Terminal boshqarish masalasi u ch un maksimum prin s ipi. Reja 1.Terminal boshqarish masalasining qo’yilishi. Maksimum prinsipi. 2. Funksional orttirmasi uchun formula. 3. “ Ignasimon” variasiya. Trayektoriya bahosini aniqlash. 4. Maksimum prinsipining isboti. 5. Ekstremal boshqaruvlar. 6. Chiziqli terminal boshqarish masalasi.

1. Terminal boshqarish masalasi. Maksimum prinsipi. Boshqarish obyekti (1) vektorli differensial tenglama bilan berilgan bo’lsin, bu yerdax=(x1,...,xn),u=(u1,...,um), f=(f1,...,fn), fi(x,u,t) funksiyalarni fixj(x,u,t) hususiy hosilalari bilan birga uzluksiz deb hisoblaymiz. Joyiz boshqarishlar [t0,t1] oraliqda aniqlangan bo’lakli uzluksiz va V ⊂Rm to’plamdan qiymatlar qabul qiluvchi u=u(t) m– vektor funksiyalardan iborat. (1) tenglamaning har bir u=u(t) joyiz boshqarishga mos x= x(t) joyiz trayektoriyasi (2) shartni qanoatlantiradi. Qaralayotgan obyektni boshqarish (3) terminal kriteriy orqali sifat jihatidan baholanadi, bu yerda ϕ(x)− Rn da uzluksiz differensiallanuvchi funksiya. Shunday u¿(t) boshqaruvni topish kerakki, J(u¿)=infu∈U J(u) bo’lsin, bu yerda U– barcha joyiz boshqaruvlar to’plami. Shunday qilib, quyidagi (4) terminal boshqarish masalasini qaraymiz. Bu masalada trayektoriyalarning chap uchi mahkamlangan ((2) shartga q.), o’ng uchi esa, erkin (x(t1)∈Rn) . (4) masala avvalgi ma’ruzamizda qaralgan optimal boshqarish umumiy masalasining xususiy holi bo’lib, Pontryaginning maksimum prinsipi bu masala uchun quyidagicha bo’ladi. 1-teorema. Agar u¿(t),t∈[t0,t1] – optimal boshqaruv, x¿(t),t∈[t0,t1] optimal trayektoriya bo’lsa,,

H (x¿(t),ψ¿(t),u¿(t),t)= max u∈V H (x¿(t),ψ¿(t),u,t), t∈[t0,t1] (5) maksimum sharti bajariladi, bu yerda H (x,ψ,u,t)=ψ'f(x,u,t)=∑j=1 n ψjfj(x,u,t), ψ'(t),t∈[t0,t1] funksiya ˙ψ=− ∂H (x¿(t),ψ,u¿(t),t) ∂x (6) ψ(t1)=− ∂ϕ(x¿(t1)) ∂x (7) qo’shma sistemaning yechimidir. 2. Funksional orttirmasi uchun formula. Teoremaning isbotiga o’tishdan oldin funksionalning orttirmas i uchun formula keltirib chiqaramiz. u=u(t), ~u= u(t)+Δu (t) , t∈[t0,t1] joyiz boshqaruvlar, x= x(t) , ~x= x(t)+Δx (t) , t∈[t0,t1] , ularga mos joyiz trayektoriyalar bo’lsin. ΔJ (u)= J(~u)− J(u) ayirmaga (3) funksionalning u=u(t) boshqaruv bo’yicha orttirmasi deyiladi. (3) funksionalning aniqlanishidan va ϕ(x) funksiyaning differensiallanuvchiligidan, ΔJ (u)=ϕ(~x(t1))−ϕ(x(t1))= ∂ϕ'(x(t1)) ∂x Δx (t1)+ο(‖Δx (t1)‖) (8) kelib chiqadi. ψ=ψ(t) ixtiyoriy differensiallanuvchi funksiya uchun o’rinli bo’lgan quyidagi ayniyatni qaraymiz: ψ'(t1)Δx (t1)−ψ'(t0)Δx (t0)=∫ t0 t1 ˙ψ'(t)Δx (t)dt +∫t0 t1 ψ'(t)Δ˙x(t)dt (9) Trayektoriyalarning chap uchi mahkamlangan, ya’ni x(t0)=~x(t0)= x0 bo’lgani uchun, Δx (t0)=0 . ψ(t1)=− ∂ϕ(x(t1)) ∂x (10)

deb olamiz. (9) va (10) larni hisobga olgan holda, (8) danΔJ (u)=−∫ t0 t1 ˙ψ'(t)Δx (t)dt−∫t0 t1 ψ'(t)Δ˙x(t)dt+ο(‖Δx (t1)‖) (11) tenglikni olamiz. (11) dagi ikkinchi integralni qaraymiz. Tushunarliki, Δx (t0)=~x(t0)− x(t) funksiya, quyidagi, Δ˙x(t)= f(x(t)+Δx (t),u(t)+Δu (t),t)− f(x(t),u(t),t) differensial tenglamani qanoatlantiradi. Shuning uchun, H (x,ψ,u,t)=ψ'f(x,t,u) (12) Gamilton–Pontryagin funksiyasi yordamida quyidagini yozamiz: ∫ t0 t1 ψ'(t)Δ˙x(t)dt =∫t0 t1 (H (x+Δx ,ψ,u+Δu ,t)− H (x,ψ,u,t))dt = =∫ t0 t1 (H (x,ψ,u+Δu ,t)−H (x,ψ,u,t))dt =∫t0 t1∂H (x,ψ,u+Δu ,t) ∂x Δx (t)dt + +∫ t0 t1 ο(‖Δx (t)‖)dt (13) Faraz qilaylik, ψ=ψ(t) funksiya ˙ψ(t)=∫ t0 t1∂H (x(t),ψ(t),u(t),t) ∂x dt (14) qo’shma sistemaning (10) boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi bo’lsin. (14) differensial tenglama chiziqli, ya’ni ˙ψ(t)=∫ t0 t1∂f(x(t),u(t),t) ∂x ψ(t) ko’rinishda bo’lgani uchun, ψ(t) funksiya [t0,t1] oraliqda bir qiymatli aniqlangandir. (13) va (14) ni (10) ga keltirib qo’yib, funksional orttirmasini quyidagicha yozamiz: ΔJ (u)=∫ t0 t1 Δ~uH (x(t),ψ(t),u(t),t)dt+η (15) bu yerda Δ~u H (x,ψ,u,t)=H (x,ψ,~u,t)−H (x,ψ,u,t),

η=η1+η2+η3,η1=(‖Δx (t1)‖), η2=−∫ t0 t1 ο1(‖Δx (t)‖)dt , η3=−∫ t0 t1∂H~u'(x(t),ψ(t),u(t),t) ∂x Δx (t)dt (16) Hosil qilingan (15) formulaning ba’zi xususiy hollarini qarab chiqamiz. a) Agar ϕ(x) qavariq funksiya bo’lsa, η1≥ 0 bo’ladi; agar ϕ(x) chiziqli funksiya bo’lsa, η1=0 bo’ladi. Haqiqatan ham, differensiallanuvchi ϕ(x) funksiya tengsizlikni qanoatlantirganligi uchun, == bajariladi. == chiziqli bo’lgan holda esa == bo’lishi ravshan. b) Agar (1 ) sistema x bo’yicha chiziqli bo’lsa, η2= 0 bo’ladi. Haqiqatan ham, agar (1) sistema ko’rinishda bo’lsa, funksiya x bo’yicha chiziqli va shuning uchun ο1(‖Δ˙x‖)=0 bo’ladi. v) Agar (1) sistema , x va u o’zgaruvchilar ajralgan, ya’ni, ˙x= f(x,t)+b(u,t) ko’rinishda bo’lsa, η3= 0 bo’ladi. Haqiqatan ham, bu holda Δ~uH (x,ψ,u,t)=ψ'[b(~u,t)−b(u,t)] . Shuning uchun, ∂Δ~uH /∂x=0 . Agar masalada ϕ(x) qavariq funksiya bo’lsa, yuqoridagi a), b), v) natijalarga ko’ra, (15) formula,