Mustaqil ish-3 Mapleda differensial tenglamalarni yechish funksiyalari. Mustaqil ish ishning bajarilish tartibi: 1. Nazariy qism 2. Berilgan topshiriqning bajarilish qismi 2.1. Mustaqil ishtopshirig’i mazmuni 2.2. Mustaqil ishning bajarilishi 3. Xulosa 4. Adabiyotlar

Chiziqli differensial tenglamalar . Maple tizimida, DEtools paketining subsetini ishlatgan holatda differensial operatorlar bilan ishlash mumkin. Differensial operatorlar bu holda ko'phad obyektlar bo'lib quyidagi shaklga ega bo'ladi: L := a n ( x ) DF ( n ) + . . . + a 1 ( x ) DF  a 0 ( x ) a i ( x ) koeffisiyentlari soha ustidagi ratsional funksiya hisoblanadi. Bu yerda D DF( x )  1 va DF( u v )  u DF( v )  DF( u ) v . kabi xossalarni qonotlantiradigan obyekt hisoblanadi . Bu operatorlar ustida ko'paytirish, simmetrik ko'paytmalar hosil qilish, bir tomonli eng katta umumiy bo'luvchilarni topish, ko'paytuvchilarga ajratish, va boshqa funksiyalarni bajarish mumkin. Differensial tenglamalarning umumiy yechimi. Maple da differensial tenglamalarning analitik yechimlarini topish uchun quyidagi komanda ishlitiladi: dsolve(eq,var,options), bu yerda eq – differensial tenglama, var – noaniq funkslar, options – parametrlar. Parametrlar masalaning yechilish metodini ko’rsatishi mumkin, masalan, jimlik qoidasi bo’yicha analitik yechim quyidagicha izlanadi: type=exact. Differensial tenglamani kiritishda hosilani bildirish uchun diff komanda ishlatiladi, masalan, y'' + y = x differensial tenglama quyidagi ko’rinishda yoziladi: diff(y(x),x$2)+y(x)=x. Differensial tenglamalarning umumiy yechimi soni differensial tenglamaning tartibiga bog’liq bo’lgan ixriyoriy o’zgar-maslarga bog’liqdir. Maple da bunday o’zgarmaslar qoida bo’yicha _ S1 , _ S2 , va h.k.lar bilan belgilanadi. Bir jinsli bo’lmagan chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimi hamma vaqt shunday chiqariladiki, ushbu yechimning strukturasi aniq ko’rinadi. Shu bilan birga bir jinsli bo’lma-gan chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimi unga mos keluvchi bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechim lari yig’indisiga hamda berilgan bir jinsli bo’lmagan diffe-rensial tenglamaning xususiy yechimiga teng. Shuning uchun ham bir jinsli bo’lmagan chiziqli

differensial tenglamaning yechi-mini chiqarish satri hamma vaqt ixtiyoriy o’zgarmaslarni o’z ichi-ga olgan qo’shiluvchilardan iborat (bu mos keluvchi differensial tenglamaning umumiy yechimi) va ixtiyoriy o’zgarmaslarsiz bo’lgan yig’indidan iborat (bu bir turli bo’lmagan differensial teng-lamaning xususiy yechimi) bo’lishi mumkin . dsolve komanda differensial tenglamaning yechimini hi-soblanmaydigan shaklda beradi. Hosil bo’lgan yechim ustidan ke-yinchalik ishlash uchun (masalan, yechim grafigini yasash) hosil bo’lgan yechimning o’ng tomonini rhs(%)komanda bilan ajratish kerak. y '+ y cos x =sin x cos x differensial tenglamaning umumiy yechimini toppish > restart; > de:=diff(y(x),x)+y(x)*cos(x)=sion(x)*cos(x); := de       d d x ( )y x ( )y x ( )cos x ( )sion x ( )cos x > dsolve(de,y(x)); ( ) y x  e( )  () sin x d    ( ) sion x ( ) cos x e () sin x x e( )  () sin x _C1 Demak, izlanayotgan tenglamaning yechim funksiyasi y( x )   sin( x )  1   e (  sin( x )) _ C Eslatma : Maple da differensial tenglamaning yechimini chiqarish satrida ixtiyoriy konstanta _ S1 kabi belgilanadi. y ''  2 y '+ y =sin x + e  x ikkinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimini toping. > restart; > deq:=diff(y(x),x$2)-2*diff(y(x),x)+y(x)=sin(x)+exp(-x); := deq          d d2 x2 ( ) y x 2    d d x ( ) y x ( ) y x  ( ) sin x e( )x > dsolve(deq,y(x)); ( )y x  e x _C2 e x x _C1 1 4 e ( )x ( )2 ( )cos x e x 1 Eslatma : berilgan tenglama ikkinchi tartibli bo’lganligi sa-babli olingan natijada ikkita ixtiyoriy konstantalar mavjud, ular Maple da _ S1 i _ S2 kabi

balgilanadi. Yechimda birinchi ikkita qo’shiluvchilar berilgan bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechimi, qolgan ikkitasi esa bir jinsli bo’lmagan differensial tenglamaning xususiy yechimidir. y ''+ k 2 y =sin( qx ) tartibda berilgan differensial tenglamaning q  k va q = k (rezonans) ikki holda umumiy yechimini topish. > restart; > de:=diff(y(x),x$2)+k^2*y(x)=sin(q*x); := de         d d2 x2 ( ) y x k2 ( ) y x ( ) sin qx Koshi masalasi yoki chegaraviy masalaning yechilishi. dsolve komanda Koshi masalasi yoki chegaraviy masalaning yechimini topishi mumkin, agarda berilgan differensial tenglama uchun noaniq funksiyaning boshlang’ich hamda chegaraviy shartlari berilsa. Boshlang’ich yoki chegaraviy shartlarda hosilalarni belgi-lash uchun differensial operator D ishlatiladi, masalan, y''(0)=2 shartni ( D @@2)( y )(0)   2 kabi berishga to’g’ri keladi yoki y '(1)=0 shart-ni: D ( y )(1)   0 . Eslatib o’tamiz, n -chi tartibli hosila ( D @@ n )( y ) kabi yoziladi. Koshi masalasining yechimini topish: y (4) + y ''=2cos x , y (0)=  2, y '(0)=1, y ''(0)=0, y '''(0)=0. > restart; > de:=diff(y(x),x$4)+diff(y(x),x$2)=2*cos(x); := de         d d4 x4 ( ) y x       d d2 x2 ( ) y x 2 ( ) cos x > cond:=y(0)=-2,D(y)(0)=1,(D@@2)(y)(0)=0,(D@@3)(y)(0)=0; := cond , , ,  ( ) y 0 -2  ( ) ( ) D y 0 1  ( ) ( ) ( ) D()2 y 0 0  ( ) ( ) ( ) D()3 y 0 0 > dsolve({de,cond},y(x));  ( ) y x    2 ( ) cos x ( ) sin x x x Berilgan topshiriqning bajarilish qismi. Quyidagi Koshi masalasini yechimini grafigini [  2; 3] oraliqda DEplot komandasidan foydalanib chizing: у ''  4 x у '+ x =0, у (0)=1, у '(0)=  4. > restart; > de:=diff(y(x),x$2)-4*x*diff(y(x),x)+x=0; := de          d d2 x2 ( ) y x 4x    d d x ( ) y x x 0

> cond:=y(0)=1,D(y)(0)=-4; := cond ,  ( ) y 0 1  ( ) ( ) D y 0 -4 > dsolve({de,cond},y(x));  ( ) y x   17 16 I 2  ( ) erf 2 xI x 4 1 > restart; > with(DETools): > DifTeng:=diff(y(x),x$2)-4*x*diff(y(x),x$1)+x=0; := DifTeng          d d2 x2 ( ) y x 4x    d d x ( ) y x x 0 > Bosh_shart:=[[y(0)=1,D(y)(0)=-4]]; := Bosh_shart [ ] [ ] ,  ( ) y 0 1  ( ) ( ) D y 0 -4 > DEplot(DifTeng,y(x),x=-2..3,Bosh_shart);