Analitik funksiyalarni darajali qatorga yoyish. Koshi tengsizligi. Yagonalik teoremasi. Analitik davom ettirish prinspi Reja: 1. Analitik funksiyalarni darajali qatorga yoyish. 2. Koshi tengsizligi (darajali qator koeffisentlari uchun). 3. Yagonalik teoremasi. 4. Analitik davom ettirish prinsipi. 128

1.Analitik funksiyalarni darajali qatorga yoyish. 1-Teorema. Agar funksiya sohada analitik bo’lsa, u holda har bir nuqtaning biror atrofida bu funksiya ( 1) ko’rinishda ifodalanadi, bu yerda yoki , ( 2) Teylor koeffisentlari, ( 1) qator esa funksiyaning a nuqta atrofidagi Teylor qatori deb ataladi. Isbot. Faraz qilamizki, , a nuqtaning shunaqa yetarlicha katta atrofini olamizki, shart bajarilsin.U holda Koshining integral formulasiga ko’ra . ( 3) Koshi integrali yadrosini quyidagi qatorga yoyish mumkin: ( 4) Ma’lumki, yoyilma doirada yaqinlashuvchi, ixtiyoriy yopiq doirada tekis yaqinlashuvchidir.Bu yerdan tengsizlikdan har bir qayd qilingan ixtiyoriy nuqta uchun ga nisbatan atrof chegarasida ( 4) qator tekis yaqinlashuvchi ekanligi kelib chiqadi.Agar biz ( 4) qatorni chegarada uzluksiz funksiyaga ko’paytirsak,u holda uning tekis yaqinlashishi buzilmaydi.Shuning uchun ( 4) yoyilmaning ikkala tomonini ga ko’paytirib, hosil bo’lgan qatorni integral belgisi ostida limitga o’tish mumkinligi haqidagi teoremaning natijasidan iborat bo’lgan tekis yaqinlashuvchi qatorni hadlab 129

integrallash mumkin degan tasdiqqa muvofiq hadlab integrallab,hosil qilingan tenglikning ikkala tomonini ga ko’paytirib, ( 3) dan yoyilmani hosil qilamiz.Bu yerdan va murakkab kontur uchun Koshining integral teoremasidan foydalanib, va yoyilmani olamiz. 1-teorema isbot bo’ldi. 1-Ta’rif. Agar funksiya sohaning har bir nuqtasining biror atrofida darajali qatorga yoyilsa, u holda u sohada regulyar funksiya deyiladi. Isbot qilingan 1-teoremadan sohada analitik funksiyaning shu sohada regulyarligi kelib chiqadi.Bu tasdiqning teskarisi ham o’rinli.Bu esa Veyershtrass alomatidan kelib chiqadigan darajali qator yaqinlashish doirasining ichkarisida tekis yaqinlashishidan foydalangan holda oson isbotlanadi.Buni mustaqil isbotlang. 2.Koshi tengsizligi (darajali qator koeffisentlari uchun). 2-Teorema. Agar ( 5) darajali qator doirada yaqinlashib, unda tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda ( 6) Koshi tengsizligi o’rinli bo’ladi. Isbot. Darajali ( 1) qator koeffisentlari uchun ( 22) integral formulalardan foydalansak, . Bu koeffisentlarni baholab, ni olamiz. 130

Oxirgi tengsizlik ixtiyoriy uchun o’rinli bo’lganligidan unda da limitga o’tsak, ga ega bo’lamiz. Koshi tengsizligi, ya’ni 2-teorema isbot bo’ldi. Shunday qilib, sohada (nuqtada) analitik va regulyarlik tushunchalari o’zaro ekvivalent ekan. 3.Yagonalik teoremasi. Kompleks o’zgaruvchili funksiyalar nazariyasi kursining eng muhim teoremalaridan biri analitik funksiyalarning yagonalik teoremasidir. 3-Teorema. Agar funksiya biror sohada analitik bo’lib, limitik nuqtaga ega biror ketma-ketlikda bo’lsa, u holda sohada . Isbot. Avval a nuqtaning biror atrofida ekanligini ko’rsatamiz. Umumiylikni kamaytirmasdan, deb faraz qilamiz. bo’lganligi uchun uning biror atrofida funksiya Teylor qatoriga yoyiladi: . Agar unda deb olsak, u holda . Oxirgi tenglikda da limitga o’tsak, va ni olamiz. U holda va undan . Bu yerdan da limitga o’tib, ni olamiz. Bu jarayonni cheksiz davom ettirib, barcha uchun ni,ya’ni da xulosaga ega bo’lamiz.Endi ixtiyoriy nuqtada ekanligini isbot qilamiz. Faraz qilaylik, G sohada biror nuqta mavjudki,unda . a va nuqtalarni G sohada yotuvchi biror siniq chiziq bilan tutashtiramiz. U holda chiziqda biror nuqta mavjudki,u quyidagi shartlarni qanoatlantiradi: 1) funksiya ning a dan gacha davom etadigan qismida nolga teng; 131

2) nuqtaning ixtiyoriy atrofida hech bo’lmaganda bitta nuqta mavjudki, . L chiziqdan shunaqa ketma-ketlik olamizki, bo’lsin. lar uchun yuqorida bajarilgan jarayonni lar uchun takrorlab nuqtaning biror atrofi da ni olamiz.Bu esa nuqta tanlanishining ikkinchi shartiga ziddir. Demak, farazimiz noto’g’ri,ya’ni uchun . 3-teorema isbot bo’ldi. 1-Misol. .Bu funksiya sohada analitik, da . Lekin .Nima uchun yagonalik teoremasi o’rinli emas? Buning sababi shundan iboratki, kema-ketlikning limitik nuqtasi . 3.Analitik davom ettirish prinsipi. 2-Ta’rif. Agar D biror soha, biror to’plam bo’lsin. Agar 1) funksiya E da aniqlangan, 2) funksiya D sohada analitik, 3) E da F(z)=f(z) bo’lsa, u holda F(z) funksiya f(z) funksiyaning E to’plamdan D sohaga analitik davomi deyiladi. Quyidagi analitik davom prinsipi o’rinlidir: agar E to’plam D sohada yotuvchi hech bo’lmaganda bitta limitik nuqtaga ega bo’lsa, u holda f(z) funksiyaning E to’plamdan D sohaga analitik davomi bittadan ortiq bo’la olmaydi. Bu prinsip yagonalik teoremasidan bevosita kelib chiqadi. haqiqatan ham, agar analitik davomni ikkita va deb faraz qilsak, u holda deb belgilab, E to’plamda bo’lganligi uchun yagonalik teoremasiga ko’ra D da , ya’ni ni olamiz. Yangi mavzuni mustahkamlash (10 minut): Talabalardan mavzu yuzasidan savol-javob o’tkazish, oson yechiladigan misollar so’rash, tushinilmagan tasdiq, teorema va formulalarni qayta izohlash va misollar asosida tushuntirish. 132