C++ da chiziqli tenglamalar sistemasini yechish dasturini ishlab chiqish
![Kramer usulini C++ tilida dasturini tuzish ketma ketligini ko’ramiz.
Kerakli sarlavha fayllarini qo’shamiz.
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cmath> nXn matritsasining determinantini
hisoblash funksiyasini yozish:
Funksiyani e’lon qilish:
double determinant(double matrix[], int n)
• Bu satr determinant ikkita argumentni oladigan funksiyani
belgilaydi:
• matrix: Kvadrat matritsaning elementlarini ifodalovchi 1D massiv
(foydalanuvchi mos yozuvlar orqali o'tkaziladi []).
• n: Kvadrat matritsaning o'lchami (satr va ustunlar soni).
Funktsiya matritsaning hisoblangan determinanti bo'lgan doubleqiymatni
qaytaradi.
if (n == 1) { return matrix[0]; } else if (n == 2)
{ return matrix[0] * matrix[3] - matrix[1] *
matrix[2]; }
• Funktsiya ikkita asosiy holatni boshqaradi:
o Agar n1 bo'lsa (1x1 matritsa), determinant oddiygina matritsadagi yagona
element ( matrix[0]).
o Agar n2 bo'lsa (2x2 matritsa), determinant formuladan foydalanib
hisoblanadi
matrix[0] * matrix[3] - matrix[1] * matrix[2].
Rekursiv holat (n > 2):
else {
for (int i = 0; i < n; i++)
{ double subMatrix[(n - 1) * (n
12](/data/documents/7fc1154c-016e-4e5b-a01d-d514b44ad87f/page_12.png)
![- 1)]; int subRow = 0; for
(int row = 1; row < n; row++) {
int subCol = 0; for (int col =
0; col < n; col++) { if (col !
= i) {
subMatrix[subRow * (n - 1) + subCol] = matrix[row * n + col];
subCol++;
}
}
subRow++;
}
det += (i % 2 == 0 ? 1 : -1) * matrix[i] * determinant(subMatrix, n -
1);
}
}
Ushbu blok o'lchami n 2 dan katta bo'lgan matritsalar bilan ishlaydi.
• U matritsaning har bir ustuni bo'ylab takrorlanadi .i
• Loop ichida joriy satr ( ) va joriy ustun ( ) ni hisobga olmaganda
olingan submatritsani saqlash uchun o‘lchami bilan vaqtinchalik massiv
subMatrixe’lon
qilinadi .(n - 1) * (n - 1)ii
13](/data/documents/7fc1154c-016e-4e5b-a01d-d514b44ad87f/page_13.png)
![• Yuvalangan halqalar submatritsani qurish uchun matritsaning qolgan
elementlarini takrorlaydi subMatrix. Elementlar nusxalanadi, joriy
qatordagilar bundan mustasno i.
• Keyin o'zgaruvchi detquyidagi bosqichlar yordamida yangilanadi:
o Ifoda (i % 2 == 0 ? 1 : -1)element uchun kofaktorni hisoblab
chiqadi matrix[i]. U ustun indeksiga qarab 1 va -1 o'rtasida almashadi
i(juft ustunlar kofaktori 1 ga, toq ustunlar esa -1 ga ega).
o Keyin kofaktor matrix[i]submatritsaning elementi va
determinanti bilan ko'paytiriladi determinant(subMatrix, n - 1). Ushbu
mahsulot joriy qatordagi har bir elementning hissasini hisobga olish
uchun akkumulyatorga qo'shiladi .
Umumiy determinant hisoblash kodi:
double determinant(double matrix[], int n) {
double det =
0; if (n == 1)
{ return
matrix[0]; }
else if (n == 2) {
return matrix[0] * matrix[3] - matrix[1] * matrix[2];
} else {
for (int i = 0; i < n; i++) {
double subMatrix[(n - 1) * (n - 1)];
int subRow = 0;
for (int row = 1; row < n; row++)
{ int subCol = 0;
for (int col = 0; col < n; col++) {
if (col != i) {
subMatrix[subRow * (n - 1) + subCol] = matrix[row * n
+ col];
subCol++;
}
}
subRow++;
}
det += (i % 2 == 0 ? 1 : -1) * matrix[i] *
determinant(subMatrix, n - 1);
14](/data/documents/7fc1154c-016e-4e5b-a01d-d514b44ad87f/page_14.png)
![}
}
return det;
}
Kramer usuli yordamida nxn chiziqli tenglamalar tizimini yechish
funksiyasini yozish:
Funktsiya e’lon qilish:
void cramersSolution(double matrix[], double constants[], int n)
o Bu satr cramersSolution uchta argumentni oladigan funksiyani
belgilaydi:
o matrix: Koeffitsient matritsasi elementlarini ifodalovchi 1D massiv
(foydalanilgan mos yozuvlar orqali berilgan []). o constants: Tenglamalarning
o'ng tomonidagi doimiy shartlarni ifodalovchi 1D
massiv (foydalanuvchi havola orqali berilgan []).
o n: Kvadrat matritsaning o'lchami (satr va ustunlar soni).
o Funktsiya voidqaytish turiga ega, ya'ni u hech qanday qiymat
qaytarmaydi,
lekin to'g'ridan-to'g'ri konsolga echimlarni chop etadi.
Aniqlovchini hisoblash:
double det = determinant(matrix, n); if (det == 0) { std::cout << "The
system of equations has no unique solution." << std::endl; return;
}
• Funktsiya birinchi navbatda determinantkoeffitsient matritsasi
determinantini hisoblash uchun funktsiyani chaqiradi (boshqa joyda
aniqlangan deb hisoblanadi).
• Agar determinant ( det) nolga teng bo'lsa, bu tenglamalar tizimining
cheksiz ko'p yechimga ega ekanligini yoki umuman yechim yo'qligini
ko'rsatadi. Bunday holda, funksiya xabarni chop etadi va dan foydalanib, erta
qaytib keladi.
15](/data/documents/7fc1154c-016e-4e5b-a01d-d514b44ad87f/page_15.png)
![Yechimlar qatorini taqsimlash:
double* solutions = new double[n];
• Har bir o'zgaruvchi (x1, x2, ..., xn) uchun hisoblangan yechimlarni
saqlash uchun nomli dinamik ravishda ajratilgan massiv
solutionsyaratiladi .new double[n] Har bir o‘zgaruvchi uchun yechish:
for (int i = 0; i < n; i++)
{ double subMatrix[(n - 1) * (n
- 1)]; int subRow = 0; for (int
row = 0; row < n; row++)
{ int subCol = 0; for (int
col = 0; col < n; col++) { if
(col != i) {
subMatrix[subRow * (n - 1) + subCol] = matrix[row * n + col];
subCol++;
}
}
subMatrix[subRow * (n - 1) + i] = constants[row];
subRow++;
}
solutions[i] = determinant(subMatrix, n) /
det; }
• Kod itenglamalar tizimidagi har bir o'zgaruvchi ( ) orqali takrorlanadi.
o Loop ichida koeffitsient matritsasining o'zgartirilgan versiyasini saqlash
uchun o'lchamli vaqtinchalik massiv e'lon qilinadi.subMatrix(n - 1) * (n - 1)
o Yana bir ichki o'rnatilgan halqalar to'plami quyidagilarni yaratadi subMatrix:
16](/data/documents/7fc1154c-016e-4e5b-a01d-d514b44ad87f/page_16.png)
![▪ matrixU joriy ustundan ( ) tashqari asl koeffitsient matritsasi ( ) elementlarini
ko'chiradi i.
▪ Joriy ustunda ( i) u elementlarni massivdan mos keladigan doimiy shartlar
bilan almashtiradi constants.
o Ushbu o'zgartirilgan submatritsaning determinanti yordamida hisoblab
chiqiladi determinant(subMatrix, n).
o Nihoyat, o'zgaruvchining yechimi x[i]submatritsaning determinantini
dastlabki koeffitsient matritsasi ( det) ning determinantiga bo'lish yo'li bilan
hisoblanadi. Bu natija massivda saqlanadi solutions.
Chop etish yechimlari:
std::cout << "The solutions are: " << std::endl; for (int i = 0;
i < n; i++) { std::cout << "x" << i + 1 << " = " <<
solutions[i] << std::endl;
}
• Agar determinant nolga teng bo'lmasa, funktsiya yechimlarni ko'rsatuvchi
xabarni chop etadi.
• U massiv bo'ylab takrorlanadi solutionsva har bir o'zgaruvchining qiymatini
(x1, x2, ..., xn) tegishli indeks bilan birga chop etadi.
Xotirani ajratish:
delete[] solutions;
• Solutionsdan foydalanib dinamik ravishda ajratilganligi sababli new, funktsiya
delete[] solutionsxotira oqishini oldini olish uchun xotirani bo'shatadi.
Asosiy qism:
17](/data/documents/7fc1154c-016e-4e5b-a01d-d514b44ad87f/page_17.png)
![int n; std::cout << "Enter the size of the
matrix (n): "; std::cin >> n;
Foydalanuvchi matritsa o’lchamini kiritishni so’raydi.
double* matrix = new double[n * n];
double* constants = new double[n];
Kod dinamik ravishda koeffitsient matritsasi ( matrix) va doimiy
atamalar vektori ( constants) uchun xotira ajratadi new. Matritsaning o'lchami
n x n, shuning uchun matrixmassiv elementlarni talab qiladi n * n(er-xotin
qiymatlar). Massiv har bir tenglamaning doimiy shartlarini saqlash uchun
elementlarni constantstalab qiladi.
std::cout << "Enter the coefficients of the
matrix:\n"; for (int i = 0; i < n; i++) { for (int
j = 0; j < n; j++) { std::cin >> matrix[i * n
+ j];
}
} std::cout << "Enter the constant
terms:\n"; for (int i = 0; i < n; i++) {
std::cin >> constants[i];
}
U foydalanuvchidan koeffitsient matritsasi ( ) elementlarini kiritishni taklif
qiladi matrix.
O'rnatilgan tsikllar matritsaning har bir satri ( i) va ustuni ( ) bo'ylab
takrorlanadi va foydalanuvchidan tegishli qiymatni kiritish so'raladi. Ifoda satr
va ustundagi element uchun 1D massivida to'g'ri indeksni hisoblab chiqadi.
Funksiyaga murojaat qilish:
18](/data/documents/7fc1154c-016e-4e5b-a01d-d514b44ad87f/page_18.png)
![cramersSolution(matrix, constants, n);
Xotirani tozalash:
delete[] matrix;
delete[] constants;
Dasturdan chiqish:
return 0;
Kramer usulida chiziqli tenglamani yechishning c++ tilidagi dasturi.
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cmath>
double determinant(double matrix[], int n) {
double det =
0; if (n == 1)
{ return
matrix[0]; }
else if (n == 2) {
return matrix[0] * matrix[3] - matrix[1] * matrix[2];
} else {
for (int i = 0; i < n; i++) {
double subMatrix[(n - 1) * (n - 1)];
int subRow = 0;
for (int row = 1; row < n; row++)
{ int subCol = 0;
for (int col = 0; col < n; col++) {
if (col != i) {
subMatrix[subRow * (n - 1) + subCol] = matrix[row * n
+
col];
subCol++;
} }
subRow++;
}
det += (i % 2 == 0 ? 1 : -1) * matrix[i] *
determinant(subMatrix, n - 1);
} }
return det;
19](/data/documents/7fc1154c-016e-4e5b-a01d-d514b44ad87f/page_19.png)
![}
void cramersSolution(double matrix[], double constants[], int n) {
double det = determinant(matrix, n);
if (det == 0) {
std::cout << "The system of equations has no unique solution."
<<
std::endl;
return;
}
double* solutions = new
double[n]; for (int i = 0; i < n;
i++) { double subMatrix[(n -
1) * (n - 1)]; int subRow = 0;
for (int row = 0; row < n; row++)
{ int subCol = 0;
for (int col = 0; col < n; col++) {
if (col != i) {
subMatrix[subRow * (n - 1) + subCol] = matrix[row * n +
col]; subCol++;
}
}
subMatrix[subRow * (n - 1) + i] = constants[row];
subRow++;
}
solutions[i] = determinant(subMatrix, n) / det;
}
std::cout << "The solutions are: " << std::endl;
for (int i = 0; i < n; i++) {
std::cout << "x" << i + 1 << " = " << solutions[i] << std::endl;
}
delete[] solutions;
} int
main(
)
{ in
t n;
std::cout << "Enter the size of the matrix (n): ";
std::cin >> n;
double* matrix = new double[n * n];
20](/data/documents/7fc1154c-016e-4e5b-a01d-d514b44ad87f/page_20.png)
![double* constants = new double[n];
std::cout << "Enter the coefficients of the matrix:\n";
for (int i = 0; i < n; i++)
{ for (int j = 0; j < n;
j++) {
std::cin >> matrix[i * n + j];
}
}
std::cout << "Enter the constant terms:\n";
for (int i = 0; i < n; i++) {
std::cin >> constants[i];
}
cramersSolution(matrix, constants, n);
delete[]
matrix;
delete[]
constants;
return 0;
}
21](/data/documents/7fc1154c-016e-4e5b-a01d-d514b44ad87f/page_21.png)
MAVZU: C++ da chiziqli tenglamalar sistemasini yechish dasturini ishlab chiqish II. ASOSIY QISM ................................................................................................ 2.1. Chiziqli tenglamalar sistemasini matematik yechish usullari .................... 2.2. Tenglamalar sistemasini yechish agoritmi (Kramer) .................................. 2.3. Tenglamalar sistemasini yechishning dasturini ishlab chiqish ................. 11 III. XULOSA ...................................................................................................... 22 IV. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR ...................................................... 22 1
I . KIRISH Chiziqli tenglamalar sistemasi - bu matematikada va ko ' plab amaliy sohalarda muhim rol o ' ynaydigan tushuncha bo ' lib , ko ' plab o ' zgaruvchilarning bir nechta chiziqli tenglamalariga asoslangan . Bu tizimlar ko ' plab ilmiy , muhandislik va iqtisodiyot masalalarini yechishda qo ' llaniladi . Masalan , iqtisodiy modellarni yaratishda , fizika va kimyo muammolarini hal qilishda , shuningdek , texnika va texnologiya sohasidagi muammolarni hal qilishda chiziqli tenglamalar sistemasi muhim vosita hisoblanadi . C ++ dasturlash tili keng qamrovli va yuqori samaradorlikka ega bo ' lgan til bo ' lib , uning imkoniyatlari va kuchli tomonlari matematik hisob - kitoblarni amalga oshirishda juda qo ' l keladi . C ++ ning obyektga yo ' naltirilgan xususiyatlari , yuqori tezlik va samaradorlikka ega bo ' lishi matematik va muhandislik hisob - kitoblarida , jumladan chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda keng qo ' llaniladi . Shuning uchun chiziqli tenglamalar sistemasini yechish algoritmlarini C++ dasturlash tilida amalga oshirish muhim ahamiyatga ega. Chiziqli tenglamalar sistemasining ahmiyati. Chiziqli tenglamalar sistemasining yechimi ko'plab sohalarda qo'llaniladi. Misol uchun, iqtisodiyotda iqtisodiy ko'rsatkichlarni bashorat qilish, muhandislikda strukturaviy tahlil va dizayn masalalarini hal qilish, fizika va kimyoda esa har xil reaksiyalar va harakatlarni model qilishda chiziqli tenglamalar sistemi muhim o'rinni egallaydi. Shu bilan birga, kompyuter fanlari va sun'iy intellekt sohalarida ham ma'lumotlarni qayta ishlash va analiz qilishda chiziqli tenglamalar sistemasining qo'llanilishi keng tarqalgan. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning ko'plab usullari mavjud, lekin ularning eng keng tarqalgani va samaralisi Gauss eliminatsiyasi algoritmidir. Gauss eliminatsiyasi algoritmi yordamida chiziqli tenglamalar 2
System asini osonlik bilan yechish mumkin. Bu algoritm chiziqli tenglamalar sistemasini bosqichma-bosqich soddalashtirish va nihoyat yechimga olib kelish prinsipiga asoslanadi. Algoritm matritsa shaklida berilgan chiziqli tenglamalar sistemasini uchburchak matritsaga aylantiradi va keyinchalik ushbu uchburchak matritsani teskari tartibda yechadi. C++ dasturlash tilida chiziqli tenglamalar sistemasini yechish uchun bir nechta asosiy qadamlar mavjud. Dastlab, foydalanuvchidan kerakli ma'lumotlarni kiritish uchun qulay interfeys yaratish lozim. Keyin, kiritilgan ma'lumotlar asosida matritsa va vektorlarni yaratish va ularga tegishli amallarni bajarish uchun sinflar va funksiyalar yozish kerak. Nihoyat, Gauss eliminatsiyasi algoritmini amalga oshirish va natijalarni chiqarish uchun kerakli kodni yozish lozim. Ushbu loyiha doirasida, biz chiziqli tenglamalar sistemasini yechish dasturini yaratishda C++ dasturlash tilining kuchli tomonlaridan foydalangan holda, samarali va foydalanuvchi uchun qulay bo'lgan dastur ishlab chiqishni maqsad qilganmiz. Ushbu dasturni ishlab chiqish jarayoni matematik hisob- kitoblarni dasturlash tilida qanday amalga oshirishni o'rganish uchun ajoyib imkoniyat bo'lib, chiziqli algebra va algoritmika bo'yicha bilimlarni ham mustahkamlash imkonini beradi. 3
II. ASOSIY QISM 2.1. Chiziqli tenglamalar sistemasini matematik yechish usullari Kramer qoidasi. n noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasi quyidagi ko`rinishga ega: Bu yerda ?????? ???????????? sonlarga sistemaning koeffitsientlari, ?????? ?????? ozod hadlar, ?????? 1, ?????? 2, … , ???????????? – noma’lumlar deyiladi. Ta’rif. Agar (3) sistemaning har bir tenglamasidagi ?????? 1, ?????? 2, … , ???????????? noma’lumlar o`rniga mos ravishda ?????? 1, ?????? 2, … , ???????????? qiymatlar qo`yilganda sistemaning barcha tenglamalari ayniyatga aylansa, ?????? 1, ?????? 2, … , ???????????? sonlar (3) sistemaning yechimi deyiladi. Sistemaning yechimi mavjud bo`lish – bo`lmasligi quyidagi determinantga bog’liqdir: (4) determinant (3) sistemaning noma’lumlari oldidagi koeffitsientlardan tuzilgan. Agar ∆≠ 0 bo`lsa, sistema yagona yechimga ega bo`ladi va bu yechim 4
formulalar yordamida topiladi. Bunda ∆ ?????? 1 determinant ∆ determinantning b irinchi ustun elementlarini (3) tenglamalar sistemasining ozod hadlari bilan almashtirishdan hosil qilinadi; ∆ ?????? 2 esa ∆ determinantning ikkinchi ustun elementlarini ozod hadlar bilan almashtirishdan hosil bo`ladi; ∆ ?????? 3 … ∆ ???????????? lar ham shunga o`xshash hosil qilinadi. (3) tenglamalar sistemasini yechishning bunday usuli Kramer usuli deyiladi. Demak, (3) sistemani yechish uchun (n+1) ta determinant tuzish va hisoblash kerak bo`ladi. Gauss qoidasi. Koeffitsientlari sonlardan iborat bo`lgan tenglamalar sistemasi yechimlarini topish uchun qulay bo`lgan noma`lumlarni ketma – ket yo`qotish (chiqarish) usulini, ya’ni Gauss usulini ko`rsatamiz. Quyidagi ixtiyoriy chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo`lsin: (5) da ?????? 11 ≠ 0 deb faraz qilaylik. Dastlab birinchi tenglamadan tashqari barcha tenglamalardan ?????? 1 ni yo`qotib, (5) sistemani o`zgartiramiz. Buning uchun birinchi tenglamaning har ikkala tomonini ?????? 11 ≠ 0 ga bo`lib chiqamiz. Natijada (5) sistemaga ekvivalent bo`lgan yangi sistemani hosil qilamiz: Endi (6) sistemaning birinchi tenglamasini ?????? 21 ga ko`paytiramiz va uni ikkinchi tenglamadan ayiramiz. So`ngra birinchi tenglamani ?????? 31 ga 5