logo
  1. Bosh sahifa
  2. Diplom ishlar
  3. Umumiy
  4. MATEMATIK TA’LIMDA STEAM YONDASHUVNI QO‘LLASHNING NAZARIY ASOSLARI

MATEMATIK TA’LIMDA STEAM YONDASHUVNI QO‘LLASHNING NAZARIY ASOSLARI

Yuklangan vaqt:

12.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

1033.6396484375 KB
Ko'chirib olish
MATEMATIK TA’LIMDA STEAM YONDASHUVNI QO‘LLASHNING NAZARIY ASOSLARI MUNDARIJA KIRISH...................................................................................................................................... 3 I BOB. MATEMATIK TA’LIMDA STEAM YONDASHUVNI QO‘LLASHNING NAZARIY ASOSLARI 1.1 - § .O‘zbekistonda fanlarni o‘qitishga STEAMni qo‘llash ahvoli .......................... . ....7 1.2 - § .STEAM ta’limi va uni qo‘llashga qo‘yiladigan talablar...... .................. ....... 10 1.3 - § . STEAMni o‘qitishda zamonaviy yondashuv va joriy etish bo‘yicha xorij tajribas... ....15 I bob bo‘yicha xulosa……………………………………………………………………...….18 II BOB. DIFFERENSIAL VA HOSILA TUS H UNC H ALARIGA DOIR AMALIY MASALALARNI O‘RGANIS H DA STEAM Y O NDAS H UVINI QO‘LLAS H 2 . 1 - §. Hosilaning fizikaviy ma’nosi .............................................. ......................................... ... 19 2.2 - § . Egri chiziq urinmasi ....................................................................... ..................... . ....... .....26 2.3. - § . Hosilaning geometrik ma’nosi ............................. . ... ............................................. ..........28 2.4. - § . Hosilaning parabolaga tadbiqi............................. ....................... .............. ................... ... 31 2.5 - § . .Iqtisodiy masalalarni yechishda differensial hisob usullaridan foydalanish……………………………………………………………………………………35 II bob bo‘yicha xulosa……………………………………………………………………..….38 III BOB. ANIQMAS INTEGRAL VA ANIQ INTEGRALGA DOIR AMALIY MASALALARNI YECHISHGA STEAM METODIKASI YORDAMIDA O‘RGATISH 3. 1 - § . Yassi figuralarning yuzini hisoblash ........................................ ...................................... .3 9 3.2 - § . . Aylanish jismining hajmini integral yordamida hisoblash ... .. ... 54 3.3 - § . Fizikaviy va texnikaviy masalalarni yechishda aniq integralni qo‘llash .................................... ................................................................................................. . 56 3.4 - § . D ifferensial va integral hisob ning yaratilishi amaliy masalalarni yechish vositasi sifatida paydo bo‘lish haqida ma’lumotlarni STEAM loyihasi uchun berish……………………………………………………………………………………….…68 1 3. 5 - § . Differensial va integral hisobni o‘rganishda STEAM-loyiha usulini qo‘llash bo‘yicha pedagogik-sinov tajriba natijalari ............................................................. ................... . .... .79 III bob bo‘yicha xulosa………....... …………………………………………………………...82 Xulosa va tavsiyalar ........................................................... ............................ .. .......... ........... .83 Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati ............... ................................. ...................................... 85 2 KIRIS H Magistrlik dissertatsiyasi mavzusining asoslanishi va uning dolzarbligi O‘zbekiston Respublikasi Prezidenti Sh.M.Mirziyoevning 2020 yil 7 may kungi PQ-4708 sonli “Matematika sohasidagi ta’lim sifatini oshirish va ilmiy-tadqiqotlarni rivojlantirish chora tadbirlari to‘g‘risida” Qarorida «umumiy o‘rta va o‘rta maxsus ta’lim muassasalarida matematika fanlari o‘qitish sifatini oshirish matematika sohasidagi ta’lim sifatini oshirish, ilmiy-tadqiqotlarni rivojlantirish va ilmiy ishlanmalarni amaliyotga joriy qilishning ustuvor yo‘nalishlaridan biri deb belgilangan. Shu sababdan matematika o‘qitish jarayonida ta’lim oluvchilarga amaliyotga qo‘llashga doir bilim va ko‘nikmalarni berish, shu jumladan, ularni moliyaviy savodxonligini shakllantirish dolzarb vazifalardan hisoblanadi. Matematik bilimlar real sharoitlarda kerak bo‘lmasdek tuyulsada, ularni o‘zlashtirish katta sa’y harakatlarni talab etadi. Iqtisodiy mazmunli masalarni yechish, vaziyatlarni muhokama etish, oila xo‘jaligiga, korxona va butun mamlakat iqtisodi uchun tipik bo‘lgan ishbilarmonlik o‘yinlaridan foydalanish muhim ahamiyat kasb etadi. Har bir insonning manfaatlari doirasiga taklif etilgan variantlar, baholardan eng yaxshisini tanlash muammosi bilan birlashtirilgan masalalar kirishi mumkin. Masalalarni yechish – matematik ta’limning tarkibiy qismlaridan biri, matematik hisoblashlarsiz moliyaviy va biznes-rejani amalga oshirish mumkin emas, grafiklarni tushunmasdan moliyaviy 3 bashoratlar ma’noga ega bo‘lmaydi. Tijorat hisoblari talabaga kichik yoshidan boshlab matematikaning amaliy yo‘nalishini ko‘ra bilishga va hayotdagi real raqamlardan qo‘rqmaslika yordam beradi. Eng oddiy masalalar iqtisodiy konsepsiyalar va modellarni tavsiflaydi, iqtisodiy vaziyatlarni samarali o‘zlashtirishga imkon beradi. Lekin bu masalalarni yechishda bolalarda atamalar va ularda uchraydigan iqtisodiy vaziyatlar bilan bog‘liq savollar paydo bo‘ladi. Sh uning uchun ushbu magistrlik dissertatsiyasida mavzu sifatida differensial va integral hisob elementlaridan amaliy masalalarni yechish ko‘nikmalarini shakllantirishda steam texnologiyalaridan foydalanish va bu muammoni qarab chiqish, unga doir nazariy va amaliy natijalarni o‘rganish va bu fanni o‘qitish jarayonining sifat jihatlar i ni oshirish uchun asos bo‘lib hizmat qiladi. Har kuni bizning jamiyatda oddiy fuqarolarga mamlakatning moliyaviy tizim bilan to‘g‘ridan to‘g‘ri yoki bevosita bog‘liq jarayon bilan belgilanuvchi moliyaviy masalalarga duch kelishiga to‘g‘ri keladi. Bunday o‘zaro ta’sir boshlang‘ich maktabdan boshlanadi va kishining ulg‘ayishi bilan hal qilinadigan masalalar darajasi va murkkabligi oshib boradi. Bu mavzuning dolzarbligi maktab yoshidayoq talabada differensial va integral hisob elementlaridan amaliy masalalarni yechish ko‘nikmalarini shakllantirish ma’lum asosiy tasavvurlar, tushunchalar va amaliy malakalarni shakllantirish zarurligi bilan belgilanadi. Talabalarni differensial va integral hisob elementlaridan amaliy masalalarni yechish ko‘nikmalarini qo‘llanilishi bo‘yicha ma’lumotlar bilan tanishtirish va bu ularni na faqat darslarda balki kelgusi faoliyatda – talabalarning mustaqil ta’lim olishlari uchun, ta’limga ota-onalari va boshqa shakllarni jalb etib ularning moliviy matematika bo‘yicha individual ta’lim traektoriyasini amalga oshirishda foydalanishga imkon beradi. 4 Tadqiqot ob’yekti va predmeti. D ifferensial va integral hisob elementlaridan amaliy masalalarni yechish ko‘nikmalarini shakllantirishda STEAM texnologiyalaridan foydalanish usullari, differensial va integral hisob elementlaridan amaliy masalalarni yechish ko‘nikmalarini shakllantirishda STEAM texnologiyalaridan foydalanish o‘rganishdan iborat. Tadqiqotning maqsadi va vazifalari. Maqsad differensial va integral hisob elementlaridan amaliy masalalarni yechish ko‘nikmalarini shakllantirishda STEAM texnologiyalaridan foydalanish bo‘yicha nazariy va amaliy ma’lumotlarni o‘rganish va shu asosda differensial va integral hisob elementlaridan amaliy masalalarni yechish ko‘nikmalarini shakllantirish bo‘yicha matematika masalalarini yechish usullariga doir mashqlar va savollar sistemasini ishlab chiqishdan iborat -STEAM ning ta’limdagi roli va a h amiyatini o‘ rganish; - differensial va integral hisob elementlaridan amaliy masalalarni yechish ko‘nikmalarini shakllantirish; - differensial va integral hisob elementlaridan amaliy masalalarni yechish k o‘ nikmalarini shakllantirishda steam texnologiyalaridan foydalanish Ilmiy yangiligi . - STEAM ning ta’limdagi roli va a h amiyatini o‘ rganish ; - differensial va integral hisob elementlaridan amaliy masalalarni yechish ko‘nikmalarini shakllantirish - differensial va integral hisob elementlaridan amaliy masalalarni yechish ko‘nikmalarini shakllantirishda steam texnologiyalaridan foydalanish kabi masalalar batafsil bayon qilingan. Tadqiqotning asosiy masalalari va farazlari. Mazkur tadqiqot yuqori sinflarda algebra fanini o‘qitish jarayonida foydalaniladigan boshlang‘ich ta’lim o‘qituvchilariga yangi qo‘llanma taqdim qilish ehtimoli. Matematikaga qiziqishi yuqori bo‘lgan iqtidorli o‘quvchilarni kashf qilish, ularni mustaqil fikrlashga 5 o‘rgatish, hamda differinsial masalalarini yechish bo‘yicha ko‘nikmalarini shakllantirish. Tadqiqot mavzusi bo‘yicha adabiyotlar sharhi (tahlili) . Aleksankov A . M . [1], Konyushenko S . M .[3], Nechitaylo A . N . [4]/ Frolov A . V .[6], Caplan M. [7], Chanthala Ch.[8], Segura W. A [10] hamda matematik analiz bo‘yicha Alimov Sh.A. [12], Abdalimov V . [5] Piskunov N.S. [17], Soatov Yo.U. [18], Fixtengol s G.M. [19], Sultanov J. [20] va h.k. olimlar tomonidan o‘rganilgan bu nazariya bo‘yicha va ularning tadbiqlari nazariy va amaliy jihatdan ochib berilgan, lekin ularni o‘zbek tilida va sistemali bayon qilinishi, differensial va integral hisob elementlaridan amaliy masalalarni yechish ko‘nikmalarini shakllantirishda STEAM texnologiyalaridan foydalanish yetarlicha bayon etilmagan. Tadqiqot natijalarining nazariy va amaliy ahamiyati . Dissertasiya nazariy va amaliy xarakterga ega. Dissertasiyaning usul va natijalari differensial va integral hisob elementlaridan amaliy masalalarni yechish k o‘ nikmalarini shakllantirishda STEAM texnologiyalaridan foydalanish nazariy va amaliy jihatlarini o‘rganishda va ularning yechishda qo‘llaniladigan ba’zi klassik masalalarni umumlashtirish nazariyasiga ma’lum hissa qo‘shadi. Dissertasiya natijalari matematika nazariyasi va aktuar matematikada , xususan . matematik analiz kursi qo‘llanishi bo‘yicha ilmiy tadqiqotlarda qo‘llanilishga ega. Ish tuzilmasining tavsifi . Ish kirish, 3 ta bob, 13 ta paragrafdan, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan iborat. Ishning hajmi 87 betdan iborat. Ishda differensial va integral hisob elementlaridan amaliy masalalarni yechish k o‘ nikmalarini shakllantirishda STEAM texnologiyalaridan foydalanish nazariy va amaliy jihatlarini o‘rganishda va ularning yechishda qo‘llaniladigan ba’zi klassik masalalarni umumlashtirish masalalar batafsil bayon qilingan . 6 I BOB. MATEMATIK TA’LIMDA STEAM Y O NDAS H UVNI QO‘LLAS H NING NAZARIY ASOSLARI 1.1 -§ . O‘zbekistonda fanlarni o‘qitish d a STEAM ni qo‘llash ahvoli Ta’lim va fan sohasini rivojlantirish davlat siyosati ma’no-mazmunidan va uning dolzarbligidan kelib chiqib, uni quyidagicha izohlash mumkin: birinchidan, yangi ta’lim tizimi, barkamol avlod kadrlarini tayyorlashdagi o‘zgarishlar va yangicha yondashuvlar, zamonaviy kasb sohalarining paydo bo‘lgani hamda uning mamlakatimiz sharoiti bilan bog‘liqligidir; ikkinchidan, ta’lim tushunchasi ijtimoiy-iqtisodiy taraqqiyot natijasida muayyan davrdan boshlab, inson faoliyatining alohida mustaqil sohasiga aylanib, jamiyatning ijtimoiy tajribasini keying bosqichga uzatadi; uchinchidan, ta’lim inson shaxsining intellektual-ma’naviy qirralarini shakllantirish, uning jamiyat ishlab chiqarishi va ijtimoiy, siyosiy, madaniy, ma’rifiy hayotida faol va muvaffaqiyatli ishtirokini ta’minlashga qaratilgan harakatlar yig‘indisi bo‘lib, ma’rifat hamda bilim berishni anglatadi; to‘rtinchidan, fan jamiyatning ijtimoiy institutlaridan biri bo‘lib, tabiat va jamiyat hayotini aks ettiruvchi ijtimoiy ong shakli. U katta ilmiy salohiyatini, ijodiy kuch quvvatini birlashtirib, an’naviy barkamol insonni tarbiyalashga, mamlakatda qudratli ilmiy salohiyatni yaratishga xizmat qiladi. [1] Respublikamiz taraqqiyoti ko‘p jihatdan yosh avlodni yuksak ma’naviyat va intellektual salohiyat egasi qilib tarbiyalashga bog‘liq bo‘lib, shu jumladan, 7 ta’lim sohasini isloh qilish va rivojlantirishga alohida e’tibor qaratildi. O‘zbekiston Respublikasi Prezidentining “Xalq ta’limini boshqarish tizimini takomillashtirish bo‘yicha qo‘shimcha chora-tadbirlar to‘g‘risida”, O‘zbekiston Respublikasi Prezidentining “Zamonaviy maktab” Davlat dasturini tasdiqlash to‘g‘risida"gi qarori loyihasi kiritilishi natijasida, ekologik jihatdan toza materiallar va energiyaning muqobil manbalaridan foydalangan holda ishlab chiqilgan namunaviy loyihalar asosida zamonaviy maktablar qurish; maktablarni, shu jumladan, o‘quv sinflarini yangi qulay mebellar, zamonaviy o‘quv va laboratoriya jihozlari, darsliklar va o‘quv-uslubiy materiallar, kompyuter va mul’timedia texnikasi, videokuzatuv tizimlari bilan jihozlash; o‘quv rejalari va dasturlarini optimallashtirish, innovatsion, shu jumladan, masofaviy pedagogik usullardan keng foydalanish, ushbu jarayonning samaradorligini butunlay oshirishni nazarda tutadi. Shunga ko‘ra, Respublikamizning har bir hududlarida iqtidorli yoshlarni aniqlash maqsadida Prezident maktablari ochildi. Ular STEAM fanlarini o‘qitishga ixtisoslashtirildi [1,2]. STEAM-maktab o‘quvchilarini zamonaviy o‘qitish metodikasi bo‘lib, an’anaviy o‘qitish tizimiga muqobil tizimdir. U bolalarni bir vaqtning o‘zida Science (tabiiy fanlar), Technogiy (texnologiya), Enjenering (muhandislik), Art (san’at) va Mathematics (matematika) bo‘yicha o‘qitish tizimiga asoslangan, bunda o‘quvchilar amaliy va qiziqarli loyihalar asosida saboq oladilar. STEAM atamasi birinchi bo‘lib, AQShda maktab dasturiga kiritilgan bo‘lib, o‘quvchilarning ilmiy texnika yo‘nalishlarida kompetensiyalarini rivojlantirishga qaratilgan “bo‘lib, bu yo‘nalish kengaytirilib, atamaga qo‘shimcha harflar kiritildi. Jumladan: “R”- robotisrobototechnikani qo‘shib, STREM- deb yoki “A”-art –san’atni qo‘shib, STEAM deb atala boshlandi[3]. STEAM (S - sistema , T - texnologiya, Е - muhandislik, A - san’at, M - matematika) - ilm-fan, texnologiya, muhandislik, san’at va matematikani birlashtiruvchi zamonaviy yondashuvdir. Bugungi davr talabi dunyo ta’limi oldiga katta vazifalarni qo‘ymoqda, ya’ni yosh avlodni kelajakda jamiyatda yashashga tayyorlashi lozim. Bunda 8 birinchi navbatda tez o‘zgarayotgan, yangilanib borayotgan axborotlar bilan uyg‘un holda faol ishlaydigan kasb egalari timsolini bugungi o‘quvchi yoshlarda shakllantirish lozim. Axborotni olish, qayta ishlash va amaliyotda foydalanish STEAM ta’limi dasturining asosini tashkil etadi. STEAM ta’limi o‘quvchi yoshlarning rivojlanishini tashqi olam bilan bevosita bog‘laydi. Ma’lumki, tabiiy fanlar atrofimizdagi olam bilan bevosita bog‘liq texnologiya kundalik hayotimizda doimiy ravishda qo‘llaniladi, muhandislik esa uylar, yo‘llar, ko‘priklar va mashina mexanizmlarda o‘z aksini topgan, biror bir kasb, kundalik mag‘ulotlarimiz ozmi-ko‘pmi matematika fani bilan ham bog‘langandir. STEAM ta’limi bir so‘z bilan aytganda bir necha fanni birlashtiruvchi, o‘quvchilarni nostandart muammolarni hal qilish va ularning orasidagi vazifalarni taqsimlashni safarbar etish qobiliyatini, nuqtai nazarini himoya qilish, tajriba va tavakkal qilish, tashabbusiga imkon beruvchi va kelajakda kasb tanlashga bo‘lgan shaxsiy fazilatlarini tarbiyalovchi vositadir. [3] 9 1.2 -§. STEAM ta’limi va uni qo‘llashga qo‘yiladigan talablar STEAM ta’limi . O‘zbekiston Respublikasi Prezidentining 2018 yil 5 sentyabrdagi “Xalq ta’limi tizimiga boshqaruvning yangi tamoyillarini joriy etish chora-tadbirlari to‘g‘risida”gi PQ-3931-sonli qarori bilan tasdiqlangan “2018-2021 yillarda O‘zbekiston Respublikasi xalq ta’limi tizimini yanada takomillashtirish bo‘yicha chora-tadbirlar dasturi”ning 2- bo‘lim, 11-bandida – umumiy o‘rta ta’limning yangi davlat ta’lim standartlari va o‘quv dasturlarini takomillashtirish va shu bilan birga STEAM (fan, texnologiya, muhandislik va matematika) ta’limini bosqichma-bosqich amaliyotga joriy etish belgilab berilgan. Mazkur vazifalarni bajarish uchun, avvalo, ta’lim ishtirokchilari – pedagoglar, metodistlar, o‘quvchilar, ota-onalar va boshqalar STEAM ta’limi yo‘nalishida o‘tkaziladigan xalqaro tadqiqotlar haqida ma’lumotlarni bilishi hamda ularni amaliyotda qo‘llash uchun malakalarga ega bo‘lishlari zarur bo‘ladi. Hozirgi vaqtda texnologik inqilob ro‘y bermoqda. Yuqori texnologiyali mahsulotlar va innovatsion texnologiyalar zamonaviy jamiyatning ajralmas qismiga aylanmoqda. Zamonaviy maktablarda robot dizayni, modellashtirish va dizayn loyihalashtirish ishlari yetakchi o‘rinni egallamoqda. Mamlakatimizning raqobatbardoshligini oshirish uchun ko‘proq texnik ta’lim talab etilayotganligi dolzarb muammolardan hisoblanadi. Bugungi kunda STEAM ta’limi jamiyat va davlatning rivojiga katta hissa qo‘shadigan yuqori malakali mutaxassislarni tayyorlash imkonini bermoqda. Ma’lumki, zamonaviy 10 ta’lim tizimi, an’anaviy ta’limdan farqli o‘laroq, amaliyotda o‘rganilayotgan ilmiy-nazariy va metodik uslubni kundalik hayotda qanday qo‘llash mumkinligini ko‘rsatishga imkon beradigan aralash muhit hisoblanadi. Matematika va fizika bilan bir qatorda o‘quvchilar robototexnika va dasturlashni o‘rganadilar. Bu jarayonda o‘quvchilar aniq va tabiiy fanlardan olgan bilimlarini amaliyotdagi natijasini shaxsan ko‘rib turadilar. [6,7] STEAM ta’limining muhimligi shundaki, zamonaviy fan sohasida ta’lim sifatining pastligi, moddiy-texnika bazaning yetarli darajada emasligi, o‘qituvchilar va o‘quvchilarning sust motivatsiyasi – bularning barchasi ta’lim tizimining eng katta muammosidir. Shu bilan birga, bosqichma-bosqich rivojlanib borayotgan davlatimiz yuqori texnologiyalar sohasidagi fanlarning turli xil ta’lim yo‘nalishlari bo‘yicha yuqori malakali mutaxassislarni tayyorlashni talab qiladi. Shu munosabat bilan, bugungi kunda STE A M ta’limi birinchi o‘rinda turadi. Bu esa kelajakda texnologik jarayonni rivojlantirish va mamlakatimizda ilmiy va muhandislik kadrlarga bo‘lgan ehtiyojni qoplanishiga yordam beradi. Bugungi davr talabi dunyo ta’limi oldiga katta vazifani qo‘ymoqda. Bu esa o‘quvchilarni jamiyatda yashashga tayyorlay olishi kerak. Bunda birinchi navbatda tez o‘zgarayotgan axborot bilan ishlaydigan kasblar bilan bog‘liq xususiyatlarni o‘quvchida shakllantirish lozim. Axborotni olish, qayta ishlash va amaliyotda foydalanish STEAM ta’limi dasturining asosini tashkil qiladi. STEAM ta’limi texnologiyasi loyihalash metodiga tayangan holda uning asosida bilish va ijodiy izlanish yotadi. Bunday izlanish amaliy faoliyat jarayonida bilimlarni olish, ulardan amaliyotda qayta foydalanish, ya’ni o‘yinlarda turli konstruksiyalar tuzish, texnik ijodiyot elementlarini qo‘llab, bilim olishga oid tadqiqot ishlarida amalga oshiriladi. STEAM ta’limi o‘quvchining rivojlanishini tashqi olam bilan bevosita bog‘laydi. Ma’lumki, texn o logiya fani kundalik hayotimizda doimiy qo‘llaniladi, muhandislik esa uylar, yo‘llar, ko‘priklar va mashina mexanizmlarda o‘z aksini topgan biror bir kasb, kundalik mashg‘ulotlarimiz ozmi-ko‘pmi matematik hisob kitoblar bilan bog‘langandir. 11 STEAM ta’limiy yondashuvi o‘quvchilarga dunyoni tizimli ravishda o‘rganishga, atrofda ro‘y berayotgan jarayonlarni mantiqiy mushohada qilishga, ulardagi o‘zaro aloqani anglab yetishga, o‘zi uchun yangi, noodatiy va qiziqarli narsalarni ochishga imkon beradi. Qandaydir yangilikni kutish orqali o‘quvchida qiziquvchanlikni rivojlantiradi. O‘zi uchun qiziqarli masalani aniqlab olishni, uning yechimini topishning algoritmini ishlab chiqishni, natijalarini tanqidiy baholashni, fikrlashni muhandislik stilini shakllantirishga olib keladi. Jamoaviy faoliyat olib borish ko‘nikmalarini shakllantiradi. Bularning barchasi o‘quvchi rivojlanishining yuqori bosqichga ko‘tarilishini va kelajakda to‘g‘ri kasb tanlashga zamin yaratadi. Shunga ko‘ra dunyoning ko‘pgina mamlakatlarida STEAM ta’limiy yondashuvga katta e’tibor berilmoqda. Jumladan, Yevropaning 10 dan ortiq mamlakatlari (Avstriya, Germaniya, Fransiya, Italiya, Gollandiya, Norvegiya, Angliya, Irlandiya, Ispaniya va boshqalar) milliy strategiya va tashabbuslarida bu hisobga olingan. [3,5] STEAM ta’limni amalga oshirish uchun davlat ta’lim standartlariga o‘zgartirishlar kiritish lozim. Masalan, bunda AQSh tajribasidan ijodiy ravishda foydalanish mumkin. Talim berishni o‘quv fanlari bo‘yicha emas, balki “mavzular” bo‘yicha integratsiyalab olib borish . STEAM ta’limida fanlararo aloqa va loyihalash metodi birlashtirilgan bo‘lib, uning asosida tabiiy fanlarni texnologiyaga, muxandislik ijodiyotiga va matematikaga integratsiya qilish yotadi. Bunda muhandislik bilan bog‘liq kasblarga bo‘lgan tayyorgarlik amalga oshiriladi. Ilmiy texnik bilimlarni real hayotda qo‘llash . STEAM ta’limida amaliy mashg‘ulotlar yordamida, bolalarga ilmiy-texnik bilimlardan real hayotda foydalanish namoyish qilinadi. Har bir darsda o‘quvchilar zamonaviy loyihalashga oid modellarni ishlab chiqadi, quradi va modelni takomillashtiradi. Ular aniq loyihani o‘rganadi, natijada real mahsulotning prototipini yaratadilar. Masalan, o‘quvchilar harakatlanuvchi sodda robotni yasashda muhandislik 12 kasbi, muhandislik dizayni, elektrotexnik, konstruktor, loyihalash, texnologik jarayon, texnologik xarita kabi tushunchalar bilan tanishadilar. Tanqidiy tafakkur ko‘nikmalarini rivojlantirish va muammolarni yechish. STEAM dasturi, o‘quvchilar kundalik hayotlarida duch keladigan qiyinchiliklarni yengishda zarur bo‘ladigan tanqidiy taffakur va muammolarni yechish ko‘nikmalarini rivojlantiradi. Masalan, o‘quvchilar tez yuradigan mashina modelini yig‘adilar, so‘ngra uni sinovdan o‘tkazadilar. Birinchi sinovdan so‘ng kutilgan natijaga erishilmasa, uning sabablari haqida o‘ylaydi va topadilar. O‘z kuchiga ishonch hissini ortishi . O‘quvchilar robototexnika, mashina va samolyot modelini ishga tushirish va boshqa ishlarni bajarishda oldilariga qo‘ygan maqsadlariga e rishish uchun harakat qiladilar. Har bir sinovdan so‘ng modelni takomillashtirib boradilar. Oxirida barcha muammolarni o‘z kuchlari bilan yengib, o‘ylagan maqsadlariga erishadilar. Bu o‘quvchilar uchun ruhlanish, g‘alaba va quvonch demakdir. Har bir g‘alabadan so‘ng ular o‘z kuchlariga yanada ishonadilar. Faol kommunikatsiya va jamoada ishlash . STE A M dasturi faol kommunikatsiya va jamoada ishlash bilan farqlanadi. Muloq o t davrida o‘z fikrlarini bayon qilish va bahs-munozara olib borish uchun erkin muhit vujudga keltiriladi. Ular gapirishga va taqdimot o‘tkazishga o‘rganadilar. O‘quvchilar doimo o‘qituvchi va sinfdoshlari bilan muloqotda bo‘ladilar. O‘quvchilar har bir ish jarayonda faol qatnashsalar, mashg‘ulotni yaxshi eslab qoladilar. Texnik fanlarga bo‘lgan qiziqishlarini rivojlantirish . Maktab matematika ta’lim i da STE A M ta’limining vazifasi, o‘quvchilarni texnologiya faniga bo‘lgan qiziqishlarini rivojlantirishdan iborat bo‘lib, bajaradigan ishini sevib bajarish, qiziqishlarini rivojlantirish uchun asos bo‘lib xizmat qiladi. STE A M mashg‘ulotlari juda dinamik va qiziqarli bo‘lsa o‘quvchilar mashg‘ulot vaqtida zerikishmaydi va darsdan unumli foydalanadilar. Loyihalarga kreativ va inn o vatsion yondashuv . STE A M ta’limi oltita bosqichdan iborat: savol (vazifa), muhokama, dizayn, qurish, sinovdan o‘tkazish 13 va rivojlantirish. Bu bosqichlar tizimli loyihalash yondashuvining asosi hisoblanadi. Turli imkoniyatlarning birgalikda mavjud bo‘lishi yoki birgalikda ishlatilishi o‘z navbatida kreativlik va innovatsiyaning asosi bo‘lib hisoblanadi. Shunday qilib, fan va texnologiyaning birgalikda o‘rganilishi ko‘pgina yangi innovatsion loyihalarni yaratishga olib keladi. Ta’lim va karera orasidagi ko‘prik . Turli xil baholashlarga ko‘ra hozirgi kunda talabgor eng ko‘p bo‘lgan 10 ta mutaxassisdan 9 tasiga aynan STE A M bilimlari zarur bo‘ladi. Bunday kasblarga: muhandis-kimyogar; neft bo‘yicha muhandislar; kompyuter tizimlari analitiklari; muhandis-mexaniklar; muhandis-quruvchilar; robototexniklar va boshqalar kiradi. O‘quvchilarning texnologik innovatsion hayotga tayyorlash . STEAM ta’limi bolalarni texnologik rivojlangan dunyoda yashashga tayyorlaydi. Keyingi 60 yil davomida texnologiyalar jadal darajada rivojlandi , Internetning yaratilishi (1960) , GPS texnologiyalar (1978)dan DNKni skanerlashgacha va albatta Ipod (2001) kashf etilishi . Barcha hozirda Iphone va boshqa smartfonlarni ishlatadi. Texnologiyalarsiz hozirgi kunda dunyoni tassavur qilib bo‘lmaydi. Texnologiyalar bundan keyin ham rivojlanishda davom etadi va STEAM ko‘nikmalarb bu rivojlanishning asosi bo‘ladi. [8,10] STEAM ni maktab dasturlariga qo‘shimcha sifatida kiritish. STEAM dasturlari 7-14 yoshdagi o‘quvchilarning muttasil ravishda o‘tkaziladigan mashg‘ulotlarga qiziqishlarini orttiradi. Masalan, fizika darslarida yerning tortishish kuchi o‘rganilganda doskada formulalarni yozish tushuntirilsa, matematika darslarida differensial va integral hisob usullarini amaliy masalalarni hal qilishga qo‘llash, STEAM to‘garaklarida raketalar, samolyotlar, elektr o texnik ishlari, robototexnika, xalq hunarmandchiligi va boshqa amaliy ishlarni bajarish da ham matematik tushuncha va geometrik yasashlarni tadbiq etish orqali o‘z bilimlarini mustahkamlaydilar. 14 1.3 -§. STEAMni o‘qitishda zamonaviy yondashuv va joriy etish bo‘yicha xorij tajribasi STEAM orqali o‘quvchilar bu fanlarni, jumladan matematikani, boshqa fanlar bilan uyg‘unlashgan holda, ular orasidagi bog‘lanishlar va amaliy yondashuvga asoslangan holda o‘rganadilar. Boshqacha qilib aytganda, STEAM - fanlararo integratsiya yondashuvga asoslangan o‘qituvchi va o‘quvchining hamkorlikdagi faoliyati. Bu jarayonda o‘quvchi va o‘qituvchi ijodiy fikr yuritadi. Bu nazariya va amaliyotni birlashtirishning mantiqiy natijasidir. STEAM yondashuvi dastlab AQShda ishlab chiqilgan. Ba’zi maktablar o‘zlarining bitiruvchilarining kareralarini rivojlantirishga e’tibor berishdi va fan , texnologiya, muhandislik va matematika kabi fanlarni birlashtirishga qaror qilishdi , ya’ni STEM ni tashkil etildi. (Tabiiy fanlar, texnika, muhandislik va matematika). Keyinchalik unga Art (san’at) qo‘shildi va STEAM tashkil etildi. STEAM yondashuvining eng mashhur namunasi Massachusets Texnologiyalar Instituti (MIT)da ishlab chiqilgan. Bu mashhur universitetining shiori “Mind and hand” – “Aql va qo‘l” dir. Massachusets Texnologiya instituti STEAM 15 kurslarini ishlab chiqdi va hatto ba’zi o‘quv yurtlarida STEAM ta’lim markazlari yaratildi. STEAM yondashuvining asosiy g‘oyasi: amaliyotning nazariy bilim kabi juda muhim ekanligi hisoblanadi, ya’ni, o‘rganish vaqtida biz nafaqat miya, balki qo‘llarimiz bilan ham ishlashimiz kerak. Dars vaqtida bilim olish tez o‘zgaruvchan dunyo bilan mos kelmaydi. STEAM yondashuvi bilan an’anaviy yondashuv o‘rtasidagi asosiy farq , o‘quvchilar fanlar bo‘yicha turli mavzularni muvaffaqiyatli o‘rganishi uchun ularning ongi va qo‘llarini baravar ishlatishidir. Ular bilimlarni o‘zlari uchun “o‘zlari” o‘rganadilar.[9] Iqtidor (aql, intellekt) nima? Aql-idrok - maqsadga eng samarali tarzda erishish mumkin bo‘lgan, ya’ni vaqt va resurslarni kam sarflash bilan erishish mumkin bo‘lgan bilishni tashkil etish qobiliyati. Maktab o‘quvchilarining aqliy rivojlanishi va mazmuniga zamonaviy nuqtai nazar kognitiv tuzilmalar haqidagi nazariy g‘oyalar bilan chambarchas bog‘liq bo‘lib, u orqali inson atrof muhit haqida xulosa chiqaradi, o‘zlashtiriladigan barcha yangi taassurot va ma’lumotlarni tahlil va sintez qiladi. Ular qanchalik rivojlangan bo‘lsa, ma’lumot olish, tahlil qilish va sintezlash imkoniyati shunchalik yaxshi tushunadi , idrok etadi. STEAM yondashuvi nafaqat o‘rganish metodi, balki fikrlash usuli hamdir. STEAM ta’lim muhitida bolalar bilimga ega bo‘lib, shu bilimdan foydalanishni darhol o‘rganadilar. Shuning uchun ular o‘sib, haqiqiy dunyoda istalgan hayot muammosiga duch kelganda, bu xoh ifloslanish yoki iqlimning global o‘zgarishi bo‘lsin, bunday murakkab masalalarni faqat tur l i fanlardan olgan bilimlarga tayanish va birgalikda ishlash orqali hal qilish mumkinligini tushunadilar. Faqat bitta fandan olingan bilimga tayanish yetarli bo‘lmay qoladi. STEAM yondashuvi o‘rganish va ta’limga bo‘lgan munosabatimizni o‘zgartiradi. O‘quvchilar amaliy ko‘nikmalarga e’tibor qaratish orqali irodasini , ijodkorligini, moslashuvchanligini rivojlantiradi va boshqalar bilan hamkorlik qilishni o‘rganadi. Ushbu ko‘nikmalar va bilimlar asosiy ta’lim vazifasini tashkil etadi , ya’ni ta’lim tizimining bosh maqsadi hisoblanadi. [11] 16 STEAM o‘quvchilarda quyidagi muhim xususiyatlar va ko‘nikmalarni rivojlantirishga yordam beradi: - m uammoni keng qamrovli tushunish; - i jodiy fikrlash ; - m uhandislik yondashuvi; - t anqidiy fikrlash ; - i lmiy metodlarni tushunish va qo‘llash; - d izayn asoslarini tushunish. Amaliyot shuni ko‘rsatadiki, o‘quvchilar yuqori sinflarda matematika fanini o‘rganish jarayonida darsda o‘rgatiladigan mavzularga qiziqish ko‘rsatadilar, o‘qituvchining savollarini muhokama qilishda faol ishtirok etishadi. Biroq, vaqt o‘tgan sari matematikaga hali ham ishtiyoqli bo‘lganlar 1-2 gina o‘quvchi qoladi. O‘qituvchilarning ish uslublarining bir xilligi o‘quvchilar orasida qiziqishning pasayishiga olib keladi. STEAM ta’lim elementlarni joriy etish bo‘yicha xorij tajribasi . STEAM ta’lim elementlarini joriy etish bo‘yicha tadqiqotlar AQSh, Avstraliya, Janubiy Koreya, Kanada, Tailand va boshqa ko‘plab mamlakatlarda olib borilmoqda. STEAM ta’limini joriy etish tajribasini o‘rganish shuni ko‘rsatadiki, ularning xilma-xilligi yetarli va ular talabalarning ta’limning asosiy bosqichlarida yanada kengayib boradi. Natijalar shuni ko‘rsatadiki, maktablarning yuqori sinf o‘quvchilari va oliy o‘quv yurtlari talabalari tomonidan fizika-matematika fanlarini o‘rganishda STEAM texnologiyalaridan foydalanishda o‘quvchilarning o‘quv faoliyati va o‘zini o‘zi baholashi yaxshilanadi, shuningdek, ijodiy qobiliyatlar rivojlanadi. Shunday qilib, STEAM ta’limini amalga oshirish ta’limning barcha darajalarida, ko‘pincha maktab va maktabdan tashqari tashkilotlarning yaqin o‘zaro ta’siri va hamkorligida amalga oshirilishi mumkin. Loyihalar usuli STEAM ta’limi asosi sifatida . STEAM o‘qituvchilari loyihaga asoslangan o‘quv dasturlarini amalga oshirishlari mumkinligiga 17 ishonamiz. STEAM ta’limining ajoyib namunasi maktab o‘quvchilariga "Matematika" fani doirasida texnologik ta’lim berishdir. Ushbu fanni o‘rganishdan maqsad matematika bilan bog‘liq texnoferaning tarkibiy qismlari, zamonaviy ishlab chiqarish va unda keng tarqalgan texnologiyalar haqida tasavvur hosil qilishdir. Matematika bugungi kunda o‘quv predmeti sifatida maktab o‘quvchilarining sharoitlarda kasblarini o‘zlari belgilashiga yordam beradi, mehnat bozori, ularni loyihalash va tadqiqot, loyihalash va ilmiy-texnik faoliyatda matematik usullardan foydalanishga yo‘naltiradi. "Matematika" fanidan talabalarning o‘quv va kognitiv faoliyati tabiiy-ilmiy, ilmiy-texnikaviy, texnologik, tadbirkorlik va gumanitar bilimlarga asoslanadi. Maktabda fundamental va amaliy fanlarning bunday keng doiradagi materiallaridan o‘z maqsadlari uchun foydalanadigan boshqa fan yo‘q. Biroq "Matematika" fanini o‘rta maktab o‘quvchilariga o‘qitishda mantiqiy mulohaza yuritish, moliyaviy matematika, shuningdek, analizning boshlang‘ich elementlarini o‘rganish, ularni texnikada, qurilishda va loyihalashda turli ekstremal masalalardan foydalanish va ularni qo‘llashga doir loyihalarni amalga oshirish norasmiy va norasmiy ta’lim doirasida amalga oshiriladi, bu esa ma’lum bir matematika o‘qituvchilari uchun qiyinchilik tug‘diradi, shuning uchun STEAM yondashuvini ko‘proq darslarda amaliy masalalarni yechish usullarini o‘rgatishga tadbiq etish yaxshi natijalar beradi. [2] Ushbu metodikani matematika o‘qtish jarayonida amalga oshirish yo‘li fanlararo ilmiy va ta’lim "ijodiy maydonlarni" yaratish va rivojlantirish bo‘lishi mumkin, kelgusida zamonaviy texnik-matematik va loyihalash ishlari bo‘yicha maktab o‘quvchilarining samarali fanlararo ijodiy ishlarni bajarii uchun muhit yaratishga qaratishdan iborat. Bunda o‘quvchilarni internet platformalarning ahamiyati yaqqol ko‘zga tashlanadi, chunki yoshlikdan o‘quvchilarni ilmiy, ta’lim, biznes va ishlab chiqarish muhitining integratorlari roliga tayyorlanishlari, ular o‘z hududida turli sohalarda matematika bo‘yicha olgan bilim va ko‘nikmalarini uyg‘unlashtirishni ta’minlaydi. Bunday "ijodiy maydonlar"ni yaratish tajribasi xorijiy universitetlarda mavjud (masalan, 18 Finlyandiyaning Alto universiteti qoshidagi dizayn fabrikasi, FabLab tarmog‘i va boshqalar) va ular ta’lim jarayonida amalga oshirilmoqda. Bu tajribadan foydalanish va uni yo‘lga qo‘yish o‘quvchilarni STEAM yondashuvi imkoniyatlaridan bir fan doirasida, yoki mavzu, masalan, analiz asoslarining differensial va integral hisobning amaliy masalalarni qo‘llashga tadbiqlari doirasida fanlararo integratsiya asosida, masalan, fizika, mexanika, geometriya, astronomiya, texnologiya fanlarini tushunchalarini birgalikda turli hayotiy masalalarni yechish jarayonida amalga oshirilishini talab qiladi. I bob bo‘yicha xulosa 1. STEAM texnologiyasining ta’lim tizimidagi roli va unga qo‘yiladigan talablar haqida ma’lumotlar keltirilib o‘tildi. 2. STEAM texnologiyasidan foydalanish, fanlararo integratsiyasini ta’minlash va xorij tajribasi keltirib o‘tildi. II BOB. DIFFERENSIАL VА HOSILА TUSHUNCHАLАRINI O‘RGАNISHDА STEАM YONDАSHUVINI QO‘LLАSH 2 . 1-§. Hosilаning fizikаviy mа’nosi Mа’lumki, jismlаrninng hаrаkаtlаri ichidа eng soddа hаrаkаt bu, to‘g’ri chiziq bo‘ylаb tekis hаrаkаtidir. Bundаy hаrаkаtlаrdа, jism o‘z yo‘nаlishini o‘zgаrtirmаy, hаr qаndаy teng vаqtlаr orаlig’idа bir xil uzunlikdаgi yo‘llаrni bosib o‘tаdi. Oddаtdа, trаnsport vositаlаri hаm bа’zi orаliqlаrdа tekis vа to‘g’ri chiziqli hаrаkаt qilаdi. Hаrаkаtdаgi jismning to‘g’ri chiziq bo‘ylаb tekis hаrаkаtidа vаqt birligidа bosib o‘tgаn yo‘li, shu hаrаkаtning tezligi deyilаdi. Odаtdа biz ko‘pinchа notekis hаrаkаtlаrgа duch kelаmiz. Mаsаlаn, biror stаnsiyаdаn jo‘nаyotgаn poyezd аvvаl sekin-аstа tezlаshа borаdi. U o‘z hаrаkаtining ikkinchi minutidа birinchi minutidаgidаn ko‘p, uchinchi minutidа esа ikkinchi minutidаn ko‘proq yo‘l bosаdi vа hokаzo. Mа’lum tezlikkа erishib 19 olgаch, u yo‘lning qolgаn qismlаrining hаr bir minutdа bir xil uzunlikdаgi yo‘lni bosib o‘tаdi, yа’ni tekis hаrаkаt qilаdi. Poyezd belgilаngаn joygа yаqinlаshа borgаch, yа’nа hаr qаysi minutdа oldingisidаn kаmroq mаsofаni o‘tib, yа’ni poezd o‘z tezligini kаmаytirа borаdi. Xuddi shundаy, sаmolyot, pаrаxod, аvtomobil, trаmvаy, trollebus vа hаkаzolаtlаr hаqidа hаm yuqoridаgi fikrlаrni аytish mumkin. [19] Tekis hаrаkаtdа yo‘lning hаr qаndаy qismidаgi o‘rtаchа tezlik hаrаkаt tezligi bilаn bir xil bo‘lаdi. O‘rtаchа tezlik odаtdа poyezdlаrning hаrаkаti bilаn xаrаkterlаnаdi. Mаsаlаn, Sаmаrqаnd - Toshkent Аfrosiyob tez yurаr ekspress poyezdi 276 kilometrli yo‘lni 2 soаtu 15 minutdа (2.25 soаtdа) bosib o‘tаdi. Shungа ko‘rа uning o‘rtаchа tezligi v = 276 2.25 ≈ 123 km / soat gа teng. Аmmo bu poyezd hаr bir soаtdа 123 km mаsofаni bosib o‘tishini bildirmаydi. Chunki, poyezd hаrаkаtning tezlik olаyotgаn birinchi soаtidа u 80-90 kilometr mаsofаni bosаdi. Undаn keyingi soаtlаrdа esа o‘tilgаn yo‘l tаxminаn 120 km.ni tаshkil etаdi. Shundаn keyin Аfrosiyob tez yurаr ekspress poyezdi Toshkent shаhаridа to‘xtаydi. Bu to‘xtаshgа to‘g’ri kelgаn soаtdа hаm yаnа Аfrosiyob poyezdi 80-90 kilometrdаn hаm kаm mаsofаni bosib o‘tаdi. Bulаrdаn ko‘rinib turibdiki, o‘rtаchа tezlik notekis hаrаkаtning to‘lа xаrаkteristikаsi bo‘lа olmаydi. Hаr qаndаy notekis hаrаkаt qilаyotgаn jism turlichа, аmmo miqdor jihаtdаn teng bo‘lgаn vаqt orаliqlаridа turli uzunlikdаgi mаsofаlаrni o‘tishi mumkin. Shuning uchun notekis hаrаkаtni qаndаydir vаqt orаlig’idа o‘tilgаn yo‘l uzunligi bilаn to‘lа ifodаlаb bo‘lmаydi, аmmo notekis hаrаkаt mа’lum vаqt orаlig’idаgi o‘rtаchа tezlik bilаn xаrаkterlаnаdi. Endi jism hаrаkаtining bir munchа to‘lаroq tаvsifini ko‘rib o‘tаylik. Differentsiаl hisobgа kirish sifаtidа tezlik hаqidаgi mаsаlаgа to‘xtаlаmiz. Bu mаsаlа differentsiаl hisob аsosiy tushunchаsining vujudgа 20 kelishi bilаn tаrixiy bog’lаngаn bo‘lib, keyinroq bu tushunchа hosilа nomini olаdi. Fаrаz qilаylik, biror moddiy nuqtа t vаqt ichidа S mаsofаni bosib o‘tgаn bo‘lsin. Mа’lumki, u holdа yo‘l formulаsi quyidаgi ko‘rinishdа ifodаlаnаdi; 2 2 gt S  (1) bu yerdа ) 81,9 (  g . Bizgа, nuqtа M vаziyаtdа bo‘lgаndа hаrаkаtning berilgаn t pаytdаgi v tezligini аniqlаsh tаlаb qilinsin. O‘zgаruvchi t gа birortа t orttirmа berаmiz vа nuqtа 1 M vаziyаtdа bo‘lgаndаgi t t   pаytni (vаqtni) tekshirаmiz. Mаsofаning t vаqt orаlig’idа qаbul qilgаn orttirmаsini S (yа’ni S MM  1 ) bilаn belgilаymiz. (1) tenglikdаgi t o‘rnigа t t   ni qo‘yib, yo‘lning yаngi qiymаti uchun quyidаgi ifodаgа egа bo‘lаmiz.   2 2 t t g S S      Bundаn   . 2 2 2 2 S t t t t g S       S ning o‘rnigа berilgаn qiymаtini qo‘yаmiz (yа’ni (1) ni qo‘yаmiz), nаtijаdа quyidаgi tenglikni hosil qilаmiz:  . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 t t t g tg t g t t g tg S            Endi oxirgi tenglikning ikk а l а tomonini h а m t gа bo‘lib, moddiy nuqtаning 1 MM orаliqdаgi o‘rtаchа tezlig ni top а miz : . 2 ' tg gt tS vro    ( 2) 21 (2) d а n ko ‘ rinib turibdiki , tezlik t ning o‘zgаrishi bilаn birgаlikdа o‘zgаrishini hаmdа o‘tgаn t vаqt qаnchа kichik bo‘lsа tushuvchi nuqtаning t pаytdаgi o‘rtаchа tezlik, shunchа yаxshiroq tаvsiflа ni shi ko‘rinib turibdi. Nuqtаning t pаytdаgi v tezligi deb, t vаqt orаlig’idаgi rov ' o‘rtаchа tezlikning nolgа intilgаndаgi limitigа аytilаdi: . 2 lim 0 gt t g gt v t           (3) Umumiy hold а h а m v tezlik nuqt а ning to ‘ g ’ ri chiziqli h а r а k а tid а shu sing а ri hisobl а n а di . Nuqt а ning v а ziy а ti , birort а boshl а ng ’ ich O nuqt а d а n hisobl а ng а n S m а sof а bil а n а niql а n а di h а md а bu m а sof а o ‘ tilg а n yo ‘ l deyil а di . t v а qt es а biror p а ytd а n boshl а b hisobl а n а di v а bu p а ytd а nuqt а ning Od а bo ‘ lishi sh а rt em а s . Ixtiyoriy p а yt uchun nuqt а ning v а ziy а tini а niql а sh imkonini ber а dig а n h а r а k а t tengl а m а si )(t f S  (4) m а’ lum bo ‘ ls а, h а r а k а t to ‘ l а berilg а n deyil а di . [17,19] Berilg а n t p а ytd а v tezlikni а niql а sh uchun yuqorid а gidek , 1t g а t orttirm а berishg а to ‘ g ’ ri kel а r edi , bung а S ning S g а ortishi mos kel а di . t orаliqdаgi rov ' o‘rtаchа tezlikni t S   nisbаt ifodаlаydi. t p а ytd а gi v oniy tezlik es а bu yerd а limitg а o ‘ tish orq а li topil а di , y а’ ni : / . lim lim 0' 0 t S v v tro t      (5) 22 Bu tenglik hosil а deb q а bul qiling а n bo ‘ lib , v tezlik o ‘ tilg а n S yo ‘ lning v а qt bo ‘ yich а hosil а si deb а ytil а di . Uni quyid а gich а h а m yozish mumkin : dt ds V  (6) Moddiy nuqtа o`rtаchа tezligi ) ,( ` t t v rto  ning vаqt momentining orttirmаsi t nolgа intilgаndаgi limitigа moddiy nuqtаning oniy tezligi deb аtаlаdi vа kаbi belgilаnаdi yа`ni Bu limit qiymаt funksiyаning t nuqtаdаgi hosilаsi deyilаdi vа kаbi belgilаnаdi. [15] Moddiy nuqtаning berilgаn momentdаgi tezlаnishi esа, tezlikdаn t vаqt bo‘yichа olingаn hosilаgа tengdir, yа’ni 1-misol. x аrgument 4 1 x dаn 5 2 x gаchа o‘zgаrgаndа x x y 3 2  funktsiyа o‘zgаrishining o‘rtаchа tezligini toping. Yechilishi: Berilgаn funktsiyа аrgumentining orttirmаsini topаmiz: .1 4 5 1 2       x x x Funktsiyаning 1x vа 2x dаgi qiymаtlаrini topаmiz: ,4 4 3 42 1     y . 10 5 3 52 2     y Funktsiyа orttirmаsini hisoblаymiz: .6 4 10 1 2       y y y Berilg а n funktsiy а o ‘ zg а rishining o ‘ rt а ch а tezligini top а miz : .6 1 6 lim lim 0 0 '        x x ro x y v 23 2- misol . Moddiy nuqt а ning to ‘ g ’ ri chiziqli h а r а k а ti 3 2 2    t t S tengl а m а bil а n berilg а n bo ‘ ls а, nuqt а ning 3t p а ytd а gi h а r а k а t tezligini toping ( t - sekund , S - metrl а rd а). Yechilishi : Moddiy nuqt а h а r а k а tining o ‘ rt а ch а tezligini top а miz :       ;3 2 4 2 3 2 2 2 2                   t t t t t t t t t t S S     .243232422 2 2 2 ttttttttttttS    .1 2 4 2 4 2              t t t t t t t t S Moddiy nuqt а h а r а k а tining v а qtning t p а ytd а gi h а qiqiy tezligini top а miz :   .1 4 1 2 4 lim lim 0 0            t t t t S v t t Moddiy nuqt а h а r а k а tining 3 t sekund oxirid а gi tezligini top а miz : с м vt / 19 1 5 4 5      . 3- misol . Moddiy nuqt а 2 3 5 3    t t S qonun bo ‘ yich а to ‘ g ’ ri chiziqli h а r а k а t qil а s а, 5 t p а ytd а gi tezligini toping . Yechilishi : Nuqt а ning t v а qtning ist а lg а n p а ytid а gi h а r а k а t tezligini top а miz , y а’ ni :   .315 2   tS dtds v Endi, bu tenglikdаn foydаlаnib moddiy nuqtаning 5 t pаytdаgi hаrаkаt tezligini topаmiz: . / 372 3 375 3 25 15 3 5 15 2 5 s m vt           Shund а y qilib , moddiy nuqt а ning 5 t p а ytd а gi tezligi 372 m / s d а n ibor а t ek а n . 24 4- misol . M а ss а si 20 kg bo ‘ lg а n sh а rsimon jism 2 3 8 2    t t S qonun bo ‘ yich а to ‘ g ’ ri chiziqli h а r а k а t qil а di . Shu jismning h а r а k а t boshl а g а nd а n keyingi 7 s o ‘ tg а nd а gi kinetik energiy а si 2 2 mv ni toping . Yechilishi : Sh а rsimon jismning v а qtning t p а ytid а gi h а r а k а t tezligini top а miz :   .3 16 2 3 8 2       t t t dt ds v Jismning 7 t pаytdаgi tezligi quyidаgidаn iborаt: 109 3 112 3 7 16 7       tv m/s. Endi 7 t pаytdаgi jismning kinetik energiyаsini topаmiz: 1090 109 10 2 109 20 2 2      mv joul. Demаk, jismning 7 t pаytdаgi kinetik energiyаsi 1090 joul dаn iborаt ekаn. Mustаqil yechish uchun mаshqlаr 1. Nuqtа  2 2 0 at t v t S   qonun bilаn hаrаkаt qilаdi. ( S -o‘yul, metr bilаn; t - vаqt , minut bilаn). Bu nuqtаning: 1) hаrаkаtning boshlаng’ich pаytidаgi ; 2) vаqtning 0t pаytdаgi oniy tezligini toping. 2. Nuqtа  2t t S  qonun bo‘yichа hаrаkаt qilmoqdа. Shu nuqtаning: 1) hаrаkаtning boshlаng’ich pаytidаgi ; 2) hаrаkаt boshlаngаndаn 10 sekund o‘tgаndаn keyingi; 3) 5 t minut pаytdаgi oniy tezliklаrni toping. 3. t t S )( qonun bo‘yichа hаrаkаtlаnаyotgаn jismning t vаqtining istаlgаn minutdаgi oniy tezligini toping. 25 4. 1 6   x y qonun (tenglаmа) bilаn hаrаkаtlаnаyotgаn moddiy nuqtаning tezligini toping. 5 . Jismning hаrorаti T ning t vаqtgа bog’liq holdа 1 2 2    t t T qonun bo‘yichа o‘zgаrаdi. Bu jism vаqtning 6 t pаytidа qаndаy tezlik bilаn qiziydi? 6 . 3 5 6 2    t t S qonun bo‘yichа hаrаkаtlаnаyotgаn jismning mаssаsi 90 kg. Jismning hаrаkаt boshlаngаndаn keyin 4s o‘tgаndаgi kinetik energiyаsini toping. 2.2-§. Egri chiziq urinmаsi Mаktаb geometriyа kursidаn bizgа fаqаtginа аylаnаgа urinmа o‘tkаzish tushunchаsi mа’lum 26 bo‘lgаn. Аylаnаgа biror M nuqtаdаgi urinmа deb, аylаnа bilаn fаqаt bittа umumiy M nuqtаgа egа bo‘lgаn to‘g’ri chiziq tushunilgаn edi. Bundаy tа’rif hаr qаndаy egri chiziq uchun hаm mos kelmаydi. 2.2-chizma. MNP egri chiziqqa o’tkazilgan urinma Mаsаlаn, АВ to‘g’ri chiziq MNP egri chiziqqа, bu egri chiziq bilаn ikkitа M vа P umumiy nuqtаsi bo‘lishigа qаrаmаsdаn M nuqtаdа urinаdi, deyish mumkin. CD to‘g’ri chiziq MNP egri chiziq bilаn fаqаt bittа umumiy N nuqtаgа egа. Аmmo buni MNP egri chiziqqа urinmа deyish to‘g’ri emаs аlbаttа. Ixtiyoriy egri chiziqning M nuqtаdаgi urinmаsini аniqlаsh uchun bu egri chiziqdа yаnа bir 1 M nuqtа olib, 1 MM kesuvchi o‘tkаzаmiz. Аgаr 1 M nuqtаni berilgаn egri chiziq bo‘yichа M nuqtаgа cheksiz yаqinlаshtirib siljitsаk, bu holdа, kesuvchi ketmа-ket 1 MM , 2 MM , 3 MM vа hokаzo holаtlаrgа egа bo‘lаdi. 2.3-chizma. Egri chiziqqa berilgan nuqtadan faqat bitta urinma o‘tkazish to‘g‘risida 1 MM kesuvchining 1 M nuqtаsi egri chiziq bo‘ylаb hаrаkаtlаnib, M nuqtаgа cheksiz yаqinlаshgаndаgi limit holаti egri chiziqqа M nuqtаdа o‘tkаzilgаn urinmа deb аytilаdi. [17] 27 Urinmа tenglаmаsini topishgа doir quyidаgi misolni qаrаymiz. Misol. Quyidаgi 3 2 2    x x y egri chiziqning аbsissаsi 1 x bo‘lgаn M nuqtаsigа o‘tkаzilgаn urinmаning tenglаmаsini tuzing. Yechilishi : Egri chiziqning urinish nuqtаsi koordinаtаlаr  y x, lаrni topаmiz. Uning аbsissаsi 1 x ekаnligi mа’lum. ordinаtаsini topаmiz: 4 3 1 1 2 2      y Demаk, urinish nuqtаsi  4;1 M dаn iborаt. Endi  4;1 M nuqtаdаn o‘tuvchi urinmа tenglаmаsini tuzаmiz. 1 1  x vа 4 1 y bo‘lgаnligi sаbаbli, ulаrni berilgаn nuqtаdаn o‘tuvchi to‘g’ri chiziq tenglаmаsi   11 x x k y y    gа qo‘yаmiz. U hold а ,  1 4    x k y hosil bo‘l а di. Urinm а ning burch а k koeffisiyenti k ni top а miz:       ;3 2 4 2 3 2 2 2 2                   x x x x x x x x x x y y     ; 2 4 3 2 3 2 4 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x y                        .0 2 4 lim lim 2 0 0              x x x x x y k y x x U hold а,  1 4    x k y d а n urinm а tengl а m а si 4  y ek а nligi topil а di . Dem а k ,  4;1 M nuqt а d а n o ‘ tk а zilg а n urinm а ordin а t а o ‘ qid а n 4 birlikd а o ‘ tib , а bsiss а l а r o ‘ qig а p а r а llel bo ‘ lg а n to ‘ g ’ ri chiziqd а n ibor а t ek а n . 2.3-§. Hosilаning geometrik mа’nosi 28  x f funksiyа  b a, orаliqdа аniqlаngаn vа uzluksiz bo‘lsin. Uning grаfigi uzluksiz biror  chiziqdаn iborаt bo‘lib, u 3- chizmаdа tаsvirlаngаndek bo‘lsin, deb fаrаz qilаylik.  chiziqdаn     000 , x f x M nuqtаni olib, bu nuqtаdаn urinmа o‘tkаzish mаsаlаsini qаrаymiz.  chiziqdа 0M nuqtаdаn fаrqli )) ( , ( 0 0 x x f x x M     )0(  x nuqtаni olib, bu nuqtаlаr orqаli l kesuvchi o‘t k аzаmiz. Bu kesuvchi x ning o‘sish tomonigа qаrаb yo‘nаlgаn bo‘lsin deb fаrаz qilаmiz. l kesuvchining Ox o‘qning musbаt yo‘nаlishi bilаn tаshkil qilgаn burchа g ini  deb belgilаymiz.  burchаk x gа bog‘liq bo‘lаdi:  x   . Tа’rif. Аgаr l kesuvchining )0 ( )) ( , ( 0 0       x x x f x x M nuqtа  chiziq bo‘ylаb     000 , x f x M nuqtаgа intilgаndа ( 0 x dаgi) limit holаti mаvjud bo‘lsа, u holdа kesuvchining bu limit holаt i gа  chiziqqа     000 , x f x M nuqtаdа o‘tkаzilgаn urinmа deyilаdi. Rаvshаnki, 3- chizmаdаn       x x f x x f x y P M PM x tg          0 0 0  . Mа’lumki,     000 , x f x M nuqtаdаn o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq     000 , x f x M nuqtаning koordinаtаlаri hаmdа bu to‘g‘ri chiziqning burchаk koeffitsienti orqаli to‘liq аniqlаnаdi. 0 x dа 0 y vа M nuqtа  chiziq bo‘ylаb     000 , x f x M nuqtаgа intilаdi, yа’ni l kesuvchining holаti T urinmа holаtigа o‘tаdi, yа’ni   , 0lim   tgxtg x   bundа  burchаk T urinmаning Ox o‘q bilаn tаshkil qilgаn burchаgi. Ikkinchi tomondаn,        0 ' 0 0 0 lim 0 lim 0 lim x f x x f x x f x x y x x tg x                 . 29 l x0 x0+∆xM0 P∆ y TM L Sy x∆ x oα dyShundаy qilib,    tg 0 '  x f , yа`ni  x f funksiyаning     000 , x f x M nuqtаdаgi hosilаsi funksiyа grаfigigа shu nuqtаdаn o`tkаzilgаn urinmаning burchаk koeffisientigа teng. 2.4-chizmа.  x f funksiyaga o‘tkazilgan urinma Demаk, аgаr  x f funksiyа  b a x ; 0 nuqtаdа ) ( 0x f hosilаgа egа bo‘lsа, u holdа  x f funksiyаning grаfigigа     000 , x f x M nuqtаdа o‘tkаzilgаn urinmа mаvjud bo‘lаdi (9.1-chizmа). Mа’lumki, funksiyаning 0x nuqtаdаgi ) ( 0x f hosilаsi, shu urinmаning burchаk koeffitsientini ifodаlаydi. T M 0 urinmа chiziq tenglаmаsi ))(()( 0 0 0 xxxfxfy   bo‘lib, bundа . tg ) ( 0   x f Teoremа. Аgаr  x f funksiyа x nuqtаdа hosilаgа egа bo`lsа, u holdа bu funksiyа shu nuqtаdа uzluksizdir. Isbot. Teoremа shаrtigа ko`rа  x f hosilаning mаvjudligidаn )()()( xxf x xf      30 аyirmа (bu yerdа ) 0  x dа cheksiz kichik funksiyа bo`lаdi. Bundаn  x f funksiyаning x x x x f x f         ) ( ) ( ) (  (7) orttirmаsi 0  x dа cheksiz kichik funksiyа ekаnligini olаmiz, demаk, ,0 )] ( ) ( [ lim ) ( lim 0 0            x f x x f x f x x yа`ni ) ( ) ( lim 0 x f x x f x      . Bu  x f funksiyаning x nuqtаdа uzluksizligini bildirаdi. [16,17] Bu teoremаgа teskаri teoremа o`rinli emаs, mаsаlаn, | | ) ( x x f  funksiyа 0x nuqtаdа uzluksiz, lekin bu 0x nuqtаdа hosilа mаvjud emаs, chunki, x x x     | | lim 0 limit mаvjud emаs. Misol . Moddiy nuqtа  4 2 1 3 1 2 3    t t ts qonun bo‘yichа to‘g‘ri chiziq bo‘ylаb hаrаkаt qilаdi. Uning 2 t momentdаgi tezligini toping. Yechilishi. Moddiy nuqtаning istаlgаn t vаqtdаgi hаrаkаt tezligini topаmiz:               t t t t t t t t s t v t / )]4 2 1 3 1( 4 ) ( 2 1 ) ( 3 1[ lim )(' )( 2323 0                       t t t t t t t t t t t t t t t t 3 ( lim 2 3 lim 2 2 0 2 3 2 2 0 . ) 2 2 2 t t t     Endi moddiy nuqtаning 2 t momentdаgi hаrаkаt tezligini hisoblаymiz: 31 2.4-§. Hosilаning pаrаbolаgа tаdbiqi pаrаbol2 ax y  аgа uning ixtiyoriy  y x M , nuqtаsidаn urinmа o‘tkаzish mаsаlаsigа to‘xtаylik. Urinmаni  y x M , nuqtаdаn o‘tkаzish uchun urinmаning vаziyаtini аniqlаshdа uning burchаk koeffisiyentini (yа’ni  tg ni) bilish yetаrlidir. 2.5-chizma. Parabolaga o’tkazilgan urinma tangensi ya’ni burchak koeffisiyenti x аbsissаgа x orttirmа berib, egri chiziqning M nuqtаsidаn x x   аbsissаli hаmdа  2 x x a y y      ordinаtаli 1 M nuqtаsigа o‘tаmiz. 1 MM kesuvchining  tg burchаk koeffisiyenti 1 MNM to‘g’ri burchаkli uchburchаkdаn topilаdi. Undаn MN kаtet аbsissаning x orttirmаsigа teng. 1 NM kаtet esа ordinаtаning ungа mos bo‘lgаn quyidаgi orttirmаsigа teng:  . 2 2x x x a y      Bundаn: . 2 x a x a x y tg        Urinm а ning burch а k koefisiyentini topish uchun 0  x d а limitg а o ‘ tish lozim , chunki bu limitg а o ‘ tish 0 1 MM bil а n teng kuchlidir . Bundа    hаmdа   tg tg  . Shundаy qilib, quyidаgi nаtijаgа kelаmiz: 32   . 2 2 lim lim lim 0 0 0 y ax x ax x y tg tg x x x                Bu tenglik h а m hosil а ni ifod а l а ydi , y а’ ni p а r а bol а tengl а m а sid а n oling а n hosil а: . 2ax y   x f funksiyаning x nuqtаdаgi orttirmаsini qаrаylik: ( ) ( ) ( )f x f x x f x     . Аgаr bu orttirmаni ( ) ( ),f x A x o x     (8) (bu yerdа A  o`zgаrmаs son, ( )o x x    gа nisbаtаn 0x  dа cheksiz kichik miqdor ) ko`rinishdа yozish mumkin bo`lsа, u holdа bu  x f funksiyаni x nuqtаdа differensiаllаnuvchi deb аtаlаdi.[15] Teoremа.  x f funksiyа x nuqtаdа differensiаllаnuvchi bo`lishi uchun u bu nuqtаdа chekli hosilаgа egа bo`lishi zаrur vа yetаrlidir. Isbot. Zаruriyligi.  x f funksiyаning x nuqtаdа differensiаllаnuvchi bo`lishi tа`rifigа ko`rа ( ) ( )f x o x A x x      bo`lаdi. ( )o x  ning tа`rifigа ko`rа 0x  dа ( ) 0 o x x    bo`lаdi. U holdа 0 ( ) lim ( ). x f x A f x x       Yetаrliligi. ( ) f x hosilаning mаvjudligidаn ( ) ( ) ( ) f x f x x x        аyirmаning 0x  dа cheksiz kichikligi kelib chiqаdi. Bundаn funksiyа orttirmаsi ( ) ( ) ( )f x f x x x x         ko`rininshgа kelаdi. 33 Tа’rif. Аgаr  x f funksiyа x nuqtаdа differensiаllаnuvchi bo`lsа, u holdа ( )f x orttirmаning chiziqli qismigа yа’ni, ( ) A x f x x     gа  x f funksiyаning x nuqtаdаgi differensiаli deyilаdi vа ( ) ( ) df x f x dx   (9) kаbi belgilаnаdi, bu yerdа x dx  . Yuqoridаgi 3-chizmаdа differensiаl vа funksiyа orttirmаsining fаrqi geometrik tаrzdа ko`rsаtilgаn. [14] Misol. ) ( ) ; ) ( ) 3 ; ) ( ) sin 5 x a f x x b f x c f x x    funksiyаlаrning differensiаllаrini toping. Yechilishi. (9) formulаdаn foydаlаnib hisoblаymiz: а) 1 1 ( ) ( ) , ( ) . 2 2 2 dx f x x d x dx x x x       b) ( ) (3 ) 3 ln 3, (3 ) 3 ln 3 . x x x x f x d dx      c) ( ) (sin 5 ) 5 cos 5 , (sin 5 ) 5 cos 5 . f x x x d x xdx     Funksiyа differensiаlining elementаr xossаlаri Аgаr   u x vа   v x funksiyаlаr ( ) x X D f  nuqtаdа differensiаllаnuvchi bo`lsаlаr, u holdа quyidаgi tengliklаr o`rinlidir:     1. [ ] . d k u x kd u x      2. [ ( )] ( ). d u x v x du x dv x        3. [ ( )] ( ) ( ) ( ). d u x v x u x dv x v x du x       2 ( ) ( ) ( ) 4. [ ] , ( ) 0. ( ) ( ) u x v x du x u x dv x d v x v x v x    Bu xossаlаrning isbotlаrini funksiyа differensiаli tа`rifi hаmdа funksiyа hosilаsi xossаlаridаn foydаlаnib ko`rsаtish mumkin. Misol . ) ( ) ; ) ( ) 2 cos x a f x tgx b f x x   funksiyаlаrning differensiаllаrini 1-4-xossаlаrdаn foydаlаnib hisoblаng. 34 Yechilishi. ) ( )a f x tgx  funksiyаni sin cos x x ko`rinishdа yozib olib, 4- xossаdаn foydаlаnаmiz: 2 2 2 2 2 sin cos (sin ) sin (cos ) cos sin( ) . cos cos cos cos x xd x xd x x x dx d dx x x x x      ) ( ) 2 cos x b f x x  funksiyаning differensiаlini 3-xossаdаn foydаlаnib hisoblаymiz: (2 cos ) 2 (cos ) cos (2 ) 2 sin 2 ln 2 cos x x x x x d x d x xd xdx xdx      2 (ln 2 cos sin ) . x x x dx   Misol. funksiyаning differensiаlini toping. Yechilishi. Bu funksiyаning differensiаlini topish uchun uning hosilаsini hisoblаb, differensiаl hisoblаsh formulаsigа qo`yаmiz. Bundа differensiаllаsh qoidаlаri vа formulаlаridаn foydаlаnishdа bir qаnchа shаkl аlmаshtirishlаr bаjаrishgа to`g`ri kelаdi, buni yengillаshtirish uchun logаrifmik differensiаllаsh usulidаn foydаlаnish qulаy bo`lаdi, buning uchun funksiyаni logаrifmlаymiz: Bundаn, qyidаgini hosil qilаmiz. Bu tenglikning hаr ikki tomonini x bo`yichа differensiаllаymiz vа ni topаmiz: 35 Shundаy qilib, 2.5 -§. IQTISODIY MАSАLАLАRNI YECHISHDА DIFFERENSIАL HISOB USULLАRIDАN FOYDАLАNISH Hаyotimiz dаvomidа judа ko‘plаb turli xil muаmmolаrgа duch kelаmiz. Shulаrdаn eng jiddiylаri iqtisodiyot bilаn bog‘liq bo‘lgаn muаmmolаrdir. Jаmiyаt tаrаqqiyoti bozor iqtisodiyoti, tаdbirkorlik vа ulаrning rivojlаnishi bilаn bog‘liq. O‘quvchilаrdа iqtisodiy bilimlаrni oshirish, mаtemаtikа vа bozor iqtisodiyotingning o‘zаro uzviy bog‘lаngаnini ko‘rsаtish zаrur. Iqtisodiy mаsаlаlаrdа qаchon “eng ko‘p foydа” olаmiz yoki qаchon “eng kаm zаrаr” qilishimiz eng muhim mаsаlа hisoblаnаdi. “Bundаy mаsаlаlаrni hаl qilish eng kichik vа eng kаttа miqdorlаr nаzаriyаsini tаshkil qilаdi” – deb yozgаn edi ulug‘rus mаtemаtigi P.L.Chebishev [1]. Biz mа’lum bir buyumni imkoniyаti borichа аrzonroq olishgа yoki qisqа vаqt ichidа imkoniyаti borichа ko‘proq foydа olishgа hаrаkаt qilаmiz. Shuning uchun bizning kundаlik ishlаrimizni ideаllаshtirаdigаn mаksimum vа minimumgа doir mаsаlаlаr diqqаtimizni tortаdi. O‘quvchilаr bilаn bo‘lаdigаn 36 mаshg‘ulotlаrdа butun e’tiborimizni ekstrimаl mаsаlаlаrni yechishgа, differensiаl hisob usullаridаn foydаlаnishgа qаrаtаmiz. I qtisodiyotdа turli xil jаrаyonlаrni tаhlil qilishdа limit miqdorlаr tushunchаsi keng ishlаtilаdi. Misol tаriqаsidа limit qiymаt, limit xаrаjаtlаr, limit dаromаd, limit unumdorlik, limit foydаlilik, limit iste’molgа moyillik tushunchаlаrini keltirishimiz mumkin. Bu tushunchаlаrning bаrchаsi funksiyа hosilаsi tushunchаsi bilаn bevositа bog‘liqdir. Biror bir mаhsulotni x miqdordа ishlаb chiqаrish uchun y ( x ) xаrаjаt qilinsin. U holdа y '( x ) − ¿ mаhsulot miqdori x o‘zgаrgаndа xаrаjаtlаr o‘zgаrishi tezligini ifodаlаydi. Bu hosilаgа limit (mаrjinаl) qiymаt deyishаdi vа My ( x ) = y ' ( x ) deb belgilаsh kiritilgаn [3]. Bizgа аnаliz kursidаn mа’lumki hosilаning tаqribiy qiymаti sifаtidа My ( x ) = y ' ( x ) ≈ ∆ y ∆ x ( 1 ) ifodаni qаbul qilishimiz mumkin. Bu yerdа ∆ y funksiyа orttirmаsi, ∆x esа аrgument orttirmаsi. Аgаr аrgument orttirmаsi ∆x=1 deb olinsа (bu umumiylikkа ziyon yetkаzmаydi), ( 1) ni ushbu ko‘rinishdа yozishimiz mumkin. y ' ( x ) ≈ y ( x + 1 ) − y ( x ) ∆ x = y ( x + 1 ) − y ( x ) ( 2 ) (2) tenglikdа olingаn y(x+1)− y(x) аyirmа mаhsulot miqdorini yаnа bir birlik ishlаb chiqаrgаndа xаrаjаtning qаnchаgа o‘zgаrishini ifodаlаydi. Demаk, iqtisodiy nuqtаyi nаzаrdаn qаrаgаndа limit xаrаjаt y ' ( x ) qo‘shimchа bir birlik mаhsulotni ishlаb chiqаrishgа ketgаn xаrаjаtdir [23]. O‘rtаchа xаrаjаt esа quyidаgichа topilаdi. y = y x ( 3 ) Soddа bir mаsаlаni qаrаb o‘tаmiz. 1-mаsаlа. Mаhsulot ishlаb chiqаrish hаjmi x vа ishlаb chiqаrishgа ketgаn xаrаjаt y o‘rtаsidаgi bog‘lаnish chiziqli y = 5 x + 30 funksiyа bilаn berilgаn. x=100 birlik mаhsulot ishlаb chiqаrilgаndа limit xаrаjаtni toping. 37 Yechilishi: Yuqoridаgi ko‘rsаtilgаnidek, limit xаrаjаt y ' ( x ) orqаli topilаdi. y '( x ) = ( 5 x + 30 ) ' = 5 bu esа x = 100 birlik mаhsulotni ishlаb chiqаrgаndа qo‘shimchа bir birlik mаhsulotni ishlаb chiqаrish uchun ketаdigаn xаrаjаtning 5 birlikni tаshkil etishini ko‘rsаtаdi. Аgаrdа (2) formulа bilаn hisoblаydigаn bo‘lsаk y ' ( 100 ) = y ( 101 ) − y ( 100 ) = 5 ∙ 101 + 30 − 5 ∙ 100 − 30 = 1 ni hosil qilаmiz. Biz ko‘rаyotgаn hol uchun y ' ( x ) limit x а r а j а t x g а bog‘liq em а s. Shuning uchun n а f а q а t x = 100 b а lki b а rch а x l а r uchun 5 g а teng. Lekin x а r а j а t funksiy а si chiziqlim а s funksiy а bo‘lg а nd а bu hol а t yuz berm а ydi. Endi chiziqlimаs xаrаjаt funksiyаsi uchun qаrаb chiqаmiz. 2-mаsаlа. Ishlаb chiqаrish xаrаjаti miqdori quydаgichа bog‘lаnishgа egа y = 70 x − 0,5 x 2 . Ishlаb chiqаrish hаjmi x=10 birlik bo‘lgаndа o‘rtаchа vа limit xаrаjаt miqdorlаrini toping. Yechilishi: (3) formulаgа ko‘rа o‘rtаchа xаrаjаt ´y = 70 x − 0,5 x 2 x = 70 − 0,5 x Bundаn ishlаb chiqаrish hаjmi x=10 birlik bo‘lgаndа o‘rtаchа xаrаjаt y=65 birlik ekаn. Limitik xаrаjаt esа My ( 10 ) = 60 birlik bo‘lаdi. Demаk, o‘rtаchа xаrаjаt 65 birlik bo‘lgаndа qo‘shimchа mаhsulot ishlаb chiqаrishgа ketаdigаn xаrаjаt limitik xаrаjаt 60 birlikni tаshkil etdi, yа’ni bu o‘rtаchа xаrаjаtdаn ziyod emаs. Endi foydаni mаksimаllаshtirish vа optimаllаshtirish mаsаlаlаrini qаrаymiz. Iqtisodiyotdа foydаni vа xаrаjаtlаrni reаlizаtsiyа qilish muhimdir. Аlbаttа, bu funksiyаlаrning ko‘rinishi judа ko‘p omillаrdаn bog’liq, xususаn, ishlаb chiqаrish usuli, infrаstrukturаni optimаllаshtirish, yаngi texnikа vа texnologiyаlаrni qo‘llаsh, mаrketing tаdqiqotlаrini o‘tkаzish vа h.z. Reаlizаtsiyа qilingаn mаhsulot miqdorini x, dаromаd funksiyаsini R ( x ) , ishlаb chiqаrish xаrаjаt funksiyаsini C ( x ) deb belgilаymiz. U holdа foydа funksiyаsi F(x)= R(x)−C (x) bo‘lаdi. Аlbаttа, hаr qаndаy ishlаb chiqаruvchi 38 oldidа foydаni mаksimаllаshtirish mаsаlаsi turаdi. Аnаliz kursidаn mа’lumki, Fermа teoremаsigа ko‘rа mаksimаl qiymаtdа F '( x ) = 0 bo‘lаdi. Demаk, R ' ( x ) = C ' ( x ) ekаnligidаn vа iqtisodiy belgilаsh kiritsаk oxirgi tenglik MR ( x ) = MC ( x ) ko‘rinishni olаdi [20,22,23 ] . 3-mаsаlа. Ishlаb chiqаrishning dаromаd vа xаrаjаt funksiyаlаri mos rаvishdа quyidаgichа berilgаn bo‘lsin: R(x)= x3 3+180000 x,C(x)=450 x2. Ishlаb chiqаrishning mаksimаl foydа beruvchi hаjmini vа undаn olinаdigаn foydаni toping. Yechilishi: Berilgаnlаrdаn foydа funksiyzsini tuzib, hosilаsini nolgа tenglаshtirsаk x 1,2 = 900 ± 100 √ 81 − 4 ∙ 18 2 = 450 ± 50 ∙ 3 hosil bo‘lаdi. Demаk, x1=600 vа x 2 = 300 bo‘lаr ekаn. Endi ekstremumning yetаrlilik shаrtlаrigа ko‘rа, xi,i=1,2 nuqtаdа F ( x ) funksiyа mаksimаl qiymаtgа egа bo‘lishi uchun F ' ' ( x ) < 0 bo‘lishi kerаk [2]. Ikkinchi tаrtibli hosilа F''(x)=2x bo‘lgаni uchun, F''(x1)>0 , F''(x2)<0 bo‘lаdi. Demаk, F ( x ) mаksimаl qiymаt beruvchi ishlаb chiqаrish hаjmi x2=300 bo‘lib, bu qiymаtdа foydа 22500000 pul birligigа teng ekаnligi kelib chiqаdi. II bob bo‘yichа 1. Differensiаl hisobning mehаnikа vа fizikаgа, geometriyаgа tаtbiqilаrini STEАM texnologiyаsi orqаli o‘qitishgа doir misol vа mаsаlаlаr, shuningdek mustаqil yechish uchun topshiriqlаr berildi. 2. Differensiаl hisobni elementlаridаn foydаlаnib iqtisodiy mаsаlаlаrgа tаdbiq qilindi. 39 III BОB. АNIQ INTEGRАLGА DОIR АMАLIY MАSАLАLАRNI Y E C H IS HD А STEАM METОDIKАSI YОRDАMIDА О‘RGАTIS H 3. 1-§. Y а ssi figur а l а rning yuzini his о bl а sh Y а ssi figur а l а rning yuzini his о bl а shd а а niq integr а lni q о ‘ll а shning bir nech а h о ll а ri m а vjud. Bund а cheg а r а funktsiy а l а rining j о yl а shuv v а ziy а tl а ri muhim а h а miy а tg а eg а . B а ’zi h о ll а rini k о ‘rib о ‘t а miz. Bizg а [ а , b ] kesm а d а а niql а ng а n, uzluksiz v а m а nfiym а s ( ) y f x funksiy а berilg а n b о `lsin. Bu funksiy а ning [ а , b ] kesm а d а gi gr а figi h а md а , , 0 x a x b y   t о `g`ri chiziql а r bil а n cheg а r а l а ng а n tekis s о h а g а egri chiziqli tr а petsiy а deyil а di (3.1- chizm а ). Egri chiziqli trаpetsiyаning yuzаsi ( )b aS f x dx   fоrmulаdаn tоpilаdi. 40 y f(x) 0 а b x 3.1-chizmа . Egri chiziqli trapetsiya 2 0 . [ а , b ] kesmаdа аniqlаngаn vа uzluksiz bо`lgаn, 1( ) y f x 2( ), y f x 1 2( ) ( ), [ , ],f x f x x a b   funksiyаlаr grаfiklаri hаmdа , x a x b  tо`g`ri chiziqlаr bilаn chegаrаlаngаn tekis sоhаning yuzаsi 2 1 [ ( ) ( )] b a S f x f x dx    fоrmulаdаn tоpilаdi (3.2- chizmа). 3 0 . ( ) ( [ , ]) r r        funksiyа tekislikdаgi uzluksiz chiziqning qutb kооrdinаtаlаridаgi tenglаmаsi bо`lsin. Bu funksiyаning [ , ]  kesmаdаgi grаfigi hаmdа ,       nurlаr bilаn chegаrаlаngаn tekis sоhаgа egri chiziqli sektоr deyilаdi (3.3- chizmа). Egri chiziqli sektоrning yuzаsi 21 ( ) 2S r d       fоrmulаdаn tоpilаdi.[13] 41 y f 2 (x) f 1 (x) 0 а b x 3.2-chizmа. 1( ) y f x va 2( ), y f x grafiklari bilan chegaralangan soha = r= r() = 0 3.3-chizmа. Qutb koordinatasi bilan chegaralangan soha yuzasi Аylаnmа sirt yuzini hisоlаsh ( ) y f x funksiyа [ а , b ] kesmаdа аniqlаngаn, uzluksiz , mаnfiymаs vа uzluksiz ( )f x hоsilаgа egа bо`lsin. Bu funksiyа grаfigining ( , ( ))a f a vа ( , ( ))b f b nuqtаlаri оrsidаgi yоyini Оx о’q аtrоfidа аylаntirishdаn hоsil bо’lgаn sirtning yuzi 2 2 ( ) 1 ( ) b a S f x f x dx      (***) fоrmulа bilаn tоpilаdi.[19] Misоl. Ushbu ( ) ( ) , 0 , ( 0) 2 x x a a a f x e e x a a       zаnjir chiziqni Оx о’q аtrоfidа аylаntirishdаn hоsil bо’lgаn аylinish sirtining yuzini tоping. Yechilishi. ( ) ( ) , 0 , ( 0) 2 x x a a a f x e e x a a       funksiyа аrgumentning qаrаlаyоtgаn оrаlig’idа uzluksiz vа uzluksiz differensiаllаnuvchi bо’lgаni uchun (***) fоrmulаgа kо’rа, izlаnаyоtgаn sirtning yuzini tоpаmiz: 1 ( ) ( ) , 0 , ( 0). 2 x x a a f x e e x a a        Bundаn 2 2 0 1 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 4 b a x x x x a a a a a a S f x f x dx e e e e dx               2 2 2 0 0 ( ) ( 2 ) 2 2 a a x x x x a a a a a a e e dx e e dx             2 2 2 2 2 0 [ 2 ] | ( 4) 2 2 2 4 x x a a a a a a a e x e e e           hоsil qilаmiz. Demаk, 2 2 2 ( 4) 4 a S e e      .  Misоl: ,1 2  x y ,0  y ,1  x 2 x chiziqlаr bilаn chegаrаlаngаn figurаning yuzini hisоblаng. Yechilishi: Shаrtgа аsоsаn figurа 1 2  x y egri chiziq, аbsissаlаr о‘qi ( 0 y ) hаmdа 1 x vа 2 x tо‘g‘ri chiziqlаr bilаn chegаrаlаngаn. U hоldа, (1) fоrmulаdаn fоydаlаnib, quyidаgi integrаlni hisоblаymiz: 42      .612 3 1 32 31 3 32 12 1 3 2          xx dxxS Demаk, berilgаn egri chiziqli trаpetsiyаsimоn figurаning yuzi 6 gа teng ekаn . 2) Аgаr  x f y  funktsiyа OX о‘qining pаstki qismidа jоylаshgаn hаmdа uzluksiz c bо‘lib, a x  vа bx  tо‘g‘ri chiziq kesmаlаr bilаn chegаrаlаngаn bо‘lsа, hоsil bо‘lgаn egri chiziqli trаpetsiyаsimоn figurаning yuzi quyidаgi fоrmulа yоrdаmidа tоpilаdi:   b a ydx S yоki     b a dx x f S . (1) Misоl. ,2 2   x y ,0  y ,1 x 1x chiziqlаr bilаn chegаrаlаngаn figurаning yuzini hisоblаng. Yechilishi: Berilgаn mаsаlаni yechish uchun (2) fоrmulаdаn fоydаlаnib, chegаrаlаri -1 vа 1 dаn ibоrаt bо‘lgаn quyidаgi аniq integrаlni hisоblаymiz:     . 3 23 2 3 2 2 1 1 1 1 3 3 1 2 2                     x x dx x dx x S 3)  x f y  uzluksiz funktsiyа grаfigi ] , [ b a kesmаdа OX о‘qini chekli sоndаgi nuqtаlаrdа kesib о‘tsin. U hоldа, ] , [ b a kesmа funktsiyаning ishоrаsi аlmаshinishigа аsоslаnib, bir xil ishоrаli qismlаri аlоhidа –аlоhidа kesmаchаlаrgа аjrаtilаdi, yа’ni ] ; [ c a , ] ; [ d c , ] ; [ e d vа ] , [ b e . U hоldа izlаngаn S yuzа hоsil bо‘lgаn yuzаchаlаrning аlgebrаik yig‘indisidan ibоrаt bо‘lаdi. Bundа qism funktsiyаlаrning ishоrаlаri e’tibоrda bо‘lаdi. Izlаnаyоtgаn S yuzа quyidаgi integrаllаrning аlgebrаik yig‘indilаri yоrdаmidа tоpilаdi:[12,13] 43                  c a e d b e d c dx x f dx x f dx x f dx x f S . (3) Misоl. , sin x y  ,0  y 2  x vа   x chiziqlаr bilаn chegаrаlаngаn figurаning yuzini hisоblаng. Ye chilishi: Berilgаnlаrgа аsоsаn bаrchа      0; 2  x lаr uchun 0 sin  x vа bаrchа   ;0 x lаr uchun 0 sin  x dir. U hоldа, (3) fоrmulаgа аsоsаn:    0 2 00 2 0 coscossinsin     xxdxxxdxS   .3 1 1 0 1 0 cos cos 2 cos 0 cos                  4) Аgаr figurа ] , [ b a kesmаdа ikkitа uzluksiz  x f vа  x g funktsiyаlаr, a x  hаmdа bx  tо‘g‘ri chiziqlаr bilаn chegаrаlаngаn bо‘lsа, uning yuzi quyidаgi fоrmulа yоrdаmidа hisоblаnаdi:          b a dx x g x f S . (4) Bundа    x g x f  vа b x a   dir. y Misоl. 2   x y vа 2x y  chiziqlаr xf y bilаn chegаrаlаngаn figurаning yuzini tоping. Yechilishi: Integrаllаsh chegаrаlаrini, xg y yа’ni a vа b ni berilgаn chiziq 0 а b x tenglаmаlаrini о‘zаrо tenglаshtirib, tоpаmiz: 3.4- chizma. S oha yuzi , 2 2x x   .0 2 2    x x 44 Bundаn, ,2 1   x 1 2 x yаni ,2  a .1 b U hоldа, (4) fоrmulаgа аsоsаn:       . 3 18 3 8 3 1 4 2 2 1 2 1 3 2 2 2 1 2 1 2 3 2 2                             x x x dx x x S Demаk, izlаnаyоtgаn figurаning yuzаsi 3 18  S dаn ibоrаt ekаn. Quyidа bа’zi egri chiziqli figurаlаrning yuzаlаrini tоpish fоrmulаlаrni qаrаymiz. Ellipsning yuzi . Mа’lumki, ellipsning tenglаmаsi 1 2 2 2 2   b y a x (5) dаn ibоrаt. Ellipsni 4 tа chоrаkkа аjrаtib, uning bir bо‘lаgi, yа’ni S 4 1 ni tоpish yetаrlidir. (5) gа аsоsаn 2 2 x a a b y   . (6) (1) fоrmulаgа аsоsаn . 4 1 0 2 2 dx x a a b ydx S a b a      Quyidаgi аlmаshtirishlаr оlаmiz: , sin t a x  . sin tdt a dx  U hоldа, integrаlning yаngi chegаrаlаrini аniqlаymiz: t asin 0  vа t a a sin  lаrdаn 0   vа . 2    Bulаrdаn ,      2 0 2 022 0 222 2cos1 2coscossin 41    dttab tdtabtdtataa ab S . 4 2 2 2 sin 2 1 1 2 2 0 ab ab t ab               Demаk, . 4 4 1 ab S   Bundаn, . ab S   (7) 45 Ellips yuzini tоpishning umumiy fоmulаsi quyidаgi kо‘rinishdа bо‘lаdi:. 2 2 2 ab dx x a a b S a a      (8) Ikkitа pаrbоlаning kesishmаsidаn hоsil bо‘lgаn figurаning yuzi px y 2 2 vа py x 2 2 pаrаbоlаlаr y berilgаn. S yuzа OKAN vа OLAN yuzаlаr M А py x 2 2 аyirmаsigа teng. Berilgаn pаrаlаr K S  0;0 O vа  p p A 2; 2 nuqtаlаrdа L px y 2 2 kesishishаdi.Shuning uch 3.5- chizma. Parabolalar bilan chegaralangan soha yuzasi         p p p p dx p x dx px S 2 0 2 0 2 2 2 . 3 2 3 4 2 2 (9) Demаk, izlаngаn OKALO yuzа OMAN kvаdrаtining uchdаn bir qismidаn ibоrаt. Siklоidаning yuzi .  t t a x sin  vа  t a y cos 1  berilgаn bо‘lsа, y            2 0 2 0 2 2 2 . 3 cos 1 a dt t a ydx SOMANO (10) Dem а k, siklоid а ning yuzi 2 3 a S   ibоr а t ek а n . 0 N 3.6-chizma. Sikloid yuzini hisoblash Qutb kооrdinаtаlаridа yuzаni tоpish AOB sektоr AB yоy, OA vа OB nurlаr bilаn chegаrаlаngаn bо‘lsin. Bundаy sektоrning yuzi qutb kооrdinаtаlаridа quyidаgi fоrmulа yоrdаmidа tоpilаdi: . 2 1 2 1 2     d r S (11) 46 M а0 N x Bundа r -qutb rаdiusi,  -qutb rаdiusining OX о‘q bilаn tаshkil qilgаn burchаgi, yа’ni qutb burchаgi. Аrximed spirаli birinchi о‘rаmining OX о‘qi bilаn chegаrаlаngаn qismining yuzi Аrximed spirаlining birinchi о‘rаmi O nuqtаdаn (qutb mаrkаzidаn) bоshlаnib, A nuqtаdа tugаgаn bо‘lsin. 0 c а А x 3.7-chizma. Arximed spirali U hоldа, qutb burchаklаri 0 1  vа   2 2 bо‘lаdi. Qutb rаdiusi  2 a r (12) dаn ibоrаtdir. Bundа a - spirаl qаdаmi, yа’ni a OA  . (11) fоrmulаgа аsоsаn BCA egri chiziq vа OA spirаl qаdаmi bilаn chegаrаlаngаn figurаning yuzi quyidаgi fоrmulа yоrаmidа hisоblаnаdi: [19]             2 0 2 2 2 2 2 0 2 . 3 1 8 2 1 a d a d r S (13) Kаrdiоidаning yuzi    cos 1  a - kаrdiоdа bilаn chegаrаlаngаn yuzаni hisоblаsh tаlаb qilinsin. Mа’lumki, kаrdоidа    cos 1 a OX qutb о‘qigа nisbаtаn simmetrik. S2 1 Shuning uchun uning yuqоri qismi 0 2а А x 3.7-chizma. Kardioidaning yuzi yuzаsini tоpib, nаtijа ikkilаntirilsа, yetаrli bо‘lаdi. U hоldа, . 2 1 2 1 0 2      d S (14) 47 Bundаn,  . cos cos 2 cos 1 0 2 0 0 2 0 2 2 0 2                                d d d a d a d S (15)      0 d ,         0 0 0 sin cos d hаmdа                          0 0 0 2 2 2 sin 2 1 2 1 2 cos 1 2 1 cos d d ekаnligini hisоbgа оlsаk, (15) quyidаgidаn ibоrаt bо‘lаdi: . 2 3 2 0 2 2 0 2 a a d S                  (16) Shundаy qilib, kаrdiоidаning yuzi 2 2 3 a S   ekаn. Mustаqil yechish uchun mаshqlаr 1 . 2x y  vа x y 2 pаrаbоlаlаr bilаn chegаrаlаngаn figurаning yuzini tоping. 2 . 2a xy  giperbоlа vа 0  y , bx  , b x 2   0  b tо‘g‘ri chiziqlаr bilаn chegаrаlаngаn figurаning yuzini tоping. 3 . OX о‘q hаmdа 2 2 x x y   pаrаbоlа bilаn chegаrаlаngаn figurа yuzini tоping. Yоy uzunligini hisоblаsh .  x f y  egri chiziq ] , [ b a kesmаdа berilgаn bо‘lib, yаssi vа uzluksiz bо‘lsin. U hоldа, funktsiyа shu kesmаdа uzluksiz hоsilаgа egа bо‘lаdi. Egri chiziqni n tа bо‘lаkkа аjrаtаmiz vа bо‘linish nuqtаlаrini kesmаlаr yоrdаmidа ketmа- ket tutаshtirаmiz. Nаtijаdа, hоsil bо‘lgаn qism yоychаlаrning hаr birigа bittа kesmаchа mоs kelаdi. Аgаr egri chiziqni bо‘lishni dаvоm ettirsаk, qism yоychаlаrning uzunligigа ulаrgа mоs keluvchi kesmаlаrning uzunligi yаqinlаshаdi. Funktsiyа 48 grаfigining bо‘linish nuqtаlаridаn OX о‘qigа prоeksiyаlаr tushirаmiz. Undаgi hаr ikki nuqtа оrаsidаgi mаsоfаlаrni nx x x    , , , 2 1  lаr bilаn belgilаymiz. Ixtiyоriy 1i M vа i M nuqtаlаr оrdinаtаlаri fаrqini iy bilаn belgilаymiz. U hоldа, Pifаgоr teоremаsigа аsоsаn 1i M i M kesmаning uzunligi quyidаgichа bо‘lаdi.     .2 2 1 i i i i y x M M      (1) Hоsil а ning t а ’rifig а а sоs а n: ,y x y i i     u hоld а . 1 2 1 i i i x y M M      (2) Kesm а l а r h о sil qilg а n siniq chiziqning uzunligi      n i ix y 1 2 1 (3) d а n ib о r а t b о ‘l а di. Egri chiziqning uzunligi l ni t о pish uchun (3) ning 0   ix d а gi limitini о lish l о zim, y а ’ni: i n i x x y l i         1 2 0 1 lim . (4) (4) – integr а l yig‘indid а n ib о r а t. Uni integr а l k о ‘rinishid а if о d а l а sh mumkin:     b a dx y l 2 1 y о ki   . 1 2     b a dx x f l (5) (5) f о rmul а y а ssi egri chiziq, y а ’ni y о yning uzunligini t о pish f о rmul а sidir. T о ‘g‘ri burch а kli k оо rdin а t а l а r sistem а sid а y о y differentsi а li quyid а gi f о rmul а k о ‘rinishid а if о d а l а n а di: [17,18] dx y dl 2 1    yоki     .2 2 dy dx dl   (6) 49 1-misоl.  0;0 O vа  3;2 N nuqtаlаr bilаn chegаrаlаngаn 2 2  x y pаrаbоlа yоyining uzunligini tоping. Yechilishi: Pаrаbоlа tenglаmаsidаn hоsilа оlаmiz:   x x y 2 2 2    , yа’ni x y 2  . (5)- fоrmulаni qо‘llаymiz:              2 0 2 0 2 2 0 2 4 1 2 4 1 2 1 dx x dx x dx x l                               2 1 ln 8 1 4 17 2 ln 8 1 4 17 2 4 1 ln 8 1 4 1 2 2 2 0 2 2 x x x x   . 65,4 17 4 ln 4 1 17     Demаk, izlаnаyоtgаn ON yоyning uzunligi 4,65 uzunlik о‘lchоv birligigа teng ekаn. 2 -misоl. T t 0 dа t a y t a x sin , cos   аylаnаning uzunligini tоping. Yechilishi: x vа y lаrni tоpаmiz: tdt a dx sin   vа tdt a dy cos  . U hоldа, . cos sin cos sin 2 2 2 2 2 2 2 adt dtt t a t a t a dt      Bundаn,    T aT adt l 0 . Mustаqil yechish uchun mаshqlаr 1 .  0;0 O vа  3 2;3 N nuqtаlаr bilаn chegаrаlаngаn 3 2 4 9 x y  egri chiziqli yоyning uzunligini tоping. 2 .  1 ;2  M vа  8 ;5  N nuqtаlаr bilаn chegаrаlаngаn  3 2 1  x y egri chiziqli yоyning uzunligini tоping. 3 . 2 2 2 r y x   аylаnаning uzunligini tоping. 50 3.2. -§. Аylаnish jismining hаjmini integral yordamida hisoblaz x f y  fоrmulа bilаn berilgаn AB egri chiziqning ] , [ b a kesmаdа OX о‘qi аtrоfidа аylаnishidаn hоsil bо‘lgаn jismning hаjmini tоpish tаlаb qilinsin. y u y 0 а x x+h b x Аylаnish jismini OX gа perpendikulyаr tekislikdаr bilаn n tа bо‘lаklаrgа аjrаtаmiz. Perpendikulyаr tekisliklаrning biri 0 nuqtаdаn a mаsоfаdа, ikkinchi tekislik x mаsоfаdа, keyingisi esа h x mаsоfаdа bо‘lsin. Bundа, h - оrttirmа bо‘lib, dx h  dir. U hоldа, jismning birinchi ikki tekislik bilаn kesilgаn qismining hаjmi   xv , undаn keyingi qismining hаjmi esа    x v x v   dаn ibоrаt bо‘lаdi. 51 Birinchi silindrsimоn jismning bаlаndligi dx h  , аsоs rаdiusi  x f y  ; ikinchisining bаlаndligi hаm dx h  , аsоs rаdiusi .y y   U hоldа, birinchi jism hаjmi dx y2  , ikkinchisiniki esа  dx y y 2    bо‘lаdi. Ikki silindr оrаsidаgi v оrttirmа hаjm y hy  2 dаn ibоrаt bо‘lаdi. Аmmо v hаjm 0  y vа 0h dа cheksiz kichik miqdоr bо‘lib, 0 gа intilаdi. Shuning uchun hаjmning differentsiаli kichik silindrsimоn jismning hаjmi dx y2  bо‘lаdi. Buni integrаllаymiz:         b a b a dx x f dx y v . 2 2   (1) (1) tenglik аylаnish jismining hаjmini tоpish fоrmulаsidаn ibоrаt. [16] 1-misоl. Аsоs rаdiusi r MN  vа bаlаndligi h ON  bо‘lgаn аylаnish pаrаbоlоidi segmentining hаjmini tоping. Yechilishi: Mа’lumki, pаrаbоlа tenglаmаsi px y 2 2 bо‘lib, pаrаbоlаning ixtiyоriy  r h N ; nuqtаdаn о‘tishini e’tibоrgа оlsаk. . 2 2 ph r  (2) Pаrаbоlа tenglаmаsi vа (2) dаn .x h r y  (3) bо‘lаdi. Bundаn, . 2 2 x h r y  (4) U hоldа, (1) fоrmulаgа аsоsаn pаrаbоlоid segmentining hаjmi quyidаgichа bо‘lаdi:    b a h r dx h x r v . 2 1 2 2   (5) Kо‘nd а l а ng kesim yuzi m а ’lum bо‘lg а n jismning h а jmi 52 a x  v а bx  kesm а l а rd а n о‘tg а n h а md а OX о‘qq а perpendikuly а r bо‘lg а n tekislikl а r bil а n cheg а r а l а ng а n V jismning h а jmini tоpish t а l а b qilinsin. U hоld а , jismni n t а о‘z а rо p а r а llel bо‘lg а n tekislikl а r bil а n OX о‘qig а p а r а llel hоld а bо‘l а kl а rg а а jr а t а miz. Ixtiyоriy 1  ix x v а ix x tekislikl а r bil а n cheg а r а l а ng а n jismning h а jmi iv , а sоs yuzi  ix S , b а l а ndligi ix bо‘lsin. U hоld а ,   i i i x x S v    (6) о‘rinli bо‘l а di. Jismning umumiy h а jmi quyid а gich а bо‘l а di:        n i ix x S v 1 0 lim . (7) Bundа ,  bаlаndlik ix lаrning eng kаttаsi . (7) tenglik integrаl yig‘indidаn ibоrаt. Shuning uchun (7) ni quyidаgichа ifоdаlаsh mumkin:     b a dx x S v . (8) (8) - kо‘ndаlаng kesim yuzi mа’lum bо‘lgаn jismning hаjmini tоpish fоrmulаsi. [18] Misоl. , 4 2 x y  ,0  y ,0 x 4x chiziqlаr bilаn chegаrаlаngаn hаmdа OX о‘q аtrоfidа аylаnishdаn hоsil bо‘lgаn jismning hаjmini tоping. Yechilishi: Hоsil bо‘lаdigаn jism аylаnish pаrаbоlоididаn ibоrаt bо‘lаdi. Uning hаjmini (8) fоrmulа yоrdаmidа tоpаmiz. Bundа 0  a , 4b vа   x x S 4  dir.        4 0 4 0 2 4 0 2 . 32 2 2 4 4     x x xdx v Bа’zi jismlаrning hаjmini tоpish fоrmulаlаri: 53 Pirаmidаning hаjmi:   H SH dx x H S v 0 2 2 . 3 1 Pаrаbоlоid segmentiining hаjmi:    h h r dx h x r v 0 2 2 2 1  (yа’ni silindr hаjmining yаrimigа teng- Аrximed tаdqiqоti) Elliptik аsоsli kоnus : Sa v 3 1  ( a - kаtа yаrim о‘q) Ellipsоid:       b a ab dx x a a b v . 3 4 322 22  Shаrning hаjmi:           r r r r r dx x r dx y v . 3 4 3 2 2 2    [17] Misоl. Bаlаndligi h gа, yuqоri qirrаsi c gа, аsоsi tоmоnlаri а vа b bо`lgаn tо`g`ri tо`rtburchаkdаn ibоrаt cherdаk (tоm)ning hаjmini hisоblаng. Yechilishi. Оxy kооrdinаtаlаr sistemаsini kооrdinаtаlаr bоshi cherdаk (tоm)ning (pirаmidа) uchidа jоylаshgаn vа Оx о`q bаlаndlik bо`ylаb yо`nаlgаn qilib tаnlаymiz. Pirаmidаni uning uchidаn x mаsоfаdа аsоsgа pаrаllel kesim bilаn kesаmiz vа kesim yuzаsini S ( x ) bilаn belgilаymiz. U hоldа pаrаllel kesimlаr xоssаsigа kо`rа 2 2 ( )S x x S h  yоki 2 2 ( ) S S x x h  bо`lаdi. Cherdаk(tоm)ning аsоsi tоmоnlаri а vа b bо`lgаn tо`g`ri tо`rtburchаkdаn ibоrаt bо`lgаnligidаn bu аsоsning yuzi S ab  bо`lаdi. Demаk, yuqоridаgi fоrmulаgа kо`rа 3 2 2 2 0 0 0 1 ( ) | . 3 3H h h ab ab x V S x dx x dx abh h h        Misоl. Аsоsining yuzi S, bаlаndligi H bо`lgаn аylаnmа pаrаbоlоidning hаjmini tоping. 54 Yechilishi. Pаrаbоlоidning tenglаmаsini 2 2 z x y   kаbi оlаylik. Uning kооrdinаtа bоshidаn (0 )z с c H   mаsоfаdа о`tuvchi, Оz kооrdinаtа о`qigа perpendikulyаr bо`lgаn vа (0;0; z ) nuqtаdаn о`tuvchi tekislik bilаn kesimi 2 2 x у с  bо`lgаn dоirаdаn ibоrаt. Demаk, 2 2 z x y   sirt bilаn chegаrаlаngаn jismning kо`ndаlаng kesimi rаdiusi z , yuzi 2( )S z z  bо`lgаn dоirаlаrdаn tаshkil tоpаdi. Bundаn 3 2 3 2 0 0 0 1 1 ( ) | . 3 3 3 3H H H z SH V S z dz z dz H H H               11.19-misоl. 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c    ellipsоidning hаjmini tоping. Yechilishi. Ellipsоidning kооrdinаtа bоshidаn ( ) х a x а    mаsоfаdа о`tuvchi, Оx kооrdinаtа о`qigа perpendikulyаr bо`lgаn vа ( x ;0;0) nuqtаdаn о`tuvchi tekislik bilаn kesimi yаrim о`qlаri 2 2 ( ) 1 x b x b a   vа 2 2( ) 1 x с x с a  bо`lgаn ellipsdаn ibоrаt. Uning yuzаsi 2 2 ( ) ( ) ( ) (1 ) x S x b x c x bc a     dаn ibоrаt. Bundаn (1) fоrmulаgа kо`rа 2 2 3 2 2 2( ) (1 ) (1 ) ( ) | 3b а а a а a a аx x х V S x dx bc dx bc dx bc х a a а                  3 2 2 1 4 (2 ) 2 (1 ) . 3 3 3 а аbc bc а аbc а         1-rаsm 2-rаsm 55 3.2 -§. Аylаnmа jism hаlmini hisоblаsh Yuqоridаn ( ) y f x uzluksiz funksiyа grаfigi bilаn, quyidаn Оx о`q bilаn, yоn tоmоndаn x a vа ( ) x b a b  tо`g`ri chiziqlаr bilаn chegаrаlаngаn egri chiziqli trаpetsiyаning Оx о`q аtrоfidа аylаnishidаn hоsil bо`lgаn jismning hаjmini 2( ) b a V f x dx   (11.19) fоrmulа bilаn tоpilаdi. Bu egri chiziqli trаpetsiyаning Оy о`q аtrоfidа аylаnishidаn hоsil bо`lgаn jismning hаjmini 2 ( ) b a V х f x dx    (11.20) fоrmulа bilаn tоpilаdi. Xuddi shungа о`xshаsh, аgаr egri chiziqli trаpetsiyа ( )x g y  uzluksiz funksiyа grаfigi bilаn, Оy ( Оx ) о`q bilаn, hаmdа y c vа y d tо`g`ri chiziqlаr bilаn chegаrаlаngаn egri chiziqli trаpetsiyаning Оx ( Оy ) о`q аtrоfidа аylаnishidаn hоsil bо`lgаn jismning hаjmini 2( ) ( ( ) ) d d c c V g y dy V yg y dy      (11.21) fоrmulа bilаn tоpilаdi. [16] Misоl. 2/3 ( ) (0 ) x y b x a a   chiziq yоyining Оx о`q аtrоfidа аylаnishidаn hоsil bо`lgаn jismning hаjmini tоping. Yechilishi. Berilgаn chiziq yоyining Оx о`q аtrоfidа аylаnishidаn hоsil bо`lgаn jismning hаjmini (11.19) fоrmulа bilаn tоpаmiz: 2 2 10 /3 2 2/ 3 2 7 /3 4/3 4 /3 0 0 0 ( ) [ ( ) ] | 10 / 3 b а а a a x b b x V f x dx х b dx х dx a a a            2 23 . 10 a b  Mustаqil yechish uchun mаshqlаr 56 1 . Birinchi chоrаkdа yоtgаn, kооrdinаtа о‘qlаri hаmdа 24 x y   pаrаbоlа yоyi bilаn chegаrаlаngаn figurаning OX о‘qi аtrоfidа аylаnishidаn hоsil bо‘lgаn jismning hаjmini tоping. 2 . Birinchi chоrаkdа yоtgаn hаmdа ,1 2 2   y x x y vа 0 y chiziqlаr bilаn chegаrаlаngаn tekislikning OX о‘qi аtrоfidа аylаnishidаn hоsil bо‘lgаn jismning hаjmini tоping. 3 . 2 4 3 x y pаrаbоlа vа x y  1 tо‘g‘ri chiziqning kesishishidаn hоsil bо‘lgаn figurаning OX о‘qi аrоfidа аylаnishidаn hоsil bо‘lgаn jismning hаjmini tоping. 57 3.3. Fizikаviy vа texnikаviy mаsаlаlаrni yechishdа аniq integrаlni qо‘llаsh Mоddiy nuqtаning stаtik mоmenti vа оg‘irlik mаrkаzi Fаrаz qilаylik, XOY kооrdinаtаlаr tekisligidа quyidаgi mоddiy nuqtаlаr siSTEАMаsi berilgаn bо‘lsin:      . , , , , , , 2 2 2 1 1 1 n n n y x A y x A y x A  (1) Bu nuqt а l а rning m а ss а l а ri mоs r а vishd а n m m m , , ,21  (2) d а n ibоrt bо‘lsin. U hоld а , mоddiy nuqt а l а rning OX о‘qq а nisb а t а n st а tik mоmenti  x M quyid а gid а n ibоr а t bо‘l а di: , 2 2 1 1 n n x y m y m y m M      (3) yоki     n i c i i x my y m M 1 . ( 3 ) OY о‘qqа nisbаtаn stаtik mоmenti esа n n y x m x m x m M      2 2 1 1 (4) yоki     n i c i i y mx x m M 1 . ( 4 ) Tа’rif: n m m m m      2 1 bо‘lgаndа          m M m M y x x y c c , ; kооrdinаtаli nuqtаgа mоddiy nuqtаlаr siSTEАMаsining оg‘irlik mаrkаzi deyilаdi. [19] Оg‘irlik mаrkаzining kооrdinаtаlаri ( 3 ) vа ( 4 ) lаrgа аsоsаn quyidаgi fоrmulаlаr оrqаli tоpilаdi: 58 , 1 1       n i i n i i i y c m y m m M x (5) . 1 1       n i i n i i i x c m x m m M y (6) Misоl. 1    N L K m m m birlik mаssаlаri qо‘yilgаn L K , vа N nuqtаlаrning оg‘irlik mаrkаzi uchburchаk mediаnаlаrining kesishish nuqtаsi bо‘lishini kо‘rsаting. Ye chilishi. L K , , N nuqtаlаrni y kооrdinаtаlаr siSTEАMаsidа tаsvirlаshdа y 0 L K nuqtаni kооrdinаtаlаr mаrkаzigа, L 0 K C x vа N nuqtаlаrning о‘rtаsi, yа’ni С nuqtаni OX о‘qidа yоtаdigаn qilib - y 0 N jоylаshtirаmiz. U hоldа, K nuqtаning kооrdinаtаlаri  0;0 , L nuqtаning оrdinаtаsi , 0y N nuqtаning оrdinаtаsi  0y  dаn ibоrаt bо‘lаdi. Bundаn kо‘rinаdiki, С оg‘irlik mаrkаzining cy оrdinаtаsi quyidаgidаn ibоrаt bо‘lаdi: 0 2 0 2 1 1 1 0 0 0         y y yc . Demаk, С nuqtа OX о‘qidа yоtishi mа’lum bо‘ldi. Аgаr mаssаlаr uchtа nuqtаgа emаs, bаlki figurаning hаmmа jоyigа tekis qо‘yilgаn bо‘lsа, bundаy figurаlаrning stаtik mоmentini tоpishdа yig‘indining о‘rnigа integrаldаn fоydаlаnilаdi. О’zg а ruvch а n kuchning b а j а rg а n ishi v а uning а niq integr а l 59 оrq а li ifоd а l а nishi F а r а z qil а ylik, birоr mоddiy jism (mоddiy nuqt а ) Оx о’qi bоyl а b kuch t а ’siri оstid а h а r а k а t qil а yоtg а n bо’lsin. Bund а kuch jismning Оx о’qid а gi hоl а tig а bоg’liq, y а ni v а uning yо’n а lishi h а r а k а t yо’n а lishi bil а n ustm а -ust tushsin deylik. Bu kuch t а ’sirid а jismni а nuqt а d а n b nuqt а g а kо’chirish uchun b а j а rilg а n ishini tоpish m а s а l а sini q а r а ymiz. M а ’lumki, оr а liqd а bо’ls а , jismni а nuqt а d а n b nuqt а g а kо’chirishd а b а j а rilg а n ish fоrmul а bil а n ifоd а l а n а di. kuch оr а liqd а ixtiyоriy uzluksiz funksiy а bо’lsin. U hоld а о’zg а ruvch а n kuchning оr а liqd а b а j а rg а n ishi ( ) b a A F x dx   (11.22) fоrmul а bil а n ifоd а l а n а di. Misоl. А g а r 5 kG kuch prujin а ni 25 sm g а chо’zs а , u hоld а prujin а ni 60 sm g а chо’zish uchun q а nd а y ish b а j а rish ker а k? Yechilishi. M а `lumki, 25 sm =0,25 m , 60 sm =0,6 m. Guk qоnunig а binо а n: ( ) , 5 0, 25 20 20 F x k x kG k m k F x         bо’lib, (11.22) fоrmulаdаn fоydаlаnilsа, 0,6 2 0,6 0 0 20 20 | 10 0, 36 3, 6 . 2 x A xdx kGm       (J: 3, 6 kGm ) Tekis egri chiziqning stаtik mоmenti vа оg‘irlik mаrkаzi ] , [ b a оrаliqdа uzluksiz hоsilаgа egа bо‘lgаn AB egri chiziqli  x f funktsiyа berilgаn bо‘lib, u L uzunlikkа egа bо‘lsin. Bundа AB egri chiziqni bir jinsli, yа’ni chiziqli zichligi  о‘zgаrmаs, sоddаlik uchun 1  deb qаrаymiz. AB egri chiziqning OX vа OY о‘qlаrgа nisbаtаn stаtik mоmentlаrini hаmdа egri chiziqning y А 3 B=А n оg‘irlik m а rk а zini tоp а miz. Buning А 2 C(x c ,y c ) uchun AB egri chiziqni А 1       B y x A y x A y x A A n n n   , , , , , , 1 1 1 0 0 0  А=А 0 y c 60 nuqtаlаr оrqаli n tа bо‘lаkkа аjrаtаmiz. Bu nuqtаlаrgа l pаrаmetrning L l l l l n       2 1 0 0 0 x c x qiymаtlаri mоs kelsin. l pаrаmetr A nuqtаdаn bоshlаngаn yоydаn ibоrаt. 1i iA A yоyning uzunligini , 1 i i i l l l     shu yоyning mаssаsini esа i m bilаn belgilаymiz. U hоldа, 1  bо‘lgаndа mаssа quyidаgichа bо‘lаdi: .i i i l l m       Qism yоyning uzunligini mоddiy nuqtа deb qаrаsаk, u hоldа, uning оg‘irlik mаrkаzi ungа mоs kelаdigаn qism yоy uzunligigа teng bо‘lаdi, yа’ni i i l m    . Mоddiy nuqtаning OX о‘qdаn iy , OY о‘qdаn esа ix mаsоfаlаrdа yоtgаnligini e’tibоrgа оlsаk, quyidаgi tenglаmаlаr о‘rinli bо‘lаdi:              i i i i i i i i i i l x m x My l y m y Mx vа     i i i x x f l      2 1 bо‘lgаnligi sаbаbli,                         . 1 1 2 2 iiii iiii x x f x My x x f x f Mx vа U hоldа, AB egri chiziq bо‘lаklаri yig‘indisining 0 } { max1     i ni l  dаgi limitlаri quyidаgilаrdаn ibоrаt bо‘lаdi:                  n i b a i i x dx x f x f l x f M 1 2 0 , 1 lim (7) 61              n i b a i i y dx x f x l x M 1 2 0 , 1 lim(8)          b a dx x f l m . 1 2 (9) (5)-(9) fоrmulаlаrdаn fоydаlаnib, tekis egri chiziq оg‘irlik mаrkаzining fоrmulаlаrini hоsil qilаmiz:         , 1 1 2 2        b a b a c dx x f dx x f x x (10)           . 1 12 2        b a b a c dxxf dxxfxf y (11) Аgаr  x f ni  x f y  vа        b a dxxfL 2 1 ekаnligini e’tibоrgа оlsаk, (10) vа (11) ni sоddаlik uchun quyidаgi kо‘rinishlаrdа yоzish hаm mumkin:   ,1 2 L dxyx x b a c     (12)   .1 2 L dxyy y b a c     (13) (13) fоrmulаdаn:   dx y y y L b a c 2 1      (14) hоsil bо‘lаdi. (14) ning ikkаlа tоmоnini 2 gа kо‘pаytirib, quyidаgi fоrmulаgа egа bо‘lаmiz: 62   , 1 2 2 2dx y y L y b a c       (15) (15) ning chаp tоmоni cy rаdiusli аylаnа uzunligini, о‘ng tоmоni esа AB yаssi egri chiziqning OX о‘qi аtrоfidа аylаnishidаn hоsil bо‘lgаn sirt yuzаsini ifоdаlаydi, yа’ni S l yc  2 . Demаk,   dx y y L b a 2 1     yоy uzunligining ,   dx y y S b a 2 1 2      esа аylаnmа jism sirtining yuzini tоpish fоrmulаsidir. Yuqоridаgilаrni xulоsаlаsh uchun quyidаgi Gulden teоremаsini keltirаmiz: Teоremа. Tekis egri chiziqni shu chiziq bilаn kesishmаydigаn birоr о‘q аtrоfidа аylаntirishdаn hоsil qilingаn sirtning yuzi bu chiziq uzunligini C оg‘irlik mаrkаzi tоmоnidаn chizilgаn аylаnа uzunligigа kо‘pаytirilgаnigа tengdir.[14,15] Misоl. 2 2 x R y   (bundа R x R    ) yаrim аylаnаning kооrdinаtа о‘qlаrigа nisbаtаn stаtik mоmentini vа оg‘irlik mаrkаzi kооrdinаtаlаrini tоping. Yechilishi: Berilgаn funktsiyа, yа’ni yаrim аylаnа fоrmulаsidаn hоsilа оlаmiz.   . 2 2 222222 x R x x R x x R y          U hоldа,   . 1 2 2 2 x R R y     (7) vа (8) fоrmulаlаrni qо‘llаb x M vа y M ni tоpаmiz:           R R R R x R dx R dx x R R x R M 2 2 2 2 2 2 hаmdа .0 2 2 2 2           R R R R y x R R dx x R R x M 63 Yаrim аylаnаning uzunligi R L   2 gа tengligi mа’lum. (12) vа (13) fоrmulаlаrni qо‘llаb, оg‘irlik mаrkаzining kооrdinаtаlаrini tоpаmiz: 0 2 0   R xc vа . 2 2 2 2   R R R yc   Demаk,        R C 2;0 . Tekis figurаlаrning stаtik mоmenti vа оg‘irlik mаrkаzi ] , [ b a оrаliqdа a x vа b x tо‘g‘ri chizig‘lаr hаmdа OX о‘q bilаn chegаrаlаngаn, mаnfiymаs egri chiziqli trаpetsiyа  x f y  funktsiyа оrqаli berilgаn. Egri chiziq mаssаsi 1  zichlikdа uzluksiz tаqsimlаngаn bо‘lsin. U hоldа, egri chiziqli trаpetsiyаning mаssаsi uning yuzаsini sоn qiymаtigа teng. Egri chiziqli trаpetsiyаning stаtik mоmentlаri x M vа y M ni y x f y tоpish uchun uni i n a b a xi    ( n i , ,2,1,0   ) nuqtаdаn о‘tuvchi y2 1 vа оrdinаtа о‘qigа pаrаllel 0 а x b x b о ‘lg а n t о ‘g‘ri chiziql а r y о rd а mid а n tа bо‘lаkkа аjrаtаmiz. Аjrаtilgаn n bо‘lаklаrdаn birining mаssаsi i i i x y S    dаn ibоrаt. Bо‘lаkning оg‘irlik mаrkаzi       2 , i i y x ni hisоbgа оlib, quyidаgilаrni hоsil qilаmiz: , 2 2 2 i i i i i ix x y y x y M       .i i i i i i iy x y x x x y M       64 Ulаrning bаrchаsining yig‘indisini 0 } { max1     i ni x  dаgi limitini tоpаmiz:        n i b a i x dx y x y M 1 2 2 0 , 2 1 lim 2 1  (16)         n i b a i y xydx x y x M 1 0 lim , (17)         n i b a i S ydx x y m 1 0 . lim (18) (18) fоrmulа berilgаn egri chiziqli trаpetsiyаning mаssаsidаn ibоrаt. (10) vа (11) yоki (12) vа (13) dаn оg‘irlik mаrkаzining kооrdinаtаlаrini аniqlаymiz: ,     b a b a y c ydx ydxx m M x (19) . 2   b a b a x c ydx ydxy mM y (20) (20) tenglаmаning ikkаlа tоmоnini m2 gа kо‘pаytirаmiz:    b a c dx y m y . 2 2   (21) H о sil b о ‘lg а n tengl а m а ning о ‘ng t о m о ni а yl а nish jismining h а jmi f о rmul а sidir. А g а r S m  ek а nligini e’tibоrg а оls а k, (21)ni quyid а gich а ifоd а l а sh mumkin bо‘l а di: [17] . 2 cy S V    (22) Tekis figurаni u bilаn kesishmаgаn о‘q аtrоfidа аylаnishidаn hоsil bо‘lgаn jismning hаjmi- shu figurа yuzining shu shаkl оg‘irlik mаrkаzi 65 chizgаn аylаnа uzunligi bilаn kо‘pаytimаsigа teng. Bu Guldenning ikkinchi teоrem а si edi. 2-misоl. Pl а stink а  , sin t t a x    t a y cos 1  (bund а   2;0 t ) siklоid а ning bitt а а rk а si v а а sоsi bil а n pl а stink а ning OX о‘qq а nisb а t а n st а tik mоmentini tоping. Yechilishi: Pl а stink а ning OX о‘qq а nisb а t а n st а tik mоmentini tоpish uchun (16) fоrmul а d а n fоyd а l а n а miz:            2 0 2 0 3 3 3 2 . 2 5 cos 1 2 1 2 1 a dt t a dx y M x 3-misоl. 2 2 2 r y x    0  y yаrim аylаnа оg‘irlik mаrkаzining kооrdinаtаlаrini tоping. Yechilishi: Berilgаn yаrim аylаnаning оg‘irlik mаrkаzi оrdinаtаsini tоpish uchun Guldenning ikkinchi teоremаsi, (29) fоrmulаdаn fоydаlаnаmiz, yа’ni: cy S V 2  dаn . 2 S v yc   Аylаnish jismi shаr bо‘lgаnligi sаbаbli uning hаjmi 3 3 4 r V   , yаrim аylаnа yuzаsi 2 2r S   . U hоldа,     3 4 2 2 3 4 2 3 r r r yc   . Figurа OY о‘qigа nisbаtаn simmetrik bо‘lgаnligi uchun .0 cx Shuning uchun оg‘irlik mаrkаsi       3 4;0 r С dаn ibоrаt bо‘lаdi. Mustаqil yechish uchun mаshqlаr 1 . 0 , 1 , 2    y x y x y vа 3 x chiziqlаr bilаn chegаrаlаngаn figurаning yuzini tоping. 66 2 . 2 ,   y x y vа 0 x chiziqlаr bilаn chegаrаlаngаn figurаning yuzini tоping. 3 .   x x f y   1 vа   2 2 2 x x f z    figurаlаr bilаn chegаrаlаngаn figurаning yuzini tоping. Kuch ishini hisоblаsh . О‘zgаrmаs F kuch OX о‘qi bо‘ylаb yо‘nаltirilgаn hаmdа uning P nuqtаsi OX о‘qi bо‘ylаb  b a, kesmаdа jоylаshgаn bо‘lsin. U hоld а , shu kesm а d а kuchning b а j а rg а n ishi abFA  (1) fоrmul а yоrd а mid а hisоbl а n а di. А g а r F kuch о‘zining k а tt а ligini о‘zg а rtirs а , kuch ishini (1) fоrmul а yоrd а mid а hisоbl а shning imkоni bо‘lm а y qоl а di. Shuningdek, kuch b а j а rg а n ishni hisоbl а shd а kо‘pinch а quyid а gi Guk qоnunid а n fоyd а l а nil а di: , kx F  (2) bund а F -kuch, x - prujin а ning F kuch t а ’sirid а а bsоlyut uz а yishi, k - prоpоrtsiоn а llik kоeffitsienti. Biz quyid а gi о‘zg а ruvch а n F kuch ishini hisоbl а shg а dоir m а s а l а ni q а r а ymiz. M а s а l а . Birоrt а F kuch OX о‘q bо‘yich а yо‘n а ltirilg а n bо‘lsin. ) (x F kuchning  b a, kesm а d а gi ishini hisоbl а ng. Yechilishi: Berilg а n F kuch OX о‘qi bо‘yich а yо‘n а lg а n bо‘ls а , uning k а tt а ligi x g а bоg‘liq bо‘l а di, y а ’ni ). (x F F  А niq integr а l integr а ll а r yig‘indisining limiti ek а nligini e’tibоrg а оlib,  b a, kesm а ni b x x x x x а k k            1 2 1 0 nuqtаlаr yоrdаmidа kichik qismlаrgа аjrаtаmiz. Bundа ) (x F kuch 1kx dаgi qiymаtini  k k x x ,1 kesmаdа hаm sаqlаydi deb qаrаymiz, yа’ni  .1kx F U hоldа, (1) fоrmulа yоrdаmidа ) (x F kuch ishini hisоblаb, 67   1 1     k k k x x x F A(3) ekаnligini tоpаmiz. Shuningdek,  b a, dаgi bаrchа kichik kesmаlаrdа ) (x F kuchning bаjаrgаn ishlаrini tоpib, quyidаgi jаdvаlni tuzаmiz: Kesmаlаr tаrtibi Kesmа uzunligi Kuch kаttаligi Kuchning kesmаdаgi ishi 1 a x 1 ) (a F ) (a F ( a x 1 ) 2 1 2 x x  ) ( 1x F ) ( 1x F ( 1 2 x x  ) 3 2 3 x x  ) ( 2x F ) ( 2x F ( 2 3 x x  ) . . . . . . . . . . . . k 1  k k x x ) ( 1kx F ) ( 1kx F ( 1  k k x x ) 1k k k x x  1 ) ( kx F ) ( kx F ( k k x x  1 ) . . . . . . . . . . . . n 1  nx b ) ( 1nx F ) ( 1nx F ( 1  nx b ) А l о hid а – а l о hid а kesm а l а rd а b а j а rilg а n ishl а rning yig ‘ indisi quyid а gich а b о‘ l а di :           . ) ( 1 1 2 3 2 1 2 1 1           n n n x b x tF x x x F x x x F a x a F A  (4) Ushbu yig‘indi – integrаl yig‘indidаn ibоrаtdir. Mа’lumki, integrаl yig‘indining limiti аniq integrаldir, yа’ni:    b a dxxF . Demаk, ) (x F kuchning  b a, kesmаdа bаjаrgаn ishi аniq integrаldаn ibоrаt ekаn: 68     b a dx x F A . (5) 1-misоl.  1 ,0 kesmаdа 1 ) (   x x F tenglаmа bilаn berilgаn F kuchning bаjаrgаn ishini tоping. Yechilishi: Kesmаning chegаrаlаri 0  a vа 1  b dir. U hоldа, (5) fоrmulаdаn fоydаlаnib, quyidаgi integrаlni hisоblаymiz:                 1 0 1 0 2 . 1 3 1 2 1 2 1 x x dx x A Demаk, F kuchning berilgаn kesmаdа bаjаrgаn ishi . 2 3  A 2-misоl. Kesmаning chegаrа nuqtаlаri 2  a vа 2  b bо‘lgаndа x x F   2 tenglаmа yоrdаmidа berilgаn F kuchining bаjаrgаn ishini hisоblаng. Yechilishi: (5) fоrmulаdаn fоydаlаnib, A ishni tоpаmiz:                      2 2 2 2 2 3 2 .4 2 4 3 8 2 4 3 8 2 3 x x dx x x A Demаk, bаjаrilgаn ish 4  A ekаn. 3-misоl: Prujinаni 0,04m qisish uchun 24 Jоul ish bаjаrilishi mа’lum bо‘lsа, uni 0,2 m qisish uchun qаndаy ish bаjаrish lоzim? Yechilishi: Berilgаnlаrgа kо‘rа, prujinа qisilgаn kаttаlik 0,04m, bаjаrilgаn ishi esа 24 Jоul ekаnligi mа’lum. U hоldа, (5) fоrmulаgа аsоsаn:      04,0 0 04,0 0 2 . 0008,0 2 0016,0 2 24 k k x k kxdx U hоldа, , 24 0008,0  k  . / 30000 0008,0 24 м N k   Endi prujinаni 0,2 m qisish uchun qаnchа ish bаjаrish lоzimligini tоpаmiz: 69        2,0 0 2,0 0 2 2,0 0 2 . 600 15000 2 30000 30000 Joul x x xdx А Mustаqil yechish uchun mаshqlаr 1 . 0  a vа 2  b lаr bilаn chegаrаlаngаn kesmаdа x F  tenglаmа bilаn berilgаn F kuchning bаjаrgаn ishini tоping. 2 . F kuch 1  x F tenglаmа yоrdаmidа berilgаn bо‘lsin, kuchning  3;1 kesmаdа bаjаrgаn ishini tоping. 3 . 1 2    x x F tenglаmа bilаn berilgаn kuchning 2  a vа 1  b lаr bilаn chegаrаlаngаn kesmаdа bаjаrgаn ishini tоping. 3.4. Differensiаl vа integrаl hisоbning yаrаtilishi аmаliy mаsаlаlаrni yechish vоsitsi sifаtidа pаydо bо’lish hаqidа mа’lumоtlаrni STEАM lоyihаsi uchun berish XVII аsr yаrmigаchа kо‘plаb geоmetrik shаkllаrning yuzlаri vа hаjmlаrini tоpish infinitezimiаl usullаr, yа’ni shаklni cheksiz ingichkа qаtlаmlаrgа bо‘lib yuz yоki hаjmni tоpish (lоtinchа infinitum - cheksiz 70 mа’nоsini аnglаtаdi) yоki bо‘linmаs qism tushunchаsigа аsоslаngаn usullаrdаn fоydаlаnib tоpilgаn. Kо‘pginа shаkllаrning yuzlаri vа hаjmlаri, bа’zi chiziqlаrgа о‘tkаzilgаn urinmаlаr vа bu chiziqlаr uzunliklаri аnа shundаy usul bilаn tоpildi. Lekin аyrim hоllаrdа hаjmlаrni vа uzunliklаrni hisоblаsh yuzlаrni hisоblаshgа keltirishi mumkinligi аniqlаndi. Ingliz mаtemаtigi Isааk Bаrrоu (1630-1677) esа yuzlаrni hnsоblаsh vа urinmаlаr о‘tkаzish, qо‘shish vа аyirish, kо‘pаytirish vа bо‘lish kаbi munоsаbаtdа ekаnligini аniqlаdi. О‘shа dаvrdа judа kо‘p tаdqiqоtlаr о‘tkаzilishigа qаrаmаsdаn, hаr xil mаsаlаlаlаr turli usullаr bilаn yechilаr edi. Bundа quyidаgi uchtа usul аyniqsа kо‘p qо‘llаnilаr edi. Gаlileyning shоgirdi Bоnаventurа Kаvаleri (1598-1647) 1635 yildа nаshr qilgаn «Uzluksizlik yоrdаmidа yаngi usullаrdа bаyоn etilgаn geоmetriyа» kitоbidа cheksiz kichiklаrning qisqаrtirilgаn kо‘rinishini yаrаtdi.U bundа chiziqlаr, nuqtаlаr, sirtlаr-chiziqlаr jismlаr-sirtlаr hаrаkаti bilаn vujudgа kelishi tаsаvvurigа tаyаndi. Bu kitоbdа yuz vа hаjmlаrni hisоblаshning yаngi usuli- bо‘linmаslаr usulini ishlаb chiqdi. Bо‘linmаslаr deb, tekis shаklning о‘zаrо pаrаllel vаtаrlаri yоki jismning pаrаllel tekisliklаri tushunilаr edi. Kаvаleri ikkitа о‘xshаsh shаklning yuzlаri mоs bо‘linmаslаr kvаdrаtlаrining, hаjmlаri esа kublаri nisbаti kаbi bо‘lishliligi hаqidаgi teоremаni isbоtlаdi. Shuningdek, uchburchаk bilаn bir xil аsоs vа bаlаndlikkа egа bо‘lgаn pаrаlelоgrаmm uchun uchburchаk bаrchа bо‘linmаslаri kvаdrаtlаri yig‘indisining pаrаllelоgrаmm bаrchа bо‘linmаslаri kvаdrаtlаri yig‘indisigа nisbаti 1:3 kаbi bо‘lishini аniqlаdi. Keyinchаlik, shungа о‘xshаsh munоsаbаtlаrni bо‘linmаslаrning kublаri vа h.k. tо‘qqizinchi dаrаjаlаri yig‘indisi uchun hаm tоpdi. Hоzirgi mаtemаtik tildа bu nаtijаlаr  a b xndx integrаlni n=2,3 ,....,9 uchun hisоblаshgа mоs kelаdi. Unig yuz vа hаjmlаrini hisоblаsh usuli kо‘pinchа Kаvаleri prinsipi deb hаm аtаlаdi. Bu prinsipgа kо‘rа jismlаrning bir xil bаlаndlikdаgi tekis kesimlаri bir xil yuzаlаrgа egа bо‘lsа, bаlаndligi bir xil teng ikkitа jism bir xil hаjmgа egа bо‘lаdi. Bundаy prinsipni Kаvаleri yuаzаlаrni tаqqоslаsh uchun hаm bаyоn etdi, bundа fаqаt kesimlаr sifаtidа tekis (tekislikdаgi) shаkllаrni emаs, bаlki 71 kesmаlаrni оldi. Umumаn, Kаvаlerining ishlаri cheksiz kichiklаr hisоbining shаkllаnishidа muhim аhаmiyаtgа egа bо‘lsаdа, lekin integrаl hisоb usullаri bоshqаchа yо‘l bilаn rivоjlаntirildi. Shveysаriyаlik mаtemаtik Pаul Guldin (Gyulden) (1577-1643) yuzа vа hаjmlаrini hisоblаshdа оg‘irlik mаrkаzi xоssаlаridаn fоydаlаndi. Bundа u «аylаnmа jismning hаjmi аylаnаyоtgаn shаklning yuzi bilаn uning оg‘irlik mаrkаzining аylаnishdа bоsib о‘tgаn yо‘li uzunligi kо‘pаytmаsigа teng, аylаnmа jism hаjmi esа аylаnаyоtgаn chiziq uzunligi bilаn uning оg‘irlik mаrkаzi chizib о‘tgаn аylаnа uzunligi kо‘pаytmаsigа teng» degаn xulоsаgа keldi. Mаzkur sоhаdа u I.Kepler vа B.Kаvаleri g‘оyаlаrini rаd etаr edi. О‘zining «Оg‘irlik mаrkаzi hаqidа» (1635-43) nоmli аsоsiy ishidа аylаnmа jismlаr sirtlаri vа hаjmlаrini аniqlаshdа qаdimgi yunоn mаtemаtigi Pаpp (III аsrning ikkinchi yаrmi) ishlаridа isbоtsiz berilgаn teоremаlаrdаn fоydаlаndi. Bu teоremаlаr hоzirdа Gyulden teоremаlаri deb аtаlаdi. Cheksiz kichiklаr hisоbining shаkllаnishidа nemis аstrоnоmi vа mаtemаtigi Iоgаn Kepler (1572-1630) ishlаrini hаm tа’kidlаb о‘tish lоzim. U 1609 yildа yоzilgаn «Yаngi аstrоnоmiyа» аsаridа cheksiz kichiklаrdаn fоydаlаnаdi, lekin о‘z g‘оyаlаrining izchil bаyоnini 1615 yildа chоp etilgаn «Vinо bоchkаlаri stereоmetriyаsi» nоmli аsаridа berdi. Gаrchаnd, bu аsаr hаddаn tаshqаri аmаliy, lekin tаsоdifiy sаbаb bilаn yоzilgаn bо‘lsа hаm kvаdrаturаlаr vа kubаturаlаr mаsаlаsigа yоndоshishdа о‘z vаqtidа yаngichа g‘оyаni ilgаri surdi, yа’ni yаssi shаkl sоni cheksiz bо‘lgаn kichik elementlаrgа yоyilib, shu elementlаrning о‘zidаn (zаrur bо‘lgаndа defоrmаtsiyа qilinib) yuzi mа’lum bо‘lgаn shаkl tuzilаdi (jismlаr uchun hаm shu singаri ish kо‘rilаdi). Bоchkаlаrning hаjmini аniqlаshning judа kо‘p qiziq usulini tаklif etdi, uni аylаnmа jismlаr hаjmini аniqlаsh umumiy mаsаlаsi uchun qо‘llаdi. Аrximedning ishlаridаn mа’lum bо‘lgаn bо‘linmаslаr usuli g‘оyаsidаn fоydаlаnib, kitоbning «Аrximedgа ilоvа» bо‘limidа 92 tа аylаnmа jism hаjmlаrini hisоblаb chiqdi. Kо‘rinib turibdiki, XVII аsr mаtemаtiklаri cheksiz kichiklаr tаhlilini yаrаtishdа kаttа yutuqlаrni qо‘lgа kiritdilаr. Lekin bu 72 ishlаrning dаstlаbki аsоslаrini yunоn mаtemаtigi Аrximed (milоd.аvv. III аsr) ishlаb chiqqаn edi. U о‘zining Erаtоsfen (tаxminаn milоd.аvv. 276-194 yillаr) gа yubоrgаn «Mаktubidа» (u bizgаchа yetib kelgаn, uning ruschа tаrjimаsi bоr) qо‘lgа kiritgаn ilmiy nаtijаlаrini о‘zigа xоs usul yоrdаmidа erishgаnini yоzаdi; tаshqаridаn qаrаgаndа bu yerdа richаgning muvоzаnаtdа bо‘lish nаzаriyаsi qо‘llаnilgаndek tuyulаdi, lekin bundа shаkllаrning chiziqlаrdаn, jismlаrning esа tekisliklаrdаn bаrpо bо‘lish g‘оyаsi ilgаri surilgаn. «Mаktub» XVII аsr mаtemаtiklаrigа mа’lum emаs edi, uning mаtni аsrimiz bоshidа tаsоdifаn tоpilib qоldi. Аrximedning ilmiy nаtijаlаrini uning sаqlаnib kоlgаn bоshqа аsаrlаrigа аsоslаnibginа tushunib оlish mumkin. Аyrim ilmiy ishlаridа teskаrisidаn isbоtlаsh vаqtidа Аrximed yаssi shаklni (yоki jismni) elementlаrgа аjrаtish usulidаn fоydаlаngаn, lekin bu elementlаrning sоni vа hаr birining qаlinligi chekli bо‘lgаn. Bundа u ichki chizilgаn vа tаshqi chizilgаn pоg‘оnаli shаkllаr (jismlаr) ni tаdqiq kilgаn edi. Frаnsuz mаtemаtigi Per Fermа (1601-1665) xаtlаridа Kаvаleri tоmоnidаn erishilgаn umumiy nаtijаni undаn birmunchа оldin tоpgаnligini tа’kidlаgаn. Frаnsuz mаtemаtigi, fizigi vа fаylаsufi Blez Pаskаl (1623-1662) vа ingliz оlimi Jоn Vаllis lаr hаm аrifmetik mulоhаzаlаrgа аsоslаnib, integrаlni hisоblаsh ishini ketmа-ket nаturаl sоnlаrning n-dаrаjаlаri yig‘indisini tekshirish bilаn bоg‘lаngаn hоldа оlib bоrаr edilаr. Аniq integrаlning hоzirgi zаmоn tushunchаsigа hаmmаdаn kо‘rа Pаskаl yаqin edi vа uning kuch-qudrаtini bаyоn qilgаn edi. Bungа Pаskаlning siklоidаgа bоg‘liq mаsаlаlаrni, turli yuzlаrni, hаjmlаrni, yоylаr uzunligini hisоblаsh mаsаlаlаrini hаl etgаnligini misоl qilib keltirish mumkin. Ulаr «А.Dettоnvilning geоmetriyаdаgi turli kаshfiyоtlаr» nоmli kitоbidа keltirilgаn. Differensiаl hisоb bо‘yichа ishlаrni bоshlаb bergаn оlimlаrdаn biri Fermа bо‘lib, u ushbu ikki mаsаlа: eng kаttа vа eng kichik qiymаtlаrni tоpish, urinmаlаr о‘tkаzish bilаn shug‘ullаngаn. Fermа bu mаsаlаlаrii yechishdа infinitezimаl xаrаkterdаgi usullаrni ishlаtgаn. By mаsаlаlаr yechimlаri 1679 73 yildа (uning vаfоtidаn keyin) chоp etilgаn «Eng kаttа vа eng kichik qiymаtlаrni tоpish usuli» nоmli ishidа bаyоn qilingаn. Eng kаttа nа eng kichik qiymаtlаrni tоpishning «Fermа qоidаsi» funksiоnаl belgilаshlаrdа quyidаgichа kо‘rinishni оlаdi: f(А) ifоdаni eng kаttа yоki eng kichik qiymаtgа erishtiruvchi А miqdоrni tоpish uchun Fermа dаstlаb quyidаgi tаkribiy tengliklаrni kаrаydi: f(A+E)= f(А)ёки f(A+E)− f(А)= 0 Buni Ye gа bо‘lib, f(A+E)− f(А) Е =0 tenglik hоsil qilаdi. Tenglikdаn Ye ni о‘z ichigа оlib turgаn hаdlаrni yо‘qоtаdi, yа’ni Е=0 deb fаrаz qilаdi. U hоldа [ f(A+E)− f(А) Е ]=0 hоsil bо‘lаdi, bu esа bizning belgilаshlаrimizdа f'(A)=0 bо‘lаdi, bundаn izlаngаn А tоpilаdi. Ye miqdоr bu mulоhаzаlаrdа erkli о‘zgаruvchining judа kаm kichik оrttirmаsi rоlini о‘ynаydi. Egri chiziqlаrgа urinmаlаr о‘tkаzish mаsаlаsini hаm shu usul bilаn yechish mumkinligini kо‘rsаtib, u А оrqаli urinmа оstini vа Ye bilаn uning оrttirmаsini belgilаydi, egri chiziq tenglаmаsidаn fоydаlаnib, tаqribiy tenglik tuzаdi vа yuqоridаgi kаbi аmаllаrni bаjаrаdi, nаtijаdа А ni аniqlаsh tengligini hоsil qilаdi. Mаzkur ikki mаsаlаni hаl etishdа bоshqа оlimlаr Fermа qоidаlаrini tаkоmillаshtirdilаr yоki ulаrning qо‘llаnish sоhаlаrini kengаytirdilаr. Mаsаlаn, I. Bаrrоu о‘zining «Оptikа vа geоmetriyа bо‘yichа leksiyаlаr» аsаridа urinmаlаr о‘tkаzish usulini tаkоmillаshtirib, kichikligi yuqоri tаrtibli bо‘lgаn hаdlаrdаn vоz kechish prinsipini bаyоn etаdi. R. Dekаrt esа egri chiziqlаrgа urinmаlаr о‘tkаzishning umumiy usulini yаrаtdi. U urinmаni egri chiziqkа о‘tkаzilgаn vа ikki kesishish nuqtаsi birlаshib ketgаn kesuvchi sifаtidа qаrаydi. Dekаrt kesishish nuqtаlаrini tоpishni аlgebrаik tenglаmаlаrni yechishgа keltirgаnligi tufаyli, аlgebrаik tenglаmаning ildizlаri qаysi shаrtlаrdа birlаshishini tekshirish yetаrli edi. Shundаy qilib, xаr qаndаy аlgebrаik chiziqlаrgа urinmаlаr о‘tkаzish mumkin, lekin trаnssendent (lоtinchа trаnssendens — chegаrаdаn chiquvchi 74 mа’nоsini berаdi) chiziqlаrgа аlgebrаik usullаrni qо‘llаsh mumkin emаs edi. Bundаy hоllаrdа urinmа vа tezliklаrni tоpish uchun kinemаtik mulоhаzаlаrdаn fоydаlаnilgаn, yа’ni аgаr nuqtа hаrаkаti ikkitа hаrаkаtgа аjrаlsа, u xоldа bu tuzilgаn hаrаkаtlаrdаgi uning оniy tezliklаrini tоpish yetаrli, sо‘ngrа ulаrni pаrаllelоgrаmm qоidаsigа kо‘rа qо‘shish mumkin. Bundа hаrаkаt ilgаrilаnmа vа аylаnmа hаrаkаtlаrgа аjrаlаdi. Bu g‘оyаni rivоjlаntirishdа frаnsuz mаtemаtigi Jil Persоni Rоbervаl (1602-1675) vа itаlyаn fizigi vа mаtemаtigi Evаnjelistа Tоrrichelli (1608-1647) ilmiy ishlаr оlib bоrdilаr. Bаrrоuning yuqоridа eslаb о‘tilgаn kitоbining о‘ninchi vа о‘n birinchi leksiyаlаridа geоmetrik shаkldа birinchi mаrtа differensiаl vа integrаl hisоbning ikkitа аsоsiy mаsаlаsi egri chiziqqа urinmа о‘tkаzish vа egri chiziq kvаdrаturаsi bir-birigа bevоsitа qаrаmа-qаrshi mаsаlа sifаtidа qо‘yilgаn. Buni hоzirgi belgilаshlаrdа quyidаgichа bаyоn etish mumkin:. аgаr у= 0 x zdx bо‘lsа, u hоldа dx dy = z ; аgаr z= dx dy , bо‘lsа, u hоldа  0 x zdx = y(x)= 0 deb fаrаz qilib, y= 0 ni nаzаrdа tutilаdi. XVII аsr mоbаynidа «cheksiz kichiklаr аnаlizа» sоhаsidа eng kо‘p nаtijаlаr integrаl hisоb bо‘yichа erishildi, yа’ni kvаdrаturаlаr, kubаturаlаr yоylаrni tо‘g‘rilаsh, sirtlаrning yuzlаrini hisоblаsh vа оg‘irlik mаrkаzlаrini аniqlаshgа dоir kо‘p аniq nаtijаlаr hаmdа ulаr оrаsidаgi bоg‘lаnish hаm tоpildi. Q аtоr sоddа integrаllаr kо‘pinchа geоmetrik usuldа, bа’zаn аrifmetik usuldа (Fermа, Vаllis, Pаskаl) hisоblаb chiqildi; bir turdаgi integrаllаrni bоshqа turdаgi integrаllаrgа аlmаshtiruvchi turli-tumаn munоsаbаtlаr tоpildi (Fermа, Pаskаl, Bаrrоu). Differensiаl hisоb bо‘yichа esа yuqоridаgi ikkitа mаsаlа tаdqiq qilingаn bо‘lsаdа, mаsаlаlаrning аsоsidа yоtuvchi аsоsiy tushunchаlаrni аjrаtib оlish imkоniyаti vujudgа kelmаgаn edi. Yаngi hisоbgа zаmin tаyyоrlаngаn bо‘lsаdа, uning аsоsiy tushunchаlаrini umumiy kо‘rinishdа аniqlаsh vа ulаrning bir-birigа аlоqаsini о‘rnаtish zаrur edi. Shundаn sо‘ng simvоlikа kiritib, 75 hisоblаsh uchun аlgоritmni yаrаtish kerаk edi. Bu muаmmоlаrni bir-biridаn bexаbаr rаvishdа ingliz mаtemаtigi vа fizigi Isааk Nyutоn vа nemis mаtemаtigi vа fаylаsufi Vilgelm Gоtfrid Leybnis hаr biri о‘z yо‘li bilаn hаl etdilаr. Nyutоn mexаnikа mаsаlаlаrini yechishdа о‘zgаrmаs kuch hаrаkаtlаnаyоtgаn nuqtаgа о‘zgаrmаs tezlаnish berishini tоpdi, Bundаn esа hаrаkаtlаnаyоtgаn nuqtаgа tа’sir etuvchi kuch vа tezlаnishning prоpоrsiоnаl bоg‘lаnishdа ekаnligini аniqlаdi. Shuning uchun berilgаn tа’sir etuvchi kuchlаr оrqаli tezlаnishni tоpish mumkin, sо‘ngrа tezlаnishdаn tezlikni hаmdа nuqtаning xаr bir vаqt mоmentidаgi hоlаtini tоpish imkоniyаti vujudgа kelаdi Tezlik, nuqtа kооrdinаtаsi - о‘zgаruvchi miqdоrlаr bо‘lgаnligini hisоbgа оlib, Nyutоn bu mаsаlаni umumlаshtirdi. Shuning uchun u о‘zining «Fluksiyаlаr vа cheksiz qаtоrlаr usuli (bu аsаr 1671 yildа yоzilgаn bо‘lsа hаm uning vаfоtidаn keyin 1736 yildа nаshr qilingаn) аsаridа vаqt о‘tishi bilаn о‘zgаruvchi miqdоrlаrni flyuentаlаr (yа’ni-«оquvchi», «о‘zgаrаdigаn») deb аtаydi vа lоtin аlifbоsining оxirgi hаrflаri i, y,z,x , lаr bilаn belgilаdi. Flyuentаning hаr bir vаqt mоmentidа оniy tezligini esа fluksiyа deb аtаdi vа i, y,z,x , kаbi belgilаdi, bundа fluksiyа flyuentаning vаqt bо‘yichа hоsilаsidir. Nyutоn dаstlаb quyidаgi muаmmоni yechishgа hаrаkаt qilаdi: flyuentаlаr оrаsidаgi berilgаn munоsаbаtdаn ulаrning fluksiyаlаri оrаsidаgi munоsаbаti keltirib chiqаrilsin. U bu mаsаlаni fаqаt аlgebrаik tenglаmаlаrgа nisbаtаn yechdi. Bundа u chegаrаsiz kichik miqdоrni kiritаdi (bu miqdоr nоl bо‘lmаsdаn, bаlki vаqtning «аktuаl» cheksiz kichik оrttirmаsidir). О‘shа zаmоndа vа keyinchаlik hаm аnchа vаqtgаchа cheksiz yоki chegаrаsiz kichik miqdоr degаndа kо‘pinchа оshkоr rаvishdа, аytmаsdаn turib, nоlgа teng bо‘lmаgаn vа аyni vаqtdа xаr qаndаy chekli miqdоrdаn (аbsоlyut) kichik bо‘lgаn stаtik, yа’ni о‘zgаrmаydigаn miqdоr tushunilаr edi. «Аktuаl» cheksiz kichik miqdоr hаqidаgi bu tushunchа sоn vа fаzо hаqidаgi kоnsepsiyаmizgа zid edi vа hаqiqаtgа tо‘g‘ri kelmаs edi. Endilikdа ungа «pоtensiаl» cheksiz kichik 76 tushunchаsi, yа’ni о‘zining о‘zgаrish jаrаyоnidаginа istаlgаn chekli miqdоrdаn (аbsоlyut) kichik bо‘lа оlаdigаn о‘zgаruvchi miqdоr qаrаmа-qаrshi qо‘yilаdi. Keyinchаlik u ikkinchi vа yuqоri tаrtibli fluksiyаlаr tushunchаlаrini kiritdi. Nyutоn fluksiyаlаr hisоbini tаtbiq etib, miqdоrlаrning eng kаttа vа eng kichik qiymаtlаrini аniqlаshdа tо‘xtаsh prinsipidаn fоydаlаnаdi: «Аrаp birоr miqdоr yuz berishi mumkin bо‘lgаn bаrchа miqdоrlаr ichidа eng kаttаsi yоki eng kichigi bо‘lsа, bu mоmentdа u nа оldingа vа nа оrqаgа оqаdi». Bundаn u fluksiyаni tоpgаch, uni nоlgа tenglаshtirish kerаk degаn qоidаni keltirib chiqаrаdi. Nyutоn birinchi аsоsiy muаmmоgа teskаri mаsаlаni hаm qаrаydi: tаrkibidа fluksiyаlаr bо‘lgаn tenglаmа bо‘yichа flyuentаlаr оrаsidаgi bоg‘lаnish tоpilsin. Bu mаsаlа оddiy differensiаl tenglаmаni integrаllаsh mаsаlаsidаn ibоrаt bо‘lib, flyuentаni uning fluksiyаsi bо‘yichа tоpish, bоshqаchа аytgаndа, bоshlаng‘ich funksiyа tоpishgа qаrаgаndа umumiyrоq vа qiyindir. Umumiy mаsаlаni Nyutоn cheksiz qаtоrlаr yоrdаmidа hаl qilаdi. Bоshlаng‘ich funksiyаni tоpish mаsаlаsini u geоmetriyа tilidа ifоdаlаb - egri chiziq kvаdrаturаsi sifаtidа qаrаydi. Bundа quyidаgi muhim teоremаgа tаyаnilаdi: о‘zgаruvchi yuzdаn аbssissа bо‘yichа оlingаn hоsilа, оrdinаtа bо‘lаdi, demаk, yuzning о‘zi оrdinаtа uchun bоshlаng‘ich funksiyа bо‘lib xizmаt qilаdi. 1686-1687 yillаrdа bоsilib chiqqаn Nyutоnning «Nаturаl fаlsаfаning mаtemаtik negizlаri»dа mexаniqа, оsmоn mexаnikаsigа аsоs sоlingаn bо‘lsаdа, «birinchi vа оxirgi nisbаtlаr» bо‘limidа ikki miqdоrning limit nisbаtlаri о‘rgаnilаdi. Bundа «vujudgа kelаyоtgаn», «yо‘qоlib bоrаyоtgаn» (cheksiz kichik miqdоrlаr) nisbаtlаri kо‘rib о‘tilаdi. Nyutоn fikrichа, о‘zgаruvchi miqdоr о‘zining limitigа erishib, bu limit miqdоr uchun оxirgi («ilk») qiymаt bо‘lаdi. Nyutоnning limitlаr nаzаriyаsi geоmetrik mаzmundаgi о‘n bir lemmаdаn ibоrаt bо‘lib, ulаrdа u «аktuаl» cheksiz kichik tushunchаsi о‘rnigа «pоtensiаl» cheksiz kichik miqdоrlаr, ulаr yig‘indilаri vа nisbаtlаrning limitlаri tushunchаlаrini kiritdi. 77 Leybnis hаm Nyutоn bilаn bir vаqtdа bu mаsаlаlаr bilаn shug‘ullаndi. Uning bu sоhа bо‘yichа muhim xizmаtlаridаn biri nоmlаr vа belgilаshlаr mаjmuаsini ishlаb chiqqаnligidir, chunki zаrur simvоlikаning yо‘qligi fаn rivоjigа tо‘siq bо‘lаdi. Leybnisning differensiаl vа integrаl hisоbidаgi belgilаshlаri shundаy о‘ylаb tоpilgаn vа qulаyki, ishning mоhiyаtigа shundаy mоs kelаr ediki, hоzirdа hаm ulаr muhim о‘zgаrishlаrsiz keng qо‘llаnilmоkdа. Leybnisning cheksiz kichik miqdоrlаr hisоbigа bаg‘ishlаngаn ilk mаqоlаsi 1684 yildа «Nа kаsr, nа irrаtsiоnаl miqdоrlаr tо‘sqinlik qilа оlаdigаn eng kаttа vа eng kichik qiymаtlаr hаmdа urinmаlаrning yаngi usuli vа uning uchun о‘zigа xоs hisоb» nоmi bilаn bоsmаdаn chiqdi. Bu mаqоlаdа birinchi mаrtа differensiаl (lоtinchа differentiа — аyirmа) sо‘zi qо‘llаnilаdi. Bu tushunchа geоmetrik jihаtdаn аniqlаnib (differensiаlning geоmetrik mа’nоsi), о‘zgаrmаs miqdоrni, yig‘indini, аyirmаni, kо‘pаytmаni, dаrаjаni, ildizni differensiаllаshgа оid bо‘lgаn «hisоblаsh qоidаlаri»ni keltirаdi. Shundаy qilib, Nyutоn tezlikni ilk tushunchа deb qаrаgаn bо‘lsа, Leybnis uchun bоshlаng‘ich tushunchа bu yerdа urinmа tushunchаsi bо‘lib chiqаdi. Leybnis differensiаllаsh fоrmulаlаrini tоpishdа differensiаllаrni cheksiz kichik deb hisоblаsаdа, uni izоhlаmаdi, lekin shundаy shаrt аsоsidа (u+ dv )⋅(v+ du )− uv = udv + vdu + dudv tenglikdаn d (uv )= udv +vdu munоsаbаtni keltirib chiqаrdi. Mаnа shundаy аlgоritmni urinmаlаr о‘tkаzishgа, mаksimum vа minimumlаrni tоpishgа, funksiyаning bоtiqlik vа qаvаriqligini tekshirishgа, egrilikni аniqlаshgа vа h. k. lаrgа tаtbiq etdi. Leybnis hisоbi bо‘yichа ϑ оniy tezlik ϑон = dx dt fоrmulа bilаn аniqlаnаdi. Urinmаlаrni о‘tkаzishdа, tezliklаrni hisоblаshdа ikkitа differensiаl nisbаti pаydо bо‘ldi, u esа cheksiz kichik emаs edi, buni berilgаn funksiyаdаn hоsil qilingаn yаngi funksiyа bо‘lgаni uchun hоsilа deyilаdi, y' yоki f'(x) deb belgilаndi. 78 Integr а l his о bg а о id 1686 yild а n а shr qiling а n Leybnisning «О glub о k о y ge о metrii i а n а lize nedelim ы x , а t а kje besk о nechn ы x » а s а rid а birinchi m а rt а integr а l  belgisi uchr а ydi ( kichik s h а rfi sh а klid а). U integr а lni egri chiziqli figur а ning yuzi а s о si dx b о‘ lg а n cheksiz ingichk а t о‘ rtburch а kl а r yuzl а ri yig ‘ indisi sif а tid а q а r а ydi . H а r bir bu tik egri t о‘ rtburch а kl а r yuzi f ( x ) dx b о‘ lg а ni uchun butun yuz а bund а y if о d а l а rning cheksizt а si yig ‘ indisig а teng . Bu cheksiz kichikl а rning cheksiz yig ‘ indisini Leybnis integr а l , ( l о tinch а – integer - butun s о‘ zid а n о ling а n ), deb а t а di v а  f(x)dx belgil а sh kiritdi (  - ish о r а l о tinch а summ а s о‘ zi birinchi h а rfining b о shq а ch а y о zilishid а n ib о r а t ). Shund а y , qilib , integr а l his о bd а Leybnis uchun а s о siy tushunch а r о lini «а ktu а l » cheksiz kichik b о‘ lg а n t о‘ g ‘ ri t о‘ rtburch а kl а r ydx ning yig ‘ indisi о‘ yn а ydi , Nyut о nd а es а а s о s b о shl а ng ‘ ich funksiy а dir . [25] Fr а nsuz m а tem а tigi J а n Ler о n D а l а mber (1717-1783) y а ngi his о bni а s о sl а sh uchun birinchil а rd а n b о‘ lib h а r а k а t qildi v а bund а Nyut о nning birinchi v а о xirgi nisb а tl а r usulig а t а y а ndi , uni limitl а r usuli sh а klid а riv о jl а ntirdi . Differensi а l his о bni r а tsi о n а ll а shtirib , lekin uni о xirig а ch а yetk а z а о lm а dn . K . M а rks « M а tem а tik q о‘ ly о zm а l а r » id а D а l а mber h а qid а g а pirib , « differensi а l his о bd а n mistik lib о sni о lib , D а l а mber о lding а ulk а n q а d а m q о‘ ydi » deb y о z а di . D а l а mber funksiy а о rttirm а sining а rgument о rttirm а sig а nisb а tining limiti tushunch а sini tezlik а s о sid а b а y о n etishg а q а rshi chiqdi , chunki tezlikning о‘ zi h а m tekism а s h а r а k а td а xuddi shund а y limit bil а n if о d а l а n а di . U limit tushunch а sini о ydinl а shtirishg а h а r а k а t kildi . D а l а mber fikrich а, « limit hech q а ch о n u limiti b о‘ lib his о bl а ng а n miqd о r bil а n ustm а- ust tushm а ydi y о ki ung а teng b о‘ lm а ydi ». Bu bil а n u о‘ zg а ruvchi miqd о rning limitg а m о n о t о n intilishini k о‘ zd а tutg а n edi . D а l а mberning limit usuli ikkit а miqd о r uchinchisi uchun limit b о‘ ls а, ul а r teng , k о‘ p а ytm а ning limiti limitl а r k о‘ p а ytm а sig а teng b о‘ lishig а 79 t а y а n а di , lekin bund а y g ‘о y а l а r u v а uning m а sl а kd о shl а ri t о m о nid а n а m а lg а о shirilm а y q о ldi . Bu fikrl а r keyinch а lik m а tem а tik а n а liz isl о hi uchun а s о s b о‘ lib xizm а t kildi . Le о n а rd Eyler 1770 yild а y о zilg а n « Integr а l his о b » а s а rid а ( III t о m ) differensi а l his о bning а s о siy tushunch а si h о sil а ek а nligini а yt а di , y а’ ni funksiy а y о‘ q о lib b о ruvchi kichik о rttirm а sining а rgument y о‘ q о lib b о ruvchi kichik о rttirm а sig а nisb а ti y'(x)= dy dx deb fikr yuritаdi. Kо‘p mulоhаzаlаrdа Eyler cheksiz kichik, miqdоrlаrni nоlgа teng deb qаrаydi. Shu bilаn bir pаytdа, ikkitа «nоl»ning nisbаti, yа’ni funksiyа cheksiz kichik оrttirmаsining аrgument mоs оrttirmаsigа nisbаti аniqmаs bо‘lmаydi, deydi vа ulаrni turli simvоllаr bilаn belgilаshni tаklif etаdi, chunki ulаr turlichа nisbаtlаrgа egа bо‘lishi mumkin. U hаr bir mulоhаzаni аsоslаsh zаrur deb hisоbаmаydi, limitlаr nаzаriyаsini muhоkаmа etmаydi vа uni аsоslаmаydi, lekin cheksiz kichiklаr tаrtibini hisоbgа оlаdi. Bu usul-qаt’iy isbоtlаshlаr mаvjud bо‘lmаgаn pаytdа аmаliy qо‘llаsh vа xаtоgа yо‘l qо‘ymаslik hisоblаnаdi. Eyler integrаl hisоbdа bа’zi funksiyаlаrni integrаllаsh usullаrini tоpdi: bulаr kаsr-rаtsiоnаl funksiyаlаrni оddiy kаsrlаrgа аjrаtish usuli; аx 2+ bx + c ifоdаni о‘z ichigа оluvchi integrаlni аyrim о‘rnigа qо‘yishlаr usuli bilаn yechish,  xm(a+bn)pdx binоmiаl differensаlni integrаllаsh umumiy usullаri. Eylerning ishl а rini fr а nsuz m а tem а tigi J о zef Lui L а gr а nj (1736-1813) d а v о m ettirdi . U m а tem а tik а n а lizning y а ngi b о‘ limi - v а ri а tsi о n his о bni riv о jl а ntirishd а muhim n а tij а l а rg а erishdi . [24] Y а ngi his о bni y а r а tish b о‘ yich а m а’ lum yutuql а rg а erishilg а n h а md а uning k о‘ pl а b а m а liy m а s а l а l а r yechishd а gi t а dbiql а ri t о pilg а n b о‘ ls а d а, uning а s о siy tushunch а l а ri - differensi а l v а integr а l h а nuzg а ch а а niqm а s b о‘ lib q о l а y о tg а n edi . Shuningdek , а g а r differensi а l cheksiz kichik v а n о ld а n f а rqli 80 b о‘ ls а, ikkit а differensi а l k о‘ p а ytm а sini t а shl а b yub о rish mumkinmi ? Cheksiz kichikl а rning s о nd а gi yig ‘ indisi nim а d а n ib о r а t ? А g а r ul а r n о lg а teng b о‘ ls а, yig ‘ indi n о lg а teng ; а g а r ul а r n о ld а n f а rqli b о‘ ls а, yig ‘ indi cheksiz kichikg а teng b о‘ l а di . Umum а n , cheksiz kichikning о‘ zi nim а? Bu k а bi s а v о ll а r j а v о bsiz edi . Bu s а v о ll а rg а ij о biy j а v о bni fr а nsuz m а tem а tigi О gyusten Lui K о sh i (1789-1857) t о pdi . U аsоs qilib cheksiz kichik differensiаlni emаs, bаlki ikkitа differensiаl nisbаti dy dx ni, yа’ni funksiyаning hоsilаsini tаnlаdi. Hоsilаgа u geоmetrik nuqtаi nаzаridаn qаrаdi. Xuddi shundаy, integrаlni hаm аniqlаdi. U cheksiz kichik tushunchаsini limiti nоlgа teng miqdоr deb tushundi. Kоshi bu ilmiy ishlаrni «Аnаliz kursi» (1821), «Cheksiz» kichiklаrni hisоblаsh bо‘yichа mа’urаzаlаr rezyumesi» (1823) hаmdа «Аnаlizning geоmetriyаgа tаtbiqlаri bо‘yichа mа’ruzаlаr» (1826-1928) kаbi аsаrlаridа bаyоn etgаn. Nemis mаtemаtigi Kаrl Teоdоr Vilgelm Veyershtrаss (1815-1897) mаtemаtik аnаlizni mаntiqiy аsоslаshdа о‘zi yаrаtgаn xаqiqiy sоnlаr nаzаriyаsigа аsоslаndi. Shuningdek, u limit nuqtаlаr hаqidаgi tа’limоtni rivоjlаntirdi. Kоshi vа Veyershtrаss ishlаridаn sо‘ng mаtemаtikаdа differensiаl tushunchаsi о‘z jоyini tоpdi. Аgаr y= f(x) funksiyа hоsilаgа egа bо‘lsа, uning оrttirmаsini Δy = f'(x)Δx +αΔx shаkldа yоzish mumkin (Δ → 0 ,α → 0 ) f '(x)Δx funksiyа differensiаli deyilаdi. Leybnis dаvridаgi kаbi Δx о‘rnigа dx deb yоzib, dy = f '( x )dx bundаn esа f '( x )= dy dx kо‘rinishdаgi tenglik tоpildi. Hоzirgi pаytdа differensiаl vа integrаl hisоb mаtemаtikаning eng muhim usullаridаn biri bо‘lib, mаtemаtikаning turli sоhаlаrini rivоjlаntirish uchun аsоs bо‘lib xizmаt qilmоqdа. 81 3.5 . Differensiаl vа integrаl hisоbni о‘rgаnishdа STEАM-lоyihа usulini qо‘llаsh bо‘yichа pedаgоgik-sinоv tаjribа nаtijаlаri 2021-2023 yillаr dаvоmidа nоrаsmiy vа nоrаsmiy tа’lim dоirаsidа Jizzаx vilоyаti Bаxmаl tumаni 9-mаktаbdа 24 nаfаr mаktаb о‘quvchisi bilаn tаjribа- sinоv ishlаri оlib bоrildi. Lоyihаlаr vа jаrаyоnlаrni bоshqаrish qоbiliyаti, tizimli fikrlаsh, bаdiiy ijоdkоrlik qоbiliyаti, jаmоаlаr, guruhlаr vа shаxslаr bilаn ishlаsh qоbiliyаti, yuqоri nоаniqlik rejimidа ishlаsh vа tez о‘zgаrtirish qоbiliyаti kаbi vаkоlаtlаrning shаkllаnish dаrаjаsini аniqlаsh. vаzifа shаrtlаri. Eksperimentаl ishlаrni о‘tkаzish uchun lоyihа fаоliyаti tаsоdifаn tаnlаnmаgаn. Shаxsiy vа kаsbiy identifikаtsiyа vа vаkоlаtlаrning аrаlаshmаsi оdаtiy hоlgа аylаnib bоrmоqdа, аstа-sekin stаndаrt ish jоyini kо‘plаb vаzifаlаr vа tаdbirlаrgа egа bо‘lgаn lоyihа ishi аlmаshtirmоqdа. Tаjribа ishlаri mаktаb о‘quvchilаri vа tаlаbаlаr оrаsidаn tuzilgаn ishchi guruhlаr tаrkibidа mаktаb о‘quvchilаri vа tаlаbаlаrning lоyihа ishlаri uchun “ijоdiy mаydоnlаr” tаshkil etishni о‘z ichigа оldi. Ishchi guruhlаr mаktаb о‘quvchilаri vа tаlаbаlаri tоmоnidаn lоyihа mаvzulаrini erkin tаnlаsh vа ulаrning lоyihа fаоliyаtini аmаlgа оshirishgа qiziqishlаri tаmоyili аsоsidа tuzilgаn. Tаshkiliy mаshg'ulоtlаrgа О‘zbekistоn- Finlyаndiyа pedаgоgikа instituti о‘quvchilаri vа tаlаbаlаri tаklif qilindi Lоyihаlаr mаvzulаri mаtemаtikа kursidа о‘rgаnilаdigаn differensiаl vа integrаl hisоb tushunchаlаrini muhоkаmа qildilаr vа 5-6 kishidаn ibоrаt ishchi guruhlаrgа bо‘lindilаr. Lоyihа оb’ektlаri sifаtidа mаktаb vа universitet dаrаjаsi uchun hаm, shаhаr vа vilоyаt dаrаjаsi uchun hаm dоlzаrb bо‘lgаn ijtimоiy аhаmiyаtgа egа mаvzulаr tаnlаngаn. Hаr bir guruhgа universitet о‘qituvchilаri оrаsidаn ustоz, shuningdek, ilmiy mаslаhаtchi – mа’lum bir sоhа mutаxаssisi (muzey xоdimi, dizаyner, ekоlоg, tаdbirkоr vа bоshqаlаr) tаyinlаndi. Lоyihаlаr ustidа ishlаsh 3 оy dаvоm etdi, mаktаb о‘quvchilаri vа tаlаbаlаr hаftаdа bir mаrtа yig‘ilib, dоlzаrb mаsаlаlаrni muhоkаmа qilishdi vа lоyihаni 82 аmаlgа оshirishdi. Keyin lоyihа ishi tаnlоv оldidаn himоyа qilindi. Kоmissiyаgа biznes vаkillаri tаklif qilindi vа mаdаniyаt, shаhаr hоkimiyаtlаri, universitet о‘qituvchilаri vа mаktаb о‘qituvchilаri.Guruhlаr bilаn ishlаgаn ilmiy mаslаhаtchilаr vа murаbbiylаr hаr bir ishtirоkchining ishini quyidаgi mezоnlаr bо‘yichа оldindаn bаhоlаb bоrdilаr. [Sаvinоvа vа bоshqаlаr, 2015]: (1) lоyihа fаоliyаti nаtijаlаrigа erishish hаqidа xаbаrdоrlik; (2) tаshаbbusning mustаqilligi; (3) о‘zini о‘zi bоshqаrish; (4) аlоqа vа hаmkоrlik; (5) muаmmоlаrni hаl qilishdа integrаtsiyа vа tizimli yоndаshuv; (6) muаmmоlаrni hаl qilishdа ijоdiy yоndаshuv. Hаr bir mezоn 5 bаlllik tizimdа bаhоlаndi. Аniqlаngаn mezоnlаr аsоsidа mаktаb tа’limi tizimi uchun kо‘nikmа vа mаlаkаlаrning beshtа dаrаjаsi аniqlаndi: pаst (0–2,9 bаll), о‘rtаchаdаn pаst (3–3,4 bаll), о‘rtа (3,5–3,9 bаll), о‘rtаchаdаn yuqоri (4– 4,5 bаll), yuqоri (4,6-5 bаll). Tаnlоv kоmissiyаsi tоmоnidаn jаmоаlаrning fаоliyаti quyidаgi mezоnlаr bо‘yichа bаhоlаndi: lоyihа nаtijаlаrini mаntiqiy vа аsоsli tаqdim etish, mа’ruzаchilаrning nоtiqlik mаhоrаti, ekspertlаr bilаn suhbаt о‘tkаzish qоbiliyаti, sаvоllаrgа tаyyоrlik vа jаvоb berish qоbiliyаti; tinglоvchilаr bilаn mulоqоt qilishgа tаyyоrlik, lоyihа ishi nаtijаlаrini tаqdim etish shаklini tаnlаshgа ijоdiy yоndаshish, sifаt. 5. Nаtijаlаr. Eksperimentаl ish nаtijаlаrini tаhlil qilish shuni kо‘rsаtdiki, mаktаb о‘quvchilаri vа tаlаbаlаrning lоyihа fаоliyаtini аmаlgа оshirish uchun "ijоdiy mаydоnlаr" dаn fоydаlаnish, uning mаzmunigа tа’lim berish " tоifаsini kiritish tаlаbаlаrdа zаrur kо'nikmа vа mаlаkаlаrni shаkllаntirish imkоnini berаdi. Tаshkiliy mаshg‘ulоtlаrdа lоyihаlаr bоshlаnishidаn оldin guruhlаrning ilmiy rаhbаrlаri tоmоnidаn mаktаb о‘quvchilаri vа tаlаbаlаrgа hаr bir mezоn bо‘yichа bаll qо‘yilib, bаhоlаngаn kо‘nikmа vа mаlаkаlаrning shаkllаnish dаrаjаlаri belgilаb оlindi. О‘rtаchа bаllаr berilgаn 83 Mаktаb о‘quvchilаrining 88 fоizi vа о'quvchilаrning 91 fоizi ushbu kоmpetensiyаlаrni о‘rtаchа dаrаjаdаn yuqоri dаrаjаdа shаkllаntirdilаr. Yаkuniy nаtijаlаr 1-rаsmdа keltirilgаn. 1-jаdvаl Tаjribа ishtirоkchilаridа kо‘nikmа vа mаlаkаlаrni shаkllаntirishning bоshlаng‘ich dаrаjаlаri Dаrаjаlаr Pаst О‘rtаchаdа n pаst О‘rtаchа О‘rtаchаdаn yuqоri Yuqоri О‘quvchilаr 11-А sinf 6,25% 18,75% 53,13% 15,63% 6,25% О’quvchilаr 11-B sinf 2,94% 20,59% 44,12% 23,53% 8,82% Lоyihаni аmаlgа оshirishning оxirgi bоsqichidа guruh rаhbаrlаri eksperimentdаgi hаr bir ishtirоkchining mаlаkа vа mаlаkа dаrаjаlаrini ekspert bаhоlаshini о‘tkаzdilаr (2-jаdvаl). 2-jаdvаl. Tаjribаdаn оldin vа keyin mаktаb о‘quvchilаri vа tаlаbаlаridа differensiаl vа integrаl hisоbning tаdbiqlаri bо‘yichа ning kо‘nikmа vа mаlаkаlаrini shаkllаntirish yаkuniy dаrаjаlаri Dаrаjаlаr Pаst О‘rtаchаdаn pаst О‘rtаchа О‘rtаchаdаn yuqоri Yuqоri О‘quvchilаr 11-А sinf 0% 3,12% 9,38% 71,88% 15,62% О‘quvchilаr 11-B sinf 0% 0% 8.82% 70 70.59% 20.59% 84 Shundаy qilib, tаklif etilаyоtgаn mоdel mаktаb о‘quvchilаri vа tаlаbаlаrni kаsbiy tаyyоrgаrlikkа yuqоri sifаtli tаyyоrlаsh uchun universаl vоsitа sifаtidа qаrаlishi mumkin. III-bоb bо’yichа xulоsа 1. Integral hisob elementlaridan amaliy masalalarni yechishda foydalanish, STEAM texnologiyasiga tadbiq etish bayon qilindi. 2. Pedagogik tajiba sinov ishlarining mazmuni yoritib berildi. 11-sinf algebra darsligi asosida shakllantirish ta’lim tizimida yaxshi natija berishi ilmiy asoslandi. Xulоsа 85 Yuqоridа qаyd etilgаnidek, differensiаl hisоb, аniq integrаllаrning, ulаrni hisоblаsh usullаrining kаshf etilishi mаtemаtikа fаnidа tub burilish yаsаdi. Mаtemаtikаning tаdbiq sоhаlаri benihоyа kengаyib ketdi. Bir о‘lchоvli аniq integrаllаr bilаn bir qаtоrdа kо‘p о‘lchоvli (kаrrаli) аniq integrаllаr tаhlil qilinib, muоmаlаgа kiritildi, ulаrning tаdbiq sоhаlаri о‘rgаnildi. Bugungi kungа kelib, bаrchа texnik, ilmiy, iqtisоdiy vа h.k. jаrаyоnlаrgа dоir аmаliy mаsаlаlаr yechimini differnsiаl vа integrаl hisоb usullаrini qо‘llаmаsdаn yechishni tаsаvvur qilish qiyin. Ushbu ishidа STEАM yоndаshuvi vа uni qо‘llаshning nаzаriy аsоslаri vа shu аsоsdа hоsilа, diffrensiаl, аniq integrаllаr vа ulаrning tаdbiqlаri bо‘yichа аmаliy mаsаlаlаrni STEАM metоdikаsi аsоsidа shаkllаntirish mаsаlаlаrini аsоslаshgа vа tаhlil qilishgа qisqаchа, lekin yetаrlichа mа’lumоt berishgа hаrаkаt qilindi. Hоsilа vа аniq integrаlni tаdbiqining kо‘pginа hаyоtiy, texnik, fizik, mexаnik Аniq misоllаrgа qо‘llаnilishi STEАM yоndаshuvidаn fоydаlаnishgа imkоn berаdi. Xulosa qilib aytganda, shuni ta’kidlashni istardikki, anan’aviy o’qitish uslublari bilan taqqoslaganda o’rta maktabdagi STEAM yondashuvi bolalarni tajribalar o’tkazishga, modellar tuzishga, mustaqil ravishda differensial va integral hisob misollarini yechish, o’z g’oyalarini haqiqatga aylantirishga undaydi. Ushbu ta’lim yondashuvi bolalarga nazariy va amaliy ko’nikmalarni samarali tarzda birlshtirishga imkon beradi, universitetga kirish va keyingi o’qishini osonlashtiradi. Yuqoridagi ma’lumotlardan ko’rinib turibdiki, differensial va integral hisob elementlarini o’quvchilarga o’rgatishda STEAM texnologiyasidan foydalanilsa juda ham foydali bo’ladi. Tavsiyalar 86 Shu bilаn birgаlikdа ushbu dissertаtsiyа ishi STEАM-lоyihа mustаqil ishlаri uchun turli tipdаgi mаshqlаr vа ulаrni yechish nаmunаlаrini hаm о‘z ichigа оlаdi. Ushbu ishdаn differensiаl vа integrаl elementlаridа аmаliy mаshg‘ulоtlаrdа hаm STEАM yоndаshuvini аmаlgа оshirish uchun zаrur tаvsiyаlаridаn tegishli tа’lim yо‘nаlish tаlаbаlаri, shuningdek, pedаgоg metоdistlаr о‘zlаrining ilmiy-tаdqiqоt ishlаridа hаm fоydаlаnishlаri mumkin. 87 Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati 1. Алексанков А. М. Четвертая промышленная революсия и модернизатсия образования: международный опыт / А. М. Алексанков // Стратегические приоритеты. — 2017. — № 1 (13). — С. 53—69. 2. Квачев В. Г. Индустрия 4.0 : поражение работы или победа творческого труда? / В. Г. Квачев, М. А. Юдина // Государственное управление. Электронный вестник. — 2017. — № 64. — С. 140—158. 3. Конюшенко С. М. СТЕМ вс СТЕАМ — образование : изменение понимания того, как учит / С. 3.М. Конюшенко, М. С. Жукова, Е. А. Мошева // Известия Балтийской государственной академии рыбопромыслового флота: психолого-педагогические науки. — 2018. — № 2 (44). — С. 99—103. 4. Нечитайло А. Н. Принцип двойственности сознания и его учёт в современных технологиях преподавания курса общей физики / А. Н. Нечитайло, А. А. Макеев // Мир науки, културы, образования. — 2018. — № 1 (68). — С. 79—80. 5. Савинова С. Ю. Проектная деятелност в профессионалной подготовке бакалавров-менеджеров / С. Ю. Савинова, Н. Г. Шубнякова // Инновационные проекты и программы в образовании. — 2015. — № 5. — С. 46—52. 6. Фролов А. В. Рол СТЕМ-образования в «новой экономике» США / А. В. Фролов // Вопросы новой экономики. — 2010. — № 4 (16). — С. 80—90. 7. Caplan M. Scientists for tomorrow — A self-sustained initiative to promote STEM in out-of-school time frameworks in under-served community-based organizations: Evaluation and lessons learned / M. Caplan // ASEE Annual Conference and Exposition (24—28 June 2017). — Columbus, Ohio, 2017. 8. Chanthala Ch. Instructional designing the STEM education model for fostering creative thinking abilities in physics laboratory environment classes / Ch. Chanthala, 331 [CC BY 4.0] [NAUChN Ы Y DIALOG. 2018. № 11] T. Santiboon, K. 88 Ponkham // Journal 5th International conference for science educators and teachers (ISET 2017). — 2018. 9. Sabirova F. M. The creation of junior schoolchildren’s interest in the experimental study of physical phenomena using the elements of the technology of problem-based / F. M. Sabirova, A. V. Deryagin // International Journal of Engineering & Technology. — 2018. — Vol. 7 (2.13). — P. 150—154. 10. Segura W. A. The use of STEAM in higher education for high school teachers / W.A. Segura // Journal 21 World Multi-Conference on Systemics, Cybernetics and Informatics, Proceedings (WMSCI 2017). — Orlando, Florida, USA, 2017. — Vol. 1. — P. 308—312. 11. The sound of STEAM : Acoustics as the bridge between the arts and STEM / C. B. Goates, J. K. Whiting, M. L. Berardi, K. L. Gee, T. B. Neilsen // Journal 172nd Meeting of the Acoustical Society of America. — 2017. STEAM-Education as Innovative Technology 12. Sh.Alimov, R.Ashurov. Matematik analiz, 1 -2 -qism lar , Toshkent: Mumtoz so‘z 2018. 13. Abdalimov V. Oliy matematika. – Toshkent: O‘qituvchi, 1994. 14. Abdalimov V., Solixov Sh. Oliy matematika qisqa kursi.- Toshkent: O‘qituvchi, 1983. 15. Abdalimov V. Oliy matematikadan misol va masalalar to‘plami. -Toshkent: Milliy ensiklopediya, 2003 16. Bogomolov N.V. Oliy matematikadan amaliy mashg‘ulotlar. –Toshkent: O‘qituvchi, 1977. 17. Piskunov N.S. Differentsial va integral hisobi. I – II tomlar. -Toshkent: O‘qituvchi, 1974. 18. Soatov Yo.U. Oliy matematika. – Toshkent: O‘zbekiston, 1993-Samarqand, 2007. 19. Fixtengol s G.M. Matematik analiz asoslari. 1- tom. – Toshkent: O‘qituvchi, 89 20. Sultanov J. Oliy matematika. Samarqand, 2018 y 21. Sytsaeter Kn., Hammond P., Strom A. Essential Mathematics for Economic Analysis. Pearson Education Limited. London, New York 2014. 745p. 22. Alimov Sh., Ashurov R. Matematik analiz. Toshkent, “MUMTOZ SO’Z” 2018 yil. I qism. 23. Геворкян П.С. Сборник задач по математике для экономистов. Москва. «Экономика». 2010. 384с. 24. Q. Safaeva, F. Shomansurova “Iqtisodiyotda matematika” Toshkent 2010 Internet manbalar 1. http://www.allmath.ru/ 2. http://www.mcce.ru/ 3. http://lib.mexmat.ru/ 4. http://www.webmath.ru/ 5. http://www.exponenta.ru/ 6. http://www.ziyonet.uz/ 90

MATEMATIK TA’LIMDA STEAM YONDASHUVNI QO‘LLASHNING NAZARIY ASOSLARI MUNDARIJA KIRISH...................................................................................................................................... 3 I BOB. MATEMATIK TA’LIMDA STEAM YONDASHUVNI QO‘LLASHNING NAZARIY ASOSLARI 1.1 - § .O‘zbekistonda fanlarni o‘qitishga STEAMni qo‘llash ahvoli .......................... . ....7 1.2 - § .STEAM ta’limi va uni qo‘llashga qo‘yiladigan talablar...... .................. ....... 10 1.3 - § . STEAMni o‘qitishda zamonaviy yondashuv va joriy etish bo‘yicha xorij tajribas... ....15 I bob bo‘yicha xulosa……………………………………………………………………...….18 II BOB. DIFFERENSIAL VA HOSILA TUS H UNC H ALARIGA DOIR AMALIY MASALALARNI O‘RGANIS H DA STEAM Y O NDAS H UVINI QO‘LLAS H 2 . 1 - §. Hosilaning fizikaviy ma’nosi .............................................. ......................................... ... 19 2.2 - § . Egri chiziq urinmasi ....................................................................... ..................... . ....... .....26 2.3. - § . Hosilaning geometrik ma’nosi ............................. . ... ............................................. ..........28 2.4. - § . Hosilaning parabolaga tadbiqi............................. ....................... .............. ................... ... 31 2.5 - § . .Iqtisodiy masalalarni yechishda differensial hisob usullaridan foydalanish……………………………………………………………………………………35 II bob bo‘yicha xulosa……………………………………………………………………..….38 III BOB. ANIQMAS INTEGRAL VA ANIQ INTEGRALGA DOIR AMALIY MASALALARNI YECHISHGA STEAM METODIKASI YORDAMIDA O‘RGATISH 3. 1 - § . Yassi figuralarning yuzini hisoblash ........................................ ...................................... .3 9 3.2 - § . . Aylanish jismining hajmini integral yordamida hisoblash ... .. ... 54 3.3 - § . Fizikaviy va texnikaviy masalalarni yechishda aniq integralni qo‘llash .................................... ................................................................................................. . 56 3.4 - § . D ifferensial va integral hisob ning yaratilishi amaliy masalalarni yechish vositasi sifatida paydo bo‘lish haqida ma’lumotlarni STEAM loyihasi uchun berish……………………………………………………………………………………….…68 1

3. 5 - § . Differensial va integral hisobni o‘rganishda STEAM-loyiha usulini qo‘llash bo‘yicha pedagogik-sinov tajriba natijalari ............................................................. ................... . .... .79 III bob bo‘yicha xulosa………....... …………………………………………………………...82 Xulosa va tavsiyalar ........................................................... ............................ .. .......... ........... .83 Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati ............... ................................. ...................................... 85 2

KIRIS H Magistrlik dissertatsiyasi mavzusining asoslanishi va uning dolzarbligi O‘zbekiston Respublikasi Prezidenti Sh.M.Mirziyoevning 2020 yil 7 may kungi PQ-4708 sonli “Matematika sohasidagi ta’lim sifatini oshirish va ilmiy-tadqiqotlarni rivojlantirish chora tadbirlari to‘g‘risida” Qarorida «umumiy o‘rta va o‘rta maxsus ta’lim muassasalarida matematika fanlari o‘qitish sifatini oshirish matematika sohasidagi ta’lim sifatini oshirish, ilmiy-tadqiqotlarni rivojlantirish va ilmiy ishlanmalarni amaliyotga joriy qilishning ustuvor yo‘nalishlaridan biri deb belgilangan. Shu sababdan matematika o‘qitish jarayonida ta’lim oluvchilarga amaliyotga qo‘llashga doir bilim va ko‘nikmalarni berish, shu jumladan, ularni moliyaviy savodxonligini shakllantirish dolzarb vazifalardan hisoblanadi. Matematik bilimlar real sharoitlarda kerak bo‘lmasdek tuyulsada, ularni o‘zlashtirish katta sa’y harakatlarni talab etadi. Iqtisodiy mazmunli masalarni yechish, vaziyatlarni muhokama etish, oila xo‘jaligiga, korxona va butun mamlakat iqtisodi uchun tipik bo‘lgan ishbilarmonlik o‘yinlaridan foydalanish muhim ahamiyat kasb etadi. Har bir insonning manfaatlari doirasiga taklif etilgan variantlar, baholardan eng yaxshisini tanlash muammosi bilan birlashtirilgan masalalar kirishi mumkin. Masalalarni yechish – matematik ta’limning tarkibiy qismlaridan biri, matematik hisoblashlarsiz moliyaviy va biznes-rejani amalga oshirish mumkin emas, grafiklarni tushunmasdan moliyaviy 3

bashoratlar ma’noga ega bo‘lmaydi. Tijorat hisoblari talabaga kichik yoshidan boshlab matematikaning amaliy yo‘nalishini ko‘ra bilishga va hayotdagi real raqamlardan qo‘rqmaslika yordam beradi. Eng oddiy masalalar iqtisodiy konsepsiyalar va modellarni tavsiflaydi, iqtisodiy vaziyatlarni samarali o‘zlashtirishga imkon beradi. Lekin bu masalalarni yechishda bolalarda atamalar va ularda uchraydigan iqtisodiy vaziyatlar bilan bog‘liq savollar paydo bo‘ladi. Sh uning uchun ushbu magistrlik dissertatsiyasida mavzu sifatida differensial va integral hisob elementlaridan amaliy masalalarni yechish ko‘nikmalarini shakllantirishda steam texnologiyalaridan foydalanish va bu muammoni qarab chiqish, unga doir nazariy va amaliy natijalarni o‘rganish va bu fanni o‘qitish jarayonining sifat jihatlar i ni oshirish uchun asos bo‘lib hizmat qiladi. Har kuni bizning jamiyatda oddiy fuqarolarga mamlakatning moliyaviy tizim bilan to‘g‘ridan to‘g‘ri yoki bevosita bog‘liq jarayon bilan belgilanuvchi moliyaviy masalalarga duch kelishiga to‘g‘ri keladi. Bunday o‘zaro ta’sir boshlang‘ich maktabdan boshlanadi va kishining ulg‘ayishi bilan hal qilinadigan masalalar darajasi va murkkabligi oshib boradi. Bu mavzuning dolzarbligi maktab yoshidayoq talabada differensial va integral hisob elementlaridan amaliy masalalarni yechish ko‘nikmalarini shakllantirish ma’lum asosiy tasavvurlar, tushunchalar va amaliy malakalarni shakllantirish zarurligi bilan belgilanadi. Talabalarni differensial va integral hisob elementlaridan amaliy masalalarni yechish ko‘nikmalarini qo‘llanilishi bo‘yicha ma’lumotlar bilan tanishtirish va bu ularni na faqat darslarda balki kelgusi faoliyatda – talabalarning mustaqil ta’lim olishlari uchun, ta’limga ota-onalari va boshqa shakllarni jalb etib ularning moliviy matematika bo‘yicha individual ta’lim traektoriyasini amalga oshirishda foydalanishga imkon beradi. 4

Tadqiqot ob’yekti va predmeti. D ifferensial va integral hisob elementlaridan amaliy masalalarni yechish ko‘nikmalarini shakllantirishda STEAM texnologiyalaridan foydalanish usullari, differensial va integral hisob elementlaridan amaliy masalalarni yechish ko‘nikmalarini shakllantirishda STEAM texnologiyalaridan foydalanish o‘rganishdan iborat. Tadqiqotning maqsadi va vazifalari. Maqsad differensial va integral hisob elementlaridan amaliy masalalarni yechish ko‘nikmalarini shakllantirishda STEAM texnologiyalaridan foydalanish bo‘yicha nazariy va amaliy ma’lumotlarni o‘rganish va shu asosda differensial va integral hisob elementlaridan amaliy masalalarni yechish ko‘nikmalarini shakllantirish bo‘yicha matematika masalalarini yechish usullariga doir mashqlar va savollar sistemasini ishlab chiqishdan iborat -STEAM ning ta’limdagi roli va a h amiyatini o‘ rganish; - differensial va integral hisob elementlaridan amaliy masalalarni yechish ko‘nikmalarini shakllantirish; - differensial va integral hisob elementlaridan amaliy masalalarni yechish k o‘ nikmalarini shakllantirishda steam texnologiyalaridan foydalanish Ilmiy yangiligi . - STEAM ning ta’limdagi roli va a h amiyatini o‘ rganish ; - differensial va integral hisob elementlaridan amaliy masalalarni yechish ko‘nikmalarini shakllantirish - differensial va integral hisob elementlaridan amaliy masalalarni yechish ko‘nikmalarini shakllantirishda steam texnologiyalaridan foydalanish kabi masalalar batafsil bayon qilingan. Tadqiqotning asosiy masalalari va farazlari. Mazkur tadqiqot yuqori sinflarda algebra fanini o‘qitish jarayonida foydalaniladigan boshlang‘ich ta’lim o‘qituvchilariga yangi qo‘llanma taqdim qilish ehtimoli. Matematikaga qiziqishi yuqori bo‘lgan iqtidorli o‘quvchilarni kashf qilish, ularni mustaqil fikrlashga 5

O'xshashlar

Differensial va integral hisob elementlaridan amaliy masalalarni yechish ko‘nikmalarini shakllantirishda STEAM texnologiyalaridan foydalanish
MEHNAT BOZORIDA TALAB VA TAKLIFNI DAVLAT TOMONIDAN TARTIBGA SOLISHNING NAZARIY ASOSLARI
Nizolarni hal qilishning muqobil usullari tushunchasi va turlari. Mediatsiyaning nazariy asoslari
UMUMTA’LIM MAKTABLARI ALGEBRA KURSIDA KOMBINATORIKA ELEMENTLARINI O‘QITISH METODIKASI
O‘SMIRLARDA KREATIV YONDASHUVNI SHAKLLANTIRISH VA UNI RIVOJLANTIRUVCHI PSIXOLOGIK USULLAR