MAVZU: Noravshan arifmetika REJA: 1. Noravshan sonlar. 2. Musbat va manfiy noravshan sonlar. 3. Umumlashtirish tamoyili. 4. Zade umumlashgan tamoyili

Oraliq (interval) tahlil tushunchasining noravshan to’plamlar nazariyasida tutgan ahamiyati bois, uning asosiy tushuncha hamda usullarini keltirib o’tamiz [99,118]. Oraliq sonlar . R barcha haqiqiy sonlar to’plami bo’lsin. [a,b ] oraliq deganda (a≤ b ), boshqa izohlar keltirilmagan bo’lsa, quyidagi ko’rinishdagi R ning berk chegaralangan qism to’plami tushuniladi [13,38,143]: [a,b]= {x|x∈ R∧ a≤ x≤ b} . Barcha oraliqlar to’plamini I(R) bilan belgilaymiz. I(R) ning elementlarini kichik harflar bilan belgilaymiz. Agar A - I(R) ning elementi bo’lsa ( A ∈ I(R ) ), u holda uning chap va o’ng uchlarini a,¯a:A= [a,¯a] ko’rinishda belgilaymiz. I(R) ning elementlarini oraliq sonlar deb ataymiz [43,130,132] . ∈,∩⊂ va h . k belgilari odatiy nazariy - to ’ plamli ma ’ noda tushuniladi , jumladan ⊂ qat ’ iy qamrovni anglatishi shart emas , ya ’ ni A ⊂ B munosabatda oraliqlar teng bo ’ lishi mumkin . A va B oraliqlar faqat va faqat a= b ,¯a= ¯b bo’lganda teng hisoblanadi. I(R) oraliqda tartib munosabati quyidagicha aniqlanadi: ¯a< b bo’lgandagina А < В bo’ladi. Kiritish bo’yicha ham tartiblash mumkin: A oraliq B oraliqdan A ⊂ B bo’lganda katta bo’lmaydi. Asosan biz birinchi ta’rifdan foydalanamiz. А va В oraliqlarning A∩ B kesishmasi A<B yoki B<A bo’lganda bo’sh bo’ladi, aks holda A∩ B= [max {a,b},min {¯a,¯b}] –yana oraliq hosil bo’ladi. Ta’rifga ko’ra [a,¯a] oraliq − a= ¯a munosabat bajarilganda simmetrik bo’ladi. A oraliqning ω(A) kengligi deb ω (A)= ¯a− a kattalikka aytiladi. m (A) - o’rta A oraliq uchlari yig’indisining yarmidir : m (A )= (a+¯a)/2 . Absolyut kattalik |A| quyidagi ko’rinishda aniqlanadi: |A|= max {|a|,|¯a|} . Va nihoyat, μ(A)= max {|a|,|¯a|} , S(A )= (|a|+|¯a|)/2 . |A|≤|B| da ω(A)≤ ω(B) , A⊂B va A≠ B da ω(A)<ω (B) . A ,B ∈I(R) elementlar o’rtasidagi ρ(A ,B ) masofa ρ ( A ,B )= max ¿ ¿ tenglik orqali kiritiladi. Birlik oraliq , ya’ni uchlari ustma-ust tushgan a= ¯a= a oraliq a songa tengdir. Demak R∈I(R) . Standart oraliqli arifmetika . Oraliqli sonlar ustidagi amallar quyidagicha aniqlanadi[122,142]. ¿∈{+,−,⋅,/} bo’lsin, A,B∈I(R) . U holda

A∗ B= {a∗ b|a∈ A ,b∈ B} , (1.2.1) jumladan bo’lishda 0∉ B . (1.2.1) ta’rif quyidagi munosabatlarga ekvivalent A+B= [a,¯a]+[b,¯b]= [a+b,¯a+¯b] , (1.2.2) A− B= [a,¯a]− [b− ¯b]= [a− ¯b,¯a− b] , (1.2.3) A⋅B= [a,¯a]⋅[b,¯b]=[min {ab ,¯ab,a¯b,¯a¯b},max {ab ,¯ab,a¯b,¯a¯b}] , (1.2.4) A/b= [a,¯a]/[b,¯b]= [a,¯a]⋅[1/¯b,1/b] . (1.2.5) Ayirish amalini qo’shish hamda ko’paytirish orqali ifodalsh mumkin, bunda − B=(−1)⋅B=[−1,−1]⋅B va A− B= A+(− B ) . a,¯a,b,¯b sonlarning ishorasiga qarab oraliq ko’paytirishga oid (1.2.4) qoida quyidagi ko’rinishlarga kiradi ( [c,¯c]=[a,¯a]⋅[b,¯b] deb olgan holda): 1. a≥ 0,b≥ 0 : c= ab ,¯c= ¯a¯b ; 2. a≥ 0,¯b≥ 0 : c= ¯ab ,¯c= a¯b ; 3. ¯a≤ 0,¯b≥ 0 : c= a¯b,¯c= ab ; 4. ¯a≤ 0,¯b≤ 0 : c= ¯a¯b ,¯c= ab ; 5. a< 0< ¯a ,b≥ 0 : c= a¯b ,¯c= ¯a¯b ; 6. a< 0<¯a ,¯b≤ 0 : c= ¯ab,¯c= ab ; 7. a≥ 0 ,b<0< ¯b : c= ¯ab,¯c= ¯a¯b ; 8. ¯a≤ 0 ,b<0< ¯b : c= a¯b,¯c= ab ; 9. a< 0< ¯a ,b< 0< ¯b : c= min {a¯b,¯ab},¯c= max {ab ,¯a¯b} . Bu yerdan ko ’ rinib turibdiki , faqatgina bitta holda ( oxirgisida ) ko ’ paytmani topish uchun to ’ rt marta ko ’ paytirishga to ’ g ’ ri keladi , qolgan hollarda esa ikki marta ko ’ paytirish yetarli . Agar A va B - birlik oraliq bo’lsa, u holda (1.2.2)–(1.2.5) tengliklar haqiqiy sonlar ustidagi oddiy arifmaetik amallar bilan bir xil bo’ladi. Shunday qilib oraliq son haqiqiy sonning, oraliq arifmetika esa - haqiqiyning umumiyroq ko’rinishidir. (1.2.1) ta’rifdan ko’rinib turibdiki, oraliq yig’indi va ko’paytma assosiativ va kommutativ, boshqa so’z bilan aytganda A,B,C ∈I(R) larga nisbatan quyidagi tengliklar o’rinli: A+(B+C)=(A+B)+C, A+B=B+A, A⋅(B⋅C )= (A⋅B )⋅C , A⋅B = B⋅A

Nol va bir vazifasini oddiy 0 va 1 sonlari o’taydilar, chunki yuqorida qayd etilganidek ular [0,0] va [1,1] oraliqlarga tengdirlar. Boshqa so’z bilan aytganda ixtiyoriy A∈ I(R) uchun A +0= 0+ A= A , A⋅1= 1⋅A= A . Kelgusida ko’paytirishni anglatuvchi nuqtani yozmaymiz. (1.2.1) tenglik ((1.2.2)-(1.2.5) kabi) operandlardan biri birlik oraliq bo’lsa, u holda arifmetik amalning natijasi ham birlik oraliq bo’lishini bildiradi. 0=[0,0] ga ko’paytirish bundan mustasnodir. Bu yerdan kelib chiqadiki, A birlik oraliqda qo’shish va ko’paytirishga nisbatan teskari elementlar mavjud emas, chunki, agar А + В = 0, АС = 1 , u holda А , В , С yuqorida aytilganlarga muvofiq birlik bo’lishlari shart. Qisqa qilib aytganda, ayirish qo’shishga, bo’lish ko’paytirishga nisbatan teskari emas. Demak ω (A)>0 bo’lganda A− A≠ 0,A/A≠ 1 . Lekin 0∈ A− A ,1∈ A /A . Ma’lumki, oraliqli arifmetik amallarning ta’rifiga ko’ra (A− B)+B≠ A , (A/B )∗ B≠ A , bu yerda A= [a1,a2], B= [b1,b2] . Shuning uchun, oraliqlarni ayirish va bo’lishdan foydalanib, sodda A+X=B, A*X=B oraliqli tenglamalarni, demak shu kabi noravshan tenglamalarni yechib bo’lmaydi [89]. Berilgan tenglamalarni (ular asosida yanada murakkabroqlarini) yechish zarurati noravshan va oraliqli sonlar uchun qo’shimcha ayirish va bo’lish amallarini kiritish zaruratini uyg’otdi [11,12]. q -ayirish (--) va q -bo’lish (//) amallariga [11,12] da shunday ta’rif berilganki, X=B- -A (yoki X=B//A ) tenglikni bajarishda A+X=B (yoki A*X=B ) tenglik o’rinli bo’ladi. Bunda q -ayirish amali kamayuvchi oraliqning uzunligi ayriluvchi oraliqdan kichik bo’lmagandagina o’rinli bo’ladi. B//A q -bo’lish amali ham oraliqdagi barcha sonlarga nisbatan aniqlanmagan (masalan, agar B>0, A>0, u holda B//A b2/b1≥ a2/a1 shart bajarilgandagina aniqlangan). q -ayirish va q -bo’lishning mos analitik ifodalari quyidagi ko’rinishga ega [109,113]: X = B− − A⇒ μX(x)= inf z sup {a∈[0,1 ]:min {μA(z− x),a}≤ μB(z)} ; X = B // A ⇒ μX(x)= inf t sup {a∈[0,1 ]:min {μA(t/x),a}≤ μB(t)} . Berilgan ifodalarni soddalashtirib quyidagilarga ega bo’lamiz: X = B− − A⇒ μX(x)= inf z ¿{1,agar μA(z− x)≤ μB(z),¿¿¿ X = B// A⇒ μX(x)= inf t ¿{1,agar μA(t/x)≤ μB(t),¿¿¿ [113] da noravshan tenglamalarni yechish uchun oraliq sonlarni ayirishning qo ’ shimcha ⊕ amali ko ’ rilgan , unga ko ’ ra (A + B )⊕(− B )= A .

A= [a1,a2] va B=[b1,b2] oraliqlar uchun u quyidagi ifoda orqali kiritiladi: A⊕B= ¿{[a1+b2,a2+b1],agar a2+b1≥ a1+b2,¿¿¿¿ va q -ayirish amali uchun mo’ljallangan shartda aniqlangan [12]. Bundan tashqari A ⊕(− B )≡ A− − B ni isbotlash qiyin emas, demak (A+ B )⊕(− B )≡ (A+ B )− − B . Ko’rilayotgan masalani tahlil qilishning berilgan bosqichida noravshan sonlarga nisbatan umumiy tamoyil asosida aniqlanadigan ayirish va bo’lish amallari ortiqcha bo’lib, ularning o’rniga q- ayirish va q -bo’lish amallaridan foydalanish zarur. Masalani sinchkovlik bilan o’rganish natijasida uning oraliq arifmetikada yechib bo’linganligiga guvoh bo’ldik [130]. Lekin bu yerda ixtiyoriy oraliq sonlar juftligi uchun aniqlangan q -ayirish va q -bo’lish amallari taklif etilgan. Masalan, A B = [min {a1− b1,a2− b2},max (a1− b1,a2− b2¿]¿ . [11,12] va [130] dagi ta’riflar o’rtasidagi boglanish quyidagidan iborat. Agar [12] dagi ta’riflarga ko’ra natija mavjud bo’lsa, u holda u [130] ta’rifdan olish mumkin bo’lgan natija bilan ustma-ust tushadi. Agar [12] ta’rifga ko’ra natija olib bo’lmasa, u holda [130] ta’rif bo’yicha yuqorida qayd etilgan tenglamalarning “qanoatlantiruvchi” yechimlari hosil bo’ladi, aniqrog’i: berilgan holda X=B A, bu yerda q -ayirma [130] ta’rif bo’yicha bajariladi. U holda X +A⊃B . Xuddi shunday, agar X=B A bo’lsa, u holda X∗A⊃B . Noravshan to’plamlar nazariyasining katta bo’limi - yumshoq hisoblashlar (noravshan arifmetika) - noravshan sonlar ustidagi amallar majmuini kiritadi. Bu amallar segment tamoyil asosida tegishlilik funksiyalari ustidagi amallar orqali kiritiladi.  tegishlilik darajasini t egishlilik funksiyasining ordinatasi ko’rinishida aniqlaymiz. U holda tegishlilik funksiyasining noravshan son bilan kesishishi ishonchlilik oralig’ining chegaralari deb ataluvchi qiymatlar juftligini beradi. Agar A∈ F (x) va α∈[0,1 ] bo’lsa, u holda A to’plamning sust α -darajali F- to’plam deb ω α(A)= {x∈ X |μA(x)≥ α} , ga aytiladi, kuchli α -darajali to’plam deb esa σα(A)= {x∈ X |μA(x)>α} . ga aytiladi. Darajali to’plamlar quyidagi xossalarga egadirlar: 1. ω0(A)= X .- - /