logo

MATEMATIK TA’LIMDA STEAM YONDASHUVNI QO‘LLASHNING NAZARIY ASOSLARI

Yuklangan vaqt:

12.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

1033.6396484375 KB
MATEMATIK TA’LIMDA STEAM YONDASHUVNI   QO‘LLASHNING  NAZARIY
ASOSLARI  
MUNDARIJA
KIRISH...................................................................................................................................... 3
I  BOB. MATEMATIK TA’LIMDA STEAM YONDASHUVNI   QO‘LLASHNING  
NAZARIY ASOSLARI
1.1 - § .O‘zbekistonda fanlarni o‘qitishga STEAMni       qo‘llash
ahvoli  .......................... . ....7
1.2 - § .STEAM ta’limi va uni qo‘llashga qo‘yiladigan talablar...... .................. ....... 10
1.3 - § . STEAMni o‘qitishda zamonaviy yondashuv va joriy etish bo‘yicha  xorij tajribas... ....15
I bob bo‘yicha xulosa……………………………………………………………………...….18
II  BOB. DIFFERENSIAL VA HOSILA  TUS H UNC H ALARIGA DOIR AMALIY 
MASALALARNI O‘RGANIS H DA STEAM Y O NDAS H UVINI QO‘LLAS H
2 . 1 - §.   Hosilaning     fizikaviy
ma’nosi .............................................. ......................................... ... 19
2.2   - § . Egri   chiziq
urinmasi ....................................................................... ..................... . ....... .....26
2.3.   - § . Hosilaning   geometrik
ma’nosi ............................. . ... ............................................. ..........28
2.4.  - § . Hosilaning   parabolaga tadbiqi............................. ....................... .............. ................... ... 31
2.5 - § . .Iqtisodiy   masalalarni   yechishda   differensial   hisob   usullaridan
foydalanish……………………………………………………………………………………35
II bob bo‘yicha xulosa……………………………………………………………………..….38
III  BOB. ANIQMAS INTEGRAL VA ANIQ INTEGRALGA DOIR AMALIY 
MASALALARNI YECHISHGA  STEAM METODIKASI YORDAMIDA  O‘RGATISH
3. 1 - § . Yassi figuralarning yuzini  hisoblash ........................................ ...................................... .3 9
3.2 - § . . Aylanish jismining hajmini integral yordamida
hisoblash ... .. ... 54
3.3 - § . Fizikaviy   va   texnikaviy     masalalarni     yechishda     aniq   integralni
qo‘llash .................................... ................................................................................................. . 56
3.4 - § .   D ifferensial   va   integral   hisob ning   yaratilishi   amaliy   masalalarni   yechish     vositasi
sifatida   paydo   bo‘lish   haqida   ma’lumotlarni   STEAM   loyihasi   uchun
berish……………………………………………………………………………………….…68
1 3. 5 - § .   Differensial   va   integral   hisobni   o‘rganishda   STEAM-loyiha   usulini   qo‘llash   bo‘yicha
pedagogik-sinov tajriba natijalari ............................................................. ................... . .... .79
III   bob   bo‘yicha   xulosa……….......
…………………………………………………………...82
Xulosa   va tavsiyalar ........................................................... ............................ .. .......... ........... .83
Foydalanilgan   adabiyotlar   ro‘yxati ............... ................................. ......................................
85
2 KIRIS H
     Magistrlik dissertatsiyasi mavzusining asoslanishi va uning dolzarbligi
O‘zbekiston   Respublikasi     Prezidenti   Sh.M.Mirziyoevning   2020
yil   7   may   kungi     PQ-4708   sonli   “Matematika   sohasidagi   ta’lim
sifatini oshirish va ilmiy-tadqiqotlarni rivojlantirish chora tadbirlari
to‘g‘risida”   Qarorida   «umumiy   o‘rta     va   o‘rta   maxsus   ta’lim
muassasalarida   matematika   fanlari   o‘qitish   sifatini   oshirish
matematika sohasidagi ta’lim sifatini oshirish,    ilmiy-tadqiqotlarni
rivojlantirish   va     ilmiy   ishlanmalarni   amaliyotga   joriy   qilishning
ustuvor   yo‘nalishlaridan   biri   deb   belgilangan.     Shu     sababdan
matematika   o‘qitish   jarayonida     ta’lim   oluvchilarga   amaliyotga
qo‘llashga doir bilim va ko‘nikmalarni berish, shu jumladan,  ularni
moliyaviy   savodxonligini   shakllantirish   dolzarb   vazifalardan
hisoblanadi. 
Matematik   bilimlar   real   sharoitlarda     kerak   bo‘lmasdek
tuyulsada,   ularni   o‘zlashtirish   katta   sa’y   harakatlarni   talab   etadi.
Iqtisodiy mazmunli masalarni yechish, vaziyatlarni muhokama etish,
oila   xo‘jaligiga,     korxona   va   butun   mamlakat   iqtisodi   uchun   tipik
bo‘lgan   ishbilarmonlik   o‘yinlaridan   foydalanish     muhim   ahamiyat
kasb   etadi.   Har   bir   insonning   manfaatlari   doirasiga   taklif   etilgan
variantlar,   baholardan   eng   yaxshisini     tanlash   muammosi   bilan
birlashtirilgan masalalar kirishi mumkin.
  Masalalarni yechish – matematik ta’limning tarkibiy qismlaridan
biri,   matematik   hisoblashlarsiz   moliyaviy   va   biznes-rejani   amalga
oshirish   mumkin   emas,   grafiklarni   tushunmasdan   moliyaviy
3 bashoratlar  ma’noga  ega  bo‘lmaydi.  Tijorat  hisoblari  talabaga  kichik
yoshidan boshlab   matematikaning amaliy yo‘nalishini ko‘ra bilishga
va   hayotdagi     real   raqamlardan   qo‘rqmaslika   yordam   beradi.     Eng
oddiy   masalalar   iqtisodiy   konsepsiyalar   va     modellarni   tavsiflaydi,
iqtisodiy vaziyatlarni samarali o‘zlashtirishga imkon beradi. Lekin bu
masalalarni   yechishda   bolalarda   atamalar   va   ularda   uchraydigan
iqtisodiy vaziyatlar bilan bog‘liq savollar paydo bo‘ladi. 
  Sh uning   uchun   ushbu   magistrlik   dissertatsiyasida   mavzu   sifatida
differensial   va   integral   hisob   elementlaridan   amaliy   masalalarni   yechish
ko‘nikmalarini   shakllantirishda   steam   texnologiyalaridan   foydalanish     va   bu
muammoni  qarab  chiqish,  unga doir   nazariy va  amaliy  natijalarni   o‘rganish  va
bu fanni   o‘qitish jarayonining sifat jihatlar i ni oshirish uchun asos bo‘lib hizmat
qiladi. 
Har   kuni   bizning   jamiyatda   oddiy   fuqarolarga     mamlakatning   moliyaviy
tizim bilan to‘g‘ridan to‘g‘ri yoki   bevosita   bog‘liq jarayon bilan belgilanuvchi
moliyaviy   masalalarga   duch   kelishiga   to‘g‘ri   keladi.   Bunday   o‘zaro   ta’sir
boshlang‘ich maktabdan boshlanadi va kishining ulg‘ayishi bilan hal qilinadigan
masalalar darajasi va murkkabligi oshib boradi.  
Bu   mavzuning   dolzarbligi   maktab   yoshidayoq   talabada   differensial   va
integral   hisob   elementlaridan   amaliy   masalalarni   yechish   ko‘nikmalarini
shakllantirish   ma’lum   asosiy   tasavvurlar,   tushunchalar   va   amaliy   malakalarni
shakllantirish zarurligi bilan belgilanadi. 
Talabalarni   differensial   va   integral   hisob   elementlaridan   amaliy
masalalarni   yechish   ko‘nikmalarini   qo‘llanilishi     bo‘yicha   ma’lumotlar   bilan
tanishtirish   va   bu   ularni   na   faqat   darslarda   balki     kelgusi   faoliyatda   –
talabalarning   mustaqil   ta’lim   olishlari   uchun,   ta’limga   ota-onalari   va   boshqa
shakllarni   jalb   etib   ularning   moliviy   matematika   bo‘yicha   individual   ta’lim
traektoriyasini amalga oshirishda foydalanishga imkon beradi. 
4 Tadqiqot   ob’yekti   va   predmeti.   D ifferensial   va   integral   hisob
elementlaridan   amaliy   masalalarni   yechish   ko‘nikmalarini   shakllantirishda
STEAM   texnologiyalaridan   foydalanish   usullari,   differensial   va   integral   hisob
elementlaridan   amaliy   masalalarni   yechish   ko‘nikmalarini   shakllantirishda
STEAM   texnologiyalaridan   foydalanish    o‘rganishdan iborat.     
 
Tadqiqotning   maqsadi   va   vazifalari.   Maqsad     differensial   va   integral
hisob elementlaridan amaliy masalalarni yechish ko‘nikmalarini shakllantirishda
STEAM   texnologiyalaridan   foydalanish   bo‘yicha   nazariy   va   amaliy
ma’lumotlarni   o‘rganish     va   shu   asosda   differensial   va   integral   hisob
elementlaridan   amaliy   masalalarni   yechish   ko‘nikmalarini   shakllantirish
bo‘yicha   matematika   masalalarini   yechish   usullariga   doir   mashqlar   va   savollar
sistemasini ishlab chiqishdan iborat
-STEAM ning ta’limdagi roli va a h amiyatini  o‘ rganish;
-   differensial va integral hisob elementlaridan amaliy masalalarni yechish
ko‘nikmalarini shakllantirish;
-       differensial va integral hisob elementlaridan amaliy masalalarni yechish
k o‘ nikmalarini shakllantirishda steam texnologiyalaridan foydalanish
Ilmiy yangiligi . 
- STEAM   ning   ta’limdagi   roli   va   a h amiyatini   o‘ rganish ;
- differensial   va integral   hisob  elementlaridan  amaliy  masalalarni   yechish
ko‘nikmalarini shakllantirish
-   differensial   va   integral   hisob   elementlaridan   amaliy   masalalarni   yechish
ko‘nikmalarini   shakllantirishda   steam   texnologiyalaridan   foydalanish   kabi
masalalar batafsil bayon qilingan.
Tadqiqotning   asosiy   masalalari   va   farazlari.   Mazkur   tadqiqot   yuqori
sinflarda algebra fanini o‘qitish jarayonida foydalaniladigan boshlang‘ich ta’lim
o‘qituvchilariga yangi qo‘llanma taqdim qilish ehtimoli. Matematikaga qiziqishi
yuqori   bo‘lgan   iqtidorli   o‘quvchilarni   kashf   qilish,   ularni   mustaqil   fikrlashga
5 o‘rgatish,   hamda   differinsial   masalalarini   yechish   bo‘yicha   ko‘nikmalarini
shakllantirish. 
Tadqiqot   mavzusi   bo‘yicha   adabiyotlar   sharhi   (tahlili) .   Aleksankov   A .   M .
[1],    Konyushenko   S .  M .[3],    Nechitaylo   A .  N . [4]/   Frolov   A .  V .[6], Caplan M.
[7],     Chanthala   Ch.[8],   Segura   W.   A   [10]     hamda     matematik   analiz   bo‘yicha
Alimov Sh.A.  [12],   Abdalimov V . [5]  Piskunov N.S.  [17],   Soatov Yo.U. [18],
Fixtengol s   G.M. [19],     Sultanov J. [20]       va h.k. olimlar tomonidan o‘rganilgan
bu  nazariya     bo‘yicha   va  ularning   tadbiqlari   nazariy  va   amaliy   jihatdan     ochib
berilgan,   lekin   ularni   o‘zbek   tilida   va   sistemali   bayon   qilinishi,   differensial   va
integral   hisob   elementlaridan   amaliy   masalalarni   yechish   ko‘nikmalarini
shakllantirishda   STEAM   texnologiyalaridan   foydalanish     yetarlicha   bayon
etilmagan.
 
Tadqiqot   natijalarining   nazariy   va   amaliy   ahamiyati .   Dissertasiya
nazariy   va   amaliy     xarakterga   ega.     Dissertasiyaning   usul   va   natijalari
differensial   va   integral   hisob   elementlaridan   amaliy   masalalarni   yechish
k o‘ nikmalarini shakllantirishda   STEAM   texnologiyalaridan foydalanish   nazariy
va   amaliy   jihatlarini     o‘rganishda   va   ularning   yechishda   qo‘llaniladigan   ba’zi
klassik   masalalarni   umumlashtirish   nazariyasiga   ma’lum   hissa   qo‘shadi.
Dissertasiya   natijalari     matematika     nazariyasi   va     aktuar   matematikada   ,
xususan   .   matematik   analiz   kursi   qo‘llanishi   bo‘yicha     ilmiy   tadqiqotlarda
qo‘llanilishga ega. 
Ish tuzilmasining tavsifi .   Ish kirish,   3   ta bob, 13 ta   paragrafdan, xulosa
va   foydalanilgan   adabiyotlar   ro‘yxatidan   iborat.   Ishning   hajmi     87     betdan
iborat.
      Ishda     differensial   va   integral   hisob   elementlaridan   amaliy   masalalarni
yechish   k o‘ nikmalarini   shakllantirishda   STEAM   texnologiyalaridan   foydalanish
nazariy va amaliy jihatlarini     o‘rganishda va ularning yechishda qo‘llaniladigan
ba’zi klassik masalalarni umumlashtirish  masalalar batafsil bayon qilingan .
6 I  BOB. MATEMATIK TA’LIMDA STEAM Y O NDAS H UVNI
QO‘LLAS H NING NAZARIY ASOSLARI
1.1 -§ . O‘zbekistonda  fanlarni o‘qitish d a STEAM ni qo‘llash ahvoli
Ta’lim   va   fan   sohasini   rivojlantirish   davlat   siyosati   ma’no-mazmunidan
va   uning   dolzarbligidan   kelib   chiqib,   uni   quyidagicha   izohlash   mumkin:
birinchidan,   yangi   ta’lim   tizimi,   barkamol   avlod   kadrlarini   tayyorlashdagi
o‘zgarishlar   va   yangicha   yondashuvlar,   zamonaviy   kasb   sohalarining   paydo
bo‘lgani   hamda   uning   mamlakatimiz   sharoiti   bilan   bog‘liqligidir;   ikkinchidan,
ta’lim   tushunchasi   ijtimoiy-iqtisodiy   taraqqiyot   natijasida   muayyan   davrdan
boshlab,   inson   faoliyatining   alohida   mustaqil   sohasiga   aylanib,   jamiyatning
ijtimoiy   tajribasini   keying   bosqichga   uzatadi;   uchinchidan,   ta’lim   inson
shaxsining   intellektual-ma’naviy   qirralarini   shakllantirish,   uning   jamiyat   ishlab
chiqarishi   va   ijtimoiy,   siyosiy,   madaniy,   ma’rifiy   hayotida   faol   va
muvaffaqiyatli   ishtirokini   ta’minlashga   qaratilgan   harakatlar   yig‘indisi   bo‘lib,
ma’rifat hamda bilim berishni anglatadi; to‘rtinchidan, fan jamiyatning ijtimoiy
institutlaridan  biri  bo‘lib,  tabiat   va jamiyat   hayotini  aks  ettiruvchi  ijtimoiy ong
shakli.   U   katta   ilmiy   salohiyatini,   ijodiy   kuch   quvvatini   birlashtirib,   an’naviy
barkamol   insonni   tarbiyalashga,   mamlakatda   qudratli   ilmiy   salohiyatni
yaratishga xizmat qiladi. [1]
Respublikamiz taraqqiyoti ko‘p jihatdan yosh avlodni yuksak ma’naviyat
va  intellektual   salohiyat   egasi  qilib  tarbiyalashga   bog‘liq  bo‘lib,  shu   jumladan,
7 ta’lim   sohasini   isloh   qilish   va   rivojlantirishga   alohida   e’tibor   qaratildi.
O‘zbekiston   Respublikasi   Prezidentining   “Xalq   ta’limini   boshqarish   tizimini
takomillashtirish   bo‘yicha   qo‘shimcha   chora-tadbirlar   to‘g‘risida”,   O‘zbekiston
Respublikasi   Prezidentining   “Zamonaviy   maktab”   Davlat   dasturini   tasdiqlash
to‘g‘risida"gi   qarori   loyihasi   kiritilishi   natijasida,   ekologik   jihatdan   toza
materiallar   va   energiyaning   muqobil   manbalaridan   foydalangan   holda   ishlab
chiqilgan   namunaviy   loyihalar   asosida   zamonaviy   maktablar   qurish;
maktablarni,   shu   jumladan,   o‘quv   sinflarini   yangi   qulay   mebellar,   zamonaviy
o‘quv   va   laboratoriya   jihozlari,   darsliklar   va   o‘quv-uslubiy   materiallar,
kompyuter   va   mul’timedia   texnikasi,   videokuzatuv   tizimlari   bilan   jihozlash;
o‘quv   rejalari   va   dasturlarini   optimallashtirish,   innovatsion,   shu   jumladan,
masofaviy   pedagogik   usullardan   keng   foydalanish,   ushbu   jarayonning
samaradorligini butunlay oshirishni nazarda tutadi. 
Shunga   ko‘ra,   Respublikamizning   har   bir   hududlarida   iqtidorli   yoshlarni
aniqlash   maqsadida   Prezident   maktablari   ochildi.   Ular   STEAM   fanlarini
o‘qitishga   ixtisoslashtirildi   [1,2].   STEAM-maktab   o‘quvchilarini   zamonaviy
o‘qitish   metodikasi   bo‘lib,   an’anaviy   o‘qitish   tizimiga   muqobil   tizimdir.   U
bolalarni   bir   vaqtning   o‘zida   Science   (tabiiy   fanlar),   Technogiy   (texnologiya),
Enjenering   (muhandislik),   Art   (san’at)   va   Mathematics   (matematika)   bo‘yicha
o‘qitish   tizimiga   asoslangan,   bunda   o‘quvchilar   amaliy   va   qiziqarli   loyihalar
asosida   saboq   oladilar.   STEAM   atamasi   birinchi   bo‘lib,   AQShda   maktab
dasturiga   kiritilgan   bo‘lib,   o‘quvchilarning   ilmiy   texnika   yo‘nalishlarida
kompetensiyalarini   rivojlantirishga   qaratilgan   “bo‘lib,   bu   yo‘nalish
kengaytirilib,   atamaga   qo‘shimcha   harflar   kiritildi.   Jumladan:   “R”-
robotisrobototechnikani   qo‘shib,   STREM-   deb   yoki   “A”-art   –san’atni   qo‘shib,
STEAM   deb   atala   boshlandi[3].   STEAM   (S   -   sistema ,   T   -   texnologiya,   Е   -
muhandislik,  A  -   san’at,  M   -  matematika)  -   ilm-fan,  texnologiya,  muhandislik,
san’at va matematikani birlashtiruvchi zamonaviy yondashuvdir. 
Bugungi   davr   talabi   dunyo   ta’limi   oldiga   katta   vazifalarni   qo‘ymoqda,
ya’ni   yosh   avlodni   kelajakda   jamiyatda   yashashga   tayyorlashi   lozim.   Bunda
8 birinchi   navbatda   tez   o‘zgarayotgan,   yangilanib   borayotgan   axborotlar   bilan
uyg‘un holda faol ishlaydigan kasb egalari timsolini bugungi o‘quvchi yoshlarda
shakllantirish   lozim.   Axborotni   olish,   qayta   ishlash   va   amaliyotda   foydalanish
STEAM   ta’limi   dasturining   asosini   tashkil   etadi.   STEAM   ta’limi   o‘quvchi
yoshlarning rivojlanishini tashqi olam bilan bevosita bog‘laydi. Ma’lumki, tabiiy
fanlar   atrofimizdagi   olam   bilan   bevosita   bog‘liq   texnologiya   kundalik
hayotimizda   doimiy   ravishda   qo‘llaniladi,   muhandislik   esa   uylar,   yo‘llar,
ko‘priklar va mashina mexanizmlarda o‘z aksini topgan, biror bir kasb, kundalik
mag‘ulotlarimiz   ozmi-ko‘pmi   matematika   fani   bilan   ham   bog‘langandir.
STEAM   ta’limi   bir   so‘z   bilan   aytganda   bir   necha   fanni   birlashtiruvchi,
o‘quvchilarni   nostandart   muammolarni   hal   qilish   va   ularning   orasidagi
vazifalarni   taqsimlashni   safarbar   etish   qobiliyatini,   nuqtai   nazarini   himoya
qilish, tajriba va tavakkal qilish, tashabbusiga imkon beruvchi va kelajakda kasb
tanlashga bo‘lgan shaxsiy fazilatlarini tarbiyalovchi vositadir.   [3]
9 1.2 -§.  STEAM ta’limi va  uni qo‘llashga qo‘yiladigan talablar
STEAM   ta’limi .   O‘zbekiston   Respublikasi   Prezidentining   2018   yil   5
sentyabrdagi   “Xalq   ta’limi   tizimiga   boshqaruvning   yangi   tamoyillarini   joriy
etish   chora-tadbirlari   to‘g‘risida”gi   PQ-3931-sonli   qarori   bilan   tasdiqlangan
“2018-2021   yillarda   O‘zbekiston   Respublikasi   xalq   ta’limi   tizimini   yanada
takomillashtirish   bo‘yicha   chora-tadbirlar   dasturi”ning   2-   bo‘lim,   11-bandida   –
umumiy   o‘rta   ta’limning   yangi   davlat   ta’lim   standartlari   va   o‘quv   dasturlarini
takomillashtirish va shu  bilan birga STEAM  (fan, texnologiya, muhandislik  va
matematika)   ta’limini   bosqichma-bosqich   amaliyotga   joriy   etish   belgilab
berilgan.   Mazkur   vazifalarni   bajarish   uchun,   avvalo,   ta’lim   ishtirokchilari   –
pedagoglar,   metodistlar,   o‘quvchilar,   ota-onalar   va   boshqalar   STEAM   ta’limi
yo‘nalishida   o‘tkaziladigan   xalqaro   tadqiqotlar   haqida   ma’lumotlarni   bilishi
hamda   ularni   amaliyotda   qo‘llash   uchun   malakalarga   ega   bo‘lishlari   zarur
bo‘ladi. Hozirgi vaqtda texnologik inqilob ro‘y bermoqda. Yuqori texnologiyali
mahsulotlar   va   innovatsion   texnologiyalar   zamonaviy   jamiyatning   ajralmas
qismiga aylanmoqda. Zamonaviy maktablarda robot dizayni, modellashtirish va
dizayn loyihalashtirish ishlari yetakchi o‘rinni egallamoqda. 
Mamlakatimizning   raqobatbardoshligini   oshirish   uchun   ko‘proq   texnik
ta’lim talab etilayotganligi dolzarb muammolardan hisoblanadi. Bugungi kunda
STEAM   ta’limi   jamiyat   va   davlatning   rivojiga   katta   hissa   qo‘shadigan   yuqori
malakali mutaxassislarni  tayyorlash imkonini  bermoqda. Ma’lumki, zamonaviy
10 ta’lim   tizimi,   an’anaviy   ta’limdan   farqli   o‘laroq,   amaliyotda   o‘rganilayotgan
ilmiy-nazariy   va   metodik   uslubni   kundalik   hayotda   qanday   qo‘llash
mumkinligini   ko‘rsatishga   imkon   beradigan   aralash   muhit   hisoblanadi.
Matematika va fizika bilan bir qatorda o‘quvchilar robototexnika va dasturlashni
o‘rganadilar. Bu jarayonda o‘quvchilar aniq va tabiiy fanlardan olgan bilimlarini
amaliyotdagi natijasini shaxsan ko‘rib turadilar. [6,7]
STEAM ta’limining muhimligi shundaki, zamonaviy   fan sohasida ta’lim
sifatining   pastligi,   moddiy-texnika   bazaning   yetarli   darajada   emasligi,
o‘qituvchilar   va   o‘quvchilarning   sust   motivatsiyasi   –   bularning   barchasi   ta’lim
tizimining   eng   katta   muammosidir.   Shu   bilan   birga,   bosqichma-bosqich
rivojlanib   borayotgan   davlatimiz   yuqori   texnologiyalar   sohasidagi   fanlarning
turli   xil   ta’lim   yo‘nalishlari   bo‘yicha   yuqori   malakali   mutaxassislarni
tayyorlashni talab qiladi.    Shu munosabat bilan, bugungi kunda STE A M ta’limi
birinchi   o‘rinda   turadi.   Bu   esa   kelajakda   texnologik   jarayonni   rivojlantirish   va
mamlakatimizda ilmiy va muhandislik kadrlarga bo‘lgan ehtiyojni qoplanishiga
yordam   beradi.   Bugungi   davr   talabi   dunyo   ta’limi   oldiga   katta   vazifani
qo‘ymoqda.   Bu   esa   o‘quvchilarni   jamiyatda   yashashga   tayyorlay   olishi   kerak.
Bunda   birinchi   navbatda   tez   o‘zgarayotgan   axborot   bilan   ishlaydigan   kasblar
bilan   bog‘liq   xususiyatlarni   o‘quvchida   shakllantirish   lozim.   Axborotni   olish,
qayta   ishlash   va   amaliyotda   foydalanish   STEAM   ta’limi   dasturining   asosini
tashkil qiladi. STEAM ta’limi texnologiyasi loyihalash metodiga tayangan holda
uning   asosida   bilish   va   ijodiy   izlanish   yotadi.   Bunday   izlanish   amaliy   faoliyat
jarayonida   bilimlarni   olish,   ulardan   amaliyotda   qayta   foydalanish,   ya’ni
o‘yinlarda   turli   konstruksiyalar   tuzish,   texnik   ijodiyot   elementlarini   qo‘llab,
bilim   olishga   oid   tadqiqot   ishlarida   amalga   oshiriladi.   STEAM   ta’limi
o‘quvchining   rivojlanishini   tashqi   olam   bilan   bevosita   bog‘laydi.   Ma’lumki,
texn o logiya   fani   kundalik   hayotimizda   doimiy   qo‘llaniladi,   muhandislik   esa
uylar, yo‘llar, ko‘priklar va mashina mexanizmlarda o‘z aksini topgan biror bir
kasb,   kundalik   mashg‘ulotlarimiz   ozmi-ko‘pmi   matematik   hisob   kitoblar   bilan
bog‘langandir. 
11 STEAM   ta’limiy   yondashuvi   o‘quvchilarga   dunyoni   tizimli   ravishda
o‘rganishga, atrofda ro‘y berayotgan jarayonlarni mantiqiy mushohada qilishga,
ulardagi o‘zaro aloqani anglab yetishga, o‘zi uchun yangi, noodatiy va qiziqarli
narsalarni ochishga imkon beradi. Qandaydir yangilikni kutish orqali o‘quvchida
qiziquvchanlikni   rivojlantiradi.   O‘zi   uchun   qiziqarli   masalani   aniqlab   olishni,
uning   yechimini   topishning   algoritmini   ishlab   chiqishni,   natijalarini   tanqidiy
baholashni, fikrlashni muhandislik stilini shakllantirishga olib keladi. Jamoaviy
faoliyat   olib   borish   ko‘nikmalarini   shakllantiradi.   Bularning   barchasi   o‘quvchi
rivojlanishining   yuqori   bosqichga   ko‘tarilishini   va   kelajakda   to‘g‘ri   kasb
tanlashga   zamin   yaratadi.   Shunga   ko‘ra   dunyoning   ko‘pgina   mamlakatlarida
STEAM ta’limiy yondashuvga katta e’tibor berilmoqda. Jumladan, Yevropaning
10  dan  ortiq  mamlakatlari  (Avstriya,  Germaniya,  Fransiya,  Italiya,  Gollandiya,
Norvegiya,   Angliya,   Irlandiya,   Ispaniya   va   boshqalar)   milliy   strategiya   va
tashabbuslarida bu hisobga olingan.  [3,5]
STEAM   ta’limni   amalga   oshirish   uchun   davlat   ta’lim   standartlariga
o‘zgartirishlar kiritish lozim. Masalan, bunda AQSh tajribasidan ijodiy ravishda
foydalanish mumkin. 
Talim   berishni   o‘quv   fanlari   bo‘yicha   emas,   balki   “mavzular”
bo‘yicha   integratsiyalab   olib   borish .   STEAM   ta’limida   fanlararo   aloqa   va
loyihalash   metodi   birlashtirilgan   bo‘lib,   uning   asosida   tabiiy   fanlarni
texnologiyaga,   muxandislik   ijodiyotiga   va   matematikaga   integratsiya   qilish
yotadi. Bunda muhandislik bilan bog‘liq kasblarga bo‘lgan tayyorgarlik amalga
oshiriladi. 
  Ilmiy   texnik   bilimlarni   real   hayotda   qo‘llash .   STEAM   ta’limida
amaliy   mashg‘ulotlar   yordamida,   bolalarga   ilmiy-texnik   bilimlardan   real
hayotda   foydalanish   namoyish   qilinadi.   Har   bir   darsda   o‘quvchilar   zamonaviy
loyihalashga oid modellarni ishlab chiqadi, quradi va modelni takomillashtiradi.
Ular aniq loyihani o‘rganadi, natijada real mahsulotning prototipini yaratadilar.
Masalan,   o‘quvchilar   harakatlanuvchi   sodda   robotni   yasashda   muhandislik
12 kasbi,   muhandislik   dizayni,   elektrotexnik,   konstruktor,   loyihalash,   texnologik
jarayon, texnologik xarita kabi tushunchalar bilan tanishadilar.
Tanqidiy   tafakkur   ko‘nikmalarini   rivojlantirish   va   muammolarni
yechish.   STEAM   dasturi,   o‘quvchilar   kundalik   hayotlarida   duch   keladigan
qiyinchiliklarni   yengishda   zarur   bo‘ladigan   tanqidiy   taffakur   va   muammolarni
yechish   ko‘nikmalarini   rivojlantiradi.   Masalan,   o‘quvchilar   tez   yuradigan
mashina   modelini   yig‘adilar,   so‘ngra   uni   sinovdan   o‘tkazadilar.   Birinchi
sinovdan so‘ng kutilgan natijaga erishilmasa, uning sabablari haqida o‘ylaydi va
topadilar.
O‘z kuchiga ishonch hissini ortishi . O‘quvchilar robototexnika, mashina
va   samolyot   modelini   ishga   tushirish   va   boshqa   ishlarni   bajarishda   oldilariga
qo‘ygan   maqsadlariga   e rishish   uchun  harakat   qiladilar.   Har   bir   sinovdan   so‘ng
modelni   takomillashtirib   boradilar.   Oxirida   barcha   muammolarni   o‘z   kuchlari
bilan   yengib,   o‘ylagan   maqsadlariga   erishadilar.   Bu   o‘quvchilar   uchun
ruhlanish,   g‘alaba   va   quvonch   demakdir.   Har   bir   g‘alabadan   so‘ng   ular   o‘z
kuchlariga yanada ishonadilar. 
  Faol   kommunikatsiya   va   jamoada   ishlash .   STE A M   dasturi   faol
kommunikatsiya   va   jamoada   ishlash   bilan   farqlanadi.   Muloq o t   davrida   o‘z
fikrlarini bayon qilish va bahs-munozara olib borish uchun erkin muhit vujudga
keltiriladi.   Ular   gapirishga   va   taqdimot   o‘tkazishga   o‘rganadilar.   O‘quvchilar
doimo o‘qituvchi va sinfdoshlari bilan muloqotda bo‘ladilar. O‘quvchilar har bir
ish jarayonda faol qatnashsalar, mashg‘ulotni yaxshi eslab qoladilar. 
Texnik   fanlarga   bo‘lgan   qiziqishlarini   rivojlantirish .   Maktab
matematika   ta’lim i da   STE A M   ta’limining   vazifasi,   o‘quvchilarni   texnologiya
faniga   bo‘lgan   qiziqishlarini   rivojlantirishdan   iborat   bo‘lib,   bajaradigan   ishini
sevib   bajarish,   qiziqishlarini   rivojlantirish   uchun   asos   bo‘lib   xizmat   qiladi.
STE A M mashg‘ulotlari juda dinamik va qiziqarli bo‘lsa o‘quvchilar mashg‘ulot
vaqtida zerikishmaydi va darsdan unumli foydalanadilar. 
Loyihalarga   kreativ   va   inn o vatsion   yondashuv .   STE A M   ta’limi   oltita
bosqichdan iborat: savol (vazifa), muhokama, dizayn, qurish, sinovdan o‘tkazish
13 va   rivojlantirish.   Bu   bosqichlar   tizimli   loyihalash   yondashuvining   asosi
hisoblanadi.   Turli   imkoniyatlarning   birgalikda   mavjud   bo‘lishi   yoki   birgalikda
ishlatilishi o‘z navbatida kreativlik va innovatsiyaning asosi bo‘lib hisoblanadi.
Shunday   qilib,   fan   va   texnologiyaning   birgalikda   o‘rganilishi   ko‘pgina   yangi
innovatsion loyihalarni yaratishga olib keladi. 
Ta’lim   va   karera   orasidagi   ko‘prik .   Turli   xil   baholashlarga   ko‘ra
hozirgi   kunda   talabgor   eng   ko‘p   bo‘lgan   10   ta   mutaxassisdan   9   tasiga   aynan
STE A M   bilimlari   zarur   bo‘ladi.   Bunday   kasblarga:   muhandis-kimyogar;   neft
bo‘yicha   muhandislar;   kompyuter   tizimlari   analitiklari;   muhandis-mexaniklar;
muhandis-quruvchilar; robototexniklar va boshqalar kiradi. 
O‘quvchilarning   texnologik   innovatsion   hayotga   tayyorlash .   STEAM
ta’limi bolalarni texnologik rivojlangan dunyoda yashashga tayyorlaydi. Keyingi
60 yil davomida texnologiyalar jadal darajada rivojlandi ,   Internetning  yaratilishi
(1960) ,   GPS   texnologiyalar (1978)dan DNKni skanerlashgacha va albatta Ipod
(2001)   kashf  etilishi . Barcha  hozirda  Iphone  va  boshqa  smartfonlarni  ishlatadi.
Texnologiyalarsiz   hozirgi   kunda   dunyoni   tassavur   qilib   bo‘lmaydi.
Texnologiyalar   bundan   keyin   ham   rivojlanishda   davom   etadi   va   STEAM
ko‘nikmalarb bu rivojlanishning asosi bo‘ladi. [8,10]
STEAM   ni   maktab   dasturlariga   qo‘shimcha   sifatida   kiritish.   STEAM
dasturlari   7-14   yoshdagi   o‘quvchilarning   muttasil   ravishda   o‘tkaziladigan
mashg‘ulotlarga   qiziqishlarini   orttiradi.   Masalan,   fizika   darslarida   yerning
tortishish   kuchi   o‘rganilganda   doskada   formulalarni   yozish   tushuntirilsa,
matematika   darslarida   differensial   va   integral   hisob   usullarini   amaliy
masalalarni hal qilishga qo‘llash,   STEAM to‘garaklarida raketalar, samolyotlar,
elektr o texnik   ishlari,   robototexnika,   xalq   hunarmandchiligi   va   boshqa   amaliy
ishlarni   bajarish da   ham   matematik   tushuncha   va   geometrik   yasashlarni   tadbiq
etish   orqali o‘z bilimlarini mustahkamlaydilar. 
14 1.3 -§. STEAMni o‘qitishda zamonaviy yondashuv va joriy etish
bo‘yicha xorij tajribasi
STEAM   orqali   o‘quvchilar   bu   fanlarni,   jumladan   matematikani,   boshqa
fanlar   bilan     uyg‘unlashgan   holda,   ular   orasidagi   bog‘lanishlar   va   amaliy
yondashuvga asoslangan holda o‘rganadilar. Boshqacha qilib aytganda, STEAM
-   fanlararo   integratsiya   yondashuvga   asoslangan   o‘qituvchi   va   o‘quvchining
hamkorlikdagi   faoliyati.   Bu   jarayonda   o‘quvchi   va   o‘qituvchi   ijodiy   fikr
yuritadi.
Bu nazariya va amaliyotni birlashtirishning mantiqiy natijasidir. STEAM
yondashuvi   dastlab   AQShda   ishlab   chiqilgan.   Ba’zi   maktablar   o‘zlarining
bitiruvchilarining   kareralarini   rivojlantirishga   e’tibor   berishdi   va   fan ,
texnologiya,   muhandislik   va   matematika   kabi   fanlarni   birlashtirishga   qaror
qilishdi ,   ya’ni   STEM   ni   tashkil   etildi.   (Tabiiy   fanlar,   texnika,   muhandislik   va
matematika). Keyinchalik unga Art (san’at) qo‘shildi  va STEAM tashkil etildi.
STEAM   yondashuvining   eng   mashhur   namunasi   Massachusets   Texnologiyalar
Instituti (MIT)da ishlab chiqilgan. Bu mashhur universitetining shiori “Mind and
hand”   –   “Aql   va   qo‘l”   dir.   Massachusets   Texnologiya   instituti   STEAM
15 kurslarini   ishlab   chiqdi   va   hatto   ba’zi   o‘quv   yurtlarida   STEAM   ta’lim
markazlari yaratildi.
STEAM yondashuvining asosiy g‘oyasi: amaliyotning nazariy bilim kabi
juda   muhim   ekanligi   hisoblanadi,     ya’ni,   o‘rganish   vaqtida   biz   nafaqat   miya,
balki   qo‘llarimiz   bilan   ham   ishlashimiz   kerak.   Dars   vaqtida   bilim   olish   tez
o‘zgaruvchan   dunyo  bilan   mos  kelmaydi.  STEAM   yondashuvi  bilan  an’anaviy
yondashuv o‘rtasidagi   asosiy farq , o‘quvchilar fanlar bo‘yicha   turli mavzularni
muvaffaqiyatli o‘rganishi uchun ularning ongi va qo‘llarini baravar ishlatishidir.
Ular bilimlarni o‘zlari uchun “o‘zlari” o‘rganadilar.[9]
Iqtidor   (aql,   intellekt)   nima?   Aql-idrok   -   maqsadga   eng   samarali   tarzda
erishish   mumkin   bo‘lgan,   ya’ni   vaqt   va   resurslarni   kam   sarflash   bilan   erishish
mumkin bo‘lgan bilishni tashkil etish qobiliyati. Maktab o‘quvchilarining aqliy
rivojlanishi va mazmuniga zamonaviy nuqtai nazar kognitiv tuzilmalar haqidagi
nazariy   g‘oyalar   bilan   chambarchas   bog‘liq   bo‘lib,   u   orqali   inson   atrof   muhit
haqida   xulosa   chiqaradi,   o‘zlashtiriladigan   barcha   yangi   taassurot   va
ma’lumotlarni   tahlil   va   sintez   qiladi.   Ular   qanchalik   rivojlangan   bo‘lsa,
ma’lumot   olish,   tahlil   qilish   va   sintezlash   imkoniyati   shunchalik   yaxshi
tushunadi , idrok etadi.
STEAM yondashuvi nafaqat o‘rganish metodi, balki fikrlash usuli hamdir.
STEAM ta’lim muhitida bolalar bilimga ega bo‘lib, shu bilimdan foydalanishni
darhol   o‘rganadilar.   Shuning   uchun   ular   o‘sib,   haqiqiy   dunyoda   istalgan   hayot
muammosiga duch kelganda, bu xoh ifloslanish yoki iqlimning global o‘zgarishi
bo‘lsin,   bunday   murakkab   masalalarni   faqat   tur l i   fanlardan   olgan   bilimlarga
tayanish va birgalikda ishlash orqali hal qilish mumkinligini tushunadilar. Faqat
bitta fandan olingan bilimga tayanish yetarli bo‘lmay qoladi.
STEAM   yondashuvi   o‘rganish   va   ta’limga   bo‘lgan   munosabatimizni
o‘zgartiradi. O‘quvchilar amaliy ko‘nikmalarga e’tibor   qaratish orqali irodasini ,
ijodkorligini,   moslashuvchanligini   rivojlantiradi   va   boshqalar   bilan   hamkorlik
qilishni o‘rganadi. Ushbu ko‘nikmalar va bilimlar asosiy ta’lim   vazifasini tashkil
etadi , ya’ni ta’lim tizimining bosh maqsadi hisoblanadi. [11]
16 STEAM   o‘quvchilarda   quyidagi   muhim   xususiyatlar   va   ko‘nikmalarni
rivojlantirishga yordam beradi:
-  m uammoni keng qamrovli tushunish;
-   i   jodiy fikrlash    ;
-  m uhandislik yondashuvi;
-   t   anqidiy fikrlash    ;
-  i lmiy metodlarni tushunish va qo‘llash;
-  d izayn asoslarini tushunish.
Amaliyot   shuni   ko‘rsatadiki,   o‘quvchilar   yuqori   sinflarda   matematika
fanini   o‘rganish   jarayonida   darsda   o‘rgatiladigan   mavzularga   qiziqish
ko‘rsatadilar,   o‘qituvchining   savollarini   muhokama   qilishda   faol   ishtirok
etishadi. Biroq, vaqt o‘tgan sari matematikaga hali ham ishtiyoqli bo‘lganlar 1-2
gina o‘quvchi qoladi. O‘qituvchilarning ish uslublarining bir xilligi o‘quvchilar
orasida qiziqishning pasayishiga olib keladi.
STEAM ta’lim elementlarni joriy etish  bo‘yicha  xorij tajribasi . 
STEAM ta’lim elementlarini joriy etish bo‘yicha tadqiqotlar AQSh, Avstraliya, 
Janubiy Koreya, Kanada, Tailand va boshqa ko‘plab mamlakatlarda olib 
borilmoqda. STEAM ta’limini joriy etish tajribasini o‘rganish shuni 
ko‘rsatadiki, ularning xilma-xilligi yetarli va ular talabalarning ta’limning asosiy
bosqichlarida yanada kengayib boradi. 
  Natijalar   shuni   ko‘rsatadiki,   maktablarning   yuqori   sinf   o‘quvchilari   va
oliy o‘quv yurtlari talabalari tomonidan fizika-matematika fanlarini o‘rganishda
STEAM   texnologiyalaridan   foydalanishda   o‘quvchilarning   o‘quv   faoliyati   va
o‘zini o‘zi baholashi yaxshilanadi, shuningdek, ijodiy qobiliyatlar rivojlanadi.
Shunday   qilib,   STEAM   ta’limini   amalga   oshirish   ta’limning   barcha
darajalarida,   ko‘pincha   maktab     va   maktabdan   tashqari   tashkilotlarning   yaqin
o‘zaro ta’siri va hamkorligida amalga oshirilishi mumkin.
Loyihalar   usuli   STEAM   ta’limi   asosi   sifatida .   STEAM   o‘qituvchilari
loyihaga   asoslangan   o‘quv   dasturlarini   amalga   oshirishlari   mumkinligiga
17 ishonamiz.   STEAM   ta’limining   ajoyib   namunasi   maktab   o‘quvchilariga
"Matematika" fani doirasida texnologik ta’lim berishdir.
Ushbu fanni o‘rganishdan maqsad matematika bilan bog‘liq texnoferaning
tarkibiy   qismlari,   zamonaviy   ishlab   chiqarish   va   unda   keng   tarqalgan
texnologiyalar haqida tasavvur hosil qilishdir. Matematika bugungi kunda o‘quv
predmeti   sifatida   maktab   o‘quvchilarining   sharoitlarda   kasblarini   o‘zlari
belgilashiga   yordam   beradi,   mehnat   bozori,   ularni   loyihalash   va   tadqiqot,
loyihalash   va   ilmiy-texnik   faoliyatda   matematik   usullardan   foydalanishga
yo‘naltiradi.   "Matematika"   fanidan   talabalarning   o‘quv   va   kognitiv   faoliyati
tabiiy-ilmiy,  ilmiy-texnikaviy,  texnologik,  tadbirkorlik  va  gumanitar  bilimlarga
asoslanadi. Maktabda fundamental va amaliy fanlarning bunday keng doiradagi
materiallaridan   o‘z   maqsadlari   uchun   foydalanadigan   boshqa   fan   yo‘q.   Biroq
"Matematika" fanini  o‘rta maktab o‘quvchilariga o‘qitishda mantiqiy mulohaza
yuritish,   moliyaviy   matematika,   shuningdek,   analizning     boshlang‘ich
elementlarini   o‘rganish,   ularni   texnikada,   qurilishda   va   loyihalashda   turli
ekstremal masalalardan foydalanish  va ularni qo‘llashga doir loyihalarni amalga
oshirish   norasmiy   va   norasmiy   ta’lim   doirasida   amalga   oshiriladi,   bu   esa
ma’lum   bir   matematika   o‘qituvchilari   uchun   qiyinchilik   tug‘diradi,   shuning
uchun   STEAM   yondashuvini   ko‘proq   darslarda   amaliy   masalalarni   yechish
usullarini o‘rgatishga tadbiq etish yaxshi natijalar beradi. [2]
Ushbu metodikani  matematika  o‘qtish  jarayonida   amalga  oshirish   yo‘li
fanlararo ilmiy va ta’lim "ijodiy maydonlarni" yaratish va rivojlantirish bo‘lishi
mumkin, kelgusida  zamonaviy  texnik-matematik va  loyihalash  ishlari  bo‘yicha
maktab   o‘quvchilarining   samarali   fanlararo   ijodiy   ishlarni   bajarii   uchun   muhit
yaratishga   qaratishdan   iborat.   Bunda   o‘quvchilarni   internet     platformalarning
ahamiyati   yaqqol   ko‘zga   tashlanadi,   chunki   yoshlikdan   o‘quvchilarni   ilmiy,
ta’lim,   biznes   va   ishlab   chiqarish   muhitining   integratorlari   roliga
tayyorlanishlari,   ular   o‘z   hududida   turli   sohalarda   matematika   bo‘yicha   olgan
bilim   va   ko‘nikmalarini   uyg‘unlashtirishni   ta’minlaydi.   Bunday   "ijodiy
maydonlar"ni   yaratish   tajribasi   xorijiy   universitetlarda   mavjud   (masalan,
18 Finlyandiyaning   Alto   universiteti   qoshidagi   dizayn   fabrikasi,   FabLab   tarmog‘i
va   boshqalar)   va   ular   ta’lim   jarayonida   amalga   oshirilmoqda.   Bu   tajribadan
foydalanish   va   uni   yo‘lga   qo‘yish   o‘quvchilarni   STEAM     yondashuvi
imkoniyatlaridan   bir   fan   doirasida,   yoki   mavzu,   masalan,   analiz   asoslarining
differensial   va   integral   hisobning   amaliy   masalalarni   qo‘llashga   tadbiqlari
doirasida fanlararo integratsiya asosida, masalan, fizika, mexanika, geometriya,
astronomiya,   texnologiya   fanlarini   tushunchalarini   birgalikda   turli   hayotiy
masalalarni yechish jarayonida amalga oshirilishini   talab qiladi.
I bob bo‘yicha xulosa
1. STEAM texnologiyasining ta’lim tizimidagi roli va unga qo‘yiladigan 
talablar haqida ma’lumotlar keltirilib o‘tildi.
2. STEAM texnologiyasidan foydalanish, fanlararo integratsiyasini 
ta’minlash va xorij tajribasi keltirib o‘tildi.
II BOB. DIFFERENSIАL VА HOSILА  TUSHUNCHАLАRINI
O‘RGАNISHDА STEАM YONDАSHUVINI QO‘LLАSH
2 . 1-§.  Hosilаning  fizikаviy  mа’nosi
  Mа’lumki,   jismlаrninng   hаrаkаtlаri   ichidа   eng   soddа   hаrаkаt   bu,   to‘g’ri
chiziq   bo‘ylаb   tekis   hаrаkаtidir.   Bundаy   hаrаkаtlаrdа,   jism   o‘z   yo‘nаlishini
o‘zgаrtirmаy,   hаr   qаndаy   teng   vаqtlаr   orаlig’idа   bir   xil   uzunlikdаgi   yo‘llаrni
bosib o‘tаdi. Oddаtdа, trаnsport vositаlаri hаm bа’zi orаliqlаrdа tekis vа to‘g’ri
chiziqli hаrаkаt qilаdi.
Hаrаkаtdаgi jismning to‘g’ri chiziq bo‘ylаb tekis hаrаkаtidа vаqt birligidа
bosib o‘tgаn yo‘li, shu  hаrаkаtning tezligi   deyilаdi.
Odаtdа     biz     ko‘pinchа     notekis     hаrаkаtlаrgа   duch   kelаmiz.   Mаsаlаn,
biror   stаnsiyаdаn   jo‘nаyotgаn   poyezd   аvvаl   sekin-аstа   tezlаshа   borаdi.   U   o‘z
hаrаkаtining   ikkinchi   minutidа   birinchi   minutidаgidаn   ko‘p,   uchinchi   minutidа
esа  ikkinchi minutidаn ko‘proq yo‘l bosаdi vа hokаzo. Mа’lum tezlikkа erishib
19 olgаch, u yo‘lning qolgаn qismlаrining hаr bir minutdа bir xil uzunlikdаgi yo‘lni
bosib   o‘tаdi,   yа’ni   tekis   hаrаkаt   qilаdi.   Poyezd   belgilаngаn   joygа   yаqinlаshа
borgаch,   yа’nа   hаr   qаysi   minutdа   oldingisidаn   kаmroq   mаsofаni   o‘tib,   yа’ni
poezd   o‘z   tezligini   kаmаytirа   borаdi.   Xuddi   shundаy,   sаmolyot,   pаrаxod,
аvtomobil,   trаmvаy,   trollebus   vа   hаkаzolаtlаr   hаqidа   hаm   yuqoridаgi   fikrlаrni
аytish mumkin. [19]
Tekis   hаrаkаtdа       yo‘lning     hаr     qаndаy     qismidаgi     o‘rtаchа     tezlik
hаrаkаt   tezligi   bilаn   bir xil   bo‘lаdi.   O‘rtаchа   tezlik   odаtdа   poyezdlаrning
hаrаkаti  bilаn  xаrаkterlаnаdi. 
Mаsаlаn, Sаmаrqаnd - Toshkent Аfrosiyob tez yurаr ekspress poyezdi 276
kilometrli   yo‘lni 2 soаtu 15 minutdа (2.25 soаtdа)   bosib   o‘tаdi. Shungа ko‘rа
uning  o‘rtаchа  tezligi  v = 276
2.25 ≈ 123 km / soat
 gа teng.  Аmmo  bu  poyezd  hаr bir
soаtdа     123   km       mаsofаni     bosib     o‘tishini     bildirmаydi.   Chunki,   poyezd
hаrаkаtning     tezlik     olаyotgаn   birinchi   soаtidа   u   80-90   kilometr     mаsofаni
bosаdi.     Undаn     keyingi     soаtlаrdа     esа     o‘tilgаn     yo‘l     tаxminаn     120     km.ni
tаshkil     etаdi.     Shundаn   keyin   Аfrosiyob   tez   yurаr   ekspress   poyezdi   Toshkent
shаhаridа  to‘xtаydi.  Bu  to‘xtаshgа    to‘g’ri  kelgаn    soаtdа  hаm  yаnа  Аfrosiyob
poyezdi     80-90   kilometrdаn     hаm     kаm     mаsofаni     bosib     o‘tаdi.     Bulаrdаn
ko‘rinib   turibdiki,   o‘rtаchа   tezlik   notekis   hаrаkаtning   to‘lа   xаrаkteristikаsi
bo‘lа  olmаydi. 
Hаr   qаndаy    notekis    hаrаkаt    qilаyotgаn     jism     turlichа,  аmmo    miqdor
jihаtdаn  teng  bo‘lgаn  vаqt  orаliqlаridа  turli  uzunlikdаgi  mаsofаlаrni  o‘tishi
mumkin. Shuning uchun  notekis  hаrаkаtni  qаndаydir  vаqt  orаlig’idа  o‘tilgаn
yo‘l  uzunligi  bilаn  to‘lа  ifodаlаb  bo‘lmаydi, аmmo  notekis  hаrаkаt  mа’lum
vаqt  orаlig’idаgi  o‘rtаchа  tezlik  bilаn  xаrаkterlаnаdi.
Endi  jism  hаrаkаtining  bir  munchа  to‘lаroq  tаvsifini  ko‘rib o‘tаylik.
Differentsiаl     hisobgа   kirish     sifаtidа     tezlik   hаqidаgi     mаsаlаgа
to‘xtаlаmiz.   Bu   mаsаlа     differentsiаl     hisob     аsosiy     tushunchаsining     vujudgа
20 kelishi  bilаn  tаrixiy  bog’lаngаn  bo‘lib,  keyinroq  bu tushunchа  hosilа nomini
olаdi. 
Fаrаz     qilаylik,    biror     moddiy     nuqtа  t   vаqt   ichidа  	S   mаsofаni     bosib
o‘tgаn     bo‘lsin.   Mа’lumki,   u   holdа     yo‘l   formulаsi   quyidаgi   ko‘rinishdа
ifodаlаnаdi;
                                      	
2
2	gt	S	                     (1)
bu yerdа 	
)	81,9	(		g . 
Bizgа,   nuqtа  	
M   vаziyаtdа   bo‘lgаndа   hаrаkаtning
berilgаn 	
t  pаytdаgi 	v  tezligini  аniqlаsh tаlаb qilinsin.
O‘zgаruvchi  
t gа     birortа  	t orttirmа   berаmiz     vа     nuqtа  	1	M   vаziyаtdа
bo‘lgаndаgi 	
t	t		  pаytni (vаqtni) tekshirаmiz.  Mаsofаning 	t  vаqt  orаlig’idа
qаbul   qilgаn   orttirmаsini  	
S   (yа’ni  	S	MM		1 )   bilаn     belgilаymiz.   (1)
tenglikdаgi    	
t     o‘rnigа  	t	t		   ni     qo‘yib,   yo‘lning     yаngi   qiymаti   uchun
quyidаgi  ifodаgа  egа bo‘lаmiz. 	
	
2	
2	
t	t	g	S	S					
Bundаn 
		.	2	
2	
2	2	S	t	t	t	t	g	S							
S
  ning o‘rnigа   berilgаn   qiymаtini qo‘yаmiz (yа’ni (1) ni qo‘yаmiz), nаtijаdа
quyidаgi tenglikni hosil qilаmiz: 	
	.	2	
2	2	2	
2	
2	2	
2	2	2	2	t	t	t	g	tg	t	g	t	t	g	tg	S											
Endi   oxirgi   tenglikning   ikk а l а   tomonini   h а m  	
t gа   bo‘lib,   moddiy   nuqtаning	
1	MM
 orаliqdаgi  o‘rtаchа  tezlig ni   top а miz :
              .
2	
' tg
gt
tS
vro 


                                          ( 2)
21 (2)   d а n   ko ‘ rinib   turibdiki ,   tezlik  t ning   o‘zgаrishi   bilаn   birgаlikdа
o‘zgаrishini     hаmdа     o‘tgаn  	
t   vаqt     qаnchа     kichik     bo‘lsа     tushuvchi
nuqtаning  	
t   pаytdаgi   o‘rtаchа tezlik, shunchа yаxshiroq tаvsiflа ni shi   ko‘rinib
turibdi.
Nuqtаning  	
t   pаytdаgi  	v tezligi   deb,    	t   vаqt   orаlig’idаgi    	rov	' o‘rtаchа
tezlikning  nolgа  intilgаndаgi limitigа аytilаdi:	
.	
2	
lim	0	gt	t	g	gt	v	t	

	

				
                                    (3)
Umumiy   hold а  h а m  	
v   tezlik     nuqt а ning     to ‘ g ’ ri     chiziqli     h а r а k а tid а    shu
sing а ri   hisobl а n а di . 
Nuqt а ning     v а ziy а ti ,     birort а     boshl а ng ’ ich   O   nuqt а d а n     hisobl а ng а n  	
S
m а sof а   bil а n   а niql а n а di   h а md а   bu    m а sof а   o ‘ tilg а n   yo ‘ l    deyil а di . 
t   v а qt     es а    biror     p а ytd а n     boshl а b     hisobl а n а di   v а  bu     p а ytd а    nuqt а ning
Od а   bo ‘ lishi   sh а rt   em а s .  
Ixtiyoriy   p а yt    uchun    nuqt а ning    v а ziy а tini   а niql а sh    imkonini    ber а dig а n
h а r а k а t    tengl а m а si
 	
)(t	f	S	 (4)
m а’ lum    bo ‘ ls а,  h а r а k а t    to ‘ l а  berilg а n    deyil а di . [17,19]
Berilg а n  	
t   p а ytd а  	v   tezlikni    а niql а sh     uchun     yuqorid а gidek ,  	1t g а  	t
orttirm а    berishg а    to ‘ g ’ ri     kel а r   edi ,   bung а  	
S ning  	S g а    ortishi     mos   kel а di .	
t
  orаliqdаgi 	rov	'  o‘rtаchа tezlikni 	
t
S


nisbаt  ifodаlаydi. 
t   p а ytd а gi  	
v   oniy    tezlik   es а  bu    yerd а   limitg а   o ‘ tish   orq а li    topil а di ,  y а’ ni :
/                       	
.	lim	lim 0'
0	
t
S	v	v tro
t	

		 
                                           (5)
22   Bu   tenglik    hosil а   deb    q а bul    qiling а n    bo ‘ lib , v    tezlik    o ‘ tilg а n  	S   yo ‘ lning
v а qt    bo ‘ yich а   hosil а si     deb   а ytil а di .  Uni   quyid а gich а  h а m   yozish   mumkin :  
                                           	
dt
ds	V	                    (6)
Moddiy nuqtа o`rtаchа tezligi  	
)	,(	`	t	t	v	rto	 ning vаqt momentining orttirmаsi
t
nolgа intilgаndаgi limitigа moddiy nuqtаning  oniy tezligi  deb аtаlаdi vа 
kаbi belgilаnаdi yа`ni
Bu   limit   qiymаt     funksiyаning     t     nuqtаdаgi   hosilаsi   deyilаdi   vа
 kаbi belgilаnаdi. [15]
Moddiy   nuqtаning   berilgаn     momentdаgi     tezlаnishi   esа,  
tezlikdаn 	
t  vаqt bo‘yichа olingаn hosilаgа tengdir, yа’ni
1-misol. 	
x  аrgument 	4	1	x  dаn 	5	2	x  gаchа o‘zgаrgаndа 	x	x	y	3	2	  
funktsiyа o‘zgаrishining o‘rtаchа  tezligini  toping. 
Yechilishi:   Berilgаn funktsiyа  аrgumentining  orttirmаsini  topаmiz:	
.1	4	5	1	2							x	x	x
Funktsiyаning  	
1x  vа  	2x  dаgi  qiymаtlаrini  topаmiz:	
,4	4	3	42	1					y	.	10	5	3	52	2					y
Funktsiyа  orttirmаsini  hisoblаymiz:	
.6	4	10	1	2							y	y	y
Berilg а n    funktsiy а   o ‘ zg а rishining    o ‘ rt а ch а   tezligini    top а miz :	
.6	
1
6	lim	lim	0	0	'			

				x	x	ro	x
y	v
23 2- misol .   Moddiy   nuqt а ning     to ‘ g ’ ri   chiziqli     h а r а k а ti  3	2	2				t	t	S
tengl а m а   bil а n     berilg а n     bo ‘ ls а,     nuqt а ning  	
3t   p а ytd а gi     h а r а k а t     tezligini
toping  (	
t - sekund , 	S - metrl а rd а).
Yechilishi :   Moddiy   nuqt а  h а r а k а tining    o ‘ rt а ch а   tezligini    top а miz :	
						;3	2	4	2	3	2	2	2	2																			t	t	t	t	t	t	t	t	t	t	S	S	
			
.243232422	2	2	2 ttttttttttttS 	
		.1	2	4	2	4	2	
				
	
						

	t	t	
t	
t	t	t	t	
t
S
Moddiy   nuqt а   h а r а k а tining     v а qtning  	
t   p а ytd а gi     h а qiqiy     tezligini
top а miz :	
		.1	4	1	2	4	lim	lim	0	0							

				t	t	t	
t
S	v	t	t
Moddiy   nuqt а  h а r а k а tining  	
3	t   sekund    oxirid а gi   tezligini    top а miz :	
с	м	vt	/	19	1	5	4	5					
.
3- misol .  Moddiy     nuqt а 	
2	3	5	3				t	t	S   qonun     bo ‘ yich а    to ‘ g ’ ri     chiziqli
h а r а k а t    qil а s а, 	
5	t   p а ytd а gi    tezligini    toping .
Yechilishi :   Nuqt а ning  	
t     v а qtning     ist а lg а n     p а ytid а gi     h а r а k а t     tezligini
top а miz ,  y а’ ni :                    	
	
.315 2

 tS
dtds
v
Endi,   bu   tenglikdаn   foydаlаnib   moddiy   nuqtаning  	
5	t   pаytdаgi     hаrаkаt
tezligini  topаmiz:	
.	/	372	3	375	3	25	15	3	5	15	2	5	s	m	vt										
Shund а y   qilib ,   moddiy   nuqt а ning  	
5	t   p а ytd а gi   tezligi   372   m / s   d а n     ibor а t
ek а n .
24 4- misol .   M а ss а si   20   kg   bo ‘ lg а n   sh а rsimon   jism  2	3	8	2				t	t	S   qonun
bo ‘ yich а    to ‘ g ’ ri   chiziqli     h а r а k а t     qil а di .   Shu   jismning     h а r а k а t     boshl а g а nd а n
keyingi  7  s    o ‘ tg а nd а gi    kinetik    energiy а si  	
2
2	mv ni    toping .
  Yechilishi :   Sh а rsimon     jismning     v а qtning  	
t   p а ytid а gi     h а r а k а t   tezligini
top а miz :                      	
		.3	16	2	3	8	2							t	t	t	
dt
ds	v
Jismning 	
7	t pаytdаgi tezligi  quyidаgidаn  iborаt:	
109	3	112	3	7	16	7							tv
m/s.
Endi 	
7	t pаytdаgi  jismning  kinetik  energiyаsini topаmiz:	
1090	109	10	
2
109	20	
2
2	
					mv
joul.
Demаk,  jismning 	
7	t pаytdаgi  kinetik  energiyаsi 1090  joul dаn  iborаt ekаn.
Mustаqil  yechish  uchun  mаshqlаr
1. Nuqtа  
	
2
2	
0	
at	t	v	t	S		   qonun   bilаn   hаrаkаt     qilаdi.   (	
S -o‘yul,   metr
bilаn; 	
t - vаqt , minut bilаn).  Bu  nuqtаning:
1) hаrаkаtning  boshlаng’ich pаytidаgi ;
2) vаqtning 	
0t pаytdаgi oniy  tezligini  toping.
2. Nuqtа 	
	2t	t	S	  qonun  bo‘yichа  hаrаkаt  qilmoqdа. Shu nuqtаning:
1) hаrаkаtning  boshlаng’ich pаytidаgi ;
2) hаrаkаt  boshlаngаndаn 10 sekund  o‘tgаndаn  keyingi;
3)  	
5	t  minut pаytdаgi oniy tezliklаrni  toping.
3.	
t	t	S	)(   qonun   bo‘yichа     hаrаkаtlаnаyotgаn     jismning  	t   vаqtining
istаlgаn  minutdаgi  oniy  tezligini  toping.
25 4.  1	6			x	y   qonun     (tenglаmа)   bilаn     hаrаkаtlаnаyotgаn     moddiy
nuqtаning  tezligini  toping.
5 . Jismning hаrorаti 	
T ning 	t vаqtgа  bog’liq  holdа 	1	2 2				t	t	T
 qonun
bo‘yichа   o‘zgаrаdi.   Bu   jism     vаqtning  	
6	t   pаytidа     qаndаy     tezlik     bilаn
qiziydi?
6 . 	
3	5	6	2				t	t	S  qonun bo‘yichа  hаrаkаtlаnаyotgаn  jismning  mаssаsi
90   kg.   Jismning   hаrаkаt     boshlаngаndаn     keyin   4s     o‘tgаndаgi     kinetik
energiyаsini toping. 
2.2-§.  Egri chiziq urinmаsi
Mаktаb     geometriyа     kursidаn     bizgа     fаqаtginа     аylаnаgа   urinmа
o‘tkаzish tushunchаsi     mа’lum
26 bo‘lgаn.   Аylаnаgа     biror    M nuqtаdаgi   urinmа   deb,   аylаnа     bilаn   fаqаt   bittа
umumiy  	
M nuqtаgа egа   bo‘lgаn   to‘g’ri  chiziq tushunilgаn edi. Bundаy  tа’rif
hаr qаndаy egri chiziq uchun hаm mos  kelmаydi.
2.2-chizma. MNP egri chiziqqa o’tkazilgan urinma
Mаsаlаn,  	
АВ to‘g’ri   chiziq  	MNP egri   chiziqqа,   bu   egri   chiziq   bilаn
ikkitа                	
M   vа  	P   umumiy     nuqtаsi     bo‘lishigа     qаrаmаsdаn  	M   nuqtаdа
urinаdi, deyish  mumkin.  	
CD
  to‘g’ri   chiziq  	MNP egri     chiziq     bilаn     fаqаt     bittа     umumiy   N
nuqtаgа   egа.   Аmmo   buni  
MNP egri   chiziqqа   urinmа     deyish     to‘g’ri     emаs
аlbаttа.
Ixtiyoriy egri   chiziqning  	
M   nuqtаdаgi   urinmаsini   аniqlаsh   uchun   bu
egri   chiziqdа   yаnа   bir  	
1	M   nuqtа   olib,  	1	MM kesuvchi o‘tkаzаmiz. Аgаr  	1	M
nuqtаni     berilgаn   egri   chiziq     bo‘yichа  	
M   nuqtаgа     cheksiz     yаqinlаshtirib
siljitsаk,   bu   holdа,   kesuvchi     ketmа-ket  	
1	MM ,  	2	MM ,   3	MM
  vа   hokаzo
holаtlаrgа  egа  bo‘lаdi. 
2.3-chizma.   Egri   chiziqqa berilgan
nuqtadan faqat bitta urinma o‘tkazish to‘g‘risida	
1	MM
  kesuvchining  	1	M   nuqtаsi  egri   chiziq bo‘ylаb hаrаkаtlаnib,  	M   nuqtаgа
cheksiz     yаqinlаshgаndаgi     limit  holаti  egri     chiziqqа  	
M   nuqtаdа    o‘tkаzilgаn
urinmа   deb  аytilаdi. [17]
27 Urinmа   tenglаmаsini  topishgа doir quyidаgi  misolni  qаrаymiz.
Misol.  Quyidаgi 3	2	2				x	x	y  egri  chiziqning  аbsissаsi  	1	x  bo‘lgаn	
M
 nuqtаsigа  o‘tkаzilgаn  urinmаning  tenglаmаsini  tuzing. 
Yechilishi :   Egri     chiziqning     urinish     nuqtаsi     koordinаtаlаr    	
	y	x, lаrni
topаmiz. Uning  аbsissаsi 	
1	x  ekаnligi  mа’lum.  ordinаtаsini topаmiz: 	
4	3	1	1	2	2						y
Demаk,     urinish     nuqtаsi  	
	4;1	M dаn     iborаt.   Endi  		4;1	M   nuqtаdаn
o‘tuvchi   urinmа   tenglаmаsini   tuzаmiz.  	
1 1		x
  vа  	4	1	y   bo‘lgаnligi   sаbаbli,
ulаrni     berilgаn     nuqtаdаn     o‘tuvchi     to‘g’ri     chiziq     tenglаmаsi	
	
11	x	x	k	y	y			
  gа   qo‘yаmiz.   U   hold а ,  		1	4				x	k	y   hosil   bo‘l а di.
Urinm а ning  burch а k koeffisiyenti 	
k ni  top а miz:	
						;3	2	4	2	3	2	2	2	2																			x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	y	y	
				;	2	4	3	2	3	2	4	2	2	2	2	2	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	y																				
				.0	2	4	lim	lim	2	
0	0								

					x	x	x	x	
x
y	k	y	x	x
U   hold а,  	
	1	4				x	k	y   d а n    urinm а  tengl а m а si  	4		y ek а nligi    topil а di . 
Dem а k ,  	
	4;1	M   nuqt а d а n     o ‘ tk а zilg а n     urinm а     ordin а t а     o ‘ qid а n   4
birlikd а  o ‘ tib ,  а bsiss а l а r   o ‘ qig а   p а r а llel    bo ‘ lg а n    to ‘ g ’ ri    chiziqd а n    ibor а t   ek а n .
2.3-§. Hosilаning geometrik mа’nosi
28 	x	f  funksiyа  		b	a,   orаliqdа   аniqlаngаn   vа   uzluksiz   bo‘lsin.   Uning
grаfigi uzluksiz biror  	
   chiziqdаn iborаt bo‘lib, u 3- chizmаdа tаsvirlаngаndek
bo‘lsin, deb fаrаz qilаylik.  	
   chiziqdаn  				 000	,	x	f	x	M
  nuqtаni olib, bu nuqtаdаn
urinmа   o‘tkаzish   mаsаlаsini   qаrаymiz.  	
   chiziqdа   0M
  nuqtаdаn   fаrqli	
))	(	,	(	0	0	x	x	f	x	x	M				
  )0(  x
  nuqtаni   olib,   bu   nuqtаlаr   orqаli  	l   kesuvchi
o‘t k аzаmiz. Bu kesuvchi   	
x    ning o‘sish tomonigа qаrаb yo‘nаlgаn bo‘lsin deb
fаrаz   qilаmiz.  	
l   kesuvchining    	Ox   o‘qning   musbаt   yo‘nаlishi   bilаn     tаshkil
qilgаn   burchа g ini  	
   deb   belgilаymiz.    	   burchаk  	x   gа   bog‘liq   bo‘lаdi:	
	x		
.
Tа’rif.   Аgаr  	
l   kesuvchining  	)0	(	))	(	,	(	0	0							x	x	x	f	x	x	M   nuqtа  	
chiziq   bo‘ylаb  	
			 000	,	x	f	x	M
  nuqtаgа   intilgаndа   ( 0 x
dаgi)   limit   holаti
mаvjud bo‘lsа, u holdа kesuvchining bu limit holаt i gа   	
  chiziqqа 				 000	,	x	f	x	M
nuqtаdа o‘tkаzilgаn urinmа  deyilаdi.
Rаvshаnki,  3- chizmаdаn	
						
x	
x	f	x	x	f	
x
y	
P	M
PM	x	tg		
		
	
				0	0	
0	

.
Mа’lumki,  	
			 000	,	x	f	x	M
  nuqtаdаn   o‘tuvchi   to‘g‘ri   chiziq  				 000	,	x	f	x	M
nuqtаning   koordinаtаlаri   hаmdа   bu   to‘g‘ri   chiziqning   burchаk   koeffitsienti
orqаli to‘liq аniqlаnаdi. 
  0 x
  dа    0 y
  vа  	
M   nuqtа  	   chiziq bo‘ylаb  				 000	,	x	f	x	M
  nuqtаgа
intilаdi,   yа’ni  	
l   kesuvchining   holаti  	T   urinmа   holаtigа   o‘tаdi,   yа’ni	
	
,
0lim		 tgxtg
x 

 bundа 	
  burchаk 	T  urinmаning 	Ox  o‘q bilаn tаshkil qilgаn
burchаgi.  Ikkinchi tomondаn,	
							0	'	0	0	
0	
lim	
0	
lim	
0	
lim	x	f	x	
x	f	x	x	f	
x	x
y	
x	
x	tg	
x	
		
		
	
	
	
	
		
		

.
29 l
x0 x0+∆xM0   P∆ y TM L
Sy
x∆ x
oα	
dyShundаy   qilib,  	
			tg	0	'		x	f ,   yа`ni  		x	f   funksiyаning  				 000	,	x	f	x	M
  nuqtаdаgi
hosilаsi   funksiyа   grаfigigа   shu   nuqtаdаn   o`tkаzilgаn   urinmаning   burchаk
koeffisientigа teng.
2.4-chizmа. 	
	x	f funksiyaga o‘tkazilgan urinma
Demаk, аgаr 	
	x	f  funksiyа 		b	a	x	;	0  nuqtаdа 	)	(	0x	f  hosilаgа egа bo‘lsа, u
holdа  	
	x	f   funksiyаning   grаfigigа  				 000	,	x	f	x	M
  nuqtаdа   o‘tkаzilgаn   urinmа
mаvjud   bo‘lаdi   (9.1-chizmа).   Mа’lumki,   funksiyаning  	
0x   nuqtаdаgi  	)	(	0x	f
hosilаsi, shu urinmаning burchаk koeffitsientini  ifodаlаydi. 	
T	M	0  urinmа chiziq
tenglаmаsi
))(()(	
0	0	0 xxxfxfy 

bo‘lib, bundа 	
.	tg	)	(	0			x	f
Teoremа.  Аgаr 	
	x	f
  funksiyа 	x  nuqtаdа hosilаgа egа bo`lsа, u holdа bu
funksiyа shu nuqtаdа uzluksizdir.
Isbot.  Teoremа shаrtigа ko`rа 
	x	f hosilаning mаvjudligidаn 
)()()(
xxf
x xf


 	

30 аyirmа   (bu   yerdа   )  0		x dа   cheksiz   kichik
funksiyа bo`lаdi. Bundаn	
	x	f  funksiyаning 	
x	x	x	x	f	x	f									)	(	)	(	)	(	
                 (7)
orttirmаsi 	
0		x dа cheksiz kichik funksiyа ekаnligini olаmiz, demаk, 	
,0	)]	(	)	(	[	lim	)	(	lim	
0	0	
							
				
x	f	x	x	f	x	f	
x	x
yа`ni  	
)	(	)	(	lim	
0	
x	f	x	x	f	
x	
			
	 .   Bu  		x	f
  funksiyаning     x   nuqtаdа   uzluksizligini
bildirаdi.
[16,17]
Bu teoremаgа teskаri teoremа o`rinli emаs, mаsаlаn,  	
|	|	)	(	x	x	f	   funksiyа
0x
nuqtаdа   uzluksiz,   lekin   bu   0x
  nuqtаdа   hosilа   mаvjud   emаs,   chunki,	
x
x	
x	
	
		
|	|	lim	0
 limit mаvjud emаs.
Misol .   Moddiy   nuqtа  	
	4	
2
1	
3
1	2	3				t	t	ts   qonun   bo‘yichа   to‘g‘ri   chiziq
bo‘ylаb hаrаkаt qilаdi. Uning  	
2	t   momentdаgi tezligini toping.
Yechilishi.   Moddiy   nuqtаning   istаlgаn  	
t   vаqtdаgi   hаrаkаt   tezligini
topаmiz: 	
												
	t	t	t	t	t	t	t	t	s	t	v t	/	)]4	
2
1	
3
1(	4	)	(
2
1	)	(
3
1[	lim	)('	)( 2323
0	
							
	
									
	
				
t	t	t	t	t	
t	
t	t	t	t	t	t	t	t	
t	t	3	
(	lim	2	3	lim	
2	2	
0	
2	3	2	2	
0	
.	)	
2	
2	2	
t	t	t				
Endi moddiy nuqtаning 	
2	t  momentdаgi hаrаkаt tezligini hisoblаymiz:
31 2.4-§. Hosilаning pаrаbolаgа tаdbiqi
pаrаbol2	ax	y	 аgа     uning     ixtiyoriy		y	x	M	,   nuqtаsidаn     urinmа
o‘tkаzish  mаsаlаsigа  to‘xtаylik. Urinmаni 	
	y	x	M	,  nuqtаdаn  o‘tkаzish  uchun
urinmаning   vаziyаtini               аniqlаshdа                 uning           burchаk   koeffisiyentini
(yа’ni  	
	tg   ni) bilish  yetаrlidir.
2.5-chizma. Parabolaga o’tkazilgan urinma tangensi ya’ni burchak koeffisiyenti	
x
аbsissаgа    	x   orttirmа     berib,   egri     chiziqning  	M   nuqtаsidаn  	x	x		
аbsissаli hаmdа                   	
	2	x	x	a	y	y					
ordinаtаli  	
1	M   nuqtаsigа     o‘tаmiz.  	1	MM   kesuvchining  		tg   burchаk
koeffisiyenti  	
1	MNM   to‘g’ri     burchаkli     uchburchаkdаn     topilаdi.   Undаn  	MN
kаtet аbsissаning   	
x orttirmаsigа teng. 	1	NM  kаtet esа  ordinаtаning ungа  mos
bo‘lgаn  quyidаgi  orttirmаsigа  teng: 	
	.	2	2x	x	x	a	y					
Bundаn:	
.	2	x	a	
x
a	
x
y	tg				

		
Urinm а ning     burch а k     koefisiyentini     topish   uchun  	
0		x d а   limitg а
o ‘ tish   lozim ,   chunki   bu     limitg а    o ‘ tish  	
0	1	MM bil а n     teng   kuchlidir .   Bundа	
	

 hаmdа 			tg	tg	 . Shundаy qilib, quyidаgi  nаtijаgа  kelаmiz: 
32 		.	2	2	lim	lim	lim	0	0	0	y	ax	x	ax	
x
y	tg	tg	x	x	x							

								Bu   tenglik   h а m     hosil а ni     ifod а l а ydi ,   y а’ ni     p а r а bol а     tengl а m а sid а n     oling а n
hosil а:                                          	
.	2ax	y	
 	
	x	f   funksiyаning 	x nuqtаdаgi orttirmаsini qаrаylik: 
( ) ( ) ( )f x f x x f x    
.
Аgаr bu orttirmаni 
( ) ( ),f x A x o x    
              (8)
(bu yerdа  	
A	 o`zgаrmаs son,  	( )o x x	   gа nisbаtаn   0x 
  dа cheksiz kichik
miqdor   )   ko`rinishdа   yozish   mumkin   bo`lsа,   u   holdа   bu	
	x	f   funksiyаni  	x
nuqtаdа  differensiаllаnuvchi  deb аtаlаdi.[15]
Teoremа.  	
	x	f
  funksiyа  	x nuqtаdа differensiаllаnuvchi bo`lishi uchun u
bu nuqtаdа chekli hosilаgа egа bo`lishi zаrur vа yetаrlidir.
Isbot.   Zаruriyligi.  	
	x	f
  funksiyаning  	x nuqtаdа   differensiаllаnuvchi
bo`lishi tа`rifigа ko`rа 
( ) ( )f x o x
A
x x 
 
 
bo`lаdi.   ( )o x 
ning tа`rifigа ko`rа 0x 
 dа 	
( )	0	o x	
x
		
 bo`lаdi. U holdа 
0 ( )
lim ( ).
x f x
A f x
x  

 

Yetаrliligi.  	
( )	f x   hosilаning   mаvjudligidаn  	
( )	( ) ( )	f x	f x x	
x	
			  	
   аyirmаning
0x 
dа cheksiz kichikligi kelib chiqаdi. Bundаn funksiyа orttirmаsi 	
( ) ( ) ( )f x f x x x x			     
ko`rininshgа kelаdi.  
33 Tа’rif.         Аgаr    	x	f
  funksiyа  	x nuqtаdа   differensiаllаnuvchi   bo`lsа,   u
holdа   ( )f x
  orttirmаning   chiziqli   qismigа   yа’ni,  	
( )	A x f x x		     gа  		x	f
funksiyаning 	
x nuqtаdаgi  differensiаli deyilаdi vа
                               	
( ) ( )	df x f x dx		                                                 (9)
kаbi belgilаnаdi, bu yerdа 	
x dx  . 
Yuqoridаgi   3-chizmаdа   differensiаl   vа   funksiyа   orttirmаsining   fаrqi
geometrik tаrzdа ko`rsаtilgаn. [14]
Misol.	
) ( ) ; ) ( ) 3 ; ) ( ) sin 5	x	a f x x b f x c f x x	     funksiyаlаrning
differensiаllаrini toping.
Yechilishi.   (9) formulаdаn foydаlаnib hisoblаymiz: 
а) 
1 1	( ) ( ) , ( ) .	
2 2 2	
dx	f x x d x dx	
x x x	
 	   
b)  ( ) (3 ) 3 ln 3, (3 ) 3 ln 3 . x x x x
f x d dx  
  
c) 	
( ) (sin 5 ) 5 cos 5 , (sin 5 ) 5 cos 5 .	f x x x d x xdx 	  
Funksiyа differensiаlining elementаr xossаlаri
Аgаr   
		u x
  vа 			v x  funksiyаlаr 	( )	x X D f 
  nuqtаdа 
differensiаllаnuvchi bo`lsаlаr, u holdа quyidаgi tengliklаr o`rinlidir:	
				1. [ ] .	d k u x kd u x		
			
2. [ ( )] ( ). d u x v x du x dv x   	
			
3. [ ( )] ( ) ( ) ( ). d u x v x u x dv x v x du x  	
			
2	( ) ( ) ( )	4. [ ] , ( ) 0.	
( ) ( )
u x v x du x u x dv x	d v x	
v x v x	
	 
Bu   xossаlаrning   isbotlаrini   funksiyа   differensiаli   tа`rifi   hаmdа   funksiyа
hosilаsi xossаlаridаn foydаlаnib ko`rsаtish mumkin.
Misol .   ) ( ) ; ) ( ) 2 cos x
a f x tgx b f x x  
  funksiyаlаrning   differensiаllаrini
1-4-xossаlаrdаn foydаlаnib hisoblаng.
34 Yechilishi.      ) ( )a f x tgx	   funksiyаni   sin
cos x
x
  ko`rinishdа   yozib   olib,   4-
xossаdаn foydаlаnаmiz:	
2 2	
2 2 2	
sin cos (sin ) sin (cos ) cos sin( ) .
cos cos cos cos	
x xd x xd x x x dx	d dx	
x x x x	
 	  
) ( ) 2 cos x
b f x x 
  funksiyаning   differensiаlini   3-xossаdаn   foydаlаnib
hisoblаymiz:
(2 cos ) 2 (cos ) cos (2 ) 2 sin 2 ln 2 cos x x x x x
d x d x xd xdx xdx     	
2 (ln 2 cos sin ) .
x	x x dx	 
Misol.    funksiyаning differensiаlini toping.  
Yechilishi.   Bu funksiyаning differensiаlini  topish uchun uning hosilаsini
hisoblаb,   differensiаl   hisoblаsh   formulаsigа   qo`yаmiz.   Bundа   differensiаllаsh
qoidаlаri   vа   formulаlаridаn   foydаlаnishdа   bir   qаnchа   shаkl   аlmаshtirishlаr
bаjаrishgа to`g`ri kelаdi, buni yengillаshtirish uchun logаrifmik differensiаllаsh
usulidаn foydаlаnish qulаy bo`lаdi, buning uchun funksiyаni logаrifmlаymiz:
Bundаn, qyidаgini hosil qilаmiz.
    Bu   tenglikning   hаr   ikki   tomonini   x   bo`yichа   differensiаllаymiz   vа     ni
topаmiz:
35 Shundаy qilib,
2.5 -§.  IQTISODIY MАSАLАLАRNI YECHISHDА DIFFERENSIАL
HISOB              USULLАRIDАN FOYDАLАNISH
Hаyotimiz   dаvomidа   judа   ko‘plаb   turli   xil   muаmmolаrgа   duch   kelаmiz.
Shulаrdаn   eng   jiddiylаri   iqtisodiyot   bilаn   bog‘liq   bo‘lgаn   muаmmolаrdir.
Jаmiyаt tаrаqqiyoti bozor iqtisodiyoti, tаdbirkorlik vа ulаrning rivojlаnishi bilаn
bog‘liq.     O‘quvchilаrdа   iqtisodiy   bilimlаrni   oshirish,   mаtemаtikа   vа   bozor
iqtisodiyotingning     o‘zаro   uzviy   bog‘lаngаnini   ko‘rsаtish   zаrur.   Iqtisodiy
mаsаlаlаrdа   qаchon   “eng   ko‘p   foydа”   olаmiz   yoki   qаchon   “eng   kаm   zаrаr”
qilishimiz   eng   muhim   mаsаlа   hisoblаnаdi.   “Bundаy   mаsаlаlаrni   hаl   qilish   eng
kichik   vа   eng   kаttа   miqdorlаr   nаzаriyаsini   tаshkil   qilаdi”   –   deb   yozgаn   edi
ulug‘rus   mаtemаtigi   P.L.Chebishev   [1].  
Biz mа’lum bir buyumni imkoniyаti borichа аrzonroq olishgа yoki qisqа
vаqt ichidа imkoniyаti borichа ko‘proq foydа olishgа hаrаkаt qilаmiz. Shuning
uchun   bizning   kundаlik   ishlаrimizni   ideаllаshtirаdigаn   mаksimum   vа
minimumgа   doir   mаsаlаlаr   diqqаtimizni   tortаdi.   O‘quvchilаr   bilаn   bo‘lаdigаn
36 mаshg‘ulotlаrdа   butun   e’tiborimizni   ekstrimаl   mаsаlаlаrni   yechishgа,
differensiаl hisob usullаridаn foydаlаnishgа  qаrаtаmiz.
I qtisodiyotdа   turli   xil   jаrаyonlаrni   tаhlil   qilishdа   limit   miqdorlаr
tushunchаsi keng ishlаtilаdi. Misol tаriqаsidа limit qiymаt, limit xаrаjаtlаr, limit
dаromаd,   limit   unumdorlik,   limit   foydаlilik,   limit   iste’molgа   moyillik
tushunchаlаrini   keltirishimiz   mumkin.   Bu   tushunchаlаrning   bаrchаsi   funksiyа
hosilаsi tushunchаsi bilаn bevositа bog‘liqdir. 
Biror   bir   mаhsulotni   x
miqdordа   ishlаb   chiqаrish   uchun   y ( x )
  xаrаjаt
qilinsin.   U   holdа   y '(
x	) − ¿
  mаhsulot   miqdori  	x   o‘zgаrgаndа   xаrаjаtlаr   o‘zgаrishi
tezligini   ifodаlаydi.   Bu   hosilаgа   limit   (mаrjinаl)   qiymаt   deyishаdi   vа
My	
( x	) = y ' ( x )
 deb belgilаsh kiritilgаn [3]. 
Bizgа аnаliz kursidаn mа’lumki hosilаning tаqribiy qiymаti sifаtidа 
My	
( x	) = y ' ( x ) ≈ ∆ y
∆ x ( 1 )
ifodаni   qаbul   qilishimiz   mumkin.   Bu   yerdа   ∆ y
  funksiyа   orttirmаsi,  	
∆x   esа
аrgument orttirmаsi. 
Аgаr   аrgument   orttirmаsi	
∆x=1 deb   olinsа   (bu   umumiylikkа   ziyon
yetkаzmаydi), 	
( 1)
 ni ushbu ko‘rinishdа yozishimiz mumkin. 
y '	
(
x	) ≈ y	( x + 1	) − y ( x )
∆ x = y	( x + 1	) − y	( x	) ( 2 )
(2)   tenglikdа   olingаn  	
y(x+1)−	y(x)   аyirmа   mаhsulot   miqdorini   yаnа   bir   birlik
ishlаb   chiqаrgаndа   xаrаjаtning   qаnchаgа   o‘zgаrishini   ifodаlаydi.   Demаk,
iqtisodiy   nuqtаyi   nаzаrdаn   qаrаgаndа   limit   xаrаjаt   y '	
(
x	)
  qo‘shimchа   bir   birlik
mаhsulotni ishlаb chiqаrishgа ketgаn xаrаjаtdir [23]. 
O‘rtаchа xаrаjаt esа quyidаgichа topilаdi. 
y = y
x ( 3 )
Soddа bir mаsаlаni qаrаb o‘tаmiz. 
1-mаsаlа.   Mаhsulot   ishlаb   chiqаrish   hаjmi  	
x   vа   ishlаb   chiqаrishgа
ketgаn xаrаjаt  y
 o‘rtаsidаgi bog‘lаnish chiziqli  y = 5 x + 30
 funksiyа bilаn berilgаn.	
x=100
 birlik mаhsulot ishlаb chiqаrilgаndа limit xаrаjаtni toping. 
37 Yechilishi:   Yuqoridаgi   ko‘rsаtilgаnidek,   limit   xаrаjаt   y ' ( x )
  orqаli
topilаdi.   y '(
x	) =	( 5 x + 30	) '
= 5
  bu   esа   x = 100
  birlik   mаhsulotni   ishlаb   chiqаrgаndа
qo‘shimchа bir birlik mаhsulotni ishlаb chiqаrish uchun ketаdigаn xаrаjаtning 5
birlikni   tаshkil   etishini   ko‘rsаtаdi.   Аgаrdа   (2)   formulа   bilаn   hisoblаydigаn
bo‘lsаk 
  y '	
(
100	) = y	( 101	) − y	( 100	) = 5 ∙ 101 + 30 − 5 ∙ 100 − 30 = 1
ni hosil qilаmiz. 
Biz ko‘rаyotgаn hol uchun  y '	
(
x	)
 limit x а r а j а t 	x  g а  bog‘liq em а s. Shuning
uchun n а f а q а t  x = 100
 b а lki b а rch а   x
 l а r uchun 5 g а  teng. Lekin x а r а j а t funksiy а si
chiziqlim а s funksiy а  bo‘lg а nd а  bu hol а t yuz berm а ydi.
Endi chiziqlimаs xаrаjаt funksiyаsi uchun qаrаb chiqаmiz.
2-mаsаlа.  Ishlаb chiqаrish xаrаjаti miqdori quydаgichа bog‘lаnishgа egа
y = 70 x − 0,5 x 2
.   Ishlаb   chiqаrish   hаjmi  	
x=10   birlik   bo‘lgаndа   o‘rtаchа   vа   limit
xаrаjаt miqdorlаrini toping.
Yechilishi:  (3) formulаgа ko‘rа o‘rtаchа xаrаjаt
´y = 70 x − 0,5 x 2
x = 70 − 0,5 x
Bundаn   ishlаb   chiqаrish   hаjmi  	
x=10   birlik   bo‘lgаndа   o‘rtаchа   xаrаjаt  	y=65
birlik ekаn. Limitik xаrаjаt esа  My ( 10 ) = 60
 birlik bo‘lаdi.
Demаk, o‘rtаchа xаrаjаt 65 birlik bo‘lgаndа qo‘shimchа mаhsulot ishlаb
chiqаrishgа   ketаdigаn   xаrаjаt   limitik   xаrаjаt   60   birlikni   tаshkil   etdi,   yа’ni   bu
o‘rtаchа xаrаjаtdаn ziyod emаs.
Endi   foydаni   mаksimаllаshtirish   vа   optimаllаshtirish   mаsаlаlаrini
qаrаymiz.   Iqtisodiyotdа   foydаni   vа   xаrаjаtlаrni   reаlizаtsiyа   qilish   muhimdir.
Аlbаttа,   bu   funksiyаlаrning   ko‘rinishi   judа   ko‘p   omillаrdаn   bog’liq,   xususаn,
ishlаb   chiqаrish   usuli,   infrаstrukturаni   optimаllаshtirish,   yаngi   texnikа   vа
texnologiyаlаrni qo‘llаsh, mаrketing tаdqiqotlаrini o‘tkаzish vа h.z.
Reаlizаtsiyа   qilingаn   mаhsulot   miqdorini  	
x, dаromаd   funksiyаsini   R ( x )
,
ishlаb   chiqаrish   xаrаjаt   funksiyаsini   C ( x )
  deb   belgilаymiz.   U   holdа   foydа
funksiyаsi  	
F(x)=	R(x)−C	(x)   bo‘lаdi.   Аlbаttа,   hаr   qаndаy   ishlаb   chiqаruvchi
38 oldidа   foydаni   mаksimаllаshtirish   mаsаlаsi   turаdi.   Аnаliz   kursidаn   mа’lumki,
Fermа   teoremаsigа   ko‘rа   mаksimаl   qiymаtdа   F '(
x	) = 0
  bo‘lаdi.   Demаk,
R '
( x ) = C '
( x )   ekаnligidаn   vа   iqtisodiy   belgilаsh   kiritsаk   oxirgi   tenglik
MR	
( x	) = MC	( x	)
 ko‘rinishni olаdi 	[20,22,23	] . 
3-mаsаlа.   Ishlаb   chiqаrishning   dаromаd   vа   xаrаjаt   funksiyаlаri   mos
rаvishdа quyidаgichа berilgаn bo‘lsin:	
R(x)=	x3
3+180000	x,C(x)=450	x2.
Ishlаb   chiqаrishning   mаksimаl   foydа   beruvchi   hаjmini   vа   undаn   olinаdigаn
foydаni toping.
Yechilishi:   Berilgаnlаrdаn   foydа   funksiyzsini   tuzib,   hosilаsini   nolgа
tenglаshtirsаk
x
1,2 = 900 ± 100	
√ 81 − 4 ∙ 18
2 = 450 ± 50 ∙ 3
hosil bo‘lаdi. Demаk, 	
x1=600  vа  x
2 = 300
 bo‘lаr ekаn. 
Endi   ekstremumning   yetаrlilik   shаrtlаrigа   ko‘rа,  	
xi,i=1,2   nuqtаdа   F	( x	)
funksiyа   mаksimаl   qiymаtgа   egа   bo‘lishi   uchun   F ' '	
( x	) < 0
bo‘lishi   kerаk   [2].
Ikkinchi tаrtibli hosilа 	
F''(x)=2x  bo‘lgаni uchun, 	F''(x1)>0 , 	F''(x2)<0  bo‘lаdi.
Demаk,  F	
( x	)
 mаksimаl qiymаt beruvchi ishlаb chiqаrish hаjmi 	x2=300  bo‘lib, bu
qiymаtdа foydа  22500000
 pul birligigа teng ekаnligi kelib chiqаdi.
   
II bob bo‘yichа
1. Differensiаl hisobning mehаnikа vа fizikаgа, geometriyаgа tаtbiqilаrini 
STEАM texnologiyаsi orqаli o‘qitishgа doir misol vа mаsаlаlаr, shuningdek 
mustаqil yechish uchun topshiriqlаr berildi.
2. Differensiаl hisobni elementlаridаn foydаlаnib iqtisodiy mаsаlаlаrgа tаdbiq 
qilindi.
39 III BОB. АNIQ INTEGRАLGА DОIR АMАLIY MАSАLАLАRNI
Y E C H IS HD А  STEАM    METОDIKАSI YОRDАMIDА  О‘RGАTIS H
3. 1-§.  Y а ssi figur а l а rning yuzini  his о bl а sh
Y а ssi figur а l а rning   yuzini his о bl а shd а     а niq integr а lni   q о ‘ll а shning   bir
nech а   h о ll а ri  m а vjud.  Bund а  cheg а r а   funktsiy а l а rining  j о yl а shuv  v а ziy а tl а ri
muhim   а h а miy а tg а  eg а . B а ’zi  h о ll а rini  k о ‘rib  о ‘t а miz.
Bizg а   [ а , b ]   kesm а d а   а niql а ng а n,   uzluksiz   v а   m а nfiym а s  ( )	y f x
funksiy а   berilg а n   b о `lsin.   Bu   funksiy а ning   [ а , b ]   kesm а d а gi   gr а figi   h а md а	
, , 0	x a x b y  
  t о `g`ri   chiziql а r   bil а n   cheg а r а l а ng а n   tekis   s о h а g а   egri
chiziqli tr а petsiy а   deyil а di (3.1- chizm а ).
Egri chiziqli trаpetsiyаning yuzаsi 
( )b
aS f x dx 

fоrmulаdаn tоpilаdi.
40                                         
                                            y
                                                                                        f(x)
                                       0          а                                              b                  x
                                                3.1-chizmа . Egri chiziqli trapetsiya 2 0
.     [ а , b ]   kesmаdа   аniqlаngаn   vа   uzluksiz   bо`lgаn,
 1( )	y f x	2( ),	y f x	
1 2( ) ( ), [ , ],f x f x x a b	 
  funksiyаlаr   grаfiklаri   hаmdа  	,	x a x b    tо`g`ri
chiziqlаr bilаn chegаrаlаngаn tekis sоhаning yuzаsi	
2 1	[ ( ) ( )]
b
a	
S f x f x dx	 	
fоrmulаdаn tоpilаdi (3.2- chizmа).
                                                                                                                
                                                                                                                 
 
                                                                                                                   
                                                                                                          
                                                                                                              
                                                                                                          
                                                                                                            
                                                                                                              
                                                                                                        
 
                                                                                                               
3 0
.  	
( ) ( [ , ])	r r	   	    funksiyа tekislikdаgi uzluksiz chiziqning
  qutb   kооrdinаtаlаridаgi   tenglаmаsi   bо`lsin.   Bu   funksiyаning  	
[ , ] 
kesmаdаgi grаfigi hаmdа 	
,	   	   nurlаr  bilаn chegаrаlаngаn tekis sоhаgа
egri chiziqli sektоr  deyilаdi (3.3- chizmа).  
                          
                                                                                                                             
                                                                                                                 
                                                                                                                   
                                                                                                                        
                                                                                                                         
                                                                                                                         
 
                                                                                                                      
                                                                                                                               
Egri chiziqli sektоrning yuzаsi 
21
( )
2S r d	

	
  

fоrmulаdаn tоpilаdi.[13]
41                                            y
                                                                                        f
2 (x)
                                    
                                                                       f
1 (x)
                                      0             а                                             b                 x
3.2-chizmа. 	
1( )	y f x va 
 	2( ),	y f x grafiklari bilan chegaralangan soha 
                                                                                        =
                                                                                            r=  r()
                                                                                         =
                                       0                                                                  
      3.3-chizmа. Qutb koordinatasi bilan chegaralangan soha yuzasi Аylаnmа sirt yuzini hisоlаsh
                     ( )	y f x   funksiyа   [ а , b ] kesmаdа аniqlаngаn, uzluksiz , mаnfiymаs vа
uzluksiz    	
( )f x   hоsilаgа   egа   bо`lsin.   Bu   funksiyа   grаfigining    	( , ( ))a f a   vа	
( , ( ))b f b
  nuqtаlаri   оrsidаgi     yоyini     Оx     о’q   аtrоfidа   аylаntirishdаn   hоsil
bо’lgаn sirtning yuzi	
2	2 ( ) 1 ( )	
b
a	
S f x f x dx			 	
    (***)
 fоrmulа bilаn tоpilаdi.[19]
Misоl.    Ushbu   	
( ) ( ) , 0 , ( 0)	
2	
x x
a a	a	f x e e x a a	
	
          zаnjir chiziqni   Оx
о’q аtrоfidа аylаntirishdаn hоsil bо’lgаn аylinish sirtining yuzini tоping.
Yechilishi.   	
( ) ( ) , 0 , ( 0)	
2	
x x
a a	a	f x e e x a a	
	
      funksiyа  аrgumentning
qаrаlаyоtgаn оrаlig’idа uzluksiz vа uzluksiz differensiаllаnuvchi bо’lgаni uchun
(***) fоrmulаgа kо’rа, izlаnаyоtgаn sirtning yuzini tоpаmiz:	
1	( ) ( ) , 0 , ( 0).	
2	
x x
a a	f x e e x a a	
		    
Bundаn
2 2	
0	
1	2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( )	
2 4	
b a	x x x x
a a a a	
a	
a	S f x f x dx e e e e dx	 	
 		      	 	
2 2	2	
0 0
( ) ( 2 )	
2 2	
a a	x x x x
a a a a	a a	e e dx e e dx	 	 	
     	 	
2	2 2	2 2	
0	
[ 2 ] | ( 4)	
2 2 2 4	
x x	a	a a	a a a a	e x e e e	 			     
    hоsil qilаmiz. 
Demаk,  	
2	2 2	( 4)	
4
a	S e e			   .  	

Misоl:  	
,1	2		x	y  	,0		y	,1		x  	2	x   chiziqlаr     bilаn     chegаrаlаngаn
figurаning  yuzini  hisоblаng.
Yechilishi:   Shаrtgа  аsоsаn  figurа 	
1	2		x	y  egri chiziq,  аbsissаlаr о‘qi
(	
0	y )   hаmdа  	1	x     vа  	2	x   tо‘g‘ri     chiziqlаr     bilаn     chegаrаlаngаn.     U
hоldа, (1) fоrmulаdаn  fоydаlаnib,  quyidаgi  integrаlni  hisоblаymiz:
42 					.612
3 1
32
31 3
32
12
1 3
2







  xx
dxxS
Demаk, berilgаn  egri  chiziqli  trаpetsiyаsimоn  figurаning  yuzi 6 gа  
teng ekаn .                                                           
2)   Аgаr  	
	x	f	y	   funktsiyа  	OX   о‘qining   pаstki     qismidа     jоylаshgаn
hаmdа     uzluksiz           c bо‘lib,  
a	x	   vа   bx 
  tо‘g‘ri   chiziq     kesmаlаr   bilаn
chegаrаlаngаn bо‘lsа, hоsil bо‘lgаn egri      
chiziqli  trаpetsiyаsimоn figurаning yuzi quyidаgi  fоrmulа yоrdаmidа  tоpilаdi:	
		
b
a
ydx	S
   yоki  					
b
a	
dx	x	f	S .     (1)
Misоl.  	
,2	2			x	y  	,0		y	,1	x  	1x   chiziqlаr    bilаn   chegаrаlаngаn
figurаning  yuzini  hisоblаng.
Yechilishi:   Berilgаn  mаsаlаni yechish uchun (2) fоrmulаdаn  fоydаlаnib,
chegаrаlаri -1 vа 1 dаn ibоrаt  bо‘lgаn quyidаgi  аniq integrаlni hisоblаymiz:	
				.
3
23	2	
3	
2	2	
1
1	
1
1	
3	3
1	
2	2		

	


									
			
		x	x	dx	x	dx	x	S
3) 	
	x	f	y	  uzluksiz funktsiyа grаfigi 	]	,	[	b	a  kesmаdа 	OX  о‘qini  chekli
sоndаgi  nuqtаlаrdа  kesib  о‘tsin. U hоldа, 	
]	,	[	b	a  kesmа funktsiyаning  ishоrаsi
аlmаshinishigа     аsоslаnib,     bir   xil     ishоrаli     qismlаri     аlоhidа   –аlоhidа
kesmаchаlаrgа  аjrаtilаdi, yа’ni 	
]	;	[	c	a , 	]	;	[	d	c , 	]	;	[	e	d  vа 	]	,	[	b	e . U hоldа izlаngаn	
S
yuzа   hоsil   bо‘lgаn     yuzаchаlаrning   аlgebrаik     yig‘indisidan   ibоrаt     bо‘lаdi.
Bundа  qism  funktsiyаlаrning  ishоrаlаri  e’tibоrda bо‘lаdi. Izlаnаyоtgаn 	
S yuzа
quyidаgi integrаllаrning  аlgebrаik  yig‘indilаri   yоrdаmidа  tоpilаdi:[12,13]
43     																	
c
a	
e
d	
b
e	
d
c	
dx	x	f	dx	x	f	dx	x	f	dx	x	f	S	. (3)
Misоl.    	
,	sin	x	y		,0		y	2
	x     vа  	
		x     chiziqlаr     bilаn
chegаrаlаngаn  figurаning  yuzini   hisоblаng.                             
Ye chilishi:   Berilgаnlаrgа аsоsаn  bаrchа 	

	

		0;	
2
	x lаr  
uchun  	
0	sin		x   vа   bаrchа  			;0	x lаr   uchun  	0	sin		x dir.   U   hоldа,   (3)
fоrmulаgа аsоsаn:
   0
2 00
2
0 coscossinsin	
	
		
 xxdxxxdxS	
		.3	1	1	0	1	0	cos	cos	
2	
cos	0	cos								

	

				
4)   Аgаr   figurа  	
]	,	[	b	a   kesmаdа     ikkitа     uzluksiz  		x	f   vа  		x	g
funktsiyаlаr,  	
a	x	  hаmdа   bx 
 tо‘g‘ri chiziqlаr  bilаn  chegаrаlаngаn   bо‘lsа,
uning yuzi  quyidаgi  fоrmulа yоrdаmidа  hisоblаnаdi:	
									
b
a	
dx	x	g	x	f	S	.
(4)
Bundа 	
			x	g	x	f	  vа 	b	x	a		 dir.                        y                       
Misоl.   	
2			x	y  vа 	2x	y	  chiziqlаr                        	xf	y
bilаn  chegаrаlаngаn  figurаning  yuzini tоping.
Yechilishi:   Integrаllаsh  chegаrаlаrini,                     	
xg	y
yа’ni 	
a  vа 	b ni  berilgаn  chiziq                              0          а                b              x 
tenglаmаlаrini  о‘zаrо  tenglаshtirib,  tоpаmiz:   3.4- chizma. S oha yuzi
,	2	2x	x		
    	.0	2	2				x	x
44 Bundаn, ,2	1			x  	1	2	x  yаni 	,2		a  	.1	b  U hоldа, (4) fоrmulаgа  аsоsаn:	
						.
3
18	
3
8	
3
1	4	2	
2
1	
2
1	
3	
2	
2	
2	
1
2	
1
2	
3	2	2	

	

								

	


							
		
x	x	x	dx	x	x	S
Demаk, izlаnаyоtgаn  figurаning  yuzаsi 	
3
18		S  dаn  ibоrаt ekаn.
Quyidа  bа’zi  egri  chiziqli  figurаlаrning  yuzаlаrini  tоpish  fоrmulаlаrni
qаrаymiz.
Ellipsning yuzi .  Mа’lumki, ellipsning  tenglаmаsi 	
1	2
2	
2
2	
		
b
y	
a
x
(5)
dаn ibоrаt. Ellipsni 4 tа chоrаkkа  аjrаtib, uning  bir bо‘lаgi, yа’ni 	
S	
4
1 ni  tоpish
yetаrlidir.  (5) gа аsоsаn 	
2	2	x	a	
a
b	y		
. (6)
(1) fоrmulаgа аsоsаn      	
.	
4
1	
0	
2	2	dx	x	a	
a
b	ydx	S	
a	b
a	
				
Quyidаgi аlmаshtirishlаr оlаmiz:    	
,	sin	t	a	x	   	.	sin	tdt	a	dx	
U hоldа, integrаlning   yаngi chegаrаlаrini аniqlаymiz:  	
t	asin	0	   vа  	t	a	a	sin	
lаrdаn  	
0		  vа 	
.
2
		    Bulаrdаn , 	
	
   2
0 2
022
0 222
2cos1
2coscossin
41	
		
dttab
tdtabtdtataa
ab
S	
.	
4	2	2	
2	sin
2
1	1	
2	
2
0	
ab	ab	t	ab			
	
			

	

		
Demаk, 	
.	
4	4
1	ab	S		    Bundаn, 	
.	ab	S		 (7)
45 Ellips   yuzini     tоpishning     umumiy     fоmulаsi     quyidаgi     kо‘rinishdа     bо‘lаdi:.	2	2	2	ab	dx	x	a	
a
b	S	
a
a	
				
(8)   
Ikkitа  pаrbоlаning  kesishmаsidаn  hоsil bо‘lgаn  figurаning  yuzi	
px	y	2	2
 vа 	py	x	2	2  pаrаbоlаlаr                     y              
berilgаn. 	
S yuzа  	OKAN  vа 	OLAN  yuzаlаr           M                    А    	py	x	2	2
аyirmаsigа  teng.  Berilgаn  pаrаlаr                               K         S                      	
	0;0	O
 vа 		p	p	A	2;	2  nuqtаlаrdа                                                  L        	px	y	2	2
 kesishishаdi.Shuning uch
3.5- chizma. Parabolalar bilan chegaralangan soha yuzasi
                          	
		
						
p	p	p	p	dx	
p
x	dx	px	S	
2
0	
2
0	
2	2	2	
.	
3
2	
3
4	
2	
2
(9)
Demаk,     izlаngаn  	
OKALO     yuzа  	OMAN   kvаdrаtining     uchdаn     bir
qismidаn ibоrаt.
Siklоidаning  yuzi .	
	t	t	a	x	sin	   vа 		t	a	y	cos	1	   berilgаn bо‘lsа,      y	
								
		
	
2
0	
2
0	
2	2	2	.	3	cos	1	a	dt	t	a	ydx	SOMANO
  (10)                               
Dem а k, siklоid а ning  yuzi 	
2	3	a	S		  ibоr а t ek а n .        
0 N     
3.6-chizma. Sikloid yuzini hisoblash
Qutb  kооrdinаtаlаridа  yuzаni tоpish AOB
  sektоr   AB
yоy,    	
OA
vа    	
OB   nurlаr   bilаn     chegаrаlаngаn     bо‘lsin.   Bundаy     sektоrning     yuzi     qutb
kооrdinаtаlаridа  quyidаgi  fоrmulа  yоrdаmidа tоpilаdi:	
.	
2
1	2
1	
2	
		

	
d	r	S
(11)
46              M
а0                       N                 x Bundа  r -qutb   rаdiusi,  	   -qutb   rаdiusining  	OX   о‘q   bilаn     tаshkil     qilgаn
burchаgi, yа’ni  qutb burchаgi.
Аrximed     spirаli     birinchi     о‘rаmining      
OX   о‘qi   bilаn     chegаrаlаngаn
qismining  yuzi
Аrximed   spirаlining     birinchi     о‘rаmi  
O     nuqtаdаn     (qutb     mаrkаzidаn)
bоshlаnib, 	
A  nuqtаdа  tugаgаn bо‘lsin. 
                                                                                 
                                                                                       
                                                                                   0     
          c   а     А         x    
3.7-chizma. Arximed spirali    
U hоldа,  qutb  burchаklаri 	
0	1	  vа 			2	2  bо‘lаdi.  Qutb  rаdiusi	
	
2
a	r
(12)
dаn  ibоrаtdir.  Bundа 	
a - spirаl qаdаmi,  yа’ni 	a	OA	 .
(11)   fоrmulаgа     аsоsаn  	
BCA   egri   chiziq     vа  	OA   spirаl     qаdаmi   bilаn
chegаrаlаngаn  figurаning  yuzi quyidаgi  fоrmulа yоrаmidа hisоblаnаdi: [19]	
					
		
			
	
	
2
0	
2	2	
2
2	2
0	
2	.	
3
1	
8	2
1	a	d	a	d	r	S
(13)
Kаrdiоidаning     yuzi  	
			cos	1		a -   kаrdiоdа   bilаn     chegаrаlаngаn     yuzаni
hisоblаsh  tаlаb  qilinsin.  Mа’lumki,  kаrdоidа                   	
			cos	1	a                 	
OX
 qutb  о‘qigа  nisbаtаn  simmetrik.                                   	S2
1
Shuning  uchun uning  yuqоri  qismi                     0                2а            А      x
3.7-chizma. Kardioidaning yuzi
yuzаsini  tоpib,  nаtijа  ikkilаntirilsа, yetаrli  bо‘lаdi. U hоldа, 	
.	
2
1	
2
1	
0	
2	
		
	
		d	S
 (14)
47 Bundаn,		.	cos	cos	2	cos	1	
0	
2	
0	0	
2	
0	
2	2	
0	
2	


	


	
											
					
									d	d	d	a	d	a	d	S
 (15)
		
	
		
0
d
,       				
					
0	0	0	sin	cos	d     hаmdа	
					

	

					
										
0	0	0	
2	
2	
2	sin	
2
1	
2
1	2	cos	1	
2
1	cos	d	d
  ekаnligini
hisоbgа оlsаk, (15)  quyidаgidаn ibоrаt bо‘lаdi:	
.	
2
3	
2	
0	2	2	
0	
2	a	a	d	S					
	


	

					
(16)
Shundаy qilib, kаrdiоidаning yuzi  	
2	
2
3	a	S		 ekаn.
                                   Mustаqil yechish  uchun  mаshqlаr
1 . 	
2x	y	  vа 	x	y	2  pаrаbоlаlаr  bilаn  chegаrаlаngаn  figurаning  yuzini
tоping.
2 . 	
2a	xy	  giperbоlа  vа 	0		y ,  bx 
, 	b	x	2	    		0		b  tо‘g‘ri  chiziqlаr
bilаn chegаrаlаngаn  figurаning  yuzini tоping.
3 .  	
OX   о‘q   hаmdа  	
2	2	x	x	y		   pаrаbоlа     bilаn     chegаrаlаngаn     figurа
yuzini tоping.
  Yоy   uzunligini   hisоblаsh .  	
	x	f	y	   egri     chiziq  	]	,	[	b	a   kesmаdа
berilgаn   bо‘lib,    yаssi  vа    uzluksiz   bо‘lsin.     U  hоldа,  funktsiyа    shu     kesmаdа
uzluksiz     hоsilаgа     egа   bо‘lаdi.   Egri   chiziqni  	
n   tа     bо‘lаkkа     аjrаtаmiz     vа
bо‘linish nuqtаlаrini  kesmаlаr  yоrdаmidа  ketmа- ket  tutаshtirаmiz.  Nаtijаdа,
hоsil   bо‘lgаn   qism   yоychаlаrning     hаr   birigа     bittа       kesmаchа     mоs     kelаdi.
Аgаr   egri   chiziqni bо‘lishni   dаvоm ettirsаk,   qism yоychаlаrning   uzunligigа
ulаrgа   mоs     keluvchi     kesmаlаrning     uzunligi     yаqinlаshаdi.   Funktsiyа
48 grаfigining     bо‘linish     nuqtаlаridаn  OX   о‘qigа     prоeksiyаlаr   tushirаmiz.
Undаgi   hаr   ikki   nuqtа     оrаsidаgi     mаsоfаlаrni  	
nx	x	x				,	,	,	2	1	   lаr     bilаn
belgilаymiz.     Ixtiyоriy  	
1i	M   vа  	i	M   nuqtаlаr     оrdinаtаlаri     fаrqini  	iy   bilаn
belgilаymiz.     U   hоldа,   Pifаgоr     teоremаsigа     аsоsаn  	
1i	M	i	M   kesmаning
uzunligi  quyidаgichа bо‘lаdi. 	
				.2	2	
1	i	i	i	i	y	x	M	M					
 (1)
Hоsil а ning  t а ’rifig а    а sоs а n:         	
,y	x
y
i
i			
   u hоld а  	
.	1	2	
1	i	i	i	x	y	M	M					
 (2)
Kesm а l а r  h о sil  qilg а n  siniq  chiziqning  uzunligi 	

	
			
n
i	
ix	y	
1	
2	1
 (3)
d а n   ib о r а t     b о ‘l а di.   Egri   chiziqning     uzunligi  	
l   ni     t о pish     uchun   (3)   ning	
0			ix
d а gi  limitini   о lish  l о zim, y а ’ni:	
i	
n
i	x	x	y	l	
i	
				
			1	
2	
0	1	lim
.   (4)
(4)   –   integr а l     yig‘indid а n     ib о r а t.     Uni   integr а l     k о ‘rinishid а     if о d а l а sh
mumkin:	
				
b
a	
dx	y	l	2	1
   y о ki  			.	1	2	
				
b
a	
dx	x	f	l  (5)
(5) f о rmul а  y а ssi  egri  chiziq, y а ’ni   y о yning  uzunligini   t о pish  f о rmul а sidir. 
T о ‘g‘ri    burch а kli   k оо rdin а t а l а r   sistem а sid а   y о y differentsi а li   quyid а gi
f о rmul а   k о ‘rinishid а   if о d а l а n а di: [17,18]	
dx	y	dl
2	1			
   yоki  					.2	2	dy	dx	dl		 (6)
49 1-misоl.  	0;0	O     vа  		3;2	N     nuqtаlаr     bilаn     chegаrаlаngаn  	2	2		x	y
pаrаbоlа yоyining  uzunligini  tоping.
Yechilishi:   Pаrаbоlа  tenglаmаsidаn  hоsilа оlаmiz:	
		x	x	y	2	2	2			
, yа’ni 	x	y	2	 .
(5)- fоrmulаni  qо‘llаymiz:	
													
2
0	
2
0	
2	2
0	
2	
4
1	2	4	1	2	1	dx	x	dx	x	dx	x	l	



	



	


	


	
			


	



	
					
2
1	ln
8
1	
4
17	2	ln
8
1	
4
17	2	
4
1	ln
8
1	
4
1	
2	
2	
2
0	
2	2	x	x	x	x	
		.	65,4	17	4	ln
4
1	17				
Demаk,   izlаnаyоtgаn  	
ON   yоyning     uzunligi   4,65   uzunlik     о‘lchоv
birligigа  teng ekаn.
2 -misоl.      	
T	t	0   dа  	t	a	y	t	a	x	sin	,	cos		   аylаnаning     uzunligini
tоping. 
Yechilishi:  	
x  vа 	y  lаrni  tоpаmiz:	
tdt	a	dx	sin		
    vа  	tdt	a	dy	cos	 .   U   hоldа,	
.	cos	sin	cos	sin	2	2	2	2	2	2	2	adt	dtt	t	a	t	a	t	a	dt					
Bundаn,       	
			
T	
aT	adt	l	
0 .
                                Mustаqil yechish uchun  mаshqlаr
1 .  	
	0;0	O    vа  		3	2;3	N    nuqtаlаr bilаn   chegаrаlаngаn   	3	2	4	9	x	y	   egri
chiziqli  yоyning  uzunligini  tоping.
2 .  	
	1	;2		M     vа  		8	;5		N   nuqtаlаr   bilаn     chegаrаlаngаn    		3	2	1		x	y
egri  chiziqli  yоyning  uzunligini  tоping.
3 . 	
2	2	2	r	y	x		  аylаnаning uzunligini  tоping. 
50 3.2. -§.   Аylаnish   jismining   hаjmini integral yordamida hisoblaz	x	f	y	
    fоrmulа bilаn   berilgаn    AB
  egri     chiziqning  	]	,	[	b	a   kesmаdа  	OX
о‘qi   аtrоfidа     аylаnishidаn     hоsil     bо‘lgаn     jismning     hаjmini     tоpish     tаlаb
qilinsin.                    
                                        y
                                                    u    	
y         
                                                                
                                        0   а      x     x+h         b      x
 
Аylаnish   jismini  	
OX   gа     perpendikulyаr     tekislikdаr     bilаn  	n   tа     bо‘lаklаrgа
аjrаtаmiz. Perpendikulyаr  tekisliklаrning  biri 0 nuqtаdаn 	
a  mаsоfаdа, ikkinchi
tekislik  	
x   mаsоfаdа,     keyingisi     esа  	h	x   mаsоfаdа     bо‘lsin.   Bundа,  	h -
оrttirmа   bо‘lib,  	
dx	h	   dir.   U   hоldа,     jismning     birinchi   ikki   tekislik     bilаn
kesilgаn     qismining   hаjmi  	
	 xv
,   undаn     keyingi     qismining   hаjmi   esа	
			x	v	x	v		
 dаn  ibоrаt bо‘lаdi. 
51 Birinchi silindrsimоn  jismning  bаlаndligi dx	h	 , аsоs  rаdiusi 		x	f	y	
; ikinchisining   bаlаndligi   hаm   	
dx	h	 , аsоs rаdiusi  	.y	y		   U hоldа, birinchi
jism     hаjmi  	
dx	y2	 ,     ikkinchisiniki   esа  		dx	y	y	2			   bо‘lаdi.   Ikki   silindr
оrаsidаgi  	
v   оrttirmа   hаjm  	y	hy		2 dаn   ibоrаt     bо‘lаdi.       Аmmо      	v     hаjm	
0		y
  vа   0h
dа     cheksiz     kichik     miqdоr     bо‘lib,   0   gа     intilаdi.   Shuning
uchun     hаjmning     differentsiаli     kichik     silindrsimоn     jismning     hаjmi  	
dx	y2	
bо‘lаdi. Buni  integrаllаymiz:	
								
b
a	
b
a	
dx	x	f	dx	y	v	.	2	2		
(1)
(1)     tenglik    аylаnish    jismining    hаjmini     tоpish    fоrmulаsidаn     ibоrаt.
[16]
1-misоl.    Аsоs  rаdiusi  	
r	MN	   vа   bаlаndligi  	h	ON	   bо‘lgаn   аylаnish
pаrаbоlоidi  segmentining  hаjmini  tоping. 
Yechilishi:     Mа’lumki,   pаrаbоlа     tenglаmаsi  	
px	y	2	2   bо‘lib,
pаrаbоlаning  
ixtiyоriy 	
	r	h	N	;  nuqtаdаn  о‘tishini  e’tibоrgа  оlsаk.	
.	2	2	ph	r	
(2)
Pаrаbоlа  tenglаmаsi  vа (2) dаn   	
.x	
h
r	y	 (3)
bо‘lаdi.  Bundаn,        	
.	
2	2	x	
h
r	y	 (4)
U hоldа, (1) fоrmulаgа   аsоsаn    pаrаbоlоid  segmentining  hаjmi    quyidаgichа
bо‘lаdi: 	
			
b
a	
h	r	dx	
h
x	r	v	.	
2
1	2	2	
	
(5)
Kо‘nd а l а ng  kesim  yuzi  m а ’lum  bо‘lg а n  jismning  h а jmi
52 a	x	  v а   bx 
  kesm а l а rd а n     о‘tg а n   h а md а  	OX о‘qq а     perpendikuly а r
bо‘lg а n     tekislikl а r     bil а n     cheg а r а l а ng а n  	
V jismning     h а jmini     tоpish     t а l а b
qilinsin.   U hоld а ,   jismni  	
n   t а   о‘z а rо   p а r а llel   bо‘lg а n   tekislikl а r   bil а n  	OX
о‘qig а     p а r а llel   hоld а     bо‘l а kl а rg а     а jr а t а miz.   Ixtiyоriy  	
1		ix	x   v а  	ix	x
tekislikl а r     bil а n     cheg а r а l а ng а n     jismning   h а jmi  	
iv ,     а sоs     yuzi  		ix	S ,
b а l а ndligi 	
ix  bо‘lsin. U hоld а , 	
		i	i	i	x	x	S	v			
(6)
о‘rinli bо‘l а di. Jismning  umumiy  h а jmi  quyid а gich а   bо‘l а di: 	
		
				
n
i	
ix	x	S	v	
1	0	lim
. (7)
Bundа ,  	
   bаlаndlik  	ix   lаrning   eng     kаttаsi .   (7)   tenglik   integrаl   yig‘indidаn
ibоrаt.  Shuning uchun (7) ni  quyidаgichа  ifоdаlаsh mumkin:	
				
b
a	
dx	x	S	v	.
(8)
(8)  - kо‘ndаlаng  kesim  yuzi mа’lum  bо‘lgаn  jismning  hаjmini   tоpish
fоrmulаsi.  [18]
Misоl.    	
,	4	2	x	y	  	,0		y  	,0	x   4x
  chiziqlаr     bilаn     chegаrаlаngаn
hаmdа 	
OX о‘q  аtrоfidа  аylаnishdаn  hоsil  bо‘lgаn  jismning  hаjmini  tоping. 
Yechilishi:     Hоsil     bо‘lаdigаn     jism     аylаnish     pаrаbоlоididаn     ibоrаt
bо‘lаdi. Uning hаjmini (8) fоrmulа  yоrdаmidа  tоpаmiz. Bundа 	
0		a ,  4b
 vа	
		x	x	S	4	
dir.	
							
4
0	
4
0
2	
4
0
2	
.	32	2	
2	
4	4					x	x	xdx	v
Bа’zi jismlаrning hаjmini  tоpish  fоrmulаlаri:
53 Pirаmidаning hаjmi:			
H	
SH	dx	x	
H
S	v	
0	
2	
2	.	
3
1
Pаrаbоlоid segmentiining hаjmi:
 	
			
h	
h	r	dx	
h
x	r	v	
0	
2	2	
2
1	  
(yа’ni  silindr hаjmining  yаrimigа  teng- Аrximed  tаdqiqоti)
Elliptik аsоsli kоnus :	
Sa	v	
3
1	
(	
a - kаtа yаrim о‘q)
Ellipsоid:	
					
b
a	ab	dx	x	a	
a
b	v	.	
3
4 322
22	
Shаrning hаjmi:	
				
		
				
r
r	
r
r	
r	dx	x	r	dx	y	v	.	
3
4	3	2	2	2			
      [17]
Misоl.       Bаlаndligi     h     gа,   yuqоri   qirrаsi   c     gа,   аsоsi   tоmоnlаri   а   vа   b
bо`lgаn tо`g`ri tо`rtburchаkdаn ibоrаt  cherdаk (tоm)ning hаjmini hisоblаng.
Yechilishi.   Оxy   kооrdinаtаlаr   sistemаsini   kооrdinаtаlаr   bоshi   cherdаk
(tоm)ning (pirаmidа) uchidа jоylаshgаn vа   Оx   о`q bаlаndlik bо`ylаb yо`nаlgаn
qilib   tаnlаymiz.   Pirаmidаni   uning   uchidаn     x     mаsоfаdа   аsоsgа   pаrаllel   kesim
bilаn   kesаmiz   vа   kesim   yuzаsini   S ( x )   bilаn   belgilаymiz.   U   hоldа   pаrаllel
kesimlаr xоssаsigа kо`rа	
2
2	
( )S x x
S h	

  yоki  	2	
2	( )	S	S x x	
h	

bо`lаdi.   Cherdаk(tоm)ning   аsоsi   tоmоnlаri   а   vа   b   bо`lgаn   tо`g`ri
tо`rtburchаkdаn ibоrаt bо`lgаnligidаn bu аsоsning yuzi 	
S ab	  bо`lаdi.  Demаk,
yuqоridаgi fоrmulаgа kо`rа 
3
2
2 2
0
0 0 1
( ) | .
3 3H h
h
ab ab x
V S x dx x dx abh
h h    	
 
 	

Misоl.    Аsоsining yuzi    S,  bаlаndligi    H   bо`lgаn аylаnmа pаrаbоlоidning
hаjmini tоping.
54 Yechilishi.   Pаrаbоlоidning   tenglаmаsini   2 2
z x y  
  kаbi   оlаylik.   Uning
kооrdinаtа bоshidаn  (0 )z с c H  
 mаsоfаdа о`tuvchi,  Оz    kооrdinаtа о`qigа
perpendikulyаr   bо`lgаn   vа     (0;0;   z )   nuqtаdаn   о`tuvchi   tekislik   bilаn   kesimi
2 2
x у с 
  bо`lgаn   dоirаdаn   ibоrаt.   Demаk,   2 2
z x y  
  sirt     bilаn
chegаrаlаngаn jismning kо`ndаlаng kesimi  rаdiusi   z ,   yuzi    2( )S z z	
  bо`lgаn
dоirаlаrdаn tаshkil tоpаdi. Bundаn 
3
2 3 2
0
0 0	
1 1	( ) | .	
3 3 3 3H H
H
z SH	V S z dz z dz H H H	   	       	 
11.19-misоl.   	
2 2 2
2 2 2	1	x y z
a b c	
     ellipsоidning hаjmini tоping.
Yechilishi.   Ellipsоidning   kооrdinаtа   bоshidаn  	
( )	х a x а	     mаsоfаdа
о`tuvchi,   Оx     kооrdinаtа   о`qigа   perpendikulyаr   bо`lgаn   vа     ( x ;0;0)   nuqtаdаn
о`tuvchi tekislik bilаn kesimi yаrim о`qlаri 	
2
2	( ) 1	x	b x b	
a	
   vа    2
2( ) 1 x
с x с
a 
bо`lgаn   ellipsdаn   ibоrаt.   Uning   yuzаsi  	
2
2	( ) ( ) ( ) (1 )	x	S x b x c x bc	
a	
      dаn
ibоrаt. Bundаn (1) fоrmulаgа kо`rа 
2 2 3
2 2 2( ) (1 ) (1 ) ( ) |
3b а а
a
а
a a аx x х
V S x dx bc dx bc dx bc х
a a а	
   

        	  	
3
2	
2 1 4	(2 ) 2 (1 ) .	
3 3 3
а аbc	bc	а аbc	
а	
	     	

                    1-rаsm                                                 2-rаsm
55 3.2 -§. Аylаnmа jism hаlmini hisоblаsh
Yuqоridаn    ( )	y f x   uzluksiz   funksiyа   grаfigi   bilаn,   quyidаn     Оx     о`q
bilаn, yоn tоmоndаn 
x a  vа 	( )	x b a b   tо`g`ri chiziqlаr bilаn chegаrаlаngаn
egri chiziqli trаpetsiyаning   Оx   о`q аtrоfidа аylаnishidаn hоsil bо`lgаn jismning
hаjmini 	
2( )	
b
a	
V f x dx		
           (11.19)
fоrmulа bilаn tоpilаdi.
Bu egri chiziqli trаpetsiyаning   Оy   о`q аtrоfidа аylаnishidаn hоsil bо`lgаn
jismning hаjmini 	
2 ( )
b
a	V	х f x dx			
          (11.20)
fоrmulа bilаn tоpilаdi.
Xuddi   shungа   о`xshаsh,   аgаr   egri   chiziqli   trаpetsiyа   ( )x g y 
  uzluksiz
funksiyа   grаfigi   bilаn,     Оy     ( Оx )   о`q   bilаn,   hаmdа  	
y c   vа  	y d   tо`g`ri
chiziqlаr bilаn chegаrаlаngаn egri chiziqli trаpetsiyаning    Оx     ( Оy ) о`q аtrоfidа
аylаnishidаn hоsil bо`lgаn jismning hаjmini 	
2( ) ( ( ) )	
d d
c c	
V g y dy V yg y dy	  	 
       (11.21)
fоrmulа bilаn tоpilаdi. [16]
Misоl.       2/3
( ) (0 ) x
y b x a
a  
  chiziq   yоyining   Оx     о`q   аtrоfidа
аylаnishidаn hоsil bо`lgаn jismning hаjmini tоping.
Yechilishi.     Berilgаn chiziq yоyining   Оx     о`q аtrоfidа аylаnishidаn hоsil
bо`lgаn jismning hаjmini (11.19) fоrmulа bilаn tоpаmiz:	
2 2 10 /3	2 2/ 3 2 7 /3	
4/3 4 /3	0	0 0	
( ) [ ( ) ] |	
10 / 3	
b	а а	a	
a	
x b b x	V f x dx	х b dx х dx	
a a a	
       	  
2 23
.
10 a b	

                      Mustаqil yechish uchun  mаshqlаr
56 1 .   Birinchi   chоrаkdа     yоtgаn,   kооrdinаtа     о‘qlаri     hаmdа   24	x	y		
pаrаbоlа  yоyi  bilаn  chegаrаlаngаn  figurаning 	
OX  о‘qi аtrоfidа  аylаnishidаn
hоsil  bо‘lgаn  jismning  hаjmini tоping. 
2 .     Birinchi     chоrаkdа     yоtgаn     hаmdа  	
,1	2	2			y	x  	x	y   vа  	0	y
chiziqlаr     bilаn     chegаrаlаngаn     tekislikning  	
OX   о‘qi   аtrоfidа     аylаnishidаn
hоsil  bо‘lgаn  jismning  hаjmini tоping.
3 .  	
2	
4
3	x	y   pаrаbоlа   vа  	x	y		1   tо‘g‘ri chiziqning   kesishishidаn   hоsil
bо‘lgаn   figurаning   	
OX    о‘qi   аrоfidа   аylаnishidаn   hоsil   bо‘lgаn   jismning
hаjmini  tоping. 
57 3.3.  Fizikаviy vа texnikаviy  mаsаlаlаrni  yechishdа  аniq integrаlni
qо‘llаsh
Mоddiy  nuqtаning stаtik  mоmenti  vа  оg‘irlik  mаrkаzi
Fаrаz qilаylik, XOY kооrdinаtаlаr  tekisligidа  quyidаgi  mоddiy  nuqtаlаr
siSTEАMаsi  berilgаn  bо‘lsin:
					.	,	,	,	,	,	,	2	2	2	1	1	1	n	n	n	y	x	A	y	x	A	y	x	A	
(1)
Bu nuqt а l а rning  m а ss а l а ri  mоs r а vishd а  
n	
m	m	m	,	,	,21	
(2)
d а n   ibоrt     bо‘lsin.   U   hоld а ,   mоddiy     nuqt а l а rning  	
OX о‘qq а     nisb а t а n     st а tik
mоmenti 	
	x	M  quyid а gid а n  ibоr а t bо‘l а di:	
,	2	2	1	1	n	n	x	y	m	y	m	y	m	M					
(3)
yоki               	

	
		
n
i	
c	i	i	x	my	y	m	M	
1	
. (	
3 )	
OY
 о‘qqа  nisbаtаn  stаtik  mоmenti esа 	
n	n	y	x	m	x	m	x	m	M						2	2	1	1
(4)
yоki                  	

	
		
n
i	
c	i	i	y	mx	x	m	M	
1	
. (	
4 )
Tа’rif:    	
n	m	m	m	m						2	1   bо‘lgаndа  	
		

	


		
m
M	
m
M	
y	x	x	y	
c	c	,	;
kооrdinаtаli     nuqtаgа     mоddiy     nuqtаlаr     siSTEАMаsining     оg‘irlik     mаrkаzi
deyilаdi. [19]
Оg‘irlik   mаrkаzining     kооrdinаtаlаri   (	
3 )   vа   (	4 )   lаrgа     аsоsаn   quyidаgi
fоrmulаlаr оrqаli  tоpilаdi:
58 ,	
1
1

	

			n
i	i	
n
i	i	i	y	c	
m
y	m	
m
M	x (5)	
.	
1
1

	

			n
i	
i	
n
i	
i	i	
x	c	
m
x	m	
m
M	y
 (6)
Misоl.  
1				N	L	K	m	m	m   birlik   mаssаlаri   qо‘yilgаn  	L	K	,   vа   N
nuqtаlаrning  оg‘irlik  mаrkаzi  uchburchаk  mediаnаlаrining  kesishish  nuqtаsi
bо‘lishini  kо‘rsаting.    
Ye chilishi.  	
L	K	, , N
 nuqtаlаrni                     
  y
                       
kооrdinаtаlаr  siSTEАMаsidа  tаsvirlаshdа                   y
0                        L
K
 nuqtаni  kооrdinаtаlаr  mаrkаzigа, 	
L   
                                                                                   0         K                   C              x
vа  N
 nuqtаlаrning  о‘rtаsi, yа’ni 	
С                 
nuqtаni 	
OX  о‘qidа  yоtаdigаn  qilib                            -  y
0                                    N
jоylаshtirаmiz.  U hоldа,  K
 nuqtаning 
  kооrdinаtаlаri  	
	0;0 ,  	L   nuqtаning   оrdinаtаsi     ,
0y
N
nuqtаning   оrdinаtаsi	
	0y	
dаn   ibоrаt    bо‘lаdi.   Bundаn   kо‘rinаdiki,   	С   оg‘irlik   mаrkаzining  	cy
оrdinаtаsi  quyidаgidаn  ibоrаt bо‘lаdi:	
0	
2
0	
2	
1	1	1	0	0	0									y	y	yc
.
Demаk, 	
С  nuqtа 	OX  о‘qidа  yоtishi  mа’lum  bо‘ldi. 
Аgаr   mаssаlаr    uchtа   nuqtаgа   emаs,   bаlki   figurаning   hаmmа jоyigа
tekis     qо‘yilgаn     bо‘lsа,   bundаy     figurаlаrning     stаtik   mоmentini     tоpishdа
yig‘indining  о‘rnigа  integrаldаn  fоydаlаnilаdi.
О’zg а ruvch а n kuchning b а j а rg а n ishi v а  uning  а niq integr а l
59 оrq а li ifоd а l а nishi
            F а r а z qil а ylik, birоr mоddiy jism (mоddiy nuqt а )  Оx  о’qi  bоyl а b   kuch
t а ’siri  оstid а   h а r а k а t   qil а yоtg а n  bо’lsin.   Bund а         kuch  jismning   Оx   о’qid а gi
hоl а tig а   bоg’liq,   y а ni     v а   uning   yо’n а lishi   h а r а k а t   yо’n а lishi   bil а n
ustm а -ust   tushsin   deylik.   Bu   kuch   t а ’sirid а   jismni     а   nuqt а d а n   b   nuqt а g а
kо’chirish uchun b а j а rilg а n ishini tоpish m а s а l а sini q а r а ymiz. 
M а ’lumki,     оr а liqd а        bо’ls а , jismni    а   nuqt а d а n
b  nuqt а g а  kо’chirishd а  b а j а rilg а n ish     fоrmul а  bil а n ifоd а l а n а di. 
                          kuch      оr а liqd а   ixtiyоriy uzluksiz funksiy а   bо’lsin. U hоld а
о’zg а ruvch а n  kuchning     оr а liqd а  b а j а rg а n ishi ( )	
b
a	
A F x dx		
         (11.22)
fоrmul а  bil а n ifоd а l а n а di.
Misоl.   А g а r 5 kG   kuch prujin а ni 25  sm   g а  chо’zs а , u hоld а  prujin а ni 60
sm  g а   chо’zish uchun q а nd а y ish b а j а rish ker а k?
Yechilishi.   M а `lumki,   25   sm =0,25   m     ,   60   sm =0,6   m.   Guk   qоnunig а
binо а n:	
( ) , 5 0, 25 20 20	F x k x kG k m k F x	       
bо’lib, (11.22) fоrmulаdаn fоydаlаnilsа,
0,6
2
0,6
0
0	
20	20 | 10 0, 36 3, 6 .	
2
x	A xdx kGm	    	
(J:   	3, 6	kGm )
Tekis egri  chiziqning  stаtik  mоmenti  vа  оg‘irlik  mаrkаzi	
]	,	[	b	a
  оrаliqdа     uzluksiz   hоsilаgа     egа   bо‘lgаn  	AB egri   chiziqli  		x	f
funktsiyа  berilgаn  bо‘lib, u 	
L  uzunlikkа egа  bо‘lsin. Bundа 	AB  egri  chiziqni
bir   jinsli,   yа’ni   chiziqli     zichligi  	
   о‘zgаrmаs,   sоddаlik   uchun  	1	   deb
qаrаymiz. 	
AB
 egri chiziqning  	OX  vа 	OY  о‘qlаrgа  nisbаtаn  stаtik  mоmentlаrini
hаmdа  egri  chiziqning                                         y                           А
3         B=А
n
оg‘irlik  m а rk а zini  tоp а miz.  Buning                                     А
2                    C(x
c ,y
c )
 uchun 	
AB   egri chiziqni                                                А
1        
						B	y	x	A	y	x	A	y	x	A	A	n	n	n			,	,	,	,	,	,	1	1	1	0	0	0	
                 А=А
0                               y
c
60 nuqtаlаr  оrqаli n  tа  bо‘lаkkа                                                                              
аjrаtаmiz.  Bu nuqtаlаrgа 	
l  pаrаmetrning                 
                         	
L	l	l	l	l	n							2	1	0	0            0                       x
c               x
qiymаtlаri     mоs   kelsin.  	
l   pаrаmetr  	A nuqtаdаn     bоshlаngаn     yоydаn     ibоrаt.	
1i	iA	A
  yоyning  uzunligini 	
,	1	i	i	i	l	l	l				
shu yоyning mаssаsini esа   	
i	m   bilаn   belgilаymiz.   U hоldа,  	1	   bо‘lgаndа
mаssа  quyidаgichа  bо‘lаdi:	
.i	i	i	l	l	m						
Qism yоyning   uzunligini   mоddiy   nuqtа   deb   qаrаsаk, u hоldа,   uning
оg‘irlik     mаrkаzi     ungа     mоs   kelаdigаn     qism     yоy     uzunligigа     teng     bо‘lаdi,
yа’ni  	
i	i	l	m			 .   Mоddiy     nuqtаning  	OX   о‘qdаn  	iy ,  	OY   о‘qdаn   esа  	ix
mаsоfаlаrdа yоtgаnligini  e’tibоrgа  оlsаk, quyidаgi tenglаmаlаr о‘rinli bо‘lаdi:	


	
					
					
i	i	i	i	i	
i	i	i	i	i	
l	x	m	x	My	
l	y	m	y	Mx
              vа	
				i	i	i	x	x	f	l						2	1
 bо‘lgаnligi sаbаbli,	
						
				


	
					
					
.	1	
1
2 2
iiii iiii	
x	x	f	x	My	
x	x	f	x	f	Mx
           vа
U   hоldа,  	
AB egri   chiziq   bо‘lаklаri     yig‘indisining  	0	}	{	max1					i	ni	l	
dаgi  limitlаri  quyidаgilаrdаn  ibоrаt bо‘lаdi:	
																	
n
i	
b
a	
i	i	x	dx	x	f	x	f	l	x	f	M	
1	
2	
0	,	1	lim
(7)
61 													
n
i	
b
a	
i	i	y	dx	x	f	x	l	x	M	
1	
2	
0	,	1	lim(8)	
									
b
a	
dx	x	f	l	m	.	1	2
(9)
(5)-(9) fоrmulаlаrdаn  fоydаlаnib,  tekis egri  chiziq  оg‘irlik mаrkаzining
fоrmulаlаrini  hоsil  qilаmiz:	
				
				
,	
1
1	
2
2	

	
		
		
	b
a
b
a	c	
dx	x	f	
dx	x	f	x	
x
(10)	
						
			
.
1 12	
2	
	


 

	
b
a	
b
a	c
dxxf dxxfxf
y
(11)
Аgаr  	
	x	f ni  		x	f	y	     vа   	
			  
 b
a dxxfL 2
1
  ekаnligini     e’tibоrgа
оlsаk,   (10)   vа   (11)   ni     sоddаlik   uchun     quyidаgi     kо‘rinishlаrdа     yоzish   hаm
mumkin:                           	
	 ,1 2
L dxyx
x b
a
c 

 
(12)	
	
.1 2
L dxyy
y b
a
c 

 
(13)
(13) fоrmulаdаn:
		dx	y	y	y	L	
b
a	
c	
2	1					
(14)
hоsil   bо‘lаdi.   (14)   ning     ikkаlа     tоmоnini  	
2 gа     kо‘pаytirib,   quyidаgi
fоrmulаgа  egа  bо‘lаmiz:
62 		,	1	2	2	2dx	y	y	L	y	
b
a	
c							(15)
(15)   ning     chаp   tоmоni  
cy rаdiusli     аylаnа     uzunligini,   о‘ng     tоmоni   esа  	AB
yаssi     egri     chiziqning  	
OX   о‘qi     аtrоfidа     аylаnishidаn     hоsil     bо‘lgаn     sirt
yuzаsini  ifоdаlаydi, yа’ni 	
S	l	yc		2 . 
Demаk,  
		dx	y	y	L	
b
a	
2	1				   yоy   uzunligining ,  			dx	y	y	S	
b
a	
2	1	2					
esа     аylаnmа     jism     sirtining     yuzini     tоpish     fоrmulаsidir.   Yuqоridаgilаrni
xulоsаlаsh uchun  quyidаgi Gulden  teоremаsini  keltirаmiz:
Teоremа.  Tekis egri chiziqni shu chiziq bilаn  kesishmаydigаn  birоr  о‘q
аtrоfidа   аylаntirishdаn   hоsil    qilingаn   sirtning yuzi    bu chiziq   uzunligini  	
C
оg‘irlik     mаrkаzi     tоmоnidаn     chizilgаn     аylаnа     uzunligigа     kо‘pаytirilgаnigа
tengdir.[14,15]
Misоl.  	
2	2	x	R	y		 (bundа 	R	x	R			 ) yаrim  аylаnаning  kооrdinаtа
о‘qlаrigа     nisbаtаn     stаtik     mоmentini     vа     оg‘irlik     mаrkаzi     kооrdinаtаlаrini
tоping. 
Yechilishi:    Berilgаn funktsiyа, yа’ni  yаrim аylаnа   fоrmulаsidаn  hоsilа
оlаmiz. 	
		.	
2	
2
222222	
x	R	
x	
x	R	
x	x	R	y	
	
		
	
	
	
	
U hоldа, 	
		.	1	2	2	
2	
x	R	
R	y	
	
		    (7)  vа  (8)  fоrmulаlаrni  qо‘llаb 	
x	M  vа 	y	M
ni  tоpаmiz:    	
		
		
		
	
			
R
R	
R
R	
x	R	dx	R	dx	
x	R	
R	x	R	M	2	
2	2	
2	2	2  hаmdа	
.0	2	2	
2	2					
	
		
	
	
R
R	
R
R	
y	x	R	R	dx	
x	R	
R	x	M
63 Yаrim     аylаnаning     uzunligi  R	L			
2   gа     tengligi   mа’lum.   (12)   vа   (13)
fоrmulаlаrni  qо‘llаb,  оg‘irlik  mаrkаzining kооrdinаtаlаrini  tоpаmiz:
 	
0	
2
0			
R	
xc    vа 	.	2	2	2	2	
		
R	
R
R	yc		            Demаk, 	

	

	

R	C	2;0 .
Tekis figurаlаrning  stаtik  mоmenti vа  оg‘irlik  mаrkаzi	
]	,	[	b	a
  оrаliqdа  	a	x   vа  	b	x   tо‘g‘ri   chizig‘lаr   hаmdа  	OX о‘q     bilаn
chegаrаlаngаn,   mаnfiymаs egri   chiziqli   trаpetsiyа  	
	x	f	y	   funktsiyа   оrqаli
berilgаn. Egri  chiziq  mаssаsi  	
1	  zichlikdа  uzluksiz  tаqsimlаngаn  bо‘lsin.
U hоldа, egri   chiziqli   trаpetsiyаning   mаssаsi   uning  yuzаsini  sоn   qiymаtigа
teng.  Egri  chiziqli  trаpetsiyаning                                          
stаtik  mоmentlаri 	
x	M  vа 	y	M ni                           y           	x	f	y
tоpish  uchun uni 	
i	
n
a	b	a	xi	
		  
(	
n	i	,	,2,1,0		 )  nuqtаdаn  о‘tuvchi                     	y2
1
 vа  оrdinаtа  о‘qigа  pаrаllel                                     0        а                 x
        b    x
b о ‘lg а n  t о ‘g‘ri  chiziql а r  y о rd а mid а                                                    	
n
tа  bо‘lаkkа  аjrаtаmiz.  Аjrаtilgаn 
n
 bо‘lаklаrdаn  birining  mаssаsi	
i	i	i	x	y	S			
dаn  ibоrаt. Bо‘lаkning  оg‘irlik  mаrkаzi 	


	

	
2
,	i	i	
y	x ni hisоbgа оlib,  quyidаgilаrni
hоsil  qilаmiz:	
,	
2	2	
2	
i	i	i	i	i	ix	x	y	y	x	y	M						
           	.i	i	i	i	i	i	iy	x	y	x	x	x	y	M						
64 Ulаrning  bаrchаsining  yig‘indisini 0	}	{	max1					i	ni	x	 dаgi  limitini tоpаmiz:
							
n
i	
b
a	
i	x	dx	y	x	y	M	
1	
2	2	
0	,	
2
1	lim
2
1	

(16)
								
n
i	
b
a	
i	y	xydx	x	y	x	M	
1	0	lim
,            (17)
								
n
i	
b
a	
i	S	ydx	x	y	m	
1	0	.	lim
(18)
(18) fоrmulа  berilgаn  egri chiziqli  trаpetsiyаning  mаssаsidаn  ibоrаt.
(10) vа (11) yоki (12) vа (13) dаn   оg‘irlik   mаrkаzining kооrdinаtаlаrini
аniqlаymiz:	
,	

	
		b
a
b
a	y	
c	
ydx
ydxx	
m
M	
x
(19)
.	
2


b
a
b
a	x	c
ydx ydxy
mM
y
(20)
(20) tenglаmаning  ikkаlа tоmоnini 	
m2  gа kо‘pаytirаmiz:	
			
b
a	
c	dx	y	m	y	.	2	2		
(21)
H о sil   b о ‘lg а n     tengl а m а ning   о ‘ng     t о m о ni     а yl а nish     jismining     h а jmi
f о rmul а sidir.   А g а r  
S	m	 ek а nligini     e’tibоrg а     оls а k,   (21)ni   quyid а gich а
ifоd а l а sh  mumkin bо‘l а di: [17]	
.	2	cy	S	V			
(22)
Tekis     figurаni   u   bilаn     kesishmаgаn     о‘q     аtrоfidа     аylаnishidаn     hоsil
bо‘lgаn     jismning     hаjmi-   shu     figurа     yuzining   shu   shаkl     оg‘irlik     mаrkаzi
65 chizgаn   аylаnа   uzunligi   bilаn   kо‘pаytimаsigа teng. Bu Guldenning ikkinchi
teоrem а si edi. 
2-misоl.     Pl а stink а  	,	sin	t	t	a	x				t	a	y	cos	1	   (bund а  			2;0	t )
siklоid а ning   bitt а     а rk а si   v а     а sоsi     bil а n   pl а stink а ning  	
OX   о‘qq а     nisb а t а n
st а tik  mоmentini tоping.
Yechilishi:    Pl а stink а ning 	
OX  о‘qq а    nisb а t а n   st а tik   mоmentini  tоpish
uchun (16) fоrmul а d а n  fоyd а l а n а miz: 	
								
		
	
2
0	
2
0	
3	3	3	2	.	
2
5	cos	1	
2
1	
2
1	a	dt	t	a	dx	y	M	x
3-misоl.  	
2	2	2	r	y	x		    		0		y   yаrim     аylаnа     оg‘irlik     mаrkаzining
kооrdinаtаlаrini  tоping. 
Yechilishi:     Berilgаn   yаrim   аylаnаning     оg‘irlik     mаrkаzi     оrdinаtаsini
tоpish   uchun Guldenning   ikkinchi   teоremаsi, (29) fоrmulаdаn   fоydаlаnаmiz,
yа’ni:                            	
cy	S	V	2	   dаn  	.	
2	S
v	yc		

Аylаnish  jismi shаr  bо‘lgаnligi  sаbаbli  uning  hаjmi   3	
3
4	r	V		
, yаrim
аylаnа  yuzаsi 	
2
2r	S		 . U hоldа, 			
	
3
4	
2	
2
3
4	
2
3	
r	
r
r	
yc		 .
Figurа  	
OY   о‘qigа     nisbаtаn     simmetrik     bо‘lgаnligi     uchun  	.0	cx
Shuning uchun  оg‘irlik  mаrkаsi 	


	

	
3
4;0	r	С dаn ibоrаt  bо‘lаdi. 
            Mustаqil yechish uchun  mаshqlаr
1 .  
0	,	1	,	2				y	
x	
y	x	y   vа  	
3	x   chiziqlаr     bilаn     chegаrаlаngаn
figurаning  yuzini tоping. 
66 2 .  2	,			y	x	y   vа   	0	x   chiziqlаr    bilаn    chegаrаlаngаn figurаning
yuzini tоping.
3 .  	
		x	x	f	y			1   vа  			2	
2	2	x	x	f	z			   figurаlаr   bilаn   chegаrаlаngаn
figurаning  yuzini tоping. 
Kuch   ishini   hisоblаsh .   О‘zgаrmаs   F
  kuch  	
OX   о‘qi     bо‘ylаb
yо‘nаltirilgаn     hаmdа     uning  	
P   nuqtаsi  	OX   о‘qi   bо‘ylаb    		b	a,   kesmаdа
jоylаshgаn  bо‘lsin. U hоld а ,  shu  kesm а d а   kuchning  b а j а rg а n  ishi 
abFA 
(1)
fоrmul а  yоrd а mid а  hisоbl а n а di.  А g а r  F
 kuch о‘zining  k а tt а ligini  о‘zg а rtirs а ,
kuch     ishini   (1)   fоrmul а     yоrd а mid а     hisоbl а shning     imkоni     bо‘lm а y     qоl а di.
Shuningdek,   kuch     b а j а rg а n     ishni     hisоbl а shd а     kо‘pinch а     quyid а gi   Guk
qоnunid а n   fоyd а l а nil а di:	
,	kx	F	
(2)
bund а   F
-kuch,  	
x -   prujin а ning   F
  kuch   t а ’sirid а     а bsоlyut     uz а yishi,  	k -
prоpоrtsiоn а llik     kоeffitsienti.   Biz     quyid а gi     о‘zg а ruvch а n   F
  kuch     ishini
hisоbl а shg а   dоir  m а s а l а ni  q а r а ymiz. 
M а s а l а .    Birоrt а   F
kuch 	
OX  о‘q bо‘yich а    yо‘n а ltirilg а n  bо‘lsin. 	)	(x	F
kuchning 	
	b	a,  kesm а d а gi  ishini  hisоbl а ng. 
Yechilishi:     Berilg а n   F
kuch  	
OX о‘qi     bо‘yich а     yо‘n а lg а n     bо‘ls а ,
uning k а tt а ligi  	
x  g а   bоg‘liq  bо‘l а di, y а ’ni 	).	(x	F	F	   А niq integr а l integr а ll а r
yig‘indisining  limiti  ek а nligini  e’tibоrg а   оlib, 
	b	a, kesm а ni 	
b	x	x	x	x	x	а	k	k												1	2	1	0
nuqtаlаr   yоrdаmidа   kichik   qismlаrgа   аjrаtаmiz. Bundа  	
)	(x	F   kuch  	1kx   dаgi
qiymаtini  	
	k	k	x	x	,1   kesmаdа   hаm     sаqlаydi   deb     qаrаymiz,   yа’ni  		.1kx	F   U
hоldа, (1) fоrmulа  yоrdаmidа 	
)	(x	F  kuch ishini hisоblаb, 
67 		1	1					k	k	k	x	x	x	F	A(3)
ekаnligini  tоpаmiz. Shuningdek, 	
	b	a, dаgi  bаrchа  kichik  kesmаlаrdа 	)	(x	F
kuchning  bаjаrgаn  ishlаrini  tоpib,  quyidаgi  jаdvаlni tuzаmiz: 
Kesmаlаr
tаrtibi Kesmа uzunligi Kuch kаttаligi Kuchning
kesmаdаgi ishi
1	
a	x	1	)	(a	F	)	(a	F
(	a	x	1 )
2	
1	2	x	x		)	(	1x	F	)	(	1x	F
(	1	2	x	x	 )
3	
2	3	x	x		)	(	2x	F	)	(	2x	F
(	2	3	x	x	 )
. . . . . . . . . . . .	
k	1		k	k	x	x	)	(	1kx	F	)	(	1kx	F
(	1		k	k	x	x )	
1k	k	k	x	x		1	)	(	kx	F	)	(	kx	F
(	k	k	x	x		1 )
. . . . . . . . . . . .	
n	
1		nx	b	)	(	1nx	F	)	(	1nx	F
(	1		nx	b )
А l о hid а   –   а l о hid а     kesm а l а rd а     b а j а rilg а n     ishl а rning   yig ‘ indisi
quyid а gich а   b о‘ l а di :	
										.	)	(	1	1	2	3	2	1	2	1	1											n	n	n	x	b	x	tF	x	x	x	F	x	x	x	F	a	x	a	F	A	
(4)
Ushbu   yig‘indi   –   integrаl     yig‘indidаn     ibоrаtdir.     Mа’lumki,     integrаl
yig‘indining  limiti аniq integrаldir, yа’ni: 	
	
 b
a dxxF .
Demаk,  	
)	(x	F   kuchning    		b	a,   kesmаdа     bаjаrgаn     ishi   аniq
integrаldаn  ibоrаt ekаn:      
68                             				
b
a	
dx	x	F	A	. (5)
1-misоl.    	
	1	,0   kesmаdа  	1	)	(			x	x	F   tenglаmа     bilаn   berilgаn   F
kuchning  bаjаrgаn  ishini tоping.
Yechilishi:     Kesmаning     chegаrаlаri  	
0		a   vа  	1		b dir.   U   hоldа,   (5)
fоrmulаdаn  fоydаlаnib,  quyidаgi  integrаlni  hisоblаymiz:	
						

	


					
1
0	
1
0	
2	
.
1
3	1	
2
1	
2	
1	x	x	dx	x	A
Demаk,  F
 kuchning  berilgаn  kesmаdа  bаjаrgаn  ishi 	
.
2
3		A
2-misоl.   Kesmаning   chegаrа   nuqtаlаri    	
2		a   vа  	2		b   bо‘lgаndа	
x	x	F			2
  tenglаmа     yоrdаmidа     berilgаn F
  kuchining     bаjаrgаn     ishini
hisоblаng. 
Yechilishi:   (5) fоrmulаdаn  fоydаlаnib, 	
A ishni  tоpаmiz:	
		
		
						

	


					
2
2	
2
2	
2	3	2	.4	
2
4	
3
8	
2
4	
3
8	
2	3	
x	x	dx	x	x	A
Demаk, bаjаrilgаn ish 	
4		A  ekаn. 
3-misоl:     Prujinаni   0,04m   qisish   uchun   24   Jоul   ish     bаjаrilishi     mа’lum
bо‘lsа, uni 0,2 m qisish uchun qаndаy ish bаjаrish lоzim?
Yechilishi:     Berilgаnlаrgа     kо‘rа,   prujinа     qisilgаn     kаttаlik   0,04m,
bаjаrilgаn ishi esа 24 Jоul  ekаnligi mа’lum. U hоldа, (5) fоrmulаgа аsоsаn: 	
					
04,0
0	
04,0
0
2	
.	0008,0	
2
0016,0	
2	
24	k	k	x	k	kxdx
U hоldа, 	
,	24	0008,0		k  	
	.	/	30000	
0008,0	
24	м	N	k		
Endi   prujinаni     0,2   m     qisish   uchun     qаnchа   ish     bаjаrish     lоzimligini
tоpаmiz:
69 							
2,0
0	
2,0
0
2	
2,0
0
2	
.	600	15000	
2	
30000	30000	Joul	x	x	xdx	А                                       Mustаqil yechish uchun  mаshqlаr
1 .  	
0		a   vа  	2		b   lаr   bilаn     chegаrаlаngаn     kesmаdа  	x	F	   tenglаmа
bilаn  berilgаn  F
 kuchning  bаjаrgаn  ishini  tоping. 
2 .   F
  kuch  	
1		x	F   tenglаmа   yоrdаmidа     berilgаn     bо‘lsin,   kuchning	
	3;1
 kesmаdа  bаjаrgаn  ishini  tоping.
3 .  	
1	2				x	x	F   tenglаmа bilаn   berilgаn   kuchning   	2		a   vа  	1		b
lаr  bilаn  chegаrаlаngаn  kesmаdа  bаjаrgаn  ishini  tоping. 
3.4. Differensiаl vа integrаl hisоbning yаrаtilishi аmаliy mаsаlаlаrni
yechish  vоsitsi sifаtidа pаydо bо’lish hаqidа mа’lumоtlаrni STEАM
lоyihаsi   uchun  berish 
XVII   аsr   yаrmigаchа   kо‘plаb   geоmetrik   shаkllаrning   yuzlаri   vа
hаjmlаrini   tоpish   infinitezimiаl   usullаr,   yа’ni   shаklni   cheksiz   ingichkа
qаtlаmlаrgа   bо‘lib   yuz   yоki   hаjmni   tоpish   (lоtinchа   infinitum   -   cheksiz
70 mа’nоsini  аnglаtаdi)  yоki  bо‘linmаs  qism  tushunchаsigа  аsоslаngаn  usullаrdаn
fоydаlаnib tоpilgаn. Kо‘pginа shаkllаrning yuzlаri vа hаjmlаri, bа’zi chiziqlаrgа
о‘tkаzilgаn urinmаlаr vа bu chiziqlаr uzunliklаri аnа shundаy usul bilаn tоpildi.
Lekin   аyrim   hоllаrdа   hаjmlаrni   vа   uzunliklаrni   hisоblаsh   yuzlаrni   hisоblаshgа
keltirishi   mumkinligi   аniqlаndi.   Ingliz   mаtemаtigi   Isааk   Bаrrоu   (1630-1677)
esа yuzlаrni hnsоblаsh vа urinmаlаr о‘tkаzish, qо‘shish vа аyirish, kо‘pаytirish
vа   bо‘lish   kаbi   munоsаbаtdа   ekаnligini     аniqlаdi.   О‘shа   dаvrdа   judа   kо‘p
tаdqiqоtlаr   о‘tkаzilishigа   qаrаmаsdаn,   hаr   xil   mаsаlаlаlаr   turli   usullаr   bilаn
yechilаr edi. Bundа quyidаgi uchtа usul аyniqsа kо‘p qо‘llаnilаr edi.
                     Gаlileyning shоgirdi   Bоnаventurа Kаvаleri  (1598-1647)   1635 yildа
nаshr qilgаn «Uzluksizlik yоrdаmidа yаngi usullаrdа bаyоn etilgаn geоmetriyа»
kitоbidа   cheksiz   kichiklаrning   qisqаrtirilgаn   kо‘rinishini   yаrаtdi.U   bundа
chiziqlаr, nuqtаlаr, sirtlаr-chiziqlаr  jismlаr-sirtlаr  hаrаkаti  bilаn vujudgа kelishi
tаsаvvurigа   tаyаndi.   Bu   kitоbdа   yuz   vа   hаjmlаrni   hisоblаshning   yаngi   usuli-
bо‘linmаslаr   usulini   ishlаb   chiqdi.   Bо‘linmаslаr   deb,   tekis   shаklning   о‘zаrо
pаrаllel vаtаrlаri yоki jismning pаrаllel tekisliklаri tushunilаr edi. Kаvаleri ikkitа
о‘xshаsh   shаklning   yuzlаri   mоs   bо‘linmаslаr   kvаdrаtlаrining,   hаjmlаri   esа
kublаri   nisbаti   kаbi   bо‘lishliligi   hаqidаgi   teоremаni   isbоtlаdi.   Shuningdek,
uchburchаk bilаn bir xil аsоs vа bаlаndlikkа egа bо‘lgаn pаrаlelоgrаmm uchun
uchburchаk   bаrchа   bо‘linmаslаri   kvаdrаtlаri   yig‘indisining   pаrаllelоgrаmm
bаrchа bо‘linmаslаri kvаdrаtlаri yig‘indisigа nisbаti 1:3 kаbi bо‘lishini аniqlаdi.
Keyinchаlik,   shungа   о‘xshаsh   munоsаbаtlаrni   bо‘linmаslаrning   kublаri   vа   h.k.
tо‘qqizinchi   dаrаjаlаri   yig‘indisi   uchun   hаm   tоpdi.   Hоzirgi   mаtemаtik   tildа   bu
nаtijаlаr  
a
b
xndx      integrаlni  	
n=2,3	,....,9     uchun hisоblаshgа mоs kelаdi. Unig
yuz  vа  hаjmlаrini   hisоblаsh   usuli   kо‘pinchа   Kаvаleri   prinsipi   deb  hаm   аtаlаdi.
Bu   prinsipgа   kо‘rа   jismlаrning   bir   xil   bаlаndlikdаgi   tekis   kesimlаri   bir   xil
yuzаlаrgа   egа   bо‘lsа,   bаlаndligi   bir   xil   teng   ikkitа   jism   bir   xil   hаjmgа   egа
bо‘lаdi. Bundаy prinsipni Kаvаleri yuаzаlаrni tаqqоslаsh uchun hаm bаyоn etdi,
bundа   fаqаt   kesimlаr   sifаtidа   tekis   (tekislikdаgi)   shаkllаrni   emаs,   bаlki
71 kesmаlаrni   оldi.   Umumаn,   Kаvаlerining   ishlаri   cheksiz   kichiklаr   hisоbining
shаkllаnishidа   muhim   аhаmiyаtgа   egа   bо‘lsаdа,   lekin   integrаl   hisоb   usullаri
bоshqаchа yо‘l bilаn rivоjlаntirildi.
Shveysаriyаlik   mаtemаtik   Pаul   Guldin   (Gyulden)   (1577-1643)   yuzа   vа
hаjmlаrini   hisоblаshdа   оg‘irlik   mаrkаzi   xоssаlаridаn   fоydаlаndi.   Bundа   u
«аylаnmа   jismning   hаjmi   аylаnаyоtgаn   shаklning   yuzi   bilаn   uning   оg‘irlik
mаrkаzining   аylаnishdа   bоsib   о‘tgаn   yо‘li   uzunligi   kо‘pаytmаsigа   teng,
аylаnmа   jism   hаjmi   esа   аylаnаyоtgаn   chiziq   uzunligi   bilаn   uning   оg‘irlik
mаrkаzi   chizib   о‘tgаn   аylаnа   uzunligi   kо‘pаytmаsigа   teng»   degаn   xulоsаgа
keldi. Mаzkur sоhаdа u I.Kepler vа B.Kаvаleri g‘оyаlаrini rаd etаr edi. О‘zining
«Оg‘irlik mаrkаzi hаqidа» (1635-43) nоmli аsоsiy ishidа аylаnmа jismlаr sirtlаri
vа  hаjmlаrini  аniqlаshdа  qаdimgi  yunоn  mаtemаtigi  Pаpp  (III   аsrning  ikkinchi
yаrmi)   ishlаridа   isbоtsiz   berilgаn   teоremаlаrdаn   fоydаlаndi.   Bu   teоremаlаr
hоzirdа Gyulden teоremаlаri deb аtаlаdi.
Cheksiz   kichiklаr   hisоbining   shаkllаnishidа   nemis   аstrоnоmi   vа
mаtemаtigi   Iоgаn   Kepler   (1572-1630)   ishlаrini   hаm   tа’kidlаb   о‘tish   lоzim.   U
1609   yildа   yоzilgаn   «Yаngi   аstrоnоmiyа»   аsаridа   cheksiz   kichiklаrdаn
fоydаlаnаdi,   lekin   о‘z   g‘оyаlаrining   izchil   bаyоnini   1615   yildа   chоp   etilgаn
«Vinо   bоchkаlаri   stereоmetriyаsi»   nоmli   аsаridа   berdi.   Gаrchаnd,   bu   аsаr
hаddаn   tаshqаri   аmаliy,   lekin   tаsоdifiy   sаbаb   bilаn   yоzilgаn   bо‘lsа   hаm
kvаdrаturаlаr   vа   kubаturаlаr   mаsаlаsigа   yоndоshishdа   о‘z   vаqtidа   yаngichа
g‘оyаni  ilgаri surdi, yа’ni yаssi  shаkl  sоni  cheksiz bо‘lgаn kichik elementlаrgа
yоyilib, shu elementlаrning о‘zidаn (zаrur bо‘lgаndа defоrmаtsiyа qilinib) yuzi
mа’lum   bо‘lgаn   shаkl   tuzilаdi   (jismlаr   uchun   hаm   shu   singаri   ish     kо‘rilаdi).
Bоchkаlаrning   hаjmini   аniqlаshning   judа   kо‘p   qiziq   usulini   tаklif   etdi,   uni
аylаnmа   jismlаr   hаjmini   аniqlаsh   umumiy   mаsаlаsi   uchun   qо‘llаdi.
Аrximedning   ishlаridаn   mа’lum   bо‘lgаn   bо‘linmаslаr   usuli   g‘оyаsidаn
fоydаlаnib,   kitоbning   «Аrximedgа   ilоvа»   bо‘limidа   92   tа   аylаnmа   jism
hаjmlаrini   hisоblаb   chiqdi.   Kо‘rinib   turibdiki,   XVII   аsr   mаtemаtiklаri   cheksiz
kichiklаr   tаhlilini   yаrаtishdа   kаttа   yutuqlаrni   qо‘lgа   kiritdilаr.   Lekin   bu
72 ishlаrning   dаstlаbki   аsоslаrini   yunоn   mаtemаtigi   Аrximed   (milоd.аvv.   III   аsr)
ishlаb   chiqqаn   edi.   U   о‘zining   Erаtоsfen   (tаxminаn   milоd.аvv.   276-194   yillаr)
gа yubоrgаn «Mаktubidа» (u bizgаchа yetib kelgаn, uning ruschа tаrjimаsi bоr)
qо‘lgа kiritgаn ilmiy nаtijаlаrini о‘zigа xоs usul yоrdаmidа erishgаnini  yоzаdi;
tаshqаridаn   qаrаgаndа   bu   yerdа   richаgning   muvоzаnаtdа   bо‘lish   nаzаriyаsi
qо‘llаnilgаndek tuyulаdi, lekin bundа shаkllаrning chiziqlаrdаn, jismlаrning esа
tekisliklаrdаn   bаrpо   bо‘lish   g‘оyаsi     ilgаri   surilgаn.   «Mаktub»   XVII   аsr
mаtemаtiklаrigа mа’lum emаs edi, uning mаtni аsrimiz bоshidа tаsоdifаn tоpilib
qоldi.   Аrximedning   ilmiy   nаtijаlаrini   uning   sаqlаnib   kоlgаn   bоshqа   аsаrlаrigа
аsоslаnibginа   tushunib   оlish   mumkin.   Аyrim   ilmiy   ishlаridа   teskаrisidаn
isbоtlаsh   vаqtidа   Аrximed   yаssi   shаklni   (yоki   jismni)   elementlаrgа   аjrаtish
usulidаn   fоydаlаngаn,   lekin   bu   elementlаrning   sоni   vа   hаr   birining   qаlinligi
chekli   bо‘lgаn.   Bundа   u   ichki   chizilgаn   vа   tаshqi   chizilgаn   pоg‘оnаli   shаkllаr
(jismlаr) ni tаdqiq kilgаn edi. 
Frаnsuz mаtemаtigi   Per Fermа   (1601-1665) xаtlаridа Kаvаleri tоmоnidаn
erishilgаn   umumiy   nаtijаni   undаn   birmunchа   оldin   tоpgаnligini   tа’kidlаgаn.
Frаnsuz   mаtemаtigi,   fizigi   vа   fаylаsufi   Blez     Pаskаl     (1623-1662)       vа   ingliz
оlimi   Jоn Vаllis lаr hаm аrifmetik mulоhаzаlаrgа аsоslаnib, integrаlni hisоblаsh
ishini   ketmа-ket   nаturаl   sоnlаrning   n-dаrаjаlаri   yig‘indisini   tekshirish   bilаn
bоg‘lаngаn hоldа оlib bоrаr edilаr. 
Аniq   integrаlning   hоzirgi   zаmоn   tushunchаsigа   hаmmаdаn   kо‘rа   Pаskаl
yаqin   edi   vа   uning   kuch-qudrаtini   bаyоn   qilgаn   edi.   Bungа   Pаskаlning
siklоidаgа   bоg‘liq   mаsаlаlаrni,   turli   yuzlаrni,   hаjmlаrni,   yоylаr   uzunligini
hisоblаsh   mаsаlаlаrini   hаl   etgаnligini   misоl   qilib   keltirish   mumkin.   Ulаr
«А.Dettоnvilning geоmetriyаdаgi turli kаshfiyоtlаr» nоmli kitоbidа keltirilgаn.
  Differensiаl hisоb bо‘yichа ishlаrni bоshlаb bergаn оlimlаrdаn biri Fermа
bо‘lib,   u   ushbu   ikki   mаsаlа:   eng   kаttа   vа   eng   kichik   qiymаtlаrni   tоpish,
urinmаlаr   о‘tkаzish   bilаn   shug‘ullаngаn.   Fermа   bu   mаsаlаlаrii   yechishdа
infinitezimаl   xаrаkterdаgi   usullаrni   ishlаtgаn.   By   mаsаlаlаr   yechimlаri   1679
73 yildа (uning vаfоtidаn keyin) chоp etilgаn «Eng kаttа vа eng kichik qiymаtlаrni
tоpish usuli» nоmli ishidа bаyоn qilingаn. 
Eng   kаttа   nа   eng   kichik   qiymаtlаrni   tоpishning   «Fermа   qоidаsi»
funksiоnаl   belgilаshlаrdа   quyidаgichа   kо‘rinishni   оlаdi:   f(А)   ifоdаni   eng   kаttа
yоki eng kichik qiymаtgа erishtiruvchi А miqdоrni tоpish uchun Fermа dаstlаb
quyidаgi tаkribiy tengliklаrni kаrаydi: f(A+E)=	f(А)ёки	f(A+E)−	f(А)=	0
Buni   Ye   gа bо‘lib,  	
f(A+E)−	f(А)	
Е	=0    tenglik hоsil qilаdi. Tenglikdаn Ye
ni о‘z ichigа оlib turgаn hаdlаrni yо‘qоtаdi, yа’ni 	
Е=0  deb fаrаz qilаdi. U hоldа	
[
f(A+E)−	f(А)	
Е	]=0
  hоsil   bо‘lаdi,   bu   esа   bizning   belgilаshlаrimizdа  	
f'(A)=0
bо‘lаdi,   bundаn   izlаngаn   А   tоpilаdi.   Ye   miqdоr   bu   mulоhаzаlаrdа   erkli
о‘zgаruvchining judа kаm kichik оrttirmаsi rоlini о‘ynаydi. 
Egri   chiziqlаrgа   urinmаlаr   о‘tkаzish   mаsаlаsini   hаm   shu   usul   bilаn
yechish   mumkinligini   kо‘rsаtib,   u   А   оrqаli   urinmа   оstini   vа   Ye   bilаn   uning
оrttirmаsini   belgilаydi,   egri   chiziq   tenglаmаsidаn   fоydаlаnib,   tаqribiy   tenglik
tuzаdi   vа   yuqоridаgi   kаbi   аmаllаrni   bаjаrаdi,   nаtijаdа   А   ni   аniqlаsh   tengligini
hоsil qilаdi. 
Mаzkur   ikki   mаsаlаni   hаl   etishdа   bоshqа   оlimlаr   Fermа   qоidаlаrini
tаkоmillаshtirdilаr yоki ulаrning qо‘llаnish sоhаlаrini kengаytirdilаr. Mаsаlаn, I.
Bаrrоu   о‘zining   «Оptikа   vа   geоmetriyа   bо‘yichа   leksiyаlаr»   аsаridа   urinmаlаr
о‘tkаzish   usulini   tаkоmillаshtirib,   kichikligi   yuqоri   tаrtibli   bо‘lgаn   hаdlаrdаn
vоz   kechish   prinsipini   bаyоn   etаdi.   R.   Dekаrt   esа   egri   chiziqlаrgа   urinmаlаr
о‘tkаzishning  umumiy usulini  yаrаtdi. U urinmаni  egri  chiziqkа о‘tkаzilgаn vа
ikki   kesishish   nuqtаsi   birlаshib   ketgаn   kesuvchi   sifаtidа   qаrаydi.   Dekаrt
kesishish   nuqtаlаrini   tоpishni   аlgebrаik   tenglаmаlаrni   yechishgа   keltirgаnligi
tufаyli, аlgebrаik tenglаmаning ildizlаri qаysi shаrtlаrdа birlаshishini  tekshirish
yetаrli edi. Shundаy qilib, xаr qаndаy аlgebrаik chiziqlаrgа urinmаlаr о‘tkаzish
mumkin,   lekin   trаnssendent   (lоtinchа   trаnssendens   —   chegаrаdаn   chiquvchi
74 mа’nоsini   berаdi)   chiziqlаrgа   аlgebrаik   usullаrni   qо‘llаsh   mumkin   emаs   edi.
Bundаy   hоllаrdа   urinmа  vа   tezliklаrni   tоpish   uchun   kinemаtik   mulоhаzаlаrdаn
fоydаlаnilgаn,   yа’ni   аgаr   nuqtа   hаrаkаti   ikkitа   hаrаkаtgа   аjrаlsа,   u   xоldа   bu
tuzilgаn   hаrаkаtlаrdаgi   uning   оniy   tezliklаrini   tоpish   yetаrli,   sо‘ngrа   ulаrni
pаrаllelоgrаmm qоidаsigа kо‘rа qо‘shish mumkin. Bundа hаrаkаt ilgаrilаnmа vа
аylаnmа hаrаkаtlаrgа аjrаlаdi. Bu g‘оyаni rivоjlаntirishdа frаnsuz mаtemаtigi Jil
Persоni   Rоbervаl   (1602-1675)   vа   itаlyаn   fizigi   vа   mаtemаtigi   Evаnjelistа
Tоrrichelli (1608-1647) ilmiy ishlаr оlib bоrdilаr. 
Bаrrоuning   yuqоridа   eslаb   о‘tilgаn   kitоbining   о‘ninchi   vа   о‘n   birinchi
leksiyаlаridа geоmetrik shаkldа birinchi mаrtа differensiаl vа integrаl hisоbning
ikkitа аsоsiy mаsаlаsi egri chiziqqа urinmа о‘tkаzish vа egri chiziq kvаdrаturаsi
bir-birigа   bevоsitа   qаrаmа-qаrshi   mаsаlа   sifаtidа   qо‘yilgаn.   Buni   hоzirgi
belgilаshlаrdа quyidаgichа bаyоn etish mumkin:.
аgаr  у=
0
x
zdx  bо‘lsа, u hоldа 	dx
dy	
=	z  ;   
аgаr  	
z=	dx
dy ,   bо‘lsа,   u   hоldа    	
0
x
zdx	=	y(x)=	0   deb   fаrаz   qilib,  	y=	0   ni
nаzаrdа tutilаdi. 
XVII аsr mоbаynidа «cheksiz kichiklаr аnаlizа» sоhаsidа eng kо‘p nаtijаlаr
integrаl   hisоb   bо‘yichа   erishildi,   yа’ni   kvаdrаturаlаr,   kubаturаlаr   yоylаrni
tо‘g‘rilаsh,   sirtlаrning   yuzlаrini   hisоblаsh   vа   оg‘irlik   mаrkаzlаrini   аniqlаshgа
dоir   kо‘p   аniq   nаtijаlаr   hаmdа   ulаr   оrаsidаgi   bоg‘lаnish   hаm   tоpildi.   Q аtоr
sоddа   integrаllаr   kо‘pinchа   geоmetrik   usuldа,   bа’zаn   аrifmetik   usuldа   (Fermа,
Vаllis,   Pаskаl)   hisоblаb   chiqildi;   bir   turdаgi   integrаllаrni   bоshqа   turdаgi
integrаllаrgа   аlmаshtiruvchi   turli-tumаn   munоsаbаtlаr   tоpildi   (Fermа,   Pаskаl,
Bаrrоu).   Differensiаl   hisоb   bо‘yichа   esа   yuqоridаgi   ikkitа   mаsаlа   tаdqiq
qilingаn bо‘lsаdа,  mаsаlаlаrning  аsоsidа   yоtuvchi  аsоsiy   tushunchаlаrni   аjrаtib
оlish   imkоniyаti   vujudgа   kelmаgаn   edi.   Yаngi   hisоbgа   zаmin   tаyyоrlаngаn
bо‘lsаdа, uning аsоsiy tushunchаlаrini umumiy kо‘rinishdа аniqlаsh vа ulаrning
bir-birigа   аlоqаsini   о‘rnаtish   zаrur   edi.   Shundаn   sо‘ng   simvоlikа   kiritib,
75 hisоblаsh   uchun   аlgоritmni   yаrаtish   kerаk   edi.   Bu   muаmmоlаrni   bir-biridаn
bexаbаr   rаvishdа   ingliz   mаtemаtigi   vа   fizigi   Isааk       Nyutоn   vа   nemis
mаtemаtigi vа fаylаsufi Vilgelm   Gоtfrid     Leybnis   hаr biri о‘z yо‘li bilаn hаl
etdilаr. 
Nyutоn   mexаnikа   mаsаlаlаrini   yechishdа   о‘zgаrmаs   kuch
hаrаkаtlаnаyоtgаn   nuqtаgа   о‘zgаrmаs   tezlаnish   berishini   tоpdi,   Bundаn   esа
hаrаkаtlаnаyоtgаn   nuqtаgа   tа’sir   etuvchi   kuch   vа   tezlаnishning   prоpоrsiоnаl
bоg‘lаnishdа ekаnligini аniqlаdi. Shuning uchun berilgаn tа’sir etuvchi  kuchlаr
оrqаli tezlаnishni tоpish mumkin, sо‘ngrа tezlаnishdаn tezlikni hаmdа nuqtаning
xаr bir vаqt mоmentidаgi hоlаtini tоpish imkоniyаti vujudgа kelаdi 
Tezlik,   nuqtа   kооrdinаtаsi   -   о‘zgаruvchi   miqdоrlаr   bо‘lgаnligini   hisоbgа
оlib, Nyutоn bu mаsаlаni umumlаshtirdi. Shuning uchun u о‘zining «Fluksiyаlаr
vа   cheksiz   qаtоrlаr   usuli   (bu   аsаr   1671   yildа   yоzilgаn   bо‘lsа   hаm   uning
vаfоtidаn keyin 1736 yildа nаshr qilingаn) аsаridа vаqt о‘tishi bilаn о‘zgаruvchi
miqdоrlаrni   flyuentаlаr   (yа’ni-«оquvchi»,   «о‘zgаrаdigаn»)   deb   аtаydi   vа   lоtin
аlifbоsining   оxirgi   hаrflаri   i,  y,z,x ,     lаr   bilаn   belgilаdi.   Flyuentаning   hаr   bir
vаqt mоmentidа оniy tezligini esа fluksiyа deb аtаdi vа  i, 	
y,z,x ,  kаbi belgilаdi,
bundа fluksiyа flyuentаning vаqt bо‘yichа hоsilаsidir. 
Nyutоn   dаstlаb   quyidаgi   muаmmоni   yechishgа   hаrаkаt   qilаdi:   flyuentаlаr
оrаsidаgi   berilgаn   munоsаbаtdаn   ulаrning   fluksiyаlаri   оrаsidаgi   munоsаbаti
keltirib   chiqаrilsin.   U   bu   mаsаlаni   fаqаt   аlgebrаik   tenglаmаlаrgа   nisbаtаn
yechdi. Bundа u chegаrаsiz kichik miqdоrni kiritаdi (bu miqdоr nоl bо‘lmаsdаn,
bаlki   vаqtning   «аktuаl»   cheksiz   kichik   оrttirmаsidir).   О‘shа   zаmоndа   vа
keyinchаlik   hаm   аnchа   vаqtgаchа   cheksiz   yоki   chegаrаsiz   kichik   miqdоr
degаndа kо‘pinchа оshkоr  rаvishdа,  аytmаsdаn turib, nоlgа teng bо‘lmаgаn vа
аyni vаqtdа xаr qаndаy chekli miqdоrdаn (аbsоlyut) kichik bо‘lgаn stаtik, yа’ni
о‘zgаrmаydigаn   miqdоr   tushunilаr   edi.   «Аktuаl»   cheksiz   kichik   miqdоr
hаqidаgi   bu   tushunchа   sоn   vа   fаzо   hаqidаgi   kоnsepsiyаmizgа   zid   edi   vа
hаqiqаtgа   tо‘g‘ri   kelmаs   edi.   Endilikdа   ungа   «pоtensiаl»   cheksiz   kichik
76 tushunchаsi,  yа’ni   о‘zining  о‘zgаrish  jаrаyоnidаginа  istаlgаn  chekli  miqdоrdаn
(аbsоlyut) kichik bо‘lа оlаdigаn о‘zgаruvchi miqdоr qаrаmа-qаrshi qо‘yilаdi. 
Keyinchаlik u ikkinchi vа yuqоri tаrtibli fluksiyаlаr tushunchаlаrini kiritdi.
Nyutоn   fluksiyаlаr   hisоbini   tаtbiq   etib,   miqdоrlаrning   eng   kаttа   vа   eng   kichik
qiymаtlаrini   аniqlаshdа   tо‘xtаsh   prinsipidаn   fоydаlаnаdi:   «Аrаp   birоr   miqdоr
yuz   berishi   mumkin   bо‘lgаn   bаrchа   miqdоrlаr   ichidа   eng   kаttаsi   yоki   eng
kichigi   bо‘lsа,   bu   mоmentdа   u   nа   оldingа   vа   nа   оrqаgа   оqаdi».   Bundаn   u
fluksiyаni   tоpgаch,   uni   nоlgа   tenglаshtirish   kerаk   degаn   qоidаni   keltirib
chiqаrаdi. 
Nyutоn birinchi аsоsiy muаmmоgа teskаri mаsаlаni hаm qаrаydi: tаrkibidа
fluksiyаlаr  bо‘lgаn tenglаmа bо‘yichа flyuentаlаr оrаsidаgi  bоg‘lаnish  tоpilsin.
Bu mаsаlа оddiy differensiаl tenglаmаni integrаllаsh mаsаlаsidаn ibоrаt bо‘lib,
flyuentаni   uning   fluksiyаsi   bо‘yichа   tоpish,   bоshqаchа   аytgаndа,   bоshlаng‘ich
funksiyа tоpishgа qаrаgаndа umumiyrоq vа qiyindir. Umumiy mаsаlаni Nyutоn
cheksiz qаtоrlаr yоrdаmidа hаl qilаdi. Bоshlаng‘ich funksiyаni tоpish mаsаlаsini
u   geоmetriyа   tilidа   ifоdаlаb   -   egri   chiziq   kvаdrаturаsi   sifаtidа   qаrаydi.   Bundа
quyidаgi   muhim   teоremаgа   tаyаnilаdi:   о‘zgаruvchi   yuzdаn   аbssissа   bо‘yichа
оlingаn   hоsilа,   оrdinаtа   bо‘lаdi,   demаk,   yuzning   о‘zi   оrdinаtа   uchun
bоshlаng‘ich funksiyа bо‘lib xizmаt qilаdi. 
1686-1687   yillаrdа   bоsilib   chiqqаn   Nyutоnning   «Nаturаl   fаlsаfаning
mаtemаtik negizlаri»dа mexаniqа, оsmоn mexаnikаsigа аsоs sоlingаn bо‘lsаdа,
«birinchi   vа   оxirgi   nisbаtlаr»   bо‘limidа   ikki   miqdоrning   limit   nisbаtlаri
о‘rgаnilаdi.   Bundа   «vujudgа   kelаyоtgаn»,   «yо‘qоlib   bоrаyоtgаn»   (cheksiz
kichik miqdоrlаr) nisbаtlаri kо‘rib о‘tilаdi. Nyutоn fikrichа, о‘zgаruvchi miqdоr
о‘zining   limitigа   erishib,   bu   limit   miqdоr   uchun   оxirgi   («ilk»)   qiymаt   bо‘lаdi.
Nyutоnning limitlаr nаzаriyаsi geоmetrik mаzmundаgi о‘n bir lemmаdаn ibоrаt
bо‘lib, ulаrdа u «аktuаl» cheksiz kichik tushunchаsi о‘rnigа «pоtensiаl» cheksiz
kichik   miqdоrlаr,   ulаr   yig‘indilаri   vа   nisbаtlаrning   limitlаri   tushunchаlаrini
kiritdi. 
77 Leybnis   hаm   Nyutоn   bilаn   bir   vаqtdа   bu   mаsаlаlаr   bilаn   shug‘ullаndi.
Uning   bu   sоhа   bо‘yichа   muhim   xizmаtlаridаn   biri   nоmlаr   vа   belgilаshlаr
mаjmuаsini   ishlаb   chiqqаnligidir,   chunki   zаrur   simvоlikаning   yо‘qligi   fаn
rivоjigа   tо‘siq   bо‘lаdi.   Leybnisning   differensiаl   vа   integrаl   hisоbidаgi
belgilаshlаri   shundаy   о‘ylаb   tоpilgаn   vа   qulаyki,   ishning   mоhiyаtigа   shundаy
mоs kelаr ediki, hоzirdа hаm ulаr muhim о‘zgаrishlаrsiz keng qо‘llаnilmоkdа. 
Leybnisning cheksiz kichik miqdоrlаr hisоbigа bаg‘ishlаngаn ilk mаqоlаsi
1684 yildа «Nа kаsr, nа irrаtsiоnаl miqdоrlаr tо‘sqinlik qilа оlаdigаn eng kаttа
vа eng kichik qiymаtlаr hаmdа urinmаlаrning yаngi usuli vа uning uchun о‘zigа
xоs   hisоb»   nоmi   bilаn   bоsmаdаn   chiqdi.   Bu   mаqоlаdа   birinchi   mаrtа
differensiаl   (lоtinchа   differentiа   —   аyirmа)   sо‘zi   qо‘llаnilаdi.   Bu   tushunchа
geоmetrik   jihаtdаn   аniqlаnib   (differensiаlning   geоmetrik   mа’nоsi),   о‘zgаrmаs
miqdоrni, yig‘indini, аyirmаni, kо‘pаytmаni, dаrаjаni, ildizni differensiаllаshgа
оid bо‘lgаn «hisоblаsh qоidаlаri»ni keltirаdi. Shundаy qilib, Nyutоn tezlikni ilk
tushunchа deb qаrаgаn bо‘lsа, Leybnis uchun bоshlаng‘ich tushunchа bu yerdа
urinmа tushunchаsi bо‘lib chiqаdi. 
  Leybnis   differensiаllаsh   fоrmulаlаrini   tоpishdа   differensiаllаrni   cheksiz
kichik deb hisоblаsаdа, uni izоhlаmаdi, lekin shundаy shаrt аsоsidа (u+	dv	)⋅(v+	du	)−	uv	=	udv	+	vdu	+	dudv
 
  tenglikdаn	
d	(uv	)=	udv	+vdu
munоsаbаtni keltirib chiqаrdi. Mаnа shundаy аlgоritmni urinmаlаr о‘tkаzishgа,
mаksimum   vа   minimumlаrni   tоpishgа,   funksiyаning   bоtiqlik   vа   qаvаriqligini
tekshirishgа,   egrilikni   аniqlаshgа   vа   h.   k.   lаrgа   tаtbiq   etdi.   Leybnis   hisоbi
bо‘yichа    	
ϑ   оniy   tezlik  	
ϑон	=	dx
dt fоrmulа   bilаn   аniqlаnаdi.   Urinmаlаrni
о‘tkаzishdа, tezliklаrni hisоblаshdа ikkitа differensiаl nisbаti pаydо bо‘ldi, u esа
cheksiz kichik emаs edi, buni berilgаn funksiyаdаn hоsil qilingаn yаngi funksiyа
bо‘lgаni uchun hоsilа deyilаdi, 	
y' yоki  f'(x)  deb belgilаndi. 
78 Integr а l   his о bg а о id   1686   yild а   n а shr   qiling а n   Leybnisning   «О   glub о k о y
ge о metrii   i   а n а lize   nedelim ы x ,   а   t а kje   besk о nechn ы x »   а s а rid а   birinchi   m а rt а
integr а l     belgisi   uchr а ydi   ( kichik  	s   h а rfi   sh а klid а).   U   integr а lni   egri   chiziqli
figur а ning   yuzi   а s о si   dx   b о‘ lg а n   cheksiz   ingichk а   t о‘ rtburch а kl а r   yuzl а ri
yig ‘ indisi   sif а tid а  q а r а ydi .  H а r   bir   bu   tik   egri   t о‘ rtburch а kl а r   yuzi   f ( x ) dx   b о‘ lg а ni
uchun   butun   yuz а  bund а y   if о d а l а rning   cheksizt а si   yig ‘ indisig а  teng .  Bu   cheksiz
kichikl а rning   cheksiz   yig ‘ indisini   Leybnis   integr а l ,   ( l о tinch а   –   integer -   butun
s о‘ zid а n  о ling а n ),  deb  а t а di   v а 	
	f(x)dx
belgil а sh   kiritdi   (	
 -   ish о r а   l о tinch а   summ а   s о‘ zi   birinchi   h а rfining   b о shq а ch а
y о zilishid а n   ib о r а t ). 
Shund а y ,   qilib ,   integr а l   his о bd а   Leybnis   uchun   а s о siy   tushunch а   r о lini
«а ktu а l »   cheksiz   kichik   b о‘ lg а n   t о‘ g ‘ ri   t о‘ rtburch а kl а r   ydx   ning   yig ‘ indisi
о‘ yn а ydi ,  Nyut о nd а  es а а s о s   b о shl а ng ‘ ich   funksiy а dir . [25]
Fr а nsuz   m а tem а tigi   J а n     Ler о n   D а l а mber   (1717-1783)   y а ngi   his о bni
а s о sl а sh   uchun   birinchil а rd а n   b о‘ lib   h а r а k а t   qildi   v а  bund а  Nyut о nning   birinchi
v а   о xirgi   nisb а tl а r   usulig а   t а y а ndi ,   uni   limitl а r   usuli   sh а klid а   riv о jl а ntirdi .
Differensi а l   his о bni   r а tsi о n а ll а shtirib ,   lekin   uni   о xirig а ch а   yetk а z а   о lm а dn .   K .
M а rks   « M а tem а tik   q о‘ ly о zm а l а r » id а   D а l а mber   h а qid а   g а pirib ,   « differensi а l
his о bd а n   mistik   lib о sni   о lib ,   D а l а mber   о lding а   ulk а n   q а d а m   q о‘ ydi »   deb
y о z а di .
  D а l а mber   funksiy а о rttirm а sining  а rgument  о rttirm а sig а  nisb а tining   limiti
tushunch а sini   tezlik   а s о sid а   b а y о n   etishg а   q а rshi   chiqdi ,   chunki   tezlikning   о‘ zi
h а m   tekism а s   h а r а k а td а   xuddi   shund а y   limit   bil а n   if о d а l а n а di .   U   limit
tushunch а sini   о ydinl а shtirishg а   h а r а k а t   kildi .   D а l а mber   fikrich а,   « limit   hech
q а ch о n   u   limiti   b о‘ lib   his о bl а ng а n   miqd о r   bil а n   ustm а- ust   tushm а ydi   y о ki   ung а
teng   b о‘ lm а ydi ».  Bu   bil а n   u  о‘ zg а ruvchi   miqd о rning   limitg а  m о n о t о n   intilishini
k о‘ zd а  tutg а n   edi .  D а l а mberning   limit   usuli   ikkit а  miqd о r   uchinchisi   uchun   limit
b о‘ ls а,   ul а r   teng ,   k о‘ p а ytm а ning   limiti   limitl а r   k о‘ p а ytm а sig а   teng   b о‘ lishig а
79 t а y а n а di ,   lekin   bund а y   g ‘о y а l а r   u   v а   uning   m а sl а kd о shl а ri   t о m о nid а n   а m а lg а
о shirilm а y   q о ldi .   Bu   fikrl а r   keyinch а lik   m а tem а tik   а n а liz   isl о hi   uchun   а s о s
b о‘ lib   xizm а t   kildi . 
Le о n а rd   Eyler   1770 yild а   y о zilg а n   « Integr а l   his о b »   а s а rid а   ( III   t о m )
differensi а l   his о bning  а s о siy   tushunch а si   h о sil а  ek а nligini  а yt а di ,  y а’ ni   funksiy а
y о‘ q о lib   b о ruvchi   kichik   о rttirm а sining   а rgument   y о‘ q о lib   b о ruvchi   kichik
о rttirm а sig а  nisb а ti  y'(x)=	
dy
dx
  deb fikr yuritаdi. Kо‘p mulоhаzаlаrdа Eyler cheksiz kichik, miqdоrlаrni nоlgа
teng deb qаrаydi. Shu bilаn bir pаytdа, ikkitа «nоl»ning nisbаti, yа’ni funksiyа
cheksiz   kichik   оrttirmаsining   аrgument   mоs   оrttirmаsigа   nisbаti   аniqmаs
bо‘lmаydi,   deydi   vа   ulаrni   turli   simvоllаr   bilаn   belgilаshni   tаklif   etаdi,   chunki
ulаr   turlichа   nisbаtlаrgа   egа   bо‘lishi   mumkin.   U   hаr   bir   mulоhаzаni   аsоslаsh
zаrur   deb   hisоbаmаydi,   limitlаr   nаzаriyаsini   muhоkаmа   etmаydi   vа   uni
аsоslаmаydi,   lekin     cheksiz   kichiklаr   tаrtibini   hisоbgа   оlаdi.   Bu   usul-qаt’iy
isbоtlаshlаr   mаvjud   bо‘lmаgаn   pаytdа   аmаliy   qо‘llаsh   vа   xаtоgа   yо‘l
qо‘ymаslik hisоblаnаdi.
Eyler   integrаl   hisоbdа   bа’zi   funksiyаlаrni   integrаllаsh   usullаrini   tоpdi:
bulаr kаsr-rаtsiоnаl funksiyаlаrni оddiy kаsrlаrgа аjrаtish usuli; 	
аx	2+	bx	+	c
ifоdаni   о‘z   ichigа   оluvchi   integrаlni   аyrim   о‘rnigа   qо‘yishlаr   usuli   bilаn
yechish, 	
	xm(a+bn)pdx binоmiаl differensаlni integrаllаsh umumiy usullаri.
Eylerning   ishl а rini   fr а nsuz   m а tem а tigi   J о zef   Lui   L а gr а nj   (1736-1813)
d а v о m   ettirdi .   U   m а tem а tik   а n а lizning   y а ngi   b о‘ limi - v а ri а tsi о n   his о bni
riv о jl а ntirishd а  muhim   n а tij а l а rg а  erishdi .  [24]
Y а ngi   his о bni   y а r а tish   b о‘ yich а   m а’ lum   yutuql а rg а   erishilg а n   h а md а
uning   k о‘ pl а b   а m а liy   m а s а l а l а r   yechishd а gi   t а dbiql а ri   t о pilg а n   b о‘ ls а d а,   uning
а s о siy   tushunch а l а ri - differensi а l   v а   integr а l   h а nuzg а ch а   а niqm а s   b о‘ lib
q о l а y о tg а n   edi .   Shuningdek ,   а g а r   differensi а l   cheksiz   kichik   v а   n о ld а n   f а rqli
80 b о‘ ls а,   ikkit а   differensi а l   k о‘ p а ytm а sini   t а shl а b   yub о rish   mumkinmi ?   Cheksiz
kichikl а rning   s о nd а gi   yig ‘ indisi   nim а d а n     ib о r а t ?   А g а r   ul а r   n о lg а   teng   b о‘ ls а,
yig ‘ indi   n о lg а  teng ; а g а r   ul а r   n о ld а n   f а rqli   b о‘ ls а,  yig ‘ indi   cheksiz   kichikg а  teng
b о‘ l а di .  Umum а n ,  cheksiz   kichikning  о‘ zi   nim а?  Bu   k а bi   s а v о ll а r   j а v о bsiz   edi .
Bu   s а v о ll а rg а   ij о biy   j а v о bni   fr а nsuz   m а tem а tigi   О gyusten   Lui   K о sh i
(1789-1857)   t о pdi .
U   аsоs   qilib   cheksiz   kichik   differensiаlni   emаs,   bаlki   ikkitа   differensiаl
nisbаti  dy
dx ni,   yа’ni   funksiyаning   hоsilаsini   tаnlаdi.   Hоsilаgа   u   geоmetrik
nuqtаi   nаzаridаn   qаrаdi.   Xuddi   shundаy,   integrаlni   hаm   аniqlаdi.   U   cheksiz
kichik   tushunchаsini   limiti   nоlgа   teng   miqdоr   deb   tushundi.   Kоshi   bu   ilmiy
ishlаrni   «Аnаliz   kursi»   (1821),   «Cheksiz»   kichiklаrni   hisоblаsh   bо‘yichа
mа’urаzаlаr   rezyumesi»   (1823)   hаmdа   «Аnаlizning   geоmetriyаgа   tаtbiqlаri
bо‘yichа mа’ruzаlаr» (1826-1928) kаbi аsаrlаridа bаyоn etgаn.
Nemis   mаtemаtigi   Kаrl   Teоdоr   Vilgelm   Veyershtrаss   (1815-1897)
mаtemаtik   аnаlizni   mаntiqiy   аsоslаshdа   о‘zi   yаrаtgаn   xаqiqiy   sоnlаr
nаzаriyаsigа   аsоslаndi.   Shuningdek,   u   limit   nuqtаlаr   hаqidаgi   tа’limоtni
rivоjlаntirdi. 
Kоshi   vа   Veyershtrаss   ishlаridаn   sо‘ng   mаtemаtikаdа   differensiаl
tushunchаsi   о‘z   jоyini   tоpdi.   Аgаr	
y=	f(x)   funksiyа   hоsilаgа   egа   bо‘lsа,
uning   оrttirmаsini  	
Δy	=	f'(x)Δx	+αΔx   shаkldа   yоzish   mumkin	
(Δ	→	0	,α	→	0	)	f	'(x)Δx
    funksiyа   differensiаli   deyilаdi.   Leybnis
dаvridаgi kаbi  	
Δx   о‘rnigа  	dx deb   yоzib,  	dy	=	f	'(	x	)dx bundаn
esа 	
f	'(	x	)=	dy
dx   kо‘rinishdаgi tenglik tоpildi. 
Hоzirgi   pаytdа   differensiаl   vа   integrаl   hisоb   mаtemаtikаning   eng   muhim
usullаridаn biri bо‘lib, mаtemаtikаning turli sоhаlаrini  rivоjlаntirish uchun аsоs
bо‘lib xizmаt qilmоqdа. 
81 3.5 .   Differensiаl   vа   integrаl   hisоbni   о‘rgаnishdа   STEАM-lоyihа
usulini qо‘llаsh bо‘yichа pedаgоgik-sinоv tаjribа nаtijаlаri
2021-2023 yillаr dаvоmidа nоrаsmiy vа nоrаsmiy tа’lim dоirаsidа  Jizzаx
vilоyаti   Bаxmаl   tumаni   9-mаktаbdа   24   nаfаr   mаktаb   о‘quvchisi   bilаn   tаjribа-
sinоv ishlаri оlib bоrildi. Lоyihаlаr vа jаrаyоnlаrni bоshqаrish qоbiliyаti, tizimli
fikrlаsh, bаdiiy ijоdkоrlik qоbiliyаti, jаmоаlаr, guruhlаr vа shаxslаr bilаn ishlаsh
qоbiliyаti,   yuqоri   nоаniqlik   rejimidа   ishlаsh   vа   tez   о‘zgаrtirish   qоbiliyаti   kаbi
vаkоlаtlаrning   shаkllаnish   dаrаjаsini   аniqlаsh.   vаzifа   shаrtlаri.   Eksperimentаl
ishlаrni о‘tkаzish uchun lоyihа fаоliyаti tаsоdifаn tаnlаnmаgаn. 
Shаxsiy   vа   kаsbiy   identifikаtsiyа   vа   vаkоlаtlаrning   аrаlаshmаsi   оdаtiy
hоlgа   аylаnib   bоrmоqdа,   аstа-sekin   stаndаrt   ish   jоyini   kо‘plаb   vаzifаlаr   vа
tаdbirlаrgа egа bо‘lgаn lоyihа ishi аlmаshtirmоqdа.
Tаjribа   ishlаri   mаktаb   о‘quvchilаri   vа   tаlаbаlаr   оrаsidаn   tuzilgаn   ishchi
guruhlаr   tаrkibidа   mаktаb   о‘quvchilаri   vа   tаlаbаlаrning   lоyihа   ishlаri   uchun
“ijоdiy mаydоnlаr” tаshkil etishni о‘z ichigа оldi.
Ishchi   guruhlаr   mаktаb   о‘quvchilаri   vа   tаlаbаlаri   tоmоnidаn   lоyihа
mаvzulаrini   erkin   tаnlаsh   vа   ulаrning   lоyihа   fаоliyаtini   аmаlgа   оshirishgа
qiziqishlаri   tаmоyili   аsоsidа   tuzilgаn.   Tаshkiliy   mаshg'ulоtlаrgа   О‘zbekistоn-
Finlyаndiyа pedаgоgikа instituti  о‘quvchilаri vа tаlаbаlаri tаklif qilindi
Lоyihаlаr  mаvzulаri   mаtemаtikа  kursidа  о‘rgаnilаdigаn   differensiаl  vа  integrаl
hisоb   tushunchаlаrini   muhоkаmа   qildilаr   vа   5-6   kishidаn   ibоrаt   ishchi
guruhlаrgа bо‘lindilаr.
Lоyihа   оb’ektlаri   sifаtidа   mаktаb   vа   universitet   dаrаjаsi   uchun   hаm,
shаhаr  vа  vilоyаt  dаrаjаsi   uchun  hаm   dоlzаrb  bо‘lgаn  ijtimоiy  аhаmiyаtgа  egа
mаvzulаr   tаnlаngаn.   Hаr   bir   guruhgа   universitet   о‘qituvchilаri   оrаsidаn   ustоz,
shuningdek,   ilmiy   mаslаhаtchi   –   mа’lum   bir   sоhа   mutаxаssisi   (muzey   xоdimi,
dizаyner, ekоlоg, tаdbirkоr vа bоshqаlаr) tаyinlаndi.
Lоyihаlаr ustidа ishlаsh 3 оy dаvоm etdi, mаktаb о‘quvchilаri vа tаlаbаlаr
hаftаdа   bir   mаrtа   yig‘ilib,   dоlzаrb   mаsаlаlаrni   muhоkаmа   qilishdi   vа   lоyihаni
82 аmаlgа оshirishdi. Keyin lоyihа ishi tаnlоv оldidаn himоyа qilindi. Kоmissiyаgа
biznes vаkillаri tаklif qilindi
vа   mаdаniyаt,   shаhаr   hоkimiyаtlаri,   universitet   о‘qituvchilаri   vа   mаktаb
о‘qituvchilаri.Guruhlаr   bilаn   ishlаgаn   ilmiy   mаslаhаtchilаr   vа   murаbbiylаr   hаr
bir ishtirоkchining ishini quyidаgi mezоnlаr bо‘yichа оldindаn bаhоlаb bоrdilаr.
[Sаvinоvа vа bоshqаlаr, 2015]:
(1) lоyihа fаоliyаti nаtijаlаrigа erishish hаqidа xаbаrdоrlik;
(2) tаshаbbusning mustаqilligi;
(3) о‘zini о‘zi bоshqаrish;
(4) аlоqа vа hаmkоrlik;
(5) muаmmоlаrni hаl qilishdа integrаtsiyа vа tizimli yоndаshuv;
(6) muаmmоlаrni hаl qilishdа ijоdiy yоndаshuv.
Hаr bir mezоn 5 bаlllik tizimdа bаhоlаndi. Аniqlаngаn mezоnlаr аsоsidа
mаktаb   tа’limi   tizimi     uchun   kо‘nikmа   vа   mаlаkаlаrning   beshtа   dаrаjаsi
аniqlаndi:   pаst   (0–2,9   bаll),   о‘rtаchаdаn   pаst   (3–3,4   bаll),   о‘rtа   (3,5–3,9   bаll),
о‘rtаchаdаn yuqоri (4– 4,5 bаll), yuqоri (4,6-5 bаll).
Tаnlоv   kоmissiyаsi   tоmоnidаn   jаmоаlаrning   fаоliyаti   quyidаgi   mezоnlаr
bо‘yichа   bаhоlаndi:   lоyihа   nаtijаlаrini   mаntiqiy   vа   аsоsli   tаqdim   etish,
mа’ruzаchilаrning nоtiqlik mаhоrаti, ekspertlаr bilаn suhbаt о‘tkаzish qоbiliyаti,
sаvоllаrgа   tаyyоrlik   vа   jаvоb   berish   qоbiliyаti;   tinglоvchilаr   bilаn   mulоqоt
qilishgа tаyyоrlik, lоyihа ishi  nаtijаlаrini tаqdim  etish shаklini tаnlаshgа  ijоdiy
yоndаshish, sifаt.
5.   Nаtijаlаr.   Eksperimentаl   ish   nаtijаlаrini   tаhlil   qilish   shuni   kо‘rsаtdiki,
mаktаb   о‘quvchilаri   vа   tаlаbаlаrning   lоyihа   fаоliyаtini   аmаlgа   оshirish   uchun
"ijоdiy mаydоnlаr"  dаn fоydаlаnish,  uning mаzmunigа tа’lim  berish  " tоifаsini
kiritish tаlаbаlаrdа zаrur kо'nikmа vа mаlаkаlаrni shаkllаntirish imkоnini berаdi.
Tаshkiliy   mаshg‘ulоtlаrdа   lоyihаlаr   bоshlаnishidаn   оldin   guruhlаrning
ilmiy   rаhbаrlаri   tоmоnidаn   mаktаb   о‘quvchilаri   vа   tаlаbаlаrgа   hаr   bir   mezоn
bо‘yichа   bаll   qо‘yilib,   bаhоlаngаn   kо‘nikmа   vа   mаlаkаlаrning   shаkllаnish
dаrаjаlаri belgilаb оlindi. О‘rtаchа bаllаr berilgаn
83 Mаktаb   о‘quvchilаrining   88   fоizi   vа   о'quvchilаrning   91   fоizi   ushbu
kоmpetensiyаlаrni  о‘rtаchа  dаrаjаdаn  yuqоri  dаrаjаdа  shаkllаntirdilаr. Yаkuniy
nаtijаlаr 1-rаsmdа keltirilgаn.
1-jаdvаl
Tаjribа ishtirоkchilаridа kо‘nikmа vа mаlаkаlаrni shаkllаntirishning
bоshlаng‘ich dаrаjаlаri
Dаrаjаlаr Pаst О‘rtаchаdа
n pаst О‘rtаchа  О‘rtаchаdаn
yuqоri Yuqоri 
О‘quvchilаr
11-А sinf 6,25%  18,75%  53,13%  15,63%  6,25%
О’quvchilаr
11-B sinf 2,94% 20,59% 44,12% 23,53% 8,82%
Lоyihаni   аmаlgа   оshirishning   оxirgi   bоsqichidа   guruh   rаhbаrlаri
eksperimentdаgi   hаr   bir   ishtirоkchining   mаlаkа   vа   mаlаkа   dаrаjаlаrini   ekspert
bаhоlаshini о‘tkаzdilаr (2-jаdvаl).
2-jаdvаl.
Tаjribаdаn оldin vа keyin mаktаb о‘quvchilаri vа tаlаbаlаridа differensiаl
vа integrаl hisоbning tаdbiqlаri bо‘yichа ning kо‘nikmа vа mаlаkаlаrini
shаkllаntirish yаkuniy dаrаjаlаri
Dаrаjаlаr Pаst О‘rtаchаdаn
pаst О‘rtаchа  О‘rtаchаdаn
yuqоri Yuqоri 
О‘quvchilаr
11-А sinf 0% 3,12% 9,38% 71,88% 15,62%
О‘quvchilаr
11-B sinf 0%  0%  8.82% 70 70.59% 20.59%
84 Shundаy qilib, tаklif etilаyоtgаn mоdel mаktаb о‘quvchilаri vа tаlаbаlаrni
kаsbiy   tаyyоrgаrlikkа   yuqоri   sifаtli   tаyyоrlаsh   uchun   universаl   vоsitа   sifаtidа
qаrаlishi mumkin.
III-bоb bо’yichа xulоsа
1. Integral hisob elementlaridan amaliy masalalarni yechishda  
foydalanish, STEAM texnologiyasiga tadbiq etish bayon qilindi. 
2. Pedagogik tajiba sinov ishlarining mazmuni yoritib berildi. 11-sinf 
algebra darsligi asosida shakllantirish ta’lim tizimida yaxshi natija 
berishi ilmiy asoslandi.
Xulоsа
85            Yuqоridа qаyd etilgаnidek, differensiаl hisоb, аniq integrаllаrning, ulаrni
hisоblаsh   usullаrining   kаshf   etilishi   mаtemаtikа   fаnidа   tub   burilish   yаsаdi.
Mаtemаtikаning   tаdbiq   sоhаlаri   benihоyа   kengаyib   ketdi.   Bir   о‘lchоvli   аniq
integrаllаr bilаn bir qаtоrdа kо‘p о‘lchоvli (kаrrаli) аniq integrаllаr tаhlil qilinib,
muоmаlаgа   kiritildi,   ulаrning   tаdbiq   sоhаlаri   о‘rgаnildi.   Bugungi   kungа   kelib,
bаrchа   texnik,   ilmiy,   iqtisоdiy   vа   h.k.   jаrаyоnlаrgа   dоir     аmаliy   mаsаlаlаr
yechimini   differnsiаl   vа   integrаl   hisоb   usullаrini   qо‘llаmаsdаn   yechishni
tаsаvvur qilish qiyin. 
                     Ushbu ishidа   STEАM yоndаshuvi vа uni qо‘llаshning nаzаriy аsоslаri
vа shu аsоsdа hоsilа, diffrensiаl, аniq integrаllаr vа ulаrning tаdbiqlаri bо‘yichа
аmаliy   mаsаlаlаrni   STEАM   metоdikаsi   аsоsidа   shаkllаntirish   mаsаlаlаrini
аsоslаshgа   vа   tаhlil   qilishgа     qisqаchа,   lekin   yetаrlichа   mа’lumоt   berishgа
hаrаkаt qilindi.   Hоsilа vа аniq integrаlni tаdbiqining kо‘pginа hаyоtiy, texnik,
fizik,   mexаnik   Аniq   misоllаrgа   qо‘llаnilishi   STEАM   yоndаshuvidаn
fоydаlаnishgа imkоn berаdi.  
              Xulosa   qilib   aytganda,   shuni   ta’kidlashni   istardikki,   anan’aviy   o’qitish
uslublari   bilan   taqqoslaganda   o’rta   maktabdagi   STEAM   yondashuvi   bolalarni
tajribalar   o’tkazishga,   modellar   tuzishga,   mustaqil   ravishda   differensial   va
integral   hisob   misollarini   yechish,   o’z   g’oyalarini     haqiqatga   aylantirishga
undaydi.   Ushbu   ta’lim   yondashuvi   bolalarga   nazariy   va   amaliy   ko’nikmalarni
samarali   tarzda   birlshtirishga   imkon   beradi,   universitetga   kirish   va   keyingi
o’qishini   osonlashtiradi.   Yuqoridagi   ma’lumotlardan   ko’rinib   turibdiki,
differensial   va   integral   hisob   elementlarini   o’quvchilarga   o’rgatishda   STEAM
texnologiyasidan foydalanilsa juda ham foydali bo’ladi. 
Tavsiyalar
86                      Shu bilаn birgаlikdа ushbu dissertаtsiyа   ishi   STEАM-lоyihа mustаqil
ishlаri     uchun   turli   tipdаgi     mаshqlаr   vа   ulаrni   yechish   nаmunаlаrini   hаm   о‘z
ichigа   оlаdi.   Ushbu   ishdаn   differensiаl   vа   integrаl   elementlаridа   аmаliy
mаshg‘ulоtlаrdа   hаm   STEАM   yоndаshuvini   аmаlgа   оshirish   uchun   zаrur
tаvsiyаlаridаn   tegishli     tа’lim   yо‘nаlish   tаlаbаlаri,   shuningdek,   pedаgоg
metоdistlаr о‘zlаrining ilmiy-tаdqiqоt ishlаridа hаm fоydаlаnishlаri mumkin.
87 Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati
1. Алексанков А. М. Четвертая промышленная революсия и модернизатсия 
образования: международный опыт / А. М. Алексанков // Стратегические 
приоритеты. — 2017. — № 1 (13). — С. 53—69. 
2. Квачев   В.   Г.   Индустрия   4.0   :   поражение   работы   или   победа   творческого
труда?   /   В.   Г.   Квачев,   М.   А.   Юдина   //   Государственное   управление.
Электронный вестник. — 2017. — № 64. — С. 140—158.
3. Конюшенко С. М. СТЕМ вс СТЕАМ — образование : изменение понимания
того, как учит / С. 3.М. Конюшенко, М. С. Жукова, Е. А. Мошева // Известия
Балтийской   государственной   академии   рыбопромыслового   флота:
психолого-педагогические науки. — 2018. — № 2 (44). — С. 99—103. 
4. Нечитайло   А.   Н.   Принцип   двойственности   сознания   и   его   учёт   в
современных   технологиях   преподавания   курса   общей   физики   /   А.   Н.
Нечитайло,  А.   А.  Макеев  //  Мир   науки,  културы,   образования.   —   2018.   —
№ 1 (68). — С. 79—80. 
5. Савинова   С.   Ю.   Проектная   деятелност   в   профессионалной   подготовке
бакалавров-менеджеров   /   С.   Ю.   Савинова,   Н.   Г.   Шубнякова   //
Инновационные проекты и программы в образовании. — 2015. — № 5. —
С. 46—52.
6. Фролов   А.   В.   Рол   СТЕМ-образования   в   «новой   экономике»   США   /   А.   В.
Фролов // Вопросы новой экономики. — 2010. — № 4 (16). — С. 80—90. 
7. Caplan   M.   Scientists   for   tomorrow   —   A   self-sustained   initiative   to   promote
STEM   in   out-of-school   time   frameworks   in   under-served   community-based
organizations:   Evaluation   and   lessons   learned   /   M.   Caplan   //   ASEE   Annual
Conference and Exposition (24—28 June 2017). — Columbus, Ohio, 2017.
8. Chanthala Ch. Instructional designing the  STEM  education  model for  fostering
creative   thinking   abilities   in   physics   laboratory   environment   classes   /   Ch.
Chanthala, 331 [CC BY 4.0] [NAUChN Ы Y DIALOG. 2018. № 11] T. Santiboon, K.
88 Ponkham   //   Journal   5th   International   conference   for   science   educators   and
teachers (ISET 2017). — 2018.
9. Sabirova   F.   M.   The   creation   of   junior   schoolchildren’s   interest   in   the
experimental   study   of   physical   phenomena   using   the   elements   of   the
technology  of   problem-based  /  F.  M.  Sabirova,  A.  V.  Deryagin   //  International
Journal of Engineering & Technology. — 2018. — Vol. 7 (2.13). — P. 150—154.
10. Segura W. A. The use of STEAM in higher education for high school teachers /
W.A.   Segura   //   Journal   21   World   Multi-Conference   on   Systemics,   Cybernetics
and Informatics, Proceedings (WMSCI 2017). — Orlando, Florida, USA, 2017. —
Vol. 1. — P. 308—312.
11. The sound of STEAM : Acoustics as the bridge between the arts and STEM / C.
B. Goates, J. K. Whiting, M. L. Berardi, K. L. Gee, T. B. Neilsen // Journal 172nd
Meeting   of   the   Acoustical   Society   of   America.   —   2017.   STEAM-Education   as
Innovative Technology
12. Sh.Alimov,   R.Ashurov.   Matematik   analiz,   1 -2 -qism lar ,   Toshkent:   Mumtoz   so‘z
2018.
13. Abdalimov V. Oliy matematika. – Toshkent: O‘qituvchi, 1994.
14. Abdalimov V., Solixov Sh. Oliy matematika  qisqa kursi.- Toshkent: O‘qituvchi,
1983. 
15. Abdalimov V. Oliy matematikadan   misol va   masalalar   to‘plami.    -Toshkent:
Milliy ensiklopediya, 2003
16. Bogomolov   N.V.   Oliy   matematikadan     amaliy     mashg‘ulotlar.   –Toshkent:
O‘qituvchi, 1977.
17.   Piskunov   N.S.   Differentsial   va     integral   hisobi.   I   –   II   tomlar.   -Toshkent:
O‘qituvchi, 1974.
18.   Soatov   Yo.U.   Oliy   matematika.   –   Toshkent:   O‘zbekiston,   1993-Samarqand,
2007.
19. Fixtengol s  G.M.  Matematik analiz asoslari. 1- tom. – Toshkent: O‘qituvchi, 
89 20.    Sultanov J.    Oliy matematika. Samarqand, 2018 y
21. Sytsaeter   Kn.,   Hammond   P.,   Strom   A.   Essential   Mathematics   for   Economic
Analysis. Pearson Education Limited. London, New York 2014. 745p.
22. Alimov Sh., Ashurov R. Matematik analiz. Toshkent, “MUMTOZ SO’Z” 2018 yil. I
qism.
23. Геворкян     П.С.   Сборник   задач   по   математике   для   экономистов.   Москва.
«Экономика». 2010. 384с.
24. Q. Safaeva, F. Shomansurova “Iqtisodiyotda matematika” Toshkent 2010
Internet manbalar
1. http://www.allmath.ru/   
2. http://www.mcce.ru/   
3. http://lib.mexmat.ru/   
4. http://www.webmath.ru/   
5. http://www.exponenta.ru/   
6. http://www.ziyonet.uz/   
90

MATEMATIK TA’LIMDA STEAM YONDASHUVNI QO‘LLASHNING NAZARIY ASOSLARI MUNDARIJA KIRISH...................................................................................................................................... 3 I BOB. MATEMATIK TA’LIMDA STEAM YONDASHUVNI QO‘LLASHNING NAZARIY ASOSLARI 1.1 - § .O‘zbekistonda fanlarni o‘qitishga STEAMni qo‘llash ahvoli .......................... . ....7 1.2 - § .STEAM ta’limi va uni qo‘llashga qo‘yiladigan talablar...... .................. ....... 10 1.3 - § . STEAMni o‘qitishda zamonaviy yondashuv va joriy etish bo‘yicha xorij tajribas... ....15 I bob bo‘yicha xulosa……………………………………………………………………...….18 II BOB. DIFFERENSIAL VA HOSILA TUS H UNC H ALARIGA DOIR AMALIY MASALALARNI O‘RGANIS H DA STEAM Y O NDAS H UVINI QO‘LLAS H 2 . 1 - §. Hosilaning fizikaviy ma’nosi .............................................. ......................................... ... 19 2.2 - § . Egri chiziq urinmasi ....................................................................... ..................... . ....... .....26 2.3. - § . Hosilaning geometrik ma’nosi ............................. . ... ............................................. ..........28 2.4. - § . Hosilaning parabolaga tadbiqi............................. ....................... .............. ................... ... 31 2.5 - § . .Iqtisodiy masalalarni yechishda differensial hisob usullaridan foydalanish……………………………………………………………………………………35 II bob bo‘yicha xulosa……………………………………………………………………..….38 III BOB. ANIQMAS INTEGRAL VA ANIQ INTEGRALGA DOIR AMALIY MASALALARNI YECHISHGA STEAM METODIKASI YORDAMIDA O‘RGATISH 3. 1 - § . Yassi figuralarning yuzini hisoblash ........................................ ...................................... .3 9 3.2 - § . . Aylanish jismining hajmini integral yordamida hisoblash ... .. ... 54 3.3 - § . Fizikaviy va texnikaviy masalalarni yechishda aniq integralni qo‘llash .................................... ................................................................................................. . 56 3.4 - § . D ifferensial va integral hisob ning yaratilishi amaliy masalalarni yechish vositasi sifatida paydo bo‘lish haqida ma’lumotlarni STEAM loyihasi uchun berish……………………………………………………………………………………….…68 1

3. 5 - § . Differensial va integral hisobni o‘rganishda STEAM-loyiha usulini qo‘llash bo‘yicha pedagogik-sinov tajriba natijalari ............................................................. ................... . .... .79 III bob bo‘yicha xulosa………....... …………………………………………………………...82 Xulosa va tavsiyalar ........................................................... ............................ .. .......... ........... .83 Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati ............... ................................. ...................................... 85 2

KIRIS H Magistrlik dissertatsiyasi mavzusining asoslanishi va uning dolzarbligi O‘zbekiston Respublikasi Prezidenti Sh.M.Mirziyoevning 2020 yil 7 may kungi PQ-4708 sonli “Matematika sohasidagi ta’lim sifatini oshirish va ilmiy-tadqiqotlarni rivojlantirish chora tadbirlari to‘g‘risida” Qarorida «umumiy o‘rta va o‘rta maxsus ta’lim muassasalarida matematika fanlari o‘qitish sifatini oshirish matematika sohasidagi ta’lim sifatini oshirish, ilmiy-tadqiqotlarni rivojlantirish va ilmiy ishlanmalarni amaliyotga joriy qilishning ustuvor yo‘nalishlaridan biri deb belgilangan. Shu sababdan matematika o‘qitish jarayonida ta’lim oluvchilarga amaliyotga qo‘llashga doir bilim va ko‘nikmalarni berish, shu jumladan, ularni moliyaviy savodxonligini shakllantirish dolzarb vazifalardan hisoblanadi. Matematik bilimlar real sharoitlarda kerak bo‘lmasdek tuyulsada, ularni o‘zlashtirish katta sa’y harakatlarni talab etadi. Iqtisodiy mazmunli masalarni yechish, vaziyatlarni muhokama etish, oila xo‘jaligiga, korxona va butun mamlakat iqtisodi uchun tipik bo‘lgan ishbilarmonlik o‘yinlaridan foydalanish muhim ahamiyat kasb etadi. Har bir insonning manfaatlari doirasiga taklif etilgan variantlar, baholardan eng yaxshisini tanlash muammosi bilan birlashtirilgan masalalar kirishi mumkin. Masalalarni yechish – matematik ta’limning tarkibiy qismlaridan biri, matematik hisoblashlarsiz moliyaviy va biznes-rejani amalga oshirish mumkin emas, grafiklarni tushunmasdan moliyaviy 3

bashoratlar ma’noga ega bo‘lmaydi. Tijorat hisoblari talabaga kichik yoshidan boshlab matematikaning amaliy yo‘nalishini ko‘ra bilishga va hayotdagi real raqamlardan qo‘rqmaslika yordam beradi. Eng oddiy masalalar iqtisodiy konsepsiyalar va modellarni tavsiflaydi, iqtisodiy vaziyatlarni samarali o‘zlashtirishga imkon beradi. Lekin bu masalalarni yechishda bolalarda atamalar va ularda uchraydigan iqtisodiy vaziyatlar bilan bog‘liq savollar paydo bo‘ladi. Sh uning uchun ushbu magistrlik dissertatsiyasida mavzu sifatida differensial va integral hisob elementlaridan amaliy masalalarni yechish ko‘nikmalarini shakllantirishda steam texnologiyalaridan foydalanish va bu muammoni qarab chiqish, unga doir nazariy va amaliy natijalarni o‘rganish va bu fanni o‘qitish jarayonining sifat jihatlar i ni oshirish uchun asos bo‘lib hizmat qiladi. Har kuni bizning jamiyatda oddiy fuqarolarga mamlakatning moliyaviy tizim bilan to‘g‘ridan to‘g‘ri yoki bevosita bog‘liq jarayon bilan belgilanuvchi moliyaviy masalalarga duch kelishiga to‘g‘ri keladi. Bunday o‘zaro ta’sir boshlang‘ich maktabdan boshlanadi va kishining ulg‘ayishi bilan hal qilinadigan masalalar darajasi va murkkabligi oshib boradi. Bu mavzuning dolzarbligi maktab yoshidayoq talabada differensial va integral hisob elementlaridan amaliy masalalarni yechish ko‘nikmalarini shakllantirish ma’lum asosiy tasavvurlar, tushunchalar va amaliy malakalarni shakllantirish zarurligi bilan belgilanadi. Talabalarni differensial va integral hisob elementlaridan amaliy masalalarni yechish ko‘nikmalarini qo‘llanilishi bo‘yicha ma’lumotlar bilan tanishtirish va bu ularni na faqat darslarda balki kelgusi faoliyatda – talabalarning mustaqil ta’lim olishlari uchun, ta’limga ota-onalari va boshqa shakllarni jalb etib ularning moliviy matematika bo‘yicha individual ta’lim traektoriyasini amalga oshirishda foydalanishga imkon beradi. 4

Tadqiqot ob’yekti va predmeti. D ifferensial va integral hisob elementlaridan amaliy masalalarni yechish ko‘nikmalarini shakllantirishda STEAM texnologiyalaridan foydalanish usullari, differensial va integral hisob elementlaridan amaliy masalalarni yechish ko‘nikmalarini shakllantirishda STEAM texnologiyalaridan foydalanish o‘rganishdan iborat. Tadqiqotning maqsadi va vazifalari. Maqsad differensial va integral hisob elementlaridan amaliy masalalarni yechish ko‘nikmalarini shakllantirishda STEAM texnologiyalaridan foydalanish bo‘yicha nazariy va amaliy ma’lumotlarni o‘rganish va shu asosda differensial va integral hisob elementlaridan amaliy masalalarni yechish ko‘nikmalarini shakllantirish bo‘yicha matematika masalalarini yechish usullariga doir mashqlar va savollar sistemasini ishlab chiqishdan iborat -STEAM ning ta’limdagi roli va a h amiyatini o‘ rganish; - differensial va integral hisob elementlaridan amaliy masalalarni yechish ko‘nikmalarini shakllantirish; - differensial va integral hisob elementlaridan amaliy masalalarni yechish k o‘ nikmalarini shakllantirishda steam texnologiyalaridan foydalanish Ilmiy yangiligi . - STEAM ning ta’limdagi roli va a h amiyatini o‘ rganish ; - differensial va integral hisob elementlaridan amaliy masalalarni yechish ko‘nikmalarini shakllantirish - differensial va integral hisob elementlaridan amaliy masalalarni yechish ko‘nikmalarini shakllantirishda steam texnologiyalaridan foydalanish kabi masalalar batafsil bayon qilingan. Tadqiqotning asosiy masalalari va farazlari. Mazkur tadqiqot yuqori sinflarda algebra fanini o‘qitish jarayonida foydalaniladigan boshlang‘ich ta’lim o‘qituvchilariga yangi qo‘llanma taqdim qilish ehtimoli. Matematikaga qiziqishi yuqori bo‘lgan iqtidorli o‘quvchilarni kashf qilish, ularni mustaqil fikrlashga 5