Davriy o‘nli kasrlar irratsional sonlar.Haqiqiy sonlar. Chegaralangan va chegaralanmagan sonli to`plamlar 1. Davriy o‘nli kasrlar irratsional sonlar 2. Haqiqiy sonning absolyut qiymati va uning xossalari. 3. Quyidan (yuqoridan) chegaralangan to`plam. Aniq quyi (yuqori) chegara.

Davriy o‘nli kasrlar irratsional sonlar Butun sonlarning har biriga bo luvchi bo lgan butun songa ʻ ʻ a1,a2,...,an bu sonlarning umumiy bo luvchisi deyiladi. Bu sonlarning umumiy bo luvchisi, agar ʻ ʻ berilgan sonlarning har bir umumiy bo luvchisiga bo linadigan bo lsa, ularning ʻ ʻ ʻ eng katta umumiy bo luvchisi deyiladi. ʻ Ratsional son va b >0 bo'lsin a b . Ularning eng katta umumiy bo‘luvchisini aniqlash uchun a va b ga Evklid algoritmini qo‘llash orqali biz yakuniy tenglik tizimini olamiz: a=bq 1 +r 2 ,¿} b=r 2 q 2 +r 3 ,¿} r 2 =r 3 q 3 +r 4 ,¿} ...................,¿}r n−2 =r n−1 q n−1 +r n ,¿} ¿¿(1)¿ ketma-ket bo'linishlarning to'liq bo'lmagan qismi qayerda q1,q2,...,qn−1 qoldiqlariga mos keladi r2,r3,...,rn b> r2 > r3 …> rn >0 sharti bilan , qolgan qismi esa 0 ga mos keladi . Tenglik tizimi (1) ekvivalent sistemaga mos keladi a b =q 1 + r 2 b =q 1 + 1 b r 2 , ¿ } b r 2 =q 2 + r 3 r 2 =q 2 + 1 r 2 r 3 , ¿ } .....................................,¿} r n−2 r n−1 =q n−1 + r n r n−1 =q n−1 + 1 r n−1 r n , ¿ } ¿¿(2)¿

undan har bir kasrni ketma-ket almashtirish orqali b r2 , r2 r3 va hokazo. uning keyingi qatordagi mos ifodasi kasrning ifodasini beradi a b shaklida: q1+ 1 q2+ 1 q3++ 1 qn−1+ 1 qn Bunday ifoda to'g'ri (cheklangan) davomli kasr yoki to'g'ri davomli kasr deyiladi va shunday deb taxmin qilinadi. q1 butun son, q2 , ..., qn natural sonlardir. Davomli kasrlarni yozishning turli shakllari mavjud: a b= q1+ 1 q2+ 1 q3+ + 1 qn−1+ 1 qn a b= q1+ 1 q2 + 1 q3 +...+ 1 qn , a b=(q1,q2,...,qn). Bizda mavjud bo'lgan oxirgi belgiga ko'ra (q1,q2,...,qn)=q1+ 1 (q2,...,qn). Raqamlar q1 , q2 , ..., qn davomli kasrning elementlari deyiladi. Evklid algoritmi har qanday ratsional sonning davomli kasr ko'rinishidagi tasvirini (yoki parchalanishini) topish imkonini beradi. Davomli kasrning elementlari sifatida (1) tenglik tizimidagi ketma-ket bo'linishlarning to'liq bo'lmagan bo'linmalari olinadi, shuning uchun davomli kasrning elementlari ham to'liq bo'lmagan bo'laklar deb ataladi. Bundan tashqari, (2) sistemaning tengliklari shuni ko'rsatadiki, davomli kasrga parchalanish jarayoni butun qismni ketma-ket ajratish va kasr qismini teskari aylantirishdan iborat. Oxirgi nuqtai nazar birinchisiga qaraganda umumiyroqdir, chunki u nafaqat ratsional sonning, balki har qanday haqiqiy sonning uzluksiz kasr kengayishi uchun ham amal qiladi.

Ratsional sonlarni kengaytirish a b Shubhasiz, ketma-ket bo'linishning Evklid algoritmidan beri cheklangan miqdordagi elementlarga ega. a on b cheklangan. Har bir davomli kasr ma'lum bir ratsional sonni ifodalashi, ya'ni ma'lum bir ratsional songa teng ekanligi aniq. Ammo savol tug'iladi: bir xil ratsional sonning davomli kasr bilan turli xil ko'rinishlari bormi? Ma'lum bo'lishicha, agar siz borligini talab qilsangiz, yo'q qn>1 . Teorema . Berilgan ratsional songa teng bitta va faqat bitta chekli davomli kasr mavjud, bu shart qn>1 . Isbot: 1) E'tibor bering, agar belgilangan shartdan voz kechilsa, tasvirning o'ziga xosligi yo'qoladi. Aslida, qachon qn>1 : qn=(qn−1)+1 1, shuning uchun vakillik uzaytirilishi mumkin: (q1,q2,...,qn)=(q1,q2,...,qn−1,1 ), masalan, (2, 3, 1, 4, 2)=( 2, 3, 1, 4, 1, 1) . 2) Shartni qabul qilib qn>1 , davomli kasrning butun son qismini aytishimiz mumkin (q1,q2,...,qn) uning birinchi to'liq bo'lmagan qismiga teng q1 . Aslida: 1. agar n= 1 bo'lsa 2. n= 2 bo'lsa , u holda (q1,q2)= q1+ 1 q2 ,q2>1 ; Shunung uchun [(q1,q2)]=q1. 3. agar n> 2 bo'lsa (q1,q2,...,qn) = q1+ 1 q2+ 1 qn Qayerda q2+ 1 q3+ 1 qn >1, chunki q2≥1.

Ko'chirib oling, shunda to'liq holda ko'ra olasiz

O'xshashlar