To’g’ri chiziqli sterjenning bo’ylama tebranishi
O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI SHAROF RASHIDOV NOMIDAGI SAMARQAND DAVLAT UNIVERSITETI MATEMATIKA FAKULTETI NAZARIY VA AMALIY MEXANIKA kafedrasi Elastik tebranishlar nazariyasi fanidan MUSTAQIL ISH Mavzu: To’g’ri chiziqli sterjenning bo’ylama tebranishi Bajardi:____-guruh talabasi _________________ ____________________ _ Qabul qildi: _______________________ Mustaqil ish topshirilgan vaqt _________ Mustaqil ish qabul qilingan vaqt_________
Samarqand 2022
Mustaqil ishni bajarish tartibi: Xar bir talaba avval namunaviy yechib ko’rsatilgan masalalar bilan tanishib chiqadi so’ngra o’zining jurnaldagi nomeri bo’yicha o’ziga tegishli bo’lgan masalaning qiymatlarini oladi. Mustaqil ishni bajarayotgan vaqti avval mavzuga tegishli asosiy tushunchalarni yozib so’ngra masala yechiladi. Namunaviy masalalarni yozish shart emas. Xar bir talaba chizmalarni chizishda koordinata o’qlarini kiritishga, kuchlarning yo’nalishini qo’yishga alohida e’tibor berishi, mustaqil ish yuzi namunadagidek bo’lishi va mustaqil ish oxirida foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati keltirilishi talab etiladi. To’g’ri chiziqli sterjenning bo’ylama tebranishi To’g’ri chiziqli sterjenning bo’ylama tebranish harakatini tekshirganimizda, tekis kesim gipotezasidan foydalanib sterjen kesimidagi zarralarning ko’ndalang yuza bo’yicha bajaradigan harakatini hisobga olmay, faqat sterjen o’qi bo’yicha bajariladigan harakatnigina ko’zda tutamiz. Sterjendan uning ikkita ko’ndalang kesimi vositasi bilan bir element ajratamiz (1-rasm), bu ajratilgan elementga Dalamber prinsipini tatbiq qilib, quyidagi differensial tenglamani olamiz: − N +( N + ∂ N ∂ x dx ) = ρSdx ∂ 2 u ∂ t 2 . ∂N ∂x dx = ρSdx ∂2u ∂t2. yoki ∂ N ∂ x = ρS ∂ 2 u ∂ t 2 . ( 1) bu yerda ρ − ¿ sterjen materiali zichligi, S − ¿ sterjen ko’ndalang kesim yuzasi, N −¿ kesimdagi bo’ylama kuch, u − ¿ tekshirilayotgan kesimning x o’qi bo’yicha ko’chishi. Ajratilgan elementning chap kesimi x o’qi bo’yicha u ga ko’chsa, o’ng kesimi esa u+∂u ∂xdx ga ko’chadi. Elementning asolyut cho’zilishi ∂u ∂xdx , nisbiy cho’zilishi esa ε= ∂u ∂x bo’ladi. Kesimdagi bo’ylama kuch Guk qonuniga muvofiq quyidagicha bo’ladi:
N = ESε = ES ∂u ∂x. N ning qiymatini (1) ga qoysak: E ∂ ∂ x ( S ∂ u ∂ x ) = ρS ∂ 2 u ∂ t 2 yoki 1 S ∂ ∂x(S∂u ∂x)= 1 a2 ∂2u ∂t2(2) kelib chiqadi. Bunda: a 2 = E ρ ( 3 ) bo’ladi. Bu yerda a−¿ bo’ylama to’lqinning tarqalish tezligi. Sterjenning ko’ndalang kesim yuzi o’zgarmasa tenglama yana ham osonlashadi: a 2 ∂ 2 u ∂ x 2 = ∂ 2 u ∂ t 2 ; ( 4 ) Bo’ylama tebranma harakatni ifodalovchi funksiya u ( x , t ) kesimning holatini aniqlovchi x va t ga bog’liqdir. Shuning uchun bu u ( x , t ) funksiyani ikki funksiyaning ko’paytmasi tarzida ifodalaymiz: u(x,t)= X (x)T(t);(5) Bu funksiyalarning har qaysisi bitta o’zgaruvchiga bog’liqdir. u ( x , t ) ning bu qiymatini (4) ga qo’yib, quyidagi munosabatni hosil qilamiz: a2X''T= X ¨T Shtrix bilan x ga nisbatan, nuqta bilan t ga nisbatan hosila olingan. Chiqqan munosabatni quyidagicha yozamiz: a 2 X ' ' X = ¨ T T Bu munosabatning chap tomoni faqat x ning, o’ng tomoni esa faqat t ning funksiyasidir. Munosabat x va t ning har bir qiymatida mavjud bo’lishi uchun, uning har qaysi qismi bitta o’zgarmas songa teng bo’lishi kerak. Biz bu o’zgarmas sonni − p2 orqali belgilaymiz, u holda yuqoridagi munosabatdan ikkita, bir-biridan mustasno, differensial tenglamalarni olamiz: a 2 X ' ' X = − p 2 , ¨ T T = − p 2 ; bulardan: ¨ T + p 2 T = 0 , X ' ' + p 2 a 2 X = 0 } ( 5 1 ) kelib chiqadi. Bu tenglamalarning har ikkalasining ham integrali bizga ma’lum ular quyidagicha bo’ladi: