Nostasionar jarayonlarning matematik modeli va uni hisoblash matematikasi usullari bilan yechish.

Yuklangan vaqt:

29.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

437.353515625 KB

Ko'chirib olish

Mavzu: Nostasionar jarayonlarning matematik modeli va uni
hisoblash matematikasi usullari bilan yechish.
Mundarija
Kirish
I BOB STATSIONAR VA NOSTATSIONAR MODELLAR

1.1 . Statsionar modellar va nostatsionar modellar .
1.2 . Statsionar va statsionar bo'lmagan tasodifiy jarayonlar.
II BOB MATEMATIK FIZIKA TENGLAMALARINI
NOSTATSIONAR JARAYONLARDA TAQRIBIY YECHISH
USULLARI
2.1. Tor tebranish tenglamasini keltirib chiqarish. Asosiy boshlang`ich
chegaraviy masalalarning qo`yilishi.
2.2. Tor tebranish tenglamasi uchun Koshi masalasi.
2.3.Bir uchidan chegarlangan torning tebranish tenglamasi uchun
Koshi masalasi
2.4.Tor tebranish tenglamasi uchun aralash masala.
III.XULOSA
IV.FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1

Kirish
Insoniyatni farovon hayot shartsharoitlarini yaratish, tabiiy ofatlarni
oldindan aniqlash muammolari qadimdan qiziqtirib kelgan. Shuning uchun ham
insoniyat tashqi dunyoning turli hodisalarini o`rganishi tabiiy holdir.
Aniq fan sohasi mutaxassislari u yoki bu jarayonning faqat ularni
qiziqtirgan xossalarinigina o`rganadi. Masalan, geologlar yerning rivojlanish
tarixini, ya`ni qachon, qaerda va qanday hayvonlar yashaganligi, o`simliklar
o`sganligi, iqlim qanday o`zgarganligini o`rganadi. Bu ularga foydali qazilma
konlarini topishlarida yordam beradi. Lekin ular yerda kishilik jamiyatining
rivojlanish tarixini o`rganishmaydi bu bilan tarixchilar shug`ullanadi.
Atrofimizdagi dunyoni o`rganish natijasida noaniq, va to`liq bo`lmagan
ma`lumotlar olinishi mumkin. Lekin bu koinotga uchish, atom yadrosining sirini
aniqlash, jamiyatning rivojlanish qonunlarini egallash va boshqalarga xalaqit
etmaydi. Ular asosida o`rganilayotgan hodisa va jarayonning modeli
yaratiladi. Model ularning xususiyatlarini mumkin qadar to`laroq akslantirishi
zarur.
Modelning taqribiylik xarakteri turli ko`rinishda namoyon bo`lishi
mumkin. Masalan, tajriba o`tkazish mobaynida foydalaniladigan asboblarning
aniqdigi olinayotgan natijaning aniqligiga ta`sir etadi.
Nostatsionar jarayonlarga vaqt qatnashmaydigan jarayonlar yani to’lqin
tarqalish tenglamalari kiradi matematik modelni ifodalovchi tenglamalarda vaqtni
ifodalovchi ko’rsatkichi qatnashmaydi.
Matematik fizika tenglamalari fani klassik mexanika, fizika,
gidrodinamika, akustika va boshqa sohalarda sodir bo'ladigan jarayonlarning
matematik modellarini yaratish va bu masalalarni yechish usullarini qurish bilan
uzviy bog'liq. Bu modellashtirish muayyan jarayordarni ifodalovchi fizikaviy
kattaliklar asosida tenglamalarni keltirib chiqarish bilan xarakterlanadi.
Kurs ishi tuzilishi: Statsionar va nostatsionar jarayonlar farqlanishi, matematik
fizik tenglamalarni nostatsionar jarayonlarda tarqribiy yechimlarni topish.
Nostatsionar jarayonlarda matematik tenglamalrni taqribiy yechish tor
tebranish tenglamalarini keltirib chiqarish, asosiy boshlang’ich chegaraviy
masalalarning qo’yilishi, Koshi masalasi, bir uchidan chegaralangan torning
tebranish tenglamasi uchun Koshi masalasi, tor tebranish tenglamasi uchun
arqalash masalalarni yechimini o’rganish va uni tatbiq qilish.
2

I BOB : STATSIONAR VA NOSTATSIONAR MODELLAR
1.1 Statsionar modellar va nostatsionar modellar
Nostatsionar modellar bu modellarda qaralayotgan jarayon vaqt bo’yicha
turg’unlashgan deb qaraladi , ya‘ni matematik modelni ifodalovchi tenglamalarda
vaqtni ifodalovchi ko’rsatkichi qatnashmaydi. Modelda qatnashuvchi
ko’rsatkichlar, parametrlarning bir qismi yoki barchasi faqat fazoviy o’lchovlarga
bog’liq bo’ladi. Bunday modellarga misol qilib inshoot devoridan o’tuvchi
statsionar issiqlik oqimi tenglamasi , qurilish to’sinlarining statsionar egilishi va
buralishi tenglamalarini keltirish mumkin. Statsionar modellar algebraik
tenglamalar , oddiy differentsial tenglamalar yoki ularning tizimsi kabi
ifodalanadi.
Statsionar modellar bu modellarda jarayon ko’rsatkichlari vaqtga bog’liq
deb qaraladi. Umumiy holda esa , bu ko’rsatkichlar fazoviy o’lchovlarga ham
bog’liq bo’lishi mumkin. Bunday modellarga qurilish inshootlarida
nostatsionar issiqlik oqimi tenglamalari , tebranish jarayonlarining tenglamalari ,
diffuziya tenglamalarini misol qilib ko’rsatish mumkin. Nostatsionar jarayon o’zi
va hosilalari vaqtga bog’liq funktsiya qatnashgan differentsial tenglama
yoki shunday tenglamalar tizimsi , xususiy hosilali differentsial tenglamalar
yordamida yoziladi.
Stasionar modellar algebraik tenglamalar, oddiy differensial tenglamalar
yoki ularning sistemasi kabi ifodalanadi. Bu modellarda jarayon ko`rsatkichlari
vaqtga bog`liq deb qaraladi. Umumiy holda esa, bu ko`rsatkichlar fazoviy
o`lchovlarga xam bog`liq bo`lishi mumkin. Bunday modellarga qurilish
inshootlarida nostasionar issiqlik oqimi tenglamalari, tebranish jarayonlarining
tenglamalari, diffuziya tenglamalarini misol qilib ko`rsatish mumkin. Nostasionar
jarayon o`zi va xosilalari vaqtga bog`liq funksiya qatnashgan differensial
tenglama yoki shunday tenglamalar sistemasi, hususiy xosilali differensial
tenglamalar yordamida yoziladi.
1.2. Statsionar va statsionar bo'lmagan tasodifiy jarayonlar.
Tor ma'noda statsionar tasodifiy jarayonlar, agar uning ehtimollik zichligi
ixtiyoriy tartibda bo'lsa va vaqt o'qi bo'ylab barcha nuqtalar guruhining har
qanday siljishi bilan o'zgarmasa, ya'ni. tenglik rost bo'lsa, statsionarlik
tenglamasi.
3

Statsionar jarayon uchun vaqt ko'rsatkichi o'zgarganda ehtimollik zichligi
o'zgarmaydi. Agar shunday tenglama qanoatlansa, u holda turli xarakteristikalar
uchun xuddi shunday tenglikni yozishimiz mumkin.
Statsionar tasodifiy jarayonning moment va korrelyatsiya funktsiyalarining
raqamli qiymatlari:
Shunday qilib, tasodifiy statsionar jarayon uchun n-o'lchovli ehtimollik
zichligi, n-o'lchovli momentlar va korrelyatsiya funktsiyalari n ga emas, balki
vaqtning (n-1) nuqtalariga bog'liq, chunki vaqtning tanlangan nuqtalaridan birini
olish mumkin. kelib chiqishi sifatida.
- birinchi tartibli moment funksiyasi;
Dispersiya.
Keng ma'noda statsionar tasodifiy jarayonlar, agar uning matematik
kutilishi doimiy bo'lsa (vaqtga bog'liq bo'lmasa) va korrelyatsiya funktsiyasi faqat
elementlarning farqiga bog'liq bo'lsa.
Keng ma'noda statsionarlik tor ma'nodagi statsionarlikka o'xshamaydi,
lekin tor ma'noda statsionar jarayonlar keng ma'noda statsionar bo'ladi, lekin
aksincha emas.
II BOB MATEMATIK FIZIKA TENGLAMALARINI TAQRIBIY
YECHISH USULLARI
4

2.1.Tor tebranish tenglamasini keltirib chiqarish. Asosiy boshlang`ich
chegaraviy masalalarning qo`yilishi.
Tekislikda, Ox o‘qi bo'yicha uchlari mahkamlangan uzunligi l ga teng bo‘lgan
torni (ingichka, elastik ipni) qaraylik.
Ingichka — bu torning ko'ndalang kesimi uning uzunligiga nisbatan cheksiz
kichik miqdor, egiluvchan deganda tor uzunligining o'zarishiga bog`liq
bo`lmagan holda shaklini o‘zgarishiga torning hech qanday qarshilik qilmasligi
tushuniladi. Bu tushunchalarning matematik ma’nosi — torda sodir bo`ladigan
T(x) taranglik kuchi doimo uning oniy uzunligiga o‘tkazilgan normal bo‘yich a
yo‘nalgan bo‘ladi. Faraz qilaylik, Ox o‘q bo‘yicha torning uchlariga qarama-
qarshi tomonlarga yo'nalgan T
0 taranglik kuchi qo'yilgan bo‘lsin. Agar tor tashqi
kuchlar ta’sirida muvozanat holatidan chiqarilsa, u holda tor tebranma harakat
qiladi. Bunda torning muvozanat holatidagi N(x) nuqtasi t vaqtda M holatga
o‘tadi (1-shakl).
1-shakl
Tor tebranish tenglamasini keltirib chiqarish uchun quyidagilarni talab
qilamiz:
1) torning barcha nuqtalari bir tekislikda Ox o‘qiga perpendikulyar tebransin, ya'ni
tor ko‘ndalang tebransin;
2) torning kichik tebranishlari hisobga olinsin;
3) og'irlik kuchining ta`siri inobatga olinmasin, ya`ni taranglik kuchi shunchalik
kattaki, buning natijasida og‘irlik kuchining ta'siri sezilmaydi.
5

Torning tebranishi bir tekislikda sodir bo'layotgani uchun torning
tebranish qonuni, ya'ni muvozanat holatidan og‘ishi N M ikki o‘zgaruvchili bitta
u(x,t) funksiya orqali ifodalanadi. Bunda u - torning t vaqtdagi abssissasi x
bo‘lgan N nuqtasining M nuqtagacha muvozanat holatidan N M og'ishi.
Agar torning kichik tebranishini inobatga olsak, u holda u(x, t) funksiya ham
kichik va etarlicha silliq torning x nuqtasiga t vaqtda o'tkazilgan urinmaning
burchak koeffitsiyenti u
x ( x , t ) ham kichik bo'ladi.
Torning tebranishi shunchalik kichik-ki bunda;
bo`lsin. Bu torning kichik tebranishlarida uning uzunligini o'zgarmasligini
bildiradi. Haqiqatdan ham, t vaqtda torning M K yoyining uzunligi
formula bilan aniqlanadi.
Demak, torning kichik tebranishlarida uning uzunligi o‘zgarmaydi. U holda
Guk qonuniga ko‘ra taranglik koeffitsiyenti T vaqtga ham x ga ham bog‘liq
emas va u torning barcha nuqtalarida bir xil T
0 ga teng.
Endi tor tebranish tenglamasini keltirib chiqaraylik. Buning uchun torning M
K bo‘lakchasini ajratib olamiz va bunga ta'sir qilayotgan kuchlarni koordinata
o'qlariga proeksiyasini tushiramiz. Dalamber prinsipiga asosan, barcha kuchlar
proeksiyalarining yig‘indisi, inersiya kuchini hisobga olganda nolga teng
bo‘ladi. Taranglik kuchining gorizantal o'qdagi proeksiyalarining yig‘indisi
bu yerda
6

Endi taranglik kuchini vertikal o'qqa proeksiyasini qaraylik:
kelib chiqadi.
Torning ko‘ndalang tebranishlari qaralayotgani uchun inersiya kuchi va
tashqi kuchlar Ou o'qiga parallel yo'nalgan. Shuning uchun ularning Ou o'qdagi
proeksiyasini topamiz.
Faraz qilaylik, p(x,t) - torning M K bo'lagiga ta'sir qilayotgan uzluksiz tashqi
kuch, p(x) esa torning uzluksiz chiziqli zichligi bo'lsin. U holda tashqi
kuchlarning Ou o‘qiga proeksiyasi
bo‘ladi. Torning zichligi p(x) bo'lgani uchun uning MK bo‘lagining massasi
ga teng .
Nyuton qonuniga ko‘ra inersiya kuchi
formula bilan aniqlanadi.
U holda barcha kuchlaming Ou o ‘qdagi proeksiyasi
formula bilan ifodalanadi.
7

Bu tenglikni ∆x≠ 0 ga qisqartirib, so‘ngra ∆ →
0 limitga o‘tsak,
(1)
torning majburiy tebranish tenglamasiga ega bo’lamiz.
Agar tor bir jinsli bo'lsa, ya’ni p(x) = const , u holda (1) tenglama quyidagi
(2)
ko'rinishga keladi. Bu erda
Agar (1) yoki (2) tenglamada tashqi kuchlar qatnashmasa, ya’ni p(x, t) = 0 ,
bo‘lsa, u holda (2) tenglama ushbu
(3)
ko‘rinishga keladi.
Oxirgi (3) tenglama bir jinsli torning erkin tebranish tenglamasi deyiladi. Bu
tenglama bir o'lchovli to'lqin tarqalish tenglamasi deb ham yuritiladi.
Sterjenning bo‘ylama tebranishlari, trubkadagi gazning tebranishlari va boshqa
tebranma harakatlar (1) ko‘rinishdagi tenglama orqali ifodalanadi.
Asosiy boshlang‘ich-chegaraviy masalalarning qo‘yilishi.
Xususiy hosilali (1) tenglamaning koeffitsientlari va ozod hadiga qo'yilgan
ma’lum shartlarga ko‘ra cheksiz ko‘p xususiy yechimlarga ega bo‘ladi. Shuning
uchun (1) tenglamaning o‘zi qaralayotgan tor tebranishini to'liq aniqlash uchun
etarli emas. Masalaning fizik mohiyatidan kelib chiqqan holda qo'shimcha
shartlarning bajarilishi talab qilinadi. Fizikadan ma'lumki, nuqtaning harakatini
aniqlash uchun uning boshlang'ich holati va boshlang'ich tezligini bilish kifoya.
Shuning uchun ham, tor harakatini aniqlash uchun t=0 da uning boshlang'ich
holati va boshlang'ich teziligini bilish etarli bo‘ladi, ya’ni
8

(4)
Bu boshlang‘ich shartlar yoki Koshi shartlari deyiladi.
Torning uchlari mahkamlangan yoki mahkamlanmagan bo`lishi mumkin.
Uchlari mahkamlangan tor uchun quyidagi shartlar o'rinli bo'ladi:
(5)
bu yerda T > 0, l - torning uzunligi.
Bu (5) ko‘rinishdagi shartlar chegaraviy shartlar deb yuritiladi.
Shunday qilib, uchlari mahkamlangan torning harakatini aniqlash
to‘g‘risidagi fizikaviy masala quyidagi matematik masalaga keltirildi: xususiy
hosilali (1) differensial tenglamaning (4) boshlang‘ich va (5) chegaraviy
shartlarni qanoatlantiruvchi u(x,t) yechimi topilsin.
Bu masala tor tebranish tenglamasi uchun birinchi aralash masala deyiladi.
Agar torning uchlari mahkamlanmagan bo'lsa, ya'ni bu uchlar biror qoida
asosida harakatlansa, u holda (5) chegaraviy shartlar quyidagi
shartlarga almashadi.
Boshqa turdagi chegaraviy shartlarni ham olish mumkin. Chegaraviy shartlar
uch xil turga bo’linadi:
1) BIRINCHI TUR CHEGARAVIY SHARTLAR:
(6)
Bu shart torning uchlari Ox o‘qiga vertikal holda μ
1 ( t )
va μ
2 ( t )
funksiyalar
bilan berilgan qoida asosida harakatlanishini bildiradi.
2) IKKINCHI TURDAGI CHEGARAVIY SHARTLAR:
Bunda chegaraviy shartlar quyidagicha ifodalanadi:
9

(7)
Bu (7) shartlar torning uchlariga v
1 ( t ) va v
2 ( t ) ma'lum kuchlar qo‘yilganini
anglatadi.
3) UCHINCHI TURDAGI CHEGARAVIY SHARTLAR:
(8 * )
(8)
bu yerda , - berilgan funksiyalar, ixtiyoriy t ∈
[0, T ] da
yetarlicha uzluksiz va
(8) chegaraviy shartlar torning uchlari elastik mahkamlanganligini ifodalaydi.
Agar (6) - (8) chegaraviy shartlarda berilgan funksiyalar
nolga teng bo‘lsa, u holda bunday chegaraviy shartlar bir jinsli chegaraviy
shartlar deyiladi.
Endi ikkinchi va uchinchi tur chegaraviy shartlarni sharhlashga harakat
qilaylik. Buning uchun bir uchi shiftga mahkamlangan, ikkinchi uchi erkin
harakatlanuvchi sterjenning bo‘ylama tebranishi haqidagi masalani qaraylik.
Sterjenning erkin uchining harakat qonuni berilmagan bo‘lsin. Agar sterjenning
mahkamlangan uchi x = 0 da uning og‘ishi u(0, t) = 0 , erkin uchi x=l da esa
uning tarangligi nolga teng, ya’ni
Sterjenga tashqi kuchlarning ta`siri yo`qligi sababli, uning erkin harakat
qiluvchi uchida chegaraviy shart quyidagi
ko'rinishda bo'ladi.
Agar prujinaning x = 0 uchi ma’lum h(t) qonun asosida harakatlansa, x=l
uchiga esa v(t) kuch osilgan bo'lsa, u holda chegaraviy shartlar
10

ko‘rinishda beriladi.
Agar prujinaning x =l uchi elastik mahkamlangan bo`lsa, u holda prujinaning
erkin harakatlanuvchi uchida chegaraviy shart ushbu ko‘rinishda beriladi:
bu yerda . Bu holda prujinaning x=l uchi ko‘chishi mumkin,
lekin mahkamlangan nuqtadagi elastiklik kuchi shu uchida ko‘chgan uchining
boshlang‘ich holatga qaytarishga intiluvchi taranglik kuchini yuzaga keltiradi.
Guk qonuniga ko‘ra, berilgan kuch u(l,t) ko‘chishga proporsional, bunda
proporsionallik koeffisiyenti m ahkamlangan nuqtadagi bikrlik koeffitsiyenti
deyiladi.
Agar elastik mahkamlangan x=l uchi ko'chsa va uni boshlang'ich holatidan
chetlanishi 0(t) funksiya bilan aniqlansa, u holda chegaraviy shart quyidagi u
x
ko'rinishda bo'ladi. Taranglik kuchi T (0, t ) ¿
- ku
x (0, t ) ni e’tiborga olsak, x= 0,
ya’ni chap tomonda elastik mahkamlanganlik sharti
,
bo‘ladi.
Ta’kidlash mumkinki, qattiq mahkamlangan holda (a yetarlicha katta), ya’ni
uchlarning katta bo'lmagan ko‘chishlarda katta taranglik vujudga keladi, u holda
chegaraviy shart
birinchi tur chegaraviy shartga o ‘tadi.
Elastik mahkamlangan holda (a kichik), ya’ni uchlarning katta ko‘chishlarda
kichik taranglik vujudga keladi.
Bu holda (9) chegaraviy shart ikkinchi tur chegaraviy
shartga o ‘tadi (tor erkin uchining sharti).
Agar torning ikkala uchida ikkinchi yoki uchinchi chegaraviy shartlar
olinsa, u holda bunday masalalar giperbolik tipdagi tenglama uchun ikkinchi
yoki uchinchi chegaraviy masala deb yuritiladi.
11

Agar torning x = 0 va x = l uchlarida turli tipdagi chegaraviy shartlar bilan birga
t = 0 boshlang‘ich shart berilsa, bunday masalalar aralash masalalar deyiladi.
2.2. Tor tebranish tenglamasi uchun Koshi masalasi.
Mexanika va fizikaning tebranish jarayonlari bilan bog‘liq bir qator
masalalar giperbolik tipdagi tenglama bilan ifodalanadi. Quyida biz tor tebranish
tenglamasi uchun Koshi masalasining qo'yilishi, D'alamber formulasi va uning
fizikaviy talqini,
Koshi masalasi yechimining turg‘unligini isbotlaymiz. Shu bilan birga bir jinsli
bo'lmagan tor tebranish tenglamasi uchun Koshi masalasi yechimni keltiramiz.
Koshi masalasining qo‘yilishi.
Eng sodda giperbolik tipdagi tenglama ushbu
(1)
ko'rinishda bo'lib, u tor tebranish tenglamasi yoki to‘lqin tarqalish tenglamasi
deyiladi.
To'lqin tarqalish nazariyasida Koshi masalasi muhim o‘rin egallaydi. (x,t)
tekislikdagi biror
sohada (1) tor tebranish tenglamasini qaraylik.
Ta’rif . Agar u(x,t) funksiya D sohada aniqlangan uzluksiz va ikki marta
uzluksiz differensiallanuvchi bo`lib, shu sohada (1) tenglamani qanoatlantirsa,
bu funksiya tor tebranish tenglamasining D sohadagi regulyar yechimi deyiladi.
KOSHI MASALASI. Tor tebranish tenglamasining yopiq D sohada
aniqlangan, uzluksiz va
(2)
boshlang'ich shartlarni qanoatlantiruvchi regulyar yechimini toping. Bu yerda
- berilgan yetarlicha silliq funksiyalar.
12

Tor tenglamasi uchun Koshi masalasi cheksiz uzunlikdagi tor
tebranishining matematik modeli bo'lib, uning chetki nuqtalari torning boshqa
qismlarining tebranishiga ta’sir qilmaydi. Shuning uchun ham (1) va (2) Koshi
masalasida chegaraviy shartlar qatnashmaydi.
Tor tebranish tenglamasining umumiy yechimi .
Tor tebranish tenglamasini kanonik ko'rinishga keltiramiz. Buning uchun (1)
tenglamaning xarakteristik tenglamasini tuzamiz:
bu yerda
Demak, (1) tor tebranish tenglamasi R 2
x , t tekislikda giperbolik tipdagi tenglama
ekan. U holda
bo‘lib, u ikkita haqiqiy va har xil
yechimlarga ega. Bu formulalar bilan aniqlangan to`g`ri chiziqlar tor tebranish
tenglamasining xarakteristikalari oilasini ifodalaydi.
Quyidagi
tengliklarga asosan yangi ξ,η o'zgaruvchilar kiritamiz va u
tt hamda u
xx xususiy
hosilalarni
topamiz. Bu hosilalarni (1) tenglamaga qo‘yib, soddalashtiramiz. Natijada (1)
tenglama ushbu
13

(3)
kanonik ko‘rinishga keladi. Oxirgi tenglamani ketma-ket integrallab, kanonik
tenglamaning umumiy yechimini
(4)
ko'rinishda topamiz. Bunda - ixtiyoriy funksiyalar.
Agar bo'lsa, u holda (4) funksiya (3) tenglamani qanoatlantiradi,
ya’ni
Demak, va bo‘lsa, u holda (4) funksiya (3) tenglamaning
umumiy yechimi bo‘ladi. Endi (4) formulada ξ
va η
o‘zgaruvchilardan eski x, t
o‘zgaruvchilarga qaytib, (1) tenglamaning umumiy yechimini olamiz
(5)
bu yerda f(x + at) va g(x - at) - ixtiyoriy ikki marta uzluksiz hosilalarga ega
funksiyalar. Xuddi yuqoridagi kabi (5) formulada f( x + at) va g(x - at)
C 2
( R )
bo‘lsa, u holda (5) funksiya (1) tenglamaning umumiy yechimi bo‘ladi.
2.3 Bir uchidan chegarlangan torning tebranish tenglamasi uchun
Koshi masalasi
Faraz qilaylik. u
0 ( x , t ) funksiya (1) tenglamaning quyidagi
boshlang‘ich shartlarini qanoatlantiruvchi yechimi bo'lsm.
14

Agar
bo`lsa u holda u ( x , t ) va u
0 ( x , t ) yechimlarning ayirmasini baholaymiz
(6)
Faraz qilaylik ixtiyoriy musbat son va bo`lsin. U holda (6)
tengsizlikdan uchun shunday son topiladiki, barcha
larda
shartlar bajarilganda
tengsizlik o'rinli bo'ladi.
Bundan, tor tebranish tenglamasi uchun Koshi masalasining yechimi
berilganlarga uzluksiz bog‘liq ekanligi kelib chiqadi. Shunday qilib teorema
isbotlandi.
Tor tebranish tenglamasi uchun aralash masala.
MASALANING QO`YILISHI. YECHIMNING YAGONALIGI .
Biror chekli sohada bir jinsli torning majburiy
tebranishini ifodalovchi ushbu
(1)
15

bir jinsli bo`lmagan tor tebranish tenglamasini qaraylik, bu yerda l - torning
uzunligi, T - musbat son, p - torning zichligi, T
0 - torning taranglik kuchi , f(x,t)
esa torga ta’sir qilayotgan tashqi kuchlarning yig‘indisi.
2.4.Tor tebranish tenglamasi uchun aralash masala .
Yopiq D sohada aniqlangan va quyidagi sifatlarni qanoatlantiruvchi
u(x,t ) funksiya toping:
1) u(x,t) funksiya yopiq D sohada ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi va
da (1) tenglamani qanoatlantirsin,
ya’ni
bo’lsin;
2) u(x,t) funksiya ushbu
(2)
boshlang'ich shartlarni qanoatlantirsin:
3) u(x,t) funksiya D sohaning chegarasida quyidagi
(3)
16

shartlarni qanoatlantirsin: bu yerda f(x,t), φ
0 ( x )
,φ01(x) , μ
1 ( x )
va μ2(x) berilgan
yetarlicha silliq funksiyalar.
1 – TEOREMA. Agar (1) - (3) aralash masalaning yechimi mavjuda
bo`lsa, u holda bu yechim yagona bo`ladi.
ISBOT: Faraz qilaylik, (1) – (3) masala ikkita u
1 (x,t) va u
2 (x,t)
yechimlarga ega bo`lsin. U holda bu yechimlarning ayirmasi u(x,t) = u
1 (x,t) –
u
2 (x,t) C 2
( ?????? ̅) bo`lib, v(x,t) funksiya bir jinsli
???????????? = ?????? ( ??????
1 − ??????
2 ) = ????????????
1 − ????????????
2 = ?????? ( ?????? , ?????? ) − ?????? ( ?????? , ?????? ) = 0 (4)
Tor tebranish tenglamasi hamda bir jinsli boshlang`ich
?????? ( ?????? , ?????? )|
?????? =0 = [ ??????
1 ( ?????? , ?????? ) − ??????
2 ( ?????? , ?????? )]|
?????? =0 = ??????
1 ( ?????? , ?????? )|
?????? =0 − ??????
2 ( ?????? , ?????? )|
?????? =0 = ??????
0 ( ?????? ) −
??????
0 ( ?????? ) = 0,0 ≤ ?????? ≤ ?????? ; (5)
shartlarni qanoatlantiradi.
Bir jinsli (4) – (8) masalaning u(x,t) yechimi bo`lganda aynan nolga teng
ekanligini isbot qilamiz.
Buning uchun quyidagi
integralni qaraylik.
Bu integral torning bir jinsli chegaraviy shartlar bilan erkin tebranish
energiyasi saqlanish qonunining matematik ifodasi bo`lib, u torning to`la
energiyasi deyiladi.
Chunki torning t vaqtdagi elementining kinetik energiyasi
17

ko`rinishida bo`ladi.
Torning t vaqtdagi ∆x= dx elementining potensial energiyasi taranglik
kuchininh bajargan ishi bo`lib, u quyidagi
formula bilan aniqlanadi.
Demak, (9) formula torning ko`ndalang tebranishining to`la energiyasi
bo`lib, u torning energiyalari integrali deyiladi. Endi (9) integralning t vaqtga
bog`liq emasligini ko`ramiz. Buning uchun (9) formulaning t bo`yicha hosilasini
hisoblaymiz:
Bir jinsli chegaraviy shartlardan
u
t
( 0 , t ) = 0 , u
t ( l , t ) = 0 , 0 ≤ t ≤ T
ekanligi kelib chiqadi.
Bu shartlarni inobatga olib (10) formulaning ikkinchi qo’shiluvchisini
bo’yicha dan gacha bo’laklab integrallaymiz, natijada
ifodani olamiz. Topilgan (11) ifodani (10) formulaga qo’yib, bir jinsli (4) tor
tebranish tenglamasini inobatga olsak,
tenglikni olamiz.
Oxirgi tenglikdan shuning uchun bir jinsli bo’lmagan boshlang’ich shartlarda
18

Bu fromuladan ko’rinadiki, uchlari mahkamlangan torning erkin
ko’ndalang tebranishining to’la energiyasi ixtiyoriy vaqtda o’zgarmas va u
torning boshlang’ich energiyasiga teng bo’ladi.
Bir jinsli (5) va (6) shartlarni inobatga olib (12) formuladan ushbu
tenglikni olamiz. Oxirgi tenglik faqaat va faqat ∀( x , t ) = D
uchun u
t ( x , t ) = 0
va
ux(x,t)= 0
bo’lganda o’rinli. Bundan esa D
yopiq sohada u(x,t)=const bo’ladi.
Bir jinsli shartlarga ko’ra D
sohada u
( x , t ) = 0
bo’lishi kelib chiqadi.
Demak, u
1
( x , t ) = u
2 ( x , t )
farazimiz noto’g’ri ekan. Bu ziddiyat tor tebranish
tenglamasi uchun qo’yilgan aralash masala yechimining yagona ekanligini
isbotlaydi.

19

Xulosa
Matematik fizika tenglamalari fani nazariy va amaliy ahamiyatga ega.
Mexanika, fizika, texnika va boshqa sohalarda uchraydigan turli jarayonlar
matematik fizika tenglamalari orqali ifodalanadi. Bu tenglamalarni o‘rganish
talabalarda tegishli jarayonlar haqida tasavvurga ega bo‘lishlariga imkon beradi.
Ayni paytda ularni mantiqiy fikrlashga, to‘gri xulosalar chiqarishga
o‘rgatadi. Matematik fizika tenglamalari hozirgi zamon matematikasining
muhim sohalaridandir. U matematikaning bir necha sohalari, jumladan
matematik analiz, funksiyalar nazariyasi, integral va differentsial tenglamalar
nazariyasi, funksional analiz, fizika, texnika fanlari bilan uzviy bog‘liq.
Matematik fizikaning aosiy tenglamalaridan to’lqin tarqalish tenglamasi,
matematik fizik tenlamalarini nostatsionar jarayonlarda yechilishi tor tebranish
tenglamasini keltirib chiqarish. Asosiy boshlang`ich chegaraviy masalalarning
qo`yilishi. Tor tebranish tenglamasi uchun Koshi masalasi. Bir uchidan
chegarlangan torning tebranish tenglamasi uchun Koshi masalasi tor tebranish
tenglamasi uchun aralash masala. O’rganib chiqdim va bu englamalarda vaqtga
bog’liq bo’lmagan hollarida nostatsinar jarayonlarda ularning yechimlari keltirib
chiqardim.
20

Foydalanilgan adabiyotlar

1. Салоҳиддинов М.С “ Математик физика тенгламалари фанидан масалалар
тўплами ”. Тошкент. “ Mumtoz so’z ”, 2010й , 372 б.
2. Zikirov O. S. Matematik fizika tenglamalari. ( 0 ‘quv qo‘llanma.) - T. "Fan va
texnologiya". 2017, 320 bet.
3. Джураев Т.Д. Краеыве задачи для уравнений смешанного и смешанно –
составного типов . Ташкент: Фан. 1979. -3-11 ст.
4. Романов В.Г Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического
типа. Изд. “Наука”, Сибирское отделение
Новосибирск 1972 г. 164 стр.

INTERNET RESURSLARI

5. www.ziyonet . uz
6. http//docs.titli.uz
7. www.ilm.uz

8. www.arxiv.uz

21

Mavzu: Nostasionar jarayonlarning matematik modeli va uni hisoblash matematikasi usullari bilan yechish. Mundarija Kirish I BOB STATSIONAR VA NOSTATSIONAR MODELLAR 1.1 . Statsionar modellar va nostatsionar modellar . 1.2 . Statsionar va statsionar bo'lmagan tasodifiy jarayonlar. II BOB MATEMATIK FIZIKA TENGLAMALARINI NOSTATSIONAR JARAYONLARDA TAQRIBIY YECHISH USULLARI 2.1. Tor tebranish tenglamasini keltirib chiqarish. Asosiy boshlang`ich chegaraviy masalalarning qo`yilishi. 2.2. Tor tebranish tenglamasi uchun Koshi masalasi. 2.3.Bir uchidan chegarlangan torning tebranish tenglamasi uchun Koshi masalasi 2.4.Tor tebranish tenglamasi uchun aralash masala. III.XULOSA IV.FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 1

Kirish Insoniyatni farovon hayot shartsharoitlarini yaratish, tabiiy ofatlarni oldindan aniqlash muammolari qadimdan qiziqtirib kelgan. Shuning uchun ham insoniyat tashqi dunyoning turli hodisalarini o`rganishi tabiiy holdir. Aniq fan sohasi mutaxassislari u yoki bu jarayonning faqat ularni qiziqtirgan xossalarinigina o`rganadi. Masalan, geologlar yerning rivojlanish tarixini, ya`ni qachon, qaerda va qanday hayvonlar yashaganligi, o`simliklar o`sganligi, iqlim qanday o`zgarganligini o`rganadi. Bu ularga foydali qazilma konlarini topishlarida yordam beradi. Lekin ular yerda kishilik jamiyatining rivojlanish tarixini o`rganishmaydi bu bilan tarixchilar shug`ullanadi. Atrofimizdagi dunyoni o`rganish natijasida noaniq, va to`liq bo`lmagan ma`lumotlar olinishi mumkin. Lekin bu koinotga uchish, atom yadrosining sirini aniqlash, jamiyatning rivojlanish qonunlarini egallash va boshqalarga xalaqit etmaydi. Ular asosida o`rganilayotgan hodisa va jarayonning modeli yaratiladi. Model ularning xususiyatlarini mumkin qadar to`laroq akslantirishi zarur. Modelning taqribiylik xarakteri turli ko`rinishda namoyon bo`lishi mumkin. Masalan, tajriba o`tkazish mobaynida foydalaniladigan asboblarning aniqdigi olinayotgan natijaning aniqligiga ta`sir etadi. Nostatsionar jarayonlarga vaqt qatnashmaydigan jarayonlar yani to’lqin tarqalish tenglamalari kiradi matematik modelni ifodalovchi tenglamalarda vaqtni ifodalovchi ko’rsatkichi qatnashmaydi. Matematik fizika tenglamalari fani klassik mexanika, fizika, gidrodinamika, akustika va boshqa sohalarda sodir bo'ladigan jarayonlarning matematik modellarini yaratish va bu masalalarni yechish usullarini qurish bilan uzviy bog'liq. Bu modellashtirish muayyan jarayordarni ifodalovchi fizikaviy kattaliklar asosida tenglamalarni keltirib chiqarish bilan xarakterlanadi. Kurs ishi tuzilishi: Statsionar va nostatsionar jarayonlar farqlanishi, matematik fizik tenglamalarni nostatsionar jarayonlarda tarqribiy yechimlarni topish. Nostatsionar jarayonlarda matematik tenglamalrni taqribiy yechish tor tebranish tenglamalarini keltirib chiqarish, asosiy boshlang’ich chegaraviy masalalarning qo’yilishi, Koshi masalasi, bir uchidan chegaralangan torning tebranish tenglamasi uchun Koshi masalasi, tor tebranish tenglamasi uchun arqalash masalalarni yechimini o’rganish va uni tatbiq qilish. 2

I BOB : STATSIONAR VA NOSTATSIONAR MODELLAR 1.1 Statsionar modellar va nostatsionar modellar Nostatsionar modellar bu modellarda qaralayotgan jarayon vaqt bo’yicha turg’unlashgan deb qaraladi , ya‘ni matematik modelni ifodalovchi tenglamalarda vaqtni ifodalovchi ko’rsatkichi qatnashmaydi. Modelda qatnashuvchi ko’rsatkichlar, parametrlarning bir qismi yoki barchasi faqat fazoviy o’lchovlarga bog’liq bo’ladi. Bunday modellarga misol qilib inshoot devoridan o’tuvchi statsionar issiqlik oqimi tenglamasi , qurilish to’sinlarining statsionar egilishi va buralishi tenglamalarini keltirish mumkin. Statsionar modellar algebraik tenglamalar , oddiy differentsial tenglamalar yoki ularning tizimsi kabi ifodalanadi. Statsionar modellar bu modellarda jarayon ko’rsatkichlari vaqtga bog’liq deb qaraladi. Umumiy holda esa , bu ko’rsatkichlar fazoviy o’lchovlarga ham bog’liq bo’lishi mumkin. Bunday modellarga qurilish inshootlarida nostatsionar issiqlik oqimi tenglamalari , tebranish jarayonlarining tenglamalari , diffuziya tenglamalarini misol qilib ko’rsatish mumkin. Nostatsionar jarayon o’zi va hosilalari vaqtga bog’liq funktsiya qatnashgan differentsial tenglama yoki shunday tenglamalar tizimsi , xususiy hosilali differentsial tenglamalar yordamida yoziladi. Stasionar modellar algebraik tenglamalar, oddiy differensial tenglamalar yoki ularning sistemasi kabi ifodalanadi. Bu modellarda jarayon ko`rsatkichlari vaqtga bog`liq deb qaraladi. Umumiy holda esa, bu ko`rsatkichlar fazoviy o`lchovlarga xam bog`liq bo`lishi mumkin. Bunday modellarga qurilish inshootlarida nostasionar issiqlik oqimi tenglamalari, tebranish jarayonlarining tenglamalari, diffuziya tenglamalarini misol qilib ko`rsatish mumkin. Nostasionar jarayon o`zi va xosilalari vaqtga bog`liq funksiya qatnashgan differensial tenglama yoki shunday tenglamalar sistemasi, hususiy xosilali differensial tenglamalar yordamida yoziladi. 1.2. Statsionar va statsionar bo'lmagan tasodifiy jarayonlar. Tor ma'noda statsionar tasodifiy jarayonlar, agar uning ehtimollik zichligi ixtiyoriy tartibda bo'lsa va vaqt o'qi bo'ylab barcha nuqtalar guruhining har qanday siljishi bilan o'zgarmasa, ya'ni. tenglik rost bo'lsa, statsionarlik tenglamasi. 3

Statsionar jarayon uchun vaqt ko'rsatkichi o'zgarganda ehtimollik zichligi o'zgarmaydi. Agar shunday tenglama qanoatlansa, u holda turli xarakteristikalar uchun xuddi shunday tenglikni yozishimiz mumkin. Statsionar tasodifiy jarayonning moment va korrelyatsiya funktsiyalarining raqamli qiymatlari: Shunday qilib, tasodifiy statsionar jarayon uchun n-o'lchovli ehtimollik zichligi, n-o'lchovli momentlar va korrelyatsiya funktsiyalari n ga emas, balki vaqtning (n-1) nuqtalariga bog'liq, chunki vaqtning tanlangan nuqtalaridan birini olish mumkin. kelib chiqishi sifatida. - birinchi tartibli moment funksiyasi; Dispersiya. Keng ma'noda statsionar tasodifiy jarayonlar, agar uning matematik kutilishi doimiy bo'lsa (vaqtga bog'liq bo'lmasa) va korrelyatsiya funktsiyasi faqat elementlarning farqiga bog'liq bo'lsa. Keng ma'noda statsionarlik tor ma'nodagi statsionarlikka o'xshamaydi, lekin tor ma'noda statsionar jarayonlar keng ma'noda statsionar bo'ladi, lekin aksincha emas. II BOB MATEMATIK FIZIKA TENGLAMALARINI TAQRIBIY YECHISH USULLARI 4

2.1.Tor tebranish tenglamasini keltirib chiqarish. Asosiy boshlang`ich chegaraviy masalalarning qo`yilishi. Tekislikda, Ox o‘qi bo'yicha uchlari mahkamlangan uzunligi l ga teng bo‘lgan torni (ingichka, elastik ipni) qaraylik. Ingichka — bu torning ko'ndalang kesimi uning uzunligiga nisbatan cheksiz kichik miqdor, egiluvchan deganda tor uzunligining o'zarishiga bog`liq bo`lmagan holda shaklini o‘zgarishiga torning hech qanday qarshilik qilmasligi tushuniladi. Bu tushunchalarning matematik ma’nosi — torda sodir bo`ladigan T(x) taranglik kuchi doimo uning oniy uzunligiga o‘tkazilgan normal bo‘yich a yo‘nalgan bo‘ladi. Faraz qilaylik, Ox o‘q bo‘yicha torning uchlariga qarama- qarshi tomonlarga yo'nalgan T 0 taranglik kuchi qo'yilgan bo‘lsin. Agar tor tashqi kuchlar ta’sirida muvozanat holatidan chiqarilsa, u holda tor tebranma harakat qiladi. Bunda torning muvozanat holatidagi N(x) nuqtasi t vaqtda M holatga o‘tadi (1-shakl). 1-shakl Tor tebranish tenglamasini keltirib chiqarish uchun quyidagilarni talab qilamiz: 1) torning barcha nuqtalari bir tekislikda Ox o‘qiga perpendikulyar tebransin, ya'ni tor ko‘ndalang tebransin; 2) torning kichik tebranishlari hisobga olinsin; 3) og'irlik kuchining ta`siri inobatga olinmasin, ya`ni taranglik kuchi shunchalik kattaki, buning natijasida og‘irlik kuchining ta'siri sezilmaydi. 5

O'xshashlar

Matematik programmalashtirishning hisoblash usullari

DARYO OQIMI ME’YORI VA UNI HISOBLASH

Algoritmlar va ularni yozish usullari, hisoblash jarayonlari

TUPROQNING HAVO REJIMI VA UNI BOSHQARISH USULLARI

TUPROQNING SUV REJIMI VA UNI BOSHQARISH USULLARI