logo
  1. Bosh sahifa
  2. Diplom ishlar
  3. Umumiy
  4. KICHIK O‘LCHAMLI YECHILUVCHAN LI ALGEBRALARINING MARKAZIY KENGAYTMALARI

KICHIK O‘LCHAMLI YECHILUVCHAN LI ALGEBRALARINING MARKAZIY KENGAYTMALARI

Yuklangan vaqt:

12.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

447.3984375 KB
Ko'chirib olish
KICHIK O‘LCHAMLI YECHILUVCHAN LI ALGEBRALARINING MARKAZIY KENGAYTMALARI MUNDARIJA KIRISH…………………………………………………………………………..3 I BOB . LI ALGEBRASINING ASOSIY TUSHUNCHASI 1.1 Li algebrasining ta’rifi ……. ………………………………………………………………………….8 1.2 Li algebrasining asosiy strukturalari…………………………………………………………………..13 1.3 Nilpotent va yechiluvchan Li algebralari…………………………………………………………………….15 II BOB. LI ALGEBRASINING MARKAZIY KENGAYTMALARI 2.1 Algebra kengaytmasi va algebra markaziy kengaytmasi………………….,..18 2.2 Nilpotent Li algebrasining markaziy kengaytmalari………………………………………………………………..22 2.3 Yechiluvchan Li algebrasining markaziy kengaytmalari………………………………………………………………..24 2.4 To’rt o’lchamli yechiluvchan Li algebrasining ikki o’lchamli kengaytmasi …………………………………………………...…27 III BOB TABIIY DARAJALANGAN LI ALGEBRASINING MARKAZIY KENGAYTMALARI 3.1 Tabiiy darajalangan Li algebrasining markaziy kengaytmasi…….………..29 3.2 Yechiluvchan Li algebrasining ikki o’lchovli nilradikal bilan kengaytmasi………………………………………………..35 3.3 Yechiluvchan Li algebrasining 1 o’lchov nilradikalidagi kengaytmasi …………………………………….………….40 V ….XULOSA……………………………………………………………...…55 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI………………………….. KIRISH 1 2020-yil 7-mayda Prezidentimizning “Matematika sohasidagi ta lim sifatiniʼ oshirish va ilmiy tadqiqotlarni rivojlantirish chora-tadbirlari to g risida”gi PQ- ʻ ʻ 4708-sonli qarori qabul qilindi. Mazkur qarorning mazmun-mohiyati shundan iboratki, unda mamlakatimiz ilm-fan sohasidagi taraqqiyotining ustuvor yo nalishi ʻ sifatida matematika fanini rivojlantirishga alohida ahamiyat berilgan . O‘tgan davr ichida matematika ilm-fani va ta’limini yangi sifat bosqichiga olib chiqishga qaratilgan qator tizimli ishlar amalga oshirildi : birinchidan, ilg‘or ilmiy markazlarda faoliyat yuritayotgan vatandosh matematik olimlarning taklif qilinishi va xalqaro ilmiy-tadqiqotlar olib borilishi uchun zarur shart-sharoit yaratildi ; ikkinchidan, xalqaro fan olimpiadalarida g‘olib bo‘lgan yoshlarimiz va ularning murabbiy ustozlari mehnatini rag‘batlantirish tizimi joriy etildi ; uchinchidan, oliy ta’lim va ilmiy-tadqiqotlarning o‘zaro integratsiyalashuvini ta’minlash maqsadida talabalar shaharchasida Fanlar akademiyasining V.I. Romanovskiy nomidagi Matematika institutining (keyingi o‘rinlarda — Institut) yangi va zamonaviy binosi barpo etildi. Matematika sohasidagi fundamental tadqiqotlarni moliyalashtirish hajmi bir yarim barobarga oshirildi, budjet mablag‘lari hisobidan superkompyuter, zamonaviy texnika va asbob uskunalar xarid qilindi ; to‘rtinchidan, ilmiy darajali kadrlarni tayyorlashning birlamchi bosqichi sifatida stajyor-tadqiqotlik instituti joriy etildi ; beshinchidan, ilm-fan sohasidagi ustuvor muammolarni tezkor bartaraf etish, fan, ta’lim va ishlab chiqarish integratsiyasini kuchaytirish masalasini Hukumat darajasida belgilash maqsadida O‘zbekiston Respublikasining Bosh vaziri raisligida Fan va texnologiyalar bo‘yicha respublika kengashi tashkil etildi. Bu o‘z navbatida yoshlarning bilim olishlari uchun yaratilayotgan sharoit , katta e’tibor ularga katta ma’suliyat ham yuklaydi . TADQIQOTNNG ISHLANGANLIK DARAJASI: 2 Kadrlar tayyorlash dasturini ro‘yobga chiqarishning uchinchi << to‘plangan tajribalarni tahlil etish va umumlashtirish asosida , mamlakatni ijtimoiy - iqtisodiy rivojlantirish istiqbollariga muvofiq kadrlar tayyorlash tizimini takomillashtirish va yanada rivojlantirish >> [2,(40-41)] - bosqichida o‘quv tarbiya jarayonini yangi o‘quv uslubiy majmualar , ilg‘or pedagogik texnologiyalar bilan ta’minlash vazifalari belgilangan bir davrda to‘plangan tajribalarni ,ilmiy , ilmiy -metodik adabiyotlarda keltirilgan ilmiy xulosalarni tanqidiy o‘rganib ,ta’lim jarayoniga tatbiq etish yo‘llarini ishlab chiqish dolzarb masala ekanligi qayd etilgan . Lie algebralari 1870-yillarda Marius Sophus Lie tomonidan cheksiz kichik o zgarishlar tushunchasini o rganish uchun kiritilgan va 1880-yillarda Wilhelmʻ ʻ Killing tomonidan mustaqil ravishda kashf etilgan. Li algebra nomini 1930-yillarda Hermann Veyl bergan, eski matnlarda cheksiz kichik guruh atamasi ishlatiladi. TADQIQOT MAQSADI : Magistrlik dissertatsiyasida yechiluvchan Li algebralarining markaziy kengaytmalarini o’rganish va ularni klassifikatsiya qilgan holda topish, Li algebralarining xossalari o‘rganilib, uning ba’zi muhim sinflarini tasniflash hamda rejalashtirish . TADQIQOTNING MAQSADINI AMALGA OShIRISh UChUN QUYIDAGI VAZIFALAR BELGILANADI: 1. Li algebralarini nilpotentlikka va yechiluvchanlikka tekshirish , algebra va chiziqli fazo elementlari orasida Li algebrasini qurish uchun amal kiritish yo’llarini o’rganish. 2. Markaziy kengaytmani izomorfizm aniqligida klasifikatsiyalarga ajratish usullarini kiritish. 3. Tabiiy darajalangan Li algebrasi kengaytmasi, nilradikal bilan kengaytmasini o’rganish. 3. TADQIQOT O’BEKTI: 3 Li algebralari va chiziqli fazolar bilan markaziy kengaytmani hosil qilish hamda ularni izomorfizm aniqligida klasifikatsiya qilish. TADQIQOT PREDMETI: 5. Algebra tushunchasi, Li algebra tushunchasi, nilpotent va yechiluvchan Li algebralari , chiziqli fazolar, chiziqli fazo va algebra elementlari orasidagi to’g’ri yig’indi, algebrani qanoatlantirish metodlari. TADQIQOTNING METODOLOGIK ASOSI: O‘zbekiston Respublikasi Konstitutsjyasi , << Ta’lim to‘g‘risida >> gi qonun, << Kadrlar tayyorlash milliy dasturi >> , << Yoshlarga oid davlat siyosati to‘g‘risida>> gi qonuni ta’lim sohasidagi davlat siyosatining asosiy tamoyillari, mavzuga oid falsafiy, psixologik, pedagogik manbalar, bilish nazariyasi, didaktikaning asosiy qonunlari va tamoyillari, shaxsga yo‘naltirilgan ta’limni amalga oshirish, ta’limtarbiya jarayonida zamonaviy pedagog va axborot texnolgiyalaridan foydalanish bo‘yicha yaratilgan nazariyalardan iborat. TADQIQOTNING METODLARI : - tadqiqot mavzusi bo‘yicha psixologik, pedagogik va metodik adabiyotlar tahlili . - umumlashtirish, taqqoslash, tizimlashtirish ; -izlanuvchan-tasdiqlovchi, shakllantiruvchi, nazorat-tuzatish va nazorat umumlashtiruvchi bosqichlaridan iborat ; TADQIQOTNING ILMIY YANGILIGI: Berilgan algebralar ko’philligini o’rganishda kichik o’lchamli algebralarni tasniflash muhim rol o’ynaydi.Chunki, kichik o’lchamli algebralarning tasniflari ixtiyoriy o’lchamli algebralarning xossalarini o’rganish imkonini beradi. Yechiluvchan Li algebralarning sinfi chekli o’lchamli Li algebralari nazariyasining muhim sinflaridan hisoblanib, ularni tasniflashning bir qancha usullari mavjud. Markaziy kengaytma usuli so’nggi yillarda chekli o’lchamli algebralarni tasniflashda keng qo’llanilayotgan usullardan biri hisoblanadi. TADQIQOTNING AMALIY AHAMIYATI : 4 Ushbu tadqiqot ishidan ilmiy izlanishlar olib borish, keltirilgan xulosa va tavsiyalardan hamda metodik qo‘llanmadan amaliyotda foydalanish mumkin . Zamonaviy algebrada noassotsiativ algebralarni, ularning xususiyatlarini va strukturasini o`rganish muhim masalalardan biri hisoblanadi. Noassosiativ algebralarni o‘rganishda ularning strukturasini aniqlovchi bir qator klassik teoremalar mavjud. Ma‘lumki, Li algebralari noassosiativ algebralarning muhim sinflaridan hisoblanib, ular assosiativ, Yordan algebralar kabi bir qator algebralar bilan uzviy bog‘liq. Li algebralari o‘zining bir qator umumlashmalariga ega bo‘lib, so‘nggi yilllarda ushbu umumlashmalar jadal suratda o’rganilmoqda. Ushbu dissertatsiya ishi Li algebralarining markaziy kengaytmalarini topish strukturalariga bag‘ishlanadi. Unda Li algebrasining markaziy kengaytmasi o’rganilinib kichkina o’lchamli algebralar uchun Li nazariyasi o‘rganilib, algebralari uchun qanchalik darajada o‘rinli ekanligi ko‘rsatiladi. Mazkur dissertatsiyaning asosiy maqsadi berilgan algebralar ko’philligini o’rganishda kichik o’lchamli algebralarni tasniflash , ular uchun Li algebralarining klassik nazariyasidan ma’lum bo‘lgan teoremalarni o‘rganishdan iborat. Ushbu masalalarni ilmiy jihatdan hal etish uchun strukturaviv nazariya, algebraik, hamda geometrik metodlardan foydalanish k о ‘zda tutilgan. Xozirgi kunda Li algebralarning markaziy kengaytmalar usulidan foydalanib algebralarni o’rganish jadal suratda о ‘rganilmoqda. Li algebrasi о ‘tgan asrning 1870-yillarda yillarida Marius Sophus Lie tomonidan ushbu [ ?????? , [ ?????? , ?????? ]] + [ ?????? ,[x,y]]+ [y,[z, x]]=0 Yakobi ayniyati bilan xarakterlanadigan antikomutative algebra sifatida fanga kiritilgan . Noassosiativ algebralar va ularning tasvirlarini o‘rganish uzoq yillardan beri algebra sohasining asosiy masalalari bo‘lib kelmoqda. Li algebralari noassosiativ 5 algebralarning eng ko‘p tarqalgan va eng ko‘p foydalaniladigan sinfi hisoblanadi. Uning bir qancha umumlashmalari mavjud bo’lib, Leybnits algebralari ham uning umumlashmalaridan biri hisoblanadi. Li algebralarining tasvirlari ham o‘ta muhim ahamiyatga ega bo‘lib, bir qator fizik masalalarni yechishda foydalaniladi. Bundan tashqari Li algebralarining tasvirlari yordamida Leybnits algebralarini ham hosil qilish mumkin. Leybnits algebralarining Li algebralaridan asosiy farqli jihati shundaniboratki, ixtiyoriy Li bo‘lmagan Leybnits algebrasi elementlari kvadratlaridan hosilqilingan notrivial idealga ega. Leybnits algebrasini ushbu ideal bo‘yicha faktorlasak, Li algebrasi hosil bo‘lib, elementlari kvadratlaridan hosil qilingan ushbu ideal factor algebrasi Li bo‘ladigan eng kichik ideal hisoblanadi. Yechiluvchan Li algebralarni o‘rganishda nilpotent algebralar muhim rol o‘ynaydi. Nilpotent Li algebralari uchun Engel teoremasi o‘rinli bo‘lib, unga ko‘ra chekli o‘lchamli Li algebrasi nilpotent bo‘lishi uchun uning barcha ichki differensiallashlari nilpotent bo‘lishi zarur va yetarli. Biz bu boblarda quyidagilarni o’rganib chiqamiz. 6 I BOB. LI ALGEBRASINING ASOSIY TUSHUNCHASI 1.1 Li algebrasining ta’rifi Ta’rif 1.1.1 ( a , b ) → [ a , b ] ko’paytma bilan F maydon ustida aniqlangan L algebra quyidagi aksiomalarni qanoatlantirsa, L ga F maydon ustida aniqlangan Li algebrasi deyiladi. 1) Barcha x ∈ L lar uchun [x,x]= 0 ; 2) Barcha x,y,z∈L lar uchun [ x , [ y , z ]] +[ y , [ z , x ]] +[ z , [ x , y ]] = 0 . Bu Yakobi ayniyati deyiladi. 3) ∀ x,y∈L lar uchun [x,y]=− [y,x] - antikommutativlik xossasi o’rinli bo’lsa. Bu yerda 3 aksiomadan 2[x,x]=0 ni hosil qilamiz. Shuning uchun, agar F maydonning xarakteristikasi 2 dan farqli bo’lsa ( char F ≠2 ), u holda (3) aksiomadan 1 aksioma kelib chiqadi. Agar x,y∈K lar uchun [ x , y ] ∈ K o’rinli bo’lsa, Li algebrasining L ning vektor qism fazosi K qism algebra deb ataladi. Li algebrasiga misollar. A - F maydon ustidagi assosiativ algebra bo’lsin. A vektor fazo ustida yangi amal kiritamiz. [a,b]= ab −ba ab - A algebraning a va b elementlari ko’paytmasidan iborat. U holda A vektor fazo [ ,] amalga nisbatdan Li algebrasini tashkil qiladi. Uni A−¿¿ orqali belgilaymiz. Haqiqatdan, ham 7 1)[ a , a ] = aa − aa = 0 2) [a,[b,c]]= a[b,c]− [b,c]a=abc −acb − bca +cba [b,[c,a]]= b[c,a]− [c,a]b=bca −bac −cab +acb [ c , [ a , b ]] = c [ a , b ] − [ a , b ] c = cab − cba − abc + bac Bu tengliklarni hadma-had qo’shsak [ a , [ b , c ]] +[ b , [ c , a ]] +[ c , [ a , b ]] = 0 tenglikni hosil qilamiz. 3) [a,b]= ab −ba =−(ba −ab )=−[b,a]. V - F maydon ustidagi vektor fazo bo’lsin. End ( V ) orqali V fazodagi chiziqli almashtirishlar to’plamini belgilaymiz. End (V) chiziqli almashtirishlarni ko’paytirishga nisbatan assotsiativ algebra tashkil qiladi. U holda gl ( V ) = End ( V ) − ¿ ¿ -Li algebrasidan iborat. Uni to’liq chiziqli Li algebrasi deb ataymiz. Agar biz F maydonda aniqlangan matrisalar algebrasi F n ni qarasak, u holda F n− ¿ ¿ Li algebrasini gl ( n , F ) orqali belgilaymiz. gl (V ) dagi ixtiyoriy qism algebra chiziqli algebra deyiladi. Endi Li algebrasiga klassik misollar bo’lgan An,Bn,Cn ∂n(n≥1) larni qaraymiz. An: Fn+1 da izi nolga teng bo’lgan matrisalarning qism fazosi sl(n+1,F) ni qaraymiz , ya’ni sl(n+1,F)= {x∈Fn+1|Tr(x)= 0 } Tr(x) - x matrisaning diagonalidagi elementlarining yig’indisidan iborat. Shuningdek Tr(x,y)=Tr(y,x) bo’ladi. Haqiqatdan ham, x = ( a 11 ⋯ a 1 , n + 1 ⋮ ⋱ ⋮ a n + 1,1 ⋯ a n + 1 , n + 1 ) y = ( b 11 ⋯ b 1 , n + 1 ⋮ ⋱ ⋮ b n + 1,1 ⋯ b n + 1 , n + 1 ) bo’lsa, u holda Tr ( x , y ) = ∑ i = 1n + 1 a 1 i b i 1 + ∑ i = 1n + 1 a 2 i b i 2 + … + ∑ i = 1n + 1 a n + 1 , i b i , n + 1 = ¿ 8 ¿ ∑ in + 1 ¿ ¿ Eslatib o’tamizki, A,B glϵ (n+1,F) lar uchun A⋅B= AB − BA deb olsak, bu amalga nisbatan gl ( n + 1 , F ) Li algebrasi bo’ladi, x , y Sl ϵ ( n + 1 , F ) lar uchun [x,y]= xy − yx , shuningdek Tr ( x ) = Tr ( y ) = 0 va Tr ( xy ) = Tr ( yx ) tengliklarni hisobga olsak, xy Sl ϵ ( n + 1 , F ) ekanligi kelib chiqadi. Demak, Sl ( n + 1 , F ) esa gl ( n + 1 , F ) ning qism algebrasi bo’ladi. Sl ( n + 1 , F ) algebra maxsus Li algebrasi deb ataladi. i ≠ j bo’lganda eij Slϵ (n+1,F) bo’ladi, bu yerda e ij i − ¿ satr, j − ¿ ustunda 1 qolgan elementlari 0 bo’lgan n+1−¿ tartibli kvadrat matrisa. Shuningdek, h i = e ii − e i + 1 , i + 1 Sl ϵ ( n + 1 , F ) ( 1 ≤ i ≤ n ) . hi− bu i−¿ satr va i ustunda 1 , i+1−¿ satr va i+1 ustunda −1 joylashgan, qolgan elementlari 0 bo’lgan matrisa. Bunday matrisalar soni mos ravishda ( n + 1 ) 2 − ( n + 1 ) va n ga teng. Bundan tashqari, eij,hi,i≠ j(1≤i≤n) lar chiziqli bog’lanmagan, u holda dimSl (n+1,F)≥(n+1)2−(n+1)+n=(n+1)2−1= dim Fn+1−1, ya’ni (n+1)2−1≤dimSl (n+1,F)<(n+1)2 , chunki Sl ( n + 1 , F ) to’plam sifatida F n + 1 ning qism to’plamidan iborat. Demak, dimSl ( n + 1 , F ) = n 2 + 2 n ekan. cn : F2n matrisalar algebrasida S=( 0 En − En 0) matritsani qaraymiz, bu yerda En -n×n o’lchamli birlik matrisa. Ushbu SP(2n,F)={xϵF2n∨SX =− XTS} to’plamni qaraymi. XTmatrisa − X ning transponirlangan matrisasidan iborat. SP ( 2 n , F ) lar uchun [ x , y ] = xy − yx SP ϵ ( 2 n , F ) ekanligini ko’rsatish kerak. Ya’ni S(xy − yx )=−(xy − yx )TS tenglikning to’g’riligini ko’rsatish kerak. − ( xy − yx ) T S = − (( xy ) T − ( yx ) T) S = − ( y T x T − x T y T ) S − y T x T S + x T y T S = − y T ( x T S ) + x T ( y T S ) = − y T ( − Sx ) + x T ( − Sy ) = y T Sx − x T Sy = ( y T S ) x − ( x T S ) y = − Syx + Sxy = S ( xy − yx ) . Biz bu yerda matritsalarni ko’paytirish assosiativligidan va ( xy ) T = y T x T tenglikdan foydalandik. SP ( 2 n , F ) algebraga simplektik Li algebrasi deb ataladi. 9 Ma’lumk,i SP( 2 n , F ) ning har bir elementini ( m l p q) ko’rinishda yozish mumkin, bu yerda m ,l,p,qϵFn U holda x ∈ sp ( 2 n , F ) , X = ( m l p q ) SX = ( 0 E n − E n 0 )( m l p q ) = ( E n p E n q − E n m − E n l ) = ( p q − m − l ) − X T S = ( − m T − p T − l T − q T )( 0 E n − E n 0 ) = ( p T E n − m T E n q T E n − l T E n ) = ( p T − m T q T − l T ) SX =− XTS tenglikdan p= pT,l= lT,m=−qT,mT=−q tengliklarni hosil qilamiz. mT=− q tenglikdan Tr ( x ) = Tr ( m ) + Tr ( q ) = Tr ( m T ) + Tr ( q) = Tr ( − q ) + Tr ( q) = − Tr ( q ) + Tr ( q ) = 0 tenglikni hosil qilamiz. Shuning uchun, Sp (2n,F)−Sl (2n,F) ning qism algebrasidan iborat. ( m 0 0 q)∈Sp (2n,F) matrisani Sp ( 2 n , F ) dan olingan eii−ei+n,i+n(1≤i≤n) va eij− ej+n,i+n(1≤i≠ j≤n) matritsalar orqali chiziqli ifodalash mumkin. Bu yerda eii−ei+n,i+n matritsa m ning i -satr, i -ustunida 1 joylashgan q matritsaning i -satr, i - ustunida - 1 joylashgan 2 n tartibli matrisa qolgan elementlari 0 ga teng. e ij − e j + n , i + n esa m ning i -satr, j -ustunida 1 , q ning j -satr, i -ustunida −1 joylashgan matrisa ¿ qolgan elementlari 0¿ . Bu matritsalar uchun p = p T , l = l T , m T = − q tengliklar o’rinli, Demak, ular Sp ( 2 n , F ) ning elementlari. Ularning soni n + ( n 2 − n ) ta. Xuddi shunday, l matritsani Sp ( 2 n , F ) dan olingan e i , i + n ( 1 ≤ i ≤ n ) va e i , j + n + e j , i + n ( 1 ≤ i ≠ j ≤ n ) matritsalar yordamida chiziqli ifodalash mumkin. Ularning soni n + 1 2 ( n 2 − n ) ta. Shu tarzda p ni ham ei+n,i(1≤i≤n) va ei+n,j+ej+n,i(1≤i≠ j≤n) lar orqali chiziqli ifodalash mumkin, ularni soni ham n + 1 2 ( n 2 − n ) ga teng. Demak , dim FSp (2n,F)= n+(n¿¿2− n)+2(n+1 2(n2− n))= 2n2+n¿ . 10 B n : F 2 n + 1 matritsalar algebrasida S= ( 1 0 0 0 0 En 0 En 0) matritsani belgilaymiz. o ( 2 n + 1 , F ) = { x ∈ F 2 n + 1 | Sx = − X T S } to’plamni qaraylik. U holda o(2n+1,F) gl ( 2 n + 1 , F ) ning qism algebrasi va ortogonal Li algebrasi deyiladi. o ( 2 n + 1 , F ) ning har bir elementini ( a b 1 b 2 c 1 m l c 2 p q ) ko’rinishda yozish mumkin, bu yerda a ∈ F ( a ∋ biror son deb tushunish mumkin ) , b1 ,b2 -lar uzunligi n ga teng bo’lgan satrlar, c1,c2 -lar uzunligi n ga teng bo’lgan ustunlar va m ,l,p,q lar Fn ning elementlari, ya’ni n o’lchovli kvadrat matritsalar. Endi Sx =− xTS tenglikdan a=0, c 1 =- bT , c 2 =- b1T ,eT =-e, pT =-p, mT =-q tengliklarni hosil qilamiz. Haqiqatdan ham SX = ( 1 0 0 0 0 En 0 En 0 ) ∙ ( a b1 b2 c1 m l c2 p q) = ( a b1 b2 Enc2 Enp Enq Enc1 Enm Enl) = ( a b 1 b 2 c 2 p q c 1 m l ) , Endi - X T ∙ S ni qaraylik, XT∙S= ( a C1T C2T b1T mT pT b2T eT qT) ∙ ( 1 0 0 0 0 En 0 En 0) = ¿ − ( a E n c 2T c 1T E n b 2T p T E n m T E n b 2T q T E n e T E n ) = ( − a − c 2T − c 1T − b 2T − p T − m T − b 2T − q T − e T ) ∙ SX = − X T S a=-a, c2 =- b1T , c 1 =- b2T , b 1 =- c2T , b 2 =- c1T , p=- pT , l=- lT , q=- mT , m=- qT . Bulardan a=0, c1 =- b2T , c2 =- b1T , l=- l T , p=- p T , va q=- m T lar kelib chiqadi (A=- BT dan ( A ) T = (− BT)TAT =- ¿ =-B kelib chiqadi). 11 1.2 Li algebrasining asosiy strukturalari Biz ba’zi bir tabiiy chiziqli Li algebralarini qarab chiqdik. Bunda bitta Li algebrasini topsak, unga izomorf bo’lgan bo’lgan algebralari ham Li algebralari bo’lar ekan. Biz endi Li algebralarini qanday qurishimiz mumkinligini o’ylaymiz. Misol uchun , agar L F maydon ustidagi chekli o’lchamli vektor fazo bo’lsa, biz L dan Li algebrasini hosil qiladigan amalni shunday topishimiz kerakki, bunda ∀ x ∈ L uchun [x,x]= 0 o’rinli bo’lishi kerak va yana boshqa shartlar ham. Agar L chekli o’lchamli algebra bo’lsa va uning bazislari e1,e2,… ,en uning bazislari bo’lsa , u holda L ning har bir har bir elementi shu bazislar orqali ifodalanadi va shu jumladan bazislarning ixtiyoriy ikkitasining ko’paytmasi ham shu algebraga tushgani uchun , ko’paytma ham shu bazislar orqali ifodalandi. Ya’ni quyidagicha ifodalansin. ¿ Bunda kiritilayotgan amalimizda bazislarning ko’paytmasi qanday kiritilish bo’lishini aniqlashtirib olishimiz kerak bo’ladi. Aytaylik, [ e i , e j ] = ∑ k = 1n a i , jk e k bo’lsin deylik. Bunda ai,jk larga Li algebrasining struktura o’zgarmaslari deyiladi. Bunda a i , jk lar uchun quyidagi shartlar bajarilishi kerak agarki, Li algebrasi qurilayotgan bo’lsa: { ai,ik=0=ai,jk +aj,ik ∑k (ai,jk ak,lm +aj,lk ak,im +al,ikak,jm )=0 Amalda Li algebralarini bunday suniy tarzda qurish bizga katta noqulayliklar keltiradi. Ammo qaralayotgan vektor fazomiz yoki algebramiz o’lchami kichik o’lchamli dimL ≤2 bo’lganda Li algebralarini bemalol aniqlashimiz mumkin. Agar algebra o’lchami 1 bo’lsa, [e¿¿1,e1]=0¿ amal kiritish orqali yasaladi. 12 Agar algebra ikki o’lchamli bo’lsa, e1,e2∈L uchun ¿ Amal kiritish yetarli, albatta bunda Yakobi ayniyatlarini ham tekshirish kerak. Agar algebra 3 o’lchamli bo’lsa, misol uchun amalni quyidagicha kiritishimi ham mumkin: e1,e2,e3∈L uchun { [ e 1 , e 2 ] = e 3 [ e 1 , e 3 ] = e 2 [ e 2 , e 3 ] = e 0 Yana shunga o’xshash L = R 3 da e1,e2,e3∈R3 vektorlar uchun vektorlarni vektorial ko’paytmasini ham amal qilib kiritsak , u holda bu amalga nisbatan hosil bo’lgan algebra Li algebrasi hosil qilishini tekshirib ko’rish qiyin emas. 1.3 Nilpotent va yechiluvchan Li algebralari Endi biz Li alebrasi uchun quyidagicha belgilashlar kiritib olaylik; Ta’rif 1.3.1 Agar Li algebrada bo’lsa, u holda ga nilpotent algebra deyiladi. Misol uchun L={( 0 a b 0 0 c 0 0 0);a,b,c∈R} algebrani qaraylik. Buni bazislarini E 1 = ( 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ) , E 2 = ( 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ) , E 3 = ( 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ) Bunda kiritilgan amalimimiz, A,B∈L uchun amalimiz: [ A , B ] = AB − BA Demak, [ E ¿ ¿ 1 , E 1 ] = ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ¿ 13 [ E ¿ ¿ 1 , E 2 ] =( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ¿ [ E ¿ ¿ 1 , E 3 ] = ( 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ) ¿ [ E ¿ ¿ 2 , E 2 ] = ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ¿ [ E ¿ ¿ 2 , E 3 ] = ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ¿ Demak, L 2 = { ( 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ) } bo’layapti. ( 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ) element bilan L ning ixtiyoriy elamenti ko’paytmasi nol bo’lishini tekshirish qiyin emas. Ta’rif 1.3.2 Agar Li algebrada bo’lsa, u holda ga yechiluvchan algebra deyiladi. Teorema 1.3.1 Nilpotent bo’lgan algebra yechiluvchan algebra bo’ladi. Isbot: Barcha k∈N uchun L[k]⊆ Lk ekanligini induksiya bilan ko’rsatishimiz mumkin. Lekin, teskarisi o’rinli emas. Bunga misol qilib, L algebrani quyidagi matritsalar to’plamini olaylik : L={( a b 0 − a),a,b∈R} dimL =2 va E 1 = ( 1 0 0 − 1 ) , E2=( 0 1 0 0) , bunda A,B∈L uchun amalimiz: [ A , B ] = AB − BA . Bu kiritilgan amal bo’yicha nilpotentlikka tekshiramiz. [E1,E1]=( 1 0 0 −1)( 1 0 0 −1)−( 1 0 0 −1)( 1 0 0 −1)=0 14 [E1,E2]=( 1 0 0 −1)( 0 1 0 0)−( 0 1 0 0)( 1 0 0 −1)=( 0 2 0 0)= 2E2 [E1,E2]=−2E2 [E 2 , E 2 ] = 0 Demak, L2 bazisi { E 2 } ekan, L2= L3=… ⇒ spin L2={E2} . Shunday qilib L algebra nilpotent emas ekan. Endi yechiluvchanlikka tekshiramiz. Yuqorida hosil qilgan L 2 = { E 2 } dan ma’lum bo’ladiki, L[3]= L[2]× L[2]=0 chunki, [ E 2 , E 2 ] = 0 . Teorema 1.3.2 (Engel teoremasi) L chekli o’lchamli Li algebrasi bo’lsin. L Li algebra nilpotent Li algebra bo’ladi faqat va faqat L ning barcha x elementlari ad -nilpotent bo’lsa. Bunda ad -nilpotent degani, adx:L→ L akslantirishda a d x ( y ) = [ x , y ] kiritilganda ad ( X ) k = 0 o’rinli bo’ladigan ∃ k ∈ N bo’lsa, x ga ad -nilpotent element deyiladi. Lemma: nilpotent algebra ideal Maksimal nilpotent idealga algebraning nilradikali deyiladi. 15 II BOB. LI ALGEBRASINING MARKAZIY KENGAYTMALARI 2.1 Algebra kengaytmasi va algebra markaziy kengaytmasi. Bizga L algebra va V vektor fazo berilgan bo’lsin.Endi L algebra va V vektor fazo uchun quyidagi akslantirishlar topilib , ular uchun quyidagi shartlar qanoatlantirsin φ0(0)=0L , Kerf φ 1 = ℑ φ 0 = 0 L , Kerf φ2= ℑφ1 Bunda φ1(0L)=0E ⇒ φ1− ¿ inyektiv V= Kerf φ3= ℑφ2⇒ φ2 -suryektiv Shartlarni qanoatlantirsa u holda E ga L algebrani V vektor fazo bo’yicha kengaytmasi deyiladi. Agar shu akslantirishda Z ( E ) ≌ V bo’lsa ( ma’lumot uchun Z ( E ) = { x| xy = 0 , ∀ y ∊ E } , E ga L algebrani V vektor fazo bo’yicha markaziy kengaytmasi deyiladi. Shunday qilib kengaytma va markaziy kengaytma ta’riflarini bilib oldik. Endi E algebrani qanday qurish haqida o’ylaymiz. 16 Bizga L algebra va V vektor fazo berilgan bo’lsin. E sifatida E= L⊕V to’g’ri yig’indini olamiz, ya’ni bu degani ∀ x , y ∊ L va ∀ u , v ∊ V uchun ( x + u )( y + v ) = xy + ⍬ ( x , y ) bo’lsin, ya’ni bu yerda kiritilayotgan amalimiz ¿:L⊕V × L⊕V → L⊕V uchun yuqoridagi amal kiritilyapti va ⍬ : L × L → V bichiziqli akslantirish bo’lib, bu akslantirish E = L ⊕ V algebrasini Li algebra ekanligini taminlash uchun antikomutativ va Yakobi ayniyatini qanaotlantirishi kerak. Antikomutativ bo 'lish : ( x + u )( y + v ) = − ( y + v ) ( x + u ) ⇒ xy + ⍬ ( x , y ) = − ( yx + ⍬ ( y , x ) ) ⇒ ⍬(x,y)=− ⍬(y,x) Yakobi ayniyati bajarilishi : xuddi yuqoridagidek Yakobi ayniyati shartiga tekshirishga quyilgandan esa ⍬(xy ,z)+⍬(yz ,x)+⍬(zx ,y)= 0 bo’lishligi kelib chiqadi. Endi biz φ1 va φ2 akslantirishlarni quyidagicha kiritamiz: φ1:L→ L⊕V da φ 1 ( a) = ( a , 0 ) va φ2:L⊕V → V da φ 2 ( b , v ) = v Bu akslantirishlar φ0(0)=0L , Kerf φ 1 = ℑ φ 0 = 0 L , Kerf φ2= ℑφ1 shartlarni ham to’laqonli qanoatlantiradi. Endi keling biz Li algebrasining markaziy kengaytmasini topishga doir bitta misolni qaraylik. Misol. Bizga 4 o’lchamli L={e1,e2,e3,e4} Li algebrasi { e 2 e 1 = e 3 e 3 e 1 = e 4 amal bilan berilgan bo’lsin va V=e5 bir o’lchamli chiziqli fazo berilgan bo’lsin. L li algebrasini V fazo bo’yicha markaziy kengaytmasini toping. Yechim: Markaziy kengaytma E = L ⊕ V to’g’ri yig’indi bo’ladi. Demak bunda ¿:L⊕V × L⊕V → L⊕V kiritilayotgan 17 ( x + u )( y + v ) = xy + ⍬ ( x , y ) amalimizda ⍬:L×L→ V bichiziqli akslantirishni ko’rinishini ( o’tish matritsasini) topib olamiz ya’ni bu akslantirishni quyidagi shartlar orqali aniqlaymiz: Antikomutativ bo ' lish : (x+u)(y+v)=−(y+v)(x+u) ⇒ ⍬(x,y)=− ⍬(y,x) Yakobi ayniyati bajarilishi : ⍬ ( xy , z ) + ⍬ ( yz , x ) + ⍬ ( zx , y ) = 0 . Demak, bizda { ⍬ ( e 1 , e 2 ) = α 12 e 5 ⍬ ( e 1 , e 3 ) = α 13 e 5 ⍬ ( e 1 , e 4 ) = α 14 e 5 ⍬ ( e 2 , e 3 ) = α 23 e 5 ⍬ ( e 2 , e 4 ) = α 24 e 5 ⍬ ( e 3 , e 4 ) = α 34 e 5 Bunda ⍬:L×L→ V akslantirishning o’tish matritsasi quyidagi ko’rinishda bo’ladi: ( 0 − α12 − α13 − α14 α12 0 −α23 −α24 α13 α23 0 −α34 α14 α24 α34 0 ) Endi ⍬ : L × L → V akslantirishni Yakobi ayniyatini qanoatlantirishiga tekshiramiz. e1,e2,e3: ⍬(e1e2,e3)+⍬(e2e3,e1)+⍬(e3e1,e2)= 0 ⇒ ⍬(−e3,e3)+⍬(0,e1)+⍬(e4,e2)=0 ⇒ 0+0+ ⍬(e4,e2)=0 ⍬(e4,e2)=0⇒ − ⍬(e2,e4)=0⇒ ⍬(e2,e4)= 0⇒ α24=0 . Xuddi shunday e1,e2,e4: ⍬(e1e2,e4)+⍬(e2e4,e1)+⍬(e4e1,e2)=0 ⇒ ⍬(e3,e4)= 0 ⇒ α 34 = 0 e 1 , e 3 , e 4 : ⍬ ( e 1 e 3 , e 4 ) + ⍬ ( e 3 e 4 , e 1 ) + ⍬ ( e 4 e 1 , e 3 ) = 0 ⇒ 0=0 e2,e3,e4: ⍬(e2e3,e4)+⍬(e3e4,e2)+⍬(e4e2,e3)=0 ⇒ 0=0 18 Bulardan ⍬:L×L→ V akslantirishning o’tish matritsasi yanada aniqroq quyidagi ko’rinishga keladi. ( 0 − α12 − α13 − α14 α12 0 −α23 0 α13 α23 0 0 α14 0 0 0 ) Demak, bu o’tish matritsasi bazisi Z 2 ( L 4,1 , C ) = {( 0 − 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ,( 0 0 − 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ) ,( 0 0 0 − 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ) ,( 0 0 0 0 0 0 − 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 )} Demak, barcha ⍬:L×L→ V akslantirishning o’tish matritsalari Z2(L4,1 ,C) ning elementlarining ixtiyoriy chiziqli kombinatsiyalari ekan. Shunday qilib bizda E = L ⊕ V algebra L algebrani V vektor fazo bo’yicha markaziy kengaytmasi bo’lib uning elementlari uchun amal quyidagi (e1+e5)∗(e1+e5)=e1e2+⍬(e1,e2)=−e3+α12e5 (e1+e5)∗(e3+e5)=e1e3+⍬(e1,e3)=−e4+α13e5 ( e 1 + e 5 ) ∗( e 4 + e 5 ) = e 1 e 4 + ⍬ ( e 1 , e 4 ) = α 14 e 5 (e2+e5)∗(e3+e5)=e2e3+⍬(e1,e2)=α23e5 ko’rinishda bo’lar ekan. Yuqoridagi hosil bo’lgan markaziy kengaytma ko’rinishi α ij ∈ C koeffitsiyentlarning ixtiyoriyligiga ko’ra cheksiz ko’p bo’ladi. Shuning uchun endi biz kengaytmani izomorfizm aniqlikda klassifikatsiyalarga ajratilgan holda aniqlashtirib chiqish masalasini oldimizga qo’yishimiz kerak bo’ladi. 19 2.2 Nilpotent Li algebralarining markaziy kengaytmalari vektor fazo va maydon ustidagi nilpotent Li algebra bo’lsin. dagi chiziqli fazoda quyidagi bichiziqli antisimmetrik akslantirishlarni qaraylik Bu elementlar 2- cocycles deb ataladi. chiziqli akslantirishda akslantirish uchun tenglikni belgilaylik, bunda . Biz quyidagi 2-coboundories to’plamni belgilaylik . Biz endi 2- cohomology fazosi ni da belgilaylik. uchun quyidagi chiziqli fazoda ko’paytmani belgilaylik, barcha uchun munosabat o’rinli bo’lsin. 20 ga ning bo’yicha s-o’lchamli markaziy kengaytmasi deb aytiladi. Bunda s=n+k , dimN =n va dimV = k . Bunda tekshirish qiyin emaski Li algebrasi bo’ladi faqat va faqat bo’lsagina. gruppaning automorfizmi bo’lsin va bo’lsin. ustida guruppada uchun quyidagi o’rinli bo’lsin . Bunda tekshirish qiyin emaski ga invariant. Shuningdek biz keltira olamizki ning ustida. to’plamni biz ning anhilotori deymiz va ni esa algebraning markazi deymiz. Shuningdek quyidagicha belgilashni ham olamiz . Har qanday Li algebrasida nolmas markazning markaziy kengaytmasi algebraning o’lchamidan kichikroq bo’ladi. Biz quyida har qanday o’lchamli nilpotent Li algebrasining markaziy kengaytmasi o’lchami dan katta emasligini keltirib o’tamiz. Bizda quyidagi chiziqli fazoning bazislari va bo’lsin. Bunda biz uchun yagona tarzda quyidagilarga egamiz bu yerda Bundan esa bo’ladi faqat va faqat . 21 U holda Li algebrasida va , bundan esa Li algebrasida chiziqli bog’lanmagan annihilator komponentalari mavjudligi kelib chiqadi. maydon ustidagi chekli o’lchamli vektor fazo bo’lsin. bilan chiziqli fazoning barcha o’lchamli chiziqli qism fazolari to’plamini belgilaylik. to’plam esa ning dagi o’lchamli qism fazolari bo’lsin. da larni qaraylik. bo’lsin. Endi uchun belgilash olaylik. Biz da ning ta’sirini quyidagicha belgilaylik . , Biz osongina tekshirishimiz mumkinki, bo’lsa, u holda bo’ladi va bundan ning stabl ta’siri to’plamini belgilaymiz. Endi, o’lchamli chiziqli fazo bo’lsin va bilan esa ustidagi barcha ning barcha non-split o’lchamli markaziy kengaytmalar to’plamini 22 belgilaylik. Bulardan esa biz quyidagicha yozishimiz mumkin: Biz shuningdek quyidagi natijalarga ega bo’lamiz: Lemma 1: bo’lsin. Faraz qilaylik va . U holda va Li algebralari izomorfdir faqat va faqat tenglik bajarilsa. 2.3 Yechiluvchan Li algebralarning markaziy kengaytmalari yechiluchan Li algebrasi va vektor fazo bo’lsin. akslantirish , antisimmetrik bichiziqli akslantirish bo’lsin va quyidagicha aniqlansin: bu yerda . Bu shartlarni qanoatlantiruvchi bilinear aksalantirishlarga bilan ga qurilgan 2- cosycles deb ataymiz. Biz barcha 2-cosycleslar to’plamini deb belgilaymiz. bilan ga qurilgan quyidagi akslantirishlarni esa 2-coboundaries deb ataymiz: bunda chziqli akslantirish va . 23 Biz 2-coboundarieslaring barchasi to’plamini bilan belgilaymiz va bu ning qism toplamidir. ning fazoa bo’yicha faktor fazosini esa bilan belgilaymiz, bunda . Endi biz Li algebra uchun markaziy kengaytmani beramiz. vektor fazoda uchun Li algebrasining qurilishi quyidagicha : barcha . da algebraning kengaytmasini deb belgilaymiz. ning nilradicalini deb belgilaylik va ning markazini esa deb belilaylik. Endi biz ning nilradikalini bilan va ning markazini bilan belgilaylik. da ning markaziy kengaytmasi ni va radikali bilan o’rganamiz. Quyidagicha belgilashlarni olaylik , , . Tasdiq : da ning kengaytmasi bo’lsin. U holda a) ning nilradikali da ning markaziy kengaytmasi bo’ladi faqat va faqat bo’lgandagina. 24 b) bo’lsin. U holda bo’ladi faqat va faqat bo’lgandagina. Bu tasdiqdan biz osongina bilishimiz mumkinki, nilotent bo’lgan holda bu kengaytma ning markaziy kengaytmasi bo’ladi faqat va faqat . Bundan esa yana quyidagini ham aytishimiz mumkin, va kengaytmalar izomorf bo’ladi faqat va faqat quyidagi tengliklar bajarilganda bu yerda . Bu tenglikdan foydalanib, biz Aut L × Aut V ekanligini ⋃θZ2(L,θ,V) guruhidan aniqlaymiz. Bu yerda ψ halqalar θ 2 -cosycles kabi ishtirok etadi va quyidagi shartlarni bajaradi: θ'(x)(a)= β(θ(α(x))(β−1(a))), ψ'(x,y)= β(ψ(α(x),α(y))). Agar bu yerda β , θ ' uchun asosiy funksiya bo’lsa θ∘α bo’ladi. ( 2.2 ) dan ma’lumki keyingi ikki kengaytmalar L(ψ1,θ1) va L(ψ2,θ2) , α∈Aut (L),β∈Aut (V) mavjud bo’lsa ushbu tenglik izomorfik o’xshashlikni namoyon etadi: ψ2− β∘ψ1∘α∈B2(L,θ2,V) Bu yerda β , θ 2 hamda θ1∘α lar uchun asos bo’lib xizmat qiladi. 25 Shuni nazarda tutish kerakki Aut ( L ) × Aut ( V ) ning H 2 ( N , V ) cheklangan harakati vazifasi GkH 2(N ,F) dagi k-o’lchamli kengliklarda Aut (L) gomologiy teoremasini namoyish etadi bu holda u abeliy faktoriga ega bo’lishi lozim. N ya’ni L ( ψ , θ ) . Biz Aut ( L ) − ¿ orbitasini Ω G k H 2 ( N , F ) o’z ichiga oladi hamda Z ( N ) da yadroga ega bo’lmaydi. Ann ( ψ 0 ) ∩ Z ( N ) = 0 barchasi uchun ψ0∈Λ , where Λ , Ω orqali o’tadi. H 2 ( L , L / N , V ) kenglik bo'lib ⋃θH 2(L,θ,V) θ orqali namoyon bo’ladi va quyidagi L V Dan tenglikni keltirib chiqaradi Ker θ ⊃ N and ´ N / V ≅ N Teorema : L yechiluvchan Li algebrasi bo’lsin, F va N L ning nilradikali hisoblanadi. Bu yerda V ning k-o’lchamli markazi Ñ nilradikali va L Li algebrasi da umumiylikka ega hisoblanadi . Shunga o’xshash ´L/V ≅L,´N /V ≅N ham nol qiymatga teng bo’lmagan holda abelian ko’rinishga ega. Aut (L)×Aut (V) ning H 2 ( L , L / N , V ) dagi Ω orbitalari ikki tomonlama sharhlanishi mumkin. Agar (α,β,ψ)→ (β∘ψ∘α) bo'lsa quyidagi shartlar mos keladi. 1 . Agar ψ ∈ Ω ∩ H 2 ( L , θ , V ) bo’lsa, V , V= B⊕D kabi yozilishi mumkin emas. Bunda B ⊃ ψ ( L , L ) , θ ( L ) B ⊂ B , va 0 ≠ D ⊂ C ( θ ) , hamda C ( θ ) = { a ∈ V : θ ( L ) a = 0 } 2 . Ann ( ψ 0 ) ∩ Z ( N ) = 0 . Bu teorema bizga barcha yech iluvhan Li algebrasini n va n dan kichik o’lchamda yuzaga chiqarish uchun algoritm taqdim etadi. 2.4. To ’ rt o ’ lchamli yechiluvchan Li algebrasining ikki o ’ lchamli kengaytmasi Ma ’ lumki , markaziy kengaytma usuli chekli o ’ lchamli algebralarni klassifikatsiya qilish uchun juda samarali usuldir . Bu metod birinchi marta kuchli matematiklar Skjelberd va Sund tomonidan yechiluvchan Li algebralarini klassifikatsiya qilishda foydalanilgan. Keyinchalik esa Sund tomonidan yechiluvchan Li algebralar uchun umumlashgan markaziy kengaytma usuli ko’rib chiqiladi. Shuni takidlash kerakki yechiluvhan Li algebrasi markaziy kengaytmasi nilpotent Li algebrasi markaziy kengaytmasiga qaraganda qiyinroqdir, ayniqsa ikki o’lchamli 26 fazo bo’lganda bir o’lchamliga qaraganda qiyinroqdir. Quyida biz to’rt o’lchovli yechiluvchan Li algebrasining ikki o’lchovli chiziqli fazoda markaziy kengaytmasini ko’rib chiqamiz. L yechiluvchan Li algebra bo’lsin va A abelian algebra bo’lsin. Quyidagi akslantirishlarni qaraylik va antisimmetrik bichiziqli akslantirish bo’lsin va quyidagicha aniqlansin: bu yerda . Bu shartlarni qanoatlantiruvchi bilinear aksalantirishlarga bilan ga qurilgan 2- cosycles deb ataymiz. Biz barcha 2-cosycleslar to’plamini deb belgilaymiz. bilan ga qurilgan quyidagi akslantirishlarni esa 2-coboundaries deb ataymiz: bunda chziqli akslantirish va . Biz 2-coboundarieslaring barchasi to’plamini bilan belgilaymiz va bu ning qism to”plamidir. ning fazoa bo’yicha faktor fazosini esa bilan belgilaymiz, bunda . Bunda esa yana quyidagini ham aytishimiz mumkin, va kengaytmalar izomorf bo’ladi faqat va faqat quyidagi tengliklar bajarilganda 27 bu yerda . To’rt o’lchamli yechiluvchan Li algebrasining ikki o’lchamli kengaytmasiga bitta misol keltiraylik Bizga yechiluvchan Li algebrasi quyidagi ko’patyma bilan berilgan bo’lsin.{[e¿¿1,e4]= e1¿[e¿¿2,e4]= e2¿[e3,e4]=−e3 Tasdiq: L algebraning 2-o’lchamli markaziy kengaytmasi algebra ko’rinishi quyidagi algebralar izomorfizm aniqlikda bo’ladi. , III BOB. TABIIY DARAJALANGAN LI ALGEBRASINING MARKAZIY KENGAYTMALARI 28 3.1 Tabiiy darajalangan Li algebrasining markaziy kengaytmasi L ni e1,e2,… ,en asosga ega Li algebrasi deb olamiz. Keyin, Δij dan Δij : L × L ⟶ C keltirib Δ ij ( e l , e m ) = δ il δ jm o'tamiz. { Δ ij : 1 ≤ i , j ≤ n } to’plami L uchun chiziqli kenglikni namoyon etgan holda, har bir ψ ∈ Z 2 ( L , V ) , ψ= ∑1≤i,j≤ncijΔij , kabi alohida yozilishi mumkin ,ya'ni c ij ∈ C . Keyingi tadsiqlar 2-cosycleni tushuntirib, bunda nn,1 va Q2n kogomologiya xossasiga ega tabiiy ketma-ketlikni namoyon etadi. Tasdiq 3.1.1 nn,1 Li algebrasi uchun quyidagilar mos keladi:  Z 2 ( n n , 1 , C ) ning asosi ikki halqali tenglikdan tuziladi. Z 2 ( n n , 1 , C ) = ¿  B2(nn,1,C) ning asosi ham ikki halqali tenglikdan tuziladi. B2(nn,1,C)= ⟨Δi,1,2≤i≤n−1⟩.  H 2 ( n n , 1 , C ) ning asosi quyidagilardan tashkil topadi: H 2 ( n n , 1 , C ) = ¿ Bu yerda ⌊n⌋ n ning butun son qismi hisoblanadi. Isbot. Isbot ikki halqali tenglik hamda ikki o’lchovli fazo tushunchalari da o’z asosini topadi. Tasdiq 3.1.2 Li algebra Q2n uchun quyidagilar mos keladi:  Z2(Q2n,C) ning asosi quyidagi ikki halqali tenglikdan tuziladi: Z2(Q2n,C)=¿  B2(Q2n,C) ning asosi quyidagi ikki tomonlama tenglikdan tuziladi: B 2 ( Q 2 n , C ) = ¿ 29 H 2(Q2n,C) ning asosi quyidagi ikki halqali tenglikdan tuziladi H 2(Q2n,C)=¿ Isbot. Isbot ikki tomonlama hamda ikki halqali tenglik tavsifidan iborat. 3.2 dagi proportsiyadan biz osonlik bilan Ann ( ψ ) ∩ Z ( Q 2 n ) = { e n } ni keltirib chiqaramiz va bu keyingi natijalarga ega bo’ladi ψ∈Z2(Q2n,C) . Bu yerda bo’linmas markaziy kengaytma mavjud emas Q2n . Shuningdek, nn,1 algebra uchungina markaziy kengaytma ga murojaat etamiz. n n , 1 shu maqsadida avtomorfizm guruhi beriladi. Tasdiq 3.1.3. φ∈Aut (nn,1) bo’lsa : φ= ( a1 0 0 0 0 … 0 0 a2 b2 0 0 0 … 0 0 a3 b3 a1b2 0 0 … 0 0 a4 b4 a1b3 a12b2 0 … 0 0 a5 b5 a1b4 a12b3 a13b2 … 0 0 … … … … … … … … an−1 bn−1 a1bn−2 a12bn−3 a13bn−4 … a1n−3b2 0 an bn a1bn−1 a12bn−2 a13bn−3 … a1n−3b3 a1n−2b2 ) Keyingi teoremada biz n n , 1 Li algebrasining barcha bir-o’lchamli markaziy bo’linmas kengaytmalarini keltiramiz. Teorema 3.1.1 Algebra nn,1 ixtiyoriy bo’linmas markizy kengaytmasi izomorfik xossasiga ega bo’lmagan quyidagi juftliklar uchun izomorfik xususiyatini namoyon etadi. nn+1,1 ,Qn+1 and Lk(2≤k≤⌊n 2⌋):¿ Bu yerda ⌊n⌋ n ning butun son qismi hisoblanadi . Remark 3.5. Q n + 1 algebrasi faqat n toq bo’lgandagina yuzaga keladi. Isbot. Teoremani isbotlashda biz n amallari juft hamda toqligini alohida ko’rib chiqamiz. 30 n juft bo’lganda quyidagilar to’g’ri ∇1=[Δn,1],∇ j=¿ Natijada ¿ φ∈Aut (nn,1) uchun va har bir ψ = ⟨ α 1 ∇ 1 + α 2 ∇ 2 + … + α n 2 ∇ n 2 ⟩ , bizning ⟨ψ ⟩ kenglikda avtomorfizm guruhga tegishli fazoda amallarimiz bajariladi. ⟨ α 1¿ ∇ 1 + α 2¿ ∇ 2 + … + α n 2¿ ∇ n 2 ⟩ Bu yerda Shuni ta’kidlash osonki Ann ( ψ ) ∩ Z ( n n , 1 ) = 0 ga α 1 ≠ 0 bo’lgan holda teng bo'ladi. Keyingi natijalarga qarasak : - Agar α i = 0 ning qiymati i ( 2 ≤ i ≤ n 2 ) ni bajarsa αi¿=0 ushbu tenglik kelib chiqadi ⟨ ∇ 1 ⟩ .  Agar α2≠0 va α i = 0 , i ( 3 ≤ i ≤ n 2 ) ga mos kelsa { α 1¿ = α 1 a 1 n − 1 b 2 , α 2¿ = α 2 a 1 b 22 . a1=1,b2= α1 α2 ni tanlab biz ⟨∇1+∇2⟩ ga ega bo’lamiz .  Endi umumiy holatga yuzlansak , αk≠0 k va α i = 0 uchun mos ravishda quyidagilarni keltirib chiqaradi ( k + 1 ≤ i ≤ n 2 ) . 31 Then choosing a1=1,b2= α1 αk , va b 2 t = − 1 2 α k b 2 ¿ , Bunda 2 ≤ k ≤ n 2 , 2 ≤ t ≤ k − 1 , bizda ko’rsatuvchi bor ⟨ ∇ 1 + ∇ k ⟩ . Oldingi barcha orbitalar har xil bo’lganligini bo’lish qiyin emas. T 1 ( n n , 1 ) = Orb ⟨ ∇ 1 ⟩ ∪ Orb ⟨ ∇ 1 + ∇ 2 ⟩ ∪ Orb ⟨ ∇ 1 + ∇ 3 ⟩ ∪ … ∪ Orb ⟨ ∇ 1 + ∇ n 2 ⟩ . Orbita uchun ⟨ ∇ 1 ⟩ , ( n + 1 ) -yo’nalishli tabiiy ketma-ketlikka ega Li algebrasi n n + 1,1 va Orb ⟨ ∇ 1 + ∇ k ⟩ orbitalari uchun Lk for 2≤k≤⌊n 2⌋ bor. Agar n toq bo’lsa: ∇1=[Δn,1],∇ j=¿ Natijada ψ= ⟨α1∇1+α2∇2+… +αn+12 ∇ n+12⟩ , bizda avtomorfiz guruhiga tegishli ⟨ ψ ⟩ mavjud. ⟨α1¿∇1+α2¿∇2+… +αn+12 ¿ ∇n+12⟩, α1¿= a1n−2b2(α1a1−αn+12 a2),αn+12 ¿ = αn+12 a1n−2b22, ¿ Shuni yodda tutish kerakki ( ψ 0 ) ∩ Z ( n n , 1 ) = 0 keyingiga mos kelsa (α1,αn+12)≠(0,0 ) .  Agar α n + 1 2 ≠ 0 bo'lsa a 1 = 1 , a 2 = α 1 α n + 1 2 , b 2 = √ 1 α n + 1 2 , ¿ 32 Bunda 2 ≤ t ≤ n − 1 2 , Bizda ⟨ ∇ n + 1 2 ⟩ mavjud bo’ladi .  Agar α n + 1 2 = 0 , biz keyingi holatlarni ko’rib chiqamiz.  Agar α1≠0 va αi=0 , 2 ≤ i ≤ n − 1 2 uchun mos kelsa a 1 = 1 , b 2 = 1 α 1 ni tanlagan holda biz ⟨ ∇ 1 ⟩ ga ega bo’lamiz .  Agar α2≠0 va αi=0 bo’lsa 3≤i≤ n−1 2 uchun biz quyidagilarga ega bo’lamiz { α 1¿ = α 1 a 1 n − 1 b 2 , α 2¿ = α 2 a 1 b 22 , Va a1=1,b2= α1 α2 ni tanlagan holda ⟨∇1+∇2⟩ keladi.  Agar α k ≠ 0 , 2 ≤ k ≤ n − 1 2 va α i = 0 uchun k + 1 ≤ i ≤ n − 1 2 bo’lsa a1=1,b2= α1 αk , b 2 t = − 1 2 α k b 2 ¿ , bunda 2 ≤ t ≤ k − 1 , ⟨ ∇ 1 + ∇ k ⟩ ga ega bo’lamiz. Bunda ham oldingi barcha orbitalar har xil bo’lishini ko’rishimiz mumkin. T 1 ( n n , 1 ) = Orb ⟨ ∇ 1 ⟩ ∪ Orb ⟨ ∇ 1 + ∇ 2 ⟩ ∪ Orb ⟨ ∇ 1 + ∇ 3 ⟩ ∪ … ∪ Orb ⟨ ∇ 1 + ∇ n − 1 2 ⟩ ∪ Orb ⟨ ∇ n + 1 2 ⟩ Bu yerda Orb ⟨∇n+12⟩ , Q n + 1 ga va Orb ⟨∇1⟩ va Orb ⟨∇1+∇k⟩ orbitalarga ega bo’lib, 2≤k≤n−1 2 n keyingi formula uchun juftlikni namoyish etadi nn+1,1 and L k for 2≤k≤⌊n 2⌋ . 33 3.2 Yechimga ega Li algebrasining ikki o’lchovli nilradikal bilan kengaytmasi Ushbu qismda biz algoritmdan foydalanib,2.8 teoremada berilgan yechimga ega Li Algebrasini yasashni hamda o’lchovidagi nilradikal tabiiy ketma-ketlikka ega yechiluvchi Li algebrasining bir o’lchamli kengaytmasi ni aniqlaymiz. Teorema 2.8 talabiga javob beruvchi kengaytmani yechimga ega Li algebrasining L bo’linmas kengaytmasi deb olamiz. Agar Q2n nol qiymatga ega algebraning bo’linmas markaziy kengaytmasi bo’lsa , ushbu nilradikal ga ega yechiluvchi Li algebrasi ham bo’linmas kengaytmaga ega bo'ladi. sn,2 shuningdek bu yerda Li algebrasining kengaytmasi muhim ahamiyatga ega. Tasdiq 3.2.1 Istalgan algebra sn,2 ning avtomorfizmi quyidagi shartlarni bajaradi: ¿ Isbot. Isbot avtomorfizm hodisasi bilan chambarchas bog’liq hisoblanadi. Hozir biz Z 2 ( s n , 2 , θ , C ) ning tavsifini keltirib, s n , 2 da ikki halqali tenglik ni θ ga ishlatib bir o’lchovli abelian algebrasidan C = { e n + 1 } keladi. Biz θ:sn,2→ End (C) bilan Ker θ⊃ nn,1 o’rtasidan quyidagi qiymatlarni chiqaramiz θ(x1)(en+1)=αen+1,θ(x2)(en+1)= βen+1. Tasdiq 3.2.1 ψ∈Z2(sn,2,θ,C) istalgan elementi quyidagicha tuziladi 1 . Agar ( α , β ) = ( 1 − n , − 1 ) , keyin ψ ( x 1 , x 2 ) = b 1,2 , ψ ( x 1 , e 2 ) = b 1,4 ψ ( x 1 , e 1 ) = ( n − 2 ) b 2,3 , ψ ( x 2 , e 1 ) = b 2,3 ψ ( x 1 , e j + 1 ) = ( j − n ) b 3 , j + 2 , ψ ( e 1 , e j ) = b 3 , j + 2 , 2 ≤ j ≤ n . 2 . Agar ( α , β ) = ( 2 − n , − 2 ) , keyin ψ ( x 1 , x 2 ) = b 1,2 , ψ ( x 1 , e 1 ) = n − 3 2 b 2,3 , ψ ( x 2 , e 1 ) = b 2,3 , ψ ( x 1 , e 2 ) = ( n − 2 ) b 2,4 , ψ ( x 2 , e 2 ) = b 2,4 , ¿ ψ ( x 2 , e j ) = b 2 , j + 2 , ¿ ψ ( e 1 , e j − 1 ) = − b 2 , j + 2 3 ≤ j ≤ n , ¿ ψ ( e i , e n + 2 − i ) = ¿ 34 Agar n juft bo’lganda, b4,n+2=0 . 3 . Agar ( α , β ) ≠ ( 1 − n , − 1 ) va ( α , β ) ≠ ( 2 − n , − 2 ) , keyin ψ ( x 1 , x 2 ) = b 1,2 ψ ( x 1 , e 1 ) = ( 1 + α ) b 2,3 , ψ ( x 2 , e 1 ) = β b 2,3 , ψ ( x 1 , e 2 ) = α b 2,4 , ψ ( x 2 , e 2 ) = ( 1 + β ) b 2,4 , ¿ ψ ( x 2 , e j ) = ( 1 + β ) b 2 , j + 2 ¿ ψ ( e 1 , e j − 1 ) = b 2 , j + 2 3 ≤ j ≤ n . ¿ Isbot. Istalgan ψ ∈ Z 2 ( s n , 2 , θ , C ) uchun ψ ( x 1 , x 2 ) = b 1,2 , ψ ( x 1 , e j ) = b 1 , j + 2 , ψ ( x 2 , e j ) = b 2 , j + 2 , 1 ≤ j ≤ n , ¿ ¿ Ikki halqali shartlarda to’g’ridan to’g’ri amal bajarilsa { bi,j=− bi+1,j−1, 4≤i≤n+1,i+1≤ j≤n+2, bi,n+2=0, 5≤i≤n−1, βb1,3=(1+α)b2,3 , ¿ 2≤ j≤n,¿b1,j+3=((j−1)+α)b3,j+2,¿2≤ j≤n−1,¿b2,j+3=(1+β)b3,j+2,¿2≤ j≤n−1,¿(n−1+α)b3,n+2=0,¿4≤i≤n+1,i−1≤ j≤n,¿(i+ j−6+α)bi,j+2=0,¿4≤i≤n+1,3≤ j≤n.¿(1+β)b3,n+2=0,¿¿(2+β)bi,j+2=0,¿¿ Agar b i , j = − b i + 1 , j − 1 , 4 ≤ i ≤ n + 1 , i + 1 ≤ j ≤ n + 2 uchun bizga quyidagilar mos keladi:  Agarda n juft bo’lsa , natijada b 4 , n + 2 = − b 5 , n + 1 = … = b n 2 + 3 , n 2 + 3 = 0 ,  Agar n toq bo’lsa, natijada b 4 , n + 2 = − b 5 , n + 1 = … = b n + 5 2 , n + 7 2 = − b n + 7 2 , n + 5 2 . n juft bo’lganda, biz keyingi natijalarga ega bo’lamiz bi,n+6−i=0 , 4 ≤ i ≤ n 2 + 3 uchun. Shuningdek, Agar ( α , β ) = ¿ (1− n,−1) , natijada bizda quyidagilar bo’ladi . { b 1,3 = ( n − 2 ) b 2,3 , ¿ b 1 , j = ( j − 3 − n ) b 3 , j − 1 , 5 ≤ j ≤ n + 2 , b 2 , j + 2 = 0 , ¿ ¿ 4 ≤ i ≤ n + 1 , 3 ≤ j ≤ n . ¿ Agar ( α , β ) = ( 2 − n , − 2 ) , natijada { b1,3= n− 3 2 b2,3 , ¿b1,j=(n+2− j)b2,j, 4≤ j≤n+2, b3,j−1=−b2,j, ¿ ¿ 4≤i≤n+1,i+1≤ j≤n+2,i+ j≠n+6.¿bi,j=0,¿.¿ n juft bo’lganda b4,n+2 ning qiymati ham nolga tenglashadi . Agar ( α , β ) ≠ ( 1 − n , − 1 ) va ( α , β ) ≠ ( 2 − n , − 2 ) , keyin 35 {β b 1,3 = ( 1 + α ) b 2,3 , ¿ ( 1 + β ) b 1 , j = ( j − 4 + α ) b 2 , j , 4 ≤ j ≤ n + 2 b 2 , j = ( 1 + β ) b 3 , j − 1 , ¿ ¿ 4 ≤ i ≤ n + 1 , i − 1 ≤ j ≤ n . ¿ b i , j + 2 = 0 , ¿ ¿ Endi biz B2(sn,2,θ,C) kengligini aniqlaymiz. f ( x 1 ) = c 1 e n + 1 , f ( x 2 ) = c 2 e n + 1 , f ( e i ) = c i + 2 e n + 1 , 3 ≤ i ≤ n , larni istalgan avtomorfizm ga ulab ϕ∈Aut (sn,2) natijada df ( y , z ) = f ( [ y , z ] ) + θ ( ϕ ( z ) ) ( f ( y ) ) − θ ( ϕ ( y ) ) ( f ( z ) ) Quyidagi shartlarga ega bo’lamiz df ( x 1 , x 2 ) = β c 1 − α c 2 , ¿ df ( x 1 , e 1 ) = − ( 1 + α ) c 3 , ¿ df ( x 1 , e 2 ) = − α c 4 , ¿ df ( x 1 , e j ) = − ( j − 2 + α ) c j + 2 , 3 ≤ j ≤ n , df ( x 2 , e 1 ) = − β c 3 , ¿ df ( x 2 , e j ) = − ( 1 + β ) c j + 2 , ¿ ¿ ¿ Quyidagilarni tushunish qiyin emas  ( α , β ) ≠ ( 1 − n , − 1 ) va ( α , β ) ≠ ( 2 − n , − 2 ) ,  ( α , β ) = ( 2 − n , − 2 ) va n juft Bizda Ann (ψ0)∩ Z(nn,1)={en}≠0 bor bo’lsa, yechimga ega Li algebrasining sn,2 bo’linmas kengaytmasini topish maqsadida biz (α,β)=(1−n,−1) va (α,β)=(2−n,− 2),n shartlarni bajarsa n toq hisoblanadi. Ushbu ikki holatlarda bizda dim Z2(sn,2,θ,C)= n+2,dim B2(sn,2,θ,C)=n+1 bo’lib, dim H 2(sn,2,θ,C)=1 ni bildiradi. Hamda H 2 ( s n , 2 , θ , C ) ham quyidagi kenglikda bajariladi H 2(sn,2,θ,C)= ⟨[ψ]⟩,ψ(en,e1)= en+1,(α,β)=(1− n,−1), ¿ Endi biz algebraning yangi mahsuloti deb ~L= sn,2⊕{en+1} olamiz. ( α , β ) = ( 1 − n , − 1 ) bo’lganda biz keyingi natijalarga ega bo’lamiz 36 [en,e1]=ψ(en,e1)=en+1, [en+1,x1]=−θ(x1)en+1=(n−1)en+1, [en+1,x2]=−θ(x2)en+1= en+1.Agar ( α , β ) = ( 2 − n , − 2 ) va n toq bo’lgan taqdirda quyidagi natijalarga ega bo’lamiz ¿ Shunday qilib, biz ushbu qismda o’zimizga tegishli natijaga erishdik. Teorema 4.3. ~ L , Lie algebra sn,2 ning bir o’lchovli bo’linmas kengaytmasi bo’lsa , ~L keyingi qiymatlardan biriga izomorfik hisoblanadi sn+1,2 va τ n + 1,2 . τn+1,2 qiymat n toq bo’lgandagina namoyon bo’ladi . n juft bo’lganda bu yerda faqatgina bir kengaytma mavjud bo'ladi sn+1,2 . 3.3 Yechimga ega Li algebrasining 1 o’lchov nilradikalidagi kengaytmasi Ushbu qismda biz yechiluvchi Li algebrasining barcha bir o’lchovli kengaytmasini aniqlaymiz: s n , 11 ( β ) , s n , 12 , s n , 13 , s n , 14 ( α 3 , α 4 , … , α n − 1 ) Biz birinchi ushbu qiymatlarda avtomorfizm hodisasiga baho beramiz. Tasdiq 3.3.1 . Algebra sn,11 (β) ning istalgan avtomorfizmi quyidagilarga ega : ϕ ( x ) = x + a 1 e 1 + 1 b 1 ∑ k = 2n − 1 ❑ ( β + k − 2 ) b k + 1 e k + a n e n , ϕ ( e 1 ) = b 1 e 1 + ∑ k = 3n ❑ b k e k , ¿ Algebra sn,12 ning istalgan avtomorfizmi quyidagi shakllarga ega : ϕ(x)= x+∑k=2 n ❑ akek,ϕ(e1)= b1e1+b1∑k=3 n ❑ ak−1ek ϕ(e2)=∑k=2 n ❑ ckek,ϕ(ei)=b1i−2∑k=i n ❑ ck−i+2ek,3≤i≤n. s n , 13 qiymatning istalgan avtomorfizmi keyingilarni bajaradi : 37 ϕ ( x ) = x + ∑ k = 1n ❑ a k e k , ϕ( e 1 ) = ∑ k = 1n ❑ b k e k , ¿ Agebra sn,14 (α3,α4,… ,αn−1) ning istalgan avtomorfizmi quyidagilarga ega : ϕ(x)= x+∑k=2 n−1 ❑ (bk+1+∑l=3 k−1 ❑ αlbk+2−l)ek+anen, ϕ(e1)= e1+∑k=3 n ❑ bkek,ϕ(ei)=∑k=i n ❑ ck+2−iek,2≤i≤n. Isbot. Avtomorfizm tushunchasidan to’g’ridan to’g’ri isbot kelib chiqadi. Biz hozir yechimga ega Li algebrasining ikki halqali shartlarda tavsifini hamda bir o’lchamli abelian qiymatni C= {en+1} keltiramiz. Ushbu qiymatlarning asosini { x , e 1 , e 2 , … , e n } tashkil etadi hamda nilradikal n n , 1 = { e 1 , e 2 , … , e n } ga teng bo’ladi Bunda biz keyingi natijalarga ega bo’lamiz θ ( x ) ( e n + 1 ) = γ e n + 1 , θ ( e i )( e n + 1 ) = 0 , 1 ≤ i ≤ n . Tasdiq 3.3.2 Istalgan ψ∈Z2(sn,11 (β),θ,C) bo’lgan element quyidagicha tuziladi : 1 Agar γ=1− n− β va β= n+2−2k uchun ( 2 ≤ k ≤ ⌊ n + 1 2 ⌋ ) , natijada ψ ( x , e 1 ) = b 1,2 , ¿ ψ ( x , e 2 ) = b 1,3 ψ ( e 1 , e j − 1 ) = b 2 , j , ¿ 3 ≤ j ≤ n , ¿ ψ ( e 1 , e n ) = b 2 , n + 1 , ¿ ψ ( e i , e 2 k + 1 − i ) = ¿ 2 Agar γ=1− n− β va β≠n+2− 2k dan k ( 2 ≤ k ≤ ⌊ n + 1 2 ⌋ ) , natijada ψ(x,e1)=b1,2 , ψ(x,e2)=b1,3 , ψ(e1,ej−1)=b2,j, ψ(x,ej)=(j−1−n)b2,j,3≤ j≤n, ψ(e1,en)=b2,n+1 ¿ 3 Agar γ = 2 − n − 2 β va β≠1 , natijada ψ(x,e1)=b1,2 , ψ(x,e2)=b1,3 , ψ(e1,ej−1)=b2,j, ψ(x,ej)=(j− n− β)b2,j,3≤ j≤n, ¿ ¿ 38 4 Agar γ ≠ 1 − n − β , γ ≠ 2 − n − 2 β va β = 3 − 2 k − γ 2 Dan k( 2 ≤ k ≤ ⌊ n 2 ⌋ ) , natijada ψ ( x , e 1 ) = b 1,2 , ψ ( x , e 2 ) = b 1,3 , ¿ ψ ( e 1 , e j − 1 ) = b 2 , j , ψ ( x , e j ) = ( j − 3 + β + γ ) b 2 , j , 3 ≤ j ≤ n , ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 5 Agar γ≠1−n− β,γ≠2− n− 2β va β ≠ 3 − 2 k − γ 2 dan k ( 2 ≤ k ≤ ⌊ n 2 ⌋ ) , natijada ψ(x,e1)=b1,2 , ψ(x,e2)= b1,3 , ψ(e1,ej−1)=b2,j, ψ(x,ej)=(j−3+β+γ)b2,j,3≤ j≤n. n juft bo’lsa b3,n+1=0 . Isbot. Istalgan ψ ∈ Z 2 ( s n , 11 ( β ) , θ , C ) uchun biz quyidagilarni chiqaramiz ψ ( x , e j ) = b 1 , j + 1 , 1 ≤ j ≤ n , ψ ( e i , e j ) = b i + 1 , j + 1 , 1 ≤ i , j ≤ n . Ikki halqali shartlardagi amallardan so’ng biz quyidagilarga ega bo’lamiz ¿ Agar b i , j = − b i + 1 , j − 1 dan 3 ≤ i ≤ n − 2 , i + 3 ≤ j ≤ n + 1 , kelib chiqadi biz  Agar n juft bo’lsa, b3,n+1=− b4,n=… = bn2+2,n2+2=0 ,  Agar n toq bo’lsa, b 3 , n + 1 = − b 4 , n = … = b n + 5 2 , n + 3 2 = − b n + 3 2 , n + 5 2 . N juft bo’lgan holda bi,n+4−i=0 for 3 ≤ i ≤ n 2 + 2 . Bizga keyingi vaziyatda quyidagilar kelib chiqadi : (1) Agar γ = 1 − n − β va β= n+2−2k bazilari uchun k ( 2 ≤ k ≤ ⌊ n + 1 2 ⌋ ) , keyinchalik bizga ¿ 39 (2) Agar γ = 1 − n − β va β ≠ n + 2 − 2 k keyingilarning barchasi uchun k(2≤k≤⌊n+1 2 ⌋) , natijada { b1,i=(i−2−n)b2,i−1, 4≤i≤n+1, bi,j=0, 3≤i≤n,i+1≤ j≤n+1. (3) Agar γ=2−n−2β va β≠1 , keyinchalik (4) Agar γ ≠ 1 − n − β , γ ≠ 2 − n − 2 β va β = 3 − 2 k − γ 2 bazilari uchun k ( 2 ≤ k ≤ ⌊ n 2 ⌋ ) , keyin ¿ (5) Agar γ ≠ 1 − n − β , γ ≠ 2 − n − 2 β va β ≠ 3 − 2 k − γ 2 keyingi lar k ( 2 ≤ k ≤ ⌊ n 2 ⌋ ) , natijada ¿ Biz θ ga ko’ra ikki tomonlama tenglikning o’lchovini aniqlaymiz f(x)= c0en+1,f(ei)=cien+1,1≤i≤n Istalgan avtomorfizm uchun ϕ ∈ Aut ( s n , 11 ( β ) ) Dan keyingilar keladi df ( y , z ) = f ( [ y , z ] ) + θ ( ϕ ( z ) ) ( f ( y ) ) − θ ( ϕ ( y ) ) ( f ( z ) ) Natijada df (x,e1)=−(1+γ)c1, ¿df (x,ei)=−(i−2+β+γ)ci, 2≤i≤n df (e1,ei)=−ci+1, ¿ ¿ Natijada dim B2(sn,11 (β),θ,C)={ n if γ≠−1 n− 1 if γ=−1 40 Li algebrasining s n , 11 ( β ) bo’linmas kengaytmasini topish qiyin emas. Buning uchun keyingi qiymatlarga murojaat etamiz γ = 1 − n − β va γ = 2 − n − 2 β , n toq . Natijada bizda (1) Agar γ = 1 − n − β va β= n+2−2k keyingilar uchun k(2≤k≤⌊n+1 2 ⌋) , natijada H 2(sn,11 (β),θ,C)=¿ (2) Agar γ = 1 − n − β va β ≠ n + 2 − 2 k keyinchalik k(2≤k≤⌊n+1 2 ⌋) , natijada H 2 ( s n , 11 ( β ) , θ , C ) = ⟨[ Δ n + 1,2 ]⟩ . (3) Agar γ = 2 − n − 2 β , β ≠ − 1 , γ ≠ − 1 , n toq , keyinchalik H 2 ( s n , 11 ( β ) , θ , C ) = ¿ (4) Agar γ=−1,β= 3− n 2 ,n toq bo’lsa natijada H 2 ( s n , 11 ( β ) , θ , C ) = ¿ Bu yerda Δi,j uchun {x,e1,e2,… ,en} ga asoslanib 3 qismdagi amallarni ishlatamiz. Teorema 3.3.1 Agar ~ L , s n , 11 ( β ) Li algebrasining bir o’lchamli kengaytmasi bo’lsa, ~L quyidagi amallarga izomorfik hisoblanadi s n + 1,11 ( β ) , τ n 11 ( β ) , τ n + 1,12 va ~ L k ( 2 ≤ k ≤ ⌊ n 2 ⌋ ) : ¿ 41 Isbot. (1) Agar γ=1− n− β va β= n+2−2k keyingilar uchun 2 ≤ k ≤ ⌊ n + 1 2 ⌋ . Natijada ∇ 1 = [ Δ n + 1,2 ] , ∇ k = ¿ Keyinchalik amallar da ψ= ⟨δ1∇1+δk∇k⟩ , bir kenglikda bajariladi ⟨δ1¿∇1+δk¿∇k⟩ keyingilarga asosan δ 1¿ = δ 1 c 2 b 1 n − 1 , δ k¿ = δ k c 22 b 12 k − 3 if k < n + 1 2 , δ 1¿ = c 2 b 1 n − 2 ( δ 1 b 1 + δ n + 1 2 b n + 1 2 ) , δ k¿ = δ k c 22 b 1 n − 2 if k = n + 1 2 . k < n + 1 2 bo’lganda Ann (ψ0)∩ Z(nn,1)=0 ga ega bo’lamiz. Bunda keyingilar bo’lishi shart δ 1 ≠ 0 . Natijada  Agar δk= 0 , keyin δ k¿ = 0 ⟨ ∇ 1 ⟩ bizda natija bo’ladi s n + 1,11 ( β ) uchun β= n+2−2k . Yuzaga keladi.  Agar δk≠0 , keyin b1=1,c2= δ1 δk , natijada ⟨ ∇ 1 + ∇ k ⟩ Dan ~Lk,2≤k≤⌊n 2⌋ kelib chiqadi. Agar k= n+1 2 bo’lsa ( n toq bo’lsa) unga ko’ra β=1 and  Agar δ n + 1 2 = 0 , keyin δ n + 1 2¿ = 0 dan ⟨ ∇ 1 ⟩ ga ega bo’lamiz. Natijada  sn+1,11 (β) Dan β = 1 chiqadi.- If δ n + 1 2 ≠ 0 , ga ko’ra b n + 1 2 = − δ 1 b 1 δ n + 1 2 , ning natijasida ⟨∇n+12⟩ hamda bizda τn+1,11 (β) dan β = 1 kelib chiqadi. (2) Agar γ=1− n− β va β≠n+2− 2k keyingilar uchun 2≤k≤⌊n+1 2 ⌋ . Natijada bir orbitali ⟨[ Δ n + 1,2 ]⟩ dan sn+1,11 (β) kelib chiqib, β ≠ n + 2 − 2 k . (3) Agar γ=2−n−2β,β≠1 va γ≠−1 . Natijada 42 ¿ τn+1,11 (β) for β ≠ 1 chiqadi. (4) Let γ = − 1 , β = 3 − n 2 . Shuningdek, quyidagilarni bajargan holda ∇1=[Δ2,1 ],∇2=¿ ψ = ⟨ δ 1 ∇ 1 + δ 2 ∇ 2 ⟩ ning istalgan biri ⟨ δ 1¿ ∇ 1 + δ 2¿ ∇ 2 ⟩ ga asosan bajariladi Avtomorfizm guruhida keyingisi δ1¿=δ1b1,δ2¿=δ2c22b1n−1. Agar δ1=0 , dan ⟨ ∇ 2 ⟩ keyingi amallar kelib chiqadi τ n + 1,11 ( β ) for β = 3 − n 2 . Agar δ 1 ≠ 0 bo’lsa biz ⟨∇1+∇2⟩ ga teng orbitaga ega bo’lamiz. Natijada τn+1,12 . Tepadagilarga asosan , biz Z2(sn,12 ,θ,C) ga tavsif beramiz. θ ga ko’ra ikki halqali tomonga ega bo’lamiz. C= {en+1} bir o’lchovli abelian algebrasi. Tasdiq 3.3.3 . Istalgan ψ∈Z2(sn,12 ,θ,C) quyidagilarga asosan tuziladi : 1 Agar γ=−1 , keyinchalik ψ(x,e1)=b1,2 ,ψ(x,e2)= b1,3 ,ψ(e1,ej)=b2,j+1,2≤ j≤n. 2 Agar γ=−2 , keyinchalik ψ(x,e1)=b1,2 , ψ(x,e2)= b1,3 ¿ψ(e1,ej−1)=b2,j, ψ(x,ej)=−b2,j, 3≤ j≤n ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Agar n juft bo’lsa b3,n+1=0 . 3 Agar γ≠−1 va γ≠− 2 , Natijada ψ(x,e1)=b1,2 , ψ(x,e2)= b1,3 , ψ(e1,ej−1)=b2,j, ψ(x,ej)=(1+γ)b2,j,3≤ j≤n. 43 Isbot: Isbot Tasdiq 3.3.2 bilan mos keladi. Endi biz θ ga ko’ra ikki halqali tenglikning qiymatini aniqlaymiz f ( x ) = c 0 e n + 1 , f ( e i ) = c i e n + 1 , 1 ≤ i ≤ n Istalgan avtomorfizm uchun ϕ∈Aut (sn,12 ) df ( y , z ) = f ( [ y , z ] ) + θ ( ϕ ( z ) ) ( f ( y ) ) − θ ( ϕ ( y ) ) ( f ( z ) ) Natija df ( x , e 1 ) = − γ c 1 , ¿ df ( x , e i ) = − ( 1 + γ ) c i , 2 ≤ i ≤ n , df ( e 1 , e i ) = − c i + 1 , ¿ ¿ Vaziyatdan yaqqol ma’lumki γ ≠ − 1 , γ ≠ − 2 , va γ = − 2 B n toq bo’lsa , ( ψ 0 ) ∩ Z ( n n , 1 ) = { e n } ≠ 0 kelib chiqadi. Li algebrasining bo’linmas kengaytmasini olish uchun sn,12 keyingi tenglik lar kerav −1 In γ=−2,n toq. Birinchi vaziyatda bizda dim Z2(sn,12 ,θ,C )= n+1,dim B2(sn,12 ,θ,C )= n−1 kelib chiqib dim H 2(sn,12 ,θ,C)=2 dan of H 2 ( s n , 12 , θ , C ) kelib chiqadi H 2 ( s n , 12 , θ , C ) = ⟨[ Δ 3,1 ] ,[ Δ n + 1,2 ]⟩ , γ = − 1. Ikkinchi holatda bizda dim Z 2 ( s n , 12 , θ , C ) = 3 n − 1 2 , dim B 2 ( s n , 12 , θ , C ) = n dan dim H 2 ( s n , 12 , θ , C ) = n − 1 2 asosidan H 2(sn,12 ,θ,C) quyidagilar kelib chiqadi H 2 ( s n , 12 , θ , C ) = ¿ Teorema 5.5. Agar ~L Li algebraning bir o’lchamli bo’linmas kengaytmasi bo’lsa s n , 12 , Natijada ~L keyingilar uchun izomorfik xususiyatini namoyon etadi s n + 1,12 , s n + 1,14 ( 0,0 , … , 0,1 ) , τ n + 1,13 ( 0,0 , … , 0 ) Isbot. Agar γ=−1 . ∇1=[Δ3,1],∇2=[Δn+1,2 ] , ga ko’ra ψ= δ1∇1+δ2∇2 ,bizda ⟨ψ ⟩ ⟨ δ 1¿ ∇ 1 + δ 2¿ ∇ 2 ⟩ kelib chiqadi. Bunda 44 δ 1¿ = δ 1 c 2 , δ 2¿ = δ 2 b 1 n − 1 c 2 . Ann (ψ0)∩ Z(nn,1)=0 bo’lishi ma’lum .Bunda δ 2 ≠ 0 . Keyingi holatlarga etibor berishimiz kerak :  Agar δ1=0 , keyin δ1¿=0 dan ⟨∇2⟩ kelib chiqadi hamda s n + 1,12 ga mos keladi  Agar δ 1 ≠ 0 , ga ko’ra b 1 = n − 1 √ δ 1 δ 2 , c 2 = 1 , natijada ⟨∇1+∇2⟩ , sn+1,14 (0,0 ,… ,0,1 ) γ = − 2 . Bundan keyingi kelib chiqadi ∇k−1=¿ ψ = ⟨ δ 1 ∇ 1 + δ 2 ∇ 2 + … + δ n − 1 2 ∇ n − 1 2 ⟩ ni barchasi uchun ⟨ψ ⟩ as ⟨δ1¿∇1+δ2¿∇2+… +δn−12 ¿ ∇n−12⟩ guruhning avtomorfizm hodisasi cheklangan tenglikda kelib chiqadi δ k¿ = b 12 k − 1 ¿ Ann (ψ0)∩ Z(nn,1)=0 , δ n − 1 2 ≠ 0 . Bo’lsa bundan b 1 = 1 , c 2 = √ 1 δ n − 1 2 ¿ 2 ≤ t ≤ n − 3 2 , ga ko’ra ⟨ ∇ n − 1 2 ⟩ bo’lsa τn+1,13 (0,0 ,… ,0) kelib chiqadi. Shunga asosan keyingi kelib chiqadi sn,13 Va s n , 14 ( α 3 , α 4 , … , α n − 1 ) . Tasdiq 3.3.4 . Istalgan ψ∈Z2(sn,13 ,θ,C) quyidagicha yasaladi : 1 Agar γ = − n , keyin ψ ( x , e 1 ) = b 1,2 , ψ ( x , e 2 ) = b 1,3 , ψ ( e 1 , e n ) = b 2 , n + 1 ψ ( e 1 , e j − 1 ) = b 2 , j , ψ ( x , e j ) = ( j − 1 − n ) b 2 , j , 3 ≤ j ≤ n 45 2 Agar γ = 1 − 2 k dan k( 2 ≤ k < ⌊ n + 1 2 ⌋ ) bo’lsa natijada ψ(x,e1)= b1,2 , ψ(x,e2)= b1,3 ψ(e1,ej)=b2,j, 3≤ j≤n, ψ(x,e2k)= b3,2 k, ψ(x,ej)=(j− 2k)b2,j,3≤ j≤n,j≠2k, ¿ ¿ 3 Agar γ≠1−2k , dan keyin k ( 2 ≤ k ≤ ⌊ n + 1 2 ⌋ ) , ψ ( x , e 1 ) = b 1,2 , ψ ( x , e 2 ) = b 1,3 ψ ( e 1 , e j − 1 ) = b 2 , j , ψ ( x , e j ) = ( j − 1 + γ ) b 2 , j , 3 ≤ j ≤ n . Tasdiq 3.3.5 . Istalgan ψ ∈ Z 2 ( s n , 14 ( α 3 , α 4 , … , α n − 1 ) , θ , C ) dan quyidagilar kelib chiqadi : 1 Agar γ=−1 , keyin ψ ( x , e 1 ) = b 1,2 , ψ ( x , e 2 ) = b 1,3 , ψ ( e 1 , e n − 1 ) = b 2 , n , ψ ( e 1 , e n ) = b 2 , n + 1 , ψ ( e 1 , e j − 1 ) = b 2 , j , ψ ( x , e j ) = ∑ k = j + 1n ❑ α k + 2 − j b 2 , k + 1 , 3 ≤ j ≤ n − 1. 2 Agar γ=−2 va α2t−1=0 istalgan t ( 2 ≤ t ≤ ⌊ n − 1 2 ⌋ ) uchun ψ(x,e1)=b1,2 , ψ(x,e2)=b1,3 , ψ(e1,ej−1)=b2,j, ψ(x,ej)=−b2,j+ ∑k=j+1 n−1 ❑ αk+2−jb2,k+1,3≤ j≤n, ¿ ¿ N juft bo’lsa b3,n+1=0 . 3 Agar γ = − 2 va α2t−1≠0 , t ( 2 ≤ t ≤ ⌊ n − 1 2 ⌋ ) ning ba’zilari uchun ψ ( x , e 1 ) = b 1,2 , ψ ( x , e 2 ) = b 1,3 , ψ ( e 1 , e j − 1 ) = b 2 , j , ψ ( x , e j ) = − b 2 , j + ∑ k = j + 1n − 1 ❑ α k + 2 − j b 2 , k + 1 , 3 ≤ j ≤ n . 4 Agar γ≠−1 va γ≠− 2 ,keyin 46 ψ(x,e1)=b1,2 , ψ(x,e2)=b1,3 , ψ(e1,ej−1)=b2,j, ψ(x,ej)=(1+γ)b2,j+ ∑k=j+1 n−1 ❑ αk+2−jb2,j+1,3≤ j≤n.Quyidagilar θ asosan aniqlanadi B 2 ( s n , 13 , θ , C ) = { df ( x , e 1 ) = − ( 1 + γ ) c 1 − c 2 , ¿ 2 ≤ i ≤ n , ¿ df ( e 1 , e i ) = − c i + 1 , ¿ 2 ≤ i ≤ n − 1. ¿ B 2 ( s n , 14 ( α 3 , α 4 , … , α n − 1 ) , θ , C ) = { df ( x , e 1 ) = − γ c 1 , ¿ 2 ≤ i ≤ n , ¿ df ( e 1 , e i ) = − c i + 1 , ¿ 2 ≤ i ≤ n − 1. ¿ Teorema 3.3.2 . Li algebra sn,13 ning istalgan bir o’lchovli kengaytmasi isomorphic sn+1,13 . ga nisbatan izomorfik xususiyatini namoyon etadi. Isbot. Agar γ≠− n bo’lsa ,biz Ann (ψ0)∩ Z(nn,1)={en}≠0 ga ega bo’lamiz. Shuningdek, Lie algebra sn,13 ning bo’linmas kengaytmasini olish γ=−n . Ni ko’rish yetarli bo’lsa dim Z 2 ( s n , 13 , θ , C ) = n + 1 , dim B 2 ( S n + 1,3 , θ , C ) = n dan H 2 ( s n , 13 , θ , C ) = 1 H 2 ( s n , 13 , θ , C ) ning asosi keyingi amallardan aniqlanadi. H 2(sn,13 ,θ,C)= ⟨[ψ]⟩,ψ(en,e1)= en+1,γ=−n. s n , 13 ⊕ { e n + 1 } algebrasining yangi natijalari quyidagilar [en,e1]=ψ(en,e1)=en+1,[en+1,x]=−θ(x)en+1= nen+1 biz s n + 1,13 ga ega bo’lamiz . Teorema 5.9. Li algebrasining bir o’lchamli bo’linmas kengaytmasini topish uchun S n + 1,4 ( α 3 , α 4 , … , α n − 1 ) , sn+1,14 (α3,α4,… ,αn−1,αn) va τ n + 1,13 ( α 4 , α 6 , … α n − 1 ) ga yuzlanamiz. Isbot. Li algebrasining bir o’lchamli markaziy kengaytmasini olish uchun sn,14 (α3,α4,… ,αn−1) dan γ=−1 va γ=−2,n ga murojaat etish kifoya. N toq bo’lsa, α 2 t − 1 = 0 keyingi t ( 2 ≤ t ≤ n − 1 2 ) kelib chiqadi. Ushbu amallarga asosan biz keyingi natijalarga ega bo’lamiz dim B2(sn,14 (α3,α4,… ,αn−1),θ,C)= { n−1 if γ=−1 n if γ=−2 47 va Bundan quyidagilar kelib chiqadi (1) Agar γ=−1 . Amalda ∇ 1 = [ Δ 3,1 ] , ∇ 2 = [ Δ n + 1,2 − ∑ i = 4n ❑ α n + 3 − i Δ i , 1 ] Bundan kelib chiqadi ki ψ = ⟨ δ 1 ∇ 1 + δ 2 ∇ 2 ⟩ , bizda ⟨ ψ ⟩ as ⟨ δ 1¿ ∇ 1 + δ 2¿ ∇ 2 ⟩ guruhida avtomorfizm hodisasi yuz beradi natijada δ1¿=δ1c2,δ2¿= δ2c2. Shu narsa aniqki Ann (ψ0)∩ Z(nn,1)=0 , δ2≠0 deb olamiz. Bizda keyingilar kelib chiqadi ⟨ α n ∇ 1 + ∇ 2 ⟩ bu sn+1,14 (α3,α4,… ,αn−1,αn) natijasini aniqlashtiradi. (2) Agar γ=−2 . Bizda ¿ ning orbitasi bo’lgani holda τn+1,13 (α4,α6,… αn−1) kelib chiqadi. 48 XULOSA Ushbu magistrlik dissertatsiya ishi yechiluvchan Li algebralarining markaziy kengaytmalarini topish va klassifikatsiyalarga ajratgan holda izomorf algebralarni hosil qilish uchun yechiluvchan Li algebralari tasnifini o‘rganishga bag‘ishlangan. Dissertatsiya ishi kirish, uchta bob, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan iborat. Kirish qismida masalaning dolzarbligi, tadqiqotning o‘bekti va predmeti, maqsadi va vazifalari, berilgan sohada masalaning hozirgi holati haqida aytilib, asosiy tushunchalar qisqacha keltiriladi. Dissertatsiya ishining birinchi bobida asosiy tushunchalar, ta’riflar, yechiluvchan Li algebralarining asosiy xossalari o‘rganildi. Birinchi paragrafida Li algebralari, algebralarning nilpotentlik, yechiluvchanlik, struktura o’zgarmaslari va boshqa tushinchalar haqidagi ta’riflar keltirilgan. Ikkinchi paragrafda algebra kengaytmasi va algebra markaziy kengaytmasi ,Li algebrasi va nilradikali unga izomorf bo‘lgan yechiluvchan Li algebralari haqidagi tasdiqlar berilgan. Biz 49 uchinchi paragrafda to’rt o’lchamli yechiluvchan Li algebrasining ikki o’lchamli kengaytmasiga misol keltirilgan. Keyingi bobda esa tabiiy darajalangan Li algebrasining markaziy kengaytmasi yechiluvchan Li algebrasining ikki o’lchovli nilradical bilan Li algebralarining markaziy kengaytmalari , yechiluvchan Li algebrasining bir o’lchovli kengaytmasi bilan kengaytmasi keltirilgan. Foydalanilgan adabiyotlar Normativ-huquqiy hujjatlar 1. O‘zbekiston Respublikasi Konstitutsiyasi. T. O‘zbekiston, 2017 2. “Fanlar akademiyasi faoliyati, ilmiy-tadqiqot ishlarni tashkil etish, boshqarish va moliyalashtirishni yanada takomillashtirish chora tadbirlari to‘g‘risida” O‘zbekiston Respublikasi Prezidentining 2017-yil 17-fevraldagi PQ-2789-sonli qarori. 3. “Axborot texnologilari va kommunikatsiyalari soxasini yanada takomillashtirish chora-tadbirlari to‘g‘risidagi” O‘zbekistonlikasi Respublikasi Prezidentining 19- fevral 2018-yildagi PF-5349-sonli farmoni. Toshkent. 4. O‘zR Vazirlar Mahkamasining “Magistratura to‘g‘risidagi nizomini tasdiqlash haqida” qarori. 02.03.2015y. O‘zbekiston Respublikasi Prezidentining asarlari 50 5. Mirziyoyev Sh.M. Qonun ustuvorligi va inson manfaatlarini ta’minlash – yurt taraqiyoti va xalq farovonligi garovi. Toshkent, 2017. 6. Mirziyoyev Sh.M. Tanqidiy tahlil, qat’iy tartib-intizom va shaxsiy javobgarlik – har bir rahbar faoliyatining kundalik qoidasi bo‘lishi kerak. Mamlakatimizni 2016-yilda ijtimoiy-iqtisodiy rivojlantirishning asosiy yakunlari va 2017-yilgi mo‘ljallangan iqtisodiy dasturning eng muhim ustuvor yo‘nalishlariga bag‘ishlangan Vazirlar Mahkamasining kengaytirilgan majlisidagi ma’ruza 2017-yil 14-yanvar, Toshkent, O‘zbekiston, 2017, 104b. 7. Mirziyoyev Sh.M. Erkin va farovon, demokratik O‘zbekiston davlatini birgalikda barpo etamiz. Toshkent, 2016. 8. O‘zbekiston Respublikasi birinchi Prezidenti I.A.Karimov. Bosh maqsadimiz – keng ko‘lamli islohotlar va modernizatsiya yo‘lini qa’tiyat bilan davom ettirish. Xalq so‘zi, 2013-yil, 19-yanvar. Asosiy adabiyotlar 9. Abdurasulov, K.K., Adashev, J.Q., Casas, J.M., Omirov, B.A. Solvable Leibniz algebras whose nilradical is a quasi-filiform Leibniz algebra of maximum length. Communications in Algebra, (2019), 47(4), 1578–1594. 10. Adashev J.Q., Ladra M., Omirov B.A. Solvable Leibniz algebras with naturally graded non-Lie p-filiform nilradicals. Communications in Algebra, (2017), 45 (10), 4329–4347. 11. Albeverio S., Ayupov Sh.A., Omirov B.A. On nilpotent and simple Leibniz algebras. Communications in Algebra. (2005), 33(1), 159–172. 12. Ancochea Bermúdez J. M., Campoamor-Stursberg R., García Vergnolle L. Classification of Lie algebras with naturally graded quasi-filiform nilradicals, Journal of Geometry and Physics, (2011), 61(11), 2168–2186. 51 13. Ayupov Sh. A., Khudoyberdiyev A.Kh., Omirov B.A. The classification of filiform Leibniz superalgebras of nilindex n+m . Acta Math. Sinica (English Series). (2009), 25(1), 171–190. 14. Ayupov Sh.A., Omirov B.A., Rakhimov I.S., Leibniz Algebras: Structure and Classification, Taylor and Francis Group Publisher, ISBN 0367354810, 2019, 323 pp. 15. Berezin F.A., Lietes D.A. Supervarietes. Soviet Mathematics Doklady. (1975), 16, 1218–1222. 16. Barnes D.W., On Levi’s theorem for Leibniz algebras, Bull. Aust. Math. Soc., (2012), 86(2), 184–185. 17. Bo yk o V., Patera J., Popovyc h R. In variants of solvable Lie algebras with trian- gular nilradicals and diagonals nilindependent elements. Linear Alg. Appl., Vol. 428, Issue 4, 834–854 (2008). 18. Camacho L.M., Gómez J.R., Navarro R.M., Omirov B.A. Classification of some nilpotent class of Leibniz superalgebras. Acta Math. Sinica (English Series). (2010), 26(5), 799–816. 19. Camacho L.M., Gómez J.R., Omirov B.A, Khudoyberdiyev A.Kh. Complex nilpotent Leibniz superalgebras with nilindex equal to dimension. Communications in Algebra. (2013), 41(7), 2720–2735. 20. Camacho L., Gomez J.R., Khudoyberdiyev A.Kh., Omirov B.A. On the description of Leibniz superalgebras of nilindex n + m: Forum Mathematicum. (2012), 24 (4), 809–826. 21. Camacho L.M., Fernandez-Barroso J.M., Navarro R.M. Solvable Lie and Leibniz superalgebras with a given nilradical. Forum Mathematicum. (2020), 32(5), 1271–1288. 22. Camacho L.M., Navarro R.M., Omirov B.A. On solvable Lie and Leibniz superalgebras with maximal codimension of nilradical, Journal of Algebra. (2022) 591, 500–522. 52 23. Camacho L.M., Navarro R.M., Omirov B.A. Residually solvable extensions of pro-nilpotent Leibniz superalgebras Journal of Geometry and Physics. (2022), 172, 104414. 24. Ca ñete E.M., Khudoyb erdiyev A.Kh. The classification of 4-dimensional Leibniz algebras. Lin. Alg. Appl., Vol. 439, Issue 1, 273–288 (2013). 25. Casas J.M, Ladra M., Omirov B.A., Karimjanov I.A., Classification of solvable Leibniz algebras with null-filiform nilradical, Linear and Multilinear Algebra, (2013), 61(6), 758–774. 26. Gaybullaev R.K., Khudoyberdiyev A.K., Pohl K., Classification of solvable Leibniz algebras with abelian nilradical and ( k - 1) –dimensional extension. Communications in Algebra, (2020), 48(7), 3061–3078. 27. Gómez J.R., Omirov B.A, Khudoyberdiyev A.Kh. The classification of Leibniz superalgebras of nilindex n + m ( ). Journal of Algebra. (2010), 324(10), 2786–2803. 28. Gómez J.R., Khakimdjanov Yu., Navarro R.M. Some problems concerning to nilpotent Lie superalgebras. Journal of Geometry and Physics. (2004), 51(4), 473–486. 29. Gilg M. Super-algèbres de Lie nilp otentes. PhD thesis. Universit y of Haute Al- sace, (2000). – 126 p. 30. Kac V.G. Lie superalgebras, Advances in Mathematics.(1977), 26(1), 8–96. 31. Khudoyberdiyev A.Kh., Ladra M., Muratova Kh.A. Solvable Leibniz superalgebras whose nilradical is a Lie superalgebra of maximal nilindex. Bulletin of National University of Uzbekistan: Math. and Nat. sci. (2019), 2(1), 52–68. 32. Khudoyberdiyev, A.K., Ladra, M., Omirov, B.A. On solvable Leibniz algebras whose nilradical is a direct sum of null-filiform algebras. Linear and Multilinear Algebra, (2013), 62(9), 1220–1239. 33. Lietes D.A. Cohomology of Lie superalgebras. Functional Analysis and Its Applications.(1975), 9, 340–341. 53 34. Loday J.-L. Une version non commutative des algèbres de Lie: les algèbres de Leibniz. L’Enseignement mathimatique. (1993), 39(3-4), 269–293. 35. Malcev A.I., Solvable Lie algebras, Am. Math. Soc. Transl. (1950), 27. 36. Mubarakzjanov G.M., On solvable Lie algebras (Russian), Izv. Vysš. Učehn. Zaved. Matematika, (1963), 114-123. 37. Muratova Kh.A. Solvable Leibniz superalgebras with nilradicals of the nilindex n + m . Uzbek Mathematical Journal. (2021), 65(2), 117–127. 38. Muratova Kh.A. Solvable Leibniz superalgebras with four-dimensional nilradical of nilindex 4. Bulletin of the Institute of Mathematics. (2021), 3, 75– 83 (in Russian). 39. Rodriguez-Vallarte M.C., Salgado G., On indecomposable solvable Lie superalgebras having a Heisenberg nilradical. Journal of Algebra and Its Applications. (2016), 15(10), 1650190, 26 p. 40. Snobl L., Karásek D., Classification of solvable Lie algebras with a given nilradical by means of solvable extensions of its subalgebras, Linear Algebra and its Applications, (2010), 432, 1836–1850. 41. Camacho L.M., Omirov B.A., Masutova K.K., Solvable Leibniz algebras with filiform nilradical, Bull. Malays. Math. Sci. Soc. (2016), 39(1), 283–303. Qo‘shimcha adabiyotlar 42. Ancochea Bermúdez J. M., Campoamor-Stursberg R., García Vergnolle L. Solvable Lie algebras with naturally graded nilradicals and their invariants, Journal of Physics A, (2006), 39(6), 1339–1355. 43. Dusan D. Repovs, Zaicev M.V. Codimension Growth of Solvable Lie Superalgebras. Journal of Lie Theory. (2018), 28, 1189–1199. 44. Dzhumadil’daev, A.S. Cohomologies of colour Leibniz algebras: Pre-simplicial approach, Lie Theory and its Applications in Physics III. Proceedings of the Third International Workshop, (1999), 124–135. Davriy nashrlar, statistik to‘plamlar va hisobotlar 54 45. Sheraleyeva S, Qurbonov S “ON THE TWO-DIMENSIONAL EXTENSION OF FOUR DIMENSIONAL SOLVABLE LIE ALGEBRAS’’. “Sh. Ayupov 70 yilligiga bag’ishlangan konferensiya” 16-18 сентября 2022 года , T ашкент , Узбекистан . с 107-108. 46. QURBONOV S “CENTRAL EXTENSIONS OF THE SMALL- DIMENSIONAL SOLVABLE LIE ALGEBRA ” << VEB OF SCIENTIST: INTERNATIONAL SCIENTIFIC RESEARCH JOURNAL . ISSN: 2776-0979, Volume 3, Issue 9, Sep., 2022 Internet saytlar 47. www.lex.uz – O‘zbekiston Respublikasi Adliya vazirligi huzuridagi axborotlar bilan ta’minlash markazi sayti. 48. www.gov.uz – O‘zbekiston Respublikasi portal. 49. www.wikipedia.org - Ensklopediya sayti. 50. www.arxiv.org. 55

KICHIK O‘LCHAMLI YECHILUVCHAN LI ALGEBRALARINING MARKAZIY KENGAYTMALARI MUNDARIJA KIRISH…………………………………………………………………………..3 I BOB . LI ALGEBRASINING ASOSIY TUSHUNCHASI 1.1 Li algebrasining ta’rifi ……. ………………………………………………………………………….8 1.2 Li algebrasining asosiy strukturalari…………………………………………………………………..13 1.3 Nilpotent va yechiluvchan Li algebralari…………………………………………………………………….15 II BOB. LI ALGEBRASINING MARKAZIY KENGAYTMALARI 2.1 Algebra kengaytmasi va algebra markaziy kengaytmasi………………….,..18 2.2 Nilpotent Li algebrasining markaziy kengaytmalari………………………………………………………………..22 2.3 Yechiluvchan Li algebrasining markaziy kengaytmalari………………………………………………………………..24 2.4 To’rt o’lchamli yechiluvchan Li algebrasining ikki o’lchamli kengaytmasi …………………………………………………...…27 III BOB TABIIY DARAJALANGAN LI ALGEBRASINING MARKAZIY KENGAYTMALARI 3.1 Tabiiy darajalangan Li algebrasining markaziy kengaytmasi…….………..29 3.2 Yechiluvchan Li algebrasining ikki o’lchovli nilradikal bilan kengaytmasi………………………………………………..35 3.3 Yechiluvchan Li algebrasining 1 o’lchov nilradikalidagi kengaytmasi …………………………………….………….40 V ….XULOSA……………………………………………………………...…55 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI………………………….. KIRISH 1

2020-yil 7-mayda Prezidentimizning “Matematika sohasidagi ta lim sifatiniʼ oshirish va ilmiy tadqiqotlarni rivojlantirish chora-tadbirlari to g risida”gi PQ- ʻ ʻ 4708-sonli qarori qabul qilindi. Mazkur qarorning mazmun-mohiyati shundan iboratki, unda mamlakatimiz ilm-fan sohasidagi taraqqiyotining ustuvor yo nalishi ʻ sifatida matematika fanini rivojlantirishga alohida ahamiyat berilgan . O‘tgan davr ichida matematika ilm-fani va ta’limini yangi sifat bosqichiga olib chiqishga qaratilgan qator tizimli ishlar amalga oshirildi : birinchidan, ilg‘or ilmiy markazlarda faoliyat yuritayotgan vatandosh matematik olimlarning taklif qilinishi va xalqaro ilmiy-tadqiqotlar olib borilishi uchun zarur shart-sharoit yaratildi ; ikkinchidan, xalqaro fan olimpiadalarida g‘olib bo‘lgan yoshlarimiz va ularning murabbiy ustozlari mehnatini rag‘batlantirish tizimi joriy etildi ; uchinchidan, oliy ta’lim va ilmiy-tadqiqotlarning o‘zaro integratsiyalashuvini ta’minlash maqsadida talabalar shaharchasida Fanlar akademiyasining V.I. Romanovskiy nomidagi Matematika institutining (keyingi o‘rinlarda — Institut) yangi va zamonaviy binosi barpo etildi. Matematika sohasidagi fundamental tadqiqotlarni moliyalashtirish hajmi bir yarim barobarga oshirildi, budjet mablag‘lari hisobidan superkompyuter, zamonaviy texnika va asbob uskunalar xarid qilindi ; to‘rtinchidan, ilmiy darajali kadrlarni tayyorlashning birlamchi bosqichi sifatida stajyor-tadqiqotlik instituti joriy etildi ; beshinchidan, ilm-fan sohasidagi ustuvor muammolarni tezkor bartaraf etish, fan, ta’lim va ishlab chiqarish integratsiyasini kuchaytirish masalasini Hukumat darajasida belgilash maqsadida O‘zbekiston Respublikasining Bosh vaziri raisligida Fan va texnologiyalar bo‘yicha respublika kengashi tashkil etildi. Bu o‘z navbatida yoshlarning bilim olishlari uchun yaratilayotgan sharoit , katta e’tibor ularga katta ma’suliyat ham yuklaydi . TADQIQOTNNG ISHLANGANLIK DARAJASI: 2

Kadrlar tayyorlash dasturini ro‘yobga chiqarishning uchinchi << to‘plangan tajribalarni tahlil etish va umumlashtirish asosida , mamlakatni ijtimoiy - iqtisodiy rivojlantirish istiqbollariga muvofiq kadrlar tayyorlash tizimini takomillashtirish va yanada rivojlantirish >> [2,(40-41)] - bosqichida o‘quv tarbiya jarayonini yangi o‘quv uslubiy majmualar , ilg‘or pedagogik texnologiyalar bilan ta’minlash vazifalari belgilangan bir davrda to‘plangan tajribalarni ,ilmiy , ilmiy -metodik adabiyotlarda keltirilgan ilmiy xulosalarni tanqidiy o‘rganib ,ta’lim jarayoniga tatbiq etish yo‘llarini ishlab chiqish dolzarb masala ekanligi qayd etilgan . Lie algebralari 1870-yillarda Marius Sophus Lie tomonidan cheksiz kichik o zgarishlar tushunchasini o rganish uchun kiritilgan va 1880-yillarda Wilhelmʻ ʻ Killing tomonidan mustaqil ravishda kashf etilgan. Li algebra nomini 1930-yillarda Hermann Veyl bergan, eski matnlarda cheksiz kichik guruh atamasi ishlatiladi. TADQIQOT MAQSADI : Magistrlik dissertatsiyasida yechiluvchan Li algebralarining markaziy kengaytmalarini o’rganish va ularni klassifikatsiya qilgan holda topish, Li algebralarining xossalari o‘rganilib, uning ba’zi muhim sinflarini tasniflash hamda rejalashtirish . TADQIQOTNING MAQSADINI AMALGA OShIRISh UChUN QUYIDAGI VAZIFALAR BELGILANADI: 1. Li algebralarini nilpotentlikka va yechiluvchanlikka tekshirish , algebra va chiziqli fazo elementlari orasida Li algebrasini qurish uchun amal kiritish yo’llarini o’rganish. 2. Markaziy kengaytmani izomorfizm aniqligida klasifikatsiyalarga ajratish usullarini kiritish. 3. Tabiiy darajalangan Li algebrasi kengaytmasi, nilradikal bilan kengaytmasini o’rganish. 3. TADQIQOT O’BEKTI: 3

Li algebralari va chiziqli fazolar bilan markaziy kengaytmani hosil qilish hamda ularni izomorfizm aniqligida klasifikatsiya qilish. TADQIQOT PREDMETI: 5. Algebra tushunchasi, Li algebra tushunchasi, nilpotent va yechiluvchan Li algebralari , chiziqli fazolar, chiziqli fazo va algebra elementlari orasidagi to’g’ri yig’indi, algebrani qanoatlantirish metodlari. TADQIQOTNING METODOLOGIK ASOSI: O‘zbekiston Respublikasi Konstitutsjyasi , << Ta’lim to‘g‘risida >> gi qonun, << Kadrlar tayyorlash milliy dasturi >> , << Yoshlarga oid davlat siyosati to‘g‘risida>> gi qonuni ta’lim sohasidagi davlat siyosatining asosiy tamoyillari, mavzuga oid falsafiy, psixologik, pedagogik manbalar, bilish nazariyasi, didaktikaning asosiy qonunlari va tamoyillari, shaxsga yo‘naltirilgan ta’limni amalga oshirish, ta’limtarbiya jarayonida zamonaviy pedagog va axborot texnolgiyalaridan foydalanish bo‘yicha yaratilgan nazariyalardan iborat. TADQIQOTNING METODLARI : - tadqiqot mavzusi bo‘yicha psixologik, pedagogik va metodik adabiyotlar tahlili . - umumlashtirish, taqqoslash, tizimlashtirish ; -izlanuvchan-tasdiqlovchi, shakllantiruvchi, nazorat-tuzatish va nazorat umumlashtiruvchi bosqichlaridan iborat ; TADQIQOTNING ILMIY YANGILIGI: Berilgan algebralar ko’philligini o’rganishda kichik o’lchamli algebralarni tasniflash muhim rol o’ynaydi.Chunki, kichik o’lchamli algebralarning tasniflari ixtiyoriy o’lchamli algebralarning xossalarini o’rganish imkonini beradi. Yechiluvchan Li algebralarning sinfi chekli o’lchamli Li algebralari nazariyasining muhim sinflaridan hisoblanib, ularni tasniflashning bir qancha usullari mavjud. Markaziy kengaytma usuli so’nggi yillarda chekli o’lchamli algebralarni tasniflashda keng qo’llanilayotgan usullardan biri hisoblanadi. TADQIQOTNING AMALIY AHAMIYATI : 4

Ushbu tadqiqot ishidan ilmiy izlanishlar olib borish, keltirilgan xulosa va tavsiyalardan hamda metodik qo‘llanmadan amaliyotda foydalanish mumkin . Zamonaviy algebrada noassotsiativ algebralarni, ularning xususiyatlarini va strukturasini o`rganish muhim masalalardan biri hisoblanadi. Noassosiativ algebralarni o‘rganishda ularning strukturasini aniqlovchi bir qator klassik teoremalar mavjud. Ma‘lumki, Li algebralari noassosiativ algebralarning muhim sinflaridan hisoblanib, ular assosiativ, Yordan algebralar kabi bir qator algebralar bilan uzviy bog‘liq. Li algebralari o‘zining bir qator umumlashmalariga ega bo‘lib, so‘nggi yilllarda ushbu umumlashmalar jadal suratda o’rganilmoqda. Ushbu dissertatsiya ishi Li algebralarining markaziy kengaytmalarini topish strukturalariga bag‘ishlanadi. Unda Li algebrasining markaziy kengaytmasi o’rganilinib kichkina o’lchamli algebralar uchun Li nazariyasi o‘rganilib, algebralari uchun qanchalik darajada o‘rinli ekanligi ko‘rsatiladi. Mazkur dissertatsiyaning asosiy maqsadi berilgan algebralar ko’philligini o’rganishda kichik o’lchamli algebralarni tasniflash , ular uchun Li algebralarining klassik nazariyasidan ma’lum bo‘lgan teoremalarni o‘rganishdan iborat. Ushbu masalalarni ilmiy jihatdan hal etish uchun strukturaviv nazariya, algebraik, hamda geometrik metodlardan foydalanish k о ‘zda tutilgan. Xozirgi kunda Li algebralarning markaziy kengaytmalar usulidan foydalanib algebralarni o’rganish jadal suratda о ‘rganilmoqda. Li algebrasi о ‘tgan asrning 1870-yillarda yillarida Marius Sophus Lie tomonidan ushbu [ ?????? , [ ?????? , ?????? ]] + [ ?????? ,[x,y]]+ [y,[z, x]]=0 Yakobi ayniyati bilan xarakterlanadigan antikomutative algebra sifatida fanga kiritilgan . Noassosiativ algebralar va ularning tasvirlarini o‘rganish uzoq yillardan beri algebra sohasining asosiy masalalari bo‘lib kelmoqda. Li algebralari noassosiativ 5

O'xshashlar

TOG`LI QORABOG` KECHA VA BUGUN
BIR VA IKKI O‘LCHAMLI OLMOS PANJARALARIDAGI BA’ZI DISKRET SHREDINGER OPERATORINING XOS QIYMATLARI
KICHIK BIZNЕS SОHАSIDА MЕHNАT MUNОSАBАTLАRINI TАKОMILLАSHTIRISH
Markaziy Osiyoda xavfsizlik masalalari, terrorizm, giyohvandlik
Rivojlangan o'rta asrlarda markaziy Osiyo falsafasi