O’lchovli funksiyalar

Yuklangan vaqt:

12.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

807.8720703125 KB

Ko'chirib olish

O’lchovli funksiyalar.
Reja:
1. O’lchovli funksiyaning ta’rifi va xossalari.
2. Deyarli yaqinlashish.
3. Tekis yaqinlashish.

1.2 O’lchovli funksiyalar.
1.2.1. O’lchovli funksiyaning ta’rifi va xossalari.
Uzluksiz funksiya tushunchasiga ba’zi ma’noda yaqin va matematik analiz
uchun muhim ahamiyatga ega bo’lgan o’lchovli funksiya tushunchasini keltiramiz.
Avval ba’zi belgilashlarni kiritamiz: f(x) funksiya o’lchovli E to’plamda
aniqlangan va
a biror haqiqiy son bo’lsin; o’zgaruvchi x∈E miqdorning f(x)>a
tengsizlikni qanoatlantiradigan qiymatlaridan iborat to’plamni
E{f>a} bilan
belgilaymiz, ya’ni
E{f>a}= {x∈ E:f(x)>a}.
Shunga o’xshash,
E{f≥ a},E{f≤ a},E{f= a},E{a< f<b} to’plamlarning har
biri
x∈E o’zgaruvchining katta qavs ichida yozilgan munosabatlarni
qanoatlantiradigan qiymatlaridan iborat.
Agar
f(x) funksiya E to’plamda cheksiz qiymatlarga ega bo’lsa, kelgusida
aniqlik uchun bu qiymatlarning ishorasi ma’lum deb hisoblaymiz.
1.2.1-ta’rif. Agar o’lchovli
E to’plamda berilgan f(x) funksiya uchun
E{f>a}
to’plam har qanday haqiqiy a da o’lchovli bo’lsa, u holda f(x) o’lchovli
funksiya deyiladi.
Bu ta’rifda
(L) o’lchovli to’plamlar haqida gap borganligi uchun f(x) funksiya
ba’zan
(L) o’lchovli funksiya deyiladi. Agar bu ta’rifda E va E{f>a} to’plamlar
(B)
o’lchovli bo’lsa, u holda f(x) funksiya ham (B) o’lchovli deyiladi.
1.2.1-teorema. Agar
f(x) funksiya o’lchovli E to’plamda o’zgarmas k
songa teng bo’lsa, u holda
f(x) o’lchovli funksiya bo’ladi.
Isbot. Darhaqiqat,

E{f>a}={
E ,agar ,k>a,bo 'lsa
φ,agar ,k≤a,bo 'lsa .
1.2.2-teorema. Agar
f(x) o’lchovli funksiya bo’lib, k o’zgarmas son
bo’lsa, u holda
f(x)+k va kf (x) funksiyalar ham o’lchovli bo’ladi.
Isbot. Ushbu

E {f+k>a}= E {f>a− k},

E{kf >a}=
{
E{f>a
k},agar ,k>0,bo 'lsa
E{f<a
k},agar ,k<0,bo 'lsa ,
tengliklardan
f(x)+k va kf (x) funksiyalarning o’lchovli ekanligi kelib chiqadi.
Agar
k= 0 bo’lsa, ikkinchi tenglikning o’ng tomoni o’z ma’nosini yo’qotadi,
ammo bu holda
kf (x) aynan nolga teng bo’lganligi uchun 1.2.1-teoremadan kf (x)
funksiyaning o’lchovli ekanligi kelib chiqadi. Teorema isbotlandi.
1.2.3-teorema. Agar
f(x) va ϕ(x) funksiyalar E to’plamda o’lchovli
bo’lsa, u holda
E{f>ϕ} to’plam o’lchovli bo’ladi.
Isbot. Agar barcha ratsional sonlarni
r1,r2,.....,rn,..... ko’rinishda nomerlab
chiqsak, u holda

E {f>ϕ}= ¿
k=1
∞
[E {f>rk}∩ E {ϕ<rk}] (1.2.1)
tenglikni yozishimiz mumkin. Haqiqatan, agar
x∈E {f>ϕ} ixtiyoriy element
bo’lsa, u holda
f(x)>ϕ(x) tengsizlik o’rinli bo’lib, shunday rk ratsional son
topiladiki, uning uchun

f(x)>rk>ϕ(x)
tengsizlik bajariladi. Bundan
x∈E{f>rk} va x∈E {ϕ<rk} munosabatlarga ega
bo’lamiz. Demak,

x∈E {f>rk}∩ E {ϕ<rk}.
Bundan
x∈ ∪
k=1
∞
[E{f>rk}∩ E{ϕ<rk}] munosabat kelib chiqadi. x elementning
ixtiyorligidan ushbu

E {f>ϕ}⊂ ∪
k=1
∞
[E {f>rk}∩ E {ϕ<rk}]
(1.2.2)
munosabatni olamiz.

Endi x∈ ∪
k=1
∞
[E{f>rk}∩ E{ϕ<rk}] ixtiyoriy element bo’lsin. U holda kamida bitta
rn
ratsional son topiladiki, x∈[E {f>rn}∩ E {ϕ<rn}] bo’ladi. Demak, x∈E{f>rn} va
x∈E {ϕ<rn}
bo’lib, bulardan ushbu f(x)>rn va ϕ(x)<rn tengsizliklarni olamiz. Bu
tengsizliklardan
f(x)>ϕ(x) tengsizlik kelib chiqadi. Bundan x∈E {f>ϕ} . x
elementning ixtiyorligidan

E{f>ϕ}⊃ ∪
k=1
∞
[E{f>rk}∩ E{ϕ<rk}]. .
Bu va (1.2.2) munosabatlar (1.2.1) tenglikni isbotlaydi.
E{f>rk} va E{ϕ<rk}
to’plamlar har bir
rk son uchun o’lchovli bo’lganligi sababli, (1.2.1) tenglikning
o’ng tomoni o’lchovli to’plam. Demak,
E{f>ϕ} to’plam ham o’lchovli bo’ladi.
Teorema isbotlandi.
1.2.4-teorema. Agar
f(x) va ϕ(x) funksiyalar E to’plamda o’lchovli
bo’lsa, u holda
f(x)+ϕ(x) va f(x)−ϕ(x) funksiyalar ham E to’plamda o’lchovli
bo’ladi.
Isbot. Ushbu

E {f+ϕ>a}= E {f>a− ϕ} ,

E {f− ϕ> a}= E ¿¿
tengliklar yordami bilan bu teoremaning isboti 1.2.3-teoremaga keltiriladi.
Teorema isbotlandi.
1.2.5-teorema. Agar
f(x) va ϕ(x) funksiyalar E to’plamda o’lchovli
bo’lsa, u holda
f(x)⋅ϕ(x) funksiya ham E to’plamda o’lchovli bo’ladi.
Isbot. Agar
f(x) o’lchovli bo’lsa, u holda f2(x) ning o’lchovliligi a≥0
bo’lganda

E {f2>a}= E{f>√a}∪ E {f<− √a}
tenglikdan,
a<0 bo’lganda

E {f2>a}= E
tenglikdan ko’rinadi. Bundan va usbu

f(x)⋅ϕ(x)= 1
4[f(x)+ϕ(x)]2− 1
4[f(x)− ϕ(x)]2
tenglikdan teoremaning umumiy holda to’g’ri ekanligi kelib chiqadi, chunki
o’ng tomonidagi funksiyalar 1.2.4 va 1.2.5-teoremalarga asosan o’lchovli bo’ladi.
Teorema isbotlandi.
1.2.6-teorema. Agar
ϕ(x) funksiya E to’plamda o’lchovli bo’lib, E da
ϕ(x)≠0
bo’lsa, u holda
1
ϕ(x) funksiya ham E to’plamda o’lchovli bo’ladi.
Isbot. Teoremaning isboti, agar
a>0 bo’lsa,

E {
1
ϕ>a}= E {0<ϕ<1
a}
tenglikdan; agar
a<0 bo’lsa,

E {
1
ϕ>a}= E {ϕ>0}∪ E {ϕ< 1
a}
tenglikdan;
a=0 bo’lsa,

E {
1
ϕ>a}= E {ϕ>0}
tenglikdan kelib chiqadi. Chunki bu tengliklarning o’ng tomonidagi
to’plamlarning har biri o’lchovli. Teorema isbotlandi.
1.2.7-teorema. Agar
f(x) va ϕ(x) funksiyalar E to’plamda o’lchovli
bo’lib,
E da ϕ(x)≠0 bo’lsa, u holda
f(x)
ϕ(x) funksiya ham E to’plamda o’lchovli
bo’ladi.
Isbot. Bu teorema to’g’riligi ushbu

f(x)
ϕ(x)= f(x) 1
ϕ(x)
munosabatdan ham 1.2.5 va 1.2.6-teoremalardan bevosita kelib chiqadi.
Teorema isbotlandi.
1.2.2-ta’rif. Agar
μ(E{f≠ ϕ})=0 bo’lsa, f(x) va ϕ(x) funksiyalar E
to’plamda ekvivalent deyiladi.

$f(x) va ϕ(x) funksiyalarning ekvivalentligi f ~ ϕ ko’rinishida yoziladi. Ikki ekvivalent funksiya E to’plamda bir vaqtda o’lchovli yoki o’lchovsiz bo’lishi ta’rifdan bevosita ko’rinadi. 1.2.3-ta’rif. Biror o’lchovli E to’plam berilgan bo’lib, μ(E)>0 bo’lsin. Agar biror xossa o’lchovi nolga teng A⊂E to’plamda bajarilmay, E to’plamning qolgan qismida (ya’ni E \ A to’plamda) bajarilsa, u holda bu xossa E to’plamda deyarli bajariladi deyiladi. 1.2.2. Deyarli yaqinlashish. 1.2.4-ta’rif. Biror E o’lchovli to’plam berilgan bo’lib, μ(E)>0 bo’lsin. Agar E to’plamda aniqlangan {fn(x)} funksiyalar ketma-ketligi o’lchovi nolga teng bo’lgan biror A to’plamning tashqarisida (ya’ni E \ A to’plamda) f(x) funksiyaga yaqinlashsa, u holda {fn(x)} funksiyalar ketma-ketligi f(x) funksiyaga deyarli yaqinlashuvchi deyiladi. Boshqacha aytganda, {x:limn→∞fn(x)≠ f(x)} to’plamning o’lchovi nolga teng bo’lsa, {fn(x)} ketma-ketlik f(x) ga deyarli yaqinlashadi deyiladi.Masalan, fn(x)= xn ko’rinishda berilgan funksiyalar ketma-ketligi [0,1 ] kesmada f(x)=0 funksiyaga n→ ∞ da deyarli yaqinlashadi. Chunki, {x:limn→∞xn≠0}={1} va bu bir elementli to’plam o’lchovi 0 ga teng. 1.2.8-teorema. Agar o’lchovli E to’plamda fn(x) o’lchovli funksiyalar ketma-ketligi f(x) funksiyaga deyarli yaqinlashsa, u holda f(x) funksiya E to’plamda o’lchovli bo’ladi. Isboti. Buning uchun A= {x:limn→∞ fn(x)= f(x)} to’plamni qaraymiz. Teorema shartiga ko’ra, μ(E \ A)=0 . Demak, f(x) funksiya E \ A to’plamda o’lchovli (nafaqat f(x) , balki ixtiyoriy funksiya o’lchovi nolga teng to’plamda o’lchovli bo’ladi). f(x) funksiya A to’plamda o’lchovli . Shunday qilib, f(x) funksiya E da o’lchovli ekan. Teorema isbot bo’ldi.$

1.2.3.Tekis yaqinlashish.
1.2.5-ta’rif. Agar ixtiyoriy ε>0 son uchun shunday bir n0= n0(ε) nomer
mavjud bo’lib, barcha
n>n0 lar va barcha x∈E uchun

|fn(x)− f(x)|<ε
Tengsizlik bajarilsa, u holda
E to’plamda aniqlangan {fn(x)} funksiyalar
ketma-ketligi shu to’plamda
f(x) ga tekis yaqinlashuvchi deyiladi.
1.2.6-ta’rif. Agar
E to’plamda aniqlangan haqiqiy f(x) funksiya o’lchovli
bo’lib, uning qiymatlari to’plami chekli yoki sanoqli bo’lsa, u holda bunday
funksiya soda funksiya deyiladi.
1.2.9-teorema.
E to’plamda berilgan hamda qiymatlari to’plami chekli
yoki sanoqli
{y1,y2,....yn,...} to’plamdan iborat bo’lgan f(x) funksiyaning o’lchovli
bo’lishi uchun

An={x∈E:f(x)= yn}, n=1,2 ,...
to’plamlarning o’lchovli bo’lishi zarur va yetarlidir.
Isbot. Zaruriyligi. Aytaylik,
f o’lchovli bo’lsin. Bitta elementli to’plam
{yn}
o’lchovli bo’lganligi uchun uning proobrazi An= f−1({yn}) o’lchovli bo’ladi.
Yetarliligi. Aytaylik, barcha
An , (n=1,2 ,...) lar o’lchovli bo’lsin. U holda
ixtiyoriy
c son uchun
E=(f>c)= ¿ yn∈(c,∞)An tenglikdan va An larning o’lchovliligidan
f
ning o’lchovli ekanligi kelib chiqadi. Teorema isbot bo’ldi.
1.2.10-teorema.
E to’plamda aniqlangan f(x) funksiya o’lchovli bo’lishi
uchun bu funksiyaga shu to’plamda tekis yaqinlashuvchi, o’lchovli
{fn(x)} sodda
funksiyalar ketma-ketligi mavjud bo’lishi zarur va yetarlidir.
Isbot. Zaruriyligi.
f(x) funksiyani o’lchovli deb, unga tekis yaqinlashuvchi
o’lchovli
{fn(x)} funksiyalar ketma-ketligini quyidagicha tuzamiz: har bir
tayinlangan
n natural son uchun o’lchovli f(x) funksiya

m
n≤ f(x)<m+1
n

tengsizlikni qanoatlantiradigan nuqtalardan (bu yerda m -butun son) fn(x)
funksiyani ushbu

fn(x)= m
n
tenglik bilan aniqlaymiz. U holda
fn(x) sodda funksiya bo’lib, {fn(x)} ketma-
ketlik
n→ ∞ da f(x) ga tekis yaqinlashadi.
Haqiqatan,
fn(x) funksiyaning ta’riflanishidan E ning har qanday x elementi
uchun

|fn(x)− f(x)|<1
n
tengsizlik o’rinli ekanligi ravshan. Bu esa
n→ ∞ da {fn(x)} ketma-ketlikning
f(x)
ga tekis yaqinlashishini ko’rsatadi.
Yetarliligi. Berilgan
E to’plamda aniqlangan {fn(x)} o’lchovli soda
funksiyalar ketma-ketligi
f(x) funksiyaga tekis yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda 4-
teoremaga asosan
f(x) funksiya o’lchovli bo’ladi. Teorema isbotlandi.

Foydalanilgan adabiyotlar
1. Колмогоров А . Н ., Фомин С . В . Элементы теории функций и функционального
анализу . Москва : Наука . 1989.
2. Sarimsoqov T.A. Haqiqiy o‘zgaruvchining funksiyalari nazariyasi. Toshkent: Fan.
1994.
3. Sarimsoqov T.A. Funksional analiz kursi. Toshkent: O‘qituvchi. 1986.
4. Sh.O. Alimov, R.R.Ashurov. Matematik tahlil. 1-qism. Toshkent. Kamalak.2012.

O’lchovli funksiyalar. Reja: 1. O’lchovli funksiyaning ta’rifi va xossalari. 2. Deyarli yaqinlashish. 3. Tekis yaqinlashish.

1.2 O’lchovli funksiyalar. 1.2.1. O’lchovli funksiyaning ta’rifi va xossalari. Uzluksiz funksiya tushunchasiga ba’zi ma’noda yaqin va matematik analiz uchun muhim ahamiyatga ega bo’lgan o’lchovli funksiya tushunchasini keltiramiz. Avval ba’zi belgilashlarni kiritamiz: f(x) funksiya o’lchovli E to’plamda aniqlangan va a biror haqiqiy son bo’lsin; o’zgaruvchi x∈E miqdorning f(x)>a tengsizlikni qanoatlantiradigan qiymatlaridan iborat to’plamni E{f>a} bilan belgilaymiz, ya’ni E{f>a}= {x∈ E:f(x)>a}. Shunga o’xshash, E{f≥ a},E{f≤ a},E{f= a},E{a< f<b} to’plamlarning har biri x∈E o’zgaruvchining katta qavs ichida yozilgan munosabatlarni qanoatlantiradigan qiymatlaridan iborat. Agar f(x) funksiya E to’plamda cheksiz qiymatlarga ega bo’lsa, kelgusida aniqlik uchun bu qiymatlarning ishorasi ma’lum deb hisoblaymiz. 1.2.1-ta’rif. Agar o’lchovli E to’plamda berilgan f(x) funksiya uchun E{f>a} to’plam har qanday haqiqiy a da o’lchovli bo’lsa, u holda f(x) o’lchovli funksiya deyiladi. Bu ta’rifda (L) o’lchovli to’plamlar haqida gap borganligi uchun f(x) funksiya ba’zan (L) o’lchovli funksiya deyiladi. Agar bu ta’rifda E va E{f>a} to’plamlar (B) o’lchovli bo’lsa, u holda f(x) funksiya ham (B) o’lchovli deyiladi. 1.2.1-teorema. Agar f(x) funksiya o’lchovli E to’plamda o’zgarmas k songa teng bo’lsa, u holda f(x) o’lchovli funksiya bo’ladi. Isbot. Darhaqiqat, E{f>a}={ E ,agar ,k>a,bo 'lsa φ,agar ,k≤a,bo 'lsa . 1.2.2-teorema. Agar f(x) o’lchovli funksiya bo’lib, k o’zgarmas son bo’lsa, u holda f(x)+k va kf (x) funksiyalar ham o’lchovli bo’ladi. Isbot. Ushbu

E {f+k>a}= E {f>a− k}, E{kf >a}= { E{f>a k},agar ,k>0,bo 'lsa E{f<a k},agar ,k<0,bo 'lsa , tengliklardan f(x)+k va kf (x) funksiyalarning o’lchovli ekanligi kelib chiqadi. Agar k= 0 bo’lsa, ikkinchi tenglikning o’ng tomoni o’z ma’nosini yo’qotadi, ammo bu holda kf (x) aynan nolga teng bo’lganligi uchun 1.2.1-teoremadan kf (x) funksiyaning o’lchovli ekanligi kelib chiqadi. Teorema isbotlandi. 1.2.3-teorema. Agar f(x) va ϕ(x) funksiyalar E to’plamda o’lchovli bo’lsa, u holda E{f>ϕ} to’plam o’lchovli bo’ladi. Isbot. Agar barcha ratsional sonlarni r1,r2,.....,rn,..... ko’rinishda nomerlab chiqsak, u holda E {f>ϕ}= ¿ k=1 ∞ [E {f>rk}∩ E {ϕ<rk}] (1.2.1) tenglikni yozishimiz mumkin. Haqiqatan, agar x∈E {f>ϕ} ixtiyoriy element bo’lsa, u holda f(x)>ϕ(x) tengsizlik o’rinli bo’lib, shunday rk ratsional son topiladiki, uning uchun f(x)>rk>ϕ(x) tengsizlik bajariladi. Bundan x∈E{f>rk} va x∈E {ϕ<rk} munosabatlarga ega bo’lamiz. Demak, x∈E {f>rk}∩ E {ϕ<rk}. Bundan x∈ ∪ k=1 ∞ [E{f>rk}∩ E{ϕ<rk}] munosabat kelib chiqadi. x elementning ixtiyorligidan ushbu E {f>ϕ}⊂ ∪ k=1 ∞ [E {f>rk}∩ E {ϕ<rk}] (1.2.2) munosabatni olamiz.

Endi x∈ ∪ k=1 ∞ [E{f>rk}∩ E{ϕ<rk}] ixtiyoriy element bo’lsin. U holda kamida bitta rn ratsional son topiladiki, x∈[E {f>rn}∩ E {ϕ<rn}] bo’ladi. Demak, x∈E{f>rn} va x∈E {ϕ<rn} bo’lib, bulardan ushbu f(x)>rn va ϕ(x)<rn tengsizliklarni olamiz. Bu tengsizliklardan f(x)>ϕ(x) tengsizlik kelib chiqadi. Bundan x∈E {f>ϕ} . x elementning ixtiyorligidan E{f>ϕ}⊃ ∪ k=1 ∞ [E{f>rk}∩ E{ϕ<rk}]. . Bu va (1.2.2) munosabatlar (1.2.1) tenglikni isbotlaydi. E{f>rk} va E{ϕ<rk} to’plamlar har bir rk son uchun o’lchovli bo’lganligi sababli, (1.2.1) tenglikning o’ng tomoni o’lchovli to’plam. Demak, E{f>ϕ} to’plam ham o’lchovli bo’ladi. Teorema isbotlandi. 1.2.4-teorema. Agar f(x) va ϕ(x) funksiyalar E to’plamda o’lchovli bo’lsa, u holda f(x)+ϕ(x) va f(x)−ϕ(x) funksiyalar ham E to’plamda o’lchovli bo’ladi. Isbot. Ushbu E {f+ϕ>a}= E {f>a− ϕ} , E {f− ϕ> a}= E ¿¿ tengliklar yordami bilan bu teoremaning isboti 1.2.3-teoremaga keltiriladi. Teorema isbotlandi. 1.2.5-teorema. Agar f(x) va ϕ(x) funksiyalar E to’plamda o’lchovli bo’lsa, u holda f(x)⋅ϕ(x) funksiya ham E to’plamda o’lchovli bo’ladi. Isbot. Agar f(x) o’lchovli bo’lsa, u holda f2(x) ning o’lchovliligi a≥0 bo’lganda E {f2>a}= E{f>√a}∪ E {f<− √a} tenglikdan, a<0 bo’lganda E {f2>a}= E tenglikdan ko’rinadi. Bundan va usbu

f(x)⋅ϕ(x)= 1 4[f(x)+ϕ(x)]2− 1 4[f(x)− ϕ(x)]2 tenglikdan teoremaning umumiy holda to’g’ri ekanligi kelib chiqadi, chunki o’ng tomonidagi funksiyalar 1.2.4 va 1.2.5-teoremalarga asosan o’lchovli bo’ladi. Teorema isbotlandi. 1.2.6-teorema. Agar ϕ(x) funksiya E to’plamda o’lchovli bo’lib, E da ϕ(x)≠0 bo’lsa, u holda 1 ϕ(x) funksiya ham E to’plamda o’lchovli bo’ladi. Isbot. Teoremaning isboti, agar a>0 bo’lsa, E { 1 ϕ>a}= E {0<ϕ<1 a} tenglikdan; agar a<0 bo’lsa, E { 1 ϕ>a}= E {ϕ>0}∪ E {ϕ< 1 a} tenglikdan; a=0 bo’lsa, E { 1 ϕ>a}= E {ϕ>0} tenglikdan kelib chiqadi. Chunki bu tengliklarning o’ng tomonidagi to’plamlarning har biri o’lchovli. Teorema isbotlandi. 1.2.7-teorema. Agar f(x) va ϕ(x) funksiyalar E to’plamda o’lchovli bo’lib, E da ϕ(x)≠0 bo’lsa, u holda f(x) ϕ(x) funksiya ham E to’plamda o’lchovli bo’ladi. Isbot. Bu teorema to’g’riligi ushbu f(x) ϕ(x)= f(x) 1 ϕ(x) munosabatdan ham 1.2.5 va 1.2.6-teoremalardan bevosita kelib chiqadi. Teorema isbotlandi. 1.2.2-ta’rif. Agar μ(E{f≠ ϕ})=0 bo’lsa, f(x) va ϕ(x) funksiyalar E to’plamda ekvivalent deyiladi.

O'xshashlar

Ko’p o’zgaruvchili funksiyalar

C++ DASTURLASH TILIDA KO’RSATKICHLAR, FUNKSIYALAR VA REKURSIV FUNKSIYALAR ASOSIDA MURAKKAB JARAYONLARNI DASTURLASH

Pythonda Matplotlib kutubxonasidan foydalanib diagrammalar va uch o’lchovli grafiklar chizish

C++ dasturlash tilida elementar matematik funksiyalar grafiklari bilan ishlash dasturiy tizimini yaratish

Cheksiz zonali davriy funksiyalar sinfida yuklangan hadlarga ega bo‘lgan nochiziqli Shredinger tenglamasini integrallash