logo
  1. Bosh sahifa
  2. Diplom ishlar
  3. Umumiy
  4. FAZOSI BIR JINSLI KO’PHADDAN IBORAT BO’LGAN TEBRANIVCHAN INTIGRALLARNING BAHOSI

FAZOSI BIR JINSLI KO’PHADDAN IBORAT BO’LGAN TEBRANIVCHAN INTIGRALLARNING BAHOSI

Yuklangan vaqt:

12.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

182.12109375 KB
Ko'chirib olish
FAZOSI BIR JINSLI KO’PHADDAN IBORAT BO’LGAN TEBRANIVCHAN INTIGRALLARNING BAHOSI M U N D A R I J A Kirish . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I-bob. Furye almashtirishi 1.1-§ Furye almashtirishi haqida tushincha . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2-§ Furye almashtirishi xossalari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 II-bob. Tebranuvchi integrallarni asimptotik baholari 2. 1-§ Asosiy tushinchalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 2.2-§ Bir o'zgaruvchili tebranuvchan integrallar . . . . . . . . . . . . . 19 3.3-§ Tebranuvchan integrallarning asimptotikalari. . . . . . . . . . . . . 26 2.4-§ Kritik nuqtaga ega bo’lmagan faza funksiya . . . . . . . . . . . . . 28 2.5-§ Lokalizatsiya prinsipi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.6-§ Etalon integrallar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 III-bob. Amplituda funksiyasi maxsuslikga ega bo’lgan tebranuvchan integrallarning baholari. 3.1-§ Fazosi bir jinsli ko'pxaddan iborat tebranivchi integralning tekis baholari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2-§ . Fazosi bir jinsli ko’phaddan iborat tebranuvchi integrallarni baholashga oid misollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3-§ Parametrga bog’liq fazosi bir jinsli ko’phaddan iborat tebranuvchi integrallarni baholash. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Xulosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Foydalanilgan adabiyotlar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 KIRISH 1. Mavzuning asoslanishi va dolzarbligi: Magistrlik disertatsiyasi ishining dolzarbligi, tebranuvchan integrallarning muhim sinflaridan biri bo’lgan silliq sirtlarda mujassamlashgan o’lchov Furye almashtirishini baholash ko’plab sohalarda tadqiqotning eng ko’p o’rganilayotgan asosiy masalalaridan biri hisoblanadi. Shu sababli tebranuvchan integrallarni bir- qismi bo’lgan fazosi bir jinsli ko’phaddan iborat so’ndirivchi ko’paytivchili tebranuvchan integrallarni ham o’rganish muhim ahamiyat kasb etadi. Bu magistrlik dissertatsiyasi ishida model fazosi bir jinsli ko’phaddan iborat integralni faza funksiyasi x3=Φ (x1,x2) , bunda Φ (x1,x2):= x1x2n+x12 ko’rinishdagi . Aniqroq qilib aytadigan bo’lsak S - sirt tenglamasi S:={(x1,x2)∈V ,x3= x1x2n+x12,n≥1} bunda V - koordinata boshining yetarlicha kichik atrofi ko’rinishda berilganda fazosi bir jinsli ko’phaddan iborat tebranuvchan integral baholangan. 2. Tadqiqot ob’ekti va predmeti Fazosi bir jinsli ko’phaddan iborat so’ndirivchi ko’paytivchili tebranivchi integral. Furye almashtirishini baholash. fazosi bir jinsli ko’phaddan iborat so’ndirivchi ko’paytivchili model integrallarni baholarini o’rganish va ularga oid misollarni tekshirish. Sirt koordinata boshining atrofida oshkor ko’rinishdagi funksiyaning grafigi sifatida berilganda tebranuvchan integrallarni baholashdan iborat . 3. Tadqiqotning maqsad va vazifalari: Magistrlik dissertatsiya ishini maqsadi: Uch o’lchovli Evklid fazosida malum bir silliq sirtlar uchun fazosi bir jinsli ko’phaddan iborat so’ndirivchi ko’paytivchili Furye almashtirishi kamyashi tartibini aniqlashtirish haqidagi C.D.Sogge va I.Sh.Steyn masalasini yechishdan iborat. Magistrlik dissertatsiyasi ishini vazifasi uch o’lchovli Evklid fazosidagi malum bir sirtlar uchun model fazosi bir jinsli ko’phaddan iborat tebranuvchan integralni baholashdan iborat. 4. Tadqiqotning asosiy masalallari va farazlari: Magistrlik dissertatsiyasining ishining asosiy masalasi va farazlari mujassamlashgan sirt bilan bog’langan fazosi bir jinsli ko’phaddan iborat so’ndirivchi ko’paytivchili integralni, S -sirt a) S : = { ( x 1 , x 2 ) ∈ V ⊂ R 2 : x 3 = x 1 x 22 + x 1 2 } b) S : = { ( x 1 , x 2 ) ∈ V ⊂ R 2 : x 3 = x 1 x 2n + x 1 2 } bunda V -koordinata boshining yetarlicha kichik atrofi, ko’rinishda berilgan baholashdan iborat. 5. Mavzu bo’yicha qisqacha adabiyotlar tahlili: Fazosi bir jinsli ko’phaddan iborat so’ndirivchi ko’paytivchili tebranuvchan integrallarni baholash bo’yicha aniq darslik va o’quv qo’llanmalarda ma’lumotlar keltirilmagan. Dastlab fazosi bir jinsli ko’phaddan iborat tebranuvchan integrallarni baholash 1985 yilda S.D.Soggi va I.M.Steynlarning “Averages of functions over hypersurfaces in Rn Invent. Math”. nomli ilmiy maqolasida o’rganilgan, shuningdek 1991 yilda D.Oberlin tomonidan tadqiq qilingan. 2005 yilda I.A.Ikromov tomonidan so’ndiruvchi ko’paytuvchi giper sirtning bosh egriliklari orqali kiritilgan tebranuvchan integrallar tadqiq qilingan. 6. Tadqiqotda qo’llanilgan uslublarning qisqacha tavsifi: Magistirlik dissertatsiyasining ishida differensiyal geometriya va analizning asimptotik usullaridan, shuningdek garmonik analiz usullaridan foydalanilgan . 7. Tadqiqot natijalarining nazariy va amaliy ahamiyati: Magistrlik dissertatsiya ishida fazosi bir jinsli ko’phaddan iborat so’ndiruvchi ko’paytuvchili tebranuvchan integrallarning S -sirt koordinata boshi atrofida aniq oshkor ko’rinishda berilganda kamayish tartibi O(|ξ|−1) (|ξ|→ +∞) kabi bo’lishini kafolatlovchi Gauss egriligining aniq ko’rsatkichi topilganligi bilan izoxlanadi. Maskur ishning amaliy axamiyati fundamental sof matematikaga qarashli bo’lib uning amaliy ahamiyati tekshirilmagan. 8. Tadqiqotning ilmiy yangiligi: Maskur dissertatsiya ishida quyidagi fazosi bir jinsli ko’phaddan iborat tebranuvchan integrallarni baholash qaralgan ^ μ q ( ξ ) : = ∫ S ‍ e i ( ξ , x ) ∨ K ( x ) ¿ q ψ ( x ) dy ( x ) , ( ¿ ) Bu yerda K ( x ) - x ∈S nuqtasidagi giper sirt sathining Gauss egriligi va σ ( x ) sirt o’lchovi , ψ∈C0∞(S) silliq manfiy bo’lmagan funksiya, (ξ,x) - ξ va x ni skalyar ko’paytmasi. Agarda S : = { ( x 1 , x 2 ) ∈ V , x 3 = x 1 x 2n + x 1 2 } ko’rishda bo’lsa, bu yerda V -koordinata boshining yetarlicha kichik atrofi: Magistrlik dissertatsiya ishining asosiy natijasi quyidagi teoremadan iborat Teorema. Faraz qilaylik ‍ q > 1 2 bo’lsin, u holda kordinata boshining shunday V atrofi mavjudki (1.1) integral uchun quyidagi baho o’rinli bo’ladi ‍ ¿^ μ q ( ξ ) ∨ ≤ C ∨ ¿ a ∨ ¿ C 3 ¿ ξ ∨ ¿ , ¿ Bu ‍y erda ‍ a ∈ C 0∞ ( V ) ‍ va ‍ ξ≠0 ,‍ bunda C q ga bog’liq doimiy . 9. Dissertasiya tarkibining qisqacha tavsifi: Magistrlik dissertatsiyasi matni kompyuterda terilgan 60 bet hajmidan iborat bo’lib, uning strukturasi kirish qismi, 3 ta bob, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan iborat. Har bir bob paragraflarga ajratilgan bo’lib o’zining nomerlanishi va belgilanishiga ega. Misol uchun, 1.1.1-teorema yozuvi bu teoremaning 1-bobda 1-paragrafning 1-teoremasi tartib bilan yoki (2.2.2) yozuv formulaning 2-bobda 2-paragrafning 2-formulasini tartib bilan belgilanishini anglatadi. I bob. Furye almashtirishi Bizni o’rab turgan olamdagi ko’p hodisalar davriy xarakterga ega, yoki ularni davriy jarayonlar superpozitsiyasi deb tasavvur qilish mumkin. Eng soda davriy jarayon garmonik tebranish deb atalib, uning vaqtga bog’liqligi u( t) = Acosωt + Bsinωt ko’rinishidagi funksiya bilan ifodalanadi. Bu bog’liqlik kompleks ko’rinishda u(t)=C1(ω)eiωt +C2(ω)e−iωt K o’rinishda yoziladi. Turli davrga ega bo’lgan sodda davriy jarayonlarning superpozitsiyasi f ( t) = ∫ − ∞+ ∞ C ( ω ) e iωt dω ko’rinishdagi integrallarni o’rganishga olib keladi. 1.1-§. Furye almashtirishi haqida tushuncha. Deyarli har qanday funksiyani shunday integral ko’rinishida yozish mumkinligi, ya’ni uni cheksiz sondagi garmonik tebranishlar yig’indisiga yoyilishi, ham kutilmagan, ham ajoyib fakt bo’ldi. Albatta yuqoridagi integral ko’rinishda yozish mumkin bo’lgan funksiyalar sinfi bu xosmas integralni qanday tushinishimizga bog’liq. Bu xildagi integrallar birinchi martta Fransuz matematigi J.B.Furye tomonidan XIX asrning boshida o’rganildi va keyinchilik Furye integrali deb atala boshlandi. XX asrga kelib Furye integrallarini biz o’rab turgan olamni o’rganishda eng muhim qurolga aylandi va turli matematik modellarda keng foydalanila boshlandi. Furye integraliga yoyilishni o’rganadigan matematik nazariya garmonik tahlil degan nom oldi. Ushbu bobda R sonlar o’qida aniqlangan va kompleks qiymat qabul qiluvchi funksiyalar, ya’ni f(x)= f1(x)+if2(x),− ∞<x<+∞ , ko’rinishdagi funksiyalar o’rganiladi, bu yerda f1(x) va f 2 ( x ) -haqiqiy o’zgaruvchining haqiqiy qiymat qabul qiluvchi funksiyalardir. Tadbiqlarda ko’pincha f 2 ( x ) ≡ 0 bo’ladi. R sonlar o’qida aniqlangan f funksiyaning navbatdagi ^ f( ξ ) = ∫ − ∞∞ f ( x ) e − ixξ dx (1.1.1) integral almashtirishini kiritamiz. Bunda ^ f funksiya f ning Furye almashtirishi deb ataladi. Bizning galdagi maqsadimiz yetarlicha silliq funksiyalarni quyidagi f(x)= 1 2π∫−∞ ∞ ^f(ξ)eixξ dξ (1.1.2) Furye integrali ko’rinishida yozish mumkinligini ko’rsatishdan iborat. Agar bu tenglikning o’ng tomonidagi birinchi tur xosmas integral yaqinlashsa, u holda f funksiya Furye integraliga yoyiladi deyiladi. (1.1.2) integral yana teskari Furye almashtirishi deb ham ataladi. Umumiy holda qayd qilingan xosmas integral Koshi bosh qiymati ma’nosida tushuniladi, ya’ni quyidagi V . p . ∫ − ∞∞ ^ f( ξ ) e ixξ dξ = lim λ → + ∞ ∫ − λλ ^ f ( ξ ) e ixξ dξ limit deb aniqlanadi. Agarda o’ng tarafdagi integral ostida ni uning (1.1.1) qiymati bilan almashtirsak, so’ngra integrallar tartibini o’zgartirib, yangi o’zgaruvchilarga o’tsak ushbu 1 2π∫−λ λ ^f(ξ)eixξ dξ = 1 π∫−∞ ∞ sint t f(x+t λ)dt muhim munosabatni olishimiz munkin. Agar formal ravishda f funksiyani o’zgarmas deb olsak, u holda ∫0 ∞ sinβx x dx = π 2signβ formulaga ko’ra, o’ng taraf f(x) ga teng bo’ladi. Bundan,umumiy holda ham, ya’ni istalgan uzluksiz funksiya uchun o’ng tomonning λ→ +∞ dagi limiti f ( x ) funksiyaga teng bo’lishi kerak, degan taxminga ega bo’lamiz. Darhaqiqat agar sint /t funksiya absolyut integrallanuvchi emas albatta va taxminimizni isboti uchun berilgan funksiyaga silliqligi haqida qo’shimcha shartlar qo’yishga to’g’ri keladi. Ravshanki, Furye almashtirishi korrekt aniqlangan bo’lishi uchun (1.1.1) integral istalgan ξϵR larda yaqinlashishi kerak. Odatda, bu shart o’rinli bo’lishi uchun, f funksiyaning R sonlar o’qida absolyut integrallanishi talab qilinadi. Ushbu bobda biz o’rganayotgan funksiyaga aynan shu talabni qo’yamiz. Biz, asosan (1.1.2) integralning Koshi bosh qiymat manosida yaqinlashishini o’rganamiz. Buning uchun, albatta ^f(ξ) Furye almashtirishning absolyut integrallanishini talab qilishga zaruriyat yo’q. Lekin, hisoblash algoritmlarini amalga oshirish uchun qanday hollarda ^f(ξ) funksiya R sonlar o’qida absolyut integrallanuvchi bo’lishi muhim ahamiyatga ega. Shu sababdan, ushbu bobda biz bu masalaga ham e’tibor qaratamiz. 1-misol. Ushbu f(x)=e−α|x| funksiyaning Furye almashtirishi topilsin. Ta’rifga ko’ra, ^f(ξ)= ∫−∞ ∞ e−α|x|e−ixξ dx = ∫−∞ ∞ e−α|x|(cosxξ −isinxξ )dx . agar toq va juft funksiyalardan simmetrik oraliqda olingan integral xossasini e’tiborga olib, ∫0 ∞ e−αxcosξx dx = α α2+ξ2, α > 0 , tenglikdan foydalansak, ^f(ξ)= 2∫−∞ ∞ e−αxcosxξ dx = ¿ 2α α2+ξ2¿ (1.1.3) formulaga ega bo’lamiz. 2-misol. Ushbu f ( x ) = x e − α | x| funksiyaning Furye almashtirishi topilsin. Ta’rifaga ko’ra, ^f(ξ)= ∫−∞ ∞ xe−α|x|e−ixξ dx =∫−∞ ∞ xe −α|x|(cosxξ −isinxξ )dx . Agar toq va juft funksiyalardan simmetrik oraliqda olingan integrallar xossasini e’tiborga olib, ∫0 ∞ e−αxcosξx dx = α α2+ξ2, α > 0 , tenglikdan foydalansak, ^f(ξ)=− 2i∫−∞ ∞ xe −αxsinxξ dx = ¿−i4αξ ¿¿¿¿ (1.1.4) formulaga ega bo’lamiz. 3-misol. Ushbu f(x)=e−αx2funksiyaning Furye almashtirishi topilsin. Bu funksiyaning juftligiga ko’ra, ^f(ξ)= ∫−∞ ∞ e−αx2e−ixξ dx = 2∫0 ∞ e−αx2cosxξ dx . Demak, ∫ 0∞ e − α x 2 cosλx dx = √ π 2 √ α e − λ 2 4 α formulaga asosan, ^f(ξ)=√ π αe −ξ2 4α (1.1.5) ga ega bo’lamiz. 1.2-§. Furye almashtirishi xossalari. Eslatib o’tamiz, biz (1.1.1) tenglik yordamida Furye almashtirishni R sonlar o’qida absolyut integrallanuvchi bo’lgan, ya’ni ‖ f ‖ 1 = ∫ − ∞∞ | f ( x ) | dx (1.2.1) kattalik chekli bo’lgan funksiyalar uchun aniqlaymiz. 1.2.1-tasdiq. Agar f funksiya R sonlar o’qida absolyut integrallanuvchi bo’lsa, u holda uning ^ f Furye almashtirishi sonlar o’qida uzluksiz va chegaralangan funksiya bo’ladi: |^ f ( ξ ) | <‖ f ‖ 1 Isbot. Furye furye almashtirishining chegaralanganligi bevosita (1.1.1) va (1.2.1) ta’riflar va | e − ixξ | = 1 ayniyatdan kelib chiqadi: |^ f ( ξ ) | ≤ ∫ − ∞∞ | f ( x )| dx Ravshanki, (1.1.1) da integral ostidagi funksiya absolyut integrallanuvchi | f ( x ) | funksiya bilan yuqoridan chegaralangan. Bu baho parametrga bog’liq emas. Shu sababli, Veyershtrass alomatiga ko’ra, (1.1.1) integral ξ parametrga nisbatan tekis yaqinlashadi. Demak, Furye almashtirishi uzluksiz funksiya ekan. 1.2.2-tasdiq. R sonlar o’qida absolyut integrallanuvchi f funksiya uchun limh→0∫−∞ ∞ |f(x+h)− f(x)|dx = 0 (1.2.2) tenglik o’rinli. Isbot. Istalgan A>0 uchun quyidagi fA(x)={ f(x),agar |x|≤Abo'lsa , 0,agar |x|>Abo'lsa , funksiyani aniqlaymiz. Ixtiyoriy ε>0 uchun shunday katta A>0 sonini tanlaymizki, u uchun ∫ − ∞∞ | f ( x ) − f A ( x ) | dx < ε (1.2.3) baho bajarilsin. Birinchi tur xosmas integral ta’rifiga ko’ra, buni amalga oshirish munkin. fA(x) funksiya finit hamda xos ma’noda Riman bo’yicha integrallanuvchi bo’lgani sababli, limh→0∫−∞ ∞ |fA(x+h)− fA(x)|dx =0 (1.2.4) ravshanki, ∫−∞ ∞ |f(x+h)− f(x)|dx ≤∫−∞ ∞ |f(x+h)− fA(x+h)|dx +¿¿ + ∫ − ∞∞ | f A ( x + h ) − f A ( x ) | dx + ∫ − ∞∞ | f A ( x ) − f ( x ) | dx o’ng tomondagi birinchi va uchunchi integrallar (1.2.3) integralga teng ekanligini ko’rish qiyin emas. Demak, ∫ − ∞∞ | f ( x + h ) − f ( x ) | dx ≤ ∫ − ∞∞ | f A ( x + h ) − f A ( x ) | dx + 2 е bundan chiqdi, (1.2.4) ga ko’ra, limh→0.∫−∞ ∞ |f(x+h)− f(x)|dx ≤2е Endi е → 0 desak, talab qilingan (1.2.2) munosabatni olamiz. Eslatma. (1.2.2) Tenglik har qanday absolyut integrallanuchi funksiya o’rtacha ma’noda uzluksiz ekanini anglatadi. Agar f funksiya lokal integrallanuvchi bo’lib, kvadrati R sonlar o’qida absolyut integrallanuvchi bo’lsa, bu funksiyaning o’rta kvadratik ma’noda uzluksizligi, ya’ni limh→0∫−∞ ∞ |f(x+h)− f(x)|2dx =0(1.2.5) tenglikning bajarilishi xuddi yuqoridagidek isbotlanadi. 1.2.3-tasdiq. R sonlar o’qida absolyut integrallanuvchi bo’lgan ixtiyoriy f funksiyaning Furye almashtirishi barcha л ≠ 0 larda |^ f ( л ) | ≤ 1 2 ∫ − ∞∞ | f ( x ) − f ( x + р л )| dx (1.2.6) tengsizlikni qanoatlantiradi. Isbot. Agar ^f(л)=∫−∞ ∞ f(x)e−iлx dx (1.2.7) tenglikdan integral ostidagi funksiyani e iр = − 1 o’zgarmasga ko’paytirsak, formulaga ega bo ’ lamiz . Bu integralda yangi o ’ zgaruvchi sifatida x − р / л kattalikni olib , uni yana x deb belgilasak , ^ f( л) = − ∫ − ∞∞ f ( x + р / л ) e − iлx dx tenglikka kelamiz. Hosil bo’lgan tenglikni (1.2.7) ga qo’shsak, ^ f( л) = 1 2 ∫ − ∞∞ [ f ( x ) − f ( x + р л ) ] e − iлx dx munosabatni olamiz . Endi | e − i л x | = 1 ekanini hisobga olsak , bundan talab qilingan (1.2.6) tengsizlik kelib chiqadi . 1.2.1-teorema. R sonlar o’qida absolyut integrallanuvchi bo’lgan ixtiyoriy f funksiyaning Furye almashtirishi uchun limл→±∞ ^f(л)=0 (1.2.8) tenglik o’rinli. Isbot. Bu teoremani isbotlash uchun 1.2.2 va 1.2.3-tasdiqlardan foydalanamiz, agar 1.2.2-tasdiqda quyidagicha h= р/л almashtirish olsak, u holda 1.2.2-tasdiq quyidagi ko’rinishga keladi. ^ f( л) = − ∫ − ∞∞ f ( x ) e − iл ( x − р л ) dx R sonlar o’qida absolyut integrallanuvchi bo’lgan f funksiya uchun limл→±∞∫−∞ ∞ |f(x+ р л)− f(x)|dx =¿¿ ¿ limл→±∞∫−∞ ∞ |f(x)− f(x+ р л)|dx =¿0¿ tenglik o’rinli. Endi 1.2.3-tasdiqni ikki tomonidan л→ ±∞ da limitga o’tib olgan natijamizdan foydalansak lim л → ± ∞ |^ f ( л ) | ≤ lim л → ± ∞ ¿ ¿ Bunda tengsizlikni chap tomonidagi ifoda nomanfiyligidan va yuqoridagi natijamizga ko ’ ra limл→±∞ ^f(л)=0 tenglikga ega bo’lamiz. 1.2.1-Natija. R sonlar o’qida absolyut integrallanuvchi bo’lgan har qanday f funksiya uchun quyidagi limл→∞∫−∞ ∞ f(x)cosлx dx (1.2.9) limл→∞∫−∞ ∞ f(x)sinлx dx (1.2.10) tengliklar o’rinli. Isbot uchun (1.1.1) ta’rif va e−ixо= cosxо −isinxо ayniyatdan foydalanish yetarli. 1.2.2-natija. [a,b]⊂ R kesmada Riman bo’yicha integrallanuvchi bo’lgan har qanday f funksiya uchun limл→∞∫a b f(x)cosлx dx = limл→∞∫a b f(x)sinлx dx = 0 (1.2.11) tengliklar o ’ rinli . Isbot uchun f funksiyani [a,b] kesmadan tashqarida nol deb, R sonlar o’qiga davom ettirish kifoya. Navbatdagi tasdiqda qaralayotgan funksiya [ a , b ] kesmada yotuvchi biror c nuqta atrofida chegaralanmagan bo’lishi mumkin. Bunday g funksiyadan [a,b] kesmada olingan ikkinchi tur xosmas integral quyidagi ikki limit yig’indisi sifatida aniqlanadi: ∫a b g(x)dx = limб→0−0∫a c−б g(x)dx + limв→0+0∫c+в b g(x)dx (1.2.12) bunda g funksiya c ϵ( a , b ) nuqtani o’z ichiga olmagan har qanday ∆⊂[a,b] kesmada Riman ma’nosida integrallanadi, deb faraz qilinadi. 1.2.4-tasdiq. Faraz qilaylik, g(x) funksiya [a,b] kesmaning c ϵ( a , b ) dan tashqari barcha nuqtalarida aniqlangan bo’lib, ∫ ab | g ( x ) | dx (1.2.13) xosmas integral (1.2.12) tenglik manosida yaqinlashsin. U holda lim л → ∞ ∫ ab g ( x ) cosлx dx = lim л → ∞ ∫ ab g ( x ) sinлx dx = 0 (1.2.14). tengliklar o’rinli. Isbot. Yetarlicha kichik д>0 lar uchun barcha x ϵ[ a , b ] larda aniqlangan gд(x)={ g(x),agar |x−c|≥дbo'lsa , 0,agar |x−c|<дbo 'lsa (1.2.15) funksiyani kiritamiz. (1.2.13) xosmas integralni ta’rifiga ko’ra, istalgan е>0 olganda ham shunday д > 0 topiladiki, u uchun ∫a b |g(x)− gд(x)|dx <е (1.2.16). tengsizlik bajariladi. Bundan chiqdi, agar ∫ ab g ( x ) cosлxdx = ∫ ab [ g ( x ) − g д ( x ) ] cosлx dx + ∫ ab g д ( x ) cosлx dx deb yozib olsak, | ∫ ab g ( x ) cosлx dx | ≤ е ( b − a ) +| ∫ ab g д ( x ) cosлx dx | (1.2.17). munosabatni olamiz. gд funksiya [ a , b ] ‍ kesmada Riman bo’yicha integrallanuvchi bo’lgani uchun, u 1.2.1-teoremaning 1.2.2-natijasi shartlarini qanoatlantiradi. Shunday ekan, (1.2.17) da yuqori limitga o’tib, lim л → ∞ . | ∫ ab g ( x ) cosлx dx ≤ е ( b − a ) | bahoga ega bo ’ lamiz . Nihoyat е>0 ning ixtiyoriyligiga ko ’ ra , bundan (1.2.14) dagi birinchi limitning nolga tengligini olamiz . Ikkinchi limitning nolga tengligi xuddi shu usulda ko’rsatiladi. Eslatma. 1.2.4-tasdiq B.Riman tomonidan isbotlangan . Keyinroq A. Lebeg bu tasdiqni hozirda Lebeg ma’nosida integrallanuvchi deb ataladigan funksiyalar uchun isbotladi. Matematik adabiyotlarda bu olimlar isbotlagan tasdiq Riman- Lebeg lemmasi deb ataladi. Bu lemmaning 1.2.4-tasdiq ko’rinishdagi dastlabki variantini ham biz shu nom bilan ataymiz. 4-misol. Faraz qilaylik ц ( x ) funksiya [ − 1,1 ] ‍ kesmada uzluksiz bo’lsin. U holda istalgan б > 0 uchun limл→∞∫−1 1 |x|б−1ц(x)sinлx dx =0 (1.2.18). tenglik o’rinli. Haqiqatan, Veyershtrassning birinchi teoremasiga ko’ra, ц ( x ) funksiya [−1,1 ] kesmada chegaralangan. Bundan chiqdi, | x| б − 1 | ц ( x ) | ≤ C | x | б − 1 taqqoslashning xususiy alomati hamda Riman-Lebeg lemmasini (ya’ni 1.2.4- tasdiqni) qo’llab, talab qilingan (1.2.18) tenglikga ega bo’lamiz. II bob. Tebranuvchi integrallarni asimptotik baholari. Tebranuvchan integral, to'g'rirog'i tebranuvchan funksiyaning integrali nima va uni o'rganishdan maqsad nima? Uning boshqa integrallardan farqi nimada? Nima uchun bu kabi integrallar ko'p tadqiq etiladi? Bunday integrallarni hisoblash masalasi haqida nima deyish mumkin? Qanday qilib bunday integrallarning asimptotikasini o'rganish mumkin? Bu kabi integrallarning qanday tatbiqlari bor va hokazo bunday savollarni juda ko'p keltirish mumkin. Shuni ta'kidlash mumkinki, aslida tebranuvchan funksiyalarni sekin o'zgaruvchi funksiyalarga, ya'ni funksiyaning o'zi va uning yetarlicha yuqori tartibli hosilalari chegaralangan funksiyalarga qarama-qarshi funksiyalar sifatida qarashimiz mumkin. Keling yaxshisi tebranuvchan funksiyalar haqida gapirishdan avval bunday funksiyalarning muhim (biz eng ko'p ishlatadigan) sinfini keltiraylik: F( x , λ ) ≔ exp ( iлf ( x ) ) bu yerda f(x) haqiqiy qiymatli o'zgarmasdan farqli funksiya va л cheksizga intiluvchi haqiqiy parametr. Ma'lumki, agar funksiya "sekin o'zgaruvchan" bo'lsa u holda uning biror soha bo'yicha integralini hisoblash uchun sohani to'rlarga bo'lib, integralni biror kubatur (ya'ni integralni biror chekli yig'indi bilan almashtirish formulasi) formula bilan hisoblashimiz mumkin.Hozirgi kunda qo'llanilayotgan zamonaviy hisoblsash mashinalari integrallarni yetarlicha aniqlikda hisoblash imkonini beradi. Ammo, bu kubatur formulalarning xatoligi (xatolik funksionalining normasi) integrallanuvchi funksiyaning hosilalari bilan (aniqrog'i bu funksiyaning mos Sobolev fazolardagi normasi orqali) quyidan va yuqoridan baholanadi. 2. 1-§. Asosiy tushunchalar Yuqorida keltirilgan tez tebranuvchan funksiya esa л parametr juda katta qiymatlarni qabul qilganda uning hosilalari juda katta qiymatlar qabul qiladi va kubatur formulalarning xatoligi ham juda katta bo'ladi. Albatta agar л parametr chegaralangan bo'lsa u holda funksiya sekin o'zgaruvchi bo'ladi va bu holda biz kubatur formulalardan foydalanishimiz mumkin. Shuni ta'kidlash joizki, bunday integrallarning tatbiqlarida л cheksizga intiladi va bu masalalarda parametrning aynan cheksiz uzoqlashgan nuqtaning atrofidagi xarakteri muhim rol o'ynaydi. Bu yerda biz bunday masalalardan ikkitasini keltirdik. Tebranuvchan integral deb quyidagi ko'rinishdagi integralga aytiladi: I(л)=∫ Rn 1 eiлΦ(x)ш (x)dx (2.1.1) bu yerda ш ( x ) amplituda deb ataluvchi funksiya va Φ ( x ) faza funksiyasi deyiladi, л esa katta qiymatlar qabul qiluvchi haqiqiy parametr. Shuni ta’kidlash joizki, umuman olganda (2.1.1) integral odatdagi Lebeg ma'nosida yaqinlashuvchi emas. Shuning uchun (2.1.1) integralga u yoki bu ma'noda yaqinlashish tushunchasi kiritiladi. Biz odatda ш (x)∈C0∞(Rn) deb faraz qilamiz, ya'ni ш ( x ) cheksiz marta differensiallanuvchi bo'lib, shunday r(ш)>0 chekli son topiladiki, barcha | x| > r ( ш ) shartni qanoatlantiruvchi nuqtalar uchun ш funksiya nolga aylanadi. Bunday funksiyalar to'plami finit, cheksiz silliq funksiyalar fazosi deyiladi. Faza funksiyasi esa cheksiz marta differensiallanuvchi haqiqiy qiymatlarni qabul qiluvchi funksiyadir. Bu holda (2.1.1) integral odatdagi Lebeg (Riman) ma'nosida yaqinlashuvchi bo'ladi. Ba'zan integraldagi amplituda finit bo'lmagan funksiya ham bo'lishi mumkin. Odatda I ( л ) integral shartli yaqinlashuvchi integral bo'ladi.Ya'ni bu integral umumlashgan ma'noda tushiniladi. Umuman olganda bu integral odatdagi Riman yoki Lebeg integrali ma'nosida yaqinlashmasligi mumkin. Har bir masalada bu integralning yaqinlashish ma'nosi va uning asimptotikasi deganda nima tushinilishi aniq ko'rsatiladi. Eng sodda tebranuvchan integralga misol sifatida bu funksiyaning Fur'e almashtirishini keltirish mumkin: I(л)≔^ш (л)=∫R 1 eiлxш (x)dx Bu yerda ш funksiya R da Lebeg ma'nosida integrallanuvchi bo'lsa, u holda I ( л ) odatdagi Lebeg integrali ma'nosida yaqinlashuvchi bo'ladi. Umuman aytganda yuqoridagi integral sekin o'suvchi taqsimotlar uchun ham umimlashgan ma'noda aniqlanishi mumkin. Tebranuvchan integralning yana bir klassik vakili bu Frenel integralidir: I ( л ) = ∫ R1 e iл x 2 dx Bu integral barcha nolmas л larda shartli yaqinlashuvchi bo'ladi va aniq hisoblanadi: I(л)= √2р|л| −12eiр4sign (л). Ammo, shuni ta'kidlash kerakki, tebranuvchan integral odatda elemantar funksiyalar orqali kvatraturalarda hisoblanmaydi. Bu kabi integrallarni hisoblash usullari bilan taqriban topishdagi qiyinchiliklar л parametrning cheksizga intilishi bilan bog'liq. Ma'lumki, kvadratura va kubatura formulalaridagi xatoliklar integral ostidagi funksiyaning hosilalari bilan baholanadi. Tebranuvchan integrallarda esa integrallanuvchi funksiya tez tebrangani bois uning hosilalari cheksiz katta qiymatlarni qabul qiladi. Shunga qaramasdan tebranuvchan integral | л| → + ∞ da yetarlicha kichik bo'lishi mumkin. Bunday integrallarning cheksizdagi xarakteri ba'zi hollarda aniq topilishi mumkin. Laplas ta'biri bilan aytganda qaysi intregralning hisoblanishi qiyin bo'lsa uning asimptotikasini topish shunchalik oson bo'ladi. Bu tasdiq albatta majoziy ma'noda aytilgan. Biz tebranuvchan integreallarning |л|→ +∞ dagi xarakteri, asimptotik yoyilmasi va baholari bilan shug'ullanamiz. Avvalo, biz ш ( x ) ∈ C 0∞ ( R ) bo'lganda va |л|→ +∞ da bir o'zgaruvchili I ( л ) tebranuvchan integralning asimptotikalarini ko'rib chiqamiz. 2.2-§. Bir o'zgaruvchili tebranuvchan integrallar Bu paragrafda biz quyidagi ko'rinishdagi I ( л ) = ∫ ab e iлЦ ( x ) ш ( x ) dx tebranuvchan integrallarni qaraymiz . Bu yerda faza funksiyasi yuqoridagi umumiy shartlarni qanoatlantiradi va ш (x)∈C0∞(a,b) , ya ' ni ш cheksiz marta differensiallanuvchi bo ' lib , uning tashuvchisi (" support ") (a,b) da yotadi , ya ’ ni : supp (ш )≔{x∈R:ш (x)≠0}⊂(a,b). tebranuvchan integral haqidagi asosiy mulohazalar (faktlar) 3 ta prinsipga- ‍ lokalizatsiya, cho'zish va ‍ asimptotika ga asoslanadi. Lokalizatsiya asosi(prinsipi): Bu prinsip ш ( x ) ∈ C 0∞ ( a , b ) bo'lgan holda tebranuvchan integralning asosiy qiymatlari faza funksiyasining kritik nuqtalari orqali aniqlanishini bildiradi. Bu asos statsionar faza usuli deb ham yuritiladi. 2.2.1-teorema. Faraz qilaylik, Φ va ш silliq funksiyalar bo'lib, ш ( x ) ∈ C 0∞ ( a , b ) va istalgan x∈(a,b) uchun Φ ' ( x ) ≠ 0 shart bajarilsin (ya'ni faza funksiyasi (a,b) oraliqda kritik nuqtalarga ega bo'lmasin). U holda ixtiyoriy Ν haqiqiy son uchun I ( л ) = O (| л| − N ) (| л| → + ∞ ) asimptotik munosabat, ya'ni I ( л ) = O (| л| − ∞ ) (| л| → + ∞ ) munosabat o'rinli bo'ladi . Eslatma. I ( л ) = O (| л| − ∞ ) (| л| → + ∞ ) asimptotik munosabat quyidagicha ifodalanadi: ixtiyoriy Ν haqiqiy musbat soni uchun shunday c va c 0 musbat sonlari topiladiki, ixtiyoriy | л| > л 0 uchun | I ( л ) | ≤ c | л| − N tengsizlik bajariladi. 2.2.1-teoremaning isboti. Avvalo shuni ta'kidlash kerakki, shunday a < б < в < b sonlari topiladiki ixtiyoriy x ϵ[ a , б ] ∪ [ в , b ] nuqta uchun ш ( x ) = 0 tenglik o'rinli va ixtiyoriy xϵ[б,в] nuqta uchun Φ ' ( x ) ≠ 0 shart bajariladi. Mana shu tayinlangan oraliq [б,в] uchun C∞([б,в]) fazoda aniqlangan Df ≔ ( iл ( Φ ' ( x ) )) − 1 df ( x ) dx differensial operatorni qaraymiz. D t orqali bu operatorning "transponirlanishidan" hosil bo'lgan quyidagi operatorni belgilaymiz: D t ( f )( x ) ≔ − d dx ( f ( x ) iл Φ ' ( x ) ) U holda DN(eiлΦ(x))=eiлЦ (x) ayniyatning ixtiyoriy natural N soni uchun bajarilishini osongina ko'rish mumkin.Yuqoridagi ayniyatni qo'llab, bo'laklab integrallash formulasidan foydalanishimiz mumkin: I(л)=∫a b eiлΦ(x)ш (x)dx = ¿∫б в DN(eiлΦ(x))ш (x)dx =¿¿¿ ¿∫б в eiлЦ (x)(Dt)N(ш )(x)dx(2.2.2) Yuqoridagi tenglikni hosil qilishda ш funksiya va uning barcha hosilalari б va в nuqtalarda nolga aylanishidan foydalandik . Endi ixtiyoriy x ϵ[ б , в ] nuqta uchun |(Dt)N(ш)(x)|≤cN|л|−N tengsizlikning va |eiлЦ (x)|=1 tenglikning bajarilishidan foydalansak, I ( л ) integral uchun ¿I(л)∨≤∫a b eiлЦ (x)(Dt)N(ш )(x)dx ≤cN(в−б)|л|−N bahoni hosil qilamiz. Oxirgi natija 2.2.1-teoremani isbotlaydi. Xususan, agar Φ ( x ) = ± x ba a = − ∞ , b = ∞ bo'lsa, u holda I(л)= ^ш(л) bo'lib, finit va cheksiz silliq funksiyaning Fur'e almashtirishi tez (cheksiz tez) kamayuvchi funksiya ekanligiga kelamiz. Shuni ta'kidlash kerakki, agar ш funksiya [a,b] kesmaning chekkalarida nolga aylanmasa, u holda (2.2.2) formulaga chegaraviy hadlarni qo'shish kabi o'zgartirishlar kiritilishi lozim. Bu holda tebranuvchan intaegralning kamayish tartibi O (| л| − 1 ) ko'rinishida bo'lib bu baho umumiy holda yaxshilanishi mumkin emas. Masalan, Φ ( x ) = x , ш ( x ) ≡ 1 bo'lganda quyidagiga ega bo'lamiz: ∫ ab e iлx dx = e iлb − e iлa iл Eslatma. Agar Φ va ш funksiyalar "davriy" silliq funktsiyalar bo'lsa, ya'ni ixtiyoriy k≥0 butun son uchun Φ ( k)( a) = Φ ( k) ( b ) va ψ ( k)( a ) = ψ ( k) ( b ) shartlar bajarilsa va faza funksiyasi kritik nuqtalarga ega bo'lmasa, u holda I ( л ) tebranuvchan integral uchun 2.2.1-teoremaning tasdig'i o'rinli bo'ladi ya'ni u tez kamayuvchi funksiyadir. Maxsus nuqtalar deb chegaraviy nuqtalar va kritik nuqtalar to'plamining birlashmasiga aytiladi. Cho'zish prinsipi: Endi biz Van der Korput usuli bilan tebranuvchan integrallarni baholash masalasini ko'ramiz. Faraz qilaylik, biror tayinlangan natural k son uchun ixtiyoriy xϵ[a,b] nuqtada | d k Φ ( x ) d x k | ≥ 1 tengsizlik bajarilsin. Biz ∫a b eiлΦ(x)dx tebranuvchan integralni qaraymiz va uni , sonlariga bog'liq bo'lmagan bahosini olamiz. x⟼ |л| −1k cho'zish orqali bajarilgan o'zgartuvchilarni almashtirish, eng yaxshi baho O(|л| −1k) ko'rinishida bo'lishini ko'rsatadi. Quyidagi ∫ 01 exp( iл x k ) dx = const л − 1 k + o ( л − 1 k ) ( л → + ∞ ) asimptotik munosabatni isbotlash mumkin, bunda const ≠0 biror son. [4] Endi umumlashgan Van der Korput Lemmasi deb ataluvchi mulohazani isbotlaymiz(Bu mulohaza bo'lganda Van der Korput tomonidan isbotlangan). 2.2.2-teorema. Faraz qilaylik, Φ faza funksiyasi (a,b) oraliqda silliq haqiqiy qiymatli bo'lib, ixtiyoriy x ϵ[ a , b ] nuqta uchun | d k Φ ( x ) d x k | ≥ 1 tengsizlik bajarilsin. U holda | ∫ ab e iлЦ ( x ) dx | ≤ C k | л| − 1 k ( 2.2 .3 ) baho quyidagi shartlarda o'rinli bo'ladi: (1) k ≥ 2 ixtiyoriy natural son; (2) k=1 va Φ ' ( x ) monoton funksiya. Ck o'zgarmas son Φ funksiyaga hamda л parametrga bog'liq emas. Avvalo, teoremaning 2-qismidagi Φ ' ( x ) funksiyaning monotonligi muhim ekanligini ko'rsatamiz. Quyidagi integralni qaraymiz: I ( Ν ) ≔ ∫ 01 e i ( 2 Nx + cos ‍ ( 2 Nx ) 2 ) dx 2.2.1-mulohaza. Bu integralning N → +∞ dagi limiti mavjud va noldan farqli. 2.2.1-mulohazaning isboti. I ( N ) integralda o'zgartuvchilarni almashtirish va integralning haqiqiy va mavhum qismlarini ajratish orqali quyidagi tenglikka kelamiz: I ( N ) = [ N р ] N ∫ 0р cos ( 2 x + cos ( 2 x ) 2 ) dx + i [ N р ] N ∫ 0р sin ( 2 x + cos ( 2 x ) 2 ) dx + O ( 1 N ) bu yerda [ ] -sonning butun qismi. Elementar almashtirishlar orqali osongina ko'rsatish mumkinki, I ( N ) integralning haqiqiy qismi nolga teng, ya'ni ∫0 р cos (2x+cos ‍(2x) 2 )dx =0 i kkinchi tomondan ∫0 р sin (2x+cos ‍(2x) 2 )dx = 2∫0 р2 (cosx +sinx )sin ( cosx 2 )dx >0. Oxirgi tengsizlik integral ostidagi funksiyalarning musbatligidan kelib chiqadi, shunday qilib, lim N → + ∞ ∫ 01 e i ( 2 Nx + cos ‍ ( 2 Nx ) 2 ) dx = 2 р ∫ 0р 2 ( cosx + sinx ) sin ( cosx 2 ) dx ≠ 0 . 2.2.1-mulohaza isbotlandi. Shuni ta'kidlash kerakki, f N ( x ) = N ( 2 − sin ( 2 Nx )) ≥ N → + ∞ . 2.2.1-Natija. Ixtiyoriy c soni uchun shunday N topiladiki, |∫0 1 e i(2Nx+cos ‍(2Nx) 2 )dx |≤ c minxϵ[0,1]|fN(x)| tengsizlik o'rinli emas. Shunday qilib, 2.2.2-teoremaning (2)-qismidagi faza funksiyasi hosilasi monotonligining muhimligini ko'rsatdik. 2.2.2-teoremaning isboti. Dastlab teoremaning (2)-qismini isbotlaymiz. D sifatida 2.2.1 -teoremadagi differensial operatorni belgilab, quyidagiga kelamiz: ∫a b eiлΦ(x)dx =∫a b D (eiлΦ(x))dx =∫a b eiлΦ(x)Dt(1)dx +(iл Φ'(x))−1eiлΦ(x)¿ab Chegaraviy hadlar 2 | л| bilan baholanadi. Endi oxirgi ifodadagi integral hadni baholaymiz. Bunda Φ' funksiyaning monotonligidan foydalanamiz. Agar bu funksiya monoton va noldan farqli bo'lsa, u holda 1 Ц ' funksiya ham monoton bo'ladi hamda bu funksiyaning hosilasi ishorasini o'zgartirmaydi. Shuning uchun | ∫ ab e iлЦ ( x) D t ( 1) dx | = | ∫ ab e iл Φ ( x ) ( iл ) − 1 d dx ( 1 Φ ' ) dx | ≤ | л| − 1 ∫ ab | d dx ( 1 Φ ' )| dx = ¿ ¿ ¿|л|−1 |∫a b d dx ( 1 Φ')dx |≤|л|−1 | 1 Φ'(a)− 1 Φ'(b)|≤|л|−1. Shunday qilib, 2.2.2-teoremaning (2)-qismi isbotlandi. Bundan tashqari bu baho c 1 = 3 o'zgarmas son uchun bajarilishi ham ko'rsatildi. Endi (1)-tasdiqni matematik induksiya usuli bilan isbotlaymiz. k=1 uchun izlangan tengsizlik ko'rsatildi (qo'shimcha Φ' funksiyaning monotonligi shartida).Faraz qilaylik, biror k≥1 natural son uchun (1)-tasdiq to'g'ri bo'lsin. Agar zarurat bo'lsa Φ funksiyani − Φ ga almashtirib, umumiylikka ziyon yetkazmasdan, biz ixtiyoriy x ϵ[ a , b ] uchun Φ(k+1)(x)≥1 tengsizlik bajariladi deb hisoblashimiz mumkin. Faraz qilaylik, biror x=cϵ[a,b] nuqtada |Φ(k)(x)| funksiya yagona minimumga ega bo'lsin. Bunday nuqtaning yagonaligi Φ ( k) ( x ) funksiyaning monotonligidan kelib chiqadi. Agar Φ ( k)( c) = 0 bo'lsa, u holda [a,b]¿(c−д,c+д¿) to'plamning ixtiyoriy x nuqtasida Φ(k)(x)≥д tengsizlik bajariladi, xususan, k=1 bo'lgan holda Φ'(x) monoton funksiya bo'ladi. Endi ( c − д , c + д ) ⊂ [ a , b ] shart bajarilganda quyidagi elementar tenglikni yozamiz: ∫a b ¿∫a c−д +∫c−д c+д +∫c+д b . Bizning induksiya farazimizga ko'ra, quyidagi tengsizliklar bajariladi: | ∫ ac − д e iл Φ ( x ) dx | ≤ c k | лд | − 1 k , | ∫ c + дb e iл Φ ( x) dx | ≤ c k | лд | − 1 k Endi | ∫ c − дc + д e iл Φ ( x ) dx | ≤ 2 д elementar tengsizlikdan foydalansak, quyidagi |∫a b eiлΦ(x)dx |≤2ck|лд | −1k+2д bahoning ixtiyoriy д musbat son uchun o'rinli ekanligini hosil qilamiz. Agar Φ(k)(c)≠0 bo'lsa, u holda c nuqta [a,b] kesma chekkalaridan biri bilan ustma-ust tushadi yoki c nuqta [ a , b ] kesma chekkalaridan biriga juda yaqin va ( c − д , c + д ) ⊂ [ a , b ] shart bajarilmasligi ham mumkin. Ikkala holda ham д=|л| 1k+1 deb olib, (2.2.2) tengsizlikning c k + 1 = 2 c k + 2 soni uchun bajarilishiga kelamiz. c 1 = 3 bo'lgani uchun ck=5∙2k−1− 2 o'zgarmas bilan (2.2.3) baho o'rinlidir. 2.2.2-teorema isbotlandi. Eslatma. Umuman olganda, ck o'zgarmasning k soniga bog'lanishi optimal emas. Bu sonnig aniqroq baholari [2] monografiyada ko'rsatilgan. Ammo ck ning ma'lum yuqori baholari uning quyi baholaridan ancha kattadir. Yuqoridagiga o'xshagan baho bir oz umumiyroq bo'lgan ∫ ab ш ( x ) e iл Φ( x) dx ( 2.2 .4 ) integral uchun ham o'rinli. Bu yerda biz ш funksiya uchun [a,b] kesmaning chekkalarida nolga aylanish shartini qo'ymaymiz. 2.2.2-natija. Agar Φ faza funksiyasi 2.2.2-teoremaning shartlarini qanoatlantirsa, u holda (2.2.4) ko'rinishdagi tebranuvchan integral uchun quyidagi tengsizlik o'rinli bo'ladi: |∫a b ш (x)eiлΦ(x)dx |≤2ck|л| −1k‖ш‖V bunda ‖ш‖V≔|ш (b)|+Vab[ш],Vab[ш ],ш funksiyaning [a,b] oralig'idagi to'la o'zgarishi. 2.2.2-natijaning isboti. (2.2.4) integralni ∫a b F'(x)ш (x)dx shaklda yozamiz, bu yerda F(x)=∫a x ш (t)eiлΦ(t)dt . Endi Stilt'es integrallari uchun bo'laklab integrallash formulasidan foydalanib, quyidagiga ega bo'lamiz: ∫a b F'(x)ш (x)dx = F (b)ш (b)−∫a b F(t)dш (t). Pirovardida izlangan tengsizlik ixtiyoriy x ϵ[ a , b ] son uchun |F(x)|≤ck|л| −1k tengsizlikning bajarilishidan va Stilt'es integrali uchun elementar tengsizlikdan kelib chiqadi. Agar f funksiya [ a , b ] oraliqda uzluksiz va g o'zgarishi chegaralangan funksiya bo'lsa, u holda quyidagi Stiltes integralining mavjudligini va uning uchun |∫a b f(x)dg (x)|≤max[a,b]|f(x)|Vab[g] bahoning o'rinli ekanligini ko'rishimiz mumkin. 2.2.2-teoremadan quyidagi natija kelib chiqadi. 2.3-§. Tebranuvchan integrallarning asimptotikalari. Endi I( л ) = ∫ ab e iлЦ ( x ) ш ( x ) dx integralning | л| → + ∞ dagi asimptotik yoyilmasi bilan tanishib chiqamiz. Biz ш funksiya [a,b] oraliq chekkalarining biror atrofida aynan nolga teng deb faraz qilamiz. Bu shartda tebranuvchan integralning | л| → + ∞ dagi xarakteri faza funksiyasi kritik nuqtalarining yetarli kichik atroflari bilan aniqlanadi. Shuni ta'kidlash kerakki, agar faza funksiyasining kritik nuqtalari yakkalanmagan bo'lgan holda I ( л ) ning asimptotik yoyilmasini topish ancha murakkab masaladir. Biz ш amplituda funksiyasining tashuvchisi fazaning yagona chekli karrali kritik nuqtasini saqlagan holini ko'rib chiqamiz. Bu holda tebranuvchan integralning asimptotikasi Φ(k)(x0)≠0 tengsizlikni qanoatlantiruvchi minimal natural soni bilan aniqlanadi. Kritik nuqta yakkalangan, ammo cheksiz karrali bo'lgan holda ham tebranuvchan integralning asimptotikasini topish masalasi og'ir muammo sanaladi. Chekli karrali kritik nuqtaga ega bo'lgan tebranuvchan integralning asimptotikasi haqidagi teorema. 3.2.1-teorema. Faraz qilaylik, k≥2 bo'lib, Φ ( x 0 ) = Φ ' ( x 0 ) = … = Φ ( k − 1 )( x 0 ) = 0 va Φ(k)(x0)≠0 shartlar bajarilsin. Agar ш amplituda funksiyasining tashuvchisi x0 nuqtaning yetarli kichik atrofida joylashgan bo'lsa, u holda л → + ∞ da quyidagi asimptotik yoyilma o'rinli bo'ladi: I ( л ) = ∫ e iл Φ ( x) ш ( x ) dx ≈ л − 1 k ∑ j = 0∞ a j л − j k . Oxirgi asimptotik yoyilma quyidagi ma'noda tushuniladi: istalgan nomanfiy butun r va N sonlari uchun quyidagi munosabat o'rinli: ( d dл ) r [I(л)− л −1k∑j=0 N ajл −jk ]=O (л−r−N+1k )(л→ +∞) Frenel tipidagi etalon integrallarning asimptotikasi: 1-qism. Teorema ‍ isbotining boshlanishi. Ixtiyoriy manfiymas butun l son uchun ∫−∞ +∞ eiлx2xie−x2dx ≈л −l+12 ∑j=0 ∞ cj(i)л−j(2.3 .1)asimptotik tenglik o'rinli. (2.3.1) integralni Frenel tipidagi etalon integral deb ataymiz. Aniqroq qilib aytganda, bu tenglik integralning Loran qatoriga yoyilmasi bo'lib, toq son bo'lgan holda u aynan nolga teng bo'ladi. ∫ − ∞+ ∞ e iл x 2 x l e − x 2 dx integral kompleks o'zgaruvchili funksiyaning ( 1 − iл ) 1 2 R kontur boyicha olingan integrali sifatida qaralishi mumkin. f ( z) = e − z 2 analitik funksiyaning | ℜ ( z ) | → + ∞ da eksponensial kamayishidan hamda Koshining integral teoremasidan foydalansak, yuqoridagi ( 1 − iл ) 1 2 R kontur boyicha olingan integralni R bo'yicha olingan quyidagi integralga keltiramiz: ( 1 − iл ) − 1 2 − l 2 ∫ − ∞+ ∞ x l e − x 2 dx Endi z −l+12 ko'p qiymatli (ikki qiymatli) funksiyaning kompleks tekisligidan manfiy yarim o'q chiqarilgandagi √ 1 = 1 shartni qanoatlantiruvchi tarmog'ini olamiz. U holda л>0 bo'lsa, ( 1 − iл ) − l + 1 2 = л − l + 1 2 ( л − 1 − i ) − l + 1 2 tenglik o'rinli bo'ladi. Shunday qilib, ( щ − i ) − l + 1 2 funksiyaning |щ|<1 doiradagi darajali qatorga yoyilmasi tebranuvchan integralning щ = л − 1 → 0 dagi asimptotik qatorga yoyilmasini beradi. Aslida bu qator ixtiyoriy е > 0 uchun |л|>1+е sohada tekis yaqinlashuvchi bo'ladi. 2.4-§. Kritik nuqtaga ega bo’lmagan faza funksiya. Endi biz Furye integralini qaraymiz: F( л ) = ∫ ab f ( x ) exp [ iлS ( x ) ] dx ( 2.4 .1 ) bunda S ( x ) – haqiqiy qiymatli, f ( x ) – kompleks qiymatli funksiya, л - katta musbat parameter. Ko’rinib turibdiki biz, S ( x ) ≡ const yoki f(x)≡0 bo’lgan holatni qaramaymiz. Bunda S ( x ) funksiyani faza funksiya deb ataymiz. F ( л ) integral ( л ≪ − 1 ) da cheksiz kichik bo’ladi, exp [iлS (x)] eksponentani tez tebranuchiligi hisobiga. Bunday holatni umumiyroq natijasi quyidagi hisoblanadi. Lemma: Riman – Lebeg . Agar f(x)ϵL1(− ∞ ,∞) , u holda ∫−∞ ∞ f(x)eiлxdx = o(1)(x→ +∞) Bunday shartlarda tebranuvchi integralni tezligi haqida bundan aniqroq malumot olib bo’lmaydi. Shunisi aniqki, Furye integralini asimptotikaga asosiy hissasi faza funksiyani statsionar nuqtalarini hosil qilishi kerak, chunki ularga yaqinlashgan sari tebranishi sekinlashadi, shu bilan birga f , S funksiyalar yoki ularni hosilasi muhimligi ham. Etibor bersak, Laplas integralidan farqli ravishda Furye integralida integrallashning hamma intervalida f , S funksiyalar silliqligi muhim. Faza funksiya statsionar nuqtalarga ega bo’lmagan holda, F ( л ) ni asimtotikasi bo’laklab integrallash yordamida oddiy hisoblanadi. 2.4.1 - teorema. Agar I=[a,b] - oxirgi segment, S ' ( x ) ≠ 0 , x Iϵ (2.4.2) va f ( x ) ϵ C N + 1 ( I) , S ( x ) ϵ C N + 2 ( I ) u holda л → + ∞ da ∫a b f(x)exp [iлS (x)]dx =∑k=0 N (iл)−k−1 ( 1 S'(x) d dx ) k ( f(x) S'(x))¿ab+o(л−N)(2.4 .3) Isbot. Bo’laklab integrallab quyidagiga ega bo’lamiz, F ( л ) bilan (2.4.3) ni o’ng tomondagi summani farqi quyidagiga teng ekan (iл)−N∫a b (M N f(x) S'(x)) ' exp [iлS (x)]dx ,M = 1 S'(x) d dx (2.4 .4) Riman-Lebeg lemmasiga ko’ra oxirgi integral л→ +∞ da o ( 1 ) ga teng. (2.4.3) dagi asimtotikani bosh hadi quyidagi ko’rinishga ega F(л)= (iл)−1[f(b)exp [iлS (b)]− f(a)exp [iлS (a)]]+O (л−2)(2.4 .4') Eslatma-2.4.1. Agar f(x),S(x)ϵC∞(I) u holda F ( л ) , л → + ∞ da asimtotik qatorga yoyiladi. Natija-2.4.1. I=¿ bo’lsin, (2.4.1) teorema shartlari bajarilganda va 0≤k≤N da M k ( f ( x ) S ' ( x ) ) = o ( 1) ( x → + ∞ ) va d dx M k ( f ( x ) S ' ( x ) ) ϵ L 1 ( 0 , ∞ ) (2.4.5) U holda ∫ 0∞ f ( x ) exp [ iлS ( x ) ] dx = ∑ k = 0N ( iл ) − k − 1 M k ( f ( x ) S ' ( x ) ) ¿ x = 0 + ¿ ¿ + o ( л − N ) ( л → + ∞ ) (2.4.6) Shu narsaga etibor qaratish kerak Furye va Laplas integrallarini asimtotik formulalari to’liq mos tushadi ular bir biridan kelib chiqadi, biridan л → iл almashtirish olsak ikkinchisi kelib chiqadi. Bo’laklab integrallash yordamida x→ +∞ da quyidagicha integrallarni F(x)=∫0 ∞ f(t)eiS(t)dt asimtotikasini ham hisoblasa bo’ladi, bunda S(t) - haqiqiy qiymatli funksiya va t≫1 da S ' ( t ) ≠ 0 o’rinli. Misol-2.4.1 Agar t≫1 da f ( t) Cϵ [ 0 , ∞ ) , f ( t) > 0 , f ' ( t) < 0 , f ' ' ( t) > 0 bo’lsa va f j ( t) = o ( 1) , j = 0,1,2 f ' ( t) = o ( f ( t)) ( t → + ∞ ) . Unda x→ +∞ da ∫x ∞ f(t)e¿dt =−if (x)eix(1+o(1)).(2.4 .7) Bu integralni F ( x ) deb belgilab olaylik va ikki martta bo’laklab integrallaylik. Unda F(x)=−if (x)eix+ f'(x)eix−∫x ∞ f''(t)e¿dt . Bunda oxirgi integral modul jihatdan ∫ x∞ f ' ' ( t) e ¿ dt = − f ' ( x ) dan oshmaydi va buning natijasida (2.4.7) isbotlandi. 2.5& Lokalizatsiya prinsipi. 2.5.1-lemma Agar S(x)ϵC∞(R),f(x)∈C0∞(R) . U holda л→ +∞ da ∫−∞ ∞ f(x)exp [iлS (x)]dx =O (л−∞).(2.5.1) 2.5.1- teorema ( birni ajratish haqidagi ). Agar M ⊂ Rn to ’ plam chekli yoki sanoqli ochiq to ’ plamlar { Ω б } bilan qoplangan bo ’ lsa . U holda shunday funksiyalar oilasi mavjudki Φ={цб(x)} quyidagilarni bajaradigan: 1 0 . ц б ( x ) ∈ C 0∞ ( Ω б ) . 2 0 . ∑ б ц б ( x ) ≡ 1 , x ∈ M . 3 0 . 0 ≤ ц б ( x ) ≤ 1 , x M ϵ . 40.x∈M dagi har bir nuqtaning shunday atrofi mavjudki, unda noldan farqli цб(x) funksiyalar faqat cheklita. Agar M to’plam kompakt bo’lsa, u holda { Ω б } qoplamani cheklita olish mumkin, (2.4.1) integralni qaraymiz: f,S ni x < a va x > a da nol deb davom etiramiz va hosil bo’lgan funksiyani yana f,S deb belgilaymiz. x0 nuqtani (2.4.1) integralni oddiy nuqtasi deb ataymiz agar f,S funksiyalar bazi д>0va S'(x0)≠0 da f,S∈C∞(x0− д,x0+д) bo’lsa. Bunga teskari holatda x 0 nuqtani (2.4.1) integralni kritik nuqtasi deb ataymiz.Biz faqat izolatsiyalangan kritik nuqtalarni qaraymiz. Integral uchun x 0 kritik nuqtani kritib olgandan so’ng, F ( л ) ni quyidagicha aytamiz F(л;x0)= ∫−∞ ∞ f(x)ц(x,x0¿)exp [iлS (x)]dx .(2.5 .2)¿ Bunda ц ( x , x 0 ) − ¿ funksiya cheksiz martta differensiallanuvchi finit funksiya ya’ni 1) supp ц x0 dan tashqari kritik nuqtani o’zida saqlamaydi; 2) x 0 ning bazi atrofida ц ( x , x 0 ) ≡ 1 . 2.5.2-teorema ( lokalizatsiya prinsipi). Agar I=[a,b]−¿ chekli kesma va (2.4.1) integral chekli izolatsiyalangan kritik nuqtalarga x1,x2,… ,xk∈I ega bo’lsin. U holda F ( л ) = ∑ j = 1k F ( л ; x j ) + O ( л − ∞ )( л → + ∞ ) ( 2.5 .3 ) Isbot. I kesmani chekli ochiq Ωб intervallar bilan shunday qoplaymizki, xar bir xj kritik nuqta teng taqsimlanib Ω б j larda saqlansin va {Ωб} qoplama uchun javob beradigan {φб(x)} birlikga ajratishni o’rnatamiz. Unda x j ning bazi atrofida ц б j ( x ) ≡ 1 . f(x) va S(x) ni butun o’q bo’yicha davom etiramiz, albatta x∉I da ular nolga tengligini hisobga olgan holda. Unda F ( л ) = ∑ б ∫ − ∞∞ f ( x ) exp [ iлS ( x )] ц б ( x ) dx . Agar б≠бj,1≤ j≤k, bo’lsa unda ц б ( x ) ni o’zida saqlovchi integral yuqoridagi lemmaga ko’ra O ( л − ∞ ) tartibga ega bo’ladi. Teorema ham shunga asosan isbot bo’ldi.Bunday holda xuddi Laplas metodi kabi masala F(л) ni asimptotikasini hisoblash masalasi kritik nuqtani kichik atrofida integralni asimptotikasini hisoblashga keltiriladi. 2.6-§. Etalon integrallar. Quyidagi integralni qaraymiz Φ (л)=∫0 a xв−1f(x)eiлxбdx .(2.6 .1) Lemma (Erdey lemmasi). Agar б ≥ 1 , в > 0 , f ( x ) ∈ C ∞ ( [ 0 , a ] ) va x=a nuqtada o’zini hosilalari bilan birgalikda nolga aylansa . U holda ∫0 a xв−1f(x)eiлxбdx ∑k=0 ∞ akл −k+вб (л→ +∞)(2.6 .2) a k = f ( k)( 0 ) k ! б Г ( k + в б ) exp [ iр ( k + в ) 2 б ] . ( 2.6 .3 ) Bu yoyilmani л bo’yicha ixtiyoriy marta differensiallash mumkin. Erdey lemmasi Furye integrali uchun shunday ro’l o’ynaydiki xuddi Vatson lemmasini Laplas integrallarida tutgan o’rni kabi. Isbot. S = x б faza funksiya yagona x=0 kritik nuqtaga ega integrallash sohasida. Birinchi navbatda 0 ≤ x ≤ д , bunda 0 < д < a da f ( x ) ≡ 1 bo’ladi. U holda Integral ostidagi funksiya (0, д ) da analitik funksiya bo’ladi. 0< argx <р/б sektorda biz quyidagiga ega bo’lamiz ℜ (ixб)<0. Koshi teoremasiga ko’ra [ 0 , д 2 ] kesma bo’yicha integral l=l1∪l2 bo’yicha integralga teng bunda l 1 − kesma [ 0 , e iр 2 б с 0 ] , l 2 − kesma [ e iр 2 б с 0 , д / 2 ] . U holda Φв(л)=Φв(1)(л)+Ц в(2)(л)+Ц в(3)(л)(2.6 .4) bunda quyidagiga ega bo’lamiz Ц в( 1 ) ( л ) = ∫ 0e iр 2 б с 0 x в e iл x б dx = e iр ( в + 1 ) 2 б ∫ 0с x в e − л x б dx = б − 1 Г ( в + 1 б ) e iр ( в + 1 ) 2 б л − в + 1 б + O ( e − cл ) ( 2.6 .5 ) Vatson lemmasiga ko’ra bo’laklab integrallab , quyidagiga ega bo’lamiz Ц в ( 2)( л) + Ц в ( 3)( л) = x в exp ( iл x б ) iбл x б − 1 ¿ e iр 2 б с 0д 2 − ¿ + ¿ − ¿ ( 2.6 .6 ) Bundan o’z-o’zidan (2.6.6)dagi integral ostidagi postanova O ( л − ∞ ) tartibga ega va bundan tashqari Ц в( 2 )( л ) + Ц в( 3 ) ( л ) = O ( л − ∞ ) ( л → + ∞ ) (2.6.7) л ≥ 0 da l 1 , l 2 , l 3 kesmalar bo’yicha | exp ( iл x б ) | ≤ 1 ekanligidan va f'(x)ϵC∞([0,a])va 0≤x≤дda f'(x)≡0 ekanligidan foydalansak, quyidagiga kelamiz Ц в( 2 ) ( л ) + Ц в( 3 ) ( л ) = б − в iлб [ Ц в − б (2)( л ) + Ц в − б (3)( л ) ]+ O ( л − ∞ ) . (2.6.8) Bizdagi (2.6.7) ga ko’ra Ц в( 2 ) ( л ) + Ц в( 3 ) ( л ) = O ( л − 1 ) va (2.6.8) ga ko’ra Ц в( 2 ) ( л ) + Ц в( 3 ) ( л ) = O ( л − 2 ) ga ega bo’lamiz, bu jarayonni davom ettirib quyidagiga ega bo’lamiz Ц в( 2 ) ( л ) + Ц в( 3 ) ( л ) = O ( л − ∞ ) bu baholashdan va (2.6.4),(2.6.5) ga ko’ra quyidagiga ega bo’lamiz Φ в ( л ) = ¿ б−1Г( в+1 б )e iр(в+1) 2б л −в+1б +¿ O ( л − ∞ ) ( л→ +∞ ) (2.6.9) Agar kichik x larda f ( x ) ≡ 1 bo’lsa. Lemmani umumiy holatda Teylor Formulasiga ko’ra isbot qilamiz Lemma-2 Erdey lemmasidagi tasdiq o’rinli |л|→ ∞ ,0≤arg л≤ рbo'lganda xuddi shunday arg л bo’yicha ham. Isbot. Agar е≤и= arg л≤ р− е, bunda 0<е<р unda (2.6.2) integral Vatson lemmasini shartlarini bajaradi. Shuning uchun quyidagini isbotlasak yetarli (2.6.3) asimptotikasi uchun quyidagi o’rinli 0≤и≤е,р−е≤и≤ р sektorlarda qayerdaki е>0 ni ixtiyoriycha kichik tanlash mumkin. Agar 0 ≤ и ≤ е u holda 0 ≤ arg x ≤ р / 2 б sektorda quyidagiga ega bo’lamiz ℜ ( iл x б ) = − ¿ л ∨ ¿ x б ∨ sin ‍ ( и + б arg x ) ≤ 0 Bunda albatta 0 ≤ и + бargx ≤ р 2 б + е ekanligini hisobga oldik. O’z-o’zidan l1,l2,l3 kesmalar bo’yicha | exp ( iл x б ) |≤1 va yuqoridagi lemma isbotida qurilgan narsalar to’liq 0≤и≤е holat uchun ko’chiriladi. Analitik ravishda р− е≤и≤ р ga ham. Misol-2.6.1 л → + ∞ bo’lganda quyidagi munosabat o’rinli ekanligini isbotlang ∫0 1 exp (iл x3)dx Г( 4 3)e iр6л −13−∑k=0 ∞ Г(k+2 3) Г(− 1 3 ) (iл)−k−1eiл. Erdey tomonidan lemma 1 ni boshqacharoq isboti keltirilgan va biz uni keltiramiz sababi u bazi foydali texnik ozgarishlar ega . б ≥ 1 , 0 < в ≤ 1 bo’lsin, Φв(л) ni quyidagicha ko’rinishda keltiramiz : Φ в ( л ) = ∫ 0б f ( x ) d ( ∫ ∞ x t в − 1 e iл t б dt ) va bo’laklab integrallaymiz . bunda integral quyidagi o’q bo’yicha olinayabdi lt:t= x+сeiр2б,с>0,tkompleks tekislikdan . N marta bo’laklab integrallab quyidagiga ega bo’lamiz Φ в ( л ) = ∑ n = 0N − 1 ( − 1 ) n f ( n)( 0) ц − n − 1 ( 0 , л ) + R N ( л ) , R N ( л) = ( − 1 ) N + 1 ∫ 0б ц − N ( x , л ) f N ( x ) dx ( 2.6 .10 ) Bu yerda quyidagicha aniqlangan ц − n − 1 ( x , л ) = ( − 1 ) n + 1 n ! ∫ l x1 ( t − x ) n t в − 1 exp ( iл t б ) dt ( 2.6 .11 ) (2.6.10) dagi yig’indi boshlang’ich N elementini baholshga imkon beradi. Bundan quyidagi natijaga kelamiz | R N ( л) ∨ ≤ C N л − N б ∫ 0б x в − 1 dx = C N' л − N б (2.6.12) Bunda N ixtiyoriy ekanligidan yuqoridagi munosabat isbot bo’ldi. III-bob. Tebranuvchan integrallarning asimptotik baholari Bu bobda tebranuvchan integrallarning muhim sinflaridan biri bo’lgan silliq sirtlarda mujassamlashgan o’lchov Fu’re almashtirishini baholash ko’plab sohalarda tadqiqotning eng ko’p o’rganilayotgan asosiy masalalaridan biri hisoblanadi. Shu sababli tebranuvchan integrallarni bir vakli bo’lgan fazosi bir jinsli ko’phaddan iborat so’ndiruvchi ko’paytuvchili tebranuvchan integrallarni ham o’rganish muhim ahamiyat kasb etadi. Bu bobda model so’ndiruvchi ko’paytuvchi integralni faza funksiyasi x 3 = Φ ( x 1 , x 2 ) , bunda Φ (x1,x2):= x1x2n+x12 ko’rinishdagi . Ani qroq qilib aytadigan bo’lsak S - sirt tenglamasi S : = { ( x 1 , x 2 ) ∈ V , x 3 = x 1 x 2n + x 1 2 , n ≥ 1 } bunda V - koordinata boshining yetarlicha kichik atrofi ko’rinishda berilganda so’ndiruvchi ko’paytuvchili tebranuvchan integral baholangan va baholashga oid bazi teoremalar keltirilgan. 3.1-§. Fazosi bir jinsli ko’phaddan iborat bo'lgan tebranuvchan integrallarning tekis baholari. Endi з∈C0∞(R) va l nomanfiy butun sonlar uchun | ∫ − ∞∞ e iл x 2 x l з ( x ) dx | ≤ A | л| − l + 1 2 ( 3.1 .1 ) tengsizlikning bajarilishini isbotlaymiz. (3.1.1) tengsizlikni isbotlash uchun R da cheksiz silliq bo'lib, x∈[−1,1 ] nuqtalar uchun б ( x ) ≡ 0 va |x|>2 nuqtalar uchun б ( x ) ≡ 0 shartlarni qanoatlantiruvchi funksiyani olamiz. Endi bu funksiyadan foydalanib, quyidagi tenglikni yozamiz: ∫ − ∞∞ e iл x 2 x l з ( x ) dx = ∫ − ∞∞ e iл x 2 x l з ( x ) б ( x е ) dx + ∫ − ∞∞ e iл x 2 x l з ( x ) ( 1 − б ( x е ) ) dx Oxirgi tenglikda е ixtiyoriy tayinlangan musbat son. Birinchi qo'shiluvchining C еl+1 ifoda bilan baholanishi ravshan. Ikkinchi integralni ∫−∞ ∞ eiлx2xl(Dt)(¿з(x)(1−б( x е)))dx (3.1 .2)¿ shaklda yozamiz. Bu yerda D t C ∞ fazoda quyidagicha aniqlangan operator: D t ( f )( x ) = − ¿ . Avvalo N =1 deb olamiz u holda: ∫−∞ ∞ eiлx2¿¿ ∙ ( 1 − б ( x е )) dx − ¿ ¿ з ( x ) funktsiyaning tashuvchisi kompakt bo'lganligi uchun chegaraviy hadlar nolga aylanadi. Shunga o'xshash sodda hisoblashlar orqali l − 2 N ← 1 shartni qanoatlantiruvchi N natural sonni olib (3.1.2) integral uchun quyidagi bahoga ega bo'lamiz: C N л N ∫ | x| ≥ е1 | x | l − 2 N dx = C N л − N е l − 2 N + 1 . Natijada (3.1.1) integral CN(еl+1+л−Nеl−2N+1) ifoda bilan baholanadi. Endi е sonning ixtiyoriy musbat son ekanligini hisobga olib, е= л −12 uchun N >l+1 2 tengsizlikni e'tiborga olganda C N ( л − l + 1 2 + л − N − l − 2 N + 1 2 ) ≤ 2 C N л − l + 1 2 bahoga ega bo'lamiz. Shunga o'xshash agar g tez kamayuvchi bo'lib, x=0 nuqtada cheksiz tartibli nolga aylansa, u holda ixtiyoriy N son uchun ∫ − ∞∞ e iл x 2 g ( x ) dx = O ( л − N ) ( л → + ∞ ) asimptotik munosabatni hosil qilamiz. 3. 2 -§. Fazosi bir jinsli ko’phaddan iborat tebranuvchi integrallarni baholashga oid misollar. 1-misol. Fazasi bir jinsli ko’phaddan iborat bo’lgan tebranuvchi integrallar 1. Aniqlanishi Quyidagi so’diruchi ko’paytuvchiga ega bo’lgan integralni qaraylik: ^ м q ( о ) : = ∫ S ‍ e i ( о , x ) ∨ K ( x ) ¿ q ш ( x ) dу ( x ) , ( 3.2 .1 ) Bu yerda K (x) - x ∈S nuqtada Gauss sirt egriligi va у ( x ) sirt o’lchovi, ш ∈C0∞(S) nomanfiy silliq funksiya. S sirtni quyidagicha ko’rinishda qaraymiz S:={(x1,x2)∈V ⊂ R2:x3=Φ (x1,x2),Φ (x1,x2):= x1x22} . Biz agar Φ (tx1,tx2)=tnΦ(x1,x2) o'rinli bo’lsa Φ - bir jinsli funksiya va quyidagi shartlar bajarilishi kerak detHess Φ (x1,x2)≠0 lekin detHess Φ ( 0,0 ) = 0 Birinchi quyidagini qaraymiz x 3 = Φ ( x 1 , x 2 ) = x 1 x 2n , (x1,x2)Uϵ (0,0 ) ,keyin det Hess Φ (x1,x2)=− 4x22. (3.3.1) integralni quyidagicha ko’rinishda yozish mumkin: ^ м q ( о ) : = 2 2 q ∫ R 2 ‍ e i ( о 1 x 1 + о 2 x 2 + о 3 Φ ( x 1 , x 2 )) ∨ x 2 ¿ 2 q a ( x 1 , x 2 ) d x 1 d x 2 , ( 3.2 .2 ) Bu yerda (x1,x2)= ш (x1,x2,Φ (x1,x2)) √¿¿¿ . 1)Agar max {∨о1∨ ,∨ о2∨}≥∨ о3∨¿ bo’lsa (3.3.2) integral uchun quyidagi baho o’rinli: |^мq(о)|≤ C |о|(3.2 .3) 2)Agar max {∨о1∨ ,∨ о2∨}≤∨ о3∨¿ bo’lsa, Biz (3.3.2) integralni quyidagicha yozib olishimiz mumkin: ^ м q ( о ) : = 2 2 q ∫ R 2 ‍ e i о 3 ( s 1 x 1 + s 2 x 2 + x 1 x 22 ) ∨ x 2 ¿ 2 q a ( x 1 , x 2 ) d x 1 d x 2 , ( 3.2 .4 ) bu yerda s1= о1 о3 va s2= о2 о3 . Endi biz (3.3.2) integral uchun Fubin teoremasini qo’llasak quyidagi holga kelamiz: ^ м q ( о ) : = 2 2 q ∫ R ‍ ^ м q0 ( о , x 1 ) d x 1 (3.2.5) Bu yerda ^мq0(о,x1):=∫R ‍eiо3(s2x2+x1x22)∨ x2¿2qa(x1,x2)dx2. (3.2.6) quyidagi ^мq0(о,x1) integralni s 2 parameter bo’yicha ikkita holda qaraymiz 1-hol. Agar |s2|≥д>0 qayerdaki д fiksirlangan nomanfiy son. Keyin biz Van der Kaput lemmasini qo’llagan holda quyidagi bahoga ega bo’lamiz: |^мq(о)|≤ C |о3| . (3. 2 .7) q ≥ 0 uchun. 2-hol. Agar | s 2 | ≪ 1 bo’lsin . (3.3.6) integralni quyidagi holda yozib olamiz ^ м q0 ( о , x 1 ) : = ∫ R ‍ e i о 3 x 1 ( s 2 x 1 x 2 + x 22 ) ∨ x 2 ¿ 2 q a ( x 1 , x 2 ) d x 2 . (3.2.8) Endi (3.3.8) integralni о3x1 parametr bo’yicha ikkita holga ajratamiz: 2.1- hol. Agar ¿о3x1∨¿1 bo’lsin . U holda − 1 | о 3 | < x 1 < 1 | о 3 | va supp (a) Uϵ (0,0 ) bunday holda quyidagi baho o’rinli |^мq(о)|≤ C |о3| . (3. 2 .9) 2.2-hol. Agar ¿о3x1∨¿1 bo’lsa . Bunday holda quyidagi holatlarni qaraymiz: a)Faraz qilamiz 1 2<¿s2 x1 ∨¿ U holda ¿ har qanday x2∈U 1 da bu yerda U 1 x2=0 nuqtaning atrofi b) Agar ¿ s 2 x 1 ∨ ¿ 1 4 bo’lsa, u holda ¿ tenglamani quyidagi kritik nuqtasi mavjud x 20 ( x 1 ) = ( − s 2 2 x 1 ) . Shunday qilib biz quyidagi щ ( x 1 2 s 2 ) ∈ C 0∞ ( [ − 2 , 2 ] ) funksiyadan foydalanamiz, bu yerda щ=1 agar ¿ x 1 2 s 2 ∨ ¿ 1 bo’lsa va щ = 0 agar ¿ x1 2s2 ∨≥2 bo’lsa. Buni qo’llagan holda biz (3.3.6) ni qayta quyidagicha yozib olamiz ^ м q0 ( о , x 1 ) : = J 1 + J 2 , Bu yerda J 1 = ∫ R ‍ e i о 3 x 1 ( s 2 x 1 x 2 + x 22 ) ∨ x 2 ¿ 2 q a ( x 1 , x 2 ) ( 1 − щ ( x 1 2 s 2 ) ) d x 2 , J 2 = ∫ R ‍ e i о 3 x 1 ( s 2 x 1 x 2 + x 22 ) ∨ x 2 ¿ 2 q a ( x 1 , x 2 ) щ ( x 1 2 s 2 ) d x 2 . (3.2.10) Birinchi biz J2 integralni baholaymiz Biz o ' zgaruvchilarni almashtirishni qo ' llaymiz x2=|о3| −12z va quyidagiga ega bo ’ lamiz J2=|о3| −2q+12 ∫R ‍ei(z2x1+s2о312)∨ z¿2qa(x1,|о3| −12z)dz . (3.2.11) Agar 1 < | о 3 s 2 | u holda 0 < | о 3 | − 1 2 < ¿ s 2 о 3 1 2 ∨ ¿ Agar |x2|<1 u holda − | о 3 | 1 2 < z < | о 3 | 1 2 va bizda J2=|о3| −2q+12 ∫ −|о3|12 |о3|12 ei(z2x1+s2о3 12)∨ z¿2qa(x1,|о3| −12z)dz = J21+J22 (3.2.12) Bu yerda J21=|о3| −2q+12 ∫ −|о3|12 0 ei(z2x1+s2о3 12z)∨ z¿2qa(x1,|о3| −12z)dz (3.2.13) J 22 = | о 3 | − 2 q + 1 2 ∫ 0 |о 3| 1 2 e i ( z 2 x 1 + s 2 о 31 2 z ) ∨ z ¿ 2 q a ( x 1 , | о 3 | − 1 2 z ) dz ‍ ‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍ (3.2.14) Endi quyidagi J22 integralni qaraymiz J 22 =| о 3 | − 2 q + 1 2 [ ∫ 01 1 + ∫ 1 |о 3| 1 2 1 ] e i ( z 2 x 1 + s 2 о 31 2 z ) ∨ z ¿ 2 q a ( x 1 , | о 3 | − 1 2 z ) dz = ¿ ¿ I 1 + I 2 (3. 2 .15) Quyidagi I1 integral uchun quyidagi bahoga ega bo’lamiz I 1 ≤ C | о 3 | 2 q + 1 2 (3.2.16) Shuning uchunki a(x1,|о3| −12z)∈C∞([0,1 ]) q ≥ 1 2 bo’lsin, U holda biz quyidagiga ega bo’lamiz I1≤ C |о3| Shuning uchun biz I2 integralda bo’laklab integrallab quyidagiga ega bo’lamiz I 2 ≤ C | о 3 | Buni hisobga olsak biz J22 integral uchun quyidagi bahoga ega bo’lamiz J 22 ≤ C | о 3 | (3. 2 .17) Biz J21 integral uchun analitik ravishda (3.3.17). bahoga ega bo’lamiz Endi J 1 integralni qaraymiz J 1 = ∫ R ‍ e i о 3 x 1 ( s 2 x 1 x 2 + x 22 ) ∨ x 2 ¿ 2 q a 1 ( x 1 , x 2 , s 2 ) d x 2 , (3.2.18) Bu yerda a1(x1,x2,s2)= a(x1,x2)(1− щ( x1 2s2 )) . Shuni unutmangki F'x2(x1,x2)= s2 x1 +2x2❑=0 va tenglama quyidagi kritik nuqtaga ega x20(x1)=(− s2 2x1 ) , yani F ' ' x 2 ( x 1 , x 20 ( x 1 ) ) ≠ 0 . Statsionar fazolar usuli bilan biz quyidagiga ega bo’lamiz J 1 = A 1 ( 2 ) √ 2 р о 3 s 2 | s 2 x 1 | 2 q + 1 2 e i о 3 ¿ ¿ Bu yerda A1(2)=¿¿ va A 2 ( 2 ) = 3 4 . Shunday qilib biz ^мq(о) integralni quyidagicha yozamiz ^м q ( о ) : = 2 2 q A 1 ( 2 ) √ 2 р о 3 s 2 ∫ R ‍ | s 2 x 1 | 2 q + 1 2 e i о 3 ¿ ¿ Biz ikkita to ’ plamga bo ’ lamiz ¿s2 x1 ∨ ¿д : ¿ s 2 x 1 ∨ ¿ ∨ s 1 ¿ 1 2 va ¿ s 1 ¿ 1 2 < ¿ s 2 x 1 ∨ ¿ д . Har bir ¿ s 2 x 1 ∨ ¿ ∨ s 1 ¿ 1 2 va ¿ s 1 ¿ 1 2 < ¿ s 2 x 1 ∨ ¿ д to’plamda integralni qarab chiqamiz д . Faraz qilamiz ¿ s 2 x 1 ∨ ¿ ∨ s 1 ¿ 1 2 bo’lsin. Biz x1=¿s2 s1 12 ∨ t o’zgaruvchini o’zgarishidan foydalanib quyidagiga ega bo’lamiz ^мq(о):=22qA1(2)√ 2рs2s1 12 о3 s1 12(2q−1) × × ∫ 1 < ¿ t ∨ ¿ ‍ ∨ t ¿ − ( 2 q + 1 2 ) e i о 3 s 2 s 11 2 ( t − 1 A 2 ( 1 ) + t ) a 2 ( t ) dt + O ¿ ¿ ¿ Bu yerda a 2 ( t ) = a 1 ( ¿ s 2 s 1 1 2 ∨ t , x 20 ( ¿ s 2 s 1 1 2 ∨ t ) ) . Endi biz ^ м q ( о ) integralni о 3 s 2 s 1 1 2 parametrlar bo’yicha ikkita holatda qarab chiqamiz: 1) Agar ¿о3s2s1 12∨¿1 bo’lsa. Biz quyidagiga ega bo’lamiz ¿^мq(о)∨≤22qA1(2) √ 2р∨ s2∨¿s1¿ 12 ¿о3∨ ¿ s1 12(2q−1) ∫ 1<¿t∨¿‍∨t¿−(2q+12)∨a2(t)∨dt,¿ ¿¿ va q>1 4 uchun quyidagiga ega bo’lamiz |^мq(о)|≤ C |о3| . 2) Agar ¿о3s2s1 12∨¿1 bo’lsa. U holda t0≠0 nuqta F 1 ( t ) = t A 2 ( 2 ) + 1 t funksiyaning kritik nuqtasi ekan, shuni etiborga oling F1''(t0)≠0 . Biz statsionar fazolar usulidan foydalanib quyidagiga ega bo’lamiz ^ м q ( о ) : = A 11 о 3 ( 2 ) s 1 1 2 ( 2 q − 1 ) ∨ t 0 ¿ 2 q + 1 2 − 2 e i о 3 s 2 s 11 2 F 1 ( t 0 ) a 2 ( t 0 ) + O ¿ Agar F1(t) funksiya kritik nuqtaga ega bo ’ lmasa , biz ^ м q ( о ) integral uchun bo ’ laklab integrallashni qo ’ llab quyidagiga ega bo ’ lamiz ¿^мq(о)∨≤ C ¿¿ Faraz qilamiz s 1 1 2 < ¿ s 2 x 1 ∨ ¿ 1 4 va ¿s2∨¿∨ s2 s1 12 ∨¿ bo ’ lsin . So ’ ngra biz ^ м q ( о ) integralni quyidagicha shaklda yozamiz ^ м q ( о ) : = 2 2 q A 1 ( 2 ) √ 2 р о 3 s 2 ¿ ×eiо3¿¿ Bu yerda J 11 = A 11 ( 2 ) √ 1 о 3 ∨ s 2 ¿ 2 q ∫ − ¿ s 2 ∨ ¿ ¿ − ¿ s 2 s 1 1 2 ∨ ¿ ‍ ∨ x 1 ¿ − ( 2 q + 1 2 ) × ¿ ×eiо3¿¿ va J12= A11(2)√ 1 о3 ∨ s2¿2q ∫¿s2∨¿¿ ¿s2 s1 12 ∨¿‍∨ x1¿−(2q+12)׿ ×eiо3¿¿ Biz J12 integralni quyidagicha qilib olamiz. x1=¿s2 s1 12 ∨ y ( uchun ¿s1 12∨¿y<1 ) o’zgaruvchini qo’llab biz quyidagiga ega bo’lamiz J12= A11(2)√ 1 о3 ∨ s2¿2q¿ × e i о 3 s 2 s 1 1 2 ( y − 1 A 2 ( 2 ) + y ) a 2 ( y ) dy . Shunga qaramay J12 integralni о 3 s 2 s 1 1 2 parametrlar bo’yicha ikkita holda ko’rib chiqamiz: 1) Faraz qilamiz ¿о3s2s1 12∨¿1 bo’lsin. Bizda quyidagi bor ¿J12∨≤∨ A11(2)∨ √ s2 о3 ¿ va q ≥ 1 2 uchun quyidagiga ega bo’lamiz ¿ J 12 ∨ ≤ C ¿ о 3 ∨ ¿ . ¿ 2) Agar ¿о3s2s1 12∨¿1 bo’lsa. U holda t0≠0 nuqta F 1 ( t ) = t A 2 ( 2 ) + 1 t funksiyaning kritik nuqtasi ekan, shuni etiborga oling F1''(t0)≠0 . Biz statsionar fazolar usulidan foydalanib quyidagiga ega bo’lamiz ^ м q ( о ) : = A 11 о 3 ( 2 ) s 1 1 2 ( 2 q − 1 ) ∨ t 0 ¿ 2 q + 1 2 − 2 e i о 3 s 2 s 11 2 F 1 ( t 0 ) a 2 ( t 0 ) + O ¿ Agar F1(t) funksiya kritik nuqtaga ega bo ’ lmasa , biz ^ м q ( о ) integral uchun bo ’ laklab integrallashni qo ’ llab quyidagiga ega bo ’ lamiz ¿^мq(о)∨≤ C ¿¿ Faraz qilamiz s 1 1 2 < ¿ s 2 x 1 ∨ ¿ 1 4 va ¿s2∨¿∨ s2 s1 12 ∨¿ bo ’ lsin . So ’ ngra biz ^мq(о) integralni quyidagicha shaklda yozamiz ^мq(о):=22qA1(2)√ 2р о3s2 ¿ × e i о 3 ¿ ¿ Bu yerda J 11 = A 11 ( 2 ) √ 1 о 3 ∨ s 2 ¿ 2 q ∫ − ¿ s 2 ∨ ¿ ¿ − ¿ s 2 s 1 1 2 ∨ ¿ ‍ ∨ x 1 ¿ − ( 2 q + 1 2 ) × ¿ × e i о 3 ¿ ¿ va J12= A11(2)√ 1 о3 ∨ s2¿2q ∫¿s2∨¿¿ ¿s2 s1 12 ∨¿‍∨ x1¿−(2q+12)׿ × e i о 3 ¿ ¿ Biz J12 integralni quyidagicha qilib olamiz. x 1 = ¿ s 2 s 1 1 2 ∨ y ( uchun ¿s1 12∨¿y<1 ) o’zgaruvchini qo’llab biz quyidagiga ega bo’lamiz J 12 = A 11 ( 2 ) √ 1 о 3 ∨ s 2 ¿ 2 q ¿ ×eiо3s2s1 12(y−1A2(2)+y)a2(y)dy . Shunga qaramay J12 integralni о3s2s1 12 parametrlar bo’yicha ikkita holda ko’rib chiqamiz: 1) Faraz qilamiz ¿о3s2s1 12∨¿1 bo’lsin. Bizda quyidagi bor ¿J12∨≤∨ A11(2)∨ √ s2 о3 ¿ va q ≥ 1 2 uchun quyidagiga ega bo’lamiz ¿ J 12 ∨ ≤ C ¿ о 3 ∨ ¿ . ¿ 2) Faraz qilamiz ¿о3s2s1 12∨¿1 bo ’ lsin . U holda , agar y0≠0 nuqta F2(y)= y−1A2(2)+y funksiyani kritik nuqtasi bo ’ lsa , u holda F2''(y0)≠0 . Biz statsionar fazolar metodi yordamida quyidagiga ega bo’lamiz J 12 = A 11 о 3 ( 2 ) s 1 1 2 ( 2 q − 1 ) ∨ y 0 ¿ 2 q + 1 2 e i о 3 s 2 s 11 2 F 2 ( y 0 ) a 2 ( y 0 ) + O ¿ Agar F2(y) kritik nuqtaga ega bo’lmasa J12 integral uchun bo’laklab integrallashni qo’llab biz quyidagiga ega bo’lamiz ¿ J 12 ∨ ≤ C ¿ о 3 ¿ N . Xulosa qilib aytganda J12 integrali uchun quyidagi bahoga ega bo’lamiz | J 12 | ≤ C | о 3 | (3.3.19) analitik ravishda biz J11 integral uchun (3.3.19) bahoga ega bo’lamiz. Misol-2. Fazasi bir jinsli ko’haddan iborat bo’lgan tebranuvchi integrallar 1. Aniqlanishi Quyidagi so’ndiruvchi ko’paytuvchiga ega bo’lgan integralni qaraylik: ^ м q ( о ) : = ∫ S ‍ e i ( о , x ) ∨ K ( x ) ¿ q ш ( x ) dу ( x ) , bu yerda K ( x ) - x ∈S nuqtada Gauss sirt egriligi va у ( x ) sirt o’lchovi, ш ∈C0∞(S) nomanfiy silliq funksiya. S sirtni quyidagicha ko’rinishda qaraymiz S:={(x1,x2)∈V ⊂ R2:x3=Φ (x1,x2),Φ (x1,x2):= x12x22} . Biz agar Φ (tx1,tx2)=tnΦ(x1,x2) o'rinli bo’lsa Φ - bir jinsli funksiya deymiz va quyidagi shartlar bajarilishi kerak detHess Φ (x1,x2)≠0 lekin detHess Φ ( 0,0 ) = 0 Birinchi quyidagini qaraymiz x 3 = Φ ( x 1 , x 2 ) = x 12 x 22 , (x1,x2)Uϵ (0,0 ) ,keyin det Hess Φ ( x 1 , x 2 ) = − 12 x 12 x 22 . Bundan (3.3.1) integralni quyidagicha ko’rinishda yozish mumkin: ^ м q ( о ) : = 12 2 q ∫ R 2 ‍ e i ( о 1 x 1 + о 2 x 2 + о 3 Φ ( x 1 , x 2 )) ∨ x 1 x 2 ¿ 2 q a ( x 1 , x 2 ) d x 1 d x 2 , ( 3.3 .20 ) Bu yerda a ( x 1 , x 2 ) = ш ( x 1 , x 2 , Φ ( x 1 , x 2 ) ) √ ¿ ¿ ¿ . 1)Agar max { ∨ о 1 ∨ , ∨ о 2 ∨ } ≥ ∨ о 3 ∨ ¿ bo’lsa (3.3.20) integral uchun quyidagi baho o’rinli: |^ м q ( о )| ≤ C | о| ( 3.3 .21 ) 2)Agar max {∨о1∨ ,∨ о2∨}≤∨ о3∨¿ bo’lsa, Biz (3.3.20) integralni quyidagicha yozib olishimiz mumkin: ^мq(о):=12 2q∫ R2‍eiо3(s1x1+s2x2+x12x22)∨ x1x2¿2qa(x1,x2)dx1dx2,(3.3 .22 ) bu yerda s1= о1 о3 va s2= о2 о3 . Endi biz (3.3.20) ontegral uchun Fubin teoremasini qo’llasak va quyidagi holga kelamiz: ^мq(о):=122q∫R ‍^мq0(о,x1)∨ x2¿2qdx1 (3.3.23) Bu yerda ^мq0(о,x1):=∫R ‍eiо3(s2x2+x12x22)∨ x2¿2qa(x1,x2)dx2. (3.3.24) quyidagi ^мq0(о,x1) integralni s 2 parameter bo’yicha ikkita holda qaraymiz 1-hol. Agar | s 2 | ≥ д > 0 qayerdaki д fiksirlangan nomanfiy son. Keyin biz Van der Kaput lemmasini qo’llagan holda quyidagi bahoga ega bo’lamiz: |^мq(о)|≤ C |о3| . (3.3.25) q ≥ 0 uchun. 2-hol. Agar | s 2 | ≪ 1 bo’lsin. (3.3.24) integralni quyidagi holda yozib olamiz ^мq0(о,x1):=∫R ‍e iо3x12(s2x12x2+x22)∨ x2¿2qa(x1,x2)dx2. (3.3.26) Endi (3.3.26) integralni о 3 x 1 parametr bo’yicha ikkita holga ajratamiz: 2.1- hol. Agar ¿о3x12∨¿1 bo’lsin . U holda −1 |о3| <x12< 1 |о3| va supp (a) Uϵ (0,0 ) bunday holda quyidagi baho o’rinli |^ м q ( о )| ≤ C | о 3 | . (3.3.27) 2.2-hol. Agar ¿ о 3 x 1 ∨ ¿ 1 bo’lsa. Bunday holda quyidagi holatlarni qaraymiz: a)Faraz qilamiz 1 2<¿s2 x12∨¿ U holda ¿ har qanday x2∈U 1 da bu yerda U 1 x2=0 nuqtaning atrofi b) Agar ¿s2 x12∨¿1 4 bo’lsa, u holda ¿ tenglamani quyidagi kritik nuqtasi mavjud x20(x1)=(− s2 2x12) . Shunday qilib biz quyidagi щ (x12 2s2 )∈C0∞([− 2,2]) funksiyadan foydalanamiz, bu yerda щ=1 agar ¿ x12 2s2 ∨¿1 bo’lsa va щ = 0 agar ¿ x12 2s2 ∨≥2 bo’lsa. Buni qo’llagan holda biz (1.6) ni qayta quyidagicha yozib olamiz ^мq0(о,x1):= J1+J2, Bu yerda J1=∫R ‍e iо3x12(s2x12x2+x22) ∨ x2¿2qa(x1,x2)(1− щ(x12 2s2 ))dx2, J2=∫R ‍e iо3x12(s2x12x2+x22) ∨ x2¿2qa(x1,x2)щ (x12 2s2 )dx2. (3.3.28) Birinchi biz J 2 integralni baholaymiz Biz o ' zgaruvchilarni almashtirishni qo ' llaymiz x2=|о3| −12z va quyidagiga ega bo ’ lamiz J2=|о3| −2q+12 ∫R ‍ei(z2x12+s2о312)∨ z¿2qa(x1,|о3| −12z)dz . (3.3.29) Agar 1 <| о 3 s 2 | u holda 0<|о3| −12<¿s2о3 12∨ ¿ Agar |x2|<1 u holda − | о 3 | 1 2 < z < | о 3 | 1 2 va bizda J2=|о3| −2q+12 ∫ −|о3|12 |о3|12 ei(z2x12+s2о3 12)∨ z¿2qa(x1,|о3| −12z)dz = J21+J22 (3.30) Bu yerda J21=|о3| −2q+12 ∫ −|о3|12 0 ei(z2x12+s2о3 12z)∨ z¿2qa(x1,|о3| −12z)dz (3.3.31) J22=|о3| −2q+12 ∫0 |о3|12 ei(z2x12+s2о3 12z)∨ z¿2qa(x1,|о3| −12z)dz ‍ ‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍ (3.3.32) Endi quyidagi J22 integralni qaraymiz J 22 = | о 3 | − 2 q + 1 2 [ ∫ 01 1 + ∫ 1 |о 3| 1 2 1 ] e i ( z 2 x 12 + s 2 о 3 1 2 z ) ∨ z ¿ 2 q a ( x 1 , | о 3 | − 1 2 z ) dz = ¿ ¿I1+I2 (3.3.33) Quyidagi I 1 integral uchun quyidagi bahoga ega bo’lamiz I 1 ≤ C | о 3 | 2 q + 1 2 (3.3.34) Shuning uchunki a ( x 1 , | о 3 | − 1 2 z ) ∈ C ∞ ([ 0,1 ]) q ≥ 1 2 bo’lsin, U holda biz quyidagiga ega bo’lamiz I 1 ≤ C | о 3 | Shuning uchun biz I 2 integralni bo’laklab integrallab quyidagiga ega bo’lamiz I2≤ C |о3| Buni hisobga olsak biz J22 integral uchun quyidagi bahoga ega bo’lamiz J22≤ C |о3| (3.3.35) Biz J21 integral uchun analitik ravishda (3.3.35). bahoga ega bo’lamiz Endi J1 integralni qaraymiz J 1 = ∫ R ‍ e i о 3 x 12 ( s 2 x 12 x 2 + x 22 ) ∨ x 2 ¿ 2 q a 1( x 1 , x 2 , s 2 ) d x 2 , (3.3.36) Bu yerda a1(x1,x2,s2)= a(x1,x2)(1− щ( x12 2s2 )) . Shuni unutmangki F'x2(x1,x2)= s2 x12x22+2x2=0 va tenglama quyidagi kritik nuqtaga ega x20(x1)=(− s2 2x12) , yani F ' ' x 2 ( x 1 , x 20 ( x 1 ) ) ≠ 0 .Statsionar fazolar usuli bilan biz quyidagiga ega bo’lamiz J 1 = A 1 ( 2 ) √ 2 р о 3 s 2 | s 2 x 1 | 2 q + 1 2 e i о 3 ¿ ¿ Bu yerda A1(2)=¿¿ va A 2 ( 2 ) = 3 4 . Shunday qilib biz ^мq(о) integralni quyidagicha yozamiz ^ м q ( о ) : = 12 2 q A 1 ( 2 ) √ 2 р о 3 s 2 ∫ R ‍ | s 2 x 1 | 2 q + 1 2 e i о 3 ¿ ¿ Biz ikkita to ’ plamga bo ’ lamiz ¿ s 2 x 12 ∨ ¿ д : ¿s2 x12∨¿∨s1¿ 12 va ¿ s 1 ¿ 1 2 < ¿ s 2 x 12 ∨ ¿ д . Har bir ¿ s 2 x 12 ∨ ¿ ∨ s 1 ¿ 1 2 va ¿s1¿ 12<¿s2 x12∨¿д to’plamda integralni qarab chiqamiz д . Faraz qilamiz ¿s2 x12∨¿∨s1¿ 12 bo’lsin. Biz x 1 = ¿ s 2 s 1 1 2 ∨ t o’zgaruvchini o’zgarishidan foydalanib quyidagiga ega bo’lamiz ^мq(о):=12 2qA1(2)√ 2рs2s1 12 о3 s1 12(2q−1) × × ∫ 1<¿t∨¿‍∨t¿−(2q+12)eiо3s2s112(t−1A2(1)+t)a2(t)dt+O¿¿ ¿ Bu yerda a2(t)=a1(¿s2 s1 12 ∨ t,x20(¿s2 s1 12 ∨t)) . Endi biz ^мq(о) integralni о3s2s1 12 parametrlar bo’yicha ikkita holatda qarab chiqamiz: 1) Agar ¿о3s2s1 12∨¿1 bo’lsa. Biz quyidagiga ega bo’lamiz ¿^ м q ( о ) ∨ ≤ 12 2 q A 1 ( 2 ) √ 2 р ∨ s 2 ∨ ¿ s 1 ¿ 1 2 ¿ о 3 ∨ ¿ s 1 1 2 ( 2 q − 1 ) ∫ 1 < ¿ t ∨ ¿ ‍∨ t ¿ − ( 2 q + 1 2 ) ∨ a 2 ( t ) ∨ dt , ¿ ¿ ¿ va q>1 4 uchun quyidagiga ega bo’lamiz |^мq(о)|≤ C |о3| . 2) Agar ¿о3s2s1 12∨¿1 bo’lsa. U holda t0≠0 nuqta F 1 ( t ) = t A 2 ( 2 ) + 1 t funksiyaning kritik nuqtasi ekan, shuni e’tiborga oling F1''(t0)≠0 . Biz statsionar fazolar usulidan foydalanib quyidagiga ega bo’lamiz ^ м q ( о ) : = A 11 о 3 ( 2 ) s 1 1 2 ( 2 q − 1 ) ∨ t 0 ¿ 2 q + 1 2 − 2 e i о 3 s 2 s 11 2 F 1 ( t 0 ) a 2 ( t 0 ) + O ¿ Agar F1(t) funksiya kritik nuqtaga ega bo ’ lmasa , biz ^мq(о) integral uchun bo ’ laklab integrallashni qo ’ llab quyidagiga ega bo ’ lamiz ¿^мq(о)∨≤ C ¿¿ Faraz qilamiz s 1 1 2 < ¿ s 2 x 1 ∨ ¿ 1 4 va ¿s2∨¿∨ s2 s1 12 ∨¿ bo ’ lsin . So ’ ngra biz ^ м q ( о ) integralni quyidagicha shaklda yozamiz ^мq(о):=122qA1(2)√ 2р о3s2 ¿ ×eiо3¿¿ Bu yerda J 11 = A 11 ( 2 ) √ 1 о 3 ∨ s 2 ¿ 2 q ∫ − ¿ s 2 ∨ ¿ ¿ − ¿ s 2 s 1 1 2 ∨ ¿ ‍ ∨ x 1 ¿ − ( 2 q + 1 2 ) × ¿ ×eiо3¿¿ va J12= A11(2)√ 1 о3 ∨ s2¿2q ∫¿s2∨¿¿ ¿s2 s1 12 ∨¿‍∨ x1¿−(2q+12)׿ ×eiо3¿¿ Biz J12 integralni quyidagicha qilib olamiz. x1=¿s2 s1 12 ∨ y ( uchun ¿s1 12∨¿y<1 ) o’zgaruvchini qo’llab biz quyidagiga ega bo’lamiz J12= A11(2)√ 1 о3 ∨ s2¿2q¿× e i о 3 s 2 s 1 1 2 ( y − 1 A 2 ( 2 ) + y ) a 2 ( y ) dy . Shunga qaramay J12 integralni о 3 s 2 s 1 1 2 parametrlar bo’yicha ikkita holda ko’rib chiqamiz: 1) Faraz qilamiz ¿о3s2s1 12∨¿1 bo’lsin. Bizda quyidagi bor ¿J12∨≤∨ A11(2)∨ √ s2 о3 ¿ va q ≥ 1 2 uchun quyidagiga ega bo’lamiz ¿ J 12 ∨ ≤ C ¿ о 3 ∨ ¿ . ¿ 2) Agar ¿о3s2s1 12∨¿1 bo’lsa. U holda t0≠0 nuqta F 1 ( t ) = t A 2 ( 2 ) + 1 t funksiyaning kritik nuqtasi ekan, shuni e’tiborga oling F1''(t0)≠0 . Biz statsionar fazolar usulidan foydalanib quyidagiga ega bo’lamiz ^ м q ( о ) : = A 11 о 3 ( 2 ) s 1 1 2 ( 2 q − 1 ) ∨ t 0 ¿ 2 q + 1 2 − 2 e i о 3 s 2 s 11 2 F 1 ( t 0 ) a 2 ( t 0 ) + O ¿ Agar F1(t) funksiya kritik nuqtaga ega bo ’ lmasa , biz ^ м q ( о ) integral uchun bo ’ laklab integrallashni qo ’ llab quyidagiga ega bo ’ lamiz ¿^мq(о)∨≤ C ¿¿ Faraz qilamiz s 1 1 2 < ¿ s 2 x 1 ∨ ¿ 1 4 va ¿s2∨¿∨ s2 s1 12 ∨¿ bo ’ lsin . So ’ ngra biz ^мq(о) integralni quyidagicha shaklda yozamiz ^мq(о):=12 2qA1(2)√ 2р о3s2 ¿ × e i о 3 ¿ ¿ Bu yerda J 11 = A 11 ( 2 ) √ 1 о 3 ∨ s 2 ¿ 2 q ∫ − ¿ s 2 ∨ ¿ ¿ − ¿ s 2 s 1 1 2 ∨ ¿ ‍ ∨ x 1 ¿ − ( 2 q + 1 2 ) × ¿ × e i о 3 ¿ ¿ va J12= A11(2)√ 1 о3 ∨ s2¿2q ∫¿s2∨¿¿ ¿s2 s1 12 ∨¿‍∨ x1¿−(2q+12)׿ ×eiо3¿¿Biz J12 integralni quyidagicha qilib olamiz. x1=¿s2 s1 12 ∨ y ( uchun ¿s1 12∨¿y<1 ) o’zgaruvchini qo’llab biz quyidagiga ega bo’lamiz J12= A11(2)√ 1 о3 ∨ s2¿2q¿ × e i о 3 s 2 s 1 1 2 ( y − 1 A 2 ( 2 ) + y ) a 2 ( y ) dy . Shunga qaramay J12 integralni о 3 s 2 s 1 1 2 parametrlar bo’yicha ikkita holda ko’rib chiqamiz: 1) Faraz qilamiz ¿о3s2s1 12∨¿1 bo’lsin. Bizda quyidagi bor ¿J12∨≤∨ A11(2)∨ √ s2 о3 ¿ va q ≥ 1 2 uchun quyidagiga ega bo’lamiz ¿ J 12 ∨ ≤ C ¿ о 3 ∨ ¿ . ¿ 2) Faraz qilamiz ¿о3s2s1 12∨¿1 bo ’ lsin . U holda , agar y0≠0 nuqta F2(y)= y−1A2(2)+y funksiyani kritik nuqtasi bo ’ lsa , u holda F2''(y0)≠0 . Biz statsionar fazolar metodi yordamida quyidagiga ega bo’lamiz J 12 = A 11 о 3 ( 2 ) s 1 1 2 ( 2 q − 1 ) ∨ y 0 ¿ 2 q + 1 2 e i о 3 s 2 s 11 2 F 2 ( y 0 ) a 2 ( y 0 ) + O ¿ Agar F2(y) kritik nuqtaga ega bo’lmasa J12 integral uchun bo’laklab integrallashni qo’llab biz quyidagiga ega bo’lamiz ¿ J 12 ∨ ≤ C ¿ о 3 ¿ N . Xulosa qilib aytganda J12 integrali uchun quyidagi bahoga ega bo’lamiz | J 12 | ≤ C | о 3 | (3.3.37) analitik ravishda biz J11 integral uchun (3.3.37) bahoga ega bo’lamiz. 3.3-§. Parametrga bog’liq n-darajali ko’phaddan iborat tebranuvchi integrallarni baholash. 1-Aniqlanishi. Soggy va I.M. Steinni [1] da yuqori sirt S ⊂ R n + 1 bilan bog’liq bo’lgan maksimal operatorlar uchun chegaralanganlik muomosi bilan quyidagi so’ndiruvchili tebranuvchan integralni kiritdilar^мq(о):=∫S ‍ei(о,x)∨ K(x)¿qш (x)dу (x),(3.3 .1) Bu yerda K (x) - x ∈S nuqtasidagi giper sirt sathining Gauss egriligi va у ( x ) sirt o’lchovi , ш ∈C0∞(S) silliq manfiy bo’lmagan funksiya , ( о , x ) - о va x ni skalyar ko’paytmasi . Ular agar q ≥ 2 n bo’lsa , yuqoridagi (1.1) integralni O(¿о¿ −n2) ( ¿о∨→ +∞ ) kabi kamayishi isbotlangan. Masalaning qo’yilishi. S⊂ Rn silliq giper sirt bo’lsin.Shunday minimal q ni toppish kerakligi talab qilinganki quyidagi baho o’rinli | ∫ S ‍ e i ( x , о ) ∨ K ( x ) ¿ q ш ( x ) dу ( x ) | ≦ A ∨ о ¿ − n 2 bunda о ≠ 0 uchun . Biz C . D . Sogge va E . M . Stein muomosini uch o ’ lchamli Evklid fazosidagi analitik yuzalari uchun qaradik . Biz S ni x 3 = Φ ( x 1 , x 2 ) funksiyani grafigi sifatida berilgan deb qarashimiz munkin : {(x1,x2)∈V ⊂ R2:x3=Φ (x1,x2),Φ (x1,x2):= x12+x1x2n} Bu yerda n ≥ 2 . Agar n = 1 bo’lsa, u holda ^ м q ( о ) integral har qanday q uchun bahoga ega bo’ladi, chunki detHess Φ (x1,x2)≠0 . Shuning uchun, n≥2 deb olamiz . Keyin, detHess Φ ( x 1 , x 2 ) funksiya uchun quyidagi tenglik o’rinli det Hess Φ (x1,x2)= n2x22n−2− 2n(n−1)x1x2n−2 U holda (3.2.1) integralni quyidagicha shaklda yozish munkin: ^мq(о)=n2q∫ R2‍eiо3(s1x1+s2x2+x12+x1x2n)∨ x2¿2q(n−1)a(x1,x2)dx1dx2(3.3 .2) Bu yerda a ( x 1 , x 2 ) = ш ( x 1 , x 2 , Φ ( x 1 , x 2 ) ) √ ¿ ¿ ¿ . Ishning asosiy natijasi quyidagi teoremadan iborat. Teorema. Faraz qilaylik ‍ q > 1 2 bo’lsin, u holda kordinata boshining shunday V atrofi mavjudki (3.2.1) integral uchun quyidagi baho o’rinli bo’ladi ‍ ¿^мq(о)∨≤C∨ ¿a∨ ¿C3 ¿о∨¿,¿ Bu ‍y erda ‍ a∈C0∞(V) ‍ va ‍ о≠0 ,‍bunda ‍ C ‍ q ‍ ga ‍bog’liq ‍doimiy. Endi, (3.2.2) ni quyidagi parametrlar uchun qarab chiqamiz ( о 1 , о 2 , о 3 ) . Agar max {∨о1∨ ,∨ о2∨}≥∨ о3∨¿ bo’lsa, bizda quyidagi lemma mavjud: Lemma. ‍ max { ∨ о 1 ∨ , ∨ о 2 ∨ } ≥ ∨ о 3 ∨ ¿ ‍ va ‍‍q>0 ‍ bo’lganda. ‍ U ‍holda ‍‍ V ‍ atrof ‍mavjudki quyidagi ‍baho ‍o’rinli ‍ |^мq(о)|≤C∨¿a∨¿C3 |о| (3.3 .3) Bu ‍yerda ‍ a ∈ C 0∞ ( V ) ‍ va ‍‍о≠0 ,‍bunda ‍‍C ‍ ‍q ‍ ga ‍bog’liq ‍doimiy . l emmani isboti analitik ravishda [3] dagi lemma 5 dan kelib chiqadi. Agar max { ∨ о 1 ∨ , ∨ о 2 ∨ } ≤ ∨ о 3 ∨ ¿ bo’lsa, biz (3.2.2) integralni quyidagicha yozishimiz munkin: ^мq(о):=n2q∫ R2‍eiо3(s1x1+s2x2+x12+x1x2n)∨ x2¿2q(n−1)a(x1,x2)dx1dx2,(3.3 .4) bu yerda s1= о1 о3 va s2= о2 о3 . Fubini toremasini qo’llasak ^ м q ( о ) : = n 2 q ∫ R ❑ ‍ ^ м q ( о , x 2 ) d x 1 Bu yerda ^мq(о):=n2q∫ R2‍eiо3(s1x1+s2x2+x12+x1x2n)|x2¿2q(n−1)|nx2n−2(n−1)x1∨a(x1,x2)dx2 Bunda s 2 = о 2 о 3 . quydagicha almashtirish olamiz t= nx2n−2(n−1)x1 x 1 = n x 2n − t 2 ( n − 1 ) = nx2n 2(n−1)− t 2(n−1) dx1= −1 2(n−1)dt Darajani xisoblasak x1 o’rniga olib borib qo’ysak ^ м q ( о ) : = n 2 q ∫ R 1 ‍ e i о 3 n x 2n | x 2 ¿ 2 q ( n − 1 )| n x 2n − 2 ( n − 1 ) x 1 ∨ a ( x 1 , x 2 ) d x 2 ^мq(о)≔n2q∫R ‍e iо3nx2n 2(n−1)(s1+x2n(n+1) 2(n−1))e −o3 x2nt 4(n−1)2 |x2¿q(n−2)|tq ( −1 2(n−1))dt ^ м q ( о ) ≔ n 2 q | x 2 ¿ q ( n − 2 )| e i о 3 n x 2n 2 ( n − 1 )( s 1 + x 2n ( n + 1 ) 2 ( n − 1 )) ( − 1 2 ( n − 1 )) ∫ e − o 3 x 2n t 4 ( n − 1 ) 2 t q dt Agarda − i о 3 n x 2n 4 (( n − 1 ) 2) = K deb belgilash olsak I 1 = ∫ eKttqdt 1 marta bo’laklab intigrallasak ∫ eKttqdt = eKttq K −∫ eKttq K qtq−1dt q marta intigrallash kerak t=X(x 1 ;x 2) t 1 (ε 1 ;x 1 )≤t ≤t 1 (ε 2 ;x 2 ) 0≤ x 1 ≤ε bo’lsa t 1 =| nx2n | t 2= | n x 2n − 2 ( n − 1 ) ε 1 ∨ ¿ ∫ e Kt t q dt = eK¿¿¿ q - e K n x 2n K ( n x 2 ) nq Endi dx 2 bo’yicha intigrallaymiz. ^ м q ( о ) = ∫ 0ε n 2 q | x 2 ¿ q ( n − 2 ) − n | e i о 3 n x 2n 2 ( n − 1 )( s 1 + x 2n ( n + 1 ) 2 ( n − 1 ) − 1 ) ¿ ¿ ¿ ¿ Quydagi almashtirish olamiz P( x2 )= ¿ ¿ ¿ Q( x 2 ¿ = e i о 3 n x 2n 2 ( n − 1 )( s 1 + x 2n ( n + 1 ) 2 ( n − 1 ) − 1 ) ^ м q ( о ) = ∫ 0ε e q ( x 2) p ( x 2 ) d x 2 Puassonga kura ^мq(о)= eq(x2)p(x2) q’(x2)- 1 q(x2)∫ eq(x2)d p(x2) q(x2) 1-xadini hisoblasak quydagi natejaga erishamiz ^мq(о)= eq(ε)(nε2n− 2(n−1)ε)qe−2(n−1)ε−(nε ¿¿¿nq )|ε¿q(n−2)+1| iо3n3 2¿¿ ¿ Ana endi 2-xadini qarab chiqamiz ^мq(о)= eq(x2)p(x2) q’(x2) - 1 q(x2)∫ eq(x2)d p(x2) q(x2) = e q ( x 2) p ( x 2 ) q ’ ( x 2 ) - eq(x2)p'(x2) q'(x)2 - ∫ ( … ) dx eq(x2)p'(x2) q'(x)2 = eq(ε)p'(x) ¿¿¿ Kurinishga keladi. XULOSA Umuman olganda, olingan natijalar ushbu ishda maqsadga erishilgani haqida gapirishga imkon beradi. Ishda olingan natijalardan tebranuvchan integrallar va garmonik analiz nazaryasiga ma’lum bir xissa qo’shadi. Bu ishda uch o’lchovli Evklid fazosida so’ndiruvchi ko’paytuvchili o’lchov Furye almashtirishining S-sirt koordinata boshining kichik atrofida S : = { ( x 1 , x 2 ) ∈ V , x 3 = x 1 x 2n + x 1 2 , n ≥ 1 } ko’rinishda berilganda bahosini tekshirishga.Shuningdek ushbu magistrlik dissertatsiya ishi silliq funksiyalarning Furye almashtrishi va Furye almashtrishlarining hossalarini, hamda bazi bir tebranuvchan integrallarning asimptotik yoyilmalari va ulardan kelib chiqadigan natijalarni o’rganishga bag’ishlangan. Ushbu magistrlik dissertatsiya ishini bajarishda olingan natijalardan quyidagi xulosalarga kelindi: 1) Uch o’lchovli Evklid fazosida mujassamlashgan sirtlar uchun sirtlar uchun C.D.Soggi va I.Sh.Steyn masalasi S -sirt: S : = { ( x 1 , x 2 ) ∈ V , x 3 = x 1 x 22 + x 1 2 } bo’lgan holda yechilgan (A) 2) Uch o’lchovli Evklid fazosida mujassamlashgan sirtlar uchun sirtlar uchun C.D.Soggi va I.Sh.Steyn masalasi S -sirt: S : = { ( x 1 , x 2 ) ∈ V , x 3 = x 1 x 2n + x 1 2 } bo’lgan holda yechilgan. (B) 3) C.D.Sogge va I.Sh.Steyn masalasi S -sirt (A) va (B) ko’rinishda berilgan. Aniqrog’i so’ndiruvchi ko’paytuvchili model tebranuvchan integralni kamayish tartibi O(|о|−1) (|о|→ +∞) kabi bo’lishini taminlovchi Gauss egriligining ko’rsatkichi q > 1 2 bo’lishi ko’rsatilgan. Foydalanilgan adabiyotlar 1. C. D. Sogge, E. M. Stein Averages of functions over hypersurfaces in R n Invent. Math 82. 543-5561985 2. D. M. Oberlin Oscillatory integrals with polynomial phase MATH.SCAND 69 45-56 1991 3. I. A. Ikromov and Sh. A. Muranov, “Ob otsenkakh ostsillyatornykh integralov s mnozhitelem gasheniya” [On estimates of oscillatory integrals with fading factor], Mat. zametki [Math. Notes], 2018, 104, No. 2, 200–215 (in Russian). 4. Sh.A.Muranov On estimates for oscillatory integrals with damping factor Uzbek Mathematical Journal 4 112-125 2018 5. Arkhipov G.I., Karatsuba A.A. and Chubarikov V.N., ‍Trigonometric ‍integrals . Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 43 (5), 971-1003 1197 (Russian); English translation in Math. USSR-Izv., 15(1980),pp 21-239. 6. I. A. Ikromov, “Dempfirovannye ostsillyatornye integraly i maksimal’nye operatory” [Dampened oscillatory integrals and maximal operators], Mat. zametki [Math. Notes], 2005, 78, No. 6, 833–852 (in Russian). 7. M. V. Fedoryuk, Metod perevala [Saddle-Point Method], Nauka, Moscow, 1977 (in Russian). 8. I. A. Ikromov, D. Müller, M. Kempe Damped oscillatory integrals and boundedness of maximal operators associated to mixed homogeneous hypersurfaces Duke Math.J. 126 no.3, 471-4902005 9.Sh.O. Alimov , R.R. Ashurov Matematik tahlil (2) T.: “ TURON-IQBOL” 2017 10.Ikromov I.A Tebranuvchan integrallar va ularning tadbiqlari fani bo’yicha uslubiy qo’llanma Samarqand 2009 , 52 b 11. Архипов Г.И., Карацуба А.А. и Чубариков В.Н. Тригонометрические интегралы. М.: Наука 1987. 12. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. М. Наука, ч. 2. 1984. 13. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М. Наука, 1976. 14. Евграфов М.А. Аналитические функции. М. : Наука, 1968. 15. Хаджиев Дж. Приложение теории инвариантов к дифференциальной геометрии кривых . Ташкент , ФАН 1988. 16. Stein E.M. Harmonic Analysis, Real-valued Methods, Orthogonality and Oscillatory integrals. 17. Ziyonet.uz sayti. 18. Mathnet.ru sayti. 19. Wikipedia.org sayti.

FAZOSI BIR JINSLI KO’PHADDAN IBORAT BO’LGAN TEBRANIVCHAN INTIGRALLARNING BAHOSI M U N D A R I J A Kirish . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I-bob. Furye almashtirishi 1.1-§ Furye almashtirishi haqida tushincha . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2-§ Furye almashtirishi xossalari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 II-bob. Tebranuvchi integrallarni asimptotik baholari 2. 1-§ Asosiy tushinchalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 2.2-§ Bir o'zgaruvchili tebranuvchan integrallar . . . . . . . . . . . . . 19 3.3-§ Tebranuvchan integrallarning asimptotikalari. . . . . . . . . . . . . 26 2.4-§ Kritik nuqtaga ega bo’lmagan faza funksiya . . . . . . . . . . . . . 28 2.5-§ Lokalizatsiya prinsipi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.6-§ Etalon integrallar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 III-bob. Amplituda funksiyasi maxsuslikga ega bo’lgan tebranuvchan integrallarning baholari. 3.1-§ Fazosi bir jinsli ko'pxaddan iborat tebranivchi integralning tekis baholari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2-§ . Fazosi bir jinsli ko’phaddan iborat tebranuvchi integrallarni baholashga oid misollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3-§ Parametrga bog’liq fazosi bir jinsli ko’phaddan iborat tebranuvchi integrallarni baholash. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Xulosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Foydalanilgan adabiyotlar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

KIRISH 1. Mavzuning asoslanishi va dolzarbligi: Magistrlik disertatsiyasi ishining dolzarbligi, tebranuvchan integrallarning muhim sinflaridan biri bo’lgan silliq sirtlarda mujassamlashgan o’lchov Furye almashtirishini baholash ko’plab sohalarda tadqiqotning eng ko’p o’rganilayotgan asosiy masalalaridan biri hisoblanadi. Shu sababli tebranuvchan integrallarni bir- qismi bo’lgan fazosi bir jinsli ko’phaddan iborat so’ndirivchi ko’paytivchili tebranuvchan integrallarni ham o’rganish muhim ahamiyat kasb etadi. Bu magistrlik dissertatsiyasi ishida model fazosi bir jinsli ko’phaddan iborat integralni faza funksiyasi x3=Φ (x1,x2) , bunda Φ (x1,x2):= x1x2n+x12 ko’rinishdagi . Aniqroq qilib aytadigan bo’lsak S - sirt tenglamasi S:={(x1,x2)∈V ,x3= x1x2n+x12,n≥1} bunda V - koordinata boshining yetarlicha kichik atrofi ko’rinishda berilganda fazosi bir jinsli ko’phaddan iborat tebranuvchan integral baholangan. 2. Tadqiqot ob’ekti va predmeti Fazosi bir jinsli ko’phaddan iborat so’ndirivchi ko’paytivchili tebranivchi integral. Furye almashtirishini baholash. fazosi bir jinsli ko’phaddan iborat so’ndirivchi ko’paytivchili model integrallarni baholarini o’rganish va ularga oid misollarni tekshirish. Sirt koordinata boshining atrofida oshkor ko’rinishdagi funksiyaning grafigi sifatida berilganda tebranuvchan integrallarni baholashdan iborat . 3. Tadqiqotning maqsad va vazifalari: Magistrlik dissertatsiya ishini maqsadi: Uch o’lchovli Evklid fazosida malum bir silliq sirtlar uchun fazosi bir jinsli ko’phaddan iborat so’ndirivchi ko’paytivchili Furye almashtirishi kamyashi tartibini aniqlashtirish haqidagi C.D.Sogge va I.Sh.Steyn masalasini yechishdan iborat. Magistrlik dissertatsiyasi ishini vazifasi uch o’lchovli Evklid fazosidagi malum bir sirtlar uchun model fazosi bir jinsli ko’phaddan iborat tebranuvchan integralni baholashdan iborat. 4. Tadqiqotning asosiy masalallari va farazlari: Magistrlik dissertatsiyasining ishining asosiy masalasi va farazlari mujassamlashgan sirt bilan bog’langan fazosi bir jinsli ko’phaddan iborat so’ndirivchi ko’paytivchili integralni, S -sirt a) S : = { ( x 1 , x 2 ) ∈ V ⊂ R 2 : x 3 = x 1 x 22 + x 1 2 }

b) S : = { ( x 1 , x 2 ) ∈ V ⊂ R 2 : x 3 = x 1 x 2n + x 1 2 } bunda V -koordinata boshining yetarlicha kichik atrofi, ko’rinishda berilgan baholashdan iborat. 5. Mavzu bo’yicha qisqacha adabiyotlar tahlili: Fazosi bir jinsli ko’phaddan iborat so’ndirivchi ko’paytivchili tebranuvchan integrallarni baholash bo’yicha aniq darslik va o’quv qo’llanmalarda ma’lumotlar keltirilmagan. Dastlab fazosi bir jinsli ko’phaddan iborat tebranuvchan integrallarni baholash 1985 yilda S.D.Soggi va I.M.Steynlarning “Averages of functions over hypersurfaces in Rn Invent. Math”. nomli ilmiy maqolasida o’rganilgan, shuningdek 1991 yilda D.Oberlin tomonidan tadqiq qilingan. 2005 yilda I.A.Ikromov tomonidan so’ndiruvchi ko’paytuvchi giper sirtning bosh egriliklari orqali kiritilgan tebranuvchan integrallar tadqiq qilingan. 6. Tadqiqotda qo’llanilgan uslublarning qisqacha tavsifi: Magistirlik dissertatsiyasining ishida differensiyal geometriya va analizning asimptotik usullaridan, shuningdek garmonik analiz usullaridan foydalanilgan . 7. Tadqiqot natijalarining nazariy va amaliy ahamiyati: Magistrlik dissertatsiya ishida fazosi bir jinsli ko’phaddan iborat so’ndiruvchi ko’paytuvchili tebranuvchan integrallarning S -sirt koordinata boshi atrofida aniq oshkor ko’rinishda berilganda kamayish tartibi O(|ξ|−1) (|ξ|→ +∞) kabi bo’lishini kafolatlovchi Gauss egriligining aniq ko’rsatkichi topilganligi bilan izoxlanadi. Maskur ishning amaliy axamiyati fundamental sof matematikaga qarashli bo’lib uning amaliy ahamiyati tekshirilmagan. 8. Tadqiqotning ilmiy yangiligi: Maskur dissertatsiya ishida quyidagi fazosi bir jinsli ko’phaddan iborat tebranuvchan integrallarni baholash qaralgan ^ μ q ( ξ ) : = ∫ S ‍ e i ( ξ , x ) ∨ K ( x ) ¿ q ψ ( x ) dy ( x ) , ( ¿ ) Bu yerda K ( x ) - x ∈S nuqtasidagi giper sirt sathining Gauss egriligi va σ ( x ) sirt o’lchovi , ψ∈C0∞(S) silliq manfiy bo’lmagan funksiya, (ξ,x) - ξ va x ni skalyar ko’paytmasi. Agarda S : = { ( x 1 , x 2 ) ∈ V , x 3 = x 1 x 2n + x 1 2 } ko’rishda bo’lsa, bu yerda V -koordinata boshining yetarlicha kichik atrofi:

Magistrlik dissertatsiya ishining asosiy natijasi quyidagi teoremadan iborat Teorema. Faraz qilaylik ‍ q > 1 2 bo’lsin, u holda kordinata boshining shunday V atrofi mavjudki (1.1) integral uchun quyidagi baho o’rinli bo’ladi ‍ ¿^ μ q ( ξ ) ∨ ≤ C ∨ ¿ a ∨ ¿ C 3 ¿ ξ ∨ ¿ , ¿ Bu ‍y erda ‍ a ∈ C 0∞ ( V ) ‍ va ‍ ξ≠0 ,‍ bunda C q ga bog’liq doimiy . 9. Dissertasiya tarkibining qisqacha tavsifi: Magistrlik dissertatsiyasi matni kompyuterda terilgan 60 bet hajmidan iborat bo’lib, uning strukturasi kirish qismi, 3 ta bob, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan iborat. Har bir bob paragraflarga ajratilgan bo’lib o’zining nomerlanishi va belgilanishiga ega. Misol uchun, 1.1.1-teorema yozuvi bu teoremaning 1-bobda 1-paragrafning 1-teoremasi tartib bilan yoki (2.2.2) yozuv formulaning 2-bobda 2-paragrafning 2-formulasini tartib bilan belgilanishini anglatadi. I bob. Furye almashtirishi

Bizni o’rab turgan olamdagi ko’p hodisalar davriy xarakterga ega, yoki ularni davriy jarayonlar superpozitsiyasi deb tasavvur qilish mumkin. Eng soda davriy jarayon garmonik tebranish deb atalib, uning vaqtga bog’liqligi u( t) = Acosωt + Bsinωt ko’rinishidagi funksiya bilan ifodalanadi. Bu bog’liqlik kompleks ko’rinishda u(t)=C1(ω)eiωt +C2(ω)e−iωt K o’rinishda yoziladi. Turli davrga ega bo’lgan sodda davriy jarayonlarning superpozitsiyasi f ( t) = ∫ − ∞+ ∞ C ( ω ) e iωt dω ko’rinishdagi integrallarni o’rganishga olib keladi. 1.1-§. Furye almashtirishi haqida tushuncha. Deyarli har qanday funksiyani shunday integral ko’rinishida yozish mumkinligi, ya’ni uni cheksiz sondagi garmonik tebranishlar yig’indisiga yoyilishi, ham kutilmagan, ham ajoyib fakt bo’ldi. Albatta yuqoridagi integral ko’rinishda yozish mumkin bo’lgan funksiyalar sinfi bu xosmas integralni qanday tushinishimizga bog’liq. Bu xildagi integrallar birinchi martta Fransuz matematigi J.B.Furye tomonidan XIX asrning boshida o’rganildi va keyinchilik Furye integrali deb atala boshlandi. XX asrga kelib Furye integrallarini biz o’rab turgan olamni o’rganishda eng muhim qurolga aylandi va turli matematik modellarda keng foydalanila boshlandi. Furye integraliga yoyilishni o’rganadigan matematik nazariya garmonik tahlil degan nom oldi. Ushbu bobda R sonlar o’qida aniqlangan va kompleks qiymat qabul qiluvchi funksiyalar, ya’ni f(x)= f1(x)+if2(x),− ∞<x<+∞ , ko’rinishdagi funksiyalar o’rganiladi, bu yerda f1(x) va f 2 ( x ) -haqiqiy o’zgaruvchining haqiqiy qiymat qabul qiluvchi funksiyalardir. Tadbiqlarda ko’pincha f 2 ( x ) ≡ 0 bo’ladi. R sonlar o’qida aniqlangan f funksiyaning navbatdagi ^ f( ξ ) = ∫ − ∞∞ f ( x ) e − ixξ dx (1.1.1) integral almashtirishini kiritamiz.

O'xshashlar

Normalangan fazo.Normalangan fazoning qism fazosi va faktor fazosi. To ’la normalangan fazolar
CHIZMACHILIKDAN HAR BIR DARS UCHUN ZARUR BO’LGAN O’QITISH ANJOMLARI VA MATERIALLARINING ELEKTRON SLAYDLARI ISHLANMASI (8-SINF UCHUN)
YUQORI DARAJALI ALGEBRAIK TENGLAMALAR SISTEMALARINI GRYOBNER BAZISLARI YORDAMIDA YECHISH.
To'yingan bir atomli spirtlar
Yangi O’zbekistonda tarixga bo’lgan munosabat va falsafaning yangi qirralari