Maxsuslikni yo'qotish haqidagi teoremalar. Luivill teoremasi. Regulyar funksiyalarning yakkalangan maxsus nuqtalari. Butun va meromorf funksiyalar Reja: 1. Bir nuqtadagi maxsuslikni yo’qotish haqidagi teorema. 2. Liuvill teoremasi. 3. Regilyar funksiyalarning yakkalangan maxsus nuqtalari va ularning xillari. 4. Butun va meromorf funksiyalar. 133

Bir nuqtadagi maxsuslikni yo’qotish haqidagi teorema. 1 - Teorema. Agar funksiya biror D sohaning nuqtasidan tashqari qolgan barcha nuqtalarida regulyar bo’lib, bo’lsa, bu yerda , u holda funksiya D sohada regulyardir. Isbot. Umumiylikni kamaytirmasdan D sohaning chegarasi biror bo’lakli-silliq yopiq Jordan chizig’idan iborat bo’lib, unda funksiya regulyar deb faraz qilamiz, a nuqtaning shunaqa atrofini olamizki, bo’lsin, belgilaymiz. U holda funksiya yopiq sohada regulyar bo’ladi. Ixtiyoriy uchun ko’p bog’lamli sohalar uchun Koshining integral formulasiga binoan (17.1) Ikkinchi integralni baholaymiz. 17.1-Teorema shartiga muvofiq shunaqa ketma-ketlikni tanlaymizki, (17.2) bo’lsin. Ikkinchi integralda deb olib va (17.2) munosabatdan foydalanib, uni modul bo’yicha quyidagicha baholash mumkin: Demak, (17.1) da deb olib, limitga o’tsak, u holda (17.3) tenglikni hosil qilamiz. Regulyar funksiyaning cheksiz differensiallanuvchanligi haqidagi teoremaga ko’ra (17.3) munosabatning o’ng tomonidagi funksiya sohada regulyardir. U holda (17.3) integral 134

funksiyaning sohadan sohaga analitik davomidan iborat ekan. 17.1-Teorema isbot bo’ldi. 1 - Misol . Agar shartni kamaytirsak, u holda teorema o’rinli bo’lmaydi. Masalan, bo’lgani uchun, bu funksiyani nuqtaga analitik davom ettirib bo’lmaydi. .2. Luivill teoremasi. 2-Teorema (Liuvill). Agar funksiya butun kompleks tekislik da regulyar bo’lib, shart bajarilsa, u holda u darajasi dan oshmaydigan ko’phaddir, bunda . Isbot . Hosilalar uchun Koshining integral formulasiga ko’ra . (17.4) Teorema shartiga binoan shunaqa ketma-ketlik mavjudki, . (17.5) (17.4) munosabatda deb olib, uning o’ng tomonini modul jihatdan baholaymiz: Demak, . funksiyaning boshlang’ich funksiyasi bo’lib, bu yerdan va 2 -teorema isbot bo’ldi. 135

.3. Regulyar funksiyalarning yakkalangan maxsus nuqtalari va ularning xillari. .1-Ta’rif. Agar funksiya biror halqaga regulyar bo’lib, nuqtada aniqlanmagan bo’lsa, u holda nuqta funksiyaning yakkalangan maxsus nuqtasi deyiladi. funksiyaning nuqta atrofidagi xarakteriga qarab yakkalangan maxsus nuqtalar uch xilga ajraladi. . Agar bo’lsa, u holda yakkalangan maxsus nuqta yuqotilib bo’ladigan (yoki bartaraf qilinadigan) maxsus nuqta deyiladi. Bu holda, agar deb olsak, bu funksiya nuqtada ham regulyar bo’ladi. Haqiqatan ham, bu holda shart nuqta atrofida bajariladi va shuning uchun funksiyani nuqtaga analitik davom ettirish mumkin. Agar bo’lsa, u holda yakkalangan maxsus nuqta qutb maxsus nuqta deb aytiladi. Agar mavjud bo’lmasa, u holda yakkalangan maxsus nuqta muhim maxsus nuqta deyiladi. 17.2-Ta’rif. Agar funksiya nuqtaning biror atrofida ifodalanib, bu yerda nuqtada regulyar va bo’lsa, u holda nuqta funksiya uchun n-tartibli nol deyiladi. 17.3-Ta’rif. Agar funksiya nuqtaning biror atrofida ifodalanib, bunda nuqtada regulyar va bo’lsa, u holda nuqta funksiyaning n-tartibli noli deyiladi. 17.4-Ta’rif. funksiyaning nuqtadagi nolining tartibiga funksiyaning nuqtadagi qutbining tartibi deyiladi. 136

Birinchi tartibli nol yoki qutb oddiy nol yoki qutb deyiladi.Agar bo’ib, funksiya shu nuqtada regulyar bo’lsa, u holda n-tartibli nolning quyidagi alomati o’rinli: nuqtaning funksiya uchun n- tartibli nol bo’lishligining zaruriy va yetarli sharti munosabatdan iborat. 17.1-Lemma . Agar va funksiyalar nuqtada regulyar bo’lsa, u holda funksiya shu nuqtada yo regulyar yoki nuqta bu nisbat uchun qutb maxsus nuqta bo’ladi (Isbotlang!). 17.4. Butun va meromorf funksiyalar. 17.5-Ta’rif. Butun kompleks tekislikda regulyar funksiya butun funksiya deyiladi. Masalan, butun funksiyalardir. 17.6-Ta’rif. Agar funksiya G sohaning har bir yopiq qismida chekli sondagi qutblardan tashqari regulyar bo’lsa (qutblar soha chegarasi atrofida to’planishi mumkin), u holda bu funksiya G sohada meromorf funksiya deyiladi. Masalan, funksiyalar butun kompleks tekislikda meromorf funksiyalardir. Yangi mavzuni mustahkamlash (10 daqiqa): Talabalardan mavzu yuzasidan savol-javob o’tkazish, oson yechiladigan misollar so’rash, tushinilmagan tasdiq, teorema va formulalarni qayta izohlash va misollar asosida tushuntirish. Uy vazifa berish va baholash (5 daqiqa): Mavzuni o’qish va konspektlashtirish, mavzudagi tayanch iboralarni yodlash va mohiyatini 137