ЧЕКЛИ ЭЛЕМЕНТЛАР УСУЛИ ЁРДАМИДА ДИФФЕРЕНСИАЛ ТЕНГЛАМАЛАРНИ ЕЧИШ

Загружено в:

20.11.2024

Скачано:

0

Размер:

2015.07421875 KB

Скачать

ЧЕКЛИ ЭЛЕМЕНТЛАР УСУЛИ ЁРДАМИДА ДИФФЕРЕНСИАЛ
ТЕНГЛАМАЛАРНИ ЕЧИШ
MUNDARIJA
КИРИШ
§1. Чекли элементлар тушунчаси
§2. Баъзи типик локал аниқланган минимал қўллаб - қувватланадиган базис
функциялар
§3. Дифференциал тенгламалар ечимларини аппроксимациялаш ва силлиқлик
талаблари
§4. Кучсизланган формулировка ва Галёркин усули
§5. Баъзибир бир ўлчовли масалалар
ХУЛОСА …………………………………………………………………...…...46
ФОЙДАЛАНИЛГАН АДАБИЁТЛАР РЎЙХАТИ ………………..………

КИРИШ
Мавзунинг долзарблиги. Чекли элементлар усули физика ва техникада
учрайдиган дифференсиал тенгламаларни сонли ечиш усули ҳисобланади. Бу
усулнинг пайдо бўлиши космик тадқиқотларни ҳал қилиш муаммолари билан
боғлиқ (1950). Бу иш биринчи марта Тёрнер, Клуж, Мартин ва Топп томонидан
нашр этилган . Бу ишлар бошқа ишларнинг пайдо бўлишига туртки бўлди;
чекли элементлар усулини қурилиш механикаси ва туташ муҳитлар
механикасига татбиқ қилинган бир қатор мақолалар чоп этилди. Усулни
назарий асослаш учун 1963 йил Мелош муҳим ҳисса қушди. У чекли
элементлар усулини Релей-Ритс усулининг вариантларидан бири эканлигини
кўрсатди. Қурилиш механикасида чекли элементлар усули потесиал энергияни
минималлаштириш орқали масалани мувозанатнинг чизиқли тенламалар
системасига келтириш имконини беради.
Чекли элементлар усулининг минималлаштиришга боғлиқлиги унинг
техниканинг бошқа соҳаларидаги муаммоларини ҳал қилишда фойдаланишга
олиб келди. Усул Лаплас ёки Пуассон тенгламалари билан тавсифланган
муаммоларга нисбатан ҳам қўлланилди. Бу тенгламаларни ечиш ҳам бирор
фунционални минималлаштириш билин боғлиқ. Дастлабки нашрларда чекли
элементлар усули ёрдамида иссиқлик тарқалиш масалалари ечилди. Сўнгра усул
гидромеканика муаммоларига, хусусан, ғовакли муҳитда суюқлик оқими
муаммосига нисбатан қўлланилди.
Қурилиш механикаси, иссиқлик тарқалиши, гидромеханика масалаларида
элементларни аниқловчи тенгламалар вазнли тафовутлар усулининг
вариантларидан бири бўлган Галёркин ёки энг кичик квадратлар усули
ёрдамида осонгина ҳосил қилиш мумкинлиги исботлангандан сўнг чекли
элементлар усулининг қўлланиш соҳаси сезиларли даражада кенгайди. Бу
фактнинг ўрнатилиши чекли элементлар усулини назарий асослаш учун муҳим
2

рол ўйнади натижада бу усулни ихтиёрий дифференсиал тенгламани ечишга
қўллаш имконини берди.
Шундай қилиб чекли элементлар усули қурилиш механикаси муаммоларини
сонли ечиш усулидан дифференсиал тенгламаларни ёки дифференсиал
тенгламалар системасини сонли ечишнинг умумий усулига айланди
Масаланинг қўйилиши. Ушбу малакавий иш иккинчи тартибли оддий
дифференсиял тенгламаларни чекли элементлар усули билан ечишга
бағишланган . Ишда қаралган учта масалада . узлуксиз бўлакли-чизиқли
функциялар қўлланилади. Интеграл остидаги ифодани дифференсиалланиш
тартибини пасайтириш учун масалани мос равишда қайта шакллантириш
зарурлиги ва шу сабабли Галёркиннинг апроксимация усулидан фойдаланилади.
Ишнинг мақсади. Иккинчи тартибли дифференсиал тенгламаларни чекли
элементлар усули ёрдамида ечиш , чекли элементлар усули тадбиқини ўрганиш,
ҳисоб алгоритмини яратиш, уни амалий масалаларни ечишга қўллаш ва
тақрибий ҳисоблашлар натижаларини таҳлил этиш.
Ишнинг вазифалари . Чекли элементлар усули ёрдамида иккинчи
тартибли дифференсиал тенгламаларни ечиш алгоритмларини ишлаб чиқиш.
Илмий-тадқиқотнинг методлари . Ҳисоблаш математикасининг вазнли
тафовутлар ёрдамида апроксимациялаш вариантларидан бири бўлган галёркин
усули ҳамда чекли элементлар усули .
Ишнинг илмий аҳамияти. Чекли элементлар усулини қўллашнинг
самарали алгоритмини ишлаб чиқиш, уларни намунавий масалалар ечимларида
кўрсатиш.
Ишнинг амалий аҳамияти. Битирув малакавий ишнинг натижаларидан
ҳисоблаш усуллари , сонли усуллар фанларидан олиб бориладиган амалий ва
лабаратория машғулотларида фойдаланиш мумкун.
Ишнинг тузилиши. Битирув малакавий иши кириш, 6 та параграф,
хулоса ва фойдаланилган адабиётлар рўйхатидан иборат.
3

Кириш қисмида масаланинг долзарблиги, масаланинг қўйилиши, ишнинг илмий
ва амалий аҳамияти, илмий-тадқиқот методлари ҳамда ишнинг тузилиши ва
қисқача мазмуни баён қилинган. Биринчи параграфда чекли элементлар
усулининг ғояси, ҳамда усулнинг дискретлаштириш жараёнлари тушунчалари
қисқача тавсифланган. Иккинчи параграфда локал аниқланган типик базис
функциялар ҳақида малумотлар келтирилган , учинчи параграфда
Дифференсиал тенглама ечимини аппроксимациялаш ва силлиқлик масалалари
қаралган, тўртинчи параграфда кучсизлантирилган шаклдаги галёркин усули
баён қилинган. Ишнинг асосий қисми бешинчи параграфда жойлашган. Бунда
чекли элементлар усули билан ечиш учун типик масалалар танланган ва уларни
ечиш олтинчи параграфда чизиқли тенгламалар системасини Гаусс усули
билан ечишга оид тушунчалар ўрганилган, алгоритм, блок-схема ва дастур
келтирилган, аниқ мисоллар ечилган, хулосада олинган натижалар таҳлил
қилинган.
Олинган натижаларнинг қисқача мазмуни (аннотацияси). Мазкур битирув
малакавий ишда иссиқлик узатиш жараёнларидаги масалаларни математик
моделлаштиришдан ҳосил бўлган амалий масалаларни (иккинчи тартибли
дифференсиал тенгламалар учун чегаравий масалаларни) ечиш учун чекли
элементлар усулидан самарали фойдаланиш муаммолари ўрганилган. Одатда
бундай масалалар ҳисоблашлар ҳажми жуда катта бўлган маълумотлар базаси
билан ечилади. Шунга кўра бу масалани самарали ечиш учун чизиқли
тенгламалар системасини ечиш зарурати ўрганилган. Бу масалаларни ечиш
жараёнида пайдо бўладиган муаммоларни самарали ҳал этишнинг унумли ҳисоб
алгоритмлари таҳлил қилиниб, чизиқли тенгламалар системасини Гаусс усули
билан ечишга дастурий воситалар яратилган.
4

§1. Чекли элементлар тушунчаси
Чекл и э лемент лар усули нинг асосий ғоя си шундан иборатки, исталган
узлуксиз миқдорни, масалан: температура , босим ва кўчишни бўлакли- узлуксиз
функциялар тўпламида аниқланган дискрет модел билан аппроксимация қилиш
мумкин деб ҳисобланади . Бўлакли-узлуксиз функция лар узлуксиз миқдорнинг
қаралаётган соҳанинг чекли сондаги нуқталари ёкдамида аниқланади.
Умум ий ҳолда , узлуксиз миқдор нинг қиймати олдиндан маълум эмас ва б у
миқдор ни соҳанинг баьзи бир ички қийматлар да аниқлаш зарур . Агарда бу
миқдорнинг сонли қийматлари соҳанинг ҳар бир ички нуқтасида маьлум деб
қабул қилсак, дискрет моделни жуда осон қуриш мумкин. Шундан сўнг биз
умумий ҳолатга ўтамиз. Шундай қилиб узлуксиз миқдорнинг дискрет моделини
қуриш учун қўйидаги ишларни бажарамиз:
1. Қаралаётган соҳада чекл и сон даги нуқталар белгиланади . Бу нуқталар
тугун нуқталар ёки шунчаки тугунлар дейилади .
2. Узлуксиз миқдорнинг ҳ ар бир тугун нуқтада ги қиймат и ўзгарувч и деб
ҳисобланади ва аниқланиши зарур .
3. Узлуксиз миқдорни нг аниқлаш соҳаси э лементлар деб аталувчи чекли
сондаги қисм соҳаларга бўлинади. Бу э лементлар умумий тугун нуқталарга эга
ва биргаликда соҳанинг шаклини аппроксимациялайди .
4. Узлуксиз миқдор ҳ ар бир элемент да бу миқдорнинг тугун нуқталардаги
қиймати орқали аниқланган кўпҳад орқали аппроксимацияланади. Ҳар бир
элемент учун ўзининг кўпҳади аниқланади, лекин бу кўпҳадлар шундай
танланадики узлуксиз миқдорнинг элементнинг чегараси бўйлаб қийматлари
узлуксизлигини сақлаши зарур.
Вазнли тафовутлар ёрдамида a ппроксимация усулларидаϕ≈ ϕ
¿
= ψ + ∑
m=1
M
am N M
(1.1)
ёйилмага кирган
N m базис функциялари бутун Ω соха бўйича битта ифода
билан аниқланган ва бу усулнинг тенгламаларида ҳосил бўладиган
5

интеграллар бирданига бутун соха бўйича ҳисобланган деб фараз
қилинган .
Бу масалага муқобил ёндашув Ω сохани бир - бири билан
кесишмайдиган кисм сохаларга ёки
Ωe элементларга ажратиш ва
сунгида
ϕ
¿ ни булакли - усулда , яъни ҳар бир кисм соха бўйича
алоҳида - алоҳида аппроксимациялашдан иборат . У холда
аппроксимациялаш жараёнида ишлатиладиган базис функциялар хам хар
хил
Ωe кисм соха учун хар хил ифодалардан фойдаланиб булакли -
куринишда аникланиши мумкин . Бундай ҳолда , аппроксимацияловчи
тенгламаларга кирувчи аниқ интегралларни уларнинг ҳар бир кисм соха
ёки элемент бўйича ҳиссасини йиғиш орқали олиш мумкин :
( 1.2 а )
(1.2 б )
Бу ерда , , Е - бутун соха бўлинган кисм
сохалар ва
- чегаранинг да ётадиган га тегишли
6

қисмларнинг умумий сони . Шундай қилиб , ни сакловчи йигинди , фақат
бевосита чегарага қўшни бўлган элементлар буйича амалга оширилади .
Агар кисм сохалар нисбатан содда шаклга эга бўлса ва бу кисм сохаларда
базис функциялари бир хил тарзда аниқланган бўлса , у холда бундай кисм
сохалардан ташкил топган мураккаб шаклли сохалар ҳолатида юқорида
кўрсатилган усулда ишлаш жуда осон . Бу гоя чекли элементлар усулининг
асосий гоясидир .
Дарҳақиқат , куриш мумкинки , чекли айирмалар усули жараёнлар фақат битта
элементдан фойдаланилганда чекли элементлар усулининг хусусий ҳолидир .
Базис функтсияларининг бўлакли аникланиши яқинлашувчи функциялар
ёки уларнинг ҳосилаларида узилишлар бўлиши мумкинлигини англатади .
Юқори тартибли ҳосилаларда бундай узилишларга рухсат берилади ва биз улар
ишлатиладиган формулани танлашга қандай таъсир қилишини кўрсатамиз .
Агар базис функциялари булакли аниқланса , уларга кўриб чиқилаётган
элемент ва унга бевосита қўшни бўлган кисм сохалардан ташқари ҳамма жойда
нолга тенг булувчи қандайдир кичик " қўллаб - қувватлаш " функцяларини мос
куйиш фойдалидир . Кейинчалик кўрсатилгандек , бу охир - оқибат тасмали
матрицали яқинлашувчи тенгламаларни олиш имконини беради , бу эса чекли
элементлар усулига қўшимча афзаллик беради .
7

§ 2. Баъзи типик локал аниқланган минимал қўллаб -
қувватланадиган базис функциялар

Чекли элементлар усулини кургазмали баён килиш учун
оралиқда аникланган ихтиёрий функция учун яқинлашувчи
функцияни қуришни кўриб чиқамиз . сохани узаро кесишмайдиган
кичик сегментларга булиш да ва булган
нукталар тупламини шунчаки танлаш орқали амалга
оширилади . элемент сифатида эса сегмент олинади .
1.1- расмда берилган функцияни хар бир элементда узгармас киймат
кабул килувчи функция оркали яқинлаштириш учун нуқтали
коллокация усулидан фойдаланиш кўрсатилган . Олинган яқинлашиш
элементларнинг кесишиш нуқталари да сакрашларга эга
булган узилишли функция булади .
Бу нуқталар тугунлар деб аталади . Чекли элементлар жараёнларида тугунлар
ва элементлар рақамланади. Бу ердаги расмда биз m тугун m элементига
тегишли бўлганда, аниқ рақамлаш тизимини қабул қилдик . фунцсияни
(1.1) стандарт кўринишда ҳар бир m тугунга барча элементлар учун бир хил
бўлган бўлакли-узгармас узилишли (глобал ) базис функциясини мос
куйиш орқали ёзилиши мумкин. Бу функция таърифига кўра, m
элементда бирга тенг қийматни , қолган элементларда эса нолга тенг булади.
8

У холда тупламда
(2.1)
формулани ёзиш мумкин.
Тугунлар
Элементлар
9 Г базисные
Глобал базис
функцялар

Элементнинг базис функцияси
2.1 а - расм . Бир ўзгарувчили функцияни нуктали коллакация усули билан бўлакли -
ўзгармас элементлардан фойдаланиб аппросимациялаш

чунки , бу ерда - функциянинг m тугундаги қиймати. Шундай
қилиб, чекли элементлар усулидан фойдаланганда, аппроксимация
параметрлари тўлиқ тушунарли маънога эга. Бу ерда (1.1) формуладаги
ихтиёрий функция тушириб колдирилган ва натижада бу аппроксимация
умуман олганда, сегментнинг чегара нуқталаридаги
функция қийматига тенг бўлмайди. Бироқ, бу тасвирлашда бу қийматлар
чегараларга улашган элементларнинг узунлиги камайганда
функция қийматига етарлича аниқ яқинлашади.
Хар бир е элементда (2,1а) глобал аппроксимация элемент тугунидаги
қийматлар ва элементнинг базис функцияси оркали ифодаланиши
мумкин. Яьни e элементда
(2.1б)
10

Бу ерда
фақат элемент учун аникланган ва бу элементда қиймати 1 га
тенг булади.
1.1б-расмда сегментнинг элементларга юкоридаги
бўлинишидан фойдаланади. Бироқ, бу сафар, ҳар бир элементда х га чизиқли
равишда боглик функция бўйича аппроксимациядан фойдаланиб , аниқроқ
яқинлашишга эришилади. Бундай ҳолда, (рақамланган) тугунлар кушни
элементларнинг умумий нуқталари ҳисобланади ва аппроксимация ҳар бир
тугунга булакли-чизикли глобал базис функциясини мос куйиш
натижасида амалга оширилади .

11элементлартугунлар

2.1б-расм Бир ўзгарувчили функцияни нуктали коллокаця усули билан бўлакли-
чизиқли элементлардан фойдаланиб аппроксимациялаш.
Бу глобал базис функциялар куйидаги хоссага эга: N
i - тугун билан
боғланган элементларда нолдан фаркли ва - тугунда ва бошқа
барча тугунларда нолга тенг бўлади .
Агар коллокация нуқталари сифатида тугунлар қабул қилинса, у ҳолда
глобал аппроксимацияни қуйидагича ёзиш мумкин:
12 Глабал базис
функцялар
Элементнинг базис
фунцялари

(2.2 а)
Бу ерда -ϕ нинг тугундаги қиймати.
ва тугунлардаги мос кийматларни куйиш оркали функця чегара
нукталарда автоматик равишда керакли қийматларни кабул килади ва
функциядан аниқ фойдаланиш талаб қилинмайди. i ва j тугунлари бўлган ҳар
бир элементда аппроксимация иккита чизиқли базис
функциялар ва тугун кийматлар ёрдамида
(2.2б)
коида билан ифодаланади.
Ҳар бир элемент бўйича аппроксимациянинг чизиқли ўзгариши куриниб
турибди, чунки элементнинг иккала базис функцияси ҳам чизиқли.
Ушбу иккита мисолдан кўриниб турибдики, чекли элементлар усулининг
характерли хусусияти тугун ва элементларнинг рақамланиши ҳисобланади. Бу
ерда рақамлаш усулини танлаш масаласига эътибор бермаймиз. Бироқ,
кейинчалик, тугун ва элементларни рақамлаш усули чекли элементларнинг
аппроксимацияни қўллаш орқали олинган тенгламалар системаси матрицаси
тасмасининг кенглигига таъсир қилиши кўрсатилади, бу ҳисоблаш нуқтаи
назаридан муҳим бўлиши мумкин.
13

Кўриниб турибдики, аппроксимацияни қуриш учун ишлатиладиган иккита
базис функциялари системаси тўлалик хусусиятига эга, яъни бўлаклар сонининг
кўпайиши билан улар ёрдамида ҳар қандай етарли даражада яхши функцияни
керакли даражадаги аниклик билан яқинлаштириш мумкин бўлади.
(2.1а) ва (2.2б) аппроксимациялар нуқтали колокация усули ёрдамида
тузилган, аммо шунга ўхшаш ифодалар умумий вазнли тафовутлар усулидан
фойдаланган ҳолда аппроксимацияларни қуриш учун ҳам ишлатилиши мумкин.
2.3-расмда, берилган битта ўзгарувчининг функцияси бўлакли-узгармас ва
бўлакли-чизиқли элементлардан фойдаланган ҳолда Галёркин усули билан
аппроксимацияланади. Галёркин процедурасидан фойдаланганимиз сабабли,
ушбу мисолдаги вазн функциялари қоида бўйича олинади ва вазинли
тафовутлар усулига кўра, аппроксимация тенгламалари
(2.4)
шаклга эга булади.Бу ерда нинг (2.1а) ёки (2.2а) ифодасини алмаштириб,
(2.5)
стандарт тенгламалар системасини хосил киламиз.Бу ерда
14

K lm=∫
0
1
N lN mdx f l= ∫
0
1
Nϕ ldx( 2.6а)
ва
(2.6б)
15

16 ФУНКЦИИ
Узлы
Элементы
рункции
Элементы Глобал базис функцяларϕ
-берилган ункцялар
Галёркин буйича
аппроксимацяла
ш
тугунлар
элементлар
Глобал базис функцялар
ϕ
-берилган
функцялар
Галёркин буйича
аппроксимацялаш
тугунлар
элементлар

2.3-расм. Бир ўзгарувчили функциясини Галёркин усули билан бўлакли-узгармас
элементлар (а) ва бўлакли-чизиқли элементлар ёрдамида аппроксимациялаш.
Векторнинг кoмпаненталари яна аппроксимациянинг тугун қийматлари
булади ва шунинг учун берилган функциянинг тугун қийматларининг
аппроксимациялари бўлади. (2.2) да таъкидланганидек, (2.6а) да кўрсатилган
глобал интегралларни алоҳида элементларнинг ҳиссаларини йиғиш орқали
ҳисоблаш мумкин, яъни.
(2.7)
бу ерда ва фақат битта e элемент устида интеграллаш орқали
топилади .
Булакли-узгармас базис функциялар билан аппроксимацияланганда , (2.5)
система диагоналдир, чунки
(2.8)
2.3а-расмда шу тарзда аппроксимация кўрсатилган. У ерда ишлатилган
тугунлар ва элементларнинг рақамланишида ечим
(2.9)
куринишга эга булади.
17

Бўлакли-чизиқли функциялардан фойдаланган ҳолда юкоридаги
функциянинг аппроксимацияси 2.3б-расмда кўрсатилган. Бу ерда
қўлланиладиган тугунларни рақамлаш билан, (2.5) тенгламалар системаси энди
3 диагоналли ва симметрикдир. Бу ҳолда коеффициентлар матрицасини
қандай қилиб энг яхши аниқлаш муҳокама қилинмайди, лекин 5-банддаги
мисолларни кўриб чиққандан кейин аниқ бўлади.
18

§3. Дифференциал тенгламалар ечимларини
аппроксимациялаш ва силлиқлик талаблари
1 ва 2-бандларда кўриб чиқилган функцияларни аппроксимациялаш
жараёни кўриб чиқилган техникага мувофиқ дифференциал тенгламалар билан
ифодаланган масалаларни ҳал қилиш учун ишлатилиши мумкин.
Агар дифференциал тенгламани яна нинг ичида
(3.1)
чизикда чегара шартлари билан
(3.2)
шаклда ёзилса у холда вазинли тафовутлар усули буйича мос келадиган дискрет
аппроксимацияловчи тенгламалар
(3.3)
куринишда булади. Бу ерда
(3.4)
2-банда чекли-элементли аппроксимация учун узилишга эга булган базис
функциялари, шунингдек ҳосилалари узилишга эга бўлган базис
функцияларидан фойдаланилган эди. Куйидаги, саволни қўяйлик: (3.3)
19

тенглама базис функцияларнинг ҳосилаларини ўз ичига олганлиги сабабли, бу
контекстда бундай функцияларга рухсат бериладими?
Бу саволга жавоб бериш учун базис функцияларининг учта турининг
иккита элементнинг А уриниш нуқтаси яқинидаги холатини кўриб чиқамиз
(3.4-расм). Биринчи функция А нуқтада узилишга эга , иккинчиси эса худди
шу нуқтада узилишли dN m /dx ҳосилага эга, учинчиси эса
узилишли иккинчи ҳосилага эга.
Кўриниб турибдики, узилиш нуқталарида,
мос равишда, бу функцияларнинг биринчи, иккинчи ва учинчи ҳосилалари
чегараланмайди.
Агар энди (3.3) тенгламада кўрсатилган турдаги интегралларни ҳисобласак,
унда бундай чексиз қийматларни чиқариб ташлаш мақсадга мувофиқдир, чунки
улар интегралларда ноаниқликларга олиб келиши мумкин. Агар (3.3) даги
интеграллар s тартибли ҳосилаларни ўз ичига олган бўлса (яъни, ёки
операторлар бундай ҳосилаларни ўз ичига олган бўлса), аппроксимацияда
базис функцияларининг s -1 -тартибли дифференциалланувчанлигини талаб
килиш зарур. Математик жиҳатдан, бу базис функциялар силлиқлик
синфига тегишли бўлишини талаб қилишимизни англатади)
Мисол учун, агар 3.2-бандда бўлгани каби, биз берилган функцияни шунчаки
интерполяция қилсак ва ҳеч қандай дифференциал оператордан фойдаланмасак,
у ҳолда ва 3.4а-расмда кўрсатилган турдаги узилишга эга булган
базис функцияларидан фойдаланишга рухсат берилади. Худди шундай, агар
20

ёки да биринчи ҳосилалар катнашса , яъни s =1 ,булса у холда 3.4б-расмдаги
функця эга булган С 0 -силликлик зарур.
3.5-расм. Икки элементнинг А туташув нуқтаси яқинидаги базис
функцияларнинг ва ҳосилаларининг уч тури ва уларнинг ҳосилаларининг
узгариши. Агар қўшимча равишда иккинчи ҳосилалар ҳам кирса, у ҳолда s = 2
ва у холда 3.4в-расмдагидек - силлиқлик талаб қилинади. Бу ерда базис
21

функцияларга қўйилган силлиқлик талаблари вазн функцияларига ҳам
тегишли. Шундай қилиб, умумий ҳолатда (3.3) тенгламалар уринли бўлиши
учун нинг чексиз қийматларини чиқариб ташлаш ва фақат бу функциялар
учун рухсат этилган "оддий" узилишларни ҳисобга олиш керак . 2.2 бандда
маълум бир нуқтада чексиз қийматларни қабул қиладиган ва ушбу нуқтани ўз
ичига олган баъзи сегментлар буйича олинган интеграллар бирга тенг бўлган
вазн функциялари ишлатилган (Дирак дельта функцияси). Бундай вазн
функциялари нуқтали коллакацияни қўллаш учун талаб қилинган. Бу
ҳозиргина киритилган қоидани бузгани аниқ. Бироқ, агар кўриб чиқилаётган
нуқтадаги тафовутнингнинг қиймати чекланган бўлса, бу истиснога рухсат
берилади. Бу ерда тасвирланган умумий сонли чекли-элементли жараёнларда
бу турдаги вазн функциялари камдан-кам қўлланилади ва келтирилган
қоидалар одатда етарли бўлади.
22

§4. Кучсизланган формулировка ва Галёркин усули
Бизда вазнли тафовутни сакловчи
(4.1а)
хад ∫
Ω
(BW l)(DN m)dΩ
+ чегара шартлари, (4.2 б)
кўпинча ифода билан алмаштирилиши мумкин бу ерда B ва операторлар
операторга нисбатан пастроқ дифференциаллаш тартибини ўз ичига
олади. Агар локал даражада аниқланган базис функциялардан фойдаланилса
бундай ўзгартириш орқали эришилган афзаллик, куриниб турибди, чунки бу
ҳолда бу функциялардан силлиқликнинг пастроқ тартибига эга бўлиши талаб
килинади. Бироқ, бу холда қаралаётган вазн функциялари силлиқликнинг
юқори тартибига эга бўлиши кераклигини куриш мумкин. B ва
операторлар одатда бир хил дифференциаллаш тартибини ўз ичига олганлиги
сабабли, Галёркин усулида ишлатиладиган базис ва вазн функцияларининг бир
хил таърифи асослидир. Амалда, аксарият холларда Галёркин усулидан
23

(4,3)
булакли-узгармас базис функциялари булганда фойдаланилади.
§5. Баъзибир бир ўлчовли масалалар
Юқорида айтилган гояларни аниклаштириш учун ушбу бўлимда биз бир
ўлчовли мисолларни кўриб чиқамиз, уларда иккинчи даражали оддий
дифференциал тенгламалар билан тасвирланган масалаларни ҳал қилиш учун
бўлакли-аниқланган базис функциялар қўлланилади. Биринчи иккита мисолда
аввал кўриб чиқилган бўлакли-узгармас функциялардан фойдаланиш тафовут
функциянинг ҳосилалари катнашганлиги сабабли мураккаб. Шунинг учун, бу
ерда 2.1б.-чизмада келтирилган типдаги узлуксиз бўлакли-чизиқли
функциялар куланилади. Интеграл остидаги ифодани дифференциалланиш
тартибини пасайтириш учун масалани мос равишда қайта шакллантириш
зарурлиги ва шу сабабли Галёркиннинг (2. 1б) яқинлашувидан фойдаланилиши
юқорида айтиб ўтилган эди.
5.1-мисол . Бу масала учун да ва да ϕ= 1 чегара
шартлари билан тенгламани турли усуллар билан
ечилган эди. Энди бу масалани чекли элементлар усули билан ҳал қилишга
ҳаракат қиламиз. сегментда та тугунларни 3.5 расмда
кўрсатилганидек танлаймиз
24

Элементлар
5,1-расм. 5.1-мисолдан муаммо учун тугунлар ва элементларнинг умумий
рақамланиши.
ва хар бир m тугунни бўлакли-чизиқли глобал базис функциясини мос
куямиз. У холда куйидаги аппроксимацияни ёзиш мумкин
бу ерда - аппроксимациянинг m тугундаги қиймати. ва x= 1
чегара шартлари мос тугунлардаги қийматларни бевосита берилиши орқали
бажарилиши мумкин. Бироқ, аввал
ϕ нинг чегара қийматларини
танламасдан, вазнли тафовутлар усулининг тенгламаларини тузиш, сўнгра
якуний тенгламалар системасини ечишда ушбу шартларни ҳисобга олиш
қулайроқдир. Шундай қилиб, ушбу босқичда барча лар
номаълум деб ҳисобланса, у ҳолда вазинли тафовутлар усулининг (3.3)
аппроксимацияловчи тенгламалари
25

шаклни олади. чегарадаги тафовутни ҳисобга олувчи хад киритилмаган,
чунки кейинчалик у нолга айнан тенг килинади. Юқоридаги шаклдаги бу
формулировка базис функцияларининг -силлиқлигини талаб қилади.
Булаклаб интеграллаш базис функцияларга қўйиладиган ушбу талабни
заифлаштиради ва вазнли тафовутлар усулининг кучсизлантирилган
формулировкасига олиб келади:∫
0
1
(
dW l
dx
d ϕ
¿
dx
+ W lϕ
¿
)dx +[W l
d ϕ
¿
dx ]
0
1
= 0
l=1,2 ,....,M +1
Энди (ва шунинг учун ҳам ) ва ларнинг факат
-силлиқлиги
талаб қилиниши куриниб турибди. Бўлакли-чизиқли базис функциялар бу
талабни қондиради ва Галёркин усулидан фойдаланганда вазн
функцияларининг -силлиқлиги кафолатланади.
Галёркин усулини қўллаш орқали олинган тенгламалар системаси
26

шаклга эга бўлади. Бу ерда
Энди шуни таъкидлаймизки, тугунлари i ва j рақамли булган е
элементининг ушбу коеффициентлардага ҳиссаси (5,1-расм) умумий шаклда
ҳисобланиши мумкин ва(1.2) йиғиш қоидасини қўллашнинг фойдалилиги
куриниб турибди . Бундай е типик элементда, χ = x− xi деб белгиласак

га эга буламиз , бу ерда . e элементдаги ягона нолга тенг
бўлмаган глобал базис функциялари ва бўлади ва шунинг учун е
элементда , агар l i ёки j га тенг бўлмаса , яъни l тугун е элементига тегишли
бўлмаса булади .
27

булганлигидан К матрицасини қуриш учун ихтиёрий элементнинг ҳиссасини
бахолаш кифоя. Умуман олганда, е элемент учун буни қуйидагича бажариш
мумкин :
Шундай қилиб, элемент матрицасининг компонентларини ҳисоблаб, барча
бундай элементлар буйича оддий йиғиш орқали биз К матрицасини оламиз.
Элементлар
28.тј=о
чч

Тугунлар
5,2-расм. 5.1-мисолдаги масаланинг такрибий ечимини олишда
фойдаланиладиган тугунлар ва элементларнинг рақамланиши.
Одатда ансамбллаш деб аталадиган бу жараён бу ерда хол учун
кўрсатилилади. Фараз қилайлик, барча элементлар тенг узунликда (яъни
) булсин ва шунинг учун олинган натижаларни 1.1-
мисолдаги чекли айирмалар ечими билан таккослаш мумкин. Агар 5,2-расмда
кўрсатилганидек тугунлар кетма-кет 1 дан 4 гача, элементлар эса 1 дан 3 гача
рақамланган бўлса, элементларнинг матрицалари
29

шаклни олади. Базис функцияларининг хоссаларидан фойдаланиб,f2= f3= 0
эканлигини топамиз ва уларни йиғиш натижасида
30

тенгламалар системасига келамиз. Энди биз ушбу тенгламалар
системасидан 1 ва 4-қаторларни ўчириб ташлашимиз мумкин, улар
вазнли тафовутлар усулини дастлабки тенгламага ечим қийматлари
берилган тугунларга мос келадиган базис функциялари билан қўллаш
орқали олинади, ва берилган ва қийматларни қолган
тенгламаларда фойдаланилади
31

Ушбу тенгламаларни учун ечиб ва
эканлигини топамиз (тугунлардаги аниқ қийматлар ва
га тенг).
Ушбу мисолда барча элементлар бўйича ҳисоб-китоблар бир хил, чунки
чегара шартлари фақат ечимнинг ушбу босқичида қўлланилади. Бундан
ташқари, сонли ечимни тўғридан-тўғри системадан ўчирилган иккита
тенгламага куйиш ечим градиентининг ва даги
аппроксимациясини беради. Ушбу қўшимча маълумот физик муаммоларни
таҳлил қилишда муҳим бўлиши мумкин, бу ерда аввал кўрсатилгандек,
бундай миқдорлар баъзи ҳолларда ўзига хос физик маънога эга бўлиши
мумкин. (Масалан, бир ўлчовли иссиқлик ўтказувчанлиги масаласида, бу
ва чегаралар орқали иссиқлик оқими ҳақида маълумот бўлади).
Каралаётган ҳолда, учириб ташланган тенгламалар
32

ни беради, бу эса мос равишда 0,8509 ва 1,3130 аниқ қийматлари билан яхши
мос келади.
Ушбу мисолдан маълум бўлиши керакки, элемент матрицасининг ҳар бир
компонентини ҳисоблаш шарт эмас
чунки агар
l ва m тугунлари элементга
тегишли бўлмаса , нолга тенг. Шунинг учун амалда фақат нинг нолга
тенг бўлмаган элементларини ўз ичига олган қисқартирилган матрица
ҳисоблаб чиқилади. Ушбу мисол учун (2
х 2)-матрица бўлади ва
муносабат оркали аникланади. Бу ерга элементнинг базис функцияларини
куйиб ва интеграллаб
33

ни хосил киламиз. Бу матицалар хам хар бир элемент учун бевосита
хисобланади ва ансамбллаштирилгандан сунг К матрицасини беради Бундай
ансамбл жараёнининг тўғри бажарилишини кафолатлаш учун нинг нолга
тенг бўлмаган компонентлари

таркибида мавжудлигини таъкидлаш фойдалидир.
34

Бу ерда - е элементининг тугунлардаги қийматлари вектори .
У холда е элементнинг К матрицага ҳиссасини қўшганда компонентлар
шундай ҳисобга олиниши кераки ва тугун ўзгарувчилари билан
тўғри ишлаши мумкин булсин . Ушбу жараённи тугунларнинг жойлашуви ва
3.6-расмда кўрсатилган рақамлаш тизими билан ушбу мисолнинг ечимини
кўриб чиқиш орқали яна бир бор кўрсатиш мумкин. Ҳар уч элементнинг
узунлиги бир хил бўлгани учун h (=1/3), у ҳолда
У холда ансамбллаш жараёни қуйидагича амалга оширилади.
1-элементнинг ҳиссаси. Бу элементга 1 ва 2-тугунлар тўғри келади ва бу
элементнинг даги нолга тенг бўлмаган ҳиссаси қуйидагилардан иборат:
У холда нинг компоненталари К да шундай хисобланадики ва
ўзгарувчилар билан тўғри ишлайдиган тарзда ҳисобга олинади, яьни
35

2-элементнинг ҳиссаси . Бу элементга 2 ва 3-тугунлар ушбу элементга
тўғри келади ва шунинг учун ушбу элементнинг нолга тенг бўлмаган ҳиссаси
да сакланган. Ушбу ҳиссани К га қўшсак
ни хосил киламиз. Шуни таъкидлаш керакки, иккита компонентнинг
йиғиндисидан ҳосил бўлади, чунки 2-тугун ҳам 1-элементга, ҳам 2-элементга
тегишли.
3-элементнинг ҳиссаси. Ансамблаш жараёни 3-элементнинг ҳиссасини
қўшиш билан тугайди, бунда мос тугунлар энди 3 ва 4 тугунлар булади.
Шундай қилиб,
36

k3ϕ3= [
28 /9 − 53 /18
− 53 /18 28 /9 ][
ϕ3
ϕ 4]ва бу кисм матрицани К га қўшиш якуний натижани беради:
Яна таькидлаймизки, 3-тугун иккала 2 ва 3 элементларга тегишли
бўлгани учун бу икки элементнинг ҳиссасини йиғиш орқали олинади.
Шу тарзда олинган матрица илгари топилган матрица билан устма-
уст тушади ва кейинги ечим худди шу тарзда амалга оширилади.
5.2-мисол . Ушбу мисолда чекли элементлар усулининг чегарада
ҳосиланинг киймати берилган масалаларга қўллаш кўрсатилган. 5.1-
мисолдаги тенгламанинг да ва да чегаравий
шартлардаги ечимини кўриб чиқамиз. Бу масала чекли айирмалар усули
билан ечилган эди. 5.1-мисолдаги чекли-элементли аппроксимациядан
37

фойдаланиб, биз вазнли тафовутлар усулининг тенгламаларига келамиз ((3.3)
тенгламага қаранг).
Бу ерда даги тафовут олиб ташланди, чунки олдинги мисолда бўлгани
каби, кейинчалик у айнан нолга тенглаштирилади. Булаклаб интеграллашни
амалга ошириб ва деб фараз килиб
ни хосил киламиз.
Бу ердан куринадики, бу масаланинг чегаравий шарти табиийдир. Агар
вазн функциялари қоида билан аниқланса ва 5,2-расмда
кўрсатилганидек учта тенг элемент танланса,у холда элементларнинг
келтирилган матрицалари
5.1-мисолдаги матрицалар билан устма-
уст тушади. Бироқ, тенгламанинг ўнг томонидаги f вектор энди бошқача
бўлади. Ансамбллаш жараёнини, амалга ошириб
38

га эга буламиз, бунда ўнг учидаги чегара шарти ҳисобга олинган.
Енди даги чегаравий шартни ҳисобга олишимиз мумкин, бунинг
учун системадан биринчи тенглама ўчирилада ва қолган тенгламаларга
қўйилади. Олинган системани да ечиб,
эканлигини топамиз.
ни ҳисоблаш учун ишлатилиши мумкин, бу 0,6481 нинг аниқ қийматга анча
яқинрокдир.
Бу ва олдинги мисолларда, Галёркин буйича, базис функцияларни танлаш
билан чекли элементлар усули, тенгламага қўллаш, K
39

тасмали симметрик глобал матрицага олиб келди. Матрицанинг бундай
хусусиятлари чекли айирмалар усулининг характерли хусусияти эди.
5.3-мисол . 1-бобда иккинчи даражали иссиқлик ўтказувчанлик
тенгламасини иккита ва
тенгламанинг эквивалент системаси билан алмаштириш мумкинлиги
курсатилган эди. 2.9-масалага қайтиб ушбу турдаги тенгламалар
системасининг чекли элементлар усули билан ечилишини кўрсатамиз. Агарда
деб фараз килинса, у холда вазнли тафовутлар усулига кўра, бу масала
учун

ни хосил киламиз.
40

ва ларни 3.7а- расмда кўрсатилгандек чизиқли чекли
элементларни билан тасвилашдан фойдаланиб ва
41

3.7а-расм. 3.3-мисолдаги масалани ечиш. а – бўлакли- чизиқли учун қабул
қилинган тугунлар ва элементлар тизими , шунингдек, парча-парча чизиқли
43

, парча-парча собит ва парча-парча доимий , қисмли чизиқли учун амалга
44

оширилиши керак бўлган ўзгартиришлар . е ва ф графиклари мос равишда
ва учун тақрибийликларни солиштиради .
45

Сунгра 5.3.б-расмдаги е умумий элементига тўртта ва тугун
ўзгарувчилари мос келади ва Kϕ га ушбу элементнинг нолга тенг бўлмаган
ҳиссаси
46

да сакланган. Интеграллаш орқали берилган масала учун , да
48

ни хосил киламиз. x< 1/2 да Q = 0 , ва тенг h
узунликдаги тўртта элемент учун матрицани ансамбллаштириш жараёнидан
ҳосил бўлади
50

Агар чегара шартлари куйилсаса ва қиймат
ишлатилса, бу тенгламалар системаси ечимга эга
ечимга эга.
5.3, д ва е расмдан куринадики q аник кийматларда , ифодаланганлигини
англатади . эса учун жуда яхши аппроксимация булади .
Бошқа ёндашувни ҳам кўриб чиқиш мумкин. Вазинли тафовутлар
усулининг иккинчи муносабатини булаклаб интеграллаб (ва ишорани
ўзгартириб)
оламиз. Энди кўриниб турибдики, ни бўлакли-узгармас чекли элементлар
билан ифодалаш мумкин, учун бўлакли-чизиқли аппроксимация эса
сақланиб қолади. 5.3, а расмдаги тур учун ва 3.7 в расмдаги
е умумий элементга мос келадиган учта ўзгарувчи мавжуд .
Ушбу ҳолатда

ва шундай қилиб,
Элементларнинг матрицаларини ансамбллаштиришни амалга ошириб
тенгламалар системасини оламиз ва уни ечиб

ни хосил киламиз.
5.3, д ва е расмда кўрсатилганидек , бу усул ва нинг тугунлардаги
аниқ қийматларини такрорлайди . Биринчи тенгламадан ни
қийматини топиши мумкин , бу ҳам аниқ кийиатдир.
Ва ниҳоят, вазнли тафовутлар усулининг биринчи муносабатида
булаклаб интеграллашдан фойдаланиш мумкин. У холда ни бўлакли-
узгармас тасвирлаш мумкин , ва ни бўлак-чизиқли тасвирлаш мумкун
(5.3-расм, д ). Ўқувчига ушбу таҳлилни ўтказиш ва натижада олинган
яқинлашишнинг aникиқлигини ҳозиргина топилган б илан солиштириш
тавсия этилади.

Хулоса
Ушбу битирув малакавий ишида куйилган масаланинг максади ва
вазифаларидан келиб чикиб куйидаги натижалар олинди.
1. 5.1-масала. d
2
ϕ /dx
2
− ϕ = 0 тенгламанинг x= 0 да ϕ= 0 ,
x= 1
да ϕ = 1 чегара шартларини қаноатлантирадиган ечимини топиш
талаб қилинсин. Масала чекли-элементлар усули билан ечилсин.
2.5.2-масала.
d
2
ϕ /dx
2
− ϕ = 0 тенгламанинг энди x= 0 да ϕ = 0
ва
x= 1 да dϕ /dx = 1 чегара шартларини ечимини топиш талаб
килинсин. Масала чекли-элементлар усули билан ечилсин.
3. 5.3-масала. Энди 2-масалада ечилган масалани
x= 1 чегарадаги ҳосила
учун марказий айирмали аппроксимациядан фойдаланиб ечилсин.
4. 5.4-масала. Иккинчи даражали иссиқлик ўтказувчанлик тенгламаси
ни
0 ≤ x≤ 1 сегментнинг 0 ≤ x < 1 /2 кисмида
Q = 0
ва 1 /2 < x≤ 1 кисмида Q = 1 хамда k=1 деб олсак x= 0 да
ϕ = 0
ва x= 1 да q = 0 чегара шартларида унга эквивалент
тенгламалар системаси ,
dq /dx − Q = 0 га

келтириб ечилсин. Масала чекли-айирмалар ва чекли-элементлар усуллари
билан ечилсин.
5. Куйилган масалалар ечимларининг чекли-айирмалар усули билан киёсий
тахлили утказилди

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO’YXATI
Acocий адабиётлар
1. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. Из-во “Мир”,
Москва 1979
2. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. Из-во
“Мир”, Москва 1986. 318 с.
3. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975.
4. Деклу Ж. Метод конечных элементов. Из-во “Мир”, Москва 1976
Қўшимча адабиётлар
1.Сиддиқов А. Сонли усуллар ва программалаш. - Т.: «Ўзбекистон»,2001.
2.Х ў жаёров Б.Х. Қ урилиш масалаларини сонли ечиш усуллари. –
Тошкент: “Ў збекистон ” , 1995.
3. Мирзиёев Ш.М. Эркин ва фаровон, демократик Ўзбекистон давлатини
биргаликда барпо этамиз. Ўзбекистон Республикаси Президенти лавозимига
киришиш тантанали маросимига бағишланган Олий Мажлис палаталарининг
қўшма мажлисидаги нутқи. Тошкент, 2016. 56-б.
4. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. Из-во
“Мир”, Москва 1980
5. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. Из-во “Мир”, Москва
1984
6. Норрн. Д, де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. Из-во
“Мир”, Москва 1981
7. Эржанов Ж.С., Каримбаев Т.Д. Метод конечных элементов в задачах
механики горных пород. Из-во “Наука”, Алма-ата 1975
8. Stanek William. Windows 10: the Personal Trainer. – CreateSpace
Independent Publishing Platform, 2016-284 p.
9. Wilson K. Computer Training: Windows 10. – Elluminet Press, 2015. -148
p.
10. Wilson K. Fundamentals of Office 2016. – Elluminet Press, 2015. -202 p.
11. Wilson K. Fundamentals of Windows 10(Computer Fundametals), 2015.
12. Wallace Wang. Office 2016 For Dummies. 2015-480 p .
13. Финкова М.А., Матвеев М.Д., Ромель А.П. Все об и спользовании и
настройках. Самоучитель. М.: Изд-во «Наука и техника», 2016-336 с.

ЧЕКЛИ ЭЛЕМЕНТЛАР УСУЛИ ЁРДАМИДА ДИФФЕРЕНСИАЛ ТЕНГЛАМАЛАРНИ ЕЧИШ MUNDARIJA КИРИШ §1. Чекли элементлар тушунчаси §2. Баъзи типик локал аниқланган минимал қўллаб - қувватланадиган базис функциялар §3. Дифференциал тенгламалар ечимларини аппроксимациялаш ва силлиқлик талаблари §4. Кучсизланган формулировка ва Галёркин усули §5. Баъзибир бир ўлчовли масалалар ХУЛОСА …………………………………………………………………...…...46 ФОЙДАЛАНИЛГАН АДАБИЁТЛАР РЎЙХАТИ ………………..………

КИРИШ Мавзунинг долзарблиги. Чекли элементлар усули физика ва техникада учрайдиган дифференсиал тенгламаларни сонли ечиш усули ҳисобланади. Бу усулнинг пайдо бўлиши космик тадқиқотларни ҳал қилиш муаммолари билан боғлиқ (1950). Бу иш биринчи марта Тёрнер, Клуж, Мартин ва Топп томонидан нашр этилган . Бу ишлар бошқа ишларнинг пайдо бўлишига туртки бўлди; чекли элементлар усулини қурилиш механикаси ва туташ муҳитлар механикасига татбиқ қилинган бир қатор мақолалар чоп этилди. Усулни назарий асослаш учун 1963 йил Мелош муҳим ҳисса қушди. У чекли элементлар усулини Релей-Ритс усулининг вариантларидан бири эканлигини кўрсатди. Қурилиш механикасида чекли элементлар усули потесиал энергияни минималлаштириш орқали масалани мувозанатнинг чизиқли тенламалар системасига келтириш имконини беради. Чекли элементлар усулининг минималлаштиришга боғлиқлиги унинг техниканинг бошқа соҳаларидаги муаммоларини ҳал қилишда фойдаланишга олиб келди. Усул Лаплас ёки Пуассон тенгламалари билан тавсифланган муаммоларга нисбатан ҳам қўлланилди. Бу тенгламаларни ечиш ҳам бирор фунционални минималлаштириш билин боғлиқ. Дастлабки нашрларда чекли элементлар усули ёрдамида иссиқлик тарқалиш масалалари ечилди. Сўнгра усул гидромеканика муаммоларига, хусусан, ғовакли муҳитда суюқлик оқими муаммосига нисбатан қўлланилди. Қурилиш механикаси, иссиқлик тарқалиши, гидромеханика масалаларида элементларни аниқловчи тенгламалар вазнли тафовутлар усулининг вариантларидан бири бўлган Галёркин ёки энг кичик квадратлар усули ёрдамида осонгина ҳосил қилиш мумкинлиги исботлангандан сўнг чекли элементлар усулининг қўлланиш соҳаси сезиларли даражада кенгайди. Бу фактнинг ўрнатилиши чекли элементлар усулини назарий асослаш учун муҳим 2

рол ўйнади натижада бу усулни ихтиёрий дифференсиал тенгламани ечишга қўллаш имконини берди. Шундай қилиб чекли элементлар усули қурилиш механикаси муаммоларини сонли ечиш усулидан дифференсиал тенгламаларни ёки дифференсиал тенгламалар системасини сонли ечишнинг умумий усулига айланди Масаланинг қўйилиши. Ушбу малакавий иш иккинчи тартибли оддий дифференсиял тенгламаларни чекли элементлар усули билан ечишга бағишланган . Ишда қаралган учта масалада . узлуксиз бўлакли-чизиқли функциялар қўлланилади. Интеграл остидаги ифодани дифференсиалланиш тартибини пасайтириш учун масалани мос равишда қайта шакллантириш зарурлиги ва шу сабабли Галёркиннинг апроксимация усулидан фойдаланилади. Ишнинг мақсади. Иккинчи тартибли дифференсиал тенгламаларни чекли элементлар усули ёрдамида ечиш , чекли элементлар усули тадбиқини ўрганиш, ҳисоб алгоритмини яратиш, уни амалий масалаларни ечишга қўллаш ва тақрибий ҳисоблашлар натижаларини таҳлил этиш. Ишнинг вазифалари . Чекли элементлар усули ёрдамида иккинчи тартибли дифференсиал тенгламаларни ечиш алгоритмларини ишлаб чиқиш. Илмий-тадқиқотнинг методлари . Ҳисоблаш математикасининг вазнли тафовутлар ёрдамида апроксимациялаш вариантларидан бири бўлган галёркин усули ҳамда чекли элементлар усули . Ишнинг илмий аҳамияти. Чекли элементлар усулини қўллашнинг самарали алгоритмини ишлаб чиқиш, уларни намунавий масалалар ечимларида кўрсатиш. Ишнинг амалий аҳамияти. Битирув малакавий ишнинг натижаларидан ҳисоблаш усуллари , сонли усуллар фанларидан олиб бориладиган амалий ва лабаратория машғулотларида фойдаланиш мумкун. Ишнинг тузилиши. Битирув малакавий иши кириш, 6 та параграф, хулоса ва фойдаланилган адабиётлар рўйхатидан иборат. 3

Кириш қисмида масаланинг долзарблиги, масаланинг қўйилиши, ишнинг илмий ва амалий аҳамияти, илмий-тадқиқот методлари ҳамда ишнинг тузилиши ва қисқача мазмуни баён қилинган. Биринчи параграфда чекли элементлар усулининг ғояси, ҳамда усулнинг дискретлаштириш жараёнлари тушунчалари қисқача тавсифланган. Иккинчи параграфда локал аниқланган типик базис функциялар ҳақида малумотлар келтирилган , учинчи параграфда Дифференсиал тенглама ечимини аппроксимациялаш ва силлиқлик масалалари қаралган, тўртинчи параграфда кучсизлантирилган шаклдаги галёркин усули баён қилинган. Ишнинг асосий қисми бешинчи параграфда жойлашган. Бунда чекли элементлар усули билан ечиш учун типик масалалар танланган ва уларни ечиш олтинчи параграфда чизиқли тенгламалар системасини Гаусс усули билан ечишга оид тушунчалар ўрганилган, алгоритм, блок-схема ва дастур келтирилган, аниқ мисоллар ечилган, хулосада олинган натижалар таҳлил қилинган. Олинган натижаларнинг қисқача мазмуни (аннотацияси). Мазкур битирув малакавий ишда иссиқлик узатиш жараёнларидаги масалаларни математик моделлаштиришдан ҳосил бўлган амалий масалаларни (иккинчи тартибли дифференсиал тенгламалар учун чегаравий масалаларни) ечиш учун чекли элементлар усулидан самарали фойдаланиш муаммолари ўрганилган. Одатда бундай масалалар ҳисоблашлар ҳажми жуда катта бўлган маълумотлар базаси билан ечилади. Шунга кўра бу масалани самарали ечиш учун чизиқли тенгламалар системасини ечиш зарурати ўрганилган. Бу масалаларни ечиш жараёнида пайдо бўладиган муаммоларни самарали ҳал этишнинг унумли ҳисоб алгоритмлари таҳлил қилиниб, чизиқли тенгламалар системасини Гаусс усули билан ечишга дастурий воситалар яратилган. 4

§1. Чекли элементлар тушунчаси Чекл и э лемент лар усули нинг асосий ғоя си шундан иборатки, исталган узлуксиз миқдорни, масалан: температура , босим ва кўчишни бўлакли- узлуксиз функциялар тўпламида аниқланган дискрет модел билан аппроксимация қилиш мумкин деб ҳисобланади . Бўлакли-узлуксиз функция лар узлуксиз миқдорнинг қаралаётган соҳанинг чекли сондаги нуқталари ёкдамида аниқланади. Умум ий ҳолда , узлуксиз миқдор нинг қиймати олдиндан маълум эмас ва б у миқдор ни соҳанинг баьзи бир ички қийматлар да аниқлаш зарур . Агарда бу миқдорнинг сонли қийматлари соҳанинг ҳар бир ички нуқтасида маьлум деб қабул қилсак, дискрет моделни жуда осон қуриш мумкин. Шундан сўнг биз умумий ҳолатга ўтамиз. Шундай қилиб узлуксиз миқдорнинг дискрет моделини қуриш учун қўйидаги ишларни бажарамиз: 1. Қаралаётган соҳада чекл и сон даги нуқталар белгиланади . Бу нуқталар тугун нуқталар ёки шунчаки тугунлар дейилади . 2. Узлуксиз миқдорнинг ҳ ар бир тугун нуқтада ги қиймат и ўзгарувч и деб ҳисобланади ва аниқланиши зарур . 3. Узлуксиз миқдорни нг аниқлаш соҳаси э лементлар деб аталувчи чекли сондаги қисм соҳаларга бўлинади. Бу э лементлар умумий тугун нуқталарга эга ва биргаликда соҳанинг шаклини аппроксимациялайди . 4. Узлуксиз миқдор ҳ ар бир элемент да бу миқдорнинг тугун нуқталардаги қиймати орқали аниқланган кўпҳад орқали аппроксимацияланади. Ҳар бир элемент учун ўзининг кўпҳади аниқланади, лекин бу кўпҳадлар шундай танланадики узлуксиз миқдорнинг элементнинг чегараси бўйлаб қийматлари узлуксизлигини сақлаши зарур. Вазнли тафовутлар ёрдамида a ппроксимация усулларидаϕ≈ ϕ ¿ = ψ + ∑ m=1 M am N M (1.1) ёйилмага кирган N m базис функциялари бутун Ω соха бўйича битта ифода билан аниқланган ва бу усулнинг тенгламаларида ҳосил бўладиган 5

ЧЕКЛИ ЭЛЕМЕНТЛАР УСУЛИ ЁРДАМИДА ДИФФЕРЕНСИАЛ ТЕНГЛАМАЛАРНИ ЕЧИШ

20.11.2024

0

2015.07421875 KB

Похожие