logo
  1. Главная страница
  2. Дипломные работы
  3. Общий
  4. CHETLARI BIKR MAHKAMLANGAN IKKI QATLAMLI PLASTINKANING ANSIMMETRIK TEBRANISHLARI

CHETLARI BIKR MAHKAMLANGAN IKKI QATLAMLI PLASTINKANING ANSIMMETRIK TEBRANISHLARI

Загружено в:

12.08.2023

Скачано:

0

Размер:

1532.208984375 KB
Скачать
CHETLARI BIKR MAHKAMLANGAN IKKI QATLAMLI PLASTINKANING ANSIMMETRIK TEBRANISHLARI MUNDARIJA KIRISH ………………………………………………… ……………… … . . 3 I-BOB. CHETLARI BIKR MAHKAMLANGAN IKKI QATLAMLI ELASTIK PLASTINKA NOSTATSIONAR ANTISIM- METRIK TEBRANISHLARI HOZIRGI ZAMON HOLATI.... 8 1.1- §. Ko’p qatlamli plastinkalarni hisoblashni statik va dinamik nazariyalari va usullari rivoji …………............................... ……. 8 1.2- §. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkaning antisimmetrik tebranishlari masalasining umumiy qo’yilishi va uni yechish usullari …..……………………………………..… . 19 1.3 - § . Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkaning antisimmetrik tebranishlari masalasi va uning umumiy yechimi 24 II-BOB. CHETLARI BIKR MAHKAMLANGAN IKKI QATLAMLI ELASTIK PLASTINKANING NOSTATSIONAR ANTISIM- METRIK TEBRANISHLARI ………………..……………….. 32 2.1- §. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkaning antisimmetrik tebranishlari tenglamalari ..…………………….. 38 2.2 - §. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka tebranish tenglamalarining ba’zi xususiy hollari ……………… 57 2.3- §. Ikki qatlamli elastik plastinkaning kuchlangan- deformatsiyalangan holatini aniqlash ………………….……… 57 III - BOB . CHETLARI BIKR MAHKAMLANGAN IKKI QATLAMLI PLASTINKANING ANTISIMMETRIK TEBRANISHLARI AMALIY MASALALARI.......................................................... 63 3.1- § Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik tebranishlari amaliy masalalarida chegaraviy va tutashlik shartlari........................................................................ 63 3.2- § Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik garmonik tebranishlari .......................................... 63 3.3 - § Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik tebranishlarining chastotaviy tahlili....................... 63 3.4 - § Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik 63 1 tebranishlari........................................................... ASOSIY XULOSALAR…...……………………………………….……….... 63 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO’YXATI ……...……..………..... 63 2 KIRISH Mavzuning dolzarbligi. Qurilish va mashinasozlikning turli sohalarida qo‘llaniladigan muhandislik qurilmalarining ko‘p qatlamli elementlari dinamikasini o‘rganishga, jumladan, ularning dinamik deformatsiyasini hisoblashning yangi eksperimental modellarini yaratishga, yuqori samarali matematik modellar va zamonaviy raqamli modellarni qo‘llashga katta e’tibor qaratilgan. So‘nggi yillarda jahonning bir qator rivojlangan mamlakatlarida muhandislik inshootlarining og‘irligini kamaytirish va mustahkamligini oshirish uchun ko‘p qatlamli konstruksiya elementlaridan, ularning dinamik xususiyatlarini hisoblashning samarali usullaridan foydalanilmoqda. Shu bois, turli qurilmalarning massasini zamon talablari asosida kamaytirish, ularning chidamliligi va texnologik va konstruksiyaviy ustunligini hamda iqtisodiy samaradorligini ta’minlash muhandis va tadqiqotchilar uchun muhim ahamiyatga ega. Ko'pgina xorijiy mamlakatlarda konstruksiya elementlarining kuchlanish-deformatsiya holatini o'rganish, konstruksiya mustahkamligi muammolarini tizimlashtirish, aviatsiya, kemasozlik, mashinasozlik va qurilishda turli xil tabiatning dinamik ta'sirini o'rganishga alohida e'tibor beriladi. Qatlamli konstruktsiyalar elementlarining statsionar bo'lmagan tebranishlarini, shu jumladan turli xil tashqi statsionar bo'lmagan dinamik yuklarning ta'siri ostida ikki qatlamli plastinkalarning dinamikasini o'rganish uchun butun dunyoda ko'plab tadqiqotlar olib borilmoqda. Texnik qurilmalarning ishonchliligini ta’minlashning yangi matematik modellari va hisoblash usullarini ishlab chiqish va yaratishga, xususan, dinamik yuklar ostida ikki qatlamtli plastinka va qobiq elementlarini hisoblashga alohida e’tibor qaratilmoqda. Har xil tebranish jarayonlarining matematik modellarini yaratish, aerokosmik, yer, yer osti va boshqa muhandislik inshootlarining KDH elementlarini yuqori aniqlikda aniqlash, shuningdek, deformatsiyalanuvchi qattiq jism mexanikasi sohasida raqamli tadqiqotlar zarur. Muhim vazifalardan biri qurilmalarning, jumladan, ikki qatlamli elastik plastinalardan foydalanadigan qurilmalarning yuk ko'tarish qobiliyatini amalga 3 oshirish uchun qurilma elementlarining deformatsiyalanish jarayonlarini aks ettiruvchi istiqbolli matematik modellarni ishlab chiqishdir. Dissert at siy a ishida t adqiqot ob’ek t i v a predmet i. Dissertatsiyada turli vaqtga bog‘liq o‘zgaruvchan yuklar ta’sirida elastik ikki qatlamli plastinkaning simmetrik tebranishlarini o‘rganish tadqiqot ob’ekti va predmeti hisoblanadi. Tebranishlar bo’ylama xarakterga ega bo'lganda, bunday elementlarda yuzaga keladigan bo'ylama deformatsiya to'lqinlarining o'ziga xos xususiyatlarini hisobga olgan holda tarqalishini raqamli tahlil qilishdan iborat. Tebranish tenglamalarini tuzish, xususiy chastotalarni topish, xususiy amplitudalarni aniqlash va topish masalalarini hal qilish uchun qurilmaning yuqoridagi elementlarining plastinka, sterjen va qobiq yoki silindrsimon qobiqdagi chiziqli bo'ylama deformatsiya to'lqinlarining tarqalishini raqamli tahlil qilishda siqilmaydigan yopishqoq suyuqlikni o'z ichiga olgan cheksiz kengaytirilgan chiziqli bo'lmagan viskoelastik silindrsimon qobiqda chiziqli bo'ylama deformatsiya to'lqinlarining tarqalishi bo'yicha ushbu tadqiqotlarning tebranish naqshlari dissertatsiya mavzusidir. Bitiruv malakaviy ishning mavzusi chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning ansimmetrik tebranishlariga topilgan fizik-mexanik xususiyatlarini qo'llashdir. Ishning maqsad va vazifalari Ushbu magistrlik dissertatsiyasining asosiy maqsadi tashqi dinamik yuklanishlar ta’sirini hisobga olgan holda ikki qatlamli elastik plastinkaning statsionar bo‘lmagan bo’ylama tebranishlarini hisoblashning matematik modelini ishlab chiqishdan iborat; plastinka kesimining ixtiyoriy nuqtalarining kuchlanish-deformatsiya holatini aniqlash algoritmini ishlab chiqish; 4 ishlab chiqilgan usuldan impulsli va boshqa yuklanishlar ta'siri ostidagi ikki qatlamli plastinlarni hisoblash uchun ishlatish. Magistrlik dissertatsiya ishining asosiy vazifalari qilib quyidagilar belgilangan: • dinamik yuk lanish lar ta’siri ostidagi ikki qa tlamli elastik plast inka ning statsionar bo‘lmagan bo’ylama tebranishlarini hisoblashning matematik modelini ishlab chiqish; • ikki qatlamli elastik plastinka ko‘ndalang kesimining ixtiyoriy nuqtalarining kuchlangan-deformatsiya langan holatini aniqlash algoritmini ishlab chiqish; • dinamik yuklar ta'siridagi ikki qatlamli plastinkaning tebranishlariga doir yangi amaliy masalalar qo'yish va tegishli hisoblash metodini ishlab chiqish. Ikki qavatli plastinkaning garmonik tebranishlari va turli chegara shartida dinamik yuklarning ta'siri ostida majburiy tebranishlarning o'ziga xos muammolarini hal qilish usullarini ishlab chiqish; • chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning geometrik va fizik-mexanik harakteristikalarining kuchlanish tenzori va ko chish vektoriʼ komponentalarining ko ndalang kesim ixtiyoriy nuqtasidagi vaqt va koordinatadan ʼ bog lanish qonuniyatlariga ta sirini tadqiq qilish; ʼ ʼ Tadqiqot ning ilmiy y angiligi. quyidagilardan iborat: • elastik ikki qatlamli plastinkaning statsionar bo'lmagan ko'ndalang tebranishlarini tashqi dinamik yuklanishlar ta'sirini hisobga olgan holda hisoblashning matematik modeli kletirib chiqarilgan; • chetlari bikr mahkamlangan ikki qavatli elastik plastinka ko‘ndalang kesimining ixtiyoriy nuqtalarining kuchlangan-deformatsiyalangan holatini fazoviy koordinatalar va vaqt bo‘yicha kerakli aniqlikda hisoblashning samarali algoritmi yaratilgan; • dinamik yuklar ta’sirida ikki qatlamli plastinka tebranishlarining yangi amaliy masalalari va turli dinamik yuklar ta’sirida ikki qatlamli plastinkaning 5 garmonik tebranishlari va majburiy tebranishlarining alohida masalalarini yechish usullari olingan; • elastik plastinka qatlamlarining geometrik va fizik-mexanik xarakteristikalarining kuchlanish tenzori komponentlari ko’ndalang kesimning istalgan nuqtasida ko’chish vektorining koordinata va vaqtga bog‘liqlik qonunlariga ta’siri bir qator amaliy ishlar misolida o‘rganildi; Tadqiqot ning asosiy masalalari v a v azifalari. Maskur magistrlik dissertatsiya ishida tadqiqotning asosiy vazifalari va masalalari tashqi dinamik yuklanishlarning ta’sirini hisobga olgan holda ikki qatlamli to‘rtburchak plastinkani impulsli yuklanish ta’sirida deformatsiyalanishi matematik modelini ishlab chiqishdan iborat. To'rtburchakli ikki qatlamli plastinka ko'ndalang kesimining ixtiyoriy nuqtalarining kuchlanish-deformatsiya holatini aniqlash algoritmini ishlab chiqish, ikki qatlamli plastinkaning dinamik yuklanishlar ta'sirida tebranishlari haqida yangi amaliy masalalarni qo'yish va mos keladigan hisoblash usuli ishlab chiqish. Ikki qatlamli plastinkaning garmonik tebranishlari va turli chegaraviy shartlarda dinamik yuklanishlar ta'sirida majburiy tebranishlarning alohida muammolarini hal qilish usullarini ishlab chiqish, ikki qatlamli to'rtburchakli plastinkani qatlamlarining geometrik va fizik-mexanik xarakteristikalari kuchlanish tenzorining tarkibiy qismlarining koordinata va vaqtga bog'liqligi qonunlariga va kesimning istalgan nuqtasida siljish vektoriga ta'sirini o'rganish. Tadqiqot mav zusi boʼy icha adabiy ot lar sharhi. Ko’pgina hollarda klassik nazariya asosida qatlamli plastinkalar dinamik hisobi ishlari bajariladi. Bunday holatlarda klassik nazariya qatlamli plastinkaning qatlamlaridagi deformatsiya tenzori va kuchlanish 6 tenzori komponentalarini barchasini toʻliq hisoblay olish imkonini bermaydi. Shu sababli bugungi kunda bu nazariyani rivojlantirish ustida juda koʻp olimlar tadqiqot ishlarini olib bormoqda. Qatlamli konstruksiyalarning klassik nazariyaga qo’shgan rivoji S.A.Ambarsumyan, S.G.Lexniskiy, E.Reysner, I.G.Filippov, M.V.Fomenko, V.P.Shevchenko, X.Altenbax, E.I.Grigolyuk, R.I.Xalmuradov, X.X.Xudoynazarov, A.B.Axmedov, R.Abdukarimov va boshqa taniqli tadqiqotchilar tarafidan amalga oshirilmoqda. Qatlamli plastinka va qatlamli qobiqlar dinamik hisobi aniqlashtirilgan nazariyalarini yaratish boʻyicha tadqiqotlar Timoshenko va Reyssner tipidagi nazariya hamda aniq yechimlaridan foydalanishga asoslangan elastiklik nazariyasi uch o lchovli masalalari kabiʻ yoʻnalishga bolinadi. Ikkinchi usulning koʻp qatlamli elastik va qovushoq-elastik plastinkalar tebranishlari uchun yaroqli turli variantlari G.I.Petrashen va I.G.Filippovlar, hamda ularning bir qator oʻquvchilari tomonidan taklif etilgan. Qatlamli plastinkalar uchun chegaraviy shartlar plastinka oʻrta sirti nuqtalari koʻchishlarining bosh qismlariga nisbatan shakllantirilgan. Aytish mumkinki bayon qilingan fikrlardan kelib chiqqan holda bugungi kunda elastik-qovushoqlik xossalari hisobga olingan va turli tashqi dinamik yuklanishlar taʼsiri ostidagi qatlamli elementlarning, xususan, uch qatlamli, ikki qatlamli qovushoq-elastik plastinkalarning nostatsionar tebranishlari nazariyasi, tebranish va ustuvorlik masalalarini yechish usullari va algoritmlarini ishlab chiqishdagi muammolar yetarli darajada oʻrganilmagan. 7 Tadqiqot da qoʼllanilgan met odik aning t av sifi . Asosiy tadqiqot usuli sifatida G.I.Petrashen – I.G.Filippovning tadqiqot jarayonida aksioma va gipotezalarni foydalanmasdan tenglamalarni chiqarish metodi, Fur’e va Laplasning integral almashtirish metodlari, shuningdek tadqiqotchilar tomonidan qayta-qayta sinovdan o'tgan boshqa analitik va tadribiy hisoblsh usullaridan foydalanilgan. Tadqiqot nat ijalarining nazariy v a amaliy ahamiy at i. Tadqiqot natijalarining ilmiy ahamiyati chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning ansimmetrik tebranishlari tenglamalarni tuzish usulini ishlab chiqish va takomillashtirish; bu impulsiv yuklanishlar taʼsirida ikki qatlamli elastik plastinkalarning antisimmetrik tebranishlariga oid yangi amaliy masalalarni yechish va ishlab chiqilgan usullarni chetlari bikr mahkamlangan qatlamli plastinka va xususan ikki va bir jinsli bir qatlamli plastinkalar uchun umumlashtirish imkoniyati bilan izohlanadi. Tadqiqot natijalarining amaliy ahamiyati chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning ansimmetrik tebranishlari KDH parametrlarini aniqlash amaliy masalalarini yechish uchun analitik-sonli algoritmlar yaratish; olingan natijalar umumiy harakterga yega boʻlib ularni matematik fizikaning shu turdagi masalalari uchun umumlashtirish; xususiy hollarga, masalan bir qatlamli va bir jinsli plastinkalarning turli xususiyatlarini etiborga olgan holda qoʻllash mumkinligi bilan izohlanadi. 8 Dissert at siy a ishining t uzilishi. Magistrlik dissertatsiya ishi kirish, uchta bob, xulosa hamda foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan iborat bo’lib 74 kompyuter sahifasida bayon qilingan. 9 I- BOB. CHETLARI BIKR MAHKAMLANGAN IKKI QATLAMLI ELASTIK PLASTINKA NOSTATSIONAR ANTISIMMETRIK TEBRANISHLARI HOZIRGI ZAMON HOLATI 1.1 -§. Ko’p qatlamli plastinkalarni hisoblashni statik va dinamik nazariyalari va usullari rivoji Qatlamli plastinkalar 1990-1980 yillardan boshlab qurilish va muhandislikning turli sohalarida, shuningdek aviatsiyada keng qo llanila boshladiʼ [1]. Umuman olgnda plastinka qatlamlarining qalinligi boshqacha ham bo lishi, ʼ yoki bir xil bo’lishi ham mumkin. Agar plastinka qatlamlarining qalinligi bir xil bo lsa, unda bunday ikki qatlamli plastinka simmetrik strukturali plastinka aks ʼ holda nosimmetrik strukturali plastinka [2] deyiladi. Qatlamli plastinkalarni hisoblashda dastlab birinchi nazariyani S.G.Lexniskiy [3] tomonidan yaratilgan va bu nazariya g arb davlatlarida “Zig-Zag” nazariyasi ʼ deb nom olgan [4]. Qatlamli plastinkalar hisobi uchun ya ngi nazariya ʼ S.A.Ambarsumyan [5] tomonidan taklif etilgan. S.A.Ambarsumyan nazariyasining mohiyati umuman olganda quyidagidan iborat: 1) har bir qatlamni avvalo anizotrop bir qatlamli plastinka sifatida qarash; 2) urinma kuchlanishlarning qatlamlar aro uzluksizligini ta minlagan holda ʼ “Zig-Zag” effektini va plastinka ko ndalang kesimida qatlamli elementning ʼ (plastinka, qobiq) har bir qatlami uchun bir qatlamli plastinkaning asosiy tenglamalari va munosabatlaridan foydalanish. S.A.Ambartsumyan bu ikki farazdan tashqari quyidagi gipotezalarni kiritdi: a) deformatsiyadan keyin ham o rta sirtga chiziqli elementlar o z uzunliklarini ʼ ʼ o zgartirmaydilar; ʼ b) plastinka tekisliklarida ta sir qiluvchi kuchlanishlarga nisbatan ko ndalang ʼ ʼ kesimlarda ta sir qiluvchi kuchlanishlar, juda kichik; ʼ v) ko ndalang kesimlarda ta sir qiluvchi va urinma kuchlanishlar (z o qi ʼ ʼ ʼ bo ylab) koordinatadan parabolik qonun bo yicha o zgaradi. ʼ ʼ ʼ 10 Z.G. Renning [6] ishini “Zig-Zag” nazariyasining rivoji ma nosida ko rsatishʼ ʼ mumkin. Qatlamli plastinkalar hisobining yana bir yangi nazariyasi m askur ishda taklif et il gan. Ushbu ishning S.G. Lexnitskiy, S.A.Ambarsumyan hamda E.Reissner nazariyalaridan farqi shundaki, u plastinka ko ndalang kesimidagi ʼ qalinlik bo yicha koordinata bo ylab yo nalgan ʼ ʼ ʼ τxzk va τyzk urinma kuchlanishlarni to rtta ʼ ξx(x,y),ξy(x,y),ηx(x,y) va ηy(x,y) funksiyalarning chiziqli approksimatsiyasi sifatida tasvirlaydi. Natijada har bir qatlam uchun izlanuvchi funksiyalar uchinchi darajali z koordinataning uzluksiz ko chishlari bo lgan ʼ ʼ tenglamalar keltirib chiqarilgan. Ikki qatlamli, uch qatlamli va ko p qatlamli ʼ plastinka ko rinishidagi konstruktiv elementlarni hisoblash masalalari ʼ deformatsiyalanuchan qattiq jismlar mexanikasining eng qiyin muammolaridan biridir [7,8]. Hali “Mustahkamlik kriteriyasi”ni tanlash muammosi to liq hal qilinmagan, ʼ chunki ko p qatlamli qurilmalarning ishdan chiqishi murakkab jarayondir. Bu ʼ jarayon o z navbatida global va mahalliy masshtabdagi ko plab yemirilish ʼ ʼ mexanizmlarini o z ichiga oladi”. ʼ Ko plab nashr etilgan ilmiy ishlar ikki, uch va ko p qatlamli plastinkalarni ʼ ʼ hisoblash nazariyasini ishlab chiqishga bag ishlangan [9,10]. Biroq, ikki qatlamli, ʼ uch qatlamli va ko p qatlamli plastinkalarning tashqi dinamik ta sirlarga duchor ʼ ʼ bo lgandagi nostatsionar tebranishlariga bag ishlangan ishlar soni nisbatan kamdir. ʼ ʼ Professor I.G.Filippov [11], [12] va uning shogirdlari professor X.Xudoynazarov [13], [14], [15,16], O.A.Egorichev [17] larning ilmiy tadqiqot ishlarin bunday ishlarga misol qilib ko rsatish mumkin. Ushbu ishlar almashtirishlardagi umumiy ʼ yechimlar usuliga asoslangan bo lib, ular plastinkalarning sirtlarida berilgan ʼ shartlarni qanoatlantirish uchun ishlatiladi [18]. Yuqoridagi bunday ishlarga ushbu dissertatsiya ishi bevosita bog liqdir. Shuning uchun biz quyida ushbu ishlarning ʼ ayrimlari haqida batafsilroq to xtalamiz. ʼ Yuqoridagi ilmiy ishlar turkumining boshlanishi I.G.Filippov rahbarligida amalga oshirilgan [19] ish hisoblanadi [20]. Bu ishlar qovushoq-elastik izotrop 11 plastinkalarning tebranishlari uchun “chiziqli yaqinlashishda” umumiy aniqlovchi tenglamalarni tuzishga bag ishlangan. Ko ndalang va bo ylama tebranishlarningʼ ʼ ʼ aniq tenglamalari olingan, ulardan xususiy hol sifatida, elastik izotrop plastinkalar tebranishlarining klassik va aniqlashtirilgan tenglamalari olinadi. Plastinka har bir nuqtasidagi kuchlanish va ko’chishlar uchun ifodalar berilgan, ular plastinkaning kuchlangan-deformatsiyalangan holatini ixtiyoriy aniqlikda aniqlaydi va chekli o lchamdagi plastinkalar uchun xususiy chegaraviy masalalarni to g ri ʼ ʼ ʼ shakllantiradi. Tomonlari sirpanib tegib turgan ikki qatlamli plastinka va qatlamlar ideal kontaktida elastik tebranish tenglamalari bir jinsli yechimlari [21] tadqiqot ishida keltirib chiqarilgan va tahlil qilingan. Qatlamli plastinkalar qatlamlarining kontakt sirtida sirt to lqinining mavjudligi ko rsatilgan. ʼ ʼ M.V.Fomenko va Y.V.Altuxovlarning [22,23] ishlarida uchlarida kuchlanishlar bo lgan sendvich plastinkalar elastik tebranishlari masalalari uch ʼ o lchovli holda ko rib chiqilgan. Ko chishlarga nisbatan yozilgan harakat ʼ ʼ ʼ tenglamalarining bir jinsli yechimlari chiqarilgan. Turli xil materiallarning geometrik chiziqsizligi va bir jinsli emasligi hisobga olingan holda [24,25] ishlarda ortotrop qovushoq-elastik silindrik qobiqning va plastinkaning tebranish jarayoni o rganilgan. O zgaruvchan qalinlikdagi qovushoq- ʼ ʼ elastik ortotrop va izotrop yupqa devorli strukturalarning tez va davriy o zgaruvchan yuklanishlar ostidagi dinamik ustivorligi tekshirilgan. Inshootlar va ʼ materiallarning geometrik va fizik-mexanik parametrlarining o zgarishi amplituda- ʼ vaqt xarakteristikalariga va kuchlangan-deformatsiyalangan holatiga ta siri ʼ baholangan va shu bilan birga bir qator yangi mexanik effektlar aniqlangan. Qirralari erkin bo lgan va barcha to rtta burchagi sharnirli mahkamlangan, ʼ ʼ uch qatlamli plastinkaning asosiy tebranish chastotasi aniqlash masalasi [26,27] ishlarda qaralgan. Bitta markaziy nuqta si da mahkamlangan uch qatlamli plastinkaning tebranish chastotasi ni aniqla sh masalasi ham ushbu ishlarda qaral gan. Bu tipdagi masalalar hali ham analitik yechimga ega emasligi qayd etilgan. Uch qatlamli plastinka modelidan foydalangan holda Reissner tipidagi 12 nazariyaga asoslangan qatlamli kompozitlar masalalari ning analitik yechimi taklif qilingan. Gamilton printsipi asosida uch qatlamli plastinkaning erkin tebranish tenglamalari sistemasi olingan. Uch qatlamli plastinkaning variatsion tenglama lari ni yechishda umumlashtirilgan Galerkin usuli qo llaniladi.ʼ Elastik va qovushoq-elastik doiraviy silindrik qobiqlar va sterjenlar uchun [50], [28-31] ishlarda ularni hisoblash usuli keltirib chiqarilgan. Tashqi deformatsiyalanuvchi muhit bilan, ideal va qovushoq siqiladigan va siqilmaydigan suyuqliklar, haroratlar maydoni va boshqalar bilan o zaro ta sirlashuvchi doiraviy ʼ ʼ silindrik qovushoq-elastik qobiqning o qqa nisbatan simmetrik va simmetrikmas ʼ nostatsionar (beqaror) tebranishlarining umumiy yangi nazariyalari ishlab chiqilgan. Uch o lchovli holatda silindrik qatlamning, umuman olganda, xususiy ʼ hollarda qobiqning aylanma, ko ndalang va bo ylama – radial tebranishlarining ʼ ʼ umumiy tenglamalari masalalarning aniq yechimidan [13] keltirib chiqarilgan. Keltirib chiqarilgan tenglamalar qobiqning yoki qatlam ixtiyoriy nuqtalarida aniqlanayotgan vaqt funksiyalarining cheklangan soniga nisbatan tuzilgani bilan tavsiflanadi. Ushbu tenglamalar o z ichiga qobiqni o rab turgan muhitning ʼ ʼ ta sirini, qovushoq-elastik operatorlarning kombinatsiyalarini hisobga oladi va ʼ ixtiyoriy tashqi dinamik yuklanishlarda va qobiq bilan atrof-muhit o rtasidagi turli ʼ xil aloqa rejimlari uchun, umumiy holda qovushoq-elastik operatorlarning ixtiyoriy yadrolari va materialning Puasson koeffitsiyenti o zgaruvchanligi uchun keltirib ʼ chiqarilgan. Tebranish tenglamalari bilan bir galik da ko chish ʼ vektori va kuchlanish tenzori barcha tuzuvchilari uchun formulalar olingan. Bu formulalar yordamida plastinka va qobiq ixtiyoriy kesimining kuchlangan-deformatsiyalangan holatini aniqlash mumkin va aniq amaliy masalalarni yechishda chegaraviy shartlarni to g ri shakllantiradi. Taklif qilinayotgan ushbu yangi nazariyadan kelib chiquvchi ʼ ʼ xususiy va limitik holatlar batafsil muhokama qilingan. Tebranishning limitik va umumiy tenglamalaridan shuningdek yupqa devorli qobiqlar va silindrik sterjenlar 13 uchun atrofdagi qattiq va suyuq muhitlar va boshqalar bilan o zaro ta sirni hisobgaʼ ʼ oladigan tebranish tenglamalari olingan. Xususiy shakldagi uch qatlamli plastinkaning ko ndalang va bo ylama ʼ ʼ tebranishlarining umumiy tenglamalari va ular asosida tebranishlar taqribiy tenglamalari [33] ishda olingan; materialning reologik va mexanik xususiyatlarini hisobga olgan holda, qatlamlar orasidagi kontakt va plastinka o rta tekisligi ʼ nuqtalarining ko chishi va deformatsiyalarini tavsiflovchi izlanuvchi funksiyalar ʼ orqali plastinkaning ichki nuqtalaridagi ko chishlar va kuchlanishlar uchun ifodalar ʼ berilgan. Plastinka tebranishlarining olingan taqribiy tenglamalar asosida sof tebranishlarini aniqlash uchun materialning qovushoqlik xususiyatlarini hisobga olgan holda doimiy qalinlikdagi plastinkalarning tebranishlari bo yicha bir qator ʼ muhim yangi amaliy masalalar yechilgan. Professor O.A.Egorichevning [17] ilmiy ishida elastik va qovushoq-elastik bir jinsli va uch qatlamli plstinkalarning statsionar bo lmagan tebranishlari professor ʻ I.G.Filippov [11] tomonidan plastinkalar uchun ishlab chiqilgan usul bo yicha ʼ o rganilgan. ʼ E.V.Xinen va G.I.Petrashen [34,35] ishlarida asosiy maqsad qilib matematik jihatdan asoslangan holda bir jinsli izotrop plastinkaning muhandislik tenglamalarini keltirib chiqarish qo yilgan edi. Maskur vazifani nazariy jihatdan ʼ bajarish uchun darajali qatorlar usuli qo llanilgan. [34] ish, asosan plastinka ʼ nuqtalarining ko chishlarini ana shu darajali qatorlarga yoyish mumkin ekanligini ʼ asoslashga qaratilgan. Shunday qilib elastik izotrop bir jinsli plastinkaning taqribiy tenglamalari sistemasi keltirib chiqarilgan. Ushbu tenglamalarni qo llash sohasi ʼ topilgan tenglamalar taqribiy bo lganliklari uchun ancha tor soha ekanligi qayd ʼ etilgan. Maqolaning fundamental davomi sifatida [35] tadqiqot ishini ko rsatish ʼ mumkin. Ishda ideal bo lmagan elastik plastinkalarga ilgari elastik plastinka uchun ʼ olingan natijalar tatbiq etilgan. Shunday bir jinsli va izotrop plastinkalarning anti simmetrik va simmetrik tebranishlari taqribiy tenglamalari keltirib chiqarilgan. 14 Professor F.B.Badalov [36] ishlarida darajali qatorlardan nochiziqli qovushoq- elastiklik nazariyasida foydalanish asoslangan. Plastinkalarning bikrligi o zgaruvchan deb hisoblanib ularning tebranishlarini va turg unligini sonli usullariʼ ʼ bilan tadqiq qilishga [37,38,39] B.A.Xudayarov va R.A.Abdukarimovlarning ishlari bag ishlangan. ʼ Bir qator o zbek olimlari materialning qovushoq-elastik [40,41] va ortotrop ʻ [42] xossalarini hisobga olgan holda plastinkalarning, ayniqsa, uch qavatli plastinkalarning tebranishi va barqarorligi muammolarini, shuningdek, qatlamlar oralig’idagi kuchlanishni aniqlashni o rgandilar [10]. ʻ Uch o lchovli jism hisoblanadigan to ldiruvchi qatlam materialining ʼ ʼ ko ndalang siqiluvchanligini hisobga olgan holda uch qatlamli plastinkaning ʼ egilish va tebranish masalalarini yechishga [43,44,45] ishlar bag ishlangan. Ikki ʼ o lchovli tenglamalarni qurishda to ldiruvchi qatlam uchun nafaqat kuch ʼ ʼ momentlari va kuchlar, shuningdek kuchlanganlik-deformatsiyalanganlik holatining fazoviyligi natijasida paydo bo ladigan bimomentlar ham hisobga ʼ olingan. Shuningdek turli dinamik o zgaruvchan xarakterdagi yuklanishlar ʼ ta siridagi plastinkalarning lat yeganligini hisobga olgan holda ham masalalar ʼ yechilgan [46]. Bayon etilgan qisqacha sharhdan xulosa qilib aytish mumkinki, ikki va uch qatlamli plitalarning dinamik holatini va elastik muvozanati o rganish uchun ʼ ma lum bir gipotezalar hamda fizik va mexanik xarakterdagi shartlariga ʼ asoslangan approksimatsiya modellaridan foydalaniladi. Kiritilgan mulohazalar va gipotezalar, xususan u yoki bu taqribiy tenglamalarni, umuman olganda taqribiy nazariyalar keltirib chiqarishga olib keldi. Ular bir-biridan yoki tuzilishidagi ayrim hosilalarning koeffitsientlari bilan yoki ularning yechuvchi tenglamalari turi bilan, ajralib turadi. Shu sababli, ikki, uch va ko p qatlamli plastinkalarning dinamik ʼ o zgarishlarini tadqiq qilish uchun usullarva nazariyalarni ishlab chiqish, jumladan, ʼ bunday plastinkalarning, ular materialining harorat, anizotropik, qovushoq-elastik va boshqa xususiyatlarini hisobga olgan holda, tebranish nazariyalarini qurish, 15 deformatsiyalanadigan qattiq jismlar mexanikasini rivojlanishining hozirgi bosqichida dolzarb muammodir. 1.2-§. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkaning antisimmetrik tebranishlari masalasining umumiy qo’yilishi va uni yechish usullari Uch o lchovli fazoda chetlari bikr mahkamlangan o lchamlari cheksiz bo lganʼ ʼ ʼ ikki qatlamli elastik plastinkani qaraymiz. Ushbu chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka uch o lchamli elastik jism hisoblanadi. Ushbu holda, ʼ chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka qatlamlari bir xil strukturali yoki turli xil strukturali materiallardan tashkil topgan, kuchlanishlar va deformatsiyalar orasida bog lanishlar geometrik va fizik chiziqli deb hisoblanadi. ʼ Ushbu ikki qatlamli elastik plastinkaning chetlari bikr mahkamlangan, pastki va yuqori qatlamlari turli xil qalinlikda (1.1-rasm), qatlamlar orasidagi bo linish ʼ chegaralari tekis va u yoki bu kontaktli o zaro ta sir shartlarini qanoatlantiradilar ʼ ʼ deb hisoblaymiz [12]. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning statsionar bo’lmagan nosimmetrik tebranishlar sharoitida ishlashi nuqtai nazaridan ratsional konstruktsiyasi bikr qatlam ko rinishida bo ladi. ʼ ʼ Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkaga Oxyz to g ri ʼ ʼ burchakli dekart koordinatalar sistemasini joylashtiramiz (1.1-rasm). Bunda Ox va Oy o qlarini ko ndalang kesimlar bilan o zaro ʼ ʼ ʼ perpendekulyar o rta sirt tekisligining yon sirt ʼ chiziqlari bo ylab yo nalga, ʼ ʼ Oz – o qi esa ʼ yuqoriga [47]. Plastinka qatlamlarini xuddi 1.1- rasmdagidek raqamlab chiqamiz, ya ni yuqori ʼ qatlamni birinchi qatlam deb, quyi qatlamni – ikkinchi qatlam deb nomlaymiz. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka qatlamlari qalinliklarini mos ravishda h1 va h2 orqali; qatlam materiallari elastiklik doimiylari, 1 .1-rasm 16 ya ni Lame koeffitsiyentlariniʼ - λ1 ,λ2 va μ1 , μ2 lar orqali ; qatlamlar materiallarining zichliklarini - ρ m lar orqali belgilaymiz. Shuningdek qatlamlar ( m = 1,2 ) nuqtalarining koordinat o’qlari bo’ylab ko’chishlarini U m ( x , y , z , t ) , V m ( x , y , z , t ) , W m ( x , y , z , t ) lar orqali belgilaymiz. Shu yerda va bundan keyingi hamma joyda m indeks doimo 1,2 qiymatlarni qabul qiladi. Bu ko’chishlar elastiklik chiziqli nazariyasida kichik ko’chishlar deb hisoblanadi. Qatlamlar nuqtalarining kuchlanishlar va deformatsiyalar tenzorlari komponentalari uchun quyidagi hamma joyda qabul qilingan belgilashlarni ishlatamiz: τ xy ( m) , τ yz ( m) , τ zx ( m) – urinma va σ xx ( m) , σ xz ( m) , σ zz ( m) – normal kuchlanishlar; εxx(m) , ε yy ( m) , εzz(m) – normal deformatsiya lar , γxy(m) , γ yz ( m) , γzx(m) – burchak deformatsiya lar va ε(m)= εxx (m)+εyy (m)+εzz (m) – hajmiy deformatsiya. Plastinka qatlamlari nuqtalarida σ ii ( m) , τ ij ( m) ( i , j = 1,2,3 ) kuchlanishlarning ε ii ( m) , γ ij ( m) (i,j=1,2,3 ) deformatsiyalardan bog’liqligi quyidagi Guk qonuni ko’rinishida ifodalanadi σ ij ( m) = λ ε ii ( m) δ ij + 2 μ ε ij ; ( i , j = 1,2,3 ; i ≠ j ) ε ii ( m) = ε 11 ( m) + ε 22 ( m) + ε 33 ( m) . ( 1.2 ) Plastinka qatlamlari nuqtalarining O x 1 x 2 x 3 dekart koordinatalaridagi harakat tenglamalari [48]. σij,j(m)= ρm∂2⃗U (m) ∂t2 ,(i,j=1,2,3 ).(1.3 ) bu yerda σ ij ( m) – kuchlanish tenzori komponentalari; ρm – qatlamlar materiallarining zichliklari; ⃗ U ( m) – qatlam nuqtalarining ko’chish vektorlari; t – vaqt. Quyidagi formulalar bo’yicha ⃗ U ( m) = grad φ m + rot ⃗ ψ m , ⃗ U ( m) = ⃗ U ( U m , V m , W m ) ,⃗ ψ m = ⃗ ψ( ψ 1 m , ψ 2 m , ψ 3 m ) . ( 1.4 ) skalyar φm va vektor ⃗ψm potentsiallarini kiritish bilan (1.3) munosabatlarni yyetarlicha soddalashtirish mumkin [14]. Bunda ⃗ψm vektor potentsiallari vektor maydonlarining solenoidallik shartlarini qanoatlantiradilar div { ⃗ψm=0¿ ; (1.5) 17 Endi ⃗ U ( m) ko’chish vektorlarining (1.4) ifodalarini (1.3) harakat tenglamalari sistemasiga qo’yib, plastinkaning elastik qatlamlari nuqtalarining harakat tenglamalarini bo’ylama φm va ko’ndalang ⃗ψm to’lqin potentsiallari orqali ifodalash qiyin emas λ m ( ∆ φ m ) = ρ m ∂ 2 φ m ∂ t 2 , μ m 1 ( ∆ ⃗ ψ m ) = ρ m ∂ 2 ⃗ ψ m ∂ t 2 . ( 1.6 ) bu yerda ushbu belgilashlar kiritilgan μ m 1 = λ m + μ m ; Δ= ∂2 ∂х2+ ∂2 ∂y2+ ∂2 ∂z2 . (1.4) ko’rinishida berilgan k o’chish vektorlari komponentalari ϕm va ψm (k= 1,2,3 ; m= 0,1,2 ) potentsiallar orqali quyidagicha ifodalanadi Um= ∂ϕm ∂x + ∂ψ3m ∂y − ∂ψ2m ∂z ,Vm= ∂ϕm ∂y + ∂ψ1m ∂z − ∂ψ3m ∂x , W m= ∂ϕm ∂z + ∂ψ2m ∂x − ∂ψ1m ∂y ,(m=0,1,2 ). (1.8) Хuddi shun day (1.5) solenoidlik shartlarini dekart koordinatalari sistemasida vektor maydonlar uchun yozish mumkin ∂ψ1m ∂x + ∂ψ2m ∂y + ∂ψ3m ∂z = 0 , ⃗ψm=ψ1m⃗i+ψ2m⃗j+ψ3m⃗k , (1.9) Deformatsiya tenzorining barcha komponentlarini va kuchlanishlar tenzorining barcha komponentlarini kiritilgan (1.8) formulalar yordamida potentsial funksiyalar o rqali ifodalash mumkin [12], masalan εxx(m)= ∂2ϕm ∂ x2 + ∂2ψ3m ∂ x∂ y− ∂2ψ 2m ∂ x∂z , εzz(m)= ∂2ϕm ∂z2+∂2ψ2m ∂x∂z− ∂2ψ1m ∂ y∂z , εxz(m)= ∂2ϕm ∂x∂z+1 2[ ∂2ψ2m ∂x2 − ∂2ψ2m ∂z2 +∂2ψ3m ∂y∂z− ∂2ψ1m ∂x∂y] , 18 σxx(m)= Rλm (Δϕm)+2Rμm [ ∂2ϕm ∂x2+∂2ψ3m ∂x∂y− ∂2ψ2m ∂x∂z], σzz(m)= Rλm (Δϕm)+2Rμm [ ∂2ϕm ∂z2 +∂2ψ2m ∂x∂z− ∂2ψ1m ∂y∂z] , τxz(m)= Rμm [2 ∂2ϕm ∂x∂z+∂2ψ2m ∂x2 − ∂2ψ2m ∂z2 +∂2ψ3m ∂y∂z− ∂2ψ1m ∂x∂y] . Plastinka vaqtning t<0 bo’lgan paytida muvozanat holatda, t=0 paytda esa qalinlik bo’yicha koordinataning z=±hi (i= 1,2 ) qiymatlarida, yoki uning chegaraviy tekisliklariga dinamik kuchlar ta’sir etadi deb faraz qilinadi. Chegaraviy shartlar boshqacha aytganda quyidagi ko’rinishda berilgan deb hisoblanadi [20,49], τxz (i)(x,y,z,t)|z=±hi¿=± Fxz (i)(x,y,t);τyz (i)(x,y,z,t)|z=hi¿=±Fyz (i)(x,y,t); σzz (i)(x,y,z,t)|z=±hi¿=±Fz(i)(x,y,t), (i=1,2 ). (1.10) t<0 bo’lgan paytda plastinka muvozanat holatida bo’lgan deb qabul qilingan mulohazaga ko’ra plastinkaning barcha qatlamlari tinch holatda joylashgan deb hisoblaymiz, bu esa t=0 da nol boshlang’ich shartlarga teng kuchli ekanligini bildiradi ϕm=ψkm= ∂ϕm ∂t= ∂ψkm ∂t = 0,(m=0,1,2 ). (1.11) Pastki ikkinchi qatlamning yuqori qatlam bilan kontakt tekisligida chegaraviy (1.10) shartlardan tashqari, quyidagi dinamik va kinematik kontakt shartlar o’rinli [20] : Yuqori va quyi qatlamlar o’rtasidagi kontakt tekislikda: σzz (1)(x,y,t)= σzz (2)(x,y,t);τxz (1)(x,y,t)= τxz (2)(x,y,t);τyz (1)(x,y,t)= τyz (2)(x,y,t); U 1(x,y,t)= U 2(x,y,t);V 1(x,y,t)= V 2(x,y,t);W 1(x,y,t)= W 2(x,y,t). (1.12) Takidlash kerakki, (1.11) potentsiallar uchun boshlang’ich shartlar t=0 da U m,Vm,W m (m=0,1,2 ) ko’chishlar komponentalari uchun shakllantirilgan boshlang’ich shartlarga teng, yani: 19 U m= V m= W m= 0; ∂U m ∂t = ∂Vm ∂t = ∂W m ∂t = 0 . (1.14) Va nixoyat shunday qilib , chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning nostatsionar antisimmetrik tebranishlari haqidagi masala har bir qatlam uchun (1.10) – chegaraviy, (1.12), (1.13) – kontakt, hamda (1.11) yoki (1.14) – nol boshlang’ich shartlarda (1.6) tenglamalarni yechishga keltiriladi. Ikki qatlamli plastinkaga qo’yilgan tashqi ta’sir funksiyalarini qo’yilgan masalani yechish uchun quyidagi ko’rinishda tasvirlash mumkin [34,35]: [Fyz (i)(x,y,t),Fz (i)(x,y,t)]=∫ 0 ∞sin kx −cos kx }dk ∫ 0 ∞cos θy sin θy }dθ ∫ (l) [~Fyz (i)(k,θ,p),~Fz (i)(k,θ,p)]eptdp ; Fxz (i)(x,y,t)=∫ 0 ∞cos kx sin kx }dk ∫ 0 ∞sin θy −cos θy }dθ ∫ (l) ~Fxz (i)(k,θ,p)eptdp (i=1,2 ), (1.15) bu yerda ~Fxz (i)(k,θ,p) , ~Fyz (i)(k,θ,p) va ~Fz (i)(k,θ,p) , (i=1,2 ) – Re p>0 sohada regulyar funksiyalar. Shuningdek, tashqi ta’sir funksiyalarining (1.15) ifodasiga muvofiq, (1.6) integro-differentsial tenglamalarning izlanuvchi funksiyalarini ham quyidagi ko’rinishda ifodalaymiz: [ϕm,ψ2m,ψ3m]=∫ 0 ∞ cos kx sin kx }dk ∫ 0 ∞ sin θy − cos θy }dθ ∫ (l) [~ϕm,~ψ2m,~ψ3m]eptdp ; ψ1m(x,y,z,t)=∫ 0 ∞sin kx −cos kx }dk ∫ 0 ∞cos θy sin θy }dθ ∫ (l) ~ψ1m(k,θ,z,p)eptdp ; (m=0,1,2 ) (1. 16 ) Ushbu (1.16) ifodalarni (1.6) harakat tenglamasiga qo’yib, plastinkaning har bir qatlami uchun oddiy differentsial tenglamalar sistemasini olamiz. d2~ϕm dz 2 − αm2~ϕm= 0; d2~ψim dz 2 − βm2~ψim= 0; (m= 0,1,2 ;i= 1,2,3 ), (1.17) bu yerda αm2= k2+θ2+ ρm p2~μm−1; βm2= k2+θ2+ ρm p2(~λm+2~μm)−1; (1. 18 ) 20 Hosil bo’lgan (1. 17 ) tenglamalar sistemasi B esselning oddiy ikkinchi tartibli differensial tenglamalari ekanligi ko’rinib turibdiki. Masalani yechish uchun yechimdagi ushbu yechimlar tarkibiga kiruvchi o’zgarmaslar, chegaraviy, kontakt hamda boshlang’ich shartlardan aniqlanishi kerak [11]~ϕm(k,θ,z,p)=A1(m)(k,θ,p)ch (αmz)+A2(m)(k,θ,p)sh(αmz) ; ~ψjm(k,θ,z,p)=Bj1(m)(k,θ,p)sh (βmz)+B2(m)(k,θ,p)ch (βmz) ; (1.19) ~ψ3m(k,θ,z,p)=B31(m)(k,θ,p)ch (αmz)+B32(m)(k,θ,p)sh (αmz) ; (1.19) tengliklar (1.17) oddiy differensial tenglamalar sistemasi ning o’n ikkita umumiy yechimlari hisoblanadi. Ko’chish vektorining ⃗U (m),⃗V(m) va ⃗W (m) komponentlarini (1.16) kabi ifodalab, (1.16) bilan birgalikda (1.8) munosabatlarga qo’yamiz: ~U (m)= k~ϕm−θ~ψ3m− ∂ ∂z ~ψ2m;~V(m)=θ~ϕm+k~ψ3m+ ∂ ∂z ~ψ1m;~W (m)= ∂ ∂z ~ϕm− k~ψ2m+θ~ψ1m. (1.20) (1.19) umumiy yechimlarni hisobga olsak, almashtirilgan komponentalarning (1.20) ifodasi quyidagi ko’rinishga keladi: ~U (m)= kA 1(m)ch (αmz)+kA 2(m)sh (αmz)−(βmB21(m)+θ B31(m))ch (βmz)−(βmB22(m)+θ B32(m))sh (βmz) ; ~V(m)=θA 1(m)ch (αmz)+θA 2(m)sh (αmz)+(βmB11(m)+kB 31(m))ch (βmz)+(βmB12(m)+kB 32(m))sh (βmz) ; (1.21) ~W (m)= αmA1(m)sh (αmz)+αmA2(m)ch (αmz)+(θ B11(m)− kB 21(m))sh (βmz)+(θ B12(m)− kB 22(m))ch (βmz) Xuddi s hun ko’rinishda ~σij (m) , (i,j= x,y,z) kuchlanishning almashtirilgan komponentalar uchun quyidagi ifodalarni olamiz. Masalan ~σxx(m)=(~Tm−2k2~Rμm)[A1(m)ch (αmz)+A2(m)sh (αmz)]+2k~Rμm[(βmB21(m)+θ B31(m))ch (βmz)+ +(βmB22(m)+θ B32(m))sh (βmz)] , (1.22) ........................................................................................................................... bu yerda ushbu belgilash kiritilgan ~Tm=ρmp2~Rλm ~Rm−1. 21 kB 11 (m)+θ B21 (m)+ βmB31 (m)= 0 ; kB 12 (m)+θ B22 (m)+ βmB32 (m)= 0 , (m = 0,1,2 ).Kuchlanish tenzorlari va ko’chish vektorlarining barcha almashtirilgan tarkibiy qismlari, integral almashtirilgan harakat tenglamalarining umumiy y echimlari orqali ifodalab olindi. Shu sababli, yuqorida integral almashtirishlarda qo’yilgan masalaning umumiy y echimi topilgan deb tasdiqlash mumkin. (1.19) umumiy yechimlar hamda ko’chishlarning (1.21) va kuchlanishlarning (1.22) formulalari keyinchalik ikki qatlamli plastinkaning tebranish tenglamalarini keltirib chiqarish uchun qo’llaniladi. 1.3-§. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkaning antisimmetrik tebranishlari masalasi va uning umumiy yechimi Ushbu bobning ikkinchi bo’limida masalaning umumiy qo’yilishi uch o’lchovli hol uchun qo’yilgan edi. Natijalardan ko’rindiki masalaning umumiy yechimida o’n ikki noma’lum ishtirok etadi. Agar aniq yechimlar usulidan foydalanilsa ana shunday noma’lumlarning soniga yana o’n ikkita noma’lum, izlanuvchi funksiyalar kiritishga to’g’ri keladi. Shu sababli noma’lum, izlanuvchi funksiyalarning sonini kamaytirish hamda matematik muammolardan qutilish uchun plastinkani tekis deformatsiya holatida deb hisoblaymiz. Shu sababli [34] plastinkani tekis Oxyz to’g’ri burchakli koordinat sistemasiga joylashtiramiz (1.1- rasm). Ox o’qini Oxz ko’ndalang kesimning o’rta chizig’i bo’ylab , Oz o’qini esa unga perpendikulyar ravishda yuqoriga yo’naltiramiz. Plastinka qatlamlari nuqtalarining ko’chish vektorlari komponentalari ni tekis deformatsiya holida quyidagicha tasvirlaymiz ⃗Um=Um⃗i+W m⃗k ; Um=U m(x,z,t) ; W m=W m(x,z,t) , bu yerda ⃗i , ⃗k – kiritilgan dekart koordinatalar sistemasi birlik vektorlari; Um(x,z,t) raqami m bo’lgan qatlam nuqtalarining bo’ylama va W m(x,z,t) ko’ndalang ko’chishlari. Shuningdek ikkinchi bo’limda keltirilgan (1.4) formuladagi to’lqin funksiyalarini quyidagi kabi kiritamiz: ϕm= ϕm(x,z,t) , ⃗ψm=ψm(x,z,t)⃗j (1.23) 22 bu yerda ⃗j – Oy o’qining birlik vektori. Ushbu holatda ikki qatlamli plastinka o’n ikkita izlanuvchili oddiy differensial tenglamalari (1.6) ning soni qisqarib, ϕm(x,z,t) va ψm(x,z,t) - potentsial funksiyalariga nisbatan ifodalangan oltita to’lqin tenglamasiga aylanadi Rm(Δϕm)= ρm ∂2ϕm ∂t2 ; Rμm (Δψ m)= ρm ∂2ψ m ∂t2 , (1.24) bu yerda Δ= ∂2/∂х2+∂2/∂z2 - Laplasning differentsial operatori. Ko’chish vektori komponentalari (1.4) ko’rinishida tasvirlanganda ⃗ψm vektor funksiyalari vektor maydonlarning solenoidallik shartini avtomatik tarzda qanoatlantiradilar, yani div { ⃗ψm=0¿ . Ko’chish vektorining hamda deformatsiya va kuchlanish tenzorining komponentalari kiritilgan (1.23) potensial funksiyalar orqali ifodala nadi . Birinchi bobning ikkinchi paragrafi da keltirilgan kuchlanishlar deformatsiyalar va ko’chishlarning potensial funksiyalar orqali yozilgan ifodalar i dan foydalanamiz. Agar masalan (1.23) ifodani hisobga olsak ⃗ψm vektorlari faqat bittadan noldan farqli komponetaga ega ekanliklari ko’rinadi. U holda (1.8) ifodalardan U m= ∂ϕm ∂x − ∂ψm ∂z ; W m= ∂ϕm ∂z + ∂ψm ∂ x ,(m= 0,1,2 ). (1.25) Хuddi shunga o’хshash deformatsiya tenzori komponentalarini εxx(m)= ∂2ϕm ∂x2− ∂2ψm ∂x∂z;εzz(m)= ∂2ϕm ∂z2+ ∂2ψm ∂x∂z;εxz(m)= 2 ∂2ϕm ∂x∂z− ∂2ψm ∂z2+∂2ψm ∂x2 . (1.26) hamda kuchlanish tenzori komponentalarini τxz(m)= μm(2 ∂2ϕm ∂x∂z− ∂2ψm ∂z2 +∂2ψm ∂x2), σxx(m)= λm(Δϕm)+2μm( ∂2ϕm ∂x2+ ∂2ψm ∂x∂z), σzz(m)= λm(Δϕm)+2μm( ∂2ϕm ∂z2+ ∂2ψm ∂x∂z). (1.27) Tashqi ta’sirlarning ko’rinishida qovushoq-elastiklik nazariyasining chiziqliligini tasvirlash mumkin. Ko’chishlarni ham shunga mos ravishda bo’ylama va ko’ndalang ko’chishlarning qismlari yig’indisi sifatida tasvirlasa 23 bo’ladi [35], yani ⃗Um= ⃗U mb+⃗Umk . Bunda ⃗Umb , ⃗Umk -lar plastinka qatlamlari nuqtalari mos ravishda ko’chishlarining bo’ylama va ko’ndalang qismlari. Bunday holda (1.10) chegaraviy shartni ⃗Um -yig’indi maydon qanoatlantiradilar. Antisimmetrik qismlari esa shu yig’indi maydonlarning quyidagi shartlarni qanoatlantirishlari lozim, yani bu holda (1.10) chegaraviy shartlar quyidagi shaklni olishlari kerak τxz (i)(x,z,t)|z=(−1)i−1hi¿= fxi(x,t); σzz(i)(x,z,t)|z=(−1)i−1hi¿= (− 1)i−1fzi(x,t); τyz (i)(x,z,t)|z=(−1)i−1hi¿=0;hi¿= h0+hi,(i=1,2 ), (1.28) bu yerda fx (1)(x,t)= fx (2)(x,t)= 1 2(Fxz (1)− F xz (2)), fz (1)(x,t)=− fz (2)(x,t)= 1 2(Fz (1)− Fz (2)). O’rta qatlamning bundan tashqari chetki qatlamlar bilan kontakt sirtlarida qatlamlar oralig’ida uzilishlar yo’q va qatlamlar bir-biriga nisbatan siljimaydi deb faraz qilinadi. z= ± h0 tekisliklarda quyidagi kinematik va dinamik kontakt shartlar qanoatlantirilishi kerak σzz(0)(x,z,t)|z=±h0= { σzz(1)(x,z,t)|z=h0+fz(1),Ҳ σzz(2)(x,z,t)|z=−h0− fz (2), τyz(0)(x,z,t)|z=±h0=0, τxz(0)(x,z,t)|z=±h0= { τxz(1)(x,z,t)|z=h0+fx(1), τxz(2)(x,z,t)|z=−h0+fx(2), (1.29) U0(x,z,t)|z=±h0= { U1(x,z,t)|z=h0, U2(x,z,t)|z=−h0, W 0(x,z,t)|z=±h0= { W 1(x,z,t)|z=h0, W 2(x,z,t)|z=−h0. (1.30) t=0 bo’lganda asalaning boshlang’ich sharti nolga deb hisoblanadi ya’ni (1.24) tenglamalardagi noma’lum potentsial funksiyalar uchun boshlang’ich shartlar quyidagicha bo’ladilar ϕm= ψ m= 0 , ∂ϕm ∂ t = ∂ψ m ∂ t = 0. (1.31) Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkaning statsionar bo’lmagan ko’ndalang (antisimmetrik) tebranishlari haqidagi masala ikkinchi tartibli oltita integro-differensial (1.24) tenglamalar sistemasini o’n ikki chegaraviy (1.28), (1.29), (1.30) va boshlang’ich (1.31) shartlarda integrallashga keltirildi. Masalani yechish uchun (1.28) dagi fx (1,2)(x,t) va fz (1,2)(x,t) funksiyalarning ko’rinishlarini yoki boshqacha aytganda plastinka sirtlariga qo’yilgan tashqi ta’sir funksiyalari uchun ifodalarni keltirish lozim. Ushbu funksiyalarni ko’rinishlarini 24 aniqlashda birinchi bobning ikkinchi paragrafida ularga qo’yilgan shartlarni hisobga olgan holda bu funksiyalarni (1.15) ko’rinishida tasvirlaymiz, yani [20]fx (1,2 )(x,t)=∫ 0 ∞cos kx sin kx }dk ∫ (l) ~fx (1,2 )(k,p)eptdp , fz (1,2)(x,t)=∫ 0 ∞sin kx −cos kx }dk ∫ (l) ~fz (1,2)(k,p)eptdp . (1.32) Yuqorida shakllantirilgan (1.24), (1.28), (1.29), (1.30) va (1.31) masalaning yechimini ham tashqi ta’sir funksiyalarining qabul qilingan tasvirlariga mos holda quyidagi ko’rinishda izlaymiz ϕm=∫ 0 ∞ sin kx − cos kx }dk ∫ (l) ~ϕmeptdp , ψm=∫ 0 ∞ cos kx sin kx }dk ∫ (l) ~ψmeptdp , (m= 0,1,2 ). (1.33) (1.24) tenglamalar sistemasiga potentsial funksiyalarning ushbu tasvirlarini qo’ysak, Besselning ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglamalariga kelamiz d2~ϕm dz 2 − αm2~ϕm= 0; d2~ψm dz 2 − βm2~ψm= 0; (m= 0,1,2 ), (1.34) bu yerda αm2= k2+ρmp2(~λm+2~μm)−1; βm2= k2+ρmp2~μm−1; (1.35) Chiqarilgan (1.34) Bessel tenglamalari umumiy yechimini giperbolik trigonametrik funksiyalar kombinatsiyalari shaklida qabul qilamiz ~ϕm(z,k,p)= A1(m)(k,p)ch (αmz)+A2(m)(k,p)sh (αmz); ~ψm(z,k,p)= B1(m)(k,p)sh (βmz)+B2(m)(k,p)ch (βmz),(m=0,1,2 ). (1.36) Tashqi antisimmetrik ta’sirlar ni plastinkaning antisimmetrik tebranishlari natijasida yuzaga keladi. Shuning uchun (1.28) ga asosan fx (1)(x,t)= fx (2)(x,t), fz (1)(x,t)=− fz (2)(x,t). Ushbu munosabatlar (1.36) yechimning antisimmetrik tebranishlarni tavsif etishlari uchun A1 (m)= 0, B1 (m)= 0, (m= 0,1,2 ) tengliklar bajarilishini taqozo qiladi. U holda plastinkaning ko’ndalang (antisimmetrik) tebranishlari holida (1.36) umumiy yechimlar quyidagi ko’rinishga ega bo’ladilar ~ϕm(z,k,p)= A2(m)(k,p)sh (αmz), {    ~ψm(z,k,p)= B2(m)(k,p)ch (βmz).¿ (1.37) Endi (1.37) yechimlar orqali Um va Wm ko’chishlarni ifodalash uchun ularni ham (1.33) ko’rinishida tasvirlaymiz 25 Um=∫ 0 ∞cos kx sin kx }dk ∫ (l) ~Umeptdp , W m=∫ 0 ∞sin kx −cos kx }dk ∫ (l) ~W meptdp . (1.38) Ko’chishlarning (1.25) formulalariga ana shu (1.38) va (1.33) ifodalarni qo’ysak ko’chishlarning almashtirilgan ~Um va ~Wm tasvirlariga ega bo’lamiz ~Um=k~ϕm− ∂ ∂z ~ψm, ~W m= ∂ ∂z ~ϕm−k~ψm (1.39) Oхirgi (1.39) ifodalarga olingan (1.37) yechimlarni qo’yib, ba’zi sodda matematik ammallarni bajarish natijasida quyidagi ega bo’lamiz. ~Um=kA m(2)sh (αmz)−βmBm(2)sh (βmz),~W m=αmAm(2)ch (αmz)−kB 2(2)ch (βmz),(m=0,1,2 ) . (1.40) natijaga kelamiz. 26 II BOB. CHETLARI BIKR MAHKAMLANGAN IKKI QATLAMLI ELASTIK PLASTINKANING NOSTATSIONAR ANTISIMMETRIK TEBRANISHLARI 2.1-§. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkaning antisimmetrik tebranishlari tenglamalari Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkaning antisimmetrik tebranishlari da oldingi bo’limda ko’chishlar uchun keltirilgan ~Um va ~Wm tasvirlar ifodalarining o’ng tomonilarini (αmz) va (βmz) argumentlar darajalari bo’yicha darajali qatorlarga yoyamiz. Buning uchun bu ifodalar tarkibiga kiruvchi giperbolik trigonametrik funksiyalarning darajali qatorlarga standart yoyilmalari sh (αz )=∑ n=0 ∞ (αz )2n+1 (2n+1)!, ch (βz )= ∑ n=0 ∞ (βz )2n (2n)! dan foydalanamiz. Aytilganlar asosida quyidagiga ega bo’lamiz ~Um=∑ n=0 ∞ [kα m2n+1⋅Am (2)− βm2n+2Bm (2)]z2n+1 (2n)! ; ~W m= ∑ n=0 ∞ [αm2n+1⋅Am (2)− kβ m2nBm (2)] z2n (2n)! . (2.1) Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkaning antisimmetrik tebranishlari tenglamalarida izlanuvchi funksiyalar sifatida z=0 tekislikdan ξ= χ⋅h2, −1≤ χ≤ 1 (2.2) formula bilan aniqlanuvchi masofada yotuvchi chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka pastki qatlami sirtining almashtirilgan ~U2 va ~W2 ko’chishlarining bosh qismlarini qabul qilamiz. (2.1) formulada m= 2 bo’lsa chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka quyi qatlami nuqtalari uchun ushbu bosh qismlarni kiritish mumkin ~U2= ∑ n=0 ∞ [kα 2 2n+1A2 (2)−β2 2n+2B2 (2)]z2n+1 (2n)!, ~W 2= ∑ n=0 ∞ [α2 2n+1A2 (2)− kβ 2 2nB2 (2)] z2n (2n)!. Ushbu ifodalarning z=ξ bo’lgandagi qiymatlarini endi chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka pastki qatlamining z=0 tekisligidan 27 ξ masofada yotuvchi tekislik nuqtalari ko’chishlarining bosh qismlarini ajratish uchun olamiz va olingan ushbu ifodalarda quyidagicha belgilashlar kiritib n=0 yaqinlashish bilan chegaralanamiz ~U 2(0)=[kα 2A2(2)− β22B2(2)]ξ , ~W 2(0)= α2A2(2)− kB 2(2) (2.3) (2.3) ifodalar aynan chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka pastki qatlami nuqtalari ~U2 va ~W2 ko’chishlari bosh qismlari orqali ifodalandi. Olingan shu oхirgi algebraik tenglamalar sistemasini α2A2(2) va B2(2) noma’lumlarga nisbatan yechib quyidagi ifodalarga ega bo’lamiz. α2A2(2)= kW 2(0)− 1 ξ ~U 2(0) β22−k2 , B2(2)= β22~W 2(0)− k ξ ~U 2(0) β22− k2 . (2.4) Maskur ifodalar chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka quyi qatlami ~U2 bo’ylama va ~W2 ko’ndalang ko’chishlarining ~U2(0) va ~W 2(0) bosh qismlari orqali A2(2) va B2(2) integrallash o’zgarmaslarini ifodalaydigan formuladir. Quyida biz ushbu belgilashlarni qabul qilamiz[50] Qm(n)= αm2n− βm2n αm2− βm2 , qm=1− LmM m−1 , (2.5) bu yerda Qm (0)=0 , Qm (1)=1 , Qm (n)= αm2+βm2 , m=0,1,2 ; n=0,1,2 ,... ~U2 va ~W2 ko’chishlar uchun yozilgan yuqorida ifodalarga (2.5) ni hisobga olgan xolda o’zgarmaslarning (2.4) qiymatlarini qo’ysak, chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinka quyi qatlami nuqtalarining ko’chishlari uchun quyidagi ifodalarga ega bo’lamiz. ~U 2= ∑n=0 ∞ [kq 2Q2(n) ( k ξ ~U 2(0)− β0(2)~W 2(0) )+ β22n ξ ~U 2(0) ] z2n+1 (2n)!, ~W 2= ∑ n=0 ∞ [q2Q2(n) ( k ξ ~U 2(0)− β22~U 2(0) )+β22n~W 2(0) ] z2n (2n)!, − h2≤ z≤ h2 (2.6) Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka ning integral almashtirishlardagi ko’ndalang antisimmetrik tebranish tenglamalari (1.33) ning 28 umumiy yechimlari bo’lgan (1.36) ifodalarda, ta’kidlanganidek to’rtta noma’lumA2 (m) va B2 (m) , m=1,2 koeffitsiyentlar mavjud. Ulardan A2(2) va B2(2) larni chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka quyi qatlami nuqtalarining bo’ylama va ko’ndalang ko’chishlari bosh qismlari tarkibiga kiritdik va yangi funksiyalar hosil qildik. Ana shu yangidan hosil qilingan (2.3) funksiyalarni asosiy izlanuvchi funksiyalar sifatida qabul qilamiz. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka boshqa qatlami ya’ni yuqori birinchi qatlami bo’ylama va ko’ndalang ko’chishlari va kuchlanishlarini topish uchun birinchi bobning ikkinchi paragrafida keltirilgan formulalardan ko’rinadiki dastlab avval A1 (2) va B1 (2) koeffitsiyentlarni topish zarur. Eng avvalo shu sababli A2(2) va B0 (2) koeffitsiyentlar orqali A1 (2) va B1 (2) koeffitsiyentlarni ifodalashimiz va (1.30) kontakt shartlardan foydalanishimiz mumkin. U holda chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka yuqori qatlamlari ko’chishlarining (1.40) ifodalarini z= h0 bo’lgan hol uchun, yani chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka yuqori va quyi qatlamlar kontakt sirti nuqtalari uchun (1.30) ga ko’ra quyidagilarga ega bo’lamiz: kA 2(2)sh α2h2− β2B2(2)sh β2h2= kA 1(2)sh α1h2− β1B1(2)sh β1h2; α2A2(2)ch α2h2−kB 2(2)ch β2h2=α1A1(2)ch α1h2−kB 1(2)ch β1h2, (2.7) Demak, chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka ning antisimmetrik tebranishlari uchun i kkita A1 (2) va B1 (2) noma’lumlarga nisbatan ikkita algebraik tenglamalar sistemasi hosil qilindi. Hosil qilingan algebraik tenglamalar sistemasini yechish uchun quyidagicha belgilashlar kiritamiz Kramer qoidasini qo’llaymiz. ¿Δ11 0=α2β1сh (α2h2)sh(β1h2)−k2ch (β1h2)sh(α2h2),¿}¿¿¿ (2.8) ¿Δ21 0=k[α2ch (α2h2)sh (α1h2)−α1ch (α1h2)sh (α2h2)],¿}¿¿¿ (2.9) 29 (2.7) dan ushbu (2.8), (2. 9) belgilash ifodalar i ni hisobga olgan holda A1 (2) va B1 (2) noma’lumlarni topamiz: A1(2)= 1 Δ10[Δ110 A2(2)+Δ120 B2(2)],B1(2)= 1 Δ10[Δ210 A2(2)+Δ220 B2(2)]. (2.10) (2.10) ga o’zgarmaslarning (2.4) ifodasini qo’ysak chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka ning antisimmetrik tebranishlarida A1 (2) va B1 (2) o’zgarmaslar uchun quyidagi ifodalarga ega bo’lamiz A1(2)= 1 (β22− k2)Δ10[( β22 α2 Δ110+kΔ 120 ) ~W 2(0)− 1 ξ( k α2 Δ110+Δ120 ) ~U 2(0) ], B1(2)= 1 (β22− k2)Δ10[( β22 α2 Δ210+kΔ 220 ) ~W 2(0)− 1 ξ( k α2 Δ210+Δ220 ) ~U 2(0) ]. (2.11) Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik tebranishlarini hisoblashda k eyingi ishimiz chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka qatlamlari orasidagi chegaraviy shartlarni, qatlamlarning ko’chish vektorlari komponentalarini va kuchlanish tenzorlari tashkil etuvchilarini kiritilgan ~U0 (0) va ~W 0 (0) yangi bosh qismlar orqali ifodalashdan iborat. Shuningdek chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik tebranishlarida plastinka qatlamlarida hosil bo’ladigan τxz (m) va σzz(m) kuchlanishlarni ham хuddi (2.10) kabi tasvirlaymiz τxz (m)=∫ 0 ∞ cos kx sin kx }dk ∫ (l) ~σxz (m)eptdp ,σzz (m)=∫ 0 ∞sin kz − cos kz }dk ∫ (l) ~σzz (m)eptdp , (m=1,2 ) . (2.15) Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka ning antisimmetrik tebranishida τxz (m) va σzz(m) kuchlanishlarning almashtirishlardagi kattaliklari ~τxz (m) va ~σzz(m) lar uchun, qiyin bo’lmagan matematik amallarni bajargandan so’ng ushbu ifodalarga ega bo’lamiz ~τxz(m)=~μm(2k∂~ϕ ∂z − ∂2~ψm ∂z2 −k2~ψm), ~σzz (m)=~λm(−k2~ϕm+∂2 ∂z2 ~ϕm)+2~λm( ∂2 ∂z2 ~ϕm− k∂ ∂z ~ψm) (m=1,2 ). (2.16) 30 Oхirgi (2.16) ifodalarga yuqorida keltirilgan (1.36) yechimlarni qo’yish orqali quyidagi formulalarga ega bo’lamiz:~τxz(m)(z,k,p)=~μm(2kα mAm(2)ch (αmz)−(βm2+k2)Bm(2)ch (βmz)), ~σzz(m)(z,k,p)=[~λm(αm2−k2)+2αm2~μm]A1(m)sh (αmz)+2~μmkβ mBm(2)sh (βmz). (2.17) Keltirilgan formulalarda ~Rm=~Rλm+2~Rμm ekanligini hisobga olsak, ularni quyidagicha yozib olish mumkin ~τxz(m)(z,k,p)=~μm[2kα mch (αmz)Am(2)(k,p)−(βm2+k2)ch (βmz)Bm(2)(k,p)], ~σzz(m)(z,k,p)= [((λm+2~μm)−2~μm)(αm2− k2)+2~μmαm2]⋅Am(2)(k,p)⋅sh (αmz)− −2kβ m~μmBm(2)(k,p)⋅sh (βmz). (2.18) Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka ning antisimmetrik tebranishlari masalasi c hegaraviy (1.28) shartlariga ham integral almashtirishlarni qo’llaymiz. Buning uchun c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka dagi (1.28) chegaraviy shartlarning mos ravishda chap va o’ng tomonlariga (2.15) va (1.32) integral operatorlarni ta’sir ettiramiz va chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka ning antisimmetrik tebranishlarida integral almashtirishlardagi ushbu chegaraviy shartlarni hosil qilamiz ~τxz (i)(z,k,p)|z=(−1)i−1hi¿=~fx i(k,p); ~σzz (i)(z,k,p)|z=(−1)i−1hi¿=(−1)i−1~ fz i(k,p); ~τyz (i)(z,k,p)|z=(−1)i−1hi¿=0;hi¿=h0+hi,(i=1,2 ). (2.19) Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka ning antisimmetrik tebranishlari uchun h osil qilingan (2.19) chegaraviy shartlardan foydalanish uchun chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik birinchi qatlami nuqtalari uchun integral almashtirilgan kuchlanish ~τxz (m) va ~σzz(m) larni z= h2+h1 bo’lgan hol uchun hisoblash talab etiladi. Bundan tashqari fx (1)(x,t)= fx (2)(x,t), fz (1)(x,t)=− fz (2)(x,t) ekanligini hisobga olsak, chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkaning ustki chegarasi z= h2+h1 uchun quyidagi shartlarga ega bo’lamiz 31 {~μm[2kα 1ch (α1z)A1(2)(k,p)−(β12+k2)ch (β1z)B1(2)(k,p)]}|z=h2+h1=~fx(2), {[(~λm+2~μm)(α12−k2)+2~μm1k2]⋅A1 (2)(k,p)⋅sh (α1,z)− 2kβ 1~μm1B1 (2)(k,p)⋅sh (β1,z)}|z=h2+h1=~fz(2). A1 (2),B1 (2)- ikki noma’lumlarga nisbatan olingan oхirgi algebraik tenglamalar sistemasini yechib quyidagiga ega bo’lamiz: A1 (2)= Δ11 Δ10 =1 Δ10 ~μm1[(β12+k2)ch (β1z)⋅~fz (2)−2kβ 1sh (β1z)⋅~fx (2)]|z=h2+h1, B1(2)= Δ12 Δ10 =1 Δ10 [2kα 1~μm1ch (α1z)⋅~fz(2)− [~R1(α12−k2)+2~μm1k2]sh (α1z)⋅~fx(2)]|z=h2+h1. (2.20) Giperbolik kosinus va sinuslar o’rniga (2.20) o’zgarmaslar ifodalarida ularning argumentlari bo’yicha darajali qatorlarga yoyilmalaridan foydalanamiz. (2.20) tengliklarga ushbu ifodalarni qo’ysak A1 (2),B1 (2) o’zgarmaslar uchun quyidagi formulalarga ega bo’lamiz A1 (2)= Δ11 Δ10 = 1 Δ10 ~Rμ1[(β12+k2)ch (β1z)⋅~fz (2)− 2kβ 1sh (β1z)⋅~fx (2)]z=h0+h1= = 1 Δ10 ~Rμ1[(β1 2+k2)∑ m=0 ∞ (β1z)2m (2m)! ⋅~fz (2)−2kβ 1∑ m=0 ∞ (β1z)2m+1 (2m+1)! ⋅~fx (2) ]|z=h0+h1, (2.21) B1 (2)= Δ12 Δ10 = 1 Δ10[2kα 1~μm1ch (α1z)⋅~fz (2)− [~R1(α12−k2)+2~μm1k2]sh (α1z)⋅~fx (2)]z=h2+h1= = 1 Δ10[2kα 1~μm1∑n=0 ∞ (α1z)2n (2n)!⋅~fz(2)− [~R1(α12−k2)+2~μm1k2]∑n=0 ∞ (α1z)2n+1 (2n+1)!⋅~fx(2) ]z=h2+h1 , A1 (2)= Δ21 Δ20 =− 1 Δ20 ~μm1[(β12+k2)ch (β1z)⋅~fz (2)+2kβ 1sh (β1z)⋅~fx (2)]z=h2+h1= =− 1 Δ20 ~μm1[(β1 2+k2)∑ m=0 ∞ (β2z)2m (2m)! ⋅~fz (2)+ 2kβ 1∑ m=0 ∞ (β1z)2m+1 (2m+1)! ⋅~fx (2) ]|z=−h2−h1, (2.22 * ) B1 (2)= Δ22 Δ20 =− 1 Δ20[2~μm1kα 1ch (α1z)⋅~fz (2)+[~R1(α12−k2)+2~μm1k2]sh (α1z)⋅~fx (2)]z=-h2−h1= =− 1 Δ20 [2~Rμ2kα 2∑n=0 ∞ (α2z)2n (2n)!⋅~fz(2)+[~R2(α22− k2)+2~Rμ2k2]∑n=0 ∞ (α2z)2n+1 (2n+1)!⋅~fx(2) ]z=−h0−h2 . 32 A1 (2),B1 (2)o’zgarmaslar tashqi ta’sir funksiyalari ~fx (1,2)(x,t) va ~fz (1,2)(x,t) tasvirlari orqali (2.21) formulalar yordamida ifodalandilar. Yuqorida keltirilgan asosiy determinantlar uchun xuddi shunday, quyidagi ifodalarga ega bo’lamiz Δ10={~μm1(β12+k2)[~R1(α12−k2)+2~μm1k2]sh (α1z)ch (β1z)−4~μ2m1k2α1β1sh (β1z)ch (α1z)}|z=h2+h1= ={~μm1(β12+k2)[~R1(α12−k2)+2~μm1k2]∑n=0 ∞ (α1z)2n+1 (2n+1)!⋅∑m=0 ∞ (β1z)2m (2m)! − −4~μ2m1k2α1β1∑m=0 ∞ (β1z)2m+1 (2m+1)!⋅∑n=0 ∞ (α1z)2n (2n)!}z=h2+h1 , (2.22) Noma’lum koeffitsiyentlar aniqlanuvchi asosiy determinantlar ham noma’lum koeffitsiyentlarning o’zlari ham natijaviy (2.21) va (2.22) formulalardan ko’rinib turibdiki αmz va βmz argumentlarning cheksiz darajalariga bog’liq. Shu sababli amaliy masalalar yechishda natijalarni qo’llash maqsadida darajalar ko’rsatkichlarini pasaytirish zarur. Shu ning uchun ko’rsatilgan formulalar tarkibidagi yig’indilarda mos ravishda n=1,m=1 bo’lgan hollar bilan chegaralanamiz va yakunda ushbu ifodalarni olamiz A1(2)= 1 Δ10 ~μm1[(β12+k2)(1+1 2 β12(h2+h1)2 )⋅~fz(2)− 2kβ 1(β1(h2+h1)+1 6 β13(h2+h1)3 )⋅~fx(2) ]= ¿1 Δ10 ~μm1[(β12+k2)(1+1 2 β12(h2+h1)2 )⋅~fz (2)− 2kβ 12(h2+h1)(1+1 6 β12(h2+h1)2 )⋅~fx (2) ] B1(2)=1 Δ10 [2kα 1~Rμ1(1+1 2α12(h0+h1)2 )⋅~fz(2)− [~R1(α12− k2)+2~Rμ1k2](α1(h0+h1)+1 6α13(h0+h1)3 )⋅~fx(2) ]= ¿α1 Δ10 [2k~μm1(1+1 2 α12(h2+h1)2 )⋅~fz(2)−(h2+h1)[~R1(α12− k2)+2~μm1k2](1+1 6α12(h2+h1)2 )⋅~fx(2) ] =− 1 Δ20 ~μm1[(β12+k2)(1+1 2 β12(h2+h1)2 )⋅~fz(2)− 2kβ 12(h2+h1)(1+1 6β12(h2+h1)2 )⋅~fx(2) ] Δ10=~μm1(β1 2+k2)[ ~R1(α1 2− k2)+2~μm1k2](α1(h2+h1)+1 6α1 3(h2+h1)3 )(1+1 2β1 2(h2+h1)2 )− −4~μ 2m1k2α1β1(β1(h2+h1)+1 6 β1 3(h2+h1)3 )(1+1 2α1 2(h2+h1)2 )= (2.23) 33 =~Rμ1α1(h0+h1){(β12+k2)[~R1(α12− k2)+2~Rμ1k2](1+( 1 2β12+1 6α12)(h0+h1)2+ 1 12 α12β12(h0+h1)4 )− −4~μm1k2β12 (1+( 1 2α12+1 6β12)(h2+h1)2+ 1 12 α12β12(h2+h1)4 )}= =~μm1α1(h2+h1){ ~R1(α12− k2)(β12+k2)[1+1 2β12(h2+h1)2+1 6α12(h2+h1)2+ 1 12 α12β12(h2+h1)4 ]− − 2~μm1k2(β12− k2)+~μm1k2β12(h2+h1)2(β12− α12)−~μm1k2β12(h2+h1)2(α12− k2)− − 1 3 ~μm1k2β1 2(h2+h1)2(β1 2−α1 2)− 1 3 ~μm1k2(h2+h1)2(β1 4− k2α1 2)− 1 6 ~μm1k2α1 2β1 2(h2+h1)4(β1 2−k2)},Yuqoridagi birinchi paragraf doirasida asosiy izlanuvchi funksiyalarning tasvirlarini, yani integral almashtirishlarda c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka quyi qatlami nuqtalari ko’chishlarining bosh qismlarini aniqlab oldik. Ikkinchi paragrafda esa kontakt shartlarining tarkiblariga kiruvchi c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka yuqori qatlamlar integrallash o’zgarmaslarini, chegaraviy shartlardan foydalanib tashqi ta’sir funksiyalari tasvirlari orqali ifodalab oldik. Endi oldingi natijalariga tayangan holda c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik tebranishlari tenglamalarini keltirib chiqaramiz. Buning uchun c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka uchun keltirilgan (1.29) kontakt shartlarining faqat ikkitasidan foydalanamiz va ularni quyidagi ko’rinishda ko’chirib yozamiz τxz (0)|z=−h2= τxz (2)|z=−h2+~fx (2), σzz (0)|z=h2=σzz (1)|z=h2+~fz (1). (2.24) Ushbu tenglamalarda kuchlanishlar o’rniga ularning (2.18) ifodalarini qo’yamiz hamda hosil bo’lgan tenglamalar sistemasida A2(2) va B2(2) o’zgarmaslar o’rniga ularning (2.4) qiymatlarini qo’ysak, zarur soddalashtirishlardan so’ng ushbu tenglamalarga ega bo’lamiz 34 ~μm2{2k⋅[ β22~W 2 (0)− k ξ ~U2 (0) β22−k2 ]⋅(1+1 2α22h22 )−(β22+k2)[ k~W 2 (0)− 1 ξ ~U2 (0) β22−k2 ]⋅(1+1 2β22h22 )}= =− 1 Δ20 ~μm1α1{2~μm1k(1+1 2α12h22 )[(β12+k2)(1+1 2β12(h2+h1)2 )⋅~fz(2)− −2kβ 1 2(h2+h1)(1+1 6β1 2(h2+h1)2 )⋅~fx (2)]− (β12+k2)(1+1 2β12h22 )׿¿ (2.25) ¿[2~μm1k(1+1 2α12(h2+h1)2 ) ~fz(2)−(~R1(α12−k2)+2~μm1k2)(h2+h1)(1+1 6α12(h2+h1)2 ) ~fx(2) ]}+~fx(2), [ ~R2(α2 2− k2)+2~μm2k2][ β2 2~W 2 (0)− k ξ ~U2 (0) β2 2−k2 ](h2+1 6α2 2h2 3 )−2β2 2~μm2[ k2~W 2 (0)− k ξ ~U2 (0) β2 2−k2 ](h2+1 6β2 2h2 3 )= = 1 Δ10 ~μm1α1{[~R1(α12−k2)+2~μm1k2](h2+1 6α12h23 )[(β12+k2)(1+1 2β12(h2+h1)2 )fz(2)− −2kβ 1 2(h2+h1)(1+1 6β1 2(h2+h1)2 )fx (2)]−2kβ 1 2 (h2+1 6 β1 2h2 3 )[2~μm1k(1+1 2α1 2(h2+h1)2 ) ~fz (2)− − (~R1(α12− k2)+2~μm1k2)((h2+h1)+1 6α12(h2+h1)3 ) ~fx(2)]}+~fz(1) . Hosil bo’lgan tenglamalar sistemasini soddalashtiramiz ~μm2{[1+1 2β22h22~R2−1~μm2−1 2β22h22(1−~R2−1~μm2)]k~W 2 (0)+1 ξ[1+1 2h22(β22+k2(1−~R2−1~μm2))+1 2k2h22(1−~R2−1~μm2)] ~U2 (0) }= =− 1 Δ20 ~μm2α1{2~μm1k(β12+k2)[ 1 2(h2+h1)2(β12−α12)− 1 2h22(β12−α12)] ~fz (2)+ +~R1(α12− k2)(β12+k2)(h2+h1)[1+1 2 β12h22+1 6α12(h2+h1)2+ 1 12 α12β12h22(h2+h1)2 ] ~fx (2)− −2~μm1k2(h2+h1)[β1 2−k2− 1 2 β1 2h2 2(β1 2−α1 2)+1 2 β1 2h1 2(α1 2−k2)+1 6 β1 2(h2+h1)2(β1 2−α1 2)+ +1 6(h2+h1)2(β1 4− k2α1 2)+ 1 12 α1 2β1 2h2 2(h2+h1)2(β1 2−k2)]~fx (2) }+~fx (2), (2.26) 35 {[ ~R2~R2−1~μm2(h0+1 6α02h03 )−1 3 ~μm2k2h03(1−~R2−1~μm2)]β22~W 2(0)− k ξh2[~R2~R2−1~μm2(1+1 6α22h22 )− −2~μm2− 1 3 ~μm2h2 2(β2 2+k2(1−~R2 −1~μm2))]~U2 (0) }= 1 Δ10 ~μm1α1h2{ ~R1(α1 2−k2)(β1 2+k2)[1+1 6α1 2h2 2+ +1 2 β1 2(h2+h1)2+ 1 12 α1 2β1 2h2 2(h2+h1)2]fz (2)− 2~μm1k2[β1 2− k2− 1 2 β1 2(h2+h1)2(β1 2− α1 2)+ +1 2 β1 2(h2+h1)2(α1 2− k2)+1 6 β1 2h2 2(β1 2− α1 2)+1 6 h2 2(β1 4− k2α1 2)+1 6 α1 2β1 2h2 2(h2+h1)2(β1 2−k2)]~fz (2)+ +2kβ 12(h2+h1)[~R1(α12− k2)+2~μm1k2][ 1 6h22(β12− α12)− 1 6(h2+h1)2(β12−α12)] ~fx (2) }+~fz (1). Ushbu tenglamalar sistemasining birinchisini β22−k2 ga, ikkinchisini β12−k2 ga hadma had bo’lamiz va barcha o’хshash hadlarni qisqartir ib va soddalashtiramiz : ~μm2{[1+1 2β22h22(1−~q2)− 1 2 β22h22~q2]k~W 2 (0)+1 ξ[1+1 2h22(β22+k2~q2)+1 2k2h22~q2] ~U 2 (0) }= =− 1 Δ20 ¿{2~μm1k(β12+k2)[ 1 2(h2+h1)2(1−~R1−1~μm1)− 1 2h22(1−~R1−1~μm1)] ~fz (2)+ +~R1 ~R1 −1~μm1(β1 2+k2)(h2+h1)[1+1 2β1 2h2 2+1 6α2 2(h2+h1)2+ 1 12 α1 2β1 2h2 2(h2+h1)2 ] ~fx (2)− −2~μm1k2(h2+h1)[1− 1 2 β1 2h2 2(1−~R1 −1~μm1)+1 2 β1 2h2 2~R1 −1~μm1+1 6 β1 2(h2+h1)2(1−~R1 −1~μm1)+ +1 6(h2+h1)2(β1 2+k2(1−~R1 −1~μm1))+ 1 12 α1 2β1 2h2 2(h2+h1)2]~fx (2) }+~fx (2) , (2.27) ~μm2{[ 1 6α22h22− 1 3k2h22~q2+1]β22h2 ~W 2 (0)− k ξh2[ 1 6α22h22−1 3h22(β22+ k2~q2)−1] ~U2 (0) }= = 1 Δ10 ¿ h2{ ~R1 ~R1−1~μm1(β12+k2)[1+1 6α12h22+1 2β12(h2+h1)2+ 1 12 α12β12h22(h2+h1)2 ]fz (2)− −2~μm1k2[1− 1 2 β1 2(h2+h1)2(1−~R1 −1~μm1)+1 2 β1 2(h2+h1)2~R1 −1~μm1+1 6 β1 2h2 2(1−~R1 −1~μm1)+ 36 +1 6 h2 2(β1 2+k2(1−~R1 −1~μm1))+1 6 α1 2β1 2h2 2(h2+h1)2]~fz (2)+ +kβ 12(h2+h1)[~R1(α12−k2)+2~μm1k2][ 1 3h22(1−~R1−1~μm1)− 1 3(h2+h1)2(1−~R1−1~μm1)] ~fx (2) }+~fz (1)Bu yerda Δ10¿=~μm1(h2+h1){ ~R1~R1−1(β12+k2)[1+1 2(h2+h1)2 (β12+1 3α12+1 6α12β12(h2+h1)2 )]− −k2[2− β1 2(h2+h1)2(1−~R1 −1~μm1)+β1 2(h2+h1)2~R1 −1~μm1+1 3 β1 2(h2+h1)2(1−~R1 −1~μm1)+ (2.28) +1 3(h2+h1)2(β1 2+k2(1−~R1 −1~μm1))+1 6α1 2β1 2(h2+h1)4]}, C hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka quyi qatlami nuqtalari ko’chishlarining bosh qismlari W 2(0)(x,t) , U2(0)(x,t) izlanuvchi funksiyalarni hamda γin va λin operatorlarni quyidagicha kiritamiz [50] W 2 (0)(x,t)=∫ 0 ∞cos kx sin kx }dk ∫ (l) ~W 2 (0)eptdp , U2 (0)(x,t)=∫ 0 ∞cos kx sin kx }dk ∫ (l) ~U2 (0)eptdp . γi n(ς)=∫ 0 ∞ cos kx sin kx }dk ∫ (l) αi 2n(ς)eptdp , λi n(ς)=∫ 0 ∞ cos kx sin kx }dk ∫ (l) βi 2n(ς)eptdp , (2.29) γin va λin operatorlar (x,t) o’zgaruvchilar i da yuqorida keltirilgan (1.18) formulalarga asosan quyidagi integro-differensial operatorlarga teng kuchli ekanligini ko’rish mumkin γin= [ρiN i−1∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2] n , λin=[ρiM i−1∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2] n , i=0,1,2 ;n=0,1,2 ,.... (2.30) C hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka uchun keltirilgan (2.27) tenglamalar sistemasi tenglamalari o’ng va chap tomonlariga mos ravishda ∫ 0 ∞cos kx sin kx }dk ∫ (l) eptdp , ∫ 0 ∞sin kx −cos kx }dk ∫ (l) eptdp 37 operatorlar bilan ta’sir qilamiz va c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka uchun W 2(0)(x,t) , U2(0)(x,t) izlanuvchi funksiyalar hamda γi n va λi n operatorlar orqali ifodalangan quyidagi tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz Δ20**~μm2{[1+1 2γ2h22(1−2q2)] ∂ ∂xW 2(0)+1 ξ[1+1 2h22 (γ2−2q2 ∂2 ∂x2)]U2(0) }= =−~μm1{q1h1(2h2+h1)(γ1− ∂2 ∂x2) ∂ ∂x fz(2)+(h2+h1)(γ1− ∂2 ∂x2)(1+1 2γ1h22 )(1+1 6λ1(h2+h1)2 )fx(2)+ +2 ∂2 ∂x2(h2+h1)[1+1 2γ1h2 2(1−2q1)+ 1 6(h2+h1)2 (γ1(1+1 2λ1h2 2 )+q1(γ1− ∂2 ∂x2))]fx (2) } +Δ20 ** fx (2) Δ10**Rμ0{[1+1 6h12 (λ2+2q2∂2 ∂x2)]γ2W 2(0)+1 ξ[ 1 6h22 (λ2−2γ2+2q2∂2 ∂x2)−1] ∂ ∂xU2(0) }= ( 2.31 ) ={ ~μm1(γ1− ∂2 ∂x2)(1+1 2γ1(h2+h1)2 )(1+1 6λ1h22 )fz(2)+2~μm1[1+1 2γ1(h2+h1)2(1−2q1)+1 6h22q1(γ1− ∂2 ∂x2)+ +1 6h22γ1(1+λ1(h2+h1)2)] ∂2 ∂x2fz(2)−1 3γ1q1h1(2h2+h1)(h2+h1)[R1(λ1+ ∂2 ∂x2)−2Rμ1∂2 ∂x2] ∂ ∂x fx(2) }+Δ10** fz(1) Bu yerda Δ10**=~μm1(h2+h1){(γ1− ∂2 ∂x2)(1+1 2γ1(h2+h1)2 )(1+1 6λ1(h2+h1)2 )+ +[2+1 3(h2+h1)2 (4γ1−5γ1q1− q1 ∂2 ∂x2+1 2λ1γ1(h2+h1)2 )] ∂2 ∂x2} , Operatorlar yordamida yozilgan c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik tebranishlari tenglamalari sistemasi (2.31) tenglamalarni yana хususiy hosilali integro-differensial tenglamalar shaklida yozish uchun γin va λin operatorlarning (2.30) ko’rinishidan foydalanamiz. C hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik tebranishlari uchun hosil qilingan tenglamalar sistemasida Δ1 ni bir хil darajalar bo’yicha guruhlaymiz va oltinchi hamda undan yuqori tartibli hosilalarga ega bo’lgan hadlarni, cheksiz kichik miqdorlar sifatida tashlab yuborib c hetlari bikr 38 mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik tebranishlari ning quyidagi integro-differensial tenglamalari sistemasini hosil qilamizΔ2~μm2{[1+1 2ρ2~μ −1m1(1−2q2)h22∂2 ∂t2−1 2h22(1−2q2)∂2 ∂x2] ∂ ∂xW 2(0)+1 ξ[1+1 2ρ2~μ −1m2h22∂2 ∂t2−1 2h22(1+2q2)∂2 ∂x2]U2(0) }= =−~μm1{h1(2h2+h1)q1[ρ1~μ−1m1∂2 ∂t2−2 ∂2 ∂x2] ∂ ∂x fz(2)+(h2+h1)[1 2ρ12~μ−2m1(h22+1−q1 3 (h2+h1)2)∂4 ∂t4− − ρ1~μ −1m1 ( 1 2h22(1+4q1)+1 3(h2+h1)2 ( 1 2−2q1)) ∂4 ∂t2∂x2+ +2q1(h22− 1 3(h2+h1)2 ) ∂4 ∂x4+ρ1~μ −1m1∂2 ∂t2]fx(2) }+Δ2fx(2), ( 2.32 ) Δ1~μm1h2{[ 1 6h22ρ22~μ −1m1(1−q2)∂4 ∂t4−1 6h22ρ2~μ −1m1(2−3q2) ∂4 ∂t2∂x2+1 6h22(1−2q2)∂4 ∂x4+ρ2~μ −1m1∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2]W2(0)− −1 ξ[ 1 6h22ρ2~μ −1m1(1+q2)∂2 ∂t2+1 6h22(1+2q2)∂2 ∂x2+1] ∂ ∂xU2(0) }=~μm1h2{[1 2ρ12~μ −1m1 ( 1 3(1−q1)h22+(h2+h1)2 ) ∂4 ∂t4− −( 1 6(1− q1)h22−( 1 2+2q1)(h2+h1)2 )ρ1~μ −1m1 ∂4 ∂t2∂x2+2q1((h2+h1)2− 1 3h22 ) ∂4 ∂x4+ρ1~μ −1m1∂2 ∂t2]fz(2)+ +1 3h1(h2+h1)(h1+2h2)[ρ12~μ −1m1∂4 ∂t4−3ρ1~μ −1m1 ∂4 ∂t2∂x2+2 ∂4 ∂x4] ∂ ∂xfx(2) }+Δ1fz(1) Bu yerda Δ1=~μm1(h2+h1){(h2+h1)2 [ 4−q1 6 ρ12~μ −1m1∂4 ∂t4− 2 3ρ1~μ −1m1(1+2q1) ∂4 ∂t2∂x2+4 3q1∂4 ∂x4]+ρ1~μ −1m1∂2 ∂t2}, Bu tenglamalar sistemasi c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka quyi qatlami nuqtalari ko’chishlarining W 0 (0)(x,t) , U0 (0)(x,t) bosh qismlari orqali ifodalangan. Ular хususiy hosilali, giperbolik tipdagi tenglamalardan iborat. Tenglamalarning giperbolik tipdaligi c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik tebranishlari jarayonlarini to’g’ri tavsiflash uchun muhim ahamiyatga ega. Muhandislik konstruktsiyalari elementlarining nostatsionar tebranishlarini tavsiflovchi tenglamalar albatta giperbolik tipda bo’lishi zarurligi [51] tadqiqot ishlarida keltirilgan. Bundan tashqari, olingan natijalardan ko’rinadiki tenglamalar o’z tarkiblarida aylanish inertsiyasi va 39 ko’ndalang siljish deformatsiyasini [19] hisobga oluvchi hadlarga ega. Shu ma’noda, solishtirma tahlil natijalariga ko’ra olingan natijalar S.P.Timoshenkoning aniqlashtirilgan tebranish tenglamalariga nisbatan umumiyroqdir [49]. Bu yerda yana shuni ham alohida takidlash lozimki, oхirgi natijaviy (2.32) tenglamalar, klassik Kirхgoff hamda aniqlashtirilgan Timoshenko tipidagi [52] tenglamalardan farqli ravishda, qo’shimcha gipoteza va farazlardan foydalanilmasdan, hamda sun’iy to’g’rilovchi koeffitsiyentlar kiritilmasdan keltirib chiqarildi [4]. 2.2-§. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka tebranish tenglamalarining ba’zi xususiy hollari Biz quyida c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik tebranish tenglamalari sistemasi ning ba’zi хususiy va limitik hollarini keltiramiz. Eng avvalo qatlamlari materiallari elastik хususiyatga ega bo’lgan ikki qatlamli plastinkaning tebranish tenglamalarini bo’ylama va ko’ndalang to’lqin tarqalish tezliklariga nisbatan keltirib chiqaramiz. Buning uchun ushbu ifodalardan foydalanamizai2= λi+2μi ρi , bi2= μi ρi , i=0,1,2 . (2.35) Keltirilgan munosabatlardan foydalanib qatlamlari materiallari elastik bo’lgan c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka (2.33) antisimmetrik tebranish tenglamalarini bo’ylama va ko’ndalang to’lqin tarqalish tezligi orqali yozamiz Δ2μ0{[1+ 1 2b02(1− 2q0)h02∂2 ∂t2− 1 2h02(1− 2q0)∂2 ∂x2] ∂ ∂xW 0(0)+1 ξ[1+ 1 2b02h02∂2 ∂t2− − 1 2h02(1+2q0)∂2 ∂x2]U 0(0) }=− Rμ2{h2(2h0+h2)q2[ 1 b22 ∂2 ∂t2−2 ∂2 ∂x2] ∂ ∂x fz(2)+ (h0+h2)[ 1 2b24(h02+1− q2 3 (h0+h2)2)∂4 ∂t4− ( 1 2h02(1+4q2)+1 3(h0+h2)2 ( 1 2− 2q2)) 1 b22 ∂4 ∂t2∂x2+ +2q2(h02− 1 3(h0+h2)2 ) ∂4 ∂x4+ 1 b22 ∂2 ∂t2] fx(2) }+Δ2fx(2), ( 2.36 ) 40 Δ1Rμ0h0{[ 1 6b04h02(1−q0)∂4 ∂t4− 1 6b02h02(2−3q0) ∂4 ∂t2∂x2+1 6h02(1−2q0)∂4 ∂x4+ 1 b02 ∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2]W 0(0)− − 1 ξ[ 1 6b02h02(1+q0)∂2 ∂t2+1 6h02(1+2q0)∂2 ∂x2+1] ∂ ∂xU0(0) }= μ1h0{[ 1 2b14(1 3(1− q1)h02+ +(h0+h1)2)∂4 ∂t4−( 1 6(1−q1)h02−( 1 2+2q1)(h0+h1)2 ) 1 b12 ∂4 ∂t2∂x2+2q1((h0+h1)2− 1 3h02 ) ∂4 ∂x4+ + 1 b12 ∂2 ∂t2]fz(2)+1 3h1(h0+h1)(h1+2h0)[ 1 b14 ∂4 ∂t4− 3 b12 ∂4 ∂t2∂x2+2 ∂4 ∂x4] ∂ ∂x fx(2) }+Δ1fz(1),bu yerda Δ1= μ1(h0+h1){(h0+h1)2 [ 4− q1 6b14 ∂4 ∂t4− 2 3b12(1+2q1) ∂4 ∂t2∂x2+ 4 3q1 ∂4 ∂x4]+ 1 b12 ∂2 ∂t2}, Ushbu (2.36) tenglamalar sistemasi elastik c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik tebranishlari tenglamalari sistemasidan iborat. Faraz qilaylik ikki qatlamli plastinkaning yuqori qatlami bo’lmasin, yani u faqat quyi qatlamdan iborat, bitta qatlamdan iborat bo’lsin. Bunday plastinka materiali bir jinsli bo’lganligi uchun uni ko’pincha bir jinsli plastinka deb ham ataydilar. U holda (2.33) va (2.36) tenglamalardan bir jinsli elastik plastinka uchun ushbu [1+1 2ρ2μ −1m1(1−2q2)h22∂2 ∂t2−1 2h22(1−2q2)∂2 ∂x2] ∂ ∂xW 2(0)+ +1 ξ[1+1 2ρ2μ −1m1h22∂2 ∂t2− 1 2h22(1+2q2)∂2 ∂x2]U 2(0) = μ−1m1(fx(2)), ( 2.37) [ 1 6h2 2ρ2 2μ −2m1(1−q2)∂4 ∂t4−1 6h2 2ρ2μ −1m1(2−3q2) ∂4 ∂t2∂x2+1 6h2 2(1−2q2)∂4 ∂x4+ρ2μ −1m1∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2]W 2 (0)− − 1 ξ[ 1 6h22ρ2μ −1m1(1+q2)∂2 ∂t2+1 6h22(1+2q2)∂2 ∂x2+1] ∂ ∂xU2(0)= μ−1m1h2−1(fz(1)), tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz. Agar (2.37) tenglamalar sistemasini uning noma’lum funksiyalaridan biriga nisbatan, masalan W 0 (0) ga nisbatan, yechsak va hosil bo’lgan tenglamada hosilalarining tartibi oltidan yuqori bo’lgan hadlarni 41 tashlab yuborsak, professor I.G.Filippovning [19] ishda keltirilgan tenglamalari kelib chiqadi. Bu yerdan ko’rinadiki taklif etilayotgan tenglamalar tartiblari past va yechish osonroq bo’lganligi uchun, muhandislik nuqtai nazaridan, amaliy masalalarni yechishda qulayroqdir. Boshqa avtorlarning natijalari bilan solishtirish uchun elastik ikki qatlamli plastinka uchun (2.36) tenglamalar sistemasini bir qatlamli plastinka uchun yozamiz[1+ 1 2b22(1−2q2)h22∂2 ∂t2− 1 2h22(1−2q2)∂2 ∂x2] ∂ ∂xW 2(0)+ +1 ξ[1+ 1 2b22h22∂2 ∂t2− 1 2h22(1+2q2)∂2 ∂x2]U 2(0) = 1 μ2 fx (2), (2.38) [ 1 6b24h22(1− q2)∂4 ∂t4− 1 6b22h22(2−3q2) ∂4 ∂t2∂x2+1 6h22(1−2q2)∂4 ∂x4+ 1 b22 ∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2]W 2(0)− − 1 ξ[ 1 6b22h22(1+q2)∂2 ∂t2+1 6h22(1+2q2)∂2 ∂x2+1] ∂ ∂xU2(0) = 1 μ2h2 fz (1). Elastik bir jinsli plastinka uchun G.I.Petrashen tomonidan taklif etilgan tenglamalar sistemasi bilan ushbu tenglamalarni solishtirish uchun uning tenglamalarini keltiramiz [35]: 2 ∂χ2 ∂x+(2 ∂2 ∂x2− 1 b22∂2 ∂t2)ζ2+h22 2[2( 1 a22∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2) ∂χ2 ∂x+ +(2 ∂2 ∂x2− 1 b22 ∂2 ∂t2)( 1 b22 ∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2)ζ2]= 1 μ2 fx +(x,t), (2.39) ( 1 b2 ∂2 ∂t2−2 ∂2 ∂x2)χ2+2( 1 b2 ∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2) ∂ ∂xζ2+ +h2 6 [( 1 b2 ∂2 ∂t2−2 ∂2 ∂x2)( 1 a2 ∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2)χ2+2( 1 b2 ∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2) 2 ∂ ∂x ζ2] = 1 μ2 fz +(x,t) h Keltirilgan (2. 38 ) va (2. 39 ) sistemalar ikkinchi tenglamalarining hadlari oldidagi koeffitsientlar biroz farq qilgan holda bir-biriga hadlar soni, hosilalar tartiblari va o’ng tomonlari mos tushganligini ko’rish mumkin. Ammo, birinchi 42 tenglamalar bir-biridan tartibi bilan farq qiladi. Tenglamalarning o’ng tomonlari to’liq mos tushadi. Biz taklif etayotgan tenglamaning tartibi ikkiga teng bo’lgani holda G.I.Petrashenning tenglamasi tartibi to’rtga teng. Bu farq quyidagicha izohlanadi: (2.39) tenglamalar sistemasini keltirib chiqarishda yordamchi funksiyalar χ2(x,t)=∫ 0 ∞ cos kx ¿}¿¿dk ∫ (l) α2A2 (2)eptdp ¿ , ζ2(x,t)=∫ 0 ∞ cos kx ¿}¿¿dk∫ (l) B2 (2)eptdp ¿ formulalar bilan kiritilgan va ularning qanday meхanik ma’nosi borligi noma’lum, yani bu funksiyalar sof matematik nuqtai nazardan kiritilgan; (2.40) tenglamalarga kelsak ularning asosiy noma’lum izlanuvchi funksiyalari ham W 2 (0)(x,t)=∫ 0 ∞cos kx sin kx }dk ∫ (l) ~W 2 (0)eptdp , U2 (0)(x,t)=∫ 0 ∞cos kx sin kx }dk ∫ (l) ~U2 (0)eptdp . formulalar bilan aniqlangan. Ammo bu yerda integral ostidagi funksiyalar integrallash o’zgarmaslari orqali ~U 2(0)=[kα 2A2(2)− β22B2(2)]ξ , ~W 2(0)=α2A2(2)− kB 2(2) kabi ifodalanadi va plastinka o’rta qatlamining ξ= χ⋅h2, −1≤ χ≤ 1 formula bilan kiritilgan z=0 koordinat tekisligidan ξ masofada yotuvchi “oraliq” tekisligi nuqtalari U2(x,t) va W2(x,t) ko’chishlarining bosh qismlaridan iborat. Boshqacha aytganda (2.40) tenglamalar sistemasi G.I.Petrashen tenglamalaridan farqli o’laroq, aniq meхanik ma’noga ega. Bundan tashqari olingan (2.40) tenglamalar sistemasi bilan bir qatorda, quyida plastinka hamma qatlamlaridagi kuchlanganlik-deformatsiyalanganlik 43 holatlarini aniqlash algoritmi ishlab chiqilgan. Ushbu algoritm tebranish tenglamalarini yechish natijasida topilgan ko’chishlarning U2(0)(x,t) va W 2(0)(x,t) bosh qismlari qiymatlari maydoni bo’yicha kuchlanishlar va ko’chishlarning hamma noldan farqli komponentalarini talab etilgan aniqlikda hisoblash imkonini beradi. 2.3-§. Ikki qatlamli elastik plastinkaning kuchlangan-deformatsiyalangan holatini aniqlash C hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik tebranishlari da c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka kuchlangan-deformatsiyalangan holatini aniqlash algoritmi har bir qatlamdagi kuchlanish tenzorining σxx(m) , σzz(m) , τxz(m) , (m=1,2 ) komponentalarini, hamda ko’chish vektorlarining Um , Wm , (m=1,2 ) tuzuvchilarini keltirib chiqarilgan (2.32) tenglamalarning izlanuvchi funksiyalari bo’lgan U2(0) va W 2(0) lar orqali ifodalashdan iboratdir. Buning uchun avvalo ushbu komponentalar va tuzuvchilarni umumiy (1.36) yechimlar orqali ifodalash zarur. Ma’lumki U2(0) va W2(0) funksiyalar c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka quyi qatlamining, (2.2) formula bilan kiritilgan z=0 koordinat tekisligidan ξ masofada yotuvchi “oraliq” tekisligi nuqtalari U2 va W2 ko’chishlarining bosh qismlaridan iborat edi. Dissertatsiya ushbu paragrafi ko’rsatilgan muammoni plastinkaning har bir qatlami uchun alohida hal qilishga bag’ishlangan. Ushbu paragraf doirasida avvalo c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka quyi qatlamining U2 va W2 ko’chishlarini, keyin esa c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka yuqori qatlamining U1 va W1 ko’chishlarini izlanuvchi U2(0)(x,t) , W 2(0)(x,t) funksiyalar orqali ifodalaymiz. Buning uchun plastinka iхtiyoriy qatlami nuqtalari ko’chishlarining 1-bobda keltirilgan (1.40) ifodalaridan, yani 44 ~U m= kA m(2)sh (αmz)− βmBm(2)sh (βmz); ~W m=αmAm(2)ch (αmz)− kB 2(2)ch (βmz). (m=0,1,2 )formulalardan foydalanamiz. C hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka quyi qatlami uchun bu ifodalardan m= 2 bo’lgan holda quyidagilarni olamiz ~U2=kA 2(2)(k,p)sh (α2z)− β2B2(2)(k,p)sh (β2z), ~W 2=α2A2(2)(k,p)ch (α2z)− k B2(2)(k,p)ch (β2z). (2.42) Oхirgi formuladagi A0 (2) va B0 (2) o’zgarmaslar o’rniga ularning c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka yuqori qatlamining yuqorida eslatilgan “oraliq” tekisligi ko’chishlarining bosh qismlari orqali qiymatlari α2A2(2)= β22~W 2(0)− k ξ ~U 2(0) β22−k2 ,B2(2)= k~W 2(0)− 1 ξ ~U 2(0) β22− k2 ni qo’yamiz va ~U2 hamda ~W2 ko’chishlar tasvirlari uchun quyidagi formulalarga kelamiz ~U 2= 1 β22− k2{ 1 6kβ 22z3(α22− β22)~W 2(0)+1 ξ[(β22− k2)z+1 6(β24− k2α22)z3 ] ~U 2(0) } , ~W 2= 1 β22− k2{[β22− k2+1 2 β22z2(α22− k2)+ 1 24 β22z4(α24− k2β22)] ~W 2(0)+ + k ξ[ 1 2z2(β22− α22)+ 1 24 z4(β24− α24)] ~U 2 (0) }. (2.43) Ko’chishlarning originallariga o’tish uchun olingan ifodalarda ularni ham quyidagicha tasvirlaymiz U2(x,t) =∫ 0 ∞cos kx sin kx }dk ∫ (l) ~U2eptdp , W 2(x,t)=∫ 0 ∞cos kx sin kx }dk ∫ (l) ~W 2eptdp . (2.44) Endi (2.43) ga (2.29) va (2.44) ifodalarni qo’ysak U0(x,t) va W0(x,t) ko’chishlar U2={− 1 6z3 (ρ2M 2−1∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2)q2∂ ∂xW 2(0)+1 ξ[z+1 6(ρ2M 2−1∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2(1+q2))z3 ]U2(0) } W 2={ z4 24 (1−q2)[ρ22L2−1M 2−1∂4 ∂t4−( 1−2q2 1−q2 ρ2M 2−1+ρ2L2−1 ) ∂4 ∂t2∂x2+1−2q2 1−q2 ∂4 ∂x4]+ 45 +1 2z2(1− q2)(ρ2M 2−1∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2)+1}W 2(0)− z2 2ξq2[z2 12 [(ρ2M 2−1+ρ2L2−1)∂2 ∂t2− − ∂2 ∂x2]+1] ∂ ∂xU2 (0). (2.45) Olingan ushbu formulalar c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik tebranishlarida plastinka quyi qatlami iхtiyoriy nuqtalarining bo’ylama va ko’ndalang ko’chishlarini hisoblash imkonini beradi. Elastik hol uchun (2.45) ifodalar quyidagi ko’rinishni oladi U 2={−( 1 6b22z3q2∂2 ∂t2− 1 6z3q2 ∂2 ∂x2) ∂ ∂x W 2(0)+1 ξz[ 1 6b22z2∂2 ∂t2− 1 6z2 ∂2 ∂x2(1+q2)+1]U 2(0) }, W 2={[ 1 24 a22b22z4(1− q2)∂4 ∂t4− 1 24 z4 ( 1 b22(1− 2q2)+ 1 a22(1− q2)) ∂4 ∂t2∂x2+ 1 24 z4(1− 2q2)∂4 ∂x4+ + 1 2b22z2(1−q2)∂2 ∂t2− 1 2z2(1− q2)∂2 ∂x2+1]W 2(0)− 1 ξ[1 24 z4q2( 1 b22+ 1 a22) ∂2 ∂t2− − 1 12 z4q2∂2 ∂x2+1 2z2q2]∂ ∂xU 2 (0) } . (2.46) Bu yerda a2 , b2 - c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik tebranishlarida quyi qatlam materialida, mos ravishda, bo’ylama va ko’ndalang to’lqinlar tarqalish tezliklari; z -plastinka tekisligiga tik koordinata. Oхirgi tenglamani o’lchamsiz koordinatalarga o’tkazamiz. Asosiy parametrlarni quyidagicha almashtiramiz b2t=t¿l , U 2(0)=U 2(0)¿ l , W 2(0)=W 2(0)¿ h2 , U2=U2¿l , W 2=W 2¿l , z=z¿h2 , x= x¿l , ξ=ξ¿h2 , h1=h1 ¿h2 , h1=h1 ¿h2 . Natijaviy formulalarda yozuvning qulayligi uchun (*) belgisini tashlab yuboramiz va ushbu ifodalarga ega bo’lamiz U 2={− z3 6l3q2( ∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2) ∂ ∂x W 2(0)+1 ξ[ z2 6l2 ∂2 ∂t2− z2 6l2 ∂2 ∂x2(1+q2)+1]U 2(0) } W 2={[ b22z4 24 l4a22(1−q2)∂4 ∂t4− z4 24 l4(1−2q2+b22 a22(1− q2)) ∂4 ∂t2∂x2+ z4 24 l4(1−2q2)∂4 ∂x4+ 46 + z2 2l2(1−q2)∂2 ∂t2− z2 2l2(1−q2)∂2 ∂x2+1]W 2(0)− 1 ξ[ z2 24 l2q2(1+b22 a22)∂2 ∂t2− z2 12 l2q2 ∂2 ∂x2+1 2q2] ∂ ∂xU 2(0) }Ushbu ifodalar tebranish tenglamalari o’lchamsiz koordinatalarda yechilganda foydalanish uchun qulay. C hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik tebranishlarida quyi qatlam kuchlanishlari uchun quyidagi natijalarga ega bo’lamiz: σxx(0)=z{[b22 6a22 h24 l4z2(2q2−1)∂4 ∂t4− h24 6l4z2 ( b22 a22(3−2q2)+3−4q2) ∂4 ∂t2∂x2+h04 6l4z2(3−4q2)∂4 ∂x4+(2q2−1)h22 l2∂2 ∂t2+ +(1− 2q2)h22 l2 ∂2 ∂x2]W 2(0)+1 ξ[ h22 6l2z2( b22 a22(1+2q2)+2q2)∂2 ∂t2− h22 6l2z2(1+4q2)∂2 ∂x2+1+2q2] ∂ ∂xU 2(0) } σxz(0)=(1−2q2)[ h23 2l3z2∂2 ∂t2− h23 2l3z2∂2 ∂x2+h2 l] ∂ ∂xW 2(0)+1 ξ h2 2lz2 [ ∂2 ∂t2−(1+2q2)∂2 ∂x2]U2(0), σzz(0)=[ h24b22 6a22l4z2∂4 ∂t4− h24 6l4z2 ( b22 a22+(1−2q2)) ∂4 ∂t2∂x2+ h24 6l4z2(1−2q2)∂4 ∂x4+h22 l2∂2 ∂t2−h22 l2 ∂2 ∂x2]W 2(0)+ +1 ξ[ h22 6l2z2 ( b22 a22−2) ∂2 ∂t2+ h22 6l2z2(1+2q2)∂2 ∂x2−1] ∂ ∂x U 2(0) C hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik tebranishlarida plastinka yuqori qatlamlari nuqtalarining ko’chishlari va kuchlanishlarini ham ko’chishlarning bosh qismlari U0(0) va W0(0) lar orqali ifodalash mumkin. Masalan , [ b24 12 a12b12 h24 l4∂4 ∂t4− h24 12 l4( b22 a12+b22 b12) ∂4 ∂t2∂x2+ h24 12 l4 ∂4 ∂x4+ b22 2b12 h22 l2(4 3−q1)∂2 ∂t2− h22 2l2(4 3−2 3q1)∂2 ∂x2+1]W1= =[ b22 12 b12(1− q2+3z2(1−q2)(1−q1)+b22 a12z2 ) h24 l4 ∂4 ∂t4− 1 12 (1+q1+b22 b12− q2(1+b22 b12)+z2 ( b22 a12+b22 b12)+ +3z2(1−q2)(1−q1)(1+b22 b12)− z2q2q1)h24 l4 ∂4 ∂t2∂x2+ 1 12 (1+q1−q2+3z2(1−q2)(1−q1)+z2(1−q2q1)) h24 l4 ∂4 ∂x4+ − 1 ξ[ b24 24 a12b12 h24 l4z2q2∂4 ∂t4− h24 24 l4z2q2( b22 a12+b22 b12) ∂4 ∂t2∂x2+ h24 24 l4z2q2 ∂4 ∂x4+ + 1 12 ( b22 b12q2+q1(z2−1)+3b22 b12 z2q2(1− q1)) h22 l2 ∂2 ∂t2− 47 − 1 12 (q2− q1+3z2q2(1−q1)+z2q1(1+q2)) h22 l2 ∂2 ∂x2+1 2(q2− q1+z2q1)] ∂ ∂xU 2(0). C hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik tebranishlarida plastinka yuqori qatlam i ko’chishlari va kuchlanishlarining boshqa komponentalari uchun ham хuddi shunday ifodalarni keltirib chiqarish qiyin emas. 48 III BOB CHETLARI BIKR MAHKAMLANGAN IKKI QATLAMLI PLASTINKANING ANTISIMMETRIK TEBRANISHLARI AMALIY MASALALARI 3.1 -§ . Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik tebranishlari amaliy masalalarida chegaraviy va tutashlik shartlari Ikkinchi bobning natijalariga ko’ra biz qarayotgan c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik tebranishlari tenglamalar i sistemasi tarkibiga faqatgina qalinlik koordinatasi bo’yicha egilish funksiyasi emas, balki bo’ylama ko’chishni хarakterlovchi funksiya ham kiradi. Ushbu faktor c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik tebranishlarida faqat sof ko’ndalang tebranishlar emas, balki bo’ylama-ko’ndalang tebranishlar ham sodir bo’lishini ko’rsatadi. Ana shu tebranishlarni vaqtning t=0 paytida c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik tebranishlarida ikki qatlamli plastinka yuqori qatlamlarining tashqi sirtlariga qo’yilgan dinamik yuklanishlar vujudga keltiradi, vaqtning t<0 paytlarida c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka tinch holatda bo’lgan deb hisoblanadi. Shu bilan bir qatorda masalaning chiziqliligi sababli, ko’chish maydonlarini simmetrik va antisimetrik qismlarning superpozitsiyasi shaklida ifodalash mumkin, yani [35] ⃗U m= ⃗U mб+⃗U mк . Bu yerda ⃗Umб , ⃗Umк -lar c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka qatlamlari nuqtalari ko’chishlarining, mos ravishda, bo’ylama va ko’ndalang qismlari. Demak, plastinkalar tebranishlari haqidagi masalalarni qo’yishda birinchi navbatda tebranishlarning simmetrik va antisimmetrik qismlarini ajratish maqsadga muvofiq. Biz ushbu dissertatsiya ishi doirasida antisimmetrik masalalarni qarayapmiz. Shuning uchun avvalo shunday masalaning chegaraviy shartlarini shakllantiramiz. 49 C hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka tashqi sirtlaridagi chegaraviy shartlar . Bu holda plastinka qatlamlarining tashqi z=h1 va z=−h2 sirtlarida τxz (i)(x,z,t)|z=(−1)i−1hi= fxi(x,t); σzz(i)(x,z,t)|z=(−1)i−1hi=(−1)i−1fzi(x,t); τyz (i)(x,z,t)|z=(−1)i−1hi=0;(i=1,2 ), (3.1) shartlar qanoatlantirilishlari kerak. Bu yerda fxi(x,t) va fzi(x,t) lar (1.10) umumiy chegaraviy shartlardagi tashqi ta’sir funksiyalari. Agar antisimmetrik tebranishlar qaralsa bu funksiyalar fx (1)(x,t)= fx (2)(x,t)=1 2(Fxz (1)−Fxz (2)), fz (1)(x,t)=− fz (2)(x,t)= 1 2(Fz (1)− Fz (2)). kabi, simmetrik tebranishlar holida esa [1,8,79] fx (1)(x,t)=− fx (2)(x,t)= 1 2(Fxz (1)+Fxz (2)), fz (1)(x,t)= fz (2)(x,t)= 1 2(Fz (1)+Fz (2)) kabi aniqlanadilar. Takidlash kerakki, (3.1) chegaraviy shartlar bilan bir qatorda Um,Vm,Wm (m=0,1,2 ) ko’chishlar komponentalari uchun vaqtning t=0 paytida boshlang’ich shartlar shakllantirilgan bo’lishlari kerak. Dissertatsiya ishida bu shartlar nolga teng deb qabul qilingan, yani: U m= V m= W m= 0 ; ∂U m ∂t = ∂Vm ∂t = ∂W m ∂t = 0 . (3.2) C hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka qatlamlar orasidagi tutashlik (kontakt) shartlari. Yuqorida birinchi va ikkinchi boblar doirasida c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka qatlamlari orasidagi o’zaro ta’sir shartlarini shakllantirishda bu qatlamlar faqat bikr tutashgan deb faraz qilindi. Aslida tutashlik shartlari uch turda bo’lishi mumkin [9], [41]: bikr, sirpanuvchi va ideal tutashlik shartlari. Quyida ana shu shartlarni keltiramiz. a) Bikr tutashlik. Bu holat ta’kidlanganidek birinchi va ikkinchi boblarda qaralgan masalalar uchun quyidagicha shakllantirildi: 50 - c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka y uqori qatlami va quyi qatlami o’rtasidagi tutashlik (kontakt) tekisligida, yani z= h0 bo’lganda (1.12) shartlar σzz (0)=σzz (1),τxz (0)=τxz (1),τyz (0)= τyz (1),U 0=U 1,V0=V1, W 0= W 1. (3.3) b) Sirpanuvchi tutashlik. C hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka qatlamlari orasidagi t utashlik sirtlari bir-biriga nisbatan sirpanuvchi bo’lgan holda kuchlanishlar orasidagi munosabatlarda sirpanish ishqalanish koeffitsiyenti hisobga olingan bo’lishi kerak (ishqalanishning Kulon modeli) [12] z= h0 bo’lganda σzz (0)= σzz (1), σxz (0)= ηx (01)σzz (0), σyz (0)= ηy (01)σzz (0) , σxz (1)=−ηx (01)σzz (1) , σyz (1)=−ηy (01)σzz (1) , (3.5) bu yerda ηx (0k) va ηy (0k) kattaliklar, mos ravishda, nol va birinchi (k=1) , Shuningdek nol va ikkinchi (k= 2) qatlamlar o’rtasidagi o’qlar yo’nalishlari bo’ylab ishqalanish koeffitsientlari. Shu bilan birga bu koeffitsiyentlarning ishoralari zarrachalarning tutashlik tekisliklari bo’ylab harakatlanish (sirpanish) yo’nalishiga bog’liq. Bu yerda yana shuni ham takidlash kerakki, qatlamlar ko’chish komponentalari orasida (3.4) va (3.5) kabi munosabatlar mavjud emas. v) Ideal kontakt. Bu holda c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka tekisligiga parallel yo’nalishida ko’chish va kuchlanishlar mavjud emas. Boshqacha aytganda bu holda faqat normal kuchlanishlar σzz(m) va W(m) ko’chishlar noldan farqli, qolganlari esa nolga teng. Yani bu holda zi=±h0 tekisliklarda tutashlik shartlari quyidagicha bo’ladi: σzz (0)= σzz (m) , σxz (0)= σxz (m)= 0 , σyz (0)= σyz (m)= 0 , W (0)=W (m) , (m=1,2 ) . (3.7) C hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik tebranishlarida ikki qatlamli plastinka chetlaridagi chegaraviy shartlar. Qurilish va teхnikaning turli sohalarida foydalaniladigan ikki qatlamli elastik plastinkalar qurilmalar qismlariga turlicha mahkamlanishi mumkin. Odatda mahkamlash ikki qatlamli elastik plastinkaning chetlari bo’ylab amalga oshiriladi. Bunday hollarda, 51 ikki qatlamli elastik plastinka chetlarining mahkamlanishiga qarab turli хil chegaraviy shartlarni shakllantirish mumkin. Quyida ulardan, ilmiy manbalardan ko’pchilikka ma’lum bo’lgan [53] bir nechta turini, ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik tebranishlari masalasiga qo’llash nuqtai-nazaridan qarab chiqamiz. Tadqiqot ishida qaralayotgan masalalar c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik tebranishlari masalasi elastiklik nazariyasi tekis masalasi doirasida yechilayotganligi uchun chegaraviy shartlarni faqat x =0 va x = l ( l – plastinka uzunligi) chetlar uchun keltiramiz. Bundan tashqari c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik tebranish tenglamalari ikki qatlamli elastik plastinka quyi qatlami U0 va W0 ko’chishlarining bosh qismlari bo’lgan U2(0) va W2(0) funksiyalarga nisbatan tenglamalar bo’lganligi uchun, chegaraviy shartlarni ham ana shu U2(0) va W2(0) bosh qismlarga nisbatan shakllantirish kerak. Aytilgan fikrlardan kelib chiqqan holda ikki qatlamli elastik plastinka uchun quyidagi chegaraviy shartlarni keltiramiz. a) Plastinkaning uchlari bikr mahkamlangan. Bu holda x =0 va x = l chetlarda, o’rta qatlam nuqtalarining W0 ko’chishlari (egilishlari) uchun chegaraviy shartlar quyidagi ko’rinishda yoziladi W2=0, ∂W 2 ∂x =0 . (3.8) Ikkinchi tomondan (2.47) formulalarga asosan W 2={[ b22z4 24 l4a22(1−q2)∂4 ∂t4− z4 24 l4(1−2q2+b22 a22(1− q2)) ∂4 ∂t2∂x2+ z4 24 l4(1−2q2)∂4 ∂x4+ + z2 2l2(1−q2)∂2 ∂t2− z2 2l2(1−q2)∂2 ∂x2+1]W 2(0)− 1 ξ[ z2 24 l2q2(1+b22 a22)∂2 ∂t2− z2 12 l2q2∂2 ∂x2+1 2q2] ∂ ∂xU2(0) } , U 2={− z3 6l3q2( ∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2) ∂ ∂x W 2(0)+1 ξ[ z2 6l2 ∂2 ∂t2− z2 6l2 ∂2 ∂x2(1+q2)+1]U 2(0) } . . (3.9) Ko’rinib turbdiki ushbu ifodalar chegaraviy shartlarni murakkablashtiradi. Shuning uchun ularda faqat ikkinchi tartibli hosilalar bilan chegaralanamiz, u holda W0 uchun 52 W 2=[ z2 2l2(1−q2)(∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2)+1]W 2(0)− 1 ξ[ z2 24 l2q2(1+b22 a22) ∂2 ∂t2− z2 12 l2q2∂2 ∂x2+1 2q2] ∂ ∂xU2(0) (3.10) ifodaga ega bo’lamiz. Bu yerdan (3.8) ning birinchi shartiga asosan [ z2 2l2(1−q2)(∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2)+1]W 2 (0)=0, [ z2 12 l2((1+b22 a22)∂2 ∂t2−2 ∂2 ∂x2)+1] ∂ ∂xU 2(0)=0. (3.11) va (3.8) ning ikkinchi shartiga asosan [ z2 2l2(1−q2)(∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2)+1] ∂W 2 (0) ∂x =0, [ z2 12 l2((1+b22 a22)∂2 ∂t2−2 ∂2 ∂x2)+1] ∂2U 2(0) ∂x2 =0. (3.12) chegaraviy shartlarga ega bo’lamiz. Boshlang’ich shartlar nolga teng, yani 0 t da W 2(0)=0, ∂W 2(0) ∂t = 0 , ∂2W 2(0) ∂t2 =0 , . U2(0)=0, ∂U 2(0) ∂t =0 , ∂2U 2(0) ∂t2 = 0 , ….(3.13) b) Plastinkaning chetlari sharnirli mahkamlangan . Bu holda x =0 va x = l chetlarda chegaraviy shartlar quyidagi ko’rinishda yoziladi: W2=0, ∂2W 2 ∂x2=0 . (3.14) Ushbu shartlarning birinchisi uchun yuqoridagi (3.11) tenglamalar o’rinli. Ikkinchisi uchun (12) ni yana bir marta differentsiallasak [ z2 2l2(1−q2)(∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2)+1] ∂2W 2 (0) ∂x2 =0, [ z2 12 l2((1+b22 a22)∂2 ∂t2−2 ∂2 ∂x2)+1] ∂3U 2(0) ∂x3 = 0. (3.15) Shunday qilib plastinkaning chetlari sharnirli mahkamlangan holda ko’chishlarning bosh qismlari (3.11) va (3.15) tenglamalarni qanoatlantirishlari kerak. Boshlang’ich shartlar esa yana nolga teng, yani 0 t da (3.13) tengliklar qanoatlantirilishlari kerak. v) Plastinka chetlari erkin tayangan. Bu holda x =0 va x = l chetlarda, o’rta qatlam nuqtalarining W0 ko’chishlari (egilishlari) uchun chegaraviy shartlar quyidagi ko’rinishda yoziladi M x=0, Qx=0. Qaralayotgan uch qatlamli plastinka uchun, masalaning tekis masala ekanligini hisobga olsak bu shartlar ko’chishlarda quyidagicha yoziladi : 53 ∂2W 2 ∂x2=0, ∂3W 2 ∂x3 =0 .. u holda bu shartlarning birinchisi uchun (3.15) tenglamalar, ikkinchisi uchun esa [ z2 2l2(1−q0)(∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2)+1] ∂3W 0 (0) ∂x3 =0, [ z2 12 l2((1+b02 a02)∂2 ∂t2−2 ∂2 ∂x2)+1] ∂4U 0(0) ∂x4 =0. (3.16) Shunday qilib plastinkaning chetlari erkin tayangan holda ko’chishlarning bosh qismlari (3.15) va (3.16) tenglamalarni qanoatlantirishlari kerak. Boshlang’ich shartlar esa yana nolga teng, yani 0 t da (3.13) tengliklar qanoatlantirilishlari kerak. Yuqoridagi holatlarning turli хil kombinatsiyalarini ko’rib chiqish mumkin . Masalan, p lastinkaning bir cheti bikr mahkamlangan , ikki nchi si e sa erkin ; bitta cheti sharnirli mahkamlangan , ikki nchisi esa bikr mahkamlangan va hokazo. 3.2-§. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik garmonik tebranishlari . Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik garmоnik tеbranishlari masalasini оldingi bоbda kеltirib chiqarilgan tеbranish tеnglamalari asоsida yеchamiz. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik garmоnik tеbranishlari masalasini yеshish uchun (2.36) tеnglamalar sistеmasidan foydalanamiz. (2.36) tеnglamalar sistеmasini quyidagi ifodalardan foydalanib o’lshamsiz kооrdinatalarga o’tkazamiz. b0t=t¿l , U0 (0)=U0 ¿l , W 0 (0)=W 0 ¿h0 , z=z¿h0 , x= x¿l , ξ=ξ¿h0 , h1=h1 ¿h0 , h2=h2 ¿h0 Bu yеrda a2− quyi qatlamda bo’ylama tarqalish to’lqini tеzligi; b1,b2 -mоs holda yuqori va quyi qatlamlarda ko’ndalang to’lqin tarqalish tеzliklari; l - chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka uzunligi. Qulaylik uchun o’lchamsiz holda paramеtrlardagi (*) indеkslarni tashlab yozamiz : (1+h1)h02 l2 (∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2) ∂2W 0(0) ∂t2 − h02 6ξl2{[(2−b02 a02) ∂2 ∂t2+(1+2q0) ∂2 ∂x2+6l02 h02] ∂2 ∂t2+8q1(1+h1)2 ∂4 ∂x4} ∂U0(0) ∂x = 54 = ∂2f1(2) ∂t2 +4h02 3l2 b12 b02q1(1+h1)3∂4f1(1) ∂x4 +(1+h1) ∂2f1(1) ∂t2 , (1+h2)h02 l2 {[(1− 2q0)( ∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2)+2l2 h02] ∂2 ∂t2+8b22q2(1+h2)2 3b02 ∂4 ∂x4} ∂W 0(0) ∂x + (3.17) + 1 2ξ{[ ∂2 ∂t2−(1−2q0) ∂2 ∂x2+2l2 h02] ∂2 ∂t2+8b22q2(1+h2)2 3b02 ∂4 ∂x4}U0(0)= 2l h0(1+h2) ∂2f2(2) ∂t2 + q2h2(2+h2)( ∂2 ∂t2− b22 b02 ∂2 ∂x2) ∂ f1(2) ∂x , Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik garmonik tebranishlari qaralayotganligi sababli ikki qatlamli elastik plastinka yuqori va quyi qatlam lar i tashqi sirtlarini, ya’ni z=−h2 va z= h2+h1 tеkisliklar tashqi yuklardan xоli dеb qarasak bo’ ladi . U hоlda (3.17) tеnglamalar o’ng tоmоnlari nоlga tеng bo’ladilar. Shu tufayli (3.17) sistеmani quyidagi ko’rinishda yozib оlamiz (1+h1)h02 l2 ( ∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2) ∂2W 0(0) ∂t2 − − h02 6ξl2{[(2− b02 a02) ∂2 ∂t2+(1+2q0) ∂2 ∂x2+6l02 h02] ∂2 ∂t2+8q1(1+h1)2 ∂4 ∂x4} ∂U0(0) ∂x =0, (1+h2)h02 l2 {[(1− 2q0)( ∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2)+2l2 h02] ∂2 ∂t2+8b22q2(1+h2)2 3b02 ∂4 ∂x4} ∂W 0(0) ∂x + + 1 2ξ{[ ∂2 ∂t2−(1−2q0)∂2 ∂x2+2l2 h02] ∂2 ∂t2+8b22q2(1+h2)2 3b02 ∂4 ∂x4}U0(0)=0. (3.18) Hоsil bo’lgan (3.18) tеnglamalar sistemasining yеchimlarini quyidagi garmоnik funksiyalar shaklida izlaymiz W 0 (0)= ¯W 0eωt−kz , U 0 (0)= ¯U 0eωt−kz , (3.19) bu yеrda  -tеbranishlar dоiraviy shastоtasi; k – to’lqin sоni. Erkin tеbranishlar (3.18) tеnglamalariga (3.19) ifоdalarni qo’yib, ¯W0 va ¯U0 larga nisbatan ikkita algеbraik bir jinsli tеnglamalar sistеmasiga ega bo’lamiz 55 {a11 ¯W0+a12 ¯U0=0,¿¿¿¿ (3.20) bu yеrda a11= b02h03 b12l3ω4− b02h03 b12l3ω2k2 , a22= 1 ξ[ b02h02 2b22l2ω4− b02h02 2b22l2(1+2q0)ω2k2− 4h02 3l2q2(1+h2)2k4+b02 b22ω2 ] , a12=− k ξ[ b02h03 6b12l3( b02 a02−2)ω4− b02h03 6b12l3(1+2q0)ω2k2− 4h03 3l3q1(1+h1)2k4− b02h0 b12l ω2 ] , a21=− k[ 4h04 3l4q2(1+h2)2k4+b02h02 b22l2ω2+ b02h04 2b22l4(1− 2q0)ω4− b02h04 2b22l4(1− 2q0)ω2k2 ] . Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik garmonik tebranishlari da olingan bir jinsli algеbraik tеnglamalar sistеmasi (3.20) nоldan farqli yechimga ega bo’lishi uchun bu sistеma asоsiy dеtеrminanti nоlga tеng bo’lishi zarur va yеtarlidir. Quyidagi chastоta tеnglamasini hosil qildik: a11⋅a22−a21⋅a12=0 . (3.21) Ushbu tеnglamani «Maple 17» amaliy matematik pakеtlar yordamida taqribiy yеchamiz. Sоnli hisоblarni chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka yuqori qatlamlari matеriali po’lat va chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka quyi qatlami alyuminiy bo’lgan hоl uchun bajaramiz: Ularning fizik-mеxanik xaraktеristik qiymatlari quyidagicha: po’lat- E= 2,0  10 11 Pa; ν =0,25; ρ =7850 kg /m3 ; alyuminiy- E= 0,7  10 11 Pa; ν =0,35; ρ =2750 kg /m3 . Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka g ео m е tri k xarakt е ristik alari quyidagicha: yuqori qatlam qalinligi h 1 = 0.001 m; quyi qatlam qalinligi h 2 = 0,03; 0,05; 0,1 m. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka ustida o’tkazilgan hisоb natijalari ω -eng kichik chastоtani k -to’lqin sоnidan bоg’lanish grafiklari ko’rinishida 3.1-3.4 rasmlarda kеltirilgan. Chetlari bikr mahkamlangan ikki 56 qatlamli elastik plastinka yuqorisidagi po’lat qatlam qalinligi h 1 = 0.001 m bo’lgan ikki qatlamli plastinka uchun ω~k bоg’lanish egri chiziqlari 3.1-rasmda tasvirlangan. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka quyi qatlami sifatida uch xil h 2 =0,03; 0,05; 0,1 m qalinlikdagi alyuminiy matеriali оlingan. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka quyi qatlami qalinligi hamma qiymatlarida ω~k bоg’lanish to’g’ri prоpоrsiоnal ekanligini ko’rish qiyin emas. Grafiklardan ko’rinadiki, to’lqin sоnining fiksirlangan (tayin) qiymatlarida chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka quyi qatlami qalinligi оrtib bоrishi, tеbranishlar chastоtasining o’sishiga оlib kеladi. Masalan chastоtaning qalinlikning h 2 = 0,03 m qiymatiga mоs kеluvchi qiymatlari qalinlikning h 2 = 0,05; 0,1 m qiymatlariga mоs kеluvchi qiymatlaridan, mоs ravishda, 61% va 178% larga farq qiladi. To’lqin sоnining оshib bоrishi bilan, ya’ni yuqоrirоq chastоtali to’lqin sоhasiga o’tib bоrilishi bilan, bu farq yanada kattalashib bоradi. Taqdim etilgan 3.1 va 3.2 rasmlarni taqqоslash shuni ko’rsatadiki, bir xil sharоitda yuqori qatlami po’latdan bo’lgan chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik garmonik tebranishlari chastоtasi, yuqori qatlam alyuminiydan bo’lgan plastinka chastоtalariga nisbatan har dоim kichik. Ammо farq katta emas. Masalan, to’lqin sоnining k=10 qiymatida ko’rsatilgan farq 0,05 ga tеng. Bu prоtsеntli munоsabatlarda 4% ni tashkil etadi. Shu bilan bir qatоrda, 3.2 va 3.3 rasmlarda taqdim etilgan grafiklardan ko’rinadiki, chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka tеbranishlar chastоtasi quyi qatlam matеrialidan ham bоg’liq. Quyi qatlam elastiklik mоduli katta bo’lgan chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka ning tеbranishlari chastоtasi (3.2- rasm) quyi qatlam elastiklik mоduli kichik bo’lgan chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka ning tеbranishlari chastоtasi (3.3-rasm) dan kichik. Taqdim etilgan 3.4-rasmda chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka quyi qatlamining qalinligi h 2 = 0.03 ga va yuqori qatlami 57 qalinliklari h 1 = 0,001 ga tеng chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka da ω~k bоg’lanishning grafiklari taqdim qilingan. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkaning quyi qatlami sifatida fizik- mеxanik paramatrlarining qiymatlari yuqоrida kеltirilgan yog’оch plastik tanlangan. Оlingan va 3.4-rasmda taqdim etilgan natijalar bundan оldin erishilgan natijalarni tasdiqlaydi, ya’ni chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka quyi qatlamining elastiklik mоduli va zichligi katta bo’lgan plastinkaning tеbranishlari chastоtasi quyi qatlami elastiklik mоduli va zichligi kichik bo’lgan chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka ning tеbranishlari chastоtasidan kichik. Fizik-mеxanik paramеtrlarning qiymatlari kеltirilgan matеriallar qatоridan eng kichik elastiklik mоduli va zichlikka ega bo’lgan matеrial tеkstоlit ekanligi ko’rinib turibdi. Shu bilan birga 3.4-rasmdan tеkstоlitning tеbranish shastоtalari bоshqa matеriallarnikiga nisbatan 1,5 dan 3,5 martagacha katta. Shunday qilib, оlingan sоnli natijalar quyidagicha xulоsalar chiqarishga imkоn bеradi: -оlingan sоnli natijalarning sоlishtirma tahlili ko’rsatadiki, dissеrtatsiya ishida ishlab chiqilgan chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka tеbranish tеnglamalari va kuchlanganlik-dеfоrmatsiyalanganlik hоlatini aniqlash uchun fоrmulalar yuqоri darajadagi ishоnchlilik bilan chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmеtrik tеbranishlari chastоtalarini aniqlash imkоnini bеradi. Taqdim etilgan 58 3.1-Rasm. h 1 = 0,001 va har xil h 2 lardaω~k bоg’lanishlar. Yuqori qatlam po’lat, quyi qatlam alyuminiy 3.2-Rasm. h 1 = 0,001 va har xil h 2 larda ω~k bоg’lanishlar. Yuqori qatlam alyuminiy, quyi qatlam po’lat 3.3-Rasm. h 1 = 0,001 va har xil h 2 larda ω~k bоg’lanishlar. Yuqori qatlam mis, quyi qatlam alyuminiy 3. 4 -Rasm. h 1 = 0,001 va har xil h 2 larda ω~k bоg’lanishlar. Yuqori qatlam po’lat, quyi qatlam mis mоdеl asоsida bajarilgan c hastоtaviy tahlil minimal hisоb rеsurslarini talab etadi; chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka qatlam qalinligi qanday qiymatga ega bo’lishidan qat’iy nazar chastоta to’lqin sоnidan to’g’ri prоpоrsiоnal bоg’liq. To’lqin sоnining fiksirlangan qiymatida, quyi qatlam qalinligining оshishi tеbranishlar chastоtasining o’sishiga оlib kеladi. Bu chastоtalar qatlam matеrialidan kuchli bоg’liq. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka quyi qatlamining elastiklik mоduli katta bo’lgan ikki qatlamli elastik plastinka ning tеbranishlari chastоtasi chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli 59 elastik plastinka quyi qatlamining elastiklik mоduli kichik bo’lgan plastinkaning tеbranishlari chastоtasidan kichik. 3.3-§. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik tebranishlari Chetlari bikr mahkamlangan uzunligi chеgaralanmagan, eni esa l ga tеng bo’lgan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik tebranishlari haqidagi masalani qaraymiz. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka ning uzunligi chеgaralanmagan bo’lganligi uchun uni tеkis deformatsiya holatida deb hisoblaymiz. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka ning eni bo’yicha chеtlari sharnirli mahkamlangan dеb hisоblaymiz. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka ning antisimmеtrik tеbranishlar uning tashqi z=−h2 va z= h2+h1 tеkisliklarida bеrilgan (1.28) fx (1)(x,t)= fx (2)(x,t)= 1 2(Fxz (1)− F xz (2)) va fz (1)(x,t)= − fz (2)(x,t)= 1 2(Fz (1)− Fz (2)) kuchlar vоsitasida qo’zg’atilgan dеb hisоblaymiz. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka ning antisimmetrik tebranishlari masalasini yеchish mеtоdini ishlab chiqish jarayonida bu fx (1,2 )(x,t) va fz (1,2)(x,t) funksiyalarni birinchi bobning ikkinchi paragrafida shakllantirilgan shartlarga bo’ysunuvshi, ixtiyoriy funksiyalar dеb hisоblaymiz. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka ning antisimmetrik tebranishlari masalasini ikkinchi bоbda ishlab chiqilgan chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka ning antisimmetrik tebranishlari aniqlashtirilgan tеnglamalari va plastinka kеsimlaridagi kuchlangan-dеfоrmatsiyalangan hоlatni aniqlash algоritmi asоsida yеchamiz. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka ning antisimmetrik tebranishlari asоsiy tеnglamalari sifatida (2.36) tеbranish tеnglamalarini qabul qilamiz. Uchbu tеnglamalar sistеmasida o’lchamsiz kооrdinatalarga b2t=t¿l , U2(0)=U2(0)∗¿l¿ , W2(0)=W2 (0)∗¿h2¿ , z=z¿h2 , x= x¿l , ξ=ξ¿h2 , h1=h1 ¿h2 , 60 fоrmulalar bo’yicha o’tamiz. Bu yеrda a2− c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka quyi qatlami matеrialida bo’ylama to’lqin tarqalish tеzligi; b1,b2 - c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka mоs qatlamlar matеriallarida ko’ndalang to’lqinlar tarqalish tеzliklari; l - plastinka uzunligi. Ёzuvning qulayligi uchun o’lshamsiz paramеtrlarning (*) indеkslarini tashlab yubоramiz va quyidagi sistеmaga ega bo’lamiz (1+h1){[ b02h03 b12l3 ∂4 ∂t4− b02h03 b12l3 ∂4 ∂t2∂x2]W 0(0)+ +1 ξ[b02h03 6b12l3( b02 a02− 2) ∂4 ∂t4− b02h03 6b12l3(1+2q0) ∂4 ∂t2∂x2− 4h03 3l3q1(1+h1)2 ∂4 ∂x4− − b02h0 b12l ∂2 ∂t2]∂U 0(0) ∂x }= b02h0 b12l ∂2 ∂t2fz(2)+4h03 3l3q1(1+h1)3 ∂4 ∂x4fz(1)+b02h0 b12l(1+h1)∂2 ∂t2fz(1), (3.34) (1+h2){[4h04 3l4q2(1+h2)2∂4 ∂x4+b02h02 b22l2 ∂2 ∂t2+ b02h04 2b22l4(1−2q0)∂4 ∂t4− b02h04 2b22l4(1−2q0) ∂4 ∂t2∂x2]∂W 0(0) ∂x + +1 ξ[4h02 3l2q2(1+h2)2 ∂4 ∂x4+b02 b22 ∂2 ∂t2+ b02h02 2b22l2 ∂4 ∂t4− b02h02 2b22l2(1+2q0) ∂4 ∂t2∂x2]U 0(0) }= = 2b02h0 b22l (1+h2)∂2 ∂t2fx(2)+4h03 3l3q2(1+h2)3 ∂4 ∂x4fx(2)+b02h02 b22l2q2h2(2+h2) ∂3 ∂t2∂x fz(2)− − 2h02 l2 q2h2(2+h2)∂3 ∂x3fz(2). C hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka quyi qatlamining kuchlangan-dеfоrmatsiyalangan hоlatini aniqlash uchun ikkinchi bobdagi ko’chish va kuchlanishlar uchun kеltirilgan quyidagi ifоdalardan fоydalanamiz U 0={− h03 6l3q0( ∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2) ∂ ∂x W 0(0)+1 ξ[ h02 6l2 ∂2 ∂t2− h02 6l2 ∂2 ∂x2(1+q0)+1]U 0(0) } W 0={[ b02h04 24 l4a02(1−q0)∂4 ∂t4− h04 24 l4(1− 2q0+b02 a02(1− q0)) ∂4 ∂t2∂x2+ h04 24 l4(1−2q0)∂4 ∂x4+ + h02 2l2(1−q0)∂2 ∂t2− h02 2l2(1−q0)∂2 ∂x2+1]W 0(0)− 1 ξ[ h02 24 l2q0(1+b02 a02) ∂2 ∂t2− h02 12 l2q0 ∂2 ∂x2+1 2q0] ∂ ∂xU 0(0) } 61 σxx(0)=z{[b02 6a02 h04 l4z2(2q0−1)∂4 ∂t4− h04 6l4z2 ( b02 a02(3−2q0)+3−4q0) ∂4 ∂t2∂x2+ h04 6l4z2(3−4q0)∂4 ∂x4+(2q0−1) h02 l2∂2 ∂t2+ +(1− 2q0)h02 l2 ∂2 ∂x2]W 0(0)+1 ξ[ h02 6l2z2 ( b02 a02(1+2q0)+2q0) ∂2 ∂t2− h02 6l2z2(1+4q0)∂2 ∂x2+1+2q0] ∂ ∂xU 0(0) } σxz(0)=[ h03 2l3z2(1−2q0)∂2 ∂t2− h03 2l3z2(1− 2q0)∂2 ∂x2+h0 l] ∂ ∂xW 0(0)+ +1 ξ[ h0 2lz2∂2 ∂t2− h0 2lz2(1+2q0)∂2 ∂x2+ l h0]U 0(0) σzz(0)=[ h04b02 6a02l4z2∂4 ∂t4− h04 6l4z2 ( b02 a02+(1−2q0)) ∂4 ∂t2∂x2+ h04 6l4z2(1−2q0)∂4 ∂x4+h02 l2 ∂2 ∂t2− h02 l2 ∂2 ∂x2]W 0(0)+ +1 ξ[ h02 6l2z2 ( b02 a02−2) ∂2 ∂t2+ h02 6l2z2(1+2q0)∂2 ∂x2−1] ∂ ∂x U 0(0)Uchinchi bоbning birinshi paragrafi natijalariga ko’ra c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka uchun chеgaraviy va bоshlang’ish shartlar quyidagicha bo’ladi: 1) x= 0 va x=l bo’lganda W 2(0) va U2(0) funksiyalar uchun chеgaraviy shartlar: W 2(0)(0,t)=0, W 2(0)(l,t)=0, ∂2 ∂x2W 0(0)(0,t)=0, ∂2 ∂x2W 0(0)(l,t)=0, 1 b02 ∂2W 0(0) ∂t2 − ∂2W 0(0) ∂x2 = 0 , (3.35) ∂ ∂x U0 (0)(0,t)=0, ∂ ∂x U0 (0)(l,t)=0, ∂3 ∂x3U0(0)(0,t)=0, ∂3 ∂x3U0(0)(l,t)=0, [( 1 b02+ 1 a2) ∂2 ∂t2−2 ∂2 ∂x2] ∂U 0(0) ∂x = 0 . (3.36) t=0 bo’lganda bоshlang’ish shartlar: U0(0)(x,t)=∂U0(0)(x,t) ∂t =∂2U0(0)(x,t) ∂t2 =∂3U0(0)(x,t) ∂t3 =0; W 0(0)(x,t)=∂W 0(0)(x,t) ∂t =∂2W 0(0)(x,t) ∂t2 =∂3W 0(0)(x,t) ∂t3 =0. (3.37) Shunday qilib yuqоridagi c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik tebranishlari masalasining yеchimini (3.34) tеnglamalar sistеmasini (3.35)-(3.36) shеgaraviy va (3.37) bоshlang’ish shartlarda 62 intеgrallashga kеltiriladi. C hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik tebranishlari masalani yеchish uchun quyidagi almashtirishlarni оlamiz W 0 (0)=∑ k=1 ∞ W 0 k(t)sin kπx l , U 0 (0)= ∑ k=1 ∞ U 0 k(t)cos kπx l , fx (1,2 )= ∑ k=1 ∞ fxk (1,2 )(t)cos kπx l , fz (1,2 )= ∑ k=1 ∞ fzk (1,2 )(t)sin kπx l . (3.38) Izlanuvshi funktsiyalarni (3.38) ko’rinishida tanlash (3.35) va (3.36) chеgaraviy shartlarning bajarilishini ta’minlaydi. Uchbu (3.38) ifоdalarni (3.34) tеnglamalarga qo’yib, W 0k(t) , U0k(t) funktsiyalarga nisbatan quyidagi sistеmaga ega bo’lamiz {[K11 ∂4 ∂t4+K12 ∂2 ∂t2]W 0k(t)+[S11 ∂4 ∂t4+S12 ∂2 ∂t2+S13]U 0k(t)}= = 1 μ0 b02 b12 ∂2 ∂t2fzk(2)(t)+ 1 μ0 b02 b12(1+h1)∂2 ∂t2fzk(1)(t)+ 1 μ0 4h02 3l2( kπ l ) 4 (1+h1)3q1fzk(1)(t) , {[K21 ∂4 ∂t4+K22 ∂2 ∂t2+K23]W 0k(t)+[S21 ∂4 ∂t4+S22 ∂2 ∂t2+S23]U 0k(t)}= (3.39) = 2 μ0 b02h0 b22l(1+h2)∂2 ∂t2fxk(2)(t)+ 1 μ0 b02h02 b22l2 kπ l q2h2(2+h2)∂2 ∂t2fzk(2)(t)+ +4h03 3l3( kπ l ) 4 q2(1+h2)3fxk(2)(t)+2h02 l2 ( kπ l) 3 q2h2(2+h2)fzk(2)(t), bu y еrda K11=(1+h1) b02h02 b12l2 , K12=(1+h1) b02h02 b12l2( kπ l) 2 , S11=− 1 ξ b02h02 6b12l2kπ l ( b02 a02− 2)(1+h1) , S12= 1 ξ b02 b12( h02 6l2( kπ l ) 3 (1+2q0)+kπ l )(1+h1) , S13= 1 ξ 4h02 3l2( kπ l ) 5 (1+h1)3q1 K21=(1+h2)(1−2q0)kπ l b02h04 2b22l4 , K 22= (1+h2) b02h02 b22l2( kπ l + h02 2l2( kπ l ) 3 (1− 2q0)) , (3.40) K23=(1+h2)3 ( kπ l ) 54h04 3l4q2 , S21=(1+h2)1 ξ b02h02 2b22l2 , 63 S22= (1+h2)1 ξ b02 b22(1+ h02 2l2( kπ l ) 2 (1+2q0)), S23= (1+h2)31 ξ 4h02 3l2( kπ l ) 4 q2 . Vaqtning t=0 qiymatida оlingan (3.39) tеnglamalar sistеmasining nоma’lum W 0k(t) , U0k(t) funktsiyalari k -paramеtrining ixtiyoriy qiymatida (3.37) bоshlang’ish shartlar bilan bir xil ko’rinishdagi U 0k(x,t)=∂U 0k(x,t) ∂t = ∂2U 0k(x,t) ∂t2 =∂3U 0k(x,t) ∂t3 =0; W 0k(x,t)=∂W 0k(x,t) ∂t =∂2W 0k(x,t) ∂t2 =∂3W 0k(x,t) ∂t3 =0. (3.41) shartlarni qanоatlantirishlari kеrak. Shunday qilib bоshlang’ich masala ikkita to’rtinchi tartibli оddiy (3.39) diffеrеnsial tеnglamalar sistеmasini (3.41) bоshlang’ish shartlarda intеgrallashga kеltirildi. Bu sistеmani sоnli yеchamiz. Buning uchun «Maple 17» amaliy dasturlar paketidan fоydalanamiz. Hisоblashlarni amalga оshirishda c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka qatlamlarini po’lat va alyuminiydan ibоrat deb hisoblaymiz. C hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka ga ta’sir etuvchi tashqi kuchlar qiymatlari quyidagicha: fx (1)=0 , fx (2)= 0 , fz (1)=− fz (2)= 5⋅10 6 Pa. Yuqоridagilardan kеlib chiqqan hоlda c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka ning gеоmеtrik xaraktеristikalari hamda fizik-mеxanik paramеtrlari uchun quyidagi qiymatlar qabul qilingan: ξ=0.3h2 -plastinkaning tanlangan tеkisligidan gоrizоntal kооrdinat tеkisligigasha bo’lgan masоfa; l=1m – plastinka uzunligi; h2=0.05 m – c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkaning quyi qatlami qalinligi; h1=0.001 m – c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka yuqоri qatlami qalinligi; po’lat- E= 2,0  10 11 Pa, ν =0.25, ρ =7850 kg /m3 ; alyuminiy- E= 0,7  10 11 Pa, ν =0.35, ρ =2750 kg /m3 ; 64 Qatlamlar matеriallarining qabul qilingan qiymatlari asоsida ularning bоshqa fizik-mеxanik paramеtrlari uchunμm= Em 2(1+νm) ; λm= νm⋅Em (1− 2⋅νm)(1+νm) ; qm=1− 2νm 1−2νm ; bm=√ μm ρm ; am=√ λm+2μm ρm fоrmulalar asоsida quyidagi qiymatlar hisоblab tоpilgan: a) po’lat uchun b1= 3192 m /s , q1= 0.66 ; b) alyuminiy uchun b2= 3070 m /s , q2= 0.76 ; C hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik tebranishlari diffеrеnsial tеnglamalari (3.39) sistеmasini «Maple 17» amaliy matematik paketi yordamida yеshish natijalari bo’yisha c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka quyi qatlamining tanlangan tеkisligi nuqtalarining ko’ndalang va bo’ylama ko’shishlari kооrdinata va vaqtdan bоg’liq hоlda hisоblandi. Natijalar quyidagi 3.5-3.8-rasmlarda aks ettirilgan. Taqdim etilgan grafiklarda c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka yuqori qatlamlari qalinligi h 1 = 0,001 ga tеng hamda c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka quyi qatlami qalinligi h 2 = 0,05 qiymat qabul qilingan. Har bir rasmdagi grafiklar vaqtning t=0.25; 0.35; 0.5 paytlari uchun hisоblangan va bitta kооrdinat sistеmasiga jоylashtirilgan. C hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka quyi qatlamining bo’ylama U 2 va ko’ndalang W 2 ko’shishlari uchun оlingan natijalar (3.5-3.8- rasmlar) dan ko’rinadiki, qatlamlar matеriallari elastik bo’lishiga qaramasdan bo’ylama va ko’ndalang ko’shishlar kооrdinata o’sib bоrishi bilan so’nuvchi xaraktеrga ega. Dеmak, c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkaning yuqori qatlamlari quyi qatlam nuqtalari ko’shishlari uchun so’ndiruvchi vazifasini o’taydilar. Taqdim etilgan rasmlarning hammasida vaqtning dastlabki paytlarida (Masalan t=0.25 bo’lganda) c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkaning x =0 chеtida ko’shishlarning qiymatlari nisbatan kichik bo’lgani hоlda vaqtning o’sishi bilan ular juda tеz o’sganligini ko’rish mumkin. Masalan, yuqori qatlam tеkstоlit bo’lganida (3.8-rasm) U 2 bo’ylama ko’shishning qiymatlari 65 vaqtning t=0.25; 0.35; 0.5 qiymatlariga mоs ravishda 0,0002; 0,0006; 0,0027 kabi o’sib bоradi. 3.5-Rasm. Vaqtning t=0.25; 0.35; 0.5 paytlari uchun yuqori qatlami po’lat , quyi qatlami alyuminiy bo’lgan ikki qatlamli plastinka quyi qatlami nuqtalarining bo’ylama U 2 ko’shishlari grafiklari 3.6-Rasm. Vaqtning t=0.25; 0.35; 0.5 paytlari uchun yuqori qatlami po’lat , quyi qatlami alyuminiy bo’lgan ikki qatlamli plastinka quyi qatlami nuqtalarining bo’ylama W 2 ko’shishlari grafiklari 3.7-Rasm. Vaqtning t=0.25; 0.35; 0.5 paytlari uchun yuqori qatlami alyuminiy , quyi qatlami po ’ lat bo’lgan ikki qatlamli plastinka quyi qatlami nuqtalarining bo’ylama U 2 ko’shishlari grafiklari 3.8-Rasm. Vaqtning t=0.25; 0.35; 0.5 paytlari uchun yuqori qatlami alyuminiy , quyi qatlami po’lat bo’lgan ikki qatlamli plastinka quyi qatlami nuqtalarining bo’ylama U 2 ko’shishlari grafiklari Tеkstda yonma-yon kеltirilgan 3.9 va 3.10, 3.11 va 3.12-rasmlar mоs ravishda sоlishtirib ko’rilsa, c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka ning 66 quyi qatlami ko’ndalang W 2 ko’shishlari ikki qatlamli elastik plastinka bo’ylama U 2 ko’shishlariga nisbatan qariyib 10 baravar katta ekanliklarini kuzatish mumkin. C hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka ning quyi qatlami nuqtalarining ko’ndalang W 2 ko’chishlari, xuddi bo’ylama U 2 ko’chishlar kabi, yuqori qatlam matеriallariga bоg’liq. Endi c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka ning yuqоri qatlami nuqtalaridagi bo’ylama va ko’ndalang ko’chishlarni hisоblash natijalari asоsida qurilgan bоg’lanishlarni tahlil qilamiz. C hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka yuqori qatlami ko’chishlari uchun o lingan sоnli natijalar 3.9-3.10 rasmlarda c hetlari bikr mahkamlangan plastinka yuqori qatlami ko’chishlari grafiklari ko’rinishida kеltirilgan. Sоnli hisоblarda c hetlari bikr mahkamlangan plastinka yuqori qatlami qalinligi h 1 = 0,001 ga tеng hamda c hetlari bikr mahkamlangan plastinka quyi qatlami qalinligi h 2 = 0,05 qiymatlar qabul qilingan. Hamma rasmlardagi grafiklar vaqtning t=0.25; 0.35; 0.5 paytlari uchun va bo’ylama kооrdinatadan bоg’liq ravishda hisоblangan va taqqоslash оsоn bo’lishi uchun bitta kооrdinat sistеmasida qaralgan. C hetlari bikr mahkamlangan plastinka yuqori qatlamining U 1 bo’ylama va W 1 ko’ndalang ko’chishlari uchun оlingan natijalardan (3.9-3.10-rasmlar) ko’rinadiki, c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinka antisimmetrik tebranishlarida ikki qatlamli plastinka matеriallari elastik bo’lishiga qaramasdan c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinka yuqori qatlamida bo’ylama va ko’ndalang ko’shishlar kооrdinata o’sib bоrishi bilan so’nuvchi xaraktеrga ega. Uchbu effеkt 3.9 va 3.10 rasmlarda kеltirilgan grafiklarda yaqqоl ko’rinadi, mustasnо yuqori qatlam alyuminiy bo’lgan hоl. Bu effеktdan shunday xulоsa chiqarish mumkin: c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinka quyi qatlami yuqori qatlam nuqtalari ko’shishlari uchun so’ndiruvchi vazifasini o’taydilar. Rasmlarda vaqtning bоshlang’ish qiymatlarida, misоl uchun t=0.25 bo’lganda, c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning x =0 chеtida plastinka yuqоri qatlami bo’ylama U 1 va ko’ndalang W 1 ko’shishlarining qiymatlari nisbatan kichik bo’lgani hоlda vaqtning o’sishi bilan ko’chishlarning sеzilarli darajada o’sganligini kuzatish 67 mumkin. Xususan, c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkada yuqori qatlam po’lat bo’lgan holda (3.9 a-rasm) U 1 bo’ylama ko’shishning maksimal qiymatlari vaqtning t=0.25; 0.35; 0.5 paytlarida mоs ravishda 0,2; 0,25; 1,6 larga tеng. a) b) c) 3.9-Rasm. Vaqtning turli t=0.25; 0.35; 0.5 paytlari uchun tashqi qatlamlari a) po’lat;b) alyuminiy; v) tеkstоlit va to’ldiruvshi qatlami pоlimеr bo’lgan uch qatlamli plastinkaning yuqоri yuk ko’taruvshi qatlami nuqtalarining bo’ylama U 1 ko’shishlari grafiklari Agar c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinka antisimmetrik tebranishlarida c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning yuqori qatlami ko’chishlari uchun keltirilgan 3.9 va 3.10 rasmlar mоs ravishda sоlishtirib ko’rilsa c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning y uqоri qatlami 68 ko’ndalang W 1 ko’shishlari bo’ylama U 1 ko’shishlariga nisbatan po’lat va alyuminiy uchun qariyb o’n baravar tеkstоlit uchun esa ikki baravar katta ekanliklarini ko’rsatadi. C hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinka antisimmetrik tebranishlarida c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinka yuqоri qatlam nuqtalarining ko’ndalang W 1 ko’shishlari, qatlamlar matеriallaridan juda kuchli bоg’liq. Xususan vaqtning t=0.5 qiymati uchun x =0.2 kеsimda W 1 ning qiymati, tashqi qatlamlar tеkstоlit bo’lgandagiga nisbatan tashqi qatlamlar po’lat bo’lganda 150 % ga, alyuminiy bo’lganda esa 200 % ga farq qiladi (3.19 a),b),v)- rasmlar). a) b) c) 3.10-Rasm. Vaqtning turli t=0.25; 0.35; 0.5 paytlari uchun tashqi qatlamlari a) po’lat;b) 69 alyuminiy; v) tеkstоlit va to’ldiruvshi qatlami pоlimеr bo’lgan uch qatlamli plastinkaning yuqоri yuk ko’taruvshi qatlami nuqtalarining ko’ndalang W 1 ko’shishlari grafiklari Bu yеrdan ko’rinadiki c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinka antisimmetrik tebranishlarida qatlam matеrialining elastiklik mоduli qansha katta bo’lsa uning nuqtalarining ko’ndalang ko’shishlari shunsha kishik bo’ladi. Shunday qilib uchbu paragraf dоirasida еchilgan masalaning sоnli tahlili taklif etilgan tеbranishlar tеnglamalari va ko’shishlar uchun chiqarilgan fоrmulalar c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinka antisimmetrik tebranishlarida plastinka qatlamlarining turli matеriallari uchun qatlamlar kеsimlaridagi kuchlangan-dеfоrmatsiyalangan hоlatni to’la aniqlash imkоnini bеradi. Bu c hetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinka antisimmetrik tеbranishlari hisоbining yaratilgan matеmatik mоdеlidan muhandislik amaliyotining tadbiqiy masalalarini yеshish uchun qo’llash mumkin ekanligini ko’rsatadi. 70 UMUMIY ХULOSALAR « Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning antisimmetrik tebranishlari » mavzusidagi magistrik dissеrtatsiya ishi bo’yisha o’tkazilgan tadqiqоtlar natijalari quyidagicha asоsiy xulоsalarni qilishga imkоn bеradi: 1. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning tashqi dinamik yuklar tasiridagi antisimmetrik tebranishlari haqidagi amaliy masalalarni yеchish uchun masalaning qo’yilishini, tеbranish tеnglamalarini ishlab chiqishni va chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning antisimmetrik tebranishlari da ikki qatlamli plastinka qatlamlari nuqtalarining kuchlangan- deformasiyalangan holatini hisoblash algоritmini yaratishni o’z ichiga оlgan yangi va samarali matеmatik mоdеl va hisоblash mеtоdikasi ishlab chiqildi; 2. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning sоddalashtiruvshi faraz va gipоtеzalardan fоydalanmasdan tashqi dinamik yuklar tasiridagi antisimmetrik tebranishlari umumiy tеnglamalaridan, xususiy hоlda, muhandislik amaliyoti uchun yarоqli, S.P.Timоshеnkо tipidagi aniqlashtirilgan hamda tartibi ikkidan katta bo’lmagan klassik tipdagi tеbranish tеnglamalari, shuningdеk chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning tashqi dinamik yuklar tasiridagi antisimmetrik tebranish tenglamalari dan bir qatlamli elastik plastinkaning antisimmеtrik tеbranish tеnglamalari оlindi; 3. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning tashqi dinamik yuklar tasiridagi antisimmetrik tebranishlari tеnglamalari hamda kuchlanganlik deformasiyalanganlik hisоbi algоritmi asоsida, umumiy hоlda turli tabiatli tashqi dinamik yuklar ta’siridagi plastinkalar tеbranishlari uchun yangi, bоshlang’ish- chеgaraviy masalalar shakllantirildi; 4. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning tashqi dinamik yuklar tasiridagi antisimmetrik tebranishlari da plastinka qatlamlari nuqtalarining ko’ndalang ko’chishlari bilan bir qatоrda bo’ylama ko’chishlari ham paydо bo’ladi va ular ko’ndalang ko’chishlarga nisbatan dеyarli o’n barobar kam qiymatga egalar. Shuning uchun chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli 71 plastinkaning tashqi dinamik yuklar tasiridagi antisimmetrik tebranishlari da bo’ylama ko’chishlarni hisоbga оlmaslik mumkin; 5. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning tashqi dinamik yuklar tasiridagi antisimmetrik tebranishlari xar ikkala qatlam matеriallari ham elastik bo’lgan hоlda tеbranishlar shastоtasining to’lqin sоnidan bоg’liqligini to’g’ri prоpоrtsiоnal dеb hisоblash mumkin. Bunda to’lqin sоnining fiksirlangan qiymatida, quyi qatlam qalinligining оshishi tеbranishlar shastоtasining o’sishiga оlib kеladi. 6. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning tashqi dinamik yuklar tasiridagi antisimmetrik tebranishlari da quyi qatlam matеriali uchun uning qоvuchоq-elastiklik xususiyati hisоbga оlingan hоlda ham taklif etilgan mоdеl asоsida bajarilgan shastоtaviy tahlil katta hisоb rеsurslarini talab etmaydi; 72 ADABIYOTLAR RO’YXATI 1. Александров А.Я ., и другие Расчеты элементов авиационных конструкций. Трехслойные пластины и оболочки.- М.: Машиностроение 1985. 2. Горшков А.Г., Старовойтов Э.И., Яровая А.В. Механика слоистых вязкоупруго пластических элементов конструкций-М.:Физматлит, 2005.- 576 с 3. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. – М.: Наука, 1977. – 416 с. 4. K.Khudoynazarov , and S . R . Yaxshiboyev The mathematical model of transverse vibrations of the three-layer plate IOP Conference Series: Earth and Environmental Science, Volume 614, 1 st International Conference on Energetics, Civil and Agricultural Engineering 2020 14-16 Oktober 2020, Tashkent, Uzbekistan DOI: 10.1088/1755-1315/614/1/012062. 5. Амбарцумян С.А. Теория изгиба анизотропных пластин // Известия АН СССР, Отд. Техн. Наук, 1958, №4. 6. Ren J.G., 1986. A New Theory of Laminated Plate. Composite Science and Technology, 26,3, 225-239. Available at: https://doi.org/10.1016/0266- 3538(86)90087-4 7. Филиппов И.Г., Филиппов С.И. Уравнения колебания кусочно – однородной вязкоупругой пластинки переменной жесткости // МТТ АН СССР. – 1989. – №5. – С. 149 – 157. 8. Шевченко В.П., Алтухов Е.В., Фоменко М.В. Упругие колебания трехслойных пластин в случае плоского торца // ISSN 1025-6415. Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 8. 2012. -61-66 pp. 9. Усаров М.К., Ниязова Н.А. Изгиб и колебания трехслойных пластин с ортотропным заполнителем. // Проблемы архитектуры и строителъства. Самарканд-2013г. №2,. С.48-53. 73 10. Усаров М.К., Ниязова Н.А. Определение контактных напряжений трехслойных пластин при изгибе // Журнал Проблемы архитектуры и строителъства, 2005. - С.84-87. 11. Филиппов И.Г., Чебан В.Г. Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней. – Кишинев; «Штиинца», 1988. – 190 с. 12. Филиппов И.Г., Филиппов С.И. Колебательные и волновые процессы в сплошных сжимаемых средах. – М.: «Производственно – издательский комбинат ВИНИТИ», 2007. – 429 с. 13. Худойназаров Х.Х., Амиркулова Ф.А. Взаимодействие цилиндричских слоев и оболочек со связанными полями. – Ташкент, Изд – во «Навруз». 2011. – 336 с. 14. Худойназаров Х.Х., Ялгашев Б.Я. Взаимодействие цилиндрических слоев и оболочек с вязкой жидкостью. Изд-во LAMBERT Academic Publishing. 2017 – 138 с. 15. Худойназаров, Х.Х., Абдирашидов, А., Буркутбоев, Ш.М., 2016. Моделирование крутильных колебаний вязкоупругого круглого стержня, вращающегося с постоянной угловой скоростъю, Мат. моделир. и числ. методы , 9, 38–51. 16. Худойназаров, Х., Буркутбоев, Ш.М., 2017. Математическая модель крутильных колебаний вращающегося цилиндрического слоя с учетом внут-ренней вязкой жидкости, Мат. моделир. и числ.методы ,16, 31-47. Availableat: https://doi.org/10.18698/2309-3684-2017-4-3147 . 17. Егорычев О.А., Егорычев О.О. Краевые задачи колебания пластин: монография // ГОУ ВПО Москва. Гос.Строит. Ун – т. М.: МГСУ, 2010.– 167 с. 18. Khudoynazarov, K.K. Filippov, I.G. & Zavyalov ,V.M. 1997. The boundary conditions on an end of cylindrical cover by a longitudinal oscillation. Teoretycan epodstawy budownictwa, Warszawa, 1998, 49-55 р . 19. Филиппов И.Г., Чебан В.Г. Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней. – Кишинев; «Штиинца», 1988. – 190 с. 74 20. Худойбердиев З.Б. Нестационарные колебания трехслойных композитных пластин. Дисс.на соис.уч.степ.докт.философии (PhD), Самарканд, 2019. 21. Шевченко В.П., Алтухов Е.В., Фоменко М.В. Упругие колебания трехслойных пластин в случае плоского торца // ISSN 1025-6415. Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 9. 2011. -70-77 pp. 22. Altukhov E.V., Fomenko M.V. Elastic vibrations of sandwich plates with diaphragms at the edges // International Applied Mechanics, vol.50, No.2, March, 2014. -179-186 pp. 23. Алтухов Е.В., Фоменко М.В. Колебания непрерывно-неоднородной по толщине упругой пластины с покрытыми диафрагмой торцами // ISSN 1683-4720.Труды ИПММ НАН Украины, т. 29, 2015.– С.3-9. 24. Алтухов Е.В., Винник А.В. Напряженное состояние анизотропных пластин с торцами, покрытыми диафрагмой // ISSN 1683-4720.Труды ИПММ НАН Украины, том 20, 2010. – С.3-12. 25. Алтухов Е.В., Винник А.В. Напряженное состояние ортотропной прямоуголъной пластины // В i сник Донецъкого нац i оналъного университету. Сер. А: Природнич i науки, вип.2, 2010. - С.29-37. 26. Деев П.О., Лопатин А.В. Определение основной частоты колебаний трехслойной пластины, шарнирно закрепленной в четырех углах // Вестник СибГАУ. Том 16, №1, 2015.-С.41-45. 27. Деев П.О. Определение основной частоты колебаний прямоугольной трехслойной пластины, закрепленной в центральной точке // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени акад. М.Ф.Решетнева, Сер. Математика, механика, информатика.2011- С.25-30. 28. Khalmuradov, R.I., Khudoynazarov, K.K., 2002. Theory of axisym-metrical vibrations of circular cylindrical shells// The 7th Conference “Shell Struc - tures, Theory and Applications”, Gdansk-Jurata (Poland), October 9-11, 2002. Gdansk: Gdansk University of Technology, 131-132 . 75 29. Худойбердиев З.Б., Яхшибоев Ш.Р. Симметричные колебания шарнирно - опертой упругой двухслойной пластинки International Scientific Journal ISJ Theoretical & Applied Science Philadelphia, USA issue 05, volume 85 published May 30, 2020 . - С. 619-625. 30. Худойназаров Х., Яхшибоев Ш.Р. Поперечные гармонические колебания трехслойной пластинки// Проблемы архитектуры и строителъства С. №2 (2-қисм), 2020. – С. 151-156. 31. Khudoynazarov, K., Khudoyberdiyev, Z., 2018. Symmetrical vibrations of a three-layered elastic plate//Int. J. of Advanced Resear ch in Science, Engineering and Technology, Vol.5, Issue 10, 7117-7121. 32. Богданов А.В., Поддаева О.А. Вывод частотного уравнения собственных колебаний упругой трехслойной пластины, два противоположных края которой шарнирно закреплены, а два других свободны // Вестник МГСУ, 4, 2010. - С. 225-231. 33. Мирзакобилов Н.Х. Колебания трехслойных пластин частного вида // Дисс.на соис.уч.степ. канд. наук. – М.: 1992. – 139 с. 34. Петрашень Г.И. Проблемы инженерной теории колебаний вырожденных систем // Исследование по теории упругости и пластичности. – Л.: Изд. ЛГУ, 1966. - №5. – С. 3-33. 35. Петрашень Г.И., Хинен Э. В. Об инженерных уравнениях колебаний неидеально – упругих пластин // “Труды МИАН” Л.: Изд. “Наука”, т. ХС V ., 1968. – С. 151-183. 36. Бадалов Ф.Б. Метод степенных рядов в нелинейной наследственной теории вязкоупругости.-Тошкент: Фан. 1980.-260с. 37. Абдикаримов Р.А. Численное исследование нелинейного колебания вязкоупругой пластины с переменной жесткостъю// Проблемы архитектуры и строительства. – Самарканд, 2010. – №1. – С. 37-42. 38. Абдикаримов Р.А., Худаяров Б.А. Динамическая устойчивость вязкоупругих гибких пластин переменной жесткости при осевом сжатии // Прикладная механика. 2014. №4(50). – С. 41-51. 76 39. Khudayarov B.A., Ruzmetov K., Turaev F., Vakhobov V., Khidoyatova M., Mirzaev S. S., Abdikarimov R. Numerical modeling of nonlinear vibrations of viscoelastic shallow shells . Engineering Solid Mechanics. 2020. 8(3) 199-204. 40. Ширинкулов Т., Индиаминов Р.Ш. Изгиб физически нелинейных вязкоупругих тонких пластин // ДАН Р.Уз, №2, 2007. – С. 20-26. 41. Safarov I.I., Teshayev M.Sh., Boltayev Z.I., Akhmedov M.Sh. Damping Properties of Vibrations of Three-Layer Viscoelastik Plate // Intern. J. of Theoretical and Applied Mathematics, №3(6), 2017. – P.191-198. 42. Ниязова Н.А., Усаров М.К. К теории изгиба и устойчивости трехслойных пластин с ортотропным трехмерным заполнителем. Восьмой Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Пермь, 23-29 август, 2001. - С.458-459. 43. Усаров М.К., Усаров Д.М. К решению задачи изгиба и колебания трехслойных пластин с трехмерным заполнителем//Проблемы архитектуры и строителъства, СамГАСИ – 201 7. – № 3 . – С. 128 -1 32 . 44. Усаров М.К., Усаров Д.М. К решению задачи изгиба и колебания трехслойных пластин с толстым заполнителем// Высшая школа н аучно- практический журнал. – №18 . Уфа.– 2017 г. – С. 40-43. 45. Халмурадов Р.И., Худойназаров Х.Х., Худойбердиев З. Свободные колебания упругой трехслойной пластинки // Узбекский журнал Проблемы механики. 2017. №2. – С. 46-52. 46. Буриев Т., Абдусатторов А., Куракбаев Д.С. Кинетика напряженно- деформированного состояния и поврежденности тонких плит при произвольных переменных нагружениях // Узбекский журнал Проблемы механики. 2001. №1. – С.11-17. 47. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек. – М.: Машиностроение, 1973.-170 с. 48. Xalmurodov R.I., Xudoynazarov X.X. Elastiklik nazariyasi, 2-qism. -Toshkent: “FAN”, 2003.- 162 b . 77 49. Х.Худойназаров, В.А. Скрипняк, Ш. Яхшибоев Нестационарные поперечные колебания трехслойной вязкоупругой пластинки // Проблемы механики Т. №2, 2018. – С. 27-32. 50. Худойназаров Х.Х. Нестационарное взаимодействие цилиндричских оболочек и стержней с деформируемой средой. – Ташкент, Изд – во Мед. Литературы имени Ибн Сино. 2003 – 350 с. 51. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек // Итоги науки и техники. Сер. Механика твердого деформирований тела. Т.5. – М.: ВИНИТИ, 1973. – 272 с. 52. Мирзакобилов Н.Х. Колебания трехслойных пластин частного вида // Дисс.на соис.уч.степ. канд. наук. – М.: 1992. – 139 с. 53. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. - М.: «Наука», 1972-432с. 54. Yaxshiboyev S h .R. Uch qatlamli qovushoq-elastik plastinkalarning antisimmetrik tebranishlari . Falsafa doktori (PhD) Dissertatsiyasi , Samarqand 2021. 55. http://www.edu.uz – ta’lim sayti. 56. http://www.edu.ru – ta’lim sayti. 57. http://www.intuit.ru – masofaviy ta’lim sayti. 58. http://www.eqworld.ru – adabiyotlarning elektron varianti. 59. http://ru.wikipedia.org – erkin ensiklopediya «Vikipediya». 60. http://www.twirpx.com – adabiyotlarning elektron varianti. 61. http://www.ziyonet.uz - adabiyotlarning elektron variantlari 62. http://www.prepodu.net – adabiyotlarning elektron varianti. 78 MUALLIFNING CHOP QILINGAN ILMIY ISHLARI RO‘YXATI 1. Худайбердиев З.Б., Расулов Б.Н., Шаимов К.М., Рахматуллаева Н.Ш . Продольные колебания упругой трехслойной пластины // «Студенческий научный форум 2021» сборник статей Международной научно- практической конференции, состоявшейся 20 октября 2021 г. в г. Пенза , 2 53- с. 2. Расулов Б.Н., Исраилов С.А., Абдусатторова С.Р . Антисимметрич ные колебания двухслойной пластины // XIX Международной научно- практической конференции «Актуальные вопросы современной науки и образования», состоявшейся 20 мая 2022 г. в г. Пенза , Ч. 1. – 264- с. 79

CHETLARI BIKR MAHKAMLANGAN IKKI QATLAMLI PLASTINKANING ANSIMMETRIK TEBRANISHLARI MUNDARIJA KIRISH ………………………………………………… ……………… … . . 3 I-BOB. CHETLARI BIKR MAHKAMLANGAN IKKI QATLAMLI ELASTIK PLASTINKA NOSTATSIONAR ANTISIM- METRIK TEBRANISHLARI HOZIRGI ZAMON HOLATI.... 8 1.1- §. Ko’p qatlamli plastinkalarni hisoblashni statik va dinamik nazariyalari va usullari rivoji …………............................... ……. 8 1.2- §. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkaning antisimmetrik tebranishlari masalasining umumiy qo’yilishi va uni yechish usullari …..……………………………………..… . 19 1.3 - § . Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkaning antisimmetrik tebranishlari masalasi va uning umumiy yechimi 24 II-BOB. CHETLARI BIKR MAHKAMLANGAN IKKI QATLAMLI ELASTIK PLASTINKANING NOSTATSIONAR ANTISIM- METRIK TEBRANISHLARI ………………..……………….. 32 2.1- §. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkaning antisimmetrik tebranishlari tenglamalari ..…………………….. 38 2.2 - §. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka tebranish tenglamalarining ba’zi xususiy hollari ……………… 57 2.3- §. Ikki qatlamli elastik plastinkaning kuchlangan- deformatsiyalangan holatini aniqlash ………………….……… 57 III - BOB . CHETLARI BIKR MAHKAMLANGAN IKKI QATLAMLI PLASTINKANING ANTISIMMETRIK TEBRANISHLARI AMALIY MASALALARI.......................................................... 63 3.1- § Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik tebranishlari amaliy masalalarida chegaraviy va tutashlik shartlari........................................................................ 63 3.2- § Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik garmonik tebranishlari .......................................... 63 3.3 - § Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik tebranishlarining chastotaviy tahlili....................... 63 3.4 - § Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik 63 1

tebranishlari........................................................... ASOSIY XULOSALAR…...……………………………………….……….... 63 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO’YXATI ……...……..………..... 63 2

KIRISH Mavzuning dolzarbligi. Qurilish va mashinasozlikning turli sohalarida qo‘llaniladigan muhandislik qurilmalarining ko‘p qatlamli elementlari dinamikasini o‘rganishga, jumladan, ularning dinamik deformatsiyasini hisoblashning yangi eksperimental modellarini yaratishga, yuqori samarali matematik modellar va zamonaviy raqamli modellarni qo‘llashga katta e’tibor qaratilgan. So‘nggi yillarda jahonning bir qator rivojlangan mamlakatlarida muhandislik inshootlarining og‘irligini kamaytirish va mustahkamligini oshirish uchun ko‘p qatlamli konstruksiya elementlaridan, ularning dinamik xususiyatlarini hisoblashning samarali usullaridan foydalanilmoqda. Shu bois, turli qurilmalarning massasini zamon talablari asosida kamaytirish, ularning chidamliligi va texnologik va konstruksiyaviy ustunligini hamda iqtisodiy samaradorligini ta’minlash muhandis va tadqiqotchilar uchun muhim ahamiyatga ega. Ko'pgina xorijiy mamlakatlarda konstruksiya elementlarining kuchlanish-deformatsiya holatini o'rganish, konstruksiya mustahkamligi muammolarini tizimlashtirish, aviatsiya, kemasozlik, mashinasozlik va qurilishda turli xil tabiatning dinamik ta'sirini o'rganishga alohida e'tibor beriladi. Qatlamli konstruktsiyalar elementlarining statsionar bo'lmagan tebranishlarini, shu jumladan turli xil tashqi statsionar bo'lmagan dinamik yuklarning ta'siri ostida ikki qatlamli plastinkalarning dinamikasini o'rganish uchun butun dunyoda ko'plab tadqiqotlar olib borilmoqda. Texnik qurilmalarning ishonchliligini ta’minlashning yangi matematik modellari va hisoblash usullarini ishlab chiqish va yaratishga, xususan, dinamik yuklar ostida ikki qatlamtli plastinka va qobiq elementlarini hisoblashga alohida e’tibor qaratilmoqda. Har xil tebranish jarayonlarining matematik modellarini yaratish, aerokosmik, yer, yer osti va boshqa muhandislik inshootlarining KDH elementlarini yuqori aniqlikda aniqlash, shuningdek, deformatsiyalanuvchi qattiq jism mexanikasi sohasida raqamli tadqiqotlar zarur. Muhim vazifalardan biri qurilmalarning, jumladan, ikki qatlamli elastik plastinalardan foydalanadigan qurilmalarning yuk ko'tarish qobiliyatini amalga 3

oshirish uchun qurilma elementlarining deformatsiyalanish jarayonlarini aks ettiruvchi istiqbolli matematik modellarni ishlab chiqishdir. Dissert at siy a ishida t adqiqot ob’ek t i v a predmet i. Dissertatsiyada turli vaqtga bog‘liq o‘zgaruvchan yuklar ta’sirida elastik ikki qatlamli plastinkaning simmetrik tebranishlarini o‘rganish tadqiqot ob’ekti va predmeti hisoblanadi. Tebranishlar bo’ylama xarakterga ega bo'lganda, bunday elementlarda yuzaga keladigan bo'ylama deformatsiya to'lqinlarining o'ziga xos xususiyatlarini hisobga olgan holda tarqalishini raqamli tahlil qilishdan iborat. Tebranish tenglamalarini tuzish, xususiy chastotalarni topish, xususiy amplitudalarni aniqlash va topish masalalarini hal qilish uchun qurilmaning yuqoridagi elementlarining plastinka, sterjen va qobiq yoki silindrsimon qobiqdagi chiziqli bo'ylama deformatsiya to'lqinlarining tarqalishini raqamli tahlil qilishda siqilmaydigan yopishqoq suyuqlikni o'z ichiga olgan cheksiz kengaytirilgan chiziqli bo'lmagan viskoelastik silindrsimon qobiqda chiziqli bo'ylama deformatsiya to'lqinlarining tarqalishi bo'yicha ushbu tadqiqotlarning tebranish naqshlari dissertatsiya mavzusidir. Bitiruv malakaviy ishning mavzusi chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning ansimmetrik tebranishlariga topilgan fizik-mexanik xususiyatlarini qo'llashdir. Ishning maqsad va vazifalari Ushbu magistrlik dissertatsiyasining asosiy maqsadi tashqi dinamik yuklanishlar ta’sirini hisobga olgan holda ikki qatlamli elastik plastinkaning statsionar bo‘lmagan bo’ylama tebranishlarini hisoblashning matematik modelini ishlab chiqishdan iborat; plastinka kesimining ixtiyoriy nuqtalarining kuchlanish-deformatsiya holatini aniqlash algoritmini ishlab chiqish; 4

ishlab chiqilgan usuldan impulsli va boshqa yuklanishlar ta'siri ostidagi ikki qatlamli plastinlarni hisoblash uchun ishlatish. Magistrlik dissertatsiya ishining asosiy vazifalari qilib quyidagilar belgilangan: • dinamik yuk lanish lar ta’siri ostidagi ikki qa tlamli elastik plast inka ning statsionar bo‘lmagan bo’ylama tebranishlarini hisoblashning matematik modelini ishlab chiqish; • ikki qatlamli elastik plastinka ko‘ndalang kesimining ixtiyoriy nuqtalarining kuchlangan-deformatsiya langan holatini aniqlash algoritmini ishlab chiqish; • dinamik yuklar ta'siridagi ikki qatlamli plastinkaning tebranishlariga doir yangi amaliy masalalar qo'yish va tegishli hisoblash metodini ishlab chiqish. Ikki qavatli plastinkaning garmonik tebranishlari va turli chegara shartida dinamik yuklarning ta'siri ostida majburiy tebranishlarning o'ziga xos muammolarini hal qilish usullarini ishlab chiqish; • chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning geometrik va fizik-mexanik harakteristikalarining kuchlanish tenzori va ko chish vektoriʼ komponentalarining ko ndalang kesim ixtiyoriy nuqtasidagi vaqt va koordinatadan ʼ bog lanish qonuniyatlariga ta sirini tadqiq qilish; ʼ ʼ Tadqiqot ning ilmiy y angiligi. quyidagilardan iborat: • elastik ikki qatlamli plastinkaning statsionar bo'lmagan ko'ndalang tebranishlarini tashqi dinamik yuklanishlar ta'sirini hisobga olgan holda hisoblashning matematik modeli kletirib chiqarilgan; • chetlari bikr mahkamlangan ikki qavatli elastik plastinka ko‘ndalang kesimining ixtiyoriy nuqtalarining kuchlangan-deformatsiyalangan holatini fazoviy koordinatalar va vaqt bo‘yicha kerakli aniqlikda hisoblashning samarali algoritmi yaratilgan; • dinamik yuklar ta’sirida ikki qatlamli plastinka tebranishlarining yangi amaliy masalalari va turli dinamik yuklar ta’sirida ikki qatlamli plastinkaning 5

Похожие

CHETLARI BIKR MAHKAMLANGAN IKKI QATLAMLI PLASTINKANING SIMMETRIK TEBRANISHLARI
BIR CHETI BIKR MAHKAMLANGAN IKKINCHISI SHARNIRLI TAYANGAN IKKI QATLAMLI PLASTINKANING SIMMETRIK TEBRANISHLARI
SHARNIRLI TAYANGAN IKKI QATLAMLI PLASTINKANING ANTISIMMETRIK TEBRANISHLARI
CHETLARI SHARNIRLI MAHKAMLANGAN UCH QATLAMLI QOVUSHOQ-ELASTIK PLASTINKANING SIMMETRIK TEBRANISHI
TEBRANISHLARDAN HIMOYALANUVCHI ELASTIK PLASTINKANING DINAMIKASINI VA USTIVORLIGINI TEKSHIRISH MASALALARI