IDEAL SUYUQLIK VA GAZ
MAVZU: IDEAL SUYUQLIK VA GAZ Reja: 1. Ideal suyuqlik va gazning ta'riflari. 2. Ideal suyuqlikda kuchlanish tenzori. 3. Ideal suyuqlik ning harakat tenglamalari. 4. Ideal suyuqlikning Lemb- Gromeki shaklidagi harakat tenglamalari. . 5. Ideal suyuqlikning Lemb- Gromeki shaklidagi harakat tenglamalari. 6. Barotrop jarayonlarda ideal siqiluvchan suyuqlik (gaz) harakat tenglamalarining yopiq sistemasi.
Tayanch iboralar : suyuqlik, gaz, kuchlanish tenzori, normal, yuzacha, kovariant va kontravariant komponentalar, vektor, skalyar, baratrop hodisalar, massa Harakat miqdori , harakat miqdori momenti va uzviylik differensial tenglamalari barcha tutash muhitlarning ixtiyoriy uzluksiz harakatlarida bajariladi. Ammo har xil real muhitlar bir xil tashqi shartlarda o'zlarini har xil tutishadi. Demak, bu tenglamalarning o'zi, hatto mos chegaraviy shartlar qo'shilganda ham, konkret tutash muhit harakatini ifodalash uchun yetarli emas. Sababi tenglamalar soni ularga kiruvchi noma'lumlar soniga nisbatan kam, sistema to'liq emas (yopiq emas). To’liq tenglamalar sistemasini tuzish - bu demak o'rganilayotgan muhitning matematik modelini tuzish demakdir. Quyida biz tutash muhitning ba'zi bir sodda klassik modellarini qarab chiqamiz. 1. Ideal suyuqlik va gaz ta’riflari Ideal suyuqlik va gaz modellarini o'rganishdan boshlaymiz. Ideal suyuqlik yoki ideal gaz deb shunday muhitga aytiladiki, unda ⃗n normalli ixtiyoriy yuzachada ⃗pn kuchlanish vektori yuzachaga ortogonal, ya'ni ⃗pn// { ⃗n¿ . Eksperement natijalari va umumiy fizik xulosalar ko'rsatadiki, ixtiyoriy muhit juda katta bosim va temperaturalarda bunday xossaga ega. 2. Ideal suyuqlikda kuchlanish tenzori Ideal suyuqlikda kuchlanish tenzorining tenzor sirti bu holda sferadan iborat va demak, p1= p2= p3 ya'ni kuchlanish tenzorining bosh komponentalari bir xil . Ularni -p orqali belgilaymiz va p ni bosim deb olamiz . Ishorani tanlash bosimni musbat miqdor sifatida olish uchun qilindi, chunki tajribalar ko'rsatayapdiki ideal suyuqlik modeli o'rinli bo’lgan muhitlar asosan p > 0 bo’lganda siqilgan holatda bo'ladilar . Bunday muhit uchun ixtiyoriy uchta o'zaro ortogonal yo'nalishlar bosh yo'nalishlar hisoblanadi va shuning uchun ixtiyoriy dekart koordinatalar sistemasida kuchlanish tenzori komponentalari matrisasi ‖−p00 ¿‖‖0−p0¿‖¿ ¿ ¿¿ ko'rinishga ega. Xususan, pki aralash komponentalari uchun pki=− pδ ki (15.1)
bo'ladi. δk i¯эk¯эi tenzorning δk i komponentalar koordinatalarni almashtirganda o'zgarmaydilar, (δk'i= δki) va shuning uchun (15.1) formula ideal suyuqlikda kuchlanish tenzorining aralash komponentalari uchun nafaqat dekart balkim ixtiyoriy egri chiziqli koordinatalar sistemasida o'rinli. Bu tenzorning kontravariant komponentalari pki= gks ps i=− pg ksδs i=− pg ki (15.2) ko'rinishga ega, kovariant komponentalari esa pki= gks pi s=− pg ksδi s=− pg ki . Demak, ideal suyuqlikda kuchlanish tenzori bitta p son bilan beriladi (umumiy holda 9 ta pki larga bog'liq). Ideal suyuqlik uchun P=− p⋅G , bu yyerda G - metrik tenzor. Tenzor sirti sferadan iborat bo'lgan ixtiyoriy T tenzor sharsimon deyiladi . Barcha sharsimon tenzorlar quyidagi ko'rinishga ega T= k⋅G , k - skalyar miqdor. 3. Ideal suyuqlikning harakat tenglamalari Ixtiyoriy egri chiziqli koordinatalar sistemasida tutash muhitning tenglamalari ρa k= ρF k+∇ ipki (15.2) ga ko'ra ideal suyuqlik uchun quyidagicha yoziladi ρa k= ρF k− gki∇ ip . (15.3) (15.3) formulani yozishda gki tenzor komponentalari kovariant differensiallashda o’zlarini o'zgarmas miqdor sifatida tutishadi. Bu tenglamalarni vektor ko’rinishda yozamiz. ∇ip miqdorlar p - gradient- vektorning kovariant komponentalari, gki∇ip - uning kontravariant komponentasi. Shuning uchun (15.3) tenglama vektor ko'rinishda quyidagicha bo'ladi ρ⃗a= ρ⃗F− grad p. (15.4) Bu tenglamalar dekart koordinatalar o'qlariga proeksiyalarda quyidagicha yoziladi: du dt = Fx− 1 ρ⋅дp дx , dυ dt = Fy− 1 ρ⋅дp дy , ( 15 .5)
dw dt = Fz− 1 ρ⋅дp дz .yoki дu дt +uдu дx +υдu дy +w дu дz = F x− 1 ρ⋅дp дx , дυ дt +uдυ дx +υдυ дy +w дυ дz = F y− 1 ρ⋅дp дy , ( 15 .6) дw дt +uдw дx +υдw дy +w дw дz = Fz− 1 ρ⋅дp дz . Bu tenglamalar Eyler tenglamalari deyiladi. 4. Ideal suyuqlikning Lemb-Gromeki shaklidagi harakat tenglamalari Yuqoridagi (15.6) tenglamalarni boshqacha ko'rinishda yozamiz. Tezlanishni quyidagicha yozish mumkin: d⃗υ dt = д⃗υ dt +grad ⃗υ2 2 +2ω× ⃗υ, (15.7) bu yerda ⃗ω - uyurma vektori. Haqiqatan, dekart koordinatalar sistemasida tezlanishning x o'qiga proeksiyasi uchun du dt = дu дt +дu дx u+дu дy υ+ дu дz w= дu дt +1 2 д дx (u2+υ2+w2)− −( дυ дx − дu дy )υ+( дu дz − дw дx )w=дu дt +1 2 д⃗υ2 дx +2(ωyw− ωzυ)= ¿дu дt +1 2 д⃗υ2 дx +2(⃗w×⃗υ)x. Xuddi shunday formulalar tezlanishning y va z o'qlariga proeksiyalari uchun ham hosil bo'ladi, shuning uchun d⃗υ dt hosila vektor korinishda (15.7) kabi yoziladi. Ideal suyuqlik harakat tenglamalari esa vektor ko'rinishda quyidagicha yoziladi: д⃗υ дt +1 2 grad υ2+2¯ω× ⃗υ= ⃗F− 1 ρ⋅gradp . (15.8) Bu tenglamalar Gromeki - Lemb shaklidagi Eyler harakat tenglamalari deyiladi. Tezlanishning bunday almashtirishini ixtiyoriy tutash muhitlar uchun qo'llash mumkin va u, xususan, gidromexanikaning ko'pgina masalalarini o'rganishda juda qulay bo'ladi. Ideal suyuqlik harakatining uchta tenglamalariga дρ дt +div ρ⃗υ=0 uzviylik tenglamalarini qo'shish kerak.