Yig'indining kvadrati

Yuklangan vaqt:

10.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

1353.6201171875 KB

Ko'chirib olish


O`rta Osiyo xalqlari madaniyatini o`rta asrlarda
dunyo madaniyatining oldingi qatorga olib
chiqqan buyuk mutafakkirlardan biri Abu Ali
Husayn Ibn Sinoning matematikaga oid ishlarida
sonlarni kvadrat va kubga ko`tarish amallari
o`rganilgan.

Ibn Sino 980-yilda Buxoro yaqinidagi Afshona
qishlog`ida dunyoga keldi. U 18 yoshga yetganda
faqat Buxoroga emas balki butun Sharqqa
mashhur olim va tabib sifatida tanildi. Uning “Ash-
shifo” , “Hajot” kitobi, “Donishnoma” asarlarida
matematikaga oid fikrlari bayon qilingan .


Ibn Sino sonlar kvadratni 9 raqami bilan Hind
hisobi usulida tekshirish masalasini bir nechta
qoidalar bilan ifodalaydi. Masalan: agar son 9 ga
bo`linib, qoldiqda 1 yoki 8 qolsa, u holda bunday
sonlarning kvadrati 9ga bo`linib qoldiqda 1 qoladi.
Berilgan sonlar M va N bo`lsin . qoidaga ko`ra M=9
n + 1 ; M 2
=(9 n +1) 2
=81 n 2
+18 n +1=9(9 n 2
+2 n )+1 ifoda
9ga bo`inadi, qoldiq 1. N=9 k +8 ;
N 2
=(9 k +8) 2
=81 k 2
+72 k +64=81 k 2
+72+63+1=9(9 k 2
+8 k +7
)+1 ;


Biz 2 ta son yig`indisining kvadratini
(a+b) 2
ni ko`phadni ko`phadga ko`paytirish
qidasidan foydalanib , hosil qilamiz.

(a+b) 2
= (a+b)(a+b)= a 2
+ab+ab+b 2
ya`ni
(a+b) 2
= a 2
+2ab+b 2

Ik k i son y ig` indisining k v adrat i birinchi
son k v adrat i, qo` shuv birinchi son bilan
ik k inchi son k o` pay t masining
ik k ilangani qo` shuv ik k inchi son
k v adrat iga t eng .


Yig`indining kvadrati geometrik usul bilan keltirib
chiqaramiz.

(a+b) 2
= a 2
+2ab+b 2
formulani quyidagi rasmda
tasvirlangan kvadratning yuzini ko`zdan kechirib,
osongina hosil qilish mumkin, bu kvadratning
tomoni a+b ga teng demak uning yuzi (a+b) 2
ga
teng. Ikkinchi tomondan , rasmdagi kvadratning
yon tomoni a ga teng bo`lgan kvadratning yuzi
a 2
, tomoni b bo`lgan kvadratning yuzi b 2
, va
tomonlari a va b ga teng bo`lgan 2ta to`gri
to`rtburchaklar yuzlari ab larning yig`indisiga
teng.


(a+b) 2
= a 2
+2ab+b 2
formulani qo`llashga doir misollar:

1.(2m+3k) 2
=(2m) 2
+2 .
2m .
3k+(3k) 2
=4m 2
+12mk+9k 2

2.(-a-3b) 2
= ((-1) .
(a+3b)) 2
=(-1) 2.
(a+3b) 2
= (a+3b) 2
=
a 2
+2a .
3b+(3b) 2
=a 2
+6ab+9b 2


Zaruriy hisoblashlarni og`zaki bajarib, oraliq natijalarni yozmaslik
mumkin, masalan, birdaniga bunday yozish mumkin.

(5a 2
+7b 2
) 2
=25a 4
+70a 2
b 2
+49b 2
.

Ya`ni

Yig`indi yoki ayirmaning kvadrati
formulalari qisqa ko`paytirish formulalari
deyiladi va ba`zi hollarda hisoblashlarni
soddalashtirish uchun qo`llaniladi.
Masalan:
1)52 2
=(50+2) 2
=2500 +200+4=2704
2)73 2
=(70+3) 2
=
70 2
+2 .
70 .
3+3 2
=4900+420+9=5329


1.Formula.(1+a) 2
ifodaning qiy mat larini
t aqribiy hisoblashlarda ham qo` llaniladi,
a son musbat y ok i manfi y son bo` lib,
uning moduli 1 ga nisbat an k ichik bo` lsa
(masalan a=0,0032 y ok i a= - 0,0021) u
holda a 2
son y anada k ichik bo` ladi v a
shu sababli (1+a) 2
=1+2a+a 2
.


Tenglikni (1+a) 2
=1+a taqribiy tenglik bilan
almashtirish mumkin.

Masalan:

(1,002) 2
(1+0,002) 2
=1+2 .
0,002=1,004 ;

1,001 2
= (1+0,001) 2
~1+2 .
0,001=1+0,002=1,002

Yig`indining kvadrati va ayirmaning
kvadrati formulalari ko`phadni
ko`paytuvchilarga ajratishda ham
qo`llaniladi .

masalan:

x 2
+6x+9= x 2
+2 .
3x +- 3 2
= (x+3 2
)

x 2
+10x+25=x 2
+2 .
5x + 5 2
= (x+5 2
)

I V. DA RSNI MUSTA HKA MLA SH: ( 10-MI NUT)

Quyidagi “ Tushunchalar t ahlili” uslubi dan
foydalanamiz. O`quvchilarga tarqatma
materiallar beriladi.

Tushunchalar Mazmuni
1 - guruh
“ Ash shifo”, “Najot”, “Donishnoma” Ibn Sinoning matematikaga oid asarlari
(a+b) 2
=a 2
+2ab+b 2
Yig’indining kvadrati yoki ikki son yig’indisining kvadrati
2 - guruh
Qisqa ko`paytirish formulasi (a+b) 2
=a 2
+2ab+b 2
(a-b) 2
= a 2
-2ab+b 2
1-rasmdagi a 2
. Kvadratning yuzi
3 - guruh
1-rasmdagi a .
b To’g’ri to’rtburchakning yuzi
(a+b)
(a+b) Ko’phadni ko’phadga ko’paytirish


O’quvchilar quyidagi misollarni doskada bajaradilar

1-guruh

Ikkihadning kvadratini ko'phad shaklida tasvirlang:

1) (– 8p 3
+ 5p 2
) 2
.

(– 8p 3
+ 5p 2
) 2
= (– 8p 3
) 2
– 2 · 8

p 3
· 5p 2
+ (5p 2
) 2
= 64p 6
–80p 5
+25p 4
.

2) (6xy + 0,5y 2
) 2
.

(6xy + 0,5y 2
) 2
= (6xy) 2
+2 · 6xy · 0,5y 2
+(0,5y 2
) 2
= 36x 2
y 2
+6xy 3
+0,25y 4
.

Qisqa ko'paytirish formulalaridan foydalanib,
amallarni bajaring:

2-guruh

(400 + 1) 2
= 400 2
+ 2 · 400 · 1 + 1 2
= 160000 +
800 + 1 = 160801 .

9999 2
= (10000 – 1) 2
= 10000 2
– 2 · 10000 · 1 + 1 2

== 100000000 – 20000 + 1 = 99980001 .

898 2
= (900 – 2) 2
= 900 2
– 2 · 900 · 2 + 2 2
=
810000 – 3600 + 4 == 806404 .

10003 2
= (10000 + 3) 2
= 10000 2
+ 2 · 10000 · 3 +
3 2
== 100000000 + 60000 + 9 = 100060009 .

Ifodani soddalashtiring :

3-guruh

(x + y) 2
– (x – y ) 2
= (x 2
+ 2xy + y 2
) – (x 2
– 2xy + y 2
) =

= x 2
+ 2xy + y 2
– x 2
+ 2xy – y 2
= (x 2
– x 2
) + (2xy +
2xy) + (y 2
– y 2
) = 4xy .

(3a – 2b) 2
+ (3a + 2b) 2
.

(3a – 2b) 2
+ (3a + 2b) 2
=

= (3a) 2
– 2 · 3a · 2b + (2b) 2
+ (3a) 2
+ 2 · 3a · 2b +
(2b) 2
=

= ((3a) 2
+ (3a) 2
) – (2 · 3a · 2b – 2 · 3a · 2b) + ((2b) 2
+
(2b) 2
) =

= 2 · (3a) 2
+ 2 · (2b) 2
= 2 · 9a 2
+ 2 · 4b 2
= 18a 2
+ 8b 2
.


V. Darsni yakunlash va baholash.(3-minut)

Dars yakunida guruhlarning ballari
yig`ilib, g`olib guruh rag`batlantiriladi.
Guruhlarda aktiv ishtirok etgan o`quvchilar
bahosi jurnalga va o`quvchilar kundaliklariga
qo`yiladi . Guruhlarni rag`batlantirish uchun
orqasiga ruhlantiruvchi jumlalar yozilgan so’zlar
masalan: “Sizlar zukkosizlar”, “Sizlar bilimdon”,
“Sizlar chaqqonsizlar” kartochkalari beriladi.

Har bir o`quvchini nazardan chetda
qoldirmasdan adolat bilan baho qo`yib boraman.



VI. Uy ga v azifa berish.(2-
minut )

1) 367-368- misollarni yechib
kelish.

2) “BBB” usulidagi jadvalni to’ldirib
kelish.
В В В

MAVZU: YIG`INDINING KVADRATI

 O`rta Osiyo xalqlari madaniyatini o`rta asrlarda dunyo madaniyatining oldingi qatorga olib chiqqan buyuk mutafakkirlardan biri Abu Ali Husayn Ibn Sinoning matematikaga oid ishlarida sonlarni kvadrat va kubga ko`tarish amallari o`rganilgan.  Ibn Sino 980-yilda Buxoro yaqinidagi Afshona qishlog`ida dunyoga keldi. U 18 yoshga yetganda faqat Buxoroga emas balki butun Sharqqa mashhur olim va tabib sifatida tanildi. Uning “Ash- shifo” , “Hajot” kitobi, “Donishnoma” asarlarida matematikaga oid fikrlari bayon qilingan .

 Ibn Sino sonlar kvadratni 9 raqami bilan Hind hisobi usulida tekshirish masalasini bir nechta qoidalar bilan ifodalaydi. Masalan: agar son 9 ga bo`linib, qoldiqda 1 yoki 8 qolsa, u holda bunday sonlarning kvadrati 9ga bo`linib qoldiqda 1 qoladi. Berilgan sonlar M va N bo`lsin . qoidaga ko`ra M=9 n + 1 ; M 2 =(9 n +1) 2 =81 n 2 +18 n +1=9(9 n 2 +2 n )+1 ifoda 9ga bo`inadi, qoldiq 1. N=9 k +8 ; N 2 =(9 k +8) 2 =81 k 2 +72 k +64=81 k 2 +72+63+1=9(9 k 2 +8 k +7 )+1 ;

 Biz 2 ta son yig`indisining kvadratini (a+b) 2 ni ko`phadni ko`phadga ko`paytirish qidasidan foydalanib , hosil qilamiz.  (a+b) 2 = (a+b)(a+b)= a 2 +ab+ab+b 2 ya`ni (a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2  Ik k i son y ig` indisining k v adrat i birinchi son k v adrat i, qo` shuv birinchi son bilan ik k inchi son k o` pay t masining ik k ilangani qo` shuv ik k inchi son k v adrat iga t eng .

 Yig`indining kvadrati geometrik usul bilan keltirib chiqaramiz.  (a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2 formulani quyidagi rasmda tasvirlangan kvadratning yuzini ko`zdan kechirib, osongina hosil qilish mumkin, bu kvadratning tomoni a+b ga teng demak uning yuzi (a+b) 2 ga teng. Ikkinchi tomondan , rasmdagi kvadratning yon tomoni a ga teng bo`lgan kvadratning yuzi a 2 , tomoni b bo`lgan kvadratning yuzi b 2 , va tomonlari a va b ga teng bo`lgan 2ta to`gri to`rtburchaklar yuzlari ab larning yig`indisiga teng.

O'xshashlar

Yig’indining kvadrati Ayirmaning kvadrati

QISQA KO’PAYTIRISH FORMULALARI

OLMOS PANJARADAGI DISKRET SHREDINGER OPERATORINING SPEKTRI

Natural ko‘rsatkichli darajaning arifmetik ildizi va uning xossalari. Ratsional ko‘rsatkichli darajaga oid misollar yechish

PANJARADAGI IKKI ZARRACHALI SHREDINGER OPERATORIGA MOS MODEL OPERATOR SPEKTRI