Bir o’lchamli nostatsionar issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasini chekli ayirmalar usuli bilan yechish.

Yuklangan vaqt:

08.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

454.2490234375 KB

Ko'chirib olish

Mavzu : Bir o’lchamli nost at sionar issiqlik
o’t k azuv chanlik t englamasini chek li ay irmalar
usuli bilan y echish.
Mundarija
Kirish.
I. Nazariy qism
1.1 Umumiy mulohazalar .
II. Loyiha qismi
2.1 Koʼp o’lchamli nost at si onar issiqlik o’t k azuv chanlik
t englamasi
2.2 Chekli ayirmalar usuli
2.3 Puankare va Perron teoremalari.
III. Xulosa
IV. Foydalanilgan adabiyotlar

Endi biz differensial tenglamalarni yechishga doir aniq misolni ko`rib chiqamiz. Bizga
misol sifatida oldindan ma’lum bo`lgan issiqlik o`tkazuvchanlik tenglamasi berilgan
bo`lsin.
(1)
Bu tenglamani manbalari bor hol uchun quyidagicha yozishimiz mumkin
(2)
Bu yerda f(x,t)funksiyalar issiqlik manbaining kuchini ifodalaydi.
Boshlang`ich va chegaraviy shartlar
(3)
(4)
ko`rinishda beriladi. Bunda funksiyalar berilgan funksiyalardir. Bu
funksiyalar ma’lum silliqlik shartlarini (o`zlarining va turli tartibdagi hosilalarining
uzluksizligi) bajarilganda (2)-(4) masalaning T(x,t) yechimi mavjud va yagona bo`ladi.
Shu bilan birga T(x,t) yechimning o’zi ham x va t oz’garuvchilar bo’yicha yetarli tartibli
hosilalarga ega deb faraz qilamiz. Boshlang`ich va chegaraviy funksiyalar o`zaro
muvofiqlashgan bo`lishi kerak, ya’ni
shartlar bajarilishi kerak. Umuman olganda, bu shartlar bajarilmaganda ham (2) tenglama
yechimga ega.

Agar devor va boshqa to`siqlar har xil materiallar qorishmasidan iborat bo`lsa, issiqlik
o`tkazuvchanlik koeffitsiyenti x va t qiymatlarga bog`liq o`zgaruvchi miqdor bo`ladi. Shu
bilan jism zichligi ham x va t bo’yicha o`zgaruvchi miqdor bo`lishi mumkin. Bu holda
issiqlik o`zgaruvchanlik tenglamasi
(5)
ko`rinishida yoziladi. Bunda
lar
shartlarni qanoatlantiruvchi ma’lum silliqlikka ega funksiyalardir.
Boshlang`ich va chegaraviy shartlar odatdagidek yoziladi:
(6)
bu yerda ham lar berilgan funksiyalar
(5) tenglamadagi differinsial operatorni qaraymiz.
Vaqt bo`yicha o`zgaruvchi t o’zgarmas deb qaraylik Unda ixtiyoriy t uchun qaralayotgan
sohada to`r kiritib L T operatorni
(7)

ko`rinishda appoksimatsiyalaymiz Bunda b=b(x,t) deb funksiya kiritilgan to`rda
aniqlangan funksiya va T i
deb ixtiyoriy j lar uchun aniqlangan T
j i
to`r funksiyalari
tushuniladi. Endi (3.3) approksimatsiya (7) h bo`yicha ikkinchi tartibga ega bo`lishi uchun
b(x,t) funksiya qanday tanlanishi kerakligini aniqlaymiz. Quyidagi
Yoyilmalarni x=xi nuqtada aniqlab, (7) ga qo`ysak (shtrixlar x bo`yicha hosilalarni
bildiradi)
ni topamiz. Yana ekanligini hisobga olsak
(8)
formulaga ega bo`lamiz. Bunda
belgilashlar ishlatilgan. (8) tafovut
O (h 2
)aniqlikka ega bo`lishi uchun

(9)
shartlarining bajarilishi yetarli.
Quyidagi
funksiyalar uchun (5) shartlarining bajarilishini tekshirish qiyin emas. (1)
tenglamani chekli ayirmali tenglama bilan almashtiramiz. Bunda har xil chekli ayirmali
sxemalarni qo`llash mumkin
(10)
to`r tenglamasini va (11)
boshlang`ich va chegaraviy shartlarni hosil qilamiz.
(10) tenglamaning turg`unligini tekshiramiz. Buning uchun o`zgaruvchi koeffitsiyentli
tenglamalarning turg`unligini tekshirishda ishlatiladigan “qotirilgan koeffitsiyentlar”
prinsipini ishlatamiz. Bu prinsip o`zgaruvchi koeffitsiyentlarning
x va t argumentlariga o`zgarmas qiymatlar berib masalani o`zgarmas koeffitsiyentli
masalaga keltirishga asoslangan. Masalan
bo`lsa, (10) tenglamadan

(12)
ni hosil qilamiz. Biz bu tenglama bilan ilgari ishlagan edik. Uning turg`unlik sharti
(13)
tengsizlik bilan aniqlanar edi.
Qotirilgan koeffitsiyentlar prinsipida (13) tengsizlik barcha (x
i t) nuqtalarda bajarilsa, ya’ni
)
(14)
bo`lsa, (14) tenglama turg`un deb qaraladi.
Agar tengsizliklar bajarilsa, (14)
shartni
(15)
ko`rinishda ham yozishimiz mumkin
Agar approksimattsiya uchun yuqorida ko`rsatilgan T-shablon ishlatilsa, (1)
tenglamaning o`rniga
(15)

tenglamaga ega bo`lamiz. Bu sxema (6) sxemadan farqli ravishda oshkormas
sxemadir. U shartsiz turg`undir, ya’ni turg`unlik (12)-(14) shartlarning bajarilishiga
bog`liq bo`lmagan holda bajariladi.
Ayrim hollarda oshkor va oshkormas sxemalar (1) tenglamani approksimatsiya
qilish uchun birgalikda ishlatiladi:
Bu sxema bo`lsa (5) va bo`lsa, (7) sxemaga mos tushadi. Sxema
bo`lganda absolyut turg`un bo`ladi
Issiqlik tarqalayotgan soha ikki o`lchamli bo`lsa, temperatura funksiyasi vaqtdan tashqari
ikkita fazoviy koordinatalarga bog`liq funksiya bo`ladi. Eng sodda ko`rinishda bu soha
to`g`ri to`rtburchakdan iborat bo`ladi.
Issiqlik o`tkazuvchanlik tenglamasi qaralayotgan hol uchun
(1a)
ko`rinishda bo`ladi.
Boshlang`ich shart
shaklda olinadi
Chegaraviy shartlarni esa to`rtburchakning
tomonlarida berish kerak
Masalan

Yuqoridagi shartlarda
lar berilgan funksiyalardir. Ular
o`zaro moslangan bo`lishlari kerak, ya’ni
Uchala o`zgaruvchilar, ya’ni
x,y,t larning o`zgarish sohasi to`g`ri burchakli parallelopipedchalarga bo`lib, to`r
kiritamiz tugun nuqtalarda aniqlangan to`r funksiyaning qiymatini
deb belgilaymiz Bu qiymatlardan foydalanib, (1a) tenglama uchun har xil
chekli ayirmali sxemalar tuzishimiz mumkin.
Masalan, approksimatsiya uchun 1-a rasmda ko`rsatilgan shablon ishlatilsa
(2a)
to`r tenglamaga ega bo`lamiz. Bunda (2a) tenglamaning
approksimatsiya aniqligi ekanligini ko`rish qiyin emas

Sxemaning turg`unligini tekshirish uchun (1a) tenglamada tenglamada
deb, xuddi bir o`lchamli masaladagi kabi
ifodani ishlatamiz. Bunda
ixtiyoriy haqiqiy sonlar mavhum birlik (yuqoridagidan farqli ravishda).
Bu ifodani (1a) tenglamaga qo`yib ekanligini hisobga olgan holda
ifodani topamiz. Bunda
desak
Neyman shartidan bo`lishi kerakligini topamiz. Bu shart bajarilsa, (2a)
sxema turg`un bo`ladi (2a) sxemada R+1 qatlamdagi yechimni r-qatlamdagi

yechimlar orqali oshkor ko`rinishda topish mumkin:
(3a)
Agar bo`lsa, (3a) formuladan
(4a)
ko`rinishdagi sodda formulani topamiz.
Xuddi bir o`lchamli issiqlik o`tkazuvchanlik tenglamasiga bo`lgani kabi, (1a)
tenglamani oshkormas sxemalar bilan ham approksimatsiya qilish mumkin. Natijada
(4a)
chekli ayirmali tenglamani hosil qilamiz.
Bu tenglamani
(5a)
ko`rinishda yozamiz.
Bu tengalamalar izlanuvchi yechimlarga nisbatan chiziqli algebraik tenglamalar
bo`lib, sistema tashkil qiladi. Yetishmayotgan tenglamalar chegaraviy shartlardan
keltirilib chiqariladi. Tenglamalardan ko`rinib turibdiki, ular bir o`lchamli
tenglamalar uchun oshkormas sxemalarda hosil bo`lgan tenglamalarga nisbatan
murakkabroqdir. Shu tufayli hisoblash ishlari ham ancha ortadi. Lekin bu sxema
(2a) sxemadan farqli ravishda shartsiz turg`undir. Oshkormas sxemalarning bu
xususiyati ularning oshkor sxemalarga nisbatan keng ishlatilishining asosiy
sababidir

(1)
tenglamaning koeffitsienlari
shartlarni qanoatlantirsin. U holda (1) tenglamaning ixtiyoriy netrivial yechimi uchun f(x)
bo’ladi.
Bu teoremaning Perron tomonidan aniqlangan ko’rinishini quyidagicha.
Agar Puankarening (P) shartlari bajarilganda (1) tenglama
yechimlarga ega bo’lsa, u holda
bo’ladi.
Isbot: Bir qator sodda lemmalarga asoslangan.
Kelgusida
(2)
tenglama (1) tenglamaning (P) Puankare shartlari bajarilgandagi xarakteristik (aniqlovchi )
tenglamasi deyiladi

1-lemma. Agar bo’lganda bo’lib
tenglamaning yechimi bo’lsin. U holda
Ifoda
tenglamaning yechimi bo’ladi, bu yerda

XULOSA
Ikki o`lchamli masalalarni yechishda local bir o`lchamli sxemalar ham ishlatiladi.
Ularni hosil qilishda vaqt bo`yicha har bir kasr qadamda tenglama bir o`lchamli deb
qaraladi va natijada ko`p o`lchamli masala bir o`lchamli masalalar ketma-ketligiga
keltiriladi. Shuning uchun bu sxemalarga koordinatalar bo`yicha parchalash
sxemalari deyiladi. Har bir kasr qatlamdagi to`r tenglamalar berilgan tenglamani
alohida approksimatsiyalaydi. Ularning hammasini jamlaganda berilgan ko`p
o`lchamli tenglamani approksimatsiyalovchi to`r hosil bo`ladi.

Foy dalanilgan Adabiy ot lar
1. Richard L. Burden and J. Douglas Faires. Numerical Analysis. Ninth Edition, Boston,
USA, 2011. – 895 p.
2. L.Ridgway Scott. Numerical Analysis. Princeton University Press, 2011.- 342 p.
3. Абдухамидов А . У ., Худойназаров С . Ҳисоблаш усуларидан амалиёт ва
лаборатория машғулотлари . – Тошкент : Ўқитувчи , 1995. – 240 б .
4. Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Решение задач вычислитеrной математики в
пакетах Mathcad, Mathlab, Maple (Самоучитеr). – М.: НТ Пресс, 2006. – 496 с.
5. Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. В. Вычислитеrные мето-ды. - М.:
Издатеrский дом МЭИ, 2008. - 672 с.
6. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобеrков Г. М. Численные методы. – М.: Изд-во
Бином. Лаборатория знаний, 2011. – 640 с.
7. Бахвалов Н. С., Лапин А. В., Чижонков Е. В. Численные методы в задачах и
упражнениях. – М.: Изд-во Бином. Лаборатория знаний, 2010. – 240 с.
8. Вержбицкий В. М. Основы численных методов. – М.: Высшая школа, 2009. – 848
с.
9. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислитеrной математики. М.: Наука,
1966. – 566 б.
10. Дьяконов В.П. Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании. – М.: СОЛОН-
Пресс, 2006. – 720 с.
11. Дьяконов В. П. Maple 10/11/12/13/14 в математических расчетах. — М.: ДМК-
Пресс, 2011.
12. Исраилов М.И. Ҳисоблаш методлари. 1- қисм. – Тошкент: Ўқитувчи, 2003. – 440
б.
13. Калиткин Н.Н., Аrшина Е.А. Численные методы: в 2 кн. Кн. 1. Численные
анализ. - М. : Издатеrский центр «Академия», 2013. - 304 с.
14. Кирянов Д.В. Mathcad 13. – СПб.: БХВ-Петербург, 2006. – 608 с.
15. Копченова Н.В., Марон И. А. Вычислитеrная математика в примерах и задачах.
– М.: Наука, 2009. – 368 с.
16. Марчук Г.И. Методы вычислитеrной математики. – М.: Изд-во Лань, 2010. –
608 с.
17. Матросов А. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. – СПб.:
БХВ-Петербург, 2001.
18. Мэтьюз Джон Г., Финк Куртис Д. Численные методы. Испоrзование Matlab. 3-
издание: Пер. с англ. – М.: Изд-во дом «Виrямс», 2001. - 720 с.
19. Самарский А.А. Введение в численные методы. – М.: Изд-во Лань, 2009. - 288 с.

20. Internet ma`lumotlarini olish mumkin bo`lgan saytlar:
www.exponenta.ru
www.lochelp.ru
www.math.msu.su
www.colibri.ru

Mavzu : Bir o’lchamli nost at sionar issiqlik o’t k azuv chanlik t englamasini chek li ay irmalar usuli bilan y echish. Mundarija Kirish. I. Nazariy qism 1.1 Umumiy mulohazalar . II. Loyiha qismi 2.1 Koʼp o’lchamli nost at si onar issiqlik o’t k azuv chanlik t englamasi 2.2 Chekli ayirmalar usuli 2.3 Puankare va Perron teoremalari. III. Xulosa IV. Foydalanilgan adabiyotlar

Endi biz differensial tenglamalarni yechishga doir aniq misolni ko`rib chiqamiz. Bizga misol sifatida oldindan ma’lum bo`lgan issiqlik o`tkazuvchanlik tenglamasi berilgan bo`lsin. (1) Bu tenglamani manbalari bor hol uchun quyidagicha yozishimiz mumkin (2) Bu yerda f(x,t)funksiyalar issiqlik manbaining kuchini ifodalaydi. Boshlang`ich va chegaraviy shartlar (3) (4) ko`rinishda beriladi. Bunda funksiyalar berilgan funksiyalardir. Bu funksiyalar ma’lum silliqlik shartlarini (o`zlarining va turli tartibdagi hosilalarining uzluksizligi) bajarilganda (2)-(4) masalaning T(x,t) yechimi mavjud va yagona bo`ladi. Shu bilan birga T(x,t) yechimning o’zi ham x va t oz’garuvchilar bo’yicha yetarli tartibli hosilalarga ega deb faraz qilamiz. Boshlang`ich va chegaraviy funksiyalar o`zaro muvofiqlashgan bo`lishi kerak, ya’ni shartlar bajarilishi kerak. Umuman olganda, bu shartlar bajarilmaganda ham (2) tenglama yechimga ega.

Agar devor va boshqa to`siqlar har xil materiallar qorishmasidan iborat bo`lsa, issiqlik o`tkazuvchanlik koeffitsiyenti x va t qiymatlarga bog`liq o`zgaruvchi miqdor bo`ladi. Shu bilan jism zichligi ham x va t bo’yicha o`zgaruvchi miqdor bo`lishi mumkin. Bu holda issiqlik o`zgaruvchanlik tenglamasi (5) ko`rinishida yoziladi. Bunda lar shartlarni qanoatlantiruvchi ma’lum silliqlikka ega funksiyalardir. Boshlang`ich va chegaraviy shartlar odatdagidek yoziladi: (6) bu yerda ham lar berilgan funksiyalar (5) tenglamadagi differinsial operatorni qaraymiz. Vaqt bo`yicha o`zgaruvchi t o’zgarmas deb qaraylik Unda ixtiyoriy t uchun qaralayotgan sohada to`r kiritib L T operatorni (7)

ko`rinishda appoksimatsiyalaymiz Bunda b=b(x,t) deb funksiya kiritilgan to`rda aniqlangan funksiya va T i deb ixtiyoriy j lar uchun aniqlangan T j i to`r funksiyalari tushuniladi. Endi (3.3) approksimatsiya (7) h bo`yicha ikkinchi tartibga ega bo`lishi uchun b(x,t) funksiya qanday tanlanishi kerakligini aniqlaymiz. Quyidagi Yoyilmalarni x=xi nuqtada aniqlab, (7) ga qo`ysak (shtrixlar x bo`yicha hosilalarni bildiradi) ni topamiz. Yana ekanligini hisobga olsak (8) formulaga ega bo`lamiz. Bunda belgilashlar ishlatilgan. (8) tafovut O (h 2 )aniqlikka ega bo`lishi uchun

(9) shartlarining bajarilishi yetarli. Quyidagi funksiyalar uchun (5) shartlarining bajarilishini tekshirish qiyin emas. (1) tenglamani chekli ayirmali tenglama bilan almashtiramiz. Bunda har xil chekli ayirmali sxemalarni qo`llash mumkin (10) to`r tenglamasini va (11) boshlang`ich va chegaraviy shartlarni hosil qilamiz. (10) tenglamaning turg`unligini tekshiramiz. Buning uchun o`zgaruvchi koeffitsiyentli tenglamalarning turg`unligini tekshirishda ishlatiladigan “qotirilgan koeffitsiyentlar” prinsipini ishlatamiz. Bu prinsip o`zgaruvchi koeffitsiyentlarning x va t argumentlariga o`zgarmas qiymatlar berib masalani o`zgarmas koeffitsiyentli masalaga keltirishga asoslangan. Masalan bo`lsa, (10) tenglamadan

O'xshashlar

Issiqlik o’tkazuvchanlik masalalarini chekli ayirmali sxemalar yordamida yechish.

Oddiy differensial tenglamalarni chekli elementlar usuli bilan yechish

Issiqlik o’tkazuvchanlik.

ISSIQLIK TEXNIKASI. ISSIQLIK TEXNIKASINING QO’LLANILISH SOHALARI, ASOSIY TUSHUNCHALARI. ISSIQLIK O’TKAZUVCHANLIK.

To’lqin tenglamasi uchun qo’yilgan umumiy masalani chekli ayirmali usuli bilan yechish va algoritmini tuzish