PARAMETRIK TENGLAMA VA TENGSIZLIKLARNI YECHISH USULLARIGA O‘RGATISH METODIKASI

Yuklangan vaqt:

12.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

225.619140625 KB

Ko'chirib olish

PARAMETRIK TENGLAMA VA TENGSIZLIKLARNI YECHISH
USULLARIGA O ‘RGATISH METODIKASI
MUNDARIJA
KIRISH......................................................................................................................3

I.BOB. PARAMETRLI BIRINCHI DARAJALI TENGLAMA VA
TENGSIZLIKLARNI YECHISH USULLARI
1.1- §. Parametr bilan tanishish. Parametr qatnashgan tenglama va
tengsizlik…………………………….......................................................................6
1.2- §. Parametrli chiziqli tenglamalar va ularga keltiriladigan
tenglamalar……………………………………………………………………..…16
1.3- §. Parametrli chiziqli tenglamalarni yechishning xususiy
hollari…………………………………………………………………………..….25
II.BOB. PARAMETRLI IKKINCHI DARAJALI TENGLAMA
VA TENGSIZLIKLARNI YECHISH USULLARI
2.1- §. Parametrli kvadrat tenglama va ularga keltiriladigan
tenglamalar……………………………………………………………………..…32
2.2- §. Parametrli tengsizliklarni yechish………………………………..….42
2.3 -§. Parametrli kvadrat tengsizliklarni o‘ rganishda o‘quvchilarda o‘quv
izlanish faoliyati ko‘nikmalarini rivojlantirish ………….……………………….51
XULOSA…………………………………………………………………..55
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR…………………………………57
1

KIRISH
Masalaning qo‘yilishi . Parametr bilan tanishish. Parametr qatnashgan
tenglamalar.
Biz f( a , b , c , … , k , x ) = g ( a , b , c , … , k , x )
ko‘rinishdagi tenglamalarni
qaraymiz, bu yerda a , b , c , … , k , x
– o‘zgaruvchi miqdorlar.
1- ta’rif . Tenglamaning ikkala qismi haqiqiy sonlar to‘plamida ma’noga
ega bo‘ladigan o‘zgaruvchilarning ixtiyoriy qiymatlar
a= a0 , b=b0 , c= c0 , ..., k=k0
, sistemasi a , b , c , ... , k ,
x o‘zgaruvchilarning yo‘l qo‘yiladigan qiymatlar
sistemasi deb ataladi.
A–a
ning yo‘l qo‘yiladigan qiymatlar to‘plami, B–b ning yo‘l qo‘yiladigan
qiymatlar to‘plami, ..., X – x
ning yo‘l qo‘yiladigan qiymatlar to‘plami bo‘lsin.
Agar
A,B,C ,... ,K to‘plamlarning har biridan bittadan mos ravishda a, b, c, ..., k
qiymatni tanlab, tayinlasak va ularni tenglamaga qo‘ysak, u holda x ga nisbatan
tenglamani ya’ni bir o‘zgaruvchili tenglamani olamiz.
2- ta’rif. Tenglamani yechishda
a,b,c,... ,k o‘zgaruvchilar o‘zgarmas deb
hisoblanadi va parametrlar, x
– haqiqiy o‘zgaruvchi miqdor, tenglama esa
parametrli bir noma’lumli tenglama deb ataladi.
Kelgusida parametrlarni lotin alifbosining birinchi harflari: a , b , c , ... , k , l , m , n
lar
bilan, noma’lumlarni esa
x,y,z harflar bilan belgilashga kelishib olamiz.
3- ta’rif. Parametrli tenglama yoki tengsizlikni yechish deb,
parametrlarning qanday qiymatlarida yechimlar mavjudligini va ular qaysilar
ekanligini ko‘rsatishga aytiladi .
1. Tenglama va tengsizliklarni yechish jarayonida teng kuchlilik haqidagi
teoremalar muhim ahamiyatga ega.
4- ta’rif. Bir xil parametrlarni o‘z ichiga olgan ikkita tenglama yoki
tengsizlik teng kuchli deyiladi, agar :
a) parametrlarning bir xil qiymatlarida ma’noga ega bo‘lsa;
b) birinchi tenglama (tengsizlik)ning har bir yechimi ikkinchi tenglama
2

(tengsizlik)ning yechimi bo‘lsa va aksincha.
Mavzuning dolzarbligi . Parametrli masalalarning asosiy tiplari
va yechishning asosiy usullari.
1- tip. Parametrning qiymatlariga bog‘liq ravishda tenglamalar,
tengsizliklar, ularning sistemalari va jamlanmalari yechimlar sonini aniqlash.
2- tip. Parametrning shunday qiymatlarini topish lozimki, ko‘rsatilgan
tenglamalar, tengsizliklar, ularning sistemalari va jamlanmalari berilgan sondagi
yechimlarga ega bo‘lsin (xususan, yechimga ega bo‘lmasligi, cheksiz ko‘p
yechimlarga ega bo‘lishi).
3- tip. Parametrning izlanayotgan qiymatlarida yechimlar to‘plami
tenglamalar, tengsizliklar, ularning sistemalari va jamlanmalari aniqlanish
sohasida berilgan shartlarni qanoatlantiradi. Masalan, 1) tenglama berilgan
oraliqdagi o‘zgaruvchining ixtiyoriy qiymati uchun bajariladigan parametrning
qiymatlarini topish; 2) birinchi tenglama yechimlari to‘plami ikkinchi tenglama
yechimlar to‘plamining qism-to‘plami bo‘ladigan parametrning qiymatlarini
topish va h.k.
1-usul. (analitik). Parametrsiz masalalarda javobni topishning standart
protseduralarni takrorlaydigan to‘g‘ridan-to‘g‘ri yechish usuli hisoblanadi.
2-usul. (grafik). Masalaga bog‘liq ravishda ( x o‘zgaruvchi va a
parametrli) grafiklar yoki ( x ; y )
koordinata tekisligida yoki ( x ; a )
koordinata
tekisligida qaraladi.
3-usul. (parametrga nisbatan yechish). Bu yechish usulida x
va a
o‘zgaruvchilar teng huquqli deb qaraladi va analitik yechim sodda olinadigan
o‘zgaruvchi tanlanadi. Tabiiy soddalashtirishlardan so‘ng x
va
a
o‘zgaruvchilarning dastlabki ma’nosiga qaytamiz va yechishni tugallaymiz.
Ishning maqsadi va vazifalari. Bitiruv malakaviy ishining maqsadi
parametr haqida tushunchalar, parametrli tenglama va tengsizlik haqida
tushunchalar bilan uzviy bog’liq.
3

Ilmiy tadqiqot usullari . Parametr haqida tushunchaga ega bo‘lish.
Parametr qatnashgan tenglama va tengsizliklarni o‘ranish, ta’riflari va teoremalari
bilish, masalalar yechishda xossalaridan faoydalanish.
Ishning ilmiy ahamiyati. Bitiruv malakaviy ishidan olingan natijalar
o‘quvchilarga qulay va sodda usullar orqali o‘rgatish,turli xil tenglamalar va
tengsizliklarni yechishni o‘rgatish.
Ishning amaliy ahamiyati. Bitiruv malakaviy ishida o‘rganilayotgan
ma’lumotlar parametrli tenglamaning xossalar parametrli tengsizliklar orqali
fizika, mehanika va boshqa sohalardagi masalalarni yechishda muhim ahamiyatga
ega
Ishning tuzulishi. Bitiruv malakaviy ishi kirish, 2 ta bob , xulosa qismi va
foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan iborat. Ushbu ish matnli sahifalardan
tashkil topgan har bir bob paragraflarga ajratilgan va ular o‘zining nomerlanish
hamda belgilanishiga ega.
4

I.BOB. PARAMETRLI BIRINCHI DARAJALI TENGLAMA VA
TENGSIZLIKLARNI YECHISH USULLARI
1.1-§. Parametr bilan tanishish. Parametr qatnashgan tenglama va
tengsizlik.Ax –B=0
ko‘rinishdagi tenglama, bu yerda A va B – faqat parametrlarga
bog’liq ifoda, x
– noma’lum, x ga nisbatan chiziqli tenglama deb ataladi. U
Ax = B
ko‘rinishga keltiriladi va
A≠0 da parametrning yo‘l qo‘yiladigan qiymatlar
sistemasida yagona x = B
A yechimga ega.
A=0va B=0
da x – ixtiyoriy son, A=0 va B≠0 da yechimlar yo‘q.
Parametrli chiziqli tenglamalarni yechishning turli mumkin bo‘lgan
misollartni qarab, agar bunday masalalarni yechishning ma’lum algoritmi tuzilsa,
«murakkab» parametr «oddiy» ga aylanadi va u parametrli tenglamalarni
yechishni o‘rgatishning birinchi bosqichida katta yordam beradi degan xulosaga
kelish mumkun.
Parametrli chiziqli tenglamalarni yechish algoritmi:
1. Tenglamani shunda soddalashtirish kerakki u
Ax = B ko‘rinishga ega bo‘lsin.
2. Tenglama koeffisiyentini nolga tengligini tekshirish (agar u parametrni o‘z
ichiga olsa) ( A = 0 , A ≠ 0 ) .
3. Parametrning har bir tayinlangan qiymatida tenglama ildizlarini tekshirish
(tenglama yagona yechimga, cheksiz ko‘p yechimga ega, ildizlarga ega emas).
4. Parametrntng tayinlangan qiymatlarini hisobga olib javobni yozing.
1.1.1-misol. Tenglamani yeching:
ax =1 .
Yechish: Birinchi qarashda x = 1
a javobni birdan berish lozimdek tuyuladi.
Lekin
a=0 da berilgan tenglama yechimga ega emas va to‘g’ri javob quyidagi
ko‘rinishda bo‘ladi.
Javob. Agar
a=0 bo‘lsa, u holda yechimlar yo‘q, agar a≠0 bo‘lsa, u holda
5

x = 1
a .
1.1.2-misol ( a 2
– 1 ) x = a + 1
tenglamani yeching .
Yechish: Bu tenglamani yechishda quyidagi hollarni qarash yetarli:
1) a2−1=0 , ya’ni. a = 1 va a = − 1 .
Agar
a=1 bo‘lsa, u holda tenglama 0x=2 ko‘rinishni oladi va yechimga ega emas;
Agar
a=−1 bo‘lsa, u holda 0 ∙ x = 0
ni olamiz, va ravshanki x –ixtiyoriy son.
Agar
a≠±1 bo‘lsa, x= 1
a−1 ga ega bo‘lamiz.
Javob. Agar
a=−1 bo‘lsa, u holda x – ixtiyoriy son; agar a=1 bo‘lsa, u holda
yechimlar yo‘q.
1.1.3-misol.
x+2= ax tenglamani yeching.
x–ax =−2,(1−a)x=− 2.
1) Agar 1 – a = 0
bo‘lsa, ya’ni a = 1
bo‘lsa, u holda tenglama
0 ∙ x = − 2
ko‘rinishni oladi va yechimga ega emas;
Agar
a≠1 bo‘lsa, u holda tenglama yagona x = 2
a − 1 ildizga ega .
Javob . Agar a = 1
bo‘lsa, u holda tenglama yechimga ega emas, agar
a≠1
bo‘lsa, u holda tenglama yagona yechimga x = 2
a − 1 ega .
1.1.4-misol .
(a2–1)x=2a2+a–3 tenglamani yeching.
Yechish: Berilgan tenglama x ga nisbatan chiziqli tenglama.
Agar
a 2
– 1 = 0 bo‘lsa, ya’ni
a=±1 bo‘lsa, u holda tenglama quyidagi ko‘rinishlarga
ega bo‘ladi:
1)
a=1da 0∙x=0 , u holda x – ixtiyoriy haqiqiy son;
2)
a=−1da 0∙x=− 2 , u holda tenglama yechimlarga ega emas;
3) a ≠ ± 1 da x = 2 a 2
+ a − 3
a 2
− 1 − 2 ( a + 1.5 ) ( a − 1 )
(
a − 1 )( a + 1 ) − 2 a + 3
a + 1
Javob. Agar
a=1 bo‘lsa, u holda x
– ixtiyoriy haqiqiy son, agar
6

a=−1bo‘lsa, u holda tenglama yechimlarga ega emas, agar a≠±1 bo‘lsa, u holda
x = 2 a + 3
a + 1 bo‘ladi.
1.1.5-misol. ax = x + 3
tenglamani yeching.
Yechish: Tenglamani
Ax = B ko‘rinishga keltiramiz:
ax –x=3,(a–1)x=3.
1) Agar
a=1 bo‘lsa, u holda tenglama 0∙x=3 ko‘rinishni oladi va yechimga ega
emas.
2) Agar
a≠1 bo‘lsa, u holda tenglama yagona x = 3
a − 1 yechimga ega.
Javob. Agar a = 1
bo‘lsa, u holda tenglama yechimga ega emas. Agar

a≠1 bo‘lsa, u holda tenglama yagona x = 3
a − 1 yechimga ega.
1.1.6-misol. 4 + ax = 3 x + 1
tenglamani yeching.
Yechish: ax – 3 x = − 3 , ( a – 3 ) x = − 3 .
1) Agar a = 3
bo‘lsa, u holda tenglama 0 ∙ x = − 3
ko‘rinishni oladi va yechimga
ega emas.
2) Agar a ≠ 3
bo‘lsa, u holda x = 3
3 − a
1.1.7-misol. b ( b − 1 ) x = b 2 + b – 2
tenglamani yeching
Yechish: Agar b ( b – 1 ) = 0
, ya’ni b = 0
yoki
b=1 bo‘lsa, u holda tenglama
quyidagi ko‘rinishlarga ega bo‘ladi:
1)
b=0da 0∙x=−2 va ildizlarga ega emas;
2)
b=1da 0∙x=0 , u holda x – ixtiyoriy haqiqiy son;
3)
b≠0va b≠1 da x = b 2
+ b − 2
b ( b − 1 ) − ( b − 1 )( b + 2 )
b
( b − 1 ) − b + 2
b
Javob. Agar b = 0
bo‘lsa, u holda tenglama ildizlarga ega emas , agar

b=1 bo‘lsa, u holda x – ixtiyoriy haqiqiy son, agar b≠0va b≠1 bo‘lsa, u holda
x = b + 2
b bo‘ladi.
1.1.8-misol. b ( b − 1 ) x = b 2
+ b − 2
tenglamani yeching.
7

Yechish: 1) b( b − 1 ) = 0 , b = 0 yoki b = 1.
Agar b = 0
bo‘lsa, u holda tenglama 0 x = − 2
ko‘rinishni oladi va yechimga ega
emas.
Agar b = 1
bo‘lsa, u holda 0 x = 0
, tenglama cheksiz ko‘p yechimga ega.
3) b ( b − 1 ) ≠ 0 , ya ’ ∋ b ≠ 0 va b ≠ 1
, u holda
4) x = b 2
+ b − 2
b ( b − 1 ) −
( b − 1 )( b + 2 )
b
( b − 1 ) − b + 2
b
Javob: Agar
b=0 bo‘lsa, u holda tenglama yechimga ega emas. Agar

b=1 bo‘lsa, u holda 0x=0 , tenglama cheksiz ko‘p yechimga ega.
1.1.9-misol. Berilgan tenglama ildizlar to‘plamini toping:
a)
ax =4x+5
Yechish: ax − 4 x = 5 , x ( a − 4 ) = 5
1)
a= 4 bo‘lgan holni qaraymiz, u holda 0x=5 va tenglama yechimga ega emas.
2) Agar a ≠ 4
bo‘lsa, u holda tenglama bitta x = 5
a − 4 ildizga ega .
Parametr bilan tanishish. Parametr qatnashgan tenglamalar.
Biz f ( a, b, c, ..., k, x) = g ( a, b, c, ..., k, x), ko‘rinishdagi tenglamalarni
qaraymiz, bu erda a, b, c, ..., k, x – o‘zgaruvchi miqdorlar.
1.1.1-ta’rif . Tenglamaning ikkala qismi haqiqiy sonlar to‘plamida
ma’noga ega bo‘ladigan o‘zgaruvchilarning ixtiyoriy qiymatlar
a = a
0 , b = b
0 c = c
0 , ... , k = k
0 ,
sistemasi a, b, c,..., k, x o‘zgaruvchilarning yo‘l
qo‘yiladigan qiymatlar sistemasi deb ataladi.
A–a
ning yo‘l qo‘yiladigan qiymatlar to‘plami, B–b ning yo‘l qo‘yiladigan
qiymatlar to‘plami, ..., X – x
ning yo‘l qo‘yiladigan qiymatlar to‘plami bo‘lsin.
Agar
A,B,C ,... ,K to‘plamlarning har biridan bittadan mos ravishda a,b,c,... ,k
qiymatni tanlab, tayinlasak va ularni tenglamaga qo‘ysak, u holda x ga nisbatan
tenglamani, ya’ni bir o‘zgaruvchili tenglamani olamiz.
1.1.2-ta’rif. Tenglamani yechishda
a,b,c,... ,k o‘zgaruvchilar o‘zgarmas
deb hisoblanadi va parametrlar, x
– haqiqiy o‘zgaruvchi miqdor, tenglama esa
8

parametrli bir noma’lumli tenglama deb ataladi.
Kelgusida parametrlarni lotin alifbosining birinchi harflari:a,b,c,... ,k,l,m ,n
lar bilan, noma’lumlarni esa – x,y,z harflar bilan belgilashga
kelishib olamiz. .
Masalan,
2 nx − 5
(
m − 3 ) nx − 3 nx + 5
n + 1 − n − 1
nx
tenglamada
m va n
– parametrlar, x
– noma’lum.
m≠3,n≠−1,x≠0
shartni qanoatlantiruvchi m ,n,x larning ixtiyoriy qiymatlar
sistemasi yo‘l qo‘yiladigan hisoblanadi.
m = 4 , n = 1 da 2 x − 5
x − 3 x + 5
2 = 0
, tenglamani olamiz.
m = 5 , n = 3 da 6 x − 5
6 x − 9 x + 5
4 = 2
3 x tenglamani olamiz va h.k.
1.1.3-ta’rif. Parametrli tenglama yoki tengsizlikni yechish deb ,
parametrlarning qanday qiymatlarida yechimlar mavjudligini va ular qaysilar
ekanligini ko‘rsatishga aytiladi .
2. Tenglama va tengsizliklarni yechish jarayonida teng kuchlilik haqidagi
teoremalar muhim ahamiyatga ega.
1.1.4-ta’rif. Bir xil parametrlarni o‘z ichiga olgan ikkita tenglama yoki
tengsizlik teng kuchli deyiladi agar :
a) parametrlarning bir xil qiymatlarida ma’noga ega bo‘lsa.
b) birinchi tenglama (tengsizlik)ning har bir yechimi ikkinchi tenglama
(tengsizlik)ning yechimi bo‘lsa va aksincha.
1.1.10-misol.
a ning qanday qiymatlarida
x 2
– a = 0 va √ x − a = 0
tenglamalar teng kuchli?
Yechish. Ravshanki,
a>0 da birinchi tenglama ikkita x = ± √ a
turli
ildizlarga,
ikkinchisi faqat bitta ildizga
x=a2 ga ega va bu holda tenglamalar teng kuchli
9

bo‘lmaydi. a=0 da tenglamalar yechimlari ustma-ust tushadi ( x = 0 ) , a < 0
da na
birinchi, na ikkinchi tenglama yechimlarga ega. Lekin ma’lumki bunday
tenglamalar teng kuchli deb hisoblanadi.
Javob: a ≤ 0.
1.1.11-misol . a ning qanday qiymatlarida
ax = a 2
tenglama
¿ x – 3 ∨ ≥ a
tengsizlikka teng kuchli?
Yechish. a ≠ 0
da tenglama yagona yechimga, tengsizlik esa – cheksiz ko‘p
yechimga ega. Agar
a=0 bo‘lsa, tenglamaning ham, tengsizlikning yechimi barcha
haqiqiy sonlar to‘plamidan iborat, Demak, masala shartini faqat
a = 0
qanoatlantiradi.
Javob.
a=0.
7, 8, 9- sinflar «Algebra» darsliklarida uchraydigan parametrli masalalar
7-sinf «Algebrla» darsligida uchraydigan parametrli masalalar
1.
ax =6 tenglama ildizi butun son bo‘ladigan a ning barcha butun
qiymatlarini toping.
2.
a ning qanday qiymatida A(a;−1,4 ) nuqta y=3,5 x to‘g‘ri proporsionallik
grafigiga tegishli bo‘ladi?
3.
y = x 2
funksiya grafigi tegishli ekanligi ma’lum. b ning qiymatini toping?
Bu funksiya grafigiga Q ( 4 ; b )
nuqta tegishli bo‘ladimi?
4. Agar
x=2,y=1lar ax+2y=8 tenglamaning yechimi bo‘lsa,
a
koeffisiyent qiymatini toping.
5. Ma’lumki:
a) o‘zgaruvchilarning x = 5 , y = 7
qiymatlari
ax –2y=1
tenglamaning yechimi hisoblanadi . a koeffitsientni toping;
b) o‘zgaruvchilarning x = − 3 , y = 8
qiymatlari

5x+by =17 tenglamaning yechimi hisoblanadi. b ning qiymatini toping.
6. ax – y = 4
chiziqli tenglamada a koeffitsientni shunday tanlangki, bu
tenglama grafigi M(3; 5) nuqtadan o‘tsin.
10

7.y–2,5 x=c tenglama grafigidan iborat to‘g‘ri chiziqni yasang, agar u
K ( 2 ; − 3 )
nuqtadan o‘tishi ma’lum bo‘lsa.
8. M ( − 1 ; 1 ) va P ( 4 ; 4 )
nuqtalardan o‘tuvchi
y= kx +b ko‘rinishdagi tenglama
grafigini yozing.
8-sinf «Algebrla» darsligida uchraydigan parametrli masalalar
1. y = k
x funksiya grafigi
A(10 ;2,4 ) nuqtadan o‘tishi ma’lum. Bu
funksiya grafigi : a) B ( 1 ; 24 ) ; b ¿ C ( − 0,2 ; − 120 )
nuqtalardan o‘tadimi?
2.
x2+px −35 = 0 tenglamada ildizlardan biri 7 ga teng. Ikkinchi ildizni
va
p koeffitsientni toping.
3.
x2−13 x+q=0 tenglamaning ildizlaridan biri 12,5 ga teng. Ikkinchi
ildizni va q koeffitsientni toping.
4. .
5 x 2
+ bx + 24 = 0 t englamaning ildizlaridan biri 8 ga teng. Ikkinchi
ildizni va b koeffitsientni toping.
5.
10 x 2
− 33 x + c = 0 tenglamaning ildizlaridan biri 5,3 ga teng. Ikkinchi
ildizni va c koeffitsientni toping.
6.
x 2
− 12 x + q = 0 kvadrat tenglama ildizlari ayirmasi 2 ga teng. q ni
toping.
7. a ning qanday qiymatida
a x 2
− 3 x − 5 = 0 tenglamaning ildizlaridani
biri 1 ga teng bo‘ladi?
8. a x 2
– ( a + c ) x + c = 0
tenglamaning ildizlaridani biri 1 ga teng bo‘lishini
isbotlang. (Viyet teoremasini qo‘llash zarur).
9. a ning qanday qiymatlarida tenglama musbat ildizga ega bo‘lishini
toping: a) 3 x = 9 a ; b ¿ x + 2 = a ; v ¿ x – 8 = 3 a + 1 ; g ¿ 2 x – 3 = a + 4.
10. b ning qanday qiymatlarida tenglama musbat ildizga ega
bo‘lishini toping:
a ¿ 10 x = 3 b ; b ¿ x – 4 = b ; v ¿ 3 x – 1 = b + 2 ; g ¿ 3 x – 3 = 5 b – 2.
9-sinf «Algebrla» darsligida uchraydigan parametrli masalalar
11

1.1.12-misol. b va c ning qanday qiymatlarida
y = x 2
+ bx + c parabolaning u chi
(6; -12) nuqtadan iborat bo‘ladi?
Yechish: Parabola uchining absissasini hisoblash uchun m=− b
2a formuladan
foydalanamiz. 6 = − b
2 , b = − 12
ni olamiz. ( 6 ; − 12 )
nuqtaning koordinatalari
y = x 2
+ bx + c tenglamani qanoatlantiradi. Ularni va b ning topilgan qiymatini
berilgan tenglamaga qo‘yamiz.

−12 =36 –72 +c,c=24 larni olamiz.
1. a
ning qanday qiymatida
y= ax2–16 x+1 parabolaning o‘q
simmetriyasi
x=4 to‘g‘ri chiziqdan iborat?
Yechish: Parabolaning uchi absissasi m = 4
. Parabolaning uchi absissasini
hisoblash formulasini qo‘llaymiz: m = − b
2 a . 4 = 8
a ni olamiz,
a= 2 .
2.
a va b
ning y= ax2+bx –18 funksiya grafigi M ( 1 ; 2 ) va N ¿
) nuqtalardan
o‘tadigan qiymatlarini toping. (Eslatma: tenglamalar sistemasini yeching )
{
a + b − 18 = 2
4 a + 2 b − 18 = 10
1.1.13-misol. Funksiya
y= x2+px +q formula bilan berilgan. p
va q
n ing
qiymatlarini toping agar:
a) funksiya nollari – 3 va 4 sonlari;
b) funksiya grafigi koordinata o‘qlarini (0; 6) va (2; 0) nuqtalarda kesib o‘tsa;
c) 24 ga teng eng kichik qiymatini funksiya x = 6
da qabul qilishi ma’lum
bo‘lsa.
Yechish. a) funksiya nollari 3 va 4 lar
x2+px +q=0 tenglamaning ildizlari
bo‘ladi. Viyet teoremasiga ko‘ra;
p = −
( 3 + 4 ) = 7 , q = 3 ∙ 4 = 12
Tenglamalar sistemasini yechamiz
{
q = 6
4 + 2 p + q = 0

p=− 5 q=6 ni olamiz .
12

x2 oldidagi koeffitsient musbat, shuning uchun parabola tarmoqlari
yuqoriga yo‘nalgan. Demak, funksiyaning eng kichik qiymati parabola uchi
ordinatasiga, uchining absissasi 6 ga teng. 6 = − p
2 ga ega bo‘lamiz,
p=−12 , u
holda
y ( m ) = 24.
Ma’lumotlarni va topilgan qiymatlarni
y= x2+px +q tenglamaga qo‘yamiz:
24 =36 –12 ∙6+q,q=60.
1.1.14-misol. Agar
ax2–2x+b kvadrat uchhadni x2+ax –1 kvadrat uchhadga
ko‘paytirsak, to‘rtinchi darajali ko‘phad hosil bo‘ladi, uning
x 2
va
x oldidagi
koeffitsientlari mos ravishda 8 va – 2 ga teng.
a va b
larni toping.
Yechish. Berilgan kvadrat uchhadlarni ko‘paytirib va
x o‘zgaruvchi
darajalariga nisbatan ko‘phad hadlarini guruhlaymiz:

a x 4
+
( a 2
− 2 ) x 3
+ ( b − 3 a ) x 2
+ ( ab + 2 ) x − b ni olamiz, uning x2 va x
oldidagi
koeffitsientlari 8 va – 2 ga teng. a
va b
ni
{
b−3a=8
ab +2=− 2
sistemani yechib topamiz a = − 2
3
b=6 yoki a=− 2 b= 2
9- sinf imtihon masalalari to‘plamida uchraydigan parametrli masalalar
1.1.15-misol .
c ning qanday qiymatlarida tenglama
x 2
+ 2 x + c = 0 tenglama
ildizlarga ega emas?
Yechish: Agar tenglama ildizlarga ega bo‘lmasa, u holda
D<0.
D = 4 − 4 c , D < 0 , 4 − 4 c < 0 , − 4 c ← 4 , c > 1.
Demak,
c>1 da tenglama ildizlarga ega emas.
Javob: c > 1
da tenglama ildizlarga ega emas.
1.1.16-misol .
k ning qanday qiymatlarida x2+kx +9= 0 tenglama ildizlarga
ega?
Yechish. Agar tenglama ildizlarga ega bo‘lmasa, u holda
D ≥0D= k2−36 ,
D ≥0
,
k 2
− 36 ≥ 0 , (k−6)(k+6)≥0 . U holda k∈¿∪¿ da tenglama ildizlarga ega.
13

Javob: Agar k∈¿ bo‘lsa, u holda tenglama ildizlarga ega.
1.1.17-misol. k
ning qanday qiymatlarida
kx2−6x+k=0 tenglama 2 ta
ildizga ega?
Yechish. Agar tenglama 2 ta ildizga ega bo‘lsa, u holda
D>0.
D=36 − 4k2,D>0,36 − 4k2>0,4k2−36 <0,k2−36 <0,(3;3).
Demak, agar k ∈ ( − 3 ; 3 )
bo‘lsa, u holda tenglama ikkita ildizga ega
x
1 ; 2 = 6 ±
√ 36 − 4 k 2
2 k
Javob: agar k ∈ ( − 3 ; 3 )
bo‘lsa, u holda tenglama ikkita ildizga ega.
Parametrli masalalarning asosiy tiplari va yechishning asosiy usullari.
4- tip. Parametrning qiymatlariga bog‘liq ravishda tenglamalar, tengsizliklar,
ularning sistemalari va jamlanmalari yechimlar sonini aniqlash.
5- tip. Parametrning shunday qiymatlarini topish lozimki, ko‘rsatilgan
tenglamalar, tengsizliklar, ularning sistemalari va jamlanmalari berilgan sondagi
yechimlarga ega bo‘lsin (xususan, yechimga ega bo‘lmasligi, cheksiz ko‘p
yechimlarga ega bo‘lishi).
6- tip. Parametrning izlanayotgan qiymatlarida yechimlar to‘plami tenglamalar,
tengsizliklar, ularning sistemalari va jamlanmalari aniqlanish sohasida berilgan
shartlarni qanoatlantiradi. Masalan, 1) tenglama berilgan oraliqdagi
o‘zgaruvchining ixtiyoriy qiymati uchun bajariladigan parametrning qiymatlarini
topish; 2) birinchi tenglama yechimlari to‘plami ikkinchi tenglama yechimlar
to‘plamining qism-to‘plami bo‘ladigan parametrning qiymatlarini topish va h.k.
1-usul (analitik). Parmetrsiz masalalarda javobni topishning standart
protseduralarni takrorlaydigan to‘g‘ridan-to‘g‘ri yechish usuli hisoblanadi.
2-usul (grafik). Masalaga bog‘liq ravishda ( x o‘zgaruvchi va a parametrli)
grafiklar yoki (x; y) koordinata tekisligida, yoki (x; a ) koordinata tekisligida
qaraladi.
3-usul (parametrga nisbatan yechish). Bu yechish usulida x va a o‘zgaruvchilar
14

teng huquqli deb qaraladi va analitik yechim sodda olinadigan o‘zgaruvchi
tanlanadi. Tabiiy soddalashtirishlardan so‘ng x va a o‘zgaruvchilarning dastlabki
ma’nosiga qaytamiz va yechishni tugallaymiz.
1.2.§ Parametrli chiziqli tenglamalar va ularga keltiriladigan tenglamalar
1.2.1-ta’rif . Ax = B
ko‘rinishdagi tenglama, bu y erda A
va B – faqat
parametrlarga bog‘liq ifoda,
x – noma’lum, x ga nisbatan chiziqli tenglama deb
ataladi .
U
Ax = B ko‘rinishga keltiriladi va A≠0 da parametrning yo‘l qo‘yiladigan
qiymatlar sistemasida yagona x = b
a yechimga ega
A = 0 va B = 0
da x
– ixtiyoriy son,
A=0va B≠0 da yechimlar yo‘q.
Parametrli chiziqli tenglamalarni yechishning turli mumkin bo‘lgan misollarni
qarab, agar bunday masalalarni yechishning ma’lum algoritmi tuzilsa,
«murakkab» parametr «oddiy» ga aylanadi va u parametrli tenglamalarni
yechishni o‘rgatishning birinchi bosqichida katta yordam beradi degan xulosaga
kelish muikin.
Parametrli chiziqli tenglamalarni yechish algoritmi:
1. Tenglamani shunday soddalashtirish kerakki u
Ax = B ko‘rinishga ega bo‘lsin.
2. Tenglama koeffitsientini nolga tengligini tekshirish (agar u parametrni o‘z
ichiga olsa)
(A=0,A≠0).
3. Parametrning har bir tayinlangan qiymatida tenglama ildizlarini tekshirish
(tenglama yagona yechimga, cheksiz ko‘p yechimga ega, ildizlarga ega emas).
4. Parametrntng tayinlangan qiymatlarini hisobga olib javobni yozing.
1.2.1-misol . Tenglamani yeching
ax =1.
Yechish: Birinchi qarashda x = 1
a javobni birdan berish lozimdek
tuyuladi.
Lekin
a=0 da berilgan tenglama yechimga ega emas va to‘g‘ri javob quyidagi
15

ko‘rinishda bo‘ladi:
Javob. Agar a = 0
bo‘lsa, u holda yechimlar yo‘q; agar a ≠ 0
bo‘lsa, u holdax= 1
a
1.2.2-misol . ( a 2
– 1 ) x = a + 1
tenglamani yeching .
Yechish: Bu tenglamani yechishda quyidagi hollarni qarash
yetarli:
a2−1=0,ya ’∋a=1va a=−1.
Agar
a=1 bo‘lsa, u holda tenglama 0∙x= 2 ko‘rinishni oladi va yechimga ega emas;
Tenglama koeffitsientini nolga tengligini tekshirish (agar u parametrni o‘z ichiga
olsa)
(A=0,A≠0).
Parametrning har bir tayinlangan qiymatida tenglama ildizlarini tekshirish
(tenglama yagona yechimga, cheksiz ko‘p yechimga ega, ildizlarga ega emas).
Tenglama koeffitsientini nolga tengligini tekshirish (agar u parametrni o‘z ichiga
olsa)
(A=0,A≠0).
Parametrning har bir tayinlangan qiymatida tenglama ildizlarini tekshirish
(tenglama yagona yechimga, cheksiz ko‘p yechimga ega, ildizlarga ega emas).
Tenglama koeffitsientini nolga tengligini tekshirish (agar u parametrni o‘z ichiga
olsa)
(A=0,A≠0).
Parametrning har bir tayinlangan qiymatida tenglama ildizlarini tekshirish
(tenglama yagona yechimga, cheksiz ko‘p yechimga ega, ildizlarga ega emas).
Agar
a=−1 bo‘lsa, u holda 0 x = 0
ni olamiz, va ravshanki x
–ixtiyoriy son.
Agar
a≠±1 bo‘lsa, x= 1
a−1 ga ega bolamiz
Javob. Agar
a=−1 bo‘lsa, u holda x
– ixtiyoriy son; agar a=1 bo‘lsa, u holda
yechimlar yo‘q; agar
a≠±1 bo‘lsa, u holda x = 1
a − 1 bo‘ladi.
1.2.3- misol . x + 2 = ax
tenglamani yeching.
Yechish: Tenglamani
Ax = B ko‘rinishga keltiramiz.
– ax = − 2 , ( 1 − a ) x = − 2.
16

Agar 1–a=0 bo‘lsa, ya’ni a=1 bo‘lsa, u holda tenglama
0 x = − 2
ko‘rinishni oladi va yechimga ega emas.
Agar
a≠1 bo‘lsa, u holda tenglama yagona x = 2
a − 1 ildizga ega
Javob . Agar
a=1 bo‘lsa, u holda tenglama yechimga ega emas, agar a ≠ 1
bo‘lsa, u holda tenglama yagona yechimga x = 2
a − 1 ega
1.2.4-misol . ( a 2
– 1 ) x = 2 a 2
+ a – 3
tenglamani yeching.
Yechish: Berilgan tenglama
x ga nisbatan chiziqli tenglama.
Agar
a2–1= 0 bo‘lsa, ya’ni a=±1 bo‘lsa, u holda tenglama quyidagi
ko‘rinishlarga ega bo‘ladi:
a = 1 da 0 x = 0 ,
u holda x
– ixtiyoriy haqiqiy son;
a=−1da 0x=−2,
u holda tenglama yechimlarga ega emas;
a ≠ ± 1
da x = 2 a 2
+ a − 3
a 2
− 1 − 2
( a + 1.5 )( a − 1 )
(
a + 1 )( a − 1 ) − 2 a + 3
a + 1
Javob. Agar
a=1 bo‘lsa, u holda x
– ixtiyoriy haqiqiy son, agar a = − 1
bo‘lsa, u holda tenglama yechimlarga ega emas, agar a ≠ ± 1
bo‘lsa, u
holda x = 2 a + 3
a + 1 bo‘ ladi.
1.2.5-misol .
ax = x+3 tenglamani yeching.
Yechish: Tenglamani
Ax = B ko‘rinishga keltiramiz:
ax –x=3,(a–1)x=3.
Agar a = 1
bo‘lsa, u holda tenglama 0 x = 3
ko‘rinishni oladi va yechimga ega
emas;
Agar a ≠ 1
bo‘lsa, u holda tenglama yagona x = 3
a − 1 yechimga ega.
Javob. Agar
a=1 bo‘lsa, u holda tenglama yechimga ega emas; agar a≠1
bo‘lsa, u holda tenglama yagona x = 3
a − 1 yechimga ega.
1.2.6-misol .
4+ax = 3x+1 tenglamani yeching.
Yechish: ax – 3 x = − 3 , ( a – 3 ) x = − 3
. Agar a = 3
bo‘lsa, u holda tenglama
17

0x=−3ko‘rinishni oladi va yechimga ega emas, agar a≠3 bo‘lsa, u holda x = 3
3 − a
bo‘ladi.
Javob Agar
a=3 bo‘lsa, u holda tenglama yechimga ega emas, agar a≠3 bo‘lsa, u
holda x = 3
3 − a bo‘ladi.
1.2.7-misol .
b(b−1)x=b2+b–2. tenglamani yeching
Yechish: Agar b ( b – 1 ) = 0 , ya ’ ∋ . b = 0 yoki b = 1
bo‘lsa, u holda tenglama
quyidagi ko‘rinishlarga ega bo‘ladi:
b=0da 0x=− 2
va ildizlarga ega emas;
b=1da 0x=0
, u holda x – ixtiyoriy haqiqiy son;
b≠0va b≠1da
x = b 2
+ b − 2
b ( b − 1 ) − ( b − 1 )( b + 2 )
b
( b − 1 ) − b + 2
b
Javob. Agar b = 0
bo‘lsa, u holda tenglama ildizlarga ega emas, agar agar b = 1
bo‘lsa, u holda
x – ixtiyoriy haqiqiy son, agar b≠0va b≠1 bo‘lsa, u holda
x = b + 2
b
1.2.8-misol
.b(b−1)x= b2+b− 2 tenglamani yeching.
Yechish: b ( b − 1 ) = 0 , b = 0
yoki b = 1
. Agar b = 0
bo‘lsa, u holda tenglama
0x=−2
ko‘rinishni oladi va yechimga ega emas. Agar b=1 bo‘lsa, u holda 0x=0,
tenglama cheksiz ko‘p yechimga ega.
b ( b − 1 ) ≠ 0
, ya’ni
b≠0b≠1 , u holda
x = b 2
+ b − 2
b ( b − 1 ) −
( b − 1 )( b + 2 )
b
( b − 1 ) − b + 2
b
Javob: Agar
b=0 bo‘lsa, u holda tenglama yechimga ega emas, agar b=1 bo‘lsa, u
holda 0 x = 0
, tenglama cheksiz ko‘p yechimga ega, agar b ≠ 0 va b ≠ 1
bo‘lsa, u holda
x = b + 2
b bo‘ ladi .
1.2.9-misol. Berilgan tenglama ildizlar to‘plamini toping:
a)
ax =4x+5
Yechish: ax − 4 x = 5 , x ( a − 4 ) = 5
18

1)a= 4 bo‘lgan holni qaraymiz, u holda 0x=5 va tenglama yechimga ega emas.
2) Agar
a≠4 bo‘lsa, u holda tenglama bitta x = 5
a − 4 ildizga ega.
Javob: agar a=4 bo‘lsa, u holda tenglama ildizlarga ega emas, agar a≠4 bo‘lsa, u
holda x = 5
a − 4 bo‘ladi.
b) ( b 2
− 4 ) x = 3 b + 12
Yechish: Agar
b2− 4= 0 bo‘lsa, u holda b = ± 2
Agar
b= 2 bo‘lsa, u holda 0x=18 , u holda tenglama ildizlarga ega emas. Agar
b = − 2
bo‘lsa, u holda 0 x = 6
, u holda tenglama ildizlarga ega emas.
Agar
b≠±2 bo‘lsa, u holda x = 3 ( b + 4 )
b 2
− 4 bo‘ ladi.
Javob: Agar
b=±2 bo‘lsa, u holda tenglama ildizlarga ega emas, agar b≠±2
bo‘lsa, u holda
x= 3(b+4)
b2− 4 bo‘ ladi.
1.2.10-misol . b ning qanday qiymatlarida b ( b − 3 ) x = 10 ( 2 b + x )
tenglama
ildizlarga ega emas?
Yechish: b
( b − 3 ) x = 10 ( 2 b + x ) ,
b 2
x − 3 bx = 20 b + 10 x ,
b2x−3bx −10 x=20 b,
(b2−3b−10 )x=20 b
.
b2−3b−10 =0
,
u holda
b
1 = 5 , b
2 = − 2.
Agar
b=5 bo‘lsa, u holda 0x=100 , tenglama ildizlarga ega emas.
Agar b = − 2
bo‘lsa, u holda
0x=−40 , u holda tenglama ildizlarga ega emas.
1.2.11-misol . n ning qanday qiymatlarida ( n 2
− 4 ) x = n 3
− 2 n 2
− n + 2
tenglama
a) ildizlarga ega emas; b) cheksiz ko‘p ildizlarga ega; c) yagona yechimga
ega bo‘ladi?
Yechish:
19

1) Agar n2− 4= 0 bo‘lsa, u holda n1=2,n2=−2.
1.2.12-misol . a parametrning qanday qiymatlarida
ax (ax +3)+6= x(ax −6)
tenglama kvadrat, chiziqli, to‘liqmas kvadrat tenglama bo‘ladi?
Yechish. Berilgan tenglamani soddalashtiramiz:
ax2+3ax +6= ax2−6x,
a2x2+3ax −ax2+6x=−6,
(a2−1)x2+(3a+6)x+6=0,
x
ga nisbatan kvadrat tenglamani olamiz .
a) Berilgan tenglama kvadrat tenglama bo‘lishi uchun:
a2−1≠0, ya’ni a ≠ ± 1
bo‘lishi zarur.
b)
ax2+bx +c=0 tenglama to‘liqmas kvadrat tenglama bo‘lishi uchun:
1 ¿ b = 0 , a = c ≠ 0 ; 2 ¿ b ≠ 0 , a ≠ 0 c = 0 ; 3 ¿ b = 0 c = 0 , a ≠ 0
shartlar bajarilishi zarur. Demak, berilgan ( a 2
− 1 ) x 2
+ ( 3 a + 6 ) x + 6 = 0
tenglama ,
to‘liqmas kvadrat tenglama bo‘lishi uchun
3a+6=0, ya’ni a=− 2 bo‘lishi yetarli.
Demak, a=-2 da tenglama to‘liqmas kvadrat tenglama bo‘ladi.
v) Berilgan tenglama chiziqli bo‘lishi uchun
a2−1=0 , ya’ni a= ±1 bo‘lishi
zarur.
1.2.13-misol . b ning qanday qiymatlarida
bx2−bx +b=0 tenglama ildizlarga
ega va ildizlarga ega emas?
Yechish:
bx2−bx +b=0,b(x2− x+1)= 0
Agar
b=0 bo‘lsa, 0 ( x 2
− x + 1 ) = 0
, u holda tenglama cheksiz ko‘p ildizga ega.
Agar b ≠ 0
bo‘lsa, u holda
x2− x+1=0. D=1− 4=− 3,⟹ D<0 , demak, tenglama
ildizlarga ega emas.
1.2.14-misol.
x(a2−1)=(a+1)(1− x) tenglamani x
ga nisbatan yeching.
Yechish: a ( a + 1 ) x = a + 1
Agar a = 0
bo‘lsa, u holda 0 x = 1
tenglama ildizlarga ega emas.
Agar
a=−1 bo‘lsa, u holda 0x=0 cheksiz ko‘p ildizga ega.
Agar a ≠ 0 va a ≠ − 1
bo‘lsa, u holda tenglama yagona ildizga ega
Parametrli tengsizlikka doir tadqiqot masalalar: .
20

Bir noma’lumli birinchi darajali tengsizlik:
a) noma’lumning ixtiyoriy qiymatida o‘rinli bo‘lishi;
b) yechimlarga ega bo‘lmasligi mumkinmi?
x noma’lumli birinchi darajali tengsizlik kx + b > 0
yoki kx + b < 0
ko‘rinishda bo‘ladi,
bunda k≠0 . Avvalo k>0 holni qaraymiz. kx + b > 0 ( k > 0 )
tengsizlik x>b
k
tengsizlikka teng kuchli. Lekin u bir noma’lumli birinchi darajali tengsizlik, u
ixtiyoriy x da
b
k=1 soni uning yechimi bo‘lolmaydi.
kx + b < 0 ( k > 0 )
tengsizli x ← b
k tengsizlikka teng kuchli. Lekin u bir noma’lumli
birinchi darajali tengsizlik, u ixtiyoriy x da o‘rinli bo‘lishi mumkin emas.
Masalan, b
k = 1
soni uning yechimi bo‘lolmaydi .
Shunga o‘xshash
k<0 da ham mulohazalar yuritish mumkin, demak, bir
noma’lumli birinchi darajali tengsizlik noma’lumning ixtiyoriy qiymatida o‘rinli
bo‘lishi mumkin.
a) topshiriqdagi mulohazalardan hech qanday b
va k ≠ 0
larda birinchi darajali
tengsizlik yechimlarga ega bo‘lmasligi mumkin emas.
Bir noma’lumli chiziqli tengsizlik:
a) noma’lumning ixtiyoriy qiymatida o‘rinli bo‘lishi;
b) yechimlarga ega bo‘lmasligi mumkinmi?
a) chiziqli tengsizlik
x noma’lumning ixtiyoriy qiymatida o‘rinli bo‘lishi
mumkin. Misol: 0 x > – 1
tengsizlik x
noma’lumning ixtiyoriy qiymatida o‘rinli; b)
chiziqli tengsizlik yechimga ega bo‘lmasligi mumkin. Masalan,
0x>1 tengsizlik
yechimlarga ega emas.
Parametrli chiziqli tenglamalarni yechish algoritmi .
Parametrli tenglamani tadqiq etish va yechish bu:
1. Berilgan tenglama yechimga ega bo‘ladigan parametrlarning barcha
qiymatlar sistemalarini topish.
21

2. Parametrlarni topilgan harbir qiymatlar sistemalari uchun, ya’ni noma’lum va
parametr uchun o‘z yo‘l qo‘yidadigan qiymatlar to‘plami ko‘rsatilishi lozim.
Testlarda asosang ikki tipdagi parametrli tenglama va tengsizliklar uchraydi:
1. Parametrning har bir qiymati uchun biror tenglama va tengsizlikning barcha
yechimlarini topish.
2. Har bir qiymatida berilgan tenglama va tengsizlik uchun qandaydir shartlar
bajariladigan parametrning barcha qiymatlarini topish.
1.2.2-ta’rif.f(a)x= g(a) , ko‘rinishdagi tenglama, bu yerda f(a),g(a) –
ba’zi analitik ifodalar,
a parametrli o‘zgaruvchiga nisbatan chiziqli deb ataladi.
Agar bunday tenglamani yechish masalasi qo‘yilgan bo‘lsa, bu a
parametrning har bir yo‘l qo‘yiladigan qiymati uchun bu tenglamani
qanoatlantiruvchi x
o‘zgaruvchining qiymatini topishdan iborat.
Yechish algoritmi:
1. Parametrning yo‘l qo‘yiladigan qiymatlarini topish.
2. Agar f
( a) = 0
, bo‘lsa, u holda ildizlarning mavjudligi yoki yo‘qligi g ( a )
qiymatlarga bog‘liq. Agar g
( a ) = 0 ,
bo‘lsa, u holda tenglama
x0=0,
ko‘rinishni oladi va uning ildizi x ning ixtiyoriy haqiqiy qiymati bo‘ladi.
Agar
g ( a ) ≠ 0 ,
bo‘lsa, u holda x
ning ixtiyoriy qiymatida noto‘g‘ri sonli tenglik
paydo bo‘ladi, ya’ni tenglama ildizlarga ega emas.
Agar f(a)≠0,
bo‘lsa, u holda x= g(a)
f(a) ga ega bo‘lamiz. Berilgan algoritmni jadval
ko‘rinishida yozish mumkin.
Parametrli chiziqli tenglamalarni yechish algoritmi
a parametr qiymatlarini
izlash shartlari Ildizlar to‘plami xarkteristikasi
f ( a ) yoki g ( a ) ma’noga ega
emas Ildizlar
yo‘q
22

{
f(a)≠0
g(a)−ma 'noga egaBitta ildiz x = g ( a )
f ( a )
{
f(a)= 0
g(a)≠0
Ildizlar
yo‘q
Parametrli oddiy chiziqli tenglamalarni yechish.
1.2.15-misol . a parametrning barcha qiymatlari uchun
x−a=0 tenglamani
yeching.
Javob: ixtiyoriy a da
x=a.
Bu misol parametrli masalalarni yechishda noma’lumni topish va
parametrning qaysi qiymatlarida javob ma’noga ega bo‘lishini ko‘rsatishdan
iboratligini eslatadi.
1.2.16-misol .
a parametrning barcha qiymatlari uchun 5x= a
tenglamani
yeching.
Javob: x = a
5 , agar a
– ixtiyoriy son bo‘lsa.
1.2.17-misol .
a parametrning barcha qiymatlari uchun x = a
5
tenglamani yeching.
Javob:
¿2a , agar a – ixtiyoriy son bo‘lsa.
1.2.18-misol . a parametrning barcha qiymatlari uchun ax
 1 tenglamani
yeching.
Yechish
.a=0 da berilgan tenglama yechimga ega emas va javobda bu aks
etishi lozim.
Javob:
a=0 da yechim yo‘q; a≠0 da yechim x= 1
a
1.2.19-misol . a parametrning barcha qiymatlari uchun
0x=а tenglamani
23

yeching.
Javob: a ≠ 0
da ildizlar yo‘q; a = 0
da x – ixtiyoriy son.
1.2.20-misol. 2 a( a − 2 ) x = a − 2
parametrli tenglamani tadqiq eting va
yeching
Yechish . Parametrning nazorat qiymatlarini, ya’ni shunday qiymatlarni
topamizki, x
oldidagi koeffitsient 0 ga aylansin. Bunday qiymatlar
a=0
va a= 2.
a) a = 0
da tenglama 0 x = − 2
ko‘rinishga keladi va bu tenglama ildizlarga ega
emas.
b) a = 2
da tenglama 0 x = 0
ko‘rinishga keladi va bu tenglamaning ildizi istalgan
haqiqiy son.
a≠0va a≠2
da berilgan tenglamadan x = a − 2
2 a ( a − 2 a ) ni olamiz, bundan x = 1
2 a
Javob: 1)
a=0 da ildizlar yo‘q.
2) a = 2
da x
– ixtiyoriy haqiqiy son.
3)
{
a≠0
a≠2 da x = 1
2 a
1.2.21-misol .
(
а 2
− 2 a + 1 ) ∙ x = a 2
+ 2 a − 3 parametrli tenglamani tadqiq eting va
yeching.
Yechish . a parametrning nazorat qiymatlarini, topamiz:
a2− 2a+1= 0,a=1
a)
a=1 da tenglama 0 x = 0
ko‘rinishga keladi . Bu tenglamaning ildizi ixtiyoriy
haqiqiy son.
b) a ≠ 1
da tenglama
x= (a+3)(a−3)
(a−1)2 = a+3
a−1 k o‘rinishga keladi
Javob: 1) a = 1
da x – ixtiyoriy haqiqiy son.
2)
a≠1 da x = a + 3
a − 1
1.2.22-misol . a 2
( x – 5 ) = 25 ( x – a )
parametrli tenglamani tadqiq eting va
yeching
24

Yechish . Qator almashtirishlar bajarib tenglamani tadqiq etish uchun
qulay ko‘rinishga keltiramiz:a2x–5a2=25 x–25 a;
( a 2
– 25 ) x = 5 a 2
– 25 a .
( a − 5 ) ( a + 5 ) x = 5 a ( a − 5 ) .
a)
{ a ≠ 5
a ≠ − 5 da yagona yechim mavjud x = 5 a ( a − 5 )
( a + 5 ) ( a − 5 ) ; x = 5 a
a + 5
b) Agar
a=5 bo‘lsa, u holda 0x=0, demak, ixtiyoriy x yechim.
v) Agar a = − 5
bo‘lsa, u holda 0 x = − 250 ,
demak yechim yo‘q.
Javob: 1) p
{ a ≠ 5
a ≠ − 5 da yagona yechim mavjud x = 5 a ( a − 5 )
( a + 5 ) ( a − 5 ) ; x = 5 a
a + 5
2)
a=5 , da ixtiyoriy x yechim.
1.3-§. Parametrli chiziqli tenglamalarni yechishning xususiy hollari
O‘quvchilar berilgan konkret shartlarda parametrli tenglamalarning
yechimlari
bu tenglamalarning xususiy yechimlari ekanligin i tushunishlari lozim. Masalan,
topshiriq quyidagicha ifodalanishi mumkin « … parametrning qanday qiymatlarida
…. tenglama yagona yechimga yoki ildizlarga ega emas, yoki … ga teng ildizga
ega bo‘ladi va h.k.
1.3.1-misol . a parametrning qanday butun qiymatlarida
ax =5+2x tenglama
butun ildizlarga ega ?
Yechish . Tenglamani
(a− 2)x=5 ko‘rinishga keltiramiz, agar a≠2, bo‘lsa, u
holda x = 5
a − 2 butun son bo‘lishi uchun a − 2
ifodaning qiymati 5 sonining
bo‘luvchisi , ya’ni
a− 2 ifoda qiymati 1;−1;5;−5 larga teng bo‘lishi zarur . Bundan
a = 3 ; 1 ; 7 ; − 3.
Javob: a = − 3 ; 1 ; 3 ; 7
1.3.2-misol. Har bir qiymatida 7 soni
x−7= x(a−a2) tenglamaning yagona
ildizi bo‘ladigan
a parametrining barcha qiymatlarini toping.
Yechish: 1-usul. Agar parametrning biror qiymati uchun 7 soni tenglama
ildizi
25

bo‘lsa, u holda a ning bu qiymati uchun
7 − 7 = 7 a − 7 a 2
tenglik yoki a
( a − 1 ) = 0 tenglik o‘rinli.
Tenglik
a=0 da yoki a=1 da o‘rinli.
Diqqat! Biz hali javobni olganimiz yo‘q, chunki 7 soni tenglama ildizi
deb faraz qilib, a
parametrining ikkita qiymatini topdik. Lekin bu ildiz yagona
bo‘lishi lozim, shuning uchun 7 soni
a=0 yoki a=1da tenglamaning yagona
ildizi bo‘lishnin tekshirish talab etiladi.
Agar
a=0 bo‘lsa, u holda tenglamani x – 7 = 0
ko‘rinishda yozib olamiz.
a=0
da 7 soni tenglamaning yagona ildizi bo‘ladi.
Agar
a=1 , bo‘lsa, u holda tenglamani x−7= x–7 ko‘rinishda yozib olamiz.
a=1
da ixtiyoriy haqiqiy son berilgan tenglama ildizi bo‘ladi. Demak, 7 soni
tenglamaning yagona ildizi emas.
2-usul. Berilgan tenglamani
х(a−1)=7(a−1)(a+1) ko‘rinishda yozib olamiz. a=1 da
tenglama ildizi ixtiyoriy son, ya’ni 7 soni tenglamaning yagona ildizi emas.
Shuning uchun tenglamada
a≠1. Lekin u holda bu tenglama
х = 7 ( a + 1 )
yagona ildizga ega. Masala sharti bajariladi, agar 7 soni yagona ildizi
bo‘lsa: 7
( a + 1 ) = 7 ,
ya’ni a=0 da.
Javob: a = 0.
1.3.3-misol . Har bir qiymatida
ax −5= x+a va
a 2
x − 3 = x + a 2
tenglamalar
umumiy ildizga ega bo‘ladigan
a parametrining barcha qiymatlarini toping
Yechish:
Birinchi tengamani ( a − 1 ) x = a + 5
ko‘rinishda yozib olamiz.
Bu tenglama faqat a ≠ 1
da ildizga ega . Bu ildiz x
1 = a + 5
a − 1 ga teng
Ikkinchi tenglamani
(
a 2
− 1 ) x = a 2
+ 3 ko‘rinishda yozib olamiz. Bu tenglama faqat
a=±1
da ildizga ega. Bu ildiz x
1 = a 2
+ 3
a 2
− 1 sondan iborat.
a
parametrning a=±1 barcha qiymatlarini topish qoldi. Ularning har birida
birinchi va ikkinchi tenglamalar umumiy ildizga ega, x
1 va x
2 bitta sondan iborat.
26

Buning uchun a + 5
a − 1 = a 2
+ 3
a 2
− 1 tenglamani yechamiz. Barcha hadlarini bir
tomonga o‘tkazamiz va algebraik kasrlar ayirmasini soddalashtiramiz. U holda
unga teng kuchli 6 a + 2
a 2
− 1 = 0
tenglamaga ega bo‘lamiz, u yagona a= −1
3 ildizga
ega. a
ning bu qiymatid a masala sharti bajariladi.
Javob
a= −1
3
Chiziqli tenglamalarni yechishning analitik va grafik usullari
1.3.4-misol .
|x|=a tenglamani yeching
Yechish .1-usul. (analitik).
1.
a>0 da tenglama ikkita ildizga ega: x=±a.
2. a=0 da tenglama bitta ildizga ega :
x=0
3.
a<0 da tenglama ildizlarga ega emas.
1. a<0 da funksiyalar grafiklari kesishmaydi yechimlar yo‘q.
Javob:
a<0 da ildizlar yo‘q;
a=0
da bitta ildiz : x=0;
a > 0
da ikkita ildiz: x = ± a .
1.3.5-misol. ax =
| x|
tenglamani yeching.
Yechish: 1-usul. (analitik).
1.
x≥0 da tenglama ax = x yoki x ( a — 1 ) = 0
tenglamaga teng kuchli. Demak,:
a) a ≠ 1
da tenglama bitta x = 0
yechimga ega ;
b)
a=1 da tenglama cheksiz ko‘p yechimga ega: x∈¿.
2 x ≤ 0
da tenglama ax = − x
yoki x ( a + 1 ) = 0
tenglamaga teng kuchli. Demak,
a)
a≠−1 da tenglama bitta x=0 yechimga ega ;
b)
a=−1 da yechimlar to‘plami x ∈ ¿
2-usul. (grafik)
y =
| x |
va y = ax
funksiyalar grafiklarini yasaymiz. y = ax
funksiyalar grafiklari
bo‘lib burchak koeffitsienti a ga teng koordinata boshidan o‘tuvchi to‘g‘ri
27

chiziqlar hisoblanadi.

yy=|x|
y=ax (a 0)
˂
o x
y=ax (a 0)
˂
1.
a≠±1 da tenglama bitta x = 0 yechimga ega .
2.
a=1da u= x to‘g‘ri chiziq OA nurni o‘z ichiga oladi va tenglama cheksiz ko‘p
yechimga ega
x∈¿.

a=−1 da u= x to‘g‘ri chiziq OV nurni o‘z ichiga oladi va tenglama cheksiz ko‘p
yechimga ega x ∈ ¿
Javob:
a = − 1 da x ∈
( − ∞ ; 0 ] ;
a = 1 da x ∈
[ 0 ; + ∞ ) ;
a≠±1da x=0
.
Chiziqli tenglamalarga keltiriladigan tenglamalar.
Yechishda aniqlanish sohasiga qo‘yilgan cheklashlar bilan bog‘liq
qo‘shimcha tekshirishni talab etadigan murakkab bo‘lmagan parametrli
tenglamalar parametrli tenglamalarni o‘rganishdagi keyingi qadam hisoblanadi.
1.3.6-misol
a
x− 2=1 tenglamani yeching.
Yechish. Ravshanki
x≠2 . Tenglamaning ikkala qismini x–2≠0 ga
ko‘paytirib a = x – 2
yoki
x=a+2 olamiz. a parametrning topilgan x ning qiymati
28

2 ga teng bo‘ladigan qiymatlari bor yo‘qligini tekshiramiz, ya’ni 2=a+2
tenglamani a ga nibatan yechamiz. a = 0
da
x=2 ni olamiz, lekin 2 soni aniqlanish
sohasiga kirmaydi, demak, uning ildizi bo‘lishi mumkin emas.
Javob: a = 0 da ildizlar yo‘q ; a ≠ 0
da x = a + 2.
1.3.7-misol . Tenglamani yeching x
x + 1 = a

Yechish x ≠ – 1
. tenglamani ( 1 − a ) x = a
, ko‘rinishga keltirib,
a=1 da
tenglama ildizlarga ega emasligini,
a≠1 da esa x= a
1− a ni topamiz.
x= a
1− a
tenglamani
a ga nisbatan echamiz. Tenglama ildizlarga ega bo‘lmagani
uchun boshqa hollar bo‘lmaydi.
Javob: a ≠ 1
da
x= a
1− a a = 1
da ildizlar yo‘q.
1.3.8-misol . Tenglamani yeching
2ax +x+1
(a+1)(x+3)− x2−4
(x− 2)(x+3)− a
a+1
Yechish:
x≠−3,x≠2,a≠−1. x≠2, shartda berilgan tenglamani
soddalashtirish mumkin:
2ax +x+1
(a+1)(x+3)= x2−4
(x− 2)(x+3)− a
a+1
Almashtirishlardan so‘ng
2ax =1–a , tenglamani olamiz, u a = 0
da ildizga ega
emas,
a≠0 da esa x= 1− a
2a x ning qiymati – 3 yoki 2 ga teng bo‘ladigan
a
parametrning qiymati bor yo‘qligini tekshiramiz, buning uchun a
ga
nisbatan − 3 = 1 − a
2 a va 2 = 1 − a
2 a tenglamalarni y echamiz. Birinchi tenglama
ildizi – 0,2, ikkinchisiniki - 0,2, ya’ni a = ± 0 , 2
da tegishli x ning qiymatlari
berilgan tenglama aniqlanish sohasiga kirmaydi.
1.3.9-misol . Parametrli tenglamani tadqiq eting va yeching.
k(x+2)−3(k−1)
x+1 =1
Yechish .
D (u):x≠−1.kx +2k–3k+3= x+1;(k–1)x= x+¿ 1 tadqiq etish uchun
tenglamaning eng qulay ko‘rinishi.
29

a)k≠1 , bo‘lsin, u holda yagona x = k − 2
k − 1 yechim mavjud.
b) k parametrning qanday qiymatlarida x = − 1
bo‘lishini aniqlaymiz va ularni
chiqarib tashlaymiz , Buning uchun k − 2
k − 1 = − 1
tenglamani y echamiz, u holda
k=1.5
yagona yechim x = k − 2
k − 1
1.3.10 - misol . Parametrli tenglamani tadqiq eting va yeching.
x = 3 mx − 5
( m − 1 ) ( x + 3 ) + 3 m − 11
m − 1 − 2 x + 7
x + 3
Yechish .
{
D
( y ) m ≠ 1
x ≠ − 3
D(y) ni hisobga olib berilgan tenglamani quyidagi ko‘rinishga keltiramiz:
3mx –5+(3m –11 )(x+3)=(2x+7)(m –1);
( 4 m – 9 ) x = 31 – 2 m
- tekshirish uchun qulay parametrli chiziqli tenglama
a) Agar
m≠2,25 m ≠1
bo‘lsa, u holda yagona yechim mavjud
x= 31 −2x
4m− 9
b)
m parametrning qanday qiymatlarida x=−3 bo‘lishini aniqlaymiz
31 − 2 x
4 m − 9 = − 3
demak,
m = − 0,4 , ya ’ ∋ m = − 0,4 da x ∈ D ( y ) .
v) Agar
m=2,25 , bo‘lsa, u holda 0x=2,25 , demak, yechimlar yo‘q.
Javob: 1) m ≠ 2,25
m≠−0,4
yagona yechim x= 31 −2x
4m− 9
2) m = 2,25
da yechimlar yo‘q .
3)
m=−0,4 da yechimlar yo‘q .
4)
m=1 da tenglama aniqlanmagan yoki ma’noga ega emas.
1.3.11-misol . Parametrli tenglamani tadqiq eting va yeching.
3mx −5
(m+2)(x2−9)
= 2m+1
(m+2)(x−3)− 5
x+3
Yechish.
30

D( y ) :
{ m ≠ − 2
m ≠ 3
m ≠ − 3
Zarur almashtirishlarni bajarib quyidagi tenglamani olamiz:
3mx −5=(2m+1)(x+3)−5(m+2)(x−3).
3
( 2 m + 3 ) x = 21 m + 38 .
Agar
{
m ≠−1.5
m ≠− 2 bo‘lsa,
a) 21 m + 38
3 ( 2 m + 3 ) = − 3
u holda 21 m + 38 = − 3 ∙ 3 ∙ ( 2 m + 3 )
, ya’ni m=−5
3

b) 21 m + 38
3 ( 2 m + 3 ) = − 3
u holda 21 m + 38 = 3 ∙ 3 ∙ ( 2 m + 3 )
,
ya’ni m = − 11
3

m=−1.5 u holda 0 = − 6,5
, demak, yechimlar yo‘q .
Javob: 1)
{
m ≠−1.5
m ≠−12
3
m ≠−32
2
m≠− 2 da yagona yechim mavjud x = 21 m + 38
3 ( 2 m + 3 )
2)
m = − 1,5
da yechimlar yo‘q; 3) m=−12
3 da yechimlari yo‘q
4)
m=2
da tenglama aniqlanmagan; 5) m=−32
3 da yechimlari yo‘q
1.3.12-misol . Parametrli tenglamani tadqiq eting va yeching : m = 1
m + m − 1
m ( x − 1 )
Yechish. m = 2

D (y):{
m≠0
m ≠1
Berilgan tenglamani
m 2
x − m 2
= x − 1 + m − 1 yoki
( m 2
− 1 ) x = m 2
+ m − 2
ko‘rinishda yozib olamiz
a) Agar
{ m ≠ 1
m ≠ 0
m ≠ − 1 bo‘lsa, u holda yagona yechim mavjud x= (m+2)(m−1)
(m−1)(m+1)= m+2
m+1
31

m parametrning qanday qiymatlarida x=1 bo‘lishini aniqlaymiz va bu qiymatlarni
chiqarib tashlaymiz,ya’ni m + 2
m + 1 = 1 yoki 2 = 1
Demak,
m parametrning

x=1 bo‘ladigan qiymati mavjud emas, ya’ni m parametrning qiymatiga qo‘shimcha
cheklashlar yo‘q.
b) Agar
m=1 , bo‘lsa, u holda 0∙x=0∙3, demak, ixtiyoriy
x ∈ D ( y )
tenglamaning yechimi, ya’ni bu yechimlarning cheksiz to‘plami.
c) Agar
m=−1 , bo‘lsa, u holda 0 ∙ x = 1 ∙ ( − 2 )
, ya’ni yechimlar yo‘q.
d) Agar m = 0
- bo‘lsa, tenglama aniqlanmagan.
Javob: a) Agar
{ m ≠ 1
m ≠ 0
m ≠ − 1 bo‘lsa u holda yagona yechim mavjud x = m + 2
m + 1
b) Agar
m=1 bo‘lsa, u holda ixtiyoriy x ≠ 1
yechim .
v) Agar
m=−1 bo‘lsa, u holda yechimlar yo‘q;
g) Agar m = 0
bo‘lsa, u holda tenglama aniqlanmagan.

32

II.BOB. PARAMETRLI IKKINCHI DARAJALI TENGLAMA
VA TENGSIZLIKLARNI YECHISH USULLARI
2.1-§. Parametrli kvadrat tenglama va ularga keltiriladigan tenglamalar
2.1.1-ta’rif . ax2+bx +c=0 ko‘rinishdagi tenglama, bu y erda x
– noma’lum,
a,b,c
–faqat parametrlarga bog‘liq ifodalar, va a≠0 , x ga nisbatan kvadrat
tenglama deb ataladi. Parametrlarning
a,b,c – haqiqiy bo‘ladigangan qiymatlari
yo‘l qo‘yiladigan qiymatlari deb ataladi.
a=0
da tenglama bx + c = 0
chiziqli ko‘rinishni oladi va bitta ildizga ega
bo‘ladi;
a≠0 da u kvadrat tenglama bo‘ladi va parametrarning har bir yo‘l
qo‘yiladigan qiymatlar sistemasida bitta yoki ikkita haqiqiy ildizlarga ega bo‘lishi
mumkin.
Parametrli kvadrat tenglamani yechish algoritmi:
 Tenglamani shunday soddalashtirish kerakki u :

ax2+bx +c=0 ko‘rinishga ega bo‘lsin.
 Tenglamaning
x2 oldidagi koeffitsientini nolga tengligini tekshirish (agar
u parametrni o‘z ichiga olsa)
(a=0,a≠0);
 Parametrning har bir tayinlangan qiymatida tenglama ko‘rinishini
va ildizlarini tekshirish:
- agar
a=0 bo‘lsa, u holda tenglama chiziqli va uning ildizlarini
chiziqli tenglamani yechish algoritmi bilan topish;
- agar
a≠0 bo‘lsa, u holda tenglama- kvadrat tenglama. D>0,D<0,
D = 0
shartlarda parametrning har bir tayinlangan qiymatida ildizlar mavjudligini
tekshirish va ularni topish.
 Parametrning tayinlangan qiymatlarini hisobga olib javobni yozing.
Bir parametrli va bir noma’lumli kvadrat tenglamalarni yechishga
misollar keltiramiz
2.1.1-misol. Qanday
a larda ax2–x+3= 0 tenglama yagona yechimga ega ?
Yechish : 1)
a=0 bo‘lgan holni qaraymiz, u holda tenglama:
33

− x+3=0 ko‘rinishni oladi, u chiziqli tenglamadan iborat va yagona yechimga ega
x = 3.
2) Agar
a≠0 bo‘lsa, u holda kvadrat tenglamaga ega bo‘lamiz.
D = 1 – 12 a .
Tenglama yagona ildizga ega bo‘lishi uchun D = 0
1 – 12 a = 0 , a = 1
12 bo‘lishi zarur.
2.1.2-misol. Qanday
a larda ( a – 2 ) x 2
+ ( 4 – 2 a ) x + 3 = 0
yagona yechimga ega?
Yechish 1)
a= 2 bo‘lgan holni qaraymiz, u holda tenglama 0x=−3
ko’rinishni oladi va yechimga ega emas.
2) Agar
a≠2 bo‘lsa, u holda berilgan tenglama ,kvadrat tenglama. Tenglama
yagona ildizga ega, agar D = 0
bo‘lsa.
D=(4–2a)2–12 (a–2)= 16 –16 a+4a2–12 a+24 = 4a2–28 a+40
4–28 a+40 =0,a2–7a+10 = 0
, Viet teoremasiga ko‘ra a= 2 yoki a=5a=2
qiymat to‘g‘ri kelmaganligi uchun a = 5.
2.1.3-misol . Qanday a larda
ax2–4x+a+3= 0 tenglama bittadan ortiq
yechimga ega?
Yechish. 1) Agar
a=0 bo‘lsa, u holda tenglama - 4x=−3 ko‘rinishni oladi va
x = 3
4 yagona yechimga ega va shartni qanoatlantirmaydi.
2) Agar
a≠0 bo‘lsa, u holda tenglama – kvadrat tenglama. U agar D>0 bo‘lsa,
ikkita ildizga ega.
D = 16 – 4 a
( a + 3 ) = 16 – 4 a 2
– 12 a = − 4 a 2
– 12 a + 16 , − 4 a 2
– 12 a + 16 > 0 , a 2
+ 3 a – 4 < 0
.
Kvadratik tengsizlikni yechib − 4 < a < 1
tengsizlikni olamiz Lekin olingan
(− 4;1)
oraliqqa 0 soni kiradi, bu esa mumkin emas , u holda
− 4 < a < 0 yoki 0 < a < 1.
2.1.4-misol . Qanday a larda a ( a + 3 ) x 2
+ ( 2 a + 6 ) x – 3 a – 9 = 0
tenglama
bittadan ortiq yechimga ega?
Yechish : 1) Agar a
( a + 3 ) = 0 bo ‘ lsa , ya ’ ∋ a = 0 yoki a = − 3
bo‘lsa, u holda
tenglama:
a=0da 6x=9,x=1,5 yagona yechim
34

a=−3da 0x=0x–ixtiyoriy haqiqiy son .2) Agar
a≠0va a≠−3 bo‘lsa kvadrat tenglama olamiz
a(a+3)x2+2(a+3)x–3(a+3)=0
, yoki, tenglamaning ikkala tomonini
(a+3)
ga bo‘lib, tengl ama ax2+2x–3= 0 tenglamani olamiz, uning diskriminanti
4 ( 1 + 3 a )
ga teng, D > 0 , a > − 1
3 Demak,
a>−1
3 da tenglama ikkita ildizga ega, lekin
bu oraliqqa 0 soni kiradi, u bizga to‘g‘ri kelmaydi, u holda berilgan oraliqdan
a=0
ni chiqarish lozim..
Javob. Tenglama
a=−3,− 1
3<a<0,a>0 larda ikkitadan ortiq ildizga ega.
2.1.5-misol. x ga nisbatan tenglamani yeching: a)
x 2
− ax = 0
Yechish :
D=a2,demak D>0yoki D=0.
1)
D=0 , u holda ¿0,a=0 , u holda x=0.
2)
D>0,a2>0 ixtiyoriy a ≠ 0
uchun, u holda x=a .
Javob: agar
a=0 bo‘lsa, u holda x=0 ; agar a≠0 bo‘lsa, u holda x=a.
b)
6x2−5bx +b2=0
Yechish:
D = 25 b 2
– 24 b 2
, D = b 2
≥ 0.
1) D = 0
, u holda b = 0
, u holda x = 0
;
2) D > 0
, u holda b –ixtiyoriy nolga teng bo‘lmagan son, u holda
x1,2= 5b±|b|
12 ;x1= b
2,x2= b
3
v)
12 x 2
+ 7 sx + s 2
= 0
Yechish:
D=49 s2− 48 s2,D= s2,D ≥0.
1 ¿ D = 0 , s 2
= 0 ,
s = 0 , u holda x = 0 ;
2)
D > 0 , s 2
> 0 , u holda c – ixtiyoriy nolga teng bo‘lmagan son, u holda
x1,2=− 7c±|c|
24 ;
x
1 = − c
4 , x
2 = − c
3
2.1.6-misol . x ga nisbatan
ax2− 4x+a=0 tenglamani yeching.
Yechish . Agar
a=0 bo‘lsa, u holda tenglama chiziqli va − 4x=0 ko‘rinishni
35

oladi, u holda x=0. Demak, agar a=0 bo‘lsa, u holda tenglama yagona ildizga ega
x = 0.
Agar
a≠0 bo‘lsa, u holda ax2− 4x+a=0 – kvadrat tenglama, unda
D1=4−a2.
D = 0 ,
u holda
4− a2= 0,a= ±2. Demak, agar a = ± 2
bo‘lsa, u holda tenglama
bitta ildizga ega x = 1;
D
1 > 0 , 4 − a 2
> 0 , a 2
− 4 < 0 , ( a − 2 ) ( a + 2 ) < 0
, u holda
−2<a<2 da tenglama ikkita ildizga
ega
x1,2= 2±√4−a2
a
D1<0,4−a2<0,a2−4>0,(a− 2)(a+2)>0,uholda
a ← 2 va a > 2
da tenglama ildizlarga ega emas.
Javob: agar a = ± 2
bo‘lsa, u holda tenglama bitta ildizga ega

x=1,agar a=0 bo‘lsa, u holda tenglama bitta ildizga ega
x = 0 ; agar − 2 < a < 2
bo‘lsa, u holda tenglama ikkita ildizga ega
x
1,2 = 2 ±
√ 4 − a 2
a agar a← 2va a>2 bo‘lsa, u holda tenglama
ildizlarga ega emas.
2.1.7-misol . x ga nisbatan tenglamani yeching:
x2− sx +16 =0
Yechish :
D = s 2
− 64 ; 1 ¿ D = 0 , s 2
− 64 = 0 , s 2
= 64 , s = ± 8. s = ± 8 da tenglama
bitta ildizga ega
x= c
2
2) D > 0 , s 2
− 64 > 0 , ( s − 8 ) ( s + 8 ) > 0
, u holda
c← 8va c>8 da tenglama ikkita ildizga ega
x
1,2 = c ±
√ c 2
− 64
2
3) D < 0 , s 2
− 64 < 0 , ( s − 8 ) ( s + 8 ) < 0
, u holda c ∈ ( − 8 ; 8 )
da
tenglama ildizlarga ega
emas.
Javob: agar
s=±8 bo‘lsa, tenglama bitta ildizga ega x = c
2 ; agar
36

c ← 8 va c > 8
bo‘lsa, tenglama ikkita ildizga ega x
1,2 = c ±√ c 2
− 64
2 agar
−8<c<8
bo‘lsa, u holda tenglama ildizlarga ega emas.
2.1.8-misol . b parametrning qanday qiymatlarida ( b − 1 ) x 2
− 2 bx + b + 1 = 0
ikkita musbat, ikkita manfiy va yagona ildizga ega bo‘ladi?
Yechish: 1) b − 1 = 0
, u holda b = 1
, u holda
−2x+2= 0,−2x=−2,x=1.
Agar b=1 bo‘lsa, u holda x=1;
2.1.9-misol . x ga nisbatan
ax2− 4x+a=0 tenglamani yeching .
Yechish . Agar
a=0 bo‘lsa, u holda tenglama chiziqli va − 4x=0 ko‘rinishni
oladi, u holda
x=0 . Demak, agar a = 0
bo‘lsa, u holda tenglama yagona ildizga ega
x=0.
Agar a≠0 bo‘lsa, u holda
ax2− 4x+a=0 – kvadrat tenglama, unda
D
1 = 4 − a 2
.
D
1 = 0, u holda
4− a2= 0,a= ±2 . Demak, agar a=±2 bo‘lsa, u holda
tenglama bitta ildizga ega x = 1;
D
1 > 0 , 4 − a 2
> 0 , a 2
− 4 < 0 , ( a − 2 ) ( a + 2 ) < 0
, u holda
−2<a<2 da tenglama ikkita
ildizga ega
x1,2= 2±√4−a2
a
D1<0,4−a2<0,a2−4>0,(a−2)(a+2)>0
, u holda
a ← 2 va a > 2
da tenglama ildizlarga.
Agar b≠1 bo‘lsa, u holda kvadrat tenglama ( b − 1 ) x 2
− 2 bx + b + 1 = 0
ga ega bo‘lamiz,
unda
D1=b2−(b−1)(b+1)=b2−b2+1=1,D1>0 , demak tenglama ikkita ildizga ega
x = b ± 1
b − 1 u holda x
1 = b + 1
b − 1 , x
2 = b − 1
b − 1 = 1.

Bundan ko‘rinadiki, tenglama ikkita manfiy ildizga ega bo‘ladi, chunki
ildizlaridan biri 1 ga teng. Tenglama ikkita musbat ildizga faqat
x1>0 bo’lganda
ega bo‘ladi. b + 1
b − 1 > 0
ga ega bo‘lamiz, bu esa ( b + 1 ) ( b – 1 ) > 0
tengsizlikka teng
kuchli bo‘lishini bildiradi. Tengsizlikni y echib
b← 1 yoki b>1 ni olamiz. Demak,
b<- 1 yoki b>1 da tenglama ikkita musbat ildizga ega.
37

Javob: agar b=1 bo‘lsa, u holda x=1 – yagona ildiz; agar b← 1 yoki b>1
bo‘lsa, u holda tenglama ikkita musbat ildizga ega; ikkita manfiy va yagona
ildizga ega bo‘lishi mumkin emas.
Bir parametrli va bir noma’lumli kvadrat tenglamalarni tadqiq etishga doir
masalalar .
2.1.10-masala . k ning:
x2–3x+k<0 tengsizlik faqat x ∈ ( 1 ; 2 )
; lar uchun
o‘rinli bo‘ladigan qiymatini
– x 2
+ x + k > 0 tengsizlik faqat x ∈ ( − 2 ; 3 )
lar uchun
o‘rinli bo‘ladigan qiymatini toping.
Yechish.
x 2
– 3 x + k < 0 tengsizlik faqat x ∈ ( 1 ; 2 )
lar uchun o‘rinli , agar
x1=1va x2= 2lar x2–3x+k
kvadrat uchhad ildizlari bo‘lsa, bu yerda (k=1>0). ya’ni
k=1∙2=2.
Tengsizlikni (–1), ga ko‘paytirib unga teng kuchli
x 2
– x – k < 0 tengsizlikni
olamiz. Bu tengsizlik faqat ∈ ( − 2 ; 3 )
, lar uchun o‘rinli, agar
x
1 = – 2 va x
2 = 3 x 2
– x – k
kvadrat uchhad ildizlari bo‘lsa, ya’ni
k=6 da
Javob. a)
k=2 ; b) k=6.
2.1.11-masala. a ning qanday qiymatlarida
(x–3)(x–5)(x–a)2>0
tengsizlikning yechimlar to‘plami ikkita oraliqdan? Uchta oraliqdan iborat
bo‘ladi?
Yechish. 1)
a>5 bo‘lsa, u holda ko‘phad 3, 5 va a uchta ildizga ega. Bu
ildizlarni koordinata o‘qida belgilaymiz va oraliqlar usulini qo‘llaymiz,
ko‘phadning ishorasini oraliqlarda aniqlaymiz
(1-rasm)
yechimlar to‘plami uchta oraliqdan iborat.
2) Agar a = 5
bo‘lsa, u holda berilgan tengsizlik :
( x – 3 ) ( x – 5 ) 3
> 0. (1)
38

ko‘rinishda yoziladi. Ko‘phadning 3 va 5 ildizlarini son o‘qida belgilaymiz va
oraliqlar usulini qo‘llaymiz, ko‘phadning ishorasini oraliqlarda aniqlaymiz
(2-rasm)
Tengsizlikning yechimlar to‘plami ikkita oraliqdan iborat.
2) Agar 3 < a < 5, bo‘lsa, u holda ko‘phad 3, 5 va a uchta ildizga ega, Bu
ildizlarni koordinata o‘qida belgilaymiz va
(3-rasm)
Oraliqlar usulini qo‘llaymiz, ko‘phadning ishorasini oraliqlarda aniqlaymiz.
Tengsizlikning olingan yechimlar to‘plami ikkita oraliqdan iborat
3) Aar a = 3
bo‘lsa, u holda berilgan tengsizlik
( x – 3 ) 3
( x – 5 ) > 0. (2)
ko‘rinishda yoziladi. Ko‘phadning 3 va 5 ildizlarini son o‘qida belgilaymiz va
oraliqlar usulini qo‘llaymiz, ko‘phadning ishorasini oraliqlarda aniqlaymiz. Uning
yechimlar to‘plami ikkita oraliqdan iborat.
4) Agar a < 3
bo‘lsa, u holda ko‘phad 3, 5 va a uchta ildizga ega , Bu ildizlarni
koordinata o‘qida belgilaymiz va oraliqlar usulini qo‘llaymiz, ko‘phadning
ishorasini oraliqlarda aniqlaymiz. Tengsizlik yechimlar to‘plami uchta oraliqda
iborat.
4-rasm
Barcha qaralgan hollarni birlashtirib javobni yozamiz.
Javob. agar 3≤a≤5 bo‘lsa, u holda berilgan tengsizlik yechimlar to‘plami
ikkita oraliqdan; agar a < 3
yoki a > 5
bo‘lsa, u holda berilgan tengsizlik yechimlar
39

to‘plami uchta oraliqdan iborat.
2.1.12-masala . a ning qanday qiymatlarida(x+5)(x−3)
(x− a)2 >0

tengsizlikning yechimlar to‘plami ikkita oraliqdan ? Uchta oraliqdan iborat
bo‘ladi ?
Yechish. a ning ixtiyoriy qiymatida berilgan tengsizlik
(x+5)(x−3)(x−a)2>0. (7)
tengsizlikka teng kuchli
1) Agar
a>3 bo‘lsa, u holda ko‘phad uchta –5,3 va a ildizga ega. Ularni
koordinata o‘qida belgilaymiz va umumiy oraliqlar usulini qo‘llaymiz va hosil
bo‘lgan oraliqlar ustiga «+» va «–» ishoralarni qo‘yamiz.
5-rasm
Olingan (7) tengsizlikning yechimi va demak, berilgan tengsizlikning yechimlar
to‘plami uchta oraliqdan iborat ekan.
2) Agar a = 3
bo‘lsa, u holda berilgan tengsizlik
(x+5)(x− 3)3>0. (8)
ko‘rinishda yoziladi. U holda ko‘phad ikkita − 5 , 3
6-rasm
ildizlarga ega. Ularni koordinata o‘qida belgilaymiz va umumiy oraliqlar
usulini qo‘llaymiz va hosil bo‘lgan oraliqlar ustiga «+» va «–» ishoralarni
qo‘yamiz
Olingan (8) tengsizlikning va demak, berilgan tengsizlik yechimlar to’plami
40

ikkita oraliqdan iborat.
3) Agar –5<a<3 bo‘lsa, u holda u holda ko‘phad uchta : – 5 , 3
va a ildizlarga
7-rasm
ega. Ularni koordinata o‘qida belgilaymiz va umumiy oraliqlar usulini qo‘llaymiz
va hosil bo‘lgan oraliqlar ustiga «+» va «–» ishoralarni qo‘yamiz.
Olingan (7) tengsizlikning va demak, berilgan tengsizlik yechimlar to‘plami
ikkita oraliqdan iborat.
4) Agar
a= –5, bo‘lsa, u holda berilgan tengsizlik
(x+5)3(x−3)>0. (9)
ko‘rinishda yoziladi. u holda ko‘phad ikkita:
−5,3 ildizlarga ega. Ularni
koordinata o‘qida belgilaymiz va umumiy oraliqlar usulini qo‘llaymiz va hosil
bo‘lgan oraliqlar ustiga «+» va «–» ishoralarni qo‘yamiz. Olingan (9)
tengsizlikning va demak, berilgan tengsizlikning yechimlar to‘plami ikkita
oraliqdan iborat.
5) Agar a < – 5
, bo‘lsa, u holda u holda ko‘phad uchta – 5 , 3
va a i ldizlarga
ega. Ularni koordinata o‘qida belgilaymiz va umumiy oraliqlar usulini qo‘llaymiz
va hosil bo‘lgan oraliqlar ustiga «+» va «–» ishoralarni qo‘yib chiqamiz.
8-rasm
Hosil qilingan (7)tengsizlikning va demak, berilgan tengsizlikning
yechimlar to‘plami uchta oraliqdan iborat.
Javob. a) Agar
–5,≤a,≤3 , bo‘lsa, u holda berilgan tengsizlikning
yechimlar to‘plami ikkita oraliqdan; agar a < – 5
yoki yoki a > 3
bo‘lsa, yechimlar
to‘plami uchta oraliqdan iborat.
41

2.2.§.Parametrli tengsizliklarni yechish
Ko‘rsatkichli tenglamalarda noma’lum daraja ko‘rsatkichida ishtirok etadi.
Ko‘rsatkichli tenglamalami yechishda ko‘rsatkichli funksiyaning xossalaridan
foydalaniladi.
1. Eng sodda ko‘rsatkichli tenglamani qaraylik:
ax=b
(1)
bunda
a>0 va a ≠ 1
.
y= ax
ko‘rsatkichli funksiyaning aniqlanish sohasi musbat sonlar to‘plamidan
iborat bo‘lishini e’tiborga olsak, (1) tenglama
b<0 yoki b=0 bo‘lganda yechimga
ega emas.

b>0 bo‘lsin.
y = a x
funksiya (− ∞ ;+∞) oraliqda a>1 bo‘lganda o‘suvchi ¿ da
kamayuvchi) bo‘lib, barcha musbat sonlami qabul qiladi. Bunday holda
a>0 , a ≠ 1
va
b>0 bo‘lganda (1) tenglam a yagona ildizga ega bo‘ladi. Uni topish uchun b ni
b=ac
ko‘rinishda tasvirlash kerak. Ravshanki, c soni
a x
= a c
tenglamaning
yechimi x = c
bo‘ladi.
a ¿
b ¿
Bordiyu b
ni
b=ac ko‘rinishda ifodalab bo‘lmasa va b > 0
bo‘lsa, u holda (1)
tenglama
x=log ab yagona yechimga ega bo‘ladi.
42

2.2.1-misol: 49 x
= 1
343 tenglamani yeching.
Yechish. Bu tenglamani ikki usul bilan yechamiz.
1-usul. 49 x= (343 )−1

(72)x=(73)−1

72x=7−3

2x=−3
x = − 3
2
2-usul. x = log
49 1
343 = − log
49 343 = − log
7 2 7 3
= − 3
2 log
7 7 = − 3
2
Javob: x = − 3
2
2.2.2-misol.
4 x + 2
− 10 ∙ 3 x
= 2 ∙ 3 x + 3
− 11 ∙ 2 2 x
tenglamani yeching. Yechish.
Berilgan tenglamani (1) ko‘rinishga keltirib, yechimini topamiz:

4 x + 2
− 10 ∙ 3 x
= 2 ∙ 3 x + 3
− 11 ∙ 2 2 x

4x+2+11 ∙22x=2∙3x+3+10 ∙3x

4x∙42+11 ∙4x=2∙3x∙33+10 ∙3x

4 x
∙
( 4 2
+ 11 ) = 3 x
∙ ( 2 ∙ 3 3
+ 10 )
4 x
∙ 27 = 3 x
∙ 64
4 x
3 x = 64
27
4 x
3 x = 4 3
3 3
(
4
3 ) x
= ( 4
3 ) 3
⇒ x = 3
Javob.
x=3.
2.2. 3-misol.
10 4x=5,75 tenglamani yeching.
Yechish. Berilgan tenglamani
a x
= a c
ko‘rinishga keltirib bo‘lmaydi.
Bunday hollarda tenglamani logarifm jadvallari yoki mikrokalkulator yordamida
yechish mumkin:
10 4x=5,75
43

4 xlg 10 = lg 5,754x=lg 5,75
x = lg 5,75
4 = 0,7597
4 = 0,1899
Javob.
x≈0,1899 .
2. Ushbu

af(x)= b(a>0,a≠1) (2)
ko‘rinishdagi tenglama t = f ( x )
almashtirish bilan (1) ko‘rinishga keltiriladi.
2.2. 4- misol .
3 x 2
− 1
= 27 tenglamani yeching.
Yechish.
1-usul.
x 2
− 1 = t desak, berilgan tenglama
3 t
= 27 ko‘rinishni oladi. Bu
tenglama t= 3 ildizga ega. Bundan

x 2
− 1 = 3

x2=4
x = ± 2

x
1 = 2 , x
2 = − 2

ni topamiz.
Bunday almashtirishning zaruriyati ham yo‘q. Berilgan tenglamani
to‘g‘ridan to‘g‘ri ham yechish mumkin.
2-usul.
3 x 2
− 1
= 27

3 x 2
− 1
= 3 3

x2−1=3

x 2
= 4

x=±2

x1= 2,x2=−2
3-usul.
x2−1=log 327

x2−1=log 333

x2−1=3

x 2
= 4
44

x = ± 2

x
1 = 2 , x
2 = − 2
3. Ushbu
af(x)= af(x)(a>0,a≠1) (3)
Ko‘rinishdagi tenglamani qaraylik. (3) tenglamani yechish quyidagi
teoremaga asoslanadi.
2.2. 1-teorema. Agar
a>0,a≠1 bo‘lsa, u holda (3) tenglama
f ( x ) = g ( x )

tenglamaga teng kuchli bo‘ladi.
2.2. 5-misol.
2 x 2
∙ 5 x 2
= 0,001
( 10 3 − x ) 2
tenglamaniyeching.
Yechish. Berilgan tenglamani (3) ko‘rinishga keltiramiz:

( 2 ∙ 5 ) x 2
= 10 − 3
∙ 10 6 − 2 x

10 x 2
= 10 3 − 2 x
Teoremaga ko‘ra
x2=3− 2x tenglamaga ega bo‘lamiz va uni yechamiz:

x 2
+ 2 x − 3 = 0 ,
x
1 = − 3 , x
2 = 1
.
Ikkala topilgan ildiz ham berilgan tenglamani qanoatlantiradi.
Javob. x
1 = − 3 , x
2 = 1
.
2.2. 6 -misol.
( 0,6 ) x
∙ ( 25
9 ) x 2
− 12
= ( 27
125 ) 3
yeching
Yechish. Bu tenglamani ham (3) ko‘rinishga keltirib olamiz:

( 3
5 ) x
∙ ( 5
3 ) 2 ∙
( x 2
− 12 )
=
( 3
5 ) 9

(
3
5)
x
∙(
5
3)
2x2−24
=(
3
5)
9
(
3
5)
x
∙(
3
5)
24−2x2
=(
3
5)
9
(
3
5 ) 24 − 2 x 2
+ x
= ( 3
5 ) 9
24 − 2x2+x=9⇒ 2x2− x−15 = 0
45

x
1 = − 5
2 , x
2 = 3
Ikkala ildiz ham berilgan tenglamani qanoatlantiradi.
Javob. x
1 = − 5
2 , x
2 = 3
4. (3) tenglamaning umumiyroq holini qaraymiz.
af(x)= bφ(x),
(4)
bunda a > 0 , a ≠ 1 , b > 0 , b ≠ 1
, f ( x )
va φ ( x )
—berilgan funksiyalar.
(4) tenglamani biror c ( c > 1 , c ≠ 1 )
asosga ko‘ra logarifmlab,

f(x)log ca=φ(x)log cb
(5)
ko‘rinishga keltiramiz. Agar (5) tenglamani yechish imkoniyati bo‘lsa, u hol
(4) tenglamani yechgan bo‘lamiz.
2.2. 7-misol.
7x=5x+1 tenglamani yeching.
Yechish . Tenglamaning har ikkala qismini 5 asosga ko‘ra logarifmlaymiz:

xlog 57=(x+1)log 55 , bu yerdan x
ni topamiz:
x = 1
log
5 7 − 1 = 1
log
5 7 − log
5 5 = 1
log
5 7
5 = log
7
5 5
Javob .
x=log 75
5 .
Ushbu F ( a f ( x )
) = 0 ( a > 0 , a ≠ 1 )
(6)
ko‘rinishdagi tenglama
af(x)=t almashtirish bilan f ( t ) = 0
tenglamaga
keltiriladi;
undan keyin esa f ( t ) = 0
tenglama a f ( x )
= t
1 , a f ( x )
= t
2 , … , a f
( x)
= t
n tenglamalar
to‘plamiga keltiriladi, bunda t
1 , t
2 , ... , t
n — F ( t ) = 0
tenglamaning ildizlari. Agar bu
tenglamalarni yechish imkoniyati bo‘lsa, u holda (6) tenglamani ham yechish
imkoniyati bo‘lib qolishi mumkin.

Ko‘rsatkichli va logarifmik tenglamalar sistemalari.
46

Ko‘rsatkichli va logarifmik tenglamalar sistemasini yechishda ham algebraik
tenglamalar sistemalarini yechishda qo‘llanilgan usullardan (o‘zgaruvchilami
almashtirish, algebraik qo‘shish, yangi noma’lum kiritish va h.k.) foydalanish
mumkin. Bunda birorta usulni sistemani yechishga qo‘llashdan oldin sistema
tarkibiga kirgan har bir tenglamani soddaroq ko‘rinishga keltirish lozim.
2.2.8-misol . {
64 2x+64 2y=12
64 x+y= 4√2 tenglamalar sistemasini yeching
Yechish.
u = 64 x
,
v=64 y desak, u va v ga nisbatan
{
u 2
+ v 2
= 12
uv = 4 √ 2
tenglamalar sistemasini olamiz.
Bu sistema 4 ta yechimga ega: 1
{
u1= 2
v1= 2√2
⇒ {
u2=2√2
v2= 2
⇒ {
u3=−2
v3=− 2√2
⇒ {
u2=−2√2
v4=−2

Ammo
u=64 x , v=64 y bo‘lgani uchun, u > 0 , v > 0
bo‘ladi. Shuning uchun
topilgan 4 ta yechimdan dastlabki 2 tasini olamiz. Demak, berilgan sistemani
yechish quyidagi 2 ta tenglamalar sistemasini yechishga keltiriladi:

{ 64 x
= 2
64 y
= 2 √ 2 , { 64 x
= 2
√ 2
64 y
= 2
Birinchi sistemani yechib, x
1 = 1
6 , y
1 = 1
4 ni, ikkinchi sistemani yechib esa
y
2 = 1
4 , x
2 = 1
6 ni topamiz.
Javob:
( 1
6 ; 1
4 ) ; ( 1
4 ; 1
6 )
2.2.9-misol.
{ x y
= 40
x lgy
= 4 tenglamalar sistemasini yeching.
Yechish. Berilgan sistema tenglamalarining aniqlanish sohasi
koordinatalar tekisligining x > 0 , x ≠ 1 , y > 0
shartlarni qanoatlantiradigan nuqtalari
to‘plamidan iborat. Sistema tenglamalarining har birini
10 asosga ko‘ra
logarifmlaymiz va quyidagi sistemani olamiz:
47

{
lgx +lgy =4+lg 40
lgx ∙lgy =lg 4Bu sistemani kvadrat tenglama ildizlarining xossalaridan foydalanib yechish
mumkin. Bunda
lgx va lgy lar
t2−(1+lg 4)t+lg 4=0
tenglamaning ildizlari bo‘ladi.
Bu tenglamaning ildizlarini topamiz:
t1=1;t2=lg 4
Natijada berilgan sistemani yechish, quyidagi ikkita tenglamalar sistemasini
yechishga keltiriladi:
{
lgx = 1
lgy = lg 4 ; { lgy = 1
lgx = lg 4
Birinchi sistema
x1=10 ,y1=4 ; ikkinchi sistema esa x2=4,y2=10 yechimga
ega. Bu yechimlar berilgan sistema tenglamalarini qanoatlantiradi.
Javob:
(10 ;4);(4;10 )
2.2.10-misol:
{ x
√ y
= y
y
√ y
= x 4
Yechish. Sistemaning ikkinchi tenglamasidan y > 0
bo‘lishi, birinchisidan
esa
x>0 bo‘lishi kelib chiqadi. Sistema tenglamalarining har birining ikkala
qismini10 asosga ko‘ra logarifmlaymiz.

{
√ylgx =lgy
√ylgy =4lgx
Bu sistemaning ikkinchi tenglamasidan foydalanib,
lgx ∋lgy orqali ifodalash
mumkin:
lg x = 1
4
√ y lgy ∙ lgx

ning bu ifodasini sistemaning birinchi tenglamasidagi lgx
ning o‘rniga
qo‘yamiz:

√y∙1
4√ylgy = lgy
1
4 ylgy − lgy = 0

48

lgy( y
4 − 1 ) = 0

Oxirgi tenglama ikkita tenglamaga ajraladi: lgy = 0
va y
4 − 1 = 0
. Bu
tenglamalarni yechib, topamiz:
y1=1 y2= 4 . Uning topilgan qiymatlariga mos
keluvchi x
ning qiymatlarini topamiz: y = l
bo‘lganda lgx = 0
bo‘ladi. Bundan x
1 = 1
bo‘lishi kelib chiqadi.
y= 4 bo‘lganda lgx =lg 2 bo‘lib, x2=2 bo‘ladi. Bu topilgan
x1=1,y1=1,x2= 2,y2= 4
juftlar berilgan sistema tenglamalarini qanoatlantiradi.
Javob. (1; 1) va (2; 4).
2.2.11-misol.
{
log 0,5(y− x)−log 21
y= 2
x2+y2=25 tenglamalar sistemasini yeching.
Yechish.
log 0,5(y− x) ifodada 2 asosga o‘tamiz:
log 12
(y− x)= log 2(y− x)
log 221 =−log 2(y− x)
bu tenglikdan foydalanib, sistemaning birinchi tenglamasidan
y ni x orgali
ifodalaymiz:
log
2
( y − x ) + log
2 y = 2
log
2 y
y − x = 2

y
y− x= 4⇒ y= 4y− 4x⇒ 3y=4x⇒ y= 4
3x
uchun topilgan ifodani sistemaning ikkinchi tenglamasiga qo‘yib topamiz:
x2+16
9 x2=25
25 x 2
= 25 ∙ 9

x2=9⇒ x1;2=±3⇒ y1;2=±4
Sistema tenglamalarining aniqlanish sohasidan y − x > 0 yoki
y>xva y>0
bo‘lishi kelib chiqadi. x va y ning topilgan qiymatlaridan 3 va 4
bu shartlarni bajaradi. Demak, sistema birgina
(3;4) juftdan iborat bo‘lgan
yechimga ega.
49

2.2.11-misol. {
log 4xy +3log 4x
log 4y=0
log 4x
y− log 4x∙log 4y=0 tenglamlar sistemasini yeching
Yechish. Sistema tenglamalarining ko‘rinishini o‘zgartiramiz:

{ log
4 x ∙ log
4 y + log 2
4 y
+ 3 log
4 x = 0
log
4 x − log
4 y − log
4 x ∙ log
4 y = 0 (*)
Bu sistema tenglamalarini hadlab qo‘shib, quyidagi tenglamani olamiz:
log 24y−log 4y+4log 4x=0
log 4x= 1
4(log 4y−log 24y)
log 4x
ning topilgan ifodasini (*) sistemaning ikkinchi tenglamasiga qo‘yamiz
va
log y
43
− 2 log y
42
− 3 log
4 y = 0

tenglamani hosil qilamiz, uni ko‘paytuvchilarga ajratamiz:

log 4y(log y42 − 2log 4y−3)=0 .

log 4y(log 4y−3)∙(log 4y+1)= 0
Bu tenglama uchta tenglamaga ajraladi:
1 ¿ log
4 y = 0 , 2 ¿ log
4 y = 3 , 3 ¿ log
4 y = − 1

y
1 = 1 , y
2 = 64 , y
3 = 1
4
y
ning bu qiymatlariga mos keluvchi x ning qiymatlarini topamiz:

x1=1,x2= 1
8,x3= 1
2
Sistema tenglamalarining aniqlanish sohasini tahlil qilib,
x>0va x≠1,
y > 0 va y ≠ 1
bo‘lishini aniqlaymiz.
Shunday qilib, berilgan tenglamalar sistemasi
( 1 ; 1 ) ,( 1
8 ; 64 ) va ( 1
2 ; 1
4 )
Javob:
( 1 ; 1 ) ,( 1
8 ; 64 ) ;( 1
2 ; 1
4 )
2.3-§. Parametrli kvadrat tengsizliklarni o‘rganishda o‘quvchilarda o‘quv
izlanish faoliyati ko‘nikmalarini rivojlantirish.
50

Kvadrat tengsizliklarni muhokama qilishdan oldin yuqoridagi tadqiq etilgan
masalalar natijalarini mustahkamlash maqsadida o‘quvchilarga taklif qilinadigan
mashqlarga misollar keltiramiz:
1. m ning qanday qiymatlarida ( 1 + m ) x 2
− 2 x + m − 2 = 0
tenglama ildizlari
musbat bo‘ladi?
2. k ning qanday qiymatlarida
( 1 + k ) x 2
− 3 kx + 4 k = 0
tenglama ildizlari –1 dan
katta bo‘ladi?
3. a
ning qanday qiymatlarida
2x24(а+2)х+a2+1=0 tenglama ildizlari 0,5
dan kichik bo‘ladi?
4. k ning qanday qiymatlarida 2 dan katta bo‘ladi?
2.3.1-misol. Quyidagi tengsizlik yechimga egami:
9x+1+7∙4x+12<8∙6x
Yechish. Bu masalada yana kamroq darajada kvadrat uchhad ko‘rinadi, lekin
9,4,6 sonlari 2 va 3 ko‘paytuvchilardan iboratligini hisobga olsak,
9x+1= 9∙32x,4x+12= 2∙22x,6x= 2x∙3x
almashtirishlarni e’tiborga olib,
9 ∙ 3 2 x
− 8 ∙ 2 x
∙ 3 x
+ 14 ∙ 2 2
= 0
tengsizlikka kelamiz.
Endi 3 x
ni fikran u, 2 x
ni z orqali belgilasak, oldingi masaladagi u
va
z
larga nisbatan bir jinsli ifodaga kelamiz. Lekin bu holda tengsizlik bilan ish
ko‘rayotganimiz uchun, uning ishorasini bilishimiz kerak
z2=4x bo‘lgani uchun,
bo‘lishdan so‘ng y
z ni t orqali belgilab
9t 2  8t 14  0 tengsizlikka kelamiz. Bu
kvadrat uchhad diskriminanti manfiy va uning bosh koeffitsienti musbat bo‘lgani
uchun, uchhad t ning har qanday qiymatida musbat. Demak, oxirgi tengsizlik, shu
bilan birga berilgan tengsizlik yechimga ega emas.
2.3.2-misol. Tengsizlikni isbotlang:
a 2
+ b 2
+ c 2
+ а b + b с ≥ са
51

Yechish . Berilgan tengsizlikni quyidagi ko‘rinishda yozib olamiz:a2− а(b+с)+b2+c2− bс=0
chap tomon
a ga nisbatan kvadrat uchhaddan iborat (bunda
b va c
parametrlar)
va uning uchun uning diskriminanti nomusbat ekanligini ishonch
hosil qilish lozim.
D  ( b  c ) 2
 4( b 2
 c 2
 bc )   36 2
 66 c  3 c 2
  3( b  c ) 2
bo‘lgani uchun berilgan tengsizlik o‘rinli.
Bu masalani yana guruhlash usuli bilan ham Yechish mumkin:
a 2
+ b 2
+ c 2
− ab − ca = 1
2
( a − b ) 2
+ 1
2 ( b − c ) 2
+ 1
2 ( a − c ) 2
Lekin guruhlash bu sun’iy usul va agar ma’lum bir g‘oya mavjud
bo‘lmasa, guruhlash muvaffaqiyati tasodif yoki zarur natijaga erishish uchun
qattiq harakat natijasidir.
Aksincha ifodani diqqat bilan tahlil etish almashtirish g‘oyasini topishga
yordam beradi, guruhlash san’atini guruhlash fani bilan almashtirishga imkon
beradi.
Kvadrat tenglamalar va tengsizliklar yordamida hal qilinadigan masalalar
yechishga o‘rgatish
Kvadrat tenglamalar va tengsizliklar yordamida hal qilinadigan isbotlashga
doir masalalarni ham qo‘llash uning ahamiyatini ko‘rsatishga xizmat qiladi
2.3.3-misol. 5
√
2 + 7 < 8 ∙ 10 √
2
ekanini isbotlang
Yechish.
a = 10 √
2 , 5 √
5 = a 2
.
Demak, a2  7  8a, a 2
 8 a  7  0 tengsizlikka
kelamiz. Bu tenglama 1, 6, 7 ildizlarga ega,
а ∈ 1;7 
bo‘lish kerak,
haqiqatdan, a = 10
√
2
∈ 1;7  ,
Shuning uchun а 2
 8 а  7  0 tengsizligi bajariladi.
2.3.4-misol . Ixtiyoriy ketma-ket natural son ko‘paytmasi 25 ga
bo‘linganda 1 qoldiq bo‘lmasligini isbotlang .
Isbot. n  n  1   25 k  1 D  1  4  25 k  1   5(20 k  1)
20 k + 1
ko‘rinishdagi sonlar 5 ga bo‘linadi 1 qoldiqni beradi. 5ga bo‘linadi, 25 ga
52

bo‘linmaydi. D to‘liq kvadrat bo‘lolmaydi. Demak, tenglama butun sonlarda
yechimga ega bo‘lmaydi.
2.3.5-misol . . Qanday a , b , c
larda { a x 2
+ bx + c = 0
b x 2
+ cx + a = 0
c x 2
+ ax + b = 0 sistema yechimga ega?
Yechish .Tenglamalarni qo‘shib
 а  в  с  x 2
  а  в  с  х   а  в  с   0
ga ega bo‘lamiz. Bundan
(
а + в + с )( x 2
+ х + 1 ) = 0 , agar
а + в + с ≠ 0
bo‘lsa tenglama yechimi yo‘q. Demak, tenglama yechimi bo‘lishi
uchun
a+v+s=0 bo‘lishi kerak.
Kvadrat tenglamalar ildizlarini tekshirishga doir parametrga bog‘liq masalalarni
yechish fikrlash, matematik tahlil va usullarni o‘rganishga yordam beradi.
53

Xulosa
Parametr qatnashgan tenglama va tengsizliklarni yechish o‘zining
qo‘llanilish jihatidan no‘malum o‘zgaruvchiga nisbatan ko‘proq imkoniyatga ega.
Parametrli chiziqli tenglamalarni yechish algoritmi :
1. Tenglamani shunda soddalashtirish kerak u Ax = B ko‘rinishga ega bo‘lsin.
2 .Tenglama koeffisiyentini nolga tengligini tekshiri sh (agar u parametrni
o‘z ichiga olsa) ( A = 0 , A ≠ 0 ) .
3 .Parametrning har bir tayinlangan qiymatida tenglama ildizlarini
tekshirish (tenglama yagona yechimga, cheksiz ko‘p yechimga ega,
ildizlarga ega emas).
1-ta’rif . Tenglamaning ikkala qismi haqiqiy sonlar to‘plamida ma’noga
ega bo‘ladigan o‘zgaruvchilarning ixtiyoriy qiymatlar a = a
0 , b = b
0
c= c0,... ,k= k0,
sistemasi a,b,c,... ,k,x o‘zgaruvchilarning yo‘l qo‘yiladigan
qiymatlar sistemasi deb ataladi .
2-ta’rif. Tenglamani yechishda
a,b,c,... ,k o‘zgaruvchilar o‘zgarmas deb
hisoblanadi va parametrlar, x
– haqiqiy o‘zgaruvchi miqdor, tenglama esa
parametrli bir noma’lumli tenglama deb ataladi.
Parametrning izlanayotgan qiymatlarida yechimlar to‘plami
tenglamalar, tengsizliklar, ularning sistemalari va jamlanmalari aniqlanish sohasida
berilgan shartlarni qanoatlantiradi. Masalan, 1) tenglama berilgan oraliqdagi
o‘zgaruvchining ixtiyoriy qiymati uchun bajariladigan parametrning qiymatlarini
topish; 2) birinchi tenglama yechimlari to‘plami ikkinchi tenglama yechimlar
to‘plamining qism-to‘plami bo‘ladigan parametrning qiymatlarini topish va h.k.
Parametrli kvadrat tenglamani yechish algoritmi:
 Tenglamani shunday soddalashtirish kerakki u :
a x 2
+ bx + c = 0 ; ko‘rinishga
ega bo‘lsin.
 Tenglamaning
x 2
oldidagi koeffitsientini nolga tengligini tekshirish (agar u
parametrni o‘z ichiga olsa)
(a=0,a≠0);
54

 Parametrning har bir tayinlangan qiymatida tenglama ko‘rinishini
va ildizlarini tekshirish:
- agar a=0 bo‘lsa, u holda tenglama chiziqli va uning ildizlarini
chiziqli tenglamani yechish algoritmi bilan topish;
- agar
a≠0 bo‘lsa, u holda tenglama kvadrat tenglama.
-
D>0,D<0,D=0
shartlarda parametrning har bir tayinlangan qiymatida ildizlar mavjudligini
tekshirish va ularni topish.
 Parametrning tayinlangan qiymatlarini hisobga olib javobni yozing.
Parametr qatnashgan masalalarning o‘ziga xosligi shundaki, bunday
masalalarda berilgan noma’lumlar bilan birga son qiymati aniq ko‘rsatilmagan,
parametrlar qatnashib, ularni biror to‘plamda berilgan ma’lum miqdorlar deb
qarashga to‘g‘ri keladi. Bunda parametrning qiymati masalani yechish jarayoniga
va yechimning ko‘rinishiga texnik jihatdan katta ta’sir ko‘rsatadi . Kvadrat
tenglamalar ildizlarini tekshirishga doir parametrga bog‘liq masalalarni yechish
fikrlash, matematik tahlil va usullarni o‘rganishga yordam beradi. Parametrning
aniq qiymatlarida masalaning bir–biridan farq qilishi mumkin.
55

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1 .V.A. GUSAYEV A.G.Mordgovich ,,Matematika’’ spravichni
material Toshkent ,,O‘qituvchi-1988’’
2.M.Usmonov Oliy o‘quv yurtiga kiruvchilar uchun ,,Matematika-1’’
Toshkent -2017
3. Фихтенгольц Г.М., Математик анали асослари . 1- т ом. 1968. 45- б
4. Аларов Т., Мансуров Х. Математик анали асослари. Т. 1, 2-кисмлар.
1980. 20- б
5. Mathematical Olympiads, problems and solutions from around the
world,1998-1999. Edited by andreescu T. and Feng Z. Washington 2000
6. Ayupov Sh., Rihsiyev B., Quchqorov O. «Matematika olimpiadalar
masalalari» 1,2 qismlar. T.: Fan, 2004
7. « Математика в школе » ( Россия ), ‘’Matematika va informatika”
( Ўзбекистон ) журналлари .
8. Ostonov Q ,,Matematika o‘qitish metodikasi’’ . Uslubiy qo‘llanma
Samarqand SamDU-2009
9. А.Н., Колмогоров, С.В. Фомин Элементы теории функций и
функционального анализа. Москва: Наука. 1989.
10. Xudoyberganov G., Vorisov A.K., Mansurov X.T., Shoimqulov B.A.
Matematik analizdan ma’ruzalar. T . 1- qismlar . 2010. 35- б
INTERNETDAN FOYDALANILGAN SAYTLAR
1. www.college.ru 2. www.mathnet.ru 3. www.referat.ru.
4. www.uff.uz 5. www.pedagog.uz 6.www.laliga.com
7.www. edu.uz 8. www.ziyonet.uz
9. Absalamov A.T., Ostonov Q., Xoldorov Sh.Q., “Parametr qatnashgan
tenglamalar” http://woconferences.com/index.php/SAMES/article/view/204
56

PARAMETRIK TENGLAMA VA TENGSIZLIKLARNI YECHISH USULLARIGA O ‘RGATISH METODIKASI MUNDARIJA KIRISH......................................................................................................................3 I.BOB. PARAMETRLI BIRINCHI DARAJALI TENGLAMA VA TENGSIZLIKLARNI YECHISH USULLARI 1.1- §. Parametr bilan tanishish. Parametr qatnashgan tenglama va tengsizlik…………………………….......................................................................6 1.2- §. Parametrli chiziqli tenglamalar va ularga keltiriladigan tenglamalar……………………………………………………………………..…16 1.3- §. Parametrli chiziqli tenglamalarni yechishning xususiy hollari…………………………………………………………………………..….25 II.BOB. PARAMETRLI IKKINCHI DARAJALI TENGLAMA VA TENGSIZLIKLARNI YECHISH USULLARI 2.1- §. Parametrli kvadrat tenglama va ularga keltiriladigan tenglamalar……………………………………………………………………..…32 2.2- §. Parametrli tengsizliklarni yechish………………………………..….42 2.3 -§. Parametrli kvadrat tengsizliklarni o‘ rganishda o‘quvchilarda o‘quv izlanish faoliyati ko‘nikmalarini rivojlantirish ………….……………………….51 XULOSA…………………………………………………………………..55 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR…………………………………57 1

KIRISH Masalaning qo‘yilishi . Parametr bilan tanishish. Parametr qatnashgan tenglamalar. Biz f( a , b , c , … , k , x ) = g ( a , b , c , … , k , x ) ko‘rinishdagi tenglamalarni qaraymiz, bu yerda a , b , c , … , k , x – o‘zgaruvchi miqdorlar. 1- ta’rif . Tenglamaning ikkala qismi haqiqiy sonlar to‘plamida ma’noga ega bo‘ladigan o‘zgaruvchilarning ixtiyoriy qiymatlar a= a0 , b=b0 , c= c0 , ..., k=k0 , sistemasi a , b , c , ... , k , x o‘zgaruvchilarning yo‘l qo‘yiladigan qiymatlar sistemasi deb ataladi. A–a ning yo‘l qo‘yiladigan qiymatlar to‘plami, B–b ning yo‘l qo‘yiladigan qiymatlar to‘plami, ..., X – x ning yo‘l qo‘yiladigan qiymatlar to‘plami bo‘lsin. Agar A,B,C ,... ,K to‘plamlarning har biridan bittadan mos ravishda a, b, c, ..., k qiymatni tanlab, tayinlasak va ularni tenglamaga qo‘ysak, u holda x ga nisbatan tenglamani ya’ni bir o‘zgaruvchili tenglamani olamiz. 2- ta’rif. Tenglamani yechishda a,b,c,... ,k o‘zgaruvchilar o‘zgarmas deb hisoblanadi va parametrlar, x – haqiqiy o‘zgaruvchi miqdor, tenglama esa parametrli bir noma’lumli tenglama deb ataladi. Kelgusida parametrlarni lotin alifbosining birinchi harflari: a , b , c , ... , k , l , m , n lar bilan, noma’lumlarni esa x,y,z harflar bilan belgilashga kelishib olamiz. 3- ta’rif. Parametrli tenglama yoki tengsizlikni yechish deb, parametrlarning qanday qiymatlarida yechimlar mavjudligini va ular qaysilar ekanligini ko‘rsatishga aytiladi . 1. Tenglama va tengsizliklarni yechish jarayonida teng kuchlilik haqidagi teoremalar muhim ahamiyatga ega. 4- ta’rif. Bir xil parametrlarni o‘z ichiga olgan ikkita tenglama yoki tengsizlik teng kuchli deyiladi, agar : a) parametrlarning bir xil qiymatlarida ma’noga ega bo‘lsa; b) birinchi tenglama (tengsizlik)ning har bir yechimi ikkinchi tenglama 2

(tengsizlik)ning yechimi bo‘lsa va aksincha. Mavzuning dolzarbligi . Parametrli masalalarning asosiy tiplari va yechishning asosiy usullari. 1- tip. Parametrning qiymatlariga bog‘liq ravishda tenglamalar, tengsizliklar, ularning sistemalari va jamlanmalari yechimlar sonini aniqlash. 2- tip. Parametrning shunday qiymatlarini topish lozimki, ko‘rsatilgan tenglamalar, tengsizliklar, ularning sistemalari va jamlanmalari berilgan sondagi yechimlarga ega bo‘lsin (xususan, yechimga ega bo‘lmasligi, cheksiz ko‘p yechimlarga ega bo‘lishi). 3- tip. Parametrning izlanayotgan qiymatlarida yechimlar to‘plami tenglamalar, tengsizliklar, ularning sistemalari va jamlanmalari aniqlanish sohasida berilgan shartlarni qanoatlantiradi. Masalan, 1) tenglama berilgan oraliqdagi o‘zgaruvchining ixtiyoriy qiymati uchun bajariladigan parametrning qiymatlarini topish; 2) birinchi tenglama yechimlari to‘plami ikkinchi tenglama yechimlar to‘plamining qism-to‘plami bo‘ladigan parametrning qiymatlarini topish va h.k. 1-usul. (analitik). Parametrsiz masalalarda javobni topishning standart protseduralarni takrorlaydigan to‘g‘ridan-to‘g‘ri yechish usuli hisoblanadi. 2-usul. (grafik). Masalaga bog‘liq ravishda ( x o‘zgaruvchi va a parametrli) grafiklar yoki ( x ; y ) koordinata tekisligida yoki ( x ; a ) koordinata tekisligida qaraladi. 3-usul. (parametrga nisbatan yechish). Bu yechish usulida x va a o‘zgaruvchilar teng huquqli deb qaraladi va analitik yechim sodda olinadigan o‘zgaruvchi tanlanadi. Tabiiy soddalashtirishlardan so‘ng x va a o‘zgaruvchilarning dastlabki ma’nosiga qaytamiz va yechishni tugallaymiz. Ishning maqsadi va vazifalari. Bitiruv malakaviy ishining maqsadi parametr haqida tushunchalar, parametrli tenglama va tengsizlik haqida tushunchalar bilan uzviy bog’liq. 3

Ilmiy tadqiqot usullari . Parametr haqida tushunchaga ega bo‘lish. Parametr qatnashgan tenglama va tengsizliklarni o‘ranish, ta’riflari va teoremalari bilish, masalalar yechishda xossalaridan faoydalanish. Ishning ilmiy ahamiyati. Bitiruv malakaviy ishidan olingan natijalar o‘quvchilarga qulay va sodda usullar orqali o‘rgatish,turli xil tenglamalar va tengsizliklarni yechishni o‘rgatish. Ishning amaliy ahamiyati. Bitiruv malakaviy ishida o‘rganilayotgan ma’lumotlar parametrli tenglamaning xossalar parametrli tengsizliklar orqali fizika, mehanika va boshqa sohalardagi masalalarni yechishda muhim ahamiyatga ega Ishning tuzulishi. Bitiruv malakaviy ishi kirish, 2 ta bob , xulosa qismi va foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan iborat. Ushbu ish matnli sahifalardan tashkil topgan har bir bob paragraflarga ajratilgan va ular o‘zining nomerlanish hamda belgilanishiga ega. 4

I.BOB. PARAMETRLI BIRINCHI DARAJALI TENGLAMA VA TENGSIZLIKLARNI YECHISH USULLARI 1.1-§. Parametr bilan tanishish. Parametr qatnashgan tenglama va tengsizlik.Ax –B=0 ko‘rinishdagi tenglama, bu yerda A va B – faqat parametrlarga bog’liq ifoda, x – noma’lum, x ga nisbatan chiziqli tenglama deb ataladi. U Ax = B ko‘rinishga keltiriladi va A≠0 da parametrning yo‘l qo‘yiladigan qiymatlar sistemasida yagona x = B A yechimga ega. A=0va B=0 da x – ixtiyoriy son, A=0 va B≠0 da yechimlar yo‘q. Parametrli chiziqli tenglamalarni yechishning turli mumkin bo‘lgan misollartni qarab, agar bunday masalalarni yechishning ma’lum algoritmi tuzilsa, «murakkab» parametr «oddiy» ga aylanadi va u parametrli tenglamalarni yechishni o‘rgatishning birinchi bosqichida katta yordam beradi degan xulosaga kelish mumkun. Parametrli chiziqli tenglamalarni yechish algoritmi: 1. Tenglamani shunda soddalashtirish kerakki u Ax = B ko‘rinishga ega bo‘lsin. 2. Tenglama koeffisiyentini nolga tengligini tekshirish (agar u parametrni o‘z ichiga olsa) ( A = 0 , A ≠ 0 ) . 3. Parametrning har bir tayinlangan qiymatida tenglama ildizlarini tekshirish (tenglama yagona yechimga, cheksiz ko‘p yechimga ega, ildizlarga ega emas). 4. Parametrntng tayinlangan qiymatlarini hisobga olib javobni yozing. 1.1.1-misol. Tenglamani yeching: ax =1 . Yechish: Birinchi qarashda x = 1 a javobni birdan berish lozimdek tuyuladi. Lekin a=0 da berilgan tenglama yechimga ega emas va to‘g’ri javob quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi. Javob. Agar a=0 bo‘lsa, u holda yechimlar yo‘q, agar a≠0 bo‘lsa, u holda 5

O'xshashlar

FUNKSIONAL TENGLAMA VA TENGSIZLIKLARNI O‘RGANISH METODIKASI

Boshlang‘ich ta’limda tovush va harflarni o‘rgatish metodikasi

Boshlang‘ich sinflarda o‘zlashma so‘zlarni o‘rgatish metodikasi

BOSHLANG‘ICH SINF O‘QUVCHILARINI TO‘G‘RI O‘QISH VA YOZISHGA O‘RGATISH METODIKASI

BOSHLANG‘ICH TA’LIMDA MAQOLLARNING LEKSIK-SEMANTIK XUSUSIYATLARINI O‘RGATISH METODIKASI