Gorner sxemasi

Yuklangan vaqt:

12.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

89.08984375 KB

Ko'chirib olish

1Gorner sxemasi
MUNDARIJA
KIRISH
Matematikaga bo ' lgan ishtiyoq qiziqarli vazifa yoki muammo haqida
o ' ylashdan boshlanadi . Matematik sirlar bilan sehrlangan har qanday odam
matematik kashfiyotlar tarixini , muammolarni hal qilishning turli usullarini
bilishga , murakkab muammolarni hal qilish uchun matematik teoremalardan
foydalanishga qiziqadi . Men, Gorodilova Anastasiya, 9-sinfda "Zvenigovskiy
litseyi" ta'lim muassasasida matematika darslarida "polinomlar"mavzusini
o'rgandim. Berilgan nuqtada polinomlarning qiymatlarini topdi, polinomlarni
ajratdi, polinomlarning ildizlarini topdi.
Agar polinomlar haqida umuman gapiradigan bo'lsak, shuni ta'kidlash
kerakki, funktsiyalarning beqiyos sohasida polinomlar, birinchi qarashda, juda
kamtarona joyni egallaydi. Biroq, bu birinchi taassurot aldamchi. Ma'lum
bo'lishicha, polinomlarni tez-tez hisoblash kerak, ya'ni buni iloji boricha osonroq

2qilishni o'rganish muhimdir. Ma'lumki, polinomlar bilan ishlashda siz ko'plab turli
xil hisob-kitoblarni amalga oshirish zarurati bilan duch kelishingiz kerak. Bundan
tashqari, hisoblash xatolarining paydo bo'lishi ehtimoli katta, shuning uchun,
masalan, polinomning ildizlarini hisoblashda, haqiqatan ham ildiz bo'ladigan
qiymatlarni tanlashda ko'plab variantlarni ishlab chiqish kerak.
Matematika darslarida biz polinomning ma'nosini va uning ildizlarini
topishga imkon beradigan Gorner sxemasini o'rganib chiqdik. 10-sinfda
o'qiyotganimda, men yana Gorner sxemasini qo'llash mumkin yoki kerak bo'lgan
vazifalarga duch keldim. Matematikadan imtihonga tayyorgarlik ko'rish uchun
kurslarda, parametr bilan ba'zi tenglamalarni echishda, 9-sinfda polinomlarni
o'rganishda olingan bilimlar yana foydali bo'ldi.Men o'qituvchim bilan Gorner
sxemasi qo'llaniladigan asosiy vazifalar doirasini aniqlashga qaror qildik. Chunki
biz ushbu mavzu maktab matematika kursida dolzarb deb hisoblaymiz:
 Polinomning qiymatini va uning ildizlarini noqulay hisob-kitoblarni
amalga oshirmasdan topishga imkon beradi;
 Yuqori darajadagi tenglamalar va tengsizliklarni polinomlarni guruhlash
usuli bilan emas, balki vaqtni tejaydigan yanada oqilona usul bilan
echishga imkon beradi;
 Polinomni monomialga ko'paytirishda ishlatiladi ;
 Algebraik kasrlarni qisqartirishda ishlatiladi:
 Parametr bilan bog'liq muammolarni hal qilish uchun ishlatiladi.
I-BOB.NAZARIY QISM
1.1.Gerxard Gorner tarixi
Gorner sxemasi (yoki Gorner qoidasi, Gorner usuli, Ruffini-Gorner usuli) —
o'zgaruvchining berilgan qiymati uchun monomlar (monomenlar) yig'indisi sifatida
yozilgan polinom qiymatini hisoblash algoritmi. Gorner usuli polinomning
ildizlarini topishga imkon beradi , shuningdek berilgan nuqtada polinom
hosilalarini hisoblash. Gorner sxemasi, shuningdek, polinomni binomial shaklga
bo'lish uchun oddiy algoritmdir x-c. Usul Uilyam Jorj Gorner sharafiga
nomlangan, ammo Paolo Ruffini Gornerni 15 yilga ortda qoldirgan, xitoylarga esa
bu usul XIII asrda ma'lum bo'lgan.
Gorner sxemasi, shuningdek, Gorner usuli yoki Gorner algoritmi sifatida ham
tanilgan, berilgan nuqtada polinom qiymatini samarali hisoblash uchun raqamli
usuldir. Ushbu sxema 1820 yilda matematik Gerxard Gorner tomonidan taklif
qilingan.Gorner sxemasining mohiyati shundaki, u polinomning qiymatini ketma-
ket ko'paytirish va qo'shish yordamida hisoblash imkonini beradi, buning o'rniga

3har bir polinom atamasini alohida hisoblashning ko'proq vaqt talab qiladigan va
resurslarni talab qiladigan usuli.Gorner sxemasini quyidagicha ifodalash mumkin:
P(x) = a
0 + a
1 x + a
3 x 3
+ a
4 x 4
+ ….. + a
n x n
shaklida bo’ladi bu yerda a , a₀
1 , a
2 ,
a
3 ,.... , an-polinomning koeffitsientlari va berilgan nuqta uchun x , polinomning
₀
qiymati quyidagicha hisoblanadi:
1. Natija o'zgaruvchisini nolga o'rnating.
2. An koeffitsientidan boshlab, natijani ketma-ket x ga ko'paytiring va joriy Ai
₀
koeffitsientini qo'shing. Keyin bu qiymat yangi natijaga aylanadi.
3. Polinomning barcha koeffitsientlari uchun 2-bosqichni takrorlang, an dan
boshlab va a заканчивая bilan tugaydi.
4. Natijada, natija qiymati P(x ) ga teng bo'ladi, ya'ni.berilgan nuqtadagi
₀
polinomning qiymati x .
₀
Gorner sxemasi polinomlarning qiymatlarini hisoblash uchun juda samarali
usuldir, ayniqsa yuqori darajalarda. U turli xil matematik va muhandislik
muammolarida keng qo'llaniladi.
Eng umumiy shaklda bir nechta o'zgaruvchilardan quvvat polinomini formula bilan yozish mumkin

Ya'ni, polinom o'zgaruvchilarning darajalari yig'indisi polinom tartibidan
oshmaydigan barcha monomiallarni o'z ichiga oladi . Bunday polinomni
hisoblash algoritmlarini, shuningdek, bunday polinomga kiritilgan individual
monomiallarning qiymatlari qatorini olishni ko'rib chiqing.
Har bir monomialni alohida hisoblash yaxshi fikr emas. Agar siz
mashhur Numerical Recipes kitobiga ishonsangiz, mashinalar dunyoni egallab
olgach, kompyuterni bunday masxara qilishda aybdor odamlar darhol qatl etiladi.
Aslida, k tartibidagi har bir monomial k -1 tartibidagi monomiallardan birini faqat
bitta ko'paytirish orqali hisoblash mumkin. Masalan, birinchi tartibli
monomiallar nol tartibli monomialni (birlikni) o'zgaruvchilardan biriga ko'paytirish
orqali olinadi. Ushbu monomiallarning har birini yana o'zgaruvchilardan biriga
ko'paytirib, biz ikkinchi darajali barcha mumkin bo'lgan monomiallarni va
boshqalarni olamiz.
biz o'zgaruvchilardan biriga ko'paytiramiz va k -tartibli monomiallarni olamiz.
Biroq, ikkinchi tartibdan boshlab muammo paydo bo'ladi: monomial ikki
marta olinadi. Aslida, (2) formulada omillarni almashtirish uchun qancha variant
mavjud bo'lsa, har bir monomial ko'p marta olinadi. Bunday takroriy hisob-
kitoblarni amalga oshirmaslik uchun, biz monomial hisoblashning barcha ketma-
ketliklaridan (2) o'zgaruvchilar indekslari o'sish tartibida tartiblanganligini

4tanlashga rozi bo'lamiz. Bunga erishish uchun biz faqat raqamlari i dan katta
bo'lgan o'zgaruvchilarni o'z ichiga olmaydigan monomiallarga ko'paytiramiz,
shunda faqat darajalar bo'lganlar ko'payadi, faqat o'z ichiga oladi va
hokazo.
Ushbu yondashuv bilan har bir monomial bir vaqtning o'zida bir nechta
boshqalarni hisoblash uchun xizmat qiladi.Darajalar barcha D o'zgaruvchilarga
ko'paytiriladi. Barcha o'zgaruvchilarni o'z ichiga olgan monomiallar .Bunday
holda hisoblash jarayoni daraxt shaklida ifodalanishi mumkin:
1.1.1-rasm.Polinom daraxt
Daraxt shaklida taqdim etilgan ko'p o'lchovli polinomning monomiallarini
hisoblash jarayoni. Har bir tugun monomialga, har bir chekka esa
o'zgaruvchilardan biriga to'g'ri keladi.Daraxt shaklida taqdim etilgan hisoblash
jarayoni tabiiy ravishda rekursiv algoritm yordamida amalga oshiriladi. Eng oddiy
versiyada rekursiv protsedura bitta monomialni hisoblab chiqadi va barcha bolalar
monomiallarini hisoblash uchun o'zini chaqiradi. Ushbu protsedura quyida
keltirilgan:
1.2.Gorner sxemasining dasturlash tillariga tadbiqi
procedure OneMonomial(
var Monomials: array of extended;
Parent: integer;
var x: array of extended;
D: integer;
xnum: integer;
var MN: integer;

5 Order: integer;
n: integer;
);
var
i: integer;
begin
MN := MN + 1;
Monomials[MN] := Monomials[Parent] * x[xnum];
if Order < n then
begin
Parent := MN; //Запоминаем значение текущего
for i := xnum to D-1 do
OneMonomial(Monomials, Parent, x, D, i, MN, Order + 1, n);
end;
end;
Tartib polinomidagi monomiallarning umumiy soni N dan D o'zgaruvchilar
formula bo'yicha hisoblanishi mumkin
Yuqoridagi protsedura yordamida monomial massivni hisoblash quyidagicha:
SetLength(Monomials, Number);
Monomials[0] := 1;
MN := 0;
if n > 0 then
for i := 0 to D-1 do
OneMonomial(Monomials, 0, x, D, i, MN, 1, n)
Agar x ning turli qiymatlari uchun hisob-kitoblarni ko'p marta bajarish kerak
bo'lsa, unda ishni tezlashtirish uchun siz rekursiyadan xalos bo'lishingiz
kerak. Buning oddiy usuli-daraxtning rekursiv aylanishini bir marta bajarish va har
bir monomial uchun ota-ona monomialining raqamini va u ko'paytirilgan
o'zgaruvchining raqamini eslab qolish. Keyinchalik bu ma'lumot rekursiyasiz
monomiallarni hisoblash uchun ishlatilishi mumkin.
Tegishli kod quyidagicha ko'rinadi:
procedure OneMonomial(
Parent: integer;
D: integer;
xnum: integer;
var MN: integer;
Order: integer;
n: integer;
Parents: array of ineger;

6 VarNumbers: array of integer;
);
var
i: integer;
begin
MN := MN + 1;
//Вычислений теперь не делаем
//Monomials[MN] := Monomials[Parent] * x[xnum];
//Вместо этого:
Parents[MN] := Parent;
VarNumbers[MN] := xnum;

if Order < n then
begin
Parent := MN ; //Запоминаем значение текущего
for i := xnum to D-1 do
OneMonomial(Parent, D, i, MN, Order + 1, n, Parents, VarNumbers);
end;
end;
Biz ushbu protsedurani quyidagicha chaqiramiz:
SetLength(Parents, Number);
SetLength(VarNumbers, Number);
MN := 0;
if n > 0 then
for i := 0 to D-1 do
OneMonomial(0, D, i, MN, 1, n, Parents, VarNumbers);
A monomial massivni hisoblash o'zgaruvchilarning har bir qiymati
uchun x shunday:
SetLength(Monomials, Number);
Monomials[0] := 1;
for i := 1 to Number-1 do
Monomials[i] := Monomials[Parents[i]] * x[VarNumbers[i]];
Amaliyot shuni ko'rsatadiki, bunday rekursiv bo'lmagan hisoblash rekursivdan
sezilarli darajada tezroq amalga oshiriladi.
Keling, polinomning o'zini hisoblashga qaytaylik. Bunday hisoblash monomial
daraxt tugunlarini tegishli koeffitsientlarga ko'paytirish va yig'ish orqali amalga
oshiriladi. Bu bizni quyidagi formulaga olib keladi:
Bu erda indekslar -biz tegishli monomialga etib boradigan daraxt
shoxlarining raqamlari.

7Ushbu formula bir o'lchovli polinomni hisoblash uchun taniqli Gorner sxemasining
ko'p o'lchovli holatiga umumlashtirishdir:
formulaga muvofiq hisob-kitoblarni amalga oshiradigan funktsiya quyida
keltirilgan:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
0
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
2
0
2
1
2
2
2
3
2 function Gorner (
//Коэффициенты, упорядоченные также как одночлены,
//вычисляемые приведенной выше процедурой.
var c : array of extended ;

//Аргументы полинома
var x: array of extended;

//Размерность полинома (количество аргументов)
D : integer ;

//Порядок полинома
n : integer ;

//Номер очередного одночлена
var MN : integer ;

//Глубина рекурсии (она же - порядок очередного одночлена)
depth : integer ;

//Номер переменной, начиная с которого производится домножение.
//В зависимости от глубины рекурсии соответствует i _1, ..., i _ n
//в формуле (4).
i_depth: integer;
);
var
i: integer;
P: extended;
begin
P := c[MN]
MN := MN + 1;
if depth < n then
for i := i_depth to D-1 do
P := P + x[i] * Gorner(c, x, D, n, MN, depth+1, i);
Gorner := P;
end;

84
2
5
2
6
2
7
2
8
2
9
3
0
3
1
3
2
3
3
3
4
3
5
3
6
Umuman mn, depth, i_depth xizmat parametrlarini yashirish uchun ushbu
funktsiyani boshqasi orqali chaqirish kerak:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
0
1
1
1
2
1
3 function Polynomial(
//Коэффициенты
var c: array of extended;
//Аргументы полинома
var x: array of extended;
//Размерность полинома (количество аргументов)
D : integer ;
//Порядок полинома
n: integer;
);
var
MN: integer;
begin
MN := 0;
Polynomial := Gorner(c, x, D, n, MN, 0, 0);
end;

91
4
1
5
1
6
II-BOB.ASOSIY QISM
2.1.Gorner sxemasi tasnifi
Shunday qilib, polinomni ko’rib chiqing
P(x) = a
0 + a
1 x + a
3 x 3
+ a
4 x 4
+ ….. + a
n-1 x n-1
+ a
n x n
Aniqlik uchun koeffitsientlar ko'k rangda ta'kidlangan.Polinom uchun Gorner
diagrammasini yozamiz P(x) nuqtada x = a .Buning uchun jadvalni to'ldiring
a
n a
n-1 a
n-2 …….. a
1 a
0
a
2.1.1-rasm.Gorner jadvali
Birinchi qatorda polinomning koeffitsientlarini ko'ramiz P(x) darajalarning
kamayish tartibida.Bunday koeffitsientlar har doim polinom darajasidan
kattaroqdir: kvadrat polinom uchun atigi 3 koeffitsient, kub uchun - allaqachon 4
va boshqalar.
Jadvalning ikkinchi qatorida biz faqat raqamni kiritamiz a eng chap
qafasda. Qolgan hujayralar quyidagi algoritm bo'yicha ketma-ket
to'ldiriladi.Birinchi bo'sh katakchada biz elementni yuqori qatordan o'zgarishsiz
o'tkazamiz. Keling, ushbu elementni nomlaymiz b
n-1 - keyin nima uchun bunday
raqamlash kerakligini tushunasiz:
a
n a
n-1 a
n-2 …….. a
1 a
0

10a b
n-1 = a
n
2.1.2-rasm.Gorner jadvalida birinchi element
Ikkinchi hujayra — element b
n-2 - formula bo'yicha hisoblanadi b
n-2 = b
n-1 * a + a
n-1
Boshqacha qilib aytganda, biz Chapdagi elementni olamiz, raqamga ko'paytiramiz
a va ustiga element qo'shing:
a
n a
n-1 a
n-2 …….
. a
1 a
0
a b
n-1 b
n-2 = b
n-1 * a + a
n-1
2.1.3-rasm.Gorner jadvalida ikkinchi element
Keyin elementni topamiz b
n-3 shunga o'xshash formula bo'yicha:
b
n-3 = b
n-2 * a + a
n-2 . Natijani uchinchi katakka kiritamiz:
a
n a
n-1 a
n-2 …….. a
1 a
0
a b
n-1 b
n-2 b
n-3 = b
n-2 * a + a
n-2
2.1.4-rasm.Gorner jadvalida uchinchi element
Xuddi shunday, biz elementlarni topamiz b
n-4 , b
n-5 va keyin. Chapdagi elementni
oling, asl raqamga ko'paytiring a , ustiga element qo'shing, natijani katakchaga
yozing:
b
k-1 = b
k * a + a
k
Bir nuqtada biz elementga etibor beramiz b
0 , bu koifisent ostidagi hujayrada
joylashgan a
1 :
a
n a
n-1 a
n-2 …….. a
1 a
0
a b
n-1 b
n-2 b
n-3 b
0 = b
1 * a + a
0
2.1.5-rasm.Gorner jadvalida n-1 inchi element
Shunday qilib, biz barcha hujayralarni to'ldirdik va jadvalni oldik:

11a
n a
n-1 a
n-2 …….. a
1 a
0
a b
n-1 b
n-2 b
n-3 b
0 r
2.1.6-rasm.Gorner jadvalida oxitgi element
Ushbu jadvalni to'ldirish sxemasi shunchaki Gorner sxemasi deb ataladi.Topilgan
elementlar b
n-1 , ..., b
1 , b
0 va r asl polinomni qayta yozishga ruxsat bering P(x)
shaklida
P(x) = (b
n-1 x n-1
+ ,……, + b
1 x 1
+ b
0 )(x – a) + r
Bunday yozuv, agar siz uning xususiyatlarini bilsangiz, polinomlar bilan bog'liq
muammolarni hal qilish uchun dahshatli qurol bo'lib chiqadi.Va bugun biz ushbu
xususiyatlarning barchasini o'rganamiz, lekin birinchi navbatda ozgina amaliyot.
1 – misol . Oddiy polinom
Polinom uchun Gorner sxemasi bo'yicha jadvalni to'ldiring
P(x) = 2x 4
- 7x 3
+ x 2
+ 2x -3
Nuqtada x = 3.
Yechim.Boshlash uchun biz asl polinomning koeffitsientlarini diqqat bilan
yozamiz.
P(x) = 2*x 4
+ (-7)*x 3
+1*x 2
+ 2*x +(-3)
Biz jadval tuzamiz.Polinomning darajasi degP(x) = 4 . jadvalda beshta asosiy ustun
va chap tomonda bitta qo'shimcha ustun bo'ladi, unda biz raqamni yozamiz x = 3 :
2 -7 1 2 -3
3
2.1.7-rasm.Gorner jadvalida birinchi elementni topish
Ikkinchi qatorda bo'sh katakchalarni to'ldiring. Biz elementni birinchi hujayraga
o'zgartirmasdan yuqoridan o'tkazamiz:
2 -7 1 2 -3
3 2
2.1.8-rasm.Gorner jadvalida ikkinichi elementni topish
Ikkinchi hujayradagi element formula bo'yicha hisoblanadi 2*3 + (-7) = -1 :
2 -7 1 2 -3

123 2 -1
2.1.8-rasm.Gorner jadvalida uchinchi elementni topish
Biz uchinchi va to'rtinchi katakchalarni xuddi shunday to'ldiramiz: avval -1*3 + 1
= -2 , keyin -2*3 + 2 = -4
2 -7 1 2 -3
3 2 1 -2 -4
2.1.9-rasm.Gorner jadvalida qiymat elementlarini topish
Nihoyat, oxirgi hujayra: -4 * 3 +(-3) = -15
2 -7 1 2 -3
3 2 -1 -2 -4 -15
2.1.10-rasm.Gorner jadvalida oxirgi elementni topish
2.2.Polinom qiymatni hisoblash
Gorner sxemasi nima uchun kerakligini tushunish uchun keling, butun fikrlash
zanjirini qisqacha takrorlaylik.Biz ixtiyoriy polinomni olamiz
P(x) = a
0 + a
1 x + a
3 x 3
+ a
4 x 4
+ ….. + a
n-1 x n-1
+ a
n x n
Va ixtiyoriy nuqta x = a . Biz jadval tuzamiz:
a
n a
n-1 a
n-2 …….. a
1 a
0
a b
n-1 b
n-2 b
n-3 …… b
0 r
2.2.1-rasm.Gorner jadvali
Topilgan koeffitsientlar
b
n-1 , ...,
b
1 ,
b 0 va r polinomni qayta yozishga ruxsat bering P(x) yangi
shaklda:
P(x) = (b
n-1 x n-1
+ ,……, + b
1 x 1
+ b
0 )(x – a) + r
Ammo bu yozuv nimasi bilan diqqatga sazovordir?Keyingi to'rtta nuqtada biz
uning barcha xususiyatlarini batafsil tahlil qilamiz.Va eng oddiyidan
boshlaylik.Ushbu yangi yozuvda raqamni almashtiring x = a , ya’ni hisoblashda
P(a) :

13P(a) = (b
n-1 a n-1
+ ,……, + b
1 a 1
+ b
0 )(a – a) + r = r
Shunday qilib, oxirgi raqam r jadvalda bu polinomning qiymati P(x) nuqtada x = a
P(a) = r
Va bu shuni anglatadiki, Gorner sxemasi tufayli polinomlarning qiymatlarini tezda
(eksponentatsiya operatsiyasi yo'q) va ishonchli deb hisoblash mumkin (biz
ko'paytirishdan ko'ra qo'shilishda kamroq xato qilamiz).
1-Misol. Polinomning qiymatini topish uchun Gorner sxemasidan foydalaning
P(x) = 8x 4
-12x 3
-24x 2
+11x +7
Nuqtada x = 2,5.
Yechim.Polinomning koeffitsientlarini tanlang
P(x) = 8x 4
+(-12)x 3
+ (-24)x 2
+ 11x +7
va jadvalni to’ldiring x = 2,5 :
8 -12 -24 11 7
2.5 8 8 -4 1 9,2
2.2.1-rasm.Birinchi misol
Polinomning umumiy qiymati P(2,5) = 9,2. Xuddi shu qiymatni to'g'ridan-to'g'ri
almashtirish orqali olish mumkin, ammo hisob-kitoblar shunchalik noqulay
bo'ladiki, biz ularni bermaymiz.
2-Misol . 5x 4
+5x 3
+x 2
-11 x−1da , Gorner sxemasidan foydalangan holda.
Yechim
Yozuvni qisqartirish uchun berilgan polinomni P(x)deb belgilang , ya'ni
P(x)=5x 4 +5x 3 +x 2-11 . Boshlash uchun biz ikki qatorli jadval tuzamiz.Birinchi
qatorda p(x) polinomning koeffitsientlarini yozamiz x o'zgaruvchining
kamayish darajasida joylashgan . E'tibor bering, berilgan polinom x ni o'z
ichiga olmaydi birinchi darajada, ya'ni x dan oldingi koeffitsient birinchi
daraja 0 ga teng:
5 ⋅ x 4 + 5 ⋅ x 3 + 1 ⋅ x 2 + 0 ⋅ x+ (−11)
Chunki biz x− 1 ga bo'linamiz , keyin ikkinchi qatorning birinchi katakchasida
1 raqamini yozamiz . Biz ishlaydigan jadval quyidagicha:
5 5 1 0 -11

141
2.2.2-rasm.Ikkinchi misol birinchi raqam topish
Ikkinchi qatorda bo'sh katakchalarni to'ldirishni boshlaymiz. Ikkinchi qatorning
ikkinchi katagiga
5 raqamini yozing , uni birinchi qatorning ikkinchi
katakchasidan pastga tushirish orqali:
5 5 1 0 -11
1 5
2.2.3-rasm.Ikkinchi misol ikkinchi raqam topish
Quyidagi katakchani ushbu printsip bo'yicha to'ldiring:
1
⋅ 5 + 5 = 10 :
5 5 1 0 -11
1 5 10
2.2.4-rasm.Ikkinchi misol uchinchi raqam toppish
Xuddi shunday, biz ikkinchi qatorning to'rtinchi katakchasini to'ldiramiz: 1 ⋅ 10 + 1 =
11 :
5 5 1 0 -11
1 5 10 11
2.2.5-rasm.Ikkinchi misol to’rtinchi raqam toppish
Beshinchi katak uchun biz olamiz: 1
⋅ 11 + 0 = 11 :
5 5 1 0 -11
1 5 10 11 11
2.2.6-rasm.Ikkinchi misol beshinchi raqam topish
Va nihoyat, oxirgi, oltinchi hujayra uchun bizda: 1
⋅ 11 + (-11) = 0 :

155 5 1 0 -11
1 5 10 11 11 0
2.2.7-rasm.Ikkinchi misol oxirgi raqam topish
Ikkinchi qatorda joylashgan raqamlar(birlik va nol o'rtasida) p(x)bo'linishidan
keyin olingan polinomning koeffitsientlari x−1da . Ikkinchi qatordagi (nol) oxirgi
raqam P(x)polinom bo'linishining qolgan qismiga teng x−1da . Qoldiq nolga teng,
ya'ni P(x) polinom x -1 ga bo'linadi to'liq. Aniqlik uchun koeffitsientlarni turli
xil ranglarda ajratib, natijani yozaman:
5 5 1 0 -11
1 5 10 11 11 0
2.2.8-rasm.Gorner jadvali
P(x)=(x− 1 ) ⋅ ( 5 ⋅ x 4 + 10 ⋅ x 3 + 11 ⋅ x 2 + 11 ⋅ x)+ 0 =(x−1)(5x 3 +10x 2 +11x+11)
Tabiiyki, p(x) asl polinomning darajasi to'rtga teng, keyin 5x 3 +10x 2 +11x+11
polinomning darajasi birlik kamroq, ya'ni. uchga teng.
Biz olgan natijani quyidagicha tavsiflash mumkin: P(x)polinomning qiymati
x=1 da nolga teng. P(x)polinomining qiymati sifatida x=1 da nolga teng,
keyin birlik P(x)polinomning ildizi .
Javob : 5x 4 +5x 3 +x 2-11 =(x−1)(5 x 3 + 10 x 2 + 11x +11) .
Misol . 2 raqamlari ekanligiga ishonch hosil qiling va -5 . 3x 6 +9x 5-28 x 4 +6x 3 -
30
x 2 -30
x+100 polinomning ildizlari . Berilgan polinomni x-2 binomlariga
bo'ling va x+5 .
Yechim
Avvalgidek, yozuvni qisqartirish uchun berilgan polinomni P(x)deb
belgilaymiz , ya'ni.
P(x)=3x 6 +9x 5 −28x 4 +6x 3 −30x 2 −30x+100
P(xpolinomning darajasi 6 ga teng . Berilgan ikkita binomga bo'lingandan
so'ng, berilgan polinomning darajasi 2 ga kamayadi , ya'ni 4 ga teng bo'ladi
P(x)=(x− 2 ) ⋅ (x−( −5 )) ⋅ ( 3 ⋅ x 4 + 0 ⋅ x 3 + 2 ⋅ x 2 + 0 ⋅ x+( −10 ))=(x−2)(x+5)(3x 4 +2x 2 −10)

16Albatta, bu tanlash usuli umuman samarasiz, agar ildizlar butun sonlar
bo'lmasa, lekin butun ildizlar uchun usul juda yomon emas.
2.3.Polinomning qoldiq bilan bo’linishi
Sizga shuni eslatib o'tamanki, polinomni ajratish P(x) polinomga A(x) qoldiq bilan
polinomlarni topish demakdir Q(x) va R(x) shunday qilib
P(x) = Q(x) * A(x) +R(x)
bundan tashqari, polinomning darajasi R(x) bo'linuvchining darajasidan qat'iyan
kamroq A(x):
degR(x) < degA(x)
Polinom Q(x) to'liq bo'lmagan xususiy deb ataladi,R(x) - bo'linishdan qolgan
qoldiq.Buni ko'rsatish mumkin Q(x) va R(x) asl polinomlar uchun aniq belgilangan
P(x) va A(x).
Ruxsat bering A(x) = x – a – chiziqli binomial .Shubhasiz uning darajasi degA(x)
= 1 .
O'zboshimchalik bilan polinomni ko'rib chiqing
P(x) = b
0 + b
1 x + b
3 x 3
+ b
4 x 4
+ ….. + b
n-1 x n-1
+ b
n x n
va biz uchun jadval tuzamiz x= a Gorner sxemasi bo'yicha:
a
n a
n-1 a
n-2 …….. a
1 a
0
a b
n-1 b
n-2 b
n-3 …… b
0 r
2.3.1-rasm.Gorner jadvali
Polinomning yangi yozuvini olamiz P(x):
P(x) = (b
n-1 x n-1
+ ,……, + b
1 x 1
+ b
0 )(x – a) + r
Bu yerda r – oddiy raqam , yani deg r = 0 < degA(x) . Ammo keyin polinom
Q(x) = b
0 + b
1 x + b
3 x 3
+ b
4 x 4
+ ….. + b
n-1 x n-1
+ b
n x n
Bo’linishda to’liq bo’lmagan xusisiydir P(x) ikki tomonlama x – a , raqam r – bu
bo’linishning qolgan qismi :

17P(x) = Q(x) (x – a) +r
Shunday qilib, Gorner sxemasi sizga to'liq bo'lmagan qismni va ixtiyoriy
polinomning bo'linishining qolgan qismini tezda topishga imkon beradi P(x) ikki
tomonlama x - a .
2.4.Gorner sxemasining tenglama ildizlari
Hozirgacha biz Horner sxemasini ba'zi bir nuqta uchun qo'lladik ,x = a bu
vazifa shartida aniq ko'rsatilgan. Ammo agar siz bunday nuqtani topsangiz nima
bo'ladi — bu muammoning sharti?
Tenglamani ko'rib chiqamiz
a
0 + a
1 x + a
3 x 3
+ a
4 x 4
+ ….. + a
n-1 x n-1
+ a
n x n
= 0
Raqam x = a agar bu tenglamaning ildizi bo'lsa P(a) = 0. Bu shuni anglatadiki,
Horner sxemasidagi oxirgi element nolga teng bo'lishi kerak:
2.5.Bosqichma-bosqich algoritm topish polinomning qiymati
Gorner sxemasi bo'yicha
1) x 0 qiymatini kiriting
2) n polinomning darajasini kiriting
3) 1 dan n+1 gacha bo'lgan i tsiklning boshlanishi
4) a qatoriga polinomning n + 1 koeffitsientlarini kiriting
5) tsiklning oxiri
6) b[1]=a[1], bu erda b – "yangi" koeffitsientlar qatori
7) 2 dan n+1 gacha bo'lgan i tsiklning boshlanishi
8) b[i]:=a[i]+b[i-1]*x0
9) a[i] va b[i]qiymatlari jadvalini chiqaring
10) biz b 0 ni chiqaramiz, bu kerakli javob bo'ladi.
1.3 Horner sxemasini amalga oshiradigan dastur kodi
var n,i: integer;
a,b: array [1..1000] of real;

18x,x0:real;
Begin
{Polinom darajasi va x0 qiymatini kiriting}
writeln ('polinomning kuchini kiriting');
readln(n);
writeln ('argumentni kiriting');
readln(x0);
{Massivni to'ldirish davri}
For i:=1 to n+1 do begin
writeln ('daraja koeffitsientini kiriting', n+1-i);
readln(a[i]);
b[i]:=a[i];
end;
b[1]:=a[1];
{b[i] qiymatlarini hisoblang}
for i:=2 to n+1 do begin
b[i]:=a[i]+b[i-1]*x0;
end;
{javoblarni chiqarish}
For i:=1 to n+1 do begin
writeln;
writeln ('daraja:', n + 1-i);
writeln ('daraja koeffitsienti', n+1-i,'=', a[i]);

$19writeln ('ketma-ketlik elementi=', b[i]); end ; {yakuniy javobning natijasi} writeln; writeln ('javob=', b[n+1]); end . XULOSA Ish davomida men polinomni qanday qilib faktorizatsiya qilishni, polinomni polinomga bo'lishni, polinomni monomialga ko'paytirishni, yuqori darajadagi tenglamalar va tengsizliklarni echishni va noqulay hisob-kitoblarni amalga oshirmasdan bir nuqtada funktsiya qiymatlarini topishni takrorladim. Ushbu o'quv yilida men Horner sxemasi yordamida hal qilinishi mumkin bo'lgan parametr bilan bog'liq muammolarni hal qilishni o'rgandim. Mening keyingi vazifam-ixtisoslashgan darajadagi matematikadan use testlaridan yuqori darajadagi tenglamalar va tengsizliklarni echish uchun Horner sxemasidan samarali foydalanishni o'rganish. Endi men n \ u003e 2 uchun yuqori darajadagi turli xil tenglamalarni echishning asosiy usullarini o'zlashtirdim. Ushbu mavzu va tenglamalarni echishga bunday yondashuv meni juda qiziqtirdi, ammo yagona salbiy tomoni shundaki, sxema faqat oqilona ildizlar uchun ishlaydi. Meni qiziqtirgan mavzu juda ko'p qirrali, Horner sxemasi yordamida hal qilinadigan vazifalar xilma-xil, ularni hal qilish usullari va usullari ham xilma-xil degan xulosaga keldim. Shuning uchun men ushbu yo'nalishda ishlashni davom ettirishga qaror qildim: parametr bilan bog'liq vazifalar menga ayniqsa qiziq tuyuldi. Menimcha, bizning tadqiqot ishimiz katta amaliy qo'llanmalarga ega. Ish natijalari$

20matematika bo'yicha Olimpiada guruhlari darslarida va ixtisoslashtirilgan
darajadagi matematikadan imtihonga tayyorgarlik ko'rishda ishlatilishi mumkin.
Ushbu ishning maqsad va vazifalari to'liq amalga oshirilganligiga ishonaman.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1.Algebra.9 sinf:darslik / G. K. Muravin, K. S. Muravin, O. V. Muravina. 4-
nashr.., stereotip. - M.: Bustard, 2017 Yil. 319, [1] s.
2.Matematika: algebra va matematik tahlilning boshlanishi, geometriya.Algebra va
matematik tahlilning boshlanishi. Chuqurlashtirilgan daraja.10-sinf: darslik / G. K.
Muravin, O. V. Muravina.5-nashr., stereotip.- M.: Bustard, 2018 Yil.-285, [1] s.
3.Algebra va matematik tahlilni chuqur o'rganish: usul. Tavsiyalar va
didakt.materiallar: o'qituvchi uchun qo'llanma / M. L. Galitskiy, M. M.
Moshkovich, S. I. Shvartsburd.3-nashr., dorab.M.: Ma'rifat, 1997.- 352s. - ISBN 5-
09-006592-6.
4.https://ru.wikipedia.org/wiki/Горнер, _uilyam_jorj
5 . https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Безу

1Gorner sxemasi MUNDARIJA KIRISH Matematikaga bo ' lgan ishtiyoq qiziqarli vazifa yoki muammo haqida o ' ylashdan boshlanadi . Matematik sirlar bilan sehrlangan har qanday odam matematik kashfiyotlar tarixini , muammolarni hal qilishning turli usullarini bilishga , murakkab muammolarni hal qilish uchun matematik teoremalardan foydalanishga qiziqadi . Men, Gorodilova Anastasiya, 9-sinfda "Zvenigovskiy litseyi" ta'lim muassasasida matematika darslarida "polinomlar"mavzusini o'rgandim. Berilgan nuqtada polinomlarning qiymatlarini topdi, polinomlarni ajratdi, polinomlarning ildizlarini topdi. Agar polinomlar haqida umuman gapiradigan bo'lsak, shuni ta'kidlash kerakki, funktsiyalarning beqiyos sohasida polinomlar, birinchi qarashda, juda kamtarona joyni egallaydi. Biroq, bu birinchi taassurot aldamchi. Ma'lum bo'lishicha, polinomlarni tez-tez hisoblash kerak, ya'ni buni iloji boricha osonroq

2qilishni o'rganish muhimdir. Ma'lumki, polinomlar bilan ishlashda siz ko'plab turli xil hisob-kitoblarni amalga oshirish zarurati bilan duch kelishingiz kerak. Bundan tashqari, hisoblash xatolarining paydo bo'lishi ehtimoli katta, shuning uchun, masalan, polinomning ildizlarini hisoblashda, haqiqatan ham ildiz bo'ladigan qiymatlarni tanlashda ko'plab variantlarni ishlab chiqish kerak. Matematika darslarida biz polinomning ma'nosini va uning ildizlarini topishga imkon beradigan Gorner sxemasini o'rganib chiqdik. 10-sinfda o'qiyotganimda, men yana Gorner sxemasini qo'llash mumkin yoki kerak bo'lgan vazifalarga duch keldim. Matematikadan imtihonga tayyorgarlik ko'rish uchun kurslarda, parametr bilan ba'zi tenglamalarni echishda, 9-sinfda polinomlarni o'rganishda olingan bilimlar yana foydali bo'ldi.Men o'qituvchim bilan Gorner sxemasi qo'llaniladigan asosiy vazifalar doirasini aniqlashga qaror qildik. Chunki biz ushbu mavzu maktab matematika kursida dolzarb deb hisoblaymiz:  Polinomning qiymatini va uning ildizlarini noqulay hisob-kitoblarni amalga oshirmasdan topishga imkon beradi;  Yuqori darajadagi tenglamalar va tengsizliklarni polinomlarni guruhlash usuli bilan emas, balki vaqtni tejaydigan yanada oqilona usul bilan echishga imkon beradi;  Polinomni monomialga ko'paytirishda ishlatiladi ;  Algebraik kasrlarni qisqartirishda ishlatiladi:  Parametr bilan bog'liq muammolarni hal qilish uchun ishlatiladi. I-BOB.NAZARIY QISM 1.1.Gerxard Gorner tarixi Gorner sxemasi (yoki Gorner qoidasi, Gorner usuli, Ruffini-Gorner usuli) — o'zgaruvchining berilgan qiymati uchun monomlar (monomenlar) yig'indisi sifatida yozilgan polinom qiymatini hisoblash algoritmi. Gorner usuli polinomning ildizlarini topishga imkon beradi , shuningdek berilgan nuqtada polinom hosilalarini hisoblash. Gorner sxemasi, shuningdek, polinomni binomial shaklga bo'lish uchun oddiy algoritmdir x-c. Usul Uilyam Jorj Gorner sharafiga nomlangan, ammo Paolo Ruffini Gornerni 15 yilga ortda qoldirgan, xitoylarga esa bu usul XIII asrda ma'lum bo'lgan. Gorner sxemasi, shuningdek, Gorner usuli yoki Gorner algoritmi sifatida ham tanilgan, berilgan nuqtada polinom qiymatini samarali hisoblash uchun raqamli usuldir. Ushbu sxema 1820 yilda matematik Gerxard Gorner tomonidan taklif qilingan.Gorner sxemasining mohiyati shundaki, u polinomning qiymatini ketma- ket ko'paytirish va qo'shish yordamida hisoblash imkonini beradi, buning o'rniga

3har bir polinom atamasini alohida hisoblashning ko'proq vaqt talab qiladigan va resurslarni talab qiladigan usuli.Gorner sxemasini quyidagicha ifodalash mumkin: P(x) = a 0 + a 1 x + a 3 x 3 + a 4 x 4 + ….. + a n x n shaklida bo’ladi bu yerda a , a₀ 1 , a 2 , a 3 ,.... , an-polinomning koeffitsientlari va berilgan nuqta uchun x , polinomning ₀ qiymati quyidagicha hisoblanadi: 1. Natija o'zgaruvchisini nolga o'rnating. 2. An koeffitsientidan boshlab, natijani ketma-ket x ga ko'paytiring va joriy Ai ₀ koeffitsientini qo'shing. Keyin bu qiymat yangi natijaga aylanadi. 3. Polinomning barcha koeffitsientlari uchun 2-bosqichni takrorlang, an dan boshlab va a заканчивая bilan tugaydi. 4. Natijada, natija qiymati P(x ) ga teng bo'ladi, ya'ni.berilgan nuqtadagi ₀ polinomning qiymati x . ₀ Gorner sxemasi polinomlarning qiymatlarini hisoblash uchun juda samarali usuldir, ayniqsa yuqori darajalarda. U turli xil matematik va muhandislik muammolarida keng qo'llaniladi. Eng umumiy shaklda bir nechta o'zgaruvchilardan quvvat polinomini formula bilan yozish mumkin Ya'ni, polinom o'zgaruvchilarning darajalari yig'indisi polinom tartibidan oshmaydigan barcha monomiallarni o'z ichiga oladi . Bunday polinomni hisoblash algoritmlarini, shuningdek, bunday polinomga kiritilgan individual monomiallarning qiymatlari qatorini olishni ko'rib chiqing. Har bir monomialni alohida hisoblash yaxshi fikr emas. Agar siz mashhur Numerical Recipes kitobiga ishonsangiz, mashinalar dunyoni egallab olgach, kompyuterni bunday masxara qilishda aybdor odamlar darhol qatl etiladi. Aslida, k tartibidagi har bir monomial k -1 tartibidagi monomiallardan birini faqat bitta ko'paytirish orqali hisoblash mumkin. Masalan, birinchi tartibli monomiallar nol tartibli monomialni (birlikni) o'zgaruvchilardan biriga ko'paytirish orqali olinadi. Ushbu monomiallarning har birini yana o'zgaruvchilardan biriga ko'paytirib, biz ikkinchi darajali barcha mumkin bo'lgan monomiallarni va boshqalarni olamiz. biz o'zgaruvchilardan biriga ko'paytiramiz va k -tartibli monomiallarni olamiz. Biroq, ikkinchi tartibdan boshlab muammo paydo bo'ladi: monomial ikki marta olinadi. Aslida, (2) formulada omillarni almashtirish uchun qancha variant mavjud bo'lsa, har bir monomial ko'p marta olinadi. Bunday takroriy hisob- kitoblarni amalga oshirmaslik uchun, biz monomial hisoblashning barcha ketma- ketliklaridan (2) o'zgaruvchilar indekslari o'sish tartibida tartiblanganligini

4tanlashga rozi bo'lamiz. Bunga erishish uchun biz faqat raqamlari i dan katta bo'lgan o'zgaruvchilarni o'z ichiga olmaydigan monomiallarga ko'paytiramiz, shunda faqat darajalar bo'lganlar ko'payadi, faqat o'z ichiga oladi va hokazo. Ushbu yondashuv bilan har bir monomial bir vaqtning o'zida bir nechta boshqalarni hisoblash uchun xizmat qiladi.Darajalar barcha D o'zgaruvchilarga ko'paytiriladi. Barcha o'zgaruvchilarni o'z ichiga olgan monomiallar .Bunday holda hisoblash jarayoni daraxt shaklida ifodalanishi mumkin: 1.1.1-rasm.Polinom daraxt Daraxt shaklida taqdim etilgan ko'p o'lchovli polinomning monomiallarini hisoblash jarayoni. Har bir tugun monomialga, har bir chekka esa o'zgaruvchilardan biriga to'g'ri keladi.Daraxt shaklida taqdim etilgan hisoblash jarayoni tabiiy ravishda rekursiv algoritm yordamida amalga oshiriladi. Eng oddiy versiyada rekursiv protsedura bitta monomialni hisoblab chiqadi va barcha bolalar monomiallarini hisoblash uchun o'zini chaqiradi. Ushbu protsedura quyida keltirilgan: 1.2.Gorner sxemasining dasturlash tillariga tadbiqi procedure OneMonomial( var Monomials: array of extended; Parent: integer; var x: array of extended; D: integer; xnum: integer; var MN: integer;

5 Order: integer; n: integer; ); var i: integer; begin MN := MN + 1; Monomials[MN] := Monomials[Parent] * x[xnum]; if Order < n then begin Parent := MN; //Запоминаем значение текущего for i := xnum to D-1 do OneMonomial(Monomials, Parent, x, D, i, MN, Order + 1, n); end; end; Tartib polinomidagi monomiallarning umumiy soni N dan D o'zgaruvchilar formula bo'yicha hisoblanishi mumkin Yuqoridagi protsedura yordamida monomial massivni hisoblash quyidagicha: SetLength(Monomials, Number); Monomials[0] := 1; MN := 0; if n > 0 then for i := 0 to D-1 do OneMonomial(Monomials, 0, x, D, i, MN, 1, n) Agar x ning turli qiymatlari uchun hisob-kitoblarni ko'p marta bajarish kerak bo'lsa, unda ishni tezlashtirish uchun siz rekursiyadan xalos bo'lishingiz kerak. Buning oddiy usuli-daraxtning rekursiv aylanishini bir marta bajarish va har bir monomial uchun ota-ona monomialining raqamini va u ko'paytirilgan o'zgaruvchining raqamini eslab qolish. Keyinchalik bu ma'lumot rekursiyasiz monomiallarni hisoblash uchun ishlatilishi mumkin. Tegishli kod quyidagicha ko'rinadi: procedure OneMonomial( Parent: integer; D: integer; xnum: integer; var MN: integer; Order: integer; n: integer; Parents: array of ineger;

O'xshashlar

C++ asosida dasturni yaratish bosqichlari sxemasi, funksiyalarni loyihalash va qo‘llash tamoyillari.

10-SINF MATEMATIK ANALIZ ASOSLARI MAZMUNI VA UNING ELEMENTLARINI O‘QITISH MATODIKASI

AYIRMLI SXEMALARNING MONOTONLIK XOSSASI

ELEKTRON GENERATORLAR

Kop parametrli qiymat qaytaruvchi funksiyalarga doir misollar yechish