Differentsial tenglamalar faniga kirish. Oʼzgaruvchilari ajralgan va ajraladigan differentsial tenglamalar

Загружено в:

15.08.2023

Скачано:

0

Размер:

153.298828125 KB

Скачать

Diff erent sial t englamalar
faniga k irish. Oʼzgaruv chilari
ajralgan v a ajraladigan
diff erent sial t englamalar


Taʼrif. Erkli oʼzgaruvchi va noʼmalum funktsiya
hamda uning hosilalari yoki differentsiallarini
bogʼlovchi munosabatga differentsial tenglama
deyiladi.
А gar nomaʼlum funktsiya faqat bitta oʼzgaruvchiga
bogʼliq boʼlsa, bunday differentsial tenglama oddiy
differentsial tenglama deyiladi.
А gar nomaʼlum funktsiya ikki yoki undan ortiq
oʼzgaruvchilarga bogʼliq boʼlsa, bunday differentsial
tenglama xususiy hosilali differentsial tenglama deyiladi. Дифференциал тенгламалар

Taʼrif. Diff erent sial t englamaga k irgan
hosilalarning eng y uqori t art ibi
t englamaning t art ibi dey iladi.0
2 ' ''
     y x Cosx y y
differentsial tenglama ikkinchi tartibli oddiy
differentsial tenglama ;
0 ) 1 ( ) 1 (
2 2
      dy x y dx y x
birinchi tartibli oddiy differentsial tenglama

differentsial tenglama birinchi
tartibli xususiy hosilali
differentsial tenglama.0 





y
z
y
x
z
x
' '' ''' ( )
( , , , , , ..., ) 0
n
F x y y y y y 
- tartibli oddiy differentsial tenglamaning
umumiy koʼrinishi n
Ta rif. Differentsial tenglamaning yechimi yoki
ʼ
integrali deb tenglamaga qo yganda
ʼ
uni ayniyatga aylantiradigan har qanday
differentsiallanuvchi funktsiyaga aytiladi. ( ) y x  

Differentsial tenglamaning yechimini topish
jarayoni ko pincha integrallash bilan bog liq ʼ ʼ
bo lganligi uchun bu jarayon differentsial
ʼ
tenglamani integrallash deb yuritiladi .
Ta rif. Differentsial tenglama yechimining grafigi
ʼ
integral egri chiziq deyiladi.

0 ) , , (
'
 y y x F tenglama umumiy ko rinishdagi
ʼ birinchi tartibli
differentsial tenglama deb ataladi.
) , (
'
y x f y 
ga nisbatan yechish mumkin bo lsa u
ʼ
quyidagicha yoziladi :
'
y
Hosilaning differentsial ko rinishidagi yozuvidan
ʼ
foydalanib bu tenglamani differentsiallar ishtirok
etgan shaklda ifodalaymiz :

0 ) , ( ) , (   dy y x N dx y x M
0
x x 
0
y y bu yozuv simmetrik yozuv deb ataladi, chunki bu
yerda x va u o zgaruvchilar teng huquqlidir
ʼ .
Differentsial tenglamani, bitta funktsiya emas, balki
funktsiyalarning butun bir to plami qanoatlantirishi
ʼ
mumkin. Ulardan birini ajratib ko rsatish uchun
ʼ
argumentning biror qiymatiga mos keluvchi
funktsiyaning qiymatini ko rsatish kerak, ya ni
ʼ ʼ
bo lganda ko rinishdagi shart
ʼ ʼ
berilishi kerak.
0
0
y y
x x


Bu shartga boshlangʼich shart deyiladi (Koshi
sharti)

Таъриф. Биринчи тартибли дифференциал
тенгламанинг умумий ечими деб уйидаги қ
шартларни аноатлантирувчи (бунда С –
қ
ихтиёрий ўзгармас сон) функцияга айтилади:
а) у ихтиёрий ўзгармас С нинг ар андай
ҳ қ
ийматида дифференциал тенгламани
қ
аноатлантиради;
қ
в) шарт ар андай бўлганда ам,
ҳ қ ҳ
ихтиёрий ўзгармас С нинг шундай ийматини
қ
топиш мумкинки, функция берилган
бошлан ич шартни аноатлантиради, яъни
ғ қ
( , ) y x C  
0 0 x x
y y


0 C
0 ( , ) y x C  
0 0 0 ( , ) y x C   0C

Ta rif. Differentsial tenglamaning umumiy ʼ
yechimidan ixtiyoriy o zgarmasning mumkin
ʼ
bo lgan qiymatlarida hosil qilinadigan
ʼ
yechimlar xususiy yechimlar deyiladi .
Umumiy yechimni oshkormas holda aniqlaydigan
munosabatga
umumiy integral deb ataladi .
( , , ) 0 x y C  

0 ) ( ) (   dy y N dx x M
(1)

 
 CdyyNdxxM )()(
( 2 )

0 ) , ( ) , (   dx y x N dy y x M
( 3 )

) ( ) ( ) , ( 2 1 y M x M y x M   ) ( ) ( ) , (
2 1
y N x N y x N  
( 4 )
( 5 )

2 1
2 1
( ) ( )
0
( ) ( )
M y N x
dy dx
N y M x
 
(6)

Differentsial tenglamaning berilgan boshlang ich shart ʼ
bo yicha xususiy yechimini topish masalasi Koshi
ʼ
masalasi deyiladi.
boshlang ich shartning berilishi izlanayotgan
ʼ
xususiy yechimga mos keladigan integral egri chiziq
o tishi kerak bo lgan
ʼ ʼ
nuqtaning berilishini bildiradi.
0
0 x x
y y


0 0 0 ( , ) P x y
0
0 x x
y y



Teorema. А gar funk t siy a v a uning
xususiy hosilasi . nuqt ani oʼz
ichiga olgan biror D sohada uzluk siz
boʼlsa,u holda . diff erent sial
t englamaning da
, y aʼni . Shart ni qanoat lant iruv chi
y echimi mav juddir v a bu y echim
y agonadir.( , ) f x y
'
( , )
y
f x y
0 0 0
( , ) P x y
0
x x  0
y y 
0 0
( ) x y  
( ) y x  
'
( , ) y f x y 

Misol . ,
cos
5
2
x
y   differensial tenglama uchun 3 ) 0(  y

bo’ladigan
boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi Koshi masalasini yeching.
yechish. Oldin berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimini
topamiz:
C tgx dx
x
y     5
cos
5
2

Endi boshlang’ich shartdan foydalanib, ,3 0 5   C tg bundan 3  C kelib
chiqadi. Demak, Koshi masalasining yechimi 3 5   tgx y bo’l adi.

Diff erent sial t englamalar faniga k irish. Oʼzgaruv chilari ajralgan v a ajraladigan diff erent sial t englamalar

0 xy 3 2 M(2,3)

 Taʼrif. Erkli oʼzgaruvchi va noʼmalum funktsiya hamda uning hosilalari yoki differentsiallarini bogʼlovchi munosabatga differentsial tenglama deyiladi. А gar nomaʼlum funktsiya faqat bitta oʼzgaruvchiga bogʼliq boʼlsa, bunday differentsial tenglama oddiy differentsial tenglama deyiladi. А gar nomaʼlum funktsiya ikki yoki undan ortiq oʼzgaruvchilarga bogʼliq boʼlsa, bunday differentsial tenglama xususiy hosilali differentsial tenglama deyiladi. Дифференциал тенгламалар

Taʼrif. Diff erent sial t englamaga k irgan hosilalarning eng y uqori t art ibi t englamaning t art ibi dey iladi.0 2 ' ''      y x Cosx y y differentsial tenglama ikkinchi tartibli oddiy differentsial tenglama ; 0 ) 1 ( ) 1 ( 2 2       dy x y dx y x birinchi tartibli oddiy differentsial tenglama

differentsial tenglama birinchi tartibli xususiy hosilali differentsial tenglama.0       y z y x z x ' '' ''' ( ) ( , , , , , ..., ) 0 n F x y y y y y  - tartibli oddiy differentsial tenglamaning umumiy koʼrinishi n Ta rif. Differentsial tenglamaning yechimi yoki ʼ integrali deb tenglamaga qo yganda ʼ uni ayniyatga aylantiradigan har qanday differentsiallanuvchi funktsiyaga aytiladi. ( ) y x  

Differentsial tenglamalar faniga kirish. Oʼzgaruvchilari ajralgan va ajraladigan differentsial tenglamalar

15.08.2023

0

153.298828125 KB

Похожие