INTEGRAL TENGLAMALARNI YECHISH USULLARI

Yuklangan vaqt:

20.11.2024

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

180.7412109375 KB

Ko'chirib olish

INTEGRAL TENGLAMALARNI YECHISH USULLARI

MUNDARIJA
KIRISH..........................................................................................................3
I.BOB. KETMA-KET O‘RNIGA QO‘YISH VA KETMA-KET
YAQINLASHISHLAR USULI
1.1- §. Ketma-ket yaqinlashishlar usuli …........................................................7
1.2- §. Volterr tipidagi integral tenglamalar ….…………………………......14
1.3- §. Fredholm tenglamasiningVolterr tomonidan berilgan yechimi.
…………………………………………………………………...….20
II.BOB. INTEGRAL TENGLAMALARNI FREDHOLM USULI BILAN
YECHISH
2.1- §. Bir jinsli tenglamaning yechimi …………..…………………………..28
2.2- §. Bir jinslimas tenglamaning umumiy yechimi …………………….…..29
2.3 -§. Hilbert-Shmidt usuli ………….……………………………………….32
2.4 -§. Integral tenglamalarni yechishga doir misollar ……………………….33
XULOSA ……………………………………………………………………..49
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR…………………………………… 50
2

KIRISH
Masalaning qo‘yilishi . Kvant mexanikasi, qattiq jismlar nazariyasi
va statistik fizika masalalarini yechish ko‘p hollarda differensial yoki integral
tenglamalar yechimlari xossalarini tadqiq qilish masalasiga keltiriladi.
Differensial tenglamani yechish esa integral tenglamani yechish masalasiga
keladi. Ushbu bitiruv malakaviy ishida chiziqli integral tenglamalarni yechish
usullariga to‘xtalamiz, aniqrog‘i integral tenglamalarni yechishning uch xil usulini
namoyish qilamiz. Ulardan Fredholm metodiga ko‘proq to‘xtalamiz. Integral
tenglamalar nazariyasi Nuemann, Volterr, Liuville, Fredholm, Hilbert va Shmidtlar
tomonidan rivojlantirilgan.
Funksional fazoda (masalan, C[ a , b ]
, L2[a,b] , C2[a,b] ) biror tenglama
berilgan bo‘lib, noma’lum element funksiyadan iborat bo‘lsa, bunday tenglama
funksional tenglama deyiladi. Agar funksional tenglamada noma’lum funksiya
integral ostida bo‘lsa, u holda tenglama integral tenglama deyiladi. Masalan,
φ(s)=∫a
b
K(s,t)g(φ(t),t)dt
tenglama φ
ga nisbatan integral tenglamadir, bu yerda
K (s,t) , g ( s , t )
− berilgan
funksiyalar.
Integral tenglamadagi ifoda noma’lum funksiyaga nisbatan chiziqli bo‘lgan
holda tenglama chiziqli integral tenglama deyiladi. Quyidagi tenglamalar chiziqli
integral tenglamalarga misol bo‘ladi:
∫a
b
K (s,t)u(t)dt + f(s)=0,(1)
u
( s) =
∫
ab
K ( s , t ) u ( t) dt + f ( s) , ( 2 )
bu yerda
u noma’lum funksiya, K (s,t) va f ( s )
ma’lum funksiyalar. (1) va (2) tenglamalar mos ravishda birinchi va ikkinchi tur
Fredholm tenglamalari deyiladi.
Xususan, K ( s , t )
funksiya t > s
qiymatlar uchun K
( s , t ) = 0
shartni
qanoatlantirsa, u holda (1) va (2) tenglamalar mos ravishda
3

∫a
s
K (s,t)u(t)dt + f(s)=0,(3)u
( s) =
∫
a s
K ( s , t ) u ( t) dt + f ( s) , ( 4 )
ko‘rinishlarga ega bo‘ladi. Bunday tenglamalar birinchi va ikkinchi tur Volterr
tenglamalari deyiladi. Volterr tenglamalari Fredholm tenglamalarining xususiy
holi bo‘lsada, ular alohida o‘rganiladi, chunki Volterr tenglamalari o‘ziga xos
bo‘lgan bir qator muhim xossalarga ega.
Agar (1) - (4) tenglamalarda
f funksiya nolga teng bo‘lsa, bu tenglamalar
bir jinsli deyiladi.
1-misol. Quyidagi
f
( s) =
∫
0 s
φ ( t )
( s − t ) α dt ,
(0<α<1,f(0)=0)
tenglama
φ noma’lumga nisbatan Abel tenglamasi deyiladi. Bu tenglama Volterr
tenglamalarining xususiy holi bo‘lib, 1823 yilda N. Abel tomonidan qaralgan,
uning yechimi
φ(t)= sinαπ
π ∫0
t f'(s)
(t− s)1−αds
ko‘rinishga ega ekanligi ko‘rsatilgan.
Biz bu yerda asosan
λ parametrli ikkinchi tur Fredholm yoki Volterr
tenglamasini qaraymiz. L
2
[ a , b ]
kompleks Hilbert fazosida ikkinchi tur Fredholm
tenglamasi
u
( s) − λ
∫
ab
K ( s , t ) u ( t) dt = f ( s) ( 5 )
yoki Volterr tenglamasi
u(s)− λ∫a
s
K (s,t)u(t)dt = f(s)(6)
ni olamiz. Bu tenglamada
f ma’lum, u
noma’lum funksiyalar bo‘lib, ular L
2 [ a , b ]
fazoning elementlari deb faraz qilinadi. (2) tenglamaning yadrosi deb nomlanuvchi
K ( s , t )
funksiyadan quyidagilar talab qilinadi,
u – o‘lchovli va
4

∫a
b
∫a
b
|K(s,t)|2dsdt <∞(7) shartni qanoatlantiradi, ya’ni
K (s,t) kvadrati bilan integrallanuvchi funksiya.

L2[a,b] fazoda aniqlangan
( Fu ) ( s ) =
∫
ab
K
( s , t ) u ( t) dt ( 8 )
operatorni qaraymiz. Bu oerator
K yadroli Fredholm operatori deyiladi. (2) yoki
(5) tenglamani o‘rganish shu operatorning xossalarini tekshirishga keltiriladi.
Ushbu bitiruv malakaviy ishida
L2[a,b] fazoda λ parametrli ikkinchi tur
Fredholm integral tenglamasi (5) va Volterr tenglamasi (6) larni qaraymiz. Butun
bitiruv malakaviy ishi davomida
K (x,t) va f(x) lardan o‘lchovli va kvadrati bilan
integrallanuvchi funksiya bo‘lishi talab qilanadi. Ba’zan masalani soddalashtirish
maqsadida, biz
K (x,t) va f(x) larni uzluksiz funksiya deb faraz qilamiz.
Mavzuning dolzarbligi . Matematik fizikaning ko‘pgina masalalari integral
tenglamalarga keltirilasdi.
Ishning maqsadi va vazifalari. Bitiruv malakaviy ishining maqsadi
integral tenglamalar haqida tushunchalar, Volterr tipidagi integral tenglamalar va
Fredholm tenglamasining Volterr tomonidan berilgan yechimi haqida
tushunchalarni olish.
Ilmiy tadqiqot usullari . Ketma-ket yaqinlashishlar usuli va o‘rniga
qo‘yish usuli haqida tushunchaga ega bo‘lish. I ntegral tenglamalar ta’riflari va
teoremalarini bilish, masalalar yechishda xossalaridan faoydalanish.
Ishning ilmiy ahamiyati. Bitiruv malakaviy ishidan olingan natijalarni
o‘quvchilarga qulay va sodda usullar orqali o‘rgatish, turli xil integral
tenglamalarni yechishni o‘rgatish.
Ishning amaliy ahamiyati . Bitiruv malakaviy ishida o‘rganilayotgan
ma’lumotlar integral tenglamalarni o‘rganish boshqa sohalardagi masalalarni
yechishda muhim ahamiyatga ega.
Ishning tuzulishi. Bitiruv malakaviy ishi kirish, 2 ta bob , xulosa qismi va
foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan iborat. Ushbu ish matnli sahifalardan
5

tashkil topgan har bir bob paragraflarga ajratilgan va ular o‘zining nomerlanish
hamda belgilanishiga ega.
6

I.BOB. KETMA-KET O‘RNIGA QO‘YISH VA KETMA-KET
YAQINLASHISHLAR USULI
1.1-§. Ketma-ket yaqinlashishlar usuli
Biz ushbu paragrafda C [a,b] fazoda λ parametrli ikkinchi tur Fredholm
integral tenglamalarini yechish usullari bilan shug‘ullanamiz. Dastlab Fredholm va
Volterr tipidagi integral tenglamalar uchun ketma-ket o‘rniga qo‘yish usulini
bayon qilamiz. Keyin esa
λ parametrli ikkinchi tur Fredholm integral
tenglamalarini ketma-ket yaqinlashishlar usuli bilan yechamiz.
C
[ a , b ]
fazoda berilgan Fredholm operatori
(Fu )(x)=∫a
b
K (x,t)u(t)dt (1.1 )
ni, Volterr tipidagi integral operator
(Vu )(x)=∫a
x
K (x,t)u(t)dt (1.2 )
ni va ular bilan bog‘liq
u(x)= f(x)+λ∫a
b
K (x,t)u(t)dt (1.3 )
u
( x ) = f ( x ) + λ
∫
ax
K ( x , t ) u ( t) dt ( 1.4 )
integral tenglamalarni qaraymiz. Butun ish davomida
f dan uzluksizlik, K dan esa
uzluksizlik va simmetriklik shartlarini talab qilamiz, ya’ni:
a¿K (x,t)= K (t,x)≠0
va K ∈ C ( [ a , b ] × [ a , b ] )
haqiqiy qiymatli funksiya,
b¿f∈C [a,b]
haqiqiy qiymatli funksiya.
Faraz qilaylik, Fredholm tipidagi integral operatorning
μ≠0 nuqtadagi
rezolventasini topish talab qilingan bo‘lsin. Buning uchun quyidagi tenglamani
yechish talab etiladi:
(
F − μI ) u ( x ) = φ ( x ) ⟺
∫
ab
K ( x , t ) u ( t) dt − μu ( x ) = φ ( x ) .
Agar
λ= μ−1 va f ( x ) = − μ − 1
φ ( x )
deb olsak, u holda
u
( x ) = λ
∫
ab
K ( x , t ) u ( t) dt + f ( x )
tenglamani, ya’ni (1.3) ni hosil qilamiz. Demak, rezolventani topish masalasi ham
7

(1.3) ko‘rinishdagi Fredholm tenglamasini yechishga keltirilar ekan.
Quyida bizlar ketma-ket o‘rniga qo‘yish usulini ko‘rsatamiz. Buning uchun
avvalo yadroni iteratsiyalash algoritmini alohida ko‘rib chiqamiz.
Yadroni iteratsiyalash . Faraz qilaylik, (1.1) tenglik bilan aniqlangan F

operatorning yadrosi a¿ shartni qanoatlantirsin. Quyidagi belgilashlarni
kiritamiz:
{
K
1
( x , t ) = K ( x , t )
K
2
( x , t ) =
∫
ab
K ( x , s ) K
1 ( s , t ) ds
K
n
( x , t ) =
∫
ab
K ( x , s ) K
n − 1 ( s , t ) ds ( 1.5 )
Bu ko‘rinishda qurilgan K
1 , K
2 , … , K
n funksiyalarga
K (x,t) yadroning
iteratsiyalari deyiladi. Tekshirish qiyin emaski,
Kn (x, t) iteratsiya
F n
integral
operatorning yadrosi bo‘ladi.
(1.5) formulani ketma-ket qo‘llab,
Kn uchun quyidagi ifodani olamiz:
K
n
( x , t ) =
∫
ab
⋯
∫
ab
K ( x , s
1 ) K ( s
1 , s
2 ) ⋯ K ( s
n − 1 , t ) d s
n − 1 ⋯ d s
1 . ( 1.6 )
(1.6) formulaga asosan quyidagi munosabat o‘rinli:
K
n + p
( x , t ) =
∫
ab
K
n ( x , s ) K
p ( s , t ) ds . ( 1.7 )
Ketma-ket o‘rniga qo‘yish usuli . Endi (1.3) tenglamaning o‘ng tomonidagi
u ( t )
funksiyaning o‘rniga uning
u(t)= f(t)+λ∫a
b
K (t,t1)u(t1)dt1(1.8 )
ifodasini qo‘yib, quyidagini hosil qilamiz:
u
( x ) = f ( x ) + λ
∫
ab
K ( x , t )[ f ( t) + λ
∫
ab
K ( t , t
1 ) u ( t
1 ) d t
1 ] dt = ¿ ¿
¿f(x)+λ∫a
b
K (x,t)f(t)dt +¿¿
λ2∫a
b
K(x,t)∫a
b
K (t,t1)dt1dt =¿
¿ f
( x ) + λ ( Ff )( x ) + λ 2 (
F 2
u )( x ) .
8

Bu tenglamaning o‘ng tomonidagi u ning o‘rniga, uning (1.8) ifodasini
qo‘yamiz:
u(x)= f(x)+λ∫a
b
K (x,t)f(t)dt +¿¿
λ2∫a
b
K(x,t)∫a
b
K (t,t1)[f(t1)+λ∫a
b
K (t1,t2)u(t2)dt2]dt1dt = ¿
¿f(x)+λ(Ff )(x)+λ2(F2u)(x)+λ3(F3u)(x).
Bu yerda biz yadroni iteratsiyalash formulalaridan foydalandik.
Ushbu jarayonni davom ettirib,
n−¿ o‘rniga qo‘yishdan keyin, biz quyidagi
tenglamani olamiz :

u
( x ) = f ( x ) + λ ( F f )( x ) + ⋯ + λ n (
F n
f )( x ) + λ n + 1
( F n + 1
u ) ( x ) ( 1.9 )
Natijada biz quyidagi cheksiz qatorni o‘rganish masalasiga kelamiz:
f(x)+λ(F f)(x)+λ2(F2f)(x)+⋯+λn(Fnf)(x)+⋯(1.10 )
Bizning farazimizga asosan bu qatorning har bir hadi
[ a , b ]

kesmada uzluksiz funksiyadan iborat. Demak, agar bu qator
[a,b]
kesmada tekis yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda uning yig‘indisi biror
uzluksiz funksiyani aniqlaydi (1.1-teorema).
K ( x , t )
va
f(x) funksiyalar mos ravishda [ a , b ] × [ a , b ]
kvadrat va [ a , b ]

kesmada uzluksiz bo‘lganligi uchun Veyershtrass teoremasiga ko‘ra quyidagilar
o‘rinli:
|K (x,t)|≤M K,∀ (x,t)∈[a,b]×[a,b],|f(x)|≤M f,∀ x∈[a,b](1.11 )
Bunda
M
K = max
[
a , b ] ×[ a , b ]| K ( x , t ) |
va M
f = max [
a , b ]| f ( x )| .
(1.10) qatorning n + 1
chi hadidan iborat bo‘lgan λ n
( F n
f ) ( x )
ifodani quyidagicha
yozib olamiz:
λn(Fnf)(x)=¿
¿ λ n
∫
ab
K ( x , t )
∫
ab
K ( t , t
1 ) ⋯
∫
ab
K
( t
n − 2 , t
n − 1 ) f ( t
n − 1 ) d t
n − 1 ⋯ d t
1 dt .
(1.11) ga asosan λ n
( F n
f ) ( x )
ni quyidagicha baholash mumkin:
|
λ n
( F n
f ) ( x ) | ≤ | λ n |
M
f M
Kn (
b − a ) n
. ( 1.12 )
Umumiy hadi (1.12) ko‘rinishdagi bahoga ega bo‘lgan qator
9

yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun|λ|M K(b− a)<1
shartning bajarilishi yetarli. Demak, (1.10) qator
λ parametrning
|λ|< 1
M K(b− a)(1.13 )
tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida tekis yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Agar (1.3) tenglama biror u ( x )
uzluksiz yechimga ega bo‘lsa,
u holda u (1.9) tenglamani ham qanoatlantiradi. u
ning
[a,b] kesmada
uzluksizligidan quyidagi o‘rinli bo‘ladi:
|u(x)|≤M u,∀ x∈[a,b](1.14 )
Bunda M
u = max
x ∈ [ a , b ] ¿ u
( x ) ∨ ¿ ¿
. U holda
| λ n + 1
( F n + 1
u ) ( x )
| ≤ |
λ∨¿n+1M uM Kn+1(b−a)n+1¿
bahoga ega bo‘lamiz. Agar (1.13) tengsizlik bajariladi deb faraz qilsak, u holda
ushbu

limn→∞λn+1 ( F n + 1
u ¿ ( x )
= 0
tenglikni hosil qilamiz.
Bundan (1.9) da n → ∞
da limitga o‘tsak
u
( x ) = f ( x ) + λ ( Ff )( x ) + λ 2 (
F 2
f )( x ) ⋯ + λ n (
F n
f )( x ) + ⋯
ga erishamiz. Demak, biz har bir
n da (1.9) tenglamani qanoatlantiruvchi
u
( x )
funksiya (1.10) ko‘rinishdagi qator shaklida tasvirlanar ekan.
Bevosita o‘rniga qo‘yish yordamida ko‘rsatish mumkinki, (1.10)
qator yig‘indisi bo‘lgan u
( x )
funksiya (1.3) tenglamani qanoatlantiradi.
Buning uchun (1.10) qatorning yig‘indisini u
( x )
bilan belgilab, bu
tenglikning ikkala qismini
λK (x,t) ga ko‘paytirib va hosil bo‘lgan
tekis yaqinlashuvchi qatorni hadlab integrallaymiz. U holda biz
quyidagilarni hosil qilamiz:
λ
∫
ab
K
( x , t ) u ( t) dt
= λ∫a
b
K (x,t) [ f ( t ) + λ
∫
ab
K ( t , t
1 ) f ( t
1 ) d t
1 + · · · ] dt
= λ
∫
ab
K ( x , t )
f ( t) dt
+
λ 2
∫
ab
K ( x , t )
∫
ab
K ( t , t
1 ) f ( t
1 )d t
1 dt +…
10

u( x ) − f ( x ) .
Demak, haqiqatan ham (1.10) qatorning yig‘indisi u ( x )
, (1.3)
tenglamani qanoatlantirar ekan.
1.1-teorema . Agar
a¿ va b¿ shartlar hamda (1.13) tengsizlik bajarilsa, (1.3)
integral tenglamaning yagona uzluksiz yechimi mavjud. Bu yechim
[a,b]
da absolyut va tekis yaqinlashuvchi (1.10) qator yig‘indisi bilan ustma-
ust tushadi.
Izoh. Adabiyotlarda ko‘pinchi quyidagi ko‘rinishdagi tenglama
u(x)= f(x)+∫a
b
K(x,t)u(t)dt (1.15 )
uchrab turadi. Bu tenglama (1.3) ning
λ=1 bo‘lgandagi xususiy holidir.
Shuning uchun yuqorida keltirgan mulohazalar hech bir o‘zgarishsiz bu
hol uchun ham o‘rinli bo‘ladi.
2. Qayd etish joizki, (1.3) integral tenglama (1.13) tengsizlik bajarilmasa
ham uzluksiz yechimga ega bo‘lishi mumkin. Bunga quyidagi misolda
ishonch hosil qilish mumkin.
u(x)= x
2− 1
3+∫0
1
(x+t)u(t)dt
integral tenglama uchun
|λ|M K(b− a)= 2>1 bo‘lib, tenglama u ( x ) = x

ko‘rinishdagi uzluksiz yechimga ega.
Shuni qayd etish joizki, ketma-ket yaqinlashishlar usuli yuqorida
bayon qilingan ketma-ket o‘rniga qo‘yish usulidan farq qiladi.
Ketma-ket yaqinlashishlar usulida
C [a,b] dan ixtiyoriy u
0 funksiyani olamiz
va uni (1.3) tenglama o‘ng tomonidagi u
( t)
ning o‘rniga qo‘yib
u
1
( x ) = f ( x ) + λ
∫
ab
K ( x , t ) u
0 ( t ) dt
ni olamiz. Hosil qilingan
u1 (x) funksiya ham a ¿
va b¿ shartlarga ko‘ra [ a , b ]

kesmada uzluksiz funksiya bo‘ladi. (1.3) tenglama o‘ng tomonidagi u ( t )
ning
o‘rniga
u1 (t) ni qo‘yib,
u2(x)= f(x)+λ∫a
b
K (x,t)u1(t)dt
11

ni hosil qilamiz. Bu jarayonni davom ettirish natijasida biz
u
0( x ) ,
u1 (x), u2 (x), · · ·, un (x), · · ·
funksiyalar ketma-ketligini hosil qilamiz. U holda yuqoridagi ketma-
ketlikning hadlarini mos ravishda quyidagi tengliklar bilan aniqlash
mumkin bo‘ladi:

{
u1(x)= f(x)+λ(Fu0)(x)
… … … … … … … … …
un−1(x)= f(x)+λ(F un−2)(x)
un(x)= f(x)+λ(Fun−1)(x)
Bunda F
(1.1) tenglik bilan aniqlanuvchi Fredholm operatoridir. Bu
tengliklardan
un(x) uchun quyidagini hosil qilamiz:

un(x) = f(x) + λ (F f
) ( x )
+ λ2 ( F 2
f ¿ ( x )
+…+ λn−1 (Fn−1f¿(x) +… +Rn(x),
bu yerda
R
n ( x )
=
λn (Fnu0¿ (x).
u
0 (x) funksiyaning uzluksizligidan R
n (x) uchun quyidagi bahoga ega
bo‘lamiz:
|
Rn(x) | ≤ | λ ∨ ¿ n
M
u
0 M
Kn
( b − a ) n
¿
.
Bu yerdan, (1.13) tengsizlik bajarilgan holda ushbu limitik
munosabat kelib chiqadi:

limn→∞Rn(x)≡0 .
(1.10) qator (1.13) shartda absolyut va tekis yaqinlashadi. Shuning
uchun
n ning ortishi bilan un(x) ketma-ketlik (1.10) qator yig‘indisi
bo‘lgan u ( x )
funksiyaga tekis yaqinlashadi, ya’ni

limn→∞un(x)= u(x) .
Yuqoridagi hisob-kitoblardan ko‘rinadiki hosil qilinayotgan har bir
un(x)
funksiya tanlangan u
0 ( x )
funksiyaga bog‘liq bo‘lib, lekin u ( x )
−limitik
funksiya
u0(x) funksiyaning tanlanishidan bog‘liq emas. Bundan tashqari
agar f ( x )
ozod had nol funksiya bo‘lsa u holda yechim u
( x )
ham nol
bo‘ladi. Bu esa yechimning yagonaligini isbotlaydi. Haqiqatdan ham, faraz
qilaylik ikkita u
va
v funksiyalar (1.3) tenglamaning yechimlari bo‘lsin. U holda
12

ularning ayirmasi: u(x)−v(x)= λ∫a
b
K(x,t)(u(t)− v(t))dt
tenglikni qanoatlantiradi. Bundan
u− v funksiya ozod hadi nolga teng bo‘lgan
ushbu
ω(x)= λ∫a
b
K (x,t)ω(t)dt
tenglamaning yechimi bo‘lishi kelib chiqadi. Yuqorida takidlab o‘tdikki bu
tenglama faqat nol yechimga ega. Bundan u
( x ) = v ( x )
ekanligini hosil qilamiz.
1.2.§ Volterr tipidagi integral tenglamalar
Birinchi tur Volterra tenglamalari:
Ma’lumki, ushbu

∫
ab
K ( x , t ) u ( t ) dt = f ( x )
(1.16)
Integral tenglama biinchi tur Volterra tenglamasi deb ataladi; bu yedagi
f(x)
ozod had
I(a≤x≤b) kesmada va K (x,t) yadro esa Δ buchakda uzluksiz deb
hisoblanadi. (1.16) tenglamadan ko`rinadiki agar u
uzluksiz yechimga ega bo`lsa,
integral ishorasi ostidagi K
( x , t ) u ( t )
ko`paytma ham uzluksiz bo`ladi. U holda agar
integralning yuqori chegarasidagi x
o`rniga
a sonni qo`ysak, ya’ni x = a
desak,
tenglamaning chap tomoni nolga aylanadi, demak o`ng tomoni ham nolga
aylanishi kerak. Shu sababli f
( a) = 0
bo`lishi shart. Shubhasiz, agar shu shart
bajarilmasa, ya’ni f
( a) ≠ 0
bo`lib qolsa, (1.16) tenglamaning yechimi mavjud emas.
Odatda, (1.16) ko`rinishidagi tenglamani yechish uchun uni ikkinchi tur
tenglamaga keltiiladi. Buning uchun (1.16) ni paramet
x bo`yicha,
diffeensiallaymiz, u holda

K (x,x)u(x)+∫a
x
Kx'(x,t)u(t)dt = f'(x) (1.17)
kelib chiqadi. Bu yerda ikki holdan biri uchrrashi mumkin:
a)
( a ≤ x ≤ b )
kesmada Kx'(x,t),f'(x) va K ( x , x ) ≠ 0
hosilalar mavjud. Bunday
holda (1.17) tenglamaning ikkala tomoni
K (x,x) ga bo`linsa, ikkinchi tur integral
tenglama hosil bo`ladi. Unday tenglamalarni yechish usullari oldingi
13

paragraflardan bizga ma’lum.
Hozir biz (1.17) tenglamaning yechimi (1.16) tenglamaning ham yechimi
bo`lib qolishini ko`rsatamiz. Buning uchun (1.17) tenglamaning yechimi u(x)=φ(x)
bo`lsin deb faraz qilamiz. Bu funksiyani o`sha tenglamaga qo`ysak,
K
( x , x ) φ ( x ) +
∫
a x
K
x' (
x , t ) ϕ ( t) dt = f '
( x )
(1.18)
ayniyat hosil bo`ladi. (1.18) ning ikki tomonini
x bo`yicha integrallab uni
quyidagicha yozamiz:

∫
a x
[
d
dx ∫
ax
K ( x , t ) ϕ ( t ) dt ] dx ≡ f ( x ) − f ( a ) .
(1.19)
Shartimizga muvofiq f
( a) = 0
edi. Chap tomondagi ifodada bir marta integrallash
bajarrish mumkin. Natijada quyidagi ayniyat hosil bo`ladi:
∫
a x
K
( x , t ) ϕ ( t) dt ≡ f ( x ) .
Buni beilgan (1.16) tenglama bilan solishtirsak,
φ(x) funksiya uning yechimi
ekanini ko`ramiz.
b) Agar I intervalda
K (x,x)≡0 bo`lib qolsa, (1.18) dan yana quyidagi birinchi
tur integral tenglama kelib chiqadi:

∫a
x
Kx'(x,t)u(t)dt = f'(x). (1.20)
Bunda ham
Kx'(x,t) funksiya ∆
sohada va f '
( x )
funksiya I
kesmada uzluksiz deb
faraz qilinadi, hamda f '
(
a) = 0
bo`lishi kerak.
Yuqoridagi (1.20) tenglamani yana parametr ham (1.17)dagi kabi ikki holdan
birining uchrashi mumkin bo`lgani uchun o`sha usulda tekshirib ko`rish tavsiya
etiladi.
2-Misol . Ushbu
∫0
x
[(x−t)2+2(x−t)]u(t)dt = 2
3x3
14

tenglama berilgan , bunda
f( x ) = 2
3 x 3
, K ( x , t ) = ( x − t ) 2
+ 2 ( x − t ) .
Demak,
f ( a ) = f ( 0 ) = 0 , K ( x , x ) = 0.
Tenglamani
x bo`yicha differensiallab so`ngra ikkiga qisqartirsak,
∫0
x
(x−t+1)u(t)dt = x2.
Bundan yana bir marta hosila olamiz:
u
( x ) +
∫
0 x
u ( t) dt = 2 x .
Bu esa ikkinchi tur Volterra tenglamasi bo`lib, uning qanday yechilishi
oldingi paragraflardan bizga ma’lum. Bu tenglamaning yechimi
u
( x ) = 2 ( 1 − e − x
)
bo`ladi.
So`nggi tenglamani boshqa usul bilan yechish ham mumkin. Buning uchun
tenglamaning ikki tomonidagi x bo`yicha hosila olish kifoya:
u'(x)+u(x)= 2.
Bu birinchi tarrtibli chiziqli differensial tenglama bo`lib, uni ma’lum usullar bilan
yechish mumkin.
3-Misol . Ushbu
∫2
x
(x−3t+5)u(t)dt =(x− 2)2
tenglama berilgan.
Dastlab tenglamaning ikki tominida x bo`yicha hosila olib so`ngra
soddalashtiramiz, natijada
(
− 2 x + 5 ) u ( x ) +
∫
2x
u ( t ) dt = 2 ( x − 2 )
hosil b`oladi. Bundan ko`rinadiki,
x=2 bo`lganda u ( x ) = 0
bo`lishi kerak. Bu quyida
hosil bo`ladigan differrensial tenglamani yechish uchun chegara sharti bo`ladi.
Yana bir marta
x bo`yicha differensiallab so`ngra soddalashirsak, ushbu
(
5 − 2 x ) u ' (
x ) − u ( x ) = 2
chiziqli differensial twenglama kelib chiqadi. Uni ma’lum usullardan biri
yordamida yechsak
15

u(x)=C (5−2x)
−12−2Yechim hosil bo`ladi. Endi u ( 2 ) = 0
shartdan foydalanib ixtiyoriy
C o`zgarmas sonni
aniqlaymiz: C = 2
demak,
u(x)=2(5− 2x)
−12− 2
Endi biz Volterr tipidagi operatorlarning rezolventasini topish masalasini
qaraymiz. Quyida keltirilgan tasdiqlardan shu narsa kelib chiqadiki, Volterr
operatorining rezolventasi noldan farqli barcha nuqtalarda mavjud va
chegaralangan bo‘lar ekan.
Volterr tenglamasining o‘ng tamoniga u
( t)
funksiyaning ifodasini ketma-ket
qo‘yib, quyidagini hosil qilamiz:
u(x)= f(x)+λ(Vf )(x)+⋯+λn(Vnf)(x)+λn(Vnu)(x).(1.21 )
Umumiy hadi
λn(Vnf)¿ ) bo‘lgan
f
( x ) + λ ( Vf ) ( x ) + λ 2 (
V 2
f ) ( x ) ⋯ + λ n (
V n
f ) ( x ) + λ n (
V n
u ) ( x ) + ⋯ ( 1.22 )
funksional qatorni qaraymiz. (1.11) tengsizlik bajarilganda (1.22) qatorning
umumiy hadini quyidagicha baholash mumkin:
| λ n
( V n
f )
(x) | ≤ | λ ∨ ¿ n
M
f M
Kn ( x − a ) n
n ! ¿
≤| λ ∨ ¿ n
M
f M
Kn ( b − a ) n
n ! ¿
, (a ≤ x ≤ b).
Umumiy hadi
|
λ∨¿nM fM Kn(b−a)n
n! ¿
bo‘lgan musbat hadli qator λ , M
f va M
K larning barcha qiymatlarida yaqinlashadi.
Shuning uchun (1.22) funksional qator absolyut va tekis yaqinlashadi.
Agar (1.4) integral tenglama biror uzluksiz u ( x )
yechimga ega bo‘lsa, u
holda bu yechim (1.21) tenglamani ham qanoatlantiradi. (1.21) ning so‘nggi
qo‘shiluvchisi λ n + 1
( V n + 1
f )
(x) uchun quyidagi baho
(
x∈[a,b] ) o‘rinli:
| λ n + 1
( V n + 1
f )
(x)|≤|
λ∨¿n+1M uM n+1(x−a)n+1
(n+1)! ¿ ≤| λ ∨ ¿ n + 1
M
u M
Kn + 1 ( b − a ) n + 1 (
n + 1 ) ! ¿
Bundan ushbu limitik munosabatni olamiz:
lim
n → ∞ λ n + 1
( V n + 1
u ) ( x ) ≡ 0
.
16

(1.21) da n→ ∞ da limitga o‘tib, biz (1.4) tenglamani qanoatlantiruvchi u ( x )
funksiya (1.22) qator ko‘rinishida ifodalanishini hosil qilamiz. Xuddi yuqorida
ko‘rsatilgani kabi, (1.22) qator yig‘indisi u ( x )
funksiya (1.4) tenglamani
qanoatlantirishini isbotlash mumkin. Shunday qilib biz quyidagi tasdiqni
isbotladik.
1.2-teorema . Agar
a¿ va b ¿
shartlar bajarilsa, u holda barcha λ lar uchun
(1.4) integral tenglama yagona uzluksiz yechimga ega. Bu yechim
[ a , b ]
da
absolyut va tekis yaqinlashuvchi (1.22) qator ko‘rinishida ifodalanadi.
Bu yerda olingan natijalarni o‘zgarishsiz ravishda:
u
( x ) = f ( x ) +
∫
ax
K ( x , t ) u ( t) dt
tenglamaga Volterr tenglamasining xususiy holi sifatida, ya’ni
λ=1 deb tadbiq etish
mumkin.
Ushbu tenglama
y''+xy'+y=0
va
y
( 0) = 1 , y ' (
0 ) = 0
boshlang`ich shartlar berilgan. Bularga mos integral tenglama tuzilsin.
Noma’lum funksiyaning ikkinchi hosilasini quyidagicha belgilaymiz.
y ' '
= u
( x ) .
Bundan esa quyidagi kelib chiqadi:
y'=∫0
x
u(t)dt +c1
Berilgan shartlarga ko`ra x = 0
bo`lganda ,
y'=0 bo`ladi, demak c 1 = 0.
Shuning
uchun
y '
=
∫
0 x
u
( t) dt .
U holda bu yerdan
y =
∫
0 x
(
∫
0x
u ( t ) dt ) dt + c
2 =
∫
0 x
dt
∫
0x
u ( t ) dt + c
2 .
Endi x = 0
bo`lganda y = 1
bo`lgani sababli, so`nggi tenglikdan c
2 = 1
kelib
17

chiqadi. Demak,
y =
∫
0 x
dt
∫
0x
u ( t ) dt + 1.
Koshi formulasiga asosan buni
y =
∫
0 x(
x − t ) u ( t) dt + 1
ko`rinishda yozish mumkin.
Mana shu
y'',y',y lar uchun aniqlangan ifodalarni berilgan differensial
tenglamaga qo`yamiz:
y ' '
− x y '
+ y = u
( x ) + x
∫
0 x
u ( t) dt +
∫
0x (
x − t ) u ( t) dt + 1 = 0.
Bu ifodadagi integrallarni birlashtirsak, ushbu
u
( x ) = − 1 +
∫
0x (
t − 2 x ) u ( t ) dt
integral tenglama hosil bo`ladi.
Ushbu differensial tenglama
y ' '
+ y = cosx
va

y(0) =0 , y'(0)=1
Boshlang`ich shartlari berilgan. Bularga mos integral tenglama tuzilsin.
Odatdagicha
y ' '
= u ( x )
Deb belgilaymiz. Bundan
y '
=
∫
0 x
u ( t ) dt + c
1 .
Boshlang`ich shartlarga ko`ra
x=0 bo`lganda ,
y '
= 1 , shu sababli , c1=1 bo`ladi.
Demak,
y'=1+∫0
x
u(t)dt .
Bundan yana bir marta integral olinsa,
y =
∫
0 x
(
1 +
∫
0x
u ( t ) dt ) dt + c
2 = x +
∫
o x
dt
∫
0x
u ( t ) dt + c
2 .
Boshlang`ich shartlarga ko`ra
x=0 bo`lganda , y= 0 bo`lishi kerak, shu sababli
18

c2= 0bo`ladi. Koshining yuqorida keltirilgan formulasiga muvofiq
y = x +
∫
0 x
(
x − t ) u ( t ) dt .
Endi berilgan differensial tenglamaga
y , y '
lar uchun aniqlangan ifodalarni
qo`yamiz, u holda
y''+y=u(x)+x+∫0
x
(x−t)u(t)dt =cosx .
Bundan esa ushbu
u
( x ) = − x + cosx +
∫
0x (
t − x ) u ( t ) dt
Integral tenglama kelib chiqadi.
Ushbu

y'''−3y''−6y'+8y=0
Differensial tenglama va
y
( 0) = 1 , y ' (
0 ) = 1 , y ' ' (
0 ) = 1
Boshlang`ich shartlar berilgan. Bularga mos integral dx ga ko`paytirib,
so`ngrra integrallaymiz:
y''=∫0
x
u(t)dt +c1.
Boshlang`ich shartlarga ko`ra bundan c
1 = 1
kelib chiqadi. U holda
y''=1+∫0
x
u(t)dt .
Bundan yana integral olinsa,
y'=∫
0
x
(1+∫
0
x
u(t)dt )dx +c2= x+c2+∫
0
x
dx ∫
0
x
u(t)dx
Kelib chiqadi. Boshlang`ich shartlarga ko`ra c
2 = 1
bo`ladi.
Demak,
y'=1+x+∫0
x
dx ∫o
x
u(t)dt
bo`lib, undan so`nggi marta integral olsak,
y =
∫
0 x
(
1 + t +
∫
0 x
dt
∫
0 x
u ( t ) dt ) dt + ¿ c
3 = x + x 2
2 +
∫
0x
dt
∫
0 x
dt
∫
0 x
u ( t) dt + c
3 ¿
hosil bo`ladi. Boshlang`ich shartlarga asosan
c3=1 bo`ladi.
Endi Koshining formulasiga muvofiq takroriy integrallarni oddiy
19

integralga aylantirsa va
y ' ' '
, y ' '
, y '
, y lar uchun aniqlangan ifodalarni berilgan
differensial tenglamaga qo`yib ixchamlashtirilsa, quyidagi natija kelib chiqadi:u(x)=1− 2x− 4x2−∫0
x
[3+6(x−4)−4(x−t)2]u(t)dt .
1.3-§. Fredholm tenglamasining Volterr tomonidan berilgan yechimi
1.3-ta’rif. Agar
M K(b−a)<1 shart bajarilsa, ushbu
−(K1(x,t)+K2(x,t)+⋯+Kn(x,t)+⋯)(1.23 )
Qatro absolyut va tekis yaqinlashuvchi bo‘ladi. Uning yig’indisi
k(x,t) funksiya
K ( x , t )
yadroning o‘zaro to‘ldiruvchi funksiyasi deb ataladi.
Bu yerda K
n ( x , t )
lar (1.5) tenglik bilan aniqlanadi.
O‘zaro to‘ldiruvchi funksiya k ( x , t )
quyidagi tengliklarni qanoatlantiradi:

K (x,t)+k(x,t)=∫a
b
K (x,s)k(s,t)ds =∫a
b
k(x,s)K (s,t)ds .(1.24 )
Haqiqatdan ham,
− K
( x , t ) − k ( x , t ) =
∫
ab
K
1 ( x , s )[ K
1 ( s , t ) + K
2 ( s , t ) + ⋯ + K
n − 1 ( s , t ) + ⋯ ] ds = ¿ ¿
¿
∫
ab
[
K
1 ( x , s ) + K
2 ( x , s ) + ⋯ + K
n − 1 ( x , s ) + ⋯ ] K
1 ( s , t ) ds .
Bu tengliklardagi kvadrat qavs ichidagi ifodalar (1.23) ga asosan mos ravishda
− k ( s , t )
va − k ( x , s )
ga teng bo‘lib, bu (1.24) ni isbotlaydi.
Fredholm tenglamasi, ya’ni (1.3) tenglamaning λ = 1
bo‘lgan holda Volterr
tomonidan berilgan yechish usulini bayon qilamiz.
Faraz qilaylik, k ( x , t )
funksiya K ( x , t )
yadroning o‘zaro to‘ldiruvchi funksiyasi,
u
( x )
esa (1.15) tenglamaning uzluksiz yechimi bo‘lsin, ya’ni
20

u(t)= f(t)+∫a
b
K (t,t1)u(t1)dt1.Bu tenglikning ikkala qismini k ( x , t )
- o‘zaro to‘ldiruvchi funksiyasiga
ko‘paytirib, t
o‘zgaruvchi bo‘yicha
[a,b] kesmada integrallaymiz:
∫a
b
u(t)k(x,t)dt =∫a
b
k(x,t)f(t)dt +∫a
b
∫a
b
k(x,t)K (t,t1)dtu (t1)dt1=¿
¿∫a
b
k(x,t)f(t)dt +∫a
b
[K (x,t1)+k(x,t1)]u(t1)dt1.
Bu yerda biz (1.19) munosabatdan foydalandik. Oxirgi tenglikdan esa
∫
ab
k
( x , t ) f ( t) dt +
∫
ab
K ( x , t ) u ( t) dt = 0 ( 1.20 )
ni olamiz. (1.15) ga asosan
∫a
b
K (x,t)u(t)dt = u(x)− f(x)
bo‘lib, uni (1.20) ga qo‘yib, quyidagi ifodani olamiz:
u
( x ) = f ( x ) −
∫
ab
k ( x , t ) f ( t) dt . ( 1.21 )
Shunday qilib, agar (1.15) integral tenglama biror uzluksiz yechimga ega bo‘lsa, u
yagona bo‘ladi va (1.21) tenglik bilan ifodalanadi. Demak, biz quyidagi teoremani
isbotladik.
1.3-teorema . Faraz qilaylik
a¿ , b¿ va M
K ( b − a ) < 1
shartlar bajarilsin. U holda
(1.15) tenglama yagona uzluksiz yechimga ega va u (1.21) formula bilan
ifodalanadi.
21

II.BOB. INTEGRAL TENGLAMALARNI FREDHOLM USULI BILAN
YECHISH
Biz bu bobda (1.3) integral tenglamaning Fredholm tomonidan berilgan
yechish usulini bayon qilamiz. Butun 2-bob davomida f dan kvadrati bilan
integrallanuvchanlik shartini,
K dan esa 1-bobdagi a¿ shartning bajarilishini talab
qilamiz. Bu shartda 1.2-teoremaga ko`ra (1.1) tenglik bilan aniqlangan F
operator
L2[a,b]
fazoda o`z-o`ziga qo`shma, chegaralangan va kompakt bo`ladi.
Endi Fredholm tomonidan berilgan yechish usulida muhim o`rin tutadigan
Fredholm determinanti Δ ( λ )
va Fredholm minorini D ( x , t ; λ )
ni keltiramiz:
Δ
( λ) = 1 +
∑
n = 1∞
( − 1 ) n λ n
n ! A
n , ( 2.1 )
An=∫a
b
⋯∫a
b
|
K (t1,t1)K (t1,t2)⋯K (t1,tn)
K (t2,t1)K (t2,t2)⋯ K (t2,tn)
⋮⋯⋮⋯⋮
K (tn,t1)K (tn,t2)⋯ K (tn,tn)|
dt1dt2⋯dtn,
D (x,t;λ)= λK (x,t)+∑n=1
∞
(−1)nλn+1
n! Bn(x,t),(2.2 )
B
n
( x , t ) =
∫
ab
⋯
∫
ab
| K
( x , t ) K ( x , t
1 ) ⋯ K ( x , t
n )
K
( t
1 , t ) K ( t
1 , t
1 ) ⋯ K ( t
1 , t
n )
⋮ ⋯ ⋮ ⋯ ⋮
K
( t
n , t ) K ( t
n , t
1 ) ⋯ K ( t
n , t
n )| d t
1 d t
2 ⋯ d t
n .
Δ(λ)
va D (x,t;λ) funksiyalarga mos ravishda K ( x , y )
yadro orqali qurilgan (1.3)
integral tenglamaning Fredholm determinanti va minori deyiladi.
Endi keyinchalik (1.3) integral tenglamaning yechimini topish jarayonida muhim
ahamiyatga ega bo`ladigan Fredholmning 2 ta fundamental munosabatini keltirib
utamiz:
22

D (x,t;λ)− λK (x,t)Δ(λ)= λ∫a
b
K (s,t)D (x,s;λ)ds ,(2.3 )
D (x,t;λ)− λK (x,t)Δ(λ)= λ∫a
b
K (x,s)D(s,t;λ)ds .(2.4 )(1.3) integral tenglamaning Fredholm tomonidan berilgan yechimi Fredholm
determinanti va minori bilan uzviy bog`liq. (2.1) va (2.2) dagi qatorlarning
yaqinlashishini ko`rsatishda quyidagi Adamar teoremasidan foydalanamiz.
2.1-teorema .( Adamar ) Ushbu
B =
| b
11 b
12 ⋯ b
1 n
b
21 b
22 ⋯ b
2 n
⋮ ⋯ ⋯ ⋮
b
n 1 b
n 2 ⋯ b
nn |
algebraik determinantning har bir b
ik hadi haqiqiy bo`lib,
|
b
ik | ≤ M , i = 1 , … , n , k = 1 , … , n
tengsizlikni qanoatlantirsin, u holda
|B|≤M n√nn tengsizlik o`rinli.
Adamar teoremasi ushbu lemma yordamida isbotlanadi.
2.1-lemma. Agar
A=
|
a11a12⋯a1n
a21a22⋯a2n
⋮⋯⋯⋮
an1an2⋯ann|
algebraik determinantning har bir
aik hadi haqiqiy bo`lib
∑
i = 1n
|
a
ik | 2
≤ 1 , k = 1 , … , n
tengsizlikni qanoatlantirsa,
|A|≤1 tengsizlik o`rinli.
2.1-teoremaning isboti. Quyidagi belgilashni kiritamiz:
23

b
i 1 2
+ b
i 2 2
+ ⋯ + b
¿ 2
= s
i , i = 1,2 , … , n .
Bunda ikkita hol bo`lishi mumkin.
1-hol . Faraz qilaylik, s
i lardan hech bo`lmaganda bittasi nolga teng
bo`lsin, masalan si=0. U holda barcha k=1,2 ,… ,n lar uchun bik=0
bo`lishi kelib chiqadi, ya'ni determinantning bitta satr elementlari nol bo`ladi.
Bundan determinant nolga tengligini, ya'ni
B=0 ni olamiz. Bu holda teorema
tasdig`i bajariladi.
2-hol .
si lardan birortasi ham nolga teng emas. U holda ixtiyoriy i=1,2 ,… ,n uchun
s
i > 0
o`rinli. Endi
B determinantni quyidagicha tasvirlaymiz:
B =
√ s
1 s
2 ⋯ s
n
| b
11
√
s
1 b
12 √
s
1 ⋯ b
1 n √
s
1
⋮ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮
b
n 1
√
s
n b
n 2 √
s
n ⋯ b
nn √
s
n
|
Uning har bir satr elementlari uchun
(
bi1
√si)
2
+(
bi2
√si)
2
+⋯+(
b¿
√si)
2
=1,i=1,2 ,… ,n
tenglik o`rinli. 2.1-lemmadagi
A determinant elementlarini a
ij = b
ij √
s
i deb
belgilasak, u holda 2.1-lemma tasdig`iga ko`ra
|B|=√s1s2⋯sn|A|≤√s1s2⋯sn
tengsizlikning o`rinli ekanligini olamiz. Teorema shartiga asosan
|bik|≤M bo`lgani
uchun s
i ≤ n M 2
bo`lib, bundan kerakli
|
B | ≤ M n √
n n
tengsizlikni olamiz.
Ushbu teoremadan foydalanib
K (x,t) yadro |K (x,t)|≤M tengsizlikni
24

qanoatlantirsa, unga mos (2.1) qator bilan aniqlanuvchi Δ ( λ )
Fredholm
determinanti λ parametrning barcha qiymatlarida yaqinlashuvchi bo`ladi. Agar biz
(2.1) ni darajali qator sifatida qarasak, uning yaqinlashish radiusi
R=∞ bo`ladi.
Bundan Δ ( λ )
funksiyaning kompleks tekislikda analitik funksiya ekanligi kelib
chiqadi. Xuddi shunday (2.2) qator bilan aniqlanuvchi D
( x , t ; λ )
Fredholm minori
ham λ
parametrning barcha qiymatlarida va har bir ( x , y ) ∈
[ a , b ] × [ a , b ]
da
absolyut,
[ a , b ] × [ a , b ]
da tekis yaqinlashuvchi bo`ladi. Demak, uning yig`indisi
bo`lgan
D (x,t;λ) funksiya ( x , t )
bo`yicha uzluksiz va λ parametrning analitik
funksiyasi bo`ladi.
(1.3) integral tenglamaning Fredholm tomonidan berilgan yechimi quyidagi 2.2,
2.4 va 2.5-teoremalarda o`z ifodasini topgan.
2.2-teorema . Faraz qilaylik,
K (x,y) yadro [a,b]×[a,b] da uzluksiz va
Δ ( λ ) ≠ 0
bo`lsin. U holda ixtiyoriy
f∈L2[a,b] da (1.3) integral tenglama
u
( x ) = f ( x ) + 1
Δ ( λ ) ∫
ab
D ( x , t ; λ ) f ( t) dt ( 2.5 )
formula bilan ifodalanuvchi yagona yechimga ega.
Isbot. Faraz qilaylik, (1.3) tenglama u ( x )
yechimga ega bo`lsin. Uni quyidagi
ko`rinishda yozib olamiz
u(t)= f(t)+λ∫a
b
K (t,s)u(s)ds .(2.6 )
(2.6) tenglikni ikkala qismini
D (x,t;λ) ga ko`paytirib, keyin t−¿ o`zgaruvchi
bo`yicha
a dan b
gacha integrallab, natijada
∫a
b
D(x,t;λ)u(t)dt =¿¿
¿∫a
b
D (x,t;λ)f(t)dt +λ∫a
b
∫a
b
D (x,t;λ)K(t,s)u(s)dsdt .(2.7 )
25

tenglikni hosil qilamiz. Ikki karrali integral ostidagi ifoda t va s lar bo`yicha
integrallanuvchi bo`lganligi uchun, Fubini teoremasiga (1.1-teoremaga qarang)
ko`ra, unda integrallash tartibini o`zgartirish mumkin. Uni quyidagicha yozamiz
∫
ab
u
( s){ λ
∫
ab
K ( t , s ) D ( x , t ; λ ) dt } ds . ( 2.8 )
(2.3) Fredholm fundamental munosabatiga ko`ra (2.8) ni quyidagicha yozish ham
mumkin
∫
ab
{
D ( x , t ; λ ) − λ Δ ( λ ) K ( x , s )} u ( s) ds .
Bu tenglikka ko`ra (2.7) tenglama ushbu ko`rinishni oladi
∫a
b
D(x,t;λ)u(t)dt =¿¿
∫a
b
D(x,t;λ)f(t)dt +∫a
b
D (x,t;λ)u(s)ds − λΔ(λ)∫a
b
K (x,s)u(s)ds .
Agar biz
∫
ab
D
( x , t ; λ ) u ( t) dt =
∫
ab
D ( x , s ; λ ) u ( s) ds
ayniyatni hisobga olsak oxirgi tenglikdan quyidagini olamiz:
λ∫a
b
K (x,t)u(t)dt = 1
Δ(λ)∫a
b
D (x,t;λ)f(t)dt .
λ∫a
b
K (x,t)u(t)dt
ning bu ifodasini (1.3) ga qo`yib
u(x)= f(x)+ 1
Δ(λ)∫a
b
D (x,t;λ)f(t)dt .
ni olamiz. Demak, (1.3) tenglamaning ixtiyoriy yechimi (2.5) ko`rinishga ega
26

ekan. Bu 2.2-teoremani isbotlaydi.
Bu teoremadan natija sifatida aytish mumkinki, agar Δ ( λ ) ≠ 0
bo`lsa,
(1.3) integral tenglamaga mos bir jinsli integral tenglama faqat nol yechimga ega
bo`ladi.
2.1-§. Bir jinsli tenglamaning yechimi
Endi (1.3) integral tenglamaga mos bir jinsli tenglamani, ya'niu(x)= λ∫a
b
K (x,t)u(t)dt (2.9 )
tenglamani qaraymiz. Quyidagi teorema o`rinli.
2.3-teorema . Agar
Δ(λ0)=0 va D(x,t;λ0) aynan nol funksiya bo`lmasa, u holda
shunday t
0 ∈
[ a , b ]
mavjudki, D(x,t0,λ0) funksiya
u(x)= λ0∫a
b
K (x,t)u(t)dt (2.10 )
tenglamaning aynan nolga teng bo`lmagan uzluksiz yechimi bo`ladi.
2.1-ta'rif . Agar biror
λ= λ0 uchun Δ(λ0)=0 bo`lsa, λ0 ga K (x,t)
yadroning xarakteristik soni deyiladi. (2.10) tenglamaning nolmas yechimi esa
K (x,t)
yadroning λ0 xarakteristik songa mos fundamental funksiyasi deyiladi.
Agar λ
0 − K ( x , t )
yadroning xarakteristik soni bo`lsa, u holda
μ=1/λ0 soni (1.1)
tenglik bilan aniqlangan
F operatorning xos qiymati bo`ladi. K (x,t) yadroning
fundamental funksiyalari, F
operatorning xos funksiyalari bo`ladi.
2.2.§. Bir jinslimas tenglamaning umumiy yechimi
Hozir biz bir jinslimas (1.3) integral tenglamaning umumiy yechimini
beramiz. Agar Δ ( λ ) ≠ 0
bo`lsa, (1.3) integral tenglama yagona yechimga ega va u
(2.5) tenglik bilan aniqlanadi. Endi (1.3) bir jinslimas integral tenglamani Δ
( λ) = 0

holda yechishga harakat qilamiz. 2.3-teoremaga ko`ra (1.3) tenglama yechimga ega
bo`lishi uchun f ∈ L
2
[ a , b ]
funksiya (2.9) bir jinsli tenglamaga qo`shma
tenglamaning barcha yechimlariga ortogonal bo`lishi zarur va yetarli. Biz
simmetrik yadrolarni, ya'ni T = T ¿
holni qarayapmiz. Bu holda (2.9) bir jinsli
tenglamaga qo`shma tenglama (2.9) tenglamaning o`zidan iborat. Faraz qilaylik
λ= λ0
soni K ( x , t )
yadroning q
karrali xarakteristik soni bo`lsin, u holda (2.10) bir
27

jinsli tenglama q ta chiziqli bog`lanmagan φα(x,λ0) , α= 1,2 ,… ,q yechimlarga ega
bo`ladi. Bu holda (1.3) tenglama yechimga ega bo`lishi uchun f ∈ L
2
[ a , b ]
funksiya
(2.10) bir jinsli tenglamaning barcha yechimlariga ortogonal bo`lishi zarur va
yetarli, ya'ni
∫a
b
f(x)φα(x,λ0)dx = 0,α=1,2 ,… ,q.(2.11 )
Faraz qilaylik, (2.11) shartlar bajarilgan bo`lsin, u holda 2.2-teoremaga ko`ra
(1.3) tenglama yechimga ega bo`ladi. Bu teorema yechimning mavjudligini beradi
xalos. Yechimni topish esa oson masala emas. Hozir biz yechimni topishning
Fredholm tomonidan berilgan sulini bayon qilamiz. Faraz qilaylik, (2.11) shartlar
bajarilgan bo`lsin. U holda
∑α=1
q
λ0K (xα,',x)∫a
b
f(t)φα(t,λ0)dt =0(2.12 )
ayniyatga ega bo`lamiz λ
0 K
( x , x
α, '
, ) = λ
0 K ( x
α, '
, x )
ifoda t
ga bog’liq bo‘lmagan ligi
uchun uni integral tagiga kiritish mumkin, ya’ni
∫a
b
{∑α=1
q
λ0K (xα,',x)φα(t,λ0)}f(t)dt = 0(2.13 )
(2.10) dan hamda
K (x,t)= K(t,x) shrtadan foydalanib (bu holda H (x,t)= H (t,x)
bo‘ladi) (2.13) ni quyidagicha yozish mumkin:

0≡ λ0∫a
b
K (x,t)f(t)dt −∫a
b
H (x,t)f(t)dt +¿

+λ0∫a
b
f(t){∫a
b
K (x,s)H (s,t)ds }dt (2.14)
So`nggi qo`shiluvchi
λ
0 ∫
ab
∫
ab
f
( t) K ( x , s ) H ( s , t ) dsdt
ni quyidagicha ham yozish mumkin: bunda
t va s larni joyini almashtirib
λ
0 ∫
ab
∫
ab
f
( s) K ( x , t ) H ( t , s ) dtds
λ0∫a
b
K (x,t){∫a
b
H (t,s)f(s)ds }dt
Bu ifodani (2.14) ga qo`yib va birinchi va oxirgi hadlarni birlashtirib quyidagiga
28

kelamiz:0≡ λ0∫a
b
K (x,t){f(t)+∫a
b
H (t,s)f(s)ds }dt−∫a
b
H (x,t)f(t)dt
(2.15)
Agar biz

u0(t)= f(t)+∫a
b
H (t,s)f(s)ds (2.16)
Yoki

u0(t)− f(t)=∫a
b
H (x,s)f(s)ds (2.16a)
desak, u holda (2.15) quyidagi ko`rinishga keladi:
u0(x)= f(x)+λ0∫a
b
K (x,s)u0(s)ds
Shunday qilib, (2.11) shartlar bajarilganda (1.3) tenglamaning
λ= λ0 da
hech bo`lmaganda bitta (2.16) tenglik bilan aniqlanuvchi
u0(x) yechimi mavjud.
Endi (1.3) tenglamaning barcha yechimlarini topamiz. Faraz qilaylik, (1.3)
tenglama
λ= λ0 da u0(x) dan farqli u ( x )
yechimga ham ega bo`lsin. U holda
u
( x ) − u
0 ( x )
(2.10) bir jinsli tenglamaning yechimi bo`ladi. 4.4-teoremaga ko`ra
u(x)−u0(x)=C1φ1(x,λ0)+C2φ2(x,λ0)+⋯+Cqφq(x,λ0).
Bu yerda
C1,C2,⋯ ,Cq ixtiyoriy o`zgarmaslar. Ma'lumki, bir jinslimas tenglamaning
umumiy yechimi, uning biror xususiy yechimi bilan bir jinsli tenglamaning
umumiy yechimi yig`indisidan iborat. Shunga ko`ra (1 .3) tenglamaning
λ= λ0 dagi
umumiy yechimi
u(x)= f(x)+∫a
b
H (x,t)f(t)dt +¿¿
+ C
1 φ
1
( x , λ
0 ) + C
2 φ
2 ( x , λ
0 ) + ⋯ + C
q φ
q ( x , λ
0 ) .
(2.17)
b o`ladi. Shunday qilib biz Fredholmning uchinchi fundamental teoremasini
isbotladik.
4.5-teorema. Agar
λ= λ0 soni K (x,t) yadroning q karrali xarakteristik
soni bo‘lsa, u holda (1.3) tenglama umuman olganda yechimlarga ega emas. Bu
tenglama yechimga ega bo‘lishi uchun (2.11) shartlarning bajarilishi zarur va
yetarli. Agar (2.11) shartlar bajarilsa, u holda (1.3) tenglama cheksiz ko‘p
29

yechimlarga ega bo‘lib, ular (2.17) formula bilan aniqlanadi. (2.17) da C1,C2,⋯ ,Cq
ixtiyoriy o‘zgarmaslar,
φα(x,λ0),α=1,2 ,⋯,q lar H ( x , t )
funksiya (2.21) tenglik
bilan aniqlanadi.
2.3-§. Hilbert-Shmidt usuli .
Endi (2.7) shartni qanoatlantiruvchi yadroli integral tenglamani o‘rganamiz.
Yuqorida aytilganidek, bu holda
(Fφ )(s)=∫a
b
K(s,t)φ(t)dt
o‘z-o‘ziga qo‘shma kompakt operator. Demak, bu operatorga 2.9-Hilbert-Shmidt
teoremasini qo‘llash mumkin. (5) yoki (1.3) tenglamani qisqacha
u = Fu + f
(2.18)
ko‘rinishida yozamiz. Hilbert-Shmidt teoremasiga asosan, F
operator uchun
{ λ
n } xos
qiymatlarga mos keluvchi xos funksiyalarning shunday
{ ψ
n } ortonormal sistemasi
mavjudki, ixtiyoriy
ξ∈L2[a,b] element yagona usul bilan
ξ =
∑
n = 1 α
n ψ
n + ξ '
, ξ '
∈ Ker F ,
ko‘rinishda ifodalanadi. Shunday qilib,
f =
∑
n = 1 b
n ψ
n + f '
, f '
∈ Ker F ,
(2.19)
deymiz va (2.18) tenglamaning yechimini
u =
∑
n = 1 x
n ψ
n + u '
, u '
∈ Ker F
, (2.20)
ko‘rinishda izlaymiz. (2.19), (2.20) yoyilmalarni (2.18) ga qo‘yib,
∑
n = 1 x
n ψ
n + u '
=
∑
n = 1 x
n λ
n ψ
n + ¿
∑
n = 1 b
n ψ
n + f '
¿
tenglamaga kelamiz, ya’ni
∑n=1(1− λn)xnψn+u'=∑n=1
bnψn+ f'.
Bunday yoyilma yagona bo‘lganligi sababli
Agar
λn≠1 bo‘lsa, u holda x
n = b
n ( 1 − λ
n ) − 1
va λn=1 bo‘lsa, bn=0.
Ko‘rinib turibdiki,
λn=1 holda bn=0 shart (2.18) tenglamaning yechimga ega
30

bo‘lishi uchun yetarli va zarurdir. Bunda λn=1 uchun xn−¿ ixtiyoriy. Shu bilan
quyidagi teorema isbotlandi.
5.1-teorema. Agar
1 soni F operator uchun xos qiymat bo‘lmasa, u holda
(2.18) tenglama ixtiyoriy f
uchun yagona yechimga ega. Agar 1
soni F
operator
uchun xos qiymat bo‘lsa, u holda (2.18) tenglama yechimga ega bo‘lishi uchun
f
funksiya 1
soniga mos keluvchi barcha xos funksiyalarga ortogonal bo‘lishi yetarli
va zarurdir. Bu holda (2.18) tenglama yechimlarining soni cheksizdir.
2 .4.§. Integral tenglamalarni yechishga doir misollar
4-Misol. Ushbu
y
( x ) = 1 −
∫
0 x
( x − t ) y ( t ) dt
Volterr tipidagi integral tenglamani ketma-ket yaqinlashishlar usuli yordamida
yeching.
Yechish. Boshlang`ich yaqinlashish sifatida
y0(x)=1 funksiyani olib, keyingi
yaqinlashishlarni
y1(x)=1−∫0
x
(x−t)·1·dt =1− x2
2 ,
y
2
( x ) = 1 −
∫
0x (
x − t )( 1 − t 2
2 ) dt = 1 − x 2
2 + x 4
4 ! ,
Bu jarayonni
n marta takrorlash natijasida quyidagiga ega bo`lamiz:
y
n
( x ) = 1 − x 2
2 + x 4
4 ! − x 6
6 ! + … + ( − 1 ) n x n
n ! =
∑
k = 0n
( − 1 ) k x k
k !
bu yerdan
y(x)= limn→∞yn(x)= ¿∑k=0
∞
(−1)kxk
k!=cosx .¿
5-Misol. Quyidagi
u(x)=1+λ∫0
x
u(t)dt
Integral tenglamani ketma-ket o‘rniga qo‘yish usuli bilan yeching.
31

Yechish. Bu Volterr tipidagi tenglama, 3.2-teoremaga ko‘ra u barcha λ larda
yagona yechimga ega. Bu integral tenglama uchun ketma-ket o‘rniga qo‘yish
usulini qo‘llash mumkin. Bu misolda
f(x)=1. Endi ( V n
f ) ( x )
larni hisoblaymiz:
(Vf )(x)=∫0
x
f(t)dt =∫0
x
dt = x,
(
V 2
f )( x ) =
∫
0x
∫
0 t
f ( t
1 ) d t
1 dt =
∫
0x
dt
∫
0 t
d t
1 =
∫
0x
tdt = x 2
2 .
Xuddi shunday ( V 3
f ) ( x )
ni hisoblash mumkin.
(V3f)(x)=∫0
x
dy ∫0
t
dt∫0
t
ds =∫0
x
dy ∫0
y
tdt =∫0
x y2
2 dy = x3
3!,
va hakoza
(
V n
f )( x ) = x n
n ! .
Shunday qilib, qaralayotgan integral tenglama yechimi quyidagi ko‘rinishga ega
ekan
u
( x ) = 1 + λx + ( λx ) 2
2 ! + … + ( λx ) n
n ! + … = e λx
.
Osongina ko‘rsatish mumkinki, u
( x ) = e λx
funksiya istalgan λ
uchun berilgan
integral tenglamani qanoatlantiradi.
Endi berilgan integral tenglamani ketma-ket yaqinlashishlar usuli bilan
yechamiz. Ravshanki, dastlabki u
0 yaqinlashish sifatida biz ixtiyoriy funksiyani
tanlashimiz mumkin. Soddalik uchun u
0
( x ) = 0
deb olamiz. U holda berilgan
integral tenglamaning o‘ng tamonidagi u ( t )
o‘rniga u
0 ni qo‘yib birinchi
yaqinlashish
u1(x) uchun u
1 ( x ) = 1
ni topamiz. Endi u ( t )
o‘rniga u1(t) ni qo‘ysak, 2-
yaqinlashish
u2(x)=1+λx ni olamiz. Shu kabi
u
3
( x ) = 1 + λ
∫
0x
u
2 ( t) dt = 1 + λ
∫
0 x (
1 + λt ) dt = 1 + λx + 1
2 λ 2
x 2
.
Bu jarayonni davom ettirib
n+1 -chi qadamda
u
n + 1
( x ) = 1 + λx + … + 1 (
n − 1 ) ! λ n − 1
x n − 1
+ 1
n ! λ n
x n
32

ni hosil qilamiz. Bu tenglikda n→ ∞ da limitga o‘tib
lim
n → ∞ u
n
( x ) = e λx
berilgan integral tenglama yechimini olamiz.
Demak, barcha
λ∈R lar uchun berilgan integral tenglamaga ketma-ket
yaqinlashishlar usulini qo‘llash mumkin va hosil bo‘lgan
{un(x)} ketma-ketlik
berilgan integral tenglama yechimi bo‘lgan u
( x ) = e λx
ga yaqinlashadi.
6-Misol. Quyidagi
u
( x ) = f ( x ) + λ
∫
ab
φ ( x ) ψ ( t ) u ( t ) dt
integral tenglamani yeching. Bunda
φ va ψ funksiyalar uzluksiz bo‘lib
∫a
b
φ(t)ψ(t)dt =0(a)
Shartni qanoatlantiradi.
Yechish. Berilgan integral tenglamani ketma-ket o‘rniga qo‘yish usuli bilan
yechamiz. Buning uchun
u(t)= f(t)+λ∫a
b
φ(t)ψ(s)u(s)ds
ni berilgan integral tenglamaning o‘ng tamonidagi u ( t )
o‘rniga qo‘yamiz:
u
( x ) = f ( x ) + λ
∫
ab
φ ( x ) ψ ( t ) { f ( t) + λ
∫
ab
φ ( t ) ψ ( s ) u ( s ) ds } dt = ¿
¿f(x)+λφ (x)∫a
b
ψ(t)f(t)dt +λ2φ(x){∫a
b
ψ(t)f(t)dt }∫a
b
ψ(s)u(s)ds .
Agar (a) shartdan foydalansak, u
( x )
uchun quyidagi ifodani olamiz.
u
( x ) = f ( x ) + λφ ( x )
∫
ab
ψ ( t) f ( t) dt . ( b )
Bu tenglikning o‘ng tamoni u
( x )
ga bogliq emas, keyingi o‘rniga qo‘yishlar yana
(b) tenglikka olib keladi. Demak, ixtiyoriy λ ∈ R
uchun berilgan integral
tenglamaning yechimi (b) ko‘rinishida bo‘lar ekan.
33

Endi berilgan integral tenglamani ketma-ket yaqinlashishlar usulidan foydalanib
yechamiz. Boshlang’ich yaqinlashish sifatida u0(x)= f(x) ni olamiz.
U holda birinchi yaqinlashish
u
1
( x ) = f ( x ) + λφ ( x )
∫
ab
ψ ( t) f ( t) dt ( c )
bo‘ladi.
u1(x) ni berilgan integral tenglamaning o‘ng tamoniga qo‘yib u2(x)
uchun quyidagini olamiz
u
2
( x ) = f ( x ) + λφ ( x )
∫
ab
ψ ( t){ f ( t) + λφ ( t)
∫
ab
ψ ( s) f ( s) ds } dt = ¿ ¿
¿f(x)+λφ (x)∫a
b
ψ(t)f(t)dt +λ2φ(x){∫a
b
φ(t)ψ(t)dt }∫a
b
ψ(s)f(s)ds .(d)
Ortogonallik sharti bo‘lgan (a) shartdan foydalanib, (d) dan
u2(x)=u1(x) ga
kelamiz. Xuddi shunday u
n
( x ) = u
1 ( x )
, n≥3 tenglikka kelamiz. Demak, biz berilgan
integral tenglamaga ketma-ket yaqinlashishlar usulini qo‘llab, biz ikkinchi
hadidan boshlab o‘zgarmas bo‘lgan
un(x)= f(x)+λφ (x)∫a
b
ψ(t)f(t)dt
funksional ketma-ketlikka ega bo‘ldik. Bundan
limn→∞un(x)= u1(x).
Demak, istalgan λ ∈ R
da berilgan integral tenglama yagona yechimga ega
va u (c) tenglik bilan ifodalanadi.
7-Misol .
L2[− π,π] fazoda
u(x)= f(x)+λ∫−π
π
(1+cosxcosy )u(y)dy
integral tenglamaga mos Fredholm determinanti va Fredholm minorini toping.
Yechish . Bu integral tenglamaning yadrosi K
( x , y ) = 1 + cosxcosy
haqiqiy
qiymatli va simmetriklik shartini qanoatlantiradi, ya’ni K
( x , y ) = K ( y , x )
. Endi
34

(2.1) formula yordamida An,n∈N koeffitsiyentlarni hisoblaymiz:
A
1 =
∫
− ππ
K
( x , x ) dx =
∫
− ππ (
1 + cos 2
x ) dx = 2 π + π = 3 π .
Xuddi shunday
A2 koeffitsiyent hisoblanadi:
A
2 =
∫
− ππ
dx
∫
− ππ
|
K ( x , x ) K ( x , y )
K ( y , x ) K ( y , y ) | dy = ¿
¿
∫
− ππ
dx
∫
− ππ
[(
1 + cos 2
x )( 1 + cos 2
y ) − ( 1 + cosxcosy ) 2 ]
dy = ¿
¿∫−π
π
dx ∫−π
π
(cos 2x+cos 2y−2cosxcosy )dy = 2π2+2π2−0=4π2.
Intrgral tenglama yadrosining rangi 2
bo‘lganligi uchun, barcha
n≥3 larda
An=0
bo‘ladi. Shuning uchun determinant Δ ( λ )
quyidagiga teng bo‘ladi:
Δ
( λ) = 1 − λ A
1 + 1
2 λ 2
A
2 = 1 − 3 πλ + 1
2 λ 2
4 π 2
= ( πλ − 1 )( 2 πλ − 1 ) .
Integral tenglama yadrosining rangi 2 bo‘lganligi uchun, barcha n ≥ 2
larda
Bn(x,t)=0
tenglik o‘rinli. B1(x,t) uchun esa quyidagi
B1(x,t)=∫−π
π
|
K(x,t) K(x,t1)
K(t1,t) K (t1,t1)|dt1=¿¿
35

¿( 2 π + π )( 1 + cosxcost ) − 2 π − πcosxcost = π + 2 πcosxcost .
Tenglik o‘rinli. Shunday qilib,
D(x,t;λ) uchun quyidagiga ega bo‘lamiz:
D
( x , t ; λ ) = λK ( x , t ) − λ 2
B
1 ( x , t ) = λ ( 1 + cosxcost ) − ¿
− λ 2
(
π + 2 πcosxcost ) = λ ( 1 − πλ ) + λ ( 1 − 2 πλ ) cosxcost . ( 2.25 )
8-Misol. K
( x , y ) = 1 + cosxcosy
yadroning xarakteristik sonlari va fundamental
funksiyalarini toping.
Yechish. Yadroning xarakteristik sonlari bu Δ ( λ )
ning nollaridir. 1-misolda
K
( x , y ) = 1 + cosxcosy
yadroga mos Fredholm determinanti topilgan. Uning nollari
λ
1 = 1
π va λ
2 = 1
2 π lardir. Demak, ular K ( x , y )
yadroning xaraktrestik sonlari
bo‘ladi. Bu
λ1 va λ
2 nuqtalarda birinchi tartibli monor D ( x , t ; λ )
noldan farqli
bo‘lganligi uchun bu xaraktrestik sonlarning karraliklari birga teng, ya’ni bir
jinsli tenglamaning yechimlari to‘plami bir o‘lchamli chiziqli fazodir. (2.25) ga
ko‘ra bu xaraktrestik sonlarga mos keluvchi fundamental funksiyalar
quyidagicha bo‘ladi:
φ
( x , λ
1 ) = D ( x ; 0 , λ
1 ) = − 1
π cosx
, ψ ( x , λ
2 ) = D ( x ; 0 , λ
2 ) = 1
4 π .
9-Misol. Ushbu
u(x)= x2+λ∫
0
1
(1+xt )u(t)dt

tenglamani yeching.
Bu misoldagi
λ parametr umumiy holda berilgan bo`lib, K(x,t)=1+xt yadro
ko`rinishda ifodalangan. Tenglamaning o`ng tomonidagi integralni ikkiga ajratib,
∫
0
1
(1+xt)u(t)dt=∫
0
1
u(t)dt+x∫
0
1
tu(t)dt
.
So`ngra quyidagicha belgilashlarni kiritamiz:
36

Q1=∫
0
1
u(t)dt , Q2=∫
0
1
tu(t)dt
U holda berilgan integral tenglama
u(x)= x2+λQ 1+λQ 2x
ko`rinishida bo‘ladi. Nama’lum funksiyaning mana shu ifodasidan foydalanib, Q
1
bilan Q
2 ni hisoblaymiz:
Q1=∫
0
1
u(t)dt =∫
0
1
(t2+λQ 1+λQ 2t)dt = [
1
3t3+λQ 1t+1
2 λQ 2t2
]0
1
= 1
3+λQ 1+1
2 λQ 2
,
yoki
(1− λ)Q1− 1
2
λQ 2= 1
3
.
Xuddi shuningdek,
Q2=∫
0
1
tu (t)dt =∫
0
1
t(t2+λQ 1+λQ 2t)dt = 1
4+1
2 λQ 1+1
3λQ 3
yoki
− 1
2λQ 1+(1− 1
3λ)Q2= 1
4
.
Shunday qilib, quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi hosil bo`ldi:
(1− λ)Q1−
1
2
λQ 2=
1
3
¿}
¿¿¿
Bu sistemaning yechimi Kramer formulalariga asosan yozamiz:
Q1= D1
D
, Q2= D2
D
bu yerda
D=|
1− λ − 1
2 λ
− 1
2 λ 1− 1
3λ
|= 1
12 (λ2− 16 λ+12 )≠ 0
,
D1=|
1
3 − 1
2λ
1
4 1− 1
3 λ
|= 1
72
(λ+24 )
,
D2=|
1− λ 1
3
− 1
2λ 1
4
|= 1
12 (3− λ)
.
37

Demak,Q 1=
D 1
D = 1
6
λ+24
λ2− 16 λ+12
,
Q 2=
D 2
D = 3− λ
λ2− 16 λ+12 .
Bularni izlanayogan noma’lum funksiyaning yuqoidagi ifodasiga qo`yib, uni
quyidagi ko`rinishda yozamiz:
u(x)= x2+ λ(3− λ)
λ2− 16 λ+12
x+ λ(24 + λ)
6(λ2− 16 λ+12 )
.
Bu esa berilgan masalaning yechimidir. Yechim ifodasidagi kasrlarning maxraji
nolga teng bo`lmasligi uchun
λ parametr
λ2+− 16 λ+12 = 0
Kvadrat tenglamaning ildizi bo`lmasligi shart, ya’ni
λ≠8± 2√3 . Xususiy holda λ
=2 deb faraz qilsak, yechim quyidagicha yoziladi:
u(x)= x2− x
8− 13
24
.
10-Misol . Ushbu tenglama yechilsin:
u(x)= f(x)+λ∫
0
π
cos (x+t)u(t)dt
.
Ma’lumki,
cos (x+tt)= cos xcos t− sin xsin t
;
Demak, tenglamani
u(x)= f(x)+λcos x∫
0
π
cos tu(t)dt − λsin x∫
0
π
sin tu (t)dt = f(x)+λcos xQ 1− λsin xQ 2
ko`rinishda yozish mumkin; bunda
Q1=∫
0
π
cos tu (t)dt
, Q2=∫
0
π
sin tu (t)dt .
Bu integrallarda u(t) o`rniga uning yuqorida olingan ifodasini qo`yamiz:
Q1=∫
0
π
cos t[f(t)+λcos tQ 1− λsin tQ 2]dt=∫
0
π
cos tf (t)dt +λQ 1∫
0
π
cos 2tdt − λQ 2∫
0
π
cos tsin tdt
.
Integrallarning qiymatlari
∫
0
π
cos 2tdt = π
2
, ∫
0
π
cos tsin tdt = 0
bo`lgani uchun birinchi tenglama
38

(1− λπ
2
)Q 1= A ,
bo`ladi. Bu yerda
A=∫
0
π
cos tf (t)dt
.
Xuddi shu usulda Q
2 ni izlaymiz:
Q2=∫
0
π
sin t[f(t)+λcos tQ 1− λsin tQ 2]dt =∫
0
π
sin tf (t)dt +λQ 1∫
0
π
sin tcos tdt − λQ 2∫
0
π
sin 2tdt

;
∫
0
π
sin 2tdt = π
2
bo`lgani uchun
(1+ λπ
2
)Q 2= B
,
Bu yerda
B=∫
0
π
sin tf (t)dt
.
Demak,
Q 1= 2
2− λπ
A
, Q 2= 2
2+ λπ
B .
Izlanayotgan yechim:
u(x)= f(x)+2λcos x
2− λπ A− 2λsin x
2+λπ B
.
Bu ifodadagi kasrlarning maxrajlari nolga aylanmasligi uchun
λ≠ ± 2
π
bo`lishi kerak. Xususiy holda, agar
λ=1,f(x)=x deb olsak,
A=∫
0
π
tcos tdt =− 2
, B=∫
0
π
tsin tdt = π
bo`lib, yechim uchun quyidagi ifoda hosil bo`ladi:
u(x)= x− 4
2− π cos x− 2π
2+πsin x
.
11-Misol. Ushbu tenglamani yeching:
u(x)= 5
6x− 1
9+1
3∫
0
1
(x+t)u(t)dt
.
39

O`ng tomondagi integralni quyidagicha belgilab olaylik:∫
0
1
(x+t)u(t)d= x∫
0
1
u(t)dt +∫
0
1
tu (t)d= xQ 1+Q2
.
U holda
u(x)= 5
6 x− 1
9+1
3(Q1x+Q 2)=(5
6+
Q 1
3 )x+(
Q2
3 − 1
9)= αx +β
.
Bundagi
α va β hozircha noma’lum sonlar. Endi u(x) ning so`nggi ifodasini
berrilgan integral tenglamaga qo`yamiz:
αx +β= 5
6 x− 1
9+1
3∫
0
1
(x+t)(αt +β)dt
.
O`ng tomondagi integralni hisoblab chiqilsa
αx + β= (α
6+ β
3 + 5
6)x+(α
9+ β
9− 1
9)
hosil bo`ladi. Bu tenglik ayniyat bo`lgani uchun, uning ikki tomonidagi x ning
koeffitsientlari o`zaro va ozod hadlar ham o`zaro teng bo`lishi kerak. Ularni
tenglash natijasida ushbu
α= α
6 + β
3+ 5
6
, β= α
9+ β
6− 1
9
chiziqli algebraic tenglamalar sistemasi hosil bo`ladi. Ularni quyidagi ko`inishda
yozish mumkin:
5α−2β=5¿}¿¿¿
Bu sistemaning yechimi
α =1, β =0 bo`ladi. Demak, berilgan integral
tenglamaning yechimi
u(x)= αx + β= x
bo`ladi.
Ushbu tenglamani yeching:
u(x,y)= xy
2 − 1
3+∫
0
1
∫
0
1
(xy +t1t2)u(t1,t2)dt1dt 2
.
O`ng tomondagi qavslarni ochib ikkala integralni ham qisqacha Q
1 va Q
2
40

orqali belgilaymiz:u(x,y)= xy
2 −1
3+xy ∫
0
1
∫
0
1
u(t1,t2)dt1dt 2+∫
0
1
∫
0
1
t1t2u(t1,t2)dt1dt 2= xy
2 −1
3+xyQ 1+Q2=
¿(Q1+1
2)xy +(Q2−1
3)= αxy +β
.
u ning mana shu ifodasini berilgan integral tenglamaga qo`yamiz:
αxy +β= xy
2
− 1
3
+∫
0
1
∫
0
1
(xy +t1t2)(αt 1t2+β)dt 1dt 2
.
Bu yerdagi integrallar hisoblab chiqilsa, quyidagi ayniyat
α xy + β= (1
4
α+ β+ 1
2
)xy +(1
9
α+ 1
4
β− 1
3
)
.
Hosil bo`ladi. Uning tomonidagi xy ning koeffitsientlarini o`zao hamda ozod
hadlarni o`zaro tenglash natijasida quyidagi tenglamalar
α= 1
4
α+ β+ 1
2
, β= 1
9α+ 1
4 β− 1
3 ,
ya’ni
3
4
α− β=
1
2
,¿
}
¿¿¿
chiziqli algebraic tenglamalar sistemasi hosil bo`ladi. Bu sistemaning yechimi
α=
6
65
, β=− 28
65 .
Demak, integral tenglamaning yechimi
u(x,y)= αxy +β= 6
65 xy − 28
65
bo`ladi.
12-Misol. Ushbu tenglamani yeching:
u(x)= 3
2ex− 1
2 xe x− 1
2+1
2∫
0
1
tu (t)dt .
(3) ga asosan:
u0(x)= f(x)= 3
2ex− 1
2xe x− 1
2;
41

u1(x)=∫
0
1
tu0(t)dt =∫
0
1
t(3
2et− 1
2tet− 1
2)dt .Qavslarni ochib so`ngra integrallarni hisoblasak
u1(x)= 1
2
(9
2
− e)
kelib chiqadi. Bunga muvofiq
u2(x)=∫
0
1
tu1(t)dt = 1
2(9
2−e)∫
0
1
tdt = 1
22(9
2−e);
u3(x)=∫
0
1
tu2(t)dt = 1
23(9
2−e);
va hokazo. Bulardan (2) qatorga qo`yib soddalashtirilsa
u(x)= 1
2(3− x)ex+1
3(3− e)
yechim hosil bo`ladi.
13-Misol. Ushbu tenglamani yeching:
u(x)= x+∫
0
x
(t− x)u(t)dt
,
bunda
f(x)=x
va λ=1 .
Endi (15) munosabatlardagi hadlarni hisoblab chiqamiz:
u0(x)= f(x)= x;
u1(x)=∫
0
x
(t− x)tdt =[
t3
3 − x
2
2]t=0
t=x
= x3
3 − x3
2 =− x3
3!;
u2(x)=∫
0
x
(t− x)(− t3
3!)dt = x5
5!;
u3(x)=∫
0
x
(t− x)t5
5!dt =− x7
7!
va hokazo. Bu ifodalarning hosil bo`lishidagi qonuniyat ko`inib turibdi. Ularni (14)
qatorga qo`ysak izlanayotgan yechim hosil bo`ladi:
u(x)= x− x3
3!+ x5
5!− x7
7!+...= sin x.
14-Misol. Ushbu tenglamani yeching:
u(x)=− 2cos x+x+2+∫
0
x
(t− x)u(t)dt
.
(15) munosabatlarga asosan
u0(x)= f(x)=− 2cos x+x+2
;
42

u1(x)=∫
0
x
(t− x)(− 2cos t+t+2)d=− 2cos x+2− x2− x3
3!;
u2(x)=−∫
0
x
(t− x)(2cos tt− 2+t2+t3
3 )dt =− 2cos x+2− x2+x4
12 +x5
15 ;va hokazo. Bulardagi cosx o`rniga
cos x= 1− x2
2!+ x4
4!− x6
6!+...
Qatoni qo`yamiz, so`ng u
0 , u
1 , u
2 , … , larning ifodasini (14) qatorga qo`yib uni
soddalashtirsak,
u(x)= (x− x3
3!+ x5
5!− x7
7!+...)+(x2− x4
3!+ x6
5!− x6
7!+...)= sin x+xsin x= (x+1)sin x
kelib chiqadi.
15- Misol: Ushbu
x
( s) −
∫
− 11 (
st − s 2 )
x ( t) dt = 1

ajralgan yadroli integral tenglamani yeching.
Yechish . Berilgan integral tenglamani quyidagicha yozib olamiz:

x(s)− s∫−1
1
tx (t)dt − s2∫−1
1
x(t)dt =1 (9.1 )
Agar

α1=∫−1
1
tx (t)dt ,α2=∫−1
1
x(t)dt ( 9.2 )
belgilashlarni kiritsak, (9.1) dan x ( s )
uchun

x(s)=1+α1s+α2s2 (9.3)
ifodani hosil qilamiz. Agar (9.3) dagi α
1 va α
2 o`zgarmaslar aniqlansa, (9.3)
43

tenglik bilan aniqlangan x funksiya berilgan integral tenglamaning yechimi
bo`ladi.
α1 va α
2 o`zgarmaslarni aniqlash uchun (9.3) ni (9.2) ga qo`yib, quyidagi
chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:
¿
(9.4)
Biz bu yerda

∫−1
1
dt = 2, ∫−1
1
tdt = 0, ∫−1
1
t2dt = 2
3 , ∫−1
1
t3dt =0
tengliklardan foydalandik. (9.4) sistemani quyidagicha yozish mumkin:
{
1
3 α
1 = 0
1
3 α
2 = 2
Bu yerdan
α1= 0 , α2=6 ni olamiz. Demak, berilgan tenglama yechimi x(s)=1+6s2
funksiyadan iborat bo‘ladi.
16- Misol:
C [a,b] fazoda bir jinsli
x
( s) = λsin 3 s
∫
− ππ
costx ( t) dt + λcos 3 s
∫
− ππ
sintx ( t ) dt ( 6.5 )
bu yerda
α1=∫−π
π
costx (t)dt
, α2=∫−π
π
sintx (t)dt (6.6)
belgilashlarni kiritsak, (6.5) dan x ( s )
uchun
x(s)= λα1sin 3s+λα2cos 3s(6.7 )
ni olamiz . Endi α
1 va α
2 almashtirishlarni topish uchun (6.7) ni (6.6)
tengliklarga qo‘yib,
44

{α
1 = λ α
1 ∫
− ππ
sin 3 tcostdt + λ α
2 ∫
− ππ
cos 3 tcostdt
α
2 = λ α
1 ∫
− ππ
sin 3 tsintdt + λ α
2 ∫
− ππ
cos 3 tsintdt (6.8)
algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Agar (6.8) da
∫−π
π
sin 3tcostdt =0,
∫−π
π
cos 3tcostdt =0, ∫−π
π
sin 3tsintdt =0
∫
− ππ
cos 3 tsintdt = 0 ,

∫
− ππ
sintcostdt = 0 ,
ekanligini etiborga olsak,
α1= 0,α2=0 larni hosil qilamiz. Demak, tekshirilayotgan
integral tenglama
λ parametrning barcha qiymatlari uchun yagona
x
( s) = λ α
1 sin 3 s + λ α
2 cos 3 s = 0
nol yechimga ega kan.
45

Xulosa
Ushbu bitiruv malakaviy ishida qaralgan chiziqli integral tenglamalarni
yechish usullari keltirilgan bo`lib, ulardan biri Fredholm metodiga ko`proq
to`xtalganmiz. Integral tenglamalar nazariyasi Nuemann, Volterr, Liuville,
Fredholm, Hilbert va Shmidtlar tomonidan rivojlantirilgan. Mening bitiruv
malakaviy ishim: kirish qismi, 2 ta bob, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar
ro`yxatidan iborat bo`lib, kirish qismida mazkur bitiruv malakaviy ishining
dolzarbligi, maqsadi va vazifalari, ilmiy tadqiqot usullari, ilmiy ahamiyati, amaliy
ahamiyati hamda tuzulishi tavsifi yoritilgan.
Bitiruv malakaviy ishining 1-bobida ketma-ket yaqinlashishlar usuli, Volterr
tipidagi integral tenglamalar va Fredholm tenglamasining Volterr tomonidan
berilgan yechimlari keltirilgan.
Bitiruv malakaviy ishining 2-bobida bir jinsli tenglamaning yechimi, bir jinslimas
tenglamaning umumiy yechimi va Hilbert-Shmidt usuli hamda integral
tenglamalarni yechishga doir bir nechta misollar keltirilgan.
46

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. J.I. Abdullaev, K.D. Kuliev, I.N. Xayrullayev. "Integral tenglamalar", Oliy
ta'lim muassasalarining magistr talabalari uchun uslubiy qo`llanma, 2018
y.
2. J.I. Abdullaev, R.N. G'anixo`jayev, M.H. Shermatov, O.I. Egamberdiyev.
Funksional analiz va integral tenglamalar. Toshkent. Yangi asr avlodi.
2013 y.
3. T.A. Sarimsoqov. Funksional analiz kursi. Toshkent. 1986 y.
4. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Элементы теории функций и
функционального анализа, Москва, 1976 г.
5. А. Г. Ягола. Интегральные уравнения и вариационное исчисление,
ФизФак МГУ, 2023 г.
6. В. А. Попов. Сборник задач по интегральным уравнениям, Казань,
2006 г.
7. А. Б. Васильева, Н. А. Тиханов. Интегральные уравнения, М: изд.
МГУ, 1989 г.
8. И. Г. Петровский. Лекции по теории интегральных уравнений, М:
изд. МГУ, 1984 г.
9. В. А. Треногин. Функциональный анализ. Москва: Наука, 1980 г.
10. У. В. Ловитт. Линейный интегральные уравнения. Москва-
Ленинград. 1933 г.

47

INTEGRAL TENGLAMALARNI YECHISH USULLARI MUNDARIJA KIRISH..........................................................................................................3 I.BOB. KETMA-KET O‘RNIGA QO‘YISH VA KETMA-KET YAQINLASHISHLAR USULI 1.1- §. Ketma-ket yaqinlashishlar usuli …........................................................7 1.2- §. Volterr tipidagi integral tenglamalar ….…………………………......14 1.3- §. Fredholm tenglamasiningVolterr tomonidan berilgan yechimi. …………………………………………………………………...….20 II.BOB. INTEGRAL TENGLAMALARNI FREDHOLM USULI BILAN YECHISH 2.1- §. Bir jinsli tenglamaning yechimi …………..…………………………..28 2.2- §. Bir jinslimas tenglamaning umumiy yechimi …………………….…..29 2.3 -§. Hilbert-Shmidt usuli ………….……………………………………….32 2.4 -§. Integral tenglamalarni yechishga doir misollar ……………………….33 XULOSA ……………………………………………………………………..49 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR…………………………………… 50 2

KIRISH Masalaning qo‘yilishi . Kvant mexanikasi, qattiq jismlar nazariyasi va statistik fizika masalalarini yechish ko‘p hollarda differensial yoki integral tenglamalar yechimlari xossalarini tadqiq qilish masalasiga keltiriladi. Differensial tenglamani yechish esa integral tenglamani yechish masalasiga keladi. Ushbu bitiruv malakaviy ishida chiziqli integral tenglamalarni yechish usullariga to‘xtalamiz, aniqrog‘i integral tenglamalarni yechishning uch xil usulini namoyish qilamiz. Ulardan Fredholm metodiga ko‘proq to‘xtalamiz. Integral tenglamalar nazariyasi Nuemann, Volterr, Liuville, Fredholm, Hilbert va Shmidtlar tomonidan rivojlantirilgan. Funksional fazoda (masalan, C[ a , b ] , L2[a,b] , C2[a,b] ) biror tenglama berilgan bo‘lib, noma’lum element funksiyadan iborat bo‘lsa, bunday tenglama funksional tenglama deyiladi. Agar funksional tenglamada noma’lum funksiya integral ostida bo‘lsa, u holda tenglama integral tenglama deyiladi. Masalan, φ(s)=∫a b K(s,t)g(φ(t),t)dt tenglama φ ga nisbatan integral tenglamadir, bu yerda K (s,t) , g ( s , t ) − berilgan funksiyalar. Integral tenglamadagi ifoda noma’lum funksiyaga nisbatan chiziqli bo‘lgan holda tenglama chiziqli integral tenglama deyiladi. Quyidagi tenglamalar chiziqli integral tenglamalarga misol bo‘ladi: ∫a b K (s,t)u(t)dt + f(s)=0,(1) u ( s) = ∫ ab K ( s , t ) u ( t) dt + f ( s) , ( 2 ) bu yerda u noma’lum funksiya, K (s,t) va f ( s ) ma’lum funksiyalar. (1) va (2) tenglamalar mos ravishda birinchi va ikkinchi tur Fredholm tenglamalari deyiladi. Xususan, K ( s , t ) funksiya t > s qiymatlar uchun K ( s , t ) = 0 shartni qanoatlantirsa, u holda (1) va (2) tenglamalar mos ravishda 3

∫a s K (s,t)u(t)dt + f(s)=0,(3)u ( s) = ∫ a s K ( s , t ) u ( t) dt + f ( s) , ( 4 ) ko‘rinishlarga ega bo‘ladi. Bunday tenglamalar birinchi va ikkinchi tur Volterr tenglamalari deyiladi. Volterr tenglamalari Fredholm tenglamalarining xususiy holi bo‘lsada, ular alohida o‘rganiladi, chunki Volterr tenglamalari o‘ziga xos bo‘lgan bir qator muhim xossalarga ega. Agar (1) - (4) tenglamalarda f funksiya nolga teng bo‘lsa, bu tenglamalar bir jinsli deyiladi. 1-misol. Quyidagi f ( s) = ∫ 0 s φ ( t ) ( s − t ) α dt , (0<α<1,f(0)=0) tenglama φ noma’lumga nisbatan Abel tenglamasi deyiladi. Bu tenglama Volterr tenglamalarining xususiy holi bo‘lib, 1823 yilda N. Abel tomonidan qaralgan, uning yechimi φ(t)= sinαπ π ∫0 t f'(s) (t− s)1−αds ko‘rinishga ega ekanligi ko‘rsatilgan. Biz bu yerda asosan λ parametrli ikkinchi tur Fredholm yoki Volterr tenglamasini qaraymiz. L 2 [ a , b ] kompleks Hilbert fazosida ikkinchi tur Fredholm tenglamasi u ( s) − λ ∫ ab K ( s , t ) u ( t) dt = f ( s) ( 5 ) yoki Volterr tenglamasi u(s)− λ∫a s K (s,t)u(t)dt = f(s)(6) ni olamiz. Bu tenglamada f ma’lum, u noma’lum funksiyalar bo‘lib, ular L 2 [ a , b ] fazoning elementlari deb faraz qilinadi. (2) tenglamaning yadrosi deb nomlanuvchi K ( s , t ) funksiyadan quyidagilar talab qilinadi, u – o‘lchovli va 4

∫a b ∫a b |K(s,t)|2dsdt <∞(7) shartni qanoatlantiradi, ya’ni K (s,t) kvadrati bilan integrallanuvchi funksiya. L2[a,b] fazoda aniqlangan ( Fu ) ( s ) = ∫ ab K ( s , t ) u ( t) dt ( 8 ) operatorni qaraymiz. Bu oerator K yadroli Fredholm operatori deyiladi. (2) yoki (5) tenglamani o‘rganish shu operatorning xossalarini tekshirishga keltiriladi. Ushbu bitiruv malakaviy ishida L2[a,b] fazoda λ parametrli ikkinchi tur Fredholm integral tenglamasi (5) va Volterr tenglamasi (6) larni qaraymiz. Butun bitiruv malakaviy ishi davomida K (x,t) va f(x) lardan o‘lchovli va kvadrati bilan integrallanuvchi funksiya bo‘lishi talab qilanadi. Ba’zan masalani soddalashtirish maqsadida, biz K (x,t) va f(x) larni uzluksiz funksiya deb faraz qilamiz. Mavzuning dolzarbligi . Matematik fizikaning ko‘pgina masalalari integral tenglamalarga keltirilasdi. Ishning maqsadi va vazifalari. Bitiruv malakaviy ishining maqsadi integral tenglamalar haqida tushunchalar, Volterr tipidagi integral tenglamalar va Fredholm tenglamasining Volterr tomonidan berilgan yechimi haqida tushunchalarni olish. Ilmiy tadqiqot usullari . Ketma-ket yaqinlashishlar usuli va o‘rniga qo‘yish usuli haqida tushunchaga ega bo‘lish. I ntegral tenglamalar ta’riflari va teoremalarini bilish, masalalar yechishda xossalaridan faoydalanish. Ishning ilmiy ahamiyati. Bitiruv malakaviy ishidan olingan natijalarni o‘quvchilarga qulay va sodda usullar orqali o‘rgatish, turli xil integral tenglamalarni yechishni o‘rgatish. Ishning amaliy ahamiyati . Bitiruv malakaviy ishida o‘rganilayotgan ma’lumotlar integral tenglamalarni o‘rganish boshqa sohalardagi masalalarni yechishda muhim ahamiyatga ega. Ishning tuzulishi. Bitiruv malakaviy ishi kirish, 2 ta bob , xulosa qismi va foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan iborat. Ushbu ish matnli sahifalardan 5

tashkil topgan har bir bob paragraflarga ajratilgan va ular o‘zining nomerlanish hamda belgilanishiga ega. 6

O'xshashlar

Mapleda tenglamalar sistemasi va tenglamalarni yechish

NOSTANDART MASALALARNI YECHISH USULLARI

ELLIPTIK TIPDAGI TENGLAMALARNI YECHISH UCHUN AYIRMALI SXEMALAR TUZISH

ikki o'zgaruvchining chiziqli diofant tenglamalarni yechish algoritmi foydalanilgan adabiyotlar

CHIZIQLI INTEGRAL TENGLAMALAR