Absolyut uzluksiz funksiyalar. L е b е g t ео r е masi Reja: 1. Absolyut uzluksiz funksiyalar 2. Absolyut uzluksiz funksiyalar ustida amallar

Tayanch so`zlar : o`lch о vli to`plam, o`lch о vli funksiya, jamlanuvchi funksiyalar, o`zgarishi chegarlangan funksiya. Absolyut uzluksiz funksiyalar Endi absolyut uzluksiz funksiyalar sinfini kiritamiz. Bu funksiyalar sinfi o`zgarishi chegaralangan funksiyalar sinfidan kengroq bo`lib, jamlanuvchi funksiyalarning aniqmas integrali bilan yaqin bog`langan. 1-ta`rif .  b a, segmentda aniqlangan ) (x f funksiya berilgan bo`lsin. Agar ixtiyoriy 0   uchun shunday 0   mavjud bo`lsaki, soni chekli va har ikkisi o`zaro kesishmaydigan har qanday     n n b a b a b a , , ..., , , , 2 2 1 1 (1) segmentlar sistemasi uchun          n k kkn k kk abbaba 1 1 )(,,,  (2) shartlar bajarilganda    n k kk afbf 1 )()( tengsizlik o`rinli bo`lsa, u holda ) (x f funksiya  b a, segmentda absolyut uzluksiz deyiladi. Ta`rifdan ravshanki, har qanday absolyut uzluksiz funksiya odatdagi ma`noda ham uzluksiz: buni ko`rsatish uchun yuqoridagi ta`rifda 1n deb olish kifoya . Absolyut uzluksiz funksiyaga misol sifatida Lipshis shartini, ya`ni 1 2 1 2 ) ( ) ( x x M x f x f    tengsizlikni qanoatlantiruvchi funksiyalarni olishimiz mumkin. Haqiqatan ham, agar )1( segmentlar sistemasi uchun )2( shartlar bajarilsa, u holda  MabMafbf n k kkn k kk     11 )()( bo`lib,  sonni M    deb olsak,    n k kk afbf 1 )()( bo`ladi. 1-teorema: Agar ) (x f va ) (x  funksiyalar absolyut uzluksiz bo`lsa, u holda ularning yig`indisi, ayirmasi va ko`paytmasi ham absolyut uzluksiz bo`ladi. Agar berilgan segmentda ) (x  nolga teng bo`lmasa, u holda ) ( ) ( x x f  ham o`sha segmentda absolyut uzluksiz bo`ladi. Isbot: Yig`indi va ayirmaning absolyut uzluksizligi quyidagi tengsizlikdan bevosita kelib chiqadi:        ) ( ) ( ) ( ) ( k k k k a a f b b f  

.) ( ) ( ) ( ) ( k k k k a b a f b f      fH va  H lar bilan mos ravishda ) (x f va ) (x  larning  b a, dagi aniq yuqori chegarasini belgilab,   ) ( ) ( ) ( ) ( k k k k a a f b b f           ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( k k k k k k k k a a f b a f b a f b b f     ) ( ) ( ) ( ) ( k k k k f a f b f H a b H        munosabatlarni yozishimiz mumkin. Bundan esa ) ( ) ( x x f  ko`paytmaning absolyut uzluksizligi kelib chiqadi. 2-teorema: ] , [ b a segmentdagi absolyut uzluksiz funksiya bu segmentda o`zgarishi chegaralangandir. Isbot: ) (x f funksiya  b a, segmentda absolyut uzluksiz bo`lsin. U holda ) (x f funksiya uchun 1  ga mos  son mavjudki, uzunliklarining yig`indisi  dan kichik bo`lgan o`zaro kesishmaydigan va soni chekli intervallarning   n k kknn abbababa 12211 )(),,(...,),,(),,(  sistemasi uchun 1)()( 1   n k kk afbf tengsizlik o`rinli. Bu  son bo`yicha shunday m natural son topish mumkinki,  b a, segmentni har birining uzunligi  dan kichik bo`lgan m ta qismga bo`lish mumkin, ya`ni b c c c c a m       ... 2 1 0 va ).1 ...,,2,1 ( 1      m k c c k k  So`ngra, ] , [ 1k k c с segment o`zaro kesishmaydigan va soni chekli qanday qismlarga bo`linmasin, quyidagi tengsizlik o`rinli bo`ladi: 1 ) ( 1  f Vkc kc va demak, , ) ( m f V ba  ya`ni ) (x f ning o`zgarishi chegaralangan. Teorema isbot bo`ldi. 3-teorema: Har qanday ) (x F absolyut uzluksiz funksiyani ikkita o`suvchi absolyut uzluksiz funksiyaning ayirmasi shaklida ifoda qilish mumkin: ). ( ) ( ), ( ) ( ) ( F V x V x G x V x F xa    Isbot: Teoremani isbotlash uchun 2 - va 3- teoremalarga asosan )( xV va ) (x G funksiyalarning absolyut uzluksizligini isbotlash kifoya. Agar )( xV ning absolyut uzluksizligini ko`rsatsak, 1 teoremaga asosan, ) ( ) ( ) ( x F x V x G   absolyut uzluksiz bo`ladi. )( xV ning absolyut uzluksizligini isbotlaymiz.

Ixtiyoriy  ni olib, ) (x F absolyut uzluksizligi shartidan  ni topamiz. Uzunliklarining yig`indisi  dan kichik bo`lgan ) , ( ...,), , (), , ( 2 2 1 1 n nb a b a b a oraliqlar olib      n k n k b akk FVaVbV k k 1 1 ][)()( (3) yig`indini ko`ramiz. Bu yig`indi      1 1 1 1 )()(kn j jk jkm k xFxF (4) yig`indilarning yuqori chegarasiga teng, bu yerda k knkkkk b x x x a      ... 10 esa ) , ( k kb a oraliqlarning ixtiyoriy bo`linmasidir. Ravshanki, .)(1 0 1     kn j jk jkkk xxab Barcha ) , ( k k b a oraliqlarning uzunliklarini yig`indisi  dan kichik bo`lgani sababli ) (x F ning absolyut uzluksizlikligiga ko`ra )3( ifoda )4( ifadalarning yuqori chegarasi bo`lgani uchun har bir )4( ifoda  dan katta emas. Bu holda )3( ifoda ham  dan katta bo`lmaydi, bu esa ) (x V ning absolyut uzluksizligini ko`rsatadi. 4 -Teorema:  b a, segmentda absolyut uzluksiz funksiya berilgan bo`lib, uning qiymatlari   B A , segmentda joylashgan bo`lsin. Agar   B A , segmentda berilgan berilgan ) (y  funksiya Lipshits shartini qanoatlantirsa, u holda murakkab )) ( ( x f  funksiya absolyut uzluksiz bo`ladi. Isbot: ) (y  funksiya Lipshits shartini qanoatlantiradi, ya`ni 1212 )()( yyKyy    tengsizlik o`rinli. Demak, ixtiyoriy o`zaro kesishmaydigan soni chekli va  b a, segmentda joylashgan  ) , ( k k b a oraliqlar sistemasi uchun        n k k k n k k k a f b f K a f b f 1 1 ) ( ) ( )] ( [ )] ( [   munosabat o`rinli. Agar    n k k k a b 1 ) ( yigindi istalgancha kichik bo`lsa, u holda ) (x f ning absolyut uzluksizligiga muvofiq oxirgi munosabatning o`ng tomoni istalgancha kichik bo`ladi. 5 - Teorema . Agar  b a, segmentda aniqlangan absolyut uzluksiz ) (x f funksiyaning hosilasi ) (x f deyarli har bir nuqtada nolga teng bo`lsa, u holda ) (x f o`zgarmas songa teng. Isbot : 0 ) (   x f tenglikni qanoatlantiruvchi nuqtalardan iborat to`plamni E bilan belgilab, ixtiyoriy 0   sonni olamiz. Agar E x  bo`lsa, u holda yetarli kichik 0  h son uchun

Ko'chirib oling, shunda to'liq holda ko'ra olasiz

O'xshashlar