Optimal boshqaruv masalasining qo’yilishi. Pontryaginning maksimum prinsipi. Reja. 1.Optimal boshqaruv masalasiga sodda misol. 2.Optimal boshqaruv masalasining umumiy qo’yilishi. 3.Optimal boshqaruv masalasining asosiy tiplari. 4.Optimallikning zaruriy sharti (maksimum prinsipi).

1.Optimal boshqarish masalasining qo’yilishi. Avvalo optimal boshqarish amaliy masalalaridan birini keltiramiz: v 0 boshlang’ich tezlikka ega bo’lgan birlik massali material nuqtani modul bo’yicha birdan oshmaydigan kuch ta’sirida gorizontal to’g’ri chiziq bo’ylab A nuqtadan B nuqtaga shunday ko’chirish talab qilinadiki, bunda material nuqta B nuqtaga v 1 tezlik bilan eng qisqa vaqtda yetib kelsin. Qo’yilgan masala tez harakat bo’yicha optimal boshqarish masalasidan iborat. Uning matematik modelini tuzamiz. Ox o’qda A( α ) va B ( β ) nuqtalarni olaylik. Material nuqta t=t 0 boshlang’ich vaqtda A nuqtada, t=t 1 (t 1 >t 0 ) vaqtda esa B nuqtada bo’lsin. T= t 1 -t 0 material nuqtaning ko’chish vaqtidan iborat. x=x(t)- material nuqtaning t vaqtda bosib o’tgan yo’li, u=u(t) material nuqtaga t vaqt momentida ta’sir etayotgan kuch miqdori bo’lsin. U vaqtda ˙x= dx dt = v - material nuqtaning tezligi, ¨x= d2x dt 2= a material nuqtaning tezlanishi bo’ladi. Nyutonning ikkinchi qonuniga ko’ra mα=u tenglik o’rinli, bu yerda m – material nuqtaning massasi m= 1,a= ¨x ekanligini hisobga olsak, ¨x= u (1) tenglamaga ega bo’lamiz. Masalaning qo’yilishiga ko’ra, x(t0)=α, ˙x(t0)=v0¿}¿¿¿ (2) shartlar kelib chiqadi. Bundan tashqari, u(t) kuchga |u(t)≤t,t∈[t0,t1]| (3) boshqarish funksiyasi (qisqacha, boshqaruv) deyiladi. Odatda u, bo’lakli-uzluksiz funksiyalar sinfidan deb qaraladi. Bunday funksiyalar joyiz boshqaruvlar sinfini tashkil etadi. Shunday qilib, qo’yilgan masalaning matematik modeli quyidagicha:

shunday |u¿(t),t∈[t0,t1 ¿]| joyiz boshqaruvni topish talab qilinadiki, (1) tenglamaning unga mos keluvchi x * (t ) yechimi (2) shartlarni qanoatlantirsin va bunda ko’chish vaqti T=t1 ¿−t0 minimal bo’lsin. x1= x,x2= ˙x o’zgaruvchilarni kiritib, bu masalani T(u)=t 1 −t 0 →min,¿}˙x 1 =x 2 ,˙x 2 =u,¿}x 1 (t 0 )=u,x 1 (t 1 )=β,¿}x 2 (t 0 )=v 0 ,x 2 (t 1 )=v 1 ,¿}¿¿¿ (4) ko’rinishda yozish mumkin. (4) masala geometrik tilda {x 1 ,x 2 } tekislikda shunday x¿(t)={x1¿(t),x2¿(t)} trayektoriyani qurishni bildiradiki, u eng qisqa T¿=t1 ¿− t0 vaqtda A= {α,v0} nuqtadan B={β,v1} nuqtaga ko’chib o’tadi. Endi optimal boshqarish masalasining umumiy qo’yilishiga o’tamiz. [3,5,6]. Biror boshqariluvchi obyekt (jarayon) ˙xi= fi(x1,...,xn,u1,...,um,t),i=1,n (5) differensial tenglamalar sistemasi bilan berilgan bo’lsin, bu yerda t-vaqt, x 1 ,…,x n - obyektning faza koordinatalari, u 1 ,…, u m -boshqarish parametrlari. Obyektning holati vektori x=(x 1 ,…,x n ), boshqarish vektori u=(u 1 ,…,u m ) va f=(f 1 ,…,f n ) vektor yordamida (5) sistemani 0 x 2 x A(,v 0 ) x(t) B(,v 1 ) 0 x 2 x x n x(t)x (t) x n+1

˙x= f(x,u,t) (6) vektorli differensial tenglama ko’rinishida yozamiz. (6) boshqariluvchi obyektning faza koordinatalari x=x(t) ko’rinishdagi t vaqtning biror [t 0 ,t 1 ] oraliqdagi funksiyasi sifatida aniqlanishi uchun boshlang’ich t 0 vaqtda boshlang’ich x(t 0 )=x 0 shartni va boshqarish parametrlarini t vaqtning u=u(t) funksiyasi ko’rinishida aniqlash kerak. U vaqtda x=x(t) faza koordinatalari ˙x(t)= f{x(t),u(t),t},t0≤t≤t1¿}¿¿¿ (7) Koshi masalasining yechimi sifatida aniqlanadi. u(t) boshqaruv ma’lum uzluksizlik shartlarini qanoatlantirishi zarur. Ko’pgina amaliy masalalarda boshqarishlar sifatida bo’lakli–uzluksiz funksiyalar olinadi. Ba’zi amaliy masalalarda u(t) ning uzluksizligi, ba’zan esa u(t) ning bo’lakli-silliqligi talab qilinadi. Nazariy tadqiqotlarda boshqarishlarning kengroq sinflari, masalan chegaralangan o’lchovli funksiyalar fazosi yoki Lpm[t0,t1] fazolar qaraladi. Biz quyidagi asosan bo’lakli-uzluksiz boshqarishlar sinfidan foydalanamiz. Shunday qilib, biror x0∈Rn nuqta va u=u(t) bo’lakli uzluksiz boshqarish berilgan bo’lsin. U vaqtda (7) Koshi masalasining yechimi x=x(t) deb, x(t)=∫ t0 t f(x(τ),u(τ),τ)dτ +x0, t0≤t≤t1 (8) tenglamaning uzluksiz yechimini tushunamiz. Bu yechimni x(t,x 0 ,u) deb belgilaymiz. x(t 0 ,x 0 ,u)- obyekt trayektoriyasining chap uchi, x(t 1 ,x 0 ,u) - trayektoriyaning o’ng uchi deyiladi. x B x A V 0 V 1 u

Agar fi(x,u,t),i=1,n funksiyalar barcha x∈Rn,u∈Rm,t∈[t0,t1] bo’yicha o’zining fixj(x,u,t), xususiy hosilalari bilan uzluksiz bo’lsa, (8) tenglamaning x(t 0 )=x 0 shartni qanoatlantiruvchi yechimi mavjud va yagonadir. Biror V  R m to’plam berilgan bo’lsin. Shu V to’plamdan qiymatlar qabul qiluvchi u=u(t), t∈[t0,t1] bo’lakli-uzluksiz boshqaruvlarni joyiz boshqaruvlar deb ataymiz va bunday boshqarishlar to’plamini U deb belgilaymiz. Boshqarish masalalarida boshqarish parametrlari bilan bir qatorda obyektning faza koordinitalariga ham cheklashlar qo’yiladi. Bunday cheklashlar x(t)= x(t,x0,u)∈G (t), t0≤ t≤ t1 (9) ko’rinishda yoziladi, bu yerda G(t)⊂Rn (9) ko’rinishdagi cheklashlarga faza cheklashlari deyiladi. Trayektoriyaning chap va o’ng uchlari qanoatlantirishi zarur bo’lgan shartlar haqida ham to’xtalib o’tamiz. Faraz qilaylik, S0(t0)⊂Rn va S1(t1)⊂Rn to’plamlar berilgan bo’lsin. U vaqtda trayektoriyaning uchiga qo’yilgan shartlar x(t0)∈S0(t0), x(t1)∈S1(t1), (10) kabi yoziladi. S0(t0) va S1(t1) to’plamlar, odatda S0(t0)={y:y∈G0(t0),hi(y,t0)≤0,i=1,...,m0,hi(y,t0)=0,i=m0+1,...,ξ0}, (11) S1(t1)={x:x∈G(t),gi(x,t1)≤0,i=1,...,m1,gi(x,t1)=0,i=m2+1,...,ξ1}, (12) shaklda beriladi, bu yerda hi(y,t0) , gi(x,t1) ma’lum funksiyalar. θ0⊂R1,θ1⊂R1 to’plamlar berilgan, inf θ0<sup θ1 bo’lsin. t0∈θ0,t1∈θ1, u=u(t) -joyiz boshqaruv, x(t,x0,u) unga mos joyiz trayektoriya bo’lsin. Har bir shunday joyiz (x0,u,x,t0,t1) da aniqlangan J(x0,u,x,t0,t1)=∫ t0 t1 f0(x(t),u(t)t)dt +g0(x0,x(t1),t0,t1) (13) funksionalni qaraymiz. J¿= inf J(x0,u,x,t0,t1)