Parametrga bog’liq chiziqli tenglamalar sistemasini yechish algoritmi.


Mavzu: Parametrga bog’liq chiziqli tenglamalar sistemasini yechish algoritmi. MUNDARIJA. 1.bob.Umumiy tushunchalar.Tenglamalar sistemasini yechish usullari. 1.1 - § . Chiziqli tenglamalar sistemasi. Kroneker-Kapelli teoremasi 1.2 - § . Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Kramer usuli. 1.3 - § .Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli. 1.4 - § . Chiziqli tenglamalar sistemasini Teskari matritsaviy usuli. II.Chiziqli tenglamalar sistemasining manfiymas va parallelepipeddagi yechimlarini aniqlash. 2. 1 - § .Chiziqli tenglamalar sistemasini manfiymas yechimlarini aniqlash. 2.2 - § .Chiziqli tenglamalar sistemasining manfiymas yechimlari mavjudligini simpleks usulda aniqlash. 2.3 - § . Chiziqli tenglamalar sistemasini parallelepipedda yechimi mavjudligini aniqlash. 2.4 - § . Misollar III. Parametrga bog’liq bo’lgan chiziqli tenglamalar sistemasi yechimlar to’plamining parametrning barcha qiymatlarida bo’sh yoki bo’sh emasligini aniqlash algoritmi. 3.1 - §. Kesmada berilgan parametrga bog’liq bo’lgan chiziqli tenglamalar sistemasining parametrning barcha qiymatlarida yechimini yoki mavjud emasligini aniqlash algoritmi. 3.2 - §. Parallelepipedda berilgan parametrga bog’liq bo’lgan chiziqli tenglamalar sistemasining parametrning barcha qiymatlarida yechimi mavjud yoki mavjud emasligini aniqlash algoritmi. 4.bob . Misollar. 1.Foydalanilgan adabiyotlar. 2. Xulosa.
I-BOB 1.Chiziqli tenglamalar sistemasi. Bizga m ta tenglamadan iborat n ta noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin: {a 11 x 1 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =b 1¿{a 21 x 1 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =b 2¿{.........................................¿¿¿¿ (1) bu yerda, x1,x2,..,xn noma’lumlar. Tenglamalarni birinchi, ikkinchi, va hokazo m- tenglama deb nomerlab chiqilgan deb hisoblaymiz. aij koeffitsient i- tenglamadagi xj noma’lumning koeffitsientini, bi esa i-tenglamaning ozod hadi. Noma’lumlar oldidagi koeffitsientlarni m ta satr va n ta ustundan iborat matritsa ko‘rinishida yozish mumkin: A= ( a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n ... ... ... ... am1 am2 ... amn ) ) ) ¿ ) (2) Ushbu matritsa chiziqli tenglamalar sistemasining asosiy matritsasi deyiladi. Quyidagi ¯A matritsa esa chiziqli tenglamalar sistemasining kengaytirilgan matritsasi deyiladi: A = ( ¿ ¿ a11 a12 ... a1n b1 a21 a22 ... a2n b2 ... ... ... ... ... am1 am2 ... amn bm ¿ ) ) ) ) ¿ )¿ (3) Agar (1) sistemaning barcha ozod hadlari 0 ga teng bo‘lsa, u holda (1) sistema bir jinsli tenglamalar sistemasi deb ataladi. Agar (1) sistemada m=n bo‘lsa, u holda ushbu sistema n - tartibli sistema deyiladi. Yechimga ega bo‘lgan chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda deyiladi. Masalan, ixtiyoriy bir jinsli tenglamalar sistemasi birgalikda bo‘ladi, chunki barcha
noma’lumlarni 0 ga teng qilib olinsa, u bir jinsli tenglamalar sistemasining yechimi bo‘ladi. Yagona yechimga ega bo‘lgan sistema aniq sistema, bittadan ortiq yechimga ega bo‘lgan sistema aniqmas sistema deyiladi. 1.1 - § Bir jinsli tenglamalar sistemasi. Kroneker-Kapelli teoremasi. Ushbu mavzuda chiziqli tenglamalar sistemasini umumiy yechimini topish usulini beramiz. Dastlab, bir jinsli tenglamalar sistemasini qaraymiz. Bizga {a 11 x 1 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =0¿{a 21 x 1 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =0¿{........................................¿¿¿¿ (1.1.1) bir jinsli tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin. Ma’lumki, ushbu sistemaning matritsasini A va matritsaning ustunlarini v1,v2,...,vn deb olsak, sistemani x1v1+x2v2+...+xnvn=0 yoki A ¿X=0 ko‘rinishlarda ham yozish mumkin, bu yerda X noma’lumlardan iborat bo‘lgan ustun vektor. 1-tasdiq. Agar Z1,Z2,...,Zk ustunlar bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining yechimi bo‘lsa, u holda ularning ixtiyoriy chiziqli kombinatsiyasi ham yechim bo‘ladi. Isbot. Haqiqatdan ham, A⋅Zi= 0 ekanligidan A⋅(c1Z1+c2Z2+...+ckZk=c1A⋅Z1+c2A⋅Z2+...+ckA⋅Zk=0 kelib chiqadi. 1.1.1-teorema. Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining ixtiyoriy yechimi n -r ta chiziqli erkli yechimlarning chiziqli kombinatsiyasidan iborat bo‘ladi, bu yerda n noma’lumlar soni, r= rang(A). Isbot. Sistemani
x1v1+x2v2+...+xnvn=0 ko‘rinishida yozib olaylik. r =rang(A) ekanligi uchun v1,v2,...,vn ustunlar jamlanmasida r ta ustun bazis bo‘ladi. Umimiylikka ziyon yetkazmagan holda, dastladki r ta v1,vr,...,vr ustunni bazis deb olish mumkin. Bu holda qolgan vr+1,vr+2,...vn ustunlar v1,v2,...vr ustunlarning chiziqli kombinatsiyasi orqali ifodalanadi, ya’ni vr+1=br+11v1 + br+12v2+… br+1rvr v r + 2 = b r + 21 v 1 + b r + 22 v 2 + … b r + 2 r v r ………………………………………… vn=bn1v1 + bn2v2+… bnrvr. u tengliklardan quyidagi n r ta ustunning yechim ekanligini ko‘rish qiyin emas, Z r + 1 = ( b r + 11 … … … b r + 1 r − 1 0 … . 0 ) , Z r + 2 = ( b r + 21 … … … b r + 2 r 0 − 1 … … .. 0 ) ,………. Z n = ( b n 1 … … … b nr 0 0 … . 1 ) yechimlar chiziqli erkli ekanligi osongina kelib chiqadi, chunki bu ustunlarning oxirgi n r ta komponentalaridan tuzilgan minorni qarasak, ushbu minor noldan farqli bo‘ladi. Endi ixtiyoriy yechim bu yechimlar orqali chiziqli ifodalanilishini ko‘rsatamiz. Aytaylik, X= ( x 1¿ , … . , x r¿ , x r + 1 ,¿ … … x n¿ ) ustun sistemaning boshqa bir yechimi bo‘lsin. U holda Y=X+ xr+1¿ Zr+1+...+xn¿Zn ustun ham sistemaning yechimi bo‘ladi. Ma’lumki, bu yechimda ( r 1)-komponentadan boshlab barcha komponentalar nolga teng, ya’ni Y= y 1¿ , … . , y r¿ , 0 … … 0 ) Ushbu ustun sistemaning yechimi bo‘lganligi uchun y 1¿ v 1 + y 2¿ v 2 +…….. + y r¿ v r =0 Ammo, v 1 , v 2 , … .. , v r ustunlar chiziqli erkli ekanligidan ¿y1 ¿ = y2¿ =…….. ¿yr¿ =0 kelib chiqadi. Demak, Y 0, ya’ni X=− xr+1¿ Zr+1−...− xn¿Zn