logo
  1. Bosh sahifa
  2. Diplom ishlar
  3. Umumiy
  4. XUSUSIYATLARI UZLUKSIZ BO’LMAGAN STERJENDA TO’LQIN TARQALISHI

XUSUSIYATLARI UZLUKSIZ BO’LMAGAN STERJENDA TO’LQIN TARQALISHI

Yuklangan vaqt:

12.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

1440.16796875 KB
Ko'chirib olish
XUSUSIYATLARI UZLUKSIZ BO’LMAGAN STERJENDA TO’LQIN TARQALISHI MUNDARIJA KIRISH …………………………………………..………………............. 3 I-Bob. Asosiy tushunchlar ......……… …………………………………... 5 1.1-§. Mexanik to’lqinlar ……………………………………………… 5 1.2-§. Ko’ndalang va bo’ylama to’lqinlar……………………………… 7 1.3-§. Statsionar va nostatsionar to’lqinlar …… ......................... .. ........... 9 1.4-§. Skalyar , Vektor potensiallar hamda bo’ylama va ko’ndalang to’lqinlar tezliklari……………………... 15 1.5 -§. Bir o ’ lchamli to ’ lqin harakati va bir o ’ lchamli yassi to ’ lqinlar …. 18 II-Bob. Mexanik xususiyatlari uzluksiz bo’lmagan sterjenlarda to’lqin tarqalishi bo’yicha masalaning qo’yilishi va yechilishi 24 2 .1-§. Zarba ta’sirida sterjenning siqilishi................................................ 24 2 . 2 -§. Sterjenning bo’ylama tebranish tenglamasi va uning yechimi…… 27 2 . 3 -§. Chegaraviy shartlar 31 2 . 4 -§. Mexanik xususiyatlari uzluksiz bo’lmagan sterjenda to’ l qin tarqalishi va shunga doir masala yechish 35 ASOSIY XULOSALAR............................................................................. 40 ADABIYOTLAR RO’YXATI.................................................................... 41 Kirish Mavzuning dolzarbligi. Biz bilamizki texnikada yoki qurilish sohalarida ko’ndalang kesimlari va materiallarining xususiyatlari turlicha bo’lgan sterjenlardan keng miqyosda qo’llaniladi. Bu sterjenlar o’z navbatida turli ta’sirlar va kuchlar ostida bo’ladi. Sterjenlarning ta’sirlarga qarshi turib berish imkoniyatlarini hisoblash juda muhim hisoblanadi. Bizga qiziq masaladan biri bu sterjenga ta’sir etgan kuch natijasida sterjenning o’zida tebranishlar hosil bo’lib bu tebranishlar o’zaro uzlukisiz bo’lmagan pog’onali sterjenlarda qanday xarakterni ko’rsatishini aniqlashdir. Chunki bunday sterjenlar ma’lum vazifani bajarayotgan paytida unda hosil bo’lgan tebranish to’lqinlari sterjen bo’ylab tarqalishi va qaytishi natijasida boshqa uskunalarga salbiy ta’sir eta ollishi yoki etolmasligini baholash muhandis va konstruktorlar uchun muhimdir. Masalaning qo’yilishi. Yuqorida ta’kidlab o’tganimdek , bitiruv malakaviy ishimda mexanik xususiyatlari uzluksiz bo’lmagan sterjenlarda to’lqin tarqalishini o’rganish masalasi qo’yilgan. Ishning maqsadi va vazifalari. Mazkur bitiruv malakaviy ishining asosiy maqsadi xususiyatlari uzluksiz bo’lmagan pog’onali sterjenlarda to’lqin tarqalishi , sinishi va qaytishini o’rganish asosiy maqsad qilib qo’yilgan. Bundan tashqari bir pog’onali va bir nechta pog’onali sterjenlarda to’lqin tarqalishini Maple dasturi yordamida hisoblash vazifasi belgilangan. Ishning ilmiy tadqiqot usuli. Turli xususiyatli ketma-ket ulangan s terjen larda to’lqinning qaytishi va sinish hollari yuz beradi. Bunday sterjenlarning hamma nuqtalarida muvozanat va birgalik tenglamalari to’lqinlarning qaytish va sinishi bilan birgalikda bajariladi. Ya’ni pog’onali sterjenda to’qin tarqalayotganda to’lqin bir sterjendan ikkinchi sterjenga o’tish mobaynida to’lqin qaytishi hamda ikkichinchi sterjenda ham ayrim parametrlarini o’zgartirib tarqalishi mumkin u holda bularning hamamsini uzviylik tenglamsiga qo’yib tekshirish lozim. Ishning ilmiy ahamiyati. Bitiruv malakaviy ishida o’rganib chiqilganlardan masalanining qoyilishini yanada mukammallashtirib, ya’ni qoshimcha mexanik xususiyatlarni hisobga olib va to’lqin tarqalishining boshqa ko’rinishidagi masalalarni yechishda foydalanish mumkin. Ishning amaliy ahamiyati. Hozirgi zamon texnikasi, qurilish, yer osti va yer usti inshoatlari, aviatsiya, kemasozlik, burg’ulash ishlarida pog’onali sterjenlardan keng foydalaniladi. Mexanik xussusiyatlari uzluksizbo’gan sterjenlarning bir necha qismlardan iboratligi hisoblashlarda bir qancha matematik qiyinchiliklar tug’diradi. Hisoblashlarga EHMni jalb qilish konstruksiya geometrik shakl va o’lchamlarining optimal variantini tanlash bilan birga natijalar aniqligi va materialning chidamliligini baholashda vaqtni tejaydi hamda samaralidir. Ishining tuzilishi. Ushbu bitiruv malakaviy ishi .... betdan iborat bo’lib, kirish, 2 ta bob, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan tashkil topgan. Olingan natijalarlarning qisqacha mazmuni. Bitiruv malakaviy ishining kirish qismida ishning predmeti, va dolzarbligi tavsiflashga atroflicha to’xtalib o’tilgan. Ishning predmeti ko’rsatilgan va shu asosda uning ob’yekti aniqlashtirilgan. Bitiruv malakaviy ishining birinchi bobida mexanik to’lqinlar haqida batafsil ma’lumotlar keltirilgan hamda tahlil qilib chiqilgan. Ikkinchi bobda mexamik xususiyatlari uzluksiz bo’lmagan sterjenda to’lqin tarqalishi masalasi qo’yilgan hamda yechilgan va xulosalar berilgan. I-Bob. ASOSIY TUSHUNCHALAR 1.1-§.Mexanik to’lqinlar Modda yoki maydonning fazoda vaqt davomidagi har qanday tarqalishi to’lqinlar deyiladi. Masalan gazlar yoki suyuqliklardagi tovush to’lqinlari shu muhitlarda bosim tebranishlarining tarqalishidir. Elektromagnit to’lqinlar – elektromagnit maydoni kuchlanganligi E va induksiyasi B larning fazoda tarqaluvchi tebranishlaridir. Elastik muhitda tarqaluvchi mexanik qo’zg’olishlar (zichlik, deformasiya) elastik to’lqinlar deyiladi. Muhitda ushbu qo’zg’olishlarni paydo qiluvchi jismlar to’lqinlar manbai deyiladi (tebranuvchi kamertonlar, musiqa asboblarining torlari va h.k.). Elastik muhitda kuchsiz qo’zg’olishlar tarqalaotgan hol, ya’ni ularga mos keluvchi muhit deformasiyalari kichik amplitudalarga ega bo’lgan holda elastik to’lqinlar tovush to’lqinlari yoki a kustic to’lqinlar deyiladi. Muhitning bir xil fazalarda tebranuvchi nuqtalarning o’rni to’lqin sirti yoki to’lqin fronti deyiladi. To’lqin frontidagi har xil nuqtalarning tebranish fazalari vaqtning qaralayotgan paytida bitta qiymatga ega bo’ladilar. Har bir nuqtasidagi urinmasi to’lqinning tarqalish yo’nalishi bilan ustma-ust tushuvchi to’g’ri chiziq nur deyiladi. Bir jinsli izotrop muhitda nur to’lqin frontiga perpendikular bo’lgan to’g’ri chiziqdan iboratdir va to’lqin energiyasining ko’chish yo’nalishi bilan ustma-ust tushadi. Tekis to’lqinning to’lqin frontlari to’lqin tarqalish yo’nalishiga perpendikular bo’lgan tekisliklardan iboratdir. Bu holda nurlar to’lqin tarqalish tezligi yo’nalishi bilan ustma-ust tushuvchi parallel to’g’ri chiziqlardan iboratdir. Bunday to’lqinlar yassi sterjenning suvda tebranishlari natijasida olinishi mumkin. Tekis to’lqin frontlari va nurlar 1 – chizma da aks ettirilgan. Sferik to’lqinnig to’lqin sfrontlari sferalardan iboratdir. Bunday to’lqinlar to’lqin manbai nuqtavi (nuqta) bo’lgan holda paydo bo’ladilar. Sferik to’lqinda nurlar markazi to’lqin manbai joylashgan nuqtada bo’lgan sferalarning radiuslari bo’ylab markazdan yo’nalgandir (2 - chizma). 1.1.1 - chizma. Shuni alohida ta’kidlash lozimki muhitdagi elastik to’lqinlarning uning zarrachalarining boshqa istalgan tartibli harakatlaridan farqi shundaki, to’lqinlar tarqalishi muhit moddasining bir joydan boshqa joyga katta masofalarga ko’chishi bilan bo’g’liq emas. 1.1.2 – chizma. 1.2-§. Ko’ndalang va bo’ylama to’lqinlar. Agar muhitning zarrachalari to’lqin tarqalishi yyo’nalishiga perpendikular yyo’nalishlarga tebransalar Bunday to’lqin ko’ndalang to’lqin deyiladi. Masalan bir uchi mahkamlangan va ikkinchi uchi tebranma harakatga keltirilgan ip bo’ylab ko’ndalang to’lqin tarqaladi (3-chizma) 1.2.1 – chizma Bunday tebranishda ipning har bir uchastkasi o’zining o’zgarmas muvozanat holati atrofida to’lqin tarqalishi yo’nalishiga perpendikular yo’nalishda tebranma harakat qiladi. Agar muhit zarrachalarining tebranishlari to’lqin tarqalishi yo’nalishida sodir bo’lsa, Bunday to’lqin bo’ylama to’lqin deyiladi. Agar uzun spiralsimon prujinaning bir uchini mahkamlab ikkinchi uchiga davri tashqi kuch ta’sir ettirilsa bo’ylama to’lqin vujudga keladi. Bunday elastik to’lqin prujinaning ketma-ket siqilish va cho’zilishlarining prujina bo’ylab tarqalishidan iboratdir. 1.2.2 – chizma Ma’lumki gazlar va suyuqliklar o’zlarining shakl o’zgarishlariga qarshilik ko’rsatmadilar, ya’ni shakli elastiklik xususiatlari o’q. Lekin ularning hajmi elastikliklari mavjud, ya’ni ular hajm o’zgarishlariga qarshilik ko’rsatadilar. Ko’p suyuqliklar umuman siqilmadigan, ya’ni hajmlari o’zgarmadigan bo’lishadi. Shundan kelib chiqgan holda gaz va suyuqliklarda ko’ndalang to’lqinlarning tarqalishi mumkin emas degan xulosaga kelish mumkin. Qattiq jismlarda esa ko’ndalang ham bo’ylama to’lqinlar tarqalishi mumkin. Ko’p hollarda ko’ndalang to’lqinlar – siljish to’lqinlari, bo’ylama to’lqinlar esa – hajmiy to’lqinlar deb ham yuritiladi. Ba’zi hollarda bo’ylama to’lqinlar siqish to’lqinlari deb ham uritiladi. To’lqin sirti ixtiyoriy nuqtasining vaqt birligi ichida o’tgan masofaga son jihatidan teng bo’lgan fizik miqdor to’lqin tarqalish tezligi (fazaviy tezlik) deyiladi. Tezlik vektori ⃗v to’lqin sirtining normali bo’yicha to’lqin tarqalish yo’nalishi bo’ylab yo’nalgan va agar muhit bir jinsli va izotrop bo’lsa, uning yo’nalishi nurning yo’nalishi bilan ustma – ust tushadi. Bir xil faza bilan tebranuvchi ikkita eng yaqin nuqtalar orasidagi masofa to’lqin uzunligi deyiladi va  harfi orqali belgilanadi. Bu nuqtalar bir-birlaridan faza bo’yicha  = 2  ga siljiganlar. To’lqin uzunligi λ=vt (1.2.1) formula bilan hisoblanishi mumkin. To’lqin uzunligi to’lqinlar manbaining tebranishlar chastotasi bilan quyidagicha bog’langan λ= v ν = 2πv ω , (1.2.2) bu yerda v - to’lqinlarning tarqalish tezligi; v= 1 T - manbadagi tebranishlar chastotasi;  - doiraviy chastota; T – tebranishlar davri. Tebranuvchi to’lqin manbai energiyaga ega. To’lqin tarqalishi jarayonida muhitning to’lqin etib kelgan har bir nuqtasi tebranadi va demak energiyaga ega. Muhitning amplitudasi A va doiraviy chastotasi  bo’lgan to’lqin tarqalaotgan biror V hajmidagi mavjud o’rtacha energia ¯W = 1 2mω 2A2 (1.2.3) ga teng. Bu yerda m – muhitning ajratilgan V hajmining massasi. To’lqin energiyasining o’qtacha zichligi deb muhitning birlik hajmida to’plangan energiyasiga atiladi, ya’ni ¯ω = ¯W V = 1 2 ργ ω 2 A2 . (1.2.4) Ushbu I=ω⋅v= 1 2 ρvω 2A2 (1.2.5) ifodaga to’lqin intensivligi deyiladi. 1.3-§. Stasionar to’lqinlar va Nostasionar to’lqinlar To’g’ri burchakli x,y,z dekart koordinatalarti sistemasida 0x o’qi bo’ylab tarqalaotgan to’lqin kompleks shaklda quyidagicha oziladi.u= v(y,z)e−iq(x−ct) , (1.3.1) bu yerda t – vaqt, u – muhit harakati parametri (ko’chish, zichlik va h.k.), v - to’lqin amplitudasi, q – to’lqin soni, qc =  doiraviy yoki fazavi chastota. Darajadagi – q ( x - ct ) miqdor to’lqin fazasi deyiladi. Faza o’zining doiraviy qiymatini o’zgartirmadigan nuqta 0x o’qi bo’ylab c tezlik bilan harakatlanadi: −q(x−ct )= cos t, dx dt = c= ω q . (1.3.2) Ushbu c tezlik – fazavi tezlik deyiladi. To’lqin uzunligi L va T – davr L= 2π q , T= 2π qc = 2π ω (1.3.3) ifodalar bilan aniqlanadilar. Fazavi tezlik to’lqinli jarayonning tabiatiga bog’liq ravishda o’zgarmas miqdor bo’lishi yoki to’lqin sonining funksiyasi, va demak, to’lqin uzunligining funksiyasi bo’lishi mumkin. Shunda mos ravishda to’lqin birinchi holda disperssiz (oilmagan, ajralmagan, buzilmagan), ikkinchi holda – dispersli to’lqin deyiladi. Har xil uzunlik va chastotalarga ega bo’lgan va bir onalish bo’ylab ko’chaotgan ikki to’lqinning qo’shilishi natijasini qarab chiqamiz. Agar ikkala to’lqinning ham fazavi tezliklari bir xil bo’lsalar, yig’indi to’lqinning shakli tarqalish jarayonida saqlanib qoladi va 0x o’qi bo’ylab xuddi o’sha fazavi tezlik bilan ko’chadi. Agar, boshlang’ich to’lqinlarning fazavi tezliklari har xil bo’lsalar, ularning harakati natijasida bir-biriga nisbatan vaziyatlari (jolashishlari) o’zgaradi, va demak, yig’indi to’lqinning shakli ham o’zgaradi. Yuqorida keltirilgan yupuvchi (1.3.1) to’lqinni Bundayn keyin progressiv to’lqin deb atamiz. Muhitda to’lqin harakatini vujudga keltirgan qo’zg’olishni to’lqin soni q va fazavi chastota  larning qiymatlari har xil bo’lgan ko’rinishdagi progressiv to’lqinlar qatoriga yoyish mumkin. Faraz qilaylik to’lqinlar x o’qining musbat yo’nalishi bo’yicha tarqalaotgan bo’lsin. Agar hamma to’lqinlarning fazavi tezliklari bir xil bo’lsa, ya’ni to’lqinlar disperssiz bo’lsalar, u holda ular hammasi birgalikda harakatlanadilar va boshlang’ich qo’zg’olish (impuls) muhitda tarqalishi davomida o’zining shaklini saqlab qoladi. Agar tarqaluvchi to’lqinlarning fazavi tezliklari har xil bo’lsalar, u holda ularning ba’zilari orqada qoladi, boshqalari esa ilgarilab ketadilar va boshlang’ich qo’zg’olishning shakli uning minutda tarqalishi davomida o’zgarib yoki buzilib boradi. Demak, dispersli to’lqinlarda qo’zgolish shakli uning tarqalish jarayonida o’zgaradi. Dispersli to’lqin harakatida guruh tezligi tushunchasi muxim ahamiyatga ega. Shunda tezlik bilan to’lqin chaqirgan harakat energiyasi tarqaladi. Faraz qilaylik biror nuqtada dispersli to’lqinlar fazalari bir-biriga juda yaqin bo’lsinlar. U holda bu nuqtada to’lqin bir-birini kuchatiradilar va qo’zg’olish amplitudasi eng katta bo’ladi. Kelvinning stasionar fazalar uslubiga ko’ra tarqalish jarayonida bir- birini kuchatiruvchi to’lqinlar vaqtning t paytida fazaning stasionarligi shartini qanoatlantirishlari kerak:d dq [q(x−c(q)⋅t)]=0, (1.3.4) bu yyerdan guruh tezligi aniqlanadi c¿= x t= c+q⋅dc dq . (1.3.5) (1.3.5) formuladan ko’rinadiki disperssiz to’lqinning guruh tezligi to’lqinning fazavi tezligiga teng bo’ladi, yoki c¿= c chunki disperessiz to’lqinning fazavi tezligi c = const va dc dq =0 bo’ladi. Faraz qilaylik ikkita progressiv to’lqinlarning amplitudasi bir xil, to’lqin uzunliklari esa bir-biriga cheksiz yyaqin bo’lsin U1=asin (qx −ωt ),U 2= asin [(q+δq )x−(ω+δω )t] , (1.3.6) bu yerda δq , δω - cheksiz kichik miqdorlar. Ushbu ikki to’lqinning qo’shilishi natijasida munitda paydo bo’ladigan qo’zg’olishni qarab chiqamiz. Bu to’lqinlarning birinchisi u1 eltuvchi ( несущая ) to’lqin deyiladi. yig’indi to’lqinning amplitudasi, chastotasi va to’lqin uzunligini topamiz: U =U 1+U 2=asin (qx − ωt )+asin [(q+δq )x−(ω+δω )t]= ¿a⋅2⋅sin [(q+δq 2 )x−(ω+δω 2 )t]⋅cos 1 2(δq ⋅x−δω ⋅t). Bu ifodadagi sinusning argumentidagi cheksiz kichik miqdorlar ( δq 2 ,va δω 2 ) ni tashlab uborsak u=u1+u2= Asin (qx − ωt ) (1.3.7) ifodaga ega bo’lamiz. Bu yerda A= 2acos 1 2(x⋅δq −t⋅δω ) . (1.3.8) Ushbu A miqdor (1.3.7) to’lqinning amplitudasi. Odatda (1.3.7) to’lqin o’zgaruvchan amplitudali eltuvchi to’lqin deb atadilar. Shunda qilib ikki progressiv to’lqin yig’indisini o’zgaruvchi amplitudali progrussiv to’lqin sifatida qarash mumkin. Yuqoridagi (1.3.8) fornulaga asosan A – amplitudaning o’zi ham δω δq tezlik bilan harakatlanuvchi progressiv to’lqindan iboratdir, ya’ni dω dq = d(qc ) dq =c+q⋅dc dq = c. (1.3.9) Bu tezlik (1.3.5) formula bilan aniqlangan guruh tezligi bilan bir xildir. Demak, gurih tezligi (1.3.7) eltuvchi to’lqin amplitudasi o’zgarishlarining tarqalish tezligidan iboratdir. Nostatsionar to’lqinlar. Yuqorida keltirilgan ta’rifdan ko’rinadiki qo’zg’olishlarning muhitda tarqalishi nostasionar masalalarini tadqiq qilish (o’tish jarayoning tadqiq qilish) chegaravi shartlar bilan bir qatorda boshlang’ich shartlarni ham hisobga olishga to’g’ri kelishi bilan qiinlashadi. O’tish jarayoni jarayoni masalalarining echimlarini Furye integrali ordamida dispers to’lqinlar majmuasi sifatida tasvirlash mumkin. Ammo yechimni bunday qurish boshlang’ich va chegaravi shartlarni qanoatlantirishda katta qiyinchiliklarga olib keladi. Bu qiyinchilikning sababi quyidagicha: siqiluvchi muhitda vujudga kelgan impuls biror chegaralangan vaqt davomida muhit egallagan fazoning chekli qismiga tarqaladi, ikkinchi tomondan dispers to’lqinlar majmuasiga kiruvchi to’lqin uzunligi cheksiz katta to’lqinlarning fazavi tezligi ham cheksiz katta bo’ladi. Natijada nomutanosiblik paydo bo’ladi va olingan echimlar to’lqin tarqalishning haqiqi jarayonini tavsiflamadilar. Shuning uchun har xil muhitlarda qo’zg’olishlarning tarqalishi haqidagi nostasionar masalalarni echishda stasionar to’lqinlardan foydalanmagan ma’qul. Faraz qilaylik vaqtning t=0 paytida fazoning siqiluvchi muhit egallagan chegaralangan sohasida qo’zg’olish vujudga (impuls) kelgan bo’lsin. Chekli tezlik bilan tarqaluvchi qo’zg’olish vaqtning boshqa bir t paytida muhitning boshqa chekli qismini egalladi. Vaqtning har bir paytida muhitning harakatga kelgan qo’zg’olgan qismini muhitning qolgan qismidan ajratib turuvchi vaqtdan bog’liq sirt to’lqin fronti deyiladi yoki to’lqin sirti deyiladi. To’lqin sirti nuqtasining sirt normali bo’ylab yo’nalgan harakat tezligi to’lqin tezligi deyiladi. Qo’zg’olishlarning to’lqin frontlari paydo bo’lib tarqalishi hodisasi hamma real jismlarga xosdir. Berilgan qo’zg’olishlarning muhitda tarqalishi ushbu muhitning fizik – mexanik va deformativ xususiatlaridan kuchli bog’liq bo’ladi. Tabiiy sharoitlarda qattiq jismlar va siqiluvchi suyuqliklarning fizik – mexanik va deformasion xususiatlari bir-birlaridan katta farq qiladi. Bu esa o’z navbatida qattiq jismlarda va siqiluvchi suyuqliklarda qo’zg’alishlar tarqalishi har xil xaraktyerda bo’lishiga olib keladi. Masalan: elastik jismlarda mahalli qo’zg’olish (impuls) zarrachadan beriladi biri ikkinchisining orqasidan boruvchi ikkita to’lqin fronti hosil bo’ladi, siqiluvchi suyuqliklarda esa Bunday qo’zg’olish bitta to’lqin bo’lib tarqaladi. Faraz qilaylik qo’zg’olmas x,,z dekart koordinatalari sistemasida qo’zg’olish to’lqini frontining sirti F(x,y,z,t)=0 (1.3.10) funksiya bilan berilgan bo’lsin. Kichik  t vaqtdan keyin bu sirt boshlang’ich holatga yaqin bo’lgan boshqa holatni fazoda egalladi. Vaqtning t payti uchun to’lqin sirtining M nuqtasidan ¯n normal o’tkazamiz. Ushbu normalning vaqtning t+  t paytidagi to’lqin fronti bilan kesishgan nuqtasini M 1 bilan belgilamiz. M va M 1 nuqtalar orasidagi vektor – kesmani Δℓ orqali belgilamiz. To’lqin sirtining ¯n normali bo’ylab yo’nalgan ushbu kesmaning koordinat o’qlaridagi proeksialari quyidagi miqdorlardan iborat bo’ladi Δx = 1 G⋅∂F ∂x⋅Δℓ ; Δy = 1 G⋅∂F ∂y⋅Δℓ ; Δz = 1 G⋅∂F ∂z⋅Δℓ , (1.3.11) bu yerda G2=( ∂F ∂x) 2 +( ∂F ∂y) 2 +( ∂F ∂z) 2 . Qaraotgan sirtga M 1 nuqta ham tegishli bo’lganligidan F(x+Δx ,y+Δy ,z+Δz ,t+Δt )= 0 tenglik o’rinlidir. Bu funksiyani M(x,,z) nuqta atrofida Telor qatoriga oib vaqtning t+  t paytida Δℓ ⋅G+∂F ∂tΔt +0(Δt 2)+0(Δℓ 2)= 0 (1.3.12) ifodaga ega bo’lamiz. Bu qatorning oxirgi ikkita hadi  l 2 ,  t 2 va yuqori kichiklik tartibiga ega. Qatorni  t ga hadma – had bo’lamiz va  t  0 bo’lganda limitga o’tamiz D= lim Δt→0 Δℓ Δt =− ∂F ∂t⋅1 G . (1.3.13)x nz M 1 yM F>0 F<0 Ushbu D miqdor (1.3.10) sirtning ixtiori nuqtasining sirt normali yo’nalishidagi tezligidan iboratdir. Shuning uchun ham bu tezlik to’lqin frontining ko’chish tezligi deyiladi. Bu tezlik fazodagi ixtiori harakatchan sirtning tezligi sifatida sof geometrik ma’noga ega. Ushbu (1.3.13) formuladan ko’rinadiki agar to’lqin sirtining shakli (1.3.10) ko’rinishdagi tenglama bilan berilgan bo’lsa uning tezligini aniqlash qiin emas. Agar to’lqin fronti ¯v(x,y,z,t) tezliklar maydoniga ega bo’lgan tutash muhitda harakatlanaotgan bo’lsa, frontning muhit zarachalariga nisbatan tezligi θ= D − vn (1.3.14) formula bilan aniqlandi. Bu yerda vn – to’lqin sirtining M nuqtasidagi muhit zarrachasi tezligining sirtga normal qiymati. Bu yerdagi  tezlik to’lqin frontining muhitga nisbatan tezligi deyiladi. Agar to’lqin tinch holatdagi muhitda harakatlanaotgan bo’lsa vn = 0 va  = D bo’ladi. Faraz qilaylik vx,vy,vz lar ¯v - tezlikning x,y,z o’qlaridagi komponentalari bo’lsinlar. U holda G⋅ϑn=ϑx ∂F ∂x+ϑy ∂F ∂y+ϑz ∂F ∂z va (1.3.13) hamda (1.3.14) formulalarga asosan −θ √( ∂F ∂x) 2 +( ∂F ∂y) 2 +( ∂F ∂z) 2 = ∂F ∂t +ϑx ∂F ∂x +ϑy ∂F ∂y +ϑz ∂F ∂z (1.3.15) Tekis bir o’lchamli harakat uchun, ya’ni to’lqin fronti va zarrachalar tezligi faqat bitta x koordinata va vaqtdangina bo’g’liq bo’lgan holda (3.15) tenglama quidasi ko’rinishni oladi. ∂F ∂t+(vx+θ) ∂F ∂x= 0 (1.3.16) To’lqin frontining asosan ikki turi mavjud bo’ladi. Faraz qilaylik muhit zarrachalarining parametrlari to’lqin frontidan o’tishda uzluksiz bo’lsinlar, lekin bu parametrlarning gradientlari uzilishga ega bo’lsinlar. Bunday to’lqin frontlari kuchsiz uzilish to’lqinlari deyiladi. Kuchsiz uzilish to’lqinlarning xossalari qo’zg’otilgan harakat tenglamalarining to’lqin xususiatlari bilan chambarchas bog’liq hamda ular bilan aniqlanadi. Boshqa tur to’lqinlar frontlarida muhit parametrlarining o’zlari uzilishga ega bo’ladilar. Bunday to’lqinlar zarba to’lqinlari yoki sakrashlar deyiladi. Zarba frontida parametrlarning uzilishlari differensial tenglamalar bilan tavsiflanishi mumkin emas. Ammo ular harakat miqdori, energia va massaning saqlanish qonunlariga bo’sunadilar. Real holatda zarba to’lqini geometrik sirtdan iborat emas. U to’lqin harakati yo’nalishidagi kichik o’lchamli (qalinlikli) qatlamdan iboratdir. Muhitning harakati bu qatlamda uzluksiz, lekin parametrlar gradientlarining katta qiymatlarida sodir bo’ladi. Shuning uchun ham muhitning qatlamdagi harakatini o’rganishda, yoki boshqacha atganda zarba to’lqinining strukturasini tadqiq qilishda, dissipaytiv kuchlarni, issiqlik o’tkazuvchanlikni va boshqa energianing tarqalishiga olib keluvchi faktorlarni hisobga olish zarurdir. Bundan keyin ko’chish uyurmasi ( вихри ) ni ⃗ω bilan belgilaymiz. U holda (1.3.18) vektor tenglamani quyidagicha yozish mumkin: ⃗ω = rot ⃗s,b2Δ ⃗ω = д2⃗ω дt 2 . (1.3.20) Yuqoridagi (1.3.18) to’lqin tenglamasi ko’rsatadiki hajmiy deformasiya chiziqli- elastik jismda a tezlik bilan tarqaladi. (1.3.19) tenglamadan ko’chish uyurmasi elastik muhitda b tezlik bilan tarqalishi ko’rinadi. 1.4-§. Skalyar , Vektor potensiallar hamda bo’ylama va ko’ndalang to’lqinlar tezliklari Bo’ylama va ko’ndalang to’lqinlar tezliklari. Tezlik o’lchamiga ega bo’lgan ikkita yangi a va b o’zgarmaslarni a 2= λ+ 2 μ ρ ,b 2= μ ρ (1.4.1) formulalar bilan kiritamiz. U holda quyidagi kelib chiqadi : (a2− b2)grad div ⃗s+b2Δ⃗s= д2⃗s дt 2 (1.4.2) Ushbu tenglamaning ikkala tomoniga ital ÷ operatorini qo’llasak, hamda div grad ϕ= Δϕ ekanligini hisobga olsak (a2−b2)Δdiv ⃗s+b2Δdiv ⃗s= д2div ⃗s дt2 tenglamani olamiz. Bu yerdan a2Δ θ= д2θ дt2 (1.4.3) tenglamaga ega bo’lamiz. Endi (1.4.2) ning ikkala tomoniga ital rot operatorini qo’llab rot grad ϕ= 0 ekanligini hisobga olsak b2Δrot ⃗s=д2rot { ⃗s дt2 ¿ (1.4.4) tenglamaga ega bo’ lamiz. Endi ko’chish vektorini ikkita ⃗s va ⃗sb vektorlari yig’ndisi sifatida tasvirlaymiz ⃗s= ⃗sa+⃗sb , (1.4.5) bunda ⃗sa va ⃗sb vektorlari quyidagi xususiyatlarga ega deb hisoblanadi: div ⃗sa≠0 lekin rot ⃗sa=0; div ⃗sb=0 lekin rot ⃗sb≠0. (1.4.5) ` (1.4.5) ifodani (1.4.2) tenglamaga qo’yib (a2−b2)grad div ⃗sa+b2Δ(⃗sa+⃗sb)= ⃗¨sa+⃗¨sb (1.4.6) tenglamani olamiz. Tenglamaning o’ng tomonida simvollar ustiga qo’yilgan nuqtalar vaqt bo’yicha differensiallashni ifodalaydi. (1.4.6) tenglamaning ikkala tomoniga “divergensiya” operatorini qo’llab quyidagi tenglikni olamiz (a2−b2)div grad div ⃗sa+b2Δdiv (⃗sa+⃗sb)=div (⃗¨sa+⃗¨sb) , bu yerda div grad ϕ= Δϕ ekanligini hamda (1.4.5)`tengliklarni hisobga olsak div (a2Δ⃗sa− ⃗¨sa)=0. (*) shu bilan bir qatorda (1.4.5)` ga asosan rot ⃗sa=0 bo’lganligidan rot (a2Δ⃗sa− ⃗¨sa)=0 (**) tenglikni ham yozishimiz mumkin. Ana shu (∗) va (** ) tengliklardan a2Δ ⃗sa− ⃗¨sa=0 yoki a2Δ ⃗sa=⃗¨sa (1.4.7) ya’ni ⃗sa vektorni aniqlovchi to’lqin tenglamasiga kelamiz. (1.4.6) tenglamaning ikkala tomoniga ital rot operatorini qo’llaymiz (a2−b2)rot grad div ⃗sa+b2Δrot (⃗sa+⃗sb)=rot (⃗¨sa+⃗¨sb) bu yerda rot grad ϕ=0 ekanligini hisobga olib rot (b2Δ⃗sb− ⃗¨sb)=0 (***) tenglikka ega bo’lamiz. Shu bilan bir qatorda (1.4.5) ga asosan div ⃗sb=0 bo’lganligidan div (b2Δ⃗sb− ⃗¨sb)=0. (** **) tenglikni ham yozishimiz mumkin. Oxirgi (***) va (** **) tengliklardan b2Δ⃗sb= ⃗¨sb (1.4.8) ⃗sb vektorni aniqlovchi to’lqin tenglamasiga kelamiz. Shunday qilib quyidagi xulosalarni chiqarish imkoniyatiga ega bo’ldik: - hajmiy deformasiya θ va ko’chish vektorining potensial tuzuvchisi ⃗sa lar chiziqli elastik muhitda a tezlik bilan tarqaladilar. Bu tezlik bo’ylama tezlik, unga mos keluvchi to’lqin esa – bo’ylama to’lqin (yoki bo’ylama to’lqin sirti) deyiladi. Bo’ylama to’lqinni, uning orqasidan hajm o’zgarishi sodir bo’lganligidan, kengayish to’lqini deb ataydilar; - ko’chish vektori uyurmasi ⃗ω va ko’chish vektorining nopotensial (uyurmaviy) tuzuvchisi ⃗sb lar elastik muhitda tezligi b bo’lgan to’lqin bo’lib tarqaladilar. Bu to’lqin ko’ndalang to’lqin (yoki ko’ndalang to’lqin sirti) deb ataladi. Uning b tezligi esa ko’ndalang to’lqin tarqalish tezligi deyiladi. Faqat ko’ndalang to’lqinlar tarqalayotganda uning orqasida vujudga kelgan qo’zg’olishlar hajm o’zgarishini keltirib chiqarmaydi, balki faqat shakl o’zgarishi sodir bo’ladi. Shuning uchun ko’ndalang to’lqin siljish to’lqini deb yuritiladi. 1.5-§. Bir o’lchamli to’lqin harakati va bir o’lchamli yassi to’lqinlar Faraz qilaylik ko’chish faqat bitta x fazaviy koordinatadangina bog’liq bo’lsin. U holda ⃗s= U (x,t)⃗i+v(x,t)⃗j+w (x,t)⃗k, ⃗sa= U (x,t)⃗i,⃗sb= v(x,t)⃗j+w (x,t)⃗k, a2д2u дx 2= д2u дt 2 ; b2д2v дx 2= д2v дt 2 ;b2д2w дx 2 = д2w дt 2 . (1.5.1) Muhitning harakati to’g’ri burchakli koordinat sistemasining x o’qi bo’ylab, yoki markasiy simmetriya holida simmetrik harakatning radiusi bo’ylab sodir bo’layotgan bo’lsin. Bunday harakat uchun rot ⃗s= 0⇒ ⃗s= ⃗sa va (1.4.7) ga asosan a2Δ⃗s= ⃗¨s (1.5.2) sferik simmetriyali harakatni qaraymiz. Faraz qilaylik x - chiziqli koordinata, θ,ψ - sferik burchak koordinatalari bo’lsinlar. Koordinatalar boshi simmetriya markazida bo’lsin. Zarrachalarning x o’qi bo’ylab ko’chishini u(x,t) orqali belgilaymiz. U holda ⃗s=U(x,t)⃗i . Qaralayotgan masalada deformasiya tenzori komponentalaridan faqat εxx,εθθ,εψψ largina noldan farqli bo’ldilar. Bunda εθθ= εψψ bo’ladi va ko’chish komponentalari orqali quyidagicha ifodalanadilar. εxx = дu дx ,εθθ = εψψ = u x . (1.5.3) Kuchlanish tenzori komponentalaridan σxx,σθθ va σψψ lar (bunda σθθ= σψψ ) noldan farqli bo’ladilar va Guk qonuni quyidagi ko’rinishni oladi σxx=(λ+2μ)дu дx +2λu x, σθθ=σψψ = λдu дx +(λ+2μ)u x . (1.5.4) Ushbu munosabatlar Yung moduli va Puasson koeffisiyenti orqali quyidagicha yoziladi: σxx= E (1+v)(1−2v)[2vu x+(1−v)дu дx ], σθθ=σψψ = E (1+v)(1−2v)( u x+vдu дx ). (1.5.5) Haqiqatan (1.5.3) formulalarga asosan θ= εxx+εθθ+εψψ = дu дx +2u x , u holda σxx=λθ+2μεxx=λ( дu дx +2u x)+2μдu дx =(λ+2μ)дu дx +2λu x= ¿( Eν (1+ν)(1−2ν)+E 1+ν) дu дx +2Eν (1+ν)(1−2ν)⋅u x=E (1+ν)(1−2ν)[2vu x+(1−v)дu дx ]; σθθ=σψψ=λ⋅дu дx +2(λ+μ)u x =Eν (1+ν)(1−2ν) дu дx +2[ Eν (1+ν)(1−2ν) +E 2(1+ν)]= ¿Eν (1+ν)(1−2ν) ⋅дu дx +E (1+ν)(1−2ν) u x =E (1+ν)(1−2ν)( u x +νдu дx ). Sferik simmetriyali muhitning radial harakati quyidagi kuchlanishli tenglama bilan aniqlanadi дσ xx дx +2(σxx− σθθ ) x = ρд2u дt 2 . (1.5.6) Bu yerdagi kuchlanishlar o’rniga ularning (1.5.4) ifodalarini qo’yamiz va ko’chish uchun tenglama olamiz д2u дx 2+2 x дu дx − 2u x2= 1 a2 д2u дt 2, (1.5.7) bu yerda a - elastik bo’ylama to’lqin tezligi. Harakat yurmasiz bo’lganligi uchun ko’chishni skalyar potensial ϕ(x,t) funksiya orqali u(x,t)= дϕ дx (1.5.8) ko’rinishda ifodalash mumkin. (1.5.7) va (1.5.8) tenglamalardan ϕ(x,t) potensial д2(xϕ ) дx 2 = 1 a2 д2(xϕ) дx 2 (1.5.9) tenglamani qanoatlantirishi kelib chiqadi. Olingan to’lqin tenglamasining yechimi ma’lum va xϕ(x,t)= f(x−at )+f1(x+at ) (1.5.10) ko’rinishga ega, bu yerda f va f1 - o’z argumentlarining ixtiyoriy funksiyalari. Faraz qilaylik faqat uzoqlashuvchi to’lqin mavjud bo’lsin. Umumiylikni chegaralamagan holda to’lqin frontida ϕ= 0 deb hisoblash mumkin. U holda (1.5.10) dan x= at bo’lganda (to’lqin frontida) f(0)+f1(2at )=0 , bundan f1(x+at )=− f(0)= const ,x+at >0 tenglik kelib chiqadi. Shunday qilib uzoqlashuvchi to’lqin ortidagi yechim bitta ixtiyoriy funksiya bilan tasvirlanadi ϕ(x,t)= 1 xf(x−at ). (1.5.11) Harakat radial va silindrik simmetriyaga ega bo’lsin. Boshi simmetriya markazida bo’lgan qutb koordinatalari sistemasi x,θ da deformasiyalardan faqat εxx= дu дx va εθθ= u x lar, kuchlanishlardan faqat σxx,σθθ va σzz lar noldan farqli bo’ladilar. Guk qonuniga ko’ra σxx= (λ +2 μ)дu дx +λu x ,σzz= λ ( дu дx +u x ), σθθ = λ дu дx +(λ+2μ)u x . (1.5.12) Silindrik simmetriya holida muhit radial harakatining tenglamasiρд2u дt 2= дσ xx дx +σxx− σθθ x . (1.5.13) (1.5.13) ga (1.5.12) ni qo’ysak ko’chishga nisbatan д2u дx 2+1 x дu дx − u x2= 1 a2 д2u дt 2 (1.5.14) tenglamaga ega bo’lamiz. Bir o’lchamli yassi to’lqinlar. Bir o’lchamli yassi to’lqinlar tarqalishini tadqiq qilishni ikki holda olib boramiz. Avvalo to’lqin fazo chegarasiga perpendikulyar yo’nalishda tarqalayotgan holni, keyin to’lqin yarim fazo chegarasiga perpendikulyar yo’nalishda tarqaladi, lekin muhit zarrachalari to’lqin tarqalish yo’nalishiga perpendikulyar yo’nalishda tebranadilar. 1 a ) Faraz qilaylik to’lqin va uning orqasidan muhit zarrachalarining harakati muqaddam tinch, kuchlanmagan elastik yarim fazoda ox o’qi boylab sodir bo’lsin. Bunda ox o’qi yarim fazoning chegara tekisligiga perpendikulyar. oxyz dekart koordinatalari sistemasining y va z o’qlari shu chegara tekisligida yotadi. Zarrachalarning ko’chishi faqat x koordinatadan hamda t vaqtdangina bog’liq bo’ladi. Shunday qilib ⃗S= ⃗iu(x,t),u= w= 0. Qaralayotgan masalada (6.18) ga asosan д2u дt2=a2д2u дx 2 (1.5.15) bu yerda a – odatdagi bo’ylama to’lqin tezligi. Ushbu tenglamaning umumiy yechimi ikkita ixtiyoriy funksiyalar yig’indisi sifatida tasvirlanishi ma’lum: z L 0 x U (x,t)= f(x−at )+f1(x+at ). (1.5.16) Bu yechim muhitda qo’zg’alishlar bo’ylama to’lqin tezligi bilan tarqalishini ko’rsatadi. Shubhasiz, shu tezlik bilan to’lqin fronti ham tarqaladi. To’lqin fronti muhitning tinch va harakatdagi o’rtasidagi chegara bo’lib xizmat qiladi. To’lqinning oldingi fronti ko’pincha bosh to’lqin deb ham yuritiladi. Bosh to’lqin frontida ko’chish uzliksiz. Shuning uchun, agar harakat vaqtning t=0 paytida chegarada boshlansa ko’chish U (at ,t)= f(0)+f1(2at )=0 ga teng bo’ladi. Oxirgi tenglik 2at argumentning istalgan musbat qiymatida o’rinli. Demak, f1(x+at )=− f(0),x+at >0. Olingan o’zgarmasni (1.5.16) yechimning o’ng tomoniga qo’shib U (x,t)= f(x−at ) (1.5.17) yechimga ega bo’lamiz. Bu uchun yarim fazo uchun o’rinli. Faraz qilaylik muhit o’ng tomondan x=0 chegara tekisligiga parallel tekislik bilan chegaralangan bo’lsin, hamda x=0 tekislik bilan uning orasidagi masofa L ga teng bo’lsin. U holda 0≤ x<L tilimda (polosada) (1.5.17) yechim vaqtning t= L/a shartdan aniqlanuvchi qiymatigacha o’rinli bo’ladi. Vaqt L≤at <2L tengsizlikni qanoatlantiruvchi chegaralarda o’zgarganda (1.5.17) formula koordinatasi x<2L−at bo’lgan nuqtalarda o’rinli bo’ladi. Tilim qo’zg’olgan harakatining boshqa qismida masalaning yechimi x= L tekislikdagi chegaraviy shartdan bog’liq bo’ladi. Harakatning ushbu sohasida va at≥2L bo’lganda butun tilimda ko’chish (1.5.16) umumiy yechimning har ikkala ixtiyoriy funksiyalari yordamida anqilanadi. Faraz qilaylik elastik yarim tekislikning x=0 chegarasida ko’chish berilgan bo’lsin, ya’ni U(0,y,z,t)=F(t) . Bu chegaraviy shartni (1.5.17) yechim yordamida quyidagicha yozish mumkin: f(−at)=F(t) yoki, z=−at yangi o’zgaruvchi kiritib f(z)= F(− z a) Oxirgi tenglik z ning hamma manfiy qiymatlarida o’rinli, va demak x−at ham hamma manfiy qiymatlarida o’rinlidir. Shunday qilib U (x,t)= f(x− at )= F (t− x a),x<at . (1.5.18) Demak, vaqtning t paytida ko’chishning x nuqtadagi qiymati ko’chishning vaqtning t− x/a paytidagi chegaraviy qiymatiga teng. Kuchlanishlar Guk munosabatlardan aniqlanadilar: σxx= (λ+2μ)дu дx ,σyy= σzz= λдu дx . (1.5.19) Kuchlanish tenzorining boshqa komponentalari nolga teng. 1 b ). Faraz qilaylik to’lqin 0x o’qi bo’ylab tarqalayotgan, to’lqin ortidagi zarrachalar esa oz o’qi yo’nalishida siljiyotgan bo’lsinlar va ularning ko’chishlari faqat x va t lardangina bog’liq bo’lsinlar: U = v= 0;w= w (x,t) . U holda ko’chish (1.5.1) ga asosan yarim fazoda д2w дt2=b2д2w дx 2 (1.5.20) tenglamani qanoatlantiradi. Bu yerda b – odatdagidek ko’ndalang to’lqin tezligi. Xuddi yuqoridagidek mulohaza yuritib w(x,t)= f(x−bt ) yechimga ega bo’lamiz. Yechimning o’ng tomonidagi ixtiyoriy funksiyani aniqlash uchun quyidagi chegaraviy shartni qo’yamiz: x=0 da w(0,y,z,t)=Φ(t) ko’chish berilgan. Xuddi yuqoridagidek yechim w(x,t)=Φ (t− x/b),x<bt (1.5.21) ko ’ rinishga ega bo ’ ladi . Kuchlanish va deformasiya εxz= 1 2 дw дx ,τxz= 2 με xz (1.5.22) ifodalardan aniqlanadilar. Kuchlanish va deformasiya tenzorlarining qolgan komponentalari nolga teng. Ko’ndalang va bo’ylama to’lqinlar tezliklarining nisbati b a= √ μ λ+2μ= √ 1− 2v 2− 2v ga teng va v=0,3 bo’lganda b a=0,5 . Metallar uchun v= 0,3 va kilogramm-kuch, mert, sekund birliklar sistemasida Yung moduli E= 2⋅10 10 , zichlik ρ=780 va boylama to’lqin tezligi 5800 ga teng bo’ladi. II-Bob. Mexanik xususiyatlari uzluksiz bo’lmagan sterjenlarda to’lqin tarqalishi bo’yicha masalaning qo’yilishi va yechilishi 2. 1-§. Zarba ta’sirida sterjenning siqilishi Agar sterjen uchiga tezligi v bo’lgan jism bilan zarba berilsa, sterjendagi kuchlanishni quyidagicha yozish mumkin σ= E ϑ c. (2.1.1) Katta bo’lmagan zarba beruvchi yuk chekli l uzunlikdagi sterjenga urilgan holni qaraylik. Aniqlik uchun sterjenning boshqa uchi qattiq mahkamlangan deb hisoblaylik va yuk h balandlikdan tushsin (2.1.1chizma). Sterjen qarshiligiga uchragan yuk tezligi sekinlasha boradi, sterjen siqilishi eng katta qiymatga erishganda nolgacha kamayadi. Yukning kinetik energiyasi siqilgan sterjenda elastik va u bo’ylab tarqaluvchi to’lqin potensial energiyaga aylanadi. Bundan yuk sterjendan ajralmasdan yana dastlabki holatigacha yuqoriga ko’tariladi. Agar sterjen uzunligi uncha katta emas va massasi yuk massasi M dan juda kichik bo’lsa, zarba berish jarayoni l uzunlikdagi sterjendagiga nisbatan uzoqroq davom etadi. Bu vaqt davomida to’lqin sterjen bo’ylab ko’p marta harakatlanadi. Sterjenning zichligini ρ deb hisolaymiz va u holda to’lqin tarqalish tezligi cheksiz katta bo’ladi. Bu esa sterjenda defomasiyalanish juda tez tarqalishini bildiradi va vaqtning har bir momentida kesimlarda bir xil bo’ladi. Masalaning bunday soddalashgan qo’yilishida u energiya tenglamasini qo’llash orqali yechiladi ~T+~U = To= M ϑ2 2 (2.1.2) Deformasiya ortib borishi bilan yuk tezligi kamayadi va deformasiya maksimal qiymatga erishgan onda nolga teng bo’ladi. Bu onda esa ~T=0, (2.1.2) dan ~U =T0= M ϑ2 2 h ΔlmaxМ Q 2.1.1-chizma Bu holda elastik energiya deformasiya orqali quyidagicha topiladi (Δl )max =√ 2T0l EF . Agar Q og’irlikdagi yuk h balandlikdan tushsa. T=Qh bo’ladi va (Δl )max =√ 2Qhl EF . (2.1.3) Statik qo’yilgan kuch uchun (Δl cm)= Q l EF U holda maksimal deformasiya quyidagicha yoziladi (Δl )max =√2h(Δl )cm (2.1.4) Agar Q yuk yetarlicha katta, h esa kichik bo’lsa (2.1.4)o’rinli bo’lmaydi. Chunki yukning ΔI masofaga ko’chishi uchun bajargan qo’shimcha ishini tashlab yubora olmaymiz. ΔI =(ΔI )max bo’lganda ish quyidagiga teng bo’ladi Q [h+(Δl )cm]= EF 2I(Δl )max2 Bu (ΔI )max ga nisbatan kvadrat tenglama va uni quyidagicha yozish mumkin (Δl )max 2 −2(Δl )cm (Δl )max −2h(Δl )cm=0. uning yechimi (Δl )max =(Δl )cm +√(Δl )cm 2 +2h (Δl )cm (2.1.5) Tenglama yechimini tanlashda radikal oldidagi “+” ishora olingan, “–” ishora esa zarbadan keyingi yuqoriga ko’tarilishga mos keladi. Agar (Δl )cm << h bo’lsa, u holda (2.1.4) kelib chiqadi ya’ni yuk to’satdan qo’yilsa (Δl )max =2(Δl )cm (2.1.6) Zarba berish jarayonida sistemaga ta’sir etuvchi tashqi ta’sir kuchlar va inersiya kuchlaridan eng kattasi ko’chishga proporsional bo’ladi. Shu sababli tashqi dinamik ta’sir ostidagi kuchlanishni hisoblash statik hisob natijasini dinamik koeffisiyentga ko’paytirish bilan olinadi (Δl )max /(Δl )cm(2.1.1),(2.1.5)formulalar massasi zarba beruvchi yuk massasiga nisbatan yetarlicha kichik bo’lgan ixtiyoriy chiziqli-elastik sistema uchun o’rinli. Masala Uzunligi l=0,5 м , ko’ndalang kesim yuzasi F=10 см 2 bo’lgan po’lat sterjenga 1м balandlikdan massasi 200 kg bo’lgan yuk 20 m/c tezlik bilan kelib urildi. Buning natijasida sterjen ko’ndalang kesimidagi kuchlanishni, to’liq energiyani, maksimal cho’zilishni aniqlang. Yechish Po’lat uchun elastiklik moduli E= 2.10 11Па , zichlik ρ=7850 кг м3 . U holda sterjenda to’lqin tarqalish tezigi (1) ga ko’ra с= √ 2.10 11Па 7850 кг /м3≈ 5000 м с Endi sterjen ko’ndalang kesimidagi kuchlanishni aniqlaymiz σ=2.10 11Па 20 м/с 5000 м/с=800000000 Па =800 МПа Deformasiyalanish natijasida sterjenda to’plangan to’la energiya T0=200 кг .(20 м/с)2 2 =40 кЖ Massasi 200 kg bo’lgan yukning og’irlik kuchi Q= Мg =200 кг .10 м с2= 2000 Н . Buni hisobga olib sterjenning maksimal cho’zilishini (siqilishini) hisoblaymiz (Δl )max = √ 2Qh l EF = √ 2.2000 Н .1м .0,5 м 2.10 11Па .0,01 м2 =0,001 м 2.2-§. Sterjenning bo’ylama tebranish tenglamasi va uning yechimi Massasi tekis (uzluksiz) taqsimlangan sistema tebranishlarini qaraylik. Dastlab ko’ndalang kesimi o’zgarmas bo’lgan sterjenning bo’ylama tebranish masalasini qarash mumkin. 2.2.1 - chizma sterjenning x va x+dx koordinatali mn va pq kesimlari orasida joylashgan deformasiyalanmagan elementi keltirilgan. Vaqtning biror fiksirlangan tu+du u dxm p n q m' p' n' q' m p n q momentida mn kesim m'n', pq kesim p'q' holatni egallaydi. Boshlang’ich koordinatasi x bo’lgan chap kesimning ko’chishini u orqali belgilaymiz. u siljish ikkita o’zgaruvchining ya’ni t vaqt va deformasiyalanmagan holatdagi x koordinataning funksiyasidir, shuning uchun x+dx koordinatali kesimning ko’chishi u+∂u ∂xdx bo’ladi. 2.2.1 - chizmada m'n'p'q' element alohida ham tasvirlangan. m'n', kesimga ta’sir qiluvchi kuchlanishni σ orqali belgilaymiz, u holda p'q' kesimga ta’sir qiluvchi kuchlanish σ+∂σ ∂xdx bo’ladi. Lekin tasvirlangan element harakatda, uning tezlanishi ∂2u ∂t2 ga teng, massasi ρF dx , bu yerda p - zichlik, F - ko’ndalang kesim yuzasi. Bu elementning harakat tenglamasini tuzamiz ρF dx ∂2u ∂t2=F ∂σ ∂xdx . Guk qonuniga ko’ra σ=Ee , elementning nisbiy deformasiyasi e=m'p'−mp mp =∂u ∂x. Buni harakat tenglamasiga qo’yib, Fdx ga qisqartiramiz ∂2u ∂t2−c2∂2u ∂x2=0 , (2.2.1) bunda c= √ EA ¯m = √ E ρ (2.2.2) tezlik o’lchoviga ega va bu yerda ρ -zichlik. Uning yechimini quyidagi ko’rinishda olish mumkin. c bo’ylama elastik to’lqin tarqalish tezligi. (2.2.1) differensial tenglama to’lqin tenglamasi deb ataladi, u sterjendagi barcha dinamik jarayonlar, to’lqin tarqalishi va tebranishni tavsiflaydi. Uning yechimini quyidagi ko’rinishda olish mumkin. U (x,t)= f1(x−ct )+f2(x+ct) (2.2.3)n q 2.2.1-chizma f1 va f2 lar mosh ravishda x−ct va x+ct parametrlarning ixtiyoriy funksiyalari. Bu ifodalar musbat va manfiy yo’nilishlarda sterjin o’qi bo’ylab tarqaluvchi ko’chish to’lqini tarqalishini ifodalaydi. Bu chizmada vaqtning t=0 momentida berilgan funksiyalar ixtiyoriy h olatni jamlagan, ya’ni bundan oldinroq sterjin 2 – uchidan ko’chishlar berilgan. Bunda hadlar qarama-qarshi yo’nalishda bir xil tezlik bilan tarqaluvchi ikki to’lqinni ifodalaydi. (2.2.3) umumiy yechim bo’lib, sterjenning ixtiyoriy harakatini shu ko’rinnishda olish mumkin. O’rnashgan tebranishlarni o’rganishda u noqulay, chunki xususiy tebranish chastotasini oddiy ususllar bilan aniqlash imkonini bermaydi. Tebranish haqidagi masalani yechishda o’zgaruvchilarga ajratish yoki Furye metodidan foydalanamiz. (2.2.1) tenglama uning va yechimlari quyidagi xossalarga ega: 1. (2.2.1) tenglama xususiy yechimining ixtiyoriy o’zgarmas songa ko’paytmasi ham shu tenglama yechimi bo’ladi. At time: t=0 2.2.2-chizma t=0 2.2.3-chizma 2. Ikkita (ixtiyoriy sondagi) xususiy yechimlar yig’indisi yana yechim bo’ladi. Endi (2.2.1) tenglamaning xususiy yechimini T(t) va X(x) funksiyalar ko’paytmasi ko’rinishda izlaylik u(x,t)=T(t)X(x). (2.2.4) (2.2.4)ni (2.2.1)ga olib borib qo’yamiz ¨TX−c2TX''=0. Bu yerda nuqta vaqt bo’yicha hosilani, shtrix koordinata bo’yicha hosilani bildiradi. O’zgaruvchilarga ajratish tenglamani quyidagi ko’rinishda yozishga imkon beradi ¨T T=c2X'' X =−ω2 Birinchi had faqat vaqtning, ikkinchi had faqat koordinataning funksiyasidir. Tenglik funksiyalarning o’zgarmas qiymatida o’rinli. Bundan ω2 o’zgarmasligi kelib chiqadi. T(t) va X(x) funksiyalar uchun ham oddiy differensial tenglamalarga kelamiz ¨T+ω2T=0 , (2.2.5) X''+ω2 c2X=0 (2.2.6) (2.2.5) ning umumiy integrali T= Asin ωt +Bcos ωt (2.2.7) Bundan ko’rinadiki, ω xususiy tebranish doiraviy chastotasi. (2.2.6)ning umumiy integrali X(x)=C1sin ωx c +C2cos ωx c (2.2.8) (2.2.6) va (2.2.7) tengliklar o’zgarmaslar boshlang’ich va chegaraviy shartlardan topiladi. (2.2.4) chizmada ko’rsatilgan oldinga tarqaluvchi to’lqinning tarqalashini qaraymiz. Vaqtning t=0 va t= Δt momentlarida ular turlicha holatni egallaydi, yangi holatga o’tganda argument quyidagi holatda bo’ladi. 2.2.4-chizma 2.2.5-chizma x'=x−cΔtBu h olda f1(x−cΔt )≡ f1(x') va to ’ lqin formasi (2.2.4) chizmada ko ’ rsatilgan kabi x / o ’ zgaruvchidan bog ’ liq bo ’ ladi . Bu to’lqinning tarqalish tezligi c ga teng. Xuddi shunday (2.2.5) dagi f2 teskari yo’nalishda harakatlanadi. To’lqin tarqaluvchi sterjen dinamik holatini ko’chishlar orqali ifodalaymiz. Ma’lumki, σ= Eε va ε= ди дх bundan esa σ(х,t)= E ди дх = E дf 1 дх (x−ct )+E дf 2 дх (x+ct ) (2.2.9) ekanligi kelib chiqadi. Bu yerda E дf 1 дх va E дf 2 дх larni mos ravishda g1 va g2 lar orqali belgilab olsak, kuchlanishni quyidagicha yozishimiz mumkin. σ(х,t)= g1(x− ct )+g2(x+ct ) (2.2.10) Ixtiyoriy ko’chish to’lqini formasi va unga mos kuchlanish to’lqini orasidagi munosabat 2.2.5-chizmada tasvirlangan. Ko’rinib turibdiki kuchlanish to’lqini ham o’zgarmas forma va c– tezlik bilan tarqaladi. 2.3-§. Chegaraviy shartlar Ixtiyoriy sterjenda to’lqin tarqalishi ifodasi ixtiyoriy funksiya uning uchlariga qo’yilgan chegaraviy shartlar orqali topiladi, ya’ni to’lqin funksiyasi chegarada muvozanat va birgalik shartlarini qanoatlantiruvchi qilib tanlanadi. Chap uchidan qaytuvchi to’lqinlar ham chegaraviy shartlarni qanoatlantirishi kerak. Misol uchun: Ko’chish to’lqini formasi (2.3.1) chizmada ko’rsatilgan x=0 nuqtada U=(0,t)= f1(−ct) kabi belgilanadi. 2.3.1-chizma Agar sterjining o’ng uchi (x= L) erkin bo’lsa, vaqtning hamma momentlarida bu uchda kuchlanishlar nolga teng bo’ladi. B u s h a r t o ’ n g d a n c h a p g a q a r a b , t a r q a l u v c h i 2 – k u c h l a n i s h t o ’ l q i n i u c h u n ham o’rinli bo’lishi kerak. Bu mulohazaning momentik ifodasi quyidagicha: σx=L=0= E дf 1 дх (L− ct )+E дf 2 дх (L+ct ) bundan esa дf 1 дх (L−ct )=− дf 2 дх (L+ct ) (2.3.1) ga kelamiz. ko’rinib turibdiki, sterjen erkin uchida ди дх deformasiyada qaytuvchi to’lqin hosilasi tarqaluvchi to’lqin (+ _) qarama – qarshi ishora bilan olinganligiga teng bo’lar ekan. Ko’chish to’lqinlari shu shart bilan tasvirlanib, 2.3.2a-chizmada tasvirlangan. Unga mos kuchlanish to’lqinlari esa 2.3.2b-chizmada tasvirlangan. Endi sterj e nni ng o’ng uchi mahkamlangan holni qaraymiz. Unda quyidagi o’rinli bo’ladi U x=L=0= f1(L-ct )+ f2(L+ct ) 2.3.2-chizmaa b bundan kelib chiqadiki f2(L+ct)=− f1(L−ct) (2.3.2) bunda tarqaluvchi to’lqin va qaytuvchi to’lqinlar joylashishi 2.3.3-chizmada keltirilgan va chegarada ko’chishning nolga tengligi qanoatlantiriladi. M asala . Uchiga bolg’a bilan zarba berilgan qoziqda bo’ylama to’lqin tarqalishini va uning qismlardagi kuchlanishni qaraymiz. Bunda zarba beruvchi kuch funksiyasi P(t)=10 5sin π t 0,005 π a bo’lsin va t1=0,005 c da kuchlanish epyurasi chizilsin. Bular pulat va beton uchun hisoblasin Yechish. Dastlab po’lat uchun masalani echamiz. Birinchi to’lqin tarqalish tezligini topamiz. Berilgan: E= 2⋅10 11πa ,A=0,01 m2,ρ=7850 kg m3 CS=√ E ρ= √ 2⋅10 11πa 7850 kg m3 ≈5000 m s qoziqning impuls berilgan uchida kuchlanish σ0(t)=− P(t) A =− 10 5sin πt 0,005 πa 0,01 m2 =−10 7sin πt 0,005 lekin oldinga tarqaluvchi to’lqini uchun quyidagi munosabat o’rinli. Bu σ0(t)=g1(−CSt) bunda g 1 biz qarayotgan hol uchun quyidagicha bo’ladi. σ0(t)=−10 7sin (− π 3)CSt umumiy holda oldingi tarqaluvchi to’lqin σ(x,t)=−10 7sin π 3(cSt−x) t1=0,005 bo’lganda σ(x,0,005 )=−10 7sin π(1− x 3) Endi beton uchun masalani yechamiz, to’lqin tarqalish tezligini topamiz. Berilgan E=10 10πa ,A= 0,1 m2,ρ= 2500 kg m3 2.3.3-chizma CS= √ E ρ= √ 10 10 2500 = 2000 m s qoziqning impuls berilgan uchida kuchlanish σ0(t)=− P(t) A =− 10 5sin πt 0,005 πa 0,1 m2 =−10 6sin πt 0,005 πa lekin oldingi tarqaluvchi to’lqin uchun quydagi munosabat o’rinli. Bu σ0(t)= g1(−cSt) bunda g 1 biz qarayotgan hol uchun quydagicha bo’ladi σ0(t)=−10 6sin (− π 3)Cst umumiy holda oldinga tarqaluvchi to’lqin σ(x,t )=−10 6sin π 3(CSt−x) t1=0,005 bo’lganda σ(x,0,005 )=−10 6sin π(1− x 3) . 2.3.4-chizma 2.4-§. Mexanik xususiyatlari uzluksiz bo’lmagan sterjenda to’qin tarqalishi Turli xususiyatli ketma-ket ulangan s terjen larda to’lqinning qaytishi va sinish hollari yuz beradi. Bunday sterjenlarning hamma nuqtalarida muvozanat va birgalik tenglamalari to’lqinlarning qaytish va sinishi bilan birgalikda bajariladi. Insident to’lqin =ua Singan to’lqin = uc Qaytgan to’lqin = ub 2.4.1-chizma chizmada tasvirlangan bir - biriga ulangan 1 va 2 - sterjenlarni qaraylik. Bu 2 ta sterjen turli xil zichlik va qattiqlikka ega va to'lqin tarqalish ham bu xususiyatlardan bog'liq holda turlicha. 1- sterjenda tarqaluvchi to'lqin U a bog'lanish chegarasida U b bo'lib qaytadi. Shuningdek 2- sterjenda ham U c sifatida tarqaladi. Bog'lanish chegarasida quyidagi uzviylik shartlari o'rinli. Ko'chish: U 1 = U 2 U a + U b = U c (2.4.1) Kuch: N1= N2Na+Nb= Nc (2.4.2) bu yerda 2 ta hol ham qaytuvchi to'lqin ham 1-sterjen uchun berilgan, chunki bunda birgalik shartlari hamma vaqt bajariladi. ∂ U a ∂ t + ∂ U b ∂ t = ∂ U c ∂ t (2.4.3) Ko'rinishlarda qo'yilgan shartlar ulardan vaqt bo'yicha olingan hosilaga teng. Lekin to'lqin tarqalishini quyidagicha yozamiz. U a= fa(x− ct)≡ fa(ξ) bu yerda ξ qulaylik uchun kiritilgan o'zgaruvchi. U a ning hosilalari quyidagicha ifodalanadi. ∂ U a ∂ x = ∂ f a ∂ ξ ∂ ξ ∂ x = ∂ f a ∂ ξ ∂ U a ∂ t = ∂ f a ∂ ξ ∂ ξ ∂ t = − c 1 ∂ f a ∂ ξ (2.4.4) Bundan ko'rinadiki, vaqt va koordinatalar bo'yicha olingan hosilalar to'lqin targalish tezligi yordamida quyidagicha bog'langan. ∂ U a ∂ t = − c 1 ∂ U a ∂ x (2.4.5) Xuddi shunday qaytuvchi va sinuvchi to'lqinlar uchun ham quyidagi munosabatlar o'rinli. ∂ U b ∂ t = − c 1 ∂ U b ∂ x ∂ U c ∂ t = − c 1 ∂ U c ∂ x (2.4.6) (2.4.6)da musbat ishora qaytuvchi to'lginning manfiy yo'nalishini bildiradi. tenglamalarni (2.4.3) ga olib borib qo'ysak quyidagi tenglamaga ega bo'lamiz. − c 1 ∂ U a ∂ x + c 1 ∂ U b ∂ x = − c 2 ∂ U c ∂ x (2.4.7) Lekin ∂U a ∂x = εa .. hokazo deformasiyalar kuchlar orqali ifodalasak (2.4.7) tenglamani kuchlar orqali quyidagicha yozish mumkin −c1 A1E1 Na+ c1 A1E1 N b= −c2 A2E2 N c (2.4.8) yoki soddaroq ko'rinishda Nc= α(Na− N b) (2.4.9) bu yerda α= c1 c2 A2 A1 E2 E1 = √ m2E2A2 m1E1A1 (2.4.10) Nihoyat (2.4.9) birgalik shartlari (2.4.1) va muvozanat shartlarga olib borib, qo'yilsa quyidagiga ega bo'lamiz. N a + N b = α ( N a − N b ) bundan esa N b = N a α − 1 α + 1 (2.4.11) hamda (2.4.9) dan N c = N a 2 α α + 1 (2.4.12) (2.4.11) va (2.4.12) larda kuchlarni quyidagicha ifolab olamiz.N = AE ∂U ∂x= ± AE c ∂U ∂t bularni (2.4.11) ga qo'yib va integrallab, quyidagiga ega bo'lamiz. A1E1 c1 U b=− A1E1 c1 U aα−1 α+1 bundan U b=U aα−1 α+1 (2.4.13) ga kelamiz. Xuddi (2.4.12) ga olib borib, qo'yamiz va uni integrallaymiz − A 2 E 2 C 2 U c = − A 1 E 1 C 1 U a 2 α α + 1 bundan esa U c = U a 2 α + 1 (2.4.14) bo'ladi. α -koeffisient ikki sterjen orasidagi qaytuvchi va sinuvchi to'lqinlar amplitudasini xarakterlaydi. Yuqoridagilarda qo'shni sterjenlar xususiyatlari turlicha. α -esa ulardan bog'liq holda (2.4.10) orgali topiladi. Jadvalda tushuvchi, qaytuvchi va sinuvchi to'lqinlar orasidagi munosabat turli chegaraviy shartlardan keltirilgan. Holat. α= √ А2E2m2 A1E1m1 Kuch to’lqinlari Ko’chish to’lqinlari ⃗Na+Nb= ⃗Nc ⃗иа+иb= ⃗uc 1.Uzluksiz 1 1 0 1 1 0 1 2.Qattiq mahkamlangan ∞ 1 1 2 1 -1 0 3.Erkin 0 1 -1 0 1 1 2 4. А2Е2 А1Е1 = м2 м1 = 2 2 1 1/3 4/3 1 -1/3 2/3 5. А2Е2 А1Е1 = м2 м1 = 1 2 ½ 1 -1/3 2/3 1 1/3 4/3 Masala. Bizga materiallari turlicha bo'lgan 2 ta ketma-ket ulangan sterjen berilgan bo'lsin. Bu 2 ta sterjen turli xil zichlik va qattiqlikka ega ularda to'lqin tarqalishi ham bu xususiyatlardan bog'liq holda turlicha. Mana shu sterjenda to'lqin tarqalish jarayonini qaraymiz. 1-sterjenning uchidan u a = sin ωt qonuniyat bilan o'zgaruvchi ko'chish berilgan bo'lsin. Buning natijasida birinchi sterjenda tarqaluvchi to'lqin ua bog'lanish chegarasida u b ko'rinishda orqaga qaytsin, hamda ikkinchi sterjenda ham u c ko'rinishda davom etsin. Birinchi sterjenning xususiyatlarini quyidagicha tanlaymiz E1= 2⋅10 11Π a,ρ1=7850 κ2 M 3,A1=0,01 m2 Ikkinchi sterjen uchun E 2 = 10 11 Π a , ρ 2 = 9000 κε M 3 , A 2 = 0,01 m 2 Bundan (1.10) ga ko'ra α = c 1 A 2 E 2 c 2 A 1 E 1 = 0,75 . Xuddi shunday sterjen xususiyatlarining turli variantlarida yugoridagilarni bajarish mumkin. Quyida α parametrning turli qiymatlari uchun sterjenlar biriktirilgan sohaga tushuvchi, qaytuvchi va ikkinchi sterjen bo'ylab tarqaluvchi to'lginlar ,Maple 9" dasturi yordamida tasvirlangan. u a u cu a u cu a 2.4.2.-chizma. Bir jinsli sterjenda to’lqin tarqalishi. u c u a u b 2.4.3-chizma. Materiali bir xil pog’onali sterjenda to’lqin tarqalishi A 1 =2A 2 . bu yerda с1,c2,c3, E1,E2,E3, va A1,A2,A3 birinchi, ikkinchi va uchinchi sterjenlarning mexanik va gemetrik xususiyatlari. 2.4.2 dan 2.4.5 – chizmalarda turli hollar uchun ikki pog’onali sterjenda to’lqin tarqalishi tasvirlangan. Asosiy xulosalar Bitiruv malakaviy ishining kirish qismida ishning predmeti, va dolzarbligi tavsiflashga atroflicha to’xtalib o’tilgan. Ishning predmeti ko’rsatilgan va shu asosda uning ob’yekti aniqlashtirilgan. Bitiruv malakaviy ishining birinchi bobida mexanik to’lqinlar haqida batafsil ma’lumotlar keltirilgan hamda tahlil qilib chiqilgan. Ikkinchi bobda mexamik xususiyatlari uzluksiz bo’lmagan sterjenda to’lqin tarqalishi masalasi qo’yilgan hamda yechilgan va xulosalar berilgan Olingan natijalarga ko’ra quyidagilar aniqlandi: - bir jinsli sterjenda to’lqin o’z shaklini o’zgartirmasdan tarqaladi; - turli xususiyatli ketma-ket ulangan sterjenlar chegarasida to’lqinning bir qismi orqaga qaytadi va yana bir qismi ikkinchi sterjen bo’ylab tarqalishda davom etadi, - to’lqin ko’ndalang kesimi katta bo’lgan sterjendan ko’ndalang kesimi kichik bo’lgan sterjenga o’tganda amplituda oshadi; - to’lqin ko’ndalang kesimi kichik bo’lgan sterjendan ko’ndalang kesimi katta bo’lgan sterjenga o’tganda amplituda kamayadi; - qattiq materialli sterjendan yumshoqroq materalli sterjenga to’lqin o’tganda amplituda ortadi; - yumshoqroq materialli sterjendan qattiqroq materalli sterjenga to’lqin o’tganda amplituda pasayadi. u b 2.4.5-chizma. Turli xususiyatli, ko’ndalang kesimi bir xil sterjenda to’lqin tarqalishi (po’lat-mis).2.4.4-chizma. Materiali bir xil pog’onali sterjenda to’lqin tarqalishi 2A 1 =A 2 .u b Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati 1. Ray W. Clough, Joseph Penzien. Dynamics of Structures. International Student Edition. 1975. p. 634 p. 2. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. Москва «Наука» 1988 год. 3. Худойназаров Х. Х. Нестационарное взаимодействие цилиндрических оболочек и стержней с деформируемой средой. Ташкент.: Абу Али ибн Сино. 2003. – 326 с. 4. Х olmurodov R . I ., Xudoynazarov X . X . Elastiklik nazariyasi . I, II qism. Toshkent.: Fan. 2004. 5. Achenbach J. D., 1975, Wave Propagation in Elastic Solids, Elsevier, ISBN: 0720403251, Netherlands. 6. Bedford, A. & Drumheller, D.S., 1994, Introduction to Elastic Wave Propagation, John Wiley & Sons Ltd., West

XUSUSIYATLARI UZLUKSIZ BO’LMAGAN STERJENDA TO’LQIN TARQALISHI MUNDARIJA KIRISH …………………………………………..………………............. 3 I-Bob. Asosiy tushunchlar ......……… …………………………………... 5 1.1-§. Mexanik to’lqinlar ……………………………………………… 5 1.2-§. Ko’ndalang va bo’ylama to’lqinlar……………………………… 7 1.3-§. Statsionar va nostatsionar to’lqinlar …… ......................... .. ........... 9 1.4-§. Skalyar , Vektor potensiallar hamda bo’ylama va ko’ndalang to’lqinlar tezliklari……………………... 15 1.5 -§. Bir o ’ lchamli to ’ lqin harakati va bir o ’ lchamli yassi to ’ lqinlar …. 18 II-Bob. Mexanik xususiyatlari uzluksiz bo’lmagan sterjenlarda to’lqin tarqalishi bo’yicha masalaning qo’yilishi va yechilishi 24 2 .1-§. Zarba ta’sirida sterjenning siqilishi................................................ 24 2 . 2 -§. Sterjenning bo’ylama tebranish tenglamasi va uning yechimi…… 27 2 . 3 -§. Chegaraviy shartlar 31 2 . 4 -§. Mexanik xususiyatlari uzluksiz bo’lmagan sterjenda to’ l qin tarqalishi va shunga doir masala yechish 35 ASOSIY XULOSALAR............................................................................. 40

ADABIYOTLAR RO’YXATI.................................................................... 41 Kirish Mavzuning dolzarbligi. Biz bilamizki texnikada yoki qurilish sohalarida ko’ndalang kesimlari va materiallarining xususiyatlari turlicha bo’lgan sterjenlardan keng miqyosda qo’llaniladi. Bu sterjenlar o’z navbatida turli ta’sirlar va kuchlar ostida bo’ladi. Sterjenlarning ta’sirlarga qarshi turib berish imkoniyatlarini hisoblash juda muhim hisoblanadi. Bizga qiziq masaladan biri bu sterjenga ta’sir etgan kuch natijasida sterjenning o’zida tebranishlar hosil bo’lib bu tebranishlar o’zaro uzlukisiz bo’lmagan pog’onali sterjenlarda qanday xarakterni ko’rsatishini aniqlashdir. Chunki bunday sterjenlar ma’lum vazifani bajarayotgan paytida unda hosil bo’lgan tebranish to’lqinlari sterjen bo’ylab tarqalishi va qaytishi natijasida boshqa uskunalarga salbiy ta’sir eta ollishi yoki etolmasligini baholash muhandis va konstruktorlar uchun muhimdir. Masalaning qo’yilishi. Yuqorida ta’kidlab o’tganimdek , bitiruv malakaviy ishimda mexanik xususiyatlari uzluksiz bo’lmagan sterjenlarda to’lqin tarqalishini o’rganish masalasi qo’yilgan. Ishning maqsadi va vazifalari. Mazkur bitiruv malakaviy ishining asosiy maqsadi xususiyatlari uzluksiz bo’lmagan pog’onali sterjenlarda to’lqin tarqalishi , sinishi va qaytishini o’rganish asosiy maqsad qilib qo’yilgan. Bundan tashqari bir pog’onali va bir nechta pog’onali sterjenlarda to’lqin tarqalishini Maple dasturi yordamida hisoblash vazifasi belgilangan. Ishning ilmiy tadqiqot usuli. Turli xususiyatli ketma-ket ulangan s terjen larda to’lqinning qaytishi va sinish hollari yuz beradi. Bunday sterjenlarning hamma nuqtalarida muvozanat va birgalik tenglamalari to’lqinlarning qaytish va sinishi bilan birgalikda bajariladi. Ya’ni pog’onali sterjenda to’qin tarqalayotganda to’lqin bir sterjendan ikkinchi sterjenga o’tish mobaynida to’lqin qaytishi hamda ikkichinchi sterjenda ham ayrim parametrlarini o’zgartirib tarqalishi mumkin u holda bularning hamamsini uzviylik tenglamsiga qo’yib tekshirish lozim.

Ishning ilmiy ahamiyati. Bitiruv malakaviy ishida o’rganib chiqilganlardan masalanining qoyilishini yanada mukammallashtirib, ya’ni qoshimcha mexanik xususiyatlarni hisobga olib va to’lqin tarqalishining boshqa ko’rinishidagi masalalarni yechishda foydalanish mumkin. Ishning amaliy ahamiyati. Hozirgi zamon texnikasi, qurilish, yer osti va yer usti inshoatlari, aviatsiya, kemasozlik, burg’ulash ishlarida pog’onali sterjenlardan keng foydalaniladi. Mexanik xussusiyatlari uzluksizbo’gan sterjenlarning bir necha qismlardan iboratligi hisoblashlarda bir qancha matematik qiyinchiliklar tug’diradi. Hisoblashlarga EHMni jalb qilish konstruksiya geometrik shakl va o’lchamlarining optimal variantini tanlash bilan birga natijalar aniqligi va materialning chidamliligini baholashda vaqtni tejaydi hamda samaralidir. Ishining tuzilishi. Ushbu bitiruv malakaviy ishi .... betdan iborat bo’lib, kirish, 2 ta bob, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan tashkil topgan. Olingan natijalarlarning qisqacha mazmuni. Bitiruv malakaviy ishining kirish qismida ishning predmeti, va dolzarbligi tavsiflashga atroflicha to’xtalib o’tilgan. Ishning predmeti ko’rsatilgan va shu asosda uning ob’yekti aniqlashtirilgan. Bitiruv malakaviy ishining birinchi bobida mexanik to’lqinlar haqida batafsil ma’lumotlar keltirilgan hamda tahlil qilib chiqilgan. Ikkinchi bobda mexamik xususiyatlari uzluksiz bo’lmagan sterjenda to’lqin tarqalishi masalasi qo’yilgan hamda yechilgan va xulosalar berilgan.

I-Bob. ASOSIY TUSHUNCHALAR 1.1-§.Mexanik to’lqinlar Modda yoki maydonning fazoda vaqt davomidagi har qanday tarqalishi to’lqinlar deyiladi. Masalan gazlar yoki suyuqliklardagi tovush to’lqinlari shu muhitlarda bosim tebranishlarining tarqalishidir. Elektromagnit to’lqinlar – elektromagnit maydoni kuchlanganligi E va induksiyasi B larning fazoda tarqaluvchi tebranishlaridir. Elastik muhitda tarqaluvchi mexanik qo’zg’olishlar (zichlik, deformasiya) elastik to’lqinlar deyiladi. Muhitda ushbu qo’zg’olishlarni paydo qiluvchi jismlar to’lqinlar manbai deyiladi (tebranuvchi kamertonlar, musiqa asboblarining torlari va h.k.). Elastik muhitda kuchsiz qo’zg’olishlar tarqalaotgan hol, ya’ni ularga mos keluvchi muhit deformasiyalari kichik amplitudalarga ega bo’lgan holda elastik to’lqinlar tovush to’lqinlari yoki a kustic to’lqinlar deyiladi. Muhitning bir xil fazalarda tebranuvchi nuqtalarning o’rni to’lqin sirti yoki to’lqin fronti deyiladi. To’lqin frontidagi har xil nuqtalarning tebranish fazalari vaqtning qaralayotgan paytida bitta qiymatga ega bo’ladilar. Har bir nuqtasidagi urinmasi to’lqinning tarqalish yo’nalishi bilan ustma-ust tushuvchi to’g’ri chiziq nur deyiladi. Bir jinsli izotrop muhitda nur to’lqin frontiga perpendikular bo’lgan to’g’ri chiziqdan iboratdir va to’lqin energiyasining ko’chish yo’nalishi bilan ustma-ust tushadi. Tekis to’lqinning to’lqin frontlari to’lqin tarqalish yo’nalishiga perpendikular bo’lgan tekisliklardan iboratdir. Bu holda nurlar to’lqin tarqalish tezligi yo’nalishi bilan ustma-ust tushuvchi parallel to’g’ri chiziqlardan iboratdir. Bunday to’lqinlar yassi sterjenning suvda tebranishlari natijasida olinishi mumkin. Tekis to’lqin frontlari va nurlar 1 – chizma da aks ettirilgan. Sferik to’lqinnig to’lqin sfrontlari sferalardan iboratdir. Bunday to’lqinlar to’lqin manbai nuqtavi (nuqta) bo’lgan holda paydo bo’ladilar. Sferik to’lqinda nurlar markazi to’lqin manbai joylashgan nuqtada bo’lgan sferalarning radiuslari bo’ylab markazdan yo’nalgandir (2 - chizma).

1.1.1 - chizma. Shuni alohida ta’kidlash lozimki muhitdagi elastik to’lqinlarning uning zarrachalarining boshqa istalgan tartibli harakatlaridan farqi shundaki, to’lqinlar tarqalishi muhit moddasining bir joydan boshqa joyga katta masofalarga ko’chishi bilan bo’g’liq emas. 1.1.2 – chizma. 1.2-§. Ko’ndalang va bo’ylama to’lqinlar. Agar muhitning zarrachalari to’lqin tarqalishi yyo’nalishiga perpendikular yyo’nalishlarga tebransalar Bunday to’lqin ko’ndalang to’lqin deyiladi. Masalan bir uchi mahkamlangan va ikkinchi uchi tebranma harakatga keltirilgan ip bo’ylab ko’ndalang to’lqin tarqaladi (3-chizma)

O'xshashlar

O‘zbekistonda tarqalgan kaptarsimonlar xilma-xilligi, ularni tarqalishi, biologik xususiyatlari va amaliy ahamiyati
XRISTIANLIKNING PAYDO BO‘LISHI VA TARQALISHI
ELASTIKLIK NAZARIYASI MASALASINI ARALASH CHEKLI ELEMENTLAR METODI YORDAMIDA YECHISHNING ASOSIY MUNOSABATLARI
UZLUKSIZ MA’NAVIY TARBIYANING IJTIMOIY MADANIY TEXNOLOGIYALARINI MODERNIZATSIYALASH (“Uzluksiz ma’naviy tarbiya Konsepsiyasi”ni amalga oshirishning IV bosqichi misolida)
ELASTIK ASOSLI BIR JINSLI VA BIR JINSLI BO’LMAGAN STERJENLAR USTUVORLIGINI TADQIQ ETISH