Bazi binar munosabatlari

Загружено в:

12.08.2023

Скачано:

0

Размер:

360.5 KB

Скачать

Bazi binar munosabatlari
R Е JA:
I. Binar munosabatlar va uning ahamiyati
1.1Munosabat tushunchasi. Graflar.
1.2.Munosabatlarning berilish usullari.
II. Munosabatlarning xossalari
2.1Ekvivalentlik munosabati.
2.2To’plamlarni juft-jufti bilan sinflarga ajratish.
2.3. Invariantlar aks ettirishlar.
III. Binar munosabatlar ustida amallar
Xulosa

Mavzuning dolzarbligi . Binar munosabatlari yuqori matematik
darajaga ega bo’lgan zamonaviy fan sifatida rivojlanishida muhim rol
tutadi
Ishning maqsad va vazifalari . Ishning asosiy maqsadi binar
munosabatlari asosiy prinsiplarini batafsil o’rganish, ularga doir
misollar yechish.
K urs ishining obyekti. Binar munosabatlari va to'plamlari.
Kurs ishining predmeti. Bazi binar munosabatlari va turlari
Olingan asosiy natijala r.Kurs ishi refarativ xarakterga ega bo'lib, unda
binar munosabatlar o'rganilgan
Kurs ishining metodologik asosi. Ushbu kurs ishi uchun binar
munosabatlari va munosabat turlari ular ustida amallar i o'rganish
metodologik asos bo'lib xizmat qiladi.
Kurs ishining metodlari . Binar munosabatlari va uni turlari
lmiy-tadqiqot metodlari. Bu ishda matematik analiz, kompleks analiz va
funksional analiz fanlarining asosiy tushunchalaridan foydalanildi.
Ishning ilmiy va amaliy ahamiyati . Ishda urganilgan prinsiplar, misol
va masalalar katta ham amaliy ham nazariy ahamiyatga ega. Bu
misollardan umumiy kursda amaliy mashg’ulotlarda keng foydalanish
mumkin.
I. Binar munosabatlar va uning ahamiyati
1.1Munosabat tushunchasi. Graflar.

Ma’lumki, to‘plam tushunchasi matematika fanining asosiy
tusunchalaridan biri bo‘lib, bu fan taraqqiyotida muhim o‘rin egallaydi.
Natural sonlar to‘plamini o‘rganish boshlang‘ich sinflardanoq
boshlanadi. Bu ish sonlar orasidagi turli-tuman o‘zaro bog‘lanishlarni
o‘rganish bilan amalga oshiriladi. Masalan, 10 soni 7 sonidan katta
(ortiq), 8 soni 5 sonidan 3 ta ko‘p, 6 soni 5 sonidan keyin keladi.
Natural sonlar to‘plami elementlari orasida yana ko‘plab munosabatlarni
o‘rganish mumkin. To‘g‘ri chiziqlar to‘plamida “parallel bo‘lishlik”,
“perpendikulyar bo‘lishlik”, “o‘zaro kesishish” v
Endi ixtiyoriy X to‘plam elementlari orasidagi munosabat tushunchasini
keltiramiz.
Ta’rif. X to‘plam elementlari orasidagi munosabat yoki X to‘plamda
munosabat deb, Dekart ko‘paytmasining har qanday qism to‘plamiga
aytiladi.
Munosabat. R, S, Q va hokazo harflar bilan belgilanadi.
Misol. X={3,4,5,6,8} sonlar to‘plamini qaraylik. Bu to‘plamda quyidagi
munosabatlar mavjud:
1. R: “x son y sondan katta”, ya’ni 8>6, 8>5, 8>4, 8>3, 6>5, 6>4, 6>3,
5>4, 5>3, 4>3.Bu munosabat quyidagi juftliklar to‘plami bilan
aniqlanadi: {(8,6), (8,7), (8,6), (8,5), (8,4), (8,3), (6,5), (6,4), (6,3), (5,4),
(5,3), (4,3)}. Ko‘rinib turibdiki, bu juftliklar Dekart ko‘paytmasining
qism to‘plami bo‘ladi. Buni to‘plam ma’nosida deb yozish mumkin.
Endi X to‘plamda S: “Ikki marta kichik” munosabatni qaraymiz. Bu
munosabat quyidagi juftliklar to‘plamidan iborat bo‘ladi: {(3,6), (4,8)}.
Bu yerda ham bo‘ladi. X to‘plamda Q: “1 ta ko‘p” munosabatni ham
qarash mumkin. Bu munosabat quyidagi juftliklar to‘plamidan iborat

bo‘ladi: {(4,5), (3,4), (6,5)}. Ravshanki, Yuqorida qaralgan R, S, Q
munosabatlarning har biri ham Dekart ko‘paytmaning qism
to‘plamlaridan iborat.
1.2.Munosabatlarning berilish usullari .
X to‘plamdagi munosabatni ko‘rgazmali tasvirlash uchun nuqtalar
strelkalar yordamida tutashtiriladi va chizma hosil qilinadi. Bunday
chizma graf deb ataladi. Masalan, X={3,4,5,6,8} to‘plamda qaralgan R,
S va Q munosabatlarning graflarini 1-, 2-, 3-chizmada tasvirlaymiz.
X={2,4,6,8,12} to‘plamda P: “x soni y sonining bo‘luvchisi” degan
munosabatni qaraymiz va grafini chizamiz. X to‘plam elementlarini
nuqtalar bilan tasvirlab, x dan y ga strelkalar chiqaramiz. Masalan, 2 dan
4 ga strelka chiqaramiz, chunki 2 soni 4 ning bo‘luvchisi. Lekin har bir
son o‘zi o‘zining bo‘luvchisi. Shuning uchun har bir x nuqtadan chiqqan
strelka yana o‘ziga qaytadi. Grafda boshi va oxiri ustma-ust tushgan
strelkalar sirtmoqlar deyiladi (4-chizma).
1. Binar munosabat. Diskret matematikada fundamental tushun
chalardan biri bo'lgan munosabat tushunchasi predmetlar (narsalar) va
tushunchalar orasidagi aloqani ifodalaydi. Quyidagi toiiqsiz gaplar
munosabatlarga misol bo'la oladi. Odatda, munosabat tushunchasi
to'plamlar nazariyasi nuqtai nazaridan turib o'rganiladi. Munosabat
tushunchasiga aniqlik kiritish uchun
tartiblangan juftlik tushunchasini o'rganamiz.
1- t a ’ r i f . M a’lum tartibda joylashgan ikki predmetdan tuzilga kortej
tartiblangan juftlik deb ataladi. Odatda tartiblangan juftlik quyidagi
xususiyatlarga ega deb faraz qilinadi:

$1) ixtiyoriy x va у predmetlar uchun < x , y > kabi belgilanadigan muayyan obyekt mavjud bo'lib, har bir x va у predmetlarga yagona tartiblangan < x , y > juftlik mos keladi ( < x , y > yozuv “ x va у ning tartiblangan juftligi” deb o'qiladi); 2) agar ikkita < x , y > va < u, v > tartiblangan juftlik uchun x = и va у = v bo'lsa, u holda < x , y >=< u , v > bo'ladi. < x , y > tartiblangan juftlik < x , y > - {{x},{x,y}} ko'rinishdagi to'plamdir, ya’ni u shunday ikki elementli to'plamki, uning bir elementi {x, y} tartibsiz juftlikdan iborat, boshqa {x} elementi esa, shu tartibsiz juftlikning qaysi hadi birinchi hisoblanishi kerakligini ko'rsatadi. Tartiblangan juftliklardan birgalikda tartiblangan juftliklar to‘plamini tashkil etishadi. 2 - t a ’ r i f . < x, v > tartiblangan juftlikdagi x uning birinchi koordinatasi, у esa ikkinchi koordinatasi deb ataladi. Tartiblangan juftliklar atamasi asosida tartiblangan n -liklarni aniqlash mumkin. x, v va z predmetlarning tartiblangan uchligi quyidagi tartiblangan juftliklar shaklida aniqianadi: « x , y >, z > . Xuddi shu kabi x,,x2,...,xn predmetlarning tartiblangan « -ligi < x ,,x 2,...,x„ > , ta’rifga asosan, « x, ,x 2,...,x„_, >,x„ > tarzda aniqianadi. Matematik mantiqda n –ar munosabat tartiblangan n -liklar to'plami sifatida aniqianadi. Ba’zan n - ar munosabat iborasi o'rniga n o'rinli munosabat iborasi qo'llaniladi. Agar munosabat bir o'rinli bo'lsa, u holda u unar munosabat, ikki o'rinli bo'lganda esa binar munosabat deb ataladi. Unar munosabat xossa (xususiyat) deb ham yuritiladi. Adabiyotda, ko'pincha, 3-ar munosabat ternar munosabat deb nomlanadi.$ $Binar munosabatlar va ularning xossalari. Ta’rif. X*X ning istalgan G qism to’plami binar munosabat deyiladi. Binar munosabatlar P, Q, R va boshka lotin harflari bilan belgilanadi.Matematikada binar munosabatlar «=», «<», «>», «¹», «ôú», «^» kabi belgilar orqali beriladi.Masalan: C={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} to’plam elementlari orasidagi munosabat R: «x>y» berilgan. U quyidagi juftliklar to’plami orqali ifoda qilinadi. G={(4;3), (5;3), (5;4), (6;3), (6;4), (6;5), (7;3), (7;4), (7;5), (7;6), (9;3), (9;4), (9;5), (9;6), (9;7)}. Uning grafi:Ta’rif: Agar X to’plamning har bir elementii o’z-o’zi bilan R munosabatda bo’lsa (ya’ni, xRx bajarilsa), u holda R munosabat X to’plamda refleksiv deyiladi. Masalan, «=», «½ê», « » munosabatlar refleksivdir. Ta’rif: Agar X to’plamning birorta ham elementi uchun xRx bajarilmasa, u holda R munosabat X to’plamda antirefleksiv deyiladi. Masalan, «<», «>», «^» munosabatlar antirefleksivdir. Ta’rif: Agar X to’plamda R munosabat berilgan bo’lib, xRy va yRx shartlar bir vaqtda bajarilsa, R-simmetrik munosabat deyiladi. Masalan, «||», «^», «=» munosabatlar simmetrik munosabatlardir.$

Ta’rif: Agar X to’plamda R munosabat uchun xRy va yRx ekanligidan
x=y ekanligi kelib chiqsa, R antisimmetrik munosabat deyiladi.
Masalan, «x soni u soniga karrali» munosabati antisimmetrikdir.
Ta’rif: Agar X to’plamda berilgan R munosabat uchun xRy va uRz
ekanligidan xRz bajarilishi kelib chiqsa, u holda R munosabat tranzitiv
deyiladi.
Masalan, «=», «», «<» kabi munosabatlar tranzitivdir.
Ta’rif: Har qanday R munosabat refleksiv, simmetrik va tranzitiv bo’lsa,
u holda R ekvivalentlik munosabati deyiladi.
Masalan, «||», «=», «@» kabi munosabatlar ekvivalentlik munosabati
bo’ladi. Ekvivalentlik munosabati to’plamni sinflarga ajratadi.
Ta’rif: Agar R munosabat antisimmetrik va tranzitiv bo’lsa, u holda R
tartib munosabati deyiladi.
Masalan, «<», «>», «£», «³» lar tartib munosabati bo’ladi.
Ta’rif: Agar X va Y to’plam elementlari orasidagi R munosabatda X
to’plamning har bir elementiga Y to’plamning bittadan ortiq bo’lmagan
elementi mos kelsa, u holda R funkts*ional munosabat yoki funkts*iya
deyiladi. (Misollar maktabdan olinadi).

Ta’rif: Agar R munosabat funkts*ional bo’lsa, u holda uning aniqlanish
sohasi funkts*iyaning aniqlanish sohasi deyiladi. qiymatlar sohasi esa,
funkts*iyaning qiymatlar sohasi deyiladi.
Ta’rif: Agar X va Y to’plamlar elementlari orasidagi R munosabatda
Xning har bir elementiga Yning faqat bitta elementi mos kelsa, u holda
R munosabat Xni Yga syur’ektiv akslantirish deyiladi.
Ta’rif: Agar akslantirishning qiymatlar sohasi Y to’plam bilan teng
bo’lsa, akslantirish in’ektiv deyiladi.
Ixtiyoriy A to`plam b е rilgan bo`lsin. to`plamning ixtiyoriy Р
qism to`plami to`plamdagi binor munosabat dеyiladi . Agar ( х , у )
Р bo`lsa х va у el е m е ntlar Р binar munosabatda dеyiladi va хРу kabi
yoziladi.
D е mak binar munosabatlar bu ikki ob` е kt orasidagi munosabatdir.
Binor munosabatlar bilan birga unar, binar va umuman -nar
munosabatlar ham qo`yiladi. Unar munosabat bu bitta ob`еktning
xossasini ifodalaydi, tеrnar munosabat bu uchta ob`еkt orasidagi
nar munosabat esa ta ob`еkt orasidagi munosabatdir.
Misollar 1) haqiqiy sonlar to`plamidagi х va у sonlarning
tеngligi munosabati binor munosabat bo`ladi. Bu munosabat
t е kislikdagi) to`g`ri chiziq nuqtalari bilan b е rilgan.
2) to`plamdag и munosabat binar bo`lib u
tеkislikdagi to`g`ri chiziqdan tashqarisidagi nuktalar bilan
bеriladi.

3) da sonning sonidan katta ekanligi da
to`g`ri chiziqdan yuqorida yotgan nuqtalar to`plami bajariladi. (rost).
4) To`plamlarning tеnglik , tеng emaslik , qism to`plam
bo`lishlik munosabatlari ham binar munosabatga mos bo`ladi.
5) T е kislikdagi to`g`ri chiziqlarning parall е llik e
1 ¦¦e
2 va
pеrpеndikulyarlik munosabati .
6) Biz t е nglamalar sist е masining ikkinchi sist е maning natijasi bo`lishlik
munosabati va biz t е nglamalar sist е masining ikkinchisiga t е ng kuchli
(ekvival е nt) bo`lish munosabatlari ham binar munosabatga mos bo`ladi.
Xossalari:
1 0
. Agar uchun rost bo`lsa bundan munosabatga
to`plamdagi rеflеktiv munosabat dеyiladi.
Agarda munosabat o`rinli bo`lmagan mavjud bo`lsa, ya`ni
dagi ba`zi uchun o`rinli, ba`zilari uchun o`rinli bo`lmasa
ga rеflеktiv bo`lmagan munosabat dеyiladi.
2 0
. Agar munosabatning o`rinli ekanligidan ning ham o`rinli
ekanligi kеlib chiqsa binar munosabatga simmеtrik munosabat
dеyiladi. o`rinli bo`lgan lar uchun o`rinli bo`lmasa
antisimmеtrik munosabat dеyiladi.(ya`ni va k е lib
chiqsa). Agarda va munosabatlar hattoki bo`lganda ham
bajarilmasa bunday munosabatga simmеtrik munosabat dеb ataladi.
3 0
. Agarda to`plamdagi elеmеntlar uchun va
larning rost ekanligidan ning rost ekanligi kеlib chiqsa bunday
munosabatga to`plamdagi tranzitiv munosabat d е yiladi.

to`plamdagi r е fl е ktiv, simm е trik va tranzitiv munosabatga shu
to`plamdagi ekvival е ntlik munosabati d е yiladi va ko`rinishda
bеlgilanadi.
Misollar. 1. (haqiqiy son) haqiqiy sonlar to`plamidagi тенглик
munosabati.
5. to`plamda o`zgartirishlar guruxi b е rilgan bo`lsin. Agar
to`plamning elеmеntlari uchun tеngliklarni
qanoatlantiruvchi biеktiv akslantirish mavjud bo`lsa bu va
elеmеntlarni ekvivalеnt dеyiladi va ko`rinishda bеlgilanadi. Bu
ekvival е ntlik munosabati ham ekvival е ntlik munosabati bo`ladi.
Chunki va uchun ya`ni (rеflеksiv).
Agarda bo`lsa bo`ladi, chunki biektsiya
bo`lgani uchun ning tеskarisi ham mavjud va bo`ladi.
(simmеtriklik) shuningdеk agar va bo`lsa, u holda
bajariladi dan yoki dеb
bеlgilab olsak bajariladi. Dеmak ekvaval е ntlik munosabat
bo`ladi. to`plam biror usul bilan sinflarga bo`lingan bo`lsin:
bu bo`linma yordamida to`plamda
ekvavalеntlik munosabatini ko`rsatamiz. Agar elеmеntlar
bo`linmadagi bir sinfga tеgishli bo`lsa, ularni bo`linmaga nisbatan
ekvavalеnt dеymiz va shaklda yozamiz. Bu ekvavalеntlik rеflеksiv,
simmеtriklik va tarnzitivlik shshartlarini qanoatlantiradi. Ixtiyoriy A
to`plamda har qanday ekvavalеntlik munosabatini shunday hosil
qilishimiz mumkinligini ko`rsatamiz. to`plamda biror
ekvavalеntlik munosabati bеrilgan bo`lsin uchun da ekvavalеnt
bo`lgan barcha elеmеntlar to`plamini bilan bеlgilaymiz. Endi

olib el е m е ntlarni sinfga ko`rsatamiz. U holda
Ø. Endi ni olib shu jarayonni davom ettiramiz.
Buning natijasida asli yoki ch е ksiz sondagi o`zaro k е sishmaydigan
sinflarga ega bo`lmaymiz va tеnglik o`rinli
bo`ladi.
Shunday qilib to`plamni sinflarga bo`lish va ekvavalеntlik
munosabatlari orasida o`zaro bir qiymatli moslik mavjud.
to`plamga faktor to`plam d е yiladi. to`plamda biror
ekvavalеntlik munosabati bеrilgan va esa biror to`plam bo`lsin.
ni qaraymiz. Agar to`plamning elеmеntlarining biror
xossasi uchun dagi kеlib chiqsa bunday aks
ettirish invariant dеyiladi.
Xususiy holda agar to`plamdagi ekvavalеntlik munosabati
to`plamdagi biror o`zgartirishlar guruhi hosil qilgan ekvivalеntlik
bo`lsa invariant aks ettirish ga quyidagicha ta`rif bеriladi.
Agar va uchun tеnglik o`rinli bo`lsa bunday
aks ettirishga invariant aks ettirish d е yiladi. invariant aks
ettirishning quyidagi xossasi muhimdir. Agar lar uchun
bo`lsa ular ekvival е ntlik bo`lmaydi. Shunday qilib
invariantlar ekvivalеnt sinflarni farq qilish vositasi sifatida muhimdir.
Agar invariantlar tizimi quyidagi shartlarni
qanoatlantirsa unga to`la dеyiladi: har qanday ekvivalеnt bo`lmagan
elеmеntlar uchun shunday invariant mavjud bo`lsaki
munosabat bajariladi.

X to‘plam to‘g‘ri chiziqlar to‘plamidan iborat bo‘lsin. Bu to‘plamda
parallellik munosabatini qaraymiz (5-chizma). Ko‘rinib turibdiki, a ∕ ∕ b,
c ∕ ∕ e, b ∕ ∕ a, e ∕ ∕ c, a ∕ ∕ a, b ∕ ∕ b, c ∕ ∕ c, e ∕ ∕ e, d ∕ ∕ d. Bu munosabatning
grafini G={(a,b), (b,a), (c,e), (e,c), (a,a), (b,b), (c,c), (e,e), (d,d)}
to‘plamdan iborat. Uning grafi 6-chizmadagidek bo‘ladi.
II. Munosabatlarning xossalari
2.1Ekvivalentlik munosabati .
X to‘plam elementlari orasidagi R munosabat Dekart ko‘paytmaning
har qanday qism to‘plami, ya’ni elementlari tartiblangan juftliklar
to‘plami bo‘lganligi uchun munosabatlarning berilish usullari
to‘plamlarning berilish usullari bilan bir xil bo‘ladi.
1. X to‘plamdan olingan va shu munosabat bilan bog‘langan barcha
elementlar juftliklarini sanab ko‘rsatish bilan berish mumkin. Masalan,
X={4,5,6,8} to‘plamdagi biror munosabatni quyidagi juftliklar
to‘plamini yechish bilan berish mumkin: {(5,4), (6,5)}. Shu
munosabatning o‘zini yana graflar bilan berish mumkin.
2. Ko‘pincha X to‘plamdagi R munosabat shu R munosabatda bo‘lgan
barcha elementlar juftliklarining xarakteristik xossasini ko‘rsatish bilan
beriladi. Masalan, “x soni y sonidan katta”, “x soni y sonidan 10 marta
kichik” va h.k. Sonlar uchun “katta” munosabati x>y, x soni y sonidan

10 marta kichik munosabati y=10x ko‘rinishda, parallellik va
perpendikulyarlik munosabatlari x ∕ ∕ y, xy ko‘rinishda yoziladi.
Boshlang‘ich matematikada katta e’tibor sonlar orasidagi
munosabatlarga qaratiladi. Ular turlicha beriladi: qisqa shaklga ega
(“katta”, “…marta katta”, “…ta kam”) bo‘lgan ikki o‘zgaruvchili
jumlalar yordamida beriladi.
3. Munosabatlarning xossalari.
1. Refleksivlik. Agar X to‘plamdagi ixtiyoriy element haqida u o‘z-o‘zi
bilan R munosabatda deyish mumkin bo‘lsa, X to‘plamdagi munosabat
refleksiv munosabat deyiladi va xRx ko‘rinishda yoziladi. Masalan,
parallellik va tenglik munosabatli refleksivlik xossasiga ega: a ∕ ∕b bo‘lsa,
b ∕ ∕a bo‘ladi, a=b bo‘lsa, b=a bo‘ladi. Ularning graflarida sirtmoqlar
bo‘ladi.
2. Simmetriklik. Agar X to‘plamdagi x element y element bilan R
munosabatda bo‘lishidan y elementning ham x element bilan R
munosabatda bo‘lishi kelib chiqsa, x to‘plamdagi R munosabat
simmetrik munosabat deyiladi. Buni qisqacha ko‘rinishda yoziladi.
Masalan, parallellik, perpendikulyarlik va tenglik munosabatlari
simmetriklik xossasiga ega simmetriklik munosabatning grafida x dan y
ga boruvchi har bir strelka bilan birga, graf y dan x ga boruvchi
strelkaga ham ega bo‘ladi.

3. Antisimmetriklik. Agar x to‘plamning turli x va y elementlari uchun x
element y element bilan R munosabatda bo‘lishidan y elementning x
element bilan R munosabtda bo‘lmasligi kelib chiqsa, x to‘plamdagi R
munosabat antisimmetrik mundeyiladi. Bu qisqacha va ko‘rinishda
yoziladi. Masalan, “uzunroq” munosabati antisimmetrik munosbat
bo‘ladi. Masalan, a kesma b kesmadan uzunroq bo‘lishidan b kesma
ham a dan uzunroq bo‘lishi kelib chiqmaydi.
Antisimmetrik munosabat grafining ikkita uchi strelka bilan
tutashtirilgan bo‘lsa, bu strelka yagona bo‘ladi.
4. Tranzitivlik. Agar X to‘plamdagi x elementning y element bilan R
munosabatda bo‘lishi va y elementning z element bilan R munosabatda
bo‘lishi kelib chiqsa, X to‘plamdagi R munosabat tranzitiv munosabat
deyiladi. Buni qisqacha va ko‘rinishda yoziladi.
Tranzitiv munosabatning grafi x dan y ga va y dan z ga boruvchi har bir
strelkalar juftligi bilan birga x dan z ga boruvchi strelkaga ham ega.
Masalan, “x kesma y kesmadan uzunroq” munosabat
1 - m i s o l . {< 2,4 >,< 5,6 >,< 7,6 >,< 8,8 >} tartiblangan juftliklar
to'plami binar munosabatdir.
2- m i s o l . Agar p ayniyat munosabatini bildirsa, u holda < x , y > e p
yozuv x = у ayniyatni bildiradi.
3- m i s o l . Agar p onalik munosabatini bildirsa, u holda e p yozuv
Xurshida Irodaning onasi ekanligini bildiradi.

4- m i s o l . Ternar munosabatga butun sonlar to'plamida aniqlangan
qo'shish amalini misol qilib keltirsa bo'ladi. Bundan keyin binar
munosabat atamasi o'rnida, qisqalik uchun, munosabat atamasini
ishlatamiz.
3- t a ’ r i f . Agar p biror munosabatni ifodalasa, и holda < X,у > e p va
x p у ifodalar o ‘zaro almashuvchi ifodalar deb ataladi. x p у ifoda
(yozuv) “infiks yozuvi” deb yuritiladi va “ x (predmet) у (predmet)ga
nisbatan p munosabatda” deb o'qiladi. Odatdagi x = y , x < y , x у
belgilashlar (yozuvlar) x p y ifodadan kelib chiqqan deb hisoblash
mumkin.
{ x /x e A} yozuvni, to'plamlar nazariyasidagi kabi, “shunday xlar
to'plamiki, x e A ” deb tushunamiz.
4- t a ’ r i f . { x I ayrim у uchun < x, у > £ p ) to'plam p munosabatning
aniqlanish sohasi deb ataladi va D p kabi belgilanadi.
5- t a ’ r i f . { у / ayrim x uchun < x ,y > £ /?} to'plam p munosabatning
qiymatlar sohasi deb ataladi va Rp kabi belgilanadi.
Boshqacha qilib aytganda, p munosabatning aniqlanish sohasi shu p
munosabatning birinchi koordinatalaridan tashkil topgan to'plamdir,
ikkinchi koordinatalaridan tuzilgan to'plam esa, uning qiymatlar
sohasidir.
5- m i s o l . {< 2,4 >,< 3,3 >,< 6,7 >} ko'rinishdagi p munosabat
berilgan bo'lsin. U holda D p = {2,3,6}, Rp = {4,3,7}. Tartiblangan
juftliklar to'plami tushunchasidan foydalanib, Dekart
ko'paytmasini (ushbu bobning 4- paragrafiga qarang) boshqacha ham
aniqlash mumkin. Agar x biror X to'plamning elementi, у esa Y

to'plamning elementi bo'lsa, u holda tartiblangan »> juftliklar С to'plami
X va Y to'plamlarning Dekart ko'paytmasi deyiladi:
С = X x Y = {< x ,y > / x e X , y e Y}. Har bir p munosabat X X Y
to'g'ri ko'paytmaning qism to'plami bo'ladi va X D p , Y 3 Rp .
6- t a ’ r i f . Agar p c z X x Y bo'lsa, и holda p shu X dan Y ga bo'lgan
munosabat deb ataladi.
7- t a ’ r i f . Agar p с X x Y va Z ID X [ j Y bo ‘Isa, и holda p dan Z ga
bo ‘Igan munosabat deb ataladi.
8- t a ’ r i f . Z dan Z ga bo'lgan munosabat Z iehidagi munosabat deb
ataladi.
9- t a ’ r i f . X to'plam iehidagi X x X munosabat X iehidagi universal
munosabat deb ataladi.
10- t a ’ r i f . {< x, x > / x e X } munosabat X iehidagi ayniyat
munosabati deb ataladi va ix yoki i simvoli bilan belgilanadi. Ixtiyoriy X
to'plamning x va у elementlari uchun xixy ifoda x = у bilan teng
kuchlidir. {< x ,у > e R x R / у < x} shaklda ifodalash mumkin.
2. Ekvivalentlik munosabati. Munosabatlar turli xossalarga egabo'lishi
mumkin. Matematikada quyidagi 12- ta’rifda ko‘rsatilgan uchta xossaga
ega boigan munosabatlar ko‘p uchragani uchun ularga maxsusnom
berilgan.
12-t a ’ r i f . X to'plamning ixtiyoriy x elementi uchun: agar x p x bo
‘Isa, и holda p munosabat X to ‘plamdagi refleksiv
munosabat; agar x p у dan у p x kelib chiqsa, и holda p munosabat
simmetrik munosabat; agar x p у va у p z dan x p z kelib chiqsa, и holda
p munosabat tranzitiv munosabat deb ataladi.

13- t a ’ r i f . Agar biror to'plamdagi munosabat refleksiv, simmetrik va
tranzitivlik xossalariga ega bo'lsa, и holda bunday munosabat shu to
‘plamdagi ekvivalentlik munosabati deb ataladi. Agar p munosabat X
to‘plamdagi ekvivalentlik munosabati bo'lsa, u holda Dp = X bo'lishi
ravshandir. o'xshashlik munosabati.
3. Butun sonlar to'plamidagi n modul bo'yicha taqqoslash munosabati.
4. O'zbekiston Respublikasida yashovchi odamlar to'plamidagi “bir uyda
yashovchilar” munosabati. Ekvivalentlik munosabati ushbu asosiy
xususiyatga ega: u to'plamni kesishmaydigan qism to'plamlarga bo'ladi.
Masalan, 7- misolning 4- bandidagi “bir uyda yashovchilar” munosabati
O'zbekiston Respublikasida yashovchi odamlar to'plamini bir-biri bilan
kesishmaydigan “bir uyda
yashovchilar” va “qolganlar” qism to'plamlariga bo'ladi. Bu aytilganlami
quyidagicha umumlashtirish mumkin.
14- t a ’ r i f . p biror X to'plamdagi ekvivalentlik munosabati bo'lsin.
Agar X to'plamning A qism to'plamida shunday x element topilib, A =
{y / x p y } bo ‘Isa, и holda A qism to 'plam ekvivalentlik
sinfi yoki ekvivalentlik p -sin/i deb ataladi. Keltirilgan ta’rifga asosan X
to'plamning A qism to'plami ekvivalentlik sinfi bo'lishi uchun X
to'plamning Л = ;р [{.*}] tenglikni qanoatlantiruvchi x elementi mavjud
bo'lishi yetarli va zarurdir. Agar p
munosabat to'g'risida hech qanday shubha fag'ifmaydigan bo'lsa, u holda
X to'plamdagi x elementlarning p -obrazlari to'plami [x] slhaklrda
belgilanadi (ya’ni p[{x}] = [x]) va bu to'plam x yuzaga keltirgan
1‘kvivak‘ntlik sinfi deb ataladi. Ekvivalentlik sinfi quyidagi ikki
xususiyatga ega:

$1) X e [x] - bir sinfning hamma elementlari o'zaro ekvivalentdir; 2) agar x p у bo'lsa, u holda [x] = [ j'] . 1) xossa ekvivalentlik munosabatining refleksivlik xususiyatidan kelib chiqadi. 2) xossani isbotlaymiz. x p у bo'lsin, ya’ni x element у elementga ekvivalent bo'lsin, u holda [у] с [x ]. Haqiqatan ham, z 6 [j^] (ya’ni, y p z ) munosabatdan va x p z bo'lganligi uchun, p munosabatning tranzitiv xususiyatiga asosan, x p z kelib chiqadi, ya’ni z e [ x \ . Ekvivalentlik munosabatining simmetriklik xossasidan foydalanib, [x] с [у] bo'lishini isbot qilish mumkin. Demak, [x] [ y ]Ma’lumki, A to‘plamda aniqlangan R binar munosabat simmetrik munosabat bo‘lishi uchun R = R–1 shartning bajarilishi, ya’ni R munosabat uning teskarisiga teng bo‘lishi zarur va yetarlidir. 4.7-Ta’rif. Agar har doim (a,b)R va (b,a)Rekanligidan a=b ekanligi kelib chiqsa, R munosabat  antisimmetrikbinar munosabat deyiladi. 4.8-Ta’rif. Agar (a,b)R va  (b,c)R shartlar o‘rinli bo‘ladigan ixtiyoriy a,b,cA elementlar uchun   (a,c)R shart ham o‘rinli bo‘lsa, A to‘plamda aniqlangan R binar  munosabat tranzitiv munosabatdeyiladi. A to‘plamdagi R binar munosabat tranzitiv munosabat bo‘lishi uchun RRR shartning bajarilishi   zarur va yetarli ekanligi kelib chiqadi. Binar munosabatlarning muhim turi sifatida ekvivalentlik munosabatini keltirish mumkin. 4.9-Ta’rif. AgarA to‘plamda aniqlangan R binar munosabat bir vaqtning o‘zida refleksiv, simmetrik va tranzitiv bo‘lsa, u holda R munosabatga ekvivalentlik munosabatideyiladi. 4.1-Teorema. Bo‘sh bo‘lmagan A$

to‘plamda aniqlangan ihtiyoriy R ekvivalentlik munosabati A to‘plamni
o‘zaro kesishmaydigan sinflarga ajratadi va aksincha, A to‘plam o‘zaro
kesishmaydigan sinflarga bo‘lingan bo‘lsa, u holda A to‘plamda
berilgan bo’linishlarga mos keluvchi ekvivalentlik munosabati aniqlash
mumkin.
29 Isbot. Aytaylik A to’plamda R ekvivalentlik munosabati aniqlangan
bo’lsin. Ixtiyoriy aA element uchun R[a]={xA|(a, x)R} to’plamni  
aniqlaymiz. R refleksiv bo’lganligi uchun aR[a], ya’ni aniqlangan

to’plam bo’sh emas. Ushbu to’plamlar A to‘plamda o‘zaro
kesishmaydigan sinflarni hosil qilishini ko’rsatamiz. Aytaylik, R[a] va
R[b] to’plamlar umumiy elementga ega bo’lsin. U holda zR[a]∩R[b],

ya’ni zR[a] va zR[b]. Bundan esa (a, z)R va (b, z)R ekanligini hosil
   
qilamiz. Ixtiyoriy xR[a] element olaylik, u holda (a, x) R. Agar (a,z)R
  
ekanligi, hamda R munosabatning simmetrik va tranzitivligidan
foydalansak, (z, a) R, (a, x) R ekanligini, bundan esa (z, x) R bo’lishini
  
hosil qilamiz. (b, z) R ni hisobga olib esa (b,x)R ni olamiz. Bu esa xR[b]
  
ekanligini anglatadi. Demak, R[a] R[b]. Xuddi shunga o’xshash R[a]

R[b] ekanligini, ya’ni R[a] = R[b] ni hosil qilamiz. Bu esa R[a] o’zaro

kesishmaydigan sinflar ekanligini anglatadi. Va aksincha, agar A
to’plam o’zaro kesishmaydigan sinflarning birlashmasi shaklida
ifodalangan bo’lsa, R munosabatni quyidagicha aniqlaymiz. Agar a va b
elementlar bitta sinfga tegishli bo’lsa, ularni R binar munosabat orqali
bo’g’langan deymiz. Ravshanki, bu R munosabat ekvivalentlik
munosabati bo’ladi. ±Agar biror A to‘plam R ekvivalentlik munosabati
yordamida o‘zaro kesishmaydigan qism to‘plamlarga bo‘lingan bo‘lsa,
ana shu qism to‘plamlarni ekvivalentlik sinflar deb ataymiz. A ning bu

ekvivalentlik sinflar to‘plamini A/R kabi belgilanadi va A/R to’plam
faktor-to‘plam deb ataladi. 30 n ta elementli A to’plamda aniqlangan
barcha ekvivalentlik
Ta’rtif: Bo’sh bo’lmagan A va B to’plamlarda A to’plam elementlarini
birinchi, B to’plam elementlarini ikkinchi qilib tuzilgan barcha juftliklar
to’plamiga A va B to’plamlarning dekart (to’g’ri) ko’paytmasi deyiladi
va u AxB ko’rinishda belgilanadi.
Ta’rifga ko’ra AxB={(x;y)/xA, yB} bo’ladi. Tartiblangan (x; y) juftlikni
uzunligi teng ikkiga bo’lgan kortej ham deyiladi. Uzunligi n ga teng
bo’lgan kortej deganda tartiblangan (a1, a2,..., an) belginin tushinamiz.
Agar ikkita kortejning uzunliklari va mos komponentalari o’zaro teng
bo’lsa, u holda bu kortejlani teng deyiladi.
Misol. A={1, 2, 3}, B={4, 5} bo’lsa u holda AxB={(1;4), (1;5), (2;4),
(2;5), (3;4), (3;5)} bo’ladi.
Agar A to’plamda m ta B to’plamda n ta element bo’lsa, u holda AxB
to’g’ri ko’paytmada mn ta element bo’ladi.
Ta’rif: Har qanday A1, A2, ... An to’plamlar berilgan bo’lsa, u holda
A1xA2x…xAn dekart ko’paytmaning ixtiyoriy W qism to’plami shu
to’plamlar elementlari orasida aniqlangan n o’rinli moslik, n ga esa shu
W moslikning rangi deyiladi.
Xususiy holda A1=A2=…=An=A bo’lsa, u holda W moslik A
to’plamdan aniqlangan munosabat deb yuritiladi.
bo’lib An={(x1, x2,…, xn)|xiA (i=)} bo’ladi.
Dekart ko’paytma kommutativ emas.

Ta’rif: AxB dekart ko’paytmaning ixtiyoriy qism to’plamiga A va B
to’plam elementlari orasida aniqlngan binar (ikki o’rinli) munosabat
deyiladi.
2.2To’plamlarni juft-jufti bilan sinflarga ajratish.
Agar aA, bВ bo’lib, (a; b) bo’lsa, u holda a element munosabat
   
yordamida b element bilan bog’langan deyiladi yoki munosabat a va b

elementlar uchun o’rinli deb yuritiladi va uni ab shaklda yoziladi.

Mosliklarni , R, S, T… harflar orqali belgilanadi.

ab da o’rnida =, //, ,   , … munosabatlar kelishi mumkin.
     
Misol. Ikkita a va b natural sonlarning eng katta umumiy bo’luvchisini
topish uch o’rinli (ternar) munosabat bo’ladi.
Quyida binar munosabat turlarini ko’raylik:
1. Refleksiflik munosabati.
Ta’rif: Agar A to’plamning ixtiyoriy a elementi uchun aa bajarilsa

(bajarilmasa), u holda ga A to’plamda aniqlangan refleksiv

(antirefleksiv) munosabati deyiladi. Agar A to’plamning ba’zi bir a
elementi uchun aa bajarilib, ba’zi bir b elementi uchun bb bajarilmasa, u
 
holda ga A to’plamdagi refleksifmas munosabat deyiladi.

Masalan, R haqiqiy sonlar to’plamida aniqlangan “tenglik” munosabati
refliksev, lekin “kichik” (“katta”) munosabati antirefliklsev munosabat
bo’ladi.
2. Simmetrik munosabat.
Ta’rif: Agar A to’plamning ixtiyoriy a va b elemementlari uchun ab

munosabatning o’rinli ekanligidan ba munosabatning ham o’rinli


ekanligi kelib chiqsa,(kelib chiqmasa), u holda ga A to’plamda
aniqlangan simmetrik (semmitrikmas) munosabat deyiladi. Agar A
to’plamdagi ixtiyoriy a va b elementlar uchun ab va ba
 
munosabatlarning bajarilishidan a=b kelib chiqsa, u holda ga A

to’plamdagi antyisimmetrik munosabat deyiladi.
Masalan, R haqiqiy sonlar to’plamida “tenglik” munosabati simmetrik,
“kichik” (“katta”) munosabatga semmitrik munosabat emas, lekin
“kichik emas” (“katta emas”) munosabati antisemmitrik munosabat
bo’ladi.
3. Tranzitivlik munosabat.
Ta’rif: Agar A to’plamning ixtiyoriy a, b va c elementlari uchun ab va

bc munosabatlarning o’rinli ekanligidan ac munosabatning o’rinli
 
ekanligi kelib chiqsa (kelib chiqmasa), u holda ga A to’plamdagi

tranzitiv (tranzitivmas) munosabati deyiladi.
Masalan, R haqiqiy sonlar to’plamidagi “kichik” (“katta”) munosabati
tranzitiv munosabat bo’ladi.
Endi akslantirish (funktsiya) tushunchasini o’rganaylik.
Ta’rif: A va B to’plamlar berilganda, A to’plamning har bir x elementi
 
uchun xfy munosabatni qanoatlantiruvchi yagona yB element mavjud

bo’lsa, u holda f moslikka akslantirish (funktsiya) deyiladi va u f:AB

yoki y=f(x) ko’rinishlarda belgilanib A to’plam f akslantirishning
aniqlanish sohasi deyiladi.
Misol. {(x; y): x, yN, y=x2} funktsiya bo’ladi.

Ta’rif: y=f(x) shartni qanoatlantiruvchi tartiblangan (x; y) juftliklar
to’plami funktsiyaning grafigi deyiladi.

$Ta’rif. Agar f:AB akaslantirishda A=B, yani f:AA bo’lsa, u holda f  akslantyirish to’plamni o’z-o’ziga akslantiruvchi almashtirish deyiladi. y=f(x) da y element x elementning obrazi (aksi), x element esa y elementning, ya’ni f(x) ning proobrazi (asli) deb yuritiladi. Ta’rif: Agar B to’plamning har bir elementi asliga ega bo’lsa, u holda f:AB aklantirishga syurektiv (ustiga) akslantirish deyiladi.  Misol. f:xx2 moslik barcha haqiqiy sonlar to’plamini manfiymas haqiqiy  sonlar to’plamiga aklantirish syurektiv akslantirish bo’ladi. Ta’rif: Agar B to’plamning har bir elementi bittadan ortiq asliga (proobrazga) ega bo’lmasa, u holda bunday akslantirishga in’ektiv (ichiga) akslantirish deyiladi. Ta’rif: Agar f:AB akslantirish bir vaqtda syurektiv va inektiv bo’lsa, u  holda f akslantirish biektiv akslantirish deyiladi. Ta’rif:. A to’plamning har x elementini yana shu x elementga o’tkazuvchi (akslantiruvchi) akslantirishga ayniy (birlik) akslantirish deyiladi va uni ea:AA orqali belgilanadi.  Refleksiv simmetrik o'tish munosabati ekvivalentlik munosabati deyiladi . Refleksiv antisimmetrik o'tish munosabati (qisman) tartib munosabati deb ataladi . Antirefleksiv antisimmetrik o'tish munosabati qat'iy tartibga solish munosabati deb ataladi . To'liq antisimmetrik (har qanday uchun {\ displaystyle x, y}x, y amalga oshirildi {\ displaystyle xRy}xRy yoki {\ displaystyle yRx}yRx) o'tish munosabati chiziqli tartibli munosabat deyiladi .$ $Anti-reflektiv antisimmetrik munosabat dominantlik munosabati deb ataladi . Binar munosabatlarning turlari Teskari munosabat[ aniqlash ] (ga teskari munosabat{\ displaystyle R}R) juft elementlardan tashkil topgan ikki o‘rinli munosabatdir {\ displey uslubi (y, x)}(y, x)juft elementlarni almashtirish orqali olinadi {\ displey uslubi (x, y)}(x, y) bu munosabat {\ displaystyle R}R... Ko'rsatilgan:{\ displaystyle R ^ {- 1}}R ^ {{- 1}}... Bu munosabat va uning qarama-qarshiligi uchun tenglik to'g'ri bo'ladi:{\ displey uslubi (R ^ {- 1}) ^ {- 1} = R}(R ^ {{- 1}}) ^ {{- 1}} = R... O'zaro munosabatlar (o'zaro munosabatlar) - bir-biriga teskari munosabatlar. Ulardan birining diapazoni ikkinchisining diapazoni bo'lib xizmat qiladi va birinchisining diapazoni ikkinchisining diapazoni hisoblanadi. Refleksiv munosabat - ikki tomonlama munosabat{\ displaystyle R}R, ba'zi bir to'plamda belgilangan va har qanday uchun xarakterlanadi {\ displaystyle x}x ushbu to'plam elementidan {\ displaystyle x}x munosabatda bo‘ladi {\ displaystyle R}R o'ziga, ya'ni har qanday element uchun {\ displaystyle x}x bu to'plam sodir bo'ladi {\ displaystyle xRx}xRx... Refleksiv munosabatlarga misollar: tenglik , bir vaqtdalik , o'xshashlik .ilik munosabat Aloqalar bilan bog'liq muhim mantiqiy tushunchalarni ko'rib chiqing, xususan, geometriyaning har qanday aksiomatikasida qo'llaniladi. To'plamlarning bevosita mahsuloti$ $Tartiblangan juftlik \ langle {x, y} \ rangle- ma'lum tartibda olingan ikkita element xva dan iborat to'plam y: element xjuftlikda birinchi, element yesa ikkinchi hisoblanadi. Ikki juft buyurdi \ langle {x_1, y_1} \ rangleva \ langle {x_2, y_2} \ rangledeyiladi teng bo'lsa va faqat x_1 = x_2va y_1 = y_2. (Kartezyen) mahsulot silsilasini yo'naltirish Xva Ybarcha buyurgan juft majmuini \ langle {x, y} \ ranglebunday X ichida x \va Y ichida y \. To'g'ridan-to'g'ri mahsulot belgilanadi X \ marta Yva holatda Y = X- oddiygina X ^ 2, ya'ni. X \ marta X = X ^ 2... Buyurtma qilingan uchlik, to'rtlik va boshqalar, shuningdek, uch, to'rt va hokazolarning bevosita mahsulotlari ham xuddi shunday aniqlanadi. to'plamlar. Misol uchun, to'g'ridan-to'g'ri mahsulot \ overbrace {\ mathbb {R} \ marta \ mathbb {R} \ marta \ cdots \ marta \ mathbb {R}} ^ {n} = \ mathbb {R} ^ nsilsilasini \ mathbb {R}haqiqiy sonlar butun buyurdi fotoalbomlarda majmui hisoblanadi \ langle x_1, x_2, \ ldots, x_n \ ranglebo'lgan nreal sonlar x_1, x_2, \ ldots, x_n. Misol B.1. Raqamli to'plamlar uchun X = \ {1; 2 \}va Y = \ {3; 4 \}toping: X \ marta Y, ~ Y \ marta X, ~ X ^ 2, ~ Y ^ 2. Ekvivalentlik munosabati$ $To'plamdagi p ikkilik munosabat bu tartiblangan juftliklar X \ marta Yto'plamining kichik to'plamidir\ rho\ langle x, y \ rangle, X da ~ x \, Y da ~ y \ . Agar juftlik \ langle x, y \ ranglemunosabatlarga tegishli bo'lsa \ rho, unda \ langle x, y \ rangle \ in \ rhoyoki yozing x \, \ rho \, y. Agar bo'lsa Y = X, u holda munosabat \ rho, ya'ni. to'plamning kichik to'plamiga to'plamdagi ikkilik munosabatX ^ 2 deyiladi . XA ikkilik aloqa \ rhomajmui ustida Xdeb ataladi:- o'zlik, agar x \, \ rho \, xbiron uchun X ichida x \; - simmetrik bo'lsa, agar uning qaysi X ichida x, y \biri x \, \ rho \, yuchu quyidagilar bo'lsa y \, \ rho \, x; - har X da x, y, z \biri uchun o'tishli bo'lsa x \, \ rho \, yva y \, \ rho \, zbundan keyin keladi x \, \ rho \, z. To'plamdagi refleksiv, simmetrik va o'tish munosabati to'plamdagi ekvivalentlik munosabatiX deyiladi va belgi bilan belgilanadi . X\ sim Misol B.2. Berilgan ikkilik munosabatlar: a) munosabat = ~ (x = y" xteng y") haqiqiy sonlar to'plamida; b) nisbat & lt; ~ (x & lt; y- " xkamroq y") haqiqiy sonlar to'plami bo'yicha; v) munosabat \ leqslant ~ (x \ leqslant y- " xendi yo'q y") haqiqiy sonlar to'plami bo'yicha; d) munosabat \ mathbf {B} ~ (x \ mathbf {B} y- " xbirodar y") odamlar to'plamiga; e) munosabat \ sim ~ (M \ sim N- "ko'pburchak ko'pburchak Mkabi N") muntazam ko'pburchaklar to'plamida; f) m = n \ pmod {p}butun sonlar to'plamiga munosabat : " mson son nmoduli bilan taqqoslanadip ", ya'ni. raqamlar bo'limi keyin Boqiy mva ntabiiy qator pteng.$ $Berilgan munosabatlarning refleksiv, simmetrik, tranzitiv, ekvivalent munosabatlar ekanligini aniqlang. Yechim: a) x = xHar qanday haqiqiy son xuchun munosabat =refleksli bo'lgani uchun. Yildan x = yu quyidagicha y = x, nisbati simmetrik bo'ladi. Chunki tengliklardan x = yvay = z bundan kelib chiqadiki x = z, munosabat o'tish davridir. Demak, tenglik munosabati ekvivalentlik munosabatidir. b) “kam” munosabati refleksiv emas (tengsizlik x & lt; xnoto‘g‘ri) va simmetrik (u x & lt;yergashmaydi, y & lt; xbalki o‘tish xususiyatiga ega (chunki tengsizliklar x & lt;yvay & lt;z bo‘lishi kerak x & lt;z)) Bu munosabat ekvivalentlik munosabati emas. c) “Endi yo‘q” nisbati refleksiv (tengsizlik x \ leqslant xhar qanday haqiqiy sonlar uchun to‘g‘ri) va o‘tishli (tengsizlik x \ leqslant yva y \ leqslant zkerak x \ leqslant z), lekin simmetrik emas (masalan, 1 \ leqslant 2shuni anglatmaydi).2 \ leqslant 1 ). Bu munosabat ekvivalentlik munosabati emas. d) "Birodarlik" munosabatlari refleksiv emas (har qanday shaxs o'zi uchun birodar emas), simmetrik (agar xuka bo'lsa y ~ (x \ mathbf {B} y), u holda yaka x ~ (x \ mathbf {B} y)noto'g'ri, chunki u yuchun opa- singil bo'lishi mumkin x), o'tishli. (masalan, agar uch kishi uchun x, y, zbizda x \ mathbf {B} yva bo'lsa y \ mathbf {B} z, unda bu erga kelmaydi x \ mathbf {B} z, chunkiz uchun opa-singil bo'lishi mumkin x). Bu munosabat ekvivalentlik munosabati emas. e) Har bir ko'pburchak o'ziga o'xshaydi M \ sim M. Demak, o'xshashlik munosabati refleksivdir. Ko'pburchaklarning o'xshashligidan M \ sim$ $Nkelib chiqadiki, N \ sim Mnisbat simmetrikdir. Ko'pburchaklarning o'xshashligi tufayli M \ sim Nva N \ sim Kbundan kelib chiqadiM \ sim K , munosabat o'tishli. Demak, ko‘pburchaklarning o‘xshashlik munosabati ekvivalentlik munosabatidir. f) qiyoslash m = n \ pmod {p}shartga teng: farq mnTo‘plamni ekvivalentlik sinflariga bo‘lish 2.3. Invariantlar aks ettirishlar. Ularning ta’kidlashicha, agar to‘plamX u yoki bu tarzda o‘zining juft- juft ajratilgan kichik to‘plamlarining birlashuvi ko‘rinishida ifodalansa, sinflarga bo‘linadi . Masalan, barcha universitet talabalari to'plami o'quv guruhlariga bo'lingan (va maktab o'quvchilari to'plami sinflarga bo'lingan). To'plamning Xsinflarga bo'linishi Xmunosabatni belgilaydi : x \ sim y- "" xbilan bir sinfda y. Belgisi bilan belgilangan bu munosabat \ simhaqiqatda ekvivalentlik munosabati ekanligini ko'rsatamiz. Darhaqiqat, u refleksli:, x \ sim xsimmetrik: x \ sim y \ o'ngga strelka y \ sim x(agar u xbilan bir sinfda bo'lsa y, u holda u ybilan bir sinfda bo'ladi x), o'tish (dan x \ sim yvay \ sim z barcha uchta elementlar quyidagilarx, y, z ham bir sinfga tegishli, keyin va x \ sim z). Demak, ko'rib chiqilayotgan munosabat ekvivalentlik munosabatidir. Qarama-qarshilik ham to'g'ri. \ simX to'plamida aniqlangan har qanday ekvivalentlik munosabatlari ushbu to'plamni bo'sh bo'lmagan sinflarga bo'lish imkonini beradi. Bir element bilan hosil ekvivalent sinf x a, bir kichik majmui bo'lib K_xto'plami Xo'sha elementlar iborat y \ X ichidauchun x \ sim y. Har qanday sinf K_xbo'sh bo'lmagan to'plamdir, chunki refleksivlik tufayli x \ sim xu kamida bitta elementni o'z ichiga oladi x.$ $Shunday qilib, to'plamdagi ekvivalentlik munosabati to'plamning ushbu munosabatga nisbatan bo'sh bo'lmagan ekvivalentlik sinflariga Xbo'linishini belgilaydi X. Har bir ekvivalentlik klassi uning har qanday elementi bilan noyob tarzda aniqlanadi. Ekvivalentligi sinflar majmui deb ataladi omili majmuini to'plamiX . Misol uchun, o'xshashlik munosabati (B.2-misolning "e" bandiga qarang) muntazam ko'pburchaklar to'plamini ekvivalentlik sinflariga ajratadi: muntazam uchburchaklar to'plami, kvadratlar to'plami va boshqalar. Butun sonlarni modul bilan taqqoslash munosabati p(B.2- misolning “f” bandiga qarang) butun sonlar to‘plamini pekvivalentlik sinflariga ajratadi , chunki paniq qoldiqlar soniga bo‘linganda (0; 1; \ ldots; p-1)teng bo‘ladi p. Agar xato, matn terish xatosi yoki takliflaringiz bo'lsa, izohlarda yozing. Ikkilik aloqa (. Engl ikkilik aloqa ) ko'p to'plami to'g'ridan-to'g'ri mahsulot pastki to'plamidir va ko'rsatilgan: . Ko'pincha infix belgisidan foydalaning: . Agar munosabat to'plamda aniqlangan bo'lsa , unda quyidagi ta'rif mumkin: Ta'rifi: A ikkilik (yoki ikki-joy ) aloqa majmui ustida bu to'plamidir elementlar buyurdi juft majmui hisoblanadi. Ularga kiritilgan ikkilik munosabatlarga ega bo lgan to plamlargaʻ ʻ grafiklar va qisman tartiblangan to plamlar misol bo la oladi. ʻ ʻ Munosabatlar xususiyatlari Belgilangan xususiyatlar uchun : Refleksivlik (ingliz. Reflexivity ): ;$

Antireflexive (Engl. Irreflexivity ): x A ¬ ( x R x ) ;∀ ∈
Simmetriya (ingliz. Symmetry ): x , y A ( x R y yR x );
∀ ∈ ⇒
Antisimmetriya (ingliz. Antisimmetriya ): x , y A ( x R y yR x x
∀ ∈ ∧ ⇒
= y);
Transitivity (ingl. Transitivity ): x , y, z A ( x R y yR z x R z);
∀ ∈ ∧ ⇒
Ulanish (ingl. Connectivity ): x , y A ( x R y yR x );
∀ ∈ ∨
Asimmetrik ( Ing . Assimetrik munosabat ): x , y A ( x R y ¬ ( yR
∀ ∈ ⇒
x ) ).
Aloqa turlar
i III. Binar munosabatlar ustida amallar
Quyidagi munosabatlar turlari ajratiladi:
kvazi-tartib (inglizcha quasiorder ) - refleksli o'tish;
Ekvivalentlik (ingliz. ekvivalentlik ) - nosimmetrik refleksiv o'tish;
qisman tartib (. Engl qisman tartib ) - antisimmetrik refleksiv o'tish;
qat'iy tartib (. Inglizcha qat'iy tartib ) - aks ettiruvchi antisimmetrik
tranzitiv;
chiziqli tartib (inglizcha umumiy tartib ) - to'liq antisimmetrik o'tish;
hukmronlik (Ing. dominance ) - aks ettiruvchi antisimmetrik.
O'zaro munosabatlarga misollar
Refleksiv munosabatlarga misollar : tenglik, bir vaqtning o'zida,
o'xshashlik.
Reflektiv bo'lmagan munosabatlarga misollar : "g'amxo'rlik qiling",
"ko'ngilochar", "asabiy".
O'tish munosabatlariga misollar : "kattaroq", "kamroq", "teng",
"o'xshash", "yuqori", "shimol".

Simmetrik munosabatlarga misollar : tenglik (=), tengsizlik,
ekvivalentlik munosabatlari, o'xshashlik, bir vaqtdalik, ba'zi
qarindoshlik munosabatlari (masalan, birodarlik munosabatlari).
Antisimmetrik munosabatlarga misollar : katta, kichik, katta yoki teng.
Asimmetrik munosabatlarga misollar katta (>) va kichik (<)
munosabatlardir.
To'plamlar to'plamida: "".
“x qat’iy tartib munosabati ma’nosida y dan oldin keladi”, - "x bo'sh
tartib munosabati ma'nosida y dan oldin keladi".
Muayyan tartiblangan to'plamning ikkita elementi (tartib munosabati
mavjud bo'lgan to'plam), agar u tartib munosabati ma'nosida oldin va /
yoki oldin bo'lsa, bir-biri bilan taqqoslanadi.
Agar tartiblangan to'plamda na oldin ham, oldin ham bo'lmagan x va y
juft element mavjud bo'lsa, bu element shu ma'noda tengsiz deyiladi.
To'liq tartibli qismda barcha elementlar bir-biriga o'xshash bo'ladi,
tartiban tartibli munosabatlarda esa barcha bir-biri bilan taqqoslanmaydi.
Masalan:
To'liq buyurtmasi:
Qisman munosabati:
to'plamlar to'plamida: ,,.
Ekvivalentlik munosabati () - refleksiv, simmetrik, o'tish.
Ekvivalentligi gunoh elementi:.
Masalan:
Ko'p odamlar: "bitta ismga ega", "bitta talabalar guruhida o'qish".
To'plamlar to'plamida :.

Ekvivalentlik munosabatlari bo'linishlari - to'plam, ular bo'yicha
munosabatlar ajratilgan bo'lib, ular ekvivalentlik sinflari deb
belgilangan.
Bir sinfga mansub elementlar ekvivalentlikka nisbatan o'zaro,
ekvivalentlikka nisbatan turli sinflarga mansub elementlar o'zaro emas.
Masalan:
Munosabatlar to'plamda juftliklar ro'yxati bilan belgilanadi.
Domen: .
Qiymatlar diapazoni:.
Munosabat refleksiv, simmetrik, o'tish xususiyatiga ega, shuning uchun
u ekvivalent munosabatdir.
Ekvivalentlik sinflari
Bu munosabat natural sonlar to'plamidagi modulli taqqoslash
munosabati deyiladi. degan ma’noni bildiradi va bo’linganda bir xil
qoldiqga ega bo’ladi.
Tabiiy diapazonning bir qismi.Taqqoslash aloqasi moduli 3:
Qiymatlar doirasi va diapazoni:.
Munosabat refleksiv, simmetrik, o'tish xususiyatiga ega.
Munosabatlar ekvivalent munosabatdir.
Ekvivalentlik sinflari:. Qandaydir ikkilik munosabat bo'lsin.
Teskari munosabat - bu quyidagicha ta'riflangan munosabatlar:
Teskari munosabat asl munosabatlarning juftliklaridagi qiymatlarni
almashtirish orqali olinadi Ayrim to'plamlar qayerda bo'lsin, ixtiyoriy
ikkilik munosabatlar bo'lsin. Munosabatlar tarkibi va tartiblangan
juftliklardan tashkil topgan ikkilik munosabat bo'lib, ular uchun
quyidagi shartlar bajariladigan element mavjud:

3.2. Binar munosabatlarning xossalari.
A to'plamdagi ikkilik munosabatlarning maxsus xususiyatlarini ko'rib
chiqing. Binar munosabatlarning xossalari.
1. AA dagi munosabat, agar (a, a) A dan barcha a uchun ga tegishli  
bo’lsa, refleksiv deyiladi.
2. (a, b) dan ab kelib chiqsa, munosabat antirefleksiv deyiladi.
  
3. Agar A ga tegishli a va b uchun (a, b) dan (b, a) kelib chiqadigan
 
bo‘lsa, munosabat simmetrikdir.

4. Agar A dan a va b uchun (a, b) va (b, a) ning a’zoligidan

munosabatga kelib a = b kelib chiqsa, munosabat antisimmetrik

deyiladi.
5. (a, b) va (b, c) ekanligidan (a, c) dan kelib chiqadiki, agar A dan a,
  
b va c uchun munosabati o’tishli bo’ladi.

Misol . . "=" va "£" munosabatlari N to'plamdagi refleksiv
 
munosabatlardir, lekin "<" munosabati bunday emas.
"=" munosabati simmetrikdir, lekin "<" va "£" emas.
N dagi nisbat nosimmetrikdir.
"<", "£" va "=" munosabatlari o'tishlidir, lekin = {(a, b): a, b ÎN va b =

a + 1} munosabatlari emas, chunki 34 va 45 , lekin 3-5 emas.
 
Tasviriy matritsa yordamida ikkilik munosabatning xossalarini qanday
aniqlash mumkin
1. Refleksivlik: barchasi asosiy diagonalda, nollar yoki birlar yulduzcha
bilan ko'rsatilgan.
2. Anti-reflektorlik: asosiy diagonaldagi barcha nollar.
3. Simmetriya: agar. Antisimetriklik: M ij = 1, i ≠ j, M ji = 0

Ikkilik munosabatlar matritsalari A = {a 1, a 2,…, a m} va B = {b 1, b
2,…, b n} ikkita chekli to'plamni va ikkilik munosabatni ko'rib
chiqaylik.
Ikkilik P nisbatning m × n matritsasini qoida bo'yicha aniqlaymiz:
0 va 1 dan iborat har qanday matritsa qandaydir ikkilik munosabatning
matritsasi haqida O'RNAK 1. Ikkilik munosabat matritsasi, A =
{1,2,3}, rasmda berilgan Ikkilik munosabatlar matritsalarining asosiy
xususiyatlari:
Agar u holda qo'shish 0 + 0 = 0, 1 + 1 = 0 + 1 = 1 + 0 = 1 qoidalarga
muvofiq amalga oshirish va ko'plab birikma birikmalar birikmasi.
shunday qilib,
Matritsa orqalidan tegishli hujjatlarni urilib olinganva :.
Agar, keyin, bu erda matritsani ko'paytirish oziq-ovqat matritsani
ko'paytirish qoidasiga ko'ra amalga oshirish, lekin mahsulot vaning
yig'indisi - 1-mulkda ko' resurslarga yordam berish.
Teskari nisbat matritsasi P -1 transpozitsiyalangan nisbat matritsasi
Xulosa
Bu kurs ishini bajarish mobaynida shunday xulosaga keldimki, menga
berilgan bu mavzuda izlanishlarim natijasida bilmagan, o zim uchunʻ
notanish bo lgan savollarga javob oldim. Bundan tashqari talabalardan
ʻ
o z bilim, ko nikma va malakalarini yanada oshirishga yordam beradi.
ʻ ʻ
Bunga mening kurs ishimni misol tariqasida olish mumkin.
Chunki,vazifani bajarishda men misol va masalalarni yechishning hali
umuman kuzatilmagan,qo llanilmagan metod va usullarini ko rdim. Bu
ʻ ʻ
holat men va men kabi matematika sohasiga qiziqadigan yoshlarga juda
ma qul deb hisoblayman. Kurs ishini bajarish vaqtida shunga ishonch
ʼ

hosil qildimki,vaqtini boy bermagan ixtiyoriy bilimga chanqoq kishilar
o z ustida unumli, samarali va natijali faoliyat olib borishlari mumkin.ʻ
Shuni alohida ta kidlab o tardimki,har bir davlatning, xattoki har bir
ʼ ʻ
joyning rivojlanishida yuqoridagi talablarga bajarish orqali erishish
mumkin. Mavzumga kelib chiqib gapiradigan bo lsam,amallar ketma-
ʻ
ketligi juda muhimdir, ya'ni har bir ishni bajarish ketma-ketligi
tartiblangan bo ladi. Kurs ishi ilmiy rahbarimning ko rsatmasi orqali
ʻ ʻ
berilgan tartibga amal qilgan holda amalga oshirildi. O ylaymanki,olib
ʻ
borgan bu kurs ishim kelajakda samarali natijasini berib, ba zi bir
ʼ
muhim bo lgan sohalar rivojiga xissasini qo shadi.
ʻ ʻ

Bazi binar munosabatlari R Е JA: I. Binar munosabatlar va uning ahamiyati 1.1Munosabat tushunchasi. Graflar. 1.2.Munosabatlarning berilish usullari. II. Munosabatlarning xossalari 2.1Ekvivalentlik munosabati. 2.2To’plamlarni juft-jufti bilan sinflarga ajratish. 2.3. Invariantlar aks ettirishlar. III. Binar munosabatlar ustida amallar Xulosa

Mavzuning dolzarbligi . Binar munosabatlari yuqori matematik darajaga ega bo’lgan zamonaviy fan sifatida rivojlanishida muhim rol tutadi Ishning maqsad va vazifalari . Ishning asosiy maqsadi binar munosabatlari asosiy prinsiplarini batafsil o’rganish, ularga doir misollar yechish. K urs ishining obyekti. Binar munosabatlari va to'plamlari. Kurs ishining predmeti. Bazi binar munosabatlari va turlari Olingan asosiy natijala r.Kurs ishi refarativ xarakterga ega bo'lib, unda binar munosabatlar o'rganilgan Kurs ishining metodologik asosi. Ushbu kurs ishi uchun binar munosabatlari va munosabat turlari ular ustida amallar i o'rganish metodologik asos bo'lib xizmat qiladi. Kurs ishining metodlari . Binar munosabatlari va uni turlari lmiy-tadqiqot metodlari. Bu ishda matematik analiz, kompleks analiz va funksional analiz fanlarining asosiy tushunchalaridan foydalanildi. Ishning ilmiy va amaliy ahamiyati . Ishda urganilgan prinsiplar, misol va masalalar katta ham amaliy ham nazariy ahamiyatga ega. Bu misollardan umumiy kursda amaliy mashg’ulotlarda keng foydalanish mumkin. I. Binar munosabatlar va uning ahamiyati 1.1Munosabat tushunchasi. Graflar.

Ma’lumki, to‘plam tushunchasi matematika fanining asosiy tusunchalaridan biri bo‘lib, bu fan taraqqiyotida muhim o‘rin egallaydi. Natural sonlar to‘plamini o‘rganish boshlang‘ich sinflardanoq boshlanadi. Bu ish sonlar orasidagi turli-tuman o‘zaro bog‘lanishlarni o‘rganish bilan amalga oshiriladi. Masalan, 10 soni 7 sonidan katta (ortiq), 8 soni 5 sonidan 3 ta ko‘p, 6 soni 5 sonidan keyin keladi. Natural sonlar to‘plami elementlari orasida yana ko‘plab munosabatlarni o‘rganish mumkin. To‘g‘ri chiziqlar to‘plamida “parallel bo‘lishlik”, “perpendikulyar bo‘lishlik”, “o‘zaro kesishish” v Endi ixtiyoriy X to‘plam elementlari orasidagi munosabat tushunchasini keltiramiz. Ta’rif. X to‘plam elementlari orasidagi munosabat yoki X to‘plamda munosabat deb, Dekart ko‘paytmasining har qanday qism to‘plamiga aytiladi. Munosabat. R, S, Q va hokazo harflar bilan belgilanadi. Misol. X={3,4,5,6,8} sonlar to‘plamini qaraylik. Bu to‘plamda quyidagi munosabatlar mavjud: 1. R: “x son y sondan katta”, ya’ni 8>6, 8>5, 8>4, 8>3, 6>5, 6>4, 6>3, 5>4, 5>3, 4>3.Bu munosabat quyidagi juftliklar to‘plami bilan aniqlanadi: {(8,6), (8,7), (8,6), (8,5), (8,4), (8,3), (6,5), (6,4), (6,3), (5,4), (5,3), (4,3)}. Ko‘rinib turibdiki, bu juftliklar Dekart ko‘paytmasining qism to‘plami bo‘ladi. Buni to‘plam ma’nosida deb yozish mumkin. Endi X to‘plamda S: “Ikki marta kichik” munosabatni qaraymiz. Bu munosabat quyidagi juftliklar to‘plamidan iborat bo‘ladi: {(3,6), (4,8)}. Bu yerda ham bo‘ladi. X to‘plamda Q: “1 ta ko‘p” munosabatni ham qarash mumkin. Bu munosabat quyidagi juftliklar to‘plamidan iborat

bo‘ladi: {(4,5), (3,4), (6,5)}. Ravshanki, Yuqorida qaralgan R, S, Q munosabatlarning har biri ham Dekart ko‘paytmaning qism to‘plamlaridan iborat. 1.2.Munosabatlarning berilish usullari . X to‘plamdagi munosabatni ko‘rgazmali tasvirlash uchun nuqtalar strelkalar yordamida tutashtiriladi va chizma hosil qilinadi. Bunday chizma graf deb ataladi. Masalan, X={3,4,5,6,8} to‘plamda qaralgan R, S va Q munosabatlarning graflarini 1-, 2-, 3-chizmada tasvirlaymiz. X={2,4,6,8,12} to‘plamda P: “x soni y sonining bo‘luvchisi” degan munosabatni qaraymiz va grafini chizamiz. X to‘plam elementlarini nuqtalar bilan tasvirlab, x dan y ga strelkalar chiqaramiz. Masalan, 2 dan 4 ga strelka chiqaramiz, chunki 2 soni 4 ning bo‘luvchisi. Lekin har bir son o‘zi o‘zining bo‘luvchisi. Shuning uchun har bir x nuqtadan chiqqan strelka yana o‘ziga qaytadi. Grafda boshi va oxiri ustma-ust tushgan strelkalar sirtmoqlar deyiladi (4-chizma). 1. Binar munosabat. Diskret matematikada fundamental tushun chalardan biri bo'lgan munosabat tushunchasi predmetlar (narsalar) va tushunchalar orasidagi aloqani ifodalaydi. Quyidagi toiiqsiz gaplar munosabatlarga misol bo'la oladi. Odatda, munosabat tushunchasi to'plamlar nazariyasi nuqtai nazaridan turib o'rganiladi. Munosabat tushunchasiga aniqlik kiritish uchun tartiblangan juftlik tushunchasini o'rganamiz. 1- t a ’ r i f . M a’lum tartibda joylashgan ikki predmetdan tuzilga kortej tartiblangan juftlik deb ataladi. Odatda tartiblangan juftlik quyidagi xususiyatlarga ega deb faraz qilinadi:

1) ixtiyoriy x va у predmetlar uchun < x , y > kabi belgilanadigan muayyan obyekt mavjud bo'lib, har bir x va у predmetlarga yagona tartiblangan < x , y > juftlik mos keladi ( < x , y > yozuv “ x va у ning tartiblangan juftligi” deb o'qiladi); 2) agar ikkita < x , y > va < u, v > tartiblangan juftlik uchun x = и va у = v bo'lsa, u holda < x , y >=< u , v > bo'ladi. < x , y > tartiblangan juftlik < x , y > - {{x},{x,y}} ko'rinishdagi to'plamdir, ya’ni u shunday ikki elementli to'plamki, uning bir elementi {x, y} tartibsiz juftlikdan iborat, boshqa {x} elementi esa, shu tartibsiz juftlikning qaysi hadi birinchi hisoblanishi kerakligini ko'rsatadi. Tartiblangan juftliklardan birgalikda tartiblangan juftliklar to‘plamini tashkil etishadi. 2 - t a ’ r i f . < x, v > tartiblangan juftlikdagi x uning birinchi koordinatasi, у esa ikkinchi koordinatasi deb ataladi. Tartiblangan juftliklar atamasi asosida tartiblangan n -liklarni aniqlash mumkin. x, v va z predmetlarning tartiblangan uchligi quyidagi tartiblangan juftliklar shaklida aniqianadi: « x , y >, z > . Xuddi shu kabi x,,x2,...,xn predmetlarning tartiblangan « -ligi < x ,,x 2,...,x„ > , ta’rifga asosan, « x, ,x 2,...,x„_, >,x„ > tarzda aniqianadi. Matematik mantiqda n –ar munosabat tartiblangan n -liklar to'plami sifatida aniqianadi. Ba’zan n - ar munosabat iborasi o'rniga n o'rinli munosabat iborasi qo'llaniladi. Agar munosabat bir o'rinli bo'lsa, u holda u unar munosabat, ikki o'rinli bo'lganda esa binar munosabat deb ataladi. Unar munosabat xossa (xususiyat) deb ham yuritiladi. Adabiyotda, ko'pincha, 3-ar munosabat ternar munosabat deb nomlanadi.

Bazi binar munosabatlari

12.08.2023

0

360.5 KB

Похожие