logo
  1. Bosh sahifa
  2. Diplom ishlar
  3. Umumiy
  4. CHIZIQLI INTEGRAL TENGLAMALAR

CHIZIQLI INTEGRAL TENGLAMALAR

Yuklangan vaqt:

12.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

2430.5 KB
Ko'chirib olish
CHIZIQLI INTEGRAL TENGLAMALAR MUNDARIJA KIRISH .............................................................................................. ... .6 I BOB. CHIZIQLI INTEGRAL TENGLAMALAR. 1.1-§ C hiziqli integral tenglamalar va operatorlar . Asosiy tushunchalar…. .. .... . 9 1.2-§ Funksional qatorlar haqida asosiy tushunchalar. Misollar .............. … … 1 6 II - BOB. CHIZIQLI INTEGRAL TENGLAMALARNI YECHISHNING USULLARI 2.1-§ . Integral tenglamalarni Fredholm usuli bilan yechish . Misollar................ .2 8 2.2 -§ Ketma-ket o`rniga qo`yish usuli. Misollar…………………………………42 III-BOB. OLIY TA’LIMDA DARS JARAYONIDA P EDAGOGIK TEX - NOLOGIYALAR FOYDALANISH . 3.1 -§. Dars jarayonida foydalani ladigan pedagogik texnologiyalar … ………….50 3.2 -§. Ayrim interfaol usullardan foydalanish……………………………………54 XULOSA .................................................................................................. ..... ......5 9 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI ............................. ...........60 KIRISH Bitiruv ishi mavzusining dolzarbligi va uning asoslanishi. So‘nggi yillarda respublikamizda matematika fani va ta’limini rivojlantirishga alohida e’tibor qaratildi va bu jarayon malakali mutaxassislar tayorlashda, fan, texnika va ishlab chiqarish taraqqiyotida muhim ahamiyatga ega. Shu o‘rinda Prezidentimiz Sh.M.Mirziyoyevning 2020-yil 7-may dagi “Matematika sohasidagi ta’lim sifatini oshirish va ilmiy tadqiqotlarni rivojlantirish chora tadbirlari to‘g’risida” nomli PQ- 4708 qarori1 asosiy hujjatlardan biri ekanligini ta’kidlash joiz. Unda “Ta’limning barcha bosqichlarida matematika fanini o‘qitish tizimini yanada takomillashtirish va matematika sohasidagi ta’lim sifatini oshirish” bo‘yicha dolzarb vazifalar belgilab berilgan [1]. Zero, “ta’lim — ta’lim oluvchilarga chuqur nazariy bilim, malakalalar va amaliy ko‘nikmalar berishga, shuningdek, ularning umumta’lim va kasbiy bilim, malaka hamda ko‘nikmlarini shakllantirishga, qobiliyatini rivojlantirishga qaratilgan tizimli jarayon” ekanligi 637–sonli O‘zbekiston Respublikasi Qonuni 3-moddasida alohida ko‘rsatib o‘tilgan [2]. Funktsional tenglamalar uzoq vaqt davomida matematiklarning asarlarida muhim o'rin tutgan. So'nggi paytlarda matematiklarning e'tibori, ayniqsa, integral tenglamalar deb ataladigan funktsional tenglamalarning maxsus turiga qaratildi, ya'ni noma'lum funktsiya integral belgisi ostiga kiradigan tenglamalar. Kvant mexanikasi, qattiq jismlar nazariyasi va statistik fizika masalalarini yechish ko‘p hollarda integral tenglamalar yechimlari xossalarini tadqiq qilish masalasiga keltiriladi. Integral tenglamalarni yechish usullarini o’rganish muhim masalalardan biridir. Taniqli shved olim Fred g olm birinchi marta (1900) ikkinchi turdagi integral tenglamalarning to'liq nazariyasini ishlab chiqdi. Umuman olganda, parametrli ikkinchi tur chiziqli integral tenglamaning yechimi uch xil usul yordamida va bundan tashqari uch xil shaklda olingan. Birinchi usul Fredgolmga tegishli bo’lib, yechimni har birining yaqinlashish radiusi cheksiz bo'lgan ikkita butun qatorning 2 nisbati shaklida beradi (maxraj noldan farqli bo’lganda), ikkinchi usul - ya'ni ketma-ket o’rniga qo’yish usuli orqali yechim topiladi (Neyman, Liuvill va Volterra tomonidan ishlab chiqilgan) va uchinchi usul odatda yechimni mos bir jinsli tenglamaning yechimlari bo'lgan fundamental funktsiyalar orqali ifodalalaydi (Hilbert va Shmidt tomonidan ishlab chiqilgan). Ushbu bitiruv malakaviy ishida chiziqli integral tenglamalar va integral operatorlar, funksional qatorlar va integral tenglamalarni yechishning Fredgolm va ketma-ket o‘rniga qo’yish usullari o’rganildi. Shuningdek, o’quv mashg’ulotlarida pedagogik texnologiyalardan foydalanish samaradorligi tadqiq qilindi. Bitiruv ishining ob’ekti. Chiziqli integral tenglamalar, ularni yechish usullari va ta’lim jarayonida pedagogik texnologiyalar ning mavjudligi. Bitiruv ishining predmeti. Funksional tenglamalar hisoblangan integral tenglamalar va ularni yechish usullarining ilmiy asoslanganligi bilan belgilanadi. Bitiruv ishining maqsadi va vazifalari . Bitiruv malakaviy ishining maqsadi chziqli integral tenglamalar va integral operatorlar nazariyasi, integral tenglamalarni yechishning Fredgolm usulini uni tadqiq qilishda zarur bo’lgan funsional qatorlar, xususan darajali qatorlarni va ketma-ket o’rniga qo’yish usulini o’rganish bo’lib, ilmiy tadqiqod ishlarida ularning qo’llanilishini va ushbu mavzularinining mohiyatini.o’quv dasturiga kiritilgan ta’lim yo’nalishlari talabalariga ochib berish asosiy vazifa hisoblanadi. Bitiruv ishini tayyorlashda foydalanilgan adabiyotlarni o‘rganish darajasini qisqacha tahlili. BMI ning ilmiy va metodologik asoslarini ishlab chiqishda O’zbekistonlik olimlardan T.A. Sarimsoqov “Funksional analiz kursi” (1986 yil), D.Z.Sayfiyeva “Chiziqli integral tenglamalar” (2022 yil), Sh.T. Maqsudov “Chiziqli integral tenglamalar elementlari” (1975 yil), Sh.O. Alimov, R.R.Ashurov, Matematik tahlil (2012), Sh.A. Ayupov, M.A. Berdiqulov, R.M. Turg‘unboyev, Funksional analiz (2008), Abdullayev J.I., G’anixo‘jayev R.N., Shermatov M.H., O.I.Egamberdiyev. Funksional analiz va integral tenglamalar. 3 Toshkent. (2013) hamda xorijiy adabiyotlar А . Н . Колмогоров , С . В . Фомин , « Элементы теории функций и функционального анализа », ( Москва 1988 г .) va У . В . Ловитт . Линейные интегральные уравнения. (Москва-Ленинград. 1933) kabi kitoblardagi ma ’ lumotlarga asoslanildi [3-10] . Bitiruv ishining nazariy va amaliy ahamiyati. Chiziqli integral tenglamalar nazariyasi bo’yicha nazariy va amaliy bilimlarni ilmiy asoslanganligini anglagan holda ularni ilmiy tatqiqot ishlarini bajarishga tatbiq qilish muhim ahamiyat kasb etadi. Bitiruv ishi tuzilmasining tavsifi. Bitiruv malaka ishi kirish, uch bob, 6 ta paragraf, xulosa va foydalanilgan adabiyotlardan tashkil topgan bo‘lib 60 betdan iborat. 4 I BOB. CHIZIQLI INTEGRAL TENGLAMALAR. UMUMIY TUSHUN- CHALAR 1.1-§ C hiziqli integral tenglamalar va operatorlar. Asosiy tushunchalar. 1. Fredgolm va Volterra integral tenglamalari Funksional fazoda (masalan, biror tenglama berilgan bo‘lib, noma’lum element funksiyadan iborat bo‘lsa, bunday tenglama funksional tenglama deyiladi. Agar funksional tenglamada noma’lum funksiya integral ostida bo‘lsa, u holda tenglama integral tenglama deyiladi. Masalan, tenglama ga nisbatan integral tenglamadir, bu yerda berilgan funksiyalar. Integral tenglamadagi ifoda noma’lum funksiyaga nisbatan chiziqli bo‘lgan holda tenglama chiziqli integral tenglama deyiladi. Quyidagi tenglamalar chiziqli integral tenglamalarga misol bo‘ladi: Bu yerda noma’lum funksiya, va ma’lum funksiyalar. (1.1) va (1.2) tenglamalar mos ravishda birinchi va ikkinchi tur Fredholm tenglamalari deyiladi. Х ususan, funksiya qiymatlar uchun shartni qanoatlantirsa, u holda (K.1) va (K.2) tenglamalar mos ravishda (1.3 ) (1.4) ko‘rinishlarga ega bo‘ladi. Bunday tenglamalar birinchi va ikkinchi tur Volterr tenglamalari deyiladi. Volterr tenglamalari Fredholm tenglamalarining х ususiy holi bo‘lsada, ular alohida o‘rganiladi, chunki Volterr tenglamalari o‘ziga х os bo‘lgan bir qator muhim х ossalarga ega. 5 Agar (1.1)-(1.4) tenglamalarda funksiya nolga teng bo‘lsa, bu tenglamalar bir jinsli deyiladi. 1. 1-misol. Quyidagi tenglama noma’lumga nisbatan Abel tenglamasi deyiladi. Bu tenglama Volterr tenglamalarining х ususiy holi bo‘lib, 1823 yilda N. Abel tomonidan qaralgan, uning yechimi ko‘rinishga ega ekanligi ko‘rsatilgan. Bu yerda asosan parametrli ikkinchi tur Fredholm yoki Volterr tenglamasini qaraymiz. kompleks Gilbert fazosida ikkinchi tur Fredgolm tenglamasi (1.5) yoki Volterr tenglamasi (1.6) ni olamiz. Bu tenglamada ma’lum, noma’lum funksiyalar bo‘lib, ular fazoning elementlari deb faraz qilinadi. (1.2) tenglamaning yadrosi deb nomlanuvchi funksiyadan quyidagilar talab qilinadi, u – o‘lchovli va (1.7) shartni qanoatlantiradi, ya’ni kvadrati bilan integrallanuvchi funksiya. fazoda aniqlangan (1.8) operatorni qaraymiz. Bu operator yadroli Fredholm operatori deyiladi. (1.2) yoki (1.5) tenglamani o‘rganish shu operatorning х ossalarini tekshirishga keltiriladi. 2. Chiziqli operatorlar haqida asosiy tushunchalar. 6 Integral tenglamalarning yechilish usullari (1.8) integral operatorning xossalari bilan uzviy bog‘liq. Shuning uchun bu paragrafda biz chiziqli operatorlar haqida ba’zi tushunchalarni keltirib o‘tamiz. Bizga va chiziqli normalangan fazolar berilgan bo‘lsin. 2.1-ta’rif . fazodan olingan har bir elementga fazoning yagona elementini mos qo‘yuvchi akslantirish operator deyiladi. Umuman operator ning hamma yerida aniqlangan bo‘lishi shart emas. Bu holda mavjud va bo‘lgan barcha lar to‘plami operatorning aniqlanish sohasi deyiladi va bilan belgilanadi, ya’ni: Odatda ning chiziqli ko‘pxillilik bo‘lishi talab qilinadi, ya’ni agar bo‘lsa, u holda ixtiyoriy lar uchun bo‘ladi. 2.2-ta’rif. Agar ixtiyoriy elementlar va ixtiyoriy sonlar uchun bo‘lib, tenglik o‘rinli bo‘lsa, ga chiziqli operator deyiladi. 2.3-ta’rif. Agar ixtiyoriy uchun shunday mavjud bo‘lib, tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha lar uchun tengsizlik bajarilsa, operator nuqtada uzluksiz deyiladi . 2.4-ta’rif. tenglikni qanoatlantiruvchi barcha lar to‘plami operatorning yadrosi deyiladi va u bilan belgilanadi . 2.5-ta’rif. Biror uchun bajariladigan lar to‘plami operatorning qiymatlar sohasi yoki tasviri deyiladi va u yoki bilan belgilanadi . 7 Matematik simvollar yordamida operator yadrosi va qiymatlar sohasini quyidagicha yozish mumkin: Chiziqli operatorning qiymatlar sohasi va yadrosi chiziqli ko‘pxillilik bo‘ladi. Agar bo‘lib, uzluksiz operator bo‘lsa, u holda yopiq qism fazo bo‘ladi, ya’ni . operator uzluksiz bo‘lgan holda ham yopiq qism fazo bo‘lmasligi mumkin. Endi chiziqli operatorlarga misollar keltiramiz. 2.1-misol. ixtiyoriy chiziqli normalangan fazo bo‘lsin. akslantirish birlik operator deyiladi. Uni chiziqlilik va uzluksizlikka tekshiring. Yechish. Bu operatorning chiziqliligi va uzluksizligi quyidagi tengliklardan bevosita kelib chiqadi: Qo‘shimcha qilib aytishimiz mumkinki, uning aniqlanish sohasi, qiymatlar sohasi va yadrosi uchun quyidagilar o‘rinli: 2.2-misol. va ixtiyoriy chiziqli normalangan fazolar bo‘lsin. operator nol operator deyiladi. Uni chiziqlilik va uzluksizlikka tekshiring. Yechish. Nol operatorning chiziqliligi va uzluksizligi bevosita ta’rifdan kelib chiqadi. Uning aniqlanish sohasi, qiymatlar sohasi va yadrosi uchun quyidagilar o‘rinli: 2.3-misol. Aniqlanish sohasi bo‘lgan va fazoni o‘zini-o‘ziga akslantiruvchi 8 operatorni qaraymiz. Bu operator differensiallash operatori deyiladi. Uni chiziqlilik va uzluksizlikka tekshiring. Yechish. Uni chiziqli ekanligini ko‘rsatamiz. Buning uchun ixtiyoriy elementlarning chiziqli kombinatsiyasi bo‘lgan elementga operatorning ta’sirini qaraymiz: Bu yerda yig‘indining hosilasi hosilalar yig‘indisiga tengligidan, hamda o‘zgarmas sonni hosila belgisi ostidan chiqarish munkinligidan foydalandik. Demak, operator chiziqli ekan. Uni nol nuqtada uzluksizlikka tekshiramiz. Ma’lumki, , bu yerda fazoning nol elementi, ya’ni . Endi nolga yaqinlashuvchi ketma-ketlikni tanlaymiz. Umumiylikni buzmagan holda deymiz. Ikkinchi tomondan, Demak, operator nol nuqtada uzluksiz emas ekan. Aslida differensiallash operatori aniqlanish sohasining barcha nuqtalarida uzilishga ega. Uning qiymatlar sohasi va yadrosi uchun quyidagilar o‘rinli: 2.6-ta’rif. fazoni fazoga akslantiruvchi chiziqli operator berilgan bo‘lsin. Agar ning aniqlanish sohasi bo‘lib, har qanday chegaralangan to‘plamni yana chegaralangan to‘plamga akslantirsa, ga chegaralangan operator deyiladi. Chiziqli operatorning chegaralanganligini tekshirish uchun quyidagi ta’rif qulaydir. 9 2.7-ta’rif. chiziqli operator bo‘lsin. Agar shunday son mavjud bo‘lib, ixtiyoriy uchun tengsizlik bajarilsa, chegaralangan operator deyiladi. 2.8-ta’rif. (2.1) tengsizlikni qanoatlantiruvchi sonlar to‘plamining aniq quyi chegarasi operatorning normasi deyiladi va u bilan belgilanadi, ya’ni Bu ta’rifdan ixtiyoriy uchun tengsizlik o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. 2.9-ta’rif. fazoni fazoga akslantiruvchi chiziqli operator berilgan bo‘lsin. Agar ning aniqlanish sohasi bo‘lib, har qanday chegaralangan to‘plamni nisbiy kompakt to‘plamga akslantirsa, ga kompakt yoki to‘la uzluksiz operator deyiladi. fazoni fazoga akslantiruvchi barcha chiziqli uzluksiz operatorlar to‘plamini orqali belgilaymiz, agar bo‘lsa deymiz. Kompakt operatorlarning muhim sinfi bo‘lgan integral operatorga misol keltiramiz. 2.4-misol. ni o‘zini-o‘ziga akslantiruvchi operatorni quyidagicha aniqlaymiz: Bu operator yadroli Fredholm integral operatori deyiladi. Bu yerda funksiya kvadratda aniqlangan, uzluksiz. integral operatorning yadrosi deyiladi. operatorni chiziqlilik va uzluksizlikka tekshiring. Yechish. Ma’lumki, ixtiyoriy uchun funksiya va ning uzluksiz funksiyasidir. Matematik analiz kursidan bilamizki, 10 integral parametr ning uzluksiz funksiyasi bo‘ladi. Bulardan operatorning aniqlanish sohasi uchun tenglik o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. Integral operatorning chiziqli ekanligi quyidagicha ko‘rsatiladi: faraz qilaylik va ixtiyoriy bo‘lsin, u holda ushbu tenglik o‘rinli Endi integral operator ning uzluksiz ekanligini ko‘rsatamiz. ixtiyoriy tayinlangan element va unga yaqinlashuvchi ixtiyoriy ketma-ketlik bo‘lsin. U holda Bu yerda ning chekli ekanligi kesmada uzluksiz funksiyaning chegaralangan ekanligidan kelib chiqadi. Agar (2.3) tengsizlikda da limitga o‘tsak, ekanligini olamiz. Agar tengsizlikni hisobga olsak, bo‘ladi. Shunday qilib, Fredholm operatori ixtiyoriy nuqtada uzluksiz ekan. Fredholm operatorining qiymatlar sohasi va yadrosi integral operatorning yadrosi funksiyaning berilishiga bog‘liq. Masalan, bo‘lsa, operatorning qiymatlar sohasi o‘zgarmas funksiyalardan iborat, ya’ni 11 , uning yadrosi o‘zgarmasga ortogonal funksiyalardan iborat, ya’ni Integral operatorlarga qo‘shma operatorlarni topishda Fubini teoremasining natijasidan foydalanaladi. Fubini teoremasi natijasining quyidagi bayoni biz uchun qulaydir. 1.2-§ Funksional qatorlar haqida asosiy tushunchalar. Misollar. 1. Funksional qatorlar haqida asosiy tushunchalar. Chiziqli integral tenglamalarni yechishning ket-ket o‘rniga qo‘yishlar, ketma-ket yaqinlashishlar va Fredholm usullarini bayon qilishda biz funksional qatorlarning yaqinlashishlari va tekis yaqinlashishlaridan foydalanamiz. Shu sabali biz ushbu uslubiy qo‘llanmani funksional qatorlarga oid ta’rif va teoremalarni keltirish o’rinlidir. Ma’lumki, funksional qatorlarning yaqinlashishlari (tekis yaqinlashishlari) funksional ketma- ketliklarning yaqinlashishlari (tekis yaqinlashishlari) orqali ta’riflanadi. 1-T а ’rif. H а dl а ri o’zg а ruvchining funksiyal а rd а n ib о r а t bo’lg а n (1’) ko’rinishd а gi q а t о rg а funksi о n а l q а t о r d е yil а di. А g а r o’zg а ruvchi ning а niq bir qiym а tini о ls а k, ya’ni ni (1’) g а qo’ys а k sоnli qаtоr hоsil bo’lаdi. D е m а k o ’ zg а ruvchi g а а niq h а r х il s о n qiym а tl а r b е rish bil а n h а r х il yaqinl а shuvchi yoki uz о ql а shuvchi bo ’ lg а n s о nli q а t о rl а r h о sil qilish mumkin ek а n . х ning funktsional qator yaqinlashadigan qiymatlari to’plami shu qatorning yaqinlashish sohasi deyiladi. 12 Qatorning yaqinlashish sohasidagi yig’indisi х ning biror funktsiyasidir. Shu sabab funktsional qator yig’indisi S ( x ) о rqali belgilanadi. 2-T а ’rif. А g а r (1’) q а t о r ning а niq s о n qiym а tl а rid а yaqinl а shuvchi bo’ls а u h о ld а х ning bu s о n qiym а tl а r to’pl а mi E g а (1’) ning yaqinl а shish s о h а si d е yil а di. Mis о l. funksi о n а l q а t о rning h а dl а ri m а hr а ji g а t е ng bo’lg а n g ео m е trik pr о gr е ssiya t а shkil qil а di. D е m а k, uning yaqinl а shishi uchun bo’lishi k е r а k v а int е rv а ld а q а t о rning yig’indisi g а t е ng. Shund а y qilib, int е rv а ld а b е rilg а n q а t о r = funksiyani а niql а ydi, bu es а q а t о rning yig’indisidir, ya’ni = (1’) Q а t о rning d а stl а bki t а h а di yig’indisini bil а n b е lgil а ylik: (2’) 3-ta’rif. А g а r har bir nuqtada ch е kli limit m а vjud bo’ls а (1) funksi о n а l q а t о r yaqinl а shuvchi va g а es а uning yig’indisi d е yiladi. А g а r m а vjud bo’lm а s а (1’) funksi о n а l q а t о r uz о ql а shuvi d е yil а di. А g а r (1’) bu q а t о r х ning bir о r qiym а tid а yaqinl а shs а , u h о ld а bo’lаdi, bu еrdа - qаtоrning yig’indisi = - qаtоrning qоldig’i dеyilаdi. х ning bаrchа qiymаtlаri uchun qаtоrning yaqinlаshish sоhаsidа = 13 munоsаbаt o’rinli, shu sаbаbli - =0 yoki =0, ya’ni yaqinlаshuvchi qаtоrning qоldig’i dа nоlgа intilаdi. 4- Tа’rif. Аgаr iхtiyoriy musbаt sоn uchun gа bоg’liq, shundаy sоn tоpilib, bаrchа dа ko’rsаtilgаn sоhаgа tеgishli х lаr uchun tеngsizlik bаjаrilsа , (1’) qаtоr ko’rsаtilgаn sоhаdа tеkis yaqinlаshuvchi qаtоr dеyilаdi. 1-teorema ( Vеyеrshtrаss аlоmаti ) . А g а r funksi о n а l q а t о rning h а dl а ri bir о r kesmad а а bs о lyut qiym а ti bo’yich а bir о r yaqinl а shuvchi musb а t ish о r а li (3 ’ ) sonli qаtоrning mоs hаdlаridаn kаttа bo’lmаsа , ya’ni ( ) (4 ’ ) bo’lsа, u hоldа bеrilgаn funksiоnаl qаtоr ko’rsаtilgаn kesmadа tеkis yaqinlаshаdi. Isbоt. (3) q аtоr yig’indisini bilаn bеlgilаymiz: = U hоldа = + bu еrdа - -хususiy yig’indi , esа bu qаtоrning -qоldig’i, ya’ni = (5 ’ ) (3) qаtоr yaqinlаshuvchi bo’lgаnligi uchun = , dеmаk =0. Endi (1) funksiоnаl qаtоr yig’indisini = + ko’rinishdа yozаmiz, bu еrdа = , = 14 (4) shаrtdаn , ,... vа shu sаbаbli (5’) dаn qаrаlаyotgаn sоhаning bаrchа х lаri uchun tеngsizlik bаjаrilаdi. Dеmаk , (1’) qаtоr dа tеkis yaqinlаshuvchidir. 1-Misоl . Ushbu funksional qator butun Ох o’qda tekis yaqinlashadi, chunki bunda n =1,2,3,... . Ма ’lumki, yaqinlashuvchi qatordir. 2-Mis о l . q а t о rni t е kshiring. Yechish. V е y е rshtr а ss а l о m а ti bu q а t о r uchun b а j а rilm а ydi, chunki b е rilg а n q а t о r sh а rtli yaqinl а shuvchi v а l а r uchun q а t о r uz о ql а shuvchi. B е rilg а n q а t о rni t е kis yaqinl а shuvchiligini ko’rs а tish uchun L е ybnis t ео r е m а sid а n f о yd а l а n а miz. B е rilg а n q а t о r o’zg а ruvchi ish о r а li v а d а а bs о lyut qiym а tl а ri bo’yich а m о n о t о n k а m а yuvchi v а -h а di d а n о lg а intil а di. SHu s а b а bli, q а t о r yarim o’qd а yaqinl а shuvchi v а q а t о r q о ldig’i uchun d а g а eg а bo’l а miz v а bo’lg а ni uchun, q а t о r t е kis yaqinl а shuvchi. T е kis yaqinl а shuvchi funksi о n а l q а t о rl а r uchun funksiyal а r ch е kli yig’indisi хо ss а l а rini t а tbiq qilish mumkin. 2 -tеоrеmа . Аgаr funksiоnаl qаtоrning hаr bir hаdi kеsmаdа uzluksiz bo’lib, bu funksiоnаl qаtоr kеsmаdа tеkis yaqinlаshuvchi bo’lsа, u hоldа qаtоrning yig’indisi hаm shu kеsmаdа uzluksiz bo’lаdi. 15 3-Misоl. funksiyani аniqlаnish sоhаsini tоping vа uzluksizligini tеkshiring. Yechish . Bеrilgаn funksiоnаl qаtоrni Kоshi аlоmаtigа ko’rа аniqlаnish sоhаsini tоpаmiz. Shu sаbаbli dа qаtоr yaqinlаshuvchi vа dа uzоqlаshuvchi, ya’ni qаtоr (-1,1) оrаliqdа qаtоr yaqinlаshuvchi. nuqtаlаrdа uzоqlаshuvchi, chunki qаtоr yaqinlаshishining zаruriy shаrti bаjаrilmаydi. Funksiyani uzluksizligini tеkshirаmiz. Buning uchun qаtоrni bo’lgаn iхtiyoriy kеsmаdа tеkis yaqinlаshuvchi ekаnligini ko’rsаtаmiz. sоn оlаmiz vа shundаy tоpilаdiki, dа . U hоldа lаr uchun tеngsizlik bаjаrilаdi. Rаvshаnki, qаtоr dа yaqinlаshuvchi (chunki bu qаtоr mаhrаji bo’lgаn gеоmеtrik prоgrеssiya), shu sаbаbli bеrilgаn qаtоr tеkis yaqinlаshuvchi. Dеmаk, funksiya kеsmаdа uzluksiz. ( ) ning iхtiyoriyligidаn funksiya (-1,1) оrаliqdа uzluksiz. 3-tеоrеmа . (Qаtоrlаrni hаdlаb intеgrаllаsh) Аgаr funksiоnаl qаtоrning hаr bir hаdi kеsmаdа uzluksiz bo’lib, bu funksiоnаl qаtоr kеsmаdа tеkis yaqinlаshuvchi bo’lsа, u hоldа 16 tеnglik o’rinli bo’lаdi. Isbоt. (1’) qаtоr tеkis yaqinlаshuvchi qаtоr bo’lgаni uchun Vеyеrshtrаss tеоrеmаsidаgi kаbi ekаnligi rаvshаn. . Tеоrеmа isbоt bo’ldi. 4-misоl. funksiоnаl qаtоr dа tеkis yaqinlаshuvchi vа uning yig’indisi gа tеng. Bеrilgаn qаtоrni 0 dаn х gаchа hаdlаb intеgrаllаymiz vа quyidаgi qаtоrgа egа bo’lаmiz : Bu qаtоr qаtоr dа tеkis yaqinlаshаdi vа uning yig’indisi quyidаgigа tеng: . Shundаy qilib dа tеkis yaqinlаshuvchi qаtоrgа egа bo’ldik. 4 -tеоrеmа . (Qаtоrlаrni hаdlаb diffеrеnsiаllаsh ) 17 Аgаr kеsmаdа hоsilаlаri uzluksiz bo’lgаn funksiyalаrdаn tuzilgаn. funksiоnаl qаtоr shu kеsmаdа yaqinlаshuvchi vа yig’indisi bo’lsа, u hоldа uning hаdlаrining hоsilаlаridаn tuzilgаn. qаtоr hаm tеkis yaqinlаshuvchi bo’lib, yig’indisi bo’lаdi. 5-misоl . 4- misоlni qаrаymiz: Bundаn х ekаni kеlib chiqаdi. Bundа o’ng tоmоndа birоr qаtоr turibdi. SHu qаtоrni hаdlаb diffеrеnsiаllаb quyidаgini tоpаmiz: Dаlаmbеr аlоmаtigа ko’rа Shundаy qilib, qаtоr аbsоlyut yaqinlаshuvchi vа bаrchа lаr uchun tеkis yaqinlаshuvchi bo’lаdi. Dеmаk, bеrilgаn qаtоrning hоsilаlаridаn tuzilgаn qаtоr bеrilgаn qаtоr yig’indisidаn оlingаn hоsilаgа yaqinlаshаdi: dа tеkis yaqinlаshuvchidir. 2. Darajali qatorlar . Yaqinlashish radiusi va intervali . 18 Funksional qatorlar orasida darajali qatorlar matematikada va uning tatbiqlarida muhim o’rin tutadi. Uning hadlari x argumentning darajali funksiyalaridan iborat. 1-T а ’rif. (6’) ko’rinishd а gi funksi о n а l q а t о rg а d а r а j а li q а t о r d е yil а di, bu е rd а o’zg а rm а s s о nl а r d а r а j а li q а t о rning k о effisi е ntl а ridir. Хususiy hоldа, аgаr bo’lsа, u hоldа quyidаgi (7 ’ ) dаrаjаli qаtоrgа egа bo’lаmiz. Biz bundаn kеyin (7’) ko’rinishdаgi dаrаjаli qаtоrlаrni o’rgаnаmiz, chunki bundаy qаtоr ko’rinishdаgi аlmаshtirish yordаmidа (7) ko’rinishgа kеltirilаdi. Dаrаjаli qаtоrning yaqinlаshish sоhаsi dоim birоr intеrvаldаn ibоrаt, bu intеrvаl хususiy hоldа nuqtа ham bo`lishi mumkin. 4- teorema (Аbеl tеоrеmаs i ). Аgаr (7 ’ ) dаrаjаli qаtоr nuqtаdа yaqinlаshsа, u hоldа bu qаtоr х ning tеngsizlikni qаnоаtlаntirаdigаn bаrchа qiymаtlаridа аbsоlyut yaqinlаshаdi, ya’ni dа yaqinlаshаdi. Isbоt. Tеоrеmаning shаrtigа ko’rа sоnli qаtоr yaqinlаshuvchi, shu sаbаbli uning umumiy hаdi nоlgа intilаdi: SHungа ko’rа bu qаtоrning hаmmа hаdlаri chеgаrаlаngаn, ya’ni shundаy o’zgаrmаs sоn mаvjudki, bаrchа lаrdа (8 ’ ) tеngsizlik o’rinli bo’lаdi. (7) Qаtоrni quyidаgi ko’rinishdа yozаmiz: 19 (9 ’ ) Endi bu qаtоr hаdlаrining аbsоlyut qiymаtlаridаn (10 ’ ) qаtоrni ko’rаylik. (10’) qаtоring hаdlаri mоs rаvishdа birinchi hаdi M vа mаhrаji bo’lgаn yaqinlаshuvchi (11 ’ ) gеоmеtrik prоgrеssiya hаdlаridаn kichik. U hоldа tаqqоslаsh tеоrеmаsigа ko’rа (10’) yaqinlаshuvchi, dеmаk (7’) аbsоlyut yaqinlаshuvchi bo’lаdi. Tеоrеmаning ikkinchi qismi hаm хuddi shundаy isbоtlаnаdi. 2- Tа’rif. dаrаjаli qаtоrning yaqinlаshish sоhаsi dеb shundаy intеrvаlgа аytilаdiki, bu intеrvаlning ichidаgi hаr bir х nuqtаdа qаtоr yaqinlаshаdi, undаn tаshqаridа yotuvchi х nuqtаlаrdа qаtоr uzоqlаshаdi. - dаrаjаli qаtоrning yaqinlаshish rаdiusi dеyilаdi. Intеrvаlning chеtki nuqtаlаridа ya’ni х= vа х=- nuqtаlаrdа bеrilgаn qаtоrning yaqinlаshishi yoki uzоqlаshishi mаsаlаsi qаtоr uchun аlоhidа hаl qilinа di. qаtоr yaqinlаshаdi - 0 х qаtоr uzоqlаshаdi qаtоr uzоqlаshаdi Bа’zi qаtоrlаr uchun yaqinlаshish intеrvаli nuqtаgа аylаnib hоlаdi, u hоldа =0; bа’zilаri uchun butun ОХ o’qini qаmrаb оlаdi, ya’ni = bo’lаdi. (7) Qаtоr hаdlаrining аbsоlyut qiymаtlаridаn tuzilgаn quyidаgi qаtоrni qаrаymiz: (*) 20 (*) qаtоrni yaqinlаshishini аniqlаsh uchun Dаlаmbеr аlоmаtini qo’llаymiz: limit mаvjud bo’lsin. U hоldа Dаlаmbеr аlоmаtigа ko’rа (*) qаtоr аgаr , ya’ni bo’lsа, yaqinlаshuvchi, аgаr , ya’ni bo’lsа uzоqlаshuvchi bo’lаdi. Dеmаk, (2) qаtоr dа аbsоlyut yaqinlаshаdi vа dа uzоqlаshаdi. Yuqоridаgilаrdаn intеrvаl bеrilgаn qаtоrning yaqinlаshish intеrvаli bo’lib yaqinlаshish rаdiusi esа quyidаgi fоrmulа bilаn hisоblаnаdi: (12 ' ) Хuddi shuningdеk, yaqinlаshish intеrvаlini аniqlаsh uchun Kоshi аlоmаtidаn hаm fоydаlаnish mumkin, u hоldа yaqinlаshish rаdiusi: (13 ’ ) Eslаtmа. ko’rinishdаgi dаrаjаli qаtоrlаr uchun yuqоridа аytilgаnlаrning hаmmаsi, o’z kuchidа qоlаdi, bundа fаrq shundаn ibоrаtki, endi yaqinlаshish mаrkаzi х=0 nuqtа emаs, bаlki х=х 0 nuqtаdа yotаdi. Dеmаk, yaqinlаshish intеrvаli intеrvаldаn ibоrаt bo’lаdi, bu еrdа (12’) yoki (13’) fоrmulаlаr yordаmidа аniqlаnаdi. 1-Misоl. Dаrаjаli qаtоrning yaqinlаshish intеrvаlini tоping: Yechish. 21 Bu еrdаn Dеmаk, (-1,1) intеrvаl yaqinlаshish intеrvаli bo’lаdi. х=1 dа qаtоrgа egа bo’lаmiz, bu qаtоr Lеybnis аlоmаtigа ko’rа yaqinlаshuvchi. х=-1 dа esа qаtоrgа egа bo’lаmiz, bu qаtоr Lеybnis аlоmаtigа ko’rа uzоqlаshuvchi. 2-Misоl . qаtоrning yaqinlаshish intеrvаlini tоping. Yechish. Mа’lumki, . Yaqinl а shish int е rv а lining m а rk а zi х =1 nuqt а d а , shu s а b а bli (-1,3) int е rv а l q а t о rning yaqinl а shish int е rv а li bo’l а di. х =-1 d а q а t о r L е ybnis а l о m а tig а ko’r а yaqinl а shuvchi v а х =3 d а q а t о r uz о ql а shuvchi. 22 II - BOB. CHIZIQLI INTEGRAL TENGLAMALARNI YECHISHNING FREDHOLM VA KETMA-KET O‘RNIGA QO‘YISH USULLARI 2.1- Integral tenglamalarni Fredholm usuli bilan yechish Biz bu paragrafda (3.3) integral tenglamaning Fredholm tomonidan berilgan yechish usulini bayon qilamiz. Ushbu paragraf davomida dan kvadrati bilan integrallanuvchanlik shartini, dan esa 3- dagi A shartning bajarilishini talab qilamiz. Bu shartda 3.2-teoremaga ko‘ra (3.1) tenglik bilan aniqlangan operator fazoda o‘z-o‘ziga qo‘shma, chegaralangan va kompakt bo‘ladi. Endi Fredholm tomonidan berilgan yechish usulida muhim o‘rin tutadigan Fredholm determinanti va Fredholm minorini ni keltiramiz: va funksiyalarga mos ravishda yadro orqali qurilgan (1.3) integral tenglamaning Fredholm determinanti va minori deyiladi. Endi keyinchalik (1.3) integral tenglamaning yechimini topish jarayonida muhim ahamiyatga ega bo‘ladigan Fredholmning 2 ta fundamental munosabatini keltirib utamiz: 23 (1.3) integral tenglamaning Fredholm tomonidan berilgan yechimi Fredholm determinanti va minori bilan uzviy bog‘liq. (1”) va (2”) dagi qatorlarning yaqinlashishini ko‘rsatishda quyidagi Adamar teoremasidan foydalanamiz. 2 .1-teorema (Adamar). Ushbu algebraik determinantning har bir hadi haqiqiy bo‘lib, tengsizlikni qanoatlantirsin, u holda tengsizlik o‘rinli. Adamar teoremasi ushbu lemma yordamida isbotlanadi. 2 .1-lemma. Agar algebraik determinantning har bir hadi haqiqiy bo‘lib tengsizlikni qanoatlantirsa, tengsizlik o‘rinli. 2.1-teoremaning isboti. Quyidagi belgilashni kiritamiz: Bunda ikkita hol bo‘lishi mumkin. 1-hol. Faraz qilaylik, lardan hech bo‘lmaganda bittasi nolga teng bo‘lsin, masalan U holda barcha lar uchun bo‘lishi kelib chiqadi, ya’ni determinantning bitta satr elementlari nol bo‘ladi. Bundan determinant nolga tengligini, ya’ni ni olamiz. Bu holda teorema tasdig‘i bajariladi. 2-hol. lardan birortasi ham nolga teng emas. U holda ixtiyoriy uchun o‘rinli. Endi determinantni quyidagicha tasvirlaymiz: 24 Uning har bir satr elementlari uchun tenglik o‘rinli. 2.1-lemmadagi determinant elementlarini deb belgilasak, u holda 2.1-lemma tasdig‘iga ko‘ra tengsizlikning o‘rinli ekanligini olamiz. Teorema shartiga asosan bo‘lgani uchun bo‘lib, bundan kerakli tengsizlikni olamiz. Teorema isbotlandi . Ushbu teoremadan foydalanib yadro tengsizlikni qanoatlantirsa , unga mos (1”) qator bilan yaniqlanuvchi Fredholm determinanti parametrning barcha qiymatlarida yaqinlashuvchi bo ‘ ladi . Agar biz (1”) ni darajali qator sifatida qarasak, uning yaqinlashish radiusi bo‘ladi. Bundan funksiyaning kompleks tekislikda analitik funksiya ekanligi kelib chiqadi. Xuddi shunday (2”) qator bilan aniqlanuvchi Fredholm minori ham parametrning barcha qiymatlarida va har bir da absolyut, da tekis yaqinlashuvchi bo‘ladi. Demak, uning yig‘indisi bo‘lgan funksiya bo‘yicha uzluksiz va parametrning analitik funksiyasi bo‘ladi. (1.3) integral tenglamaning Fredholm tomonidan berilgan yechimi quyidagi 2.2, 2.4 va 2.5-teoremalarda o‘z ifodasini topgan. 25 2.2-teorema . Faraz qilaylik, yadro da uzluksiz va bo‘lsin. U holda ixtiyoriy da (1.3) integral tenglama formula bilan ifodalanuvchi yagona yechimga ega. Isbot. Faraz qilaylik, (1.3) tenglama yechimga ega bo‘lsin. Uni quyidagi ko‘rinishda yozib olamiz (6”) tenglikni ikkala qismini ga ko‘paytirib, keyin o‘zgaruvchi bo‘yicha dan gacha integrallab, natijada tenglikni hosil qilamiz. Ikki karrali integral ostidagi ifoda va lar bo‘yicha integrallanuvchi bo‘lganligi uchun, Fubini teoremasiga (2.1-teoremaga qarang) ko‘ra, unda integrallash tartibini o‘zgartirish mumkin. Uni quyidagicha yozamiz (3”) Fredholm fundamental munosabatiga ko‘ra (8”) ni quyidagicha yozish ham mumkin Bu tenglikka ko‘ra (7”) tenglama ushbu ko‘rinishni o‘ladi Agar biz ayniyatni hisobga olsak oxirgi tenglikdan quyidagini olamiz: ning bu ifodasini (1.3) ga qo‘yib 26 ni olamiz. Demak, (1.3) tenglamaning ixtiyoriy yechimi (4.5) ko‘rinishga ega ekan. Bu 2.2-teoremani isbotlaydi. Bu teoremadan natija sifatida aytish mumkinki, agar bo‘lsa, (1.3) integral tenglamaga mos bir jinsli integral tenglama faqat nol yechimga ega bo‘ladi. Bir jinsli tenglamaning yechimi. Endi (1.3) integral tenglamaga mos bir jinsli tenglamani, ya’ni tenglamani qaraymiz. Quyidagi tasdiq o‘rinli. 2.3-teorema. Agar va aynan nol funksiya bo‘lmasa, u holda shunday mavjudki, funksiya tenglamaning aynan nolga teng bo‘lmagan uzluksiz yechimi bo‘ladi. Isbot. (10”) integral tenglamaning yechimini topish uchun barcha larda o‘rinli bo‘lgan Fredholmning (4”) fundamental munosabatidan foydalanamiz. Teorema shartida (4”) munosabat ko‘rinishni oladi. Teorema shartiga ko‘ra ni shunday tanlash mumkunki, aynan nolga teng bo‘lmagan funksiya bo‘ladi. (11”) munosabat barcha larda, xususan, bo‘lganda ham o‘rinli, ya’ni Bu esa funksiya (10”) integral tenglamaning yechimi ekanligini anglatadi. Yuqorida keltirilgan Adamar teoremasidan ko‘rinadiki, funksiya barcha larda tekis yaqinlashuvchi va hadlari uzluksiz funksiyalardan iborat qator yig‘indisi sifatida uzluksizdir. 2.1-ta’rif. Agar biror uchun bo‘lsa, ga yadroning xarakteristik soni deyiladi. (10”) tenglamaning nolmas yechimi esa yadroning xarakteristik songa mos fundamental funksiyasi deyiladi. 27 Agar yadroning xarakteristik soni bo‘lsa, u holda soni (1.1) tenglik bilan aniqlangan operatorning xos qiymati bo‘ladi. yadroning fundamental funksiyalari, operatorning xos funksiyalari bo‘ladi. 2.3-teoremada aynan nolga teng emas shartini shart bilan almashtirish mumkin. Buning ucnun biz barcha larda o‘rinli bo‘lgan quyidagi tenglikdan ([10] ga qarang) foydalanamiz Faraz qilaylik, va bo‘lsin. Ma’lumki ((1”) ga qarang), shuning uchun . Agar biz (12”) formulada desak, uning o‘ng tomoni noldan farqli bo‘ladi, shunday ekan uning chap tomoni ham nolmas bo‘ladi. Bundan aynan nolga teng emasligi va o‘z navbatida ning ham aynan nolga teng emasligi kelib chiqadi. Agar bilan birgalikda bo‘lsa, u holda (10”) bir jinsli tenglamaning nolmas yechimlarini topish uchun yuqori tartibli minorlarni qarashga to‘g‘ri keladi. Yuqori tartibli minorlarni kiritish uchun biz quyidagi belgilashlardan foydalanamiz: va Xususan da U holda ning tartibli minori quyidagicha aniqlanadi 28 (16”) Xususiy hol da . Ta’kidlash joizki, agar biror uchun bo‘lsa, u holda (13”) tenglik bilan aniqlangan determinantning chi va chi satrlari bir xil bo‘ladi va natijada bo‘ladi. Bundan ekanligi kelib chiqadi. Xuddi shunday biror uchun bo‘lsa ham bo‘ladi. Agar (13 ” ) tenglik bilan aniqlangan determinantda bilan ning o‘rnini almashtirsak (13”) determinantda chi va chi satrlarning o‘rni almashadi, bu esa (13”) determinantning ishorasini o‘zgartiradi. Bu xossa tartibli minor uchun ham o‘rinli, ya’ni agar biz tartibli minor da ((16”) formulaga qarang) bilan ni o‘rnini almashtirsak, tartibli minor ning faqat ishorasi almashadi. Fredholmning umumlashgan fundamental munosabatlari quyidagilar: (17”) 29 Yuqorida keltirilgan (12”) munosabat quyidagi umumiy munosabatning xususiy holidir (17”)-(19”) tengliklarning isboti [10] da keltirilgan. Faraz qilaylik, soni tenglamaning ildizi bo‘lsin. Ma’lumki, shuning uchun . analitik funksiya bo‘lganligi uchun uning chekli karrali noli bo‘ladi, ya’ni Agar biz (19”) formulada va desak, u holda (19”) ning o‘ng tomoni nolmas bo‘ladi. Demak, uning chap tomoni ham nolmas, bu esa o‘z navbatida tartibli minorning aynan nolmas ekanligini keltirib chiqaradi. Bu yerdan ning aynan nol funksiya emasligi kelib chiqadi. Agar soni funksiyaning karrali noli bo‘lsa, u holda shunday natural son mavjudki, quyidagilar bajariladi: bo‘lib, aynan nolmas bo‘ladi. 2.2-ta’rif. Yuqorida aniqlangan soniga xarakteristik sonning karraligi deyiladi. Shuni ta’kidlaymizki, simmetrik yadrolar uchun tenglik o‘rinli. Xususan bizning holimizda ham bo‘ladi. 30 aynan nolmas funksiya bo‘lganligi uchun shunday nuqtalar mavjud bo‘lib, bo‘ladi. Endi Fredholmning (18”) umumlashgan fundamental munosabatida va desak, quyidagi tenglikka ega bo‘lamiz (4.20) tenglikning ikkala qismini noldan farqli bo‘lgan bo‘lamiz va belgilash kiritib, barcha larda quyidagiga ega bo‘lamiz (22”) tenglik lar bir jinsli (10”) tenglamaning yechimlari ekanligini bildiradi. Bu yechimlar uzluksiz va (21 ” ) ga ko‘ra 2.1-lemma. Bir jinsli (10”) tenglamaning yechimlari sistemasi chiziqli erklidir. 31 Isbot. Faraz qilaylik, tenglik biror sonlar uchun o‘rinli bo‘lsin. So‘nggi tenglikda desak, (23”) ga ko‘ra ga ega bo‘lamiz. (Lemma isbotlandi) Ma’lumki bir jinsli tenglama yechimlari yig‘indisi va songa ko‘paytmasi yana yechim bo‘ladi. Shuning uchun funksiya ixtiyoriy sonlar uchun (10”) bir jinsli tenglamaning yechimi bo‘ladi. Endi (10”) bir jinsli tenglamaning ixtiyoriy yechimi (24”) ko‘rinishga ega ekanligini ko‘rsatamiz. Faraz qilaylik, bir jinsli (10”) tenglamaning biror yechimi bo‘lsin, ya’ni bo‘lsin. U holda ixtiyoriy uzluksiz funksiya uchun quyidagi ayniyat o‘rinli (25”) dan (26”) ni ayirib, quyidagiga ega bo‘lamiz bu yerda Endi Fredholmning (17”) umumlashgan fundamental munosabatida va desak va bilan ning o‘rni almashganda ning ishorasi almashinishini hisobga olsak, quyidagiga ega bo‘lamiz (28 ” ) tenglikda 32 almashtirish qilamiz, hamda (28”) tenglikning ikkala qismini noldan farqli bo‘lgan ga bo‘lamiz va belgilash kiritib quyidagiga ega bo‘lamiz: (30”) tenglikning o‘ng tomoni ga teng. (26”) aytiyat ixtiyoriy uzluksiz funksiya uchun o‘rinli edi. Shuning uchun biz uni (29”) tenglik bilan aniqlangan bilan almashtiramiz. Natijada tenglikni olamiz. ning bu ifodasini (27”) tenglikning o‘ng tomoniga qo‘yib, tenglikka ega bo‘lamiz. Bundan ning (24”) ko‘rinishda tasvirlanishi kelib chiqadi. Shunday qilib, biz Fredholmning ikkinchi fundamental teoremasini isbotladik. 2.4-teorema. Agar soni yadroning karrali xarakteristik soni bo‘lsa, u holda (10”) bir jinsli tenglama ta chiziqli bog‘lanmagan yechimlarga ega bo‘ladi va ixriyoriy yechim ularning chiziqli kombinatsiyasi ko‘rinishida tasvirlanadi, ya’ni yechim uchun (24”) tenglik o‘rinli . Bu chiziqli bog‘lanmagan yechimlar sistemasi (21”) tenglik bilan aniqlanadi. 33 Integral tenglamalarni yechishga doir misollar. Endi biz integral tenglamalarni Fredholm usuli bilan yechishga doir misollar qaraymiz. 2 .1-misol. fazoda integral tenglamaga mos Fredholm determinanti va Fredholm minorini toping. Yechish. Bu integral tenglamaning yadrosi haqiqiy qiymatli va simmetriklik shartini qanoatlantiradi, ya’ni Endi (4.1) formula yordamida koeffitsiyentlarni hisoblaymiz: Xuddi shunday koeffitsiyent hisoblanadi: Intrgral tenglama yadrosining rangi 2 bo‘lganligi uchun, barcha larda bo‘ladi. Shuning uchun determinant quyidagiga teng bo‘ladi: Integral tenglama yadrosining rangi 2 bo‘lganligi uchun, barcha larda tenglik o‘rinli. uchun esa quyidagi tenglik o‘rinli. Shunday qilib uchun quyidagiga ega bo‘lamiz: 2.2-misol. yadroning xarakteristik sonlari va fundamental funksiyalarini toping. 34 Yechish. Yadroning xarakteristik sonlari bu ning nollaridir. 2.1- misolda yadroga mos Fredholm determinanti topilgan. Uning nollari ((31”) ga qarang) va lardir. Demak, ular yadroning xarakteristik sonlari bo‘ladi. Bu va nuqtalarda birinchi tartibli minor noldan farqli bo‘lganligi uchun bu xarakteristik sonlarning karraliklari birga teng, ya’ni bir jinsli tenglamaning yechimlari to‘plami bir o‘lchamli chiziqli fazodir. (32”) ga ko‘ra bu xarakteristik sonlarga mos keluvchi fundamental funksiyalar quyidagicha bo‘ladi: 2.2- Ketma-ket o‘rniga qo‘yish va ketma-ket yaqinlashishlar usuli Biz ushbu paragrafda fazoda parametrli ikkinchi tur Fredholm integral tenglamalarini yechish usullari bilan shug‘ullanamiz. Dastlab Fredholm va Volterr tipidagi integral tenglamalar uchun ketma-ket o‘rniga qo‘yish usulini bayon qilamiz. Keyin esa parametrli ikkinchi tur Fredholm integral tenglamalarini ketma-ket yaqinlashishlar usuli bilan yechamiz. fazoda berilgan Fredholm operatori ni, Volterr tipidagi integral operator ni va ular bilan bog‘liq integral tenglamalarni qaraymiz. Ushbu paragraf davomida dan uzluksizlik, dan esa uzluksizlik va simmetriklik shartlarini talab qil inadi , ya’ni: • va haqiqiy qiymatli funksiya; • haqiqiy qiymatli funksiya. 35 Faraz qilaylik, Fredholm tipidagi integral operatorning nuqtadagi rezolventasini topish talab qilingan bo‘lsin. Buning uchun quyidagi tenglamani yechish talab etiladi Agar va deb olsak, u holda tenglamani, ya’ni (1.3) ni hosil qilamiz. Demak, rezolventani topish masalasi ham (1.3) ko‘rinishdagi Fredholm tenglamasini yechishga keltirilar ekan. Quyida bizlar ketma-ket o‘rniga qo‘yish usulini ko‘rsatamiz. Buning uchun avvalo yadroni iteratsiyalash algoritmini alohida ko‘rib chiqamiz. Yadroni iteratsiyalash. Faraz qilaylik, (1.1.1) tenglik bilan aniqlangan operatorning yadrosi (1.7) shartni qanoatlantirsin. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz: Bu ko‘rinishda qurilgan funksiyalarga yadroning iteratsiyalari deyiladi. Tekshirish qiyin emaski, iteratsiya integral operatorning yadrosi bo‘ladi. (1.1.3) formulani ketma-ket qo‘llab, uchun quyidagi ifodani olamiz: (1.1.4) formulaga asosan quyidagi munosabat o‘rinli 3. Ketma-ket o‘rniga qo‘yish usuli. Endi (1.3) tenglamaning o‘ng tomonidagi funksiyaning o‘rniga uning ifodasini qo‘yib, quyidagini hosil qilamiz: 36 Bu tenglamaning o‘ng tomonidagi ning o‘rniga, uning (1.1.6) ifodasini qo‘yamiz: Bu yerda biz yadroni iteratsiyalash formulalaridan foydalandik. Ushbu jarayonni davom ettirib, o‘rniga qo‘yishdan keyin, biz quyidagi tenglamani olamiz Natijada biz quyidagi cheksiz qatorni o‘rganish masalasiga kelamiz: Bizning farazimizga asosan bu qatorning har bir hadi kesmada uzluksiz funksiyadan iborat. Demak, agar bu qator kesmada tekis yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda uning yig‘indisi biror uzluksiz funksiyani aniqlaydi (1.1-teorema). va funksiyalar mos ravishda kvadrat va kesmada uzluksiz bo‘lganligi uchun Veyershtrass teoremasiga ko‘ra quyidagilar o‘rinli: bunda va (1.1.8) qatorning chi hadidan iborat bo‘lgan ifodani quyidagicha yozib olamiz: (1.1.9) ga asosan ni quyidagicha baholash mumkin Umumiy hadi (1.1.10) ko‘rinishdagi bahoga ega bo‘lgan qator yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun shartning bajarilishi yetarli. Demak, (3.10) qator parametrning 37 tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida tekis yaqinlashuvchi bo‘ladi. Agar (1.3) tenglama biror uzluksiz yechimga ega bo‘lsa, u holda u (1.1.11) tenglamani ham qanoatlantiradi. ning kesmada uzluksizligidan quyidagi o‘rinli bo‘ladi bunda . U holda ega bo‘lamiz. Agar (1.1.11) tengsizlik bajariladi deb faraz qilsak ushbu tenglikni hosil qilamiz Bundan (1.1.11) da da limitga o‘tsak ga erishamiz. Demak, biz har bir da (1.1.11) tenglamani qanoatlantiruvchi funksiya (1.1.8) ko‘rinishdagi qator shaklida tasvirlanar ekan. Bevosita o‘rniga qo‘yish yordamida ko‘rsatish mumkinki, (1.1.8) qator yig‘indisi bo‘lgan funksiya (1.3) tenglamani qanoatlantiradi. Buning uchun (1.1.8) qatorning yig‘indisini bilan belgilab, bu tenglikning ikkala qismini ga ko‘paytirib va hosil bo‘lgan tekis yaqinlashuvchi qatorni hadlab integrallaymiz (1.3-teoremaga qarang). U holda biz quyidagilarni hosil qilamiz: Demak, haqiqatan ham (1.1.8) qatorning yig‘indisi (1.3) tenglamani qanoatlantirar ekan. Shunday qilib, quyidagi teorema isbot qilindi. 38 3.1-teorema. Agar A va B shartlar hamda (3.13) tengsizlik bajarilsa, (1.3) integral tenglamaning yagona uzluksiz yechimi mavjud. Bu yechim da absolyut va tekis yaqinlashuvchi (1.1.8) qator yig ‘ indisi bilan ustma-ust tushadi. Izoh. 1. Adabiyotlarda ko‘pinchi quyidagi ko‘rinishdagi tenglama uchrab turadi. Bu tenglama (1.3) ning bo‘lgandagi xususiy holidir. Shuning uchun yuqorida keltirilgan mulohazalar hech bir o‘zgarishsiz bu hol uchun ham o‘rinli bo‘ladi. 2. Qayd etish joizki, (1.3) integral tenglama (1.1.11) tengsizlik bajarilmasa ham uzluksiz yechimga ega bo‘lishi mumkin. Bunga quyidagi misolda ishonch hosil qilish mumkin. integral tenglama uchun bo‘lib, tenglama ko‘rinishdagi uzluksiz yechimga ega. Volterr tipidagi integral tenglamalar. Endi biz Volterr tipidagi operatorlarning rezolventasini topish masalasini qaraymiz. Quyida keltirilgan tasdiqlardan shu narsa kelib chiqadiki, Volterr operatorining rezolventasi noldan farqli barcha nuqtalarda mavjud va chegaralangan bo‘lar ekan. (3.4) Volterr tenglamasining o‘ng tamoniga funksiyaning ifodasini ketma-ket qo‘yib, quyidagini hosil qilamiz: Umumiy hadi bo‘lgan funksional qatorni qaraymiz. (1.1.11) tengsizlik bajarilganda (1.1.15) qatorning umumiy hadini quyidagicha baholash mumkin: 39 Umumiy hadi bo‘lgan musbat hadli qator va larning barcha qiymatlarida yaqinlashadi. Shuning uchun (1.1.15) funksional qator absolyut va tekis yaqinlashadi. Agar (3.4) integral tenglama biror uzluksiz yechimga ega bo‘lsa, u holda bu yechim (1.1.14) tenglamani ham qanoatlantiradi. (1.1.14) ning so‘nggi qo‘shiluvchisi uchun quyidagi baho ( ) o‘rinli: Bundan ushbu limitik munosabatni olamiz: (1.1.14) da da limitga o‘tib, biz (3.4) tenglamani qanoatlantiruv funksiya (3.17) qator ko‘rinishida ifodalanishini hosil qilamiz. Xuddi yuqorida ko‘rsatilgani kabi, (1.1.15) qator yig‘indisi funksiya (3.4) tenglamani qanoatlantirishini isbotlash mumkin. Shunday qilib biz quyidagi tasdiqni isbotladik. 3.2-teorema. Agar (1.7) va (1.1.11) shartlar bajarilsa, u holda barcha lar uchun (3.4) integral tenglama yagona uzluksiz yechimga ega. Bu yechim da absolyut va tekis yaqinlashuvchi (1.1.15) qator ko‘rinishida ifodalanadi. Bu yerda olingan natijalarni o‘zgarishsiz ravishda tenglamaga Volterr tenglamasining xususiy holi sifatida, ya’ni deb tadbiq etish mumkin. Integral tenglamalarni yechishga doir misollar. Endi biz integral tenglamalarni yuqorida keltirilgan usullar bilan yechishga doir misollar keltiramiz. 3.1-misol. Quyidagi 40 integral tenglamani ketma-ket o‘rniga qo‘yish usuli bilan yeching. Yechish. Bu Volterr tipidagi integral tenglama, 3.2-teoremaga ko‘ra u barcha larda yagona yechimga ega. Bu integral tenglama uchun ketma-ket o‘rniga qo‘yish usulini qo‘llash mumkin. Bu misolda . Endi larni hisoblaymiz: Xuddi shunday ni hisoblash mumkin. va hokazo Shunday qilib, qaralayotga (3.22) integral tenglama yechimi quyidagi ko‘rinishga ega ekan funksiya istalgan uchun berilgan tenglamani qanoatlantiradi. 3.2-misol. Quyidagi integral tenglamani yeching. Bunda va funksiyalar uzluksiz bo‘lib shartni qatoatlantiradi. Yechish. Berilgan integral tenglamani ketma-ket o‘rniga qo‘yish usuli bilan yechamiz. Buning uchun ni berilgan tenglama o‘ng tomonidagi o‘rniga qo‘yamiz: 41 Agar shartdan foydalansak uchun quyidagi ifodani olamiz Bu tenglikning o ‘ ng tomoni ga bog ‘ liq emas , keyingi o ‘ rniga qo ‘ yishlar yana oxirgi tenglikka olib keladi . Demak, ixtiyoriy uchun berilgan integral tenglamaning yechimi oxirgi ko‘rinishda bo‘lar ekan. I II-BOB. OLIY TA’LIMDA DARS JARAYONIDA P EDAGOGIK TEXNOLOGIYALAR FOYDALANISH . 3.1 -§. Dars jarayonida foydalani ladigan pedagogik texnologiyalar Talabalarning ijodiy fikrlashini shakllantirish shaxsiy sifatlaridagi notekisliklarni, nuqsonlarini bartaraf qilishda dars o‘tish jarayonida ularning xotirasini shakillantirish, mantiq, tasavvur, fikrlay olishini rivojlantirish maqsadga muvofiqdir. Chunki, talabalarda erkin fikr qilish kamol topadi va natijada talabalar o‘tiladigan mavzuni oz bo‘lsada muhokama qilishda faollashadi. Pedagog qaysi darsni o‘tishdan qat’iy nazar, hech qanday keraksiz, ortiqcha narsalarga to‘xtalmay, har bir mavzuni aniq, ravshan, lo‘nda tushuntirishi lozim. Pedagogning mahoratida darsning o‘rni muhim. Zamonaviy dars faqat o‘qitishning metod va formalari bilin cheklanib qolmay, balki ta’lim-tarbiya, rivojlantirish maqsadlarini amalga oshirish, pedagog va talaba faoliyatida birgalikdagi o‘zaro bog‘liqligini ro‘yobga chiqarishni talab qiladi. Mavzuni yoritishda pedagogning o‘qitish vositalari uning ijodkorligiga, ko‘p qirrali bilimiga, faoliyatiga asoslanadi. Dars berishda pedagogning muvaffaqiyati uning nazariy va kasbiy tayyorgarligiga bog‘liq. Darsning qanday bo‘lishi uning ijodkorligiga va mahoratiga bog‘liq. Avvalo darsning ijodiy rejasi tuziladi. Reja o‘z ichiga quyidagilarni oladi : 1) o‘quv darsidan kelib chiqib, har bir mavzu materialining mazmunini chuqur bilish; 42 2) pedagogning hayotiy va tajribaga, ma’naviy holatiga mos bo‘lish; 3) o‘rganilayotgan mavzuning oldingi o‘tilgan, keyingi o‘tilishi kerak bo‘lgan mavzularga mos kelishi; Dars rejasini tuzish juda muhimdir. Hattoki ko‘p yillik tajribaga ega bo‘lgan pedagoglar ham yangi, endi ishga tushgan pedagoglar ham dars mavzusiga mos darsliklarni ko‘rib chiqishi kerak. Talabalarda o‘rganilayotgan predmetga qiziqishi, uni yaxshi ko‘rishini shakllantirishiga, izlanuvchanlikka, yangi bilimlarni ochishga, muammoli xarakterdan masalalarni yechishga jalb qilish muhimdir. S h unday ekan, o‘qitish usullari turli-tuman bo‘lganda qiziqarli bo‘ladi. Bir hil axborot va faoliyatning bir xil usullari tezgina talabalarni zeriktirib yuborishi mumkin. Ma’ruza darsida pedagog savollar, dialog, takrorlash, taqqoslashlardan foydalaniladi. Seminar darsida- talabalarni yuqori aqliy faoliyatini, yangi bilim va ko‘nikma olishga intilishini kelib chiqaradi. Bunday pedagog nostandart usullaridan foydalanishi maqsadga muvofiq bo‘ladi. Munozara darsi - talabalarni muammoli masalalar bilan to‘qnashtirish va o‘zlarining fikrlarini bayon ettirishlari uchun (o‘quv) pedagogdan katta mahorat talab etiladi. Konkursli darslar - noan’aviy hisoblanadi, chunki ularni talabalarning o‘zlari o‘tkazadilar. Ular o‘zlari material topishadi, izlanishadi va h.k. Muammoli o‘qitish - bu shunday metodki, unda pedagog o‘rtaga bir muammoni tashlab, bu muammoni echishda vujudga keladigan qarama - qarshiliklar, e’tirozlarni ko‘rsatib beradi, eksperiment orqali haqligini isbotlaydi, turli xil nuqtai nazarlarni tushuntiradi. Talabalarga formula, qonunlar, sana va ming xil qoidalarni quruq yodlatishdan foyda yo‘q. SHuning uchun ijodiy xarakterdagi savollar bilan talabalarga murojat etish muhim. Bunda tajribali mutaxassis talabalar bilan pedagogik jarayonni hamkorlikda amalga oshiradi. 43 Bunday darsda talabalarning bilim olishga qiziqishi, ehtiyoji, talabchanligi oshadi. Ular savol berib, shu savolga javob izlashadi. An’anaviy darslarda pedagog savol beradi, talabalar esa shu savolga faqatgina darslikka tayanib javob beradi. Bunday paytda, talabalarda shunday tasavvur paydo bo‘ladiki, hamma narsa, haqiqat shu darslikda namoyon bo‘lyapti. Bu oxir oqibatda darsning zerikarli bo‘lishiga olib keladi. Pedagog xar bir darsni muammoli, izlanuvchan, faol bo‘lishi uchun, talabalarga savol va topshiriqlar tizimini yaratadi. Bu savollar qisqa va lo‘nda bo‘lishi kerak. Bunday savollar talabalarning nafaqat fikrlash doirasi, izlanuvchanligini kengaytiradi, balki ularni ijodiy qobliyatlarini, tashkilotchililigini, intizomliligini kuchaytiradi. Darsdagi mustaqil ish u talabalarni mustaqil bilim olishga o‘rgatadi. U shunday qoidaga bo‘ysunadi: agar material osonroq bo‘lsa, u talabalarga mustaqil ish qilib beradi, agar qiyinroq bo‘lsa, o‘zi tushuntiradi. Mustaqil ishning ko‘p turlarini o‘ q ituvchilar talabalarni yangi bilimni egallashga tayyorlash uchun qo‘llashadi. Birinchi navbatta bu takrorlash xarakteridagi ishlar. Ularga oldingi o‘tilgan mavzular yuzasidan masala, misollar, pedagogning topshirig‘iga asosan biror darslikni tanlab berish, grafik ishlar, ya’ni sxema, jadval va boshqalar. Uy-mustaqil ishi. Etuk pedagog – mutaxassislar talabalarning o‘zlashtirishini oshirish samaradorligini har doim uy – mustaqil ishini to‘g‘ri tashkil etish bilan bog‘laydilar. Y a xshi pedagoglar uy vazifalarini qiziqarli bo‘lishiga harakat qiladilar. Shu maqsadda ular vazifalarni xarakter va formasiga qarab: og‘zaki va yozma, muhim va o‘z xohishidagi, qo‘shimcha adabiyotlarni qo‘llab, o‘zi tanlangan topshiriq, individual va gruppali va h.k.ga o‘zgartirishadi. Uy vazifasini aniq va to‘g‘ri bo‘lishi uchun pedagog dars jarayonida samarali qilib tushuntirish ishlarini olib borishi kerak. Shuning uchun ham malakali pedagoglar yangi materialni tushuntirishga ko‘proq vaqt ajratadilar. Chunki bilimlarning og‘zaki mag‘zini chaqish, anglash jarayoni qanchali samarali bo‘lsa, keyingi darsda uy vazifalari tekshirishga shunchalik kamroq vaqt ketadi. 44 Zamonaviy ta’limni tashkil etishga qo‘yiladigan muhim talablardan biri ortiqcha ruhiy va jismoniy kuch sarf etmay, qisqa vaqt ichida yuksak natijalarga erishishdir. Qisqa vaqt orasida muayyan nazariy bilimlarni talabalarga etkazib berish, ularda ma’lum faoliyat yuzasidan ko‘nikma va malakalarni hosil qilish, shuningdek, talabalar faoliyatini nazorat qilish, ular tomonidan egallangan bilim, ko‘nikma hamda malakalar darajasini baholash o‘qituvchidan yuksak pedagogik mahorat hamda ta’lim jarayoniga nisbatan yangicha yondashuvni talab etadi. Pedagogik texnologiya o‘z mohiyatiga ko‘ra sub’ektiv xususiyatga ega, ya’ni, har bir pedagog ta’lim va tarbiya jarayonini o‘z imkoniyati, kasbiy mahoratidan kelib chiqqan holda ijodiy tashkil etishi lozim. Qanday shakl, metod va vositalar yordamida tashkil etilishidan qat ’ iy nazar pedagogik texnologiyalar: 1)pedagogik faoliyat (ta’lim-tarbiya jarayonining) samaradorligini oshirishi; 2)talabalar va o‘quvchilar o‘rtasida o‘zaro hamkorlikni qaror toptirishi; 3)talabalar ning o‘quv predmetlari dan puxta bilimlarning egallashini ta ’ minlashi; 4)talabalar da mustaqil, erkin va ijodiy fikrlash ko‘nikmalarini shakllantirishi; 5)talabalarning o‘z imkoniyatlarini ro‘yobga chiqara olishlari uchun zarur shart-sharoitlarni yaratishi; Pedagogik texnologiyalardan majburan foydalanish mumkin emas. Aksincha, tajribali pedagoglar tomonidan asoslangan yoki ular tomonidan qo‘llanilayotgan il g‘ or texnologiyalardan maqsadga muvofiq foydalanish bilan bi r ga ularni ijodiy rivojlantrish maqsadga muvofiqdir. So‘ngi 10-15 yilda oliy ta ’ lim muassasalarida ta’lim jarayonini tashkil etishda interfaol metodlardan foydalanish keng ko‘lamda amalga oshirilmoqda. “ Qanday usullar interfaol metodlar deb sanaladi? Boshqa usullardan ularning farqi nimada? degan savollarga javob berishda bu so‘zning ma’nosini anglash zarur. “Inter” so‘zi lotincha bo‘lib, “orada”, “o‘rtada” degan ma’nolarni anglatadi [3] . 45 Bundan xulosa shuki, muloqot jarayonida har ikki tomonga maqbullik, o‘zaro faollik, bog‘liqlik, bir-birni qo‘llab-quvvatlash, to‘ldirish, tuzatish kabi holatlar interfaol usullar asosini tashkil etadi. Interfaol metodlardan foydalanishda o‘quv materialining mazmuni o‘qituvchi tomonidan qayta ishlab chiqilishi, talabaga murakkab tuyulgan terminlarni izohlab berishi, uning ongida aqliy faoliyatini uyg‘otish hamda kuchaytirish talab qilinadi. Oliy ta’limda qo‘llaniladigan asosiy interfaol metodlar: “ Aqliy h ujum ” ( “ Mozgovaya ataka ” ) metodi “ Bahslar ” “Muzokara” “Taqdimot” (muzyorar) “Pinbord” (“pin”-mustahkamlash, “board”-doska) “ Insedent ” “ Zanjir ” metodi Klaster ( “g‘ uncha ” , “ bo g‘ lam ” -axborotlarni yoyish) Loyihalar metodi “ Qarama qarshi munosabat ” metodi “ Qarorlar shajarasi ” metodi “ Inter ” metodi “ Bilaman. Bilishni i xohlayman. Bilib oldim ” metodi “ Bumerang ” “Muloqot” FSMU texnologiyasi (fikr bayoni, sabab ko‘rsatish, misol keltirish, umumlashtirish) 3.2 -§. Ayrim interfaol metodlardan foydalanish Pinbord usuli (inglizchadan: pin - mustahkamlash, board - doska) 46 Bu o‘qitish usulining mohiyati shundan iboratki, unda munozara yoki o‘quv suhbati amaliy usul bilan bo g‘ lanib ketadi. Uning afzallik funk s iyalari – rivojlantiruvchi va tarbiyalovchi vazifadir: o‘quvchilarda muloqat yuritish va munozara olib borish madaniyati shakllanadi, o‘z fikrini faqat o g‘ zaki emas, balki yozma ravishda bayon etish mahorati, mantiqiy va tizimli fikr yuritishko‘nikmasi rivojlanadi. “Aqliy hujum” metodi - biror muammo bo‘yicha ta’lim oluvchilar tomonidan bildirilgan erkin fikr va mulohazalarni to‘plab, ular orqali ma’lum bir echimga kelinadigan metoddir. “Aqliy hujum” metodining yozma va og‘zaki shakllari mavjud. Og‘zaki shaklida ta’lim beruvchi tomonidan berilgan savolga ta’lim oluvchilarning har biri o‘z fikrini og‘zaki bildiradi. Ta’lim oluvchilar o‘z javoblarini aniq va qisqa tarzda bayon etadilar. Yozma shaklida esa berilgan savolga ta’lim oluvchilar o‘z javoblarini qog‘oz kartochkalarga qisqa va barchaga ko‘rinarli tarzda yozadilar. Javoblar doskaga (magnitlar yordamida) yoki “pinbord” doskasiga (ignalar yordamida) mahkamlanadi. “Aqliy hujum” metodining yozma shaklida javoblarni ma’lum belgilar bo‘yicha guruhlab chiqish imkoniyati mavjuddir. Ushbu metod to‘g‘ri va ijobiy qo‘llanilganda shaxsni erkin, ijodiy va nostandart fikrlashga o‘rgatadi. “Aqliy hujum” metodidan foydalanilganda ta’lim oluvchilarning barchasini jalb etish imkoniyati bo‘ladi, shu jumladan ta’lim oluvchilarda muloqot qilish va munozara olib borish madaniyati shakllanadi. Ta’lim oluvchilar o‘z fikrini faqat og‘zaki emas, balki yozma ravishda bayon etish mahorati, mantiqiy va tizimli fikr yuritish ko‘nikmasi rivojlanadi. Bildirilgan fikrlar baholanmasligi ta’lim 47“ АҚЛИЙ ҲУЖУМ ” методи Аниқ ва тўғри жавоб танлабoluvchilarda turli g‘oyalar shakllanishiga olib keladi. Bu metod ta’lim oluvchilarda ijodiy tafakkurni rivojlantirish uchun xizmat qiladi. “Aqliy hujum” metodi ta’lim beruvchi tomonidan qo‘yilgan maqsadga qarab amalga oshiriladi: 1. Ta’lim oluvchilarning boshlang‘ich bilimlarini aniqlash maqsad qilib qo‘yilganda, bu metod darsning mavzuga kirish qismida amalga oshiriladi. 2. Mavzuni takrorlash yoki bir mavzuni keyingi mavzu bilan bog‘lash maqsad qilib qo‘yilganda –yangi mavzuga o‘tish qismida amalga oshiriladi. 3. O‘tilgan mavzuni mustahkamlash maqsad qilib qo‘yilganda – mavzudan so‘ng, darsning mustahkamlash qismida amalga oshiriladi. O‘quv jarayonida pedagogik texnologiya lar dan foydalanishning usul va uslublari “Aqliy hujum” metodini qo‘llashdagi asosiy qoidalar: 1. Bildirilgan fikr-g‘oyalar muhokama qilinmaydi va baholanmaydi. 2. Bildirilgan har qanday fikr-g‘oyalar, ular hatto to‘g‘ri bo‘lmasa ham inobatga olinadi. 3. Har bir ta’lim oluvchi qatnashishi shart. Quyida (1-chizma) “Aqliy hujum” metodining tuzilmasi keltirilgan. 48Муаммоли савол берилади Фикр ва ғ оялар эшитилади ва жамлаб борилади Фикр ва ғ оялар гуру ҳ ланади 1-chizma. “Aqliy hujum” metodining tuzilmasi “Aqliy hujum” metodining bosqichlari quyidagilardan iborat: 1. Ta’lim oluvchilarga savol tashlanadi va ularga shu savol bo‘yicha o‘z javoblarini (fikr, g‘oya va mulohaza) bildirishlarini so‘raladi; 2. Ta’lim oluvchilar savol bo‘yicha o‘z fikr-mulohazalarini bildirishadi; 3. Ta’lim oluvchilarning fikr-g‘oyalari (magnitafonga, videotasmaga, rangli qog‘ozlarga yoki doskaga) to‘planadi; 4. Fikrlar ma’lum belgilar bo‘yicha guruhlanadi; 5. Y u qorida qo‘yilgan savolga aniq va to‘g‘ri javob tanlab olinadi. “ Aqliy hujum ” metodining afzalliklari:  natijalar baholanmasligi ta’lim oluvchilar da turli fikr-g‘oyalarning shakllanishiga olib keladi;  ta’lim oluvchilarning barchasi ishtirok etadi;  fikrlar vizuallashtirilib boriladi;  ta’lim oluvchilarning boshlang‘ich bilimlarini tekshirib ko‘rish imkoniyati mavjud;  ta’lim oluvchilarda mavzuga qiziqish uyg‘ot adi . “ Aqliy hujum ” metodining kamchiliklari:  ta’lim beruvchi tomonidan savolni to‘g‘ri qo‘ya olmaslik; 49  ta’lim beruvchidan yuqori darajada eshitish qobiliyatining talab etilishi. Hozirgi davrda mamlakatimizdagi ta’lim muassasalarida interfaol ta’limni tashkil etishda quyidagi eng ommaviy texnologiyalar qo‘llanilmoqda: Grafik organayzerlar: “Baliq skeleti”, “BBB”, “Konseptual jadval”, “Venn diagrammasi”, “Insert”, “Klaster”, “Nima uchun?”, “Qanday?” va b . Interfaol metodlar: “Keys-stadi” (“O‘quv keyslari”),“Blits-so‘rov”, “Modellashtirish”, “Ijodiy ish”, “Munosabat”, “Reja”, “Suhbat” va b. Strategiyalar: “Aqliy hujum”, “Bumerang”, “Galereya”, “Zig-zag”, “ Ulardan juda keng foydalaniladigan metodlar ichida“Aqliy hujum” alohida o‘ringa egadir. “Aqliy hujum” (brainstorming – aqllar to‘zoni) – amaliy yoki ilmiy muammolar echish g‘oyasini jamoaviy yuzaga keltirish usulidir. “Aqliy hujum” metodi ta’lim beruvchi tomonidan qo‘yilgan maqsadga qarab amalga oshiriladi: Mavzuni o‘qitishda “Aqliy hujum” usulining yozma va og‘zaki shakllaridan foydalanish mumkin. Og‘zaki shaklida ta’lim beruvchi tomonidan berilgan savolga 50• Таълим олувчиларнинг бошланғич билимларини аниқлаш мақсад қилиб қўйилганда, бу метод дарснинг мавзуга кириш қисмида амалга оширилади. • Мавзуни такрорлаш ёки бир мавзуни кейинги мавзу билан боғлаш мақсад қилиб қўйилганда-янги мавзуга ўтиш қисмида амалга оширилади. • Ўтилган мавзуни мустаҳкамлаш мақсад қилиб қўйилганда-мавзудан сўнг, дарснинг мустаҳкамлаш қисмида амалга оширилади. ta’lim oluvchilarning har biri o‘z fikrini og‘zaki bildiradi. Ta’lim oluvchilar o‘z javoblarini aniq va qisqa tarzda bayon etadilar. Yozma shaklida esa berilgan savolga ta’lim oluvchilar o‘z javoblarini qog‘oz kartochkalarga qisqa va barchaga ko‘rinarli tarzda yozadilar. Javoblar doskaga magnitlar yordamida yoki yordamida mahkamlanadi. “Aqliy hujum” usulidan foydalanilganda ta’lim oluvchilarning barchasini jalb etish imkoniyati bo‘ladi, shu jumladan ta’lim oluvchilarda muloqot qilish va munozara olib borish madaniyati shakllanadi. Ta’lim oluvchilar o‘z fikrini faqat og‘zaki emas, balki yozma ravishda bayon etish mahorati, mantiqiy va tizimli fikr yuritish ko‘nikmasi rivojlanadi. Bildirilgan fikrlar baholanmasligi ta’lim oluvchilarda turli g‘oyalar shakllanishiga olib keladi. Bu metod ta’lim oluvchilarda ijodiy tafakkurni rivojlantirish uchun xizmat qiladi. Xulosa Ushbu bitiruv malakaviy ishida funksional tenglamalarning muhim turlaridan biri bo’lgan chiziqli integral tenglamalar va ularni yechish usullaridan Fredgolm va ketma-ket o’rniga qo’yish usullari, shuningdek ularni o’rganish da zarur bo’ladigan chiziqli operatorlar hamda funsional qatorlar o’rganildi. Ishni bajarish jarayonida uning har bir paragrafidagi tushunchalar, ta’riflar va teorema- larga doir misollar ham o’rganilib, yechmlari bilan keltirildi. Bundan tashqari ishda oquv jarayonida foydalaniladigan pedagogik texnologiyalardan foydalanish va interfaol usullarning samaradorligi haqidagi mulohazalar bayon qilindi. 51 FOYDALANILGAN A DABIYOTLAR RO‘YXATI: 1.Sh.M.Mirziyoyev “Matematika sohasidagi ta’lim sifatini oshirish va ilmiy tadqiqotlarni rivojlantirish chora tadbirlari to’g’risida” nomli PQ-4708 qarori 2020 yil 7 may. 2.Ўзбекистон Республикасининг Қонуни, ЎРҚ-637-сон , 3-модда. Асосий тушунчалар, 23.09.2020 йил 3. T.A. Sarimsoqov “Funksional analiz kursi” , Toshkent, 1986 yil 4.А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин, «Элементы теории функций и функционального анализа», Москва 1988 г. 5. D.Z.Sayfiyeva “Chiziqli integral tenglamalar” , Toshkent, 2022 yil 6. Sh.T. Maqsudov “Chiziqli integral tenglamalar elementlari” , Toshkent, 1975 yil 7. Sh.O. Alimov, R.R.Ashurov, Matematik tahlil , Toshkent, 2012 y. 8. Sh.A. Ayupov, M.A. Berdiqulov, R.M. Turg‘unboyev, Funksional analiz Toshkent, 2008 y. 9. Abdullayev J.I., G’anixo‘jayev R.N., Shermatov M.H., O.I.Egamberdiyev. Funksional analiz va integral tenglamalar , Toshkent , 2 013 y. 10. У.В. Ловитт. Линейные интегральные уравнения , Москва-Ленинград. 1933 г. 52 53

CHIZIQLI INTEGRAL TENGLAMALAR MUNDARIJA KIRISH .............................................................................................. ... .6 I BOB. CHIZIQLI INTEGRAL TENGLAMALAR. 1.1-§ C hiziqli integral tenglamalar va operatorlar . Asosiy tushunchalar…. .. .... . 9 1.2-§ Funksional qatorlar haqida asosiy tushunchalar. Misollar .............. … … 1 6 II - BOB. CHIZIQLI INTEGRAL TENGLAMALARNI YECHISHNING USULLARI 2.1-§ . Integral tenglamalarni Fredholm usuli bilan yechish . Misollar................ .2 8 2.2 -§ Ketma-ket o`rniga qo`yish usuli. Misollar…………………………………42 III-BOB. OLIY TA’LIMDA DARS JARAYONIDA P EDAGOGIK TEX - NOLOGIYALAR FOYDALANISH . 3.1 -§. Dars jarayonida foydalani ladigan pedagogik texnologiyalar … ………….50 3.2 -§. Ayrim interfaol usullardan foydalanish……………………………………54 XULOSA .................................................................................................. ..... ......5 9 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI ............................. ...........60

KIRISH Bitiruv ishi mavzusining dolzarbligi va uning asoslanishi. So‘nggi yillarda respublikamizda matematika fani va ta’limini rivojlantirishga alohida e’tibor qaratildi va bu jarayon malakali mutaxassislar tayorlashda, fan, texnika va ishlab chiqarish taraqqiyotida muhim ahamiyatga ega. Shu o‘rinda Prezidentimiz Sh.M.Mirziyoyevning 2020-yil 7-may dagi “Matematika sohasidagi ta’lim sifatini oshirish va ilmiy tadqiqotlarni rivojlantirish chora tadbirlari to‘g’risida” nomli PQ- 4708 qarori1 asosiy hujjatlardan biri ekanligini ta’kidlash joiz. Unda “Ta’limning barcha bosqichlarida matematika fanini o‘qitish tizimini yanada takomillashtirish va matematika sohasidagi ta’lim sifatini oshirish” bo‘yicha dolzarb vazifalar belgilab berilgan [1]. Zero, “ta’lim — ta’lim oluvchilarga chuqur nazariy bilim, malakalalar va amaliy ko‘nikmalar berishga, shuningdek, ularning umumta’lim va kasbiy bilim, malaka hamda ko‘nikmlarini shakllantirishga, qobiliyatini rivojlantirishga qaratilgan tizimli jarayon” ekanligi 637–sonli O‘zbekiston Respublikasi Qonuni 3-moddasida alohida ko‘rsatib o‘tilgan [2]. Funktsional tenglamalar uzoq vaqt davomida matematiklarning asarlarida muhim o'rin tutgan. So'nggi paytlarda matematiklarning e'tibori, ayniqsa, integral tenglamalar deb ataladigan funktsional tenglamalarning maxsus turiga qaratildi, ya'ni noma'lum funktsiya integral belgisi ostiga kiradigan tenglamalar. Kvant mexanikasi, qattiq jismlar nazariyasi va statistik fizika masalalarini yechish ko‘p hollarda integral tenglamalar yechimlari xossalarini tadqiq qilish masalasiga keltiriladi. Integral tenglamalarni yechish usullarini o’rganish muhim masalalardan biridir. Taniqli shved olim Fred g olm birinchi marta (1900) ikkinchi turdagi integral tenglamalarning to'liq nazariyasini ishlab chiqdi. Umuman olganda, parametrli ikkinchi tur chiziqli integral tenglamaning yechimi uch xil usul yordamida va bundan tashqari uch xil shaklda olingan. Birinchi usul Fredgolmga tegishli bo’lib, yechimni har birining yaqinlashish radiusi cheksiz bo'lgan ikkita butun qatorning 2

nisbati shaklida beradi (maxraj noldan farqli bo’lganda), ikkinchi usul - ya'ni ketma-ket o’rniga qo’yish usuli orqali yechim topiladi (Neyman, Liuvill va Volterra tomonidan ishlab chiqilgan) va uchinchi usul odatda yechimni mos bir jinsli tenglamaning yechimlari bo'lgan fundamental funktsiyalar orqali ifodalalaydi (Hilbert va Shmidt tomonidan ishlab chiqilgan). Ushbu bitiruv malakaviy ishida chiziqli integral tenglamalar va integral operatorlar, funksional qatorlar va integral tenglamalarni yechishning Fredgolm va ketma-ket o‘rniga qo’yish usullari o’rganildi. Shuningdek, o’quv mashg’ulotlarida pedagogik texnologiyalardan foydalanish samaradorligi tadqiq qilindi. Bitiruv ishining ob’ekti. Chiziqli integral tenglamalar, ularni yechish usullari va ta’lim jarayonida pedagogik texnologiyalar ning mavjudligi. Bitiruv ishining predmeti. Funksional tenglamalar hisoblangan integral tenglamalar va ularni yechish usullarining ilmiy asoslanganligi bilan belgilanadi. Bitiruv ishining maqsadi va vazifalari . Bitiruv malakaviy ishining maqsadi chziqli integral tenglamalar va integral operatorlar nazariyasi, integral tenglamalarni yechishning Fredgolm usulini uni tadqiq qilishda zarur bo’lgan funsional qatorlar, xususan darajali qatorlarni va ketma-ket o’rniga qo’yish usulini o’rganish bo’lib, ilmiy tadqiqod ishlarida ularning qo’llanilishini va ushbu mavzularinining mohiyatini.o’quv dasturiga kiritilgan ta’lim yo’nalishlari talabalariga ochib berish asosiy vazifa hisoblanadi. Bitiruv ishini tayyorlashda foydalanilgan adabiyotlarni o‘rganish darajasini qisqacha tahlili. BMI ning ilmiy va metodologik asoslarini ishlab chiqishda O’zbekistonlik olimlardan T.A. Sarimsoqov “Funksional analiz kursi” (1986 yil), D.Z.Sayfiyeva “Chiziqli integral tenglamalar” (2022 yil), Sh.T. Maqsudov “Chiziqli integral tenglamalar elementlari” (1975 yil), Sh.O. Alimov, R.R.Ashurov, Matematik tahlil (2012), Sh.A. Ayupov, M.A. Berdiqulov, R.M. Turg‘unboyev, Funksional analiz (2008), Abdullayev J.I., G’anixo‘jayev R.N., Shermatov M.H., O.I.Egamberdiyev. Funksional analiz va integral tenglamalar. 3

Toshkent. (2013) hamda xorijiy adabiyotlar А . Н . Колмогоров , С . В . Фомин , « Элементы теории функций и функционального анализа », ( Москва 1988 г .) va У . В . Ловитт . Линейные интегральные уравнения. (Москва-Ленинград. 1933) kabi kitoblardagi ma ’ lumotlarga asoslanildi [3-10] . Bitiruv ishining nazariy va amaliy ahamiyati. Chiziqli integral tenglamalar nazariyasi bo’yicha nazariy va amaliy bilimlarni ilmiy asoslanganligini anglagan holda ularni ilmiy tatqiqot ishlarini bajarishga tatbiq qilish muhim ahamiyat kasb etadi. Bitiruv ishi tuzilmasining tavsifi. Bitiruv malaka ishi kirish, uch bob, 6 ta paragraf, xulosa va foydalanilgan adabiyotlardan tashkil topgan bo‘lib 60 betdan iborat. 4

I BOB. CHIZIQLI INTEGRAL TENGLAMALAR. UMUMIY TUSHUN- CHALAR 1.1-§ C hiziqli integral tenglamalar va operatorlar. Asosiy tushunchalar. 1. Fredgolm va Volterra integral tenglamalari Funksional fazoda (masalan, biror tenglama berilgan bo‘lib, noma’lum element funksiyadan iborat bo‘lsa, bunday tenglama funksional tenglama deyiladi. Agar funksional tenglamada noma’lum funksiya integral ostida bo‘lsa, u holda tenglama integral tenglama deyiladi. Masalan, tenglama ga nisbatan integral tenglamadir, bu yerda berilgan funksiyalar. Integral tenglamadagi ifoda noma’lum funksiyaga nisbatan chiziqli bo‘lgan holda tenglama chiziqli integral tenglama deyiladi. Quyidagi tenglamalar chiziqli integral tenglamalarga misol bo‘ladi: Bu yerda noma’lum funksiya, va ma’lum funksiyalar. (1.1) va (1.2) tenglamalar mos ravishda birinchi va ikkinchi tur Fredholm tenglamalari deyiladi. Х ususan, funksiya qiymatlar uchun shartni qanoatlantirsa, u holda (K.1) va (K.2) tenglamalar mos ravishda (1.3 ) (1.4) ko‘rinishlarga ega bo‘ladi. Bunday tenglamalar birinchi va ikkinchi tur Volterr tenglamalari deyiladi. Volterr tenglamalari Fredholm tenglamalarining х ususiy holi bo‘lsada, ular alohida o‘rganiladi, chunki Volterr tenglamalari o‘ziga х os bo‘lgan bir qator muhim х ossalarga ega. 5

O'xshashlar

Birinchi tartibli differensial tenglamalar, yuqori tartibli differensial tenglamalar, chiziqli o‘zgarmas koeffisentli differensial tenglamalar.
Parametrga bog’liq chiziqli tenglamalar sistemasini yechish algoritmi.
Chiziqli differensial tenglamalar sistemasini matritsaviy usulda yechish
Logarifmik tenglamalar va tengsizliklar
ELASTIKLIK NAZARIYASI MASALASINI ARALASH CHEKLI ELEMENTLAR METODI YORDAMIDA YECHISHNING ASOSIY MUNOSABATLARI