logo
  1. Bosh sahifa
  2. Diplom ishlar
  3. Umumiy
  4. IMTIYOZLI XIZMAT KO’RSATISH SISTEMASI BANDLIK DAVRI TAQSIMOTI

IMTIYOZLI XIZMAT KO’RSATISH SISTEMASI BANDLIK DAVRI TAQSIMOTI

Yuklangan vaqt:

12.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

94.9052734375 KB
Ko'chirib olish
IMTIYOZLI XIZMAT KO’RSATISH SISTEMASI BANDLIK DAVRI TAQSIMOTI Mundarija Kirish …………………………………………………………………… ………...4 I bob. Q isqacha tarixiy ma’lumotlar. Xizmat ko’rsatish sistemalarining matematik modellari va asosiy xarakteristikalar 1.1-§. Ommaviy xizmat ko‘rsatish nazariyasi haqida qisqacha tarixiy ma’lumotlar …………………………………….......................................... 9 1.2-§. Ommaviy xizmat ko’rsatish tarmoqlarining matematik modellari va asosiy xarakteristikalari..………………………... ...................................... ....... ... ..9 II bob . Ommaviy xizmat ko’rsatish tarmoqlarining ayrim modellari va asosiy xarakteristikalarining taqsimoti 2.1-§. Kutishli xizmat ko’rsatish tarmoqlari bandlik davrlari taqsimoti ……………….…………………………………….……………15 2.2-§. ⃗M 2|⃗M 2|1∨ N ,∞ , ∞ tarmoqning navbat uzunligi taqsimoti ….…………….25 III bob . Imtiyozli sistema navbat uzunligi va bandlik davri taqsimoti 3.1-§. ⃗M 2|⃗M 2|1∨ N ,∞ sistemaning navbat uzunligi taqsimoti .…….……………29 3.2-§. Mutloq imtiyozli ⃗ M 1 |⃗ M 1 | 1 ∨ ⃗ M 1 |⃗ N 1 | , ∞ va ⃗M 2|⃗G2|1 / N 1 , N 2 xizmat ko’rsatish sestimalari navbat uzunliklari taqsimotlari o’zaro munosabatlar………………………..……….………….………………...34 3.3-§. Kutish joylari soni chekli bo’lgan nisbiy imtiyozli xizmat ko’rsatish sistemasining bandlik davri taqsimoti…….…………….………………...38 Xulosa …………………………………………………………………………….42 Foydalanilgan adabiyotlar … …………………………………………………...44 1 Kirish 1. Magistrlik dissertatsiyasi mavzzusining asoslanishi va uning dolzarbligi. Kundalik hayotda navbatda turib vaqt yo’qotish muammosi oddiy bir shaxs uchun toqat qilish mumkin bo’lgan hol hisoblanishi mumkin. Lekin xizmat ko’rsatish lozim bo’lgan talablar sanoat korxonalarida, savdo tarmoqlarida, transportda, harbiy ishlarda va kommunikatsiya tizimlarida to’planib qolib, uzun navbatlar hosil bo’ladigan bo’lsa, bu nafaqat vaqt yo’qotish, balki resurslarni vaqtida ishlatilmasligi, ularni saqlash, mahsulotlarning eskirishi, ma’lumotlarning vaqtida yetkazib berilmasligi natijasida kelib chiqadigan katta miqdordagi moddiy zarar ko’rish muammolarini keltirib chiqaradi. Shu sababli navbat uzunliklarini qisqartirish uchun xizmat ko’rsatish korxonalarini optimal rejalashtirish, samarali xizmat ko’rsatishni ta’minlash hayotiy muhim ahamiyatga ega. Xizmat ko’rsatish tarmoqlarini tahlil qilish uchun ularning matematik modellarini yaratish, masalalarini yechish metodlarini ishlab chiqish , tarmoq bilan bog’liq tasodifiy jarayonlarni aniqlash va muhimlarini ajratish talab etiladi. Xizmat ko'rsatish tarmoqlarining matematik tahlili bilan birinchi bo'lib shug'ullangan olim Daniyalik A.K.Erling hisoblanadi. U tomonidan telefon va telegraf stansiyalarida hosil bo ladigan jarayonlarga tegishli ko'plab holatlar talilʻ qilinib, natijalar ushbu korxonalarga tadbiq etildi va ijobiy samara berdi. Keyinchalik boshqa ko'plab soxalarda (savdo, ishlab chiqarish korxonalari, transport, komunikatsiya va xokozo) tegishli masalalarning modellari Erlang modellari bilan mos tushishi ma'lum bo'lgandan keyin ushbu soxaga qiziqish kuchayib ketdi. Korxonalar va tashkilotlar tomonidan matematiklar oldiga ko'plab masalalar qo'yila boshlandi. Tadqiqot natijalari ilmiy jurnallarda nashr etildi. Bu 2 bo'yicha ishlar B.V.Gnedenko, A.A.Borovkov, L.Kleynrok, G.P.Klimov, L.Takach, N.Djeysuol, va boshqa olimlar kitoblarida o'z aksini topdi. Ushbu ishlarda asosiy e'tibor ommaviy tarmoqning bandlik davri, navbat uzunligi, talabining xizmatini kutish vaqti kabi tasodifiy jarayonlarni o’rganishga qaratiladi. Ushbu dissertatesiyada kutish joylari soni chekli bo’lgan imtiyozli xizmat ko’rsatish sistemalarining navbat uzunligi va bandlik davri taqsimoti tahlil qilinadi. Kutish joylari soni cheklanmagan sistemalarning ¿ va h.k) bandlik davri taqsimoti G.P.Klimov, B.V Gnedenko, I.N.Kleynrok, A.Danilyan, N.Djeysuolning ishlarida batafsil tahlil qilingan. Shuningdek, kutish joylar soni chekli bo’lgan M ∨G∨1∨ N ,G∨ M ∨1∨ N sistemalar bandlik davri taqsimoti Xarris tomonidan, navbat uzunligi taqsimoti esa T.A.Azlarov, O.B.Viskov, X.Qurbonov, A.I.Ismoilov tomonidan o’rganilgan. Lekin imtiyozli xizmat ko’rsatish sistemalari bandlik davri va navbat uzunligi taqsimotlari ko’tish joylari chekli bo’lgan sistemalar uchun deyarli o’rganilmagan. 2. Tadqiqot obyekti va predmeti. Tadqiqot obyekti ⃗M 2|⃗G2|1∨ N ,∞ va ⃗ M 2 |⃗ M 2 | 1 ∨ N 1 , ∞ xizmat ko’rsatish sistemalari, tadqiqot predmeti esa ushbu sistemalar navbat uzunligi va bandlik davri taqsimoti hisoblanadi. 3. Tadqiqotning maqsadi va vazifalari. Tadqiqotning maqsadi – kutish joylar soni chekli bo’lgan imtiyozli xizmat ko’rsatish sistemalarining navbat uzunligi va bandlik davri taqsimotlarini aniqlovchi munosabatlarni keltrib chiqarish. Shu maqsadda qo’yilgan masaladagi xizmat ko’rsatish sistemalari xarakteristikalari, xususan, navbat uzunligi va bandlik davriga tegishli ma’lumotlarni chuqur o’rganib chiqish, ma’lum shartlarda ⃗M 2|⃗G2|1∨ N ,∞ sistema 3 bandlik davri va statsionar navbat uzunligi taqsimotlarini aniqlovchi formulalar mavjud tatqiqot metotlari yordamida keltirib chiqarish, shuningdik, ⃗ M 2 |⃗ M 2 | 1 ∨ N , ∞ sistema statsionar navbat uzunligi taqsimotining aniq ko’rinishlarni aniqlash vazifalari qo’yildi. 4. Ilmiy yangiligi. 1) ⃗M 2|⃗G2|1∨ N ,∞ sistema bandlik davri taqsimotini aniqlovchi formula keltrib chiqarildi. 2) ⃗ M 2 |⃗ M 2 | 1 ∨ N , ∞ sistema statsionar navbat uzunligi taqsimotining aniq ko’rinishi topildi. 5. Tadqiqotning asosiy masalalari va farazlari. ⃗M 2|⃗G2|1∨ N ,∞ sistema bandlik davri va statsionar navbat uzunligi taqsimotlarini aniqlovchi munosabalarni keltirib chiqarish. Shuningdek, ⃗M 2|⃗G2|1∨ N ,∞ sistema statsionar navbat uzunligi taqsimotining aniq ko’rinishini topish. 6. Ilmiy tadqiqot usullari. Ushbu ishda ehtimollar nazariyasining umumiy tadqiqot usullari bilan bir qatorda hosil qiluvchi funksiyalar, differinsial tenglamalar, Laplas-Stiltes almashtrishlari metodlaridan keng foydalanildi. 7. Tadqiqot natijalarining ilmiy ahamiyati. Ushbu ishda olingan natijalar yangi bo’lib, ⃗ M 2 |⃗ G 2 | 1 sistema navbat uzunligi va bandlik davri taqsimotlariga tegishli qator natijalar ⃗M 2|⃗M 2|1∨ N ,∞ sistemaga o’tkazildi. Bu ma’lum qiyinchiliklar bilan bog’liq bo’ldi, masalaga alohida yondoshish talab qilinadi. 4 Olingan natijalar imtiyozli sistemalarning boshqa tipdagi modellarini o’rganish uchun yo’nalish bo’lib xizmat qilishi mumkin. 8.Tadqiqot natijalarining nazariy va amaliy ahamiyati. Olingan natijalardan imtiyozli xizmat ko’rsatish sistemalarida xizmat samaradorligini aniqlash, shuningdek, sistemalarni rejalashtrish bilan bog’liq masalalarni hal etishda foydalanish mumkin. 8. Tadqiqotda qo’llanilgan metodikaning tavsifi. Ish kirish qismi, uchta bobga birlashtirilgan oltita paragraf, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar qisimlaridan iborat. Bibliografiyada 4 ta darslik, 12 ta monografiya va 8 ta ilmiy maqolalar, jami 18 ta adabiyot ro’yxati keltirilgan. Ish 46 betdan iborat. 10. Ish tuzilmasining tavsifi. I-bob ikkita paragrafdan iborat bo’lib, xizmat ko’rsatish sistemalariga tegishli qisqacha tarixiy ma’lumotlar, xizmat ko’rsatish sistemalarining matematik modelini tuzish bo’yicha asosiy ko’rsatmalar, asosiy xarakteristikalar navbat uzunligi, ko’tish vaqti va bandlik davri, navbat uzunligi tasnifi berilgan. II-bobda kutishli xizmat ko’rsatish tarmog’ining bandlik davrlaritaqsimoti, shuningdek, ⃗M 2|⃗M 2|1∨ N ,∞ sistemaning statsionar navbat uzunligi taqsimoti o’rganiladi. III-bob uch paragrafdan iborat bo’lib, bevosita muallif tomonidan olingan natijalar bayoniga bag’ishlangan. Ushbu natijalar ⃗M 2|⃗G2|1∨ N ,∞ sistemaning navbat uzunligi taqsimoti, Mutloq imtiyozli ⃗ M 1 |⃗ M 1 | 1 ∨ ⃗ M 1 |⃗ N 1 | , ∞ va ⃗M 2|⃗G2|1 / N 1 , N 2 xizmat ko’rsatish sestimalari navbat uzunliklari taqsimotlari o’zaro munosabatlar va 5 Kutish joylari soni chekli bo’lgan nisbiy imtiyozli xizmat ko’rsatish sistemasining bandlik davri taqsimoti ni aniqlovchi munosabatlarga tegishli. 6 BOB. QISQACHA TARIXIY MA’LUMOTLAR . XIZMAT KO’RSATISH SISTEMALARINING MATEMATIK MODELLARI VA ASOSIY XARAKTERISTIKALAR. 1.1-§. Ommaviy xizmat ko’rsatish nazariyasi haqida qisqacha tarixiy ma’lumotlar O’tgan asrning boshlarida iqtisodiyotda avtomatlashtirilgan boshqaruv tizimiga o’tishning boshlanishi, hayotga telifon va telegraf kabi aloqa tizimlari kirib kelishi, ommaviy xizmat ko’rsatish sohalarining kengayishi, tabiiy fanlar (fizika, astronomiya, biologiya, geografiya) bo’yicha qator muammolar matematiklar oldiga yangi tipdagi masalalarni, jumladan, xizmat ko’rsatish tarmoqlarini optiomal rejalashtirish, xizmat ko’rsatish qurilmalarining samarali ishlashini ta’minlash, vaqt yo’qotish bilan bog’liq muammolarni hal qilish kabi vazifalarni ko’ndalang qilib qo’ydi. Dastlab ushbu muammolar asosan telifon stansiyasi abonentlariga xizmat ko’rsatish, savdo shahobchalaridagi sotiladigan tovarlar zahirasining optimal hajmini belgilash, ma’lum hududdagi savdo shahobchalari va ulardagi sotuvchilarning ratsional miqdorini aniqlash masalasiga tegishli edi. Ommaviy xizmat ko’rsatish tarmoqlariga tegishli jarayonlarini tadqiq etishga doir dastlabki ishlar 1878-1929-yillarda yashab o’tgan daniyalik olim Kopengagen telifon kompaniyasining xodimi A.K.Erlangga tegishli bo’lib, u asosan telifon stansiyasiga keladigan abonentlar oqimi hamda stansiyaning yuksalishi bilan bog’liq masalalarni real hayotdan bir muncha uzoqroq bo’lgan shartlarda bo’lsa ham hal qildi. A.K.Erlang tomonidan masalani reallikka yaqinlashtirish bo’yicha bir muncha ishlar muvaffiqiyatli hal etildi. Ushbu ishlardan keyin ommaviy xizmat ko’rsatish tarmoqlarini tahlili bilan shug’ullanuvchi matematik, muhandis va iqtisodiyot, transport, harbiy ishlar, ishlab chiqarishni tashkil etishga doir ko’plab masalalarning matematik modellari 7 telifon stansiyasiga tegishli masalalar bilan mos tushadi. Har xil xizmat ko’rsatish tarmoqlarini modellashtirish bilan bir qatorda ushbu tarmoqlarga tegishli tasodifiy jarayonlarini tatqiq qilish metodlarini ishlab chiqarishga doir ko’plab ishlar amalga oshirildi. O’tgan asarning 30-yillarida va undan keyin sanoatda stanoklarni avtomatlashtiriishga o’tilganligi, yadro fizikasining rivojlanishi bilan mutaxasislar oldiga ehtiyojning o’zi yangidan yangi vazifalarni qo’ydi va bu boradagi ko’plab masalalar muvaffaqiyatli hal qilindi. Ommaviy xizmat ko’rsatish nazariyasiga tegishli ishlar dastlab A.Ya.Xinchin [21] keyinchalik L.Tkich [18], T.L.Saati [17], larning monografiya tipidagi kitoblarida umumlashtirildi. O’tkan asrning 70-yillarida D.Gross va Kleyrok I.N [15], G.B.Klimov [11], G.I.Ivchenko, B.A.Kashtanov, I.N.Kovalenko [10], 80-yillarda I.N.Kleynrok [15], N.Djeysoul [7], B.V.Gnedenko, E.A.Danielyan, V.I.Dimitrov, G.P.Klimov, V.F.Matveev [8], 90-yillarda B.V.Gnedenko va I.N.Kovalinko [6] tomonidan monografiya va darsliklar yozildi. Ushbu adabiyotlarda ommaviy xizmat ko’rsatish nazariyasi bo’yicha olingan natijalar umumiylashtirilib, ma’lum sistemaga solindi. Shu bilan birgalikda ommaviy xizmat ko’rsatish tarmoqlarini tadqiq qilish va asimtotik tahlil qilishga bag’ishlangan bir nechta kitoblar nashr etildi. Jumladan, A.A.Borovkov [3], L.Takach [18] ning kitobida ushbu muammolar yetarlicha chuqur tahlil etib berildi. 8 1.2-§. Ommaviy xizmat ko’rsatish tarmoqlarining matematik modellari va asosiy xarakteristikalari Odatda xizmat ko’rsatish jarayoni quyidagicha ifodalanadi: tarmoqqa kelib tushadigan har bir talabga xizmat ko’rsatish qurilmasi bo’sh bo’lsa, shu zahotiyoq xizmat ko’rsatiladi, agar band bo’lsa, u holda navbatda turadi va xizmat tugagandan keyin tarmoqdan chiqib ketadi. Xizmat ko’rsatish jarayonining matematik tahlili uchun quyidagi ma’lumotlar talab etiladi: a) Talablarning tarmoqqa kelib tushish qobiliyati. Talablarning kelib tushish momentlari t0,t1,t2,..,tn,… bo’lsin. U holda zk=tk−tk−1,k≥1 tasodifiy miqdorlar bo’ladi. Aksariyat hollarda z0,z1,z2,… zn,… lar o’zaro bog’liq bo’lmagan va bir xil A(x)= P(zn<x) taqsimot funksiyasiga ega bo’lgan tasodifiy miqdorlar hisoblanadi. A ( x ) talablarning kelib tushish momentlari orasidagi vaqt uzunliklarining taqsimoti deyiladi. Ko’pchilik hollarda A ( x ) funksiya λ parametrli ko’rsatkichli taqsimot, ya’ni A ( x ) = { 1 − e − λx , x > 0 , λ > 0 0 , x ≤ 0 deb faraz qilinadi. Bu holda (0,t) vaqt oralig’ida kelib tushgan talablar soni ξ ( t ) Puasson taqsimotiga ega bo’ladi. Ya’ni P(ξ(t)=n)= (λt)n n! e−λt,n≥0. Shu sababli bunday hollarda tarmoqqa kelib tushuvchi talablar λ parametrli Puasson oqimini tashkil etadi deyiladi. b) Talablarga xizmat ko’rsatish qonuniyati. S n , n ≥ 1 , orqali tarmoqqa kelib tushgan n-talabga xizmat ko’rsatish vaqti uzunligini belgilaymiz. 9 Aksariyat hollarda S1,S2,… ,Sn,… lar o’zaro bog’liq bo’lmagan va bir xil B ( x ) = p ( S n < x ) , n ≥ 1. taqsimot funksiyasiga ega bo’lgan tasodifiy miqdorlar hisoblanadi. B ( x ) xizmat ko’rsatish vaqti uzunliklari taqsimoti deyiladi. Xususiy holda B ( x ) taqsimot B(x)={ 1−e−µx,x>0,µ>0 0,x<0 ko’rinishga ega bo’ladi va µ parametrli ko’rsatkichli taqsimot deyiladi. c) Xizmat ko’rsatish qurilmalari soni. Xizmat ko’rsatish tarmoqlarida bitta yoki undan ko’p xizmat ko’rsatish qurilmalari mavjud bo’lishi mumkin. Bitta qurilmaga ega bo’lgan tarmoqlar birkanalli va bittadan ortiq qurilmaga ega tarmoqlar ko’p kanalli xizmat ko’rsatish tarmog’i deyiladi. d) Xizmat ko’rsatish tartibi. Xizmat ko’rsatish tartibi deganda talablarga xizmat ko’rsatish uchun belgilangan qoidalar tushuniladi. Eng ko’p uchraydigan xizmat ko’rsatish tartiblari quyidagilar hisoblanadi: “Birinchi bo’lib keldi, birinchi bo’lib xizmat ko’rsatildi”, ya’ni talablarga ularning kelish tartibi bo’yicha xizmat ko’rsatish; “Oxirida keldi, birinchi bo’lib xizmat ko’rsatildi” , ya’ni talablarga ularning kelishiga teskari tartibda xizmat ko’rsatish. Ushbu tartib “inversion tartib “ deb ham aytiladi. “Guruhli xizmat ko’rsatish”. Ushbu holda alohida bitta talabga emas, ma’lum chekli guruh (xususiy holda boshqa talablar bo’lmaganda bitta talabga) xizmat ko’rsatiladi; “Imtiyozli xizmat ko’rsatish”. Ushbu holda tarmoqqa kelib tushuvchi talablar xizmatning zaruriyat darajasiga qarab turlarga ajratiladi va har bir tur ba’zi 10 turlarga nisbatan yuqori imtiyozga ega bo’ladi, ya’ni imtiyozi yuqori bo’lgan talabga imtiyozi past bo’lgan talablardan oldin xizmat ko’rsatiladi. Aytaylik, talablar imtiyoziga qarab r ta turga ajratilgan va birinchi tur eng yuqori imtiyozga, ikkinchi tur undan keying imtiyozga va h.k. ga ega bo’lsin, ya’ni agar i< j bo’lsa, i - turdagi talabga j -turdagi talabdan oldin xizmat ko’rsatilsin. Bu holda imtiyozli xizmat ko’rsatishning quyidagi variantlari amaliyotda ko’p uchraydi. 1) Mutloq imtiyoz: Ushbu holda i < j bo’lsa, j -turdagi talabga xizmat ko’rsatilayotganda tarmoqqa i -turdagi talab kelib tushsa, j -turdagi talabning xizmati uzib qo’yiladi va i -turdagi talabga xizmat ko’rsatish boshlanadi. 2) Nisbiy imtiyoz: i < j holda qurilmadagi j -tur talabning xizmati oxirigacha davom etadi va xizmat tugagandan keyin qurilmaga i -tur talab qabul qilinadi. 3) Aralash imtiyoz: i< j holda j -turdagi talabga xizmat ko’rsatish vaqtiga bog’liq holda 1) va 2) variantlardan biri tanlanadi. Mutloq imtiyozli xizmat ko’rsatish tarmog’i ham o’z navbatida quyidagi tiplarga ajraladi. 1) Oxirigacha xizmat ko’rsatadigan mutloq imtiyoz: xizmati uzib qo’yilgan talabga xizmat yuqori imtiyozli talablar qolmagandan keyin uzib qo’yilgan joyidan davom ettiradi; 2) Xizmat takrorlanadigan mutloq imtiyoz: xizmat uzib quyiladigan talabga dastlabki tartib xizmat ko’rsatiladi, ya’ni xizmat uzilguncha ko’rsatilgan xizmat vaqti takrorlanadi; 11 3) Boshqatdan xizmat ko’rsatiladigan mutloq imtiyoz: xizmat tiklangandan keyin xizmat uzilgan momentgacha ko’rsatilgan xizmat vaqti etiborga olinmaydi va boshqatdan boshlanadi. Xizmat ko’rsatish tarmoqlarini matematik modeli qisqacha A∨ B∨ n∨ N ko’rinishida belgilnadi. Bu yerda A−¿ talablarning kelib tushish qonuniyati, B – talablarga xizmat ko’rsatish qonuniyati, n−¿ xizmat ko’rsatish qurilmalari soni, N − ¿ kutish toylari soni yoki kutish vaqtiga qo’yilgan chegara. Agar N = ∞ bo’lsa, u tushurilib qoldiriladi va tarmoq A∨ B∨ n ko’rininshda belgilanadi. Agar talablarning kelish va ularga xizmat ko’rsatish qonuniyati ko’rsatkichli taqsimot bo’lsa, M harfi va agar ixtiyoriy taqsimot bo’lsa G harfi ishlatiladi. Masalan, M ∨ M ∨ 1 , M ∨ G ∨ 1 ∨ N , G∨ M ∨n va h.k. Imtiyozli xizmat ko’rsatish tarmoqlari uchun quyidagi belgilashlar ishlatiladi: ⃗Ar|⃗Br|n|N1,N2,… ,N r,⃗Ar|⃗Br|n|N ,… , bu yerda r−¿ talablar turlarining soni, N 1 , N 2 , … , N r lar mos holda tegishli turdagi talablar uchun belgilangan kutish joylari soni, agar turlar uchun alohida kutish joylar soni belgilangan bo’lsa, N 1 , N 2 , … , N r lar o’rniga o’sha joylar soni N yoziladi. “ → ” belgi kelib tushish va xizmat ko’rsatish qonuniyati har tur uchun har xilligini bildiradi. “ → ” tushurib qoldirilsa, ushbu qonuniyat barcha tur uchun bir xil ekanligini anglatadi. Masalan, ⃗ M 2 ∨ ⃗ M 2 | 1| ∞ , ∞ model ikki turdagi talablar har xil parametrli Pusasson oqimini tashkil etishi va ularga bir xil parametrli ko’rsatichli taqsimot bo’yicha xizmat ko’rsatilishini bildiradi. Ba’zan xizmat ko’rsatish tartibini belgilaydigan qo’shimcha belgilash ham kiritiladi va kutish joylari sonidan keyin qo’yiladi. Masalan, ⃗M 2∨⃗M 2|n|N1,N2,∨ fij, bu yerda i = 0,1,2 va j = 0,1 qiymatlarni qabul qiladi. i = 0 imtiyozsiz xizmatni, i = 1 nisbiy imtiyozni i=2 mutloq imtiyozni bildiradi. Yuqoridagi indeks barcha turlar umumiy kutish 12 joylariga ega bo’lganda ishlatiladi va yuqoridagi indeks barcha turlar umumiy kutish joylariga ega bo’lganda ishlatiladi va j = 0 barcha kutish joylari band holda yangi kelgan talab imtyozidan qat’iy nazar qabul qilinmasligini va j=1 barcha joylar band holda yuqori imtiyozli talab kelib tushsa, navbatda turgan eng quyi imtiyozli talablardan biri o’z joyini bo’shatib berishi va tarmoqdan chiqib ketishini bildiradi. Ommaviy xizmat ko’rsatish tarmoqlarining asosiy xarakteristikalari. Xizmat ko’rsatish tarmoqlarini rejalashtirish va xizmat ko’rsatish samaradorligini ta’minlash hamda vaqt yo’qotish bilan bog’liq muammolarni hal etish nuqtai nazaridan quyidagi xarakteristikalarini tahlil qilish muhim hisoblanadi: a) Navbat uzunligi. Tarmoqning t momentdagi navbat uzunligi shu momentda xizmat qilinayotgan va navbatda turgan talablar soni bilan aniqlanadi. Navbat uzunligini o’rganish tarmoqni rejalashtirish va umuman nazariy nuqtai nazardan muhim hisoblanadi; b) Kutish vaqti (ba’zi hollarda tarmoqda bo’lish vaqti). t momentda tarmoqqa kelib tushgan talablarning kutish vaqti t momentdan tarmoqda navbatda turgan va xizmat ko’rsatilayotgan talablarga to’liq xizmat ko’rsatilgancha bo’lgan vaqt uzunligi bilan aniqlanadi. t momentdagi kutish vaqti odatda virtual kutish vaqti deb ham ataladi. Ushbu xarakteristikani o’rganish vaqt yo’qotish bilan bo’g’liq muammolarni hal etish uchun zarur hisoblanadi; c) Bandlik davri. Tarmoqda birorta ham talab bo’lmagan vaqt oralig’i tarmoqning band bo’lmagan davri deyiladi. Bandlik davri esa tarmoqning uzluksiz xizmat bilan band bo’lgan (band bo’lmagan davrga o’tmagan) vaqt uzunligi bilan aniqlanadi. Aytish mumkinki, xizmat jarayoni ketma-ket keladigan bandlik va band bo’lmagan davrlardan iborat bo’ladi. Bandlik davrini tahlil qilish xizmat ko’rsatish samaradorligini ta’minlash nuqtai nazardan muhim hisoblanadi. 13 II-BOB. OMMAVIY XIZMAT KO’RSATISH TARMOQLARINING AYRIM MODELLARI XARAKTERISTIKALARINING TAQSIMOTI. 2.1-§. Kutishli xizmat ko’rsatish tarmoqlari bandlik davrlari taqsimoti 14 Bitta xizmat ko’rsatish uskunasidan iborat xizmat ko’rsatish sistemasiga A ( t ) taqsimot funksiyasi orqali aniqlanadigan rekkurent chaqiruvlar oqimi kelayotgan bo’lsin. Bu chaqiriqlarga bir xil B(t) taqsimot funksiya bo’yicha xizmat ko’rsatilsin. Agar chaqiruv sodir bo’lganda uskuna boshqa chaqiriqqa xizmat ko’rsatayotgan bo’lsa, u navbatga qo’yiladi va xizmat boshlanishini kutib turadi. Qurilma uzluksiz xizmat ko’rsatayotgan vaqt oralig’ini uning bandlik davri deb ataymiz. Bandlik davri taqsimot funksiyasi П ( t ) orqali belgilaymiz. 2.2.1-teorema. Agar A ( t) = 1 − e − at bo’lsa, u holda π(s)= β(s+α− απ (s)) (2.1.1) tenglik o’rinli bo’lib, bu funksional tenglama yarim tekislikda analitik, ¿ π ( s) ∨ ¿ 1 shartni qanoatlantiruvchi va π(s)=∫0 ∞ e−stdП (t), ( П ( t) − kamaymovchi funksiya ) ko’rinishda ifodalovchi yagona π ( s) funksiyani aniqlaydi. Bu yerda П ( + ∞ ) = { 1 , agar α β 1 ≤ 1 , ρ , agar α β 1 > 1 ; (2.1.2) ρ(αβ1>1) bo’lganda ρ = ( β − αρ ) tenglikning ( 0,1 ) ga qarashli yagona ildizi. Bundan tashqari π 1 = ∫ 0∞ td П ( t) = { β 1 1 − α β 1 , agar α β 1 < 1 ; + ∞ , agar α β 1 ≥ 1 ; (2.1.3) 2.2.2-teorema. Agar B(t)=1− e−bt,b>0 bo’lsa, u holda 15 π( s) = b [ 1 − γ ( s) ] s + b [ 1 − γ ( s) ] γ ( s) = α ( s + b − bγ ( s)) , (2.1.4) tengliklar o’rinli bo’lib, bu tengliklar Res >0 yarim tekislikda ¿ γ ( s) ∨ ¿ 1 va ¿ π ( s) ∨ ¿ 1 shartlarni qanoatlantiruvchi π(s)=∫0 ∞ e−stdП (t), ( П ( t) − kamaymovchi funksiya ) ko’rinishda ifodalanuvchi yagona π ( s) , γ ( s ) analitik juftlikni aniqlaydi. Bunda П ( + 0 ) = 0 (2.1.5) П (+∞)= min (1,a1b). Bundan tashqari π 1 = { b − 1 1 − σ , agar a 1 b > 1 + ∞ , agar a 1 b ≤ 1 bu yerda σ ¿ bo’lganda) σ = a ( b − aσ ) tenglamaning (0,1 ) ga tegishli yagona ildizi. Izoh. П ( + ∞ ) < 1 bo’lgan hol shuni anglatadiki, bandlik davri cheksiz qiymatni qabul qilishi mumkin (ya’ni sistema hech qachon bandlikdan xalos bo’lolmaydi) va uning ehtimoli 1 − П ( + ∞ ) > 0 ga teng. 2.1.1-teorema ni isbotlashdan oldin quyidagi keltiriladigan mulohazalar yordamida isbotlanadigan 16 П (t)=∑n≥0∫0 t(au )n n! e−auП n(t− u)dB (u), (2.1.6) П n ( t) = ¿ formulaning o’rinli ekanligiga e’tiborimiz qaratamiz. Faraz qilaylik, xizmat ko’rsatish tarmog’i inversiyali bo’lsin, ya’ni chaqiriqlarni xizmatga qabul qilish tartibiga bog’liq bo’lmasin. Bu xizmat ko’rsatilishi kutilayotgan chaqiruvlardan oxirgisini qabul etilishini anglatadi. Ko’rinib turibdiki, xizmat ko’rsatishning bunday tartibi sistemaning bandlik davriga ta’sir ko’rsatmaydi. Bandlik davrining boshlanishida sistemada bitta chaqiruv mavjud bo’lsin. Faraz qilaylik, unga xizmat ko’rsatish vaqti u ( ≤ t ) bo’lsin. Bu vaqt oralig’ida sistemaga ( au ) n n ! e − au ehtimol bilan n ta chaqiruv kelishi mumkin. Sistemaning qolgan bandlik vaqti n ta bandlik davrlarining yig’indisiga teng bo’ladi.(va u t − u da oshmasligi kerak) . Laplas-Stiltes almashtirishlaridan (2.1.6) formula quyidagi ko’rinishda bo’ladi: π(s)= s∫0 ∞ e−stdt ∫0 t ∑n≥0 (au )n n! e−auП n(t−u)dB (u)=¿ ¿s∫0 ∞ dB (u)∫u ∞ ∑n≥0 (au )n n! e−auП n(t−u)e−stdt =¿ ¿ s ∫ 0∞ ∑ n ≥ 0 ( au ) n n ! e − au e − su dB ( u ) ∫ 0∞ e − sv П n ( v) dv = ¿ ¿∫0 ∞ ∑n≥0 (au )n n! e−aue−su[π(s)]ndB (u)=∫0 ∞ e−(s+a−aπ(s))udB (u), Bundan esa (2.1.1) kelib chiqadi. 17 Faraz qilaylik, s kompleks son Res > 0 shartni qanoatlantirsin. z= β(s+a− az ) (2.1.7) tenglamani qaraymiz. (2.1.7) ning chap va o’ng tomonlari ¿z∨≤1 doirani o’zida saqlovchi sohada (masalan, ℜ ( s + a − az ) > 0 , ya’ni Rez <1+a−1 sohada) z bo’yicha analitik bo’ladi. B undan tashqari |z|=1 bo’lganda ℜ ( s + a − az ) = Res + a ( 1 − Rez ) > 0 . Shuning uchun | β ( s + a − az )| ≤ β ( ℜ ( s + a − az )) < 1 = | z| , bu yerdan Rushe teoremasiga ko’ra, z va z− β(s+a− az ) funksiyalar ¿z∨≤1 doirada bir xil sondagi nollarga ega bo’ladi. Shunday qilib, (2.1.7) tenglama, Res > 0 ni qanoatlantiruvchi har bir s uchun ¿ π ( s) ∨ ≤ 1 shartni qanoatlantiruvchi yagona z = π ( s) funksiyani aniqlaydi. Oshkormas funksiya haqidagi teorema yordamida tekshirish mumkinki, π ( s) funksiya Res >0 yarim tekislikda analitik funksiya bo’ladi. Boxner-Xinchin teoremasi yordamida π ( s) funksiyani biror monoton kamaymovchi П ( t) funksiyaning Laplas-Stiltes almashtirishi yordamida tasvirlash mumkinligini isbotlash mumkin. lim t → 0 П ( t) limit mavjud bo’lgani uchun П ( + 0 ) = π ( + ∞ ) yoki (2.1.1) ga ko’ra ¿ π ( s) ∨ ≤ 1 , β ( + ∞ ) = β ( 0 ) bo’lgani uchun П ( + 0 ) = β ( 0) 18 tengliklarni hosil qilamiz. Xuddi shunday, chekli yoki cheksizlimt→0П (t)= П (+∞) limit mavjud bo’lgani uchun П ( + ∞ ) = π ( + 0 ) (2.1.8) tenglik bajarilishini ko’rsatish mumkin. Bu yerda π ( + 0 ) = β ( α − απ ( + 0 )) (2.1.9) bo’lib, Res >0 yarim tekislikda 0 ≤ π ( + 0 ) ≤ П ( + ∞ ) = π ( + 0 ) va ¿ π ( s) ∨ ≤ 1 bo’lgani uchun π ( s) − 0 ≤ π ( + 0 ) ≤ 1 shartni qanoatlantiruvchi haqiqiy son bo’ladi. Endi αβ1<1 bo’lganda x = β ( α − αx ) (2.1.10) tenglama [0,1 ] da yagona x 1 = 1 yechimga, αβ1>1 bo’lganda esa x 0 = ρ , x 1 = 1 , ( 0 < ρ < 1 ) yechimgs ega ekanligini ko’rsatamiz. (2.1.10) ning chap va o’ng tomonlarini grafik ravishda tasvirlaymiz. β(α−αx ) funksiya grafigining qavariqligi pastga yo’nalganligi uchun (0,1) da nolning mavjudligi masalasi β ( α − αx ) funksiyaning x=1−0 nuqtadagi holatini tekshirishga keltiriladi. Uning bu nuqtadagi hosilasi α β 1 ga teng. Agar α β 1 > 1 bo’lsa u holda (2.1.10) ning ( 0,1 ) ga tegishli yagona ildizi mavjud; agar αβ1≤1 bo’lsa, u holda (2.1.10) tenglama ( 0,1 ) da yechimga ega emas. Shuni qayd etish kerakki, kompleks tekislikning ¿x∨ ≤1 yopiq doirasida 19 tenglama topilgan ildizlar bilan bir xil bo’lgan faqat haqiqiy ildizlarga ega bo’lar ekan. Shunday qilib, αβ1≤1 bo’lganda π ( + 0 ) = 1. αβ1>1 bo’lganda π ( + 0 ) uchun ikkita hol bo’lishi mumkin: π ( + 0 ) = 1 va π ( + 0 ) = ρ < 1 . Aslida esa π(+0)= ρ bo’ladi. Bu tasdiq ixtiyoriy ε>0 uchun π ( ε) ildiz π ( ε) = β ( ε + α − απ ( ε) ) tenglamaning π ( ε) < 1 shartni qanoatlantiruvchi yagona ildiz ekanligidan bevosita kelib chiqadi. Teorema isbotini yakunlash uchun π 1 = ∫ 0∞ td П ( t) = ¿ π ' ( + 0 ) ¿ tenglikni e’tiborga olish yetarli. 2.1.2-teoremaning isboti. Qandaydir chaqiriqning kelishi bilan xizmat boshlanadigan sistemaga ushbu xizmat davomida k ta ( k ≥ 0 ) chaqiriqlar kelgan holda sistemaning ushbu chaqiriqlardan ozod bo’lish vaqtigach bo’lgan vaqt oralig’ining uzunligini Ϛ k deb belgilaymiz. Xizmat qilish vaqtining davomiyligi eksponensial taqsimotga ega ekanligi munosabati bilan Ϛk , k≥1 bo’lgan holda, ungacha qancha vaqt xizmat ko’rsatilganidan bog’liq emas. Ma’lumki, Ϛ 0 sistemaning bandlik davridir. Shartli ravishda П k ( t) = P { Ϛ k ≤ t } , П k ( t) = 1 − П k ( t) , k ≥ 0 . П k(t)=[1− A(t)][e−bt+bt 1!e−bt+… +(bt )k k! e−bt ]+¿ + ∫ 0 t [ e − bu П k − 1 ( t − u ) + bu 1 ! e − bu П k ( t − u ) + … + ( bu ) k k ! e − bu П 1 ( t − u )] dA ( u ) , k ≥ 0 ( 2.1 .11 ) 20 tengliklar quyidagi mulohazalar asosida olinishi mumkin. Bandlik davri Ϛk>t bo’lishi uchun quyidagi hollardan birining bajarilishi zarur va yetarli bo’ladi: 1) t vaqt davomida chaqiriqlar tushmaydi hamda bu vaqt oralig’ida k dan ko’p bo’lmagan chaqiriqlarga xizmat ko’rsatiladi; 2) birinchi chaqiriq u≤t vaqtda kelib tushadi va asbob i ta chaqiriqlarga i = ( 0,1,2 , … , k ) xizmat qiladi. Shundan so’ng ( k + 1 − i ) -chaqiriqning xizmati bilan boshlanayotgan bandlik davri ( t − u ) dan katta bo’lmaydi. Faraz qilaylik, { R(z,t)=∑k≥0 zk⃗П k(t); R(z,t)=∑k≥0 zkП k(t)=(1− z)−1− R(z,t) r(z,s)=∫0 ∞ e−stdtR(z,t); r(z,s)=∫0 ∞ e−stdtR(z,t)=(1− z)−1− r(z,t); (2.1 .12 ) (2.1.11) ning chap va o’ng qismlarini zk+1 ga ko’paytirib , k bo’yicha 0 dan +∞ gacha yig’ib chiqib, quyidagini olamiz. z R ( z , t ) = [ 1 − A ( t)] z 1 − z e − bt ( 1 − z ) + ¿ +∫0 ∞ e−bt(1−z)[R(z,t− u)¿− R(0,t−u)dA (u)],¿ bundan Laplas-Stiltes almashtirishiga o’tsak, 21 z r( z , s ) = z 1 − z s s + b − bz [ 1 − α ( s + b − bz )] + ¿ + α ( s + b − bz )[ r( z , s ) − r ( 0 , s )] , r ( z , s )[ z − α ( s + b − bz )] = ¿ ¿ z 1 − z s s + b − bz [ 1 − α ( s + b − bz )] − ¿ −α(s+b− bz )⃗r(0,s).(2.1 .13 ) tenglik hosil bo’ladi. 2.1.1-teorema ning isboti kabi, funksional tenglamani quyidagi ko’rinishda izlaymiz: γ ( s) = α ( s + b − bγ ( s)) . Bu tenglamaning yagona yechimi quyidagicha bo’ladi: γ(s)=∫0 ∞ e−stdC (t), bu yerda C ( t) − ¿ kamaymaydigan funksiya bo’lib, bunda C ( + 0 ) = γ ( + ∞ ) = A ( 0 ) ; C (+∞)= γ(+0)={ 1,agar a1b>1 σ,agar a1b≤1 bu yerda σ ( a 1 b > 1 bo’lganda) σ = α ( b − bσ ) tenglamaning (0,1 ) oraliqda yotuvchi yagona ildizidir. z = γ ( s) da (2.1.13) munosabatdan r ( 0 , s ) = s s + b − bγ ( s) ( 2.1 .14 ) va bundan 22 π( s) = r ( 0 , s ) = 1 − r ( 0 , s ) = b [ 1 − γ ( s) ] s + b [ 1 − γ ( s) ] tenglikka ega bo’lamiz. Bu yerda π(s)=∫0 ∞ e−stdП (t), П ( t ) − ¿ kamaymovchi funksiyaligidan quyidagi tenglik kelib chiqadi: π(s)= b s[1− γ(s)] 1+b s[1−γ(s)] , b s[1−γ(s)] funksiya b∫0 t [1− C(u)]du . funksiyaning Laplas- Stiltes almashtirishidir. 2.1.2-teorema ning qolgan tasdig’i odatdagicha tekshiriladi. Haqiqatan ham, biz bir muncha katta qiymat oldik, ya’ni r ( z , s ) = [ z − α ( s + b − bz )] − 1 × × { z 1 − α ( s + b − bz ) 1 − z s s + b − bz − α ( s + b − bz ) s s + b − bγ ( s)} .( 2.1 .15 ) Bir nechta misollar ko’rib chiqamiz. ∫0 ∞ tdB (t)<∫0 ∞ tdA (t)<+∞ 23 deb faraz qilaylik. 1-misol. A( t) = 1 − e αt , α>0. bandlik davrining birinchi va ikkinchi tartibli momentlari π 1 = β 1 1 − α β 1 , π2= β2 (1−αβ1)3 bo’ladi. 2-misol. A ( t) = 1 − e αt , B ( t) = 1 − e bt . (1.2.1) dan π(s)= b s+b+a− aπ (s), ni olamiz, bundan π ( s) = s + b + a − √ ( s + b + a ) 2 − 4 ab 2 a “ − ¿ ”ishorani olamiz, chunki ¿ π ( s) ∨ ≤ 1 ¿ . Bandlik davrining darslabki to’rtta momentlari π 1 = ( b − a ) − 1 , 24 π 2 = 2 b( b − a ) − 3 , π 3 = 6 b ( a + b ) ( b − a ) − 5 π4= 24 b(a2+3ab +b2)(b−a)−7; va bandlik davri dispersiyasi π 2 − π 1 2 = ( a + b ) ( b − a ) − 3 bo'ladi. 25 2.2-§. ⃗ M 2 |⃗ M 2 | 1 ∨ ∞ , ∞ tarmoqning navbat uzunligi taqsimoti. Bir kanalli xizmat ko'rsatish tarmog'iga λ1 va λ 2 parametrli Puasson oqimini tashkil etuvchi imtiyozli va oddiy kelib tushayotgan bo'lsin. Ushbu talablarga mos ravishda μ 1 va μ 2 parametirli ko'rsatkichli taqsimot bo'yicha xizmat ko rsatilsin. ʻ Birinchi tipdagi talablar oddiy talablarga nisbatan absalyut imtiyozga ega bo'lsin, deb faraz qilaylik, ya'ni oddiy talabga xizmat ko'rsatilayotgan paytda tarmoqqa imtiyozli talab kelib tushsa, oddiy talabning xizmati uzib qo'yiladi. Tarmoq imtiyozli talabdan bo'shagan momentda oddiy talabning xizmati uzib qo'yilgan joydan tiklanadi. Bunday xizmat ko`rsatish tarmoqda odatda ⃗M 2|⃗M 2|1∨∞ , ∞ orqali ifodalanadi. Aytaylik ξ1(t) va ξ2 (t) lar mos holda t momentda tarmoqda mavjud bo lgan ʻ imtiyozli va oddiy talablar soni bo'lsin. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz. Pij(t)= P(ξ1(t)= i,ξ1(t)= j) , i≥0,j≥0 ρ 1 = λ 1 μ 1 -1 , ρ2 = λ 2 μ 2 -1 . P ij lim n → ∞ P ij ( t ) = P ( ξ 1 ( t ) y j = i , ξ 1 ( t ) = j ) . (2.2.1) φ ( x , y ) = ∑ i = 0∞ ∑ j = 0∞ x i P ij , | x| ≤ 1 , | x| ≤ 1. (2.2.1) munosabat ρ 1 + ρ2 < 1 shartda o'rinli bo'lishini ko rsatish qiyin emas. ʻ Qaralayotgan ishda φ ( x , y ) funksiyaning aniq ko'rinishi topiladi. Ushbu funksiya yordamida P ij taqsimotning assimptotik holatlarini tahlil qilish mumkin. 26 2.2.1- Teorema. Quyidagi munosabat o'rinli; φ ( x , y ) = μ 1 ( 1 − 1 y ) P 00 +[ μ 1 ( 1 − 1 x ) − μ 2 ( 1 − 1 y ) ] φ ( y ) λ 1 ( 1 − x ) + λ 2 ( 1 − y ) + μ 1 ( 1 − 1 x ) P00 =1- ρ1− ρ2 φ(y) = μ2(1− ρ1− ρ2)(1− 1 y) μ2(1− 1 y)− μ1(1− 1 x) x1,2 = λ1+μ1+λ2(1− y)±√(λ1+μ1+λ2(1− y))2−4λ1μ1 2λ1 Izoh: Teoremada keltrilgan munosabat kutishli tarmoqlar uchun ishlarda keltrilgan N= ∞ da ⃗ M 2 |⃗ M 2 | 1 ∨ ∞ , ∞ tarmoq uchun olingan natijalar kelib chiqadi. Isbot: Markov jarayonlari o’rganishda qo’llaniladigan standart usullar yordamida P ij ( t ) uchun quyidagi differensial tenglamalar sistemasini hosil qilish mumkin. 27 { P'i0(t)=−(λ1+λ2)P00(t)+μ1P10(t)+μ2P01(t), P'i0(t)=−(λ1+λ2+μ1)Pi0(t)+λ1Pi−10(t)+μ1Pi+10(t),i>1,(2.2 .2) P'0j(t)=−(λ1+λ2+μ2)P0j(t)+λ2P0j−1(t)+μ2P0j+1(t)+μ1P1j(t),j>1, P'ij(t)=−(λ1+λ2+μ2)Pij(t)+λ1Pi−1j(t)+μ1Pi+1j(t)+λ2Pij−1(t),j>0,i>0.Bu yerda t → ∞ da limitga o’tib, (2.2.2) munosabatga ko’ra ushbu rekkurent tenglamalar sistemasini hosil qilamiz: { − ( λ 1 + λ 2 ) P 00 + μ 1 P 10 + μ 2 P 01 = 0 , − ( λ 1 + λ 2 + μ 1 ) P i 0 + λ 1 P i − 10 + μ 1 P i + 10 = 0 , i > 1 , − ( λ 1 + λ 2 + μ 2 ) P 0 j + λ 2 P 0 j − 1 + μ 2 P 0 j + 1 + μ 1 P 1 j , j > 1 , − ( λ 1 + λ 2 + μ 2 ) P ij + λ 1 P i − 1 j + μ 1 P i + 1 j + λ 2 P ij − 1 , j > 0 , i > 0. Ushbu sistemadan hosila funksiyaga o’tamiz. Buning uchun sistemadagi ikkinchi tenglikni x i ga, uchunchi tenglikni y i ga va oxirgi tenglikni xiyj ga ko’tarib iva j larning barcha mumkin bo’lgan qiymatlari bo’yicha yig’indilarni qaraymiz. −(λ1+λ2)P00+μ1P10+μ2P01−(λ1+λ2+μ1)∑i=1 ∞ xiPi0+¿ +λ1∑i=1 ∞ xiPi−10+μ1∑i=1 ∞ xiPi+10−(λ1+λ2+μ2)∑i=1 ∞ yjP0j+¿ +λ2∑j=1 ∞ yjP0j−1+μ2∑j=1 ∞ yjP0j+1+μ1∑j=1 ∞ yjP1j−¿ − ( λ 1 + λ 2 + μ 1 ) ∑ i = 1∞ ∑ j = 1∞ x i y j P ij + λ 1 ∑ i = 1∞ ∑ j = 1∞ x i y j P i − 1 j + ¿ + λ 2 ∑ i = 1∞ ∑ j = 1∞ x i y j P ij − 1 + μ 1 ∑ i = 1∞ ∑ j = 1∞ x i y j P i + 1 j = 0. (2.2.3) 28 Quyidagi belgilashni kritamiz: φ ( y ) ¿ ∑ j = 0∞ y j P 0 j (2.2.3) tenglikning chap tomonini soddalashtiramiz: −(λ1+λ2+μ1)(φ(x,y)− φ(y))+λ1xφ (x,y)+¿ + λ 2 yφ ( x , y ) + μ 1 x ( φ ( x , y ) − φ ( y ) ) − ( λ 1 + λ 2 + μ 1 ) φ ( y ) + ¿ + ( λ 1 + λ 2 + μ 1 ) P 00 + μ 2 x ¿ Ushbu tenglikdan φ ( x , y ) ni topamiz: φ ( x , y ) = [ μ 2 ( 1 − 1 y ) − μ 1 ( 1 − 1 x ) ] φ ( y ) − μ 2 ( 1 − 1 y ) P 00 λ 1 ( 1 − x ) + λ 2 ( y − 1 ) + μ 1 ( 1 x − 1 ) (2.2.4) Ma’lumki, φ ( 1 , 1 ) = 1. ( 2.2 .4 ) tenglikdan x → 1 va y → 1 da limetga o’tib, quyidagi teglikka ega bo’lamiz: limy→1limx→1φ(x,y)=limy→1¿ μ2(1− 1 y)φ(y)− μ2(1− 1 y)P00 yλ2(1− 1 y) =¿¿ 29 ¿ lim y → 1 φ ( y ) − P 00 ρ 2 y = φ ( 1 ) − P 00 ρ 2 = 1 (2.2.5) bu yerda φ ( 1 ) = ∑ i = 1∞ P 0 j 30 III-BOB. IMTIYOZLI SISTEMA NAVBAT UZUNLIGI VA BANDLIK DAVRLARI TAQSIMOTI 3.1-§. ⃗M 2|⃗M 2|1∨ N ,∞ sistemaning navbat uzunligi taqsimoti Bir kanalli xizmat ko rsatish tarmog'iga ʻ λ 1 va λ 2 parametirli Puasson oqimini tashkil etuvchi imtiyozli va oddiy talablar kelib tushayotgan bo'lsin. Talablarga mos ravishda μ 1 va μ2 parametirli ko'rsatkichli taqsimot boyicha xizmat ko rsatilsin. ʻ Birinchi tipdagi talablar oddiy talablarga nisbatan mutloq imtiyozga ega bo'lsin, deb faraz qilaylik, ya'ni oddiy talabga xizmat ko'rsatilayotgan paytda tarmoqga imtiyozli talab kelib tushsa, oddiy talabning xizmati uzib qo'yiladi. Tarmoq imtiyozli talabdan bo shagan momentda oddiy talabning xizmati uzib qo'yilgan ʻ joydan tiklanadi. Tarmoqda imtiyozli talablarning kutish joylari N bilan cheklangan bo'lsin, ya'ni tarmoqda N + 1 ta talab mavjud bo'lgan paytda kelgan imtiyozli talab qabul qilinmasin. Xizmat tarmoqlarining ushbu modeli odatda, ⃗ M 2 |⃗ M 2 | 1 ∨ N , ∞ , orqali belgilanadi. ξ1(t) va ξ2(t) lar mos holda t momentda tarmoqda mavjud bo’lgan imtiyozli va oddiy talablar soni bo'lsin. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz. Pij(t)= P(ξ1(t)= i,ξ2(t)= j) , 0≤ i≤N +1 , j≥0 , ρ 1 = λ 1 μ 1 − 1 , ρ 2 = λ 2 μ 2 − 1 . P ij = lim t → ∞ P ij ( t ) = P ( ξ 1 ( t ) = i , ξ 2 ( t ) = j ) , 0 ≤ i ≤ N + 1 , j≥0 , (3.1.1) φ ( x , y ) = ∑ i = 0N ∑ j = 0∞ x i y i P ij , |x|≤1 , |y|≤ 1, 31 φ 2 ( y ) ¿ ∑ j = 0N y j P 0 j , |y|≤ 1, φ N + 1 ( y ) ¿ ∑ j = 1N y j P N + 1 j , |y|≤ 1. ρ 1 + ρ 2 < 1 shartda (3.1.1) o’rinli bo’lishini ko’rsatish qiyin emas. Qaralayotgan ishda φ ( x , y ) funksiyaning aniq ko’rinishi topiladi. Ushbu funksiya yordamida Pij taqsimotining assimptotik holatlarini tahlil qilish mumkin. 3.1.1-teorema. Quyidagi munosabat o’rinli; φ ( x , y ) = μ 1 ( 1 − 1 y ) P 00 + [ μ 1 ( 1 − 1 x ) − μ 2 ( 1 − 1 y ) ] φ 2 ( y ) − [ λ 1 ( 1 − 1 x ) ] X N + 2 ψ N + 1 ( y ) λ 1 ( 1 − x ) + λ 2 ( 1 − y ) + μ 1 ( 1 − 1 x ) P00= 1− ρ1 1− ρ1N+2− ρ2 , φ2(y)= c(b2−b1) a1b2−a2b1 , ψN+1(y)= c(a1−a2) a1b2− a2b1 , bi= λ1(1− 1 xi )xiN+2,i=1,2 , b i = μ 1 ( 1 − 1 x 1 ) − μ 2 ( 1 − 1 y ) , i = 1,2 , 32 c = − μ 2 ( 1 − 1 y ) P 00 , x 1,2 =λ1+μ1+λ2(1− y)±√(λ1+μ1+λ2(1− y))2−4λ1μ1 2λ1 Izoh: Teoremada keltrilgan munosabat kutishli tarmoqlar uchun [2] va [4] ishlarda keltrilgan. N = ∞ da [3] ish ⃗ M 2 |⃗ M 2 | 1 ∨ ∞ , ∞ tarmoq uchun olingan natija kelib chiqadi. Isbot. Markof jarayonlarini o’rganishda qo’llaniladigan standart usullar yordamida Pij(t) uchun quyidagi defferensial tenglamalar sistemasini hosil qilish mumkin: { P'00(t)=−(λ1+λ2)P00(t)+μ1P10(t)+μ2P01(t), P'i0(t)=−(λ1+λ2+μ1)Pi0(t)+λ1Pi−10(t)+μ1Pi+10(t),0≤i≤N , P'0j(t)=−(λ1+λ2+μ2)P0j(t)+λ2P0j−1(t)+μ2P0j+1(t)+μ1P1j(t),j>0, P'ij(t)=−(λ1+λ2+μ1)Pij(t)+λ1Pi−1j(t)+μ1Pi+1j(t)+λ2Pij−1(t),0≤i≤N , P'N+10(t)=−(λ2+μ1)PN+10(t)+λ2PN0(t), P'N+1j(t)=−(λ2+μ1)PN+1j(t)+λ1PNj(t)+λ2PN+1j−1(t)j>0. Bu yerda t → ∞ da limitga o’tib, (2.3.1) munosabatga ko’ra ushbu rekurent tenglamalar sistemasini hosil qilamiz: { P'00=−(λ1+λ2)P00+μ1P10+μ2P01, P'i0(t)=−(λ1+λ2+μ1)Pi0+λ1Pi−10+μ1Pi+10 P'0j=−(λ1+λ2+μ2)P0j+λ2P0j−1+μ2P0j+1+μ1P1j,j>0, P'ij=−(λ1+λ2+μ1)Pij+λ1Pi−1j+μ1Pi+1j+λ2Pij−1,0≤i≤N ,j>0 P'N+10=−(λ2+μ1)PN+10+λ2PN0, P'N+1j=−(λ2+μ1)PN+1j+λ1PNj+λ2PN+1j−1,j>0. (3.1.2) 33 Ushbu sistemadan hosila funksiyaga o’tamiz. Buning uchun sistemadagi ikkinchi tenglikni xi ga, uchinchi tenglikni yj ga va to’rtinchi tenglikni xiyj ga beshinchi tenglikni XN+1 ga va oxirgi tenglikni XN+1yj ga ko’paytrib, i va j larning barcha mumkin bo’lganqiymatlari bo’yicha yig’indilarni qaraymiz: −(λ1+λ2)P00+μ1P10+μ2P01−(λ1+λ2+μ1)∑i=1 N xiPi0+¿ +λ1∑i=1 N xiPi−10+μ1∑i=1 N xiPi+10−(λ1+λ2+μ2)∑j=1 ∞ yjP0j+¿ +λ2∑j=1 ∞ yjP0j+μ2∑j=1 ∞ yjP0j+1+∑j=1 ∞ yjP1j− ¿ − ( λ 1 + λ 2 + μ 1 ) ∑ i = 1N ∑ j = 1∞ x i y j P ij + λ 1 ∑ i = 1N ∑ j = 1∞ x i y j P i − 1 j + ¿ + λ 2 ∑ i = 1N ∑ j = 1∞ x i y j P ij − 1 + μ 1 ∑ i = 1∞ ∑ j = 1∞ x i y j P i + 1 j − ¿ − ( λ 2 + μ 1 ) P N + 10 x N + 1 + λ 1 P N 0 x N + 1 − ( λ 2 + μ 1 ) ∑ j = 1∞ x N + 1 y j P N + 1 j + ¿ +λ1∑i=1 ∞ xN+1yjPNj+λ1∑j=1 ∞ xN+1yjPN+1j−1=0. (3.1.3) Quyidagi belgilashni kiritamiz: φ 2 ( y ) = ∑ j = 0N y j P 0 j , ψN+1(y)=∑i=1 N yjPN+1j . 34 (3.1.3) tenglikning chap tomonini soddalashtiramiz: − ( λ 1 + λ 2 + μ 1 − λ 1 x − μ 1 x − λ 2 y ) φ ( x , y ) − ( μ 1 − μ 1 x − μ 2 + μ 2 y ) φ 2 ( y ) − ( λ ¿ ¿ 1 x N + 1 + λ 1 x N + 2 ) ψ N + 1 ( y ) − ( μ 2 + μ 2 y ) P 00 = 0. ¿ Ushbu tenglikdan φ ( x , y ) ni topamiz: φ ( x , y ) =[ μ 1 ( 1 − 1 x ) − μ 2 ( 1 − 1 y ) φ 2 ( y ) ] − λ 1 ( 1 − 1 x ) x N + 2 ψ N + 1 ( y ) + μ 2 ( 1 − 1 y ) P 00 λ 1 ( 1 − x ) + λ 2 ( y − 1 ) + μ 1 ( 1 − 1 x ) (3.1.4) Ma’lumki , φ ( 1,1 ) = 1 . (3.1.4) tenglikdan x→ 1 va y→ 1da limitga o’tib, quyidagi tenglikga ega bo’lamiz: lim y → 1 lim x → 1 φ ( x , y ) = lim y → 1 ¿ μ 2 ( 1 − 1 y ) P 00 − μ 2 ( 1 − 1 y ) φ 2 ( y ) − y λ 2 ( 1 − 1 y ) = ¿ ¿ ¿ lim y → 1 φ 2 ( y ) − P 00 ρ 2 y = φ 2 ( 1 ) − P 00 ρ 2 = 1 , (3.1.5) Bu yerda P 00 = φ 2 ( 1 ) − ρ 2 munosabatlarni olamiz. Ma’lumki, 35 φ 2 ( 1 ) = ∑ j = 0∞ P 0 j = P 0 = P (ξ1= 0 ) ¿ 1− ρ1 1− ρ1N+2 yoki P 00 = 1 − ρ 1 1 − ρ 1 N + 2 − ρ 2 . φ 2 ( y ) va ψ N + 1 ( y ) funksiyalarni aniqlash uchun φ ( x , y ) funksiyaning analitiklik xossasidan foydalanamiz. Analitiklik shartiga ko’ra (3.1.1) formulani o’ng tomonidagi ifodada x ning maxraj nolga aylanadigan qiymatlarida sur’at ham nolga aylanishi kerak. Maxrajini nolga tenglashtrib, hosil bo’lgan tenglamani x ga nisbatan yechimlarni topamiz: x1,2 = λ1+μ1+λ2(1− y)±√(λ1+μ1+λ2(1− y))2−4λ1μ1 2λ1 (3.1.1) formulada x ning x1 va x2 qiymatlarida ifodaning sur’ati ham nolga aylanadi. Agar (3.1.2) tenglikni ham etiborga olsak, u holda { [μ1(1− 1 x1 )− μ2(1− 1 y)]φ2(y)+λ1(1− 1 x1 )x1N+1ψN+1(y)+μ2(1− 1 y)P00=0, [μ1(1− 1 x2 )− μ2(1− 1 y)]φ2(y)+λ1(1− 1 x2 )x2N+1ψN+1(y)+μ2(1− 1 y)P00= 0. (3.1.6) sistemani yechib, 36 φ2(y) va ψN+1(y) funksiyalarni topamiz: φ2(y)= c(b2−b1) a1b2−a2b1 , ψ N + 1 ( y ) = c ( a 1 − a 2 ) a 1 b 2 − a 2 b 1 . 37 3.2-§ Mutloq imtiyozli | |1| |N1 , ∞ va ⃗M 2|⃗G2|1 / N1, N 2 xizmat ko’rsatish sestimalari navbat uzunliklari taqsimotlari o’rtasidagi o’zaro munosabatlar. Quyidagi shartlar bilan berilgan F( N1 )- ⃗M 2|⃗G2|1 / N1 , ∞ va F( N1, N 2 )- ⃗ M 2 |⃗ G 2 | 1 | N 1 , N 2 xizmat ko’rsatish sistemalari qaralayotgan bo’lsin: Sistemaga mos holda λ 1 va λ 2 parametrli Puasson talablar oqimini tashkil etuvchi shoshilinch va oddiy talablar kelib tushadi. Shoshilinch va oddiy talablarga xizmat ko’rsatish vaqti uzukliklari o’zaro bog’liq bo’lmagan va mos holda µ 1 va µ 2 parametrli ko’rsatkichli taqsimotga ega bo’lgan tasodifiy miqdorlarni tashkil etadi. Shoshilinch va oddiy talablarni kutish joylari soni mos holda N 1 ¿ ≥1) va N 2¿ ≥1) ga teng. Xizmar ko’rsatish tartibi: oxirigacha xizmat ko’rsatiladigan mutloq imtiyoz. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz: ζ N 1 K - F( N1, K ) , K≥1, sistemaning bandlik davri; ζ N 1 – sistemaning shoshilinch talablar bilan bandlik davri; ξ N 1 N 2 – va ξ N 1 - mos holda F( N1, N 2 ) va F( N1¿ sestimalarni navbat uzunliklari; ρi= λiµi−1 , i=1,2; ρ = ρ2 (1+ λ1M ξN1 ). Ushbu ishda ρ<1 da ξ N 1 N 2 va ξ N 1 tasodifiy miqdorlarning taqsimotlari o’rtasida bog’liqlik o’rnatiladi. 38 3.2.1-Teotema. ρ<1 da qo’yidagi munosabat o’rinli P( ξ N 1 N 2 = K )= ( 1 − ρ ) P ( ξ N 1 = K ) 1 − ρ + ρ 1 ( 1 − ρ + ρ 2 ) P ( ξ N 1 = N 2 ) , 0≤K≤ N 2 P( ξ N 1 N 2 = N 2 + 1 )= 1 − ρ + ρ 2 ( 1 − ρ + ρ 2 ) P ( ξ N 1 ≤ N 2 ) 1 − ρ + ( ρ 22 − ( 1 − ρ ) ( 1 − ρ 2 ) ) P ( ξ N 1 ≤ N 2 ) , Izoh. Teoremada kelrtilgan tenliklarga o’xshash munosabatlar M |G| 1 va M |G| 1| N sistemalar statsionar navbat uzunliklari taqsimotlari uchun [3] ishda o’rnatilgan edi. Teorema isboti. Qaralayotgan imtiyozli sestimalarni faqat oddiy talablarga xizmat ko’rsatayotgan va xizmat vaqti uzunligi xizmat ko’rsatish sikliga teng bo’lgan oddiy sistemaga keltrish mumkin. Xizmat ko’rsatish sikli deb, oddiy talabning qurulmaga kelib tushishi momentidan uning sistemadan chiqib ketishi momentigacha bo’lgan vaqt uzukligiga aytiladi. Ushbu belgilashlarni kiritaylik: C – oddiy talabga xizmat ko’rsatish sikli; C(s)=b(s+ λ 1 − λ 1 g N 1 ( s ) ); (3.2.1) 39 b(s)=∫0 ∞ e−sx dB(x) , B(x) – oddiy talabga xizmat ko’rsatish vaqti uzunligining taqsimoti, Res≥0; g N 1 ¿ )= ∫0 ∞ e−sx dP( ζ N 1 < x ) , Res≥0. (1) munosabat [ 1] ishda N1= ∞ uchun keltrib chiqarilgan tenglikning isbotiga o’xshash isbot qilinadi. Shu sababli uning isbotini keltrib o’tirmaymiz. (3.2.1) munosabatdan ushbu tenglikga ega bo’lamiz: MC = 1 µ 2 ( 1 + λ 1 M ζ N 1 ) . U holda xizmat davomiyligi xizmat ko’rsatish sikliga teng bo’lgan sistemaning yuklaninishi quydagiga teng bo’ladi: ρ = λ2MC ¿ρ2 (1+ λ1M ζN1 ). (3.2.2) Bundan keyin sestimaga faqat oddiy talablar kelib tushadi va ularning xizmat vaqti uzunligi xizmat ko’rsatish sikliga teng deb hisoblanadi: P( ξ N 1 N 2 = 0 ) = 1 1 + λ 2 M ζ N 1 N 2 , (3.2.3) 40 P( ξ N 1 N 2 = K ) =µ2(M ζN1K− M ζN1K−1) 1+λ2M ζN1N2 , 1≤K≤ N 2 Ma’lumki, ρ<1 da limN2→∞M ζN1N2 = M ζ N 1 ∞ = 1 1 + µ 2 ( 1 − ρ ) . Ushbu munosabatni etiborga olib , (3.2.3) dan N 2→ ∞ da quyidagi tengliklarga ega bo’lamiz: P( ξ N 1 N 2 = 0 ) → P( ξ N 1 = 0 ) = ( 1 − ρ ) 1 − ρ + ρ 2 , (3.2.4) P( ξ N 1 N 2 = K ) → µ2(1− ρ)(M ζN1K− M ζN1K−1) 1− ρ+ρ2 , 1≤K≤ N 2 . (3.2.3) va (3.2.4) tenglilklarga ko’ra P( ξ N 1 N 2 = K ) = P(ξN1= K)(1− ρ+ρ2) (1− ρ)(1+λ2M ζN1N2) (3.2.5) munosabatni qilamiz. Agar (3.2.4) ga asosan 41 P(ξN1≤N2 ) = ∑ K = 0N 2 P ( ξ N 1 = K ) = ¿ µ 2 ( 1 − ρ ) ( 1 − ρ + ρ 2 ) M ζ N 1 N 2 ¿ tenglik o’rinli bo’lishini etiborga olsak, u holda (3.2.5) ushbu ko’rinishga keladi: P( ξ N 1 N 2 = K ) = P(ξN1= K) ( 1 + ρ 2 ( 1 + ρ 2 − ρ ) 1 − ρ P ( ξ N 1 ≤ N 2 ) ) − 1 . (3.2.6) Agar P( ξ N 1 N 2 = N 2 + 1 ) = 1 − ∑ K = 0N 2 P ( ξ N 1 = K ) munosabatni etiborga olsak, (3.2.6) dan teoremada keltirgan ikkinchi tenglik kelib chiqadi. 3.3-§. Kutish joylar soni chekli bo’lgan nisbiy imtiyozli xizmat ko’rsatish sistemasining bandlik davri taqsimoti. 42 Birkanalli xirmat ko’rsatish sistemasiga λ1va λ2 parametrli ikki xil Puasson talablar orqali kelib tushayotgan bo’lsin. Birinchi turdagi talablar ikkinchi turdagi talablarga nisbatan nisbiy imtiyozga deb faraz qilamiz. Ya’ni agar sistemaga har ikkala turdagi talablar mavjud bo’lsa, xizmat ko’rsatish qurilmasi avval birinchi turdagi talablarga xizmat ko’rsatadi. Ikkinchi turdagi talabning xizmati paytida sistemaga birinchi tur talablar kelib tushsa, qurilmadagi talabning xizmati uzib qo’yiladi va birinchi tur talabga xizmat ko’rsatiladi. Sistema birinchi turdagi talablardan bo’shagandan keyin xizmati uzib qo’yilgan talabning xizmati uzib qo’yilgan joydan davom ettiriladi. Bundan keyin birinchi tur talablarni “shoshilinch”, ikkinchi tur talablarni esa “oddiy” talablar deb ataymiz. Talablarga xizmat ko’rsatish vaqti uzunliklari o’zaro bog’liq bo’lmagan tasodifiy miqdorlar bo’lib,mos holda B1(x) va B 2 ( x ) taqsimot funksiyalari va µ1−1,µ2−1 o’rta qiymatlarga ega bo’lsin. Shoshilinch talablar uchun kutish joylari soni chekli N ( N ≥ 1 ) miqdorga teng deb faraz qilamiz. Ya’ni agar sistemada xizmat ko’rsatayotgan talab bilan birgalikda N +1 ta shoshilinch talab mavjud bo’lsa, ya’ni kelgan shoshilinch talab sistemaga qabul qilinmaydi va keyingi xizmat jarayoniga ta’sir ko’rsatmaydi. Oddiy talablarning navbat uzunligi cheklanmagan. Qaralayotgan sistema Kendall tomonidan kiritilgan belgilashlarga ko’ra ⃗ M 2 ∨ ⃗ G 2 ∨ 1 ∨ N , ∞ deb belgilanadi. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz: Ϛ−¿ sistemaning bandlik davri, yangi sistema uzluksiz xizmat bilan band bo’lgan vaqt uzunligi; ϚN− ¿ sistemaning faqat shoshilinch talablar xizmati bilan uzluksiz band bo’lgan vaqt uzunligi; bi(s)=∫0 ∞ e−sxdBi(x), Res ≥0, i=1;2; g ( s) = ∫ 0∞ e − sx dP ( ξ < x ) , Res ≥0 ; 43 gN(s)=∫0 ∞ e−sxdP (ξN<x), Res ≥0. Sistemaga bir xil talablar kelib tushadigan hol,ya’ni M ∨G∨1∨ N Sistema uchun gN(s) funksiyani aniqlovchi munosabat T.I.Xarris [ 3 ] tomonidan topilgan edi: gN(s)= ∆N−1(s) ∆N(s) ∑ 0∞ v k ∆ k ( s) = v b 1 ( s) − b 1 ( s + λ 1 − λ 1 v ) ( 1 − v ) ¿ ¿ (3.3.1) Ushbu ishda g ( s ) funksiyani aniqlovchi munosabatlar qaralgan, yani nisbiy imtiyozli xizmat ko’rsatish sistemasi bandlik davri taqsimotining Laplas-Stiltes almashtirishi o’rganiladi. 3.1.1-teorema. Quyidagi munosabat o’rinli: g(s)= λ2 λ1+λ2 f(s)+ λ1 λ1+λ2 b1[s+λ2− λ2f(s)], (3.3.2) bu yerda f(s)− x=b2[s+λ1− λ1gN(s)+λ2− λ2x] tenglamaning ¿f(s)∨ ≤1 shartni qanoatlantiruvchi yagona yechimi, gN(s)−(3.3 .1) tenglik bilan aniqlangan funksiya. Izoh. Xususiy holda, B 2 ( x ) = 1 − e − µ 2 x , x > 0 bo’lsa, u holda ushbu tengliklar o’rinli bo’ladi: 44 gN(s)= µ1 λ1 ∗α1N(1−α1)+α2N(α2−1) α1N+1(1− α1)+α2N+1(α2−1), α1,2= λ1+µ1+s±√¿¿¿ , f ( s) = λ 2 + µ 2 + s + λ 1 [ 1 − g N ( s)] − √ { λ 2 + µ 2 + s + λ 1 [ 1 − g N ( s)] } 2 − 4 λ 2 µ 2 2 λ 2 Isbot. Xizmat ko’rsatish jarayoni sistemada bitta shoshilinch va oddiy talab bo’lgan holda bog’lanish hodisasini mos holda A 1 va A 2 deb belgilaymiz. U holda to’la ehtimollik formulasiga ko’ra ushbu tenglikka ega bo’lamiz: P ( Ϛ < x ) = λ 2 λ 1 + λ 2 P ( Ϛ < x / A 2 ) + λ 1 λ 1 + λ 2 P ( Ϛ < x / A 1 ) (3.3.3) Faraz qilaylik, C − ¿ oddiy talab xizmatining boshlanish momentidan xizmat tugagan momentgacha bo’lgan vaqt uzunligi bo’lsin. Agar xizmat jarayoni tarmoqga oddiy talab kelib tushishi bilan boshlansa, u holda xizmat ko’rsatish tarmog’ini talablarga P ( C < x ) qonuniyat bo’yicha xizmat ko’rsatayotgan oddiy sistema sifatida qarash mumkin. Shunday qilib, P ( Ϛ < x / A 2 ) xizmat ko’rsatish vaqti uzunliklari umumiy P ( C < x ) taqsimotga ega bo’lgan sistemaning bandlik davri taqsimotidir. Agar f(s)=∫0 ∞ e−sxdP (Ϛ<x/A2) , Res ≥0, c ( s) = ∫ 0∞ e − sx dP ( C < x ) , Res ≥0, 45 bo’lsa, u holda f( s) − x = c ( s + λ 2 − λ 2 x ) tenglamaning ¿ f ( s) ∨ ≤ 1 shartni qanoatlantiruvchi yagona yechimi bo’ladi. Geyver [2] tomonidan isbotlangan. c(s)=b2[s+λ1− λ1gN(s)] munosabatga asosan quyidagiga ega bo’lamiz: x = b 2 [ s + λ 1 − λ 1 g N ( s) + λ 1 − λ 2 x ] (3.3.4) P ( Ϛ < x / A 1 ) ehtimollik xizmat ko’rsatilgan talablar oqimi P ( Ϛ N < x ) va P ( C < x ) taqsimotlarga ega bo’lsak kechikgan rekurent oqimni tashkil qiluvchi sistemaning bandlik davri taqsimot funksiyasidir. [1] ishdagi mulohazalar yordamida ∫0 ∞ e−sxdP (Ϛ<x/A2)= gN(s+λ2− λ2f(s)) (3.3.5) tenglik o’rinli ekanligini ko’rsatish qiyin emas. (3.3.4) va (3.3.5) munosabatlarga asosan (3.3.3) tenglikda Laplas-Stiltes almashtirishiga o’tib, teoremaning tasdig’iga ega bo’lamiz. Xulosa 46 Ushbu dissertatsiya ishida qaralgan masalalar absolyut imtiyozli va kutish joylar soni chekli bo’lgan birkanalli xizmat ko’rsatish sistemalarining bandlik davrlari taqsimotiga tegishli bo’lib, ma’lum shartlarda ⃗M 2|⃗G2|1∨ N ,∞ sistemaning va ⃗M r|⃗Gr|1∨ N1,… ,Nr sistemaning bandlik davrlari taqsimotini aniqlovchi munosabatlar keltirib chiqariladi. Kutish joylar soni chekli bo’lgan M|G|1|N sistema bandlik davri taqsimoti Xarris tomonidan va G|M|1|N sistema bandlik davri taqsimoti Viskov, Ismoilovlar tomonidan o’rganilgan. Shuningdek, ⃗ M 2 |⃗ G 2 | 1 ∨ ∞ , ∞ sistema bandlik davri taqsimoti uchun olingan natijalar Djeysuolning monografiyasida keltirib o’tilgan. Ushbu ishda olingan asosiy natijalar quyidagilar: 1) ⃗ M 2 |⃗ G 2 | 1 ∨ N , ∞ sistema bandlik davri taqsimotini aniqlovchi munosabatlar; 2) ⃗M r|⃗Gr|1∨ N1,… ,Nr sistemaning j ( j = 1 , r ) -imtiyoz va undan yuqori imtiyozga ega bo’lgan talablar xizmati bilan band bo’lgan davr taqsimotini aniqlovchi munosabatlar. Olingan natijalar yangi bo’lib, sistemani optimal rejalashtirish va qurilmaning effektiv ishlashi bilan bog’liq muammolarni hal etishda muhim ahamiyatga ega. Dissertatsiyada qaralgan masalalarni quyidagi yo’nalishlarda davom ettirishi mumkin: 1) ⃗ G 2 ¿ ⃗ M 2 ∨ 1 ∨ N , ∞ sistemaning bandlik davri taqsimoti. 2) ⃗M 2|⃗G2|m∨∞ ,∞ sistemaning bandlik davri taqsimoti. 3) ⃗M 2|⃗G2|1∨ ∞ ,N , sistema bandlik davri taqsimoti. 4) Nisbiy imtiyozli ⃗M 2|⃗G2|1∨ N ,∞ sistema bandlik davrining taqsimoti. 47 5) Nisbiy imtiyozli ⃗M r|⃗Gr|1∨ N1,… ,Nr sistema bandlik davrining taqsimoti. 6) Imtiyozli ikkilanma sistemalar bandlik davrlari taqsimotlari o’rtasida ikkilanma munosabatlar. 7) ⃗M 2|⃗G2|1∨ N ,∞ sistema bandlik davri taqsimoti uchun asimptotik munosabatlar. Ushbu masalalarni yechish nisbatan murakkab bo’lib, qator hollarda mavjud tadqiqot metodlari bilan bir qatorda alohida usullardan foydalanish talab etiladi. Ayniqsa, G|G|1 tipdagi sistemalarni o’rganish muhim ahamiyatga ega. Foydalanilgan adabiyotlar. 48 1. Азларов Т.А., Тахиров А. Случайные процессы и статистические выводы, вып, 4, Ташкент, Фан, 1974, 4-7,47-56. 2. Азларов Т.А., Курбонов Х. Сотн ение двойственности для распределений длины очереди систем M| G | 1| NиGJ | M ∨ 1 ∨ N - 1. Изв. АН УзССРБ Серия физ.мат.наукю 1982, N1. 3-8. 3. Боровков А.А., Вероятностные процесса в теории массового обслуживания. – М.; Наука, 1972. 4. Боровков А.А. Асимптотические методф теории массового обслуживания. – М.; Наука, 1980. 5. Висков О.В., Исмоилов А.И. Система массового обслуживания с ограниченной очередыю, Исследования по математической статистике и смежные вопросы, науч. Труды. ТашГУ, вып. 402, 1972, 17-29, 28-31. 6. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н., Лекции по теории массового обслуживания, изд-во КВИРТУ, 1974. 7. Джейсуол Н. Ояереди с приоритетами. – М.: Мир, 1973, 280 бет. 8. Гнеденко Б.В., Димитров Б.Н., Климов Г.П., Матвеев В.Ф. Приоритетные система бслуживания. – М.:МГУ , 1973,447 бет. 9. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теории массового обслуживания. – М.: Наука, 1987,336 бет. 10. Ивченко Г.И., Каштанов В.А., Коваленко И.Н. теории массового обслуживания. – М.:Высшая школа, 1982. 11. Климов Г.Б. Стохастические системы обелуживания. – М.: Наука, 1966, 239 б. 12. Курбонов Х. Переходные явления для распрудулуния периода занятости система массового обслуживания M |G|1∨ N . “Пределыные теорема для случайных процессов и статистические вывода”, Сб трудов. ИМАНУ 3 ССР, 1981,108-122. 13. Курбонов Х. Некоторые пределъные теоремы, связанные со средним значением периоди занятости систем с ограниченной очередю, науч. тр. СамГУ, 1990, 61-64. 49 14. Курбонов Х. Сотн ения двойственности и переходныя явления в системах с ограниченной очередъю, Дисс. На соискание уч.степини к.ф.м.н, Ташкент, 1987, 122 стр. 15. Клейнрок И.Н. Вычислителъной система сочередями. – М.: Мир, 1979. 16. Курбонов Х. Распределение преиода занятости системы с присритетy и ограниченной очередъю, Сб.тр.СамГУ, 1991, 51-54. 17. Саати Т.Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. . – М.:Советское радио, 1971. 18. Такач Л. Кyбинаторные метода в теории случайнах процессов. – М.: Мир, 1971. 19. Ташманов Х.Т. Асимптотический анализ системы массового обслуживания M| M | 1 ∨ N . “ Пределъные теорема и мат. статистика ” , Ташкент, “ фан ” , 1976. 20. Ташманов Х.Т. Переходные явления в простейшей системе массового обслуживание с органичунием. Изв АН Уз ССР. Физ.-мат. Наук, 1973 №4, 46-49. 21. Хинчин А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания. – М.: Физматгиз, 1963. 22. Прохоров Ю.В. Переходные явления в процессах массового обслуживание. Литовский мат.сборник, №2, 1063. 23. Harris T.J. The remaining busy period of finite queue, Oper. Res., v19, 1971, 219-233. 24. Такач Л. Теория очередей. 1966, 216 стр. 25. Риордан Дж. Вероятностное сисеуьы обслуживания. 1966, 160 стр. 26. Qurbonov H. Navbat uzunligi chegaralangan xizmat ko’rsatish tarmog’ining bandlik davri. SamDU ilmiy maqolalar to’plami, 1996, 48-50. 27. Qurbonov H., Xasanov J. Kutish joylar soni chekli bo’lgan absolyut imtiyozli xizmat ko’rsatish sistemasining bandlik davri taqsimoti haqida. “Stoxastik tahlilning dolzarb muammolari” mavzusidagi ilmiy konferensiya, 20-21 fevral, 2021 yil. Toshkent. II- qism. 194-bet. 50 28. Qurbonov H., Xasanov J. ⃗M 2|⃗G2|1∨ N ,∞ Mutloq imtiyozli xizmat ko’rsatish tarmog’ining bandlik davri taqsimoti haqida.“Ilmiy maqolalar sammiti”nomli konferensiyasi 2021-yil 12-iyun. Toshkent. 29. Ziyonet.uz sayti. 30. Mathnet.ru sayti. 31. Wikipedia.org sayti. 51

IMTIYOZLI XIZMAT KO’RSATISH SISTEMASI BANDLIK DAVRI TAQSIMOTI Mundarija Kirish …………………………………………………………………… ………...4 I bob. Q isqacha tarixiy ma’lumotlar. Xizmat ko’rsatish sistemalarining matematik modellari va asosiy xarakteristikalar 1.1-§. Ommaviy xizmat ko‘rsatish nazariyasi haqida qisqacha tarixiy ma’lumotlar …………………………………….......................................... 9 1.2-§. Ommaviy xizmat ko’rsatish tarmoqlarining matematik modellari va asosiy xarakteristikalari..………………………... ...................................... ....... ... ..9 II bob . Ommaviy xizmat ko’rsatish tarmoqlarining ayrim modellari va asosiy xarakteristikalarining taqsimoti 2.1-§. Kutishli xizmat ko’rsatish tarmoqlari bandlik davrlari taqsimoti ……………….…………………………………….……………15 2.2-§. ⃗M 2|⃗M 2|1∨ N ,∞ , ∞ tarmoqning navbat uzunligi taqsimoti ….…………….25 III bob . Imtiyozli sistema navbat uzunligi va bandlik davri taqsimoti 3.1-§. ⃗M 2|⃗M 2|1∨ N ,∞ sistemaning navbat uzunligi taqsimoti .…….……………29 3.2-§. Mutloq imtiyozli ⃗ M 1 |⃗ M 1 | 1 ∨ ⃗ M 1 |⃗ N 1 | , ∞ va ⃗M 2|⃗G2|1 / N 1 , N 2 xizmat ko’rsatish sestimalari navbat uzunliklari taqsimotlari o’zaro munosabatlar………………………..……….………….………………...34 3.3-§. Kutish joylari soni chekli bo’lgan nisbiy imtiyozli xizmat ko’rsatish sistemasining bandlik davri taqsimoti…….…………….………………...38 Xulosa …………………………………………………………………………….42 Foydalanilgan adabiyotlar … …………………………………………………...44 1

Kirish 1. Magistrlik dissertatsiyasi mavzzusining asoslanishi va uning dolzarbligi. Kundalik hayotda navbatda turib vaqt yo’qotish muammosi oddiy bir shaxs uchun toqat qilish mumkin bo’lgan hol hisoblanishi mumkin. Lekin xizmat ko’rsatish lozim bo’lgan talablar sanoat korxonalarida, savdo tarmoqlarida, transportda, harbiy ishlarda va kommunikatsiya tizimlarida to’planib qolib, uzun navbatlar hosil bo’ladigan bo’lsa, bu nafaqat vaqt yo’qotish, balki resurslarni vaqtida ishlatilmasligi, ularni saqlash, mahsulotlarning eskirishi, ma’lumotlarning vaqtida yetkazib berilmasligi natijasida kelib chiqadigan katta miqdordagi moddiy zarar ko’rish muammolarini keltirib chiqaradi. Shu sababli navbat uzunliklarini qisqartirish uchun xizmat ko’rsatish korxonalarini optimal rejalashtirish, samarali xizmat ko’rsatishni ta’minlash hayotiy muhim ahamiyatga ega. Xizmat ko’rsatish tarmoqlarini tahlil qilish uchun ularning matematik modellarini yaratish, masalalarini yechish metodlarini ishlab chiqish , tarmoq bilan bog’liq tasodifiy jarayonlarni aniqlash va muhimlarini ajratish talab etiladi. Xizmat ko'rsatish tarmoqlarining matematik tahlili bilan birinchi bo'lib shug'ullangan olim Daniyalik A.K.Erling hisoblanadi. U tomonidan telefon va telegraf stansiyalarida hosil bo ladigan jarayonlarga tegishli ko'plab holatlar talilʻ qilinib, natijalar ushbu korxonalarga tadbiq etildi va ijobiy samara berdi. Keyinchalik boshqa ko'plab soxalarda (savdo, ishlab chiqarish korxonalari, transport, komunikatsiya va xokozo) tegishli masalalarning modellari Erlang modellari bilan mos tushishi ma'lum bo'lgandan keyin ushbu soxaga qiziqish kuchayib ketdi. Korxonalar va tashkilotlar tomonidan matematiklar oldiga ko'plab masalalar qo'yila boshlandi. Tadqiqot natijalari ilmiy jurnallarda nashr etildi. Bu 2

bo'yicha ishlar B.V.Gnedenko, A.A.Borovkov, L.Kleynrok, G.P.Klimov, L.Takach, N.Djeysuol, va boshqa olimlar kitoblarida o'z aksini topdi. Ushbu ishlarda asosiy e'tibor ommaviy tarmoqning bandlik davri, navbat uzunligi, talabining xizmatini kutish vaqti kabi tasodifiy jarayonlarni o’rganishga qaratiladi. Ushbu dissertatesiyada kutish joylari soni chekli bo’lgan imtiyozli xizmat ko’rsatish sistemalarining navbat uzunligi va bandlik davri taqsimoti tahlil qilinadi. Kutish joylari soni cheklanmagan sistemalarning ¿ va h.k) bandlik davri taqsimoti G.P.Klimov, B.V Gnedenko, I.N.Kleynrok, A.Danilyan, N.Djeysuolning ishlarida batafsil tahlil qilingan. Shuningdek, kutish joylar soni chekli bo’lgan M ∨G∨1∨ N ,G∨ M ∨1∨ N sistemalar bandlik davri taqsimoti Xarris tomonidan, navbat uzunligi taqsimoti esa T.A.Azlarov, O.B.Viskov, X.Qurbonov, A.I.Ismoilov tomonidan o’rganilgan. Lekin imtiyozli xizmat ko’rsatish sistemalari bandlik davri va navbat uzunligi taqsimotlari ko’tish joylari chekli bo’lgan sistemalar uchun deyarli o’rganilmagan. 2. Tadqiqot obyekti va predmeti. Tadqiqot obyekti ⃗M 2|⃗G2|1∨ N ,∞ va ⃗ M 2 |⃗ M 2 | 1 ∨ N 1 , ∞ xizmat ko’rsatish sistemalari, tadqiqot predmeti esa ushbu sistemalar navbat uzunligi va bandlik davri taqsimoti hisoblanadi. 3. Tadqiqotning maqsadi va vazifalari. Tadqiqotning maqsadi – kutish joylar soni chekli bo’lgan imtiyozli xizmat ko’rsatish sistemalarining navbat uzunligi va bandlik davri taqsimotlarini aniqlovchi munosabatlarni keltrib chiqarish. Shu maqsadda qo’yilgan masaladagi xizmat ko’rsatish sistemalari xarakteristikalari, xususan, navbat uzunligi va bandlik davriga tegishli ma’lumotlarni chuqur o’rganib chiqish, ma’lum shartlarda ⃗M 2|⃗G2|1∨ N ,∞ sistema 3

bandlik davri va statsionar navbat uzunligi taqsimotlarini aniqlovchi formulalar mavjud tatqiqot metotlari yordamida keltirib chiqarish, shuningdik, ⃗ M 2 |⃗ M 2 | 1 ∨ N , ∞ sistema statsionar navbat uzunligi taqsimotining aniq ko’rinishlarni aniqlash vazifalari qo’yildi. 4. Ilmiy yangiligi. 1) ⃗M 2|⃗G2|1∨ N ,∞ sistema bandlik davri taqsimotini aniqlovchi formula keltrib chiqarildi. 2) ⃗ M 2 |⃗ M 2 | 1 ∨ N , ∞ sistema statsionar navbat uzunligi taqsimotining aniq ko’rinishi topildi. 5. Tadqiqotning asosiy masalalari va farazlari. ⃗M 2|⃗G2|1∨ N ,∞ sistema bandlik davri va statsionar navbat uzunligi taqsimotlarini aniqlovchi munosabalarni keltirib chiqarish. Shuningdek, ⃗M 2|⃗G2|1∨ N ,∞ sistema statsionar navbat uzunligi taqsimotining aniq ko’rinishini topish. 6. Ilmiy tadqiqot usullari. Ushbu ishda ehtimollar nazariyasining umumiy tadqiqot usullari bilan bir qatorda hosil qiluvchi funksiyalar, differinsial tenglamalar, Laplas-Stiltes almashtrishlari metodlaridan keng foydalanildi. 7. Tadqiqot natijalarining ilmiy ahamiyati. Ushbu ishda olingan natijalar yangi bo’lib, ⃗ M 2 |⃗ G 2 | 1 sistema navbat uzunligi va bandlik davri taqsimotlariga tegishli qator natijalar ⃗M 2|⃗M 2|1∨ N ,∞ sistemaga o’tkazildi. Bu ma’lum qiyinchiliklar bilan bog’liq bo’ldi, masalaga alohida yondoshish talab qilinadi. 4

Olingan natijalar imtiyozli sistemalarning boshqa tipdagi modellarini o’rganish uchun yo’nalish bo’lib xizmat qilishi mumkin. 8.Tadqiqot natijalarining nazariy va amaliy ahamiyati. Olingan natijalardan imtiyozli xizmat ko’rsatish sistemalarida xizmat samaradorligini aniqlash, shuningdek, sistemalarni rejalashtrish bilan bog’liq masalalarni hal etishda foydalanish mumkin. 8. Tadqiqotda qo’llanilgan metodikaning tavsifi. Ish kirish qismi, uchta bobga birlashtirilgan oltita paragraf, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar qisimlaridan iborat. Bibliografiyada 4 ta darslik, 12 ta monografiya va 8 ta ilmiy maqolalar, jami 18 ta adabiyot ro’yxati keltirilgan. Ish 46 betdan iborat. 10. Ish tuzilmasining tavsifi. I-bob ikkita paragrafdan iborat bo’lib, xizmat ko’rsatish sistemalariga tegishli qisqacha tarixiy ma’lumotlar, xizmat ko’rsatish sistemalarining matematik modelini tuzish bo’yicha asosiy ko’rsatmalar, asosiy xarakteristikalar navbat uzunligi, ko’tish vaqti va bandlik davri, navbat uzunligi tasnifi berilgan. II-bobda kutishli xizmat ko’rsatish tarmog’ining bandlik davrlaritaqsimoti, shuningdek, ⃗M 2|⃗M 2|1∨ N ,∞ sistemaning statsionar navbat uzunligi taqsimoti o’rganiladi. III-bob uch paragrafdan iborat bo’lib, bevosita muallif tomonidan olingan natijalar bayoniga bag’ishlangan. Ushbu natijalar ⃗M 2|⃗G2|1∨ N ,∞ sistemaning navbat uzunligi taqsimoti, Mutloq imtiyozli ⃗ M 1 |⃗ M 1 | 1 ∨ ⃗ M 1 |⃗ N 1 | , ∞ va ⃗M 2|⃗G2|1 / N 1 , N 2 xizmat ko’rsatish sestimalari navbat uzunliklari taqsimotlari o’zaro munosabatlar va 5

O'xshashlar

KUTISH JOYLARI CHEKLANGAN XIZMAT KO‘RSATISH TARMOQLARI NAVBAT UZUNLIKLARI TAQSIMOTI VA UNING ASIMPTOTIK HOLATLARI
Muloqot sistemasi
Windows operatsion sistemasi
Taraqqiyotning “O’zbek modeli” va uning asosiy xususiyatlari
O’zbekistonda milliy siyosatning asosiy tamoyillari