logo
  1. Главная страница
  2. Презентации
  3. Общий
  4. Trigonometrik tengsizliklarni yechish usullari

Trigonometrik tengsizliklarni yechish usullari

Загружено в:

10.08.2023

Скачано:

0

Размер:

1097.095703125 KB
Скачать
Trigonometrik tengsizliklarni yechish usullari Eng sodda t rigonomet rik t engsizlik larni y echishga oid misollar sinx > a, cosx > a, tgx > a, ctgx > a kabi ko’rinishdagi tengsizliklarni yechishda koordinatali birlik aylanadan yoki trigonometrik funksiya grafiklaridan foydalaniladi. 1-misol. a) sin α > 0; b) sin α > a, -1 a 1; ≤ ≤ c) sin α < a tengsizliklarni qaraylik. Yechish. a) sin α > 0 ning yechimlar to’plami sinusoidaning absissalar o’qidan yuqorida joylashgan bo’laklari bilan aniqlanadi (rasmga qarang). Eng sodda trigonometrik tengsizliklarni yechishga oid misollar Eng sodda t rigonomet rik t engsizlik larni y echishga oid misollar  y=sinx Bu bo’laklardan biri absissalar o’qining (0; π ) oralig’iga, qolganlari undan 2 πk, k€Z uzoqlikda joylashgan oraliqlarga mos keladi. Demak, 2 πk < α < (2 k +1) π, k€Z ko’rinishidagi oraliqlarda yotuvchi α sonigina yechim bo’la oladi Eng sodda t rigonomet rik t engsizlik larni y echishga oid misollar  b) sin α > a tengsizlikni yechamiz, bunda -1 a 1. Birlik aylananing ordinatalari ≤ ≤ a dan katta bo’lgan nuqtalari y=a to’g’ri chiziqdan yuqorida joylashadi. Ular MBN yoyni hosil qiladi (rasmga qarang). Eng sodda trigonometrik tengsizliklarni yechishga oid misollar  Bu yoyga M(α0) va N(π-α0) nuqtalar kirmaydi. Shunday qilib, sinα > a tengsizlikning yechimi (α0; π-α0) interval yordamida aniqlanadi. α0=arcsina va y=sinx funksiya davriy funksiya bo’lgani uchun berilgan tengsizlikning barcha yechimlari to’plamini arcsina + 2π k < α < π – arcsina + 2π k , k €Z ko’rinishida yozamiz. Eng sodda trigonometrik tengsizliklarni yechishga oid misollar  c) sin α < a tengsizlikni yechish α =- z o’rniga qo’yish orqali yuqorida qaralgan holga keladi: sin z > -a. Uning barcha yechimlarini yozamiz: arcsin(-m) + 2 πk < z < π -arcsin(-a) + 2 πk , k€Z. arcsin(-a) = -arcsina va z =- α bo’lgani uchun berilgan tengsizlikning barcha yechimlari quyidagicha bo’ladi: - π - arcsina + 2 π k < α < arcsina + 2 π k , k €Z Eng sodda t rigonomet rik t engsizlik larni y echishga oid misollar  2-misol. a) cos α > a; b) cos α < a tengsizliklarni yechamiz.  Yechish. a) a 1 da tengsizlik ≥ yechimga ega emas, a < -1 da esa  α ning barcha qiymatlari tengsizlikni qanoatlantiradi. Biz -1 a < 1 bo’lgan ≤ holni qaraymiz. (rasmga qarang) Eng sodda t rigonomet rik t engsizlik larni y echishga oid misollar  a < cos α 1 ga B2AB1 yoy mos keladi, ≤ bunda B1( α 0) va B2(- α 0) lar x=a to’g’ri chiziq bilan koordinatali aylananing kesishish nuqtalari, A(0) – hisob boshi nuqtasi. Demak, cos α > a tengsizlikning yechimi – α0 < α < α0 yoki arccosa < α < arccosa, yoki funksiya davri e’tiborga olinsa, -arccosa + 2 π k < α < arccosa + 2 π k , k €Z bo’ladi. Eng sodda t rigonomet rik t engsizlik larni y echishga oid misollar  b) cos α < a tengsizlikni yechish α = π – z almashtirish orqali yuqorida qaralgan tengsizlikka keltiriladi: cos z > -a. Bundan – arccos(-a) + 2 πk < z < arcos(-a) + 2 πk , k€Z ni topamiz. z = π – α va arccos(-a) = π – arccosa bo’lgani uchun arccosa + 2 π k < α < 2( k + 1) π – arccosa, k €Z bo’ladi.  3-misol. tg α < a va tg α > a tengsizliklar yechimini topamiz. Yechish. arctga ta’rifidan foydalanamiz(rasmga qarang). Eng sodda t rigonomet rik t engsizlik larni y echishga oid misollar  B1( α 0) nuqta EAC yarim aylanani EAB1 va B1C yoylarga ajratadi, bunda E(- π /2) va C( π /2). Undan E, B1, C nuqtalar chiqariladi. EAB1 yoyda tg α < a tengsizlikning yechimi - π /2 + k π < α < arct ga + k π , k €Z tg α > a tengsizlikning yechimi esa arct ga + k π < α < π /2 + k π , k €Z bo’ladi. Shu kabi ctg α < a, ctg α > a tengsizliklar yechimi mos ravishda arcct ga + π k < α < π + π k , k €Z va π k < α < arcct ga + π k , k €Z bo’ladi. Trigonomet rik t engsizlik larni int erv allar usuli bilan y echish.  f(t) > 0 yoki f(t) < 0 trigonometrik tengsizliklarni yechishda intervallar usulidan foydalanamiz. Shu maqsadda oldin f(t) funksiyaning T0 asosiy davri, f(t) = 0 tenglamaning [0; T0 ) oraliqda yotgan ildizlari va uzilish nuqtalari topiladi. Ular [0; T0 ) oraliqni bir necha intervalga ajratadi. Sinash nuqtalari usulini qo’llab, funksiyaning o’sha intervallardagi ishoralari aniqlanadi. juft-toqligidan foydalanish ishni osonlashtiradi. f(α) = cos2 α – cos3 α < 0 tengsizlikni yechamiz. Yechish. 1) cos2 α ning davri: cos(2 α + 2 π ) = cos( α + T1 ), bundan 2 α + 2 π = 2( α + T1 ), T1 = π ; shu kabi cos3 α ning davri T2 = 2 π /3. Bu sonlarning eng kichik umumiy bo’linuvchisi, ya’ni T0 = 2 π soni f(x) funksiyaning asosiy davri bo’ladi; Trigonomet rik t engsizlik larni int erv allar usuli bilan y echish. 2) f(α) = 0 tenglama ildizlari 2 α = ± 3 α + 2 πk , k€Z munosabat bo’yicha aniqlanadi. Bizga ular ichidan (0; T0 ) oraliqda yotganlarini aniqlash yetarli, qolganlari T0 davr bilan takrorlanadi. Oraliqning α = 0 chap uchida f(0) = 0, ya’ni f(x) < 0 tengsizlik bajarilmaydi. Demak, oraliqning chap uchi ochiq qoladi. Oraliqning ichida yotgan ildizlarini topamiz. Shu maqsadda munosabatdagi k ga ketma- ket 0, 1, 2,… qiymatlar berish va α ning qiymatlari ichidan (0; 2 π ) intervalda yotganlarini ajratish kerak. Ular: 2 π /5, 4 π /5, 6 π /5, 8 π /5.  3) f funksiya son o’qida uzluksiz;  4) (0; 2 π ) oraliq (0; 2 π /5], [2 π /5; 4 π /5], [4 π /5; 6 π /5], [6 π /5; 8 π /5], [8 π /5; 2 π ) intervallarga ajraladi;  5) (0; 2 π /5] oraliqdan sinash nuqtasi sifatida π /3 ni olaylik. Unda f ( π /3) = cos2 π /3 – cos3 π /3 = -1/2 + 1 > 0. Demak, bu oraliqda berilgan tengsizlik bajarilmaydi. Shu tarzda har bir oraliqlarda tekshirib chiqqach, tengsizlik [2 π /5; 4 π /5], [6 π /5; 8 π /5] oraliqlarda bajarilishini ko’rishimiz mumkin. Demak, umumiy yechim shu oraliqlar kesishmasidan iborat: (2 π /5 + 2 πk ; 4 π /5 + 2 πk ) (6 π /5 + 2 πk ; 8 π /5 + 2 πk ), k€Z E ’ t i b o r i n g i z u c h u n r a h m a t !!!

Trigonometrik tengsizliklarni yechish usullari

Eng sodda t rigonomet rik t engsizlik larni y echishga oid misollar sinx > a, cosx > a, tgx > a, ctgx > a kabi ko’rinishdagi tengsizliklarni yechishda koordinatali birlik aylanadan yoki trigonometrik funksiya grafiklaridan foydalaniladi. 1-misol. a) sin α > 0; b) sin α > a, -1 a 1; ≤ ≤ c) sin α < a tengsizliklarni qaraylik. Yechish. a) sin α > 0 ning yechimlar to’plami sinusoidaning absissalar o’qidan yuqorida joylashgan bo’laklari bilan aniqlanadi (rasmga qarang).

Eng sodda trigonometrik tengsizliklarni yechishga oid misollar

Eng sodda t rigonomet rik t engsizlik larni y echishga oid misollar  y=sinx Bu bo’laklardan biri absissalar o’qining (0; π ) oralig’iga, qolganlari undan 2 πk, k€Z uzoqlikda joylashgan oraliqlarga mos keladi. Demak, 2 πk < α < (2 k +1) π, k€Z ko’rinishidagi oraliqlarda yotuvchi α sonigina yechim bo’la oladi

Eng sodda t rigonomet rik t engsizlik larni y echishga oid misollar  b) sin α > a tengsizlikni yechamiz, bunda -1 a 1. Birlik aylananing ordinatalari ≤ ≤ a dan katta bo’lgan nuqtalari y=a to’g’ri chiziqdan yuqorida joylashadi. Ular MBN yoyni hosil qiladi (rasmga qarang).

Похожие

Trigonometrik tengsizliklarni yechish
Tengsizliklarni isbotlashni ba’zi usullari
Trigonometrik ayniyatlar
Trigonometrik tengsizliklar
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish usullari