дx +υдu дy +w дu дz = F x− 1 ρ⋅дp дx , дυ дt +uдυ дx +υдυ дy +w дυ дz = F y− 1 ρ⋅дp дy , ( 15 .6) дw дt +uдw дx +υдw дy +w дw дz = Fz− 1 ρ⋅дp дz . Bu tenglamalar Eyler tenglamalari deyiladi. 4. Ideal suyuqlikning Lemb-Gromeki shaklidagi harakat tenglamalari Yuqoridagi (15.6) tenglamalarni boshqacha ko'rinishda yozamiz. Tezlanishni quyidagicha yozish mumkin: d⃗υ dt = д⃗υ dt +grad ⃗υ2 2 +2ω× ⃗υ, (15.7) bu yerda ⃗ω - uyurma vektori. Haqiqatan, dekart koordinatalar sistemasida tezlanishning x o'qiga proeksiyasi uchun du dt = дu дt +дu дx u+дu дy υ+ дu дz w= дu дt +1 2 д дx (u2+υ2+w2)− −( дυ дx − дu дy )υ+( дu дz − дw дx )w=дu дt +1 2 д⃗υ2 дx +2(ωyw− ωzυ)= ¿дu дt +1 2 д⃗υ2 дx +2(⃗w×⃗υ)x. Xuddi shunday formulalar tezlanishning y va z o'qlariga proeksiyalari uchun ham hosil bo'ladi, shuning uchun d⃗υ dt hosila vektor korinishda (15.7) kabi yoziladi. Ideal suyuqlik harakat tenglamalari esa vektor ko'rinishda quyidagicha yoziladi: д⃗υ дt +1 2 grad υ2+2¯ω× ⃗υ= ⃗F− 1 ρ⋅gradp . (15.8) Bu tenglamalar Gromeki - Lemb shaklidagi Eyler harakat tenglamalari deyiladi. Tezlanishning bunday almashtirishini ixtiyoriy tutash muhitlar uchun qo'llash mumkin va u, xususan, gidromexanikaning ko'pgina masalalarini o'rganishda juda qulay bo'ladi. Ideal suyuqlik harakatining uchta tenglamalariga дρ дt +div ρ⃗υ=0 uzviylik tenglamalarini qo'shish kerak.

Загрузите документ, чтобы увидеть его полностью.