Mapleda tenglamalar sistemasi va tenglamalarni yechish
![2-bob. Maple tizimida tenglama va tengsizliklarni yechish
2.1 Tenglamalarni yechish
Chiziqli va chiziqli bo'lmagan tenglamalar va tengsizliklarni yechish matematik
tahlilning eng muhim yo'nalishlaridan biridir. Maple buning uchun kuchli vositalarga
ega.
Chiziqli va chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni analitik shaklda yechish uchun
juda universal va moslashuvchan yechish (eqn, var) yoki yechish ({eqnl,eqn2... .},
{varl,var2,...}) funksiyasidan foydalaning, bu yerda eqn bir qator o'zgaruvchilarning
funksiyasini o'z ichiga olgan tenglama, var - yechim qidirilayotgan o'zgaruvchi. Agar
eqn yozishda tenglik belgisi yoki nisbat belgilari ishlatilmasa, yechish eqn=0
tenglamaning ildizlarini izlash deb hisoblanadi.
Qarorlarning tabiati global o'zgaruvchilar yordamida o'zgartirilishi mumkin:
− _So1utionsMayBeLost - rost qiymatga o‘rnatilganda, hal qilish funksiyasi
bilan normal foydalanilganda NULL qiymatlarni qaytaradigan yechim beradi;
− _MaxSols - yechimlarning maksimal sonini belgilaydi ;
− _EnvAllSolutions - agar rost bo'lsa, barcha yechimlarning chiqarilishini
belgilaydi.
Yechimlarda quyidagi belgilar paydo bo'lishi mumkin:
− _NN - manfiy bo‘lmagan yechimlarni ko‘rsatadi;
− _B - ikkilik shakldagi yechimlarni ko‘rsatadi;
− _Z - yechimda butun sonlar mavjudligini bildiradi ;
− %N - matn chiqarish formatida, yechimning umumiy shartlarini
belgilaydi va uni taqdim etishning yanada ixcham shaklini beradi.
IN yechish[submavzu] shakli mumkin yechish funksiyasining subtopik
parametrlari quyidagicha turlari : float, funksiyalar, identifikator, tengsiz, chiziqli,
radikal, skalar, qator, sistema.
Tenglamalar tizimini yechishda ular va o'zgaruvchilar ro'yxati to'plamlar
sifatida, ya'ni jingalak qavslar ichida ko'rsatiladi. Bunday holda, eritmaning natijasi
13](/data/documents/fade5219-1ebd-49a1-973d-8655fdec631a/page_13.png)
![:= eq 2x2 x 3 0> s:=[yechish(ekv,x)];
:= s
, 1
4
1
4I 23 1
4
1
4I 23
Keyin biz har bir ildizga kirish huquqiga egamiz va uning qiymatini keyingi
hisob-kitoblarda ishlatishimiz mumkin
> s[1];
1
4
1
4I 23
> s[2];
1
4
1
4I 23
almashtirish orqali tekshirishni osonlashtiradi :
> subs(x=s[1],ekv);
2
1
4 1
4 I 23 2
11
4 1
4 I 23 0
> subs(x=s[2],ekv);
2
1
4 1
4 I 23 2
11
4 1
4 I 23 0
> baholash(%);
0. 0. I 0.
Ko‘rinishdagi tenglamalar yechim(f1( x )= f 2( x ), x ) funksiyasi
yordamida ham yechiladi . Keling, misollarni ko'rib chiqaylik.
> yechish ( x ^2=3* x +4, x );
,4 -1
> eq1:=(x^2+1)/(x-4);
:= eq1 x
2 1
x 4
> eq2:=23+(x^2-1)/(x+3);
:= eq2 23 x
2 1
x 3
15](/data/documents/fade5219-1ebd-49a1-973d-8655fdec631a/page_15.png)
![, x b 2x b> yechish(ekv,b);
, x a 2x a
Xuddi shu funktsiyadan foydalanib, biz turli funktsiyalarni o'z ichiga olgan
tenglamalarni, shuningdek, irratsional, logarifmik va ko'rsatkichli tenglamalarni
yechamiz. Keling, misollarni ko'rib chiqaylik.
> eq :=5* x ^2+ abs ( x +7)-13=0;
:= eq 5x2 x 7 13 0
> y:=[yechish(ekv,x)];
:= y
,1 -6
5
> subs(x=y[1],ekv);
8 8 0
> subs(x=y[2],eq);
29
5
29
5 0
Quyidagi misolni ko'rib chiqing:
> eq:=(abs(x+1)-3)/(abs(x)-2)=1;
:= eq x 1 3
x 2 1
> yechish(ekv,x);
, ( ) RealRange ,0 ( ) Open 2 ( ) RealRange , ( ) Open 2
Biz olgan narsa tenglamaning yechimi emas, balki tengsizlikning yechimi edi.
Biz faqat ikkita qiymat 0 va 2 ildiz bo'lishi mumkin degan xulosaga keldik. 2 qiymat
ODZga kiritilmagan, shuning uchun biz uni o'chirib tashlaymiz. Tekshirish yordamida
biz x=0 ildiz ekanligiga ishonch hosil qilamiz
> subs ( x =0, eq );
1 3
0 2 1
17](/data/documents/fade5219-1ebd-49a1-973d-8655fdec631a/page_17.png)
![, 1
2 2_Z2~ 2_Z3~>qayta ishga tushirish; y1:=sin(x); y2:=cos(x)-1;
:= y1 ( ) sin x
:= y2 ( ) cos x 1
> chizma([y1,y2],x=-10..10);
Rasm. 1
yechish funksiyasi yordamida ham yechish mumkin .
> eq:=2*arcsin(x)-arccos(4*x);
:= eq 2 ( ) arcsin x ( ) arccos 4x
> yechish(ekv,x);
1
2
2 6
1 1
2 6
2 3
2 6
> eq:=2*arccos(x)-arctan(x);
:= eq 2 ( ) arccos x ( ) arctan x
> yechish(ekv,x);
1
2 2 3( )/14
Nochiziqli tenglama yoki nochiziqli tenglamalar sistemasining sonli yechimini
21](/data/documents/fade5219-1ebd-49a1-973d-8655fdec631a/page_21.png)
![:= sys { } , ( ) cos x ( ) cos y 3 x y 1
3> yechish(sys,{x,y});
{ } , y 1
6 2_Z20~ x 1
6 2_Z20~
Masalalar: 17 – variant
> with(LinearAlgebra):
A := <<1,1,2,1>|<-4,1,3,2>|<0,2,-1,3>|<-1,3,-1,-1>>;
> B:=<2,1,-6,-4>;
> GaussianElimination(A);
> GaussianElimination(A,'method'='FractionFree');
> ReducedRowEchelonForm(<A|B>);
> restart;
> with(Student[LinearAlgebra]):
> d := <<1,1,2,1>|<-4,1,3,2>|<0,2,-1,3>|<-1,3,-1,-1>>;
27](/data/documents/fade5219-1ebd-49a1-973d-8655fdec631a/page_27.png)
![> restart;
> with(LinearAlgebra):
> A:=<<2,2,3>|<1,-1,4>|<4,-3,-5>>;
> B:=<20,3,-8>;
> GaussianElimination(A);
> GaussianElimination(A,'method'='FractionFree');
> ReducedRowEchelonForm(<A|B>);
> restart;
> with(Student[LinearAlgebra]):
> d:=<<2,2,3>|<1,-1,4>|<4,-3,-5>>;
> d:=Determinant(d);
> dx1:=<<20,3,-8>|<1,-1,4>|<4,-3,-5>>;
29](/data/documents/fade5219-1ebd-49a1-973d-8655fdec631a/page_29.png)
![> d1:=Determinant(dx1);
> dx2:=<<2,2,3>|<20,3,-8>|<4,-3,-5>>;
> d2:=Determinant(dx2);
> dx3:=<<2,2,3>|<1,-1,4>|<20,3,-8>>;
> d3:=Determinant(dx3);
> x:=d1/d;y:=d2/d;z:=d3/d;
> restart;
> with(Student[LinearAlgebra]):
> A := <<1,6,-1>|<3,6,-2>|<4,5,11>>;
> s:=A^(-1);
> B := <<4,0,1>|<-3,-3,-4>|<11,4,1>>;
30](/data/documents/fade5219-1ebd-49a1-973d-8655fdec631a/page_30.png)
Mapleda tenglamalar sistemasi va tenglamalarni yechish Tarkib Kirish 1-bob. Maple tizimining rivojlanish tarixi va asosiy tamoyillari 1.1 Kompyuter matematikasi tizimlari 1.2 Maple tizimining tarixi va asosiy tamoyillari 2-bob. Maple tizimida tenglama va tengsizliklarni yechish 2.1 Tenglamalarni yechish 2.2 Tenglamalar sistemalarini yechish Masalalar Xulosa Foydalanilgan manbalar ro'yxati 1
Kirish Kompyuter matematikasi (CM) tizimlari matematika, fizika, kimyo, informatika va boshqalar, muhandislik, texnologiya, ta'lim va boshqalar kabi fanning ko'plab sohalarida tobora ko'proq foydalanilmoqda. Maple, Mathematica, MathCad , MuPAD, Macsyma, Reduce, Axiom va Magma kabi SCMlar tadqiqotda ham, sanoatda ham matematik yo'naltirilgan fanlarni o'qitishdagi muammolarni hal qilish uchun tobora ommalashib bormoqda. Ushbu tizimlar olimlar, muhandislar va o'qituvchilar uchun kuchli vositadir. SCM texnologiyasiga asoslangan tadqiqotlar odatda algebraik usullarni ilg'or hisoblash usullari bilan birlashtiradi. Shu ma'noda, SCM matematika va informatika o'rtasidagi fanlararo soha bo'lib, unda tadqiqot kompyuterlarda ramziy (algebraik) hisob-kitoblar va ishlov berish algoritmlarini ishlab chiqishga, shuningdek, dasturlash tillari va dasturlash muhitini yaratishga qaratilgan. bunday algoritmlar va ularga asoslangan turli masalalar.topshiriqlar. Maple kompyuter matematika tizimining asosiy tamoyillarini o'rganishdir . Ushbu maqsaddan kelib chiqib, biz kurs ishida qo'yilgan aniq vazifalarni ajratib ko'rsatishimiz mumkin: - "kompyuter matematikasi tizimlari" tushunchasini, ularning rivojlanish tarixini ochib berish; - Maple tizimining asosiy tamoyillarini o'rganish; − tenglamalar, tengsizliklar va tenglamalar tizimini yechish uchun Maple tizimining imkoniyatlarini o'rganish . 2
3
Maple tizimining rivojlanish tarixi va asosiy tamoyillari 1.1 Kompyuter matematikasi tizimlari Birinchi kompyuterlar kuchli dasturlashtiriladigan kalkulyatorlar sifatida ishlagan va kiritilgan dastur bo'yicha raqamlar ustida murakkab arifmetik va mantiqiy amallarni avtomatik ravishda tez bajarishga mo'ljallangan edi. Hisoblash matematikasining rivojlanishi va sonli usullarning takomillashuvi bilimning istalgan sohasidan istalgan matematik masalani yechish imkonini beradi. Shu tarzda olingan hisob-kitoblarning natijalari arifmetik shakldagi chekli son yoki bunday sonlar to'plamidir. Klassik matematikada matematik hisob-kitoblarning natijalari odatda maxsus raqamlar yordamida ramziy shaklda yoziladi va irratsional qiymatlar radikal yordamida yoziladi. Aks holda, aniqlikning asosiy yo'qolishi mavjud. Klassik misol - har doim birga teng bo'lgan ifoda . Ammo kompyuterda hisoblashda bu ifoda yoki hisoblab chiqiladi (muqarrar yaxlitlash xatolari bilan) yoki argumentning noaniqligi haqida xabar beriladi va keyingi barcha harakatlar to'xtatiladi. Shu sababli, odam kompyuterga matematika uchun an'anaviy usullardan foydalangan holda transformatsiyalarni bajarishni buyurishni xohlashi mantiqan to'g'ri ko'rinadi: kasr-ratsional o'zgartirishlar, almashtirishlar, soddalashtirishlar, tenglamalarni echish, differentsiallash va boshqalar. Bunday transformatsiyalar ramziy transformatsiyalar yoki analitik transformatsiyalar deb ataladi. Bunday o'zgarishlarning natijasi formuladir. O'sha paytda fan yoki ishlab chiqarishning har bir sohasi o'zining matematik apparati bilan qamrab olingan va ular uchun o'zining amaliy dasturiy paketlari (APS) ishlab chiqilgan. Foydalanuvchilar matematika bo'yicha mutaxassislar ham, 4
dasturchilar ham bo'lmaganligi sababli, foydalanuvchilarning keng doirasiga mo'ljallangan mahsulot kerak edi. Ushbu sohadagi kitoblar juda ixtisoslashgan nazariy materiallar va o'ziga xos tasvir tili bilan to'ldirilgan edi. Bunday kitoblardagi materiallar kompyuter algebra tizimlarini ishlab chiqish bilan shug'ullanadigan matematiklarni qiziqtiradi, lekin ulardan foydalanuvchilarning asosiy qismi emas. Tizim foydalanuvchilarining ko'pchiligi aniq analitik o'zgarishlarni to'g'ri bajarish, berilgan funktsiyaning hosilasi yoki antiderivativini ramziy shaklda hisoblash, uni Teylor yoki Furye qatoriga kengaytirish, yaqinlashish va boshqalarni qiziqtiradi, lekin umuman emas. murakkab matematik va mantiqiy tavsifi, bu qanday qilib kompyuter tomonidan amalga oshiriladi (yoki, aniqrog'i, uning dasturchisi). Bularning barchasi foydalanuvchilar keng doirasi - matematika bo'yicha professional bo'lmaganlar uchun mo'ljallangan ramziy matematikaning kompyuter tizimlarini yaratishga olib keldi. Kompyuter matematikasi tizimlari (SCM) yoki kompyuter algebra tizimlari (CAS), ingliz tilida CAS - Kompyuter algebra tizimi XX asrning 60-yillari o'rtalarida shunday boshlandi. G'arb firmalari kompyuter algebrasida professional bo'lmagan foydalanuvchilarning keng doirasiga mo'ljallangan ramziy matematik kompyuter tizimlarini yaratishni boshladilar. Analitik shakldagi masalalarni echishni avtomatlashtirishning katta murakkabligini hisobga olib (matematik o'zgarishlar va munosabatlar soni juda ko'p va ularning ba'zilari izohlashda noaniq) birinchi bunday tizimlar faqat katta kompyuterlar uchun yaratilgan. Ammo keyin mini-kompyuterlar uchun mavjud tizimlar paydo bo'ldi. Ramziy hisoblar uchun dasturlash tillari Reduce, kichik kompyuterlar uchun muMath tizimi va keyinchalik shaxsiy kompyuterlar uchun ramziy matematikaning integratsiyalashgan tizimlari: Derive, MathCAD, Mathematica, Maple V va boshqalar sezilarli rivojlanishga erishdi. Sobiq SSSRda marhum akademik Glushkov maktabi ramziy matematika tizimlarini rivojlantirishga katta hissa qo‘shgan. 70-yillarning oxirida Mir sinfidagi kichik muhandislik kompyuterlari yaratildi, ular hatto apparat darajasida ham analitik 5