logo

CHETLARI SHARNIRLI MAHKAMLANGAN UCH QATLAMLI QOVUSHOQ-ELASTIK PLASTINKANING SIMMETRIK TEBRANISHI

Загружено в:

12.08.2023

Скачано:

0

Размер:

705.9765625 KB
CHETLARI SHARNIRLI MAHKAMLANGAN UCH QATLAMLI
QOVUSHOQ-ELASTIK PLASTINKANING SIMMETRIK TEBRANISHI
MUNDARIJA
KIRISH …………………………………………..………………............. 3
I-Bob. PLASTINKALARNI HISOBLASH NAZARIYALARI ......……. 5
1.1-§. P lastinkalar   tebranishlari   to’g’risida   o’tkazilgan   tadqiqotlar
sharhi …………………………………………………………….. 5
1.2-§. Plastinkalar nazariyasining asosiy munosabatlari va tenglamalari 10
1.3-§. Plastinkalarga qo’yiladigan tashqi kuchlar  …… ......................... ..
13
I-bob bo’yicha xulosa…..………………………………………...
17
II-Bob. UCH   QATLAMLI   QOVUSHOQ-ELASTIK   PLASTINKA-
NING SIMMETRIK TEBRANISHLARI...................................... 18
2.1-§. Uch   qatlamli   qovushoq-elastik   plastinkaning   simmetrik
tebranishlari.................................................................................... 18
2.2-§. Uch   qatlamli   qovushoq-elastik   plastinkaning   simmetrik
tebranishlari haqidagi masalaning qo’yilishi................................. 19
2.3-§. Uch   qatlamli   qovushoq-elastik   plastinkaning   simmetrik
tebranishlari taqribiy tenglamalari................................................ 23
I I -bob bo’yicha xulosa………………………………………… .
31
III-Bob. UCH   QATLAMLI   QOVUSHOQ-ELASTIK   PLASTINKA-
NING   SIMMETRIK   TEBRANISHLARI   AMALIY
MASALALARI............................................................................. 32
3.1-§. Uch qatlamli qovushoq-elastik  plastinka uchun chegaraviy 
shartlarning qo’yilishi.................................................................... 32
3.2-§. Uch   qatlamli   qovushoq-elastik   plastinka   uchun   erkin
tebranishlar chastotasini aniqlash.................................................. 34
3.3-§. Chetlari   s harnirli   mahkamlangan   uch   qatlamli   qovushoq-elastik
plastinkaning simmetrik tebranishlariga doir amaliy masalalar..... 35
I II -bob bo’yicha xulosa …………………………………..………
40
ASOSIY XULOSALAR............................................................................. 45
ADABIYOTLAR RO’YXATI.................................................................... 46
1 KIRISH
Bitiruv   malakaviy   ishida   masalaning   qo’yilishi .   Ushbu   bitiruv   malakaviy
ishida   chetlari   sharnirli   mahkamlangan   uch   qatlamli   qovushoq-elastik
plastinkaning   simmetrik tebranishlari   masalasi   qo’yilgan.
Bunda   uch   qatlamli   plastinka   nostatsionar   simmetrik   tebranishlarida   vujudga
keladigan   kuchlanganlik-deformatsiyalanganlik   holatini   plastinka   bir   jinslimas   va
uch qatlamli ekanligini hisobga olgan holda aniqlash masalasi qaralgan.
Mavzuning   dolzarbligi.   Uch   qatlamli   qovushoq-elastik   plastinka
muhandislik   qurilmalarining   tarkibiy   qismlarini   tashkil   etadilar.   Bundan   tashqari
bunday   plastinkalar   ko’plab   qurilish   materiallari   elementlari   hamdir.   Shunday
holda bu plastinkalar turli xil dinamik tashqi ta’sirlar ostida ishlaydilar va ularning
kesimlarida   turli   xil   yuklanishlar   vujudga   keladi.   Plastinkadagi   ana   shunday
yuklanishlarni   aniqlash   masalasi   mexanikaning   dolzarb   masalalaridandir.   Amaliy
masalalarda   ana   shunday   yuklar   ta’siri   ostidagi   plastinkalardagi   kuchlanganlik-
deformatsiyalanganlik holatlarini aniqlash muhim ahamiyat kasb etadi.
Ishning   maqsad   va   vazifalari .   Mazkur   bitiruv   malakaviy   ishining   asosiy
maqsadi   uch   qatlamli   qovushoq-elastik   plastinkaning   simmetrik   tebranish
tenglamalarini   keltirib   chiqarish,   tadqiq   qilish   va   ular   asosida   qaralayotgan
plastinkaning   nostatsionar   simmetrik   tebranishlari   taqribiy   tenglamalarini   ishlab
chiqishdan   iboratdir.   Bunda   tadqiqotni   klassik   va   aniqlashtirilgan   tebranish
tenglamalariga   mos   ravishda   plastinka   qatlamlaridagi   kuchlanganlik-
deformatsiyalanganlik   holatini   aniqlashga   imkon   beruvchi   algoritm   yaratish   talab
etiladi.   Ana   shulardan   kelib   chiqqan   holda   bitiruv   malakaviy   ishining   asosiy
vazifalari qilib quyidagilar belgilangan: 
 Uch   qatlamli   qovushoq-elastik   plastinkaning   simmetrik   tebranish
tenglamalari uchun umumiy tenglamalarni keltirib chiqarish;
 Kuchlanish   va   deformatsiya   tenzorlari   hamda   ko’chish   vektori
komponentalari   uchun   plastinka   qatlamlari   nuqtalaridagi   kuchlanganlik-
deformatsiyalanganlik holatini talab etilgan aniqlikda aniqlash algoritmini yaratish;
 Uch   qatlamli   qovushoq-elastik   plastinkaning   simmetrik   tebranish
tenglamalari   amaliy   masalalarni   yechish   uchun   yaroqli   bo’lgan   texnik   yoki
boshqacha aytganda taqribiy tenglamalarini hosil qilish;
2 Olingan natijalar asosida ilmiy xulosalar chiqarish va amaliy tavsiyalar ishlab
chiqish.
Ishning  ilmiy  tadqiqot   usuli .   Asosiy   tadqiqot  usuli  sifatida  G.I.Petrashen  –
I.G.Filippovning   tadqiqot   jarayonida   aksioma   va   gipotezalarni   foydalanmasdan
tenglamalarni   chiqarish   metodi,   Fur’e   va   Laplasning   integral   almashtirish
metodlari,   shuningdek   tadqiqotchilar   tomonidan   qayta-qayta   sinovdan   o'tgan
boshqa analitik va tadribiy hisoblsh usullaridan foydalanilgan.
Ishning ilmiy-amaliy ahamiyati.   Hozirgi zamon texnikasi, qurilish, yer osti
va yer usti inshoatlari, aviatsiya, kemasozlik va boshqa juda ko’plab sohalarda uch
qatlamli   qovushoq-elastik   kompozit   plastinka   qurilish   inshoatlari   va   muhandislik
qurilmalarining asosiy elementlaridan biri sifatida ishlatiladi. 
Yuqorida   aytilganlar   uch   qatlamli   qovushoq-elastik   plastinkaning   simmetrik
tebranish masalasini tadqiq qilish, ularning tebranish chastotasi, amplitudasi, shakli
va   boshqa   xarakteristikalarini   aniqlash   muhim   amaliy   ahamiyatga   ega   ekanligini
ko’rsatadi. 
Bitiruv   malakaviy   ishining   tuzilishi.   Bitiruv   malakaviy   ishi   kirish,   uchta
bob,   xulosa   hamda   foydalanilgan   adabiyotlar   ro’yxatidan   iborat   bo’lib   50
kompyuter  sahifasida bayon qilingan.
Olingan   natijalarning   qisqacha   mazmuni.   Uch   qatlamli   qovushoq-elastik
plastinka   simmetrik   tebranish   tenglamalarini   aksariyat   hollarda   sodda   yechimlar
asosida   tadqiq   qilingan.   Shu   sababli   uch   qatlamli   qovushoq-elastik   plastinka
simmetrik   tebranishlari   haqidagi   masalalarni   yangicha   yo’nalishda   tadqiq   etish
masalasi  keyingi vaqtlarda katta ilmiy va amaliy ahamiyatga ega bo’lmoqda. Shu
nuqtai   nazardan   qaraganda   bitiruv   malakaviy  ishida   qaralgan   va   yechilishi   uchun
tadqiq etilgan tenglamalarning ilmiy ahamiyati birinchidan uch qatlamli qovushoq-
elastik   plastinkaning   xususiyatlari   hisobga   olinganligi   va   ikkinchidan   masalani
yechish uchun yangi usullarning qo’llanilishi bilan xarakterlanadi.
3 I-BOB.
PLASTINKALARNI HISOBLASH NAZARIYALARI
1.1. Plastinkalar tebranishlari to’g’risida o’tkazilgan tadqiqotlar sharhi
Qurilish   va   texnikaning   juda   ko’p   sohalarida,   xususan   fuqaro   qurilishi,
mashinalar   yasash   va   boshqa   sohalarda   muhandislik   konstruksiyalarining
mustahkamligini   oshirish,   metall   sarfini   va   quvvat   birligiga   to’g’ri   keluvchi   sarf-
xarajatlarni kamaytirish muhim ahamiyatga ega.
Bunday   masalalarni   yechish   uchun   mustahkamlik   muammolari   bo’yicha
nazariy   va   eksperimental   tadqiqotlarni   kengaytirish,   muhandislar   tayyorlashni
amalga oshirish va ushbu yo’nalishda tayyorlanayotgan ilmiy va pedagok xodimlar
bilimlarini yanada chuqurlashtirish talab etiladi. 
Mexanikaning   muvozanat   holatidagi   yoki   harakatdagi   qattiq   jismning   tashqi
fizik   ta’sirlar   natijasida   deformatsiyalanishi   va   bunda   vujudga   keladigan   ichki
kuchlarni   (kuchlanishlarni)   o’rganadigan   bo’limi   elastiklik  nazariyasi   deb  ataladi.
Plastinka   va   qobiqlar   nazariyasi   fani   elastiklik   nazariyasining   tadbiqiy   masalalari
hisoblanadi.
Xuddi shunday masala  “Materiallar  qarshiligi” kursida ham yechiladi. Lekin
ushbu   umumiy   masalani   yechish   metodlari   “Materiallar   qarshiligi”   va   “Elastiklik
nazariyasi”   kurslarida   bir-birlaridan   juda   keskin   ravishda   farq   qiladi.   Materiallar
qarshiligi   kursida   ushbu   masala   asosan   brus   uchun   qator   geometrik   va   fizik
xarakterdagi,   gipoteza   va   farazlar   asosida   yechiladi.   Ushbu   usul   hamma   hollarda
aniq   bo’lmasa   ham,   kuchlanishlarni   hisoblash   uchun   yetarli   darajadagi   sodda
formulalarni chiqarishga imkon beradi.
Elastiklik   nazariyasi   esa   isbotlanmagan   gipoteza   va   farazlardan
foydalanmasdan   faqat   jismning   kuchlanganlik-deformatsialanganlik   holatini
(KDH)   aniqlash   masalasi   bilan   shug’ullanadi.   Elastiklik   nazariyasida   jismning
shakliga   chegaralanishlar   qo’yilmaydi,   ya’ni   ixtiyoriy   shaklga   ega   bo’lgan   jism
uchun   asosiy   masalaning   (KDH   ni   aniqlash)   mumkin   bo’lgan   aniq   yechimini
olishga imkoniyat yaratiladi.
4 Ushbu   qisqa   tavsifdan   elastiklik   nazariyasida   materillar   qarshiligi   metodlari
bilan   yechib   bo’lmaydigan   masalalar   qaralishini   ko’rish   qiyin   emas.   Ammo
bundan   elastiklik   nazariyasida   hech   qanday   gipoteza   va   farazlar   qo’llanilmaydi
degan   xulosa   kelib   chiqmasligi   kerak.   Elastiklik   nazariyasida   qo’llaniladigan
gipoteza   va   farazlar   ko’lamlarining   kengligi   bilan   farq   qiladi,   hamda   hisoblash
metodlarini ishlab chiqishda materiallar qarshiligi kursidagiga nisbatan ancha aniq
matematik apparatdan foydalaniladi.
Plastinka   va   qobiqlar   nazariyasida   taqribiy   metodlardan   ham   foydalaniladi.
Ana   shunga   bog’liq   ravishda   elastiklik,   matematik   va   amaliy   nazariyalarini
farqlaydilar.   Elastiklik   amaliy   nazariyasi   qator   qo’shimcha   farazlarga   asoslanadi.
Elastiklik   matematik   nazariyasi   ham   qo’shimcha   gipotezalarni   qabul   qilmagani
bilan,   o’rganilayotgan   obyektni   u   yoki   bu   darajada   abstraktlashtirmasdan   iloji
yo’q. Tabiatda mavjud, real qattiq jismlar shunday bir model sifatida qaraladiki, bu
model   qaralayotgan   qattiq   jismning   ma’lum   bir   sharoitlar   uchungina   xarakterli
bo’lgan   asosiy   va   umumiy   xossalarinigina   o’zida   mujassamlashtirgan   bo’ladi.
Qattiq   jismning   qabul   qilingan   modelining   xususiyatlaridan   bog’liq   ravishda
elastiklik nazariyasi uchga bo’linadi: klassik, chiziqli va chiziqlimas nazariyalar.
Elastiklik   klassik   nazariyasi   modeli:   1)   tutashlik;   2)   ideal-elastiklik;   3)
kuchlanishlar   va   deformasiyalar   orasidagi   bog’lanishning   chiziqliligi;   4)   yetarli
darajada   bikrlik   (ko’chishlarning   kichikligi);   5)   bir   jinslilik;   6)   izotropik
xususiyatlariga ega bo’lgan qattiq jismning KDH ga tekshiradi.
Elastiklik   chiziqli   nazariyasi   klassik   nazariyaga   nisbatan   kengroq   bo’lib,
modeli   yuqoridagi   xususiyatlardan   faqat   birinchi   to’rttasiga   ega   bo’lgan   qattiq
jismlarning   KDH   ni   tekshiradi.   Chiziqlimas   nazariya   uchun   esa   yuqoridagi
xususiyatlardan   faqat   birinchi   ikkitasi   muhimdir.   Umuman   elastiklik   nazariyasini
o’rganish   tarixiy   nuqtai   nazardan   birlamchi   va   mukammal   ishlangan   chiziqli
nazariyadan boshlanishi kerak. Shuning uchun ham ushbu darslik elastiklik chiziqli
nazariyasi   asoslarini   bayon   qilishga   bag’ishlangan.   Elastiklik   nazariyasining
rivojlanishida   boshlang’ich   nuqta   sifatida   XVII   asr   boshida   G.Galiley   tomonidan
5 yechishga harakat qilingan brusning cho’zilishi va siqilishi haqidagi masalani olish
mumkin.
Guk (Hooke) qonunining (1660-y.) kashf etilishi va umumiy tenglamalarning
Nav’e   (Navies,   1821)   tomonidan   o’rnatilishi   elastiklik   nazariyasining
G.Galileydan   keyingi   rivojlanishida   ikki   muhim   bosqich   bo’ldi.   Guk   va   u   bilan
deyarli   bir   vaqtda   Mariott   (Fransiya)   tomonidan   kuchlanishlar   bilan
deformatsiyalar   orasidagi   bog’lanishlarning   asoslanishi   elastiklik   nazariyasining
zarur   eksperimental   asosini   berdi.   Umumiy   tenglamalarning   topilishi   esa   elastik
jismlarning   kichik   deformatsiyalariga   tegishli   katta   masalalarni   matematik
hisoblashlarga keltirish imkonini yaratdi.
Plastinka   va   qobiqlar   nazariyasining   paydo   bo’lishini   Yakov   Bernulli,
Sh.O.Kulon,   L.Eyler,   T.Yung,   J.L.Lagrang,   Sofi   Jermenlarning   ishlari   bilan
bog’lash mumkin.
Robert   Gukdan   bir   yarim   asr   keyin   Tomas   Yung   XIX   asrning   boshida
cho’zilish va siqilishda elastiklik moduli tushunchasini kiritdi va cho’zilish-siqilish
hamda   siqilish   deformatsiyalari   orasidagi   farqni   aniqladi.   Elastik   plastinkalarning
egilishi   va   tebranishlari   haqidagi   masalalar   yechimlari   Sofi   Jermen   va   Jozef
Lagranjlar   tomonidan   berilgan   bo’lsa,   S.Puasson   va   L.   Nav’elar   plastinkalar
nazariyasini mukammalashtirdilar.
Umuman   fan   asoslari   deyarli   bir   vaqtda   Nav’e   (1821),   Ko’shi   (1822)   va
Puasson   (1829)   lar   tomonidan   ishlab   chiqildi.   Bir-birlarining   ishlaridan   xabarsiz
holda   ular   ushbu   nazariyaning   hamma   asosiy   tenglamalarini   keltirib   chiqardilar.
Bularning   ichida   O.Ko’shining   ishlari   alohida   o’rin   tutadi.   Chunki   xuddi   Ko’shi
tomonidan birinchi marta deformatsiya va kuchlanish tushunchalari kiritildi, qattiq
jism   muvozanatining   differensial   tenglamalari   o’rnatildi.   Shuningdek   chegaraviy
shartlar, deformatsiyalar va ko’chishlar orasidagi munosabatlar, izotrop jism uchun
kuchlanishlar   va   deformatsiyalar   orasidagi   bog’lanishlar   ham   Ko’shi   tomonidan
o’rnatildi.   Ana   shu   davrda   Puasson   tomonidan   bir   jinsli   izotrop   muhitda
tarqaluvchi   ikki   xil   to’lqin   (ko’ndalang   va   bo’ylama   to’lqinlar)   mavjudligi
isbotlandi.
6 Plastinka   va   qobiqlar   nazariyasi   masalalarini   yechish   juda   katta   matematik
qiyinchiliklarni   keltirib   chiqaradi.   Masalaning   xuddi   shu   tomoni   o’sha   davrning
ulug’   matematik   olimlarining   e’tiborini   o’ziga   qaratdi.   Elastiklik   matematik
nazariyasining   asosiy   apparati   fransuz   olimlari   va   muhandislari   G.Lame   va
B.Klapeyronlarning ilmiy ishlarida o’z aksini topdi. Elastiklik nazariyasining juda
ko’p   masalalari   fransuz   mexanigi   Sen-Venan   o’zining   nomi   bilan   ataluvchi
prinsipini   e’lon   qilgandan   keyin   yechimlariga   ega   bo’ldilar.   Ushbu   prinsip
vositasida Sen-Venan elastiklik  nazariyasi masalalarini  yechishning juda samarali
uslubini   taklif   qilib   hamda   balkalarning   buralishi   va   egilishi   muammolarini
umumiy nazariya bilan bog’ladi.
Nazariyaning rivojlanishida Grinning ishlari juda katta ahamiyatga ega bo’ldi.
U   1829-yilda   elastik   jismning   xususiyatlari   to’g’risida   hech   qanday   gipotezalar
kiritmasdan   energiyaning   saqlanish   prinsipi   asosida   kuchlanishlar   va
deformatsiyalar orasidagi bog’lanish qonuniyatini taklif etadi. Xuddi shu ish o’sha
vaqtda muammoli bo’lgan va juda ko’p tortishuvlarning sababchisi bo’lgan elastik
o’zgarmaslar soni to’g’risidagi masalani uzil-kesil hal qildi.
Elastiklik   nazariyasini   Kirxgoff,   A.Lyav   (Love),   Foxt,   Gers,   Michell,
A.V.Gadolin,   S.Golovin   va   V.L.Kirpichevlarning   tadqiqotlari   yanada   yuqori
pog’onaga   olib   chiqdi.   Rus   olimlaridan   L.G.Bubnov   defferensial   tenglamalarni
integrallash   yangi   taqribiy   metodini   ishlab   chiqdi   va   bu   metod   keyinchalik
B.G.Galerkin tomonidan rivojlantirildi. Hozirgi kunga kelib Bubnov-Galerkinning
variatsion   metodi   juda   keng   tarqalgan.   B.G.Galerkinning   tadqiqotlarini   davom
ettirgan P.F. Papkovich qator muhim yangi natijalarni qo’lga kiritdi.
Kompleks   o’zgaruvchili   funksiyalar   nazariyasini   elastiklik   nazariyasining
tekis masalasini  yechishga  G.V. Kolosov qo’lladi  va bu tadqiqotlarni  keyinchalik
N.I.Musxelishvili davom ettirib ajoyib natijalarga erishdi. Elastiklik nazariyasining
rivojlanishiga   A.N.Dinnik,   L.S.Leybenzon   va   V.Z.Vlasovlarning   tadqiqotlari
natijalari ham katta ta’sir ko’rsatdi.
O’zbekistonda   ham   elastiklik   nazariyasining   tadbiqi   bo’lgan   “Plastinka   va
qobiqlar   nazariyasi”   bilan   qator   olimlar   shug’ullanishgan   va   hozirgi   paytda   ham
7 ilmiy   tadqiqotlar   olib   borishmoqda.   Ularning   birinchi   qatorlarida   akademiklar
X.A.Rahmatullin,   M.T.O’rozboyev,   V.Q.Qobulov,   T.Sh.Shirinqulov,
T.R.Rashidovlar turadilar.
Moskva   davlat   universiteti   “Gaz   va   to’lqin   dinamikasi”   kafedrasining
asoschisi, O’zFAning akademigi Xalil Axmedovich Rahmatullin (Rahmatullayev)
ning   ilmiy   tadqiqotlari   o’zining   juda   keng   ko’lami   bilan   ajralib   turadi.   Uning
tomonidan   birinchi   marta   fanda   “Rahmatullin   to’lqini”   nomi   bilan   mashhur
yuksizlash   to’lqini,   parashyut   nazariyasi,   ko’p   fazali   muhitlar   modeli,   tuproq
mexanikasi modellari yaratilgan.
Bundan   tashqari   X.A.Rahmatullin   ilmiy   ishlarining   asosiy   yo’nalishlari
elastik   va   plastik   muhitlarda   to’lqinlarning   tarqalishi,   ko’p   fazali   va   ko’p
komponentli   muhitlarning   harakat   nazariyasi,   yorib   kiruvchi   jism   aerodinamikasi
va   boshqalardir.   Sanab   o’tilgan   barcha   yo’nalishlarda   X.A.Rahmatullinga
fundamental   ilmiy   natijalar   tegishli.   U   haqli   ravishda   ko’p   fazali   muhitlarning
o’zaro   kirishish   harakati   nazariyasining   asoschisi   hisoblanadi.   Portlashda   paydo
bo’ladigan   gaz-changli   oqimdagi   tovushdan   tez   parvoz   haqidagi   masala
X.A.Rahmatullin   tomonidan   birinchi   marta   qo’yilgan   va   yechilgan.   Ushbu
nazariya   gidrotexnika,   kimyo   texnologiyalari   va   atom   energetikasi   sohalarida
amaliyotga muvaffaqiyatli qo’llanilmoqda.
Akademik   M.T.O’rozboyev   O’zbekistonda   mexanika   fanining
tashkilotchilaridan   biri.   Ilmiy   ishlari   zilzilalar   va   inshootlarning
zilzilabardoshligini   aniqlash   va   oshirishga   qaratilgan.   O’tgan   asrning   40-yillarida
M.T.O’rozboyev   tomonidan   O’zFAning   inshootlar   instituti   tashkil   etildi   va   bu
institut faoliyatining asosiy yo’nalishlari belgilab berildi. Hozirgi kunda bu institut
M.T.O’rozboev   nomidagi   “Mexanika   va   inshootlarning   zilzilalabardoshligi
institute”   deb   ataladi.   O’z   faoliyati   davomida   bu   institut   yuzlab   fan   nomzodlari,
o’nlab fan doktorlari va akademiklarni yetishtirdi.
Ushbu institut akademik M.T.O’rozboyevning rahbarligida qator o’ta muhim
ilmiy natijalarni qo’lga kiritdi.  Xususan seysmodinamika nazariyasi ishlab chiqildi
va   deformatsiyalanuvchi   qoplamalarda   siljish   to’lqinlarining   nostatsionar
8 difraksiyasi   haqidagi   masalaning   fundamental   yechimlari   topildi;   inshootlarning
tuproqli   asos   bilan   o’zaro   ta’siri   haqidagi   to’lqin   masalasini   yechish   uchun
chegaraviy   elementlar   metodining   yangi   ko’rinishi   yaratildi;   aerogidrodinamika
sohasida   turbulent   chegaraviy   qatlam   va   bosib   keluvchi   oqimning   tezligi   chiziqli
ravishda   o’zgarganda   qattiq   zarrachalarning   olib   ketilish   xossalari   topildi;
mashinalar   va   mexanizmlar   nazariyasida   variatorga   boshqaruvchi   ta’sirni   topish
metodi ishlab chiqildi va h.k.
Hozirgi   vaqtda   X.A.Rahmatullin,   M.T.O’rozboyev   T.Sh.Shirinqulov,
T.Bo’riyevlarning   ilmiy   ishlari   ularning   shogirdlari,   akademiklar   T.R.Rashidov,
M.Mirsaidov   hamda   professorlar   K.S.Sultonov,   B.Mardonov,   R.I.Xalmuradov,
X.Xudoynazarov,   A.Axmedov,   K.Ismoilov   va   boshqa   olimlarimiz   tomonidan
davom ettirilmoqda.
Hozirgi   zamon   texnikasining   juda   tez   sur’atlar   bilan   rivojlanishi
deformatsialanuvchi   jismlar   mexanikasi   oldiga   yangidan-yangi,   tobora   murakkab
masalalarni   qo’ymoqda.   Shu   paytgacha   ishlatib   kelingan   an’anaviy   materiallar
yuqori bosimli va yuqori haroratli o’ta murakkab sharoitlarda ishlatilmoqda, yangi-
yangi   materiallar,   har   xil   yuqori   haroratlarga   chidamli   qotishmalar,   kompozit
materiallar, o’ta mustahkam va yuqori modulli tolalar amaliyotda qo’llanilmoqda.
Bu   o’zgarishlar   elastik   model   bilan   bir   qatorda   deformatsiyalanuvchi   qattiq
jismning   boshqa   modellarini   ham   yaratishga,   xususan   plastinka   va   qobiq simon
muhandislik qurilmalari hisobida ishlab chiqilganiga ancha vaqt bo’lgan plastiklik,
qovushoq elastiklik, siljuvchanlik (polzuchest) nazariyalari metodlarini qo’llashga,
jismda yuzaga  keladigan kuchlanishlar  o’zgaruvchan bo’lgan hollarda  statistik va
ehtimollik uslublaridan foydalanishga olib kelmoqda.
Elementlari plastinka ko’rinishida bo’lgan har xil qurilmalar texnikaning turli
sohalari da keng qo’llaniladi. 
1.2. Plastinkalar nazariyasining asosiy munosabatlari va tenglamalari
Deformatsiyalanuvchi   qattiq   jismlarning   o’zaro   dinamik   ta’siri   haqidagi
masalalarni   tadqiq   etishda,   xususan,   tutash   muhit   bilan   o’zaro   ta’sirlashuvchi
9 plastinkalar   tebranishlarini   tadqiq   etishda     plastinka   uchun     hal   qiluvchi
tenglamalar   sifatida   asosan   tebranish   taqribiy   tenglamalari   qabul   qilinadi.
Yuqorida   sanab   o’tilgan   avtorlar   ishlarning   aksariyat   ko’pchiligida   turli   xil
gipotezalarga   asoslanib   chiqarilgan   taqribiy   tenglamalar   ishlatilgan.   Bunday
gipotezalar   xususan   Krixgoff-Lyav   gipotezalari,   harakat   tenglamalari
strukturalarini sezilarli darajada soddalashtirishga olib keladi.  
S.P.Timoshenko   tipidagi   aniqlashtirilgan   tebranish   tenglamalarini   keltirib
chiqarishda ham fizik va   geometrik harakterdagi turli xil gipoteza va farazlardan
foydalaniladi.Shuning uchun ham ishlatishga qabul qilingan tebranish nazariyasiga
bog’liq   ravishda   olib   borilayotgan   tadqiqotlarning   turli   xil   yo’nalishlari   paydo
bo’ldi. 
Tebranish   tenglamalarini   keltirib   chiqarishga   hamda   deformatsiyalanuvchi
qattiq   jismlar   tebranishlari   uchun   aniqlashtirilgan   nazariyalarini   ishlab   chiqishda,
xususan   plastinkalarning   tebranish   nazariyalarini   ishlab   chiqishga   bag’ishlangan
ilmiy tadqiqotlar tahlili hamda bu muammolarning turli yo’nalishlari batafsil tahlili
[1,2] ishlarda keltirilgan.
Shuni   ta’kidlash   lozimki,   plastina   va   sterjen   tipidagi   muhandislik
konstruksiyalari   elementlarining   o’zaro   va   tutash   muhit   bilan   ta’sirlashuvining
ko’p sonli muammolari juda ko’p tadqiqotchilar tomonidan o’rganilgan. 
Muhandislik konstruksiyalari elementlarining tebranishlar nazariyalari hamda
taqribiy   tenglamalarini   keltirib   chiqarish   masalalari   prof.   I.G.Flippov   va   uning
o’quvchilari   [3,4,5]   tomonidan   ishlab   chiqilgan.   Bu   ishlarda   qovushoq-elastiklik
nazariyasining   masalalarini   uch   o’lchovli   asosda   qo’yish   yo’li   bilan   qovushoq-
elastik plastina va doiraviy sterjenlarning ko’ndalang erkin tebranish tenglamalari
keltirib chiqarilgan. 
Shuningdek bunday tenglamalar o’rab turuvchi muhit va ishqalanish kuchini
hisobga olgan holda ham chiqarilgan. Bunda plastina va sterjenlarning anizotropik
xossalari   va   harorat   ta’siri   ham   (bog’liq   nazariya)     hisobga   olingan.   Olingan
umumiy   tenglamalar   asosida   klassik   (Krihgoff-Love)   va   aniqlashtirilgan
S.P.Timoshenko   tipida   hamda   boshqa   koordinata   va   vaqt   o’zgaruvchilariga
10 nisbatan yanada yuqoriroq hosilalarni o’z tarkibida saqlovchi yanada yuqori tartibli
tenglamalar chiqarilgan.
Ishlab   chiqarilgan   umumiy   va   aniqlashtirilgan   tenglamalar   asosida   amaliy
ahamiyatga   ega   masalalar   yechilgan.   Bu   masalalar   qobiqlar,   plastinalar   va
sterjenlarning   erkin   va   majburiy   tebranishlarini   tadqiq   etishga   bag’ishlangan.
Dinamik impulsli tashqi yuklar ta’siri ostidagi chiziqli qovushoq-elastik va terma-
qovushoq-elastik   muhit   dinamikasini   har   xil   analitik   usullar   bilan   tadqiq   etish
natijalari   keltirilgan.   Bunday   natijalar   to’lqin   maydoni   asosiy   parametrlarini   fizik
fazoning turli nuqtalarida vaqtning istalgan payti uchun aniqlashga imkon beradi.
Ushbu yo’nalishda [6] maqolani alohida ko’rsatib o’tish lozim. Chunki bu ish
mazkur   magistrlik   dissertatsiyasida   qaralgan   masalalarga   to’g’ridan-to’g’ri
aloqador   va   unda   silindrik   qatlam,   qobiq,   sterjenlarning   tebranishlari   nazariyalari
yoritilgan. Avvalo shuni ta’kidlash lozimki, ushbu monografiyada ishlab chiqilgan
usul  prof. I.G.Flippov tomonidan  [4]  monografiya doirasida plastina  va sterjenlar
uchun   ishlab   chiqilgan   edi.   Professor     X.Xudoynazarov   tomonidan   ushbu   usul
plastinka va qobiqlar uchun rivojlantirildi. 
Ko’rsatilgan   ishda   birinchi   marta   qatlamning   tebranishlari   haqidagi
ma’lumotlarni ( informatsiyani  ) o’zida saqlovchi  va tashuvchi  asosiy sirt sifatida
qatlamning,   klassik   nazariyalardagi   kabi   o’rta   sirti   emas,   balki   oraliq   sirti
kiritilgan.   Ushbu   oraliq   sirt,   kiritilgan   χ   parametrning   ma’lum   bir   qiymatlarida
qatlamning   ichki   va   tashqi,   yoki   o’rta   sirtiga   o’tishi   mumkin.   Bunda   χ
parametrning   qiymatlari   spektri   uzluksiz   bo’lib   yuqoridan   va   pastdan
chegaralangan.   Bu   yerda   olingan   tenglamalar,   klassik   yoki   S.P.Timoshenko
tipidagi   tenglamalardan   farqli   ravishda   aylanish   inertsiyasi   va   ko’ndalang   erkin
siljish deformatsiyasi effektlarini avtomatik tarzda hisobga oladi. 
Shuni   takidlash   lozimki,   asosiy   sirt   sifatida   silindrik   qatlamning   o’rta   sirti
qabul qilinishi zarur degan davodan voz kechish, bundan oldingi ma’lum bo’lgan
nazariyalarga   nisbatan   ancha   katta   aniqlikda   kinematiik   va   dinamik   kontakt
shartlarini ifodalashga imkon beradi. Ma’lumki, bunday kontakt shartlari silindrik
11 qatlam,   qobiq   va   sterjenlarning   deformatsiyalanuvchi   muhit   bilan   o’zaro
ta’sirlashuvi masalalarida paydo bo’ladi. 
Plastinka   va   qobiqlar   nazariyasining   har   xil   tenglamalari   mavjud   bo’lib,
ularning farqi boshlang‘ish geometrik va fizik gipotezalar asosida qurilgan xususiy
nazariyalardan,   ularning   qo’llanilish   sohasi,   ularning   geometrik   shakli   va
foydalanilayotgan   koordinatalar   sistemasidan   bog‘liq   bo’ladi.   Elastiklik
nazariyasining   ba’zi   chiziqli   va   nochiziqli   effektlarini   aniqlash   va   tahlil   qilish
uchun qobiq yoki plastinkaning kichik egilishlarini qarash ba’zida yetarli bo’ladi,
boshqa hollarda esa qobiqning geometrik va fizik nochiziqlilik xossalarini hisobga
olgan   holda   muhitning   juda   katta   shakl   o’zgarishlarini   qarash   zarur   bo’ladi.
Mavjud   barcha   variantlar   ichidan   quyida   faqat   plastinkalar   nochiziqli
nazariyasining tenglamalarini va o’qqa nisbatan simmetrik  doiraviy tenglamalarini
keltirib o’tamiz.
Ma’lumki,  q=q(x,y)   -   tekis   taqsimlangan   ko’ndalang   erkin   kuch   ta’sirida
plastinka   o’rta   qatlami   egiladi,   hosil   bo’lgan     egrilanish   sirtining     egilishi	
w=w(x,y)
 kabi belgilanadi. 
Plastinkada   eguvchi   va   burovchi   momentlardan   tashqari  	
τxy
  va  	τyz   urinma
kuchlanishlar natijasi sifatida 	
Qx  va 	Qy  ko’ndalang erkin kuchlar paydo bo’ladi.
1.3. Plastinkaga qo’yiladigan tashqi kuchlar
Dinamik   yuklanish   deb   shu   yuklanish   ta’sirida   ko’chish   olgan   jismning
inertsiya   kuchi   sezilarli   qiymatga   erishib,   qurilmaga   ta’sir   etayotgan   boshqa
kuchlar   bilan   bir   qatorda   hisob   jarayonida   e’tiborga   olinishi   zarur   bo’lgan
yuklanishga   aytiladi.   Dinamik   yuklanishlar   ta’sir   etish   xarakteriga   qarab   davriy
yoki nodavriy bo’lishi mumkin [7].
Davriy   yuklanish   qurilmaga   ko’p   marta   ta’sir   qiladi   va   ko’pincha   garmonik
qonuniyat   bilan   o’zgaradi.   Bunday   yuklanishlar   inshootning   ishida   yoki   uning
yaqinida   turgan   har   xil   mexanizmlar   (masalan,   mashinalar,   stanoklar   va   shu
kabilar)ning   ta’siri   natijasida   yuzaga   keladi.   Bunday   yuklanish   ta’siridagi
12 qurilmalar elementlari hisobi, odatda, ularning tebranish parametrlarini aniqlash va
qurilma   elementining   rezonans   holatini   yo’qotish   masalalariga   olib   kelinadi.
Bunday holda, albatta, qurilma elementining elastik tebranishlarigina o’rganiladi.
Dinamik yuklanishlarning muhim kategoriyalaridan biri bu inshoot asosining
tebranishi natijasida yuzaga keluvchi seysmik yuklanishdir.
Davriy   yuklanishlardan   farqli   qurilma   elementlariga   ta’sir   etuvchi   qisqa
muddatli dinamik yuklanishlar ham mavjud bo’lib, ular odatda bir marta ta’sir etib,
yuqori bosimda va vaqtning mikro yoki millisekund ulushlarida ta’sir etishi bilan
xarakterlanadi. Inshootlar va qurilmalar  elementlariga ta’sir etuvchi  bunday qisqa
muddatli   yuklanishlar   portlash   yoki   zarba   (portlash   to’lqinlari,   og‘ir   jismlarning
qulab   tushishi   natijasida   yuzaga   keluvchi   har   xil   zarbalar   va   hokazo)   ta’sirida
yuzaga   keladi.   Bunday   yuklangan   qurilmalar   elementlari   hisobi   ularning
mustahkamligini   aniqlash   masalasiga   olib   kelinadi,   bunda   ko’p   hollarda   qurilma
elementi elastik holatdan noelastik holatga o’tishi va yetarlicha kattalikdagi plastik
deformatsiyalarga erishishi mumkin.
Davriy   yuklangan   qurilmalar   elementlari   hisobi   tebranishlar   nazariyasi   va
harakatning ustivorligi nazariyasi fanida mukammalroq o’rganiladi. Shuning uchun
mazkur  ishda  nodavriy qisqa  muddatli   intensiv  dinamik yuklanishlar   (portlash  va
zarba)   ta’siridagi   qurilmalar   elementlari   hisobi   masalalarini   o’rganish   maqsadga
muvofiq bo’ladi.
Qisqa   muddatli   dinamik   yuklanishlar   ko’p  hollarda   havoda,   tuproqda,   suvda
tarqalayotgan  portlash  to’lqinlarining qurilma elementiga  ta’siri  natijasida  yuzaga
keladi. Portlash to’lqinlari odatda bevosita portlash natijasida hosil bo’ladi.
Portlash deb qo’qqisdan moddaning holati yoki uning parametrlari o’zgarishi
natijasida   tez   energiya   ajralish   jarayoniga   aytiladi.   Moddaning   holati   kimyoviy
(portlovchi modda) yoki yadroviy reaksiyaning tezkor o’tishi natijasida o’zgarishi
mumkin.
Portlash   yuklanishlari   bosimning   vaqt   bo’yicha   o’zgarish   qonuni   bilan
xarakterlanadi,   bunda   eng   asosiy   parametrlar:   maksimal   bosim,   uning   ko’tarilishi
va yuklanish ta’sirining davomiyligi.
13 Portlash   to’lqinlari   zarba   to’lqinlari   ko’rinishida   tarqalib,   uning   bosimi,
zichligi,   temperaturasi,   tezligi,   muhit   zarrachalarining   harakati   hamda   maydonida
sakrab o’zgaradi. Havodagi zarba to’lqinlari siqilgan gaz ballonlari, bug‘ qozonlari
va   shu   kabilarning   portlasi   natijasida   yuzaga   keladi.   Tuproq   yoki   suvda   esa   bu
to’lqinlar   shu   parametrlari   ketma-ket   o’zgaruvchan     siquvchi   to’lqin   ko’rinishida
tarqaladi.   To’lqinning   parametrlari   (bosim,   ta’sir   vaqti,   tarqalish   tezligi   va   shu
kabilar)   manbaning   portlash   energiyasi   va   massasidan   hamda   atrof   muhit   (havo,
tuproq, suv) turidan va kimyoviy reaksiyaning o’tish jarayonidan bog‘liq bo’ladi.
Yuqorida   ta’kidlaganimizdek,   havodagi   zarba   to’lqini   qattiq   portlovchi
moddaning portlashi, yadroviy portlash, siqilgan gaz ballonlari, bug‘ qozonlari va
shu   kabilarning   portlashi   natijasida   yuzaga   keladi.   Hisob   jarayonining   asosiy
masalasi   bu   berilgan   zaryad   massasida   yoki   portlash   energiyasida   portlash
markazidan   ma’lum   masofadagi   zarba   to’lqinining   parametrlarini   aniqlashdan
iborat. Bunda qurilma elementi hisobi uchun eng muhim bo’lgan zarba to’lqinidagi
bosimning vaqt bo’yicha o’zgarishini aniqlash zarur.
Ko’pgina   maxsus   inshootlar,   metro,   inshootlarning   va   qurilmalarning   ba’zi
elementlari   yer   ostida   quriladi.   Ana   shunday   qurilmalar   elementlari   seysmik
tuproqda tarqalayotgan portlash to’lqinlari ta’siriga uchraydi. 
Havodagi   va   yer   ustidagi   portlashdan   paydo   bo’lgan   yer   qatlami   sirtida
tarqalayotgan havo zarbali to’lqinining ta’siri natijasida tuproqda to’lqin tarqalishi
sodir bo’ladi. Bunday siquvchi  to’lqinning parametrlari uni paydo qiladigan havo
zarbali to’lqinining parametrlaridan va tuproq xarakteristikalaridan bog‘liq.
Deformatsiyalanuvchi   qattiq   jism   biror   modelining   qo’llanilishi   uning
impulsli yuklanishi xarakteridan va jismning geometrik shaklidan bog‘liq. Impulsli
yuklanish   “bir   lahzada”   yuklanishning   o’sishi,   undan   keyin   esa   uning   keskin
kamayishi   bilan   xarakterlanadi.   Shunday   qilib,   impulsli   yuklanishni   uning   ta’sir
vaqtiga   teng   bo’lgan   chekli   oraliqda   noldan   farqli   kuch   deb   ifodalash   mumkin.
Impulsli   yuklanishning   tabiati   xilma-xil:   u   qobiqning   to’lqin   tarqalayotgan   muhit
bilan   o’zaro   ta’siridan   yoki   qobiq   bilan   bevosita   tutashib   turgan   muhitda   yuz
beradigan portlash yoki zarba natijasida paydo bo’lishi mumkin. O’zaro ta’sirning
14 boshlang‘ich   bosqichida   to’lqinning   o’tishi   natijasida   qobiqning   siqilishi   yuz
beradi, ya’ni elastik jism teng taqsimlangan bosim ta’sirida bo’ladi. Bunday o’zaro
ta’sir   ma’lum   aniqlikda   jism   bo’lagi   sirtining   simmetrik   impulsli   yuklanishi   deb
qaralishi mumkin. 
Agar   tashqi   bosim  R
c     miqdorga   nisbatan   kichik   bo’lgan  	     vaqt   intervali
davomida qo’yilgan bo’lsa, u holda qobiqning qalinligi bo’yicha deformatsiyaning
to’lqin   jarayonida   tarqalishini   e’tiborga   olmasa   ham   bo’ladi,   bu   yerda     R   -
qobiqning egrilik radiusi;  c  - tovish tezligi bo’lib, bunda  	
θ	>>	h
c  deb faraz qilinadi;
h   -   qibiq   qalinligi.   Odatda  	
θ	>	3h
c   qiymatlarda   gidroelastiklik   masalalaridagi
qurilmalar   elementlari   uchun   qobiqlar   nazariyasini   qo’llash   mumkin.   Bunday
holda yuklanishning ta’siri 	
v=	I
m  normal tezlik boshlang‘ich momentidagi qobiqqa
berilgan   ta’sirga   ekvivalent,   bunda  	
I=∫
0
θ
q(t)dt   -   nisbiy   impuls;   m   -   qobiq   birlik
sirtining   massasi.   Bu   yerda   bosim   o’zgarishi   qonunining   ahamiyati   yo’q.
Hisoblarimizda bunday yuklanishni  impulsli yuklanish  deb ataymiz.
Hisob   jarayonlarida   foydalaniladigan   q ( t )   funksiyaning   ifodasi   qurilmaning
to’lqin  fronti  harakati   yo’nalishiga  nisbatan  joylashishiga,   yuklanish  manbasining
uzoqligiga,   qurilma   elementining   deformatsiyalanuvchi   muhitga   chuqur
botirilishiga bog‘liq. 
15 I-bob bo’yicha qisqacha xulosa
Mazkur   bitiruv   malakaviy   ishining   birinchi   bobida   plastinkalarni   hisoblash
nazariyalari   to’g’risida   o’tkazilgan   ayrim   tadqiqotlarning   qisqacha   sharhi   keltirib
o’tilgan.   Plastinkalar   nazariyasining   asosiy   munosabatlari   hamda   tenglamalari,
plastinkalarga qo’yiladigan tashqi dinamik kuchlar haqida ma’lumotlar o’rganildi.
Deformatsiyalanuvchi   qattiq   jismlar   tebranishlari   aniqlashtirilgan   va   klassik
nazariyalarini   ishlab   chiqishda,   xususan   chetlari   sharnirli   mahkamlangan   uch
qatlamli plastinkalarning tashqi dinamik yuklar ta’siridagi simmetrik tebranishlari
nazariyalarini   ishlab   chiqishga   bag’ishlangan   ilmiy   tadqiqotlar   tahlili   hamda   bu
muammolarning turli yo’nalishlar bo’yicha batafsil tahlili yoritilib berildi. Birinchi
bobning   uchinchi   paragrafida   plastinkalarga   qo’yiladigan   tashqi   kuchlar,   shu
kuchlarning   qo’yilishi   natijasida   plastinkada   hosil   bo’ladigan   simmetrik
tebranishlar   va   ularning   tenglamalarini   hosil   qilishda   zarur   bo’ladigan   tushuncha
va ko’nikmalar olindi.
16 II-BOB.
UCH QATLAMLI QOVUSHOQ-ELASTIK PLASTINKANING
SIMMETRIK TEBRANISHLARI
2.1. Uch qatlamli qovushoq-elastik plastinkaning simmetrik tebranishlari 
Zamonaviy   texnikalarda   va   qurilish   sohasida   uch   qatlamli   plastinkalar   keng
qo’llaniladi. Bunda juda ko’p hollarda plastinkalar tashqi dinamik va statik yuklar
ta’siri   ostida   ishlaydi   va   ularni   hisoblash   Kirxgoff   gipotezalariga   asoslangan
klassik nazariyaga tayangan holda olib boriladi [8].
Plastinkalar   nazariyasining   rivojlanishida   ko’plab   olimlar   o’z   ishlari   orqali
katta xissalarini  qo’shishgan. Bajarilgan barcha tadqiqot ishlarini ikki yo’nalishga
ajratish   mumkin.   Bular   asimtotiklik   nazariyasi   hamda     Timoshenko   va   Reyssner
tipidagi   nazariyalardir.   Oxirgi   bir   necha   o’n   yilliklarda   aniq   yechimlar   usuliga
asoslangan ko’plab plastinka tebranishlari nazariyalari ishlab chiqildi.
Bu   aniq   yechimlar   usuli   bilan   professor   I.G.Filippov   va   uning   o’quvchilari
professor   X.X.Xudoynazarov,   N.Mirzaqobilov,   O.A.Egorchevlar   o’z   tadqiqot
ishlarini olib borishgan.Ularning tadqiqot ishlarida   simmetrik strukturaga ega bir
jinsli   va   uch   qatlamli   plastinkalarning   turli   xildagi   tebranish   nazariyalari   ishlab
chiqilgan.   Bu   tadqiqot   ishlaridagi   tebranish   tenglamalarini   ishlab   chiqishda,
izlanuvchi kattaliklar sifatida plastinka to’ldiruvchi qatlami o’rta sirti ko’chishlari
komponentalarining   bosh   qismlari   qabul   qilingan.   Bunda   noma’lum
izlanuvchilarga   nisbatan   taqribiy   tenglamalar   olingan.   Taqribiy   tebranish
tenglamalarini olishda quyidagi farazlarga tayanilgan:
1)   qaralgan   uch   qatlamli   plastinkalar   faqat   simmetrik   strukturaga   ega   deb
tadqiq qilingan;
2)  plastinka to’ldiruvchi qatlami  o’rta sirti ko’chishlari komponentalarining
bosh qismlari izlanuvchi kattaliklar sifatida qabul qilingan;
3)   to’diruvchi   qatlam   o’rta   sirti   ko’chishlarining   bosh   qismlariga   nisbatan
chegaraviy shartlar shakllantirilgan;
4)   bir   qancha   hadlarni   hisobga   olmaslik   orqali   muhim   soddalashtirishlar
amalga   oshirilgan.   Bu   esa   o’z   navbatida   uch   qatlamli   plastinkaning   olingan
17 natijaviy tebranish tenglamalarini bir jinsli plastinkaning tebranish tenglamalariga
juda yaqin holatga keltirgan;
5)   ushbu   tadqiqot   ishlarida   ishlab   chiqilgan   uch   qatlamli   plastinkaning
tebranish   tenglamalari,   xususiy   holda,   ikki   qatlamli   plastinkaning   tebranish
tenglamalariga   o’tmaydi,   chunki   qaralayotgan   uch   qatlamli   plastinkaning
strukturasi   simmetrikligi   uchun,   plastinka   tashqi   qatlamlaridan   birining   olib
tashlanishi  avtomatik tarzda ikkinchi tashqi qatlamning yo’qotilishiga olib keladi.
Xuddi   shunday,   agar   to’ldiruvchi   qatlam   olib   tashlansa   ikki   chetki   qatlamlar
birlashib yana bir jinsli yagona qatlamga aylanadi.
Mazkur dissertatsiya ishida qo’yilgan masala yuqoridagi aniq yechimlar usuli
bilan   yechilgan.   Masalani   tekis   masala   sifatida   qarab   uch   qatlamli   elastik
plastinkaning   tashqi   dinamik   yuklar   ta’siridagi   tebranishlari   tenglamalari   ishlab
chiqilgan.   Tadqiqot   ishida   ixtiyoriy   strukturaga   ega   uch   qatlamli   plastinka
qaralgan.
Izlanuvchi   kattaliklar   sifatida   plastinka   to’ldiruvchi   qatlami   o’rta   sirti   emas
balki “oraliq sirti”: ko’chishlari komponentalarining bosh qismlari qabul qilingan.
Chegaraviy   shartlar   to’diruvchi   qatlam   va     chetki   qatlamlar   kontakt   sirtlari
ko’chishlarining   bosh   qismlariga   nisbatan   shakllantirilgan.   Uch   qatlamli
plastinkaning ishlab chiqilgan tebranish tenglamalari, xususiy holda, ikki qatlamli
plastinkaning   tebranish   tenglamalariga   o’tadi.   Sanab   o’tilgan   afzalliklardan     eng
asosiysi   bo’lib   qaralayotgan   uch   qatlamli   kompozit   plastinkaning   simmetrik
strukturaga ega emasligi hisdoblanadi.
2.2. Uch qatlamli qovushoq-elastik plastinkaning simmetrik tebranishlari
haqidagi masalaning qo’yilishi
Chekli o’lchamdagi tashqi dinamik yuklar ta’siridagi uch qatlamli plastinkani
qaraymiz.   Plastinkani   dekart   koordinatalar   sistemasida   deb   qaraymiz.
Qaralayotgan   konstruksiya   egilishga   ishlaydi   deb   hisoblaymiz.   Tashqi   dinamik
yuklar   ta’sirida   uch   qatlamli   plastinkaning   chetki   qatlamlari   ma’lum   masofalarga
siljiydi hamda shu bilan birga o’rta qatlamni ham ma’lum masofaga siljitadi. O’rta
18 qatlam sifatida yengil material olinadi. Bu qatlam dastlabki ikki qatlamni ma’lum
masofada ushlab turadi hamda ularning birgalikdagi ishini tashkil etadi.
Agar   plastinkaning   sof   egilishi   haqidagi   masaladan   boshqa   masalalar
qaralayotgan   bo’lsa,   u   holda,   tushunish   qiyin   emaski,   tashuvchi   qatlamlarning
birgalikdagi ishi to’ldiruvchining nisbiy siljishga qarshilik ko’rsatish xususiyatidan
bog’liq bo’ladi. Shundan kelib chiqqan holda, tashuvchi  qatlamlar va to’ldiruvchi
qatlam orasidai kontaktlarni bikr deb hisoblaymiz. 
                  Plastinka   tekis   deformatsiya
holatida   deb   hisoblaymiz.   Uch
qatlamli   plastinkani   Oxyz   to’g’ri
burchakli   dekart   koordinatalar
sistemasiga   kiritamiz   (1-rasm).   Bu
yerda   Ox   o’qini   Oxz   ko’ndalang
kesimning o’rta chizig’i 
bo’ylab yo’naltiramiz,  Oz  o’qini esa yuqoriga qarab yo’naltiramiz.
Plastinka   qatlamlarini   xuddi   1-rasmdagidek   qilib   raqamlaymiz,   ya’ni   o’rta
qatlamni - birinchi qatlam deb, yuqori tashuvchi qatlamni - ikkinchi qatlam deb va
pastki tashuvchi qatlamni - uchinchi qatlam deb ataymiz. Faraz qilaylik  2h0 , 	h1  va	
h2
 - nolinchi, birinchi va ikkinchi qatlamlarning qalinliklari. 	λ0,μ0  - nolinchi, 	λ1,μ1
-   birinchi   va  	
λ2,μ2 -ikkinchi   qatlamlar   moddalarining   Lame   koeffitsiyentlari   yoki
elastik o’zgarmaslari. 	
ρ0,ρ1,ρ2  - qatlamlarning hajmiy zichliklari bo’lsin.
Deformatsiyasi  va kuchlanishlari  orasidagi  bog’lanishlar  plastinka qatlamlari
nuqtalari uchun  Guk qonuni  ko’rinishida berilgan. 	
{
σii(m)=	L1m(ε(m))+2M	m(εii(m)),(i,j=	x,z)	
σij(m)=	M	m(εij(m)),(i≠	j).	
(2.1	)
Plastinka   qatlamlari   ixtiyoriy   nuqtasining   harakat   tenglamalari   dekart
koordinatalar sistemasida quyidagicha aniqlanadi:
∂ σ
xx( m )
∂ x + ∂ σ
xy( m )
∂ y + ∂ σ
xz( m )
∂ z + ρ F
x = ρ ∂ 2
U
x( m )
∂ t 2 ;
19 ∂σyx(m)	
∂x	+∂σyy(m)	
∂y	+∂σyz(m)	
∂z	+ρFy=	ρ∂2U	y(m)	
∂t2	;(2.2	)∂ σ
zx( m )
∂ x + ∂ σ
zy( m )
∂ y + ∂ σ
zz( m )
∂ z + ρ F
z = ρ ∂ 2
U
z( m )
∂ t 2 .
  Harakat   tenglamalariga  	
ϕl   va  	⃗ψl   bo’ylama   va   ko’ndalang   to’lqin
potensiallarini quyidagi ko’rinishda kiritamiz:	
⃗
U ( m )
= grad φ
m + rot	⃗ ψ
m ( 2.3 )
formula yordamida kiritilsa, quyidagi to’lqin tenglamalariga keladi 	
(
L
1 m + 2 M
m	) Δ φ
m = ρ
m ¨φ
m
M
m Δ
⃗ ψ
m = ρ
m ¨	⃗
ψ
m	} ( 2.4 )
bu yerda 	
Δ - Laplas differensial operatori.
Tekis   deformatsiya   holatida   qatlam   nuqtalari   ko’chish   vektori   quyidagiga
teng	
⃗
U
m = U
m	⃗ i + W
m	⃗ k ( 2.5 )
bunda 	
U	m=	U	m(x,z,t);W	m=W	m(x,z,t);	
⃗
i ,⃗ k − ¿ vektorlar   tekis   deformatsiya   holati   uchun   yetarli   bo’lgan   birlik
vektorlari.
φ
m = φ
m	
( x , z , t	) ;⃗ ψ
m = ψ
m	( x , z , t	)⃗ j ( 2.6 )
bu yerda 	
⃗k –	Oz
  o’qi birlik orti, plastinka qatlamidagi nuqtalar harakat tenglamalari 
quyidagi ko’rinishga ega:
L
m Δ φ
m = ρ
m ¨φ
m
M
m Δ	
⃗ ψ
m = ρ
m ¨	⃗
ψ
m	} ( 2.7 )
bu yerda
Δ = ∂ 2
∂ x 2 + ∂ 2
∂ z 2                        (2.8)
Ichki   manbalar   bo’lmaganida   Gelmgols   teoremasiga   ko’ra   ko’ndalang
to’lqinlarning 	
⃗ψl -vektor potensiallari vektor maydonlarning quyidagi solenoidallik
shartni qanoatlantirishi kerak
¿	
⃗ ψ
m = 0
Ushbu shart  (2.3)  o’rinli bo’lganida  avtomatik  tarzda bajariladi. 
Datslab   plastinka   tinch   holatda   bo’lgan   va  	
t=0   paytdan   boshlab   uning
chegaraviy sirtlariga dinamik yuklar ta’sir qila boshlagan deb hisoblaymiz
20 {σ
xz	
( i)(
x , z , t	)|
z = ± h
i = F
x	( 1)(
x , t	) ;
σ
zz	
( 1)(
x , z , t	)|
z = h
0 + h
1 = F
z	( 1)(
x , t	) ;
σ
yz	
( 1)(
x , z , t	)|
z = h
0 + h
1 = 0 ;	{ σ
xz	
( 2)(
x , z , t	)|
z = − h
0 − h
2 = F
x	( 2)(
x , t	) ;
σ
zz	
( 2)(
x , z , t	)|
z = − h
0 − h
2 = F
z	( 2)(
x , t	) ;
σ
yz	
( 2)(
x , z , t	)|
z = − h
0 − h
2 = 0. ( 2.9 )
Bundan tashqari qatlamlarning kontakt 	
z=±h0  sirtlarida quyidagi kinematik 
va dinamik shartlar o’rinli
¿
va
¿	
t=0
 paytda boshlang’ich shartlar nolga teng deb hisoblanadi.
φ
m = ψ
m = 0 , ∂ φ
m
∂ t = ∂ ψ
m
∂ t = 0. ( 2.12 )
Shunday   qilib   uch   qatlamli   plastinkaning   tashqi   dinamik   yuklar   ta’siridagi
tebranishlari   haqidagi   masalani   (2.7)-differensial   tenglamalar   sistemasini   (2.10),
(2.11),   (2.12),   chegaraviy   va   kontakt   shartlar   hamda   nolga   teng   boshlang’ich
shartlarda yechishga keltiriladi.
Endi   ko’chish   vektori   komponentalarini   hamda   qatlam   kuchlanish   va
deformatsiya tenzorlarini (2.3) ko’rinishdagi potensial funksiyalar orqali yozamiz.
Yuqoridagi (2.6) ifoda va (2.5) formuladan	
U	m=	∂φm	
∂x−	∂ψm	
∂z	;W	m=	∂φm	
∂z	+∂ψm	
∂x	.(2.13	)
ifodalar osongina hosil bo’ladi
Shunga o’xshab deformatsiya komponentalari uchun ham 	
{
ε
xx	
( m)
= ∂ 2
φ
m
∂ x 2 − ∂ 2
ψ
m
∂ x ∂ z ;
ε
zz
( m)
= ∂ 2
φ
m
∂ z 2 + ∂ 2
ψ
m
∂ z ∂ x ;
ε
xz	
( m)
= 2 ∂ 2
φ
m
∂ x ∂ z − ∂ 2
ψ
m
∂ z 2 + ∂ 2
ψ
m
∂ x 2 ( 2.14 )
kuchlanishlar
21 {σ
xx	
( m)
= L
1 m Δ φ
m + 2 M
m	
( ∂ 2
φ
m
∂ x 2 − ∂ 2
ψ
m
∂ x ∂ z	) ;
σ
yy	
( m)
= L
1 m Δ φ
m ;
σ
zz	
( m)
= L
1 m Δ φ
m + 2 M
m	
( ∂ 2
φ
m
∂ z 2 + ∂ 2
ψ
m
∂ x ∂ z	) ;
σ
xz	
( m)
¿ M
m	
( 2 ∂ 2
φ
m
∂ x ∂ z − ∂ 2
ψ
m
∂ z 2 + ∂ 2
ψ
m
∂ x 2	) . ( 2.15 )
qiyinchiliksiz   chiqadi.   Deformatsiya   va   kuchlanish   tenzorlari   qolgan
komponentalari nolga teng bo’ladi.
2.3. Uch qatlamli qovushoq-elastik plastinkaning simmetrik tebranishlari
taqribiy tenglamalari
Plastinkaga ta’sir etuvchi tashqi kuchlarni quyidagi ko’rinishda kiritamiz
f
x	
( 1)(
x , t	) = − f
x	( 2)(
x , t	) = 1
2	( F
x	( 1)
+ F
x	( 2))
;
f
z	
( 1)(
x , t	) = f
z	( 2)(
x , t	) = 1
2	( F
z	( 1)
+ F
z	( 2))
. ( 2.16 )
Tashqi   ta’sir   funksiyalari   (2.16)   ko’rinishga   mos   holda  	
φm   va  	ψm   potensial
funksiyalarni quyidagi ko’rinishda tanlaymiz 	
φm(x,z,t)=∫0
∞	sinkx
−coskx	}dk	∫
(l)
❑~φm(z,k,p)eptdp	
ψm(x,z,t)=∫0
∞coskx
sinkx	}dk	∫(l)
❑~ψm(z,k,p)eptdp	
(2.17	)
  (2.17)   ikkinchi   tartibli   differensial   tenglamalar   sistemasiga   ushbu   (2.17)
almashtirishlarni qo’yib quyidagini hosil qilamiz 
d 2	
~
φ
m	( z , k , p	)
d z 2 − α
m2	~
φ
m	( z , k , p	) = 0
d 2	
~
ψ
m ( z , k , p )
d z 2 − β
m2	~
ψ
m	( z , k , p	) = 0	} ( 2.18 )
bu yerda	
αm2=k2+ρmp2~Lm−1;βm2=k2+ρmp2~M	m−1;
Olingan   (2.18)   tenglamalar   sistemasining   umumiy   yechimlari   ko’rinishlari
quyidagicha  bo’lishi ma’lum	
~
φ
m	( z , k , p	) = A
m	( 1)(
k , p	) ch	( α
m z	) + A
m	( 2)(
k , p	) sh	( α
m z	) ;	
~
ψ
m	( z , k , p	) = B
m	( 1)(
k , p	) sh	( β
m z	) + B
m	( 2)(
k , p	) ch	( α
m z	) .} ( 2.19 )
22 Agar   uch   qatlamli   plastinkaning   tashqi   dinamik   yuklar   ta’siridagi
tebranishlari simmetrik bo’lsa kuchlarni quyidagi ko’rinishda olamiz:
f
x( 2 )
= − f
x( 1)
va f
z	( 2)
= f
z	( 1)
( 2.20 )
 (2.20) munosabatlardan quyidagilar kelib chiqadi
A
m	
( 2)(
k , p	) = 0 , B
m	( 2)(
k , p	) = 0
Bundan esa bizga (2.18) ikkinchi tartibli differensial tenglamalarning umumiy
yechimi quyidagicha ekanligi kelib chiqadi	
~
φ
m	( z , k , p	) = A
m	( 1)(
k , p	) ch	( α
m z	) ;~ ψ
m	( z , k , p	) = B
m	( 1)(
k , p	) sh	( β
m z	) . ( 2.21 )
Tashqi dinamik yuklar ta’sirida tebranayotgan uch qatlamli plastinkaning 
qatlamlarida hosil bo’layotgan ko’chishlarni ham xuddi shunday kiritamiz	
U	m(x,z,t)=∫0
∞coskx
sinkx	}dk	∫(l)
❑~U	m(z,k,p)eptdp	;	
W	m(x,z,t)=∫0
∞	sinkx
−	coskx	}dk	∫
(l)
❑~W	m(z,k,p)eptdp	.}
(2.22	)
(2.17) va (2.22)  ifodalarnilarni ko’chishlarning (2.3) ifodasiga qo’yib,  	
~Ul   va	
~Vl
  almashtirilgan   ko’chishlar uchun quyidagilarni hosil qilamiz	
~
U
m	( z , k , p	) = k	~ φ
m	( z , k , p	) − ∂
∂ z	~ ψ
m	( z , k , p	) ;	
~
W
m	( z , k , p	) = ∂
∂ z	~ φ
m	( z , k , p	) − k	~ ψ
m	( z , k , p	) .} ( 2.23 )
(2.20)   ko’rinishda   ifodalangan   potensial   funksiyalarni   almashtirilgan
ko’chishlarning (2.23) ifodalariga qo’yamiz	
~U	m(z,k,p)=	kAm(1)(k,p)ch	(αmz)−	βmBm(1)(k,p)ch	(βmz)	
~W	m(z,k,p)=	αmAm(1)(k,p)sh	(αmz)−kBm(1)(k,p)sh	(βmz)}(2.24	)
Oxirgi   (2.24)   ifodalarning   o’ng   tomonlarini   α
m z
  va   β
m z
  larning   darajalari
bo’yicha   darajali   qatorlarga   yoyamiz.   Buning   uchun   bu   ifodalarning   o’ng
tomonlaridagi   ifodalar   tarkibiga   kiruvchi   giperbolik   funksiyalarning   darajali
qatorlarga standart yoyilmalaridan foydalanamiz
¿
Ushbu (2.25) formulalarni  (2.24) ifodalarga  qo’ysak
23 ~U
m	( z , k , p	) =
∑
n = ∞∞	[
k α
m2 n
A
m	( 1)(
k , p	) − β
m2 n + 1
B
m	( 1)(
k , p	)] z 2 n(
2 n	) ! ;	
~
W
m	( z , k , p	) =
∑
n = ∞∞	[
α
m2 n + 2
A
m	( 1)(
k , p	) − k β
m2 n + 1
B
m	( 1)(
k , p	)] z 2 n + 1(
2 n + 1	) ! . ( 2.26 )
Tashqi   dinamik   yuklar   ta’siridagi   uch   qatlamli   plastinkaning   tebranish
tenglamalaridagi   asosiy   izlanuvchi   funksiyalar   sifatida   nolinchi   qatlamning
shunday sirti nuqtasining almashtirilgan  	
~U	0(0)(z,k,p)   va  	~W	0(0)(z,k,p)   kochishlarining
bosh qismlarini qabul qilamiz. 
(2.26)   ifodalarda    	
z=ξ,m=0   va  	n=0   deb   olamiz.   U   holda  	~U0
(0)   va  	~V0
(0)
belgilashlarni kiritib ikki noma’lumli ikki tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz.
Bu sistemani yechib 	
C1(0)  va 	β0C2(0)  larni topamiz.	
y=h0
  da   kontakt   shartlardan   foydalanib   (2.26)   ifoda   orqali  	C1(1)   va  	C2(1)
noma’lumlarga   nisbatan   ikkita   algebraik   tenglamalar   sistemasini   hosil   qilib   uni
yechib 	
C1(1)  va 	C2(1)  noma’lumlarni ham 	C1(0)   va 	C2(0)   lar orqali topib olamiz.
Agar  	
C1(0)   va  	C2(0)   o’zgarmaslarning ifodalarini  	C1(1)   va  	C2(1)   larning ifodalariga
qo’ysak 	
C1(1)   va 	C2(1)   o’zgarmaslarni plastinka o’rta qatlami bo’ylama va ko’ndalang
ko’chishlarning   bosh   qismlari   orqali   bir   qiymatli   ifodalovchi   analitik   ifodalarga
ega bo’lamiz.
Uch   qatlamli   tashqi   dinamik   yuklar   ta’siridagi   plastinka   qatlamlari
nuqtalarining   ixtiyoriy   nuqtasidagi   kuchlanishlarni   topish   uchun   ularni   ham
yuqoridagidek   almashtirish   kerak,   ya’ni   noldan   farqli  	
σxx(l) ,	σxz(l) ,	σzz(l)   kuchlanishlar
ham almashtirilgan kuchlanishlar orqali ifodalanishlari kerak.Masalan,	
~σxx
(m)(k,p)=~L1m(−	k2~ϕm(k,p)+	∂2	
∂z2
~ϕm(k,p))−2~M	m(k2~ϕm(k,p)−	k	∂
∂z
~ψm(k,p))	
~σzz
(m)(k,p)=~L1m(−	k2~ϕm(k,p)+	∂2	
∂z2
~ϕm(k,p))+2~M	m(
∂2	
∂z2
~ϕm(k,p)−k	∂
∂z
~ψm(k,p))
    (2.28)	
~σxz
(m)(k,p)=	~M	m(2k	∂
∂z
~ϕm(k,p)−	∂2	
∂z2~ψm(k,p)−	k2~ψm(k,p)),	(m=0,1,2	)
ko’rinishdagi yechimni (2.28) ifodaga olib kelamiz
24 ~σxx(m)(k,p)=[~Lm(αm2−k2)−	2~M	mαm2]Am(1)(k,p)ch	(αmz)+2~M	mkβ	mBm(1)(k,p)ch	(βmz);	
~σzz(m)(k,p)=[~Lm(αm2−k2)+2~M	mk2]Am(1)(k,p)ch	(αmz)−2~M	mkβ	mBm(1)(k,p)ch	(βmz);	
~σxz(m)(k,p)=	~M	m(2kα	mAm(1)(k,p)sh	(αmz)−(βm2+k2)Bm(1)(k,p)sh	(βmz)).  (2.29)
Kuchlanish  	
~σxx(l)   ning keltirilgan (2.27) tasviridan hamda, (2.29) va (2.16) dan
foydalanib (2.9) - chegaraviy shartlarni quyidagicha yozish mumkin	
~M	m(2kα	mAm(1)(k,p)sh	(αmz)−(βm2+k2)Bm(1)(k,p)sh	(βmz))=~fx(m)(k,p);	
[~Lm(αm2−	k2)+2~M	mk2]Am(1)(k,p)ch	(αmz)−	2~M	mkβ	mBm(1)(k,p)ch	(βmz)=~fz(m)(k,p).
 (2.30)
bu yerda  	
αm2=	q2+ρmp2Lm−1;βm2=q2+ρmp2M	m−1 .	
sh	(αmy)=αmy;	sh	(βmy)=	βmy	;ch	(αmy)=1+αm2y2	
2	;ch	(βmy)=1+βm2y2	
2	.
   (2.31)
ekanligini hisobga olsak (2.30) tenglamalar sistemasining 1-si 	
l=1  da va 2-si 	s=2
da quyidagiga keladi.	
~M	1(2kα	1A1(1)(k,p)sh	(α1z)−(β12+k2)B1(1)(k,p)sh	(β1z))=~fx(1)(k,p);	
[~L2(α22−	k2)+2~M	2k2]A2(1)(k,p)ch	(α2z)−2~M	2kβ	2B2(1)(k,p)ch	(β2z)=~fz(2)(k,p).
o’zgarmaslarning topilgan bu qiymatlarini	
2kα	12A1(1)(k,p)((h0+h1)+
α12(h0+h1)3	
6	)−(β12+k2)β1B1(1)(k,p)((h0+h1)+
β12(h0+h1)3	
6	)=	~M	1−1~fx(1)(k,p)
(2.32)	
[~L2(α22−k2)+2~M	2k2]A2(1)(k,p)(1+
α22(h0+h2)2	
2	)−2~M2kβ	2B2(1)(k,p)(1+
β22(h0+h2)2	
2	)=~fz(2)(k,p).
tenglamalar   sistemasiga   qo’yamiz   va   hosil   bo’lgan   sistemani   soddalashtirib
quyidagiga ega bo’lamiz	
β1{{[(2α1
2−	β1
2−	k2)(h0+h1)+(2α1
4−	β1
4−	β1
2k2)((h0+h1)3/6)]h0+	1
6[(2α1
2β0
2+	
+6α12β12+2α12α02~q0−	6α12k2~q0−	(β02β12+	β02k2+3α12β12+	3α12k2+	α02β12~q0+	
+α02k2~q0−	3α12β12~q0−	3α12k2~q0))(h0+h1)+(2α14β02+6α14β12+2α14α02~q0−	6α14k2~q0−	
−(β02β14+β02β12k2+3α12β14+3α12β12k2+α02β14~q0+α02β12k2~q0−3α12β14~q0−	3α12β12k2~q0))׿¿	
¿((h0+h1)3/6)]h0
3+	1
12	[(2α0
2α1
2β1
2−	(α0
2α1
2β1
2+α0
2α1
2k2−	α1
4β1
2~q0−	α1
4k2~q0+	
+	α12β12k2~q0+	α12k4~q	0))(h0+	h1)+	(2	α02α14β12−	(α02α12β14+	α02α12β12k2−
25 −	α1
4β1
4~q0−	α1
4β1
2k2~q0+α1
2β1
4k2~q0+α1
2β1
2k4~q0)((h0+h1)3/6)]
h0
5
1	}
k
ξ	
~W	0
(0)(k	,p)−	
−	{[(2k2α12−	α12β12−	α12k2)(h0+h1)+(2k2α14−	α12β14−	α12β12k2)((h0+h1)3/6)]
h0
1	+	
+	1
6[(2k2α1
2β1
2+	6k2α0
2α1
2−	4k2α0
2α1
2~q0−	(α1
4β1
2+k2α1
4+3α0
2α1
2β1
2+3α0
2α1
2k2+	
+(k2α02β12+k4α02−	3α02α12β12−	3α02α12k2)~q0)(h0+	h1)+(2k2α14β12+6k2α02α14−	
−	4k2α02α14~q0−	(α14β14+k2α14β12+	3α02α12β14+3α02α12β12k2+(k2α02β14+k4α02β12−	
−	3α0
2α1
2β1
4−	3α0
2α1
2β1
2k2)~q0))((h0+h1)3/6)]h0
3+	1
12	[(2k2α0
2α1
2β1
2−	(α0
2α1
4β1
2+	
+α02α14k2−	α02α14β12~q0−	α02α14k2~q0+α02α12β12k2~q0+α02α12k4~q0))(h0+	h1)+	
+(2	k2α02α14β12−	(α02α14β14+	α02α14β12k2−	α02α14β14~q0−	α02α14k2β12~q	0+	
+α0
2α1
2β1
4k2~q0+α0
2α1
2β1
2k4~q0))((h0+h1)3/6)]
h0
5
1	}
~U	0
(0)(k,p)=	~M	1Δ	1
0~fx
(1)(k,p);	
+2~M	2((α0
2α2
2β2
2k2−α0
2α2
4β2
2)+α0
2α2
2β2
2(α2
2−k2)~q0))
(h0+h2)2	
2	
)h0
5]k~U	0
(0)(k,p)}=	Δ2
0~fz
(2)(k,p). b
u yerda 	
n0=−1−	λ
μ
Bu   yerda   ham  	
αm2=	q2+ρmp2Lm−1;βm2=q2+ρmp2M	m−1   ekanligini   hisobga   olsak
tenglamamiz yanada soddalashadi	
−	{[(q1+1)(h0+h1)+(2q1γ1+(1+q1)λ1)
(h0+h1)3	
6	]h0+1
6[1
1((1+q1)λ0+3(1−	q1)(1+q0)γ1+	
+(1+q1)q0γ0)(h0+h1)+(2q1γ1λ0+(1+q1)λ0λ1+3(1+q1−	q0q1)γ1λ1+	2q0q1γ0γ1+	
+q0(1+q1)γ0λ1+3q0(1−	q1)γ12+3	∂2	
∂x2q0q1γ1)(h0+h1)3	
6	]h03+	1
12	[(q0γ1λ1−	q0γ1	∂2	
∂x2+	
+(1−q1)γ0γ1)(h0+h1)+((q1+1)γ0γ1λ1+q0γ1λ12−	∂2	
∂x2q0γ1λ1)(h0+h1)3	
6	]h05
}
1
ξ	
∂
∂xW	0
(0)(x,t)−	
−{[(q1−1)γ1(h0+h1)+((q1−1)γ1γ1+q1γ1λ1−	∂2
∂x2q1γ1)(h0+h1)3	
6	]h0+1
6[1
1((1−q1)(q0−3)γ0γ1+	
+q1γ1∂2
∂x2−(1−q1)q0γ0	∂2	
∂x2−γ1λ1+2q0γ0λ1)(h0+h1)+((q1−1)γ12λ1+(3q1−3+q0−q0q1)γ0γ12+	
−3(1−q0)q1γ0γ1∂2
∂x2+(3−q0)q1γ0γ1λ1+2q0γ0λ1λ1−(1−q1)q0γ0λ1∂2
∂x2)(h0+h1)3	
6	]h03+1
12	[1
1((q0−1)γ0γ1׿¿
26 ¿λ1+(q1−q0)∂2
∂x2γ0γ1)(h0+h1)+((q1−1)γ0γ12λ1+(λ1−	∂2
∂x2)q0γ0γ1λ1)(h0+h1)3	
6	]h05
}U0(0)(x,t)=	
=	{h0+1
6((3−	2q1)γ1+λ1)h03+	1
12	γ1λ1h05
}M	1−1fx
(1)(x,t);
Endi bu tenglamalar sistemasida	
γm=	ρmN	m
−1∂2
∂t2−	∂2	
∂x2
; 	λm=	ρmM	m
−1∂2
∂t2−	∂2	
∂x2
ifodalardan   foydalanamiz   ya’ni   bu   ifodalarni   yuqoridagi   tenglamalar   sistemasiga
kiritib   quyidagi   tenglamalar   sistemasini   olamiz   va   so ’ ngra   quyidagi   tenglamalar
sistemasiga   ega   bo ’ lamiz .
Bu   tenglamalar   sistemasida  	
h0   ga   bo ’ lib   so ’ ngra   bu   tenglamalar   sistemasini
yuqori   tartibli   hosilalardan   boshlab   yozish   orqali   quyidagilarga   ega   bo ’ lamiz .	
{c11	∂4
∂t4+c12	∂4	
∂x2∂t2+c13	∂4
∂x4+c14	∂2
∂t2+c15	∂2
∂x2+c16}
∂
∂xW	0
(0)(x,t)+	
+{d11	∂4
∂t4+d12	∂4	
∂x2∂t2+d13	∂4	
∂x4+d14	∂2
∂t2+d15	∂2	
∂x2}U	0
(0)(x,t)=	
={s11	∂4
∂t4+s12	∂4	
∂x2∂t2+s13	∂4	
∂x4+s14	∂2
∂t2+s15	∂2	
∂x2+s16}fx
(1)(x,t)
;
                                                                                           (2.33)	
{c21	∂4
∂t4+c22	∂4	
∂x2∂t2+c23	∂4	
∂x4+c24	∂2
∂t2+c25	∂2	
∂x2+c26}W	0
(0)(x,t)+	
+{d21	∂4
∂t4+d22	∂4	
∂x2∂t2+d23	∂4	
∂x4+d24	∂2
∂t2+d25	∂2	
∂x2+d26}
∂
∂xU	0
(0)(x,t)=	
={s21	∂4
∂t4+s22	∂4	
∂x2∂t2+s23	∂4	
∂x4+s24	∂2
∂t2+s25	∂2	
∂x2+s26}fz
(2)(x,t)
,
bu yerda 	
сij,dij,sij  koeffitsiyentlar quyidagi formulalar orqali topiladi 	
с11=−	1
ξ[(q0ρ1M	1
−1+(1−q1)ρ0L0
−1)ρ1L1
−1(h0+h1)h0
4	
12	+((2q1ρ0M	0
−1+3(1+q1−q0q1)ρ1M	1
−1+	
+2q0q1ρ0L0−1)ρ1L1−1+((1+q1)ρ0M0−1+(1+q1)q0ρ0L0−1)ρ1M1−1+3q0(1−q1)ρ1L1−1ρ1L1−1)(h0+h1)3h02	
36	]
;
27 с12=1
ξ[((1−q1+2q0)ρ1L1−1+q0ρ1M	1−1+(1−q1)ρ0L0−1)
(h0+h1)h04	
12	+((3+5q1+6q0−10	q0q1)ρ1L1−1+	
+(1+3q1)ρ0M	0
−1+(1+3q1)q0ρ0L0
−1+(4+4q1+q0−2q0q1)ρ1M	1
−1)(h0+h1)3h0
2	
36	];	
с13=−	1
ξ[(1+q1)
(h0+h1)h04	
12	+(4−	4q1+4q0−	4q0q1)
(h0+h1)3h02	
36	];	
с14=−1
ξ[((1−q1)ρ0M0
−1+3(1+q0)(1−q1)ρ1L1
−1+2q0(1+q1)ρ0L0
−1)
(h0+h1)h0
2	
6	+(2q1ρ1L1
−1+(1+q1)ρ1M1
−1)
(h0+h1)3	
6	]
;	
c15=	1
ξ[(4−	2q1+4q0−	2q0q1)
(h0+h1)h02	
6	+(1+3q1)
(h0+h1)3	
6	]
;	
c16=−	1
ξ(1−q1)(h0+h1)
;	
с21=	1
ξ[(1−q2)ρ0L0−1ρ2M	2−1h04
12	+((1−q2)ρ0M	0−1+3(1−q2)ρ2M	2−1+(1−q2)q0ρ0L0−1)ρ2L2−1h02(h0+h2)2	
12	]
;	
с22=−	1
ξ[((1−q2)ρ0L0
−1+2q0ρ2L2
−1+(1−q2)ρ2M	2
−1)
h0
4
12	+(4(1+q0)(1−q2)ρ2L2
−1+	
+(1−q2)ρ0M	0
−1+3(1−q2)ρ2M	2
−1+q0(1−	q2)ρ0L0
−1)
h0
2(h0+h2)2	
12	]
;	
с23=	1
ξ[(1−	3q2−	2q0)
h04
12	+(4−	2q2+4q0−	2q0q2)
h02(h0+h2)2	
12	]
;                            (2.34)	
с24=	1
ξ[(1−	q2)(3ρ2M	2−1+ρ0M	0−1+q0ρ2L2−1)
h02
6	+(1−q2)ρ2L2−1(h0+h2)2	
2	]
;	
с25=−	1
ξ[(4−10	q2−4q0+2q0q2)
h02
6+(1+q2)
(h0+h2)2	
2	]
;             	с26=1
ξ(1−q2) ;	
d11=−[((1−q1)(q0−3)ρ0L0
−1ρ1L1
−1−	ρ1M	1
−1ρ1L1
−1+2q0ρ0L0
−1ρ1M	1
−1)
(h0+h1)h0
2	
6	+	
+((q1−1)ρ1L1
−1+q1ρ1M	1
−1)ρ1L1
−1(h0+h1)
3	
6	
]
;	
d12=[((2q0−2q0q1−3+3q1)ρ0L0−1+(q0−4−q0q1+2q1)ρ1L1−1+(2q0−1)ρ1M	1−1)
(h0+h1)h02	
6	+
28 +((4q1−	2)ρ1L1
−1+q1ρ1M	1
−1)
(h0+h1)3	
6	
];	
d13=−[(2−	2q1)(q0−	1)
(h0+h1)h02	
6	−	(3q1−	1)
(h0+h1)3	
6	]
; 	
d14=−(q1−1)ρ0M	0−1(h0+h1)
; 	d15=(q1+1)(h0+h1) ;	
d21=[(2(q0−q2)ρ2L2−1−(1+q2)ρ2M	2−1)ρ0L0−1h04
12	+((3−4q0)(q2−1)ρ0L0−1−(1+q2)ρ2M	2−1)ρ2L2−1h02(h0+h2)2	
12	]
;	
d22=−[((2q0+3q2−1)ρ0L0
−1+2(q0−q2)ρ2L2
−1−(1+q2)ρ2M	2
−1)
h0
4
12	+	
+((3q2+2q0q2−	4q0−3)ρ0L0
−1+(2q2+4q0−4−	4q0q2)ρ2L2
−1−(1+q2)ρ2M	2
−1)
h0
2(h0+h2)2	
12	]
;	
d23=(2q0−	3q2−3)
h04
12	+(2q2+4q0+4−	6q0q2)
h02(h0+h2)2	
12
;	
d24=((2q0q2−2q0−3q2+3)ρ0L0−1−2q2ρ2L2−1−(1+q2)ρ2M	2−1)
h02
6+(q2−1)ρ2L2−1(h0+h2)2	
2
;	
d25=−((−4+2q0q2−2q0+4q2)
h02
6−(q2−1)(h0+h2)2	
2	)
;  	d26=	(1+q2) ; 	
s11=ρ1L1−1ρ1M	1−1M	1−1h04
12
; 	s12=−(ρ1L1−1+ρ1M1−1)M	1−1h04
12 ; 	s13=	M	1−1h04
12 ;	
s14=((3−2q1)ρ1L1−1+ρ1M	1−1)M	1−1h02
6
; 	s15=−(2−2q1)M1−1 ; 	s16=M1−1 ; 	s21=ρ2L2−1ρ2M	2−1M2−1h04
12 ;	
s22=−(ρ2L2−1+ρ2M	2−1)M	2−1h04
12
; 	s23=M	2−1h04
12 ;   	s24=((3−	2q2)ρ2L2−1+ρ2M	2−1)M	2−1h02
6 ;	
s25=−(2−2q2)M2−1
; 	s26=M	2−1 .
29 II-bob bo’yicha qisqacha xulosa
Ishning   ikkinchi   bobida   uch   qatlamli   qovushoq-elastik   plastinkaning   tashqi
dinamik   yuklar   ta’siridagi   simmetrik   tebranishlari   qaralgan.   Jumladan   bu   bobda
qovushoq-elastik   u ch   qatlamli   plastinkaning   tashqi   dinamik   yuklar   ta’siridagi
simmetrik tebranishlari  haqidagi ayrim tadqiqotlari sharhi keltirilgan.  Uch qatlamli
qovushoq-elastik   plastinkaning   tashqi   dinamik   yuklar   ta’siridagi   simmetrik
tebranishlari haqidagi masalaning qo’yilishi qaralib, uch qatlamli qovushoq-elastik
plastinkaning   tashqi   dinamik   yuklar   ta’siridagi   simmetrik   tebranishlari   taqribiy
tenglamalari   sistemasi   izlanuvchi   funksiyalar   orqali   keltirib   chiqarilgan.
Chiqarilgan   tenglamalar   asosida   izlanuvchi   funksiyalar   topilib,   uch   qatlamli
qovushoq-elastik   plastikaning   tashqi   dinamik   yuklar   ta’siridagi   simmetrik
tebranishlarida   plastinka   qatlamlari   nuqtalari   ko’chishlari   va   kuchlanishlarini
topish imkoniyati hosil qilingan.
30 III-BOB.
UCH QATLAMLI QOVUSHOQ-ELASTIK PLASTINKANING
SIMMETRIK TEBRANISHLARI AMALIY MASALALARI
3.1. Uch qatlamli qovushoq-elastik  plastinka uchun chegaraviy shartlarning
qo’yilishi
Plastinka   chetlari   turli   shaklda   mahkamlanganda   chegaraviy   shartlarni
berilishi qaraymiz.
1)   Qistirib   mahkamlanganlik   sharti.  y   o’qdagi  	x=	0   tomon   qattiq
mahkamlangan bo’lsin. Bu tomonda ko’chish va 	
y  o’qqa nisbatan burilishlar yo’q
ya’ni 	
x=	0
  da 	w=0,	
∂w
∂	y	
=	0. (3.1)
2) Sharnirli mahkamlanganlik sharti.  Sharnirli mahkamlangan tomon uchun,	
w=0
,  va  	M	x=0 ,                                      (3.2)
yoki, bu esa ko’chishlar orqali,	
w=0
,	
∂2w	
∂x2+μ∂2w	
∂y2=0
bu   tomonda  	
y=	const bo’lganidan    	
∂2w	
∂y2=0   ekanligi   ma’lum,   bundan     chegaraviy
shart quyidagicha bo’lishi kelib chiqadi.	
w=0
,	
∂2w	
∂x2=0
3) Erkin  tayangan chet  uchun chegaraviy shartlar.
Bu holda eguvchi moment 	
M	y , ko’ndalang erkin kuch 	Qy  burovchi moment	
M	xy
  nolga aylanadi. Bu 2 ta shart emas 3 ta shartdir. Masala echishda chegaraviy
shart   2ta   berilishi   shart.   Bu   ziddiyatni   yo’qotish   uchun   oxirgi   ikkita   shartni   bitta
shartga keltiramiz.
Chegarada   burovchi   moment   va   ko’ndalang   erkin   kuch   bitta   kuch   bilan
ifodalanishini ko’rsatamiz. Bu kuchlar statik  jihatdan ekvivalent burovchi moment
31 M	xy  x  o’qqanisbatan parallel joylashgan dx uzunlikda burovchi moment 	M	xydx   gat
eng  	
M	xy ni   yo’nalishi   bo’yicha   vertikal   ravishda   dx   ga   ko’chganda   qarasak     dx
cheksiz kichik uzoqlashganda burovchi moment 	
(M	xy+
∂M	xy	
∂x	dx	)dx  ga teng.
Har   bir   dx   cheksiz   kichik     qismga    	
∂M	xy	
∂x	dx   mos   keladi.   Demak   har   bir
taqsimlanishda   kuch    	
∂M	xy	
∂x   ga   teng.   C   va   B   nuqtalarda   hosil   bo’lgan   kuchlar,
vertikal   yuk   ko’ndalang   erkin   kuchga   kuchsizlantiriladi.   CB   tomonda   keltirilgan
ko’ndalang erkin kuch;	
Qyk=Q	y+
∂M	xy	
∂x
 va 	Qxk=Qx+
∂M	xy	
∂y (3.3)
 Muvozanat tenglamasining uchinchi tenglamasini x va y bo’yicha differensiyallab
ko’chishlar orqali ifodalasak;	
∂M	xy	
∂x	=D(1−μ)	∂3w	
∂x2∂y
;	
∂M	xy	
∂y	=D(1−μ)	∂3w	
∂y2∂x
,
(3.4)
(3.4) ni hisobga olib yozsak quyidagiga kelamiz	
x=	0
tomon erkin bo’lsin, u holda bu tomon uchun chegaraviy shart quyidagicha
olinadi.	
Qyk=D[
∂3w	
∂x3+(2−μ)	∂3w	
∂y2∂x];	Qxk=D[
∂3w	
∂y3+(2−	μ)	∂3w	
∂x2∂y].
Xuddi   shunday   plastinkaning   chetlarida   uchta   shart,   eguvchi
moment,burovchi moment va ko’ndalang erkin kuch faqat ikkita eguvchi moment
va keltirilgan ko’ndalang erkin kuch sifatida qaraladi.	
M	y=0
 va 	Qyk=0
bu munosabat ko’chishlar orqali quyidagicha yoziladi:	
∂2w	
∂x2+μ∂2w	
∂y2=	0
,	∂3w	
∂x3+(2−	μ)	∂3w	
∂x∂y2=0.
32 Bu yerdan ko’rinadiki plastinkaning chetlari erkin tayangan holda chegaraviy
shartlar oldingilariga nisdbatan ancha murakkab bo’lar ekan.
33 3.2. Uch qatlamli qovushoq-elastik  plastinka uchun erkin tebranishlar
chastotasini aniqlash
Endi   keltirib   chiqarilgan   (2.33)   tenglamalar   sistemasi   asosida   uch   qatlamli
qovushoq-elastik plastinkaning erkin nostatsionar simmetrik tebranishlarini tadqiq
qilamiz. Buning uchun bu tenglamalarning o’ng tomonlarini nolga tenglashtiramiz,
ya’ni plastinkaga hech qanday tashqi kuch ta’sir etmayapti deb hisoblaymiz. Hosil
bo’lgan tenglamalarning yechimlarini W0=	⃗W0ei(ωt+kz)
, 	U0=	¯U	ei(ωt+kz)
ko’rinishda   izlaymiz.   Bu   ifodalarni   (2.33)   tenglamalar   sistemasidagi   o’rinlariga
qo’yib quyidagi  uch qatlamli  qovuushoq-elastik  plastinka chastota tenglamalariga
ega bo’lamiz	
1
ξ
[с
11
'
ω
4
+с
12
'
ω
2
k
2
+с
13
'
k
4
−с
14
'
ω
2
−с
15
'
k
2
+с
16
'
]ki {¯W
0
+¿+[d
11
'
ω
4
+d
12
'
ω
2
k
2
+d
13
'
k
4
−d
14
'
ω
2
−d
15
'
k
2
]¯U
0
=0;¿[с
21
'
ω
4
+с
22
'
ω
2
k
2
+с
23
'
k
4
−с
24
'
ω
2
−с
25
'
k
2
+с
26
'
]¯W
0
+¿+
1
ξ
[d
21
'
ω
4
+d
22
'
ω
2
k
2
+d
23
'
k
4
−d
24
'
ω
2
−d
25
'
k
2
+d
26
'
]ki {¯U¿
0
=0;¿¿
           (3.5)
bu   yerdagi   koeffitsiyentlar   plastinkaning   geometrik   va   qatlamlarning   fizik-
mexanik   xususiyatlaridan   bog’liq   o’zgarmaslardan   iborat.   Ushbu   chastota
tenglamalari sistemasini matematik “Maple-12” dasturi yordamida yechamiz. 
Bu   tenglamalar   sistemasini   yechish   uchun   qatlamlar   materiallari   fizik
xususiyatlarini quyidagicha kiritamiz:
Plastinka   uzunligi  	
l=0.4m ,   o’rta   to’ldiruvchi   qatlam   qalinligi  	h0=0.02	m ,
yuqori qatlam qalinligi 	
h1=0.001	m , pastki qatlam qalinligi 	h2=0.001	m , To’ldiruvchi
qatlam uchun: voloknitlar (paxta ko’ragi qavachaqlari)ni olishimiz mumkin. O’rta
qatlam   materiali   zichligi  	
ρ0=1650	kg	/m3,   yuqori   va   pastki   qatlamlar   materiali
zichliklari  	
ρ1=2700	kg	/m3   va  	ρ2=2700	kg	/m3 ,   uchta   qatlam   materiallari   uchun
Yung   moduli   qiymatlari  	
E0=0,09	⋅10	11	Pa ,    	E1=69⋅10	9Pa ,  	E2=69	⋅10	9Pa ,   uchta
34 qatlam   materiallari   uchun     Puasson   koeffitsiyenti   qiymatlari  ν0=0,42	, ,  	ν1=0.33 ,	
ν2=0.33
 va tenglama koeffitsiyentlarida qatnashgan 	ξ  kattalik 	ξ=0.3h0 ;
Olingan natijalar 1-rasmlarda keltirilgan.
Bir   qatlamli   plastinkaning   tebranish   chastotasi   hamma   vaqt   ikki   va   uch   qatlamli
plastinkalarning   tebranish   chastotalaridan   doimo   yuqori.   Bunda   qatlam   materiali
qancha   yumshoq   bo’lsa,   tebranish   chastotasi   shuncha   yuqori.   Plastinka   uch
qatlamli   bo’lsa   uning   tebranish   chastotasi   juda   qat’iy   va   katta   pasayadi   va   nolga
yaqinlashadi.
3.3. Chetlari sharnirli mahkamlangan uch qatlamli qovushoq-elastik
plastinkaning simmetrik tebranishlariga doir amaliy masalalar
Bu   paragrafda   uzunligi   chagaralanmagan  	
l   uzunlikdagi   s harnirli
mahkamlangan   uch   qatlamli   plastinkaning   tashqi   dinamik   yuklar   ta’siridagi
tebranish   tenglamalarini   va   qatlamlardagi   ko’chish   va   kuchlanishlar   grafiklarini
keltirib chiqarish masalasini qaraymiz.
S harnirli   mahkamlangan   holatda   3.1-paragrafdagi   chegaraviy   shartlar  	
x=	0
va 	
x=l
  da quyidagicha yoziladi.	
W	1(x,t)=0
;	
∂2W	1(x,t)	
∂x2	=0 . (3.6)
352-Rasm.   Tashuvchi qatlamlar alyuminiy to’ldiruvchi qatlam polimer bo’lganda  
ning  bilan bog’liqligi	
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	
k 	
w	
1-с лойная
2-х с лойная
3-х с лойная	
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	
k 	
w	
1-с лойная
2-х с лойная
3-х с лойная Shuning   uchun   bu   holda   izlanuvchi   funksiyalar   ko’rinishini   quyidagicha
tanlaymiz .[U	1,fx]=	∑
m=1
∞	
[U	m(t),fxm	(t)]sin	mπx
l
;	[W	1,fy]=∑
m=1
∞	
[W	m(t),fym(t)]cos	mπx
l ;    (3.7)
Bu ifodalarni (3.5) tenglamalar sistemasiga qo’yib quyidagini hosil qilamiz.	
∑
т=1
∞	mπ
l	{−	c11
'	∂4
∂t4−(c14
'−c12
'
(
mπ
l	)
2
)
∂2
∂t2−	c13
'
(
mπ
l	)
4
+c15
'
(
mπ
l	)
2
−	c16
'
}W	m(t)sin	mπx
l	+	
+	∑
m=1
∞	
{d11
'	∂4	
∂t4+(d14
'−	d12
'	
(
mπ
l	)
2
)	
∂2	
∂t2+d13
'	
(
mπ
l	)
4
−	d15
'	
(
mπ
l	)
2
}U	m(t)sin	mπx
l	=	
=	∑
m=1
∞	
{s11
'	∂4	
∂t4+(s14
'−	s12
'	
(
mπ
l	)
2
)
∂2	
∂t2+s13
'
(
mπ
l	)
4
−	s15
'
(
mπ
l	)
2
+s16
'
}fxm	(t)sin	mπx
l
;
(3.8)	
∑
m=1
∞	
{c21
''	∂4	
∂t4+(c24
''−	c22
''
(
mπ
l	)
2
)	
∂2	
∂t2+c23
''
(
mπ
l	)
4
−	c25
''
(
mπ
l	)
2
+c26
''
}W	m(t)cos	mπx
l	+	
+∑
m=1
∞	mπ
l	{d21
''	∂4	
∂t4+(d24
''−	d22
''
(
mπ
l	)
2
)
∂2	
∂t2+d23
''
(
mπ
l	)
4
−	d25
''
(
mπ
l	)
2
+d26
''
}U	m(t)cos	mπx
l	=	
=	∑
m=1
∞	
{s21
''	∂4	
∂t4+(s24
''−	s22
''
(
mπ
l	)
2
)	
∂2	
∂t2+s23
''
(
mπ
l	)
4
−	s25
''
(
mπ
l	)
2
+s26
''
}fzm	(t)cos	mπx
l
.
Bu   tenglamalar   sistemasining   birinchisini  	
sin	mπx
l   ga   ikkinchisini  	cos	mπx
l   ga
bo’lib ba’zi belgilashlardan so’ng quyidagi ifodaga ega bo’lamiz:	
{Т	11	
∂4
∂t4+Т12	
∂2
∂t2+Т	13}W	m(t)+{L11	
∂4
∂t4+L12	
∂2
∂t2+L13	}U	m(t)=	J11	;	
{Т	21	
∂4
∂t4+Т	22	
∂2
∂t2+Т	23}W	m(t)+{L21	
∂4
∂t4+L22	
∂2
∂t2+	L23	}U	m(t)=	J21	.
     (3.9)
bu yerda 
36 T11=−c11
'π
l;	
T12=−c14
'	π
l+c12
'
(
π
l)
3 ;	
T13=−	c13
'
(
π
l)
5
+c15
'
(
π
l)
3
−	c16
'	π
l ;	T21=c21'' ;	
T22=	c24
''−	c22
''
(
π
l)
2
;	
T23=	c23
''
(
π
l)
4
−	c25
''
(
π
l)
2
+c26
'' ;	
L11=d11' ;	L12=	d14
'−d12
'
(
π
l)
2 ;	
L13=	d13
'
(
π
l)
4
−	d15
'
(
π
l)
2
;   	
L21=d21
''π
l ;	
L22=d24
''π
l−d22
''
(
π
l)
3 ;	
J11=	[s11
'	∂4	
∂t4+(s14
'−	s12
'	
(
π
l)
2
)	
∂2	
∂t2+s13
'	
(
π
l)
4
−	s15
'	
(
π
l)
2
+	s16
'	
]fxm	(t)
;	
J21=	[s21
''	∂4	
∂t4+(s24
''−	s22
''
(
π
l)
2
)	
∂2	
∂t2+s23
''
(
π
l)
4
−	s25
''
(
π
l)
2
+s26
''
]fzm	(t)
;
 	
Um(t)  va  	Wm(t)  izlanuvchi funksiyalarga nisbatan boshlang’ich shartlar quyidagicha	
U	m(x,t)=	∂U	m(x,t)	
∂t	=	∂2U	m(x,t)	
∂t2	=	∂3U	m(x,t)	
∂t3	=	0;	
W	m(x,t)=	∂W	m(x,t)	
∂t	=	∂2W	m(x,t)	
∂t2	=	∂3W	m(x,t)	
∂t3	=	0.
(3.10)
Bu   (3.10)   boshlang’ich   shartlar   orqali   (3.9)   tenglamani   Maple   12   dasturi
yordamida yechamiz.
Bu   tenglamalar   sistemasini   “Maple-12”   dasturi   yordamida   yechish   uchun
qatlamlar materiallari fizik xususiyatlarini quyidagicha kiritamiz:
Plastinka   uzunligi  	
l=0.4m ,   o’rta   to’ldiruvchi   qatlam   qalinligi  	h0=0.02	m ,
yuqori   qatlam   qalinligi  	
h1=0.001	m ,   pastki   qatlam   qalinligi  	h2=0.001	m ,   o’rta
to’ldiruvchi   qatlam   materiali   zichligi  	
ρ0=30	kg	/m3 ,   yuqori   va   pastki   qatlamlar
materiali   zichliklari  	
ρ1=	2700	kg	/m3   va    	ρ2=2700	kg	/m3 ,   uchta   qatlam   materiallari
uchun   Yung   moduli   qiymatlari  	
E0=0.165	⋅10	9Pa ,    	E1=69⋅10	9Pa ,  	E2=69	⋅10	9Pa ,
uchta   qatlam   materiallari   uchun     Puasson   koeffitsiyenti   qiymatlari  	
ν0=0.03125 ,	
ν1=0.33
,  	ν2=0.33   va   (3.5)   tenglama   koeffitsiyentlarida   qatnashgan  	ξ   kattalik	
ξ=0.3h0
;
Plastinkaga ta’sir etayotgan tashqi kuchlar 	
fx=5N , 	fz=5N ;
37 Bundan tashqari qatlamlar ko’chish va kuchlanishlari ifodalarida qatnashgan
plastinka qalinligi bo’ylab o’zgaruvchi kattaliklar y0=h0 , 	y1=h0 , 	y2=h0 ; 
Shundan   so’ng   kiritilgan   bu   kattaliklardan   quyidagilar   kelib   chiqadi;	
μm=	Em	
2(1+νm)
  fo’rmuladan  	μ0=8⋅10	7Pa ,  	μ1=2.5⋅10	10Pa ,  	μ2=2.5⋅1010	Pa ;	
λm=	νm⋅Em	
(1−	2⋅νm)(1+νm)
  fo’rmuladan  	λ0=5.3⋅106Pa ,  	λ1=5⋅10	10	Pa ,  	λ2=5⋅10	10	Pa ;	
qm=1−	2νm	
1−2νm
  fo’rmuladan  	q0=0.93 ,  	q1=−0.94 ,  	q2=−0.94 ;  	bm=√
μm
ρm   fo’rmuladan	
b0=1632	m/s
,  	b1=3099	m/s ,  	b2=3099	m/s
  va    	am=√
λm+2μm	
ρm   fo’rmuladan	
a0=2347	m/s
; 	a1=6153	m/s ; 	a2=6153	m/s ;
Kiritilgan  	
a0=a0
¿a1 ,  	b0=	b0
¿a1 ,  	b1=b1
¿a1 ,  	b2=b2
¿a1 ,  	h0=h0
¿l ,  	h1=	h1
¿l ,  	h2=	h2
¿l ,	
y=	y
¿
l
,  	ξ=	ξ¿l ,  	fx(x,t)=	fx
¿(x¿,t¿)μ1 ,  	fz(x,t)=	fz
¿(x¿,t¿)μ2   ushbu   ifodalarga   asosan
yuqoridagi kattaliklarning o’lchovsiz holatdagi qiymatlari quyidagicha bo’ladi:	
h0=0.05
,  	h1=0.0025 ,  	h2=0.0025 ,  	a0=0.38 ,  	a2=1 ,  	b0=0.26 ,   	b1=0.5 ,  	b2=0.5 ,  	z0=0.05 ,	
z1=0.05
, 	z2=0.05 , 	ξ=0.015 ; 	fx=1.9⋅10−10 , 	fy=0 .
Bu   topilgan   qiymatlar   orqali   (3.5)   tenglamada   qatnashgan  	
cij,dij,sij
koeffitsiyentlar qiymatlari aniqlanadi.	
c11'=−0,00002
; 	c12'=0,00003 ; 	c13'=−0,000012 ;	c14'=−0,016 ;	c15'=0,014 ;	c16'=−0,21 ;	
d11'=−0,00028
;	d12'=−0,00029 ;	d13'=−0,00008 ;	d14'=0,1 ;	d15'=−0,1 ;	
s11'=0,000002
;	s12'=−0,000003 ;	s13'=0,0000005 ;	s14'=0,004 ;	s15'=−0,0024 ;	s16'=1 ;	
c21''=0,0042
;	c22''=0,00025 ;	c23''=0,00063 ;	c24''=	2 ;	c25''=−0,43 ;	c26''=129 ;	
d21''=0,000018
;	d22''=0,000014 ;	d23''=0,0000037 ;	d24''=0,0031 ;	d25''=0,0011 ;	
s21''=0,000002
;	s22''=−0,000003 ;	s23''=0,0000005 ;	s24''=0,004 ;	s25''=−0,0024 ;	s26''=1 ;
38 Kiritilgan bu ifodalardan foydalanib (3.10) boshlang’ich shartlar orqali (3.5)
tenglamani   “Maple-12”   dasturi   yordamida   yechib  U(t)   va  	W(t)   larning   grafik
ko’rinishini topamiz.
So’ngra grafigi  	
Uт(t)   va  	W	m(t)   lar grafigi bilan ustma-ust tushadigan  	Umт	(t)
va 	
W	mm	(t)  funksiyalarni quramiz.
Bu   qurilgan  	
Umт	(t)   va  	W	mm	(t)   funksiyalarni   izlanuvchi   funksiyalarning
ifodasiga qo’yib ularning vaqtga va koordinataga bog’liq ifodalarini hosil qilamiz. 
Topilgan izlanuvchi funksiyalarni 	
U	(x,t)=[(1−q0)
y2
2	
∂2	
∂	t2−(1−q0)
y2
2	
∂2	
∂x2+1]U	1(x,t)−	1
ξq0
y2
2	
∂
∂xW	1(x,t);	
W	(x,t)=	1
ξ[(
1
b02+q0)
y3
6	
∂2	
∂t2−(1+q0)y3
6	
∂2	
∂	x2+y
]
W	1(x,t)+q0
y3
6	[	
∂3	
∂t2∂x−	∂3	
∂x3]U	1(x,t).
shu ifodalarga qo’yib uch qatlamli plastinkaning tashqi dinamik yuklar ta’siridagi
tebranishlarida qatlam nuqtalari ko’chishlarini topamiz. 
3-Rasm. Plastinka qatlamida hosil bo‘ladigan
U(x,t)  ko‘chishning vaqtning turli qiymatlarida
koordinataga bog’liq holda o‘zgarish grafiklari 4-Rasm. Plastinka qatlamida hosil bo‘ladigan
W(x,t)  ko‘chishning vaqtning turli qiymatlarida
koordinataga bog’liq holda o‘zgarish grafiklari
      3 -rasmda   uch   qatlamli   plastinkaning   tashqi   dinamik   yuklar   ta’siridagi
tebranishlarida plastinka qatlamlari nuqtalarining x o’qi bo’yicha ko’chishi  U(x,t)
39 ning vaqtning turli fiksirlangan nuqtasidagi koordinataga bog’liq o’zgarish grafigi
keltirilgan.
4-rasmda   uch   qatlamli   plastinkaning   tashqi   dinamik   yuklar   ta’siridagi
tebranishlarida  plastinka  qatlamlari   nuqtalarining   x   o’qi  bo’yicha  ko’chishi   U(x,t)
ning vaqtning turli fiksirlangan nuqtasidagi koordinataga bog’liq o’zgarish grafigi
keltirilgan.
40 III-bob bo’yicha qisqacha xulosa
Ushbu   bitiruv   malakaviy   ishining   uchinchi   bobida   uch   qatlamli   qovushoq-
elastik   plastinkaning   tashqi   dinamik   yuklar   ta’siridagi   simmetrik   tebranishlariga
oid   amaliy   masalalar   yechilgan.   Bunda   uchinchi   bobda   qovushoq-elastik
plastinkaning   tanlangan   sirtidagi   bosh   ko’chishlar   orqali   keltirib   chiqarilgan
taqribiy   simmetrik   tebranish   tenglamalariga   doir   amaliy   masalalar   yechilgan.
Dastlab   bu   amaliy   masalalarni   yechish   uchun   kerak   bo’ladigan   chegaraviy
shartlarning   qo’yilishi   bilan   tanishib   chiqilgan.   So’ngra   chetlari   sharnirli
mahkamlangan   uch   qatlamli   qovushoq-elastik   plastinkaning   simmetrik   tebranishi
uchun amaliy masalalar  qaralib, plastinka qatlamlarida hosil  bo’ladigan bo’ylama
va ko’ndalang ko’chishlar grafiklari hosil qilingan.
41 ASOSIY XULOSALAR
Mazkur   bitiruv   malakaviy   ishida   olingan   natijalar   yuzasidan   quyidagi
xulosalar chiqarildi:
 bitiruv malakaviy ishida uch qatlamli plastinkalarning tashqi dinamik yuklar
ta’siridagi tebranishlari to’g’risida o’tkazilgan ayrim tadqiqotlar sharhi o’rganildi;
 uch qatlamli  plastinkalarning tashqi  dinamik yuklar ta’siridagi tebranishlari
nazariyalarini ishlab chiqishga bag’ishlangan ilmiy tadqiqotlar tahlil qilindi;
 uch qatlamli qovushoq-elastik plastinkalarga qo’yiladigan tashqi kuchlar shu
kuchlarning   qo’yilishi   natijasida   plastinkada   hosil   bo’ladigan   tebranishlar   va
tebranish   tenglamalarini   keltirib   chiqarishda   zarur   bo’ladigan   tushuncha   va
ko’nikmalar hosil qilindi;
 uch   qatlamli   qovushoq-elastik   plastinkaning   tashqi   dinamik   yuklar
ta’siridagi tebranishlari haqidagi masalaning qo’yilishi o’rganildi;
 uch   qatlamli   qovushoq-elastik   plastinkaning   tebranishlari   taqribiy
tenglamalari sistemasi keltirib chiqarildi;
 chiqarilgan   tenglamalar   yechilib,   uch   qatlamli   qovushoq-elastik
plastinkaning simmetrik tebranishlarida plastinka qatlamlari nuqtalari ko’chishlari
va kuchlanishlarini grafikda tasvirlash imkoniyati hosil qilindi.
42 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. Кирхгофф . Historical review of Zig – zag theories for multilayered plates
and shells. // Z.Applied Mechaniks Review, vol. 56, №3, 2003. –  287-308 pp.
2. Carrera E., Brischetto S. A Survey with Numerical Assesment of Classical
and Refined Theories for the Analysis of Sandwich Plates // Z. Appl. Mech. Rew.
V.62, 2009. – 010803 – 1 – 17 pp.
3. Altenbach   H.   Modelling   of   viscoelastic   behaviour   of   plates   //   in   M.   7.
yczkowski (ed.), Greep in Structures, Springer, Berlin, 1990. – 531 – 537. pp. 
4. Филиппов   И.Г.,   Чебан   В.Г.   Математическая   теория   колебаний
упругих и вязкоупругих пластин и стержней. – Кишинев; «Штиинца», 1988. –
190 с.
5. Болотин   В.В.   Прочност ,   Устойчивостъ   и   колебания   многослойн ы х
пластин  //  Расчет ы на прочностъ-М.,  1995.  Вып. 11.
6. Филиппов   И.Г.,   Филиппов   С.И.   К   теории   колебания   трехслойных
пластин // Приклад. Мех., – Киев. – 1998. – Т.34, №3. – С. 20 – 26.
7. Mindlin R.D. Influence of rotatory inertia and shear in flexural motions of
isotropic elastic plates // ASME, Z. Appl. Mech. 18, 1951 – 1031 – 1036 pp.
8. Д.С.Газис ,   Mindlin   R . D .   Взаимодействие   цилиндрических   слоев   и
оболочек со связанными полями. //   ASME, Z. Appl. Mech.  1963 . – 336  с .
9. И.Т.Селезов ,   Ю.Г.Кривонов   К   теории   изгиба   и   устойчивости
трехслойных   пластин   с   ортотропным   трехмерным   заполнителем.   Восьмой
Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Пермь, 23-29
август, 2001. - С.458-459.
10. Мирзакобилов Н.Х. Колебания трехслойных пластин частного вида //
Дисс.на соис.уч.степ. канд. наук. – М.: 1992. – 139 с.
11. Петрашень   Г.И.   Проблемы   инженерной   теории   колебаний
вырожденных систем // Исследование по теории упругости и пластичности. –
Л.: Изд. ЛГУ, 1966. - №5. – С. 3-33.
43 12. Егорычев О.А.,  Егорычев О.О. Нестационарные  колебания  слоистых
упругих   и   вязкоупругих   пластин   и   пологих   сферических   и   цилиндрических
оболочек. – М.: ОЗОП.ГИ., 2012 – 240 с.
13. Богданов   А.В.,   Поддаева   О.А.   Вывод   частотного   уравнения
собственных   колебаний   упругой   трехслойной   пластины,   два
противоположных   края   которой   шарнирно   закреплены,   а   два   других
жестко // Вестник МГСУ, 4, 2010. - С. 219-224.
14. Филиппов   И.Г.,   Филиппов   С.И.   Уравнения   колебания   кусочно   –
однородной   вязкоупругой   пластинки   переменной   жесткости   //   МТТ   АН
СССР. – 1989. – №5. – С. 149 – 157.
15. Филиппов   И.Г.,   Чебан   В.Г.   Математическая   теория   колебаний
упругих и вязкоупругих пластин и стержней. – Кишинев; «Штиинца», 1988. –
190 с.
16. Шевченко   В.П.,   Алтухов   Е.В.,   Фоменко   М.В.     Упругие   колебания
трехслойных  пластин  в  случае   плоского  торца   //   ISSN   1025-6415.   Reports  of
the National Academy of Sciences of Ukraine, 9. 2011. -70-77 pp.
17. Шевченко   В.П.,   Алтухов   Е.В.,   Фоменко   М.В.     Упругие   колебания
трехслойных  пластин  в  случае   плоского  торца   //   ISSN   1025-6415.   Reports  of
the National Academy of Sciences of Ukraine, 8. 2012. -61-66 pp.
18. Алтухов   Е.В.,   Фоменко   М.В.   Упругие   колебания   трехслойных
пластин   симметричного   строения.   //   ISSN   1683-4720.Труды   ИПММ   НАН
Украины, том 18, 2009. – С.3-10.
19. Худойназаров Х.Х. Нестационарное взаимодействие цилиндрических
оболочек   и   стержней   с   деформируемой   средой.   –   Ташкент,   Изд   –   во   Мед.
Литературы имени Ибн Сино. 2003 – 350 с.
20. Худойназаров Х.Х. Абдурашидов А. Нестационарное взаимодействие
упругопластически   деформируем ы х   элементов   конструкций   с   жидкостъю.-
Ташкент: «ФАН» , 2005-220 
44 21. Григолюк   Э.И.,   Селезов   И.Т.   Неклассические   теории   колебаний
стержней,   пластин   и   оболочек   //   Итоги   науки   и   техники.   Сер.   Механика
твердого деформирований тела. Т.5. – М.: ВИНИТИ, 1973. – 272 с.
22. Алтухов   Е.В.,   Симбратович   Е.В.   Упругие   колебания   двухслойных
пластин   со   свободными   от   напряжений   плоскими   гранями.   //   ISSN   1683-
4720.Труды ИПММ НАН Украины, том 22, 2011. – С.5-14.
23. A бдурашидов A . A .,   ИсроиловШ.Н. ,   КувандиковИ.М. ,   АчиловЖ.Ш. ,
Численное   решением   уравнения   гарднера   методом   приближенного
интегрирования.// СамДАҚИ.     XV   республика илмий-амалий конференцияси
материалари.  II - қисм ( 2018  йил 2-3 июн) 47-бет
24. Алтухов   Е.В.,Винник   А.В.   Напряженное   состояние   анизотропных
пластин с торцами, покрытыми диафрагмой.//  ISSN  1683-4720.Труды ИПММ
НАН Украины, том 20, 2010. – С.3-12.
25.   Алтухов   Е.В.,Винник   А.В.Напряженное   состояние   ортотропной
прямоугольной пластины.//  В i сник Донецького  нац i онального университету.
Сер. А: Природнич i  науки, вип.2, 2010. - С.29-37.
26. Rao M.K., et al.   Natural Vibrations of Laminated and Sandwich Plates //
J. of  Engineering Mech. 2004.vol.130, no 11. P.1268-1278.
27. Лопатин А.В., Удальцов Р.А. Симметричные колебания трехслойной
пластины   //   Вестник   Сибирского   государственного   аэрокосмического
университета   имени   акад.   М.Ф.Решетнева,   Сер.   Математика,   механика,
информатика. 2010.- С.221-227.
28. Frosting   Y.,   Nhomson   O.T.     High-Order   Free   Vibration   of   Sandwich
Panels with a Flexible Core // Intern. J .  Of   solids   and   Structures . 2004.  No  41(5-6).
P . 1697-1724.  
29.   Z . B . Xudayberdiyev ,   J . Z . Rahmatov ,   Z . B . Suyunova ,   Z . U . Mamirov
Уравнение   поперечные   колебания   трехслойной   пластины   и   конической
оболочки.   ISJ   Theoretical   &   Applied   Science,   03   (95),   321-327.   Soi:   http://s-o-
i.org/1.1/TAS-03-95-51 Doi:  https://dx.doi.org/10.15863/TAS
45

CHETLARI SHARNIRLI MAHKAMLANGAN UCH QATLAMLI QOVUSHOQ-ELASTIK PLASTINKANING SIMMETRIK TEBRANISHI MUNDARIJA KIRISH …………………………………………..………………............. 3 I-Bob. PLASTINKALARNI HISOBLASH NAZARIYALARI ......……. 5 1.1-§. P lastinkalar tebranishlari to’g’risida o’tkazilgan tadqiqotlar sharhi …………………………………………………………….. 5 1.2-§. Plastinkalar nazariyasining asosiy munosabatlari va tenglamalari 10 1.3-§. Plastinkalarga qo’yiladigan tashqi kuchlar …… ......................... .. 13 I-bob bo’yicha xulosa…..………………………………………... 17 II-Bob. UCH QATLAMLI QOVUSHOQ-ELASTIK PLASTINKA- NING SIMMETRIK TEBRANISHLARI...................................... 18 2.1-§. Uch qatlamli qovushoq-elastik plastinkaning simmetrik tebranishlari.................................................................................... 18 2.2-§. Uch qatlamli qovushoq-elastik plastinkaning simmetrik tebranishlari haqidagi masalaning qo’yilishi................................. 19 2.3-§. Uch qatlamli qovushoq-elastik plastinkaning simmetrik tebranishlari taqribiy tenglamalari................................................ 23 I I -bob bo’yicha xulosa………………………………………… . 31 III-Bob. UCH QATLAMLI QOVUSHOQ-ELASTIK PLASTINKA- NING SIMMETRIK TEBRANISHLARI AMALIY MASALALARI............................................................................. 32 3.1-§. Uch qatlamli qovushoq-elastik plastinka uchun chegaraviy shartlarning qo’yilishi.................................................................... 32 3.2-§. Uch qatlamli qovushoq-elastik plastinka uchun erkin tebranishlar chastotasini aniqlash.................................................. 34 3.3-§. Chetlari s harnirli mahkamlangan uch qatlamli qovushoq-elastik plastinkaning simmetrik tebranishlariga doir amaliy masalalar..... 35 I II -bob bo’yicha xulosa …………………………………..……… 40 ASOSIY XULOSALAR............................................................................. 45 ADABIYOTLAR RO’YXATI.................................................................... 46 1

KIRISH Bitiruv malakaviy ishida masalaning qo’yilishi . Ushbu bitiruv malakaviy ishida chetlari sharnirli mahkamlangan uch qatlamli qovushoq-elastik plastinkaning simmetrik tebranishlari masalasi qo’yilgan. Bunda uch qatlamli plastinka nostatsionar simmetrik tebranishlarida vujudga keladigan kuchlanganlik-deformatsiyalanganlik holatini plastinka bir jinslimas va uch qatlamli ekanligini hisobga olgan holda aniqlash masalasi qaralgan. Mavzuning dolzarbligi. Uch qatlamli qovushoq-elastik plastinka muhandislik qurilmalarining tarkibiy qismlarini tashkil etadilar. Bundan tashqari bunday plastinkalar ko’plab qurilish materiallari elementlari hamdir. Shunday holda bu plastinkalar turli xil dinamik tashqi ta’sirlar ostida ishlaydilar va ularning kesimlarida turli xil yuklanishlar vujudga keladi. Plastinkadagi ana shunday yuklanishlarni aniqlash masalasi mexanikaning dolzarb masalalaridandir. Amaliy masalalarda ana shunday yuklar ta’siri ostidagi plastinkalardagi kuchlanganlik- deformatsiyalanganlik holatlarini aniqlash muhim ahamiyat kasb etadi. Ishning maqsad va vazifalari . Mazkur bitiruv malakaviy ishining asosiy maqsadi uch qatlamli qovushoq-elastik plastinkaning simmetrik tebranish tenglamalarini keltirib chiqarish, tadqiq qilish va ular asosida qaralayotgan plastinkaning nostatsionar simmetrik tebranishlari taqribiy tenglamalarini ishlab chiqishdan iboratdir. Bunda tadqiqotni klassik va aniqlashtirilgan tebranish tenglamalariga mos ravishda plastinka qatlamlaridagi kuchlanganlik- deformatsiyalanganlik holatini aniqlashga imkon beruvchi algoritm yaratish talab etiladi. Ana shulardan kelib chiqqan holda bitiruv malakaviy ishining asosiy vazifalari qilib quyidagilar belgilangan:  Uch qatlamli qovushoq-elastik plastinkaning simmetrik tebranish tenglamalari uchun umumiy tenglamalarni keltirib chiqarish;  Kuchlanish va deformatsiya tenzorlari hamda ko’chish vektori komponentalari uchun plastinka qatlamlari nuqtalaridagi kuchlanganlik- deformatsiyalanganlik holatini talab etilgan aniqlikda aniqlash algoritmini yaratish;  Uch qatlamli qovushoq-elastik plastinkaning simmetrik tebranish tenglamalari amaliy masalalarni yechish uchun yaroqli bo’lgan texnik yoki boshqacha aytganda taqribiy tenglamalarini hosil qilish; 2

Olingan natijalar asosida ilmiy xulosalar chiqarish va amaliy tavsiyalar ishlab chiqish. Ishning ilmiy tadqiqot usuli . Asosiy tadqiqot usuli sifatida G.I.Petrashen – I.G.Filippovning tadqiqot jarayonida aksioma va gipotezalarni foydalanmasdan tenglamalarni chiqarish metodi, Fur’e va Laplasning integral almashtirish metodlari, shuningdek tadqiqotchilar tomonidan qayta-qayta sinovdan o'tgan boshqa analitik va tadribiy hisoblsh usullaridan foydalanilgan. Ishning ilmiy-amaliy ahamiyati. Hozirgi zamon texnikasi, qurilish, yer osti va yer usti inshoatlari, aviatsiya, kemasozlik va boshqa juda ko’plab sohalarda uch qatlamli qovushoq-elastik kompozit plastinka qurilish inshoatlari va muhandislik qurilmalarining asosiy elementlaridan biri sifatida ishlatiladi. Yuqorida aytilganlar uch qatlamli qovushoq-elastik plastinkaning simmetrik tebranish masalasini tadqiq qilish, ularning tebranish chastotasi, amplitudasi, shakli va boshqa xarakteristikalarini aniqlash muhim amaliy ahamiyatga ega ekanligini ko’rsatadi. Bitiruv malakaviy ishining tuzilishi. Bitiruv malakaviy ishi kirish, uchta bob, xulosa hamda foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan iborat bo’lib 50 kompyuter sahifasida bayon qilingan. Olingan natijalarning qisqacha mazmuni. Uch qatlamli qovushoq-elastik plastinka simmetrik tebranish tenglamalarini aksariyat hollarda sodda yechimlar asosida tadqiq qilingan. Shu sababli uch qatlamli qovushoq-elastik plastinka simmetrik tebranishlari haqidagi masalalarni yangicha yo’nalishda tadqiq etish masalasi keyingi vaqtlarda katta ilmiy va amaliy ahamiyatga ega bo’lmoqda. Shu nuqtai nazardan qaraganda bitiruv malakaviy ishida qaralgan va yechilishi uchun tadqiq etilgan tenglamalarning ilmiy ahamiyati birinchidan uch qatlamli qovushoq- elastik plastinkaning xususiyatlari hisobga olinganligi va ikkinchidan masalani yechish uchun yangi usullarning qo’llanilishi bilan xarakterlanadi. 3

I-BOB. PLASTINKALARNI HISOBLASH NAZARIYALARI 1.1. Plastinkalar tebranishlari to’g’risida o’tkazilgan tadqiqotlar sharhi Qurilish va texnikaning juda ko’p sohalarida, xususan fuqaro qurilishi, mashinalar yasash va boshqa sohalarda muhandislik konstruksiyalarining mustahkamligini oshirish, metall sarfini va quvvat birligiga to’g’ri keluvchi sarf- xarajatlarni kamaytirish muhim ahamiyatga ega. Bunday masalalarni yechish uchun mustahkamlik muammolari bo’yicha nazariy va eksperimental tadqiqotlarni kengaytirish, muhandislar tayyorlashni amalga oshirish va ushbu yo’nalishda tayyorlanayotgan ilmiy va pedagok xodimlar bilimlarini yanada chuqurlashtirish talab etiladi. Mexanikaning muvozanat holatidagi yoki harakatdagi qattiq jismning tashqi fizik ta’sirlar natijasida deformatsiyalanishi va bunda vujudga keladigan ichki kuchlarni (kuchlanishlarni) o’rganadigan bo’limi elastiklik nazariyasi deb ataladi. Plastinka va qobiqlar nazariyasi fani elastiklik nazariyasining tadbiqiy masalalari hisoblanadi. Xuddi shunday masala “Materiallar qarshiligi” kursida ham yechiladi. Lekin ushbu umumiy masalani yechish metodlari “Materiallar qarshiligi” va “Elastiklik nazariyasi” kurslarida bir-birlaridan juda keskin ravishda farq qiladi. Materiallar qarshiligi kursida ushbu masala asosan brus uchun qator geometrik va fizik xarakterdagi, gipoteza va farazlar asosida yechiladi. Ushbu usul hamma hollarda aniq bo’lmasa ham, kuchlanishlarni hisoblash uchun yetarli darajadagi sodda formulalarni chiqarishga imkon beradi. Elastiklik nazariyasi esa isbotlanmagan gipoteza va farazlardan foydalanmasdan faqat jismning kuchlanganlik-deformatsialanganlik holatini (KDH) aniqlash masalasi bilan shug’ullanadi. Elastiklik nazariyasida jismning shakliga chegaralanishlar qo’yilmaydi, ya’ni ixtiyoriy shaklga ega bo’lgan jism uchun asosiy masalaning (KDH ni aniqlash) mumkin bo’lgan aniq yechimini olishga imkoniyat yaratiladi. 4

Ushbu qisqa tavsifdan elastiklik nazariyasida materillar qarshiligi metodlari bilan yechib bo’lmaydigan masalalar qaralishini ko’rish qiyin emas. Ammo bundan elastiklik nazariyasida hech qanday gipoteza va farazlar qo’llanilmaydi degan xulosa kelib chiqmasligi kerak. Elastiklik nazariyasida qo’llaniladigan gipoteza va farazlar ko’lamlarining kengligi bilan farq qiladi, hamda hisoblash metodlarini ishlab chiqishda materiallar qarshiligi kursidagiga nisbatan ancha aniq matematik apparatdan foydalaniladi. Plastinka va qobiqlar nazariyasida taqribiy metodlardan ham foydalaniladi. Ana shunga bog’liq ravishda elastiklik, matematik va amaliy nazariyalarini farqlaydilar. Elastiklik amaliy nazariyasi qator qo’shimcha farazlarga asoslanadi. Elastiklik matematik nazariyasi ham qo’shimcha gipotezalarni qabul qilmagani bilan, o’rganilayotgan obyektni u yoki bu darajada abstraktlashtirmasdan iloji yo’q. Tabiatda mavjud, real qattiq jismlar shunday bir model sifatida qaraladiki, bu model qaralayotgan qattiq jismning ma’lum bir sharoitlar uchungina xarakterli bo’lgan asosiy va umumiy xossalarinigina o’zida mujassamlashtirgan bo’ladi. Qattiq jismning qabul qilingan modelining xususiyatlaridan bog’liq ravishda elastiklik nazariyasi uchga bo’linadi: klassik, chiziqli va chiziqlimas nazariyalar. Elastiklik klassik nazariyasi modeli: 1) tutashlik; 2) ideal-elastiklik; 3) kuchlanishlar va deformasiyalar orasidagi bog’lanishning chiziqliligi; 4) yetarli darajada bikrlik (ko’chishlarning kichikligi); 5) bir jinslilik; 6) izotropik xususiyatlariga ega bo’lgan qattiq jismning KDH ga tekshiradi. Elastiklik chiziqli nazariyasi klassik nazariyaga nisbatan kengroq bo’lib, modeli yuqoridagi xususiyatlardan faqat birinchi to’rttasiga ega bo’lgan qattiq jismlarning KDH ni tekshiradi. Chiziqlimas nazariya uchun esa yuqoridagi xususiyatlardan faqat birinchi ikkitasi muhimdir. Umuman elastiklik nazariyasini o’rganish tarixiy nuqtai nazardan birlamchi va mukammal ishlangan chiziqli nazariyadan boshlanishi kerak. Shuning uchun ham ushbu darslik elastiklik chiziqli nazariyasi asoslarini bayon qilishga bag’ishlangan. Elastiklik nazariyasining rivojlanishida boshlang’ich nuqta sifatida XVII asr boshida G.Galiley tomonidan 5